Giáo trình cơ học lý thuyết - Phần động lực học

89 trang huongle 8710

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình cơ học lý thuyết - Phần động lực học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_phan_dong_luc_hoc.pdf

Nội dung text: Giáo trình cơ học lý thuyết - Phần động lực học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT ĐÀ NẴNG 2005
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CHƯƠNG I CÁC ĐỊNG LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM §1 BÀI MỞ ĐẦU Trong phần Tĩnh học chúng ta đã nghiên cứu về lực và sự cân bằng của các vật thể dưới tác dụng của các lực với giả thuyết là các lực không thay đổi theo thời gian. Trong phần Động học, chúng ta đã nghiên cứu sự chuyển động của các vật thể về mặt hình học không tính đến các nguyên nhân làm thay đổi các chuyển động đó. Trên thực tế, một số lớn các lực là những đại lượng biến đổi và có thể phụ thuộc vào nhiều tham số. Quy luật chuyển động của vật thể phụ thuộc vào hình dáng, kích thước, khối lượng của vật và các lực tác dụng lên nó. Động lực học là một phần của cơ học nghiên cứu các quy luật chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực. Lý thuyết động lực học được xây dựng trên những định luật cơ bản động lực học. Chúng là kết quả của hàng loạt các thí nghiệm và quan sát và đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn. Những định luật này lần đầu tiên được Newton trình bày một cách có hệ thống năm 1687 vì vậy người ta còn gọi là các định luật Newton hay là những định luật cơ học cổ điển. §2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Không gian, thời gian : Như chúng ta đã biết, chuyển động cơ học là sự dời chỗ của các vật thể trong không gian theo thời gian. Không gian và thời gian ở đây hiểu theo nghĩa tuyệt đối cổ điển (Khác với khái niệm không gian, thời gian trong lý thuyết tương đối). Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 1
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 2. Quán tính : Thực tế cho thấy rằng tác dụng của một lực lên hai vật thể tự do khác nhau, nói chung chúng chuyển động khác nhau. Tính chất của vật thể thay đổi vận tốc chuyển động nhanh hơn hay chậm hơn khi có cùng lực tác dụng gọi là quán tính. Đại lượng dùng để đo lượng quán tính có thể là khối lượng. 3. Chất điểm : Để nghiên cứu chuyển động của các vật thể có kích thước nhỏ so với độ dời của chúng, người ta đưa vào khái niệm chất điểm. Chất điểm là vật thể có khối lượng mà kích thước có thể bỏ qua được trong khi nghiên cứu chuyển động của nó. 4. Cơ hệ : Cơ hệ là tập hợp các chất điểm mà chuyển động của các chất điểm này liên quan đến chuyển động của các chất điểm khác thuộc hệ. 5. Vật rắn : Vật rắn là một cơ hệ đặc biệt, trong đó khoảng cách giữa phần tử (chất điểm) bất kỳ của vật luôn luôn không đổi. 6. Hệ quy chiếu : Để xác định chuyển động của một cơ hệ (hay một chất điểm) nào đó, người ta phải lấy một vật chuẩn làm mốc. Hệ toạ độ gắn với vật chuẩn gọi là hệ quy chiếu. Nếu toạ độ của tất cả các điểm thuộc cơ hệ trong hệ quy chiếu đã chọn, luôn luôn không đổi thì ta nói vật đứng yên trong hệ quy chiếu đó. Trong trường hợp ngược lại, nếu toạ độ của một số chất điểm nào đó thuộc cơ hệ thay đổi theo thời gian thì ta nói cơ hệ chuyển động trong hệ quy chiếu đã chọn. Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 2
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §3. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN 1. Định luật quán tính (Định luật I) : Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào thì giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều. Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là chuyển động theo quán tính. Theo định luật này nếu không có lực nào tác dụng lên chất điểm hoặc hợp các lực G tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì véctơ vận tốcv của chất điểm sẽ không đổi cả về độ G lớn lẫn hướng và do đó gia tốc w = 0. Hệ quy chiếu trong đó thoả mãn định luật quán tính gọi là hệ quy chiếu quán tính. 2. Định luật cơ bản của động lực học (Định luật II) : Dưới tác dụng của lực, chất điểm tự do chuyển động với gia tốc cùng hướng với hướng của lực và có độ lớn tỷ lệ với độ lớn của lực : G G F = m.W (1.1) Trong đó m là khối lượng của chất điểm. Hệ thức (1.1) được gọi là phương trình cơ bản của động lực học. Từ hệ thức (1.1) chúng ta thấy rằng dưới tác dụng của cùng một lực, chất điểm nào có khối lượng nhỏ hơn sẽ có gia tốc lớn hơn. Như vậy khối lượng là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ cản trở sự thay đổi vân tốc của chất điểm-quán tính của chất điểm. Trong cơ học cổ điển khi vận tốc chuyển động của chất điểm nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng, người ta coi khối lượng là đại lượng không đổi. Nhờ hệ thức (1.1) ta có thể tìm được hệ thức liên hệ giữa trọng lượng và khối lượng của một vật. Thật vậy, thực nghiệm đã chỉ rằng dưới tác dụng của trọng lực P một vật rơi tự do (ở độ cao không lớn lắm và không tính đến sức cản của không khí) đều có cùng gia tốc là g. Do đó từ (1.1) ta suy ra : P = m.g (1.2) Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 3
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Cần nói thêm rằng, cũng như gia tốc g, trọng lượng thay đổi theo vĩ độ và độ cao nhưng khối lượng là một đại lượng không đổi với một vật. 3. Định luật về tác dụng và phản tác dụng : (Định luật III) Hai lực mà hai chất điểm tác dụng lên nhau bằng nhau về số, cùng hướng tác dụng nhưng ngược chiều. Ta cần chú ý rằng các lực tác dụng tương hỗ này không tạo thành một hệ lực cân bằng vì chúng đặt vào hai chất điểm khác nhau. 4. Định luật độc lập tác dụng : Dưới tác dụng đồng thời của một số lực, chất điểm có gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm có được khi từng lực tác dụng riêng biệt. G G G Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của các lực F1 , F2 , , Fn . Gọi là G G G gia tốc của chất điểm có được khi các lực này tác dụng đồng thời, còn W1 ,W2 , ,Wn mà G G G chất điểm có được nếu như từng lực F1 , F2 , , Fn tác dụng riêng lẽ. Theo tiên đề trên ta có : G G G G W = W1 +W2 + +Wn (1.3) Nhân hai vế của (1.3) với m và để ý đến tiên đề thứ 2 ta được : G G G G m.W = m.W1 + m.W2 + + m.Wn G G G G m.W = F1 + F2 + + Fn n G G Hay là : ∑ Fi = m.W (1.4) i=1 5. Hệ đơn vị : Để đo các đại lượng cơ học người ta phải dùng ba đơn vị cơ bản. Tuỳ thuộc vào việc chọn hệ đơn vị cơ bản mà ta có hệ đơn cị do khác nhau : - Hệ đơn vị quốc tế (SI) : Các đơn vị cơ bản mét (m), kilôgram (kg) và giây (s). Lực là đơn vị dẫn xuất được đo bằng Newton (N). kg.m 1N = 1 s 2 Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 4
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Hệ đơn vị MKS : Các đơn vị cơ bản là mét (m), kilôgram lực (kG) và giây (s). Đơn vị đo khối lượng là đơn vị dẫn xuất. §4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG Dựa vào định luật cơ bản của động lực học, ở đây chúng ta sẽ thiết lập mối quan hệ giữa các lực tác dụng lên vật thể và quy luật chuyển động của nó. Mối quan hệ đó được gọi là phương trình vi phân chuyển động. I. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM : G G G Xét chuyển động của chất điểm tự do dưới tác dụng của các lực F1 , F2 , , Fn (Đối với các chất điểm không tự do, chúng ta dùng nguyên lý giải phóng liên kết bằng các phản lực để có thể xem chúng như chất điểm tự do). 1. Dạng véctơ : G G Như chúng ta đã biết, gia tốc W của chất điểm được biểu thị qua véctơ bán kính r của nó như sau : G G W = r Vì vậy phương trình cơ bản của động lực học chất điểm (1.4) có dạng : G G m.r = ∑ Fk (1.5) Phương trình (1.5) là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dưới dạng véctơ. 2. Dạng toạ độ Descarte : Xét chuyển động của chất điểm trong hệ z toạ độ Descarte Oy. Chiếu phương trình (1.5) lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz ta được : M G r ⎧m.x = ∑ Fkx ⎪ y ⎨m.y = ∑ Fky (1.6) ⎪ ⎩m.z = ∑ Fkz O x Hình 1 Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 5
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC hay : ⎧ d 2 x m. = F ⎪ 2 ∑ kx ⎪ dt ⎪ d 2 y m. = F ⎨ 2 ∑ ky (1.6’) ⎪ dt d 2 z ⎪m. = F 2 ∑ kz ⎩⎪ dt Hệ phương trình (1.6) hay (1.6’) là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ Descarte. 3. Hệ toạ độ tự nhiên : Chiếu hai vế của phương trình (1.4) lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên (τ, n, b) (Hình 2) ta được : ⎧m.Wτ = ∑ Fkτ G ⎪ m.W = F b ⎨ n ∑ kn G ⎪m.W = F τ ⎩ b ∑ kb M 2 s G Vì Wτ = s, W = , Wb = 0 nên n ρ W G n ⎧ m.s = ∑ Fkτ ⎪ 2 ⎪ s Hình 2 ⎨m. = ∑ Fkn (1.7) ⎪ ρ ⎩⎪ 0 = ∑ Fkb Những phương trình này được áp dụng một cách có hiệu quả khi biết quỹ đạo tuyệt đối của chất điểm. Phương trình thứ nhất của hệ (1.7) với điều kiện ban đầu tương ứng cho phép chúng ta xác định quy luật chuyển động của hệ, hai phương trình còn lại dùng để xác định các yếu tố khác chưa biết của bài toán (phản lực liên kết, bán kính cong , v v) II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ : G e Xét cơ hệ gồm n chất điểm m1, m2, , mn. Gọi F k là hợp lực của tất cả các lực G i ngoài và F k là các hợp lực của tất cả các lực tổng tác dụng lên chất điểm thứ k của hệ. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm thứ k sẽ có dạng : Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 6
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G G G e i mkWk = F k + F k Viết phương trình tương tự cho tất cả các chất điểm của hệ ta được : G G G e i m1W1 = F 1 + F 1 G G G e i m2W2 = F 2 + F 2 G G G e i mnWn = F n + F n Hay : e i m1.x = F 1x + F 1x e i m1.y = F 1y + F 1y e i m1.z = F 1z + F 1z (1.8) e i mn .x = F nx + F nx e i mn .y = F ny + F ny e i mn .z = F nz + F nz (1.8) là hệ gồm 3.n phương trình. G a Trong trường hợp nếu chúng ta phân loại lực ra thành lực hoạt động F k và phản G lực liên kết N k thì tương tự với hệ (1.8) ta có : G G G a m1W1 = F 1 + N1 G G G a m W = F 2 + N 2 2 2 (1.9) G G G a mnWn = F n + N n Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 7
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §5. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC Trong động lực học cần giải quyết hai bài toán cơ bản sau đây: 1. Xác định lực tác dụng lên chất điểm khi đã biết quy luật chuyển động của nó. (Bài toán thứ nhất của động lực học ). 2. Xác định quy luật chuyển động của điểm khi biết các lực tác dụng lên nó (Bài toán thứ hai của động lực học ). Để giải quyết bài toán này ta có thể sử dụng các phương trình (1.5), (1.6), (1.7) - đối với chất điểm và các hệ phương trình (1.8) hay (1.9)-đối với hệ cơ. Tuy nhiên, cho đến nay chưa có phương pháp tổng quát để tích phân các hệ dạng (1.8) vì vậy trong thực tế người ta thường dùng những phương pháp khác hiệu quả hơn mà chúng ta sẽ xét trong những phần sau. I. GIẢI BÀI TOÁN THỨ NHẤT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM: Khi biết quy luật chuyển động của chất điểm, chúng ta dùng các công thức đã biết trong phần động học để tính z gia tốc của chất điểm và cuối cùng dùng phương trình cơ G bản (1.5), (1.6), hay (1.7) để xác định các lực tác dụng lên T nó. Ví dụ 1.1 : Một thang máy có trọng lượng P (hình 3) bắt G W đầu đi lên với gia tốc W. Hãy xác định sức căng của dây G P cáp. Hình 3 Ví dụ 1.2 : Tìm áp lực của ô-tô lên mặt G N cầu tại điểm A. Cho biết ô-tô có trọng G G A v lượng P, vận tốc chuyển động là v và G bán kính cong của cầu tại A là ρ (hình P 4). n Hình 4 Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 8
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC II. GIẢI BÀI TOÁN THỨ HAI CỦA ĐỘNH LỰC HỌC ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM : Với bài toán nà, chúng ta đã biết lực tác dụng lên chất điểm như hàm của thời gian, vận tốc, vị trí nghĩa là : G G G G Fk = Fk (t,v,r) Khi đó phương trình vi phân chuyển động của chất điểm có dạng : ⎧m.x = ∑ Fkx (t, x, y, z, x, y, z) ⎪ ⎨m.y = ∑ Fky (t, x, y, z, x, y, z) (1.10) ⎪ ⎩m.z = ∑ Fkz (t, x, y, z, x, y, z) Đây là hệ ba phương trình vi phân cấp 2. Nghiệm tổng quát của nó phụ thuộc vào 6 hằng số tuỳ ý : ⎧ x = f1 (t,c1 ,c2 ,c3 ,c4 ,c5 ,c6 ) ⎪ ⎨y = f 2 (t,c1 ,c2 ,c3 ,c4 ,c5 ,c6 ) (1.11) ⎪ ⎩z = f3 (t,c1 ,c2 ,c3 ,c4 ,c5 ,c6 ) Những hằng số tích phân này sẽ được xác định nhờ những điều kiện ban đầu của chuyển động, chẳng hạn : Khi t = 0 thì x = x0, y = y0, z = z0. x = x0 , y = y 0 , z = z0 (1.12) Việc giải hệ phương trình (1.10) không phải lúc nào cũng thực hiên được trong dạng giải tích. Chúng ta chỉ có thể tích phân hệ (1.10) với các điều kiện ban đầu (1.12) trong số trường hợp đơn giản. 1. Chuyển động thẳng của điểm : Trong phần động học, chúng ta đã biết vận tốc G G và gia tốc của điểm trong chuyển động thẳng luôn O R = ∑ F luôn hướng theo đường quỹ đạo. Vì gia tốc có x chiều trùng với chiều của hợp lực tác dụng lên chất Hình 5 G G điểm do đó chuyển động thẳng chỉ xảy ra khi : R = ∑ Fk có hướng không đổi và có vận G tốc ban đầu bằng không hoặc cùng hướng với R . Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 9
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Vị trí của điểm M xác định bởi toạ độ x, phương trình chuyển động của chất điểm trong trường hợp này sẽ là : mx = Rx (t, x, x) d 2 x dx Hay : m = R (t, x, ) (1.13) dt 2 x dt Với điều kiện ban đầu . Khi t = 0, x = x0 dx = v (1.14) dt 0 Ngay cả trong trường hợp đơn giản này, phương trình (1.13) không phải lúc nào cũng giải được bằng phương pháp giải tích. Chúng ta xét một số trường hợp mà phương trình (1.13) có thể phân tích được ở dạng hữu hạn : a) Lực chỉ phụ thuộc vào thời gian Rx = f x (t) khi đó : d 2 x m = f (t) dt 2 dv m = f (t) dt 1 w = f (t).dt + c = f (t,c ) m ∫ 1 1 1 Từ đây ra suy ra : x = f2(t,c1,c2) Các hằng số phân tích c1, c2 được xác định từ điều kiện ban đầu (1.14) b) Lực chỉ phụ thuộc vào khoảng cách : Rx = f(x). Khi đó phương trình chuyển động có dạng : d 2 x m = f (t) dt 2 d 2 x dx dx dx Ta có : = = . dt 2 dt dx dt dv nên : mv = f (x) dx Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 10
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Đây là phương trình tách biến có thể phân tích được : v = f1(x,c1) dx = f (x,c ) dt 1 1 dx = dt f1 (x,c1 ) Tích phân phương trình tách biến này ta được : t = g(x,c1,c2) hay : x = f2(x,c1,c2) c) Lực chỉ phụ thộc vào vận tốc: Rx = f (x) . Phương trình chuyển động viết dưới dạng : dx m = f (x) (1.17) dt Tích phân phương trình tách biến này ta được : t = g1( x ,c1) Hay : x = f1(x,c1) dx = f (t,c ) dt 1 1 Tiếp tục tích phân phương trình này ta được : x = f2(t,c1,c2) 2. Một số ví dụ : y Ví dụ 1.3 : Một chất điểm có khối lượng m, chuyển động trong mặt phẳng dưới tác m G G r G dụng của lực hút F hướng tâm vào tâm O cố F G G G x định theo luật F = −k 2m.r . Trong đó r là O véctơ định vị của chất điểm và k là hệ số tỷ lệ. Hãy xác định phương trình chuyển động và quỹ đạo của chất điểm ấy. Biết rằng tại Hình 6 thời điểm ban đầu x = l, y = 0, x = 0, y = 0. Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 11
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ví dụ 1.4: Vật có trọng lượng P bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên trên G mặt phẳng nằm ngang nhau dưới tác dụng của lực R có hướng không đổi và có trị số tăng tỷ lệ với thời gian theo quy luật R=kt. Tìm quy luật chuyển động của vật. Ví dụ 1.5 : Giải bài toán vật rơi trong không khí từ G R độ cao không lớn lắm và sức cản tỷ lệ với bình phương của vận tốc : 1 R = c ρSv 2 2 x G trong đó ρ là mật độ môi trường, S là diện tích hình chiếu P của vật trên mặt phẳng vuông góc với phương chuyển động, biết rằng khi t = 0, x = vx = 0. x Hình 7 Chương I Các định luật cơ bản của ĐLH- PTVP chuyển động Trang 12
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CHƯƠNG II CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của động lực học, chúng ta thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng cơ bản của chuyển động là động lượng, động năng và độ đo cơ bản tác dụng của lực là xung lượng và công. Trong nhiều trường hợp, nhất là trong động lực học việc tích phân hệ phương trình chuyển động (1.8) là việc làm hết sức phức tạp, hơn nữa trong phần lớn các bài toán động lực học của hệ, vấn đề chính không phải là khảo sát một cách chi tiết toàn bộ chuyển động của chất điểm thuộc hệ mà chỉ nghiên cứu các hiện tượng theo từng mặt riêng biệt có tầm quan trọng trong thực tiễn. Để giải quyết những bài toán như vậy sử dụng các định lý tổng quát sẽ làm cho quá trình giải đơn giản và nhanh chóng hơn. §1. CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG CỦA HỆ VÀ VẬT RẮN 1.1 Khối lượng của hệ - Khối tâm : Như chúng ta đã biết, chuyển z động của một cơ hệ ngoài việc phụ thuộc vào lực tác dụng còn phụ thuộc M1 vào tổng khối lượng và phân bố các Mn G r G 1 khối lượng của hệ đó. Khối lượng của G C rn y rC hệ bằng tổng lượng của tất cả các G r phần tử hợp thành hệ đó : 2 x M2 M = ∑ mk Hình 8 Khối tâm của một cơ hệ gồm n chất điểm (M1,M2, ,Mn) khối lượng tương ứng là (m1,m2, ,mn) và có vị trí được G G G xác định bởi các véctơ bán kính r1 ,r2 , ,rn là một điểm hình học C được xác định bởi công thức : Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 13
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G G m r r = ∑ k k (2.1) C M Chiếu lên các trục toạ đô ta được : ⎧ ∑ mk xk ⎪xC = ⎪ M ⎪ ∑ mk yk ⎨yC = (2.2) ⎪ M m z ⎪ z = ∑ k k ⎪ C ⎩ M Từ các công thức trên chúng ta thấy rằng nếu cơ hệ nằm trong trọng trường đồng nhất thì khối tâm của cơ hệ sẽ trùng với trọng tâm của nó. Cũng cần nói thêm rằng, khối tâm được xác định theo công thức (2.1) hoăc (2.2) luôn luôn tồn tại như một thuộc tính của cơ hệ, còn trọng tâm của vật chỉ có nghĩa khi cơ hệ nằm trong trường trọng lực, khái niệm trọng tâm sẽ mất khi không còn trọng lượng. Đó là điều khác nhau cần phân biệt đối với hai khái niệm này. 1.2 Mômen quán tính : Vị trí của khối tấm chưa đặc trưng hoàn toàn cho sự phân bố khối lượng của cơ hệ. Vì vậy trong cơ học cốnc một đặc trưng cho sự phân bố khối lượng mômen quán tính. - Mômen quán tính của một vật thể (một cơ hệ) đối với trục Oz là đại lượng vô hướng bằng tổng các tích của khối lượng của điểm với bình phương khoảng cách từ các điểm tới trục. J = m d 2 (2.3) z ∑ k k Nếu toạ độ của các điểm trong một hệ trục toạ độ Oxyz nào đó là xk, yk, zk thì mômen quán tính của hệ đối với các trục toạ độ sẽ là : 2 2 ⎧Jx = m (y + z k ) ∑ k k ⎪ 2 2 Jy = m (x + z k ) (2.4) ⎨ ∑ k k ⎪ 2 2 Jz = m (y + x k ) ⎩ ∑ k k Trong kỹ thuật mômen quán tính của vật thể đối với trục thường được biểu thị dưới dạng tích của khối lượng với bình phương của một khoảng cách trung bình nào đó. 2 Jz = Mρ z (2.5) Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 14
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC J Đại lượng ρ = z gọi là bán kính quán tính của một vật đối với trục z. z M II. Mômen quán tính của vật thể (cơ hệ) : Đối với một điểm O nào đó là đại lượng vô hướng bằng tổng các tích các khối lượng với bình phương khoảng cách từ các chất điểm tới tâm đó. J = m .r 2 (2.6) O ∑ k k Nếu O là gốc toạ độ thì tương ứng với (2.4) ta có : 2 2 2 J O = ∑ mk (x k + y k + z k ) (2.7) và ta có mối liên hệ : 2J0 = Jx + Jy + Jz. III. Mômen quán tính của vật thể đối với các trục song song. Định lý Huygen : Định lý 1.1 : Mômen quán tính của vật đối với một trục z1 nào đó bằng mômen quán tính đối với trục x đi qua khối tâm và song song với z1 cộng với tích khối lượng của vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục. 2 Jz1 = JZc + Md z Chứng minh : z Qua C dựng hệ trục toạ độ Cxyz 1 d sao cho trục x cắt z1 tại O. Qua O dựng y hệ trục toạ độ Ox y z sao cho x ≡ x. 1 1 1 1 C Theo công thức thứ ba của (2.4) ta y1 có : O 2 2 J z1 = mk (x 1k + y 1k ) ∑ x, x1 Hình 9 2 2 J z = ∑ mk (x k + y k ) ta có : x1k = xk − d , y1k = y1 2 2 2 nên : J z1 = ∑mk (x k + y k ) + (∑mk ).d − 2.d(∑mk xk ) 2 2 nhưng : J zc = ∑ mk (x k + y k ) , 2.d(∑ mk xk ) = 2dM C = 0 (vì C chính là gốc toạ độ) 2 nên : Jz1 = JZc + Md Từ định lý này ta suy ra rằng đối với các trục trùng phương, mômen quán tính đối với trục qua khối tâm là nhỏ nhất. IV. ĐỊNH LÝVỀ MÔMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI TRỤC QUA GỐC TOẠ ĐỘ : Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 15
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Cho hệ trục toạ độ Oxyz và trục L đi qua O. Phương của L được xác định bởi ba góc chỉ phương α, β, γ (Hình 10). Gọi khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc k z L vật đến trục L là dk = MkHk. Theo định nghĩa Hk : dk 2 Mk J = m d k γ L ∑ k β z y α k Từ tam giác vuông HkOMk ta có : O yk xk 2 2 2 2 x d = MkH k = OM k – OH k (*) Trong đó : 2 2 2 2 Hình 10 OM k = x k + y k + z k OHk là hình chiếu của OM k lên trục L. Chiếu hai vế đẳng thức véctơ : G G G OM k = xk .i + yk . j + zk k lên trục L ta được : OHk = xkcosα + ykcosβ + zkcosγ Thay vào (*) ta được : 2 2 2 2 2 2 2 2 d k = x k + y k + z k – (xkcosα + ykcosβ + zkcosγ) = x k ( 1 - cos α) + y k ( 1 - 2 2 2 cos β) + z k ( 1 - cos γ ) –2xkykcosαcosβ - 2xkzkcosαcosγ – 2ykzkcosβcosγ. Chú ý rằng : cos2α + cos2β + cos2γ = 1 Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d k = x k ( cos β + cos γ ) + y k (cos α + cos γ )+ z k (cos α + cos β ) – 2xkykcosαcosβ - 2xkzkcosαcosγ – 2ykzkcosβcosγ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d k = ( y k +z k)cos α + ( z k + x k )cos β + ( x k + y k )cos γ – 2xkykcosαcosβ - 2xkzkcosαcosγ – 2ykzkcosβcosγ. Do đó mômen quán tính của vật đối với L bằng : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 J L = cos α ∑ mk (y k + z k ) + cos β ∑ mk (y k + x k ) + cos γ ∑ mk (x k + y k ) − − 2cos β cosγ ∑ mk yk zk − 2cosα cosγ ∑ mk zk xk − 2cosα cos β ∑ mk xk yk Hay: 2 2 2 J L = J x .cos α + J y .cos β + J z .cos γ − 2J xy cosα cos β − 2J yz cos β cosγ − 2J zx cosγ cosα Trong đó Jx, Jy, Jz là mômen quán tính của vật đối với các trục toạ độ còn các đại lượng : Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 16
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC J yz = ∑ mk yk zk , J zx = ∑ mk zk xk , J xy = ∑ mk xk yk (2.10) (2.10) được gọi là những mômen tích quán tính (hay còn gọi là mômen quán tính ly tâm) của vật trong hệ toạ độ Oxyz. Với công thức (2.9) chúng ta đã chứng minh được định lý 1.2 : Mômen quán tính của vật thể đối với một trục bất kỳ đi qua gốc toạ độ hoàn toàn có thể xác định được nếu biết toạ độ và mômen quán tính trong hệ toạ độ đó. V. Trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm : Ta thấy các đại lượng Jxy, Jyz, Jzx phụ thuộc vào vị trí của điểm O và phương của các trục tọa độ. Nếu đối với một hệ trục tọa độ Oxyz nào đó ta có Jxy = Jyz = 0 thì trục Oz được gọi là trục quán tính chính của vật thể đối với điểm O. Có thể chứng minh được rằng tại mỗi điểm của vật thể luôn luôn tồn tại ba trục quán tính chính vuông góc với nhau. Các trục quán tính chính đối với khối tâm được gọi là trục quán tính chính trung tâm. Mômen quán tính của vật đối với trục quán tính chính gọi là mômen quán tính chính, còn đối với trục quán tính chính trung tâm thì gọi là mômen quán tính chính trung tâm. Dễ dàng chứng minh được rằng trục quán tính chính trung tâm của vật là trục quán tính chính đối với mọi điểm thuộc trục ấy. Trục quán tính của vật đối xứng đồng chất có thể tìm được dẽ dàng nhờ hai định lý sau đây : Định lý 1.3: Trục đối xứng của vật đồng chất là trục quán tính chính của vật đối với mọi điểm thuộc trục ấy. Định lý 1.4: Trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng của vật đồng chất là trục quán tính chính đối với giao điểm của trục và mặt phẳng đối xứng. Hai định lý này dễ dàng được chứng minh bằng cách sử dụng tính đối xứng của vật thể để tính các biểu thức của mômen quán tính ly tâm. VI. Cách tính mômen quán tính của một số vật đồng chất đơn giản : a) Thanh đồng chất : Tính mômen quán tính của thanh mảnh AB đồng chất có chiều dài l và khối lượng M, đối với trục Ay vuông góc với thanh và đi qua đầu A của nó (Hình 11). Muốn vậy ta chia thanh ra nhiều phần tử. Xét một phần tử cách Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 17
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ay một khoảng xk và có độ dài ∆xk khối lượng y y1 của nó là mk = γ∆xk (γ là khối lượng riêng trên một đơn vị độ dài : γ = M/l) ∆x Mômen quán tính của thanh đối với trục Ay C x bằng : A B x 2 2 Hình 11 J Ay = ∑ mk d k = ∑γx k ∆xk Chuyển tổng đó tới hạn ta được : l γl 3 1 J = γx 2 dx = = Ml 2 Ay ∫ 0 3 3 Áp dụng địng lý Huygen ta có thể chứng minh được mômen quán tính của thanh đối với trục khác vuông góc với thanh. Khi trục đi qua điểm giữa của thanh ta có : 2 ⎛ l ⎞ 1 2 1 2 1 2 J Cy1 = J Ay − M ⎜ ⎟ = Ml − Ml = Ml ⎝ 2 ⎠ 3 4 12 b)Vòng tròn đồng chất : Tính mômen quán tính x của một vòng tròn đồng chất bán kính R, khối lượng M đối với trục C qua tâm C của vòng trìn và thẳng góc với mặt phẳng của nó. (Hình 11). Ta có : R C 2 2 2 J Cz = ∑ mk r k = ∑ mk R = MR (b) mk Công thức (b) cũng được dùng để tính mômen quán Hình 12 tính của vỏ hình trụ mỏng đối với trục của nó. y c)Tấm tròn đồng chất : Tính mômen quán tính của một tấm tròn mỏng đồng chất bán kính ∆rk R, khối lượng M, đối với trục Cz qua tâm, thẳng C x góc với tấm và đối với các trục Cx, Cy trùng với trục đường kính của nó. Muốn vậy, chia tấm thành nhiều vành tròn nhỏ, mỗi vành tròn có bán kính rk độ rộng ∆rk và Hình 13 khối lượng mk = γ2πrk∆rk, trong đó γ là khối Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 18
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC M lượng riêng trên một đơn vị diện tích γ = πR 2 Theo công thức (b) mômen quán tính vành k đối với trục Cz bằng : 2 2 3 ∆JCz = mkr k = γ2πrk∆rkr k = γ2πr k∆rk Mômen quán tính của tấm tròn đối với trục Cz bằng tổng của mômen quán tính của các vành tròn đối với trục đó : 3 J Cz = ∑ ∆J Cz = ∑γ 2πrk ∆rk Chuyển tới giới hạn ta có : R 1 1 J = γ 2πr 3dr = γπR 4 = MR 2 (c) Cz ∫ 0 2 2 Để tính các mômen quán tính Jcx, Jcy của tấm đối với trục Cx, Cy ta nhận thấy rằng với mọi điểm thuộc tấm Zk = 0, vì vậy theo công thức (2.4) : 2 2 2 2 J Cx = ∑ mk yk , J Cy = ∑ mk xk , J Cz = ∑ mk (xk + yk ) Từ đó suy ra : JCx + JCy = JCz. Sự phân bố khối lượng của tấm đối với các trục Cx, Cy là hoàn toàn như nhau, vì vậy ta có : 1 1 J = J = J = MR 2 Cx Cy 2 Cz 4 d)Khối cầu đồng chất : Do tính đối xứng nên trong trường hợp này : z 1 2 J = J = J = MR 2 (d) Cx Cy 2 Cz 5 e) Tấm chữ nhật khối lượng M có cạnh AB = C y a, BD = b (trục x hướng theo Ab, y hướng theo BD): x 1 1 J = Mb 2 , J = Ma 2 (e) Hình 14 x 3 y 3 f) Khối nón liên tục có khối lượng M, bán kính đáy R (z hướng theo khối nón) 2 J z = 0.3MR (f) Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 19
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §2. ĐỊNH LÝ VỀ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG VÀ ĐỊNH LÝ VỀ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM. 2.1 Định lý về biến thiên động lượng : 1. Động lượng : Động lượng của chất điểm là một đại lượng véctơ bằng tích khối lượng của chất điểm với véctơ vận tốc của nó : G G k = m.v (2.11) - Động lượng của hệ là tổng hình học động lượng của tất cả các chất điểm của nó. G G K = m .v (2.12) ∑ k k Nếu hệ nhiều vật thì động lượng của hệ bằng tổng hình học động lượng của mỗi vật. Đơn vị đo động lượng là kg.m/s. Động lượng có thể xác định qua khối lượng của hệ và vận tốc của khối tâm. Thật vậy theo định nghĩa khối tâm ta có : G G m r = M.r ∑ k k C Đạo hàm hai vế lên theo thời gian ta được : G G m r = M.r ∑ k k C Hay : G G m v = M.v ∑ k k C Thế vào (2.12) ta được : G G K = MvC (2.13) Vậy : Động lượng của hệ bằng tích khối lượng của toàn hệ với vận tốc khối tâm của nó. Hình chiếu véctơ động lượng lên các trục tọa độ sẽ là : K x = ∑ mk xk = MxC , K y = ∑ mk yk = MyC , K z = ∑ mk .zk = MzC Từ (2.13) suy ra rằng động lực của cơ hệ đối với hệ trục bất kỳ Cx’y’z’ có gốc tọa độ ở khối tâm C và chuyển động cùng với tâm này sẽ bằng không vì đối với hệ G tọa độ này vC = 0. Một trường hợp riêng thường gặp sẽ là chuyển động của một vật Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 20
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC rắn quanh một trục cố định. Nếu trục quay đi qua khối tâm thì động lượng của vật trong chuyển động đó sẽ bằng không. II. Xung lượng lực : Để biểu thị tác dụng của lực lên một vật thể trong một khoảng thời gian người ta đưa ra khái niệm xung lượng của lực. G Đại lượng véctơ, kí hiệu ds bằng lực nhân với khoảng thời gian vô cùng bé dt : G G ds = F.dt (2.14) gọi là xung lượng nguyên tố của lực. Xung lượng của lực trong khoảng thời gian hữu hạn từ t0 đến t1 nào đó là đại lượng : G t1 G s = ∫ Fdt (2.15) t0 Hình chiếu xung lượng của lực trên các trục tọa độ sẽ là : t1 t1 t1 S = F dt , S = F dt , S = F dt (2.16) x ∫ x y ∫ y z ∫ z t0 t0 t0 III. Định lý về động lượng : Định lý 2.1 : Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm bằng tổng hình học các lực tác dụng lên chất điểm ấy. G d(mv) G = F (2.17) dt ∑ k Phương trình (2.17) thực tế là một cách viết khác phương trình cơ bản của động lực học (1.4). Định lý 2.2 : Đạo hàm theo thời gian của động lượng của cơ hệ bằng véctơ, chính các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. G G dK e = F k (2.18) dt ∑ Chứng minh: Gọi tổng các ngoại lực và tổng các nội lực tác dụng lên chất điểm G G e i thứ k là F k và F k . Theo (2.17) đối với mọi điểm thuộc hệ ta có : G G G d(mk vk ) e i = F k + F k (k= 1,2 n) dt Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 21
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Cộng từng vế phương trình này ta được : G G d G e i m v = F k + F k dt ∑ k k ∑ ∑ G G i G Vì ∑ F k = 0 và ∑ mk vk = K nên : G G dK e = F k (Định lý đã được chứng minh) dt ∑ Định lý 2.3 : Biến thiên động lượng của chất điểm trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lượng của các lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. G G G mv1 − mv0 = ∑ S k (2.19) Chứng minh: Từ (2.17) ta có : G G d(mv) = ∑ Fk .dt Tích phân hai vế đẳng thức này với các cận tương ứng ta được : G mv1 G t1 G t1 G G d(mv) = Fk .dt = Fk dt = Sk ∫G ∫∑ ∑∫ ∑ mv 0 to t0 G G G Hay : mv1 − mv0 = ∑ S k . Định lý 2.4 : Biến thiên động lượng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lượng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó. G G G e K1 − K 0 = ∑ S k (2.20) Chứng minh : Từ (2.18) ta có : G G e dK = ∑ F k .dt Tích phân hai vế đẳng thức này với các cận tương ứng ta được : G k1 G t1 G t1 G G e e e dK = F k .dt = F k dt = S k G∫ ∫∑ ∑∫ ∑ k 0 to t0 G G G e Hay : K1 − K 0 = ∑ S k . Các định lý 2.1, 2.2 là định lý biến thiên động lượng của chất điểm dưới dạng vi phân còn các định lý 2.3 và 2.4 là các định lý viết dưới dạng hữu hạn. Chiếu các hệ thức (2.17), (2.18), (2.19) và (2.20) xuống các trục tọa độ chúng ta sẽ được các biểu thức vô hướng thường dùng trong tính toán. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 22
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC IV. Định luật bảo toàn động lượng : Từ biểu thức (2.18) suy ra rằng : G G e Nếu ∑ F k = 0 thì K = const Đẳng thức (2.21) biểu thị định luật bảo toàn động lượng của hệ. Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ luôn luôn bằng không thì véctơ động lượng của hệ sẽ không thay đổi. G Trong thực tế xảy ra những trường hợp khi ∑ Fk ≠ 0 nhưng tổng hình chiếu của các ngoại lực lên một trục nào đó bằng không chúng ta sẽ có định luật bảo toàn hình chiếu động lượng của hệ lên hệ trục đó như sau: Nếu tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục nào đó bằng không thì hình chiếu véctơ động lượng lên trục đó sẽ không thay đổi. 2.2 Định lý chuyển động của khối tâm : Nếu ta tính động lượng của hệ theo công thức (2.13) qua vận tốc khối tâm của hệ và thay vào biểu thức (2.18) ta được : G dK d G G G = (MW ) = MW = F e (2.22) dt dt C C ∑ k Biểu thức (2.22) được phát biểu dưới dạng một định lý như sau : Định lý 2.5: Trong chuyển động của cơ hệ một khối tâm chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của toàn hệ và chịu tác dụng của lực được biểu diễn bằng véctơ chính của ngoại lực đã đặt vào hệ. Chiếu (2.22) lên các trục toạ độ ta được : ⎧ e MxC = ∑ F x ⎪ e ⎨MyC = ∑ F y (2.22’) ⎪ e ⎩MzC = ∑ F z Các phương trình (2.22’) là những phương trình vi phân chuyển động khối tâm của hệ trong toạ độ Đề-cát. G G G e Từ (2.22) ta thấy rằng nếu ∑ F k = 0 thì WC = 0 hay WC = const nghĩa là : Nếu véctơ chính của hệ ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không thì khối tâm của hệ sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều. Đó là định luật bảo toàn chuyển động khối tâm của cơ hệ. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 23
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Tương tự như đã nói ở phần trên nếu tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trên một trục nào đó bằng không thì hình chiếu của khối tâm trên trục đó sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều. Một số ví dụ minh hoạ : 1. Hiện tượng súng giật khi bắn : Xét cơ hệ gồm súng và đạn trong nòng súng. Khi đạn nổ xuất hiện một xung lực, xung lực đó là nội lực, không thể làm thay đổi chuyển động khối tâm của cơ hệ vì vậy nên đạn bay về phía trước thì súng sẽ chuyển động theo chiều ngược lại gây ra hiện tượng giật. 2. Người ta không thể đi được trên mặt phẳng nằm ngang trơn lý tưởng bởi vì tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên người, gồm trọng lực và phản lực pháp tuyến của mặt phẳng trên phương ngang bằng không. Lực của cơ bắp là nội lực không thể làm cho cơ thể di chuyển được. Trong thực tế chúng ta đi được là nhờ lực ma sát giữa bàn chân và mặt ngang. Ví dụ 2.1 : Khối lượng bánh đà của một mô-tơ bằng m1 còn khối lượng các phần còn lại là A B m2. Bánh đà quay đều với vận φ tốc góc ω. G G N Khối tâm của nó lệch trục một 1 P1 khoảng AB = a. Tính phản lực tựa của nền và bu-lông giữ mô- G G N P tơ với giả thuyết rằng phản lực 2 2 Hình 15 tương đương với một hợp lực G G với các thành phần N1 , N 2 (Hình vẽ) Giải : G G G G Những ngoại lực tác dụng lên mô-tơ trong trường hợp này là P1 , P2 và N1 , N 2 . Phương trình (2.22) chiếu lên các trục tọa độ x, y sẽ là : Mx = N C 1 MyC = N 2 − (m1 + m2 )g trong đó : M = m1 + m2. C là khối tâm của cơ hệ. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 24
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Trong trường hợp này chuyển động của khối tâm đã biết qua quy luật quay của bánh đà cụ thể là : Mx = m x + m (x + asinωt) C 2 A 1 A MyC = m2 y A + m1 (y A − a cosωt) Vì : xA = const, yA = const nên : 2 MxC = −m1aω sinωt 2 MyC = m1aω cosωt 2 N1 = −m1aω sinωt Nên : 2 N 2 = (m1 + m2 )g + m1aω cosωt Ví dụ 2.2: (Áp dụng dòng chảy G V lỏng). Một cột chất lỏng chảy ra từ ống b b’ b’ có diện tích thiết diện là S với vận tốc G v nghiêng một góc so với phương b b1 thẳng đứng (hình 16). Xác định áp lực G y N tổng hợp của dòng chảy lên tường đứng, xem dòng chảy là dừng. a’ Giải : Sử dụng phương trình a (2.20) cho khối chất lỏng giới hạn bởi G c c V a’1 1 x các thiết diện aa1, bb1, cc1. Bỏ qua áp a1 c’ lực tại thiết diện aa1và xem rằng khi c’ G 1 V Hình 16 c gặp tường các phần tử chất lỏng không bị bắn trở lại. Xét trong khoảng thời gian t1 – t0 = 1 giây. Ngoại lực tác dụng lên khối chất G lỏng trong thời gian gồm trọng lực và phản lực N . G G t1 G G K − K = (P + N)dt (a) 1 0 ∫ t0 Trong khoảng thời gian 1 giây các thiết diện aa1, bb1, cc1 dịch chuyển đến các vị trí a’a’1, b’b’1, c’c’1 và biến thiên động lượng của khối nước trong khoảng thời gian đó sẽ là : G G G G H K1 − K 0 = −m1va + m2vb + m3vc (b) Trong đó m1, m2, m3 là khối lượng chất lỏng trong khối aa1a’a’1, bb1b’b’1, cc1c’c’1. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 25
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ta có m1 = ρSv (trong đó ρ là khối lượng riêng của chất lỏng). G G Thế (b) vào (a) xem N = const và chiếu hai vế lên trục x ta được ( vb ,vc ┴ x) -ρSv2sinα = -N hay : N = ρSv2sinα §3. ĐỊNH LÝ VỀ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 3.1 Các định nghĩa và khái niệm : G G 1- Mômen của véctơ động lượng mv đối với tâm O (hay trục z) được kí hiệu là l0 G hay lz và được gọi tương ứng là mômen động lượng của điểm đối với tâm O hay trục đó. Cách tính mômen của véctơ động lượng cũng giống như cách tính mômen của lực. Như đã biết trong phần Tĩnh học ta có : G G G i j k G G G G l0 = m0 (mv) = r ∧ mv = x y z (2.23) mx my mz G G G MkV lz = mz (mv) = hcz (l0 ) (2.24) k G 2- Mômen chính động lượng của hệ đối với tâm (hay Vk một trục) bằng tổng mômen động lượng của tất cả các điểm thuộc hệ đối với tâm (hay trục) đó : Mk G G G G L0 = ∑l0k = ∑(rk ∧ mk vk ) (2.25) G L = l = hc l (2.26) z ∑ zk ∑ z 0k Hình 17 3- Mômen chính động lượng của vật rắn quay quanh trục cố dịnh đối với trục quay của nó. Giả sử vật rắn quay quanh trục z với vận tốc góc ω. Mômen động lượng của một phần tử Mk của vật đối với trục quay sẽ là : lzk = rkmkvk 2 mặt khác vk = rkω nên lzk = mkr kω. Do đó mômen chính động lượng của vật đối với 2 2 trục quay sẽ là Lz = ∑lzk = ∑ mk r kω = ω∑ mk r k = J zω Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 26
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 3.2 Định lý biến thiên mômen động lượng đối với tâm (hay trục) cố định : a) Đối với chất điểm; Định lý 3.1: Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của chất điểm đối với một tâm (hay một trục) bằng tổng hình học (hay tổng đại số) mômen của các lực tác dụng lên chất điểm đối với cùng tâm (hay trục) ấy : G dl G G 0 = m (F ) (2.27) dt ∑ 0 k G dl G G z = m (F ) (2.28) dt ∑ z k Chứng minh : Giả sử chất điểm m chuyển động dưới tác dụng của hệ lực G G G F1 , F2 , , Fn . Phương trình cơ bản của động lực học trong trường hợp này có dạng : G G mW = ∑ Fk G d(mv) G hay : = F dt ∑ k G G Gọi r là bán kính véctơ từ gốc hệ trục tới chất điểm. Nhân véctơ r với hai vế của đẳng thức trên ta được : G G d(mv) G G r ∧ = r ∧ F dt ∑ k G d G G dr G G d G Ta có : (r ∧ mv) = ∧ mv + r ∧ (mv) dt dt dt d G G G G G d G (r ∧ mv) = v ∧ mv + r ∧ (mv) dt dt G G Vì v ∧ mv = 0 d G G G d G dl Do đó ta có : (r ∧ mv) = r ∧ (mv) = 0 dt dt dt G G G G dl r ∧ F = r ∧ F = 0 (đpcm) ∑ k ∑ k dt II. Đối với cơ hệ : Định lý 3.2 : Đạo hàm theo thời gian mômen chính động lượng của cơ hệ đối với tâm (hay một trục) bằng tổng mômen của các ngoại lực đối với tâm (hay trục) đó : G G dL0 G e = m (F k ) (2.29) dt ∑ 0 Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 27
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G dLz G e = m (F k ) (2.30) dt ∑ z G G e i Chứng minh : Xét cơ hệ gồm n chất điểm, gọi F k và F k lần lượt là tổng các ngoại lực và tổng các nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k. Đối với từng chất điểm của hệ theo (2.27) ta có : G G d G G G e G i (r ∧ m v ) = r ∧ F + r ∧ F k dt k k k k k k Cộng từng vế các đẳng thức này ta được : G G d G G G e G i ∑ (rk ∧ mk vk ) = ∑ rk ∧ Fk + ∑ rk ∧ F k k dt k k Từ tính chất của các nội lực, ta có : G G i ∑ rk ∧ F k = 0 k nên : d G G G G e ∑ (rk ∧ mk vk ) = ∑ rk ∧ Fk k dt k d G G G G e ∑(rk ∧ mk vk ) = ∑ rk ∧ Fk dt k k G G dL0 G e = m (F k ) ( đpcm) dt ∑ 0 Theo kết quả vừa nhận được (2.29) đúng với mọi điểm O, chọn O nằm trên trục z, chiếu 2 vế đẳng thức (2.29) lên trục z ta sẽ nhận được (2.30). III. Định luật bảo toàn mômen động lượng : Từ (2.29) chúng ta nhận thấy rằng, nếu : G G G e m (F k ) = 0 L = const ∑ 0 thì 0 (2.31) y Đẳng thức này biểu thị định luật bảo toàn G V mômen động lượng phát biểu như sau: M’ Nếu mômen chính của các ngoại lực tác ds M dụng lên hệ đối với một tâm bằng không thì mômen chính động lượng của hệ đối với tâm dσ ấy sẽ không đổi. Định luật bảo toàn mômen động lượng O Hình 18 x Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 28
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC của cơ hệ đối với một trục được phát biểu hoàn toàn tương tự. Một hệ quả trực tiếp có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tiễn của định luật bảo toàn mômen động lượng là trường hợp khi chất điểm chịu tác dụng của lực xuyên tâm (lực có đường tác dụng luôn đi qua 1 điểm O nào đó). Xét chuyển động của chất điểm M chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên G tâm F (hình 17). G Vì trong trường hợp này m0 (F) = 0 nên G G G G m0 (mv) = r ∧ mv = const G G G G Vì véctơ m0 (mv) có hướng vuông góc với mặt phẳng chứa véctơ r và v nên nếu : G G G G m0 (mv) = const thì véctơ r và v phải luôn nằm trong cùng một mặt phẳng, G G nghĩa là quỹ đạo của M là một đường cong phẳng và m0 (mv) = vh = const . ds dσ Mặt khác : vh = h = 2 dt dt dσ ( dσ là diện tích tam giác phân tố OMM’. Đại lượng xác định vận tốc tăng dt của của diện tích phần mặt phẳng do bán kính OM quét được khi điểm M chuyển động gọi là vận tốc hạt quay vận tốc diện tích. Trong trường hợp đang xét : dσ 1 G G = m (mv) = const dt 2 0 Những điều trên chứng tỏ rằng trong chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên tâm, điểm chuyển động theo đường cong thẳng với vận tốc quạt không đổi, tức là chuyển động sao cho trong một khoảng thời gian bằng nhau, bán kính véctơ của điểm quét được những diện tích bằng nhau (định luật các diện tích). Đây là một trong những định luật Kepler. Định luật bảo toàn mômen động lượng cho phép ta giải thích một số hiện tượng, chẳng hạn hiện tượng quay thân máy bay lên thẳng khi cất cánh (trong trường hợp không có cánh quạt lái). Thật vậy gọi trục Cz là trục thẳng đứng qua khối tâm C của máy bay, ta có : LZ(máy bay) +LZ(cánh quạt) = 0 Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 29
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Do đó : LZ(máy bay) = - LZ(cánh quạt) Nghĩa là máy bay phải quay ngược chiều với cánh quạt. IV. Một số ví dụ áp dụng : Chúng ta có thể sử dụng định lý biến thiên mômen động lượng để nghiên cứu chuyển động quay của các vật hay để nghiên cứu các hệ có vật chuyển động quay hay tịnh tiến. Theo định luật bảo toàn mômen động lượng ta có thể xác định sự biến thiên của vận tốc (hay góc quay) của một bộ phận nào đó của hệ theo độ dời vận tốc góc của bộ phận khác. Ví dụ 2.2 : Đường ray đặt theo vành của một sân tròn nằm ngang có trọng lượng P, bán kính R. Sân cùng đầu máy trọng lượng Q đứng yên trên ray đang quay quanh trục thẳng đứng Oz với vận tốc góc ω0. Tại thời điểm nào đó ngưới ta bắt đầu cho máy chạy trên ray với vận tốc tương đối u (đối với sân quay) theo chiều quay của sân. Hãy xác định vận tốc góc của sân. Bài giải : Xét hệ gồm sân quay, đầu máy. Các mômen của các ngoại lực tác dụng lên hệ đối với trục z ω bằng không do đó Lz = const. Xem sân quay như một 2 đĩa tròn đồng chất (Jz = 0.5MR ) còn đầu máy như một G u chất điểm, ta có : R P Q K = (0,5 R 2 + R 2 )ω . z0 g g 0 Khi đầu máy bắt đầu chạy, vận tốc tuyệt đối của nó bằng : va = u + ωR, trong đó ωlà vận tốc góc tức thời Hình 19 của sân quay. Mômen động lượng của đầu máy đối với trục z khi đó sẽ bằng m.va.R và của cả hệ sẽ là : P Q K = (0,5 R2 + (uR + R2ω) z0 g g Vì Kz1 = Kz0 nên ta tìm được : Q u ω = ω − . 0 0,5P + Q R Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 30
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §4.ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG NĂNG I. Động năng : - Động năng của chất điểm là đại lượng vô hướng, kí hiệu T, bằng nửa tích khối lượng của chất điểm với bình phương vận tốc của nó : 1 T = mv 2 (2.32) 2 - Động năng của hệ là tổng động năng của tất cả các chất điểm thuộc hệ : 1 2 T = ∑ mk vk (2.33) k 2 Trong trường hợp đặc biệt nếu hệ gồm nhiều vật thì động năng của hệ bằng tổng động năng của các vật. - Động năng của vật rắn trong một số chuyển động cơ bản. a) Vật rắn chuyển động tịnh tiến : Trong trường hợp này vận tốc của mọi điểm đều bằng nhau và bằng vc nên : 1 2 1 2 1 2 T = ∑ mk vk = VC ∑ mk = MVC (a) k 2 2 2 b) Vật rắn quay quanh trục cố định : Trong trường hợp này ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 T = ∑ mk vk = ∑ mk (ω.hk ) = ω ∑ mk .hk = J zω (b) k 2 2 2 2 c) Vật rắn chuyển động song phẳng : Như chúng ta đã biết, trong chuyển động song phẳng, tại mỗi thời điểm vận tốc các điểm thuộc vật phân bố giông như vật quay quanh trục ∆ vuông góc với mặt phẳng chuyển động và đi qua tâm vận tốc tức thời P vì vậy ta có thể sử dụng công thức (b) để tính động năng trong trường hợp này : 1 T = J ω 2 (c) 2 ∆ Trong đó J∆ là mômen quán tính của vật đối với trục quay tức thời và ω vận tốc góc tức thời. Nếu biểu thức (c) ít được áp dụng trong thực tế vì tâm vận tốc tức thời luôn luôn thay đổi nên J cũng biến đổi theo thời gian. ta có thể dùng định lý Huygen để biến Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 31
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC đổi (c) về dạng dễ ứng dụng hơn. Gọi JC là mômen quán tính của vật đối với trục song song với ∆ và đi qua khối tâm C. 2 Ta có : J∆ = JC + Md ( d = CF) Thay vào (c) ta được : 1 1 1 T = (J + Md 2 )ω 2 = J ω 2 + Md 2ω 2 2 C 2 C 2 Nhưng d.ω = cp.ω = vC, do đó : 1 1 T = J ω 2 + Mv 2 (d) 2 C 2 c d) Vật rắn quay quanh điểm cố định : Khi vật rắn quay quanh điểm cố định, tại mỗi thời điểm vận tốc các điểm thuộc vật z ∆ phân bố như là vật quay quanh trục tức thời ∆ đi qua điểm cố định đó vì vậy : 1 T = J ω 2 (e) 2 ∆ γ α β Nếu gọi α, β, γ là các góc chỉ phương của ∆ Oy (Hình 19) x Theo công thức (2.9) ta có : 2 2 2 J ∆ = J x .cos α + J y .cos β + J z .cos γ − 2J xy cosα cos β − 2J yz Hìnhcos β 20cos γ − 2J zx cosγ cosα Thay biểu thức này vào (e) và để ý rằng : ω.cosα = ωx, ω.cosβ = ωy, ω.cosγ = ωz Ta được : 1 2 2 2 T = []J x .ω x + J y .ω y + J z .ω y − 2J xyω xω y − 2J yzω yω z − 2J zxω zω x (f) 2 e) Trường hợp chuyển động tổng quát : Lấy khối tâm C của vật làm cực, vận tốc của các điểm được xác định như sau : G G vk = vC + v'k Trong đó : vk = ωhk 2 2 2 G G vk = v c + v' k +2.vC .v'k 1 2 2 G G T = ∑ mk (v c + v' k +2.vC .v'k ) 2 1 1 G G = Mv 2 + m ω 2 h 2 + v . m v' 2 C 2 ∑∑k k C k k Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 32
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 1 G G vì : m ω 2 h 2 = J , m v' = Mv' 2 ∑ k k cp ∑ k k C nên : 1 1 T = Mv 2 + J .ω 2 (g) 2 C 2 cp Vậy : Động năng của vật trong trường hợp chuyển động tổng quát bằng động năng của vật chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm cộng với động năng của chuyển động quay quanh trục đi qua khối tâm đó. II. Công của lực : Để biểu diễn tác động của lực trên độ dời của vật ta đưa vào khái niệm công z của lực. MO M G G v Cho lực F có điểm đặt dời chỗ trên α t G M1 đường cong (c) (Hình 20). F a) Công nguyên tố của lực : Công G nguyên tố của lực F trên độ dời vô cùng O y bé ds của điểm đặt của nó là đại lượng vô Hình 21 x hướng bằng : dA = Fτds (2.34) Hoặc: dA = Fdscosα (2.35) Biểu thức công nguyên tố còn được viết dưới các dạng khác như sau : vì ds = vdt nên dA = Fvcosαdt (2.36) G G Gọi hình chiếu của F trên các trục tọa độ là Fx, Fy, Fz và của dr là dx, dy, dz biểu thức (2.37) được viết lại là : dA = Fxdx + Fydy + Fzdz (2.38) (2.34), (2.35), (2.36), (2.37), (2.38) là các cách viết khác nhau của biểu thức công nguyên tố. Tùy các trường hợp cụ thể người ta dùng biểu thức này hoặc biểu thức khác để phép tính đơn giản hơn. b) Công của lực trên quãng đường hữu hạn : Công của lực trên độ dài hữu hạn bất kỳ bằng tổng các công nguyên tố do lực gây ra nên độ dời đó : Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 33
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC A = dA (2.39) M 0M 1 ∫ M 0M 1 Đơn vị tính công là Jun hay Niutơn.mét. 1 J = 1 N.m = 1m2kg-2 Tùy dạng của biểu thức công nguyên tố mà khi tính công hữu hạn ta có các tích phân đường loại 1 hay loại 2. III. Công mất : Công mất là công sinh ra trong một đơn vị thời gian : dA N = (2.40) dt Đon vị đo công suất là W. 1W = 1J/s IV. Cách tính công trong một số trường hợp : 1. Công của trọng lực : Giả sử điểm M chịu tác dụng của trọng lực P dời chỗ từ MO(x0, y0, z0) đến M1(x1, y1, z1) theo đường cong M0M1. Với hệ trục như hình vẽ, áp dụng công thức (2.38) ta có: z1 A = (P dx + P dy + P dz) = (−P)dz = − Pdz = P(Z − Z ) M 0M 1 ∫∫x y z ∫0 1 M0M 1 M 0M1z0 Gọi z0 − z1 = h ta có : z AM0M1= ± Ph (2.41) M0 Ta lấy dấu + nếu MO ở cao hơn M1 M1 và lấy dấu – trong trường hợp z0 M1 G y ngược lại. O P z1 x Với kết quả trên ta thấy rằng 0 y0 x1 với công của trọng lực không phụ x y1 thuộc vào quỹ đạo chuyển của M Hình 22 và chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của quãng đường di chuyển. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 34
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 2. Công của lực đàn hồi : Trong một số trường hợp, các liên kết tác dụng lên chất điểm khảo sát những tỷ lệ với các véctơ định vị của chất điểm so với một tâm gọi là tâm đàn hồi, lực như vậy gọi là lực đàn hồi (ví dụ lực của lò xo chẳng hạn) G G F = −cr G G c r1 c A = dA = − crdr = − d(r 2 ) = − (r 2 − r 2 ) (2.42) M 0M 1 ∫ ∫ ∫ 1 0 M 0M 1 M 0M 1 2 r0 2 3. Công của lực tác dụng lên vật rắn chuyển động : a) Trường hợp vật chuyển động tịnh tiến: G G dA = FdrC (2.43) b) Vật quay quanh trục cố định : Vận tốc của điểm đặt lực M: G G G vM = ω ∧ rM G G G G G G G G G G G G G G dA = F.drM = F.v.dt = F.(ω ∧ rM ).dt = ω.(rM ∧ F).dt = ω.mO (F).dt = ω.m∆ (F).dt Với ∆ là trục quay. G G Vậy : dA = ω.m∆ (F).dt = m∆ (F).dϕ (2.44) c) Vật chuyển động tổng quát : G Chọn điểm A tùy ý làm cực, điểm đặt M của lực F có vận tốc : G G G G G vM = v A + ω ∧ r (với r = AM ) G G G G G G G G G Nên : dA = FdrM = F.vM .dt = F.v A .dt + F.(ω ∧ r).dt Theo các phép biến đổi đã trình bày ở phần a) và b) ta có : G G G dA = F.drA + m∆ (F).dϕ (2.45) trong đó ∆- là trục quay tức thời của vật đi qua A. 4. Công của lực ma sát tác dụng lên vật lăn : G Giả sử bánh xe O lăn không trượt trên mặt phẳng nhám, lực ma sát FmsM1 cản lại sự trượt của điểm tiếp xúc B. Công nguyên tố của lực ma sát bằng : G K dA = FmsmB vB .dt G Vì B là tâm vận tốc của vật lăn không trượt nên vB = 0 nên dA = 0. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 35
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Vậy : khi lăn không trượt, công của lực ma sát trượt trong chuyển dời bất kỳ của vật bằng không. Trong trường hợp vật trượt, công của lực ma sát luôn luôn âm. 5. Công của các nội lực của vật không biến hình : Xét hai phần tử M1 và M2 thuộc vật. Lực tác dụng tương hỗ giữa chúng là G G F12 = −F21 và có phương theo đường thẳng nối hai điểm đó. Công nguyên tố của các G G lực đó trên các độ dời dr1 và dr2 hiệu là dA1 và dA2 ta có : G G G G G G G G G G G dA1 + dA2 = F12 dr1 + F21dr2 = F12v1dt + F21v2 dt = F12 (v1 − v2 )dt G G G G G Vì v1 = v2 + vM1M 2 nên : dA1 + dA2 = F12 .vM1M 2 dt G G nhưng vì vM 1M 2 ┴ M1M2 tức vuông góc với F12 nên : dA1 + dA2 = 0. vậy tổng công của tất cả các nội lực của vật rắn trong bất cứ chuyển động nào của vật đều bằng 0. 1 ∑dA k = 0 (2.46) k V. Định lý biến thiên động năng : Định lý 4.1 : Vi phân động năng của chất điểm bằng tổng đại số công nguyên tố của các lực tác dụng trên chất điểm ấy : 1 d( mv 2 ) = dA (2.47) 2 ∑ k G G G Chứng minh : Xét chất điểm chuyển động dưới tác dụng của các lực F1 , F2 , , Fn . Phương trình cơ bản của động lực học đối với chất điểm là : G G mw = ∑ Fk G dv G Hay : m = F dt ∑ k G Nhân vô hướng hai vế với dr ta được : G G dr G G mv = F dr dt ∑ k G G Hay : mv.dv = ∑ dAk Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 36
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G G 1 G G 1 Vì v.dv = d(v.v) = d(v 2 ) 2 2 G G 1 1 Nên : mvdv = md(v 2 ) = d( mv 2 ) 2 2 và ta có điều cần phải chứng minh. Chú ý rằng nếu ta sử dụng khái niệm công suất thì định lý 4.1 có thể được phát biểu lại như sau : Đạo hàm theo thời gian động năng của chất điểm bằng tổng đại số công suất của tất cả các lực tác dụng lên chất điểm đó. Định lý 4.2 : Vi phân động năng của hệ bằng tổng đại số công nguyên tố của các ngoại lực và nội lực tác dụng vào các chất điểm của hệ: 0 1 dT = ∑ dA k + ∑ dA k (2.48) Chứng minh : Áp dụng công thức (2.37) đối với từng chất điểm ta có : 1 2 0 1 d( m v k ) = dA k + dA k 2 k 0 1 (dA k, dA k là tổng công nguyên tố của tất cả các ngoại lực, nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k) Viết phương trình trên cho tất cả các chất điểm của hệ và cộng từng vế các đẳng thức (*) ta được : 1 2 0 1 d ( m v k ) = dA k + dA k ∑ 2 k ∑ ∑ 0 1 Hay : dT = ∑ dA k + ∑ dA k (đpcm). Định lý 4.3: Biến thiên động năng của chất điểm trên một độ dời hữu hạn bằng tổng đại số công của các lực tác dụng lên chất điểm trên cùng độ dời đó : 1 2 1 2 mv 1 − mv 0 = A (2.49) 2 2 ∑ kM 0M1 Chứng minh : Tích phân 2 vế công thức (2.37) theo các cận tương ứng ta được : 1 2 1 2 mv 1 − mv 0 = A (đpcm) 2 2 ∑ kM 0M1 Định lý 4.4 : Biến thiên động năng của hệ trên một chuyển dời nào đó bằng tổng đại số công của các ngoại lực và nội lực đặt vào chất điểm trên các chuyển dời tương ứng : Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 37
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 0 1 T1 − T0 = ∑ A k + ∑ A k (2.50) Chứng minh : Trong chuyển dời của hệ từ vị trí 0 đến vị trí 1 chật điểm Mk của hệ dời chỗ từ Mk0 đến Mk1. Theo (2.39) ta có : 1 2 1 2 e i m v k1 − m v k 2 = A k + A k 2 k 2 k e i (A k, A k – Tổng công các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm Mk trên độ dời Mk0Mk1). Cộng từng vế các dẳng thức này ta được : 1 2 1 2 e i m v k1 − m v k 2 = A k + A k ∑ 2 k ∑ 2 k ∑ ∑ Đây là điều phải chứng minh. Các định lý 4.1, 4.2 là định lý động năng dưới dạng vi phân, các định lý 4.3, 4.4 là định lý động năng dưới dạng hữu hạn. Tương tự như định lý 4.1, định lý 4.2 cũng có thể phát biểu dưới dạng khác. Đạo hàm theo thời gian động năng cua hệ bằng tổng đại số công suất của ngoại lực và nội lực đặt vào các chất điểm thuộc hệ. §5. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG I. Trường lực : Trương lực là phần không gian vật lý mà khi ta đặt một chất điểm vào đó nó phải chịu tác dụng của một lực phụ thuộc vào vị trí của chất điểm ấy. Trường trọng lực, trường đàn hồi là những ví dụ về trường lực. Một lực được cho bởi ba hình chiếu của nó, vì vậy trường lực được xác định bởi hàm số : Fx = Φ1(x,y,z), Fy = Φ1(x,y,z), Fz = Φ1(x,y,z) (2.51) Công của lực mà trường tác dụng lên chất điểm được tính theo biểu thức (2.39). Trong trường hợp tổng quát, để tính công theo biểu thúc (2.39) ta phải biết phương trình quỹ đạo của đường cong M0M1. Tuy nhiên nếu biểu thức dưới dấu tích phân (2.39) : dA = Fxdx + Fydy + Fzdz Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 38
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC là vi phân toàn phần của một hàm U(x,y,z) nào đó thì như chúng ta đã biết, ta có thể tính công AM0M1 không cần biết quỹ đạo điểm M. Trong trường hợp này công của lực chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của điểm đặt di chuyển của lực. Hàm U(x,y,z) gọi là hàm lực và trường lực như vậy gọi là trường lực thế : A = dA = dU (x, y, z) = U −U (2.52) M 0M1 ∫ ∫ 1 2 M 0M1 M 0M1 II. Thế năng : Đối với các lực chúng ta có thể đưa vào một khái niệm thế năng là đại lượng dặc trưng về “dự trữ công” của tác dụng lên chất điểm tại vị trí của nó trong trường lực. Để so sánh mức “dự trữ công” đó với nhau ta cần chọn một vị trí “O” nào đó “dự trữ công” bằng không (điểm chọn này là tùy ý”. Thế năng của chất điểm ứng với vị trí M là đại lượng vô hướng bằng công các lực của trường có thể sinh ra trên độ dời của điểm từ vị trí M đến vị trí “O”. Π = AMO Từ định nghĩa này ta thấy thế năng là một hàm của các tọa độ : Π = Π(x,y,z) Trong đó Π được gọi là hàm thế. Thế năng tại vị trí nào đó là tổng công mà các lực của trường lực sinh ra trên những độ dời của các chất điểm thuộc hệ từ vị trí đó về vị trí “O”. Π = A1O Π = Π(x1, y1, z1, ,xn, yn, zn) Với các định nghĩa hàm lực và thế năng như trên, nếu ta chọn hàm lực sao cho tại vị trí “O” là U0 = 0 thì ta sẽ có : Π = A1O = U0 – U1 Π = -U (2.53) Từ đây ta thấy rằng khi xét các trường lực có thế ta có thể lấy khái niệm thế năng tha cho hàm lực. Từ (2.52) và (2.53) ta có : A12 = Π1 – Π2 (2.54) II. Định luật bảo toàn cơ năng : Áp dụnh định lý biến thiên động năng cho hệ ta được : Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 39
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC e i T − T = A k + A = A 1 0 ∑ ∑ k ∑ k Nếu nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ đều là lực có thế ta có : ∑ Ak = Π 0 − Π1 . Do đó : T1 − T0 = Π 0 − Π1 hay : T1 + Π1 = T0 + Π 0 = const (2.55) Ta có định luật bảo toàn cơ năng phát triển như sau : Khi hệ chuyển động trong trường lực thế thì tổng động năng và cơ nănng của hệ không đổi. Tổng động năng và thế năng của cơ hệ gọi là cơ năng và kí hiệu là E. E = T + Π. Hệ thức (2.55) gọi là tích phân năng lượng. Cơ hệ nghiệm đúng định luật bảo toàn cơ năng gọi là hệ bảo toàn. Lực tác dụng lên hệ đó là bảo toàn. Nếu ngoài các lực bảo toàn ra còn có những lực không bảo toàn chẳng hạn như lực ma sát, tác dụng lên hệ thì cơ năng của hệ sẽ biến đổi do có sự trao đổi năng lượng giữa hệ với môi trường nghĩa là có sự chuyển hóa năng lượng. Định luật bảo toàn cơ năng là một trường hợp riêng của định luật bảo toàn năng lượng trong vật lý. Chú ý rằng, trong trường hợp hệ không biến hình, như chúng ta đã biết : i ∑ A k = 0 Và định lý biến thiên động năng có dạng : T − T = Ae 1 0 ∑ k Nếu các ngoại lực tác dụng lên hệ là lực có thế : e e e A = Π 0 − Π 1 ∑ k e e Và ta có : T1 − T0 = Π 0 − Π 1 e e T1 + Π 1 = T0 + Π 0 = const Nghĩa là : Khi xét cơ hệ không biến hình, trong biểu thức (2.55) ta chỉ cần xét đến thế năng của trường ngoại lực mà không cần để ý đến hệ nội lực. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 40
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Định lý biến thiiên động năng thường được dùng để giải các bài toán : 1) Tìm lực tác dụng lên vật. 2) Tìm độ dời của vật. 3) Tìm vận tốc của vật ở vị trí đầu hoặc vị trí cuối độ dời. 4) Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. Chủ yếu dùng cho hệ không biến hình, đối với hệ biến hình chúng ta chỉ có thể dùng định lí để giải toán trong trường hợp biết được các nội lực. Sau đây là một số ví dụ áp dụng : Ví dụ 2.3 : Thanh AB với chiều dài l được treo bằng khớp vào điểm A (hình 23). Bỏ qua ma sát A C1 B1 ở khớp, hãy xác định vận tốc góc ω0 bé nhất cần phải truyền cho thanh để thanh có thể đạt tới vị h G trí nằm ngang. P C0 π Bài giải: Theo bài ra ta có : ω1 = 0, B0ÂB1 = . 2 Hình 24 Tính ω0 B0 Phương trình (2.40) có dạng : e T1 − T0 = ∑ A k Gọi M là khối lượng của thanh, có: 1 1 2 2 T = J ω = Ml ω 0 0 2 A 0 6 Ở vị trí cuối ω1 = 0 nên T1 = 0. G G Vì không tính đến lực ma sát nên chỉ có lực P = mg sinh ra công trong chuyển dời trên của vật : e l A = -P.hc = − Mg 2 Do đó ta có : 1 2 2 l Ml ω 0 = −Mg 6 2 3g Hay : ω = 0 l Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 41
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ví dụ 2.4 : Các puly A và B liên kết với nhau bằng curoa ω0 (Hình 2.4) sau khi ngắt động G F ω0 cơ Puly A có vận tốc ω . A B 0 G Tổng trọng lượng của 2 Puly G G PB PA Fms bằng P, trọng lượng của curoa bằng Q. Để hãm Hình 25 G chúng lại người ta ép vào bánh A, bán kính R một má hãm với lực ép bé bằng F , hệ số ma sát bằng f. Cho rằng ma sát ở các trục bé không đáng kể, còn các Puly là đĩa đặc đồng chất. Hãy xác định số vòng mà Puly A quay được cho tới khi nó dừng hẳn. Bài giải : Đây là bài toán xác định độ dời, biết vận tốc đầu và cuối, áp dụng công thức (2.50). e T1 − T0 = ∑ A k (a) Theo điều kiện bài toán thì T1 = 0; T0 = TA + TB + TC. (TC là động năng của curoa). Chú ý rằng tất cả các điểm thuộc curoa có vận tốc ban đầu bằng VCO = ω0.R = ω’0.r. Trong đó ω’0 và r là vận tốc góc ban đầu và bán kính của Puly B. Ta có : 1 PA 2 2 1 PB 2 2 PB 2 2 T = ( R )ω 0 ;T = ( r )ω' 0 = R ω 0 A 2 2g B 2 2g 4g 1 Q 2 1 Q 2 2 T = V CO = R ω 0 C 2 g 2 g PA 2 2 PB 2 2 1 Q 2 2 P + 2Q 2 2 T = T + T + T = R ω 0 + R ω 0 + R ω 0 = R ω 0 0 A B C 4g 4g 2 g 4g Trong chuyển động của hệ trọng lực của các vật thuộc hệ không sinh công vì điểm đặt của chúng không thay đổi. Lực ma sát Fms = f.F sinh công bằng : Ams = -(f.F.R)φ1 = -f.F.R.2.ΠNvq Thay các giá trị tìm được vào phương trình (a) giả ra ta có : 2 (P + 2Q)Rω 0 N = vq 8ΠgfF Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 42
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ví dụ 2.5: Một xe goòng được kéo lên theo G Q mặt phẳng nghiêng bằng lực không đổi Q = 16 kG (Hình 25). Cho biết góc nghiêng α so với mặt phẳng nằm ngang là 300, trọng l C lượng thùng xe P = 18 kG, mỗi bánh xe G G α Q + 4P đặc trọng lượng P = 2 kG (có 4 bánh). Hãy Hình 26 xác định : 1) Vận tốc tịnh tiến v1 của xe su khi đi được quãng đường l = 4m cho biết vận tốc ban đầu v0 = 0. 2) Gia tốc của xe. Biết rằng các bánh đều lăn không trượt, ma sát lăn không đáng kể. Bài giải : 1) Để xác định v1 ta sử dụng phương trình (2.40) e T1 − T0 = ∑ A k (a) Trong trường hợp khảo sát, ta có : T0 = 0. T1 = Txe + 4Tbánh 1 P 2 Txe = v 1 2 g 1 2 1 2 3 2 3 P 2 Tbánh = Mv C + J ω = Mv C = v 1 2 2 C 4 4 g 1 P 2 ⎛ 3 P 2 ⎞ 1 2 T1 = v 1 + 4⎜ v 1 ⎟ = (P + 6 p)v 1 2 g ⎝ 4 g ⎠ 2g Các lực sinh công trong trường hợp này gồm Q, P, 4p ta có : G G A(Q) = Q.l; A(P) = (P + 4 p)hC = −(P + 4 p)l sinα Thay các giá trị được vào (a) và giải đối với v1 ta được : 2gl[Q − (P − 4 p)sinα ] v1 = = 2,8m / s (b) P + 6 p 2) Để xác định gia tốc ta xem v1 = v và l trong các đẳng thức trên là hàm của thời gian t. Đẳng thức (b) có thể viết lại : 2 (P + 6 p).v 1 = 2gl[Q − (P − 4 p)sinα ] Đạo hàm 2 vế theo t ta được : Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 43
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC dv dl 2(P + 6 p).v = 2g []Q − (P − 4 p)sinα dt dt dl dv Vì : = v; = w nên cuối cùng ta được : dt dt Q − (P + 4 p)sinα w = g ≈ 0.98g / m 2 . P + 6 p Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 44
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CHƯƠNG III NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ §1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ CƠ HỆ KHÔNG TỰ DO 1.1. Liên kết : Trước đây ta đã đưa ra định nghĩa và cách xác định lực liên kết. Bây giờ ta nhắc lại và đi sâu vào tính chất của các liên kết, phương trình, phân loại liên A kết. l a) Định nghĩa : Tất cả những điều r B kiện cản trở những chuyển động của x vật khảo sát trong không gian được O gọi là liên kết. Hình 1 Ví dụ : Cơ cấu tây quay thanh truyền. Tay quay OA quay quanh trục O. Thanh truyền AB chuyển động song phẳng. Con trượt B chuyển động thẳng theo Ox. b) Phương trình liên kết : Liên kết thường biểu diễn bằng các hệ thức giữa vị trí và vận tốc các chất điểm của cơ hệ. Các hệ thức này gọi là phương trình liên kết được viết dưới dạng tổng quát như sau : G G f i (rk ,vk ,t) ≥ 0 (3.1) Với ví dụ trên ta có thể viết các phương trình liên kết của cơ cấu phẳng tay quay thanh truyền như sau : x(0) = y(0) = 0. 2 2 2 x A + y A = r 2 2 2 (xA − xB ) + (y A − yB ) = l yB = 0 Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 45
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC e) Phân loại liên kết : Liên kết được chia thành các loại chính sau đây : - Liên kết dừng và liên kết không dừng Liên kết mà phương trình của nó không chứa yếu tố thời gian gọi là liên kết dừng, ngược lại có chứa t gọi là liên kết không dừng. G G f i (rk ,vk ) ≥ 0 - Liên kết dừng G G f i (rk ,vk ,t) ≥ 0 - Liên kết không dừng. - Liên kết hình học và liên kết động học. G Liên kết mà phương trình liên kết của nó không chứa yếu tố vận tốc vk hoặc nếu có ta có thể tích phân được gọi là liên kết hình học, ngược lại có chứa yếu tố vận tốc gọi là liên kết động học. Từ nay về sau ta chỉ xét các cơ hệ chịu liên kết dừng, và hình học. Với ví dụ trên cơ hệ chịu liên kết hình học và liên kết dừng. 1.2 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do : a) Di chuyển khả dĩ : Di chuyển khả dĩ của hệ là tập hợp tất cả những độ dời vô cùng bé của các chất điểm của hệ mà tất cả các liên kết cho phép ở tại thời điểm khảo sát. Như vậy di chuyển khả dĩ hay còn gọi là di chuyển ảo của hệ phải thỏa mãn 2 điều kiện sau: + Di chuyển vô cùng bé + Các di chuyển thực hiện được mà không phá vỡ liên kết. Ta kí hiệu di chuyển khả dĩ như sau : G G G δr (t) = r '(t) − r (t) (3.2) b) Số bậc tự do : Số di chuyển khả dĩ độc lập với nhau của hệ gọi là số bậc tự do của hệ. Ta có thể tính số bậc tự do của hệ theo quy tắc sau : m = 3s hoặc m = 2n – s (3.3) Với m : số bậc tự do. n : số chất điểm s : số phương trình liên kết Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 46
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 1.3 Tọa độ suy rộng : Các tham số độc lập nếu chúng có số lượng đúng bằng số bậc tự do của hệ và xác định duy nhất được vị trí của hệ thì gọi là các tọa độ suy rộng của hệ. Ta kí hiệu tọa độ suy rộng bằng : {}qi = q1 ,q2 ,q3 , ,qn (3.4) Tọa dộ suy rộng có thể là đoạn thẳng, các cung, các góc, các diện tích v v. Không kể chúng có thứ nguyên hay có ý nghĩa hình học hoặc ý nghĩa vật lý như thế nào. Theo định nghĩa số tọa độ suy rộng bằng số bậc tự do của hệ nên việc chọn tọa độ suy rộng gắn liền với việc xác định số bậc tự do của hệ. Ta gọi δqi số gia phân tố của tọa độ suy rộng, ta có thể biểu diễn các tọa độ Đề- các xk, yk, zk qua tọa độ suy rộng : xk = xk(q1, q2, q3, ,qm) y = y (q , q q , ,q ) k k 1 2, 3 m (3.5) zk = zk(q1, q2, q3, ,qm) G G Hoặc rk = rk (q1 ,q2 , ,qm ) (3.6) Bây giờ ta đi xác định di chuyển khả dĩ qua tọa độ suy rộng. Từ (3.2) : G G G δrk (t) = rk *(q1*,q2 *, ,qm *) − rk (q1 ,q2 , ,qm ) Trong đó : q*i = qi +δqi Vậy : ∞ G G G G δrk δrk (t) = rk *(q1 + δq1 ,q2 + +δq2 , ,qm + +δqm ) − rk (q1 ,q2 , ,qm ) = ∑ δqi (3.7) i=1 δqi Khi hệ chuyển động các tọa độ suy rộng sẽ biến đổi liên tục theo thời gian : q1 = f1(t); q2 = f2(t); ; qn = fn(t) Các phương trình này gọi là các phương trình động học của hệ trong các tọa độ dq suy rộng. Đại lượng i = q gọi là vận tốc suy rộng của hệ. dt i Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 47
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 1.4 Lực suy rộng : G Xét cơ hệ gồm n chất điểm, chịu tác dụng của hệ lực {Fk }. Cho hệ có m bậc tự do được xác định bởi tọa độ suy rộng {qi }i = 1,2, ,m . Ta đi biểu diễn lực và phương pháp tính lực trong tọa độ suy rộng. Để tìm đặc trưng của hệ lực tác dụng lên cơ hệ, ta xét khả năng sinh công của hệ lực. G Ta gọi δA là công khả dĩ của hệ lực {Fk } tác dụng lên cơ hệ là tổng công các lực trong tập hợp di chuyển khả dĩ. G G δA = ∑ Fkδrk (3.8) k Trong tọa độ Đề-các (3.8) có dạng : δA = ∑ Fkxδrkx + Fkyδrky + Fkzδrkz (3.9) k Bây giờ ta tính nó trong tọa độ suy rộng : Thế (3.7) vào (3.8) G G G ⎛ δr ⎞ ⎛ G δr ⎞ ⎜ k ⎟ ⎜ k ⎟ A = ∑ Fk ⎜∑ δqi ⎟ = ∑∑⎜ Fk ⎟δqi k ⎝ i δqi ⎠ ik⎝ δqi ⎠ G G δrk Đặt Qi = ∑ Fk (3.10). Qi được gọi là lực suy rộng, vậy : k δqi δA = ∑Qiδqi (3.11) (i) Để tính lực suy rộng Qi nào đó ta truyền cho hệ một di chuyển khả dĩ độc lập sao cho tọa độ suy rộng qi có số gia δqi ≠ 0, còn các tọa độ khác δqi = 0 với j ≠ i. Tính tổng công của các lực trên di chuyển khả dĩ. Theo (3.11) từ đây xét ra : δA Qi = δqi Tương tự như vậy, ta có thể tính được các lực suy rộng : Q1, Q2, ,Qi, ,Qm. Thứ nguyên của lực suy rộng Qi bằng thứ nguyên của công chia cho thứ nguyên của tọa độ suy rộng tương ứng. [δA] []Qi = []δqi Giả sử : q là độ dài thì thứ nguyên là lực thông thường theo hệ SI là N. Nếu q là góc thì Q đo bằng Nm – Thứ nguyên của mômen lực. Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 48
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Nếu q là thể tích thì Q đo bằng N/m2 – Thứ nguyên của áp suất. Nếu các lực tác dụng lên hệ là các lực thế như ta đã biết hệ sẽ có hàm lực : U = U(xk, yk, zk) và δU = ∑δAk = δA Khi tính trong hệ tọa độ suy rộng thì : U = U(q1,q2, ,qm) Ta tính : ∂U ∂U ∂U δU = δA = δq1 + δq2 + + δqm ∂q1 ∂q2 ∂qm So sánh (3.12) với (3.11) ta có : ∂U ∂U ∂U Q1 = ,Q2 = , ,Qm = (3.13) ∂q1 ∂q2 ∂qm Vì thế năng π = -U nên (3.13) có thể biểu diễn lực suy rộng qua thế năng π như sau : ∂π ∂π ∂π Q1 = − ,Q2 = − , ,Qm = − (3.14) ∂q1 ∂q2 ∂qm Vậy theo lực suy rộng được tính theo (3.14) trong trường hựop các lực là lực thế. 1.5 Liên kết lý tưởng : Ta đã gặp những loại liên kết mà tổng cộng của các lực liên kết sinh ra trên các độ dời phân tố của hệ triệt tiêu. Hay nói cách khác liên kết này không ảnh hưởng đến biến thiên động năng của hệ trong quá trình chuyển động. Ta đưa ra khái niệm cơ hệ lý tưởng. Ta có định nghĩa sau : Các liên kết của hệ sẽ được gọi là lý tưởng nếu tổng công nguyên tố của các lực liên kết trên mọi di chuyển khả dĩ của hệ đều bằng không. Tức là : G G δA(lk ) = ∑ N k .δrk = 0 (3.15) Các liên kết thường gặp sau đây là liên kết lý tưởng : - Liên kết tựa không ma sát - Liên kết lăn không trượt trên mặt cong nhám. - Liên kết bản lề không ma sát - Liên kết dây mềm không giãn. - Liên kết thanh v v Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 49
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 1.6 Ví dụ lực suy rộng : Ví dụ : Hãy xác định các lực suy rộng của hệ bỏ qua lực ma sát (như hình vẽ 2), gồm thanh AB dài l trọng lượng P, có thể quay quanh trục A trên mặt phẳng thẳng đứng. Viên bi M có khối lượng Q chuyển động trên thanh. Chiều dài tự nhiên của lò xo AM = a, độ cứng là C. Giải : Hệ có hai bậc tự do, ta chọn q1 = φ và q2 = x. Làm 2 tọa độ suy rộng. Ta tính Qφ và Qx tương ứng. A Trước hết ta đi tính Qφ, muốn vậy ta truyền cho φ hệ một di chuyển khả dĩ sao cho chỉ có góc φ thay đổi, còn x = const nên δx = 0. G G G P M Trên di chuyển δφ này, các lực P,Q sinh công : G ⎡ Pl ⎤ Hình 2 Q δA = − sinϕ − Q(a + x)sinϕ δϕ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ δA ⎡ Pl ⎤ Vậy : Qφ = = − + Q(a + x) sinϕ δϕ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ Để tính Qx, ta truyền cho hệ một di chuyển khả dĩ sao cho chỉ có x thay dổi với δx ≠ 0, còn φ = const. G G Trên di chuyển δx này, các lực P,Q sinh công. Trong đó : F = cx δA = [− cx + Qcosϕ]δx δA Vậy : Qx = = Q cosϕ − cx δx Kết quả : ⎡ Pl ⎤ Q1 = Qφ = − + Q(a + x) sinϕ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ Q2 = Qx = Qcosφ – cx Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 50
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §2. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ 2.1 Nguyên lý : Điều kiện cần và đủ để cho cơ hệ chịu liên kết lý tưởng được cân bằng là tổng công nguyên tố của tất cả các lực chủ động tác dụng lên hệ trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ phải bằng không. G G δA = F δr = 0 (3.16) ∑ Fk ∑ k k G ( Fk là lực chủ động thứ k) Chứng minh : Điều kiện cần: Cho cơ hệ chịu lực liên kết lý tưởng được cân bằng ta chứng minh rằng (3.16) là đúng. Thật vậy, vì hệ cân bằng nên từng chất điểm riêng biệt sẽ cân bằng. Ta xét chất G G điểm Mk gồm có Fk lực chủ động, N k phản lực liên kết. G G Vì nó cân bằng nên : Fk + N k = 0 G Nhân hai vế với δrk ta có: G G (F + N )δr = δA + δA = 0 k k k Fk Nk Đối với toàn hệ ta có tổng công : δA + δA = 0 ∑ Fk ∑ Nk Vì chịu liên kết lý tưởng, nên δA = 0. ∑ Nk Do đó : δA = 0 ∑ Fk Điều kiện đủ : Cho cơ hệ chịu liên kết lý tưởng và thỏa mãn (3.16), ta cần chứng minh cơ hệ cân bằng. Ta dùng phương pháp phản chứng, giả sử cơ hệ không cân bằng. Tức là tại thời điểm nào đó cơ hệ chuyển động theo định lý biến thiên động năng của cơ hệ, ta có : dT = dAF + dAN >0 Vì liên kết lý tưởng : dAN = 0. nên dAF >0. Điều này trái với đẳng thức (3.16). Vậy cơ hệ cân bằng. Nhờ nguyên lý di chuyển khả dĩ ta có thể đưa ra điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do. Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 51
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G G δAF = ∑ Fkδrk = 0 (3.17) Trong tọa độ Đềcác, ta có điều kiện sau : ∑ Fkxδrkx + Fkyδrky + Fkzδrkz = 0 (3.18) 2.2 Ví dụ : Ví dụ 1: Tìm hệ thức giữa mômen M của ngẫu lực tác dụng lên tay quay δφ A của cơ cấu thanh truyền và áp lực P M lên píttông khi cân bằng. Cho biết B G φ β P OA = r, AB = l (Hình vẽ 3). O δs Giải : Hình 3 G Cơ cấu có một bậc tự do, chọn φ làm tọa độ suy rộng. Lực P , ngẫu lực M sinh công. Cho tay quay di chuyển khả dĩ δφ, khi đó con trượt B di chuyển δs. Theo điều kiện cân bằng ta có : -M.δφ + P.δs = 0 Vì thanh truyền AB chuyển động song phẳng ta tính VB qua ω như sau : VA.cosα = VB.cosβ. (α = 90 – (φ + β)) rω.sin(ϕ + β ) V = = ω.r(sinϕ + cosϕ.tgβ ) B cos β sin β sinϕ Xét ∆OAB : = r l sin β tgβ = 1− sin 2 β ⎛ ⎞ ⎜ r cosϕ. ⎟ Do đó : VB = ω.r 1+ sinϕ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎝ l − r sin ϕ ⎠ ⎛ r cosϕ. ⎞ Vậy : M = P.r⎜1+ ⎟sinϕ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎝ l − r sin ϕ ⎠ Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 52
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ví dụ 2: Cho hệ dầm chịu liên kết và chịu lực như hình vẽ 4. Bỏ qua ma sát, tìm phản lực ở gối C và ngàm A. Giải : Khảo sát hệ dầm : G q G - Tìm phản lực R , giải phóng P C C gối C, cho hệ thực hiện di chuyển khả dĩ là dầm BC, quay quanh B một góc A 2a B 2a 2a δφ. Hình 4 δA = 0 → G G mB (P).δϕ + mB (RC ).δϕ = 0 − 2a.Pδϕ + 4aRCδϕ = 0 hay : (− 2a.P + 4aRC )δϕ = 0 P vì δφ ≠ 0, nên R = C 2 - Tìm phản lực tại ngàm A : G G G Giải phóng ngàm thay bằng X A ,YA , M A Rõ ràng XA = 0. G Tương tự như RC ta tính được : P Y = Q + A 2 với Q = 2aq. G Để tính MA ta thay ngàm bằng bản lề và ngẫu lực M A Cho hệ di chuyển khả dĩ δφ G G δA = 0 → M A .δϕ + mA (Q)δϕ + mC (P)δϕ1 = 0 Trong đó δφ và δφ1 liên hệ như sau : 1 2aδφ = 4aδφ1 → δϕ = δϕ 1 2 Thế δφ1 vào phương trình trên ta có: δϕ M .δϕ + aQδϕ + 2aP = 0 A 2 ⇒ M A = a(P + Q) Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 53
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Qua các ví dụ trên ta thấy ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ ở chỗ nó cho ta điều kiện cân bằng của mọi cơ hệ dưới dạng tổng quát. Trong khi đó các phương pháp tĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật trong hệ. Khi dùng nguyên lý chỉ cần xét các lực chủ động, cho nên ngay từ đầu đã tránh được không phải xét đến phản lực liên kết chưa biết, khi chúng là các liên kết lý tưởng. §3. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ TRONG TỌA ĐỘ SUY RỘNG 3.1 Trường hợp chung : Theo nguyên lý di chuyển khả dĩ từ (3.16) và (3.11) ta có : δA = ∑Qiδqi = Q1δq1 + Q2δq2 + + Qmδqm = 0 (i) vì δq1,δq1, δqm độc lập với nhau nên ta rút ra : Q1 = Q2 = = Qm (3.19) Vậy điều kiện cần và đủ để cân bằng là tất cả các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng của hệ phải bằng không. 3.2 Trường hợp các lực có thế : Ta xét cơ hệ chịu tác dụng của hệ lực là các lực thế. Khi đó theo (3.14) và (3.19) ta có : ∂π ∂π ∂π = = = = 0 (3.20) ∂q1 ∂q2 ∂qm Chương III Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trang 54
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CHƯƠNG IV NGUYÊN LÝ ĐALAMBE Tất cả các phương pháp giải bài toán động lực học đã trình bày trước đây đều dựa trên các phương trình được suy ra từ hệ tiên đề của động lực học hoặc từ các định lý tổng quát là các hệ quả của chúng. Bấy giờ ta có thể thiết lập các phương trình chuyển động hay điều kiện cân bằng của cơ hệ dựa trên những cơ sở khác nữa là các nguyên lý cơ học có thể thay cho tiên đề 2. Áp dụng các nguyên lý này ta có thể tìm được những phương pháp giải bài toán rất hiệu quả. Nó cho ta thấy được vai trò của các áp lực chủ động trong mối quan hệ với chuyển động của cơ hệ. Nguyên lý Đalambe được coi là mệnh đề tương đương với tiên đề 2. §1. KHÁI NIỆM VỀ LỰC QUÁN TÍNH HỆ QUÁN TÍNH 1.1 Định nghĩa : Các chất điểm M có khối lượng m, G G qt chuyển động với gia tốc W dưới tác dụng G Fn F qt của hệ lực trong hệ quy chiếu quán tính. G Đại lượng : G τ qt G G Fτ F qt = −mW (4.1) M G G W Chiếu (4.1) lên các trục ox, oy, oz n qt Hình 5 ⎧Fx = −mx ⎪ qt ⎨Fy = −my (4.2) ⎪F qt = −mz ⎩ z Trong hệ tọa độ tự nhiên ta có : G G G qt qt qt F = Fn + Fτ G G qt n Với : Fn = −mW gọi là lực quán tính pháp hay còn gọi là lực quán tính ly tâm. G G qt τ Fτ = −mW gọi là lực quán tính tiếp. Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 55
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Từ định nghĩa ta thấy lực quán tính không phải là lực thực sự tác dụng lên chất điểm khảo sát. 1.2 Thu gọn hệ lực quán tính : Xét cơ hệ gồm n chất điểm có khối lượng M = ∑ mk và gia tốc của điểm tương (k ) G ứng Wk . Khi đó ta thu được hệ lực quán tính : G qt G qt G qt G qt F1 , F2 , , Fn hay {Fk } với k = 1, 2, , n Để thu gọn hệ lực quán tính này dựa vào kết quả từ tĩnh học, ta có thể thu gọn về một tâm. Ta được một lực và một ngẫu lực : G G G qt qt qt {Fk } ~ (R , M ) G G qt qt R = ∑ Fk (k ) Trong đó : G qt G G qt M k = ∑m0 (Fk ) (k ) được gọi là véctơ chính và mômen chính của hệ lực quán tính đối với tâm O. Ta cần đi xác định véctơ chính và mômen chính của lực quán tính của vật rắn chuyển động khi nó thu gọn về khối tâm C của vật. G Đối với R qt ta có : G G G qt R = ∑ − mkWk = −MWC (4.4) Vậy véctơ chính của lực quán tính của vật trong chuyển động bất kỳ luôn được xác định theo (4.4) G G qt G qt Còn M C = ∑ mC (F k ) sẽ thay đổi khi vật thay đổi chuyển động. Ta xét vật chuyển động cụ thể như sau : a) Chuyển động song phẳng : Xét vật chuyển động song phẳng, tức là quay quanh trục Cz vuông góc với mặt G G phẳng chuyển động (π) với vận tốc góc là ω và gia tốc góc là ε . G qt G G Như trên : M C = −∑(mk rk ∧Wk ) G G G G G G G Trong đó : Wk = WC + ε ∧ rk + ω ∧ (ω ∧ rk ) Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 56
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Theo phép biến đổi véctơ ta có : G G G G G G 2 G ω ∧ (ω ∧ rk ) = ω.(ω.rk ) − ω .rk G G G G vì rk ┴ ω nên : rk .ω = 0 G G G G 2 G Do đó : Wk = WC + ε ∧ rk − ω rk G Ta thế Wk và tình : G G G G G G G 2 G G mk rk ∧Wk = mk [(rk ∧WC + rk ∧ (ε ∧ rk ) −ω (rk ∧ rk )] G G G G Vì : rk ∧ rk = 0, rk ┴ ε nên : G G G G 2 G mk rk ∧Wk = mk rk ∧WC + mk rk ε Vậy : G qt G G 2 G M C = −∑ mk rk ∧WC − ∑ mk rk ε G G Vì : ∑mk rk = MrC = 0 ta có : G qt G M C = −J Cε G Vì vật chuyển động song phẳng nên véctơ ε luôn vuông góc với mặt phẳng (π), G nên ta có thể thay ε bằng ε . qt Do đó : M C = −J Cε (4.5) Vậy : Vật chuyển động song phẳng thì hệ lực quán tính thu về khối tâm C của vật được một lực và một ngẫu lực xác định theo (4.4) và (4.5). Nghĩa là : G G qt R = −MWC qt M C = −J Cε c) Vật quay một quanh trục: G G Cho vật quay quanh một trục Oz với vận tốc góc ω và gia tốc góc ε . Thu gọn hệ G lực quán tính của vật về một điểm O. Ta thu được R qt xác định theo (4.4) còn mômen G chính M qt được tính như sau : G qt G G M O = ∑ mk rk ∧Wk Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 57
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G G G G G G 2 G 2 G trong đó : Wk = ε ∧ rk + ω ∧ (ω ∧ rk ) = (ω xk + εxk )i + (ω yk + εyk ) j (4.6) G G G ( i , j, k là các véctơ đơn vị của các trục ox, oy, oz.) G qt 2 G 2 G G Do đó : M O = (−ω J yz + εJ xz )i + (ω J xz − εJ yz ) j + J zε Trong đó : Jxz, Jyz mômen tích quán tính. Chiếu lên các trục ox, oy, oz ta nhận được : qt 2 M x = J xzε − J yzω qt 2 M x = J xzω − J xzε (4.7) qt M x = J zε Ta xét trường hợp đặc biệt : - Nếu trục Oz là trục quán tính chính tức là : qt qt Jxz = Jyz = 0 khi đó M x = M y = 0 G G qt qt Chỉ còn M z = −J zε và R = −MWC - Nếu trục Oz là trục quán tính chính trung tâm tức là C∈ Oz : G Ta có : R qt = 0 G qt G M z = −J z .ε §2. NGUYÊN LÝ ĐALAMBE 2.1 Đối với chất điểm : Tại mỗi thời điểm nếu đặt thêm vào chất điểm lực quán tính của nó ta được một hệ lực cân bằng gồm lực chủ động, lực liên kết và lực quán tính của chất điểm. G Cho lực F chủ động G N phản lực liên kết G F qt lực quán tính G G G Theo nguyên lý ( F , N , F qt ) ~ 0 G G G Hay : F + N + F qt = 0 Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 58
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Thật vậy từ tiên đề 2 của động lực học ta có : G G G mW = F + N G G G F + N − mW = 0 G G Vì F = −mW G G G Nên : F + N + F qt = 0 2.2 Đối với cơ hệ : Tại một thời điểm, nếu đặt thê vào mỗi chất điểm của hệ các lực quán tính tương ứng thì cùng với các ngoại lực và nội lực thực sự tác dụng lên hệ. Ta sẽ được một hệ cân bằng. G e Cho {Fk } ngoại lực G i {Fk } nội lực G qt {Fk } lực quán tính G e G i G qt Ta có : ({Fk },{Fk },{Fk }) ~ 0 G ⎧ R = 0 Khi đó : ⎨ G (4.9) ⎩M O = 0 Nguyên lý Đalambe cho phép chúng ta giải các bài toán động lực chọ bằng cách thiết lập các phương trình chuyển động của hệ dạng các phương trình cân bằng quen thuộc. Đó chính là nội dung của phương pháp tĩnh động lực học. §3. ÁP DỤNG 3.1 Phương pháp tĩnh động lực học : Từ nguyên lý Đalambe ta thiết lập các phương trình cân bằng dựa vào kết quả cỉa tĩnh học. a) Đối với chất điểm : G qt R = 0 ⇒ Rx = Fx + N x + F x = 0 b) Đối với hệ : G G Ta phân lực thành nội lực và ngọai lực R i , R e Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 59
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G G i i Trong đó : R = ∑ Fk = 0 G G i G i và M O = ∑ mO (F k ) = 0 Theo nguyên lý ta có : G G R e + R qt = 0 G e G qt M O + M O = 0 Chiếu lên các trục tọa độ ta thu nhận : e qt Rx + Rx = 0 e qt Ry + Ry = 0 e qt Rz + Rz = 0 e qt (4.11) M x + M x = 0 e qt M y + M y = 0 e qt M z + M z = 0 Phươmg pháp tĩnh học thường dùng để tính các phản lực động. 3.2 Phản lực trục quay và khái niệm cân bằng trục quay : a) Phản lực động của trục quay: G ( p) Cho vật (S) dưới tác dụng của các ngoại lực {Fk } quay quanh trục Oz với vận tốc G góc ω và gia tốc góc c. Ta cần xác định phản lực tại các ổ trục tác dụng lên trục. G Các phản lực xuất hiện khi vật quay với ω ≠ 0, ta gọi các phản lực này là phản lực G động. Còn nếu ω = 0, theo trước đây ta gọi chúng là phản lực tĩnh. Giải phóng liên kết tại A, B thay bằng : G G G G G G G RA ~ (X A ,YA , Z A ) và RB ~ (X B ,YB ) Theo nguyên lý Đalambe ta có : G ( p) G G G qt ({Fk }, RA , RB ,{Fk }) ~ 0 G G G qt qt qt Trong đó : {Fk } ~ ( R , M ) G G qt Thu gọn về tâm O trên trục quay R = −MWC G G qt Trong đó WC được tính theo công thức (4.6). Còn M chiếu lên các trục tọa độ được tính theo công thức (4.7) Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 60
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ta thiết lập phương trình cân bằng : e 2 Rx + X A + X B + M xCω + M yCε = 0 e 2 Ry + YA + YB + M yCω − M xCε = 0 R e + Z = 0 z (4.12) e 2 M x + X Aa − YBb + J yzω + J xzε = 0 e 2 M y + X Aa − X Bb + J xzω + J yzε = 0 e M z − J zε = 0 Phương trình cuối cùng của (4.12) chính là phương trình vi phân chuyển động của G G vật quay. Còn các phương trình còn lại xác định các phản lực RA , RB . b) Cân bằng của trục quay : Từ những phương trình (4.12) ta thấy zB các giá trị ω và ε của phản lực động không B yB những phụ thuộc vào giá trị mà còn phụ xB thuộc vào các đại lượng X , Y , J , J đặc C C xz yz G G z G F ε F b trưng cho sự phân bố khối lượng của vật 1 4 G đối với trục quay Oz. ω y Ta thấy chuyển động quay không ảnh O G F hưởng đến giá trị của phản lực ở các ổ trục x 3 zA a quay nếu : G F 2 yA XC = 0 và YC = 0 (4.13) xA Jxz = Jyz = 0 (4.14) Hình 6 Điều kiện (4.13) và (4.14) chính là điều kiện cân bằng động của các khối lượng các vật quay quanh trục Oz. Điều kiện (4.13) chứng tỏ khối tâm C nằm trên trục quay. Còn (4.14), trục quay Oz là trục quán tính chính trung tâm của vật. Vậy : Phản lực động tác dụng lên trục của vật quay sẽ bằng phản lực tĩnh nếu trục quay là một trong những trục quán tính chính trung tâm của vật. Từ đây nó cho ta ý nghĩa của các đại lượng Jxz và Jyz là đặc trưng cho mức độ mất cân bằng động của các khối lượng của vật khi nó quay quanh trục Oz. Phương pháp Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 61
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC cân bằng các khối lượng như vậy được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật để cân bằng các trục khuỷu, các tay quay, các bộ truyền v v. 3.3 Các ví dụ : a) Ví dụ 1: Một vôlăng trọng lượng P quay quanh một trục có định Oz vuông góc với mặt phẳng của nó với vận tốc không đổi. Coi vôlăng là một vòng tròn đồng chất bán kính r. Bỏ qua khối lượng của các nan hoa và tác dụng của trọng lượng, hãy xác định lực có khuynh hướng phá vỡ vôlăng (Hình 7). Giải : Đối với vôlăng, lực cần phải tìm là y nội lực. Để xác định nó ta cắt vôlăng ra G N1 làm hai phần bỏ đi phần phía trái và giữ lại phần bên phải. Thay vào bằng các lực G G G N , N . Xác định lực quán tính, vì vôlăng qt 1 2 C R x O quay đều nên ε = 0 do đó chỉ có lực quán tính pháp, do tính chất đối xứng nên các G lực quán tính có hợp lực đặt tại khối tâm N 2 C nằm trên trục Ox và có độ lớn bằng : R qt = MW = Mx ω 2 C C Hình 7 Trong đó : 1 P 2r M = , x = 2 g C π Prω 2 Do đó : R qt = π.g G G G qt Theo nguyên lý Đalămbe ta có : (N1 , N 2 , R ) ~ 0 Chiếu lên trục Ox : qt - N1 – N2 + R = 0 Do tính đối xứng : N1 = N2 = N. R qt PRω 2 Vậy : N = = 2 2π.g Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 62
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ví dụ 2 : Một thanh đồng chất AB trọng z lượng P dài l, được ghép chặt vào trục thẳng đứng OO1 dưới góc α, B Trục CO1 cùng với thanh AB quay D G C G với vận tốc góc không đổi ω. Hãy xác α R qt Z A định phản lực tại ngàm (Hình 8). G G P y G Giải : X A A YA Khảo sát chuyển động của thanh AB. Hệ lực tác dụng : x G G G G G O P, X A ,YA , Z A , M A . Hình 8 Ta đi xác định lực quán tính các phần tử của thanh AB. G qt G Vì ω = const nên chỉ có thành phần Fkn hướng theo bán kính rk có độ lớn bằng: qt 2 Fkn = mkWkn = mk rkω Đây là hệ lực song song phân bố theo quy luật tam giác. Thu gọn hệ lực này được hợp lực đi qua điểm D cách A một đoạn bằng 2/3l có độ lớn bằng : P P l R qt = MW = r ω 2 = sinα.ω 2 C g C g 2 Theo nguyên lý Đalămbe ta có : G G G G G G qt (P, X A ,YA , Z A , M A , R ) ~ 0 Thiết lập phương trình cân bằng (Hình 8) Rx = X A = 0 qt Ry = YA + R = 0 Rz = Z A − P = 0 l 2 M = −P sinα + M − R qt l cosα = 0 x 2 Ax 3 M y = M Ay = 0 M z = M Az = 0 Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 63
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Từ đây ta tìm được : Plω 2 X = 0,Y = − sinα, Z = P A A 2g A Pl lω 2 M = (sinα + sin 2α);M = M = 0 Ax 2 3g Ay Az Ví dụ 3: Vật A và B nối nhau bằng một sợi dây không giãn mắc qua ròng rọc D. Khi thả vật O A trọng lượng P1 ròng rọc D trọng lượng P3 quay quanh trục cố định O, còn vật B trọng α A lượng P2 trượt lên trên mặt phẳng nghiêng α. Hình 9 Hãy xác định gia tốc của vật A và B và sức G N căng của hai nhánh dây. Cho hệ số ma sát G T trượt là f. Ròng rọc coi như đĩa tròn đồng 2 chất. (hình 9). G F Giải : G mg P qt Hệ khảo sát gồm ba vật A, B và ròng rọc B G P2 D. α - Xét vật A : Ta tách vật A theo nguyên lý G G G qt Đalambe ta có: (P1 ,T1 , F A ) ~ 0 . P Trong đó : F qt = W A g A Chiếu lên phương X : P P − T − 1 W = 0 (1) 1 1 g A Xét vật B tương tự ta có : G G G G qt G (P2 ,T2 , N, FB , Fms )~ 0 Trong đó : Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 64
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Fms = f.N = f.P2.cosα Chiếu lên phương Y : qt T2 – Fms – FB – P2sinα = 0 P hay : T2 – f.P2cosα – WB – P2sinα = 0 (2) 2 G G G G G qt - Xét ròng rọc D : (P3 ,T'1 ,T'2 , R0 , M B )~ 0 qt Trong đó : MO = JO.ε P G J = 3 r 2 M qt O 2g O ε W G còn ε = A RO r G T ' O Nên : 2 P M qt = 3 rW 2g A G G P3 M = 0 ⇒ T ' r + rW − T ' r = 0 P T '1 O 2 2g A 1 3 P hay : T ' + 3 W − T ' = 0 (3) 2 2g A 1 vì T’1 = T1, T’2 = T2 và WB = WA Nên các đẳng thức (1), (2), (3) có thể viết như sau : P P − T − 1 W = 0 1 1 g A P T2 – f.P2cosα – WB – P2sinα = 0 (4) 2 P T ' + 3 W − T ' = 0 2 2g A 1 Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 65
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Từ (4) giải ra ta tìm được : P1 − P2 (sinα + f cosα) WA = WB = 2g 2P1 + 2P2 + P3 2P1P2 (1+ sinα + f cosα) T1 = 2P1 + 2P2 + P3 2P1P2 (1+ sinα + f cosα) − P3 []P1 − P2 (sinα + f cosα) T2 = 2P1 + 2P2 + P3 Để vật A rơi xuống phải thỏa mãn điều kiện : P1 > P2 ( sinα + fcosα) Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 66
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CHƯƠNG V NGUYÊN LÝ ĐALAMBE – LAGƠRĂNG §1. NGUYÊN LÝ ĐALAMBE – LAGƠRĂNG 1.1 Nguyên lý : Kết hợp hai nguyên lý : Di chuyển khả dĩ và nguyên ý Đalambe. Ta có thể phát biểu như sau : Tại mỗi thời điểm cơ hệ chịu liên kết hình học lý tưởng là tổng công của các lực chủ động và các phản lực quán tính trong mọi di chuyển khả dĩ bằng không. δA(ch) + δA(qt) = 0 (5.1) G (ch) G trong đó : δA(ch) = ∑ Fk δrk (k ) G (qt) G δA(qt) = ∑ Fk δrk (k ) G (qt) G với Fk = −mkWk 1.2 Phương trình tổng quát của động lực học : Từ nguyên lý trên ta rút ra phương trình tổng quát của động lực học dưới dạng : G (ch) G G - Véctơ : ∑(Fk − mkWk )δrk = 0 (5.2) (k ) - Tọa độ Đềcác : ∑(Fkx − mk xk )δxk + (Fky − mk yk )δyk + (Fkz − mk zk )δzk = 0 (5.3) (k ) 1.3 Ví dụ : Cho cơ cấu điều tiết ly tâm như hình 10. Trục máy quay đều với vận tốc góc ω và không cân bằng tương đối. Tìm liên hệ giữa vận tốc góc của trục máy với góc nghiêng α của thanh treo với phương thẳng đứng, khi không cân bằng tương đối trên mặt phẳng của nó. Cho biết độ cứng lò xo là C và khi α = 0 thì lò xo không biến dạng, trọng lượng của đối trọng là P1 = P và của mỗi quả văng là P2 = P3 = Q, chiều dài của mỗi thanh treo là l, bản lề nối các thanh vào trục quay và vào đối trọng đều cách trục qua là a. Bỏ qua khối lượng của các thanh, của lò xo, bỏ qua ma sát. Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 67
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Giải: Chọn cơ cấu làm hệ khảo sát : x Ta xét cơ cấu ở trạng thái cân bằng a G G tương đối trong mặt phẳng của nó. Khi đó F qt B α α A qt B FA hệ có một bậc tự do. Chọn q = α làm tạo độ G G F1 G suy rộng. Hệ chịu liên kết lý tưởng vì bỏ P3 P2 qua ma sát. Lực chủ động gồm : G G G G P1 , P2 , P3 , F . Theo phương trình tổng quát của động y Hình 10 lực học ta có : δA(ch) + δA(qt) = 0 Lực quán tính : qt P2 2 FA = (a + l sinα)ω g P F qt = 3 (a + l sinα)ω 2 B g Để tính toán ta dùng hệ trục tọa độ Đềcác XY : G G G ⎧X 1 = 0 ⎧X 2 = 0 ⎧X 3 = 0 P1 ⎨ , P2 ⎨ , P3 ⎨ ⎩Y1 = P ⎩Y2 = Q ⎩Y3 = Q G ⎧ X = 0 F1 ⎨ ⎩Y = F = 2Cl(1− cosα) ⎧ Q 2 G qt G qt ⎪X = (a + l sinα)ω FA = −FB ⎨ g ⎩⎪ Y = 0 qt qt qt PδYC + P2δYA + P3δYB + FAx δX A + FBx δX B + Fy δYC = 0 với XA = - XB = lsinα YA = YB = lcosα XC = 0 YC = 2lcosα Do đó : ⎡ 2Q 2 ⎤ ⎢− 2Pl sinα − 2Ql sinα + (a + l sinα)cosαω − 4Cl(1− cosα)sinα ⎥δα = 0 ⎣ g ⎦ Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 68
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC P + Q + 2Cl(1− cosα) Rút ra : ω 2 = g.tgα Q(a + l sinα) §2. PHƯƠNG TRÌNH LAGƠRĂNG LOẠI II 2.1 Trường hợp chung : Từ nguyên lý Đalambe-Lagơrăng ta có thể đưa phương trình tổng quát của động lực học đối với cơ hệ không tự do dưới dạng tọa độ Đềcác. Để mô tả nguyên lý này trong tọa độ suy rộng, ta thiết lập phương trình Lagơrăng loại II như sau : Cho cơ hệ liên kết lý tưởng hình học có n chất điểm có m bậc tự do, tương ứng G m tọa độ suy rộng q1, q2, ,qm dưới dạng tác dụng của hệ lực {Fk } từ (3.11) ta có : δA(ch) = ∑Qiδqi ,i = 1,m (i) Còn lực quán tính : G G δA(qt) = ∑− mkWkδrk (k ) G Thay δrk từ (3.7) : G G ⎡ ∂rk ⎤ qt δA(qt) = ∑∑⎢ − mkWk ⎥δqi = ∑Qi δqi ()i) ⎣ (k ∂qi ⎦ (i) G G qt ∂rk Với : Q i = ∑ − m k W k (5.4) ( k ) ∂q i qt Qi gọi là lực quán tính suy rộng. Theo nguyên tắc Đalambe-Lagơrăng ta có : qt ∑(Qi + Qi )δqi = 0 (i) qt Suy ra : Qi + Qi = 0, i = 1,2, ,m (5.5) Phương trình (5.5) là phương trình tổng quát của động lực học viết dưới dạng tọa độ suy rộng. Trong đó lực suy rộng quán tính chưa tính được. Ta cần biến đổi nó qua động năng của hệ. Từ giải tích véctơ ta có : G G G G G G ∂rk d ∂rk d ∂rk mkW = mk (Vk ) − mkVk . ( ) (5.6) ∂qi dt ∂qi dt ∂qi Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 69
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G G ∂r d ∂r Trong (5.6) cần xác định k và ( k ) ∂qi dt ∂qi G ∂r - Tính k : ∂qi G G Từ rk = rk (q1 ) suy ra : G G G ∂rk rk = Vk = ∑ qi (5.7) (i) ∂qi Lấy đạo hàm hai vế (5.7) theo qi ta nhận được : G G ∂r ∂V k = k (5.8) ∂qi ∂qi G d ∂r - Tính ( k ) : dt ∂qi Từ (5.7) ta lấy đạo hàm theo qi ta có : G 2 G ∂Vk ∂ rk = ∑ q j (5.9) ∂qi ( j) ∂qi ∂q j G G d ⎛ ∂r ⎞ ∂ 2 r ⎜ k ⎟ k Mặt khác : ⎜ ⎟ = ∑ q j (5.10) dt ⎝ ∂qi ⎠ ( j) ∂qi ∂q j So sánh (5.9) và (5.10) suy ra : G G d ∂r ∂V ( k ) = k (5.11) dt ∂qi ∂qi Thế (5.8) và (5.11) vào (5.6), từ (5.4) suy ra : G G G G 2 2 qt d ∂rk d ∂rk d ∂ mkVk ∂ mkVk Qi = −∑ mk (Vk ) − ∑mkVk . ( ) + ∑+ ∑ (k ) dt ∂qi ()kk) dt ∂qi dt ∂qi ( 2 ∂qi (k ) 2 m V 2 vì ∑ k k = T là động năng của hệ, do đó : (k ) 2 qt ∂T d ∂T Qi = − ( ) ∂qi dt ∂qi Thế (5.12) và (5.5) ta nhận được phương trình Lagơrăng loại II: d ∂T ∂T ( ) − = Qi ,i = 1,2, , m (5.13) dt ∂qi ∂qi Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 70
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 2.2. Trường hợp các lực có thế : Ví các lực có thế nên ta có thể tính lực suy rộng qua thế năng π = π(qi) theo (3.14) : ∂π ∂π Qi = − vì = 0 ∂qi ∂qi Nên phương trình (5.13) có thể viết : d ∂T ∂π ∂T ∂π ( + ) − + = 0,i = 1 m dt ∂qi ∂qi ∂qi ∂qi Ta đưa hàm Lagơrăng : L = T – π. Khi đó phương trình Lagơrăng loại II trong trường hợp các lực có thế có dạng sau : d ∂L ∂L ( ) − = 0,i = 1 m (5.4) dt ∂qi ∂qi Các phương trình Lagơrăng cho ta một phương pháp nhất quán và khá đơn giản để giải các bài toán động lực học, ưu điểm chính là nó không phụ thuộc vào số lượng các vật trong hệ, nó chỉ phụ thuộc vào số lượng các vật trong hệ, nó chỉ phụ thuộc vào số bậc tự do của hệ. Ngoài ra nếu các liên kết lý tưởng thì nó có các lực suy rộng chủ động tham gia trong các phương trình, cho nên các phương trình này cho phép loại bỏ trước tất cả các phản lực liên kết chưa biết. 2.3 Ví dụ : Ví dụ : Cho cơ cấu gồm bánh xe cố định I, bán kính R1, bánh xe chủ động II, bán kính D R2, trọng lượng P. Tay quay OA trọng lượng A R2 Q, chịu tác dụng một ngẫu lực với mômen R1 φ II không đổi M. O G Hãy xác định gia tốc góc tay quay OA, G P Q cho biết cơ cấu đặt trong mặt phẳng thẳng I đứng. Bánh xe II lăn không trượt trên bánh xe I. Bỏ qua ma sát, các bánh xe là đĩa đồng chất, thanh OA là thanh đồng chất. (Hình 11). Hình 11 Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 71
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Giải : Cơ cấu có 1 bậc tự do. Chọn q = φ là tọa độ suy rộng, khi đó phương trình Lagơrăng : - Tính động năng của hệ : T = TOA + TbxII 1 1 P 1 T = J ϕ 2 = V 2 + J ω 2 OA 2 O 6 g A 2 A II G Ta tính VA và ωII theo φ : Vì bánh xe chuyển động song phẳng nên D là tâm vận tốc tức thời : VA ωII = mà VA = OAϕ DA OA = R1 – R2, AD = R2 nên : 1 P 1 P (R − R ) 2 ϕ 2 3 P 2 2 2 1 2 2 2 TbxII = (R1 − R2 ) ϕ + R2 . 2 = (R1 − R2 ) ϕ 2 g 4 g R2 4 g Vậy động năng của hệ : 2Q + 9P T = (R − R ) 2 ϕ 2 bxII 12g 1 2 Tính lực suy rộng Qφ : Các lực sinh công M, P, Q cho cơ hệ thực hiện di chuyển khả dĩ δφ : Q(R − R ) 1 δA = Mδϕ − 1 2 cosϕδϕ − P(R − R )cosϕδϕ + {}2M − (Q + 2P)(R − R )cosϕδϕ 2 1 2 2 1 2 1 Suy ra : Q = {}2M − (Q + 2P)(R − R ) cosϕ ϕ 2 1 2 ∂T ∂T - Tính và ∂ϕ ∂ϕ ∂T ∂T 2Q + 9P = 0 ; = (R − R ) 2 ϕ ∂ϕ ∂ϕ 6g 1 2 d ∂T 2Q + 9P ( ) = (R − R ) 2 ϕ dt ∂ϕ 6g 1 2 Thế vào phương trình Lagơrăng loại II ta nhận được : 2Q + 9P 1 (R − R ) 2 ϕ = {}2M − (Q + 2P)(R − R )cosϕ 6g 1 2 2 1 2 Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 72
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 2M − (Q + 2P)(R − R )cosϕ [ 1 2 ] Vậy : ε = ϕ = 2 (2Q + 9P)(R1 − R2 ) Từ đây ta nhận thấy : 1 ε > 0 tức là M > (Q + 2P)(R − R )cosϕ quay nhanh dần. 2 1 2 1 ε = 0 tức là M = (Q + 2P)(R − R )cosϕ quay đều. 2 1 2 1 ε < 0 tức là M < (Q + 2P)(R − R )cosϕ quay chậm dần. 2 1 2 Ví dụ 2: Một trụ đồng chất có khối lượng m, chuyển động lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng của một O C G V lăng trụ tam giác A, có khối lượng M, C D góc nghiêng là α. Lăng trụ có thể x G P trượt trên mặt phẳng ngang, nhẵn. α O1 G Tìm gia tốc khối tâm A của trụ đối Q với lăng trụ và gia tốc của lăng trụ. Hình 12 Bỏ qua ma sát (Hình 12). Giải : Hệ khảo sát hình trụ tròn C, lăng trụ tam giác A. Hệ có hai bậc tự do, chọn q1 = x, q2 = s. G G Vì lúc lực tác dụng lên hệ là lực thế : P,Q nên ta dùng phương trình Lagơrăng loại II dạng : d ∂L ∂L ( ) − = 0 (1) dt ∂x ∂x d ∂L ∂L ( ) − = 0 (2) dt ∂s ∂s - Tính thế năng π của hệ : π = - mgYC +const, trong đo YC = s.sinα. nên : π = -mgs.sinα + const. - Tính động năng T của hệ : T = TA + TC. 1 trong đó : T = MX 2 A 2 vì trục C chuyển động song phẳng nên : Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 73
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 1 2 1 2 T = mV + J ω tru C 2 C 2 C G G G VC = Vr +Ve ⇒ VCx = x + scosα,VCy = −ssinα V s 1 ω = r = ; J = mR 2 tru R R C 2 1 1 Do đó : T = m[](X + scosα) 2 + s 2 sin 2 α + ms 2 C 2 4 Vậy động năng của hệ là : 1 1 1 T = (M + m)x 2 + m[2xscosα + s 2 ]+ ms 2 2 2 4 Hàm Lagơrăng L = T- π của hệ là : 1 3 L = (M + m)x 2 + ms 2 + mxscosα − ms sinα + const 2 4 ∂L ∂L ∂L ∂L Ta tính : ; ; ; ∂x ∂x ∂s ∂s ∂L = (M + m)x + mscosα ∂x d ∂L = (M + m)x+ mscosα dt ∂x ∂L ∂L = 0; = −mg sinα ∂x ∂s ∂L 3ms = + mx cosα ∂s 2 d ∂L 3m ( ) = s+ mxcosα dt ∂s 2 Thay các biểu thức này vào phương trình (1) và (2) ta nhận được : (M + m)x+ mscosα = 0 (3) 3m s+ mxcosα + mg sinα = 0 (4) 2 Từ (3) và (4) dễ dàng tìm được : mg sin 2α x = 3(M + m) − 2mcos2 α 2(M + m)g sinα s = 3(M + m) − 2mcos 2 α Vậy hệ chuyển động biến đổi đều. Nếu ban đầu hệ đứng yên thì khối trụ lăn xuống, còn lăng trụ sẽ trượt qua trái. Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 74
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM LÝ THUYẾT VA CHẠM Mọi quá trình chuyển động của vật thể không phải bao giờ cũng diễn ra một cách đều đặn, mà có thể xảy ra sự biến đổi đột ngột. Vì vậy, khi nghiên cứu ta cần chú ý đến các đặc điểm, các hiện tượng đặc biệt của chuyển động. Ở chương này ta sẽ nghiên cứu một loại chuyển động đặc biệt đó là sự vật chạm. Va chạm là một bài toán ta thường gặp trong thực tế và kỹ thuật. Trước khi nghiên cứu hiện tượng này ta cần nắm vững các đặc điểm và các giả thuyết sau đây : §1. CÁC ĐẶC ĐIỂM VÀ GIẢ THUYẾT VỀ VA CHẠM 1. Va chạm : Là quá trình động lực trong đó vận tốc chuyển động cảu cơ hệ thay đổi đột ngột trong khoảng thời gian vô cùng bé. Thời gian va chạm của hai vật thường xảy ra khoảng từ 10-2 đến 10-4 giây. Ví dụ về va chạm như khi búa đóng đinh, đóng cọc, quả bóng đá vào tường lại bật ra ngay. 2. Các giai đoạn va chạm : Quan sát hiện tượng, ta thấy các vật khi va chạm bị biến dạng ở vùng chúng tiếp xúc nhau, sau đó hình dạng có thể lại được phục hồi. Mức độ biến dạng và hồi phục của các vật va chạm phụ thuộc vào tính đàn hồi của các vật đó. Từ đó ta nhận thấy quá trình va chạm có thể chia hai giai đoạn : Biến dạng và phục hồi. Giai đoạn biến dạng xảy ra từ lúc hai vật bắt đầu tiếp xúc nhau đến lúc dừng biến dạng. Giai đoạn phụ hồi từ lúc dừng biến dạng đến lúc kết thúc va chạm. Trong giai đoạn này các vật va chạm nhau dần dần trở lại hình dạng cũ đến mức độ nào đó. Căn cứ vào mức độ phục hồi lại hình dạng cũ của các vật va chạm, người ta phân biệt các loại va chạm như sau : - Nếu va chạm không có giai đoạn phục hồi được gọi là va chạm mềm hay va chạm không đàn hồi. Đặc điểm cơ bản của loại va chạm này là khi kết thúc quá trình va chạm, những phần tử của hai vật va nhau có cùng vận tốc pháp ở vùng tiếp xúc. - Nếu va chạm có giai đoạn phục hồi thì gọi là va chạm đàn hồi. Hình dáng cũ của các vật va chạm được phục hồi hoàn toàn gọi là va chạm hoàn toàn đàn hồi. Đặc điểm va chạm đàn hồi là kết thúc va chạm vận tốc pháp truyền các phần tử của hai vật ở vùng tiếp xúc khác nhau. Trang 1
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM Để đánh giá sự phục hồi của vật va chạm người ta đưa vào hệ số phục hồi là : S k = 2 (7-1) S1 G τ1 G S = Ndt Trong đó 1 ∫ là xung lượng va chạm trong giai đoạn biến dạng, còn 0 G τ 2 G S = Ndt 2 ∫ là xung lượng va chạm trong giai đoạn phục hồi. τ1 Rõ ràng k=0 là va chạm mềm khi k=1 là va chạm hoàn toàn đàn hồi, còn 0<k<1 là va chạm đàn hồi. Hệ số k phụ thuộc tính chất đàn hồi của các vật va chạm và được xác định bằng thực nghiệm. 3. Bỏ qua di chuyển của hệ trong va chạm : Va chạm xảy ra rất nhanh, nên khi va chạm ta xem như các vật không di chuyển. Thật vậy, quãng đường di chuyển của chất điểm trong khoảng thời gian va chạm là : τ s = v.dt ≤ V .τ ∫ max 0 Vmax là đại lượng giới nội và khoảng thời gian τ rất bé, nên s cũng rất bé ta có thể bỏ qua được. 4. Lực va chạm và xung lực va chạm : Trong va chạm, ngoài những lực thường tác dụng lên cơ hệ như trọng lực, lực cản, v v . các chất N N(t) điểm của cơ hệ còn chịu thêm những phản lực liên kết ở vùng tiếp xúc xuất hiện từ lúc bắt đầu va chạm và N* mất đi ngay khi hết va chạm. Những phản lực đó gọi G là những lực va chạm. Ta ký hiệu lực va chạm là N O t lực va chạm biến đổi trong khoảng thời gian va chạm Hình 7-1 và có lúc đạt đến giá trị rất lớn, nên nó biểu diễn là G G hàm thời gian N = N (t). Vì vậy, người ta thường đánh giá tác dụng lực va chạm trong G khoảng thời gian va chạm τ bằng xung lượng va chạm S . Trang 2
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM G τ G G S = ∫ N.dt = N *.τ 0 G trong đó N * là lực va chạm trung bình. Áp dụng định lý động lượng cho chất điểm thuộc hệ trong thời gian va chạm ta có : G τ G τ G m∆v = ∫ Fdt + ∫ Ndt 0 0 G trong đó F là hợp lực các lực thường tác dụng lên chất điểm ấy. Rõ ràng, ta có : τ G Fdt ≤ F .τ ∫ max 0 Thực tế Fmax không lớn lắm mà τ lại rất bé nên xung lượng lực thường cũng rất bé so với xung lượng va chạm. Do đó trong quá trình va chạm ta bỏ qua xung lượng của lực thường. Phương trình trên có dạng : G τ G G m∆v = ∫ Ndt = S (7-2) 0 Đây là phương trình cơ bản của hiện tượng va chạm. Ví dụ : Một búa tạ có khối lượng m = 5kg, vận tốc của búa lúc bặt đầu đập lên vật rèn là v= 5m/s. Thời gian vật đập lên vật rèn là τ = 10-2 giây. tính lực vật đập trung bình cảu búa lên vật rèn. Bài giải: Theo phương trình (7-2) ta có : 5.5 = S = N*. 10-2 25 ta suy ra : N* = = 2500 N 10 −2 Lực này bằng áp lực tĩnh của một vật có khối lượng m = 2500/10 = 250 không gian đè lên. Vì vậy, mà người ta gọi búa ấy là búa tạ, mặc dầu khối lượng chỉ có 250kg. Trang 3