Giáo án Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng

Nội dung text: Giáo án Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng

1. Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Trong mp cho miền D giới hạn bởi a x b y=f (x) 2 f12()() x y f x Từ định nghĩa tp b xác định ta suy ra a b y=f1(x) S()()() D=− ( f21 x f x) dx a
2. Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y=x và y=5x-x2 4 2 S( D )= ( (5 x − x ) − x) dx 0 32 = 3
3. Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ta có thể dùng MatLab để giải Ví dụ trên như sau Tìm giao điểm tức là cận tp bằng cách giải hpt: f1=y-x f2 = y-5*x+x^2 [x y] =solve(f1,f2) Ta sẽ được ma trận với 2 nghiệm của hpt x=0, 4 và y=0, 4. Tức là ta có cận tp 0≤x ≤4 Để tính S(D), ta đi dùng lệnh f=f1-f2 S=abs(int(f,0,4))
4. Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y2=2x và 2y=x2 2 x2 4 S( D )=− 2 x dx = 3 0 2
5. Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi x2+y2=8, 2x=y2, x>0 2 y2 4 S( D )= 8 − y2 − dy =+2 −2 2 3
6. Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay a x b Miền phẳng D giới hạn bởi Quay quanh 0 y f ( x ) trục Ox tạo thành vật thể tròn xoay n 2 V=  f() Mkk x i=1 D quay quanh trục Oy b Vy = 2 xf ( x ) dx a
7. Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi 2y=x2, 2x+2y-3=0 quanh trục Ox 2 1 3 x4 Vx = − x − dx 24 −3 272 = 25
8. Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi y = e −− 2 xx − 1, y = e + 1, x = 0 quanh trục Ox 0 −−xx2 2 2 11 Vx = (( e + 1) − ( e − 1) ) dx = −ln 2 4
9. Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi y = e −− 2 xx − 1, y = e + 1, x = 0 quanh trục Oy 0 −−xx2 Vx =2 x( ( e + 1) − ( e − 1)) dx −ln 2 1 =−2 (ln2 2 ) 4
10. Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi y=x2+1, y=5 quay quanh a. Trục Oy b. Đt y=5 a. Quay quanh trục Oy: 2 2 Vy =2 x( 5 − ( x + 1)) dx 0 = 8 b. Quay quanh đt y=5 Ta đổi hệ trục tọa độ để trục quay trùng với 1 trong 2 2 trục tọa độ 22 256 VX =− ( X 4) dX = 0 15
11. Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Phần đường cong y=f(x) với a≤x≤b quay quanh trục Ox sẽ tạo thành 1 mặt cong. bb 2 S=2 ydl = 2 y 1 + y dx aa Khi quay quanh trục Oy, ta đổi vai trò của x và y bằng cách tính x=x(y) từ pt y=f(x)
12. Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay ellipse x2 +=y2 1 quanh trục Ox 4 Đường ellipse cũng nhận Ox là trục đối xứng nên ta cũng chỉ cần lấy nửa phía trên hoặc dưới quay như khi tính thể tích vật thể tròn xoay
13. Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Áp dụng công thức trên cho nửa trên ellipse tức là đường cong : y=1 − x2 / 4, − 2 x 2 2222 4−−xx 16 3 2 Sx =2 dx = 16 − 3 x dx −−222 4 − x2 8 2 =+2 33
14. Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung x y=( x − 12),1 x 12 quanh trục Ox 6 x−−12 x 3 x 12 y = + = 12xx6 12 12 xx−+44 Sx = 2 dx 1 44xx 143 =−2 ln12 32
15. Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung x=4 − y2 , − 2 y 2 quanh trục Oy 2 2 Sy =+21 x x dy −2 =+65ln 17 124 17 16 ( )
16. Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung Cho phần đường cong y=f(x), a≤x≤b. Độ dài phần này là b 2 L=+ 1 y dx a Ví dụ: Tính độ dài phần parabol y=x2 nằm dưới đt y=1 Phần parabol nằm dưới đt y=1 ứng với -1≤x≤1 1 2 ln( 5+ 2) L=+ 14 x dx =+5 −1 2
17. Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung 8 Ví dụ: Tính độ dài phần đường cong yx 22 =− ( 1) nằm trong parabol y2=2x , với x≤1 27 8(x − 1)2 35 3 129 2xx= = 27 8 2 2(1− x ) y = 33 1 35 L= 2 dx 35− 3 129 27 8 35 3 129− 27 = 27 4