›

Đề cương bài giảng Toán cơ sở - Nguyễn Thị Tuyết Mai

pdf 96 trang huongle 8820
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương bài giảng Toán cơ sở - Nguyễn Thị Tuyết Mai", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_bai_giang_toan_co_so_nguyen_thi_tuyet_mai.pdf

Nội dung text: Đề cương bài giảng Toán cơ sở - Nguyễn Thị Tuyết Mai

  1. Tr−ờng đại học s− phạm Khoa đμo tạo giáo viên mầm non Nguyễn Thị Tuyết Mai Đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở Dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non Trình độ đại học Thái Nguyên - 2009 1
  2. Mục lục Lời nói đầu Ch−ơng 1. Cơ sở của lý thuyết tập hợp 1.1. Tập hợp 4 1.2. Các phép toán trên tập hợp 7 1.3. ánh xạ 10 1.4. Quan hệ 13 1.5. Giải tích tổ hợp 18 Bài tập ch−ơng 1 20 Ch−ơng 2. Cấu trúc đại số 2.1. Phép toán hai ngôi 24 2.2. Cấu trúc nhóm 28 2.3. Cấu trúc vành 32 2.4. Cấu trúc tr−ờng 35 Bài tập ch−ơng 2 37 Ch−ơng 3. Định thức, ma trận, hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.1. Ma trận 40 3.2. Định thức 47 3.3. Hệ ph−ơng trình tuyến tính 53 Bài tập ch−ơng 3 59 Ch−ơng 4. Số tự nhiên 4.1. Hệ thống số tự nhiên 64 4.2. Các phép toán trên tập các số tự nhiên 66 4.3. Hệ đếm và cách ghi số đếm 69 Bài tập ch−ơng 4 78 Ch−ơng 5. Đại số véc tơ và hình học giải tích 5.1. Véc tơ 80 5.2. Toạ độ trên đ−ờng thẳng 84 5.3. Ph−ơng pháp toạ độ trên mặt phẳng 85 5.4. Ph−ơng pháp toạ độ trong không gian 87 Bài tập ch−ơng 5 95 Tài liệu tham khảo 96 2
  3. lời nói đầu Một trong những nhiệm vụ của ng−ời giáo viên mầm non là hình thành cho trẻ những biểu t−ợng toán học sơ đẳng. Vì vậy, ng−ời giáo viên mầm non cần phải nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, có kỹ năng giải toán và ứng dụng những kiến thức đã học vào việc giáo dục trẻ. Học phần Toán cơ sở nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán học cơ bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để có thể học học phần ph−ơng pháp hình thành biểu t−ợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non. Đồng thời giúp cho sinh viên có thể học tốt một số học phần: Toán thống kê, dinh d- −ỡng, ph−ơng pháp nghiên cứu khoa học, Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói riêng đang trên con đ−ờng xây dựng và phát triển. Vì vậy tài liệu học tập còn rất thiếu thốn. Để giúp cho sinh viên có đ−ợc một tài liệu học tập, đ−ợc sự phê duyệt của Ban Giám hiệu tr−ờng Đại học S− phạm - Đại học Thái Nguyên tôi đã biên soạn đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ đại học. Đề c−ơng bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau của toán học nh− số học, đại số, hình học và đ−ợc tham khảo từ nhiều tài liệu. Nội dung đề c−ơng bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp, quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học giải tích và giải tích tổ hợp. Tác giả mong nhận đ−ợc những góp ý của các bạn đồng nghiệp và độc giả về nội dung cũng nh− việc trình bày để đề c−ơng bài giảng này đ−ợc hoàn thiện hơn. 3
  4. Ch−ơng 1: Cơ sở của lý thuyết tập hợp 1.1. Tập hợp 1.1.1. Khái niệm tập hợp Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó không đ−ợc định nghĩa, d−ới đây là một hình ảnh trực quan của khái niệm tập hợp. Những vật, những đối t−ợng toán học, đ−ợc tụ tập do một tính chất chung nào đó thành lập những tập hợp. Ng−ời ta nói: Tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các lớp trong một tr−ờng, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các số hữu tỷ, tập hợp các số thực, tập hợp các nghiệm của một ph−ơng trình, Các vật trong tập hợp X đ−ợc gọi là các phần tử của tập hợp X. Kí hiệu x∈ X đọc là “ x là một phần tử của tập X” hoặc “x thuộc X”. Nếu x không thuộc tập X, kí hiệu x∉ X . 1.1.2. Ph−ơng pháp biểu diễn một tập hợp a) Ph−ơng pháp liệt kê Ta liệt kê đầy đủ (nếu có thể) tất cả các phần tử của tập hợp. Các phần tử đ−ợc viết trong dấu ngoặc { . }, phần tử nọ cách phần tử kia bởi dấu phẩy (hoặc dấu ;). Ví dụ: Tập hợp A có 4 phần tử a, b, c, d đ−ợc viết d−ới dạng liệt kê là A = {abcd,,,}. Ph−ơng pháp liệt kê không chỉ áp dụng đối với những tập hợp có không nhiều phần tử mà còn có thể áp dụng đối với các tập hợp có vô số phần tử. Trong tr−ờng hợp này ta lịêt kê một số phần tử đại diện vừa đủ để ta có thể nhận biết đ−ợc một đối t−ợng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không. Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên = {0,1,2,3, }. +) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: 2 = { 0,2,4,6, }. +) Tập hợp cácc −ớc của 20: 2 = { 1,2,4,5,10,20} . 4
  5. Chú ý: Một tập hợp đ−ợc xác định không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các phần tử của nó. b) Ph−ơng pháp nêu tính chất đặc tr−ng Một tập hợp có thể xác định bằng cách nêu các tính chất chung (tính chất đặc tr−ng) của các phần tử trong tập hợp mà nhờ vào các tính chất chung ấy ta có thể xác định đ−ợc một phần tử bất kỳ có thuộc tập hợp đó hay không. Nếu tất cả các phần tử của tập hợp X đều có tính chất P thì ta có thể biểu diễn X nh− sau: Xx={| x có tính chất P} hoặc XxPx= { |()}. Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: 2|2, = {xx=∈ nn }. +) Tập hợp các −ớc của 15: Xxx= { |;15∈ M x}. +) Tập hợp các bội của 3: Xxxnn= { |3,=∈ } . 1.1.3. Các tập hợp đặc biệt a) Tập hợp rỗng Một tập hợp không chứa phần tử nào đ−ợc gọi là tập rỗng, ký hiệu:∅ Ví dụ: +) Tập các nghiệm thực của ph−ơng trình x2 +10= là tập rỗng. +) Tập các đ−ờng thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là tập rỗng. b) Tập hợp một, hai phần tử Giả sử x là một vật hay một đối t−ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là {x} chỉ gồm một phần tử x đ−ợc gọi là tập hợp một phần tử (tập đơn tử). Giả sử x, y là hai vật hay hai đối t−ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là {x, y} chỉ gồm 2 phần tử x, y đ−ợc gọi là tập hợp hai phần tử. T−ơng tự nh− trên ta có thể định nghĩa các tập hợp ba, bốn, phần tử, các tập hợp đó cùng với tập hợp rỗng đ−ợc gọi là các tập hữu hạn, còn các tập hợp khác đ−ợc gọi là các tập vô hạn. Ví dụ: +) Tập các −ớc của 15 là tập hữu hạn (vì nó chỉ có 5 phần tử). +) Tập các bội của 3 là tập vô hạn. +) tập các số tự nhiên là tập vô hạn. +) Tập các trẻ trong một lớp là tập hữu hạn. 5
  6. 1.1.4. Hai tập hợp bằng nhau a) Định nghĩa: Hai tập hợp A và B đ−ợc gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B khi và chỉ khi mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ng−ợc lại. Nh− vậy A = B khi và chỉ khi chúng chứa các phần tử nh− nhau. ⎧∀∈x AxB ⇒ ∈ Hay AB=⇔⎨ . ⎩∀∈x BxA ⇒ ∈ b) Ví dụ: +) XxxxYxxxxXY=∈{ |,6;|,2,3M} =∈{ M M} ⇒=. +) X là tập hợp các hình bình hành có một góc vuông, Y là tập các hình chữ nhật thì X = Y. 1.1.5. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp a) Định nghĩa: Cho một tập hợp X. Một tập hợp A đ−ợc gọi là tập con (hay bộ phận) của tập hợp X nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp X. Kí hiệu A ⊂ X (hoặc XA⊃ ) và đọc là A chứa trong X, hoặc A là một bộ phận của X, hoặc A là một tập con của X. Quan hệ A ⊂ X đ−ợc gọi là quan hệ bao hàm. b) Ví dụ: +) 2 ⊂ N +) Tập hợp các hình vuông là tập con của tập hợp các hình chữ nhật. c) Tính chất +) ∅⊂A, ∀A +) A ⊂ A +) Nếu A ⊂⊂⇒⊂BB, C A C +) Nếu A ⊂ B và B ⊂⇒=AAB 1.1.6. Họ các tập con của một tập hợp a) Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, các tập con của X lập thành một tập hợp, kí hiệu P(X) và gọi là tập các tập con của tập hợp X. Tập hợp này bao gồm ít nhất một phần tử chính là tập X. 6
  7. b) Ví dụ: +) Nếu X =∅ thì P(X) = {∅}. +) Nếu Xa= { } thì P(X) = {∅,{a}}. +) Nếu Xab= { , } thì P(X) = {∅,,,,{abab} { } { }}. Chú ý: Ta có thể chứng minh đ−ợc rằng nếu X là một tập hợp hữu hạn gồm n phần tử thì P(X) là một tập hợp hữu hạn gồm 2n phần tử. 1.2. Các phép toán trên tập hợp 1.2.1. Hợp của các tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp X, Y đ−ợc gọi là hợp của hai tập hợp X, Y, kí hiệu XY∪ . Theo định nghĩa XY∪={| xxX ∈ hoặc x∈Y}. Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr−ờng hợp n tập hợp: Định nghĩa: Cho n tập hợp A12,AA , , n . Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong n tập hợp A12,AA , , n đ−ợc gọi là hợp của các tập hợp A12,AA , , n , kí hiệu A12∪∪∪AA n . b) Ví dụ: +) X==⇒∪={ abcd,,,} , Y{ def ,,} X Y{ abcdef ,,,,,} . +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì XY∪ là tập các số tự nhiên chia hết cho 2. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A ∪=AA, A ∪∅= A +) Nếu B ⊂ A thì A ∪=BA +) A ∪=∪BB A +) ()A ∪∪=∪∪BCABC( ) 1.2.2. Giao của các tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai 7
  8. tập hợp (phần tử chung của) X, Y đ−ợc gọi là giao của hai tập hợp X, Y, kí hiệu XY∩ . Theo định nghĩa XY∩={| xxX ∈ và x∈Y}. Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr−ờng hợp n tập hợp: Định nghĩa: Cho n tập hợp A12,AA , , n . Một tập hợp gồm các phần tử thuộc tất cả n tập hợp A12,AA , , n đ−ợc gọi là giao của các tập hợp A12,AA , , n , kí hiệu A12∩∩∩AA n . b) Ví dụ: +) XabcdYdefXYd==⇒∩={ ,,,} ,{ ,,} { } . +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì XY∩ là tập các số tự nhiên chia hết cho 6. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A ∩=AA, A ∩∅=∅ +) Nếu B ⊂ A thì A ∩ BB= +) A ∩=∩BB A +) ()A ∩∩=∩∩BCABC( ) 1.2.3. Hiệu của hai tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp X nh−ng không thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là hiệu của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu XY\ . Theo định nghĩa XY\{|=∈ xxX và x∉Y}. b) Ví dụ: +) X==⇒=={ abcd,,,} , Y{ de ,, f} X \ Y{ abc ,,} , Y \ X{ e , f} . +) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6 thì XY\ là tập các số tự nhiên chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 3, YX\ =∅. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A \,\AA=∅ ∅= A. +) Nếu B ⊂ A thì B \;\AAB= ∅ đ−ợc gọi là phần bù của B trong A và kí hiệu A \ BCB= A . 8
  9. +) B \(BA \ )= A. +) Nếu B ⊂ A thì CA\\⊂ CB. 1.2.4. Tích Đề Các của hai tập hợp. a) Định nghĩa: +) Một dãy gồm 2 phần tử a, b sắp thứ tự đ−ợc gọi là một cặp sắp thứ tự, kí hiệu (a, b). +) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng. Một tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ tự (x,y), trong đó x thuộc tập hợp X, y thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là tích Đề Các của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu XYì . Theo định nghĩa XYì={( xyxXyy , ) | ∈ , ∈ }. Khái niệm tích Đề các có thể mở rộng cho tr−ờng hợp nhiều tập hợp: Định nghĩa: Cho các tập hợp A12,AA , , n . Ta định nghĩa A123ìì=AA(), AA 12 ì ì A 3 AAAA1234ì ìì=( AAA 123 ìì ) ì A 4 , , A12ììì=AAAAAA nnn ( 12 ìì − 1 ) ì. Tích Đề Các XXììì X của n tập hợp X kí hiệu X n . Tích Đề Các XXì= X2 còn đ−ợc gọi là bình ph−ơng Đề Các của tập hợp X. b) Ví dụ: XabcY==⇒ì={ , ,} ,{ 1,2} XYaabbcc{ ( ,1),( ,2),( ,1),( ,2),( ,1),( ,2)} ; YXì = {(1, a ), (1, b ), (1, c ), (2, a ), (2, b ), (2, c )}. c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: Aì ∅=∅ +) Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn thì số phần tử của tập tích Đề Các XYì bằng tích của số phần tử của tập X và số phần tử của tập Y. *) Chú ý: Tích Đề Các của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán nh−ng có tính chất kết hợp. 1.2.5. Mối quan hệ giữa các phép toán trên tập hợp a) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A ∩∪=∩∪∩()()()BC AB AC +) A ∪∩=∪∩∪()()()BC AB AC Hệ quả: Với các tập A, B bất kỳ ta có: 9
  10. +) A ∩∪=()AB A +) ()A ∩∪=BBB b) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: +) A \(BC∪= ) ( AB \ ) ∩ ( AC \ ) +) A \(BC∩= ) ( AB \ ) ∪ ( AC \ ) 1.3. ánh xạ 1.3.1. Khái niệm ánh xạ a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một quy tắc cho t−ơng ứng mỗi phần tử x thuộc tập hợp X với một và chỉ một phần tử kí hiệu f(x) thuộc tập hợp Y đ−ợc gọi là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y, kí hiệu f : XY→ hoặc XY⎯⎯f → x a fx() x a fx() Tập hợp X đ−ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, tập hợp Y đ−ợc gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f. b) Ví dụ: +) XabcdYdef=={ ,,,} ,{ ,, } t−ơng ứng: ada bd a cea dfa là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. +) XabY=={ ,,} { 1,2,3} t−ơng ứng: a 1 a b a 2 là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. +) Xét tập hợp các số tự nhiên, t−ơng ứng: nna 2 là một ánh xạ từ đến . 2 +) Xét tập hợp các số thực, t−ơng ứng: x a xx− 32+ là một ánh xạ từ đến . 10
  11. +) Việc xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một ánh xạ từ tập các trẻ trong lớp đến tập các chỗ ngồi của lớp đó (với điều kiện số ghế trong lớp lớn hơn hoặc bằng số trẻ). +) T−ơng ứng từ tập các con ng−ời trên trái đất đến tập các con ng−ời trên trái đát theo quy tắc mỗi ng−ời phụ nữ t−ơng ứng với con đẻ của mình không phải là một ánh xạ vì một ng−ời phụ nữ có thể có nhiều hơn một con. Nh−ng nếu theo quy tắc mỗi ng−ời với mẹ đẻ của mình thì là một ánh xạ vì mỗi ng−ời đều có một và chỉ một mẹ đẻ. Nhận xét: +) Khái niệm ánh xạ là khái niệm mở rộng của khái niệm hàm số mà ta đã học trong ch−ơng trình phổ thông. Hàm số là những ánh xạ mà tập nguồn và tập đích là tập hợp số thực hoặc bộ phận của nó và số f(x) t−ơng ứng với x đ−ợc xác định bởi một biểu thức đại số hoặc một biểu thức l−ợng giác, chẳng hạn fx()=−+ 3 x2 2 x 4 hay f ()xx= 2sin+ 4cos2 x. +) Trong định nghĩa ánh xạ, các tập nguồn, tập đích không nhất thiết là các tập hợp số và phần tử f(x) t−ơng ứng với x cũng không chỉ xác định bởi biểu thức đại số, không bắt buộc là số. 1.3.2. ảnh và tạo ảnh a) Định nghĩa: Giả sử f : XY→ là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y. x là một phần tử bất kỳ của X, A là một tập con bất kỳ của X, B là một tập con bất kỳ của Y. Ta gọi: +) f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại x. +) f ()AyYxA=∈∃∈ { | sao cho f ()xy= } là ảnh của tập hợp A bởi f. +) f −1()BxXfxB=∈ { | () ∈ } là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B bởi f. b) Ví dụ: Xét ánh xạ f từ tập hợp X= { abcd,,,} đến tập hợp Ydef= { ,, }xác định bởi: adbdcedfaaaa;;; A =⊂=⊂{abc,,} X , B {,} e f Y. Ta có f ()Ade= {,}, f −1()Bcd= {,}. 11
  12. Nhận xét: +) f ()∅=∅ với mọi ánh xạ f. +) A ⊂ ffA−1(()) với mọi bộ phận A của X. +) B ⊃ ff(())−1 B với mọi bộ phận B của Y. 1.3.3. Đơn ánh a) Định nghĩa: ánh xạ f : XY→ đ−ợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi x,'x thuộc X, nếu f ()xfx= (') thì x = x' hay với mọi y thuộc Y có nhiều nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y. Hay định nghĩa t−ơng đ−ơng: ánh xạ f : XY→ đ−ợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi x,'x thuộc X, nếu x ≠ x' thì f ()xfx≠ ('). Một đơn ánh còn đ−ợc gọi là ánh xạ một đối một. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một đơn ánh. 3 +) ánh xạ f :,a→ xx là một đơn ánh. 2 +) ánh xạ fxxx:,a→−+ 32 không là đơn ánh vì có f(1) = f(2) = 0 mà rõ ràng 12≠ . +) ánh xạ XXxx→ , a là một đơn ánh và gọi là ánh xạ đồng nhất của X, kí hiệu idx hoặc 1x . +) Nếu XY⊂ thì ánh xạ XYxx→ , a là một đơn ánh và gọi là đơn ánh chính tắc từ X đến Y hay ánh xạ nhúng chính tắc X vào Y. 1.3.4. Toàn ánh a) Định nghĩa: ánh xạ f : XY→ đ−ợc gọi là một toàn ánh nếu với mọi phần tử y thuộc Y, có ít nhất một phần tử x thuộc X sao cho f(x) = y. Hay nói cách khác f là toàn ánh nếu f ()XY= . Một toàn ánh còn đ−ợc gọi là một ánh xạ lên. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một toàn 12
  13. ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ. +) ánh xạ XXxx→ , a là một toàn ánh. +) ánh xạ f :2,2a→ nn là một toàn ánh. 2 +) ánh xạ fxxx:,a→−+ 32 không là toàn ánh vì chẳng hạn có −∈2 mà không có phần tử x nào thuộc sao cho f(x) = -2. +) Nếu XY⊂ thì ánh xạ XYxx→ , a không là một toàn ánh. 1.3.5. Song ánh a) Định nghĩa: ánh xạ f : XY→ đ−ợc gọi là một song ánh (ánh xạ 1 – 1) nếu nó vữa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nói cách khác ánh xạ f : XY→ là một song ánh nếu với mọi phần tử y thuộc tập Y có một và chỉ một phần tử x thuộc tập X sao cho f(x) = y. b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một song ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ. +) ánh xạ đồng nhất là một song ánh. +) ánh xạ f :2,2a→ nn là một song ánh. * +) ánh xạ f :,1a→+nn là một song ánh. 1.4. Quan hệ 1.4.1. Quan hệ hai ngôi a) Định nghĩa: Cho X, Y là hai tập tùy ý, khác rỗng. Mỗi tập con S của tập tích Đề Các XYì đ−ợc gọi là một quan hệ hai ngôi trên XYì . Nếu (,x yS )∈ ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy . Nếu (,x yS )∉ ta nói x không có quan hệ S với y và viết x$y . Một quan hệ hai ngôi trên XXì đ−ợc gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi trên tâp X. b) Ví dụ: +) Tập con Sxy= {(, )∈ì | xy =} xác định quan hệ bằng nhau trên . 13
  14. +) Tập con Sxy=∈ì≤{(, ) | xy} xác định quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng n trên . c) Một số tính chất của quan hệ hai ngôi Giả sử S là một quan hệ hai ngôi trên tập X. +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi x∈ X , x có quan hệ S với chính nó. +) S đ−ợc gọi là có tính chất đối xứng nếu với mọi x, yX∈ mà x có quan hệ S với y thì y có quan hệ S với x. +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu với mọi x, yX∈ mà x có quan hệ S với y và y có quan hệ S với x thì x = y. +) S đ−ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu với mọi x,,yz∈ X mà x có quan hệ S với y và y có quan hệ S với z thì x có quan hệ S với z. Hay ta có thể phát biểu ngắn gọn hơn: +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản xạ nếu ∀x∈ XxSx, . +) S đ−ợc gọi là có tính chất đối xứng nếu ∀x,,yXxSyySx∈⇒. +) S đ−ợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu ∀∈x,,,yXxSyySxxy ⇒=. +) S đ−ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu ∀x,,yz∈⇒ XxSyySz , , xSz. Ví dụ: +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên của các cháu trong lớp Mầm non có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. * +) Quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên khác 0 có các tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. 1.4.2. Quan hệ t−ơng đ−ơng a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đ−ợc gọi là quan hệ t−ơng đ−ơng trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 14
  15. Quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập X th−ờng ký hiệu , nếu x, yX∈ , x t−ơng đ−ơng với y thì ta viết xy . Ví dụ: +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số là một quan hệ t−ơng đ−ơng. +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên là những quan hệ t−ơng đ−ơng. +) Quan hệ có cùng số d− trong phép chia cho 3 trên tập số tự nhiên là một quan hệ t−ơng đ−ơng. b) Lớp t−ơng đ−ơng *) Định nghĩa: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng . a là một phần tử thuộc X. Tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà t−ơng đ−ơng với a đ−ợc gọi là lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a trên quan hệ t−ơng đ−ơng , kí hiệu [a]. Theo định nghĩa [axXxa] =∈{ | } , nh− vậy lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a thuộc X là tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà t−ơng đ−ơng với a. *) Ví dụ: +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên các tập hợp số là quan hệ bằng nhau. Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử a là [a] = {a} +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập các học viên của lớp mầm non là quan hệ cùng họ thì lớp t−ơng đ−ơng của phần tử Nguyễn Thị Lan là tập hợp tất cả các học viên có họ Nguyễn. +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số d− trong phép chia cho 3. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 0 là [0] = {0, 3, 6, 9, }. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 1 là [1] = {1, 4, 7, 10, }. +) Lớp t−ơng đ−ơng của phần tử 2 là [2] = {2, 5, 8, 11, 14, }. *) Tính chất: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng , a, b, x, y là các phần tử thuộc X. Ta có: +) aa∈[ ]. +) [a] ≠∅. +) Nếu x, ya∈⇒[ ] xy . +) Nếu x∈⇒∈[ay],[] x y a. 15
  16. +) [ab] =⇔[ ] ab . +) Nếu a không t−ơng đ−ơng với b thì [ab] ∩[ ] =∅. c) Tập th−ơng *) Định nghĩa: Giả sử trên tập X khác rỗng xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng . Tập hợp tất cả các lớp t−ơng đ−ơng của X trên qua hệ t−ơng đ−ơng đ−ợc gọi là tập th−ơng của X trên qua hệ t−ơng đ−ơng , kí hiệu X . Theo định nghĩa: XaaX=∈| . Nh− vậy mỗi phần tử của tập {[ ] } th−ơng X là một lớp t−ơng đ−ơng của một phần tử a của X, tức là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của X mà t−ơng đ−ơng với a. *) Ví dụ: +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số d− trong phép chia cho 3. = 0,1,2 . {[ ] [ ] [ ]} +) Xét quan hệ t−ơng đ−ơng trên tập X các học viên của lớp mầm non là quan hệ cùng họ thì tập th−ơng X ={[Nguyễn], [Trần], [Lê], [Phạm], }. 1.4.3. Quan hệ thứ tự a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đ−ợc gọi là quan hệ thứ tự trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Tập hợp X đ−ợc gọi là tập sắp thứ tự nếu trên X có một quan hệ thứ tự. Quan hệ thứ tự trên tập X th−ờng ký hiệu ≤, nếu x, yX∈ , x có quan hệ thứ tự ≤ với y thì ta viết x ≤ y . *) Ví dụ: +) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự. * +) Quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ thứ tự. +) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là một quan hệ thứ tự. *) Chú ý: Trong một tập sắp thứ tự X có thể xảy ra 2 tr−ờng hợp: 16
  17. +) Tất cả mọi phần tử của X đều nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó quan hệ thứ tự trên X đ−ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần. +) Có những phần tử của X không nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó quan hệ thứ tự trên X đ−ợc gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. *) Ví dụ: +) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự toàn phần. * +) Quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ * thứ tự bộ phận bởi vì chẳng hạn 2, 3 thuộc nh−ng không nằm trong quan hệ chia hết cho vì 2 không chia hết cho 3 và 3 cũng không chia hết cho 2. +) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là quan hệ thứ tự bộ phận. Chẳng hạn XY= {1,2,3} ⊂= ,{ 4,5,6,7} ⊂ nh−ng XY⊄ và YX⊄ . b) Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất *) Định nghĩa: Giả sử X là một tập sắp thứ tự. +) Một phần tử aX∈ đ−ợc gọi là phần tử lớn nhất của X nếu với mọi x ∈ X , ta có x ≤ a . +) Một phần tử aX∈ đ−ợc gọi là phần tử nhỏ nhất của X nếu với mọi x ∈ X , ta có ax≤ . * *) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp các số tự nhiên khác 0 là quan hệ chia hết cho. * +) Tập chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1, không có phần tử lớn nhất. * +) Tập A =⊂{1, 2, 5, 7, 35, 70} có phần tử lớn nhất là 70 vì 70 chia hết cho mọi phần tử của A, phần tử nhỏ nhất là 1 vì mọi phần tử của A đều chia hết cho 1. * +) Tập B =⊂{2,5,7,35,70} chỉ có phần tử lớn nhất là 70. * +) Tập C =⊂{1,2,3,5,7,9,10,25} chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1. 17
  18. * +) Tập D =⊂{2,3,4,5,7,35} không có phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất. c) Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu *) Định nghĩa: Giả sử X là một tập sắp thứ tự. +) Một phần tử aX∈ đ−ợc gọi là phần tử tối đại của X nếu với mỗi x ∈ X , quan hệ x ≥ a kéo theo x = a . +) Một phần tử aX∈ đ−ợc gọi là phần tử tối tiểu của X nếu với mọi x ∈ X , quan hệ x ≤ a kéo theo x = a . * *) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp các số tự nhiên khác 0 là quan hệ chia hết cho. * +) Tập chỉ có phần tử tối tiểu là 1, không có phần tử tối đại. * +) Tập A =⊂{1,2,5,7,35,70} có phần tử tối tiểu là 1, phần tử tối đại là 70. * +) Tập B =⊂{2,5,7,35,70} có các phần tử tối tiểu là 2,3,5,7, phần tử tối đại là 70. * +) Tập C =⊂{1,2,3,5,7,9,10,25} chỉ có phần tử tối tiểu là 1, các phần tử tối đại là 7, 9, 10, 25. *) Chú ý: +) Một tập hợp có nhiều nhất một phần tử lớn nhất và một phần tử nhỏ nhất. +) Một tập hợp có thể có nhiều phần tử tối đại và nhiều phần tử tối tiểu. 1.5. Giải tích tổ hợp 1.5.1. Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Mỗi tập hợp con sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau của một tập hợp gồm n phần tử đ−ợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh k hợp chập k của n phần tử kí hiệu là An . 18
  19. b) Công thức Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập gồm k phần tử khác nhau sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Nh− vậy số các chỉnh hợp chập k của n phần tử chính là số các cách chọn k phần tử sắp thứ tự. Vì Chọn phần tử thứ nhất có n cách. Chọn phần tử thứ hai có n - 1 cách. Chọn phần tử thứ ba có n - 2 cách Chọn phần tử thứ k -1 có n - k +2 cách. Chọn phần tử thứ k có n – k + 1 cách. Do đó có tất cả n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1) cách chọn. n! Vậy Ak = n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1)= . n (n-k)! 1.5.2. Hoán vị a) Định nghĩa: Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử đ−ợc gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử kí hiệu là Pn . b) Công thức Vì mỗi hoán vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử nên số các hoán vị của n phần tử chính là số các chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó, số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n.(n-1).(n-2) (n-n+2)(n-n+1) = n.(n-1).(n-2) 2.1 = n! 1.5.3. Tổ hợp a) Định nghĩa: Một tập hợp con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của một tập hợp gồm n phần tử đ−ợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. k Số các tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là Cn . b) Công thức Vì mỗi hoán vị của k phần tử trong một tổ hợp chập k của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập k của n phần tử nên mỗi tổ hợp chập k của n phần tử có k! chỉnh 19
  20. hợp chập k của n phần tử . Do đó số các tổ hợp chập k của n phần tử bằng số các chỉnh hợp chập k của n phần tử chia cho số các hoán vị của k phần tử n! Vậy số các tổ hợp của n phần tử là: C k = . n ()!!nkk− 1.5.4. Nhị thức Newton a) Công thức nhị thức Newton Với mọi số tự nhiên n ≥1 ta có: n 01122211nn−− n nnnn −− ()ab+= CaCabCabnn + + n ++ CabCb n + n . b) Ví dụ: +) Với n = 2, 3 ta có các hằng đẳng thức đáng nhớ: 23 (ab+=++) a222; abb( ab +=+) a 3223 33 ababb + + +) Với n = 4: 4 04 141−−−− 2422 41 41 44 ()ab+= CaCabCab44 + + 4 + CabCb 4 + 4 =+aabababb4346 + 2234 + 4 + 4 +) Với n = 5: (ab+=+++++) a54510105 ab ab 322345 ab abb. Bμi tập ch−ơng 1 1. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp a) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 3. b) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số bằng 15. c) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. d) Tập hợp các số tự nhiên là −ớc của 15. e) Tập hợp các số tự nhiên là bội của 3. f) Tập hợp các chữ số x sao cho 13x 8 chia hết cho 3. 2. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc tr−ng a) A = {1,2,4,8,16,32} 20
  21. b) B = {1,4,9,16,25,36, } c) A = {1,4,7,10,13,16,19} 3. Tìm tập hợp P(X) các tập con của tập hợp X sau: a) X = {1, 3, 5} b) Xabcd= { ,,,} 4. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp A,B, A ∪∩BA,,\,\, BA BB AA ì B trong các tr−ờng hợp sau: a) A là tập các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục, B là tập các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 8. b) A =={xx| 6 7MM 9} ; B{ x | 325 x 3} c) A là tập các −ớc của 18, B là tập các −ớc của 24. 5. Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: có 22 học sinh thích bóng đá, 18 học sinh thích bơi, 25 học sinh thích cầu lông, 13 học sinh thích bóng đá và bơi, 13 học sinh thích bơi và cầu lông, 15 học sinh thíc bóng đá và cầu lông, 9 học sinh thích cả 3 môn và 12 học sinh không thích môn nào. Hãy tính xem lớp đó có bao nhiêu học sinh. 6. Giả sử X là tập tất cả con ng−ời trên trái đất, trên X ta xác định các quan hệ sau: a) xSy1 nếu ng−ời x không nhiều tuổi hơn ng−ời y. b) xSy2 nếu ng−ời x cùng giới tính với ng−ời y. c) xSy3 nếu ng−ời x là con của ng−ời y. Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì? 7. Chứng minh rằng các quan hệ sau là quan hệ t−ơng đ−ơng, tìm tập th−ơng trên các quan hệ t−ơng đ−ơng đó. a) Quan hệ S trên tập các số nguyên nh− sau: ∀x,,yxSy∈ nếu x + y chia hết cho 2. 21
  22. b) Quan hệ S trên tập các số tự nhiên nh− sau: ∀x,,yxSy∈ nếu x, y có cùng chữ số hàng đơn vị. c) Quan hệ S trên tập các số thực nh− sau: ∀x,,yxSyxy∈⇔= 8. Xét quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên . Tìm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của các tập hợp sau: a) A = {1, 2, 4, 8,16, 32} b) B = {3,6,12,24,36,48} c) C = {1,2,4,8,12,16,18,24,32} d) D = {2,3,4,8,12,16,18,24} 9. Hãy xét xem cấc quy tắc sau có phải là ánh xạ không? a) Quy tắc cho t−ơng ứng mỗi ng−ời với mẹ đẻ của mình. b) Quy tắc cho t−ơng ứng mỗi ng−ời với anh cả của mình. c) Quy tắc cho t−ơng ứng mỗi tam giác với đ−ờng tròn ngoại tiếp nó. d) Quy tắc cho t−ơng ứng mỗi đ−ờng tròn với tam giác nội tiếp nó. e) Quy tắc lấy một số tự nhiên nhân với 4 đ−ợc bao nhiêu trừ đi 15. 10. Cho các ánh xạ: −−11 a) f :,25a→+nn. Tìm fff(1), (3), (15); f (1), f (20). 2 b) f :;a→−+xx 54 x.Tìm: ffff(0), (1), (5);−−11 (10), f (− 3). * 11. Cho ánh xạ: f :,31a→−nn, và các tập A = {1,2,4,8} , B = {2,8,14,10,47}. Hãy tìm: f (),Af−1 () B. 12. Trong các ánh xạ d−ới đây, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. a) f :,43a→+nn b) f :;43a→+xx c) f :;Tx→ a+ diện tích tam giác x (T là tập các tam giác). 13. Có thể xếp đ−ợc bao nhiêu số có 3 chữ số nếu có 5 thẻ đánh số 1; 2; 3; 4; 5? 22
  23. 14. Có bao nhiêu các chọn 5 trẻ trong nhóm trẻ gồm 30 trẻ để tổ chức cho trẻ chơi trò chơi? (Giả thiết rằng cơ hội đ−ợc chơi của các trẻ trong nhóm là ngang nhau và việc chọn là vô t− không thiên vị). 14. Tìm khai triển Newton của: 1 1 a) (2x − )6 b) (1)x − 10 c) ()xy − 6 2 y 15. Tính : 7!9 10!5 a) 1, 9 6 b) 995 c) d) 9!2! 8!4! 23
  24. Ch−ơng 2: Cấu trúc đại số 2.1. Phép toán hai ngôi 2.1.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ T: XìX → X đ−ợc gọi là một phép toán hai ngôi trên X. Giá trị T(x, y) của T tại (x, y) đ−ợc gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệu xTy. 2.1.2. Ví dụ +) Phép cộng, phép nhân thông th−ờng trên các tập số là các phép toán hai ngôi. +) Phép trừ trên tập số tự nhiên không là phép toán hai ngôi vì phép trừ không là ánh xạ từ ì tới . Ví dụ: (3,5)∈ ì , 35− =− 2 ∉ . Nh−ng phép trừ trên tập số nguyên , tập số hữu tỉ , tập số thực là phép toán hai ngôi. +) ánh xạ T: ()()ììì→ì ((a, b), (c, d)) a (a + c, b + d) là phép toán hai ngôi trên ì . 2.1.3. Các tính chất a) Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X. +) T đ−ợc gọi là có tính chất kết hợp nếu ∀a, b, c∈ X ta có (aT b)T c = aT(bTc). +) T đ−ợc gọi là có tính chất giao hoán nếu ∀a, b∈ X ta có aT b = bTa. Ví dụ: +) Phép cộng, nhân thông th−ờng trên các tập số có tính chất giao hoán, kết hợp. +) Phép trừ trên tập số nguyên không có tính chất giao hoán, kết hợp. b) Giả sử T và R là hai phép toán hai ngôi trên tập hợp X. +) T đ−ợc gọi là phân phối bên phải đối với R nếu ∀a, b, c∈ X ta có 24
  25. (aR b)T c = (aTc)R(bTc). +) T đ−ợc gọi là phân phối bên trái đối với R nếu ∀a, b, c∈ X ta có aT(bR c) = (aTb)R(aTc). +) T đ−ợc gọi là phân phối đối với R nếu nó vừa phân phối phải vừa phân phối trái đối với R. Ví dụ: Xét tập hợp số tự nhiên , với hai phép toán cộng, nhân thông th−ờng. +) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: ∀a,b, c∈ ta có: ()abcacbc+=+; ab()+ c=+ ab ac +) Phép cộng không phân phối đối với phép nhân: abcabac+≠++()( )(). 2.1.4. Phần tử trung lập a) Định nghĩa Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X. +) Một phần tử et ∈X đ−ợc gọi là phần tử trung lập trái của T nếu và chỉ nếu ∀∈x X; extT = x. +) Một phần tử ep ∈X đ−ợc gọi là phần tử trung lập phải của T nếu và chỉ nếu ∀∈x X; xeT p = x. +) Nếu e∈X vừa là phần tử trung lập trái vừa là phần tử trung lập phải của T thì e đ−ợc gọi là phần tử trung lập của T. b) Ví dụ Với phép cộng và phép nhân trên các tập số ,,,số 0 là phần tử trung lập của phép cộng (phần tử không). Số 1 là phần tử trung lập của phép nhân (phần tử đơn vị). c) Định lý Nếu một phép toán hai ngôi trên tập hợp X có phần tử trung lập trái và phần tử trung lập phải thì chúng bằng nhau. Chứng minh: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và giả sử T có các phần tử trung lập trái et , trung lập phải ep . Theo định nghĩa 25
  26. extpT,T,==∀∈ xxe x x X. Vì eetp,X;T;T∈ e t e p==⇒= e pt e e p e t e t e p. * Hệ quả: Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập. Chứng minh: Giả sử e, e′ là hai phần tử trung lập của phép toán hai ngôi T trên tập hợp X. Khi đó, vì e là phần tử trung lập eeTT′ = e′′ e= e (1) . Mặt khác e′ là phần tử trung lập nên ee′TT= ee′ = e (2). Từ (1) và (2) ta có ee= ′. 2.1.5. Phần tử đối xứng a) Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X, e là phần tử trung lập của T và a∈X . Một phần tử a′∈X đ−ợc gọi là: +) Phần tử đối xứng phải của a nếu aaT ′ = e. +) Phần tử đối xứng trái của a nếu aa′T = e. +) Phần tử đối xứng của a nếu a' vừa là phần tử đối xứng phải vừa là phần tử đối xứng trái của a. Tức là a' thoả mãn: aa′TT= aa′ = e. b) Ví dụ: +) Đối với phép cộng trên , mọi phần tử đều có phần tử đối xứng đó chính là các phần tử đối của nó. Ví dụ: 2 có phần tử đối xứng là -2. +) Đối với phép nhân trên , mọi phần tử khác 0 đều có phần tử đối xứng, 1 đó chính là phần tử nghịch đảo của nó. Ví dụ: 3 có phần tử đối xứng là . 3 +) Đối với phép nhân trên , chỉ có hai phần tử thuộc có phần tử đối xứng đó là 1 và -1 vì 1.1 = 1; (-1).(-1) = 1 nên phần tử đối xứng của 1 là 1, của -1 là -1. c) Định lí: Giả sử T là phép toán hai ngôi trên tập X và giả sử T có tính chất kết hợp, có phần tử trung lập. Khi đó: i) Nếu a′ và a" t−ơng ứng là các phần tử đối xứng trái và đối xứng phải của một phần tử a∈X thì aa′ = ′′ . ii) Một phần tử a∈X có nhiều nhất một phần tử đối xứng. Chứng minh: i) Giả sử e là phần tử trung lập của T. Theo định nghĩa aaTT′′==⇒== a ′ a e a ′ a ′ TT(T)(T)TT e a ′ aa ′′ = a ′ a a ′′ == ea ′′ a ′′ . 26
  27. ii) Giả sử a∈X có hai phần tử trung lập là a′ và a". Theo chứng minh trên aa′′′= . 2.1.6. Phần tử chính quy a) Định nghĩa: Giả sử T là phép toán hai ngôi trên tập X, a∈X . +) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy bên trái đối với T nếu ∀∈bc, X từ abTT= ac⇒= b c. +) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy bên phải đối với T nếu ∀∈bc, X từ baTTa= c⇒= b c. +) Phần tử a đ−ợc gọi là phần tử chính quy nếu nó vừa là phần tử chính quy bên trái vừa là phần tử chính quy bên phải đối với T. b) Ví dụ +) Mọi phần tử thuộc các tập hợp số đều là phần tử chính quy đối với phép cộng trên các tập đó. +) Mọi phần tử khác 0 thuộc các tập hợp số đều là phần tử chính quy đối với phép nhân trên các tập đó. +) Giả sử phép toán hai ngôi T trên tập X có phần tử trung lập e và có tính chất kết hợp. Khi đó mọi phần thuộc X có phần tử đối xứng đều là phần tử chính quy. Thật vậy, giả sử a∈X có phần tử đối xứng axy′ ⇒∀,X ∈ , giả sử axTT=⇔ ay a′′ T(T)T(T)(T)T(T)T ax = a ay ⇔ a ′′ a x = a a y⇔ exTT= ey ⇔= x y . 2.1.7. Tập con ổn định đối với một phép toán hai ngôi a) Định nghĩa Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và Y là một tập con của X. Tập hợp Y đ−ợc gọi là tập con ổn định đối với phép toán hai ngôi T trên X nếu ∀∈ab,Y, aTY b ∈. Khi đó Y còn đ−ợc gọi là tập con của X đóng kín đối với phép toán T. Nh− vậy phép toán hai ngôi trong X cảm sinh một phép toán hai ngôi trong A. 27
  28. b) Ví dụ +) Tập các số tự nhiên chẵn là ổn định đối với phép cộng và phép nhân trên . +) Tập các số tự nhiên lẻ chỉ ổn định đối với phép nhân trên . 2.1.8. Cấu trúc đại số Một tập hợp trên đó có trang bị một hay nhiều phép toán hai ngôi đ−ợc gọi là một cấu trúc đại số. Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên cùng với phép toán cộng xác định trên nó là một cấu trúc đại số. +) Tập hợp các số thực cùng với phép toán cộng và phép toán nhân xác định trên nó là một cấu trúc đại số. 2.2. Cấu trúc nhóm 2.2.1. Nửa nhóm a) Định nghĩa +) Một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp trên X đ−ợc gọi là một nửa nhóm. +) Một nửa nhóm đ−ợc gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán hai ngôi có tính chất giao hoán. +) Một nửa nhóm đ−ợc gọi là một vị nhóm nếu phép toán hai ngôi có phần tử trung lập. +) Một nửa nhóm có số phần tử hữu hạn đ−ợc gọi là nửa nhóm hữu hạn. b) Ví dụ : +) Tập các số tự nhiên cùng với phép cộng là một vị nhóm giao hoán. Phần tử trung lập là 0. +) Tập các số tự nhiên cùng với phép nhân là một vị nhóm giao hoán, phần tử trung lập là 1 (còn gọi là phần tử đơn vị). +) Tập P(X) các tập con của tập hợp X cùng với phép hợp là vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là ∅ . 28
  29. +) Tập P(X) cùng với phép giao là vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là X. +) 3 cùng với phép cộng abab+ =+ là một vị nhóm giao hoán, hữu hạn. 2.2.2. Nhóm a) Định nghĩa: Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi xác định trên X đ−ợc gọi là một nhóm nếu: i) X là một vị nhóm. ii) Mỗi phần tử a∈X đều có phần tử đối xứng a′∈X. Cách khác: Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi xác định trên X đ−ợc gọi là một nhóm nếu: i) Phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp. ii) Phép toán hai ngôi có phần tử trung lập. iii) Mỗi phần tử a∈X đều có phần tử đối xứng a′∈X. Nếu phép toán hai ngôi trên X là giao hoán thì nhóm X đ−ợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel). Nếu X là tập hữu hạn phần tử thì nhóm X đ−ợc gọi là nhóm hữu hạn và số phần tử của X đ−ợc gọi là cấp của nhóm X. b) Ví dụ +) Tập các số nguyên cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán. +) Tập các số nguyên cùng với phép nhân không là một nhóm (vì có những phần tử thuộc không tồn tại phần tử đối xứng thuộc , chẳng hạn 2∈ không có phần tử nào thuộc để 2 nhân với nó bằng 1). +) Tập chỉ gồm một phần tử {0} cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán, hữu hạn. +) Tập chỉ gồm một phần tử {1}cùng với phép nhân là một nhóm giao hoán hữu hạn. +) Tập hợp {1,−− 1,ii , }với i2 = −1 cùng phép toán nhân đ−ợc cho bởi bảng 29
  30. sau là một nhóm giao hoán, hữu hạn: 1 -1 i -i Phần tử đơn vị là 1 1 1 -1 i -i Phần tử nghịch đảo của 1 là 1 -1 -1 1 -i i Phần tử nghịch đảo của -1 là -1 i i -i -1 1 Phần tử nghịch đảo của i là -i -i -i i 1 -1 Phần tử nghịch đảo của –i là i +) p =−{0,1,2, ,p 1} cùng với phép cộng abab+ =+ là một nhóm giao hoán. 2.2.3. Một số tính chất a) Mệnh đề Giả sử G là một nhóm, R là phép toán hai ngôi trên G. Khi đó: a) Giả sử ab,G∈ có phần tử đối xứng là ab′, ′ . Khi đó abR có phần tử đối xứng là ba′′R . b) Mọi phần tử đều là phần tử chính quy hay ∀∈abc,, G: abRR=⇒==⇒= ac b cbaca ;RR b c. Nói cách khác, phép toán hai ngôi R trong G thoả mãn luật giản −ớc. Chứng minh a) Thật vậy, chỉ cần chứng minh ba′R ′ là phần tử đối xứng của abR . Giả sử e là phần tử trung lập của G (baabbaabbebbbe′′ R )R( R )=== ′ R( ′ R )R ′ R( R ) ′ R . T−ơng tự, (R)R(Rab b′ a′′′ )= e⇒ b R a là phần tử đối xứng của abR . b) Nếu abR=⇔ ac R a′ R( ab R ) = a′′′ R( ac R ) ⇔ ( a R a )R b = ( a R a )R c ⇔=⇔=ebRR ec b c. T−ơng tự, baRR=⇒= ca b c. b) Định lí 1 Cho G là một nửa nhóm. Các mệnh đề sau t−ơng đ−ơng: 30
  31. a) G là một nhóm. b) G có phần tử trung lập trái và mỗi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng trái. c) G có phần tử trung lập phải và mỗi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng phải. Chứng minh: (a ⇒ b) Hiển nhiên vì nếu G là một nhóm thì G có phần tử trung lập do đó G có phần tử trung lập trái và vì mọi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứng nên chúng có phần tử đối xứng trái. (b ⇒ c) Giả sử G có phần tử trung lập trái et và a∈G có phần tử đối xứng trái a′, a′ có phần tử đối xứng trái là a′′. Khi đó: aaeeaaaa′′′′R;R;R==tt = e. ⇒=aaeaaaaaaaaaaaR′t R(R) ′ = (R)R(R) ′′ ′ ′ = ′′ R(R)R ′ ′ = ′′ R(eR)t aaae ′ = ′′ R ′ = ⇒ a′ cũng là phần tử đối xứng phải của a ⇒ aeRR(R)(R)RRtt=== a a′′ a aa a e a a ⇒ et cũng là phần tử trung lập phải của R. (c ⇒ a) Hoàn toàn t−ơng tự (b ⇒ c) ta chứng minh đ−ợc G có phần tử trung lập và mọi phần tử đều có phần tử đối xứng ⇒ G là một nhóm. b) Định lí 2 Cho G là một nửa nhóm khác rỗng. G là một nhóm khi và chỉ khi các ph−ơng trình axR = b và ybRa = , ∀ab,G∈ có nghiệm. Chứng minh: (⇒) Giả sử G là một nhóm và e là phần tử trung lập của G và mọi ∀∈ab,G, tồn tại ab′′, t−ơng ứng là phần tử đối xứng của ab, . Khi đó, từ axbRR(R)R(R)RRRRR=⇒ a′′′′ ax =⇔ ab aa xab =⇔=⇔= exab ′ xab ′ T−ơng tự, yba= R ′ . Do đó các ph−ơng trình axR = b và ybRa = , ∀∈ab,G có nghiệm. (⇒) Giả sử các ph−ơng trình axR = b và ybRa = có nghiệm với mọi ∀∈ab,G. Khi đó, vì G ≠∅⇒ với a∈G ph−ơng trình axR = a có nghiệm. Giả 31
  32. sử x = e . Khi đó, với mỗi b∈G vì ph−ơng trình yaR = b có nghiệm ⇒ beR(R)RR(R)R=== ya e y ae ya b, ∀be∈⇒G là phần tử trung lập phải của G. Với mỗi a∈G ph−ơng trình axR = e có nghiệm ⇒ ∃∈c G sao cho acR =⇒ e a có phần tử đối xứng phải là c. Theo định lí 1, G là một nhóm. 2.2.4. Nhóm con a) Định nghĩa: Một tập con A của một nhóm X đ−ợc gọi là nhóm con của X nếu A ổn định đối với phép toán trên X và A cùng với phép toán trên X cảm sinh trên nó là một nhóm. b) Ví dụ : Tập các số nguyên cùng với phép cộng là nhóm con của nhóm các số thực với phép cộng. c) Định lý Giả sử A là một tập con của một nhóm X, T là phép toán hai ngôi trong X. A là nhóm con của nhóm X khi và chỉ khi các điều kiện sau đ−ợc thỏa mãn: i) Với mọi ab,,∈∈ AaTb A . ii) eA∈ , với e là phần tử trung lập của X iii) Với mọi aAaA∈∈,.' 2.3. Cấu trúc vành 2.3.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một vành nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn: +) X cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán. +) X cùng với phép nhân là một vị nhóm. + Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x,,yz∈ Xta có: x.(yz+= ) zyxz . + . 32
  33. yx.(+= z ) yxyz . + . Phần tử trung lập của phép cộng th−ờng kí hiệu là 0 và đ−ợc gọi là phần tử không. Phần tử trung lập của phép nhân th−ờng kí hiệu là 1 và đ−ợc gọi là phần tử đơn vị. Phần tử đối xứng của một phần tử x (đối với phép cộng) th−ờng kí hiệu là -x và đ−ợc gọi là phần tử đối của x. Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì vành X đ−ợc gọi là vành giao hoán. * Chú ý: Định nghĩa vành có thể đ−ợc phát biểu một cách t−ờng minh nh− sau: Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một vành nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn: 1) Phép cộng có tính chất kết hợp. 2) Phép cộng có phần tử trung lập. 3) Mỗi phần tử a∈X đều có phần tử đối xứng a′∈X đồi với phép cộng. 4) Phép cộng có tính chất giao hoán. 5) Phép nhân có tính chất kết hợp. 6) Phép nhân có phần tử trung lập. 7) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x,,yz∈ Xta có: x.(yz+= ) zyxz . + . yx.(+= z ) yxyz . + . 2.3.2. Ví dụ +) Tập hợp các số nguyên với phép cộng và phép nhân thông th−ờng là một vành giao hoán và gọi là vành các số nguyên. +) Vành các số hữu tỉ . +) Vành các số thực . +) Vành các số phức . 33
  34. 2.3.3. Định lí Cho X là một vành, với mọi x,,yz∈ X ta có: i) x()yz−= xyxzyzxyxzx − ;() − = −. ii) 0x = x0 = 0. iii) x(−y) = (−x)y = −xy, (−x)(−y) = xy . Chứng minh: i) x(y − z) = xy − xz . Thật vậy, theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta có: xyxy=+=+−=−+=−+(0)(( xyzz ))(())( xyz z xyzxz ) ⇒−=xy xz x() y −+−⇒−= z xz xz xy xz x () y − z . ii) Theo i) ta có 0x = (y − y)x = yx − yx = 0 = xy − xy = x(y − y) = x0 . iii) Từ i) và ii) ta có: x(−=yx ) (0 −=−=−=−=−=− yxxyxyxyyxyxyxy ) 0 0 0 (0 ) =− ( ) ⇒−()()()x −yxyxyxy =−− =−− ( ) = . Đặc biệt với mọi số nguyên n, (−x) n = x n nếu n chẵn và (−x) n = −x n nếu n lẻ. 2.3.4. Ước của không a) Định nghĩa 1 Giả sử X là một vành giao hoán. a, b là các phần tử của X. a đ−ợc gọi là bội của b (hay a chia hết cho b) nếu ∃c ∈ X sao cho a = bc, kí hiệu: aMb . Khi đó b đ−ợc gọi là −ớc của a, kí hiệu: b a . b) Định nghĩa 2 X là một vành. Một phần tử aXa∈ ,0≠ đ−ợc gọi là −ớc của 0 nếu ∃∈bXb,0 ≠ sao cho ab = 0. c) Ví dụ: 6 = {0,1,2,3,4,5}cùng với 2 phép toán a + b = a + b , ab = ab là một vành giao hoán. 2, 3 là −ớc của 0 trong vành 6 . 34
  35. 2.3.5. Miền nguyên a) Định nghĩa: Một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, không có −ớc của 0 đ−ợc gọi là miền nguyên. b) Ví dụ +) là một miền nguyên. +) p với mọi p là số nguyên tố là một miền nguyên. 2.3.6. Vành con a) Định nghĩa: Cho X là một vành, A là một tập con của X ổn định đối với 2 phép toán trong X (tức là abAabAabA+ ∈∈∀∈,. , , ). A đ−ợc gọi là vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành. b) Ví dụ: Tập các số nguyên là một vành con của vành các số thực . c) Định lý: Giả sử A là một tập con khác rỗng của một vành X. Các mệnh đề sau t−ơng đ−ơng: i) A là vành con của X. ii) Với mọi ab,,∈+∈∈−∈ Aa b Aab ,., A a A . iii) Với mọi ab,,∈−∈∈ Aa b Aab , A 2.4. Cấu trúc tr−ờng 2.4.1. Phần tử nghịch đảo a) Định nghĩa: Giả sử X là một vành. Một phần tử x ∈ X đ−ợc gọi là khả nghịch nếu ∃ y ∈ X : xy = 1. Khi đó y đ−ợc gọi là phần tử nghịch đảo của x và th−ờng kí hiệu là y = x −1 . b) Ví dụ: Tập các số thực với các phép toán cộng và nhân thông th−ờng là 1 một vành giao hoán. ∀∈xx,0, ≠ là phần tử nghịch đảo của x. x 2.4.2. Tr−ờng a) Định nghĩa: Một vành X giao hoán có nhiều hơn một phần tử, đ−ợc gọi là 35
  36. một tr−ờng nếu X - {}0 là một nhóm đối với phép nhân trong X. Nói cách khác: Cho X là một miền nguyên. Nếu mọi phần tử khác 0 trong X đều có phần tử nghịch đảo thì X đ−ợc gọi là một tr−ờng. * Chú ý: Định nghĩa vành có thể đ−ợc phát biểu một cách t−ờng minh nh− sau: Cho X là một tập hợp có nhiều hơn một phần tử trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một tr−ờng nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn: 1) Phép cộng có tính chất kết hợp. 2) Phép cộng có phần tử trung lập. 3) Mỗi phần tử a∈X đều có phần tử đối xứng a′∈X đồi với phép cộng. 4) Phép cộng có tính chất giao hoán. 5) Phép nhân có tính chất kết hợp. 6) Phép nhân có phần tử trung lập. 7) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x,,yz∈ Xta có: x.(yz+= ) zyxz . + . yx.(+= z ) yxyz . + . 8) Phép nhân có tính chất giao hoán. 9) Mọi phần tử khác 0 thuộc X đều có phần tử nghịch đảo. b) Ví dụ +) Tập hợp số thực, tập hợp số phức, tập hợp số hữu tỷ cùng với các phép toán cộng và nhân đều là tr−ờng. +) Vành 5 là tr−ờng. ( p , với p nguyên tố là tr−ờng). +) 4 không là tr−ờng vì phần tử 2∈ 4 không khả nghịch. 2.4.3. Tr−ờng con a) Định nghĩa: Giả sử K là một tr−ờng, L ⊂ K. L đ−ợc gọi là tr−ờng con của K nếu: +) L ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong K. +) L cùng với hai phép toán của K cảm sinh trên nó là một tr−ờng. 36
  37. b) Định lí: Giả sử K là một tr−ờng, L ⊂ K, L có nhiều hơn hai phần tử. Khi đó các mệnh đề sau t−ơng đ−ơng: i) L là một tr−ờng con của K ii) ∀x, y ∈ L , x + y ∈ L , xy ∈ L , − x ∈ L , x −1 ∈ L . iii) ∀x, y ∈ L , x − y ∈ L , xy −1 ∈ L nếu y ≠ 0. Bμi tập ch−ơng 2 1. Xét xem các quy tắc d−ới đây có phải là những phép toán hai ngôi trên tập hợp số tự nhiên không? Nếu có hãy xét xem chúng có những tính chất gì? Có phần tử trung lập, phần tử chính quy không? Những phần tử nào thuộc có phần tử đối xứng? a) T: (x, y) a x + 3y +1 2 2 b) R: (x, y) a x + 2xy + y c) S: (x, y) a x 2. Xét xem các quy tắc d−ới đây có phải là những phép toán hai ngôi trên tập hợp số thực không? Nếu có hãy xét xem chúng có những tính chất gì? Có phần tử trung lập, phần tử chính quy không? Những phần tử nào thuộc có phần tử đối xứng? x + y a) T: (x, y) a 2 b) R: (x, y) a x − y +1 2 c) S: (,x yxxy )a −+ 1 3. Xác định các phần tử trung lập trái (phải) đối với các phép toán hai ngôi cho ở các bảng sau và tìm các phần tử đối xứng của các phần tử (nếu có). a b c d x y z t a a b c d x x x x x 37
  38. b a b c d y x y z t c d d d d z x z x z d d d d d t x t t x 4. Trên tập các số nguyên cho phép toán ⊕ xác định bởi ∀∈ab, a ⊕ b = a + b + ab . Hãy tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng của mỗi phần tử thuộc . 5. Những tập hợp nào sau đây cùng với phép toán cho trong đó lập thành một nhóm? a) Tập các số nguyên bội k với phép cộng. b) Tập các số thực d−ơng với phép nhân. c) Tập các số thực với phép trừ. m d) Tập các số hữu tỉ có dạng a ; am, ∈ với phép nhân. e) Tập hợp các đa thức một ẩn bậc n với phép cộng đa thức. f) M(,):,,=∈≠{ ab ab a 0} với phép toán (*) cho bởi: (a,b) *(c,d) = (ac,ad + b). ⎡⎤ g) ⎣⎦22:,=+{ab ab ∈} với phép cộng. h) P(X) , X ≠ ∅ với phép toán hiệu đối xứng: X1 ữ X 2 = (X 2 \ X1 ) U (X1 \ X 2 ) . 6. Tập M = {}a,b,c cùng với một trong hai phép toán T1, T2 cho trong các bảng d−ới đây có lập thành một nhóm không? T1 a b c T2 abc a b a c a a b c b b c a b c a b c c a b c b c a 7. Chứng minh rằng: Tập các số hữu tỉ , tập số thực , tập số phức là những vành giao hoán có đơn vị. 8. Chứng minh rằng: 38
  39. a) 66z,z=∈{ } không là một vành. ⎡⎤ b) ⎣⎦22:,=+{ab ab ∈} là một vành giao hoán. 9. Chứng minh rằng: ì với hai phép toán: (,)abcd+=++ (, ) ( acbd , ) (,)(,ab cd )= ( acbd , ) là một vành giao hoán. 10. Chứng minh rằng: 7 là một tr−ờng. 39
  40. Ch−ơng 3: Định thức, ma trận, hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.1. Ma trận 3.1.1. Định nghĩa: Cho mn, ∈ . Một bảng gồm mnì số (thực hoặc phức) sắp thành m dòng, n cột, kí hiệu: ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎡ aa11 12 a 1n ⎤ ⎜⎟aa a ⎢aa a⎥ A = ⎜⎟21 22 2n hoặc A = ⎢ 21 22 2n ⎥ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎟⎢ ⎥ ⎝⎠aamm12 a mn ⎣aamm12 a mn⎦ đ−ợc gọi là một ma trận cỡ (,)mn(hoặc mnì ). Trong đó: +) aij với mọi 1,1≤≤im ≤ jn ≤ đ −ợc gọi là phần tử nằm ở dòng thứ i, cột thứ j của ma trận A. i, j đ−ợc gọi t−ơng ứng là chỉ số dòng và chỉ số cột của phần tử aij . +) m, n đ−ợc gọi t−ơng ứng là số dòng, số cột của ma trận A Ma trận A cỡ (m, n) có phần tử nằm ở dòng thứ i, cột thứ j đ−ợc ký hiệu là Aa==()ij mì n () a ij(,) m n . +) Nếu mn≠ thì A đ−ợc gọi là ma trận (chữ nhật) cỡ (m, n). mn= thì A đ−ợc gọi là ma trận vuông cấp n. m=1 thì A đ−ợc gọi là ma trận dòng. n =1 thì A đ−ợc gọi là ma trận cột. +) Nếu aij ∈ với mọi 1,1≤ im≤≤≤ jn thì A đ−ợc gọi là ma trận thực. Nếu aij ∈ với mọi 1,1≤ im≤≤≤ jn thì A đ−ợc gọi là ma trận phức. Kí hiệu: Mat(m,n) là tập các ma trận cỡ (m,n). ⎛⎞102 *) Ví dụ: +) A = ⎜⎟ là một ma trận chữ nhật cỡ (2,3) với các phần tử ⎝⎠−−23 1 aaaa11==1; 12 0; 13 = 2; 21 =−= 2; aa 22 3; 23 =− 1. 40
  41. ⎛⎞13 +) A = ⎜⎟ là ma trận vuông cấp 2 với các phần tử aa11==1; 12 3; ⎝⎠24 aa21==2; 22 4 . +) A =−()1203 là ma trận dòng cỡ (1, 4). ⎛⎞0 ⎜⎟ +) A = ⎜⎟1 là ma trận cột cỡ (3,1). ⎜⎟ ⎝⎠2 Từ đây về sau ta chỉ xét các ma trận thực. 3.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt a) Ma trận không Định nghĩa: Một ma trận mà mọi phần tử đều bằng không đ−ợc gọi là ma trận không, kí hiệu: 0. ⎛⎞0 0 ⎛⎞0 ⎛⎞0 0 0 Ví dụ: A = ⎜⎟, B = ⎜⎟, C = ⎜⎟ ⎝⎠0 0 ⎝⎠0 ⎝⎠0 0 0 b) Ma trận chéo Định nghĩa: Một ma trận vuông cấp n A = ()aij đ−ợc gọi là ma trận chéo nếu ⎛⎞a11 0 0 ⎜⎟ 0 a 0 a = 0 ∀≠ij, tức là A có dạng A = ⎜⎟22 . Đ−ờng thẳng đi qua a ij ⎜⎟ ii ⎜⎟ ⎝⎠ 0 0 ann đ−ợc gọi là đ−ờng chéo, các phần tử aii đ−ợc gọi là phần tử chéo của ma trận A. ⎛⎞100 ⎛⎞1 0 ⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟; A = ⎜⎟000 ⎝⎠0 -1 ⎜⎟ ⎝⎠002 c) Ma trận đơn vị Định nghĩa: Một ma trận chéo mà mọi phần tử chéo aii đều bằng 1 đ−ợc gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu I (hoặc In nếu muốn chỉ rõ cấp của I ). 41
  42. Nói cách khác: ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử aii đều bằng 1, mọi phần tử aij , ∀≠ij đều bằng 0 đ−ợc gọi là ma trận đơn vị. ⎛⎞1 0 0 ⎛⎞1 0 ⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟, B = ⎜⎟0 1 0 , C = (1) . ⎝⎠0 1 ⎜⎟ ⎝⎠0 0 1 d) Ma trận tam giác Định nghĩa: Ma trận vuông cấp n A = ()aij đ−ợc gọi là ma trận tam giác trên (d−ới) nếu aij = 0, ∀>ij (∀<ij) ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎛⎞a11 0 0 0 ⎜⎟⎜⎟ 0aa aa 0 0 ⎜⎟22 2n ⎜⎟21 22 Tổng quát: AA==⎜⎟ ; ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ aa 0 ⎜⎟0 0 aa(1)(1)nn−− (1) nn − ⎜⎟(1)1nnn−−− (1)(1) ⎜⎟⎜⎟aa a a ⎝⎠0 0 0 ann ⎝⎠nn12 nnnn (1)− Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác d−ới ⎛⎞1 2 1 ⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟0 2 -1 là ma trận tam giác trên. ⎜⎟ ⎝⎠0 0 3 ⎛⎞ 1 0 0 ⎜⎟ B = ⎜⎟-1 2 0 là ma trận tam giác d−ới. ⎜⎟ ⎝⎠ 4 1 -2 3.1.3. Hai ma trận bằng nhau a) Định nghĩa Hai ma trận A, B đ−ợc gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử ở cùng vị trí đều bằng nhau, tức là Aa= ()ij mì n , Bb= () ij mì n và aij = bij ∀i = 1,m , ∀j = 1,n . Kí hiệu: A = B . b) Ví dụ ⎛⎞⎛⎞1 2 -3 1 2 a ⎜⎟⎜⎟ AB==⎜⎟⎜⎟0 1 - 2 ; 0 1 b thì A = Ba⇔=−=−=−3; b 2; c 1. ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠3 0 -1 3 0 c 42
  43. 3.1.4. Cộng ma trận a) Định nghĩa: Cho hai ma trận cùng cỡ Aa= ()ij mì n , Bb= () ij mì n . Tổng của hai ma trận A, B kí hiệu là A + B là ma trận Cc= ()ij mì n xác định bởi: cabij=+ ij ij ∀i = 1,m , ∀j = 1,n . Nhận xét: Tổng hai ma trận cùng cỡ là một ma trận cùng cỡ đó mà phần tử ở dòng thứ i cột j bằng tổng của các phần tử ở dòng i cột j của hai ma trận đã cho. ⎛⎞⎛⎞⎛⎞10 21 31 b) Ví dụ: +) ⎜⎟⎜⎟⎜⎟+=. ⎝⎠⎝⎠⎝⎠−13 42 35 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞12−− 1 2 10 31 − 1 +) ⎜⎟⎜⎟⎜⎟+= ⎝⎠⎝⎠⎝⎠034−−− 312 322 c) Tính chất : Với A, B, C là các ma trận cùng cỡ, dễ thấy: +) A + B = B + A, +) A + 0 = 0 + A = A. +) Cho Aa= ()ij mì n . Kí hiệu −Aa=−()ij mì n ⇒ A + (- A) = (- A) + A = 0 +) A + (B + C) = (A + B) + C. Chú ý. Tập Mat (m,n) cùng với phép cộng hai ma trận là một nhóm giao hoán. 3.1.5. Nhân một số với một ma trận a) Định nghĩa: Cho ma trận Aa= ()ij mì n và k ∈ . Ma trận (.kaij ) mì n đ−ợc gọi là tích của ma trận A với số k kí hiệu là kA mà các phần tử là ka. ij , ∀i = 1,m , ∀j = 1,n . *) Nhận xét: Nhân một ma trận với một số ta nhân tất cả các phần tử của ma trận với số đó. ⎛⎞⎛⎞12 48 b) Ví dụ: 4.⎜⎟⎜⎟= ⎝⎠⎝⎠−−10 40 c) Tính chất: ∀A, B cùng cỡ, kh, ∈ , từ tính chất của các phép toán trên tập các số thực ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau: +) k.(A + B) = k.A + .kB. 43
  44. +) (k + h).A = k.A + h.A. +) k.(h.A) = (k.h).A. +) 1.A = A, 0.A = 0 (ma trận không cùng cỡ với A). +) k.0 = 0 (ma trận không). 3.1.6. Nhân ma trận với ma trận a) Định nghĩa: Cho hai ma trận Aa= ()ij mì n , Bb= ( jk ) nì p . Ma trận Cc= ()ik mì p n xác định bởi cabimkpik=∀==∑ ij jk ,1,;1, đ−ợc gọi là tích của hai ma trận A, B j=1 theo thứ tự đó và kí hiệu A.B hoặc Aì B . * Nhận xét: +) Phần tử ở dòng i cột k của ma trận tích A.B bằng tổng của các tích của các phần tử trên dòng i của ma trận A t−ơng ứng với các phần tử trên cột k của ma trận B. +) Để có tích A.B số cột của ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B. b) Ví dụ ⎛⎞10 ⎛⎞ 10 ⎛⎞ 12 ⎜⎟⎛⎞12 ⎜⎟ ⎛⎞ 12 ⎜⎟ +) AB==⇒==⎜⎟2 1,⎜⎟ AB . ⎜⎟ 2 1 ⎜⎟ ⎜⎟ 1 7 . ⎜⎟⎝⎠−−13 ⎜⎟ ⎝⎠ 13 ⎜⎟ ⎝⎠-1 1 ⎝⎠ -1 1 ⎝⎠ -2 1 Không có tích B.A vì số cột của B là 2 khác số dòng của A là 4. ⎛⎞⎛⎞10 0− 2 ⎛⎞ 0−− 2 ⎛ 2 4 ⎞ +) AB==⇒==⎜⎟⎜⎟;.;. ABBA ⎜⎟ ⎜ ⎟. ⎝⎠⎝⎠−−12 1 3 ⎝⎠ 2 8 ⎝ 2 6 ⎠ ⎛⎞⎛12 2−−− 6 ⎞ ⎛⎞ 00 ⎛ 1020 ⎞ +) AB==⇒==⎜⎟⎜;.;. ⎟ ABBA ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠⎝24− 1 3 ⎠ ⎝⎠ 00 ⎝ 5 10 ⎠ c) Chú ý +) Có thể có tích A.B nh−ng ch−a chắc có tích B.A. +) Có cả tích A.B và B.A nh−ng ch−a chắc A.B = B.A. +) Có những ma trận A ≠ 0 , B ≠ 0 nh−ng A.B = 0. +) Tập hợp các ma trận vuông cùng với phép cộng hai ma trận và phép nhân nhân hai ma trận tạo thành một vành không giao hoán. 44
  45. d) Tính chất +) A.(B.C) = (A.B).C. +) A.(B + C) = A.B + A.C. +) (A + B).C = A.C + B.C. +) I.A = A; A.I = A. 3.1.7. Ma trận chuyển vị của một ma trận a) Định nghĩa Cho A = (aij ) là ma trận cỡ (m, n). Một ma trận B = ()bji cỡ (n, m) mà aij = b ji ∀i = 1,m , ∀ j = 1,n (phần tử ở dòng j cột i của ma trận B bằng phần tử ở dòng i cột j của ma trận A) đ−ợc gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A và kí hiệu B = At . Hay nói cách khác: Cho A là một ma trận cỡ (m,n). Một ma trận B cỡ (n,m) có đ−ợc từ ma trận A bằng cách đổi dòng thành cột (và do đó cột thành dòng) đ−ợc gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. ⎛1 −1⎞ t ⎛ 1 0⎞ b) Ví dụ : +) A = ⎜ ⎟ ⇒ A = ⎜ ⎟ . ⎝0 2 ⎠ ⎝−1 2⎠ ⎛1 4⎞ ⎜ ⎟ t ⎛1 2 3⎞ +) A = ⎜2 5⎟ ⇒ A = ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝4 5 6⎠ ⎝3 6⎠ ⎛⎞1 ⎜⎟ t +) AA=⇒=⎜⎟2123() ⎜⎟ ⎝⎠3 3.1.8. Ma trận khả nghịch a) Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông cấp n. A đ−ợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho A.B = B.A = In. Khi đó ma trận B đ−ợc gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu: B = A−1 . b) Ví dụ 45
  46. +) Ma trận đơn vị I là khả nghịch và ma trận nghịch đảo của I chính là I. ⎛ 1 2⎞ ⎛ 0 −1⎞ +) A = ⎜ ⎟ ⇒ A−1 = ⎜ 1 1 ⎟ . ⎜−1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ c) Các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một ma trận - Đổi chỗ hai dòng của ma trận. - Nhân các phần tử trên một dòng của ma trận với cùng một số khác 0. - Cộng vào các phần tử của một dòng của ma trận các phần tử t−ơng ứng của dòng khác sau khi đã nhân với cùng một số thực khác 0. d) Hai ma trận t−ơng đ−ơng Ma trận B đ−ợc gọi là t−ơng đ−ơng với ma trận A nếu B có đ−ợc từ A sau một số kế tiếp các phép biến đổi sơ cấp. Kí hiệu: A ∼ B. e) Cách tìm ma trận nghịch đảo *) Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp Cho A là một ma trận vuông cấp n, để tìm ma trận nghịch đảo của A ta làm nh− sau: - Viết ma trận đơn vị cùng cấp bên cạnh ma trận A. - Dùng các phép biến đổi sơ cấp tác động đồng thời lên các dòng của ma trận A và ma trận đơn vị. - Khi các phép biến đổi sơ cấp biến ma trận A thành ma trận đơn vị thì chúng đồng thời biến ma trận đơn vị thành ma trận nghịch đảo của ma trận A. ⎛ 1 4⎞ *) Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜ ⎟ . ⎝−1 2⎠ ⎛ 2 4 ⎞ ⎛ 1 4 1 0⎞ ⎛1 4 1 0⎞ ⎛1 4 1 0 ⎞ ⎜1 0 − ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ 1 1 ⎟ → ⎜ 6 6 ⎟ ⎜−1 2 0 1⎟ ⎜0 6 1 1⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎜0 1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 6 6 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 6 6 ⎠ ⎛ 2 4 ⎞ ⎜ − ⎟ ⇒ A−1 = ⎜ 6 6 ⎟ . ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 6 ⎠ f) Tính chất 46
  47. i) Cho A, B là các ma trận vuông cấp n, khả nghịch. Khi đó A.B cũng khả nghịch và ()A BBA−1 = −11− . ii) Cho A là ma trận vuông cấp n, khả nghịch. Khi đó: +) A−1 cũng khả nghịch và ()A−−11= A. m * m −−11m +) A (m∈ ) cũng khả nghịch và ()AA= ( ) . +) Với mọi số kk∈ ;0≠ ta có kA cũng khả nghịch và 1 (.kA )−11= . A− . k iii) Cho A là một ma trận khả nghịch. Khi đó At cũng khả nghịch và −1 t ()AAt = ( −1 ) . 3.2. Định thức 3.2.1. Ma trận con ứng với một phần tử a) Định nghĩa: Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Kí hiệu M ij là ma trận có đ−ợc từ ma trận A khi bỏ đi dòng thứ i, cột thứ j . Khi đó M ij là ma trận vuông cấp n – 1. M ij đ−ợc gọi là ma trận con của ma trận A ứng với phần tử aij . ⎛ a11 a12 ⎞ b) Ví dụ : +) A = ⎜ ⎟ ⇒ M 11 = (a22 ) , M 21 = (a12 ) , M 12 = (a21 ) , M 22 = (a11 ) . ⎝a21 a22 ⎠ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛a22 a23 ⎞ ⎛⎞aa11 12 +) A = ⎜a21 a22 a23 ⎟ ⇒ M 11 = ⎜ ⎟ ; M = ; ⎜a a ⎟ 23 ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 32 33 ⎠ ⎝⎠aa31 32 ⎝a31 a32 a33 ⎠ 3.2.2. Định thức của một ma trận vuông a) Định nghĩa: Định thức của ma trận vuông A cấp n kí hiệu là detA hoặc A đ−ợc định nghĩa nh− sau: +) Nếu A là ma trận vuông cấp 1 tức A = (a11 ) thì det A = a11 . ⎛ a11 a12 ⎞ +) Nếu A là ma trận vuông cấp 2 tức A = ⎜ ⎟ thì ⎝a21 a22 ⎠ 47
  48. detA =−=−aMaMaaaa11 det 11 12 det 12 11 22 12 21 . +) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì n+1 det A = a11 det M 11 − a12 det M 12 + a13 det M 13 − a14 det M 14 + + (−1) a1n det M 1n (*) Định thức của ma trận vuông cấp n đ−ợc gọi là định thức cấp n, ký hiệu aa11 12 a 1n aa a 21 22 2n aann12 a nn Chú ý: +) Định thức của một ma trận vuông là một số. +) Trong công thức nêu trên các phần tử a11 ,a12 , ,a1n là các phần tử cùng nằm trên dòng thứ nhất của ma trận A và công thức (*) đ−ợc gọi là công thức khai triển định thức theo dòng 1. +) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo dòng i, 1≤≤inlà n ij+ detA =−∑ ( 1) .aMij .det ij . i=1 ⎛⎞aaa11 12 13 ⎜⎟ A = aaa +) Nếu A là ma trận vuông cấp 3, ⎜⎟21 22 23 thì từ (*) ta có: ⎜⎟ ⎝⎠aaa31 32 33 det A =++−−−aaa11 22 33 aaa 12 23 31 aaa 13 32 21 aaa 11 23 32 aaa 22 13 31 aaa 33 12 21 *) Các quy tắc nhớ công thức tính định thức cấp 3 - Quy tắc tam giác: aaa11 12 13 aaa11 12 13 aaa21 22 23 aaa21 22 23 aaa31 32 33 aaa31 32 33 - Quy tắc hình bình hành aaa11 12 13 aaaaa11 12 13 11 12 aaaa21 22 23 21 aaaa21 22 23 21 aaaaa31 32 33 31 32 aaa31 32 33 - Ngoài ra để tính định thức cấp 3 ta có thể khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột hoặc dùng công thức hạ bậc: 48
  49. detM .detMMM− det .det det A = 11 33 13 31 . a22 b) Ví dụ +) AA=⇒=()3 det 3, =−⇒=−( 1) det 1 ⎛⎞11− +) AA=⇒=−−=⎜⎟det 1.3 2.( 1) 5 ⎝⎠23 ⎛⎞124− ⎜⎟ +) AA=⇒=+−+−−−−−−⎜⎟0 3 1 det 1.3.0 ( 2).1.2 4.0.( 1) 2.3.4. 1.1.( 1) ( 2).0.0 ⎜⎟ ⎝⎠210− =−4241 − + =− 27 c) Tính chất của định thức +) det A = det At Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu đối với dòng của định thức thì cũng đúng khi trong phát biểu đó ta thay chữ dòng bằng chữ cột. +) Đổi chỗ hai dòng của một định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. +) Một định thức có hai dòng bằng nhau (hoặc tỉ lệ) thì định thức bằng 0. +) Nếu ta nhân vào các phần tử của cùng một dòng của định thức với cùng một hệ số k thì ta đ−ợc định thức mới bằng k định thức lần định thức đã cho. Hệ quả: Khi định thức có một dòng có một thừa số chung thì có thể đ−a thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức. +) Một định thức có một dòng hay một cột gồm toàn số 0 thì định thức đó bằng 0. +) Khi tất cả các phần tử trên một dòng của một định thức đều có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích đ−ợc thành tổng của hai định thức cùng cấp. Tức là: aa11 1n aaaa11 1nn 11 1 Da=+i11 a i′′ a in + a in thì Da=+iiniin11 a a′ a′ aannn1 aaaannnnnn11 49
  50. +) Nếu một định thức có một dòng là tổng của một số dòng khác (của định thức đó) thì định thức đó bằng 0. +) Nếu ta cộng vào một dòng của định thức một dòng khác sau khi đã nhân với một số k thì định thức không thay đổi. d) Cách tính định thức Công thức (*) trong định nghĩa định thức còn đ−ợc gọi là công thức khai triển theo một dòng của định thức. Từ tính chất a) ta có công thức khai triển theo cột của định thức. +) Cách 1: khai triển theo một dòng (cột) để đ−a việc tính định thức về việc tính các định thức cấp thấp hơn. 13− 1 Ví dụ: Tính định thức D =−10 4 220− Khai triển định thức theo dòng 2 ta đ−ợc: 31−− 11 13 D =−(1).(1).21+++ − +− (1).0. 22 +− (1).4. 23 −−20 20 2 2 =−24.(8)30 − − = *) Cách 2: dùng các phép biến đổi sơ cấp để đ−a định thức về dạng tam giác từ đó dễ dàng tính đ−ợc định thức. 13−−− 1131131 Ví dụ: D =−10 4 = 03 3 = 0331.3.1030 = = 2200820010−− 3.2.3. Ma trận phụ hợp ~ a) Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A = (Aij ) trong đó i+ j Aij = (−1) M ij đ−ợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. ⎛ −1 1⎞ 2 3 b) Ví dụ: +) A = ⎜ ⎟ ⇒ A11 = (1)3−= 3, A12 =−(1) − 2 = 2, ⎝− 2 3⎠ 3 4 ~ ⎛ 3 2 ⎞ A21 =−(1)1 =− 1, A22 =−(1) − 1 =− 1 ⇒ A = ⎜ ⎟ ⎝−1 −1⎠ 50
  51. ⎛ 1 4 − 2⎞ ⎜ ⎟ +) A = ⎜−1 2 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 3 −1⎠ 21 −11 −12 A =−(1)2 =− 5; A = (1)−=−3 1; A = (1)−=−4 3 11 31− 12 01− 13 03 42− 12− 14 A =−(1)3 =− 2; A = (1)−=−4 1; A = (1)−=−5 3 21 31− 22 01− 23 03 42− 12− 14 A =−(1)4 = 8; A = (1)−=5 1; A = (1)−=6 6 31 21 32 −11 33 −12 ⎛ − 5 −1 − 3⎞ ~ ⎜ ⎟ ⇒ A = ⎜− 2 −1 − 3⎟ ; A = −3 ⎜ ⎟ ⎝ 8 1 6 ⎠ 3.2.4. Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng ph−ơng pháp định thức a) Định lí: Cho A là ma trận vuông cấp n. A khả nghịch khi và chỉ khi det A ≠ 0 . 1 ~ Khi đó, A−1 = At . det A b) Các b−ớc tìm ma trận nghịch đảo bằng ph−ơng pháp định thức - B−ớc 1: Tìm det A +) Nếu detA =⇒ 0 A không khả nghịch ⇒∃A−1 . +) Nếu detA ≠⇒∃ 0 A−1 chuyển sang b−ớc 2. - B−ớc 2: Tìm A%%, At . 1 - B−ớc 3: Tìm A−1 = .A% t det A c) Ví dụ ⎛⎞−12 −1 i) A = ⎜⎟ ⇒ A = −≠10 ⇒ ∃ A . ⎝⎠−13 51
  52. 2 3 3 +) A11 =−(1)3 = 3, A12 = (1)−−= 1 1, A21 = (1)2−=− 2, 4 ⎛⎞31 t ⎛⎞32− A22 =−(1) − 1 =− 1 ⇒ A% = ⎜⎟ ⇒ A% = ⎜⎟ ⎝⎠−21− ⎝⎠11− −1 1 t ⎛⎞⎛⎞32−− 32 +) AA==−=% ⎜⎟⎜⎟ det A ⎝⎠⎝⎠11−− 11 ⎛ 1 4 − 2⎞ ⎜ ⎟ −1 ii) A = ⎜−1 2 1 ⎟ ; A = −3 ≠ 0 ⇒ ∃ A . Theo ví dụ ở mục 2.2.3 ⎜ ⎟ ⎝ 0 3 −1⎠ ⎛⎞⎛⎞−−−513 −− 528 ⎜⎟⎜⎟t AA%%=−⎜⎟⎜⎟213 − − ⇒ =− 111 − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠816−− 336 ⎛⎞⎛⎞−−5285/32/38/3 − −1 1 ⎜⎟⎜⎟ ⇒=A ⎜⎟⎜⎟ −−1111/31/31/3 = − −3⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠−−336 1 1 − 2 3.2.5. Hạng của ma trận a) Định nghĩa: Cho A∈ Mat(m,n) , cấp của định thức con cấp cao nhất khác 0 có đ−ợc từ ma trận A đ−ợc gọi là hạng của ma trận A. Kí hiệu: hgA. b) Ví dụ ⎛1 1⎞ A = ⎜ ⎟ ⇒ A ==≠0, 2 2 0 ⇒ hgA = 1. ⎝2 2⎠ ⎛1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ 11 A = ⎜3 − 4 0 ⎟ ⇒ A = 0 , = −≠70 ⇒ hgA = 2. ⎜ ⎟ 34− ⎝0 −1 − 6⎠ c) Định nghĩa; Hai ma trận A, B ∈ Mat(m,n) đ−ợc gọi là hai ma trận t−ơng đ−ơng nếu chúng cùng hạng. d) Định lý: Nếu ta tác động lên các dòng (cột) của một ma trận những phép biến đổi sơ cấp thì ta đ−ợc một ma trận mới t−ơng đ−ơng với ma trận đã cho. e) Cách tìm hạng của ma trận Từ định lí trên ta có cách tìm hạng của ma trận nh− sau: 52
  53. +) Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đ−a ma trận đã cho về một ma trận mới (có nửa d−ới đ−ờng chéo chính bằng 0 tất cả) khi đó dễ dàng tính đ−ợc hạng của ma trận này. +) Hạng của ma trận đã cho bằng hạng của ma trận vừa tìm đ−ợc. Ví dụ: Tính hạng của ma trận ⎛1 -1 4 3⎞ ⎛⎞1-14 3 ⎛⎞13 4 -1 ⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟ A = ⎜2 5 0 7⎟ → ⎜⎟0 7 -8 1 → ⎜⎟0 1 -8 7 ⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝1 7 - 4 4⎠ ⎝⎠08-81 ⎝⎠01-88 ⎛⎞13 4 -1 13− 1 ⎜⎟ → ⎜⎟01-8 7⇒=≠01 7 10 ⇒ hgA = 3. ⎜⎟ ⎝⎠00 0 1 00 1 3.3. Hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.3.1. Hệ ph−ơng trình tuyến tính tổng quát a) Định nghĩa: Hệ ph−ơng trình: ⎧a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 ⎨ (1) ⎪ ⎪ ⎩am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm Trong đó aij , bi (i = 1,m , j = 1,n ) là các số (thực hoặc phức) cho tr−ớc; x j ( j = 1,n ) là các ẩn số đ−ợc gọi là hệ ph−ơng trình tuyến tính (tổng quát) gồm m ph−ơng trình, n ẩn số; aij đ−ợc gọi là các hệ số của ẩn; bi đ−ợc gọi là hệ số tự do. Ph−ơng trình (1) có thể viết d−ới dạng tổng quát: n ∑ aij x j = bi ; i = 1,m (2) j=1 ⎛ a a a ⎞ ⎜ 11 12 1n ⎟ ⎜ a21 a22 a2n ⎟ Ma trận A = đ−ợc gọi là ma trận các hệ số của hệ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝am1 am2 amn ⎠ ph−ơng trình tuyến tính (1). 53
  54. ⎛ a a a b ⎞ ⎜ 11 12 1n 1 ⎟ ⎜ a21 a22 a2n b 2 ⎟ Ma trận Abs = có đ−ợc từ ma trận A bằng cách ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝am1 am2 amn b m ⎠ thêm vào A cột hệ số tự do đ−ợc gọi là ma trận bổ sung của (1). ⎛ x ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ Ma trận X = đ−ợc gọi là ma trận các ẩn số. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ ⎛ b ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜b2 ⎟ Ma trận b = đ−ợc gọi là ma trận các hệ số tự do. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝bn ⎠ Khi đó hệ ph−ơng trình (1) (hay (2)) có thể viết đ−ợc d−ới dạng ma trận: AX = b (3) Mỗi nghiệm của một hệ ph−ơng trình tuyến tính n ẩn số là một bộ sắp thứ tự gồm n số (cc1 , ,n ) mà khi thay các ci vào các xi thì mỗi ph−ơng trình trong hệ (1) đều trở thành đẳng thức. b) Ví dụ ⎧2x − 3y = 1 +) ⎨ hệ ph−ơng trình tuyến tính 2 ph−ơng trình 2 ẩn. ⎩x + y = 2 ⎧21xyzt−++= ⎪ +) ⎨xyz++−32 t = hệ ph−ơng trình tuyến tính 3 ph−ơng trình 4 ẩn. ⎪ ⎩320x −−+yz t = 3.3.2. Hệ ph−ơng trình tuyến tính Crame a) Định nghĩa: Hệ ph−ơng trình tuyến tính n ph−ơng trình, n ẩn số có định thức của ma trận các hệ số khác 0 đ−ợc gọi là hệ ph−ơng trình tuyến tính Crame (hệ Crame). ⎧2x − 3y = 1 2 − 3 Ví dụ:+) ⎨ (*), A = = 5 ≠ 0 (*) là hệ Crame. ⎩x + y = 2 1 1 54
  55. ⎧21xyz−+= 211 − ⎪ +) ⎨xyz++=2( ) ⇒ A = 1 1 1 =−≠ 8 0 ⇒ ( ) là hệ Crame. ⎪ ⎩30xyz−−= 311 − − b) Định lí: Hệ ph−ơng trình tuyến tính Crame có một và chỉ một nghiệm D (cc , , ) xác định bởi công thức: c = i (i = 1,n ). 1 n i D Trong đó: D là định thức của ma trận các hệ số. Di là định thức của ma trận có đ−ợc từ ma trận các hệ số bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do. Ví dụ: Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính sau: ⎧x1 + x2 − x3 = 1 ⎪ ⎨2x1 + x2 + x3 = 0 (*) ⎪ ⎩− x1 + 2x2 + 2x3 = −1 ⎛ 1 1 −1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 1 ⎟ ⇒ A = −10 ≠ 0 ⇒ (*) là hệ Crame ⇒ (*) có nghiệm duy nhất. ⎜ ⎟ ⎝−1 2 2 ⎠ 1 1 −1 1 1 −1 D = A = −10 , D1 = 0 1 1 = −2 , D2 = 2 0 1 = −2, −1 2 2 −1 −1 2 1 1 −1 − 2 1 − 2 1 6 − 3 D = 2 1 0 = 6 ⇒ x = = , x = = , x = = . 3 1 −10 5 2 −10 5 3 −10 5 −1 2 −1 11 3 Nghiệm của (*) là (;;− ). 55 5 3.3.3. Định lí về sự tồn tại nghiệm của hệ ph−ơng trình tuyến tính a) Định lý (Định lí Gauss hoặc định lý Kronecke – Kapelli) Một hệ ph−ơng trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận các hệ số bằng hạng của ma trận bổ sung. b) Ví dụ: Giải và biện luận hệ ph−ơng trình tuyến tính sau theo λ : 55
  56. ⎧λx1 + x2 + x3 = 1 ⎪ ⎨x1 + λx2 + x3 = 1 (1) ⎪ ⎩x1 + x2 + λx3 = 1 ⎛λ 1 1 ⎞ λ 11λλ 1 0 1 1 ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 λ 1 ⎟ ⇒ A ==−−=−−111101λλλλλ 10 ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 λ ⎠ 11λλ 1− 0 λ−−− 1 0 1 λλ 1 λ 1 λ 1 = (λ −1) + (λ −1) = (λ −1)(λ −1) + (λ −1)[λ(λ −1) + (λ −1)]. 1− λ 0 1− λ λ −1 = (λ −1) 2 (1+ λ +1) = (λ −1) 2 (λ + 2) ⎛1 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 1 1 1⎟ +) Nếu λ = 1 ⇒ Abs = ⇒ hgAbs = hg A = 1 ⇒ hệ (1) có ⎜1 1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 1 1 1⎠ nghiệm. Khi đó (1) ⇔ x1 + x2 + x3 =1 ⇒ x1 = 1− x2 − x3 . (1) có vô số nghiệm, mọi nghiệm có dạng (1− a − b, a,b) a,b ∈ R . +) Nếu λ = −2 ⇒ A = 0 ⇒ hgA = 2. ⎛- 2 1 1 1⎞ − 2 1 1 bs ⎜ ⎟ bs A = ⎜ 1 - 2 1 1⎟ có 1 − 2 1 = 9 ≠ 0 ⇒ hgA = 3 ≠ hgA ⇒ hệ ph−ơng ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 - 2 1⎠ 1 1 1 trình (1) vô nghiệm. +) Nếu λ ≠ −2, λ ≠ 1 ⇒ A ≠ 0 ⇒ (1) là hệ Crame ⇒ (1) có nghiệm duy nhất. 1 1 1 1 1 1 λ 1 1 2 2 2 D1 = 1 λ 1 = (λ −1) , D2 = 1 1 λ = (λ −1) , D3 = 1 λ 1 = (λ −1) 1 1 λ 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ x = x = x = 1 2 3 λ + 2 3.3.4. Hai hệ ph−ơng trình t−ơng đ−ơng 56
  57. a) Định nghĩa: Hai hệ ph−ơng trình tuyến tính có cùng số ẩn đ−ợc gọi là t−ơng đ−ơng nếu các tập nghiệm của chúng trùng nhau. b) Định lí: Nếu ta thực hiện trên các dòng của ma trận bổ sung của một hệ ph−ơng trình tuyến tính những phép biến đổi sơ cấp thì ta đ−ợc một hệ ph−ơng trình mới t−ơng đ−ơng với hệ đã cho. 3.3.5. Cách giải hệ ph−ơng trình tuyến tính tổng quát a) Ph−ơng pháp khử dần các ẩn số (Ph−ơng pháp Gauss) +) Lập ma trận bổ sung của hệ ph−ơng trình tuyến tính. +) Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đ−a ma trận bổ sung về dạng có các phần tử nằm d−ới “đ−ờng chéo chính” bằng 0 tất cả. +) Giải hệ ph−ơng trình có ma trận bổ sung là ma trận vừa tìm đ−ợc. +) Nghiệm của hệ ph−ơng trình đã cho chính là nghiệm của hệ mới vừa giải. b) Ví dụ: i) Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính sau: ⎧x + y + z = 2 ⎪ ⎪2x − 3y + z = 1 ⎨ (*) ⎪− x − 6y − 2z = −5 ⎩⎪x − 4y = −1 ⎛ 1 1 1 2 ⎞ ⎛1 1 1 2 ⎞ ⎛1 1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 3 1 1 ⎟ ⎜0 − 5 −1 − 3⎟ ⎜0 − 5 −1 − 3⎟ Abs = → → ⎜−1 − 6 − 2 − 5⎟ ⎜0 − 5 −1 − 3⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 4 0 −1⎠ ⎝0 − 5 −1 − 3⎠ ⎝0 0 0 0 ⎠ ⇒ hgA = hgAbs = 2. Hệ (*) có nghiệm. ⎧x + y + z = 2 ⎧xy=−51 (*) ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒(*) có vô số nghiệm, mọi nghiệm có ⎩− 5y − z = −3 ⎩zy=−35 dạng (4a −1,a,3 − 5a) , a∈ . ii) Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính sau: ⎧x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 ⎪ ⎨4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 ⎪ ⎩2x1 + 7x2 − x3 = −1 57
  58. ⎛1 - 3 2 -1 2⎞ ⎛1 - 3 2 -1 2 ⎞ ⎛1 - 3 2 -1 2 ⎞ bs ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜4 1 3 - 2 1⎟ → ⎜0 13 - 5 2 − 7⎟ → ⎜0 13 - 5 2 − 7⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 7 -1 0 1⎠ ⎝0 13 - 5 2 5 ⎠ ⎝0 0 0 0 2 ⎠ ⇒ hgA = 2 ≠ 3 = hgAbs ⇒ hệ ph−ơng trình đã cho vô nghiệm. 3.3.6. Hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất (đẳng cấp) a) Định nghĩa Hệ ph−ơng trình tuyến tính mà các hệ số tự do đều bằng 0 gọi là hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất. Nh− vậy, hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng: ⎧a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 ⎪ n ⎪a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0 ⎨ hoặc ∑ aij x j = 0 (i = 1,m ). (1) ⎪ j=1 ⎪ ⎩am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = 0 b) Nhận xét +) Hệ (1) bao giờ cũng có nghiệm, ít nhất là nghiệm (0,0, ,0) đ−ợc gọi là nghiệm tầm th−ờng. +) Nếu hạng của ma trận các hệ số bằng n thì hệ ph−ơng trình (1) chỉ có duy nhất nghiệm là nghiệm tầm th−ờng. +) Nếu hạng của ma trận các hệ số nhỏ hơn n thì hệ ph−ơng trình (1) có vô số nghiệm do đó có nghiệm không tầm th−ờng. Đặc biệt: một hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất n ph−ơng trình, n ẩn có nghiệm không tầm th−ờng khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0. c) Ví dụ: i) Giải hệ ph−ơng trình: ⎧x1 − x2 + x3 = 0 ⎪ ⎨2x1 + x2 + 3x3 = 0 (*) ⎪ ⎩x1 + 2x2 + 2x3 = 0 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞111−−− 111111 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ A =→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟213 031 031 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠122 031 000 58
  59. ⎧xxx123−+=0 ⎧x12= 4x (*) ⇔⇔⎨⎨ ⎩ 3x23+=x 0 ⎩x32=−3x Nghiệm tổng quát (4a,a,− 3a) ; a∈ . Hệ nghiệm cơ bản {(4,1,− 3)}. ⎧x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 ⎪ ⎪3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 ii) Giải hệ ph−ơng trình: ⎨ (*) ⎪4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 ⎪ ⎩3x1 + 8x8 + 24x3 −19x4 = 0 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞12 4−−− 3 1 2 4 3 1 2 4 3 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟35 6−−−−− 4 0 1 6 5 0 1 6 5 A =→⎜⎟⎜⎟⎜⎟ → ⎜⎟⎜⎟⎜⎟45−−− 2 3 0 3 1815 0 0 0 0 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠3 8 24−− 19 0 2 12 10 0 0 0 0 ⎧⎧x12++xxx430 3 − 4 = xxx 1 = 87 3 − 4 (*) ⇔⇔⎨⎨ ⎩⎩ -x234−+= 6x 5xxx 0 x 2 =−+ 6 34 5 Nghiệm tổng quát: (8a − 7a,− 6a + 5b,a,b) ab, ∈ . x1 x2 x3 x4 8 -6 1 0 1 5 0 1 Hệ nghiệm cơ bản: {(8;− 6;1;0);(− 7;5;0;1)} Bμi tập ch−ơng 3 ⎡ 1 3⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡2 − 3⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1. Cho A = ⎢−1 2⎥ , B = ⎢ 3 2⎥ , C = ⎢1 2 ⎥ . Tính: ⎣⎢ 3 4⎦⎥ ⎣⎢− 2 3⎦⎥ ⎣⎢4 −1⎦⎥ a) (A - B) + C c) Attt,,BC b) 3A; -2B d) 2A -3B + 4C 2. Tính : 59
  60. ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) ()1 2 3 ⎜4⎟ b) ⎜1⎟()1 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝3⎠ ⎛1 ⎞ ⎛⎞2-14 ⎛2 1 1⎞⎜ ⎟ ⎜⎟ c) ⎜ ⎟⎜2 ⎟ d) ()−132 ⎜⎟12 0 ⎝3 0 1⎠⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝3 ⎠ ⎝⎠0-3-2 ⎛⎞23− ⎜⎟⎛⎞41− ⎛⎞⎛⎞−12 2 4− 2 e) ⎜⎟04− ⎜⎟ f) ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠32 ⎝⎠⎝⎠03− 310 ⎝⎠−11 3. Tính các tích A.B và B.A (nếu có) trong các tr−ờng hợp sau ⎛⎞⎛⎞35 21 ⎛⎞⎛⎞-2 1 0 4 -1 a) AB==⎜⎟⎜⎟; b) AB==⎜⎟⎜⎟ ; ⎝⎠⎝⎠61−− 32 ⎝⎠⎝⎠30 1 32 ⎛⎞31 ⎛⎞⎛⎞311 1 1− 1 ⎛⎞21 1 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ c) AB==⎜⎟ ;⎜⎟ 2 1 d) AB==−⎜⎟⎜⎟212; 2 1 1 ⎝⎠30 1 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠10 ⎝⎠⎝⎠123 1 0 1 4. Tính: 2 ⎛2 1 1⎞ 3 5 ⎜ ⎟ ⎛2 1⎞ ⎛ 3 2 ⎞ a) ⎜2 1 2⎟ b) ⎜ ⎟ c) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 3⎠ ⎝− 4 − 2⎠ ⎝1 2 3⎠ n n ⎛1 1⎞ ⎛cosϕ − sinϕ ⎞ d) ⎜ ⎟ e) ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎝ sinϕ cosϕ ⎠ 5. Tính các định thức cấp hai sau: 2 3 2 1 sinα cosα a) b) c) 1 4 −1 2 − cosα sinα a c + di tgα −1 d) e) c − di b 1 tgα 6. Tính các định thức cấp ba: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 i 1+ i a) −1 0 1 b) 1 0 1 c) 1 2 3 d) − i 1 0 −1 −1 0 1 1 0 1 3 6 1− i 0 1 7. Tính các định thức sau: 60
  61. 12− 30 20− 10 0141− 012 2 a) b) −−2403 −22 1− 1 302− 5 130 3 014− 10 112− 10 11313− 01122− − c) −−12 22 1 d) −−21 31 3 430−− 23 3120− 1 31030− 2− 2030 a b c 8. Cho a′ b′ c′ = Δ . Hỏi các định thức sau bằng bao nhiêu: a′′ b′′ c′′ a′ b′ c′ a′′ b′′ c′′ a) a′′ b′′ c′′ b) a′ b′ c′ a b c a b c 9. Hỏi các ma trận sau có khả nghịch hay không, nếu có tìm ma trận nghịch đảo của nó. ⎛⎞21− ⎛⎞−12 ⎛⎞22− a) ⎜⎟ b) ⎜⎟ c) ⎜⎟ ⎝⎠33 ⎝⎠36− ⎝⎠13− ⎛⎞21− 1 ⎛⎞112− ⎛⎞142 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ c) ⎜⎟01 3 d) ⎜⎟012 e) ⎜⎟−101 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠21 1 ⎝⎠001 ⎝⎠223 10. Giải ph−ơng trình AX = B với: ⎛⎞⎛⎞21−− 42 a) AB==⎜⎟⎜⎟; ⎝⎠⎝⎠−33 10 ⎛⎞⎛⎞011−− 141 ⎜⎟⎜⎟ b) AB=−=−⎜⎟⎜⎟12 1; 201 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠−−10 1 3 20 ⎛⎞111− ⎛⎞111 -1 ⎜⎟ ⎜⎟ c) A =−⎜⎟121 B = ⎜⎟1 0 2 2 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠−231 ⎝⎠1220− 61
  62. 11. Tìm hạng của các ma trận sau: ⎛⎞101 ⎛⎞11− ⎛⎞42− ⎜⎟ a) A = ⎜⎟ b) B = ⎜⎟ c) C =−⎜⎟242 ⎝⎠31 ⎝⎠−21 ⎜⎟ ⎝⎠312− ⎛⎞221− ⎛⎞2133− ⎜⎟ ⎜⎟ d) D =−⎜⎟103 e) E = ⎜⎟−−321 2 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠014 ⎝⎠−1141 ⎛⎞12132− ⎛⎞12− 13 ⎜⎟−−340 21 ⎜⎟3104− − f) F = ⎜⎟ g) G = ⎜⎟ ⎜⎟21312− − ⎜⎟231− − 7 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠31420− ⎝⎠14111−− 12. Giải các hệ ph−ơng trình sau: ⎧2x − 2y − z = −1 ⎧2x + 5y = 1 ⎧x + 2y = 4 ⎪ a) ⎨ b) ⎨ c) ⎨ y + z = 1 ⎩4x + 5y = −5 ⎩2x + y = 3 ⎪ ⎩- x + y + z = 1 ⎧x − y + z = 1 ⎧2x1 − x2 − x3 = 4 ⎧3x1 + 2x2 + x3 = 5 ⎪ ⎪ ⎪ d) ⎨ 2x + y + z = 2 e) ⎨3x1 + 4x2 − 2x3 = 11 f) ⎨2x1 + 3x2 + x3 = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩3x + y + 2z = 0 ⎩3x1 − 2x2 + 4x3 = 11 ⎩2x1 + x2 + 3x3 = 11 13. Với giá trị nào của a thì hệ ph−ơng trình sau không có nghiệm duy nhất? ⎧x − y + 2z = 3 ⎧xyaz−+ =0 ⎧x − 2y = 5 ⎪ ⎪ a) ⎨ b) ⎨ 2x + ay + 3z = 1 c) ⎨ -x++=ay 2 z 2 ⎩3x + ay = 1 ⎪ ⎪ ⎩3x +3y + z = 4 ⎩2x−+=− 3y 2z 1 14. Giải các hệ ph−ơng trình sau: ⎧xy−+20 z = ⎧230xy− +−= zt ⎪ ⎪ a) ⎨ 2x+−= 3yz 3 0 b) ⎨ x3+ yz−+ 2 t = 0 ⎪ ⎪ ⎩x4y-5z0+= ⎩3x+= 2y+2z+t 0 62
  63. Ch−ơng 4: Số tự nhiên 4.1. Hệ thống số tự nhiên 4.1.1. Hai tập hợp t−ơng đ−ơng a) Định nghĩa: Hai tập hợp A và B đ−ợc gọi là t−ơng đ−ơng nếu tồn tại song ánh từ A tới B, kí hiệu: A ~ B. * b) Ví dụ: +) Tập và = \0{ }là hai tập hợp t−ơng đ−ơng vì tồn tại * song ánh fnfnnn:;()1,a→=+∀∈ . +) 2 vì tồn tại song ánh gnnn:2;2, →∀∈a . +) Cho hai đoạn thẳng AB, CD song song với nhau; CD = 2AB. Khi đó tập hợp các điểm trên AB và tập hợp các điểm trên CD là hai tập t−ơng đ−ơng. Thật vậy, gọi O = AC I BD. Tồn tại f: AB → CD xác định bởi X∈AB: X a X’ = OX I CD. Rõ ràng f là song ánh. *Nhận xét: quan hệ giữa hai tập hợp định nghĩa nh− trên là quan hệ t−ơng đ−ơng. 4.1.2. Bản số của một tập hợp a) Định nghĩa Kí hiệu X là lớp tất cả các tập hợp. Trong X xác định một quan hệ t−ơng đ−ơng định nghĩa nh− trên. Khi đó trong X có sự chia lớp, mỗi lớp gồm các tập hợp t−ơng đ−ơng với nhau. Để biểu thị cho độ lớn của từng lớp ng−ời ta đ−a ra khái niệm bản số. Mỗi tập hợp gán cho một giá trị gọi là bản số sao cho hai tập hợp có cùng lực l−ợng thì có cùng bản số. Hai lớp t−ơng đ−ơng khác nhau sẽ có bản số khác nhau. Bản số của tập hợp A kí hiệu là Card(A) (Cacdinal của A) hoặc A . Hai tập hợp cùng một lớp t−ơng đ−ơng khi và chỉ khi chúng có cùng bản số ( A ~ B ⇔=A B ). b) Ví dụ 63
  64. Các tập hợp trong mỗi ví dụ của mục 3.1.1 có cùng bản số. 4.1.3. Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn a) Định nghĩa: Một tập hợp X đ−ợc gọi là tập vô hạn nếu tồn tại một tập con thực sự Y của X (Y ⊂ X, Y ≠ X) t−ơng đ−ơng với X. Khi đó Y cũng là tập vô hạn. Một tập hợp đ−ợc gọi là tập hữu hạn nếu nó không phải là tập vô hạn. b) Ví dụ +) 2,22,⊂⇒ là những tập vô hạn. * +) ⊂⇒,, là những tập vô hạn. +) X = {ab, } , A = {1, 2, 3, 4}, ∅ là những tập hữu hạn. c) Tính chất +) Hợp, giao, tích đề các của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn. +) Nếu A, B là những tập hữu hạn, A ⊂ B thì Card(A) ≤ Card(B). +) Mọi tập con của tập hữu hạn là tập hữu hạn. 4.1.4. Số tự nhiên a) Định nghĩa: Bản số của một tập hợp hữu hạn đ−ợc gọi là một số tự nhiên. Bản số của tập hợp ∅ đ−ợc gọi là số không, kí hiệu là 0 (Card( ∅ ) = 0). Bản số của tập hợp {a} đ−ợc gọi là số một, kí hiệu là 1 ( {a} = 1). Nếu X là một tập hữu hạn, X kí hiệu n và gọi là số tự nhiên n. Ng−ợc lại, nếu có số tự nhiên n thì tồn tại tập hợp hữu hạn X sao cho Xn= . Nếu n là một số tự nhiên thì tồn tại một tập A hữu hạn sao cho A = n . Gọi B =∪AbbA{ }, ∉, B đ−ợc gọi là số liền sau của n và kí hiệu là n'. Khi đó n đ−ợc gọi là số liền tr−ớc của n'. Nếu A là một tập hợp có Card(A) = n thì ta nói tập hợp A có n phần tử. Tập tất cả các số tự nhiên lập thành một tập hợp kí hiệu là đ−ợc gọi là tập các số tự nhiên. 64
  65. = {0,1,2, } (liệt kê các phần tử). = {các bản số của các tập hữu hạn} (nêu tính chất đặc tr−ng của tập hợp). b) Tính chất +) Tập số tự nhiên là tập vô hạn. +) Tập các số tự nhiên không có số lớn nhất, chỉ có số nhỏ nhất. +) Bất kì một tập con nào của cũng có số nhỏ nhất. 4.1.5. Tiên đề quy nạp Trong tập hợp số tự nhiên ta thừa nhận tiên đề sau gọi là tiên đề quy nạp: Nếu A là một bộ phận của ( A ⊂ ) thoả mãn các điều kiện: i) 0∈ A , ii) Nếu nA∈ thì nA'∈ ( n′ là số liền sau của n) thì A ≡ . 4.1.6. Quy tắc chứng minh bằng quy nạp Để chứng minh tính chất T đúng với mọi số tự nhiên n ta phải chứng minh: i) T đúng với số 0. ii) Nếu T đúng với n thì T đúng với n′ . 4.2. Các phép toán trên tập các số tự nhiên 4.2.1. Phép cộng a) Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số tự nhiên. Theo định nghĩa tồn tại hai tập hợp hữu hạn A, B, A I B = ∅ sao cho: Card(A) = a và Card(B) = b. Khi đó: +) Số tự nhiên c = Card(A U B) đ−ợc gọi là tổng của hai số tự nhiên a, b kí hiệu là: c = a + b. +) Phép cho t−ơng ứng hai số tự nhiên với tổng của chúng đ−ợc gọi là phép cộng hai số tự nhiên. b) Ví dụ: A ={abBcdeAB,;} ={ ,,} ⇒∩=∅∪= , AB{ abcde ,,,,} và ta có: 65
  66. ABAB==∪=⇒+=2; 3; 5 2 3 5 c) Một số tính chất +) Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a +) Phép cộng có tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c +) Phép cộng có phần tử trung lập 0: a + 0 = 0 + a = a +) Phép cộng thoả mãn luật giản −ớc: a + b = a + c ⇒ b = c 4.2.2. Phép trừ a) Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số tự nhiên, nếu tồn tại một số tự nhiên c sao cho b + c = a thì c đ−ợc gọi là hiệu của a trừ b và kí hiệu: c = a – b. Phép toán cho t−ơng ứng một cặp sắp thứ tự gồm hai số tự nhiên a, b với hiệu a – b đ−ợc gọi là phép trừ hai số tự nhiên. b) Chú ý +) Nếu tồn tại c = a – b thì a = b + c, giả sử B = bC; = c với B ∩=∅C ⇒=aBC ∪ (theo định nghĩa của phép cộng). Vì B ⊂∪⇒BC BbaBC =≤=∪. Ng−ợc lại, nếu b ≤ a và aAbB= ; = thì B t−ơng đ−ơng với một bộ phận B''\''\'⊂⇒=∪AABABaAB() ⇒= = ∪( AB) . Đặt cAB= \', Vì B'\'∩=∅⇒=+=+()AB a B '\' AB b c do đó cab= − . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tồn tại hiệu a – b là ba≤ . +) Phép trừ không có tính chất giao hoán, kết hợp. 4.2.3. Phép nhân a) Định nghĩa Giả sử a, b là hai số tự nhiên, aAbB= ; = . Số tự nhiên cAB=ìđ−ợc gọi là tích của hai số tự nhiên a và b. Kí hiệu: c = a.b hoặc c = aìb. 66
  67. Phép toán cho t−ơng ứng hai số tự nhiên a, b với một số tự nhiên c là tích của chúng đ−ợc gọi là phép nhân hai số tự nhiên. Khi đó a, b đ−ợc gọi là các thừa số của phép nhân. b) Ví dụ AxyzBuvA==⇒=={ ,,} ;{ ,} 2; B 3, Aì= B{( xu , ),( xv , ),( yu , ),( yv , ),( zu , ),( zv , )} ⇒ì A B = 6 và ta có 23ì= 6 c) Tính chất +) Phép nhân có tính chất giao hoán. +) Phép nhân có tính chất kết hợp. +) Phép nhân có phần tử trung lập là 1. +) aa.0=∀∈ 0, +) Phép nhân thoả mãn luật giản −ớc: a.b = a.c ⇒ b = c (hay nói cách khác mọi số tự nihiên khác không đều là phần tử chính quy đối với phép nhân). +) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c 4.2.4. Phép chia a) Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số tự nhiên, b ≠ 0. Nếu có một số tự nhiên c sao cho b.c = a thì c đ−ợc gọi là th−ơng của phép chia a cho b. a Kí hiệu: c = a : b hoặc c = . b Phép toán cho t−ơng ứng một cặp sắp thứ tự gồm hai số tự nhiên a, b (b ≠ 0) với th−ơng a : b đ−ợc gọi là phép chia hai số tự nhiên. b) Chú ý +) Phép chia không có tính chất giao hoán, kết hợp. +) Khi c là th−ơng của phép chia ab: và thì b cũng là th−ơng của phép chia ac: . 67
  68. 4.3. Hệ đếm và cách ghi số đếm 4.3.1. Lịch sử phát triển số tự nhiên Thời xa x−a, khi loài ng−ời còn ch−a phát triển để tính thời gian, đếm số thú rừng săn bắt đ−ợc, ng−ời cổ đại phải dùng sỏi, dùng những nút dây hoặc vạch những nét vạch lên đá, thay thế cho các con số. Chẳng hạn một con thú săn đ−ợc là một viên sỏi hoặc là một nút dây, Ng−ời ta chỉ có khái niệm là một và nhiều. Càng về sau, cùng với sự phát triển của loài ng−ời, các con số lần l−ợt 11 ra đời, đầu tiên là số 1, 2, 3, , , , rồi đến -1, -2, . và số 0. 23 4.3.2. Cơ sở lí luận của cách ghi số Cách ghi số dựa trên hai bổ đề cơ bản sau: * Bổ đề 1: Với hai số tự nhiên a, b tuỳ ý, b > 0 , tồn tại một số tự nhiên n sao cho nb > a. Ví dụ: a = 7, b = 2 ⇒ ∃ n = 4 thỏa mãn nb = 4.2 = 8 > 7 = a. * Bổ đề 2: với hai số tự nhiên a, b tuỳ ý, b > 0, tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q, r sao cho: a =q.b + r ; 0 ≤ rb< . *Ví dụ: a =9, b = 4 ⇒ a = 9 = 4.2 + 1, vậy q = 2, r =1. Quy −ớc: aaaaaa01==1, ,n = . { n 4.3.3. Hệ đếm cơ số 10 (hệ thập phân) a) Cách ghi số theo hệ đếm cơ số 10 Ta đã kí hiệu số 0 =∅; số 1 = {a} số kề sau số 1 là 1′ , số kề sau 1′ là (1′′ ) , Nh−ng không thể dùng kí hiệu này với mọi số tự nhiên vì đến một lúc nào đó số dấu ngoặc và số dấu phẩy quá lớn ng−ời ta không thể dễ dàng hiểu nổi đó là số nào. Vì vậy, trong hệ cơ số 10 ng−ời ta chọn ra 10 kí hiệu cho 10 số tự nhiên đầu tiên đó là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và gọi chúng là các chữ số trong hệ đếm cơ số 10. Để biểu diễn một số tự nhiên tuỳ ý trong hệ đếm cơ số 10 ta làm nh− sau: 68
  69. *) Nếu a ≤ 9 thì a đ−ợc biểu diễn bởi 1 trong 10 chữ số trên. *) Nếu a = 9′ (số kề sau số 9) thì a đ−ợc biểu diễn bởi “10”. *) Nếu a >10 thì theo bổ đề 2 tồn tại duy nhất hai số qr11, sao cho aq=+11.10 r. Khi đó: +) Nếu q1 <10 thì a đ−ợc biểu diễn là qr11 trong hệ đếm cơ số 10. +) Nếu q1 ≥10 lại áp dụng bổ đề 2 cho q1 ta đ−ợc: qq12=+.10 r 2 ⇒ 2 aqrrqr=++=++(1022 ).10 1 2 .10 2 .10 r 1 . Khi đó: .) Nếu q2 <10 thì a đ−ợc biểu diễn là qrr221 trong hệ đếm cơ số 10. .) Nếu q2 ≥10 lặp lại t−ơng tự quá trình trên. Từ bổ đề 1 suy ra rằng quá trình trên phải dừng lại sau một số hữu hạn nn−1 b−ớc, chẳng hạn n b−ớc, khi đó ta đ−ợc: aq= nn.10++++ r .10 r21 .10 r với 0≤<rr12 , , , rqnn , 10 . Kí hiệu số a bởi qrnn rr21 hoặc qrnn rr21 nếu không sợ nhầm lẫn với tích qrnn rr21. Ví dụ: 1572=+++=+ 1000 500 70 2 1.1032 5.10 ++ 7.10 2 . b) Cách đếm Qua cách ghi số nói trên ta dễ thấy quy tắc đếm trong hệ thập phân nh− sau: +) Cho 10 số tự nhiên đầu tiên những tên gọi: không, một, , chín và gọi chúng là những số hàng đơn vị. +) Số 10: đ−ợc gọi là một chục. +) M−ời và 1 đ−ợc gọi là m−ời một. +) M−ời chục (10.10= 102 ) đ−ợc gọi là một trăm. +) M−ời trăm (10.1023= 10 ) gọi là một nghìn Ví dụ: Số 1235 đọc là một nghìn hai trăm ba chục năm đơn vị (hay một nghìn hai trăm ba m−ơi lăm) (vì 1235= 1.1000+++ 2.100 3.10 5 ). Nh− vậy, ta đọc lần l−ợt số lần của 10n , 10n−1 , , của 10 và số đơn vị và phép đếm chẳng qua là phép cộng. 69
  70. c) Các phép toán Cộng, trừ, nhân, chia (nh− đã học ở tr−ờng phổ thông). 4.3.4. Cách ghi số trong hệ đếm cơ số g (1< g ≤ 9) Các kí tự trong hệ đếm cơ số g là 0,1,2,3, , g-1. Để ghi một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số g tuỳ ý ta làm nh− sau: *) Nếu ag< thì trong cơ số g a cũng đ−ợc biểu diễn là a. *) Nếu ag≥ chia a cho g đ−ợc th−ơng là q1, số d− r1 ⇒ aqgr= 11+ . Khi đó: +) Nếu qg1 < thì a đ−ợc biểu diễn là qr11 trong hệ đếm cơ số g. +) Nếu qg1 ≥ lại chia q1 cho g đ−ợc th−ơng là q2 ,số d− r2 2 ⇒ aqgrgr=++221. Khi đó .) Nếu qg2 < thì a đ−ợc biểu diễn là qrr221 trong hệ đếm cơ số g. .) Nếu qg2 ≥ lại tiếp tục chia chia q2 cho g Từ bổ đề 1 suy ra rằng quá trình trên phải dừng lại sau một số hữu hạn b−ớc, chẳng hạn n b−ớc, khi đó ta đ−ợc: nn−1 aqgrg=+nn +++ rgr21,qgn < . Khi đó, a đ−ợc biểu diễn d−ới dạng: qrnn rr21 trong cơ số g. *) Ví dụ: Ghi số tự nhiên a = 87 trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 5. a = 87=++ 3.52 2.5 2 ⇒ a = 322 trong cơ số 5. 4.3.5. Hệ đếm và cách ghi số trong hệ đếm cơ số 2 (hệ nhị phân) a) Các kí tự: 0, 1 b) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số 2 *) Cách tiến hành: Để biểu diễn một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 2 ta phải khai triển số đó thành tổng của các lũy thừa của 2. Số a có sự biểu diễn trong cơ số 2 với các chữ số chính là các số lần của các lũy thừa của 2 trong khai triển đó. 70
  71. *) Ví dụ: +) a = 30 trong hệ đếm cơ số 10 ⇒=a 30 = 15.2 = (2.7 + 1).2 = 7.22 + 1.2 = (2.3++=++ 1).2232 1.2 3.2 1.2 1.2 =+(2.1 1).232 ++=+++ 1.2 1.2 1.2 432 1.2 1.2 1.2 ⇒=a 11110 trong hệ đếm cơ số 2. +) a = 99 trong hệ đếm cơ số 10 ⇒=a 99 = 45.2 += 1 (22.2 + 1).2 += 1 22.22 + 1.2 + 1 =++=+++=+++11.23343 1.2 1 (5.2 1).2 1.2 1 5.2 1.2 1.2 1 =+(2.2 1).243 +++=++++ 1.2 1.2 1 1.2 643 1.2 1.2 1.2 1 ⇒=a 1011011 trong hệ đếm cơ số 2. Quy trình trên có thể tóm tắt nh− sau: +) Chia liên tiếp a cho 2, cho đến khi đ−ợc th−ơng là 0. +) Viết các số d− từ trái qua phải bắt đầu từ số d− cuối cùng cho đến số d− đầu tiên, đó chính là sự biểu diễn của a trong hệ đếm cơ số 2. *) Ví dụ: kí hiệu số tự nhiên có biểu diễn trong cơ số g là xg +) x10 = 30 +) x10 = 735 30 2 735 2 0 25 2 1 367 2 1 12 2 1 183 2 0 6 2 1 91 2 0 3 2 1 45 2 1 1 2 1 22 2 1 0 0 11 2 ⇒=x2 110010 1 5 2 1 2 2 0 1 2 1 0 ⇒=x2 1011011111 71
  72. Cơ số 10 Cơ số 2 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 . . 99 1011011 c) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 2 theo cơ số 10 *) Cách tiến hành: Cho một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 2 - Đếm tổng số chữ số trong số a, giả sử a có n chữ số. - Lập tổng các lũy thừa với số mũ giảm dần của 2, bắt đầu từ 2n-1 với các số lần của các lũy thừa chính là các chữ số của a. Cụ thể là: nếu aaaaa= nn−121 nn−−12 trong hệ đếm cơ số 2 thì aa= nn.2++++ a−121 .2 a .2 a trong hệ đếm cơ số 10. *) Ví dụ: 432 +) xx210=⇒=++++=++++=10111 1.2 0.2 1.2 1.2 1 16 0 4 2 1 23 +) x2 =100101 5432 ⇒x10 =1.20.20.21.20.21320040137 + + + + += +++++= d) Các phép toán trong hệ đếm cơ số 2 *) Phép cộng: Phép cộng trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc cộng trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 1 thì ta phải chuyển nó về cơ số 2 bằng cách chia tổng đó cho 2, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng 72
  73. ngay tr−ớc đó. *) Ví dụ: 10111 1010101 10111011 + 111 + 111011 + 101111 11110 10010000 11101010 2 Thử lại: (111)210=++= 1.2 1.2 1 (7) 42 ⇒ (10111)210= 1.2 + 1.2 + 1.2 += 1 16 +++= 4 2 1 (23) 23+= 7 (30)10 = (11110) 2 . *) Phép trừ: Phép trừ trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc trừ trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi m−ợn 1 ở hàng tr−ớc thì phải đổi thành 2. *) Ví dụ: 110101 1010101 10111011 - 1111 - 111011 - 101111 100110 0011010 10001100 54 32 Thử lại: (110101)210=+++++= 1.2 1.2 0.2 1.2 0.2 1 (53) 32 ⇒ (1111)210=+++=+++= 1.2 1.2 1.2 1 8 4 2 1 (15) 53−= 15 (38)10 = (100110) 2 . *) Phép nhân: Phép nhân trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện theo quy tắc nhân nh− trong hệ đếm cơ số 10. Thực chất phép nhân trong hệ đếm cơ số 2 chẳng qua là việc thực hiện phép cộng nhiều số. 110111 1010101 1011 ì 111 ì 101 ì 11 110111 1010101 1011 + 110111 + 0000000 + 1011 110111 1010101 100001 101111001 110101001 Thử lại: (1011)22ì= (11) (100001) 2; (11)210= (3) 3 (1011)210=++=⇒ 1.2 1.2 1 (11) 11ì 3== (33)10 (100001) 2 73
  74. *) Phép chia: Phép chia trong hệ đếm cơ số 2 đ−ợc thực hiện theo quy tắc chia nh− trong hệ đếm cơ số 10. Thực chất phép chia trong hệ đếm cơ số 2 chẳng qua là việc thực hiện một số phép trừ. 1010111 111 1110101 101 - 111 1100 - 101 10111 00111 01001 - 111 - 101 00011 01000 - 101 00111 - 101 010 65432 Thử lại: (1010111)2 =++++++= 1.2 0.2 1.2 0.2 1.2 1.2 1 (87)10 2 ⇒ (111)210=++=++= 1.2 1.2 1 4 2 1 (7) 87 : 7= (12)10 d− 3. (12)10= (1100) 2 ;(3) 10= (11) 2 4.3.6. Hệ đếm cơ số 8 (hệ bát phân) a) Các kí tự: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. b) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 theo cơ số 8 Để biểu diễn một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 10 theo hệ đếm cơ số 8 ta phải khai triển số đó thành tổng của các lũy thừa của 8. Số a có sự biểu diễn trong cơ số 8 với các chữ số chính là các số lần của các lũy thừa của 8 trong khai triển đó. 1918 8 1455 8 6 239 8 7 181 8 7 29 8 5 22 8 5 3 8 6 2 8 3 0 2 0 74
  75. 191810= 3576 8 145510= 2657 8 96510= 1705 8 78610= 1422 8 c) Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 8 theo cơ số 10 *) Cách tiến hành: Cho một số tự nhiên a trong hệ đếm cơ số 8 - Đếm tổng số chữ số trong số số a - Lập tổng các lũy thừa với số mũ giảm dần của 8 với các số lần của các lũy thừa chính là các chữ số của a. Cụ thể là: nếu aaaaa= nn−121 trong hệ đếm cơ số 8 thì nn−−12 ⇒=aann.8 + a−121 .8 ++ a .8 + a trong hệ đếm cơ số 10. *) Ví dụ: 4321 (67523)8 =++++ 6.8 7.8 5.8 2.8 3 =++++=24576 3584 320 16 3 (28499)10 321 (5327)8 = 5.8+++=+++ 3.8 2.8 7 5.512 3.64 2.8 7 =+++=2560 192 16 7 (2775)10 d) Các phép toán trong hệ đếm cơ số 8 *) Phép cộng: Phép cộng trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc cộng trong cơ hệ đếm số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 7 thì ta phải chuyển nó về cơ số 8 bằng cách chia số đó cho 8, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng ngay tr−ớc đó. *) Ví dụ: 6732 2345 5436 + 1456 + 4127 + 4353 10410 6474 12011 3457 2476 3457 2746 + 4365 + 7654 + 4365 + 5672 10044 12352 6726 7646 16765 20506 *) Phép trừ: Phép trừ trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc trừ trong hệ đếm cơ số 10, chỉ khác là khi m−ợn 1 ở hàng tr−ớc thì phải đổi thành 8. 75
  76. *) Ví dụ: 4765 4365 5672 - 1567 - 457 - 2746 3176 3706 2724 *) Phép nhân: Phép nhân trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc nhân trong hệ đếm cơ số 10, trong quá trình nhân phải sử dụng bảng cửu ch−ơng của hệ cơ số 10, chỉ khác là khi tổng riêng lớn hơn 7 thì ta phải chuyển nó về cơ số 8 bằng cách chia số đó cho 8, ghi số d−, nhớ phần th−ơng sang hàng ngay tr−ớc đó. (Có thể lập bảng bát ch−ơng của hệ cơ số 8). 367 1035 3745 ì 23 ì 42 ì 52 1345 2072 7712 + 756 + 4164 + 23571 11125 43732 245622 1235 7045 ì 763 ì 652 3727 16012 + 7656 + 43271 11113 52336 1214007 5704522 (6754)88ì (57)= (507124) 8 *) Phép chia: Phép chia trong hệ đếm cơ số 8 đ−ợc thực hiện nh− quy tắc chia trong hệ đếm cơ số 10. 56743 145 23510 436 - 457 356 - 2170 43 1104 1610 - 771 - 1532 01133 056 - 771 0142 76
  77. Đối với hệ đếm theo các cơ số khác các phép toán đ−ợc thực hiện hoàn toàn t−ơng tự nh− trong hệ đếm theo các cơ số 2, 8 đã trình bày ở trên. Bài tập ch−ơng 4 1. Chứng minh tập hợp số tự nhiên chẵn và tập hợp số tự nhiên lẻ có cùng bản số. 2. Chứng minh X= {} abc,, là tập hữu hạn. 3. Chứng minh 3 là tập vô hạn. 4. Chứng minh 6 là tập vô hạn. 5. A = {abc,,} , Xxyztu= { ,,,,} ; m = card(A), n = card(X). Chứng minh: m < n. 6. X hữu hạn và khác rỗng. a ∈ X. Chứng minh a) na=−X { } là số tự nhiên kề tr−ớc m. b) Mỗi số tự nhiên m ≠ 0 có một số kề tr−ớc duy nhất. 7. Chứng minh rằng nếu X là một tập hữu hạn khác rỗng, a ∈ X thì X \ {a} cũng là một tập hợp hữu hạn. 8. Dùng tiên đề qui nạp chứng minh rằng: a) Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì A ∪ B cũng là một tập hợp hữu hạn. b) Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì A ì B cũng là một tập hợp hữu hạn. 9. Gọi y' là số tự nhiên kề sau số tự nhiên y. Chứng minh rằng x + y' = (x + y)', ∀x, y ∈ . 10. Dùng tiên đề qui nạp chứng minh rằng phép cộng thoả mãn luật giản −ớc, tức là: với x, y, z ∈ , nếu x + y = x + z thì y = z. H−ớng dẫn: * Với x = 1, chứng minh rằng nếu 1 + y = 1 + z thì y = z * Giả sử từ n + y = n + z suy ra y = z Hãy chứng minh: (n + 1) + y = (n + 1) + z → y = z. 11. Dùng đẳng thức A ì (B ∪ C) = (A ì B) ∪ (A ì C), chứng minh rằng phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là a.(b + c) = a.b + a.c, (b + c).a = b.a + c.a. 77
  78. 12. Giả sử a, b là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng: a) Nếu ab = 0 thì a = 0 hoặc b = 0 b) Nếu ab = 1 thì a = 1 và b = 1. 13. Hãy hãy biểu diễn các số tự nhiên trong hệ đếm cơ số 10 sau sang hệ đếm cơ số g (g=2, 3, , 9). a) 50 b) 128 c) 1088 14. Hãy hãy biểu diễn các số tự nhiên trong hệ đếm cơ số g sau sang hệ đếm cơ số 10. a) (10101111)2 b) (120212)3 c) (132101)4 d) (201043)5 e) (310524)6 f) (4016)7 h) (1735) 8 i) (1082) 9 15. Cho xy10==1725; 2 10101111. Hãy tính: xg + yxgg;;.;:− yxyx gggg y g với g = 2,3, ,9. 78
  79. Ch−ơng 5: Đại Số véc tơ vμ hình học giải tích 5.1. Véc tơ 5.1.1. Véc tơ tự do a) Định nghĩa: Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự của 2 điểm mút gọi là một véc tơ (hay một đoạn thẳng có h−ớng). Điểm mút thứ nhất gọi là điểm gốc, uuur điểm mút thứ hai gọi là điểm ngọn. Kí hiệu véc tơ có gốc A ngọn B là AB . uuur - Đ−ờng thẳng đi qua A, B đ−ợc gọi là giá của véc tơ AB . r - Véc tơ có gốc và ngọn trùng nhau đ−ợc gọi là véc tơ không, kí hiệu 0. uuur uuur - Độ dài đoạn thẳng AB đ−ợc gọi là môdun của véc tơ AB , kí hiệu AB . - Véc tơ có môdun bằng 1 đ−ợc gọi là véc tơ đơn vị. - Hai véc tơ có giá song song hoặc trùng nhau đ−ợc gọi là hai véc tơ cộng tuyến hay cùng ph−ơng. uuur uuur - Hai véc tơ ABCD, đ−ợc gọi là cùng h−ớng (ng−ợc h−ớng) nếu khi uuur tịnh tiến CD sao cho C đến trùng với A thì B và D ở về cùng một phía (hai phía khác nhau) đối với A. * Chú ý: i) Từ đây về sau ta sẽ gọi hai véc tơ cùng ph−ơng, cùng h−ớng là hai véc tơ cùng h−ớng và hai véc tơ cùng ph−ơng, ng−ợc h−ớng là hai véc tơ ng−ợc h−ớng. ii) Véc tơ không có môdun bằng 0 và h−ớng tùy chọn. b) Định nghĩa: Hai véc tơ đ−ợc gọi là bằng nhau nếu chúng cùng h−ớng và có môdun bằng nhau. uuur uuur uuur uuur Nếu AB bằng CD thì ta kí hiệu: AB = CD . * Chú ý: Quan hệ bằng nhau giữa hai véc tơ là một quan hệ t−ơng đ−ơng. c) Khái niệm véc tơ tự do: Các véc tơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí của gốc véc tơ. Trong nhiều tr−ờng hợp ng−ời ta chỉ chú ý đến ph−ơng, h−ớng và mô đun của các véc tơ mà không cần quan tâm đến vị trí của gốc của nó. Từ đó ta có: Một véc tơ mà gốc có thể đặt tùy ý trong không gian đ−ợc gọi là véc tơ tự do. 79
  80. r rur Véc tơ tự do th−ờng đ−ợc kí hiệu: ax, ,α , 5.1.2. Cộng véc tơ r r a) Định nghĩa: Tổng của hai véc tơ ab, là một véc tơ xác định nh− sau: Từ một uuurr uuurr điểm O tùy ý trong không gian dựng véc tơ OA= a rồi dựng véc tơ ABb= . Véc r uuur r r rrr tơ cOB= đ−ợc gọi là véc tơ tổng của hai véc tơ ab, , kí hiệu cab=+. ur uuruur Mở rộng định nghĩa trên ta có thể định nghĩa tổng của n véc tơ aa12, , , an uuur ur nh− sau: Từ một điểm O tùy ý trong không gian dựng véc tơ OA11= a rồi dựng uuuur uur uuuuuur uur ruuuur véc tơ A12Aa= 2, từ điểm An−1 dựng véc tơ Ann−1Aa= n. Véc tơ aOA= n đ−ợc uruuruur r ur uuruur gọi là véc tơ tổng của n véc tơ aa12, , , an , kí hiệu aa= 12+++ a an . b) Tính chất r rrr +) Phép cộng véc tơ có tính chất giao hoán: abba+ =+. r rrrrr +) Phép cộng véc tơ có tính chất kết hợp: ()ab+ +=+ ca () bc + . rrr +) aa+=0 +) Hai véc tơ có môdun bằng nhau nh−ng ng−ợc h−ớng đ−ợc gọi là hai véc r r r rr tơ đối nhau. Kí hiệu véc tơ đối của véc tơ a là −a . Ta có aa+ ()0−=. 5.1.3. Trừ véc tơ r r r rrr a) Định nghĩa: Hiệu của hai véc tơ ab, là một véc tơ x sao cho bxa+=. Véc r r r r rrr r tơ x đ−ợc gọi là véc tơ hiệu của hai véc tơ ab, , kí hiệu x = aba−=+−() b b) Chú ý +) Phép trừ véc tơ không có tính chất giao hoán, kết hợp. rr r r r r +) ab+≤ a + b, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab, cùng h−ớng. rr r r r r +) ab−≥ a − b, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab, cùng h−ớng và rr ab≥ . 80
  81. 5.1.4. Nhân một véc tơ với một số r r a) Định nghĩa: Tích của một véc tơ a với một số k là một véc tơ kí hiệu ka. có r r r môđun bằng ka. , cùng h−ớng với a nếu k > 0, ng−ợc h−ớng với a nếu k < 0. b) Tính chất rr +) 1.aa= . rr +) (1).−=−aa. rr +) kla()()= kla (tính chất kết hợp đối với phép nhân). rr r r +) ka()+= b ka + kb (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng véc tơ). rrr +) ()klakala+=+ (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các số). 5.1.5. Tích vô h−ớng của hai véc tơ r r r r a) Định nghĩa: Cho hai véc tơ ab, . Số ab cosϕ , trong đó ϕ là góc giữa hai rr r r rr véc tơ ab, đ−ợc gọi là tích vô h−ớng của hai véc tơ ab, , kí hiệu ab. . rr r r Nh− vậy: ab cos.= a b ϕ rr * Chú ý: +) Hai véc tơ ab. đ−ợc gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng rr rr rrr bằng 900, kí hiệu ab⊥ . Từ định nghĩa của tích vô h−ớng ta có: ab⊥⇔ ab.0 = rr r r 2 +) aa. đ−ợc gọi là bình ph−ơng vô h−ớng của véc tơ a , kí hiệu a . r r r 2 r 2 ab. Từ định nghĩa ta có: aa= , cosϕ = r r . ab. b) Tính chất rr rr +) Tích vô h−ớng của hai véc tơ có tính chất giao hoán ab = ba. rr r r r r +) kab(.)== ( kab ). a .(.) kb. rr r rrrr +) ab.(+= c ) abac . + . . 81
  82. rr r +) a.0= 0 . 5.1.6. Tích có h−ớng của hai véc tơ uuur uuur uuur a) Định nghĩa i) Tam diện tạo bởi 3 véc tơ OA,, OB OC không đồng phẳng lấy theo thứ tự ấy đ−ợc gọi là thuận (nghịch) nếu một ng−ời đứng trên mặt phẳng uuuruuur uuur uuur chứa OA, OB theo h−ớng của véc tơ OC thấy h−ớng quay từ véc tơ OA đến véc uuur tơ OB theo góc nhỏ nhất là ng−ợc chiều quay của kim đồng hồ (cùng chiều quay của kim đồng hồ). rr r ii) Cho hai véc tơ ab, , véc tơ c thỏa mãn ba điều kiện sau đ−ợc gọi là tích rr có h−ớng của hai véc tơ ab, : rrrr +) cacb⊥⊥, rrr r r +) cab= sinϕ , ϕ là góc giữa hai véc tơ ab, rrr +) abc,, tạo thành một tam diện thuận. rrr Kí hiệu: cab=∧. *) Hệ quả: +) Trong không gian, hai véc tơ cùng ph−ơng khi và chỉ khi tích có h−ớng của chúng bằng véc tơ không. +) Môdun của tích có h−ớng của hai véc tơ bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai véc tơ ấy. b) Tính chất rr rr +) ab∧=−∧ ba rr rrr r +) ka()∧= b ka ∧=∧ b a kb . rrrrrrrrrrrrrr +) abcabacabcacbc∧+=∧+∧()()();() +∧=∧+∧ ()() 5.1.7.Tích hỗn tạp của ba véc tơ r rr rr a) Định nghĩa: Cho ba véc tơ abc,, . Lấy tích có h−ớng của hai véc tơ ab, ta rr r r r r rr đ−ợc véc tơ ab∧ , nhân vô h−ớng ab∧ với c ta đ−ợc số ().abc∧ gọi là tích 82
  83. rrr r rr r rr r r r hỗn tạp của ba véc tơ abc,, , kí hiệu: (,,)abc . Ta có: (,,)abc=∧ ( a b ). c. r rr b) Định lý: Tích hỗn tạp của ba véc tơ không đồng phẳng abc,, là một số có giá trị tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên ba véc tơ đó. Số ấy là d−ơng nếu rrr r rr abc,, tạo thành một tam diện thuận, là âm nếu abc,, tạo thành một tam diện nghịch. rrrrrrrrr Chú ý: Từ định lý ta có: ().().().abcbcacab∧=∧=∧. c) Định lý: Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ đồng phẳng là tích hỗn tạp của chúng bằng 0. 5.2. Tọa độ trên đ−ờng thẳng 5.2.1. Trục Định nghĩa: Một đ−ờng thẳng trên đó đã chọn một véc tơ đơn vị gọi là một trục. H−ớng của véc tơ đơn vị đ−ợc gọi là h−ớng của trục. 5.2.2. Điểm chiếu, véc tơ chiếu a) Định nghĩa: Cho một trục Δ , một mặt phẳng P không song song với Δ và ruuur một véc tơ aAB= tùy ý trong không gian. Qua A và B dựng các mặt phẳng song song với P cắt Δ ở A1 và B1 . +) Các điểm A1 , B1 gọi là các điểm chiếu của các điểm A, B trên Δ theo ph−ơng P. uuuur uuur +) A11B gọi là véc tơ chiếu của véc tơ AB trên Δ theo ph−ơng P. uuuur uuur uuur uuuur +) Giả sử A11BkOE= . (OE là véc tơ đơn vị trên Δ ), k > 0 nếu A11B và uuur uuuur uuur OE cùng h−ớng, k < 0nếu A11B và OE ng−ợc h−ớng. Số đại số k đ−ợc gọi là uuur uuur chiếu của véc tơ AB trên trục Δ theo ph−ơng P và ta viết kprAB= Δ hay r kpra= Δ . Số k còn đ−ợc gọi là độ dài đại số của A11B và kí hiệu kAB= 11. b) Tính chất +) Các véc tơ bằng nhau có chiếu (trên cùng một trục, theo cùng một 83
  84. r rrr ph−ơng) bằng nhau, tức là ab=⇔ praprbΔ = Δ . +) Chiếu của véc tơ tổng bằng tổng các chiếu của các véc tơ thành phần, rr r r nghĩa là prΔΔΔ() a+⇔ b pr a + r b . rr +) prΔΔ(.) k a= k . pr a . +) Khi mặt phẳng P vuông góc với Δ , phép chiếu lên Δ theo ph−ơng P đ−ợc gọi là phép chiếu vuông góc và ta có: Định lý: Chiếu vuông góc của một véc tơ trên một trục bằng môdun của véc tơ r r nhân với cosin của góc giữa trục và véc tơ: prΔ a= a .cosϕ . 5.3. Ph−ơng pháp tọa độ trên mặt phẳng 5.3.1. Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng gồm hai đ−ờng thẳng ur uuur vuông góc với nhau x’Ox và y’Oy trên đó chọn hai véc tơ đơn vị eOE11= , ur uuuur eOE22= , th−ờng gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy. - Hai đ−ờng thẳng x’Ox và y’Oy gọi là hai trục tọa độ, trục x’Ox gọi là trục hoành, y’Oy gọi là trục tung. ur ur - Hai véc tơ đơn vị e1 , e2 gọi là hai véc tơ cơ sở. - Điểm O đ−ợc gọi là điểm gốc tọa độ. - Hại trục tọa độ chia mặt phẳng ra làm 4 miền, mỗi miền gọi là một góc tọa độ. Ta có 4 góc tọa độ I, II, III, IV. - Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy gọi là thuận nếu h−ớng quay từ ur ur e1 đến e2 theo góc bé nhất là ng−ợc h−ớng của kim đồng hồ, gọi là nghịch trong tr−ờng hợp ng−ợc lại. 5.3.2. Tọa độ của điểm Để định nghĩa tọa độ của điểm trong mặt phẳng ta cần định lý sau: ur ur r *) Định lý: Cho hai véc tơ không cùng ph−ơng e1 , e2 . Bất kì một véc tơ a nào 84