›
›

Giáo trình cơ học lý thuyết

pdf 43 trang huongle 7580
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình cơ học lý thuyết", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_co_hoc_ly_thuyet.pdf

Nội dung text: Giáo trình cơ học lý thuyết

  1. ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT ĐÀ NẴNG 2005
  2. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC CHƯƠNG I ĐỘNG HỌC ĐIỂM §1. MỞ ĐẦU ĐỘNG HỌC Động học là phần cơ học nghiên cứu các tính chất hình học của chuyển động các vật, không kể đến quán tính (khối lượng) và các lực tác dụng lên chúng để vật chuyển động. Khi nghiên cứu phần động học ta cần chú ý đến những điểm sau đây: 1. Mô hình vật thể của động học là động học điểm và vật rắn chuyển động. Động học điểm là điểm hình học chuyển động trong không gian, qua thời gian. Vật rắn chuyển động là tập hợp nhiều động điểm mà khoảng cách giữa mỗi cặp điểm đều không đổi trong chuyển động. 2. Chuyển động xảy ra trong không gian và theo thời gian. Không gian trong cơ học là không gian Euclide ba chiều. Tất cả các phép đo lường trong không gian này được xác định theo phương pháp hình học Euclide. Đơn vị chiều dài để đo khoảng cách là mét (m). Thời gian trong cơ học được coi là thời gian trôi đều không phụ thuộc vào hệ quy chiếu khảo sát. Đơn vị đo thời gian là giây (s). Thời gian được xem là đối số độc lập khi khảo sát chuyển động của các vật thể. 3. Để xác định vị trí của vật (hoặc điểm) đang chuyển động người ta gắn với vật chuẩn dùng để khảo sát chuyển động một hệ toạ độ nào đó mà cùng với nó tạo thành hệ quy chiếu. Nếu toạ độ của tất cả các điểm của vật trong hệ quy chiếu đã chọn luôn không đổi ta nói vật đứng yên. Còn nếu toạ độ của các điểm thay đổi theo thời gian ta nói vật chuyển động trong hệ quy chiếu. 4. Khảo sát về mặt chuyển động của một điểm hay của một vật rắn là tìm cách xác định vị trí của điểm ấy đối với hệ quy chiếu đã chọn ở mỗi thời điểm, đồng thời tìm cách mô tả chuyển động ấy theo thời gian. Muốn vậy, người ta dùng những khía niệm sau đây: a) Thông số xác định vị trí của điểm hay của một vật rắn trong hệ quy chiếu đã chọn. b) Phương trình chuyển động của điểm hay vật rắn chuyển động là những biểu thức liên hệ giữa thông số định vị nói trên với thời gian mà ta xem là đối số độc lập. Chương I Động học điểm Trang 1
  3. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC c) Vận tốc chuyển động là đại lượng biểu thị hướng và tốc độ chuyển động của điểm hay vật rắn ở thời điểm đang xét. Nói chung, vận tốc chuyển động cũng là đại lượng biến thiên theo thời gian. d) Gia tốc chuyển động là đại lượng biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc chuyển động (phương chiều, độ lớn) theo thời gian. Gia tốc chuyển động cũng là hàm của thời gian. 5. Động học được chia làm hai phần chính: - Động học điểm - Động học vật rắn §2. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM A- Khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp véctơ (vector) 1. Phương trình chuyển động của điểm: Xét chuyển động của điểm M trong z hệ quy chiếu Oyxz. Rõ ràng là vị trí của M được xác định duy nhất r r r bằng véctơ định vị r= OM, ta gọi V là véctơ bán kính của động điểm r trong hệ quy chiếu ấy. W y Khi động điểm chuyển động, véctơ sẽ biến thiên liên tục theo thời gian cả về hướng lẫn độ dài do đó ta x Hçnh 1.1 viết : r = r (t) (1.1) Biểu thức (1.1) là phương trình chuyển động của điểm viết dưới dạng véctơ. Quỹ tích các vị trí của chuyển động điểm trong không gian quy chiếu được gọi là : Quỹ đạo của chuyển động điểm trong hệ quy chiếu ấy. Phương trình (1.1) cũng chính là phương trình quỹ đạo dưới dạng thông số. Chương I Động học điểm Trang 2
  4. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC 2. Vận tốc chuyển động của điểm : r Giả thuyết tại thời điểm t động điểm M,t V M có véc tơ định vị r , và tại thời điểm t’=t+∆t động điểm ở vị trí M’ ∆r M',t' có véctơ định vị r . r r Véctơ MM '= r '- r =∆ r mô tả gần đúng hướng đi và quãng đường đi r' được của động điểm trong thời gian O ∆t , gọi là véctơ tốc độ lồi của điểm. Hình 1.2 ∆r Đại lượng được gọi là vận tốc trung bình của động điểm trong thời gian ∆t. Kí ∆t r hiệu VTB . Nếu ∆t càng nhỏ thì độ chính xác càng cao do đó người ta định nghĩa : r Vận tốc tức thời ở thời điểm t của động điểm là véctơ V được xác định như sau: r r rr ∆rdrr VV==lim TB lim ==r& (1.2) ∆→tt00∆→ ∆tdt nghĩa là : Vận tốc tức thời của động điểm là đạo hàm cấp một theo thời gian của véctơ định vị của động điểm (Ký hiệu r& (t)-từ nay về sau ta hiểu là đạo hàm theo thời gian) r Về mặt hình học khi tới giới hạn, vận tốc tức thời V phải hướng tiếp tuyến với quỹ đạo của động điểm tại M và thuận theo chiều chuyển động qua đó của động điểm. Đơn vị chính của vận tốc là m/s (mét/giây). 3. Gia tốc của động điểm : r V r Nói chung, véctơ V biến M đổi cả về hướng và độ lớn theo ∆V r r V ' thời gian V =V (t). Đaị lượng : rr dV ∆V = lim cho ta biết tốc dt ∆→t 0 ∆t M' r độ biến đổi của véctơ V cả về V ' phương chiều lẫn độ lớn tại Hình 1.3 thời điểm đang xét, nghĩa là nó Chương I Động học điểm Trang 3
  5. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC đặc trưng cho tốc độ đổi hướng và đổi hướng và đôi độ nhanh của chuyển động của điểm. Vì vậy, người ta định nghĩa: r Gia tốc tức thời W của động điểm là đại lượng véctơ bằng đạo hàm cấp một theo thời gian của vận tốc: r r WV= & = &&r (1.3) r Về mặt hình học, chú ý rằng véctơ ∆V bao giờ cũng hướng vào bề lõm của quỹ đạo. Đơn vị chính để tính gia tốc là m/s2 4. Một số tính chất được suy ra trực tiếp từ biểu thức cảu vận tốc và gia tốc: rr r r a) Nếu V∧W đồng nhất triệt tiêu thì V và W luôn luôn cùng phương. Do đó r V có phương không đổi nên chuyển động của điểm là chuyển động thẳng. rr - Nếu V∧W không đồng nhất triệt tiêu thì chuyển động là chuyển động cong r vì khi ấy V đổi phương. b) Tính đều hay biến đổi của chuyển động Chuyển động là đều hay biến đổi tuỳ theo giá trị vận tốc V là không đổi hay tăng hoặc giảm theo thời gian. - Nếu trị số vận tốc tăng hoặc giảm theo thời gian trong một khoảng thời gian nào đó ta nói điểm chuyển động nhanh hoặc chậm dần trong khoảng thời gian đó. Chú ý rằng sự thay đổi V2 đặc trưng cho sự thay đôi độ lớn của V và ta có: r r dV 22d()V r r VV22= (), ==2.VW dt dt Ta rút ra kết luận như sau: rr - Nếu VW. ≡ 0 thì động điẻm chuyển động đều trên quỹ đạo của nó (có thể thẳng hay cong) rr - Nếu VW. ≠ 0 thì chuyển động biến đổi, cụ thể : rr + VW. > 0 : Nhanh dần rr + VW. < 0 : Chậm dần Chương I Động học điểm Trang 4
  6. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC B- Khảo sát chuyển động của điểm bằng toạ độ Descartes 1. Phương trình chuyển động của động điểm: Xét chuyển động của z điểm trong toạ độ Descartes Oxyz. Vị trí của điểm được xác định bởi các toạ độ x,y,z. Vì M(x,y,z) r V (Vx ,Vy ,Vz ) vậy: Phương trình chuyển r y động của điểm sẽ là : O r W (W ,W ,W ) ⎧ x = xt() x y z ⎪ ⎨yy= (t) (1.4) ⎪ Hçnh 1.4 ⎩ zz= ()t x (1.4) cũng chính là phương trình quỹ đạo viết dưới dạng tham số. 2. Vận tốc chuyển động của điểm : Gọi i, j, k là các véctơ đơn vị trên ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz khi ấy : r rr r r r rxr =+iyj+zk trong đó i , j , k là hằng. r d r r rrr r Ta có : Vr==r& (yxi+j+zk) = xi+yj+zk dt r r r r VV=++xyiVjkVz ⎧Vxx = & ⎪ Vậy : ⎨Vy = y& (1.5) Vận tốc của động điểm trong hệ Descartes từ (1.5) có thể xác ⎪ ⎩Vzz = & r định giá trị và hướng của V 222 Vx= &&++yz& r V r Vy r Vz cVos(Ox, ) = x , cVos(Oy, ) = , cVos(Oz, ) = V V V Chương I Động học điểm Trang 5
  7. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC 3.Gia tốc chuyển động của điểm : r r Tương tự như đối với vận tốc, W = V = r ta có: ⎧WVxx==& &&x ⎪ ⎨WVyy=& =&&y (1.6) Gia tốc trong toạ độ Descartes từ (1.6) ta cũng xác định giá trị và ⎪ ⎩WVzz==& &&z hướng W như sau : 222 W = &&x + &&yz+ && r W r Wy r W cWos(Ox, ) = x , cWos(Oy, ) = , cWos(Oz, ) = z W W W r r Cuối cùng dựa vào hình chiếu của vận tốc V và gia tốc W ta có thể mô tả các đặc điểm thẳng hay cong, đều hay biến đổi đều của chuyển động điểm. C- Khảo sát chuyển động của điểm bằng toạ độ tự nhiên. 1. Phương trình chuyển động : Khi đã biết quỹ đạo chuyển động của điểm ta thường khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp tạo độ tự nhiên. (-) Chọn điểm O tuỳ ý trên O quỹ đạo làm gốc và xem quỹ (+) đạo như một trục toạ độ cong M rồi định ra trên nó một chiều Hình 1.5 dương. Gọi OM=s là toạ độ cong của động điểm trên quỹ đạo. Rõ ràng s chính là thông số định vị của điểm M trên quỹ đạo. Vậy phương trình chuyển động của M có dạng : s = st() Chương I Động học điểm Trang 6
  8. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC 2. Một số tính chất hình học của quỹ đạo : a) Hệ toạ độ tự nhiên Hệ toạ độ tự nhiên là hệ ba trục vuông góc được xác định như sau: Trục tiếp tuyên tại M có hướng r b dương đã chọn trùng với hướng τr dương đã chọn trên quỹ đạo, véctơ đơn vị trên trục này ký hiệu τr . Lấy cung vô cùng bé nr ds = MM ' nằm trong mặt phẳng duy Hình 1.6 nhất qua Mτ và chứa tiếp tuyến M. Mặt phẳng π tại M được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Trong mặt phẳng π ta điểm M kẻ pháp tuyến của quỹ đạo và định hướng dương vào bề mặt lõm của quỹ đạo. Pháp tuyến ấy gọi là pháp tuyến chính tại M. Kí hiệu là nr r Trục vuông góc với mặt phẳng gọi là trục trùng pháp tuyến, ký hiệu là b là r véctơ đơn vị, và chọn b sao cho Mτnb là một tam diện thuận. b) Độ cong và bán kính cong của quỹ đạo tại r M T Độ cong của quỹ đạo tại M là một số r dương K : τ M’ T' ∆ϕ dϕ K ==lim ∆s ∆→s 0 T" ∆sds ∆ϕ Nếu quỹ đạo là đường tròn thì : Hình 1.7 1 ds ==R là bán kính của đường tròn. Kdϕ 1 Suy rộng ra đối với đường cong bất kỳ = ρ gọi là bán kính cong của quỹ đạo. K Chương I Động học điểm Trang 7
  9. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC 3. Xác định vận tốc và gia tốc của chuyển động : a) Xác định hướng vận tốc của điểm M Vì hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm M, nên ta có thể viết : r r VV= τ .τ (a) Mặt khác ta cũng có : r drr drr ds V ==. dt ds dt drrr∆r nhưng : ==lim τr ds ∆→s 0 ∆s r ds Vậy : V = .τr (b) dt Từ (a) và (b) ta có thể viết : r ds V = V = V = = s& τ dt ds Xét quan hệ giữa Vτ và : dt r r - Khi M chuyển động theo chiều dương thì V và τ cùng chiều, nghĩa là Vτ>0 khi ấy s tăng theo thời gian có nghĩa là s& >0. vậy Vτ và s& cùng dấu. r r - Khi M chuyển động theo chiều âm thì V và τ trái chiều, nên Vτ <0 khi ấy s giảm theo thời gian nghĩa là s& <0. Vậy Vτ và s& cùng dấu. r ds Vì vậy ta viết được V = V .τr = τr = s&.τr τ dt Giá trị V = V = s& cho tốc độ chuyển động, còn dấu của Vτ cho biết chiều chuyển động của điểm thuận hay ngược với chiều dương đã chọn trên quỹ đạo. b) Xác định gia tốc W của M: r r r r Ta viết : W = Wτ .τ +Wn .n +Wb .b trong hệ toạ độ Mτnb, cần phải tìm các giá trị Wτ, Wn, Wb theo s Từ (1.3) và (1.7) ta có: r r d W = V& = (V .τr) = V& .τr +V .τr& dt τ τ τ Chương I Động học điểm Trang 8
  10. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Nhưng trong hình học vi phân người ta đã chứng minh rằng : dτr nr dτr ds nr = vì vậy : τr& = . = .V ds ρ ds dt ρ τ r nr V 2 Do đó ta có : W = V& .τr + (V ) 2 . = V& .τr + .nr τ ρ τ ρ V 2 (s 2 ) Từ đó suy ra : W = V& = &s&, W = = & , W = 0 τ τ n ρ ρ b Vậy: gia tốc của M ở vị trí đang xét được phân tích ra hai thành phần : gia tốc tiếp tuyến Wτ và gia tốc pháp tuyến Wn. 4. Phán đoán tính chất của chuyển động : - Chuyển động đều là chuyển động trong đó V=V0; có nghĩa là Wτ = V&τ = 0 . Khi đó s = s0 + V0.t, trong đó s0 là toạ độ tự nhiên ban đầu của động điểm. - Chuyển động biến đổi đều là chuyển động trong đó gia tốc tiếp Wτ = a = const. Từ đó suy ra : Vτ = V0 + at, V0 là vận tốc đều của chuyển động, phương trình chuyển động có at 2 dạng : s = s + V t + , s là toạ độ tự nhiên ban đầu. 0 0 2 0 - Chuyển động biến đổi khi: r r r r r V.W = (Vτ .τ ).(Wτ .τ +Wn .n) = Vτ .Wτ ≠ 0 Nếu : Vτ .Wτ >0 Chuyển động nhanh dần Vτ .Wτ <0 Chuyển động chậm dần Ví dụ 1: ( Chuyển động Xyclôít) Xét chuyển động lăn không trượt của đường tròn trên đường thẳng. Giả sử vận tốc của tâm đường tròn đó là v(t) và bán kính cảu nó là R. a. Lập phương trình chuyển động của một điểm M bất kỳ trên đường tròn ấy. b. Khảo sát vận tốc và gia tốc của M những lúc nó ở trên đường thẳng tựa của đường tròn c. Giả thuyết V = V0 = const, khảo sát tính biến đổi chuyển động trên một cung quỹ đạo ứng với một vòng lăn của đường tròn. Chương I Động học điểm Trang 9
  11. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Bài giải : a. Lập phương trình chuyển động : Khảo sát chuyển động x của điểm M trên đường tròn, rõ ràng rất nhiều lần M vật chạm với đường tựa Ox. Ta I chọn ngay một điểm như thế M φ O y làm gốc O và bắt đầu khảo H P sát từ ấy. r r Gọi φ = (IM , IP) . Tìm sự liên hệ : x = x(ϕ), y = y(ϕ), ϕ = ϕ(t) trong đó x, y là tọa độ của M. Ta có : xM = OP − HP nhưng vì vòng tròn lăn không trượt nên : OP = PM = Rφ. x = OP − HP = Rϕ − Rsinϕ = R(ϕ − sinϕ) Vậy : M yM = PI − KI = R − R cosϕ = R(1− cosϕ) cũng vì vòng tròn lăn không trượt nên: t OP = ∫V (t).dt mà OP = Rϕ 0 1 t Vậy ϕ = ∫V (t).dt R 0 Do đó phương trình chuyển động của điểm M được viết như sau: x = R(ϕ − sinϕ) y = R(1− cosϕ) 1 t ϕ = ∫V (t).dt R 0 Quỹ đạo của điểm M gồm những đường cong xyclôít tuần hoàn với chu kỳ là 2π cho nên ta chỉ xét chuyển động của nó trong 0 ≤ φ ≤ 2π. Chương I Động học điểm Trang 10
  12. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC b. Biểu thức vận tốc và gia tốc của điểm: r ⎧Vx = x& = Rϕ&(1− cosϕ) V ⎨ ⎩ Vy = y& = Rϕ& sinϕ 2 r ⎪⎧Wx = &x& = Rϕ& sinϕ + Rϕ&&(1− cosϕ) W ⎨ 2 ⎩⎪ Wy = &y& = Rϕ& cosϕ + Rϕ&&sinϕ M ở vị trí chạm mặt đường ϕ = 0 hoặc ϕ = 2π thì sinϕ = 0, cosϕ = 1. Vậy : r ⎧Vx = 0 r ⎧ Wx = 0 V ⎨ W ⎨ 2 ⎩Vy = 0 ⎩Wy = Rϕ& > 0 r Như vậy tức là W ≠ 0 và hướng vuông góc đường tựa của vòng tròn. Do vậy, ở những vị trí như thế M dừng tức thời và khởi động lại. c. Trường hợp V = VO = const. 1 t 1 V ϕ = V dt = V t vậy ϕ = 0 , ϕ = 0 ∫ 0 0 & && R 0 R R Do đó: 2 ⎧ V0 V = V (1− cosϕ) ⎪Wx = sinϕ r ⎧ x 0 r ⎪ R V ⎨ W ⎨ V = V sinϕ V 2 ⎩ y 0 ⎪W = 0 cosϕ ⎩⎪ y R r r V 2 V 2 V.W = V .W +V .W = 0 []sinϕ(1− cosϕ) + sinϕ cosϕ = 0 sinϕ x x y y R R r r ⎧> 0 trong khoảng 0<φ<π chuyển động nhanh dần V.W = ⎨ ⎩ < 0 trong khoảng π<φ<2π chuyển động chậm dần Chương I Động học điểm Trang 11
  13. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC CHƯƠNG II CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN Chuyển động cơ bản của vật rắn : chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Sau này chúng ta sẽ thấy rằng mọi chuyển động của vật rắn đều đưa về hai chuyển động trên. §1. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN 1. Định nghĩa : Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động trong đó mọi đường thẳng thuộc vật rắn đều luôn luôn không đổi phương. 2. Tính chất của chuyển động : Định lý : Trong chuyển động tịnh tiến các điểm thuộc vật rắn chuyển động giống hệt nhau. Nghĩa là : Quỹ đạo của chúng là những đường chồng khít lên nhau được và ở mỗi điểm chúng có cùng vận tốc và gia tốc. Chứng minh: Chỉ cần khảo sát hai điểm bất kỳ thuộc vật chẳng hạn hai điểm M, N là đủ. r W Xét vectơ MN vật chuyển động tịnh N N1 N2 N0 tiến nên MN không đổi hướng. Ngoài N ra MN=const. Vậy vectơ MN không r VN đổi trong chuyển động. r WM Từ đó suy ra rằng các tứ giác M0N0- M M2 M 1 0 M M1N1, M1N1M2N2 đều là những hình r bình hành, vì vậy ta có VM M 1M 2 = N1 N 2 , M 2 M = N 2 N , rõ ràng hai đường gãy M0M1M2M , N0N1N2N, chồng khít lên nhau và do đó quỹ đạo của hai điểm M và N có thể chồng khít lên nhâu được . Vì MM ' = NN' nên ta có : r MM ' NN' r r r VM = lim = lim = VN , nghĩa là : V = V ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t M N Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 12
  14. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC r r Suy ra : WM = WN Từ định lý này suy ra : - Việc khảo sát chuyển động của vật rắn chuyển động tịnh tiến được thay thế bằng việc khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ của nó. r r -Vận tốc V và gia tốc W chung cho tất cả các điểm của vật rắn trong chuyển động tịnh tiến được gọi là vận tốc và gia tốc chuyển động tịnh tiến. Chúng là những véctơ tự do. §2. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH Định nghĩa : Nếu trong quá trình chuyển động, vật rắn có hai điểm luôn cố định, ta nói vật rắn có chuyển động quay quanh trục cố định qua hai điểm đó. O Mô hình phẳng Mô hình không gian Mô hình của nó được biểu diễn : Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 13
  15. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC A. Khảo sát chuyển động quay của cả vật rắn: 1. Phương trình chuyển động: Dựng hai mặt phẳng π0, π qua trục quay AB trong đó π0 là mặt phẳng gắn với vật. Định chiều quay dương ϕ A của vật. Vị trí của π xác định vị trí của vật. Gọi ϕ là góc đại số giữa hai mặt phẳng (π0, π). Ta có thể coi ϕ là π 0 B thông số định vị trí của vật quay quanh trục AB. Vậy phương trình chuyển động của vật là: π ϕ = ϕ (t) (2.1) 2. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật chuyển động : Giả thuyết trong thời gian ∆t góc định vị ϕ biến thiên một lượng ∆ϕ thì vận tốc góc trung bình là: ∆ϕ ω = tb ∆t Vận tốc góc tức thời : ∆ϕ dϕ ω = lim ωtb = lim = = ϕ& (2.2) ∆t→0 ∆t→0 ∆t dt Như vậy: Vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định là đạo hàm cấp một theo thời gian của góc định vị của vật ấy. Dấu của ω cho biết chiều quay của vật quay quanh trục, vì nếu ω >0 nghĩa là ϕ tăng theo thời gian và vật quay theo chiều dương. Ngược lại nếu ω <0 thì vật quay theo chiều âm. Giá trị ω = ω gọi là tốc độ góc của vật, nó phản ánh tốc độ quay quanh trục. Đơn vị của nó là rad/s hay s-1. Trong kỹ thuật người ta thường dùng tốc độ góc bằng đơn vị vòng/phút. Do đó có mối quan hệ giữa hai đơn vị này là: π ω = n vòng/phút rad / s 30 Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 14
  16. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC b) Gia tốc góc của vật: Vì vận tốc góc của vật cho biết chiều quay và tốc độ quay của vật nên sự biến thiên của nó theo thời gian phản ánh tính biến đổi của chuyển động đó vì vậy ta định nghĩa: Gia tốc góc của vật, kí hiệu ε là đạo hàm cấp một theo thời gian của vận tốc góc hay bằng đạo hàm cấp hai của một góc quay ε = ω& = ϕ&& Đơn vị để tính gia tốc góc : rad/s2 hay s-2 3. Véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc: a) Véctơ vận tốc góc: Véctơ vận tốc góc kí hiệu ωr được xác định như sau: ωr nằm trên trục quay của vật, sao cho nhìn từ ngọn ωr đến gốc véctơ ωr sẽ thấy vật quay ngược chiều kim O r đồng hồ và ωr = ω . Nếu gọi k là véctơ đơn vị trên r trục quay, ta có: ωr = ω.k (2.3) b) Véctơ gia tốc góc: Véctơ gia tốc góc của vật được định nghĩa như sau : εr = ωr& Kết hợp (2.3) và (2.4) ta suy ra được : r r εr = ω& .k = ε .k (2.4) 4. Phán đoán tính chất của chuyển động quay quanh trục cố định: - Chuyển động quay được gọi là đều nếu tốc độ góc là không đổi theo thời gian, ω = ω0 = const . - Nếu tốc độ góc ω thay đổi thì chuyển động quay được gọi là biến đổi, nếu ω tăng lên thì chuyển động quay nhanh dần, nếu ω giảm thì chuyển động quay chậm dần. Chú ý rằng sự biến đổi của giá trị ω được đặt trưng bởi sự biến đổi của ω2 và ω2=ωr 2 d(ωr)2 nên để nhận xét tính chất chuyển động ta có thể xét dấu của đạo hàm . dt d(ωr)2 Ta có : = 2.ωr.ωr& = 2.ωr.εr dt Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 15
  17. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Vậy ta đi đến kết luận : a) Nếu ε ≡ 0 vật quay đều. - Nếu ε ≠ 0 vật quay biến đổi. b) Nếu ωr.εr = ω.ε >0 : Nhanh dần. a) b) c) r r ωr ω ω εr εr ε = 0 c) Nếu ωr.εr = ω.ε 0 chuyển động quay nhanh dần đều, ngược lại ωr.εr < 0 chuyển động chậm dần đều. B. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật rắn : 1. Quĩ đạo và phương trình chuyển động: Xét một điểm M bất kỳ thuộc vật. Rõ ràng là mỗi điểm thuộc vật chuyển động theo quĩ đạo đường tròn tâm O trên trục quay và có bán kính OM. Với OM là khoảng cách từ M đến trục quay. ( Γ ) A ω O O r M VM ϕ π 0 A M π B Hình 2 Gọi A là giao điểm của mặt phẳng π0 với đường tròn quỹ đạo (Г) của M, ta có góc AÔM = ϕ . Lấy AM = s là thông số cố định vị của M trên quĩ đạo và chọn chiều Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 16
  18. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC dương tính cung thuận với chiều dương tính góc ta có phương trình chuyển động của điểm M như sau : s = AM = R.ϕ 2. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật : a) Vận tốc của điểm thuộc vật : Ta đã biết rằng vận tốc của một điểm nằm theo tiếp tuyến với hướng quỹ đạo của điểm ấy, N r vì vậy ở đây V vuông góc với OM và hướng O r r VM V theo chiều quay của vật. Giá trị của vận tốc được N xác định bởi biểu thức : r M I VI dϕ V = s& = R. = R.ω = R.ω dt Hình 2.7 Như vậy, vận tốc của các điểm thuộc vật rắn quay quanh trục cố định được phân bố quanh trục quay theo quy tắc tam giác vuông εr đồng dạng. Từ kết luận trên ta có thể viết : O r r V V V Wn W M = N = I = = ω OM ON OI r Wτ ω là hệ số đồng dạng. b) Gia tốc của điểm thuộc vật : Hình 2.8 Ta cần biết điểm M chuyển động tròn và nói chung là không đều, nên r r r W = Wτ +Wn r r r Ta cần xác định các thành phần Wτ , Wn và gia tốc toàn phần W . r - Gia tốc pháp tuyến Wn huớng vào tâm O của quĩ đạo có giá trị : 2 2 2 V R .ω 2 W = = = Rω n ρ R r r - Gia tốc tiếp tuyến Wτ hướng cùng hay ngược ciều với vận tốc V tuỳ theo vật quay nhanh hay chậm dần, có giá trị : d Wτ = V& = ()R.ω = Rω& = R.ε dt Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 17
  19. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC r - Gia tốc toàn phần W tạo với OM một góc α mà tgα là : Wτ R.ε ε N tgα = = 2 = 2 Wn R.ω ω O r r VM V có giá trị : N 2 2 2 4 r W = Wτ +Wn = R ε + ω M I VI Từ kết quả của các điểm thuộc vật rắn Hình 2.9 chuyển động quay quanh trục cố định được ω phân bố theo quy tắc tam giác đồng dạng với ε hệ số tỷ lệ là : ε 2 +ω 4 ta có thể viết được : r r V Wn WM WN WI 2 4 r = = = = ε + ω Wτ OM ON OI r r ωr c) Biểu diễn các véctơ V và W qua các véctơ r ωr , εr : Lấy một điểm gốc bất kỳ trên trục quay của Hình 2.9 vật và đặt OM = r . Dựa vào các kết quả trên ta có thể viết : r r r r r r r r r V = ω ∧ r , Wτ = ε ∧ r , Wn = ω ∧V 27 Ví dụ : Trong giai đoạn lấy đà, bánh đà quay theo qui luật : ϕ(t) = t 3 . Hãy xác định 32 vận tốc và gia tốc của điểm M cach trục quay một khoảng h = 0,8m khi gia tốc tiếp tuyến tại điểm đó bằng gia tốc pháp tuyến của nó. Bài giải: Vận tốc góc và gia tốc góc của bánh đà : dϕ 27 dω 27 ω = = t 2 , ε = = t dt 32 dt 16 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của điểm đang xét 2 Wτ = h.ε, Wn = h.ω 2 Gọi thời điểm lúc Wτ = Wn là t1 khi đó ε1 = ω1 Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 18
  20. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC 2 27 ⎛ 27 ⎞ 4 Hay : t1 = ⎜ ⎟ t1 16 ⎝ 32 ⎠ 64 4 Vậy : t 3 = và t = (s) 1 27 1 3 Thay t1 vào biểu thức và ta có : 3 9 ω = (rad / s) ε = (rad / s 2 ) 1 2 1 4 Từ đây ta có : V1 = h.ω1 = 1,2 m/s 2 4 2 W1 = h ε1 + ω1 = 1,8 2 = 2,54 m / s C. Truyền động đơn giản: Trong một máy hay một tổ hợp máy thường gắn ba phần : động cơ, cơ cấu truyền động, bộ phận làm việc. Ở đây bước đầu ta làm quen với một vài cơ cấu truyền động đơn giản nhằm biến chuyển động quay quanh một trục cố định thành chuyển động quay quanh một trục cố định khác; biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến; biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển động quay 1. Truyền động bằng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích : Truyền các chuyển động quay giữa hai trục cố định song song nhau, người ta dùng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích. r 2 r2 r1 r O2 O O2 1 1 ω1 ω ω1 2 O1 ω2 Hình 2.12a Hình 2.11a Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 19
  21. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC r2 r ω1 ω1 2 r1 O2 O2 O1 r1 O1 ω ω2 2 Hình 2.12b Hình 2.12a 2. Truyền động bằng cơ cấu răng - thanh răng : Để truyền chuyển động giữa một vật quay và một vật tịnh tiến người ta sử dụng cơ cấu bánh răng-thanh răng hoặc cơ cấu bánh-thanh ma sát. ω O R r V 3. Truyền động bằng cơ cấu cam : Truyền chuyển động quay thành chuyển động tinh tiến hoặc chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến người ta sử dụng cơ cấu cam. r r V2 Cần V2 Cần Cam Cam r V1 ω Hình 2.14 Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn Trang 20
  22. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC CHƯƠNG III CHUYỂN ĐỘNG TỔNG HỢP CỦA ĐIỂM Trên đây ta đã xét chuyển động của điểm hay vật rắn đối với hệ quy chiếu cố định. Ở chương này ta xét chuyển động của điểm so với hệ quy chiếu đang chuyển động trong hệ quy chiếu khác đã chọn làm hệ quy chiếu cố định. Nhiều bài toán trong thực tế kỹ thuật đã được giải quyết với cách đặt vấn đề như vậy. Chẳng hạn, trong bài toán bắn con tàu vũ trụ lên mặt trăng, có thể chọn mặt trăng làm hệ quy chiếu động so với trái đất được chọn làm hệ quy chiếu cố định, hoặc giải thích hiện tượng : trong điều kiện lặng gió, hạt mưa rơi xiên đối với người đang đi tàu xe, ta phải lấy chính tàu, xe là hệ quy chiếu động so với mặt đất cố định §1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1. Đặt vấn đề : r Cho một động điểm M (hay z1 r z y vật M) chuyển động so với vật B, O B vật B lại chuyển động so với vật A r r1 xem là cố định. r x rO Ta đặt hệ toạ độ O1x1y1z1 với vật A và hệ toạ độ Oxyz với vật y1 O B. A 1 x1 Hình 3.1 2. Các định nghĩa : - Hệ quy chiếu O1x1y1z1 gọi là hệ quy chiếu cố định hay hệ quy chiếu tuyệt đối. Hệ quy chiếu Oxyz là hệ quy chiếu động hay hệ quy chiếu tương đối. - Chuyển động của M đối với hệ quy chiếu cố định gọi là chuyển động tuyệt đối. Vận tốc và gia tốc của điểm M trong chuyển động này gọi là vận tốc tuyệt đối và r r gia tốc tuyệt đối ký hiệu Va , Wa trong đó : r 2 r r dr r dr1 V = 1 , W = a dt a dt 2 Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 21
  23. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC - Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu động gọi là chuyển động tương đối. Vận tốc và gia tốc của một điểm M trong chuyển động này gọi là vận tốc r r tương đối và gia tốc tương đối ký hiệu Vr , Wr trong đó: r 2 r dr r drr Vr = , W = dt r dt 2 - Chuyển động của hệ quy chiếu động so với hệ quy chiếu cố định gọi là chuyển động kéo theo. Trùng điểm của động điểm M ở thời điểm khảo sát là điểm M* của hệ động trùng với điểm M lúc ấy. Khi đó ta sẽ có định nghĩa vận tốc và gia tốc của M trong chuyển động kéo theo chính là vận tốc và gia tốc của trùng điểm M*: r r r r Ve = VM* , We = WM* rrr rrr =+r xi+yj+zk Vì : M * 0 (x, y, z không đổi) Nên ta có : drr r r r r rr M * dr0 di dj dk VV==* =+x +y+z e M dt dt dt dt dt dr2 r 2 r 22r r 2r rr M * dr0 di d j dk WW==* =+x +y +z e M dt 2dt 222dt dt dt 2 Từ các định nghĩa trên ta thường gặp hai loại bài toán sau đây: a) Bài toán tổng hợp chuyển động : Biết chuyển động tương đối và kéo theo của điểm hay vật rắn, tìm chuyển động tuyệt đối của điểm hay của vật rắn. b) Bài toán phân tích chuyển động: Biết chuyển động tuyệt đối của điểm hay vật rắn, tìm hai chuyển động thành phần. Để giải quyết hai bài toán đã nêu trên, ta sẽ tìm mối quan hệ giữa các chuyển động tuyệt đối, tương đối và kéo theo của điểm hay vật bằng những định lý sau đây: Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 22
  24. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC §2. ĐỊNH LÝ HỢP VẬN TỐC Định lý : Vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học véctơ vận tốc theo và vận tốc r rr tương đối của nó tại thời điểm khảo sát : VVae= +Vr r rrr Chứng minh : Véctơ định vị của M trong hệ trục toạ cố định là r1 ( rr10=+r) trong đó là véc tơ định vị của M trong hệ trục động Oxyz : r r r rxr = i++yjzk r r r i , j , k là các véctơ đơn vị trên hệ toạ độ động (xem hình 1) đạo hàm theo thời gian r r1 . r r r r r r dr1 dr0 di dj dk dx r dy r dz r V = =+xy+ +z+ i + j + k a dt dt dt dt dt dt dt dt Bốn hạng thức đầu của vế phải là vận tốc theo của điểm vì nó là đạo hàm theo thời gian của véctơ định vị của trùng điểm M* của động điểm M. Ba hạng thức sau là vận tốc tương đối của điểm vì nó là đạo hàm theo thời gian của toạ độ của điểm trong hệ động. Vậy : rrr VVae=+Vr (Định lý đựoc chứng minh) r Ví dụ : Một con thuyền sang ngang dòng nước chảy. Vận tốc của dòng nước là V , vận r r tốc của con thuyền trên mặt nước là U hướng vuông góc với V . Tìm vận tốc tuyệt đối của con thuyền đối với bờ sông. Bài giải: Ta xem con thuyền là động điểm, chon hệ quy chiếu động r r r V là dòng nước chảy, hệ quy chiếu cố định là bờ sông. Vr = U a chuyển động của con thuyền đối với dòng nước là chuyển r r V = V r r r e động tương đối, vận tốc tương đốicủa con thuyền Vr = U chuyển động của dòng nước đối với bờ là chuyển động là chuyển động theo, vận tốc r r theo của con thuyền là Ve = VO vì hệ chuyển động tịnh tiến, vận tốc của trùng điểm của con thuyền bằng vận tốc dòng nước. Vậy vận tốc tuyệt đối của con thuyền : r r r r r Va = Ve +Vr = V +U 2 2 Va = V +U Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 23
  25. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC qua hình vẽ ta thấy rằng, đối với bờ sông con thuyền qua sông chéo dòng nước với vận tốc là Va. §3. ĐỊNH LÝ HỢP GIA TỐC 1. Định lý : Ở mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học gia tốc theo, gia tốc tương đối và gia tốc Côriôlit r rrr WWae= ++WrWk r r r r ⎛ dx di dy dj dz dk ⎞ Trong đó : W = 2⎜ . + . + . ⎟ k ⎜ ⎟ ⎝ dt dt dt dt dt dt ⎠ Chứng minh : Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc tuyệt đối của điểm ta có gia tốc tuyệt đối: r r dV W = a a dt r r r r r dd⎛⎞dr0 idjdkdxrrdydzr Wxa =+⎜⎟+y+z+i+j+k dt ⎝⎠dt dt dt dt dt dt dt 22r rr22r 222 r ⎛⎞dr0 di d j dk ⎛⎞dxrrdy dzr Wxa =+⎜22+y 2+zi2⎟+⎜⎟2+2j +2k + ⎝⎠dt dt dt dt ⎝⎠dt dt dt r r r ⎛⎞dx di dy dj dz dk ++2⎜⎟+ ⎝⎠dt dt dt dt dt dt Bốn hạng thức đầu tiên là gia tốc trùng điểm vì nó là đạo hàm cấp hai theo thời gian của véctơ định vị của trùng điểm đối với hệ trục cố định. Theo định nghĩa nó là gia tốc theo của động điểm. Ba hạng thức tiếp theo là gia tốc tương đối của động điểm vì nó là đạo hàm cấp hai theo thời gian của toạ độ của điểm trong hệ trục động, biểu r thức cuối cùng được gọi là gia tốc Côriôlit, ký hiệu Wk . Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 24
  26. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC 2. Biểu thức gia tốc Côriôlit : r r r a) Nếu hệ toạ độ động Oxyz chuyển động tịnh tiến thì các véctơ i , j , k là các đại lượng không đổi theo thời gian, vì vậy : r r r di dj dk = ==0 dt dt dt r Khi đó Wk = 0 và gia tốc tuyệt đối của động điểm là : r rr WWae= +Wr b) Nếu hệ toạ độ động Oxyz chuyển động quay quanh một trục cố định ∆ với vận tốc r góc ω e , khi đó các véctơ đơn vị là những đại lượng thay đổi hướng theo thời gian, do rr r di dj dk vậy ta cần phải tính : ;; dt dt dt rr r r ⎛⎞dx di dy dj dz dk và Wk =+2⎜⎟+ ⎝⎠dt dt dt dt dt dt Muốn vậy, hãy xem véctơ đơn vị z r uuuur r iO=M=rM của điểm M nằm trên trục ∆ Ox cách O một đoạn bằng đơn vị chiều r dài, ta có: k r r di dr r j ==M V y M r dt dt i O r Vì : M ωe r rruuuur rrr x VOMe=∧ωωM=∧erM=∧ωei r r di V = Vậy : M dt r Hình 3.3 di r =∧ωr i dt e r r Tương tự như trên đối với véctơ j , k ta nhận được : r r dj r dk r =ωr ∧j , = ωr ∧ k dt e dt e Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 25
  27. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Từ những kết quả nhận được ở trên, ta có : r r r r ⎛⎞dx di dy dj dz dk Wk =+2⎜⎟+ ⎝⎠dt dt dt dt dt dt rr⎛⎞dx rrdy dz r r = 22ωωee∧+⎜⎟ij+k=∧Vr ⎝⎠dt dt dt rrr Vậy: WVk=∧2ωer r r Chú ý : Trong trường hợp ωe =0 khi đó hệ toạ độ động tịnh tiến, hoặc ωe // Vr đều dẫn r đến Wk =0. r 3. Phương pháp thực hành xác định phương, chiều và trị số Wk . rr r Vì Wk=2ωe∧Vr là một véctơ vuông góc với r ωe r r mặt phẳng xác định bởi ωe và Vr nên : r r r - Nếu Vr⊥ ωe: quay Vr trong mặt phẳng chứa r M WK nó và vuông góc với ωr một góc 900 theo chiều e 900 r V 'π r r quay của ωe ta được phương và chiều của Wk với r ωe độ lớn : WVke= 2.ω r r r r - Nếu Vr không vuông góc với ωe rồi quay V 'r α r ωr ω W hình chiều ấy trong mặt phẳng vuông góc với e M K 0 r một góc 90 theo chiều quay của ωe ta sẽ được Hình 3.4 r r Vr phương chiều Wk và độ lớn : r r WVke= 2.ω r.sinα ( trong đó góc α là góc tạo bởi ωe và Vr ) Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 26
  28. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Ví dụ 1: (Bài toán tổng hợp) Tam giác vuông ABC có cạnh huyền AB = 2a =20cm và góc CBA = α =600 2 quay quanh trục Cz1 theo quy luật φ = 10t –2t . Trên AB có điểm M dao động xung quanh trung điểm O theo quy luật như sau: ξ = a.cos(πt/3) (Trục Oξ hướng dọc theo OA). Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t = 2s. Bài giải : 1) Ta xác định vị trí cảu điểm M trên quỹ z1 z đạo tương đối AB tại thời điểm t=2s: ⎛ 2π ⎞ a B ξ = a.cos = − t=2 ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 2 r Vr Vậy M là trung điểm OB. r n W e M y r 2) Xác định Vr : r r τ O W W e r r Vì chuyển động tương đối là chuyển động W ω k A thẳng nên: C ξ ε dξ π ⎛ πt ⎞ Hình 3-5 Vr = = − asin⎜ ⎟ x dt 3 ⎝ 3 ⎠ π 5π V = − a 3 = − 3 (cm / s) r t=2s 6 3 Dấu (-) thể hiện rằng tại t = 2s, chuyển động quay hướng ngược chiều kim đồng hồ (nếu nhìn từ phía đầu trục Cz1) và quay chậm dần. r 4) Xác định Wr Vì chuyển động tương đối là chuyển động thẳng nên : dV π 2 π W = r = − a cos( t) r dt 9 3 π 2 5 W = a = π 2 (cm / s 2 ) r t=2s 18 9 r 5) Xác định We r Vì chuyển động của tam giác là chuyển động kéo theo của điểm M. Gia tốc We của M đúng bằng gia tốc điểm tam giác mà điểm M trùng với nó. Điểm này chuyển động theo vòng tròn bán kính MD = h mà tại thời điểm t = 2s có: Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 27
  29. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC a 3 h = sinα = 5 (cm) 2 2 r r τ r n We = We +We t = 2s τ 2 n 2 2 We = gh = −10 3 (cm / s ) We = ω h = 10 3 (cm / s ) r τ Véctơ We có hướng vuông góc với mặt phẳng ABC và có chiều như hình vẽ. r n We hướng dọc theo MD về phía trục Cz1. 2 6) Xác định Wk : Về trị số Wk = 2.ωeVrsinα = 10π cm/s . Phương chiều như hình vẽ. r 7) Xác định Wa : r r r r Wa = We +Wr +Wk Tại thời điểm t = 2s ta dựng hệ trục Oxyz (xem hình) rồi tìm hình chiếu các véctơ trên các trục đó : τ 2 Wax = Wk + We = 10π +10 3 = 48,7 (cm / s ) 5π 2 W = W sinα = 3 −10 3 = 12,6 (cm / s 2 ) ay r 18 5π 2 W = −W cosα = = −2,7 (cm / s 2 ) az r 18 Vậy: 2 Wa = Wax +Way +Waz = 50,4 (cm / s ) r ta có thể dựng véctơ Wa theo các véctơ thành phần của nó trên hệ trục Oxyz. Ví dụ 2: (Bài toán phân tích) Khảo sát chuyển động của các cơ cấu culít (xem hình). Giả thuyết rằng tay quay quay đều quanh trục O với vận tốc góc ω0. Thông qua con chạy A chuyển động được truyền sang cần lắc O1B. Cho biết OA = a. Ở thời điểm khảo sát tay quay OA vuông góc với 0 đường nối hai trục quay OO1 và góc OÂO1 = 60 . Tìm vận tốc, gia tốc tương đương đối với con chạy so với cần lắc O1B, gia tốc góc của O1B. Bài giải: Ta khảo sát chuyển động con chạy A xem như động điểm có chuyển động phức hợp. Điểm A chuyển động trên cần lắc đó là chuyển động tương đối. Cần lắc chuyển động xung quanh O1 đó là chuyển động kéo theo. Lấy giá máy làm hệ quy Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 28
  30. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC chiếu cố định. Chuyển động tuyệt đối của A đã xác định đó là chuyển động tròn quanh r r O. Các véctơ Va ,Wa hướng như hình vẽ, trị số : Va = OA.ω0 = a.ω0 n 2 Wa = Wa = a.ω0 r r 1) Tìm các vận tốc Vr ,Ve ,ω1 Vì chuyển động tuyệt đối phức hợp nên ta áp dụng định lý hợp vận tốc : r r r Va = Vr +Ve (a) Chuyển động tuyệt đối đã biết chuyển động tương đối của A là chuyển động thẳng dọc theo cần lắc quay quanh O1 nên trùng điểm của A trên cần lắc chuyển động r tròn, do đó Ve có hướng vuông góc với O1B. Dựa vào hệ thức (a) ta dựng được hình chữ nhật vận tốc (xem hình). Từ đó xác định vận tốc tương đối với vận tốc theo của A 0 aω0 3 Vr = Va sin 60 = 2 aω V = V cos600 = 0 r a 2 r Biết giá trị và hướng của Ve ta tìm được chiều quay và tốc độ góc của cần lắc O1B ta có : Ve = O1A*.ω1 = O1A.ω1 OA tại thời điểm đang xét O A = = 2a nên : 1 cos600 Ve aω0 ω0 −1 ω1 = = .2a = s O1 A 2 4 chiều quay ω1 biểu diễn như hình vẽ. Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 29
  31. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC r 2) Tìm gia tốc tương đối Wr và gia tốc ε1 của con lắc : Vì cần lắc là hệ quy chiếu động quay quanh trục O1 cố định nên ta áp dụng công thức : r r r r Wa = We +Wr +Wk r Gia tốc W đã biết. Chuyển động a x y tương đối của A là chuyển động thẳng r W r r r không đều dọc theo O B do đó W nằm trên W 1 r r k ω W r O a Vr O1B, nhưng chưa biết chiều và giá trị. Cần 0 60 r τ O1B quay không đều quanh O1 nên gia tốc W e r n theo có 2 thành phần W e 2 2 n 2 ω0 aω0 We = O1 A.ω1 = 2a = 16 8 ω1 O1 r n có hướng từ A về O1 (We đã được xác r τ định), còn đối với We hướng vuông góc với O1B nhưng chưa biết chiều và giá trị r (chiều trên hình vẽ là chiều giả định). Wk là gia tốc được xác định phương chiều theo quy tắc đã nêu trên, có giá trị : ω 3 aω 2 3 W = 2ω V = 2ω V = 2 0 aω 2 = 0 k e r 1 r 4 0 2 4 Như vậy hệ thức (b) có thể viết : r r τ r n r r Wa = We +We +Wr +Wk (c) r r τ trong đó Wr ,We còn chưa biết chiều và giá trị. Để xác định hai véctơ đó ta làm như sau : r r Chọn trục x vuông góc với Wr và trục y vuông góc với We (như hình vẽ) chiếu τ (c) lên các trục ấy để có hai phương trình đại số chứa hai ẩn số Wr và W e . Ta có : ⎧ 0 τ ⎪Wa cos30 = −We +Wk (d) ⎨ 0 n ⎩⎪−Wa cos60 = −We +Wr Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 30
  32. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Giải các phương trình (d) ta được : ⎧ 2 2 2 τ 0 aω0 3 aω0 3 aω0 3 ⎪We = Wk −Wa cos30 = − = − ⎪ 4 2 4 ⎨ aω 2 aω 2 3aω 2 ⎪W = −W cos600 +W n = 0 − 0 = − 0 ⎩⎪ r a e 8 2 8 r r τ Như vậy các véctơ Wr ,We đều ngược hướng với chiều đã vẽ trên hình, nghĩa là ở vị trí ấy con chạy A chuyển động chậm dần so với cần lắc O1B, còn cần này chuyển động nhanh đàn quanh O1 với gia tốc góc : W τ 2 2 e aω0 3 ω0 3 −1 ε1 = = = s O1 A 4.2a 8 Chương III Chuyển động tổng hợp của điểm Trang 31
  33. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC CHƯƠNG IV CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ MÔ HÌNH 1. Định nghĩa : Vật rắn chuyển động song phẳng khi khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến một mặt phẳng quy chiếu cố định luôn luôn không đổi. B O C A a Hình 4.1 Từ định nghĩa ta thấy khi vật rắn chuyển động song phẳng, một tiết diện của vật song song với mặt phẳng quy chiếu cố định có chuyển động trong mặt phẳng chứa nó. Mỗi điểm của vật chuyển động trong mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cố định. 2. Mô hình phẳng của vật rắn chuyển động song phẳng : Xét một đoạn thẳng AB của vật rắn vuông góc với mặt phẳng quy chiếu. Khi vật rắn chuyển động song phẳng AB chuyển động tịnh tiến vì nó có phương luôn luôn không đổi. Chuyển động của AB được đặc y z1 S trưng bởi chuyển động của một điểm A bất kỳ của nó. Ví dụ M M y giao điểm M giữa O 1 x 1 O AB và thiết diện B (b) song song (S) với x1 (a) Hình 4.2 mặt phẳng quy Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 32
  34. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC chiếu. Xem vật rắn là tập hợp vô số những đoạn thẳng AB như thế, thì chuyển động của vật sẽ được đặc trưng bởi chuyển động của tập hợp những điểm M nói trên, nghĩa là chuyển động của thiết diện (S) trong mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cố định. Như vậy để khảo sát chuyển động của vật, ta chỉ cần khảo sát chuyển động của thiết diện (S) song song với mặt phẳng quy chiếu cố định trong mặt phẳng chứa nó. Thiết diện (S) được gọi là mô hình phẳng của vật rắn chuyển động song phẳng. §2. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CẢ VẬT RẮN 1. Phương trình chuyển động của vật : Muốn lập phương trình chuyển động của y vật, ta chỉ cần tìm phương trình chuyển động của y1 thiết diện (S). Trong mặt phẳng chứa thiết diện (S), lập ϕ S x hệ trục toạ độ cố định O1x1y1. Qua một điểm O O nào đó gọi là điểm cực trên thiết diện (S). Lập hệ x trục tọa độ Oxy luôn luôn song song với hệ trục 1 O1 Hình 4.3 O1x1y1 là hệ quy chiếu động. Rõ ràng là thiết diện (S) chuyển động quay tương đối quanh cực O trong hệ quy chiếu Oxy. Hệ quy chiếu Oxy chuyển động tịnh tiến so với hệ quy chiếu cố định. Các thông số định vị của thiết diện (S) là toạ độ của điểm O(x0, y0) và góc φ, chúng ta thay đổi theo thời gian. Vậy ta có phương trình chuyển động của vật rắn chuyển động song phẳng là: ⎧ x00= xt() ⎪ ⎨yy0= 0(t) (4.1) ⎪ ⎩ ϕϕ= ()t Hai phương trình đầu cho ta phương trình chuyển động tịnh tiến của hệ động so với cực O, phương trình thứ ba là phương trình chuyển động quay tương đối quanh cực O của thiết diện (S). Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 33
  35. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Vậy chuyển động song phẳng đã được phân tích thành hai chuyển động đồng thời: chuyển động tịnh tiến cùng với cực O (chuyển động theo) và chuyển động quay tương đối quanh cực O (chuyển động quay tương đối). 2. Vận tốc và gia tốc của vật : Từ cách phân tích chuyển động ở trên, muốn xác định vận tốc và gia tốc của vật ta phải tìm được vận tốc và gia tốc trong các chuyển động hợp thành. a) Vận tốc của vật : Ở mỗi thời điểm, trạng thái chuyển động của vật được mô tả bằng chuyển động quay tương đối quanh cực và chuyển động tịnh tiến kéo theo cùng cực. Vận tốc của vật r được xác định bởi vận tốc V0 là vận tốc của thành phần chuyển động tịnh tiến cùng điểm cực O và vận tốc góc ω là thành phần vận tốc của vật quay tương đối quanh cực O: r ⎧VOx = x&O (t) VO ⎨ ⎩VOy = y&O (t) ω SP = ϕ& (t) b) Gia tốc của vật : r Cũng tương tự như trên ta có : gia tốc W0 của cực O là gia tốc của thành phần chuyển động tịnh tiến của vật và gia tốc góc εr là gia tốc góc trong thành phần chuyển động quay quanh cực O. r ⎧WOx = &x&O (t) WO ⎨ ⎩WOy = &y&O (t) ε SP = ϕ&&(t) c. Ảnh hưởng của việc chọn cực đến các yếu tố vận tốc và gia tốc của vật : Khi ta xét vật rắn chuyển động song phẳng bất kỳ, tức là nó không chuyển động tịnh tiến, nên ở mỗi thời điểm vận tốc và gia tốc của các điểm thuộc vật sẽ khác nhau : rrr r rr VV10≠≠VA và WW10≠≠WA Do đó, vận tốc và gia tốc của thành phần chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào việc chọn điểm cực. Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 34
  36. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Trái lại, vận tốc góc ω và gia tốc góc ε của thành phần chuyển động quay tương đối của vật quanh cực hoàn toàn không phụ thuộc vào cách chọn cực. Điều này có thể chứng minh như sau: Theo định nghĩa thì vận tốc góc và y2 gia tốc góc của (S) trong chuyển động y’ B ψ quay tương đối quanh hai cực O và I được I x2 xác định bởi các hệ thức : y1 ω = ϕ ε = ϕ ϕ 0 & , 0 && ω A O x1 ω1 =ψ& , ε1 =ψ&& α ψ Trong đó :ϕ = xÔA, ψ = xÎB ϕ O1 x’ Ta hãy tìm mối quan hệ giữa ϕ và Hình 4.4 ψ. Từ O1 vẽ hai nửa đường thẳng ∆ và D song tương xứng với OA và IB. Gọi α là góc giữa D và ∆ tức là góc giữa OA và IB. Hai đường thẳng này gắn chặt với vật rắn (S) nên góc giữa chúng là không đổi : α = const Theo hình vẽ bên ta có thể viết : ψ = ϕ +α với α = const Khi ấy ta được ddω ω ϕ& =ψ& hoặc là ω = ω và 0 = I tức là : ε = ε 0 I dt dt 0 I Như vậy, ta đã chứng minh : vận tốc góc ω và gia tốc góc ε của vật rắn trong chuyển động tịnh tiến không phụ thuộc vào việc chọn cực. Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 35
  37. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC §3. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC ĐIỂM THUỘC VẬT Ta chỉ khảo sát vận tốc và gia tốc của các điểm thuộc vật rắn. 1. Sự liên hệ vận tốc giữa hai điểm thuộc vật : r Cho vận tốc V0 và vận tốc góc ω của hình phẳng quay tương đối quanh cực O, vận tốc của điểm M thuộc hình phẳng được xác định nhờ định lý sau : a) Định lý : Vận tốc của điểm M thuộc vật bằng tổng hình học của vận tốc của điểm cực O và vận tốc của điểm M trong chuyển động quay tương đối quanh điểm cực O: r rr VVM =+0 VMO (4.2) r Trong đó, VMO là vận tốc của điểm M trong chuyển động quay tương đối của (S) quanh cực O : r r uuuur VOMO =∧ω M Chứng minh : Thật vậy, vì chuyển động song phẳng, theo cách r V0 phân tích ở trên là tổng hợp hai chuyển động : tịnh tiến M r VM cùng cực O và quay tương đối quanh cực O. Như thế một r r V VM 0 điểm M bất kỳ trên vật cũng tham gia hai chuyển động O 0 thành phần trên, do đó theo định lý hợp vận tốc : r rrer VVM =M +VM rre Ở đây VM = V0 vì hệ động chuyển động tịnh tiến Hình 4.5 r r cùng cực O, còn V M là vận tốc của điểm M trong chuyển động quay tương đối của r hình phẳng quanh cực O với vận tốc góc ω. Ta kí hiệu vận tốc tương đối của M là VMO nên : r rr VVM =+0 VMO r r uuuur Trong đó : VMO =∧ω OM ┴ MO theo chiều ω VOM = ω.OM Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 36
  38. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Chú ý : Vì có thể chọn điểm cực một cách tuỳ ý nên công thức trên (4.2) cũng là công thức liên hệ vận tốc của hai điểm bất kỳ. Giả sử xét hai điểm A,B bất kỳ ta có : rrr VVBA=+VBA (4.3) r r uuur với VBA =∧ω AB b) Định lý hình chiếu vận tốc của hai điểm thuộc vật : Chiếu hệ thức (4.3) lên trục AB định r r VA hướng tuỳ ý với chú ý rằng véctơ VBA vuông α B K góc với AB ta nhận được : A H β rr r VB hcABAV = hcABVB (4.4) Hoặc : VVABcosα = cos β Định lý : Hình chiếu của véctơ vận tốc của hai điểm bất kỳ thuộc vật rắn chuyển động song phẳng lên trục qua hai điểm ấy bằng nhau. 2. Sự phân bố vận tốc của các điểm trên hình phẳng. Tâm vận tốc tức thời : a) Tâm vận tốc tức thời : Ta hãy xem ở mỗi thời điểm, vận tốc của các điểm trên hình phẳng được phân bố như thế nào ? ω r Từ công thức liên hệ vận tốc giữa hai điểm (4.3) V O 0 ta thấy trên hình phẳng có thể tìm được một điểm có vận tốc bằng không, nếu hai vận tốc thành phần của d điểm đó trực đối. Điểm có vận tốc bằng không được kí r r V P V hiệu là P và gọi P là tâm vận tốc tức thời của hình P0 0 ∆ phẳng. Ta hãy chứng minh có một và chỉ một điểm P Hình 4.7 tại thời điểm khảo sát khi hình phẳng chuyển động. r Giả sử ta biết vận tốc của cực O là V0 và vận tốc góc của tấm phẳng là ω . Quay r 0 véctơ V0 quanh O một góc 90 theo chiều quay của ω ta được nửa đường thẳng O∆. V Trên O∆ lấy một đoạn thẳng OP = 0 . Điểm P nhận được chính là tâm vận tốc tức ω thời. Thật vậy, theo (4.2) ta có: r rr VVP =+OPVO Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 37
  39. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC r Trong đó VPO hướng vuông góc với O theo chiều quay của ω vì vậy nó hướng r cùng phương và ngược chiều với VO có giá trị : V VO= ωω P==0 V PO ω 0 r rr Vậy : VVPO=+VPO = 0 V Trong trường hợp đặc biệt khi ω → 0 thì OP = 0 →∞ vì nói chung V ≠ 0 nên ω 0 P →∞. Tính duy nhất của P chứng minh như sau : Giả sử tại một thời điểm nào đó trên vật rắn chuyển động song phẳng có hai điểm P1 và P2 khác nhau mà V = V = 0. Dễ dàng suy ra : VP P = ω.P1P2 = 0. Vậy ω P1 P2 1 2 = 0 (vì P1P2 ≠ 0) Từ đó suy ra rằng vận tốc mọi điểm của vật đều bằng không vì : r rr VVMP= 11+=VMP00+=0 Điều này chỉ xảy ra ở trường hợp đặc biệt khi hình phẳng dừng chuyển động tức thời. Vậy nói chung ở một thời điểm khảo sát trên hình phẳng chỉ tồn tại một điểm duy nhất có vận tốc bằng không. b) Sự phân bố vận tốc : Chúng ta chuyển sang xét sự phân bố vận tốc của các điểm thuộc vật rắn (S). Xét trường hợp ω ≠ 0 chọn điểm P làm cực vận tốc của một điểm bất kỳ trên hình phẳng là : rrr r r uuur VVAP=+VAP=VAP=ω ∧PA rrr r r uuur VVBP=+VBP=VBP=ω ∧PB trong đó VPAP = ω. A , VPPB = ω. B r r Nhìn vào (4.5) ta thấy VA và VB có phương vuông góc với PA và PB và tỉ lệ với khoảng cách từ A và B đến P. Vậy : Vận tốc mọi điểm thuộc hình phẳng được phân bố như vật quay quanh trục qua tâm tức thời P với vận tốc góc ω. Ta nói hình thẳng quay tức thời quanh tâm P. Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 38
  40. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Xét trường hợp ω = 0 vận tốc của mọi điểm trên hình phẳng bằng nhau. 3. Sự liên hệ gia tốc của hai điểm thuộc vật : a) Định lý : Gia tốc của điểm M thuộc vật bằng tổng hình học gia tốc của điểm cực O và gia tốc của điểm M trong chuyển động quay tương đối quanh cực O. r r r WM = WO +WMO (4.6) Chứng minh : Vì hệ chuyển động tịnh tiến nên gia tốc của điểm M được xác định theo hệ thức : r r e r r WM = W M +W M r e r Ở đây W M = WO (hệ chuyển động tịnh tiến cùng cực O), r r r τ còn W M là gia tốc của điểm M trong chuyển động quay W MO r tương đối của hình phẳng quanh cực O với vận tốc ω và gia W r MO r WO r n tốc góc ε. Kí hiệu gia tốc tương đối là WOM vậy : W MO r r r εr WM = WO +WMO O r r r τ r n Hình 4.13 cụ thể hơn là : WM = WO +W OM +W MO r τ r n trong đó : W OM , W MO là gia tốc tiếp và gia tốc pháp của M trong chuyển động quay tương đối của hình phẳng quanh cực O. r τ r W OM = ε ∧ OM có giá trị là ε.OM (Vì OM vuông góc với chiều của ε) r n r r 2 W MO = ω ∧VM hướng từ M về O nên có giá trị ω .OM ε r Do vậy : W = OM ε 2 + ω 4 và tgα = , α là góc giữa W và đoạn thẳng OM. ω 2 OM Với hai điểm A và B bất kỳ thuộc hình phẳng ta có : r r r τ r n WA = WB +W AB +W BA b) Sự phân bố gia tốc các điểm thuộc hình phẳng. Tâm gia tốc tức thời : Từ công thức liên hệ gia tốc giữa hai điểm (4.6) ta thấy có thể tìm trên hình phẳng một điểm mà tại đó gia tốc bằng không. Điểm ấy kí hiệu là Q và được gọi là tâm gia tốc tức thời. Trước tiên ta chứng minh rằng, tại mỗi thời điểm có một và chỉ một điểm thuộc hình phẳng có gia tốc bằng không. Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 39
  41. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC r r Giả sử cho gia tốc WO của cực O và vận tốc góc ω , gia tốc góc ε . Quay véctơ WO ε quanh O một góc α theo chiều của gia tốc góc ε với tgα = ta được nửa đường ω 2 We thẳng O∆1, trên nửa đường thẳng O∆1 lấy một đoạn OQ = . Điểm Q nhận ω 4 + ε 2 được chính là tâm gia tốc tức thời. r r r r Thật vậy theo (4.6) ta có WQ = WO +WQO . Trong đó WQO là véctơ gia tốc của điểm Q trong chuyển động của hình phẳng r W quay quanh O với vận tốc góc ω và gia tốc r F WE r góc ε . Như trên hình vẽ véctơ W song song QO O A B C F r D E ngược chiều với WO có giá trị : r W r B 2 4 r r WA WQO = QO ε + ω = W0 do đó WQO = −WO và r r r Hình 4.15 WQ = WO +WQO = 0 Bây giờ ta cần chứng minh tính duy nhất của tâm gia tốc Q. Giả sử ở một thời điểm nào đó có hai điểm Q1 và Q2 phân biệt mà WQ1 = WQ1 = 0 ta suy ra rằng WQ1Q2 = 2 4 2 4 0 hoặc WQ1Q2 = Q1Q2 ε + ω = 0 vì Q1Q2 ≠ 0 nên ta suy ra rằng ε + ω = 0 tức là ω = 0 và ε = 0 . Điều này chỉ xảy ra khi hình phẳng chuyển động tịnh tiến mà không thực hiện chuyển động song phẳng tổng quát. Vậy ở mỗi thời điểm tồn tại duy nhất một điểm thuộc hình phẳng có gia tốc bằng không. - Sự phân bố gia tốc : Ta khảo sát sự phân bố gia tốc của các điểm thuộc hình phẳng. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (S) và lấy tâm gia tốc tức thời là Q làm cực theo (4.6) ta có: r r r r r WM = WO +WMO = WMO vì WQO = 0. Vậy có thể kết luận như sau : Ở mỗi thời điểm gia tốc của một điểm bất kỳ thuộc hình phẳng được xác định giống như hình phẳng ấy quay quanh tâm gia tốc tức thời của nó với vận tốc góc ω và gia tốc góc ε Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 40
  42. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC c) Chú ý : Nói chung ở mỗi thời điểm tâm vận tốc tức thời P và tâm gia tốc tức thời Q không trùng nhau. - Ở thời điểm hình phẳng chuyển động tịnh tiến tức thời thì ω = 0 nhưng ε ≠ 0 và vận tốc của các điểm bằng nhau nhưng gia tốc của chúng khác nhau. Ví dụ : Tâm O của một bánh r r n W xe trên đường ray có vận tốc ε x W BO 0 0 r r V0 W0 V0 = 1 m/s và gia tốc W0= O r τ W BO 2 A ω B 2m/s . Bán kính bánh xe 0 y bằng 0,2m. Hãy xác định gia P tốc của điểm B là điểm đầu Hình 4-16 nút của đường kính AB. Bài giải: Lấy O làm cực vì đã biết V0, W0. Tiếp điểm P là tâm vận tốc tức thời nên vận tốc góc của bánh xe : V V V = ω .PO ⇒ω = 0 = 0 0 0 0 PO R r chiều ω0 được xác định theo chiều véctơ V0 được biểu diễn trên hình vẽ. Gia tốc góc ε được xác định bằng cách đạo hàm theo thời gian của ω : dω d V 1 dV 1 ε = 0 = ( 0 ) = . 0 = W 0 dt dt R R dt R 0 dấu của ε và ω trùng nhau do đó bánh xe quay nhanh dần. dV0 Trong trường hợp đang khảo sát =W0 vì O chuyển động thẳng còn trong dt trường hợp chung ta có : dV0 =W0τ . dt Vì O là điểm cực nên theo (4-7) ta có : r r r τ r n WB = WO +W BO +W BO τ W0 2 trong đó: WBO = OB.ε = R. = W = 2 m / s R 0 2 2 n 2 V 0 V 0 2 WBO = OB.ω = R. = = 5 m / s R R Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 41
  43. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC r Để tính WB ta chọn hai trục Bx, By vuông góc với nhau chiếu biểu thức (a) lên hai trục ấy ta được : W = W n −W = 3 m / s 2 Bx BO 0 τ 2 WBy = W BO = 2 m / s Từ đó ta có : Chương IV Chuyển động song phẳng của vật rắn Trang 42