Giáo trình Cơ học chất lưu (Bản đẹp)

95 trang huongle 2611

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học chất lưu (Bản đẹp)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_hoc_chat_luu_ban_dep.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học chất lưu (Bản đẹp)

Chương 1 MỞ ĐẦU 1.1 Đối tượng, phạm vi và mục đích của học phần Cơ học chất lưu là một môn khoa học thuộc lĩnh vực cơ học, nghiên cứu các quy luật chuyển động và đứng yên của chất lưu và các quá trình tương tác của nó với các vật khác. Chất lưu bao gồm chất lỏng và khí giống như các môi trường liên tục, được cấu tạo từ nhiều phân tử (chất điểm). Khác với vật rắn, các phân tử của chất lưu có thể chuyển động hỗn loạn bên trong khối chất lưu, vì vậy chất lưu luôn có hình dạng thay đổi phụ thuộc hình dạng bình chứa. Chất khí khác với chất lỏng ở chỗ thể tích của một khối khí có thể thay đổi phụ thuộc thể tích bình chứa, khối lượng riêng hay mật độ phân tử của chất lỏng lớn hơn hàng ngàn lần so với của chất khí. Ở điều kiện bình thường, các phân tử của chất lỏng luôn giữ khoảng cách trung bình cố định ngay cả trong quá trình chuyển động hỗn loạn, vì vậy chất lỏng được xem là không chịu nén dưới tác động của ngoại lực. Đối với chất khí, lực đẩy giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi khoảng cách giữa các phân tử giảm khá nhỏ, cho nên ở điều kiện bình thường chất khí bị nén dễ dàng. Phạm vi nghiên cứu của học phần cơ học chất lưu là các trạng thái vật lý, các qui luật vận động và tương tác của chất lưu ở trạng thái tĩnh và động. Mục đích của học phần cơ học chất lưu là Trang bị cho người học những hiểu biết nền tảng về các hiện tượng Vật lý xảy ra trong chất lưu, có kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán về cơ học chất lưu. Có thể vận dụng kiến thức để làm việc trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: thiết kế các phương tiện vận chuyển; tính toán cho cấp, thoát nước, công trình thủy lợi và xây dựng, thiết kế các thiết bị thủy lực, 1.2 Tính chất vật lý cơ bản của chất lưu 1.2.1 Khối lượng riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng, thể tích Khối lượng riêng trung bình của chất lưu theo định nghĩa là khối lượng của một đơn vị thể tích chất lưu: m (1.1) V 1
trong đó là khối lượng riêng trung bình, m là khối lượng của khối chất lưu có thể tích V. Trong khối chất lưu có thể có sự phân bố mật độ không đồng đều, khi đó khối lượng riêng tại một điểm nào đó của chất lưu được tính bởi: m dm lim (1.2) V 0 V dV Trong hệ đơn vị SI, có đơn vị là kg/m3. Trọng lượng riêng  của chất lưu là lực trọng trường tác dụng lên một đơn vị thể tích chất lưu:  = g (1.3) với g là gia tốc trọng trường tại vị trí của khối chất lưu Trong hệ đơn vị SI,  có đơn vị là N/m3. Trong thực tế còn dùng đơn vị kgf/m3, 1 kgf = 9,81 N Tỉ trọng  của một chất lưu là tỉ số của khối lượng riêng của chất lưu đó đối với khối lượng riêng của nước:  (1.4) n Tại cùng vị trí thì g = const, do đó:   (1.4’)  n 3 3 3 Ví dụ: Nước có n = 1000 kg/m n = 9,81.10 N/ m Cồn có = 780 kg/m3 tỉ trọng của cồn  = 0,78 Thể tích riêng Vi của chất lưu được định nghĩa là thể tích của một đơn vị khối lượng chất lưu: 1 V (m3/kg) (1.5) i Chú ý: khối lượng một vật không thay đổi nhưng trọng lượng (riêng) thay đổi do gia tốc trọng trường g thay đổi theo vĩ độ và độ cao trên mặt đất. 1.2.2 Tính nén được Đối với chất lỏng hệ số (suất hay modun) đàn hồi K được định nghĩa: 2
dp K V (1.6) dV Do M = ρV => dM = ρdV + Vdρ = 0, nên: dp K (1.6’) d o 9 2 Ví dụ: ở 20 C nước có suất đàn hồi Knước = 2,2 10 N/m Chất lưu được xem là không nén được khi khối lượng riêng thay đổi không đáng kể ( = const). Chất lỏng thường được xem là không nén được trong hầu hết các bài toán kỹ thuật. Ví dụ: Một xilanh chứa 0,1 lít nước ở 20 oC. Nếu ép pitton để thể tích giảm 1 % thí áp suất trong xilanh tăng lên bao nhiêu? o 9 2 Giải: Ở 20 C, suất đàn hồi của nước Kn = 2,2.10 N/m dV Thể tích giảm 1 % -1/100 V dV Vậy áp suất tăng: dP = – K = 2,2.109.10-2 = 2,2.107 N/m2 n V Hệ số nén p được xác định bằng biểu thức: dV/ V  o (1.7) p dp với p là áp suất tuyệt đối, Vo là thể tích ban đầu của chất lưu. Suất đàn hồi K thường dùng cho chất lỏng, hầu như là hằng số, rất ít phụ thuộc vàp áp suất và nhiệt độ. Hầu hết các loại chất lỏng đều rất khó nén nên được xem như là chất lưu không nén được. Một dòng khí chuyển động với vận tốc nhỏ thì sự thay đổi khối lượng riêng không đáng kể nên vẫn được xem là chất lưu không nén được. Khi dòng khí chuyển động với vận tốc lớn hơn 0,3 lần vận tốc âm thanh ( 100 m/s) thì được xem là chất lưu nén được. Đối với chất khí, hầu hết các khí thực ở điều kiện bình thường được xem như là khí lý tưởng, chúng tuân theo phương trình trạng thái khí lý tưởng: pV = RT Hay: p = RT Trường hợp nén khí đẳng nhiệt thì: 3
pV = const Trường hợp nén khí đoạn nhiệt thì: pV = const với  là hệ số poisson hay chỉ số đoạn nhiệt. Vận tốc truyền âm trong chất lưu: dp K c d 1.2.3 Tính nhớt của chất lưu Chất lưu không có khả năng chịu lực cắt, khi có lực này tác dụng, nó sẽ chảy và xuất hiện lực ma sát bên trong. Ứng suất ma sát giữa các lớp chất lưu song song do sự chuyển động tương đối giữa các lớp phụ thuộc vào gradient vận tốc du/dy. Hình 1.1 Chất lỏng Newton chảy tầng Để đặc trưng cho ma sát giữa các phần tử chất lưu trong chuyển động, ta xét một chất lỏng Newton chảy tầng theo phương vuông góc với y (hình 1.1), theo định luật ma sát nhớt Newton ta có biểu thức: du   (1.8) dy Trong đó: τ là ứng suất ma sát (đơn vị là N/m2) µ là hệ số nhớt động lực học u là vận tốc chất lưu, phụ thuộc vào y N. s kg Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của µ là Pa. s . Trong thực tế còn m2 ms 4
dùng đơn vị poise, 1 poise = 0,1 Pa.s. Ngoài hệ số động lực học µ, người ta còn sử dụng hệ số nhớt động họcυ, được định nghĩa:   (1.9) Đơn vị của υ trong hệ SI là m2/s hay stoke, 1 stoke = 1cm2/s = 10-4 m2/s. Có hai loại chất lưu (hình 1.2): Hình 1.2 + Chất lưu Newton: có ứng suất ma sát tỉ lệ thuận với suất biến dạng, hay độ nhớt động lực học µ = const. + Chất lưu phi Newton: có ứng suất ma sát không tỉ lệ với suất biến dạng, hay độ nhớt động lực học µ const. Độ nhớt động lực học µ = 0 đối với chất lưu lý tưởng Hệ số nhớt µ phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất. Khi nhiệt độ tăng đối với chất lỏng µ giảm, còn đối với chất khí thì ngược lại. Khi áp suất tăng µ của chất lỏng tăng, còn đối với chất khí µ hầu như không thay đổi khi áp suất tăng. Hầu hết các loại chất lưu thông thường như nước, xăng, dầu, đều thỏa mãn công thức Newton, tuy nhiên một số chất lỏng kém linh động như hắc ín, nhựa nóng chảy, dầu thô, không tuân theo công thức Newton được gọi là chất lỏng phi Newton. Đối với chất lỏng thông thường khi chảy ở trạng thái chảy rối cũng không tuân theo công thức Newton. Với khái niệm hệ số nhớt có thể định nghĩa chất lưu lý tưởng là chất lưu có 5
hệ số nhớt (ma sát) bằng không, còn chất lưu thực có hệ số nhớt (ma sát) luôn khác không. Ðộ nhớt trong chuyển động của chất lưu thực có hai vai trò: Thứ nhất là tạo ra sự truyền chuyển động từ lớp nọ qua lớp kia, nhờ đó mà vận tốc trong dòng chất lưu thay đổi liên tục từ điểm này qua điểm khác. Thứ hai là chuyển một phần cơ năng của dòng thành nội năng của nó, tức là tạo ra sự khuếch tán cơ năng. 1.2.4 Áp suất hơi Áp suất hơi là áp suất cục bộ của phần hơi trên bề mặt tiếp xúc với chất lỏng. Nếu trong không gian kín trên bề mặt chất lỏng, khi các phần tử chất lỏng bốc hơi đạt đến trạng thái bão hoà cân bằng động với các phân tử chất lỏng ngưng tụ thì áp suất trong khoảng không gian kín đó được gọi là áp suất hơi bão hòa pbh. Áp suất hơi bão hoà tăng theo nhiệt độ. o o Ví dụ ở 25 C, nước có pbh = 0,025 at; ở 100 C, pbh = 1at. Khi áp suất tác dụng lên bề mặt chất lỏng áp suất hơi bão hoà thì chất lỏng bắt đầu sôi (hoá hơi). Ví dụ có thể cho nước sôi ở 25o C nếu hạ áp suất xuống còn 0,025at. Tại một số vùng nào đó trong dòng chảy nếu áp suất tuyệt đối nhỏ hơn giá trị áp suất hơi thì chất lỏng sẽ sủi bọt. Các bọt khí này khi vỡ sẽ gây tổn hại đến bề mặt của thành rắn gọi là hiện tượng xâm thực khí. 1.2.5 Sức căng mặt ngoài và hiện tượng mao dẫn Khoảng cách giữa các phân tử chất lỏng khá nhỏ so với trong chất khí, do đó lực hút giữa các phân tử chất lỏng là lớn hơn lực hút giữa các phân tử chất lỏng với các phân tử chất khí. Vì vậy lớp phân tử nằm ở mặt thoáng chất lỏng chịu một lực tác dụng hướng vào trong chất lỏng. ực tác dụng lên các phân tử ở lớp mặt ngoài chất lỏng ép lên các phân tử chất lỏng phía trong và gây nên một áp suất gọi là áp suất phân tử. Hiện tượng này làm bề mặt chất lỏng giống như một màng mỏng bị căng, nó tạo ra một sức căng trên bề mặt chất lỏng. Theo định nghĩa, sức căng bề mặt  là lực căng trên 1 đơn vị chiều dài nằm trong bề mặt cong của chất lỏng và vuông góc với đường bất kỳ trên bề mặt chất lỏng. Đơn vị trong hệ SI của  là N/m. Chính do sức căng bề mặt mà các giọt chất lỏng trong tự nhiên thường có dạng cầu. Cũng do sức căng bề mặt mà gây nên hiện tượng chất lỏng làm ướt và 6
không làm ướt chất rắn, hệ quả của nó là hiện tượng mao dẫn (hình 1.2). ọi h là chiều cao cột chất lỏng dâng lên (hay hạ xuống) trong ống mao dẫn, r là bán kính ống mao dẫn, là bán kính cong của mặt khum chất lỏng,  là góc làm ướt, theo công thức urin (hình 1.2) ta có: 2 c os h (1.10) rg Hình 1.2 Hiện tượng mao dẫn Từ công thức (1.10) ta thấy: + Nếu 0  0 chất lỏng dâng lên. + Nếu /2 <  , cos 0 chất lỏng hạ xuống. Với chất lỏng xác định, ở nhiệt độ xác định thì khối lượng riêng và không đổi, ống càng nhỏ (r bé) chiều cao cột chất lỏng càng lớn. Hiện tượng mao dẫn có vai trò rất quan trọng đối với tự nhiên và kỹ thuật. 7
Chương 2 TĨNH HỌC CHẤT LƯU 2.1 Áp suất thủy tĩnh 2.1.1 Khái niệm Tĩnh học chất lưu nghiên cứu chất lưu ở trạng thái cân bằng, không có chuyển động tương đối giữa các phần tử. Một khối chất lưu được gọi là ở trạng thái tĩnh tuyệt đối khi nó nằm ở trạng thái cân bằng chỉ chịu tác dụng của ngoại lực duy nhất là trọng lực. Một khối chất lưu được gọi là ở trạng thái tĩnh tương đối: khi nó nằm ở trạng thái cân bằng chịu tác dụng của nhiều ngoại lực (trọng lực, lực quán tính, lực ly tâm, .) 2.1.2 Áp suất thủy tĩnh Khi có một vật rắn tiếp xúc với chất lỏng thì các phân tử của chất lỏng sẽ tác dụng lực vào vật rắn tiếp xúc với nó. ực tác dụng này được phân bố trên toàn bộ diện tích tiếp xúc và vuông góc với bề mặt tiếp xúc gọi là áp lực. Hình 2.1 Xét một diện tích S bất kỳ trong khối chất lưu, ọi là áp lực tác dụng vuông góc lên S (hình 2.1). Theo định nghĩa, áp suất thủy tĩnh trung bình tác dụng lên S là: F p (2.1) S 8
Áp suất thủy tĩnh tại một điểm là: F d F p lim (2.2) S 0 S dS 2.1.3 Tính chất - Từ định nghĩa ta thấy áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy. - Trị số áp suất thuỷ tĩnh không phụ thuộc vào hướng của diện tích chịu lực. Ta có thể chứng minh điều này: Xét sự cân bằng của một thể tích vi phân chất lưu hình tứ diện vuông góc có các cạnh x, y, z, s đặt tại gốc toạ độ (hình 2.2). Các lực lên phần tử chất lưu gồm: ực mặt: pxyz; pyxz; pzyx; psys. 1 ực khối: Fxyz 2 với là khối lượng riêng của chất lưu, F là lực khối đơn vị. Hình 2.2 Do khối chất lưu nằm cân bằng nên tổng các lực tác dụng lên nó theo phương bất kỳ phải bằng không, chẳng hạn phương x: 1 pxδyδz – psδyδz + ρFxδxδyδz = 0 2 p – p + Fxx = 0 (2.3) x s 9
với: pxδyδz là lực do p tác dụng lên mặt ABCD theo phương Ox x – psδyδz là lực do p tác dụng lên mặt BCEF chiếu lên Ox: s – p y.s.sin = – p ysz/s = –p y z s s s 1 ρFxδxδyδz là lực khối tác dụng lên phần tử chất lưu chiếu lên phương Ox 2 Từ phương trình (2.3) ta thấy khi x  0 thì px = ps. Chứng minh tương tự cho các phương khác, Cuối cùng ta có: px = py = pz = pn (2.4) Biểu thức (2.4) chính là điều phải chứng minh. 2.1.4 Đơn vị của áp suất Trong hệ đơn vị SI đơn vị của áp suất là: [p] = N/m2 = Pa Ngoài ra trong thực tế còn dùng các đơn vị: kgf/cm2, atmotphe kỹ thuật (at), dyn atmotphe vật lý (atm), m nước, mHg, cm2 1 at = kgf/cm2 = 10 m nước = 736 mHg = 9,81.104 Pa 1 tor = 1 mHg = 133 Pa là áp suất gây nên bởi cột thuỷ ngân cao 1 mm. 1 atm là áp suất gây nên bởi cột thuỷ ngân cao 760 mHg = 1,01.105 Pa. dyn1 N 0,1 Pa cm2210 m 2.1.5 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư và áp suất chân không Áp suất tuyệt đối ptđ : là giá trị đo áp suất so với chuẩn là chân không tuyệt 2 đối, nó chính là giá trị áp suất thực, ví dụ áp suất của không khí pk = 98100 N/m . Áp suất dư pd: là giá trị đo áp suất so với chuẩn là áp suất khí trời (p ) tại vị a trí đo (còn gọi là áp suất tương đối) hay áp suất được so sánh với áp suất khí quyển: pd = ptđ – pa (2.3) Áp suất chân không pck: là áp suất còn thiếu cần phải thêm vào cho bằng áp suất khí trời: 2 pck = pa – ptđ = 98100 N/m – ptđ = – pd (2.4) 10
2.1.6 Lực khối và lực mặt Ngoại lực tác dụng lên mọi phần tử của chất lỏng và tỉ lệ với khối lượng của chất lỏng gọi là lực khối. ọi là lực khối tác dụng lên thể tích V của chất lưu có khối lượng riêng (hình 2.3). Theo định nghĩa vector cường độ lực khối tại một điểm nào đó trong khối chất lưu là: Ví dụ các lực khối như: Hình 2.3 - Trọng lực: F g - ực quán tính: F a - ực ly tâm: Fr 2 Ngoại lực tác dụng lên từng phần tử của thể tích chất lưu và tỉ lệ với diện tích bề mặt bao bọc chất lưu gọi là lực mặt. ọi là lực mặt tác dụng lên diện tích S của chất lưu (hình 2.4), vector ứng suất  tại một điểm trên S được định nghĩa: f  lim S 0 S Ví dụ về lực mặt như: - Áp suất - Ứng suất ma sát Hình 2.4 Trong trường hợp tổng quát  là một tenxo hạng hai: xx  xy  xz  yx  yy  yz với ( =  ) ij ji zx  zy  zz Ứng suất trên một diện tích bất kỳ được biểu diễn: 11
n  nn x  y n y  z n z 2.2 Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng 2.2.1 Phương trình vi phân cơ bản Xét khối chất lỏng vi phân khối lượng riêng dạng khối hộp có các cạnh dx, dy, dz nằm cân bằng (hình 2.5). ực khối tác dụng lên khối chất lỏng là ). ực tác dụng lên khối hình hộp theo phương x gồm: - ực khối: .dxdydz.Fx p - ực mặt: p. dydz p dx dydz x Hình 2.5 Khối chất lỏng cân bằng ực tổng cộng tác dụng lên khối chất lưu theo phương x phải bằng 0: p .dxdydz.Fx + p. dydz p dx dydz = 0 x p 1 p Fx – = 0 F = 0 (2.5) x x x Chứng minh tương tự cho các trục khác: 1 p F 0 (2.6) y y 12
1 p Fz 0 (2.7) z Các phương trình (2.5 – 2.7) có thể viết gộp lại dưới dạng vecto: 1 F grad p 0 (2.8) (2.8) là phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học chất lưu. Nếu lực khối tác dụng chỉ là trọng lực, phương trình cơ bản tĩnh học chất lưu trở thành: 1 gp –  0 (2.9) với g là gia tốc trọng trường. 2.2.2 Phương trình thuỷ tĩnh Xét một khối chất lưu tĩnh đặt trong trường trọng lực (hình 2.6), dưới tác dụng của trọng lực, lực khối theo từng phương sẽ là: Fx = Fy = 0; Fz = – g (2.9) Hình 2.6 Theo phương trình (2.8) ta có: p p 0 p = p(y,z) 0 p = p(x,z) x y p g z Đối với chất lưu không nén được thì , do đó: p = – gz + C hay: 13
p + z = C (2.10) p z gọi là cột áp tĩnh  (2.10) gọi là phương trình cơ bản thủy tĩnh dạng 1 hay quy luật phân bố áp suất thuỷ tĩnh. Thay z = z , p = p vào (2.10), sau khi biến đổi ta được: o o p = p + γ(z - z) = p + γh (2.10’) o o o (2.10’) gọi là phương trình cơ bản thủy tĩnh dạng 2 là phương trình để tính áp suất tại một điểm. trong đó: p là áp suất tại mặt phân chia chất lỏng. 0 h là độ sâu từ mặt phân chia chất lỏng đến điểm cần tính áp suất. Hình 2.7 Xét 2 điểm A và B ở độ cao zA và zB tương ứng so với mặt chuẩn 0 (độ cao qui ước z = 0) (hình 2.7). Áp dụng phương trình (2.10) cho 2 điểm A và B ta được: PA + gzA = PB + gzB Hay: PB = pA + hAB (2.11) (2.11) là phương trình thuỷ tĩnh. Từ (2.11) ta suy ra một số hệ quả sau: – Trên mặt đất mặt đẳng áp của các chất lưu là mặt nằm ngang. – Trong một khối thể tích có nhiều chất lưu khác nhau, khối lượng riêng khác nhau, không trộn lẫn vào nhau thì mặt phân chia là các mặt đẳng áp. – Độ chênh áp suất giữa hai điểm A và B trong một môi trường chất lưu chỉ 14
phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng giữa hai điểm đó. Đối với chất khí: Do tính chất nén được của chất khí nên const. Xét khối khí nằm trong trường trọng lực, coi chất khí là khí lý tưởng, từ phương trình trạng thái khí lý tưởng: p p = RT RT Từ đó: dp p dp g g dz dx RT p RT Nếu nhiệt độ khối khí thay đổi theo độ cao, ví dụ theo qui luật T = To – az với a > 0, To là nhiệt độ ứng với z = 0 (thường lấy là mực nước biển). Khi đó: dp g dz p R() To az ấy tích phân hai vế ta được: g Lnp Ln T az Ln() C aR o Kí hiệu po là áp suất ở độ cao z = 0, ta có: g To po Lnpoop Ln T LnC() pCo C aR aR g aR To Cuối cùng ta thu được phương trình tĩnh học khí quyển: (2.12) 2.3 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 2.3.1 Áp kế Áp kế tuyệt đối: Dùng để đo áp suất tuyệt đối của khí quyển, nguyên tắc cấu tạo của dụng cụ (hình 2.8), áp suất khí quyển pk được xác định bởi chiều cao cột thuỷ ngân dâng lên trong ống hàn kín: Pk = Hggh 15
Định luật hai bình thông nhau: Một ống hình chữ U hở hai đầu đựng hai chất lỏng khối lượng riêng 1 và 2 tương ứng (hình 2.9). Từ phương trình thuỷ tĩnh ta có: pA = pA’ + 2gh2 pB = pB’ + 1gh1 (a) pA = pA’ + 2h2 pB = pB’ + 1h1 (b) Dễ dàng chứng minh được pA = pB do cùng nằm trên một mặt phẳng ngang trong cùng một chất lỏng. Hình 2.8 Áp kế tuyệt đối Hình 2.9 pA’ = pB’ do đều nằm trên mặt thoáng chất lỏng nên chỉ chịu tác dụng của áp suất khí bên ngoài. Từ các phương trình (a) và (b) ta suy ra: 1h1 = 2h2 Hay: h  12 (2.13) h21 2.3.2 Định luật Pascal Trạng thái cân bằng của chất lưu là trạng thái mà ở đó không có sự chuyển động tương đối giữa các phần khác nhau của chất lưu, ở đây ta bỏ qua sự chuyển động hỗn loạn của các phân tử chất lưu. Định luật: Khi chất lưu ở trạng thái cân bằng thì áp suất tại một điểm trong lòng chất lưu là phân bố đều theo mọi phương. Nghĩa là áp suất tại điểm đó phân bố theo mọi phương có độ lớn bằng nhau. Từ định luật Pascal có thể chứng minh được nếu chất lỏng đứng yên và chịu 16
tác dụng của một áp suất nào đó từ bên ngoài thì áp suất đó sẽ được chất lỏng truyền đi theo mọi phương với cùng độ lớn. Điều này được ứng dụng trong kỹ thuật máy nén thuỷ lực 2.3.3 Biểu đồ phân bố áp suất Từ công thức (2.10’) biểu diễn sự thay đổi áp suất trên một diện tích ta sẽ được biểu đồ phân bố áp suất (hình 2.10). Nếu biểu diễn độ cao áp suất thì ta được biều đồ phân bố áp lực (hình 2.11). Hình 2.10 Biểu đồ phân bố áp suất. Hình 2.11 Biểu đồ phân bố áp lực. Hình 2.12 biểu diễn một số biểu đồ phân bố áp lực trên mặt cong. Hình 2.12 Biểu đồ phân bố áp lực trên mặt cong Dùng biểu đồ phân bố áp lực theo chiều sâu (hình 2.11) ta xác định được áp lực tác dụng lên các mặt của khối chất lỏng hình hộp chữ nhật có đáy nằm ngang (hình 2.13). 17
a) b) Hình 2.13 Áp lực tác dụng lên các mặt của khối chất lỏng hình hộp chữ nhật. Áp lực tác dụng lên mặt đáy (hình 2.11a): F = hLb Áp lực tác dụng lên mặt bên (hình 2.11b): F = h2b/2 2.4 Áp lực thủy tĩnh 2.4.1 Áp lực thủy tĩnh lên một mặt phẳng Áp lực lên thành phẳng là tổng hợp của các lực song song và cùng chiều. Gọi áp lực tổng hợp là P. Ta cần xác định độ lớn và điểm đặt của P (hình 2.14). Kí hiệu C là trọng tâm của diện tích S, là góc nghiêng của diện tích S so với phương nằm ngang, h là độ sâu của diện tích vi phân dS, po là áp suất khí trên mặt thoáng chất lỏng,  là trọng lượng riêng của chất lỏng. Áp lực tác dụng lên diện tích vi phân dS là: dP = pdS = (po + h)dS = (po + ysin )dS Hình 2.12 Áp lực tác dụng trên toàn bộ diện tích S là: 18
P po  y sin dS po dS  sin ydS S S S ydS chính là momen tĩnh của diện tích S đối với trục Ox. Do đó: S ydS = yCS S Từ đó: P = poS + yCSsin = (po + hC)S Hay: P = pCS (2.14) với po + hC chính là áp suất tác dụng tại điểm C. Kết luận: Áp lực tác dụng lên một diện tích phẳng bằng áp suất tại trọng tâm của diện tích nhân với diện tích đó. Xác định điểm đặt của áp lực Áp dụng định lý Varignon's: “Mômen của hợp lực đối với một trục bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với trục đó”. Ở đây ta lấy mômen đối với trục Ox: Pd y D dP d y S Sau khi tích phân ta được: JC yyDC (2.15) ySC trong đó: yD là toạ độ điểm đặt của áp lực y là toạ độ trọng tâm C, h = y sinα C C C h là độ sâu trọng tâm C J là mômen quán tính của S ứng với trục song song với Ox và đi qua trọng c tâm C. Ví dụ J của một số hình: c 4 - Hình tròn đường kính d: J = d /64 c 19
3 - Hình chữ nhật rộng b cao h: J = b.h /12 c Như vậy điểm đặt áp lực luôn ở sâu hơn trọng tâm của hình phẳng. 2.4.2 Áp lực chất lỏng lên mặt cong Trường hợp đơn giản: mặt cong một chiều abc nằm xiên góc đối với trục Oz và Oy, có cạnh ab song song với trục Oy (hình 2.13). ực tổng cộng tác dụng lên mặt cong có thể viết dưới dạng tổng quát: Do ab  Oy nên Fy = 0. Áp lực dP tác dụng lên diện tích vi phân dS là dF = pdS. Theo phương Ox ta có: dFx = pdSsin = pdSx Fx = pdSx = pSx (2.16) S Hình 2.13 Với là góc hợp bởi pháp tuyến của dS với phương Oy, Sx chính là hình chiếu của mặt cong lên phương thẳng đứng Oz hay diện tích a’b’c. Kết luận: ực tác dụng lên mặt cong abc theo phương Ox chính là lực tác 20
dụng lên hình chiếu của mặt cong trên mặt phẳng zOy. Tương tự theo phương Oz ta có: dFz = p.dS.cos = p.dSz Fz pdSz S Xét Trường hợp áp suất trên mặt thoáng bằng 0: ọi h là khoảng cách từ dA theo phương thẳng đứng đến mặt thoáng ta có: Fz = hdSzz hdS = .W (2.17) SS với W = dSz = thể tích (abb’a’c) gọi là thể tích vật áp lực, nó chính là thể tích S giới hạn bởi mặt cong và các mặt bên thẳng đứng tựa trên chu vi của mặt cong và mặt thoáng. 2.4.3 Lực đẩy Archimède Nếu bỏ qua chuyển động quay của Trái đất quanh trục thì có thể xem trọng lượng của một vật đúng bằng trọng lực của nó. Định luật Archimède được phát biểu như sau: Khi một vật được nhúng trong một chất lưu, chất lưu sẽ tác dụng lên vật một lực có độ lớn đúng bằng trọng lực của phần chất lưu bị vật chiếm chỗ, phương của lực trùng với phương của trọng lựccủa vật, có chiều ngược với chiều trọng lực. Nếu vật ngập trong chất lưu ở độ sâu h nào đó, vật sẽ chịu tác dụng một áp lực: F = W với  là trọng lượng riêng của chất lỏng, W là thể tích vật áp lực. 2.5 Sự cân bằng một vật trong chất lưu 2.5.1 Vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng Ký hiệu C là điểm đặt của trọng lượng của vật, D là điểm đặt của lực đẩy Archimède tác dụng lên vật. Khi vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng sẽ có thể có 2 trường hợp xảy ra (hình 2.14). Nếu C nằm ở dưới điểm D, vì một lý do nào đó (ngoại lực tác dụng chẳng hạn) vật bị nghiêng đi, khi không còn tác dụng của ngoại lực vật sẽ tự chuyển về trạng thái cân bằng ban đầu. Đó là trạng thái cân bằng ổn định. 21
Nếu D nằm dưới điểm C, khi vật bị nghiêng đi khỏi vị trí cân bằng ban đầu, nó sẽ không thể tự trở về trạng thái cân bằng ban đầu được. Đó là trạng thái cân bằng không ổn định. Hình 2.14 2.5.2 Vật ngập một phần trong chất lỏng a) b) Hình 2.15 a) Vật nổi cân bằng; b) Vật nổi mất cân bằng Ký hiệu W là thể tích phần vật thể bị chìm trong chất lưu; C là trọng tâm của vật; D là trọng tâm của thể tích phần vật thể bị ngập khi ở vị trí cân bằng nó cũng 22
chính là điểm đặt của lực đẩy Archimède tác dụng lên vật; D' cũng giống như trên nhưng ở vị trí nghiêng; là trọng lượng của vật thể; P là lực đẩy Archimède, bằng trọng lượng chất lưu bị vật chiếm chỗ; M là tâm định khuynh, nó là giao điểm của trục nổi (trục CD) với phương tác dụng của lực đẩy Archimède P khi nghiêng (hình 2.15). Khi góc nghiêng bé, điểm M giữ vị trí không đổi trên trục nổi. ọi α là góc nghiêng; Rm là bán kính định khuynh (độ cao của điểm M so với điểm D); hm là chiều cao định khuynh (khoảng cách từ điểm M tới điểm C). Trục nổi ở vị trí cân bằng sẽ thẳng đứng, khi nghiêng nó hợp với đường thẳng đứng một góc α (góc nghiêng). Ðường ngập chất lỏng: là giao tuyến của mặt thoáng và mặt bên của vật nổi (ở vị trí cân bằng). Diện tích mặt nổi: là diện tích của tiết diện do mặt thoáng cắt vật thể (ở vị trí cân bằng nó được giới hạn bởi đường ngập nước). Ðiều kiện nổi: Vật thể sẽ nổi khi G P. Vật thể sẽ nổi ổn định khi điểm M nằm cao hơn điểm C dọc theo trục nổi và không ổn định khi M nằm thấp hơn C. Có thể đánh giá độ ổn định bằng giá trị của chiều cao tâm định khuynh M hoặc trị số của bán kính tâm định khuynh m. Bán kính định khuynh được xác định bằng công thức : J R o (2.17) m W trong đó Jo là mômen quán tính của diện tích mặt nổi đối với trục nằm ngang O đi qua tâm của diện tích mặt nổi. Chiều cao định khuynh là: J h R d o d (2.18) mm W trong đó d - độ cao của điểm C so với điểm D. Trong thực tế có thể thấy rằng các vật nổi trong nước nếu tỉ khối phân bố không đồng đều thì phần có tỉ khối lớn sẽ chìm trong nước, phần có tỉ khối nhỏ nhất sẽ nổi trên mặt nước. Ví dụ trứng gà, trứng vịt, thả vào nước. Ðối với thuyền vận tải (xà lan v.v ), trị số của chiều cao định khuynh thường lấy khoảng 0,5m. 23
2.5.3 Nguyên lý lắng ly tâm uá trình phân ly dựa vào trường lực ly tâm để phân riêng hỗn hợp hai pha rắn – lỏng hoặc lỏng – lỏng thành các cấu tử riêng biệt gọi là quá trình ly tâm. Máy để thực hiện quá trình đó gọi là máy ly tâm. Trong quá trình ly tâm lắng và lọc, nguyên liệu chuyển động quay cùng với rôto của máy (hình 2.16). ực ly tâm sẽ làm cho các cấu tử có khối lượng riêng khác nhau phân lớp theo hướng của gia tốc trường lực. Thành phần có khối lượng riêng lớn nhất sẽ tập trung ở vùng xa tâm nhất, còn phần có khối lượng riêng nhỏ nhất tập trung ở tâm của rôto. Hình 2.16 Nguyên l l m việc của máy ly tâm l ng Tùy theo cấu tạo bề mặt rôto mà quá trình ly tâm tiến hành theo nguyên tắc lọc ly tâm hay lắng ly tâm. Do đó cũng có hai loại máy ly tâm: máy ly tâm lắng và máy ly tâm lọc. ôto của máy ly tâm lắng có dạng hình trụ, kín, thành của rôto không có đục lỗ. Khi rôto quay dưới tác dụng của lực ly tâm, huyền phù hay nhũ tương được phân thành các lớp riêng biệt tùy theo khối lượng riêng của nó. ớp khối lượng riêng lớn ở sát thành rôto, lớp có khối lượng riêng nhỏ ở phía trong. y tâm lắng gồm quá trình lắng pha rắn tiến hành theo những quy luật của thủy động lực học. 24
uá trình lắng trong máy ly tâm khác quá trình lắng trong trường trọng lực. ắng trong trường trọng lực, vận tốc lắng coi như bằng nhau ở các vị trí khác nhau vì gia tốc trọng trường không phụ thuộc vào tọa độ rơi – hạt lắng theo phương song song với nhau. Trong trường lực ly tâm vận tốc lắng và gia tốc ly tâm thay đổi phụ thuộc vào vận tốc gốc ω và bán kính quay r (a = ω2r), hạt lắng theo phương đường kính rôto. Kết quả của việc lắng ly tâm trong trường trọng lực là chất lỏng có tỉ khối nhỏ nhất sẽ nổi trên cùng và tập trung ở sát trục quay, chất rắn có khối lượng riêng lớn nhất sẽ lắng xuống đáy và tập trung ở xa trục quay nhất (sát thành bình). 2.6 Ứng dụng tĩnh học tương đối 2.6.1 Chất lỏng trong bình chuyển động thẳng ngang với gia tốc không đổi Xét chất lỏng trong một xe (hình 2.17) chuyển động thẳng theo phương x với gia tốc a, áp dụng phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng: 1 F grad p 0 Hình 2.17 Suy ra: 1 pp a 0 a p ax f ( y , z ) xx 1 pp 0 0 0 p ax f ( z ) yy 25
1 pp gg 0 zz Từ hai phương trình đầu ta thấy: p  f  f g z  z  z f = – gz + const. Thay vào hai phương trình đầu ta được: p = – ax – gz + const1 (2.19) Đối với mặt đắng áp thì dp = 0, suy ra: p  p  p dx dy dz 0 x  y  z Kết hợp với 3 phương trình đầu ta thu được phương trình: – adx – gdz = 0 Hay adx = gdz ấy tích phân hai vế ta được: a z x const2 (2.20) g Từ phương trình (2.20) ta đi đến kết luận: Mặt đẳng áp l các mặt phẳng nghiêng song song với mặt thoáng. Khi xe chuyển động và chất lỏng không bị tràn ra ngoài thì mặt thoáng sẽ đi qua trung điểm M của mặt thoáng khi xe đứng yên. 2.6.2 Chất lỏng trong bình chuyển động quay đều quanh trục thẳng đứng Một chất lỏng trong bình chuyển động quay với góc không đổi (hình 2.18). Chất lỏng cân bằng với lực khối trên các phương như sau: 22 Fx  x F y y F z g Thay vào phương trình cơ bản ta được phương trình phân bố áp suất: 26
1 p 22 r gz C (2.21) 2 1 Phương trình mặt đẳng áp: 1 z 22 r C (2.22) 2g 2 Mặt đẳng áp là những mặt paraboloid tròn xoay Hình 2.18 Chú ý: Do thể tích chất lỏng trong bình không đổi nên khoảng cách từ mặt thoáng chất lỏng khi bình đứng yên đến đỉnh và chân của paraboloid bằng nhau. 27
Chương 3 ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU 3.1 Phương pháp nghiên cứu 3.1.1 Phương pháp Lagrange Nghiên cứu chuyển động của từng phần tử chất lỏng riêng biệt. Các toạ độ của phần tử chất lỏng đối với mỗi thời điểm phụ thuộc vào các toạ độ ban đầu và thời gian. Chuyển động của thể tích chất lưu được mô tả bởi vị trí của các phần của thể tích tử theo thời gian. ọi là bán kính vecto vạch từ gốc toạ độ đến vị trí của phần từ chất lỏng ở thời điểm ban đầu (t = 0). Ở thời điểm t, vị trí của chất điểm ở vị trí r (hình 3.1) được xác định bởi: r f( ro ) (3.1) Hay dưới dạng tường minh: x = x(xo,yo,zo,t) y = y(xo,yo,zo,t) z = z(xo,yo,zo,t) (3.1’) Vận tốc và gia tốc được xác định bởi: dr durd 2 u a (3.2) dt dt dt2 Các thành phần của chúng là : Hình 3.1 28
dx dy dz u u u (3.3) x dty dtz dt 2 2 2 dux d xduy dy duz d z ax ay az (3.4) dtdt2 dt dt 2 dt dt 2 Trong phương pháp agrange, các yếu tố chuyển động là một hàm có biến số là thời gian. Ví dụ: u = at2 + b (a, b là hằng số) Phương pháp agrange có ưu điểm là mô tả chuyển động một cách chi tiết. Tuy nhiên nó có nhược điểm là số lượng phương trình phải giải quá lớn; nếu số phần tử của khối chất lưu là n thì số lượng phương trình phải giải là 3n. Điều này trên thực tế là không thể thực hiện được. Vì vậy, không thể mô tả cùng một lúc quỹ đạo của nhiều phần tử. Phương pháp agrange được áp dụng trong tính toán phòng thí nghiệm. 3.1.2 Phương pháp Euler Theo Euler, chuyển động của chất lưu được đặc trưng bằng việc xây dựng trường vận tốc tức là xây dựng hình ảnh động của chất lỏng tại các điểm khác nhau của không gian ở mỗi thời điểm đã cho. Trong đó, vận tốc tại tất cả các điểm và áp suất trong chất lỏng được xác định dưới dạng hàm số phụ thuộc không gian và thời gian, nó mô tả các yếu tố dòng chảy tại từng điểm trong không gian, do đó các thông số dòng chảy là một hàm của vị trí và thời gian (hình 3.2). Hình 3.2 ux f1 x,,, y z t uy f2 x,,, y z t (3.5) uz f3 x,,, y z t p f4 x,,, y z t Hay dưới dạng vector: 29
u u(,,,) x y z t (3.5’) Với 3 thành phần là: ux = ux(x,y,z,t) uy = uy(x,y,z,t) uz = uz(x,y,z,t) du ia tốc của chuyển động: a dt Các thành phần của nó là: u  u  u  u a ux u x u x x x xt y  t z  t  t u  u  u  u a uy u y u y y y x tyz  t  t  t u  u  u  u a uz u z u z z z xt y  t z  t  t 3 số hạng đầu gọi là gia tốc đối lưu, số hạng cuối gọi là gia tốc cục bộ. Phương pháp Euler có ưu điểm là chỉ cần giải 3 phương trình. Tuy nhiên, nó cũng có nhược điểm là không cho thấy rõ cấu trúc của chuyển động. Phương pháp Euler được áp dụng để đơn giản hoá việc tính toán. 3.2 Một số khái niệm 3.2.1 Đường dòng Đường dòng của một dòng chất lưu là các đường cong sao cho mỗi phần tử chất lưu nằm trên đường dòng nào đều có vec tơ lưu tốc tức thời có phương tiếp tuyến với đường dòng đó. Đường dòng cũng biểu thị quỹ đạo của phần tử chất lỏng đối với chất lưu chuyển động ổn định (dừng) (Hình 3.3). Trong dòng chảy tầng các đường dòng song song với nhau. 30
Hình 3.3 Đường dòng Các đường dòng có tính chất là không cắt nhau. Phương trình vi phân của đường dòng là: dx dy dz (3.6) ux u y u z 3.2.2 Nguyên tố dòng Các đường dòng tựa trên một chu vi nào đó tạo thành một ống dòng. Xét một diện tích vi phân dS trong ống dòng, các đường dòng tựa trên chu vi của diện tích dS gọi là ống dòng vi phân. Chất lỏng di chuyển trong ống dòng vi phân được gọi là dòng nguyên tố (hình 3.4). Hình 3.4 Nguyên tố dòng 3.2.3 Diện tích ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực Diện tích ướt hay Mặt cắt ướt (A) là mặt cắt ngang dòng chảy sao cho trực giao với các đường dòng và nằm bên trong ống dòng. Chu vi ướt (P) là phần chu vi của mặt cắt nơi dòng chảy tiếp xúc với thành rắn (hình 3.4). Hình 3.4 Mặt c t ướt v chu vi ướt 31
Hình 3.4 biểu diễn mặt cắt ướt của chất lưu đựng trong một chậu dạng hình hộp chiều cao a, chiều rộng b. Diện tích ướt trong trường hợp này là A = ab và chu vi ướt là P = 2a + b. A Bán kính thủy lực (R) là tỉ số giữa diện tích ướt và chu vi ướt: . Trong P ab hình (3.4) bán kính thuỷ lực là: P 2ab 3.2.4 Lưu lượng à thể tích chất lỏng đi qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian. Trong hệ SI, đơn vị của là m3/s. Xét một mặt cắt S trên một ống dòng (hình 3.5). ấy một diện tích vi phân dS trên mặt cắt S, vận tốc của chất lưu tại đó là . ưu lượng của dòng chảy là: Q udS (3.7) S Nếu lưu lượng tính theo khối lượng (Qm) thì: Qm udS (3.8) Hình 3.5 Lưu lượng S Như vậy lưu lượng chính là thể tích của biểu đồ phân bố vận tốc. 3.2.5 Vận tốc trung bình mặt cắt ướt Theo định nghĩa, vận tốc trung bình mặt cắt ướt (V) là lượng chất lưu chảy qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian, nó chính là lưu lượng trung bình qua mặt cắt ướt: Q V (3.9) S 3.2.6 Chuyển động ổn định và không ổn định Chuyển động của chất lỏng mà có các thông số của chuyển động như lưu tốc, áp suất thay đổi theo thời gian gọi là chuyển động không ổn định (không dừng). Trường hợp ngược lại, nếu vận tốc và áp suất chỉ thay đổi theo toạ độ mà không đổi theo thời gian thì chuyển động gọi là ổn định (dừng). 32
3.3 Phương trình Bernoulli ấy trong chất lưu lý tưởng một ống dòng giới hạn bởi hai diện tích S1 và S2 vuông góc với các đường dòng (hình 3.6). ọi v1 và v2 là vận tốc chảy của chất lưu trên diện tích S1 và S2 tương ứng. Sau thời gian t, lượng thể tích chất lưu đi vào tiết diện S1 là v1S1 t = V1, lượng thể tích chất lưu ra khỏi tiết diện S2 là v2S2 t = V2. Ta phải có: v1S1 t = V1 = v2S2 t = V2 = V (3.10) Chất lưu lý tưởng có thể xem như một hệ nhiều hạt. Năng lượng của mỗi hạt bao gồm động năng và thế năng của nó trong trường hấp dẫn. Chọn t đủ nhỏ sao cho các hạt trong thể tích V1 có cùng vận tốc v1 và các hạt trong thể tích V2 có cùng vận tốc v2. Ký hiệu là khối lượng riêng chất lưu, ta có: 2 Vv11 Động năng của các hạt trong thể tích V1 là: E 1 2 2 Vv22 Động năng của các hạt trong thể tích V2 là: E 2 2 Hình 3.6 Do t đủ nhỏ nên V1 và V2 cũng đủ nhỏ để xem như các hạt trong thể tích V1 có cùng độ cao h1 và các hạt trong thể tích V2 có cùng độ cao h2 so với mặt đất. Như vậy: Thế năng của các hạt trong thể tích V1 là V1gh1 Thế năng của các hạt trong thể tích V2 là V2gh2 Biến thiên năng lượng của phần chất lưu đi vào so với phần chất lưu đi ra là: 33
2 2 ρΔV22 v ρΔV11 v W = W2 – W1 = – + V2gh2 – V1gh1 2 2 Đối với chất lưu lý tưởng không có nội ma sát nên không có tổn thất năng lượng. Do đó biến thiên năng lượng W bằng công A thực hiện bởi áp lực phía trên lên S1 và phía dưới lên S2. ọi p1 và p2 là áp suất bên ngoài ống dòng tác dụng lên diện tích S1 và S2 tương ứng, ta có : A = p1S1 l1 – p2S2 l2 = (p1 – p2) V Với l1 và l2 là quãng đường phần tử chất lưu ở S1 và S2 tương ứng chảy được trong thời gian t. Từ đó: vv22 p 12 gh p gh 122 1 2 2 Do S1 và S2 là hai tiết diện tuỳ ý trên ống dòng nên: v2 p gh const (3.11) 2 (3.11) là biểu thức của định luật Bernoulli. Chú ý rằng các số hạng đều có cùng thứ nguyên của áp suất. Số hạng p biểu thị cho áp suất bên trong chất lưu chảy được gọi là áp suất tĩnh. Ý nghĩa của các số hạng trong biểu thức (3.11): Theo (3.11) áp suất tĩnh được xác định là: v2 p const gh 2 Nếu v = 0 và h = 0 thì p = const = po chính là áp suất tĩnh ở mực nước biển. v2 Số hạng xuất hiện khi vận tốc của chất lưu v 0 gọi là áp suất động. 2 Số hạng này cho thấy do chuyển động của chất lưu mà áp suất bên trong chất lưu giảm đi. Áp suất bên trong chất lưu giảm rất nhanh theo vận tốc chất lưu. Số hạng gh gọi là áp suất thuỷ lực, nó cho thấy áp suất tĩnh giảm theo sự tăng độ cao bên trong chất lưu. Ở trạng thái cân bằng (v = 0) của chất lưu: p = po gh Dấu (–) hay (+) phụ thuộc vị trí tính áp suất tĩnh so với mốc tính áp suất po. 34
Dấu (–) khi vị trí tính áp suất p cao hơn vị trí tính Po, dấu (+) trong trường hợp ngược lại. po gh = p được gọi là áp suất thuỷ tĩnh. Từ biểu thức (3.11) ta đi đến kết luận: Trong chất lưu lý tưởng chảy dừng, áp suất toàn phần (gồm áp suất động, áp suất thủy lực và áp suất tĩnh) luôn bằng nhau đối với tất cả các tiết diện ngang của ống dòng. 3.4 Phân loại chuyển động 3.4.1 Phân loại theo ma sát Đối với chất lỏng lý tưởng, hệ số nhớt  = 0 nên chuyển động của chất lỏng là chuyển động không ma sát. Đối với chất lỏng thực, hệ số nhớt  0 nên chuyển động của chất lỏng là chuyển động có ma sát. Khi đó, có thể xảy ra hai trường hợp chảy của chất lỏng là chảy thành từng lớp (còn gọi là chảy tầng) hoặc chảy rối phụ thuộc vào số Reynolds Re: - Nếu e 2300 chất lỏng sẽ chảy tầng - Nếu e > 2300 chất lỏng sẽ chảy rối Xét sự chảy thành lớp của chất lưu thực trong một ống, Poiseuille tìm được công thức: Rp4 V (3.10) 8 L Với là bán kính ống, µ là hệ số nhớt của chất lỏng, p là độ giảm áp suất chất lỏng trên độ dài của ống. Công thức Poiseuille chỉ đúng với các vận tốc chảy nhỏ trong các ống bé. eynolds nghiên cứu thấy rằng với các kích thước của ống và đối với chất lưu đã cho, điều kiện chảy thành lớp của chất lưu chỉ được thoả mãn đến một giá trị giới hạn của vận tốc, lớn hơn giá trị đó thì sự chảy mất tính chất chảy thành lớp. Trong dòng chất lưu thực mỗi hạt chịu tác dụng của áp lực P và lực nhớt FN . Các lực đó làm hạt chuyển động có gia tốc. Theo định luật 2 Newton: dv P F m (3.11) N dt Nếu quĩ đạo của các hạt chất lưu bị cong đi thì trên hạt có lực hướng tâm giữ 35
cho hạt chuyển động cong. Nếu hệ qui chiếu gắn liền với hạt chuyển động thì trong hệ đó trên hạt còn có tác dụng của lực quán tính bằng: dv ma dt Có thể giả thiết rằng mức độ ổn định của sự chảy thành lớp được đặc trưng bởi tỉ số giữa các lực quán tính Fqt và lực nhớt FN, bởi vì nếu các lực quán tính càng lớn thì độ lệch khỏi quĩ đạo thẳng của hạt trong dòng càng lớn, còn lực nhớt thì ngăn cản sự lệch đó. Tỉ số: Fqt Re (3.12) FN được gọi là số eynolds. Thực nghiệm đã xác định được đối với mọi loại chất lỏng và các ống có đường kính khác nhau, khi Re 2320 thì chất lỏng ở trạng thái chảy rối. 3.4.2 Phân loại theo thời gian ồm hai loại: chuyển động ổn định và chuyển động không ổn định. Chuyển động ổn định là chuyển động mà các phần tử chất lưu có vận tốc và gia tốc chỉ phụ thuộc vị trí không gian mà không phụ thuộc thời gian: u = u(x,y,z) a = a(x,y,z) ua 0 0 tt Chuyển động không ổn định: là chuyển động mà các phần tử chất lưu có vận tốc và gia tốc phụ thuộc cả vị trí không gian và thời gian: u = u(x,y,z,t) a = a(x,y,z,t) 3.4.3 Phân loại theo không gian Phân loại thành các chuyển động một chiều, hai chiều và ba chiều. - Chuyển động của chất lưu là 1 chiều: x 0, y = z = 0 - Chuyển động của chất lưu là 2 chiều: x 0, y 0, z = 0 - Chuyển động của chất lưu là 3 chiều: x 0, y 0, z 0 3.4.4 Phân loại theo tính nén được 36
- Chuyển động của chất lưu không nén được ( = const) - Chuyển động của chất lưu nén được ( const) Đối với chất lưu nén được, người ta đưa vào số Mach được định nghĩa: M = u/va với va là vận tốc truyền âm, u là vận tốc của phần tử lưu chất Khi đó chuyển động của chất lưu được phân loại thành: - Chuyển động dưới âm thanh (M 1) - Chuyển động siêu âm thanh (M >> 1) 3.4.5 Phân loại theo trạng thái chảy Chuyển động tầng: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử chất lưu chuyển động trượt trên nhau thành từng tầng, từng lớp, không xáo trộn lẫn nhau. Với các vận tốc nhỏ, chất lưu thực chảy trong ống thành lớp. Có thể quan sát điều đó bằng thí nghiệm là đưa vào trong dòng chất lưu ở nơi vào của ống thủy tinh một luồng mảnh chất lưu màu. Trong chế độ chảy lớp, luồng chất lưu màu không trộn vào dòng chất lưu. Điều đó chứng tỏ các đường dòng trượt trên mhau hay các phần tử chuyển động luôn giữ phương song song. Chuyển động rối: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử chất lưu chuyển động hỗn loạn, các lớp chất lưu xáo trộn vào nhau. 37
Hình 3.7 Sơ đồ bố trí thí nghiệm Reynolds Nghiên cứu chế độ chảy của dòng chất lưu trong ống, năm 1883 eynolds đã tiến hành thí nghiệm được mô tả trên hình 3.7. Tăng dần vận tốc của chất lưu trong ống ta thấy bắt đầu ở giá trị vận tốc tới hạn nào đó tính chất của sự chảy biến đổi. uồng chất lưu màu tan nhanh do trộn mạnh vào dòng chất lưu tức là có sự chuyển từ chảy thành lớp sang sự chảy cuộn xoáy (chuyển động cuộn xoáy). Sự chảy cuộn xoáy đã chứng tỏ, có sự thay đổi qui luật phân bố vận tốc chất lưu theo tiết diện ngang của ống. Đặc trưng cơ bản của dòng chảy rối là tồn tại thành phần vận tốc chuyển động ngang so với phương chuyển động của dòng chảy. Bằng cách điều chỉnh van 1, vận tốc chất lưu trong ống thủy tinh sẽ thay đổi và Reynolds nhận thấy, khi vận tốc nhỏ, dòng mực chuyển động trong ống thủy tinh như một sợi chỉ xuyên suốt trong ống. Tiếp tục tăng vận tốc tới một lúc nào đó, dòng mực bắt đầu gợn sóng. Nếu tiếp tục tăng vận tốc chất lưu thì dòng mực hòa trộn hoàn toàn trong nước, nghĩa là không còn nhìn thấy dòng mực nữa. Hiện tượng này được eynolds giải thích là khi vận tốc chất lưu nhỏ, chất lỏng chuyển động theo từng lớp song song nhau nên dòng mực cũng chuyển động theo đường thẳng. Trường hợp này eynolds gọi là chế độ chảy tầng (lớp). Khi vận tốc tăng đến một giới hạn nào đó, các lớp chất lỏng bắt đầu có hiện tượng gợn sóng (chuyển động theo phương vuông góc) do đó dòng mực cũng bị dao động tương ứng và chế độ này gọi là chảy quá độ. 38
Tiếp tục tăng vận tốc chất lưu thì các lớp chất lỏng chuyển động theo mọi phương do đó dòng mực bị hoà trộn hoàn toàn trong lưu chất. Trường hợp này gọi là chế độ chảy xoáy (chảy rối). Với việc nghiên cứu dòng mực chuyển động trong ống khi thay đổi vận tốc dòng lưu chất, eynolds đã tìm ra một giá trị không thứ nguyên đặc trưng cho chế độ chuyển động của dòng chất lưu và được gọi là số eynolds: wd wd R td td (3.13) e  Trong đó: ρ- khối lượng riêng chất lưu µ- độ nhớt động lực học chất lưu ν - độ nhớt động học w – vận tốc dòng chất lưu chuyển động trong ống dtd – đường kính tương đương của ống Thí nghiệm eynolds đã chứng tỏ rằng: - Re 10 000 chất lưu chảy xoáy Trong công thức trị số e thì dtd được tính theo công thức: dtd = 4f/U, trong đó: f – tiết diện ống U – chu vi thấm ướt của ống Nếu ống tròn có đường kính D thì tiết diện f = πD2/4 và chu vi thấm ướt U = πD. Như vậy dtd = 4f/U = D. Nếu ống có tiết diện hình chữ nhật có cạnh a, b: tiết diện f=a.b và chu vi thấm ướt U = 2(a + b). Như vậy đường kính tương đương của ống có tiết diện hình chữ nhật là dtd = 4f/U = 2ab/(a+b) Nếu ống có tiết diện hình vuông cạnh a thì dtd = a. 3.5 Gia tốc của phần tử chất lưu Xét phần tử chất lưu chuyển động trên quỹ đạo của nó (hình 3.7). Ở thời điểm to phần tử chất lưu có vận tốc ở vị trí (xo,yo,zo). Ở thời điểm t = to + t 39
phần tử chất lưu có vận tốc và ở vị trí (x,y,z) = (xo + x,yo + y,zo + z). Dùng biến Lagrange, gia tốc của ph ần tử là: du u u0 a lim (3.14) dt t 0 t Hình 3.7 Trong biến Euler, vận tốc là hàm của không gian và thời gian, vận tốc u được tính theo u0 bằng chuỗi Taylor: u u u u u u0 t x y z (3.15) t x y z Thay vào biểu thức (3.14) ta được: u u x u y u z a lim t 0 t x t y t z t Cuối cùng: u  u  u  u a u u u (3.16) tx  x y  y z  z 3.6 phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối 3.6.1 Quan hệ giữa thể tích kiểm soát với đại lượng nghiên cứu Xét thể tích W trong không gian chất lưu chuyển động. W có diện tích bao quanh là S (hình 3.8). Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng chất lưu chuyển động qua không gian này. Đại lượng X của chất lưu trong không gian W được tính bằng: X k dW (3.17) W 40
trong đó: W là thể tích kiểm soát X là đại lượng cần nghiên cứu k là đại lượng đơn vị (đại lượng X trên 1 đơn vị khối lượng chất lưu) Ví dụ: X là khối lượng thì k=1 và: Hình 3.8 Xd W W X là động lượng thì k = và: X u dW W X là động năngthì k = u2/2 và: u2 Xd W W 2 3.6.2 Định lý vận tải Reynolds - phương pháp thể tích kiểm soát Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chất lưu chảy qua thể tích W. Ở thời điểm t, chất lưu chảy vào chiếm đầy thể tích kiểm soát W. Tại thời điểm t’ = t + t chất lưu từ W chuyển động đến và chiếm khoảng không gian Wt. ọi S1 là diện tích bao quanh thể tích kiểm soát W, S2 là diện tích bao quanh thể tích Wt, B là phần giao của W và Wt, A là phần bù của W, C là phần bù của Wt (hình 3.9). Dùng biểu thức (3.17) ta có: dX d k dW dt dt W Hình 3.9 41
dX X XX XX lim limt t t lim WWt dt t 0 t t 0 t t 0 t ()()XXXXt t t t t t ()XXt t t t limBAAB lim CA tt 00 tt XXXXt t t t t t t limWW lim CA tt 00 tt Ta có: X XXt t t lim WW (3.18)  ttW t 0 t k unn dS t k u dS SS12 k un dS lim (3.19) t 0 S t Thay các biểu thức (3.18) và (3.19) vào ta được biểu thức của định lý vận tải Reynolds: dX X k un dS (3.20) dt t W S 3.7 Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát 3.7.1 Phương trình liên tục Định luật bảo toàn khối lượng: tốc độ gia tăng của khối lượng của một hệ vật chất bằng khối lượng chuyển động vào hệ trong một đơn vị thời gian. Xét một khối chất lưu trong thể tích kiểm soát W có diện tích bao quanh là S, vận tốc của phần tử chất lưu là (hình 3.10). Khối lượng chất lưu trong thể tích W là: dW W Khối lượng chất lưu chuyển động ra khỏi thể tích W là: un dS S 42
Hình 3.10 Áp dụng phương pháp thể tích kiểm soát, định luật bảo toàn khối lượng cho dX 0 dt Đối với chất lưu trong thể tích kiểm soát W ta có:  dW dX W un dS dt t S Hay:  dW div ( u ) d W 0 WWt Từ đây ta có dạng vi phân của phương trình liên tục:  div( u ) 0 (3.21) t Đối với chất lưu không nén được ( = const), (3.21) chuyển thành: u u u div( u ) 0 x y z 0 (3.22) x  y  z Đối với dòng nguyên tố chuyển động ổn định, phương trình liên tục sẽ là: un dS 0 1 u 1 dS 1 2 u 2 dS 2 (3.23) S 43
Các chỉ số 1 và 2 tương ứng cho mặt cắt diện tích S1 và mặt cắt diện tích S2. Đối với toàn dòng chất lưu chuyển động ổn định, phương trình liên tục dạng khối lượng: 1u 1 dS 1 2 u 2 dS 2 M 1 M 2 (3.24) SS1 2 với M1 và M2 là khối lượng chất lưu vào mặt cắt S1 và S2 tương ứng trong một đơn vị thời gian. Đối với toàn dòng chất lưu không nén được chuyển động ổn định, phương trình liên tục là: Q1 = Q2 hay Q = const (3.25) với là lưu lượng chất lưu. Trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, chuyển động ổn định, chất lưu không nén được, phương trình liên tục tại một nút: Qđến = Qđi (3.26) 3.7.2 Phương trình năng lượng Khi X là năng lượng E của một dòng chảy có khối lượng m, E bao gồm nội năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vị năng lẫn áp năng), ta có: 1 2 X = E = Eu + mu + mgZ với Z = z + p/ 2 Như vậy, năng lượng của một đơn vị khối lượng chất lưu k là: 1 p k e u2 gz u 2 trong đó: eu là nội năng của một đơn vị khối lượng, u2 là động năng của một đơn vị khối lượng, gz là vị năng của một đơn vị khối lượng, p/ là áp năng của một đơn vị khối lượng. Định luật I Nhiệt động lực học: số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng trong một đơn vị thời gian (dE/dt) bằng suất biến đổi trong một đơn vị thời gian của nhiệt lượng (d /dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi công (dW/dt) trong một đơn vị thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối 44
với môi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát): dE dQ dW (3.27) dt dt dt Từ phương trình (3.27) của định luật I nhiệt động học, dùng phương pháp thể tích kiểm soát ta sẽ thu được dạng tổng quát của phương trình năng lượng: dQ dW 122 p 1 p eu ugz dW e u ugz udS n (3.28) dt dt t W 22 S 3.7.3 Phương trình động lượng Khi X là động lượng thì k = và: X u dW W Định lý biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của chất lưu qua thể tích W (được bao quanh bởi diện tích S) trong một đơn vị thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đó: dX F (3.29) dt ngoai luc Dùng biểu thức của định lý vận tải eynolds (3.20): dX X k un dS dt t W S Ta thu được dạng tổng quát của phương trình động lượng:  Fngoai luc u dW u un dS (3.30) t W S 3.8 Phân tích chuyển động của chất lưu Xét chuyển động của một phần tử chất lưu. Chọn điểm M0 làm cực của phần tử. Giả sử vận tốc của phần tử tại Mo đã biết, ta cần xác định vận tốc của phần tử tại điểm M (hình 3.11). 45
Hình 3.11 Sử dụng khai triển Taylor, bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc cao, thành phần vận tốc ux sẽ là: ux ux ux ux u0x x y z x y z 1 uy uz Cộng và trừ số hạng y z vào vế phải của biểu thức trên, 2 x x sau đó sắp xếp lại sẽ thu được biểu thức: u 1 u uy 1 u u u u x x x y x z z x 0x x 2 y x 2 z x 1 ux uy 1 ux uz y z 2 y x 2 z x u 1 u u 1 u u  i ;  j i ;  j i Đặt: i k k xi 2 xi x j 2 xi x j Các thành phần của vận tốc của phần tử chất lưu sẽ được biểu diễn dạng: ux u0x  x x z y  y z z y y z (3.31) uy u0 y  y y x z z x x z z x (3.32) uz u0z  z z  y x x y y x x y (3.33) Ý nghĩa các số hạng: 46
* x: Giả sử mặt trái và mặt phải của phần tử chỉ chuyển động theo trục x với vận tốc uox và ux tương ứng của điểm Mo và M. Do có sự chênh lệch vận tốc, sau một đơn vị thời gian, phần tử dài ra một đoạn là: ux – uox (hình 3.12). Do đó tốc độ giãn dài tương đối của phần tử là: ux u0x x. Hình 3.12 Khi x 0, ta có: ux u0x ux  x (3.34) x x Từ (3.34) ta thấy i chính là tốc độ dãn dài tương đối của phần tử theo trục xi. * z và z : Giả sử mặt trên và mặt dưới của phần tử chỉ chuyển động theo trục x với vận tốc u0x và ux tương ứng với điểm M0 và M. Do có sự chênh lệch vận tốc, sau một đơn vị thời gian, phần tử sẽ bị nghiêng một góc (hình 3.13): ux u0x ux 1 y y Hình 3.13 47
Tương tự, do có sự chênh lệch thành phần vận tốc trên phương y giữa mặt trái và mặt phải mà phần tử cũng sẽ bị nghiêng một góc (hình 3.14): uy u0 y uy 2 y x Nếu cả hai chuyển động đồng thời xuất hiện, phần tử sẽ bị thay đổi như được biểu diễn trên hình 3.15. Trong một đơn vị thời gian phần tử bị biến dạng một góc: Hình 3.14 1 1 u u y x 2 1 z (3.35) 2 2 x y Từ (3.35) ta thấy k chính là tốc độ biến dạng góc của phần tử quanh trục xk. Trong một đơn vị thời gian phần tử quay đi một góc: 1 1 u u y x 2 1 z (3.36) 2 2 x y Hình 3.15 Từ (3.36) ta thấy rằng k là tốc độ quay của phần tử quanh trục xk. Hemholm đã nghiên cứu về chuyển động của các phần tử chất lưu và đã tìm ra Định lý: Chuyển động của phần tử chất lưu bao gồm chuyển động của vật r n (theo cực và quay quanh cực) và chuyển động biến dạng (biến dạng dài và biến dạng góc). Vector vận tốc quay : 1 1  xi y j zk  u rot u (3.37) 2 2 Ví dụ 1: Cho vector vận tốc gồm 3 thành phần: 2 2 2 ux = x + y + z 48
2 uy = xy + yz + z 2 uz = -3xz + z /2 + 4 Tìm vector vận tốc quay? Giải: Sử dụng phương trình (3.37) ta có: 1 u u 1 z y x 0 y 2z 2 y z 2 1 ux uz 1  y 2z 3z 2 z x 2 1 u u 1 y x z y 2y 2 x y 2 Từ đây ta tìm được:  (y / 2 z)i (5z / 2) j (y / 2)k Ví dụ 2: Chuyển động có vector vận tốc: 2 ux = ay + by uy = uz =0 Với a, b là hằng số a./ Chuyển động có quay không? b./ Xác định a, b để không có biến dạng góc. Giải: Tương tự như ví dụ 1, ta có: 1 u u 1 y x z a 2by 0 2 x y 2 Chuyển động quay xảy ra với mọi giá trị (a, b) ≠ 0 1 u u 1 y x  zy a 2by 0 2 x y 2 Từ bểu thức này ta thấy không có cặp a, b nào để biến dạng góc bằng 0. Ví dụ 3: 49
Chất lỏng lý tưởng quay quanh trục thẳng đứng (Oz). Giả sử vận tốc quay của các phần tử chất lỏng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục quay trên phương bán kính (u = a/r; a > 0 là hằng số). a/ Chứng minh rằng đây là một chuyển động thế. b/ Tìm phương trình các đường dòng Giải: Từ biểu diễn trên hình 3.14, ta có: a y ay ay u u.cos(u,ox) x r r r 2 x2 y2 a x ax ax u y u.cos(u,oy) r r r 2 x2 y2 Suy ra: 2 2 2 2 u y  ax ax( y ) 2 xaxay ( x ) 2 2 2 2 2 2 2 Hình 3.14 x x x y ( x y ) ( x y ) 2 2 2 2 u x  ay ax( y ) 2 yayay ( x ) 2 2 2 2 2 2 2 y y x y ( x y ) ( x y ) Từ đó: u y u x 0 rot(u) 0 x y z Chuyển động là không quay (thế) trên mặt phẳng xOy. Phương trình các đường dòng: dx dy ay ax u dy u dx dy dx u u x y x2 y 2 x2 y 2 x y (x2 y 2 ) C Như vậy các đường dòng là các đường tròn có tâm nằm trên trục quay Oz. 50
Chương 4 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LƯU 4.1 Phương trình vi phân cho chất lưu lý tưởng chuyển động Đối với một chất lưu lý tưởng thì  = 0 hay τ = 0. Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên phương x (hình 4.1) bao gồm: - Lực khối: dxdydz Fx - Lực mặt: 51
p dxdydz x Phương trình Định luật II Newton trên phương x cho phần tử chất lưu chuyển động dưới tác dụng của lực khối và lực mặt: dux 1 p Fx dt  x z p dx p dx p p x 2 p, x 2 dz y dy x dx F Hình 4.1 Tương tự cho phương y và z: du 1 p du1  p y F z F dty  y dtz  z Hay ở dạng tổng quát: du 1 F grad p (4.1) dt Cũng có thể biểu diễn phương trình (4.1) dưới dạng: 1 p du u  u  u  u F x x u x u x u x x x dt  t x  x y  y z  z 1 p duy u y  u y  u y  u y Fy u x u y u z y dt  t  x  y  z 1 p duz  u z  u z  u z  u z Fz u x u y u z x dt  t  x  y  z 52
u u Biến đổi phương trình thứ nhất bằng cách u z và u z , ta được: y x z x 2 2 2 1 pu  uuuyy u  u  u   u F x x zz u x u x x z y x  t  x 222  z  x  x  y 2 ux  u uzrot u y u y rot u z tx 2 Hoàn toàn tương tự đối với hai phương trình sau. Cuối cùng chúng ta thu được dạng amb- romeco của phương trình Euler: 1 uu 2 F grad p grad rotu  u (4.2) t 2 Kí hiệu  là vận tốc góc của phần tử, ta có: u u  y z x zy uz ux uy ux y = z = x z xy Phương trình (4.2) khi đó có thể biểu diễn dưới dạng khác: 1 uu 2 F grad p grad 2  u (4.3) t 2 4.2 Tích phân phương trình chuyển động 4.2.1 Trường hợp chuyển động không quay (chuyển động thế) Lực có thế: ực khối đơn vị F là lực có thế khi có thể tìm được một hàm (x,y,z) sao cho: F grad  nghĩa là :    F F F x x y y z z và  (x,y,z) được gọi là hàm thế. 53
Thí dụ : ực khối đơn vị là trọng lực là một lực có thế với:  (x,y,z) = gz Hàm áp suất: hàm (x,y,z) được gọi là hàm áp suất khi thoả mãn phương trình: 1 grad grad p dp  C Nếu chất lỏng không nén được ( = const) thì: p  C Thay vào phương trình amb – Grommeko ta được: 1 uu 2 F grad p grad 2  u t 2 Hay: uu2  grad   2  u (4.4) 2 t Một chuyển động không quay luôn luôn tìm được một hàm thế vận tốc  (x,y,z,t) sao cho: u grad Do chuyển động không quay nên: . Từ (4.4) thay vào ta được: u2  grad  grad grad 2 tt Hay:  u2 grad  0 t 2 Nghĩa là:  u2  C (4.5) t 2 54
Nếu chuyển động là ổn định, chất lưu không nén được và chỉ chịu ảnh hưởng duy nhất là trọng lực thì ta có phương trình: pu2 gz C (4.6) 2 4.2.2 Chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đường dòng u Nếu chuyển động ổn định thì: 0 . Nhân hai vế phương trình (4.4) với t vector dịch chuyển vi phân ds . Chú ý rằng trên đường dòng thì vector vuông góc với vector . Do đó ta thu được kết quả: u2 grad   ds 0 2 Hay: u2  C (4.7) 2 Nếu chất lỏng chuyển động ổn định, không nén được và chỉ chịu ảnh hường duy nhất là trọng lực thì (4.7) cho trên một đường dòng là: pu2 gz C (4.8) 2 Hay: pu2 zC (4.8’)  2g (4.8) hay (4.8’) là phương trình Bernoulli. 4.2.3 Chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đường xoáy Tiến hành tương tự như trên, kết quả tính toán cho đường xoáy hoàn toàn giống kết quả tính cho đường dòng. 4.2.4 Chuyển động ổn định, tích phân theo phương pháp tuyến với đường dòng Phương trình vi phân dạng amb – Grommeko: 55
1 uu 2 grad  grad p grad rotu  u t 2 Trên phương pháp tuyến n với đường dòng (ngược chiều với phương bán kính r) ta có:  pu 2  2 .uu . sin( , ) nn 2 r u2 u 2 u 2 u 2 u 22 n r r r r Từ đó suy ra:  pu2  (4.9) rr Nếu chất lưu chỉ chịu tác dụng của lực trọng trường thì:  pu2 gz (4.10) rr p Theo phương r (hướng từ tâm quay ra): khoảng cách r càng lớn, z càng  p lớn và khi r thì (z ) const, kết quả là áp suất phân bố trên mặt cắt ướt  theo quy luật thủy tĩnh (khi ấy các đường dòng song song và thẳng, mặt cắt ướt là mặt phẳng). Đó chính là trường hợp chất lỏng chuyển động đều hoặc biến đổi dần. Ý nghĩa năng lượng của phương trình Bernoulli: p z là thế năng của một đơn vị trọng lượng chất lưu (bao gồm vị năng  đơn vị z và áp năng đơn vị p/). u2 là động năng của một đơn vị trọng lượng chất lưu 2g 4.3. Phương trình Navier-Stokes cho chuyển động của chất lưu thực 56
Đối với một chất lưu thực thì  0 hay τ 0.  zx  zx dz z  z  yx dy yx y   xx dx  xx xx yx x dz dy zx x dx F Hình 4.2 Ngoại lực tác dụng lên phần tử chất lưu (hình 4.2) trên phương x bao gồm: - Lực khối: .dxdydz.Fx  xx  yx  zx - ực mặt: dxdydz với xx là thành phần của tenxơ áp x y z suất trên trục x. Phương trình Định luật II Newton trên phương x cho phần tử chất lưu chuyển động: du 1    x xx yx zx Fx dt x y z Sử dụng giả thiết của Stokes: u u 2 u  p  i j  l  ij ij ij x j xi 3 xl 1 Với: p  xx  yy  zz 3 Ta được phương trình Navier-Stokes cho chuyển động của phần tử chất lưu trên trục x: 57
du 1 p  2u 2u 2u 1   u u u x F x x x x y z x 2 2 2 dt x x y z 3 x x y z Hay dưới dạng vector: du 11 F grad p  2 u   u (4.11) dt 3 Đối với chất lưu không nén được thì: du 1 F grad p  2 u (4.12) dt 4.4 Phương trình năng lượng Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng hay định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: Tốc độ biến thiên của động năng v nội năng bằng tổng công cơ học của ngoại lực v các dòng năng lượng khác trên 1 đơn vị thời gian. Phương trình năng lượng cho dòng chất lỏng không ổn định có khối lượng riêng thay đổi có dạng: dQ dW 122 p 1 p eu ugz dW e u ugz udS n dt dt t W 22 S (4.13) Với là nhiệt trao đổi của thể tích kiểm soát w với môi trường, W là năng lượng của thể tích w có mặt bao bọc S, eu là nội năng của thể tích chất lưu w. 4.4.1 Dòng ổn định, không trao đổi nhiệt với môi trường Đối với trường hợp này: dQ = 0 và = const, phương trình (4.13) thành: dpW1 2 eun u gz u dS dt S 2 Chú ý rằng Z = z + p/, phương trình trên thành: dW1 2 eu u n dS u gz u n dS SSdt 2 dW Ta thấy ( eun u dS ) chính là phần biến đổi năng lượng do chuyển động S dt của các phần tử bên trong khối chất lưu gây ra và do ma sát của khối chất lưu với 58
bên ngoài. Đại lượng này khó xác định được bằng lý thuyết, thông thường, nó được tính từ thực nghiệm, tuỳ theo trường hợp cụ thể. Đặt: dW eu u n dS gh f Q (4.14) S dt Nó chính là năng lượng bị mất đi của chất lưu qua thể tích w trong một đơn vị thời gian, hf là năng lượng mất mát trung bình trong một đơn vị thời gian của một đơn vị trọng lượng chất lưu. Từ đó: 1 2  Qhfn u gz u dS (4.15) S 2 Xét một đoạn dòng chảy vào mặt cắt 1-1 và ra tại mặt cắt 2-2 ( = const): 1122 gQhf u gz u21 n dS u gz u n dS 22 SS21 Ta lần lượt tính các tích phân. Nếu trên mặt cắt ướt S, áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh thì: p gz dQ gz Q gz Q S Tích phân thành phần động năng: 1122 u un dS V Q S 22 Đưa vào hệ số điều chỉnh động năng : đối với chất lưu chảy tầng thì tầng = 2; đối với chất lưu chảy rối thì rối = 1,05  1,1; ta có : 1 2 1 2 u un dS = Động năng thật = VQ Độ ă ế S 2 2 Từ đó: 1122 ghQf 1 VgzQ 1 1 2 Vgz 2 2 Q 22 Hay: 59
p V22 p V z 1 1 1 z 2 2 2 h (4.16) 122gg 2f 1 2 (4.16) là phương trình năng lượng cho toàn dòng chảy ổn định đối với chất lỏng thực không nén được nằm trong trường trọng lực từ mặt cắt 1 tới mặt cắt 2 (không có nhập hoặc tách dòng chất lưu). Xét dòng chảy có nhập hoặc tách lưu ( = const): Phương trình (4.16) thành: 1122  iV i gz i Q i  j V j gz j Q j  H f (4.17) i vao 22 j ra với Hf là tổng năng lượng dòng chảy bị mất đi khi chảy từ các m/c vào đến các m/c ra (trong 1 đ.vị thời gian). 4.4.2 dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài Dòng chảy được bơm cung cấp năng lượng Hb hay dòng chảy cung cấp năng lượng Ht cho turbine, thì phương trình trên có dạng tổng quát hơn: p V22 p V H z 1 1 1 H z 2 2 2 h (4.18) B122gg T 2 f 1 2 trong đó: HB là năng lượng do bơm cung cấp cho một đơn vị trọng lượng dòng chảy khi dòng chảy qua bơm gọi là cột áp bơm. HT là năng lượng mà một đơn vị trọng lượng dòng chảy cung cấp cho turbine khi qua turbine. 4.5 Ứng dụng của phương trình năng lượng 4.5.1 Đo lưu tốc điểm của dòng khí bằng ống Pito vòng Áp dụng phương trình Bernoulli trên đường dòng từ A tới B (hình 4.3), bỏ qua mất mát năng lượng, ta có: 22 pAABB u p u zzAB kk22gg Do uB = 0 nên: 2 uABA p p zzBA (4.19) 2g kk 60
Ký hiệu: k là trọng lượng riêng của chất khí l là trọng lượng riêng chất lỏng Áp dụng phương trình thuỷ tĩnh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong môi trường khí), A’B’ (trong môi trường lỏng) và BB’ (trong môi trường khí) ta có: ppAA' zzAA' kk ppBB' zzBB' Hình 4.3  kk Từ đó: pBABA p p' p ' 1 1 zBABA z ( z'' z ) h h 1 k  k  k  k  k (4.20) Từ (4.19) và (4.20) ta suy ra: 1 uA 21 gh (4.21)  k 4.5.2 Đo lưu lượng bằng ống Ventury Cấu tạo của ống Ventury biểu diễn trên hình 4.4. Chất lỏng chảy cần đo lưu lượng có khối lượng riêng 1 , chất lỏng trong ống chữ U có khối lượng riêng 2; trọng lượng riêng tương ứng của chúng là 1 và 2. Khi đo dòng chảy, hiệu độ cao của chất lỏng chảy trong ống chữ U là h (hình 4.4). 61
Hình 4.4 Ống Ventury đo lưu lượng Xét hai mặt cắt có diện tích ướt là S1 và S2 tương ứng với hai vị trí ống có đường kính là D1 và D2. Áp dụng phương trình năng lượng cho dòng chảy từ mặt cắt S1 đến mặt cắt S2 (bỏ qua mất mát năng lượng), ta có: 22 p1 1 V 1 p 2 2 V 2 zz12 nn22gg Chất lỏng chảy trong ống Ventury là chảy rối, nên α1,α2 1, chú ý rằng lưu lượng Q = SV, do đó: 2 Q 11 p12 p 22 zz12 2g SS12 nn Từ đó: 22 SS12  d Q 2221 gh (4.22) SS12  n Chú ý rằng ưu lượng ở trên tính được không kể tới tổn thất năng lượng, Thực tế lưu lượng thực nhỏ hơn, nên cần hiệu chỉnh lại lưu lượng sau khi tính tính theo (4.22). Có thể hiệu chỉnh bằng công thức: Qthực = CQtính với C 1 là hệ số hiệu chỉnh Ventury còn gọi là hệ số ống Ventury. 4.5.3 Dòng chảy ổn định qua lỗ thành mỏng Xét một bình rộng đựng chất lỏng, gần đáy bình có một vòi chảy có cấu tạo dạng ống co thắt (hình 4.5). 62
Dùng phương trình năng lượng (4.16) cho trường hợp này, ta có: p V22 p V z o o o z c c c h oc22gg Năng lượng của dòng chảy từ bình ra ngoài chủ yếu bị mất đi là do co hẹp 2 khi qua lỗ, đây là loại mất năng cục bộ, nó tỷ lệ với Vc tại mặt cắt co hẹp c-c. Do đó có thể viết: Hình 4.5 p V2 p V 2 V 2 zz o o o c c c  c oc2g 2 g 2 g Do bình rộng nên Vo 0 và áp suất trên mặt thoáng po = 0, từ đó: 1 Vcv 22 gH C gH (4.23)  1 với Cv 1 gọi là hệ số lưu tốc  Từ đây ta tính được lưu lượng: 1 QSV c c S c 2 gHSC c v 2 gH  CSgHCSgH v 2 d 2  (4.24) ở đây: S là diện tích lỗ tháo, e là hệ số co hẹp, Cd < Cv là hệ số lưu lượng. 4.5.4 Dòng chảy không ổn định ra ngoài bình 63
Xét một bình đựng chất lỏng chiều cao H, tiết diện S; ở đáy bình có một lỗ tiết diện a cho chất lỏng chảy ra ngoài (hình 4.6). Tại thời điểm t, lưu lượng chất lỏng chảy qua lỗ được cho bởi biểu thức: Q Cd a2 gh Độ cao chất lỏng trong bình giảm theo thời gian. Sau thời gian dt, chất lỏng trong bình giảm một lượng: dW2 Sdh Qdt Cd a ghdt Suy ra: S dt dh Cd a2 gh Thời gian để nước trong bình chảy hết là: Hình 4.6 q SSS0 T dh 22 h H (4.25) H H Cd a2 gh C d a 2 g C d a 2 g 4.6 Phương trình động lượng Dùng phương trình (3.30) của chương 3:  Fngoai luc u dW u un dS t W S X Đối với dòng ổn định thì: 0 do đó: t w Fngoai luc u un dS u dQ (4.26) SS Đối với dòng nguyên tố chuyển động ổn định (vào ở dS1; ra ở dS2) thì (4.26) thành: u2 2 u 2nn dS 2 u 1 1 u 1 dS 1  F ngoai luc Đối với toàn dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, chiếu phương trình động lượng (4.26) lên một phương s bất kỳ, rồi sau đó lấy tích phân trên từng mặt cắt S1, S2 ta được: 64
u2SSS 2 dQ 2 u 1 1 dQ 1  F (4.27) SS21 Người ta thấy rằng động lượng thực của dòng chảy lớn hơn động lượng tính theo các số hạng vế trái của biểu thức (4.27), do đó người ta đưa vào hệ số hiệu chỉnh động lượng αo. Thực nghiệm tìm được αo(chảy tầng) = 4/3; αo(chảy rối) = 1,02  1,05. Như vậy phương trình động lượng chiếu trên một phương s bất kỳ, đối với toàn dòng chảy ổn định và chất lưu không nén được, đi vào mặt cắt 1 và đi ra ở mặt cắt 2 được viết dưới dạng: FQVV () o2 2 S o 1 1 S (4.28) S Nếu dòng chảy có nhiều mặt cắt ra và mặt cắt vào thì: độ ượ độ ượ à (4.29) 4.7 Ứng dụng của phương trình động lượng Để giải phương trình động lượng (4.28) hay (4.29) cần phải tính ngoại lực tổng cộng tác dụng lên chất lưu theo một phương nào đó mà ta cần quan tâm. Muốn vậy ta cần phải phân tích ngoại lực, thông thường ngoại lực gồm các lực sau: - Trọng lực - ực ma sát Fms giữa chất lỏng với thành rắn. - Phản lực N từ thành rắn tác dụng vào khối chất lưu. - Áp lực Fi từ các phía tác dụng vào các mặt cắt đối với dòng chảy ra hoặc vào khối thể tích kiểm soát. Việc tính toán chính là áp lực thuỷ tĩnh. - Hai lực ma sát Fms và phản lực N thường gộp chung thành một lực gọi là lực của thành rắn tác dụng vào khối chất lưu. - ực trọng trường bị triệt tiêu khi chiếu lên phương nằm ngang (vì theo phương thẳng đứng), hoặc giả thiết nhỏ nên không tính tới (trừ trường hợp có giá trị lớn đáng kể và khi chiếu phương trình động lượng lên phương thẳng đứng). 4.7.1 Lực của tia nước tác dụng trên một tấm phẳng nghiêng Cho một vòi có tiết diện S, phun nước với vận tốc v vào một tấm phẳng đặt nghiêng 1 góc so với phương nằm ngang. Bỏ qua ma sát và tác dụng của không khí (hình 4.7), xét các trường hợp: 65
a) Tấm phẳng đứng yên (u = 0), tính lực F tác dụng lên tấm phẳng và các lưu lượng Q2, Q3. b) Nếu tấm phẳng di chuyển với vận tốc u, tính lực F tác dụng lên tấm phẳng và phản lực N của tấm phẳng. Lấy thể tích kiểm soát như trên hình 4.7. Ngoại lực bao gồm: - Trọng lượng nước trong thể tích kiểm soát - Phản lực của tấm phẳng Hình 4.7 Phương trình biến thiên động lượng cho thể tích kiểm soát là: ' G F Q22V2 Q33V3 Q11V1 Hay: GFQVQVQV 2  2 2 3  3 3 1  1 1 (4.30) Để đơn giản ta giả thiết 0 (G << F) và vi = v (i = 1,2,3). a) Chiếu phương trình (4.30) lên phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng ta được: 2 – F = – .Q1.1.V1.sin  F = .S.V1 .sin Với: 1 = V1.S , 1=1 Hay: F= .S . V2.sin (4.31) Chiếu phương trình (4.30) lên phương song song với mặt phẳng nghiêng ta được: 0 = Q2 2V2 - Q3 3V3 - Q1 1V1cos Suy ra: 0 = Q2 – Q3 – Q1cos (4.32) Phương trình liên tục cho: Q1 = Q2 – Q3 (4.33) Từ (4.32) và (4.33): 66
Q2 = Q1(1 + cos )/2 ; Q3 = Q1(1 – cos )/2 (4.34) b) Đổi hệ quy chiếu, xem tấm phẳng đứng yên, vòi chuyển động giật lùi với vận tốc u, điều này cũng có nghĩa là nước chuyển động đến tấm phẳng với vận tốc V1 = V - u. Thay vào (4.31) ta được: F = .S . (V – u)2sin (4.35) 4.7.2 Lực của dòng nước tác dụng lên một vòi phun Cho một vòi phun nước (hình 4.8) dưới tác dụng của áp suất nén p. Chọn thể tích kiểm soát như trên hình vẽ, chiếu phương trình động lượng lên phương x (phương của tia nước ra khỏi vòi phun): QVVRFF() o2 2 o 1 1 x 1 2 Thành phần lực tác dụng lên thể tích kiểm soát theo phương x: F1 = p1S1 ; F2 = 0 (do nước bắt đầu ra khỏi vòi phun không còn chịu áp lực). Chọn αo = 1, phương trình trên thành: RQVVFx ()2 1 1 (4.36) Hình 4.8 Áp dụng phương tình năng lượng cho dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2: p V2 V 2 () V 2 V 2 1 2 1 F 2 1 S  22g 11 Thay vào (4.36), ta được: ()VV22 RSVVVS () 21 x 1 1 2 12 1 VV21 SVVV1( 2 1 ) 1 0 2 ực F của dòng chất lưu tác dụng lên vòi hướng tới vòi (về phía trước) và bằng lực của thành rắn tác dụng vào khối chất lưu. 67
Chương 5 THẾ LƯU 5.1 Khái niệm cơ bản 5.1.1 Hàm thế vận tốc Xét dòng chảy phẳng và chất lưu lý tưởng không nén được, chuyển động ổn định. Chuyển động của chất lưu được gọi là có thế khi tồn tại một hàm sao cho:   1 u grad hay uu ; hay uu ; (5.1) xyxyr rr  Hàm thoả mãn điều kiện (5.1) được gọi là hàm thế vận tốc. B Trường véctơ u là trường có thế khi: uds chỉ phụ thuộc vào hai vị trí A và A B. Ta chứng minh điều này. Ta có: BB uds () uxy dx u dy AA Nếu tồn tại hàm thoả mãn điều kiện (5.1) thì: BBB  uds dx dy d AB (5.2) AAA xy Như vậy chỉ phụ thuộc vào giá trị hàm thế tại A và B. Dòng chảy khi đó được gọi là dòng chảy có thế. Từ điều kiện (5.1) ta suy ra:     uy ux 0 hay 0 hay rotu = 0 (5.3) x  y  y  x xy Tập hợp các điểm thoả mãn điều kiện (x,y) = const tạo thành đường đẳng thế. Từ định nghĩa này ta có d = 0 và phương trình mặt đẳng thế: uxdx + uydy = 0 Từ biểu thức (5.2) ta thấy hiệu hàm thế giữa hai điểm bất kỳ chính là lưu số của vector vận tốc u dọc theo một đường cong bất kỳ nối giữa hai điểm đó. 68
Từ phương trình liên tục ta có: u u x y 0 xy Sử dụng (5.1) ta được:     0 x  x  y  y Hay: 22 0 = 0 (5.4) xy22 Như vậy hàm thế thoả mãn phương trình aplace. 5.1.2 Hàm dòng Đối với chất lưu không nén được, các thành phần vận tốc của dòng chảy phải thoả mãn phương trình liên tục: . Ta có thể định nghĩa tồn tại một hàm (x,y) sao cho:   1   u , u ; hay u , u (5.5) x y y x r r   r khi đó  được gọi là hàm dòng. Từ các định nghĩa về hàm thế và hàm dòng ta thấy  tồn tại trong mọi dòng chảy, còn chỉ tồn tại trong dòng chảy thế. Đối với dòng chảy thế ta có: u u y x 0 xy Thay ux và uy từ biểu thức (5.5) ta được:     0 x  x  y  y Hay: 69
22 0  = 0 (5.6) xy22 Như vậy đối với dòng thế thì hàm  thoả mãn phương trình aplace. Từ phương trình của đường dòng ta có: uxdy – uydx = 0 Thay ux và uy từ biểu thức (5.5) ta được:  dy dx 0 yx Hay: d = 0  = const (5.7) Như vậy trên cùng một đường dòng thì giá trị của hàm dòng không đổi. Tính chất của hàm dòng: ọi un là hình chiếu của u lên phương vuông góc với phần tử đường dòng ds trên đường dòng AB (hình 5.1), ta có: BBB q = AB un ds unds () u x n x u y n y ds AAA B (uxy c os u sin ) ds A BB uxy dy u dx dy dx Hình 5.1 AAyx B Q (5.8) AB d BA  A 5.1.3 Biễu diễn dòng thế Từ các biểu thức định nghĩa về hàm thế và hàm dòng ta có:       u( u ) u ( u ) 0 (5.9) x  x  y  y x y y x Đẳng thức (5.9) cho thấy họ các đường đẳng thế và các đường dòng trực giao nhau. Như vậy để mô tả dòng chảy có thể dùng riêng rẽ từng hàm thế hoặc hàm 70
dòng, cũng có thể kết hợp hàm thế và hàm dòng thành một hàm thế phức: F(z) = + i Đại lượng: dd  u z u x, y iu x , y - i (5.10) xydx dy gọi là vận tốc phức. df z dd  v( z ) u x , y iu x , y i (5.11) dzxy dx dy là vận tốc phức liên hợp. Tính chồng chất của các hàm: u x, y u12 x , y u x , y x, y x , y x , y 12 (5.12)  x, y 12 x , y  x , y f z f12 z f z 5.2 Các chuyển động thế phẳng đơn giản 5.2.1 Chuyển động thẳng đều Dòng chảy từ xa vô cùng đến, hợp với phương ngang một góc α (hình 5.2). ọi Vo là vận tốc của dòng chảy, ta có: ux = Vocosα , uy = Vosinα d = uxdy – uydx  = Voycosα – Voxsinα + C Chọn  = 0 là đường qua gốc toạ độ thì C = 0. Do đó:  = Voycosα – Voxsinα Tương tự ta được: = Voxcosα + Voysinα 71
Hình 5.2 Biễu diễn bằng hàm thế phức: F(z) = + i = (Voxcosα + Voysinα) + i(Voycosα – Voxsinα) = x(Vocosα – iVosinα) + yi(Vocosα – iVosinα) F(z) = az (5.13) với: a = (Vocosα – iVosinα) là số phức; z = x+iy là biến phức. 5.2.2 Điểm nguồn, điểm hút ọi q là lưu lượng đơn vị có tâm đặt tại gốc toạ độ O (hình 5.3). Nếu q > 0 thì gọi là điểm nguồn, nếu q 0 thì gọi là điểm hút. Ta có: q u , u = 0 r 2 r Do đó hàm dòng :  q d = dr d u dr ru d  ru d  d  r   rr2 ấy tích phân hai vế ta được: 72
q  C 2 Chọn  = 0 khi  = 0, ta được hàm dòng : q q y  arctan (5.14) 22 x Hình 5.3 (5.14) cho thấy họ các đường dòng là các đường thẳng đi qua gốc toạ độ O. Hàm thế :  q d dr d  u dr ru d  u dr dr r  rr 2 ấy tích phân hai vế ta được: q ln rC , chọn = 0 khi r = 1 2 Suy ra: qq lnr ln( x22 y ) (5.15) 24 (5.15) cho thấy họ các đường đẳng thế là các đường tròn đồng tâm. Hàm thế phức: q q q q F(z) = (lnr i ) (ln r ln eii ) ln( re ln z a ln z (5.16) 2 2 2 2 Chú ý: Trường hợp điểm nguồn (hút) có tâm đặt tại một vị trí khác gốc toạ 73
độ, ví dụ đặt tại A(x0,y0) thì trong công thức tính hàm dòng hoặc hàm thế vận tốc, tại vị trí nào có biến x phải thay bằng x0; tại vị trí nào có biến y phải thay bằng (y - y0). 5.2.3 Xoáy tự do Xét một xoáy tự do đặt tại gốc toạ độ và có lưu số vận tốc  uds const (hình 5.4). Các thành phần của vận tốc:  Ur = 0 , u = = const 2 r Hàm thế :  y  arctan (5.17) 22 x (5.17) cho thấy họ các đường đẳng thế là các đường thẳng đi qua gốc toạ độ O. Hàm dòng :    lnr ln( x22 y ) (5.18) 24 (5.18) cho thấy họ các đường dòng là các đường tròn đồng tâm. Hàm thế phức:  i  i  i  Fz( ) ( ir ln ) (ln ri ) ln( rei ) ln zaz ln (5.19) 2 2 2 2 Hình 5.4 74
Chú ý: khi  > 0 xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ  < 0 xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ. Ở trên là xoáy đặt tại gốc toạ độ O. Đối với xoáy có tâm đặt tại điểm bất kỳ, ta cũng thực hiện như trong phần chú ý của mục điểm nguồn, điểm hút. 5.2.4 Lưỡng cực ưỡng cực là cặp điểm nguồn và hút có cùng lưu lượng q đặt cách nhau một đoạn  vô cùng nhỏ ( 0), q = mo là moment lưỡng cực. Xét trường hợp lưỡng cực nằm trên trục hoành: - Hàm dòng (kí hiệu chỉ số n và h cho điểm nguồn và điểm hút, tương ứng): q q y y    (   ) arctan n h n h  22 xx 22 yy     qqx x y()() x y x 2 2 2 2 arctan arctan 2 22 22 yy xy 1 4  xx 22 Khi  0, tử số của biểu thức trong arctan 0 nên gần đúng:  qy y()() x y x mmsin  22 oo (5.20) 2  2 2 xy 2 2 2 r xy22 4 - Hàm thế vận tốc: 22 q  22 nh ln x y ln x y 4 2 2 75
2  2 xy q2 q2 x ln22 ln 1 44  22 x y x y 22 x2 Khai triển ln(1 + x) = x và bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc cao 2 ta được: q2 xmm x c os oo (5.21) 2 2 2 2  2 2 xy 2 r xy 2 - Hàm thế phức: mccos isin  m os22  sin  m 1 Fz() o o o (5.22) 2 r 2 r ( c os  isin  ) 2 z Hình 5.5 Phân bố họ các đường dòng biểu diễn trên hình 5.5. 5.2.5 Dòng chảy quanh nửa vật rắn Dòng chảy là chồng chập của chuyển động thẳng đều ngang uo và nguồn q tại gốc toạ độ (hình 5.6). Do đó ta viết ngay được biểu thức của hàm thế vận tốc và hàm dòng: 76
qq22  uoo x ln( x y ) u r cos ln r (5.23) 42 qy q y q  uyo arctan uoo y arctan u r sin (5.24) 2 x 22 x Điểm dừng A là điểm ứng với các thành phần vận tốc của dòng chảy bằng 0: uA = 0 hay uAx = uAy = 0. Từ đây ta có:  qx2 ux = uo 0 x 4 xy22 q Suy ra: xA 2 uo  qy2 uy 0 yA = 0 y 4 xy22 Hình 5.6 5.2.6 Dòng chảy quanh vật rắn dạng Rankin Dòng chảy là tổ hợp của dòng chuyển động thẳng ngang đều u0 với nguồn (+q) và hút(-q). Trong đó điểm nguồn và hút nằm trên trục hoành, cách nhau một đoạn 2a hữu hạn (hình 5.7). Ta có: q() x a22 y = o + n + h = uxo ln (5.25) 4 ()x a22 y 77
q y y  uyo arctan arctan (5.26) 2 x a x a Hình 5.7 Có hai điểm dừng A và B ứng với u = 0 hay ux = 0 và uy = 0. Từ đó:  q 22 y y 2 2 2 2 00 y y 4 ()()x a y x a y  q 2( x a ) 2( x a ) uo 2 2 2 2 0 x 4 ()()x a y x a y Thay giá trị y = 0 vào biểu thức cuối cùng ta được: q 22 aq 2 uo xa (5.27) 4 (x a ) ( x a ) uo 5.2.7 Dòng chảy quanh trụ tròn ( = 0) Dòng chảy là tổ hợp của chuyển động thẳng đều nằm ngang uo và lưỡng cực mo. Khi đó: mox m ocos m o uo x 2 2 u o rcos  u o r cos  1 2 (5.28) 22 x yr 2 uo r moy m osin m o  uo y 2 2 u o rsin  u o r sin  1 2 (5.29) 22 x yr 2 uo r mo Xét đường dòng  = 0, từ biểu thức (5.29)  = 0 và r ro R 2 uo 78
Do không có sự trao đổi chất lưu giữa trong và ngoài đường dòng  = 0 nên nếu thay đường tròn bán kính bằng đường tròn bán kính r thì bản chất dòng chảy vẫn không thay đổi. Như vậy các biểu thức (5.28) và (5.29) có thể biểu diễn dạng: R2 R2  uo rcos 1 2 và  uro sin 1 2 (5.30) r r Dòng chảy bao quanh trụ tròn có dạng biểu diễn trên hình 5.8. Hình 5.8 Phân bố vận tốc dòng chảy trên mặt trụ (r = ), từ (5.30) ta có: 1  = 2uoRcos , suy ra: uu 2o sin và ur = 0 (5.31) r  rR Từ (5.31) ta thấy: - Vận tốc dòng chảy lớn nhất bằng 2uo tại hai điểm D và C trên mặt trụ ứng với  = /2 và  = 3 /4. - Hai điểm dừng tại hai điểm B và A ứng với  = 0 và = Để tìm phân bố áp suất trên mặt trụ ta áp dụng phương trình năng lượng cho đường dòng  = 0 từ điểm ở đến điểm trên mặt trụ: uu22 pp o tr 22tr Với utr = u (tại r = ) = – 2uosin iả sử áp suất tại : p = pa, khi đó: 2 2 2 2 2 2 du uo u tr u o 4 u o sin  u o 2 ptr 1 22 1 1 4sin  (5.32) 2 uuoo 2 2 79
Từ biểu thức (5.32) ta thấy: - Áp suất tại hai điểm A và B bằng nhau: 2 uo pA = pB = (5.33) 2 - Áp suất tại hai điểm C và D bằng nhau: 2 3 uo pC = pD = (5.34) 2 Từ các biểu thức (5.32 – 5.34) ta thấy biểu đồ phân bố áp suất đối xứng qua cả trục Ox lẫn trục Oy nên tổng các lực tác dụng lên mặt trụ trong trường hợp này bằng 0. 5.2.8 Chuyển động quanh trụ tròn xoay ( ≠ 0) Dòng chảy là tổ hợp của chuyển động quanh trụ tròn và xoáy tự do (+). Trường hợp này ta có: R2  uro 1 2 cos   r 2 R2   uo r 1 2 sin ln r r 2 Trên mặt trụ thì r = nên ta có: 1  ur = 0 và u = 2u sin o R 2 Từ đây ta thấy u = 0 khi u = 0, suy ra:  sin (5.35) 4 Ruo Từ biểu thức (5.35) ta thấy: - Nếu  4 Ruo : dòng chảy không tồn tại điểm dừng. Hình 5.9 và 5.10 biểu diễn hình ảnh xoáy với một số giá trị của  đối với các trường hợp  > 0 và  < 0. 80
Phân bố áp suất trên mặt trụ: Phương trình năng lượng giống như trường hợp của dòng chảy quanh trụ tròn: uu22 pp o tr 22tr 1  với utr = u (tại r = ) = 2u sin o R 2 iả sử áp suất tại : p = pa, khi đó: 2 2 2 2 du uo u tr u o  ptr 1 1 2sin 2u2 2 2 Ru o o Hình 5.9 Các trường hợp xoáy  > 0 Hình 5.10 Các trường hợp xoáy  < 0 Lực tác dụng lên mặt trụ: - Theo phương x: Fx 0 81
2 du - Theo phương y: Fy p tr Rsin d   u o (5.36) 0 ực Fy theo biểu thức (5.36) chính là cơ sở của lực nâng Guicopxki trong ngành hàng không. 82
Chương 6 KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC Các lực xuất hiện trong tương tác của vật với chất lưu theo nguyên lý tương đối alileo, không phụ thuộc vào việc vật chuyển động và chất lưu nằm yên hay chất lưu chuyển động còn vật đứng yên. Thực nghiệm chứng tỏ rằng một vật chuyển động trong chất lưu thực sẽ chịu tác dụng của lực cản và trong các điều kiện nào đó chiụ tác dụng của cả lực nâng. Ta sẽtìm hiểu sự xuất hiện và tính chất của các lực này. Người ta đã chứng minh rằng các quá trình làm xuất hiện các lực kể trên xảy ra chủ yếu ở trong lớp chất lưu sát bề mặt của vật và lớp đó gọi là lớp biên. Lớp biên: Ðó là lớp mà vận tốc của dòng thay đổi từ 0 (trên chính bề mặt vật) đến một giá trị bằng vận tốc của dòng không bị nhiễu loạn. í thuyết đã chứng tỏ chiều dày  của lớp biên có thể được xác định phỏng chừng theo công thức: L  (6.1) Re trong đó là kích thước đặt trưng của vật. ớp biên phụ thuộc vào vận tốc của dòng, các tính chất của chất lưu và hình dạng vật. Thực nghiệm chứng tỏ chiều dày của lớp biên đối với vật có dạng thuôn giảm theo sự tăng của số eynolds Re. 4 Khi Re 10 chều dày  0,01 , lớp biên là một lớp rất mỏng bao quanh vật, vì vậy có thể coi vật và lớp biên tiếp giáp với vật là một thể thống nhất và dòng chảy quanh nó là dòng chất lưu lý tưởng. iống như sự chảy trong ống, chế độ chảy của chất lưu trong lớp biên có thể là chảy tầng hoặc chảy rối. Chế độ chảy trong lớp biên cũng xác định tính chất của lực tương tác của vật với dòng. Trong lớp biên sự chuyển từ chảy thành tầng sang chảy rối cũng có số eynolds đặc trưng như trong sự chảy của chất lưu ở trong ống. Sự chuyển đó trong lớp biên có nhiều tính chất chung với sự chuyển từ chảy tầng sang chảy rối trong các ống. Trong lớp biên chảy cuộn xoáy, trên mặt vật có chất lưu chảy vòng quanh xuất hiện một lớp con rất mỏng có gradien vận tốc ngang rất lớn gây ra do sự xuất hiện các lực ma sát lớn. Do đó, trong sự chuyển từ 83
sự chảy tầng của lớp biên sang chảy cuộn xoáy, lực cản chuyển động của dòng tăng một cách đột ngột. 6.1 Lực cản chuyển động 6.1.1 Lực cản do ma sát Đối với dòng chảy có vận tốc không lớn, khí ở trong lớp biên ở chế độ chảy thành lớp, chất lưu chảy quanh vật nhịp nhàng (không bị đứt ra). Các đường dòng có dạng giống như trong trường hợp chảy lượn của chất lưu lý tưởng. Ðể thí dụ ta xét sự chảy quanh quả cầu. Trường hợp chất lưu lý tưởng (hình 6.1), tổng các áp lực lên mặt quả cầu bằng không do sự đối xứng của các đường dòng. Cũng do nguyên nhân đó tổng các áp lực vuông góc với mặt cầu cũng sẽ bằng không cả trong trường hợp chất lưu nhớt chảy lớp quanh quả cầu. Hình 6.1 ực do chất lưu tác dụng vào quả cầu là tổng hớp của các lực ma sát dS đặt vào các phần tử của mặt cầu. Ứng suất  phụ thuộc vào gradien vận tốc, gradien vận tốc phụ thuộc chiều dày lớp biên. ớp biên mỏng nhất ở các điểm C và D, dày nhất ở các điểm A và B. Vì vậy gradien vận tốc và do đó  có giá trị cực đại ở các điểm C và D, cực tiểu ở các điểm A và B. Do tính chất đối xứng, lực ma sát tổng cộng Fms hướng theo dòng chảy. Fms chỉ phụ thuộc độ nhớt , vận tốc tương đối vo của dòng chảy tầng và bán kính của quả cầu: Fms = 6Rvo (6.2) (6.2) là công thức Stokes. (6.2) cho thấy lực cản nhớt Fms tỉ lệ tuyến tính với vận tốc vo. Công thức Stokes (6.2) đúng với điều kiện e 1. Đây là cơ sở của thực nghiệm xác định hệ số nhớt  của một chất lưu. Phương pháp như sau: 84
Khảo sát chuyển động rơi tự do của một quả cầu nhỏ trong một chất lưu đứng yên. Khi đó có ba lực tác dụng vào quả cấu: 4 - Trọng lượng quả cầu: p = R3 g hướng xuống dưới, với là khối 3 lượng riêng quả cầu. 3 - ực đẩy Achimède FA = R og hướng lên trên, với o là khối lượng riêng chất lưu. - ực cản nhớt Fms = 6 v hướng ngược chiều chuyển động, tức hướng lên phía trên. Hai lực đầu có trị số không đổi, lực thứ ba tỉ lệ với vận tốc v của quả cầu. Khi quả cầu đạt vận tốc vo sao cho P cân bằng với F + FA hay: 3 3 R g = FA = R og + 6Rvo Từ đó: 2( - )gR2 v o (6.3) o 9 Thực nghiệm đo được vo sẽ tính ra . 2 Biểu thức (6.3) cho thấy vo tỉ lệ với , do đó nó chỉ phù hợp với các quả cầu bán kính nhỏ. 6.1.2 Lực cản do áp suất Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi tăng vận tốc của dòng chất lưu chảy đến một giá trị nào đó sự chảy quanh vật thay đổi đột ngột, phía sau vật xuất hiện các xoáy được tách ra khỏi vật và bị dòng cuốn ra xa tạo thành các rãnh xoáy (hình 6.2) và biến mất ở một nơi xa vật. Xung quanh vật và các rãnh xoáy là dòng chất lưu chảy lớp. 85
Hình 6.3 Đối với vật có dạng hình đối xứng, phía sau vật thường hình thành hai xoáy có momen xung lượng bằng nhau về giá trị nhưng ngược chiều nhau. Các xoáy tạo thành phá huỷ tính đối xứng sự phân bố chất lưu trên mặt trụ. Nếu áp suất trong vùng chất lưu không bị nhiễu loạn (chảy tầng) bằng po thì trong vùng có xoáy áp suất nhỏ hơn po. Trong miền tiếp giáp với mặt trước của hình trụ (điểm A), áp suất theo định v2 luật Bernoulli là p o , áp suất này lớn hơn áp suất trong vùng không bị o 2 nhiễu loạn. Kết quả là tổng các áp lực phân bố trên mặt trụ sẽ 0 và do sự đối xứng sẽ hướng theo dòng, đó là lực cản do áp suất pa. Hiệu áp suất trước và sau 2 vo hình trụ là do đó lực cản tổng cộng do áp suất Fa cũng tỉ lệ với mật độ của 2 2 chất lưu và bình phương vận tốc tương đối vo . Ngoài ra Fa còn phụ thuộc độ lớn của vùng có xoáy phía sau vật, vùng này lại phụ thuộc vào kích thước vật. Như vậy kích thước đặc trưng của vật ảnh hưởng đến độ lớn của lực cản Fa. Người ta đưa vào khái niệm diện tích đặc trưng Sc là tiết diện lớn nhất của vật vuông góc với các đường dòng gọi là tiết diện tiền đầu. Từ đó ta thu được biểu thức của định luật về lực cản chính diện khi ở phía sau vật xuất hiện các xoáy: C F x S v2 (6.4) a2 c o với Cx là hệ số không thứ nguyên gọi là hệ số cản tiền đầu. Cx phụ thuộc hình dạng và sự định hướng của vật đối với dòng, không phụ thuộc kích thước của vật. Thực nghiệm cho thấy Cx phụ thuộc số eynol e do đối với trị số e lớn sẽ hình thành các xoáy dịch chuyển về vùng phía trước vật và vùng có chuyển động xoáy phía sau vật mở rộng. Hình 6.4 biểu diễn một số giá trị của Cx đối với một số 3 4 vật có hình dạng khác nhau, có chỉ số e = 10  10 và có giá trị Sc giống nhau. 86
Hình 6.4 Có thể thấy rằng vật dạng thuôn có Cx nhỏ nhất, đĩa có Cx lớn nhất. Từ đó ta thấy ảnh hưởng đến độ lớn của Cx không phải phần phía trước mà là phần phía sau vật – nơi hình thành các xoáy. 6.2 Lực nâng Cơ sở lý thuyết của lực nâng cánh máy bay được iucopxki nêu năm 1906 trong công trình nổi tiếng “về các xoáy liên hợp”. Ðể nghiên cứu trước tiên ta xét hiệu ứng Magnus. 6.2.1 Lực tác dụng vào hình trụ quay. Hiệu ứng Magnus Khi hình trụ rắn quay nó sẽ tạo ra trong khối chất lưu nhớt bao quanh nó các chuyển động tròn không xoáy (hình 6.5a) có cường độ: G = 2S (6.5) với S là tiết diện hình trụ,  là vận tốc quay của hình trụ. Hình 6.5 Đối với hình trụ không quay, chuyển động tịnh tiến với vận tốc tương đối vo nhỏ thì khối chất lưu nhớt bao quanh sẽ tạo thành dòng chảy lớp và phía ngoài lớp biên cũng không xoáy (hình 6.5b). Nếu hình trụ đồng thời quay và chuyển động tịnh tiến thì hai dòng không xoáy bao quanh nó sẽ chồng lên nhau và cho một dòng chảy tổng hợp với vận tốc chảy của chất lưu ở phía trên lớn hơn ở phía dưới (hình 6.5c). 87
Vì vậy, theo định luật Bernoulli áp suất chất lỏng ở phần trên hình trụ sẽ nhỏ hơn ở phần dưới làm xuất hiện một lực thẳng đứng gọi là lực nâng. Đó chính là hiệu ứng Magnus. Giukôpxki và Kutt tính toán bằng lý thuyết một cách độc lập thu được cùng một kết quả cho độ lớn của lực nâng Fn: 2 Fno G v (6.6) ực nâng chính là kết quả của chuyển động tròn của chất lưu với cường độ của chuyển động tròn được xác định bởi biểu thức (6.5). ực nâng Fn vuông góc với vận tốc vo của dòng. Chiều của Fn được xác định theo thứ tự Fno , v và ω lập thành một tam diện thuận. Có thể quan sát hiệu ứng Magnus bằng thực nghiệm đơn giản (hình 6.6): một hình trụ nhẹ lăn trên một mặt phẳng nghiêng, sau khi rời khỏi mặt nghiêng hình trụ không đi theo đường parabol theo hướng ra xa bàn mà ngược lại nó đi ngoặt vào gầm bàn. Hình 6.6 Nếu thay hình trụ quay bằng xoáy (cột chất lưu quay) với cường độ = S thì lực Magnus cũng như vậy. Từ đó ta đi đến kết luận quan trọng: Chất lưu bao quanh xoáy tác dụng vào xoáy một lực vuông góc với vận tốc tương đối vo của chất lưu, lực có chiều xác định bằng qui tắc tam diện thuận đã nói ở trên. 6.2.2 Lực nâng cánh máy bay Cơ chế hình thành lực nâng cánh máy bay giống như cơ chế hình thành lực nâng trong hiệu ứng Magnus. Tuy nhiên, sự xuất hiện chuyển động tròn được giải 88
hoàn toàn do các nguyên nhân khác. Hình 6.7 Nhờ hình dạng không đối xứng của cánh và mép phía sau nhọn (hình 6.7), do các quá trình như đã mô tả ở trên xảy ra trong biên, phía sau cánh hình thành xoáy, ngoài ra còn một xoáy khác gọi là xoáy lấy đà. Xoáy lấy đà có mômen xung lượng xác định. Theo định luật bảo toàn mômen xung lượng, mômen xung lượng của hệ cánh và không khí không đổi (bằng 0) do không có mômen của các ngoại lực tác dụng vào hệ. Vì vậy cùng với xoáy hình thành ở đằng sau cánh, phải xuất hiện một chuyển động tròn nào đó của không khí có mômen xung lượng bằng mômen xung lượng của xoáy nhưng ngược chiều. iucôpxki đã chứng tỏ rằng chuyển động tròn của không khí chung quanh cánh xuất hiện cùng với sự hình thành xoáy. Ta đã biết xoáy sinh ra chuyển động tròn. Từ đó suy ra bản thân cánh phải được coi như một xoáy ảo nào đó chuyển động cùng với cánh. iucôpxki gọi đó là xoáy liên hợp. Nhưng trên xoáy chuyển động (tức là trên cánh) phải có tác dụng của lực Magnus mà với cánh nằm ngang là lực nâng Fn hướng lên trên theo qui tắc xác định hướng của lực Magnus. Điều này cũng có thể thấy từ sự phân bố vận tốc của dòng ở trên và dưới cánh. Trong chuyển động tròn, vận tốc của không khí ở trên cánh lớn hơn ở dưới cánh. Theo định luật Bernoulli áp suất không khí ở dưới cánh lớn hơn ở trên cánh, đó chính là nguyên nhân xuất hiện lực nâng. Kết luận: Trong chuyển động vòng quanh cánh tồn tại hai xoáy: xoáy lấy đà và xoáy liên hợp. Xoáy liên hợp tạo ra lực nâng có độ lớn tỉ lệ với chiều dài của cánh. Theo lý thuyết của iucôpxki, cường độ của xoáy đối với cánh có dạng trông xiên (hình 5.8a) được xác định bằng công thức: 1 G  2 với α là góc đụng, là chiều dài dây cung tức là khoảng cách từ mép trước đến mép sau của cánh. Đối với cánh dài vô hạn, trục của xoáy liên hợp sẽ là một đường thẳng dài vô hạn. Thực tế chiều dài của cánh máy bay là hữu hạn nên xuất hiện hiệu ứng 89
vòng làm cho xoáy liên hợp trở thành xoáy vòng (hình 6.8b), kết quả là sự chảy vòng quanh cánh trở nên phức tạp thêm. a) b) Hình 6.8 Xoáy lấy đà vừa hình thành bị tách ra ngay khỏi cánh và được dòng mang đi, ở vị trí của nó lại xuất hiện một xoáy lấy đà mới đồng thời cũng xuất hiện một xoáy liên hợp mới. Như thế chuyển động tròn quanh cánh luôn được bảo toàn do sự tách ra của các xoáy lấy đà. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bài giảng Cơ ưu Chất, Nguyễn Thị Bảy, Trường Đại học Bách khoa Tp. 90
Hồ Chí Minh. 2. Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh. 3. Giáo trình Cơ lưu chất, Bộ môn Cơ lưu Chất, Trường Đại học Bách khoa Tp. Hồ Chí Minh. 4. Bài tập Cơ lưu Chất, Nguyễn thị Phương, Lê song Giang, Bộ môn Cơ lưu Chất, Trường Đại học Bách khoa Tp. Hồ Chí Minh. 5. Solutions Manual. Introduction to Fluid Mechanics, Robert W.For, Alan T. Mc Donald. 6. Bài giảng Thuỷ lực và máy thuỷ lực, Nguyễn Đăng Phóng, Bộ môn Thủy lực Thủy văn Khoa Công trình, Trường Đại học Giao thông Vận tải 7. Fundamental of Fluid mechanics–Phillip M. Berhart, Richard J. Gross, John I. Hochstein. Second edition, Addison –wesley Publising Company Inc. 1985. 8. Applied Fluid Mechanics- Robert L. Mott , Fourth edition , Macmillian Publishing Company, 1990. 9. Fluid mechanics – John Doughlas, Janusz M. Gasiorek , John A. Swaffiield. Fourth edition, Prentice Hall, 2001. 10. E-book : Fluid Mechanics , Frank M. White , 1994. 11. E-book : Shaum’s interactive Fluid mechanics – Giles R.V et al. Web: Chean Chin Ngo, Kurt Gramoll. Website : www.engin.umich.edu. 12. 2500 solved problems in Fluid mechanics and hydraulics. Jak B. Evett, Ph.D and Cheng Liu, Ph.D. McGraw-Hhill Book Company. MỤC LỤC Trang 91
Chương 1 1 MỞ ĐẦU 1 1.1 Đối tượng, phạm vi và mục đích của học phần 1 1.2 Tính chất vật lý cơ bản của chất lưu 1 1.2.1 Khối lượng riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng, thể tích 1 1.2.2 Tính nén được 2 1.2.3 Tính nhớt của chất lưu 4 1.2.4 Áp suất hơi 6 1.2.5 Sức căng mặt ngoài và hiện tượng mao dẫn 6 Chương 2 8 TĨNH HỌC CHẤT ƯU 8 2.1 Áp suất thủy tĩnh 8 2.1.1 Khái niệm 8 2.1.2 Áp suất thủy tĩnh 8 2.1.3 Tính chất 9 2.1.4 Đơn vị của áp suất 10 2.1.5 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư và áp suất chân không 10 2.1.6 ực khối và lực mặt 11 2.2 Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng 12 2.2.1 Phương trình vi phân cơ bản 12 2.2.2 Phương trình thuỷ tĩnh 13 2.3 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 15 2.3.1 Áp kế 15 2.3.2 Định luật Pascal 16 2.3.3 Biểu đồ phân bố áp suất 17 2.4 Áp lực thủy tĩnh 18 2.4.1 Áp lực thủy tĩnh lên một mặt phẳng 18 2.4.2 Áp lực chất lỏng lên mặt cong 20 2.4.3 ực đẩy Archimède 21 2.5 Sự cân bằng một vật trong chất lưu 21 92
2.5.1 Vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng 21 2.5.2 Vật ngập một phần trong chất lỏng 22 2.5.3 Nguyên lý lắng ly tâm 24 2.6 Ứng dụng tĩnh học tương đối 25 2.6.1 Chất lỏng trong bình chuyển động thẳng ngang với gia tốc không đổi25 2.6.2 Chất lỏng trong bình chuyển động quay đều quanh trục thẳng đứng 26 Chương 3 28 ĐỘN HỌC CHẤT ƯU 28 3.1 Phương pháp nghiên cứu 28 3.1.1 Phương pháp agrange 28 3.1.2 Phương pháp Euler 29 3.2 Một số khái niệm 30 3.2.1 Đường dòng 30 3.2.2 Nguyên tố dòng 31 3.2.3 Diện tích ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực 31 3.2.4 ưu lượng 32 3.2.5 Vận tốc trung bình mặt cắt ướt 32 3.2.6 Chuyển động ổn định và không ổn định 32 3.3 Phương trình Bernoulli 33 3.4 Phân loại chuyển động 35 3.4.1 Phân loại theo ma sát 35 3.4.2 Phân loại theo thời gian 36 3.4.3 Phân loại theo không gian 36 3.4.4 Phân loại theo tính nén được 36 3.4.5 Phân loại theo trạng thái chảy 37 3.5 ia tốc của phần tử chất lưu 39 3.6 phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối 40 3.6.1 uan hệ giữa thể tích kiểm soát với đại lượng nghiên cứu 40 3.6.2 Định lý vận tải eynolds - phương pháp thể tích kiểm soát 41 3.7 Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát 42 93
3.7.1 Phương trình liên tục 42 3.7.2 Phương trình năng lượng 44 3.7.3 Phương trình động lượng 45 3.8 Phân tích chuyển động của chất lưu 45 Chương 4 51 ĐỘN ỰC HỌC CHẤT ƯU 51 4.1 Phương trình vi phân cho chất lưu lý tưởng chuyển động 51 4.2 Tích phân phương trình chuyển động 53 4.2.1 Trường hợp chuyển động không quay (chuyển động thế) 53 4.2.2 Chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đường dòng 55 4.2.3 Chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đường xoáy 55 4.2.4 Chuyển động ổn định, tích phân theo phương pháp tuyến với đường dòng 55 4.3. Phương trình Navier-Stokes cho chuyển động của chất lưu thực 56 4.4 Phương trình năng lượng 58 4.4.1 Dòng ổn định, không trao đổi nhiệt với môi trường 58 4.4.2 dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài 60 4.5 Ứng dụng của phương trình năng lượng 60 4.5.1 Đo lưu tốc điểm của dòng khí bằng ống Pito vòng 60 4.5.2 Đo lưu lượng bằng ống Ventury 61 4.5.3 Dòng chảy ổn định qua lỗ thành mỏng 62 4.5.4 Dòng chảy không ổn định ra ngoài bình 63 4.6 Phương trình động lượng 64 4.7 Ứng dụng của phương trình động lượng 65 4.7.1 ực của tia nước tác dụng trên một tấm phẳng nghiêng 65 4.7.2 ực của dòng nước tác dụng lên một vòi phun 67 Chương 5 68 THẾ ƯU 68 5.1 Khái niệm cơ bản 68 5.1.1 Hàm thế vận tốc 68 5.1.2 Hàm dòng 69 94
5.1.3 Biễu diễn dòng thế 70 5.2 Các chuyển động thế phẳng đơn giản 71 5.2.1 Chuyển động thẳng đều 71 5.2.2 Điểm nguồn, điểm hút 72 5.2.3 Xoáy tự do 74 5.2.4 ưỡng cực 75 5.2.5 Dòng chảy quanh nửa vật rắn 76 5.2.6 Dòng chảy quanh vật rắn dạng ankin 77 5.2.7 Dòng chảy quanh trụ tròn ( = 0) 78 5.2.8 Chuyển động quanh trụ tròn xoay ( ≠ 0) 80 Chương 6 83 KHÍ ĐỘN ỰC HỌC 83 6.1 ực cản chuyển động 84 6.1.1 ực cản do ma sát 84 6.1.2 ực cản do áp suất 85 6.2 ực nâng 87 6.2.1 ực tác dụng vào hình trụ quay. Hiệu ứng Magnus 87 6.2.2 ực nâng cánh máy bay 88 95