›
›

Giáo trình Cơ học lý thuyết-Phần tĩnh học

pdf 61 trang huongle 2270
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học lý thuyết-Phần tĩnh học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_phan_tinh_hoc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học lý thuyết-Phần tĩnh học

  1. ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT ĐÀ NẴNG 2005
  2. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN - HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học vật rắn là phần cơ học chuyên nghiên cứu sự cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các lực. Trong phần tĩnh học sẽ giải quyết hai bài toán cơ bản : 1- Thu gọn hệ thực về dạng đơn giản. 2- Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực. Để giải quyết các bài toán trên, ta cần nắm vững các khái niệm sau đây : §1 . CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Vật rắn tuyệt đối : Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của vật luôn luôn không đổi (hay nói cách khác dạng hình học của vật được giữ nguyên) dưới tác dụng của các vật khác. Trong thực tế các vật rắn khi tương tác với các vật thể khác đều có biến dạng. Nhưng biến dạng đó rất bé, nên ta có thể bỏ qua được khi nghiên cứu điều kiện cân bằng của chúng. Ví dụ : Khi dưới tác dụng của trọng lực P dầm AB phải võng xuống, thanh CD phải giãn ra. (hình 1) C A B D G G P P a) Hình 1 b) Nhưng do độ võng của dầm và độ dãn của thanh rất bé, ta có thể bỏ qua. Khi giải bài toán tĩnh học ta coi như dầm không võng và thanh không dãn mà kết quả vẫn đảm bảo chính xác và bài toán đơn giản hơn. Trong trường hợp ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối mà bài toán không giải được, lúc đó ta cần phải kể đến biến dạng của vật. Bài toán này sẽ được nghiên cứu trong giáo trình sức bền vật liệu. Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 1
  3. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Để đơn giản, từ nay về sau trong giáo trình này chúng ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối. Đó là đối tượng để chúng ta nghiên cứu trong giáo trình này. 1.2 Lực : Trong đời sống hằng ngày, ta có khái niệm về lực như khi ta xách một vật nặng hay một đầu máy kéo các toa tàu. Từ đó ta đi đến định nghĩa lực như sau : Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ cơ học của vật này đối với vật khác mà kết quả làm thay đổi chuyển động hoặc biến dạng của các vật. Qua thực nghiệm, tác dụng lực lên vật được xác định bởi ba yếu tố : 1. Điểm đặt lực 2. Phương, chiều của lực 3. Cường độ hay trị số của lực. Đơn vị đo cường độ của lực trong hệ SI là Newton (kí hiệu N) Vì vậy, người ta biểu diễn lực bằng véctơ. G Ví dụ: Lực F biểu diễn bằng véctơ AB (hình 2). Phương chiều của véctơ AB biểu diễn phương G G B chiều của lực F , độ dài của véctơ AB theo tỉ lệ đã chọn F biểu diễn trị số của lực, gốc véctơ biểu diễn điểm đặt A của lực, giá của véctơ biểu diễn phương tác dụng của lực. Hình 2 1.3 Trạng thái cân bằng của vật : Một vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật đó nằm yên hay chuyển động đều đối với vật khác “làm mốc”. Để thuận tiện cho việc nghiên cứu người ta gắn lên vật chuẩn “làm mốc” một hệ trục toạ độ nào đó mà cùng với nó tạo thành hệ quy chiếu. Ví dụ như hệ trục toạ độ Đề-cát Oxyz chẳng hạn. Trong tĩnh học, ta xem vật cân bằng là vật nằm yên so với trái đất. 1.4 Một số định nghĩa : 1. Hệ lực : Hệ lực là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên vật rắn. Một hệ lực G G G G được kí hiệu ( F1, F2 , F3 , ,Fn ). 2. Hệ lực tương đương : Hai hệ lực tương đương nhau, nếu như từng hệ lực một lần lượt tác dụng lên cùng một vật rắn có cùng trạng thái cơ học như nhau. Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 2
  4. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Ta biểu diễn hai hệ lực tương đương như sau : G G G G G G G G ( F1, F2 , F3 , ,Fn ) ~ ( P1 , P2 , P3 , , Pm ) trong đó: dấu ~ là dấu tương đương. Nếu hai hệ lực tương đương ta có thể hoàn toàn thay thế cho nhau được. 3. Hệ lực cân bằng : Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó, vật rắn tự do có thể ở trạng thái cân bằng. 4. Hợp lực : Hợp lực là một lực tương đương với hệ lực. G G G G G Ví dụ : Lực R là hợp lực của hệ lực ( F1, F2 , F3 , ,Fn ), ta kí hiệu G G G G G R ~ ( F1, F2 , F3 , ,Fn ) §2. HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Trên cơ sở thực nghiệm và nhận xét thực tế, người ta đã đi đến phát biểu thành mệnh đề có tính chất hiển nhiên không cần chứng minh làm cơ sở cho môn học gọi là tiên đề này. 2.1 Tiên đề 1: (Hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một G F1 vật rắn cân bằng là chúng có cùng phương tác dụng, G F2 B ngược chiều nhau và cùng trị số. A Trên hình 3, vật rắn chịu tác dụng bởi hai lực G G F1 và F2 cân bằng nhau. Hình 3 Ta kí hiệu : G G ( F1 , F2 ) ~ 0. Đó là điều kiện cân bằng đơn giản cho một hệ lực có 2 lực. 2.2 Tiên đề 2 : (Thêm hoặc bớt một hệ lực cân bằng) Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng nhau. Theo tiên đề này, hai hệ lực chỉ khác nhau một hệ lực cân bằng thì chúng hoàn toàn tương đương nhau. Từ hai tiên đề trên, ta có hệ quả : Hệ quả trượt lực : Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta dời điểm đặt của lực trên phương tác dụng của nó. Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 3
  5. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G Chứng minh : Giả sử ta có lực F tác dụng lên vật rắn đặt tại điểm A (hình 4). Trên G G G phương tác dụng của lực F ta lấy một điểm B và đặt vào đó hai lực F1 và F2 cân bằng nhau, có véctơ như trên hình vẽ và trị số bằng F. G G G G Theo tiên đề 2 thì : F ~ ( F , F1 , F2 ) G G G Nhưng theo tiên đề 1 thì : ( F1 , F2 ) ~ 0, do đó ta F G có thể bỏ đi. Như vậy, ta có : F1 G G G G G G F B F ~ ( F , F1 , F2 ) ~ F1 2 A G Điều đó chứng tỏ lực F đã trượt từ A đến B mà tác dụng của lực không đổi. Hệ quả đã được chứng Hình 4 minh Chú ý : Hai tiên đề trên và hệ quả chỉ đúng cho vật rắn tuyệt đối. Còn đối với vật rắn biến dạng các tiên đề 1, 2 và hệ quả trượt lực không còn đúng nữa. G Ví dụ : Trên hình 5, thanh mềm AB chịu hai lực F , G G 1 F A B F G 1 2 F2 tác dụng sẽ không cân bằng vì do thanh biến dạng, G G F A B F còn khi trượt lực thì thanh từ trạng thái bị kéo sang bị 2 1 Hình 5 nén. 2.3 Tiên đề 3 : (Hợp hai lực) Hai lực tác dụng lên vật rắn đặt tại cùng một điểm có hợp lực đặt tại điểm đó xác định bằng đường chéo của hình bình hành mà các cạnh chính là các lực đó (hình 6). Tiên đề 3 khẳng định hai lực có cùng điểm đặt thì có hợp G lực R . A B G G Về phương diện véctơ ta có : F1 F G G G G C R = F1 + F2 O F2 G G G nghĩa là véctơ R bằng tổng hình học của các véctơ F1 , F2 . Hình 6 Tứ giác OACB gọi là hình bình hành lực. Về trị số : 2 2 R = F 1 + F 2 + 2F1F2 cosα G G (trong đó α là góc hợp bởi hai véctơ F1 , F2 ) Tiên đề trên, áp dụng cho hệ lực động quy tại O, ta có các định lý sau. Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 4
  6. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Định lý I : Một hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn có hợp lực đặt tại điểm đồng quy và véctơ hợp lực bằng tổng hình học véctơ các lực thành phần. G G G G Chứng minh : Giả sử ta có một hệ lực ( F1, F2 , F3 , ,Fn ) tác dụng lên vật rắn đặt tại cùng điểm O (hình 7). G G F2 G G G G F3 Fn Áp dụng tiên đề 3, ta hợp F , F được lực : F1 G 1 2 R G G G R1 = F1 + F2 G G bằng cách vẽ véctơ AB = F2 nối OB được lực R1 . Bây giờ Hình 7 G G ta hợp R1 và F3 ta được G G G G G G R2 = R1 + F3 = F1 + F2 + F3 G G bằng cách vẽ véctơ BC = F3 , nối OC được R2 . Tiến hành tương tự như vậy đến lực G G Fn , ta được hợp lực R của hệ lực : G G G G G R2 = F1 + F2 + F3 + + Fn G n G hay : R = ∑ Fk k =1 Định lý II : Nếu ba lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng cùng nằm trong mặt phẳng và không song song nhau thì ba lực phải đồng qui. Chứng minh : G Giả sử, một vật rắn chịu tác dụng của ba lực F1 , G G G G G G R F2 , F3 cân bằng. Theo giả thuyết hai lực F1 , F2 cùng nằm F G 1 F G trong mặt phẳng và không song song nên phương tác dụng 3 F2 của chúng giao nhau tại một điểm O chẳng hạn. Ta sẽ G chứng minh F3 cũng qua O. Hình 8 G G G Thật vây, theo tiên đề 3 hai lực F1 , F2 có hợp lực R đặt tại O : G G G R = F1 + F2 G G G G G vì (F1 , F2 , F3 ) ~ 0 nên ( R , F3 ) ~ 0. Theo tiên đề 1, hai lực cân bằng nhau thì chúng có cùng phương tác dụng. Vậy đường G tác dụng của lực F3 phải qua O (hình 8). Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 5
  7. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 2.4 Tiên đề 4 : ( Tiên đề tác dụng và phản tác dụng) Ứng với mỗi lực tác dụng của vật này lên vật khác, G bao giờ cũng có phản lực tác dụng cùng trị số, cùng F 3 A phương tác dụng, nhưng ngược chiều nhau. G G F Giả sử một vật B tác dụng lên vật A một lực F thì 1 G G B ngược lại vật A tác dụng lên vật B lực F = - F . Hai lực Hình 9 này có trị số bằng nhau, ngược chiều nhau, nhưng không cân bằng vì chúng đặt lên hai vật khác nhau ( hình 9 ). 2.5 Tiên đề 5 : (Nguyên lý hoá rắn) Nếu dưới tác dụng của hệ lực nào đó một vật biến dạng. Nhờ tiên đề này khi một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực đã cho, ta có thể xem vật đó như vật rắn để khảo sát điều kiện cân bằng. 2.6 Tiên đề 6 : (Tiên đề giải phóng liên kết) Một vật rắn từ vị trí này đến vị trí đang xét có thể thực hiện di chuyển về mọi phía gọi là vật tự do. Ví dụ một quả bóng đang bay. Nhưng thực tế, phần lớn các vật khảo sát đều ở trạng thái không tự do nghĩa là một số di chuyển của vật bị vật khác cản lại. Những vật như vậy gọi là vật không tự do hay vật chịu liên kết. Tất cả những đối tượng ngăn cản di chuyển của vật khảo sát gọi là các liên G kết. N Ví dụ : Hộp phấn để trên mặt bàn, mặt bàn ngăn cản hộp phấn di chuyển xuống phía dưới. (Hình 10) G Hộp phấn là vật chịu liên kết còn mặt bàn là vật P gây liên kết. Theo tiên đề 4 thì vật chịu liên kết tác dụng lên vật gây liên kết một lực, ngược lại vật gây liên kết tác dụng Hình 10 lên vật chịu liên kết một lực. Chính lực này ngăn cản chuyển động của vật, ta gọi phản K lực liên kết. Ví dụ trên hình 10, lực N là phản lực liên kết của mặt bàn tác dụng lên hộp phấn nhằm ngăn cản hộp phấn di chuyển xuống phía dưới. Ta nhận thấy, phản lực liên kết là lực thụ động, sẽ có chiều ngược với chiều mà vật khảo sát muốn di chuyển bị liên kết ngăn cản lại. Theo một phương nào đó, không bị liên kết ngăn cản thì theo phương đó thành phần phản lực liên kết bằng không. Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 6
  8. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 2. Một số liên kết thường gặp : a) Liên kết tựa : G G G N N N a) b) c) Hình 11 Vật tựa trên mặt nhẵn (hình 11a) hay giá tựa con lăn (hình 11b) theo phương K pháp tuyến mặt trụ, vật khảo sát bị cản trở bởi phản lực N theo hướng đó. Còn G thanh tựa lên điểm nhọn C (hình 11c) thì phản lực N sẽ vuông góc với thanh. b) Liên kết bản lề : - Bản lề trụ : (Hình 12) G G R RA Hình 12 Hình 13 Vật di chuyển theo phương nào vuông góc với trục bản lề đều bị ngăn cản, nên G phản lực R A có phương vuông góc với trục bản lề. G - Bản lề cầu : (Hình 13)Phản lực R có phương bất kỳ và qua tâm O của bản lề vì chuyển động của vật theo hướng nào cũng bị ngăn cản. c) Liên kết dây mềm : Theo hướng dây kéo căng thì vật bị cản trở, nên G G G phản lực của dây là T1 , T2 hướng dọc dây ra phía T1 G ngoài vật. (Hình 14) T2 Hình 14 Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 7
  9. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC d) Liên kết thanh : Dầm AB chịu liên kết thanh CD với bản lề C và D. Trên thanh CD không có lực tác D dụng và bỏ qua trọng lượng thanh thì phản G G G lực R của thanh hướng dọc thanh (hình 15). RC P Để chứng minh điều này, ta tách thanh CD ra khảo sát và áp dụng tiên đề một thì A Hình 15 B G phản lực RC phải qua bản lề D. Đối với thanh cong ta cũng chứng minh như vậy. Trong tĩnh học, bài toán xác định phản lực là bài toán quan trọng. Phương chiều, trị số phản lực được xác định cụ thể tuỳ theo từng bài toán nhờ có tiên đề giải phóng liên kết sau. 3. Tiên đề 6 : Một vật chịu liên kết cân bằng có thể xem như một vật tự do cân bằng, nếu tưởng tượng bỏ các liên kết và thay vào đó các phản lực liên kết tương ứng của chúng. §3. LÝ THUYẾT VỀ MÔMEN LỰC 3.1 Mômen của lực đối với một điểm : G Thực tế cho ta thấy có một điểm cố định O, chịu tác dụng lực F thì vật sẽ quay G quanh điểm đó . Tác dụng của lực F sẽlàm vật quay được xác định bởi ba yếu tố : G - Phương mặt phẳng chứa lực F và điểm O - Chiều quay của vật quanh trục đi qua O và vuông góc với mặt phẳng này. G G - Tích số, trị số lực F và chiều dài cánh tay đòn d của lực F đối với điểm O (d G là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm O đến đường tác dụng của lực F ). Từ đó ta suy ra định nghĩa sau : G 1. Định nghĩa : Mômen lực F đối với điểm O là một véctơ đặt tại điểm O có G phương vuông góc với mặt phẳng chứa lực F và điểm O, có chiều sao ta nhìn từ G mút đến thấy lực F hướng quanh O ngược chiều kim đồng hồ, có độ dài bằng tích G G trị số lực F với cánh tay đòn của lực F đối với điểm O (hình 16). Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 8
  10. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 2. Biểu thức véctơ mômen của lực : Từ định nghĩa trên, ta có trị số z mômen của lực đối với điểm O là : G G M (F) G G O B M O (F) = F.d = 2dt∆OAB G F (Trong đó F.d bằng hai lần A y diện tích tam giác OAB, chỉ O d tính trị số mà không kể đơn vị). G x Nếu ta gọi véctơ r = OA là Hình 16 G G G véc tơ bán kính điểm đặt A của lực F cà xác định véctơ r ∧ F rồi so sánh với G véctơ mômen lực F đói với điểm O là G G G G M O (F) = r ∧ F (1.4) Véctơ mômen của lực đối với một điểm bằng tích véctơ giữa véctơ bán kính điểm đặt của lực với lực đó. G Chọn hệ trục Oxyz, ta gọi các hình chiếu lực F là X, Y, Z và hình chiếu của véctơ G r là x, y, z (x, y, z cũng là toạ độ điểm A). Do đó ta có : G G G i j k G G G G M O (F) = r ∧ F = x y z X Y Z G G G Trong đó i , j , k là véctơ đơn vị trên các trục toạ độ x, y, z. G Từ đó, ta suy ra hình chiếu véctơ mômen của lực F là : G G M Ox (F) = yZ − Zy G G M (F) = zX − xZ Oy (1.5) G G M Oz (F) = xY − yX G G Nếu biết các hình chiếu này, véctơ mômen M O (F) hoàn toàn xác định. Trong trường hợp các lực tác dụng lên vật cùng trong một mặt phẳng, ta coi mặt phẳng G G chứa lực F và điểm O đã được xác định. Vì vậy mômen lực F đối với điểm O Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 9
  11. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G trong mặt phẳng ấy là lượng đại số bằng cộng hoặc trừ tích số trị số lực F với G chiều dài cánh tay đòn lực F đối với điểm O. Ta kí hiệu : G G M O (F) = ±F.d (1.6) G Lấy dấu cộng khi lực F hướng quanh O ngược chiều kim đồng hồ và dấu trừ trong trường hợp ngược lại (Hình 17 a,b) G B A G F F A B a) d O O d b G G M O (F) = +F.d M O (F) = +F.d Hình 17 Đơn vị tính là : N/m - Mômen của lực đối với một điểm không thay đổi khi ta trượt lực trên phương tác dụng của nó. - Mômen của lực đối với điểm O bằng không khi phương tác dụng của lực qua G O. Lúc này, tác dụng của lực F không làm vật quay, chỉ gây ra phản lực tại điểm O. 3.2 Mômen của lực đối với trục : Mômen của lực đối với một trục đặt z G trưng tác dụng quay k khi F G lực tác dụng lên vật làm F G h 1 F G 2 vật quay quanh trục đó. F O A (hình 18) π Thật vậy, giả sử G có lực F tác dụng lên vật có thể quay quanh trục z, Hình 18 Hình 19 ta phân lực này ra hai G G thành phần là F1 vuông góc với z, F1 song song với trục z theo quy tắc hình Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 10
  12. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G bình hành. Ta nhận thấy chỉ có thành phần F1 gây ra tác dụng quay quanh trục z. Vì vậy, ta có định nghĩa sau : G G 1. Định nghĩa : Mômen lực F đối với trục z là lượng đại số bằng mômen của F1 nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục z lấy đối với giao điểm của trục và mặt phẳng ấy. (hình 19) G Ta kí hiệu mômen lực F đối với trục z là G G G G M z (F) = M O (F) = ±F1.h G Ta lấy dấu cộng, nếu nhìn từ chiều dương của trục z xuống mặt phẳng (π) thấy lực F hướng quanh trục z ngược chiều kim đồng hồ, lấy dấu trừ với chiều ngược lại. 2. Trường hợp đặc biệt : G Nếu lực F song song với trục z G B F G G z z thì F = 0 hay lực F cắt trục z thì G 1 F A G h = 0 (hình 20) và lúc đó : F G G O 1 a O b M z (F) = 0 Trong trường hợp này, ta thấy lực Hình 20 G F và trục z ở trong cùng mặt phẳng. Như vậy, mômen của lực đối với trục bằng 0 khi lực và trục cùng trong một mặt phẳng. 3.3 Định lý liên hệ mômen lực đối với một điểm và mômen lực đối với trục : G Giả sử cho một lực F , một trục z và điểm O nằm trên trục z (hình 21). Ta lấy G mômen của lực F đối với trục z và điểm O giữa hai đại lượng đó có sự liên hệ nhau bởi định lý sau : Định lý : Mômen lực đối với một trục bằng hình chiếu lên trục đó của véctơ mômen lực lấy đối với điểm bất kỳ nằm trên trục ấy, nghĩa là : G G G G M z (F) = HCz [M O (F)] (1.8) ( hình chiếu lên trục z viết tắt là HCz ) Chứng minh : Trên hình 21 ta thấy : G G M z (F) = F1h = 2dt∆Oab Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 11
  13. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Ta cần chứng minh hình chiếu véctơ z B G G G mômen M (F) lên trục z cũng có O G G F M (F) giá trị đó. Thật vậy, ta gọi γ là góc O d G G γ h b giữa trục và véctơ M (F) , thì: G A O F G G 1 HC M (F) O Oa z [ O ]= π M O .cosγ = F.d cosγ = 2dt∆OAB.cosγ Hình 21 Nhưng góc γ cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng tam giác OAB và tam giác Oab (vì G G trục z và véctơ M O (F) tương ứng vuông góc với các mặt phẳng đó). Vì vậy, theo định lý hình chiếu diện tích thì : dt∆OAB.cosγ = dt∆Oab cho nên : G G G G M z ( F ) = HC z [M O ( F ) ] Định lý đã được chứng minh. Từ định lý trên, ta có thể biểu diễn mômen lực đối với một trục bằng giải tích : G G G G M x (F) = HCx [M O (F)]= yZ − Zy G G G G M y (F) = HC y [M O (F)]= zX − xZ (1.9) G G G G M z (F) = HCz [M O (F)]= xY − yX Nhờ định lý này ta có thể chuyển việc tìm mômen của lực đối với một điểm về tính mômen của lực đối với một trục. Sau đây ta làm một ví dụ : G F Ví dụ 1: Cho một thanh L chịu lực tác 1 H G G dụng bởi lực F1 và F2 như hình 22. h1 0 h2 G Biết OA= 4m, OC = 6m, α = 30 , F1 = F2 20 N, F = 16 N. Tìm mômen các lực α 2 O C đối với điểm O. Hình 22 B Giải : Ta tìm tay đòn của các lực là : h1 = OA = 4m. Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 12
  14. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC h2 = Ocsinα = 6xl/2 = 3m. Ta tính : G mO (F1 ) = −F1h1 = −20.4 = 80Nm G mO (F2 ) = −F2h2 = +16.3 = +48Nm G Ví dụ 2 : Tìm mômen lực F tác dụng lên tấm z chữ nhật ABCD có cạnh a, b, đối với trục toạ độ x, y, z (Hình 23) Giải : G A a B Để tìm mômen lực F đối với trục x ta chiếu G G G F y G F1 F'1 b lên mặt phẳng vuông góc với trục x. Vì lực F G D F α C nằm trong mặt phẳng này, nên cũng bằng chính x 2 Hình 23 nó. Vậy : G G mx (F) = mD (F) = +F.h = +F.a.sinα G Ở đây ta lấy dấu cộng, vì nhìn từ chiều dương trục x đến thấy lực F hướng quanh trục x ngược chiều kim đồng hồ, còn h = DH = DCsinα = a.sinα G G Tìm mômen lực F đối với trục y, ta chiếu lực F lên mặt phẳng A vuông góc G G với trục y là F1 ' , cánh tay đòn lực F1 ' đối với điểm A là b. Theo hình vẽ ta có : G G G m y (F1 ') = mA (F1 ') = mB (F1 ') = −F.bsinα ( Vì F1’ = F1.sinα ) G Ta lấy dấu trừ vì lực F1 ' hướng quanh trục y thuận chiều kim đồng hồ khi ta nhìn từ chiều dương của trục đến. Tương tự ta có : G G mz (F) = m A (F2 ) = −F.b cosα Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 13
  15. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC §4. LÝ THUYẾT VỀ NGẪU LỰC 4.1. Khái niệm về ngẫu lực : 1. Định nghĩa : Ngẫu lực là hệ hai lực có phương tác G A dụng song song nhau, ngược chiều và có cùng trị số. F G G 1 G Ví dụ : Trên hình 24, F1 , F2 tạo thành một ngẫu lực. m F2 G G G B Một ngẫu lực không có hợp lực vì : R = F1 + F2 = 0 nghĩa là ta không thể thay thế một ngẫu lực bằng một lực được. Tác dụng của ngẫu lực lên vật làm vật quay Hình 24 và được xác định bằng ba yếu tố: G G - Mặt phẳng tác dụng ngẫu lực, nghĩa là mặt phẳng chứa hai lực F1 , F2 của ngẫu. - Chiều quay của ngẫu lực, nghĩa là chiều đi vòng theo chiều các lực Ta quy ước, chiều quay là dương nếu nó quay ngược chiều kim đồng hồ, ngược lại chiều quay âm. - Trị số mômen ngẫu lực, kí hiệu m. m = F1.d d – Gọi là cánh tay đòn ngẫu lực, là khoảng cách giữa hai phương tác dụng các lực của ngẫu. Nếu lực tính bằng N, chiều dài cánh tay đòn d tính bằng m thì mômen tính bằng Nm. Để biểu diễn ngẫu lực với ba đặc trưng ở trên, người ta dùng khái niệm véctơ G mômen của ngẫu (kí hiệu : m ) Véctơ này được xác định như sau : - Phương vuông góc với mặt phẳng tác G m dụng của ngẫu. G - Có chiều sao cho khi ta nhìn từ mút F véctơ đến gốc thấy chiều quay của ngẫu ABd G lực ngược chiều kim đồng hồ. F' - Còn độ dài biểu diễn trị số mômen Hình 25 ngẫu lực (hình 25) Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 14
  16. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Trường hợp mặt phẳng ngẫu lực được xác định thì ngẫu lực được biểu diễn bằng mômen đại số : m = ±F.d (1.10) G G F' F Ta lấy dấu cộng khi chiều quay của ngẫu lực là dương G F G và dấu trừ khi chiều quay của F' ngẫu là âm (hình 26) Hình 26 Chú ý : * Về mặt toán học ta có thể biểu diễn véctơ mômen của ngẫu là : G G m = BA ∧ F G G trong đó A, B là điểm đặt của lực F và F' của ngẫu. Thật vậy, nếu ta so sánh thì hai véctơ đó có cùng phương, cùng chiều và trị số bằng nhau. * Trị số mômen của ngẫu là : m = F.d = 2dt∆ABC (Ở đây chỉ tính về trị số, mà không kể đơn vị) 2. Các tính chất tương đương của ngẫu lực : Qua thực nghiệm và ta có thể chứng minh được là tác dụng một ngẫu lên một vật rắn không thay đổi nếu : - Ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu hoặc dời trong những mặt phẳng song song với mặt phẳng tác dụng ngẫu lực. - Ta có thể thay đổi chiều dài cánh tay đòn và trị số của lực. Từ đó, ta đi đến một kết luận tổng quát là : Hai ngẫu lực có véctơ mômen bằng nhau thì tương đương nhau. Vì vậy người ta gọi véctơ mômen của ngẫu là véctơ tự do. Đối với vật rắn có những ngẫu lực tác dụng, ta sẽ áp dụng định lý hợp hệ ngẫu lực sau đây : 4.2 Định lý : Hợp hệ ngẫu lực tác dụng lên một vật rắn, ta được một ngẫu lực tổng cộng, có véctơ mômen bằng tổng hình học véctơ mômen các ngẫu lực thành phần. Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 15
  17. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Chứng minh : Để chứng minh định lý này, G m1 trước tiên ta xét trường hợp hệ G G G m1 R hai ngẫu lực tác dụng lên vật rắn F1 G G G G G là (F , F' ) và (F , F' ) có mặt m1 1 1 2 2 G F2 phẳng tác dụng là (π1) và (π2) G F' giao nhau theo đường AB (hình 21 G F' G 26b). 1 R' Ta dời các ngẫu lực đó về Hình 26b cùng cánh tay đòn AB rồi lần G G G G G G lượt hợp các lực F1 và F2 được lực R , hợp lực F'1 và F'2 được lực R' . Nhìn hình vẽ ta có : G G G G G ⎧ R = F + F F ' = −F G G G 1 G2 vì G G1 nên R'= −R ⎨ ' ' ⎩R' = F 1 + F 2 F'2 = −F2 G G G Như vậy, lực R và R' tạo nên một ngẫu lực với véctơ mômen là M Ta tìm véctơ mômen ngẫu lực này. Theo công thức (1.11) ta có : G G G G G G M = BA ∧ R = BA ∧ (F1 + F2 ) = BA ∧ F1 + BA ∧ F2 G G G G Nhưng : BA ∧ F1 = m1 , còn BA ∧ F2 = m2 G G G Do đó : M = m1 + m2 G Nghĩa là véctơ M biểu diễn bằng đường chéo hình bình hành mà các cạnh là các véctơ mômen các ngẫu lực thành phần. Đối với 2 ngẫu lực ta chứng minh xong. Nếu một hệ ngẫu lực tác dụng lên vật rắn với các véctơ mômen là G G G G m1 ,m2 ,m3 , mn thì ta cũng tiến hành tương tự như trên, lần lượt hợp hai ngẫu lực một với nhau. Cuối cùng ta được ngẫu lực tổng cộng với véctơ mômen là : G G G G G G M = m1 + m2 + m3 + + mn = ∑ mk (1.13) Nếu các ngẫu lực cùng nằm trong mặt phẳng thì mômen ngẫu lực tổng cộng bằng tổng đại số mômen ngẫu lực thành phần : G G M = ∑ mk (1.13’) Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 16
  18. GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G Để thuận tiện cho việc tính toán, véctơ mômen ngẫu lực tổng cộng M có thể tìm bằng phương pháp giải tích nhờ định lý hình chiếu véctơ lên một trục là: M x = ∑mkx , M y = ∑mky , M z = ∑mkz G Đó là các hình chiếu của véctơ M lên các trục toạ độ x, y, z. Trị số của M là: 2 2 2 M = M x + M y + M z Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 17
  19. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC CHƯƠNG II LÝ THUYẾT HỆ LỰC Bây giờ, ta sẽ áp dụng các lý luận ở trên để nghiên cứu cho hệ lực. Để khảo sát một hệ lực ta tiến hành hai bước sau : - Thu gọn hệ lực - Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực Trước khi thu gọn, ta phải nắm vững hai đặc trưng hình học cơ bản của hệ lực. §1. HAI ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CƠ BẢN CỦA HỆ LỰC 1.1 Véctơ chính của hệ lực : 1. Định nghĩa : Giả sử cho một hệ lực G G G G z G F1 F1, F2 , F3 , , Fn tác dụng lên vật rắn, ta định nghĩa véctơ chính của hệ lực như sau : G F2 Véctơ chính của hệ lực là một véctơ O y bằng tổng hình học véctơ các lực thành G phần của hệ lực đó. Ta gọi R' là véctơ G x Fn chính của hệ lực, thì : Hình 27 G n G R'= ∑ Fk (2.1) k =1 2. Phương pháp xác định véctơ chính : Nếu chiếu đẳng thức véctơ (2.1) lên các trục toạ độ Đề-các vuông góc x, y, z ta được : R'x = ∑ Fkx = ∑ X k R' y = ∑ Fky = ∑Yk (2.2) R'z = ∑∑Fkz = Z k G Trong đó R'x , R' y , R'z là các hình chiếu véctơ R' , còn X k , Yk , Z k là hình chiếu lực G Fk lên các trục toạ độ x, y, z. G Từ công thức (2.2) ta tìm trị số, phương chiều của véctơ chính R' như sau : 2 2 2 R'= ()∑ X k + (∑Yk ) + (∑ Z k ) (2.3) Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 18
  20. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G R G R G R cos(x, R) = x , cos(x, R) = y , cos(x, R) = z R R R G G G G Đặc biệt nếu các lực F1, F2 , F3 , , Fn là hệ lực phẳng, các lực nằm trong cùng mặt phẳng thì véctơ chính chỉ có hai hình chiếu : R'x = ∑ X k , R' y = ∑Yk (2.4) 2 2 và R'= ()∑ X k + (∑Yk ) b. Phương pháp hình học : Phương pháp này chỉ dùng cho hệ lực phẳng, còn hệ lực không gian, đa giác lực là đa giác ghềnh, ta khó xác định đựoc. G G G G Thật vậy, cho một hệ lực ( F1, F2 , F3 , , Fn ) tác dụng lên vật rắn. Từ điểm O bật kỳ (hình 28) ta lần lượt vẽ các véctơ : G G G G F2 G Oa = F1 , ab = F2 , , de = Fn G F1 G F3 Nối Oe ta được véctơ chính R' của hệ lực : G R'= Oe = Oa + ab + + de G G G G G c R'= F + F + + F = F 1 2 n ∑ k a d G R' Đa giác Oab, ,de là đa giác lực, véctơ O e Oe đóng kín đa giác lực là véctơ chính. Hình 28 G Nếu véctơ chính bằng không, tức là R'= 0 , thì điểm e trên đa giác lực sẽ trùng với điểm O. Ta gọi đa giác lực tự đóng kín. 1.2 Mômen chính của hệ lực : 1. Định nghĩa : Mômen chính của hệ lực đối với một tâm là tổng mômen các lực thành phần của hệ lực đối với cùng tâm ấy. 2. Biểu thức và cách xác định : Đối với hệ lực không gian bất kỳ, mômen chính đối G với tâm O là véctơ, kí hiệu M O . Theo định nghĩa ta có : G G G M O = ∑ mO (Fk ) (2.5) Trong hệ lực phẳng mômen chính biểu diễn bằng mômen đại số : G M O = ∑ m(Fk ) (2.6) Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 19
  21. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Véctơ mômen chính được xác định bằng các hình chiếu sau đây : G G G M Ox = HCx [mO (Fk )]= mx (Fk ) ∑ G G ∑ G M Oy = HC y []mO ()Fk = m y (Fk ) (2.7) ∑G G ∑G M Oz = ∑∑HC z []mO ()Fk = mz ()Fk Trị số mômen chính là : 2 2 2 M O = M Ox + M Oy + M Oz §2. HỆ LỰC THU GỌN 2.1 Thu gọn hệ lực về một tâm : Để thu gọn hệ lực về một tâm ta dựa vào định lý dời lực song song. 1. Định lý : Dời song song một hệ lực tới một điểm khác, để cho tác dụng của lực không đổi, ta thêm vào một ngẫu lực phụ có véctơ mômen của lực đặt ở điểm cũ đối với điểm mà lực dời đến. G Chứng minh : Giả sử ta có lực F G G G G G F' G mO F mO F' đặt tại A. Tại điểm O ta đặt thêm F G G hai lực cân bằng là F' và F" sao O G G G A O A cho F'= F = −F" theo tiên đề 2 ta G G G G có : FA ~ (F', F", F) , nhưng G G G F'' Hình 29 (F, F") tạo thành một ngẫu lực có G G G véctơ mômen mO = mO (F) G G G Nói cách khác là lực F đặt tại A tương đương với lực F'= F đặt tại và ngẫu lực G G G mO . Véctơ mômen này vuông góc với lực F cũng vuông góc với lực F . Từ đó ta có : G G Định lý đảo: Một lực F' đặt tại O và một ngẫu lực có véctơ mômen m vuông G G G G góc với lực F' thì tương đương với lực F đặt tại điểm khác với F = F'. K G G Chứng minh : Thật vậy, từ ngẫu lực m ta phân ra hai lực thành phần F và F" K G G G G G sao cho có véctơ mômen bằng m và F'= F = −F". Theo tiên đề 1 lực F' và F"cân G bằng nhau, theo tiên đề 2 ta có thể bỏ đi và hệ lực bây giờ còn một lực F đặt tại A. m Tất nhiên khi đó khoảng cách : d = OA = . F Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 20
  22. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G G Ví dụ : Khi ta xách một thùng nước trọng F' G F lượng P đặt tại điểm A với một lực F có trị G mO số là F = P. Bây giờ ta xách thùng nước tại A A điểm O ở mép thùng nước ở trạng thái như cũ thì tay ta phải tạo ra một ngẫu lực nữa có mômen : G G G mO = mO (F) về trị số mO = F.OA = F.d G G P Hình 30 P 2. Phương pháp thu gọn hệ lực về một tâm : G G G G Cho hệ lực bất kỳ F , F , F , , F . 1 2 3 n z G F1 Hãy thu gọn hệ lực đó về tâm O tuỳ G ý. Áp dụng định lý dời trục song F2 G G song, lần lượt ta dời từng lực về O. m F' 1 G 1 Khi đó tại O ta được hệ lực đồng qui F'2 G y G G G G m2 là F , F , F , , F và hệ ngẫu lực có 1 2 3 n O G G F'n G G G G mn G véctơ mômen là m1 ,m2 ,m3 , ,mn . Fn Theo tiên đề 3 hợp hệ lực đồng qui x G Hình 31 trên ta được một hệ lực kí hiệu R'O đặt tại O véctơ bằng véctơ chính của hệ lực đã cho là : G G G G RO = ∑ F'k = ∑ Fk = R' (2.8) G G G G Hợp các ngẫu lực m1 ,m2 ,m3 , ,mn ta được ngẫu lực tổng cộng có véctơ mômen là : G G G G G M O = ∑ mk = m1 +m2 + + mn Theo định lý dời lực song song thì : G G G G G G G G G m1 = mO (F1 ) , m2 = mO (F2 ) , , mn = mO (Fn ) G G G G G G G Nên : M O = mO (F1 ) + mO (F2 ) + + mO (Fn ) G G G Hay : M O = ∑ mO (Fk ) (2.9) Như vậy ngẫu lực tổng cộng thu về O có véctơ mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn. từ đó ta đi đến kết luận : Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 21
  23. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Thu gọn một hệ lực bất kỳ về một tâm O nào đó, ta được một lực và một ngẫu lực. Lực đặt tại tâm thu gọn có véctơ bằng véctơ chính của hệ lực còn ngẫu lực có véctơ mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn đó. Từ kết quả trên xác định tác dụng của một hệ lực lên vật rắn ta chỉ cần xác định véctơ chính và mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn. 3. Các bất biến của hệ lực : Với môt hệ lực đã cho thì ta thấy dễ dàng là G G G G M O' M O véctơ chính của hệ lực R'= ∑ Fk không thay φ G đổi khi tâm thu gọn O thay đổi. Nhưng mômen φ’ M G G O G m (R') chính của hệ lực nói chung là thay đổi khi tâm O O R' G G r ' thu gọn thay đổi. M O G Thật vậy, giả sử khi ta thu gọn hệ lực đã r 'k O G G cho : Fk (k = 1,2, ,n) về tâm O nào đó thì được rk A G G k F một lực bằng véctơ chính R' đặt tại O và một k Hình 32 G ngẫu lực có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm O là M O . Như ta đã biết : G G G G G R'= ∑ Fk và M O = ∑ mO (Fk ) G Bây giờ ta chọn tâm thu gọn khác là O’, giả sử lực Fk đặt tại điểm Ak, có véctơ G G G bán kính đối với điểm O và O’ là rk và r 'k còn véctơ OO' ta gọi r ' (Hình 32). Dễ dàng, tam giác AkOO’ ta có : G G G r 'k = r '+rk G Như vậy, mômen lực Fk đối với điểm O và O’ sẽ là : G G G G G G G G G G G m'O (Fk ) = r'k ∧Fk = (r'+rk )∧ Fk = r'∧Fk + rk ∧ Fk G G G G G G G G G G Như ta đã biết mO' (Fk ) = rk ∧ Fk và m'O (Fk ) = mO (Fk ) + r'∧Fk G G Cộng mômen của lực Fk (k = 1,2, ,n) đối với tâm O’ ta được mômen chính M 'O của hệ lực đã cho đối với tâm đó là : G n G G G G G G G G G M O' = ∑ mO' (Fk ) = ∑∑mO (Fk ) + (r '∧Fk ) = M O + ∑(r ' ∧ Fk ) k =1 Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 22
  24. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G G G G G G Ta biến đổi số hạng : ∑(r ' ∧ Fk ) = r'∧∑ Fk = r '∧R' G G G Nhưng tích véctơ r '∧∑ Fk là mômen véctơ chính R' đặt tại O lấy đối với O’, nghĩa là : G G G G r'∧R'= mO' (R') Do đó, đẳng thức trên có thể viết : G G G G M O' = M O + mO' (R') (2.8) G G G G hay : M O' − M O = mO' (R') (2.8’) Như vậy, biến thiên mômen chính của hệ lực khi tâm quay thu gọn thay đổi bằng mômen véctơ chính đặt tại tâm cũ đối với tâm mới. G G Ta nhận đẳng thức (2.8’) với véctơ chính R' , nhưng R' vuông góc với véctơ G G G G G G G mO' (R) nên : mO' (R).R'= 0 . Do đó : M O' − M O = 0 hay : M O'.cosϕ'= M O .cosϕ (2.9) G G G trong đó góc φ và φ’ là góc tương ứng giữa véctơ M O và M O' với véctơ chính R' . Từ đó suy ra : Hình chiếu mômen chính của hệ lực đã cho đối với tâm thu gọn bất kỳ, lên phương véctơ chính là không đổi không phụ thuộc việc chọn tâm đó. 2.2 Các dạng chuẩn – Định lý VARIGNON : Từ kết quả thu gọn trên, có thể đưa đến các dạng chuẩn sau đây : G G 1. Nếu R' = 0 và M O = 0, nghĩa là véctơ chính bằng không mômen chính khác không thì hệ lực thu về ngẫu lực. G G 2. Nếu R' = 0 và M O ≠ 0, nghĩa là véctơ chính bằng không và mômen chính khác không thì hệ thu về ngẫu lực. G G G 3. Nếu R' ≠ 0 và R' . M O = 0 trong trường hợp này lực có thể thu về một lực. Nghĩa là có hợp lực. G Khi M O = 0 thì hợp lực qua tâm. G Khi M O ≠ 0 hợp lực không qua tâm O G G vì R' . M O = 0 nghĩa là véctơ mômen chính và véctơ chính vuông góc nhau (hình 33) Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 23
  25. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Áp dụng định lý đảo, dời lực song song, ta phân K G G G G tích ngẫu lực M O ra hai lực R và R' sao cho R'O R G G G R = R = −R' . Bây giờ hệ có ba lực nhưng hai O O O’ G G lực R và R" cân bằng nên ta bỏ đi chỉ còn lực G O M G G O R qua O’. Lực R chính là hợp lực của hệ lực đã G R" Hình 33 cho. Đoạn d được xác định như sau : G G M O G d = (M O = mO (R) ) R ∆ G G G ∆ G R'O R' 4. Nếu R' . M O ≠ 0 nghĩa là véctơ chính và O mômen chính đều khác không và không vuông G M O O góc nhau. O G G G Đặc biệt khi R' và M O cùng phương cùng M O chiều gọi là vít thuận (hoặc đinh ốc). Vật tự do dưới tác dụng của hệ lực này có Hình 34 G G chuyển động như chuyển động đinh ốc. Đường thẳng ∆ mà véctơ R'O và M O nằm trên đó gọi là trục vít. (Hình 34) G G Nếu R'O và M O ngược chiều ta được vít ngược (đinh ốc ngược). G G Trường hợp R'O và M O làm thành góc α bất kỳ (α ≠ 0, α ≠ 180) ta đưa về hệ vít, nhưng trục vít không qua O và O’. Lực của hệ vít này xác định bằng véctơ G chính R' của hệ lực, còn ngẫu lực xác định bằng hình chiếu véctơ mômen chính lên véctơ chính của hệ lực đó. Khi hệ có hợp lực, ta có định lý VARIGNON như sau : Định lý: Mômen hợp lực của hệ lực đối với một điểm (hay trục) nào đó bằng tổng mômen các lực thành phần của hệ lực đối với cùng điểm (hay trục) đó. G G G G Chứng minh : Giả sử cho hệ lực ( F1, F2 , F3 , , Fn ) tác dụng lên vật rắn. Hệ lực G này thu về O’ được hợp lực là R . Bây giờ ta lấy điểm A bất kỳ làm tâm thu gọn và G gọi M ' A là mômen chính của hệ lực đã cho đối với điểm A. Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 24
  26. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Dùng công thức biến thiên mômen chính (2.3) ta G G có : R' R G G G G M = M = +m (R) G A O' A A O’ Nhưng M O' = 0 nên : G G G G M A = m A (R) M A Hình 35 Mặt khác, theo định nghĩa mômen chính của hệ lực đối với tâm A bằng tổng mômen các lực thành phần của hệ lực đã cho đối với cùng tâm ấy, nghĩa là: G G G M A = ∑ mA (FA ) G G G G Do đó : mA (R) = ∑ mA (Fk ) (2.10) Tương tự đối với một trục toạ độ như trục z chẳng hạn, ta có : G G G mz (R) = ∑ mz (Fk ) (2.11) Như vậy định lý đã được chứng minh. Chú ý : Đối với hệ lực phẳng chỉ xảy ra một trong ba trường hợp đầu. Hệ lực phẳng không bao giờ xảy ra chuyển động đinh ốc. Sau đây ta sẽ làm hàm một số ví dụ về thu gọn hệ lực Ví dụ 1: Cho một dầm g G công xôn AB = 4 m Q1 G P m chịu lực P = 60 0 A C 30 N tác dụng và lực B phân bố đều q = 2m 2m 10 N/m tác dụng Hình 36 ở phần OB. Hãy thu gọn hệ lực trên về tiết diện m-m của dầm (Hình 36) Giải : Trước hết ta thay lực phân bố đều q bằng lực tập trung : Q1 = q.CB = 10.2 = 20N. Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 25
  27. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G G G Thu gọn hai lực P,Q1 về tiết diện m-m, ta được lực R' có hai thành phần thẳng G đứng là Q và thành phần nằm ngang là N. Trong sức bền lực Q gọi là lực cắt, còn G lực N gọi là lực kéo (hoặc nén). Còn tại tiết diện đó. N = -P.cos300 = 30 3 N 0 Q = Q1 + P.sin30 =20 + 60.1/2 = 50 N 0 M = - Q1.1- P.2.sin30 = -20-60.2.1/2 = -80 Nm Ví dụ 2: Cho một lang trụ tam giác z G có cạnh OA = 2, OK = 20 cm, G K R P2 G 0 P góc α=30 . theo các cạnh của α 1 G H G P3 lăng trụ có các lực tác dụng là : M O y D G R' P1 = 400 N, P3 = 150 N O 0 C G G P5 P2 = P5 = 100 N, P4 = 50 N P4 α Hãy thu gọn hệ lực trên về mặt A B x chuẩn. Hình 38 Giải : Ta chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. Tìm hình chiếu véctơ chính lên các trục tọa độ. Rx = ∑ X k = P2 − P5 = 0 0 Ry = ∑Yk = P1 cosα = 400cos30 = 200 3 1 R = Z = P + P − Psinα = 150 + 50 − 400. = 0 z ∑ k 3 4 2 Như vậy véctơ chính hướng theo trục y có trị số bằng 200 3 . G G G Bây giờ ta tìm mômen chính M O = ∑ ma (Fk ) bằng các hình chiếu như sau : G G M Ox = ∑ mx (Fk ) = mx (P1 ) G G G G Vì các lực P3 , P4 , P5 cắt trục x, lực P2 song song với trục x nên mômen các lực đó đối với trục x đều bằng không. G G M Ox = mx (P1 ) = mO (P1 ) = −P1OH = −P1OK.cosα. 3 M = −400.10. = −2000 3Ncm Ox 2 Tương tự ta có : Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 26
  28. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G G G M Oy = ∑ m y (Fk ) = m y (P2 ) + m y (P4 ) G m y (P4 ) = −P4 .OA = −50.20 = −1000Ncm Như vậy : G G G = 0 M Oy = ∑ m y (Fk ) = m y (P2 ) + m y (P4 ) G G G G G G Các lực P1 , P2 , P3 , P4 , P5 cắt trục z, lực P4 song song với trục đó, nên mômen các lực đó đối với trục z đều bằng không. G Vì vậy : M Oz = ∑ mz (Fk ) = 0 Vì MOy = MOz = 0, còn MOx <0 nên mômen chính MO hướng ngược chiều với trục x và có trị số : 2 2 2 M O = M Ox + M Oy + M Oz = 2000 3 Ncm M O = 20 3Nm G Trong trường hợp này hệ lực thu gọn về tâm O được một lực R'O hướng theo trục y và một ngẫu lực hướng ngược chiều với trục x. Rõ ràng hai véctơ này vuông góc với nhau, nên hệ lực này cuối cùng thu về một hợp lực nằm trong mặt phẳng Oyz G G G (vì lực R'O nằm trong mặt phẳng này). Hợp lực RO = R'O đặt tại O1 cách O một đoạn là : M ' 2000 3 d = O = = 10cm R' 200 3 G G Đoạn OO1 phải vuông góc với lực R'O và véctơ M O . Như vậy O1 phải nằm trên trục G z và hướng về phía nào để mômen hợp lực R đối với O có véctơ trùng với véctơ G M O . Vì OO1 = 10cm nên O1 trùng với điểm K. Điểm K trên hình 38 là điểm đặt của G hợp lực R hướng song song với trục y có trị số : R = R’O = 200 3 N §3. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG 3.1 Điều kiện cân bằng và hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian : Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 27
  29. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 1. Điều kiện cân bằng : Điều kiện cần và đủ để một hệ lực không gian cân bằng là véctơ lực chính và véctơ mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn nào đó đồng thời bằng không, tức là : G G R'= 0 và M O = 0 G G Chứng minh: Điều kiện cần là hệ lực không gian cân bằng thì R'= 0 và M O = 0 . G G G G Thật vậy, nếu R'≠ 0 , mà M O = 0 thì hệ thu về ngẫu lực hoặc cả R'≠ 0 và M O ≠ 0 thì hệ thu về hệ vít hoặc hợp lực. Điều đó trái với giả thuyết, nghĩa là khi hệ lực cân bằng thì : G G R'= 0 và M O = 0 Còn điều kiện đủ là hiển nhiên trong trường hợp tổng quát hệ thu về tâm O G G được một lực và ngẫu lực. Nếu R'= 0 và M O = 0 hệ lực là cân bằng. 2. Từ điều kiện cân bằng, ta thiết lập hệ phương trình cân bằng cho một hệ lực không gian sau đây : G G Theo định nghĩa véctơ chính là : R'= ∑ Fk và hình chiếu của nó xuống các trục được xác định theo công thức : R'x = ∑ X k R' y = ∑Yk R'z = ∑ Z k Và mômen chính là : G G G M O = ∑ mO (Fk ) Có các hình chiếu xác định theo công thức sau : G G M = (m (F )) = m (F ) Ox ∑ O Gk x ∑ x Gk M = (m (F )) = m (F ) Oy ∑∑O Gk y y Gk M Oz = ∑∑(mO (Fk )) z = mz (Fk ) G G Ta biết rằng R' và M chỉ bằng không khi các hình chiếu của chúng đều bằng không. Do đó, khi hệ lực cân bằng ta có : Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 28
  30. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC ⎧ ∑ X k = 0 ⎪ ⎪ ∑Yk = 0 ⎪ ⎪ ∑ Z k = 0 ⎨ G (2.12) m (F ) = 0 ⎪∑ x Gk ⎪ m (F ) = 0 ⎪∑ y Gk ⎩⎪∑ mz (Fk ) = 0 Như vậy, khi hệ lực không gian cân bằng thì có 6 phương trình cân bằng. Ta sẽ áp dụng các phương trình cân bằng đó để giải bài toán cân bằng không gian. Ví dụ 1: Cho một tấm chữ nhật đồng chất trọng lượng P, nếu chiều dài các cạnh là a, b. Tại A liên kết bản lề cầu, tại B liên kết bản lề trụ và tấm được z G G Z giữ nằm ngang nhờ thanh CE hai X B A G đầu liên kết bản lề. Bỏ qua trọng Y b B y A A R G lượng thanh, tại D tác dụng lực F G Cz X Z B a A dọc theo cạnh DC. Cho biết P0 = G RC 200 N, F = 100 N, a = 60cm, b = F D 100 cm, góc γ = 600 (hình 39). G C γ x P E Tìm phản lực tại A, B và nội lực Hình 39 RCx thanh CE. Bài giải : G G Ta xét tấm ABCD cân bằng chịu hệ lực tác dụng sau đây : Lực P , lực F , phản lực G G G G G tại A có ba thành phần X A ,YA , Z A , còn phản lực tại B chỉ có hai thành phần X B , Z B G (vì liên kết bản lề trụ) vuông góc trục y. Phản lực thanh CE là RC dọc thanh. Vì tấm G G G G G G G G ABCD cân bằng, nên hệ lực : (P, F, X A ,YA , Z A , X B , Z B , RC ) ~ 0 G G G G Ta phân phản lực RC ra hai thành phần (vì RC ┴y) là RCx và RCz song song với trục x, z là : RCx = RCsinγ, RCz = RCcosγ, RCy = 0. Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 29
  31. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Ta thiết lập hệ phương trình cân bằng : ∑ X = X A + X B + RC sin γ = 0 (1) Y = Y + F = 0 ∑ A (2) ∑ Z = Z A + Z B − P + RC cosγ = 0 (3) G b ∑ mx (F) = − P + bZ B + bRC cosγ = 0 2 (4) G a m (F) = P − aR cosγ = 0 ∑ y C (5) G 2 m (F) = −bX − bR sin γ + aF = 0 ∑ z B C (6) Giải hệ sáu phương trình trên ta được các kết quả sau : Phương trình (5) cho ta : P 200 200 R = = = = 200N C 2cosγ 2cos60 1 2. 2 Thay giá trị R vào phương trình (6) ta có : aP 60 3 X = − R sin γ = .100 − 200 = −113,2N B b C 100 2 Bằng cách thay thế dần, cuối cùng ta tính được : X = −60N,Y = −100N A A Z A = 100N, Z B = 0 Từ kết quả trên, ta nhận thấy : XA < 0, XB < 0, do đó chiều phản lực của những thành phần này thực tế sẽ ngược chiều với chiều vẽ trên hình 39. G Phản lực RC là lực của thanh CE tác dụng lên tấm . Theo tiên đề tác dụng và phản G G tác dụng thì tấm sẽ tác dụng lên thanh một lực R'C = - RC . Và để thanh CE cân bằng G tại E có phản lực RE . Như vậy thanh CE sẽ chịu nén có nội lực N = -RC = -200N (vì thanh chịu kéo, nội lực lấy dấu B a C G cộng). S G z a 4 S3 Ví dụ 2 : Cho một tấm hình 3 vuông cạnh a được giữ nằm P A y G D G ngang nhờ 6 thanh liên kết hai S 4 S G 5 5 G 2 2 S S đầu bằng bản lề. Bỏ qua trọng x 6 1 lượng của thanh. Một lực P = 6 1 2000 N tác dụng dọc theo cạnh Hình 41 Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 30
  32. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC AD của tấm. Tìm nội lực các thanh, biết chiều dài các thanh đứng 1, 3, 6 bằng a. Bài giải : G Ta xét tấm ABCD cân bằng chịu các lực tác dụng như sau : Lực P , phản lực G G G G G G các thanh là S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 hướng dọc thanh ra phía ngoài tâm. Nếu các lực này dương thanh chịu kéo và âm thanh chịu nén. Vì tấm ABCD cân bằng, nên hệ lực : G G G G G G G ( P, S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 ) ~ 0 Ta chọn hệ trục Axyz như hình 41, các phương trình cân bằng của hệ lực sẽ là : 0 0 (1) ∑ X = −S 2 cos 45 − −S5 cos45 = 0 0 (2) ∑Y = P − S 4 cos 45 = 0 Z = −S − S cos 450 − S − S cos450 − S cos 450 − S = 0 (3) ∑ 1 G 2 3 4 5 6 m (F) = −S a − S asin 450 − S a − S asin 450 = 0 ∑ x 1 G 2 3 4 (4) m (F) = −S a − S a cos450 = 0 ∑ Gy 3 4 0 0 (5) ∑ mz (F) = S2 a cos 45 + S 4 a cos 45 = 0 (6) Giải hệ 6 phương trình trên ta tìm được các kết quả sau đây : Tư phương trình (2) ta suy ra : P S = = 2P 2 = 4000 2N 4 cos 450 Từ phương trình (6) cho ta : S2 = -S4 = 4000 2N Phương trình (5) ta có : 0 2 S3 = -S4cos45 = − 2P 2. = −2P = 4000N 2 Tương tự như vậy ta tìm được : S1 = P = 2000N S5 = 2P 2 = 4000 2 S6 = −P = −2000N Từ kết quả trên ta thấy S1, S4, S5 dương nên thanh 1, 4, 5 chịu kéo, còn S2, S3, S6 âm nên thanh 2, 3, 6 chịu nén. Do kết quả trên, ta có quy tắc để biết thanh chịu nén hay chịu kéo như sau: Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 31
  33. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Khi xét bài toán có liên kết thanh, ta vẽ phản lực thanh hướng dọc thanh đó ra phía ngoài nút. Nếu phản lực của thanh dương thanh chịu kéo, phản lực của thanh âm thì thanh chịu nén. Còn trị số nội lực bằng trị số của phản lực ấy. Từ điều kiện và phương trình cân bằng của hệ lực không gian ta suy ra điều kiện và phương trình cân bằng của hệ lực phẳng. 3.2 Điều kiện cân bằng và hệ phương trình cân bằng của hệ lực phẳng : Điều kiện và hệ phương trình cân bằng . Định lý : Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là véctơ chính và mômen chính của hệ lực đó đối với tâm nào đó bằng không, tức là : G G G G R'= 0 và M O = ∑ mO (Fk ) Phần chứng minh tương tự như hệ lực không gian. Vì hệ lực phẳng là hệ lực có các đường tác dụng các lực cầu nằm trong cùng một mặt phẳng. Ta chọn hệ trục Oxy là mặt phẳng chứa hệ lực. Vậy trục Oz vuông góc với các lực của hệ. Do vậy véctơ chính của hệ lực chỉ có hai thành phần. Rx = ∑ X k và Ry = ∑Yk Mômen chính của hệ lực đối với trục x và y đều bằng không và các lực và các trục này đồng phẳng nên phương trình 4, 5 tự thoả mãn và G G ∑ mz (F) = ∑ mO (F) Vì vậy hệ phương trình cân bằng của hệ lực phẳng chỉ có 3 phương trình là: ⎧ ∑ X k = 0 ⎪ Dạng I : Y = 0 (2.13) ⎨ ∑ k G ⎪ ⎩∑ mO (Fk ) = 0 Thực tế người ta còn dùng các hệ phương trình cân bằng khác tương đương với (2.13) như sau : B G ⎧ ∑ X k = 0 ⎪ G R Dạng II : m (F ) = 0 (2.13’) ⎨∑ A Gk A ⎪ φ x ⎩∑ mO (Fk ) = 0 trong đó đoạn AB không được vuông góc với trục x Hình 42 (hình 42). Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 32
  34. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Thật vậy, nếu hệ lực phẳng đã cho có mômen chính đối với một tâm bằng không, ta cần chứng minh là véctơ chính của hệ lực lúc đó cũng bằng không, thì hệ lực cân bằng. G Ngược lại, nếu R'≠ 0 , khi đó hệ lực thu về A được hợp lực (vì G G M A = ∑ mA (F) = 0 ) và hệ lực cũng thoả mãn điều kiện M B = ∑ mB (F) = 0 , ta có : G G mB (R) = ∑ mB (F) = 0 Nghĩa là hợp lực phải qua B nữa, như vậy hình chiếu hợp lực lên trục x sẽ là : ∑ X = RX = R cosϕ Nhưng nếu góc φ ≠ 900 và R ≠ 0 thì ∑ X = RX ≠ 0. Điều này trái với giả thuyết là ∑ X = 0 G G Vậy R' là phải bằng không. ( R'= 0) Dạng III : Hệ lực phẳng cân bằng phải thoả mãn 3 phương trình sau : G ⎧ ∑mA (Fk ) = 0 ⎪ G m (F ) = 0 (2.14) ⎨∑ B Gk ⎪ m (F ) = 0 ⎩∑ C k Khi đó A, B, C không được thẳng hàng. Phương pháp chứng minh tương tự như dạng II Ví dụ : Một dầm công xôn M g G AB, đầu A chịu liên kết ngàm P A C D B 600 và có tải trọng tác dụng như x hình vẽ (hình 43). Cho biết : M 1m 2m 1m = 4 KNm, P = 6 KN, q = 1,5 Hình 43 KN/m. Tìm phản lực tại A. Bài giải : Ta khảo sát dầm AB cân bằng. G Hệ lực tác dụng lên dầm gồm có : ngẫu lực M, lực P , còn phân bố đều q ta thay G bằng lực tập trung Q đặt ở trọng tâm hình phân bố. Có trị số Q = q.CD = 1,5x2 = 3kN Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 33
  35. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G G G Ở A liên kết ngàm, nên có phản lực gồm lực R A (chia thành hai thành phần X A ,YA ) G và ngẫu lực M A . Vì dầm cân bằng nên hệ lực tác dụng lên dầm : G G G G G G ( P,Q, X A ,YA , M A , M ) ~ 0 Các phương trình cân bằng cho hệ lực : 0 ∑ X k = X A − P cos60 = 0 Y = Y − Q − Psin 600 = 0 ∑G k A 0 ∑mA (F) = M A − M − 2Q − PABsin 60 = 0 G (Chú ý : Cánh tay đòn lực P đối với điểm A là d=ABsin600 ) Giải ba phương trình trên với các số liệu đã cho, ta có các kết quả sau: XA = 3kN, YA = 8,2 kN, MA = 30,78 kN Các kết quả đều dương, nên chiều phản lực đứng như hình vẽ. 3.3 Điều kiện cân bằng cho các hệ lực đặc biệt : 1. Hệ lực song song : a- Hệ lực không gian song song : G G G Giả sử có hệ lực không gian song song ( F1 , F2 , , Fn ) tác dụng lên vật rắn. Ta dựng trục z song song các lực như vậy trục z x và y sẽ vuông góc các lực. Tất nhiên hình G F chiếu từng lực lên trục x và y, cũng như 2 G F mômen của chúng đối với trục z đều bằng n O y không (hình 44), nghĩa là : G F G 1 ∑ X = 0 , ∑Y = 0 , ∑ mz (F) = 0 Đó là những phương trình tự thoả mãn, còn lại x Hình 44 ba phương trình cân bằng là: ⎧ ∑ Z k = 0 y ⎪ G m (F ) = 0 (2.15) ⎨∑ x Gk G ⎪ m (F ) = 0 G F2 G ⎩∑ y k F 1 Fn Như vậy hệ lực không gian song song chỉ có ba O x phương trình cân bằng. Hình 45 b- Hệ lực phẳng song song : G G G Là hệ lực ( F1 , F2 , , Fn ) song song cùng nằm trong một mặt phẳng (hình 45). Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 34
  36. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Ta chọn mặt phẳng của hệ lực làm mặt phẳng Oxy với trục y song song các lực, như vậy trục z sẽ vuông góc với các lực đó. Từ ba phương trình cân bằng của hệ lực phẳng ta nhận thấy phương trình ∑ X = 0 tự thoả mãn (vì các lực đều vuông góc với trục x). Như vậy, hệ lực phẳng song song chỉ có hai phương trình cân bằng : G ∑Y = 0 ; ∑mO (F) = 0 (2.16) G G Hoặc ∑mA (F) = 0; ∑mB (F) = 0 (2.16’) Trong đó đoạn AB nằm trong mặt phẳng chứa hệ lực, nhưng không song song với các lực đó. 2. Hệ lực đồng qui : a- Hệ lực đồng qui không gian : Giả sử có hệ lực đồng qui không gian G G G z ( F , F , , F ). Điểm O là điểm đồng qui. Chọn 1 2 n G F O làm gốc toạ độ vẽ hệ trục Oxyz (hình 46) 1 G F2 Khi đó mômen các lực đối với các trục toạ O y độ x, y, z luôn luôn bằng không (vì các lực đều G F cắt các trục đó) nên : n G G G Hình 46 ∑ mx (F) = 0; ∑m y (F) = 0 ; ∑ mz (F) = 0 x Hệ lực chỉ còn lại ba phương trình cân bằng là : ⎧∑ X = 0 ⎪ ⎨∑Y = 0 (2.17) ⎪ ⎩∑ Z = 0 b- Hệ lực phẳng đồng qui : y G G G Các lực F1 , F2 , , Fn đồng qui tại O và cùng nằm G F1 G trong mặt phẳng Oxy như vậy trục z vuông góc với các F2 x lực nên : (Hình 47) G Z = 0 ∑ Fn Ba phương trình trên chỉ còn lại hai phương trình là : Hình 47 Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 35
  37. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC ⎧∑ X = 0 G ⎨ (2.18) z F Y = 0 1 ⎩∑ a G A B y Đây là hai phương trình cân F3 x bằng cho hệ lực phẳng đồng qui. G F Ví dụ 6: Có bai người đỡ một 2 b D tấm bê tông hình chữ nhật đồng x y G C chất trọng lượng P có cạnh a và b. P Một người đỡ ở góc B hai người Hình 48 còn lại đỡ ở điểm E và K sao cho lực nâng ba người bằng nhau. Tìm vị trí điểm E và K. Bài giải: G G G G Ta khảo sát tấm ABCD cân bằng được dưới tác dụng của các lực ( P, P1 , P2 , P3 ) ~ 0 Đây là hệ lực không gian song song, nên chỉ có ba phương trình cân bằng : ∑ Z = F1 + F2 + F3 − P = 0 (1) G a m (F) = F a + F y − P = 0 (2) ∑ x 1 2 2 G b (3) m (F) = F b − F x + P = 0 ∑ y 2 3 2 Theo đề bài ta có : F1 = F2 = F3 Kết hợp với phương trình (1) ta tìm được : F1 = F2 = F3 = P/3 Từ phương trình (2) ta có: y = a/2 phương trình (3) : x = b/2 Như vậy điểm E, K là trung điểm các cạnh y AD và DC thi ba lực này sẽ bằng nhau. G l l P Ví dụ 7: Cho một khung có ba khớp A, B, G C C là bản lề. Một lực P tác dụng lên khung có l G G RA R phương nằm ngang. Kích thước cho trên hình B 450 B x 49. Tìm phản lực tại A và B. Hình 49 Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 36
  38. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Bài giải : Ta khảo sát khung ABC cân bằng. G G G Hệ lực tác dụng lên khung là P , phản lực RA , RB tạo nên hệ ba lực cân bằng ( G G G P, RA , RB ) ~ 0. G G Nếu xét riêng phần BC cũng cân bằng và chỉ chịu tác dụng bởi hai lực RB , RC , G G G nên theo tiên đề 1 thì phản lực RB phải qua C. Vì RB và lực P giao nhau tại C, theo G định lí ba lực cân bằng nên lực R A phải qua C. Như vậy, ta đã xác định phương G G phản lực RB và R A . Để tìm trị số và chiều các phản lực đó, ta lập phương trình cân bằng . Đây là hệ lực phẳng đồng qui ta có hai phương trình : X = R cos450 − R cos450 + P = 0 (1) ∑ A B Y = R sin 450 + R sin 450 = 0 ∑ A B (2) §4. CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 4.1 Bài toán đòn : ƒ Định nghĩa : Đòn là một vật rắn có y G thể quay quanh một trục cố định O dưới tác F1 dụng của một hệ lực nằm trong mặt phẳng G G R F2 vuông góc với trục đó. O x Giả sử có một vật rắn quay được quanh một O trục O chịu tác dụng bởi hệ lực phẳng G G G ( F1 , F2 , , Fn ) (hình 51). Ngoài ra các lực tác G F dụng trên tại trục quay O xuất hiện một phản n G Hình 51 lực RO . Vì đòn cân bằng nên hệ lực : G G G G ( F1 , F2 , , Fn , RO ) ~ 0 Điều kiện cân bằng của hệ lực là : ∑ X = ROx + ∑ Fkx = 0 (1) ∑Y = ROy + ∑ Fky = 0 (2) Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 37
  39. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G ∑ mO (Fk ) = 0 (3) G Ta nhận thấy phương trình (1) và (2) cho ta xác định phản lực RO , phương trình (3) chính là điều kiện cân bằng của đòn : G ∑ mO (Fk ) = 0 (2.19) G G G G Điều kiện này chứng tỏ hệ lực ( F1 , F2 , , Fn ) thu về O được hợp lực R hoặc cân G G bằng, hợp lực R nếu có sẽ cân bằng với phản lực RO . Từ bài toán cân bằng đòn ta đi đến giải bài toán vật lật trong thực tế hay gặp. 4.2 Bài toán vật lật : Vật lật cũng là một dạng của đòn, mà dưới tác dụng của hệ lực vật có thể lật quanh một điểm ( hay trục ) nào đó. Vì vậy từ điều kiện cân bằng đòn, ta suy ra điều kiện cân bằng của vật lật. G Giả sử có một hình chữ nhật ABCD trọng lượng P , G G C D một lực Q , tác dụng theo phương ngang cách đáy AB Q một đoạn h có khả năng làm cho vật lật quanh mép A h G a (Hình 52). P B A Điều kiện cân bằng là : G ∑mA (Fk ) = 0 Hình 52 Hay : P.a – Q.h = 0 Suy ra : P.a = Q.h Từ hình vẽ ta nhận thấy lực P gây ra mômen giữa còn lực Q gây ra mômen lật quanh A. Ta kí hiệu là Mg và Ml thì : Mg = P . a và Ml = Q . h Như vậy, để vật không lật thì : Mg ≥ Ml M Trong kỹ thuật người ta thường dùng hệ số ổn định : K = g . Một vật không M l lật khi K > 1. Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 38
  40. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Ví dụ 8: Một cần trục có kích 1,25 m 2 m thước và tải trọng như hình vẽ 53. Xác định đối trọng P1 để cần trục ổn định với hệ số K = 1,5. G G Cho cần trục với trọng lượng P P3 1 G P2= 50 KN trọng lượng vật nặng A P2 nâng lên P3 = 40 KN. Bài giải: 0.75 m 0.75 m G Hình 53 Giả sử dưới tác dụng lực P3 làm G cần trục có khả năng lật đổ quanh B. Do đó mômen lực P3 đối với B là mômen lật, G G còn mômen P1 , P2 đối với B là mômen giữ, ta có : Ml = 1,25.P3 =1,25 x 40 = 50 kNm Mg = 2.P1 x 0,75 x 50 =2P1 +37,5 M g Hệ số ổn định K = hay Mg = KMl M l Vì vậy ta có phương trình sau : 2P1 +37,5 = 1,5 x 50 P1 = 18,75 kN Suy ra P1 là đối trọng cần tìm. G Nhận xét : Trong trường hợp cần trục không làm việc, nghĩa là không có P3 thì cần trục có thể lật đổ quanh A không ?. G G Vì mômen m A (P1 ) < m A (P2 ) nên cần trục không lật đổ quanh A được. Như vậy cần trục hoàn toàn ổn định cả hai trường hợp làm việc và không làm việc. 4.3 Bài toán hệ vật : 1. Định nghĩa : Hệ vật là một hệ gồm nhiều vật liên kết với nhau. Các lực tác dụng lên các vật thuộc hệ gồm hai loại lực ngoại lực và nội lực Ngoại lực : Là các lực từ bên ngoài hệ tác dụng lên các vật thuộc hệ . Nội lực : Là những lực do các vật thuộc hệ tác dụng lẫn nhau. Do vậy theo tiên đề 4, nôi lực có tùng đôi một trực đối nhau . Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 39
  41. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G Ví dụ : Một cầu hình vòm có ba khớp Q G RC ở A, B, C. Trọng lượng mỗi phần là G G G G P , P . Trên phần AC có đặt vật nặng P G C P 1 2 1 R' 2 G C là Q . (Hình 54). G G RA R Đây là bài toán hệ vật gồm có : phần B G A B AC và BC của cầu. Ngoại lực có P , 1 Hình 54 G G G G P ,Q và các phản lực . Nội lực 2 R A , RB G G G G chỉ có lực liên kết tại C là và với = - . RC R'C RC R'C Chú ý : Trọng lượng của vật bao giờ cũng là ngoại lực. 2. Phương pháp giả bài toán hệ vật : Có hai phương pháp giải bài toán hệ vật là phương pháp tách vật và hoá rắn. Phương pháp tách vật : Là xét từng vật riêng rẽ cân bằng dưới tác dụng các lực trực tiếp đặt lên vật đó. Cứ mỗi vật ta lập được ba phương trình cân bằng và giải phương trình ta được kết quả. Phương pháp hoá rắn : Là xem cả hệ như một vật rắn cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực đặt lên hệ (nội lực triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một) ta chỉ lập được ba phương trình cân bằng. Sau đó ta có thể tách thêm một số vật để khảo sát và lập thêm những phương trình cân bằng mới cần thiết để giải. Ví dụ : Cho một hệ gồm hai A D B thanh AB và BE như hình 55. Thanh AB có trọng lượng P1 = G E α P1 200 N, thanh BC có trọng G C P2 lượng P2 = 160 N AB = a, BD Hình 55 1 1 = a , BC=b, EC = b . Tìm 3 3 phản lực tại A, D, E cho α=300. Bài giải: Đây là hệ gồm hai vật : thanh AB và BO. Áp dụng phương pháp tách vật, ta khảo G sát từng vật một. Xét thanh AB cân bằng. Hệ lực tác dụng lên thanh gồm có P1 phản Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 40
  42. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G G G lực tại A là X A ,YA phản lực tại D là N D (gối di động) và nội lực tại bản lề B là G G G G G G G G X B ,YB . Hệ lực này cân bằng : ( P1 , X A ,YA , X B ,YB , N D ) ~ 0. Phương trình của hệ lực là : (1) ∑ X = X A + X B = 0 ∑Y = YA + YB + N D − P1 = 0 (2) G a 2 mA (F) = − P1 + aN D + aYB = 0 (3) ∑ 2 3 G G G G Xét thanh BE cân bằng với các lực tác dụng là P2 , N E ┴ thanh và X 'B ,Y 'B cân bằng: G G G G ( P2 , N E , X 'B ,Y 'B ) ~ 0 Phương trình cân bằng là : (4) ∑ X = X 'B +N E sinα = 0 ∑Y = −YB + P2 + N E cosα = 0 (5) G 2 b m (F) = − bN − P cosα = 0 (6) ∑ B 3 E 3 2 Giải 6 phương trình cân bằng trên với chú ý là : G G G G X 'B = −X B ,Y 'B = −YB ta tìm được kết quả : 3 Từ (6) ta tìm được: N = P cosα = 60N 4 Từ (4) ta có : X B = X 'B = N E sinα = 51,96N Tương tự ta tìm được : YB = Y'B = −P2 + N E cosα = −130N 3 3 N = − Y + P D 2 B 4 1 X A = −X B = −51,96N YA = −YB − N D + P1 = −15N G G G Các lực YB , Y 'B ,YA có giá trị âm nên chúng ngược chiều với chiều trên hình vẽ. Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 41
  43. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Ví dụ 5: Thanh di động ABC đặt C G trên nền nhẵn nằm ngang gồm hai Q phần AC và BC được nối với nhau K y bằng khớp bản lề C và dây DE. G G P P Trọng lượng mỗi phần là P = 100N. G D E G N A N Cho AC = BC = 6 m, AD = BE = 2 B x m. Một người trọng lượng Q = A B 540N đứng tại điểm K của thang với Hình 56 CK = 1 m. Xác định phản lực tại AB và sức căng của dây ED. Biết góc ABˆC = BAˆC = 600 . Bài giải : Đây là bài toán hệ vật, gồm hai vật là AC và BC. Để giải bài toán này thuận tiện hơn, dùng phương pháp hóa rắn. G G Ngoại lực tác dụng lên hệ vật gồm hai trọng lượng P của thang, trọng lượng Q G G của người, phản lực tại A và B là N A , N B . Vì thang cân bằng nên hệ lực cân bằng (hình 56): G G G G (2 P ,Q , N A , N B ) ~ 0. Phương trình cân bằng : ∑Y = N A + N B − 2P − Q = 0(1) G P.AC BC m (F) = 2N AC cos600 − cos600 − Q(AC + CK)cos600 − P(AC + )cos600 = 0(2) ∑ A B 2 2 Hai phương trình cho ta : NA = 325 N, NB = 415 N. Để tím sức căng của dây ta tách phần AC và xét cân bằng với các lực tác dụng : G G G G G ( P , N A , X C ,YC ,T ) ~ 0 G G Lập phương trình mômen đối với điểm C (loại trừ phản lực X C ,YC ) G PAC m (F) = −N.AC.cos 600 + cos 600 + TCD sin 600 = 0 ∑ C 2 Từ đó ta suy ra T = 303,1 N. Chú ý : Trong bài toán hệ vật ta cần chú ý nội lực. Khi hoá rắn cả hệ, nội lực triệt tiêu, nhưng khi tách ra thì trên mỗi phần tách ra, ta đặt chúng có từng đôi một tương ứng trực đối nhau. Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 42
  44. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 4.4 Bài toán siêu tĩnh : Tất cả bài toán tĩnh học, nếu số ẩn của bài toán nhỏ hơn hoặc bằng số phương trình cân bằng tối đa lập được cho một vật ( hoặc một hệ ) thì gọi là bài toán xác định tĩnh ( hoặc bài toán tĩnh định ). Nếu số ẩn bài toán lớn hơn số phương trình cân bằng nói trên thì gọi là bài toán siêu tĩnh. Đối với hệ lực phẳng bất kỳ tác dụng một vật cân bằng ta chỉ có ba phương trình, với một hệ có n vật thì ta lập nhiều nhất là 3.n phương trình. Gọi s là số ẩn của bài toán hệ có n vật, nếu : ƒ s ≤ 3.n : Bài toán tĩnh định ƒ s > 3.n : Bài toán siêu tĩnh Tương tự đối với bài toán hệ lực không gian bất kỳ, ta có : ƒ s ≤ 6.n : Bài toán tĩnh định ƒ s > 6.n : Bài toán siêu tĩnh. G Ví dụ : Cho một dầm AB, đầu A ngàm, đầu B tự do, chịu tác dụng lực P và lực phân bố q. G g Y G A P MA G A X A B Hình 58 Đây là bài toán tĩnh định vì n=1 và hệ lực phẳng tác dụng, ta lập được 3 phương G G trình cân bằng, còn liên kết ở ngàm có các phản lực X A ,YA , MA nên s = 3n. Bây giờ cũng dầm AB, nếu đầu B ta đặt thêm một liên kết ngàm nữa, nghĩa là s=6, như vậy s>3n nên bài toán này lá bài toán siêu tĩnh. Khi s>3n, ta đặt m=s-3n, thì m gọi là bậc siêu tĩnh của bài toán. Với bài toán trên : m= 6 – 3 = 3. Đây là bài toán siêu tĩnh bậc 3 Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 43
  45. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC CHƯƠNG III MA SÁT §1. MỞ ĐẦU Ma sát là hiện tượng phổ biến ta thường gặp trong thực tế và kỹ thuật. Ma sát có nhiều nguyên nhân, chủ yếu do bề mặt các vật tiếp xúc gồ ghề và biến dạng của các vật ( Hình 60 ). G Ma sát cũng có lợi song rất có hại nhờ có ma sát mà G P R G con người, xe cộ có thể di chuyển trên mặt đất. Nhưng Q ma sát rất có hại là cản trở chuyển động làm hao mòn máy móc và hao tổn nhiên liệu. Hình 60 Ngày nay, trong thực tế người ta lợi dụng ma sát trong kỹ thuật như làm móng cọc ma sát, chuyền chuyển động giữa dây cua roa và bánh xe, hãm chuyển động bằng ma sát. Người ta làm giảm ma sát bằng cách bôi trơn dầu mỡ, hay làm các bề mặt tiếp xúc nhẵn để các vật dễ chuyển động. Tuỳ theo trạng thái chuyển động của vật mà người ta phân ma sát ra làm các loại khác nhau như : ma sát trượt, ma sát lăn, ma sát xoay Trong chương này, ta sẽ khảo sát hai loại ma sát thường gặp là ma sát trượt và ma sát lăn, để hoàn thiện phản lực liên kết và cách giải bài toán cân bằng khi có ma sát. §2. MA SÁT TRƯỢT Ma sát trượt là hiện tượng ngăn cản chuyển động trượt hay có xu hướng trượt vật này trên mặt vật khác. 2.1 Thí nghiệm của Cu-lông : G Trên mặt bàn nằm ngang, người ta đặt vật N G G nặng A trọng lượng P và buột vào vật một sợi F Q dây vòng qua ròng rọc, đầu dưới treo một đĩa G cân ( hình 61 ). P Ban đầu ta chưa cho quả cân vào đĩa, nghĩa là lực Q = 0, khi đó vật A cân bằng Hình 61 dưới tác dụng của trọng lượng P và phản lực Chương III Ma sát Trang44
  46. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G N, nghĩa là trị số N = P. Bây giờ ta cho quả cân có trọng lượng nhỏ thì lực Q còn G bé, vật vẫn cân bằng. Như vậy để cân bằng với lực Q thì ở mặt liên kết xuất hiện G G lực F . Lực F gọi là ma sát trượt. Trị số lực F = Q vì vật vẫn cân bằng cho đến khi Q = Q1 thì lực F=Fmax , sau đó chỉ cần tăng lực Q một ít nữa vật bắt đầu trượt. G Chứng tỏ lực ma sát F không tăng nữa. Lực Fmax gọi là lực ma sát trượt cực đại ( lớn nhất ). Từ thí nghiệm trên người ta rút ra các định luật về ma sát như sau : 1. Lực ma sát trượt : khi có ma sát trượt, thì ở bề mặt tiếp xúc ngoài phản lực G G pháp tuyến N , còn xuất hiện lực ma sát F hướng ngược chiều với chiều vật muốn trượt. Lực ma sát trượt là lực biến thiên thụ động và có giới hạn, nghĩa là : 0 ≤ F ≤ Fmax 2. Lực ma sát trượt cực đại là lực ma sát lớn nhất, được xác định theo công thức: Fmax = f.N Trong đó : N là phản lực pháp tuyến, f là hệ số tỷ lệ còn gọi là hệ số ma sát trượt, đó là một hư số. Như vậy lực ma sát trượt cực đại tỷ lệ với phản lực pháp tuyến. 3. Hệ số ma sát trượt f chỉ phụ thuộc vào bản chất các vật ( gỗ, sắt, gạch, ) và trạng thái bề mặt vật tiếp xúc ( trơn, nhám, ướt ) mà không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc. Hệ số f được xác định bằng thực nghiệm. Sau đây là vài giá trị của f. Gỗ trên gỗ : f = 0,4 ÷ 0,7 Thép trên thép : f = 0,15 ÷ 0,25 Đá trên đá : f = 0,6 ÷ 0,7 Cuối cùng ta có : 0 ≤ F ≤ f .N Khi vật A trượt, ta có hệ số ma sát trượt động fđ. Hệ số fđ còn phụ thuộc vận tốc chuyển động của vật, nhưng thường lấy ≈ f. Chương III Ma sát Trang45
  47. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 2.2 Góc ma sát và nón ma sát : Trên đây, khi giải các bài toán tĩnh học ta bỏ qua ma sát, giả thuyết các mặt liên kết nhẵn, nên chỉ có phản lực pháp tuyến ở mặt liên kết đó. Khi có ma sát trượt, G G ngoài phản lực pháp tuyến N còn thêm lực ma sát trượt F , khi đạt đến trạng thái G G giới hạn F = Fmax, hợp hai thành phần phản lực N và Fms ta được phản lực toàn phần : G G G Rmax = N + Fmax G G Lực Rmax làm với phản lực pháp tuyến N một φ, φ được gọi là góc ma sát trượt. Theo hình 62, ta có : F f .N tgϕ = max = = f N N G R G tgϕ = f max N φ Như vậy, tang góc ma sát bằng hệ số ma sát G F trượt. max Khi vật cân bằng thì F ≤ F nên phản lực max Hình 62 G G G toàn phần R = N + F nằm trong góc ma sát. G Nếu cho vật di chuyển theo mọi hướng trên mặt liên kết B thì phản lực Rmax sẽ quét nên hình nón, gọi đó là nón ma sát. Với mọi hướng góc ma sát không đổi thì ta được nón ma sát tròn xoay. 2.3 Bài toán cân bằng khi có ma sát : Cũng như mọi bài toán tĩnh học, bài toán G R cân bằng khi có ma sát trượt thì hệ lực tác dụng lên vật phải thoả mãn điều kiện cân φ α bằng. Ngoài ra, lực ma sát trượt cần phải thoả mãn điều kiện giới hạn của nó, nghĩa là : Hình 63 0 ≤ F ≤ f .N hoặc α ≤ ϕ G ( R phải nằm trong nón ma sát ) Chương III Ma sát Trang46
  48. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Khi F = Fmax = f.N thì vật vẫn còn cân bằng, trạng thái cân bằng này gọi là cân bằng giới hạn. Còn đối với mọi giá trị khác của F ≤ f .N vật vẫn cân bằng, nên bài toán ma sát không phải một mà nhiều vị trí cân bằng tạo thành một miền cân bằng. Vì vậy để giải bài toán cân bằng khi có ma sát, ta thường khảo sát véctơ ở trạng thái cân bằng giới hạn, từ đó suy ra miền cân bằng của bài G N G toán. y F B Ví dụ : Trên mặt phẳng OB có thể quay quanh G O α P O, ta đặt vật nặng A trọng lượng P. Hệ số ma sát trượt giữa vật nặng và mặt OD là f. Tìm Hình 64 góc α bao nhiêu để vật A bặt đầu trượt (hình 64) Bài giải: G G Ta khảo sát vật A cân bằng, dưới tác dụng của pháp tuyến N trọng lượng P , G G lực ma sát F ( F hướng lên vì vật A có xu hướng trượt xuống). Vì vật cân bằng : G G G ( P , N , F ) ~ 0 Lập các phương trình cân bằng : (1) ∑ X = F − Psinα = 0 ∑Y = N − P cosα = 0 (2) F = fN (3) Giải các phương trình trên ta tìm được : tgα = f. Khi vật A ở trạng thái cân bằng giới hạn thì tgα = tgφ hay α = φ. Như vậy khi góc α bằng góc ma sát vật sẽ trượt. Đây cũng là thí nghiệm để tím góc ma sát φ và từ đó suy ra hệ số ma a C sát f. b A Ví dụ 2: Cho một hệ như hình vẽ. Để B R giữ vật Q không rơi xuống cần tác O r dụng lực P nhỏ nhất bao nhiêu ? Cho biết hệ số ma sát trượt giữa má hãm và bánh xe là f. Bỏ qua bề dày má Hình 65 G hãm Q. Q Chương III Ma sát Trang47
  49. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Bài giải: G Ta chia bài toán này ra hai bước : G N C F Bước I: Ta khảo sát bánh xe và trục O ở trạng thái cân ms G RO bằng giới hạn, nghĩa là : F = Fmax = fN Ở bánh xe và trục O gắn chặt với nhau. Hệ lực tác dụng G G G G lên vật là (Q , RO , N C , Fms )~0 G G Trong đó RO là phản lực ở trục O, NC là phản lực pháp Hình 66 G tuyến của má hãm áp lên bánh xe. Fms là lực ma sát trượt G Q do má hãm đặt lên bánh xe (hình 66) Ta lập phương trình mômen đối với O: G ∑ mO (F) = −Q.r + Fms .R = 0 và điều kiện của lực ma sát là : G G R G A N'C P Fms = f.NC min Từ điều kiện (1) và (2) ta suy ra : A G B F' rQ ms N = . Hình 67 C fR G G G G Bước 2: Xét cân bằng đòn AB với các lực tác dụng : ( RA , N'C , F'ms , Fmin )~0 trong đó G G G G N'C và F'ms là nội lực của hệ nên khi tách ra ta vẽ ngược chiều với NC Fms tác dụng lên bánh x. Vì xét cân bằng giới hạn nên lực P = Pmin , nếu P>Pmin thì NC càng lớn và tời càng cân bằng, nếu P<Pmin thì NC sẽ nhỏ không đủ sức giữ vật Q và tời O quay. Ta lập điều kiện cân bằng là phương trình mômen đối với A. G ∑ mA (P) = aN'C −(a + b)Pmin = 0 a + b Từ đó suy ra : N = P C a min a + b rQ raQ Ta biết NC = NC nên : P = và P = a min fR min (a + b) fR Vậy muốn tời cân bằng thì : raQ P ≥ min (a + b) fR Chương III Ma sát Trang48
  50. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC §3. MA SÁT LĂN Ma sát lăn là hiện tượng chuyển G N động lăn hay có xu hướng lăn của vật này trên mặt vật khác. M G Có một con lăn đặt trên mặt vật liên F kết B có xu hướng lăn về phía bên phải thì tại điểm liên kết ngoài phản lực pháp Hình 68 G G tuyến N , lực ma sát trượt F còn xuất hiện một ngẫu lực N cản chuyển động lăn gọi là ngẫu lực ma sát lăn. 3.1 Các định luật và ma sát lăn : Qua thực nghiệm ta thấy : - Ngẫu lực ma sát lăn có chiều ngược với chiều vật có hướng lăn. - Ngẫu lực ma sát lăn có mômen biến thiên và có giới hạn là Mmax (Mmax ngẫu lực ma sát lăn cực đại) : 0 ≤ M ≤ M max - Mômen ngẫu lực ma sát lăn cực đại tỷ lệ phản lực pháp tuyến N. Mmax = kN Hệ số tỷ lệ k gọi là hệ số ma sát lăn, có thứ nguyên dài được xác định bằng thực nghiệm. Hệ số k cũng phụ thuộc vào bản chất vật liệu và bề mặt tiếp xúc. Sau đây là vài con số cề trị số của k : - Gỗ trên gỗ : k = 0,05 ÷ 0,08 cm M G T - Thép trên thép : k = 0,005 cm C G G R - Thép tôi trên thép tôi : k = 0,001 F P cm G Thật vậy, khi đặt con lăn trên mặt N G Hình 69 liên kết B (hình 69) và kéo với lực T G G bé, con lăn vẫn cân bằng, nghĩa là ở bề mặt liên kết B ngoài phản lực N , F còn G G xuất hiện ngẫu lực M để cân bằng với ngẫu lực ( Q , F ) gây ra chuyển động lăn. M = R.T Tiếp tục tăng T thì con lăn vẫn cân bằng cho đến khi T = T1 con lăn bặt đầu lăn, nghĩa là M ≤ Mmax . Nguyên nhân chủ yếu có ma sát lăn là do vật liệu có biến Chương III Ma sát Trang49
  51. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC dạng nên giữa con lăn và mặt liên kết tiếp xúc nhau một miến quanh điểm B. Phản G R lực liên kết tác dụng lên con lăn là một M hệ lực khi thu về một điểm được một lực G G G R có hai thành phần là M và R , còn B Hình 70 ngẫu lực M chính là ngẫu lực ma sát lăn (Hình 70) 3.2 Bài toán cân bằng khi có ma sát lăn : G Khi tác dụng lên con lăn một lực T , thì con lăn có xu hướng lăn và cũng có xu G hướng trượt. Do đó, ở mặt liên kết ngoài phản lực pháp tuyến N , có lực ma sát G trượt F và ngẫu lực ma sát lăn M. Vì vậy điều kiện vật cân bằng là hệ lực tác dụng lên vật phải thoả mãn điều kiện cân bằng của hệ lực nói chung, ngoài ra lực ma sát trượt và ngẫu lực ma sát phải thoả mãn điều kiện giới hạn của nó là : M ≤ Mmax = kN (1) F ≤ Fmax = fN (2) Nếu một trong hai điều kiện trên không thoả mãn thì sẽ phát sinh ra chuyển động tương ứng. Cả hai điều kiện (1) và (2) không thoả mãn thì vật sẽ vừa lăn vừa trượt. Trong thực tế ma sát lăn thường nhỏ hơn ma sát trượt rất nhiều. Vì vậy đối với con lăn thì dễ lăn hơn dễ trượt, nên trong kỹ thuật cần đơn giản ma sát thì có thể thay ma sát trượt bằng ma sát lăn. Ví dụ thay bạc trong các ổ đỡ trục bằng các vòng bi, hay khi kéo một dầm cầu người ta đặt trên các con lăn Ví dụ 3 : Một hình trụ bán kính R, trọng lượng P đặt trên mặt phẳng nghiêng α. Tìm góc α để con lăn sẽ lăn đều. Cho y hệ số ma sát lăn k = 0,005 cm. G Bài giải: G M N F Ta khảo sát hình trụ cân bằng. Hệ lực G G G tác dụng lên hình trụ (P , N , F ,M) ~ 0 G P α x với Hình 71 Chương III Ma sát Trang50
  52. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC F ≤ fN M ≤ kN Lập điều kiện cân bằng, ta có các phương trình sau : X = Psinα − F = 0 ∑ (1) Y = N − P cosα = 0 ∑ G (2) ∑ mB (F) = M − P.R.sinα = 0 F ≤ fN (3) M ≤ kN (4) Từ (2) : N = Pcosα. (5) Từ (1) và (4) ta tìm được : tgα ≤ f k Từ (3) và (5) ta được : tgα ≤ R k k Thường rất bé so với f. Do đó để con lăn cân bằng thì : tgα ≤ R R k Khi tgα = thì con lăn sẽ bắt đầu lăn (nếu chỉ tăng tgα lên một ít thôi). Khi đó con R lăn đều. Nếu tiếp tục tăng α cho đến khi tgα ≥ f thì còn lăn vừa lăn vừa trượt. Chương III Ma sát Trang51
  53. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC CHƯƠNG IV TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN Để xác định trọng tâm của vật rắn trước nhất ta làm quen khái niệm tâm của hệ lực song song. §1. TÂM HỆ LỰC SONG SONG - TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN 1.1 Tâm hệ lực song song : G G G Giả sử cho hệ lực song song cùng chiều F1 , F2 , , Fn đặt tại A1, A2, , An (hình G 72). Hệ này có hợp lực R cùng chiều các lực thành phần và trị số : R = ∑ Fk Nếu bây giờ ta xoay các lực của hệ z quanh các điểm đặt của chúng theo cùng A G C1 1 F1 chiều và cùng một góc, ta được một hệ lực A2 G G F2 G G G G F'1 mới F'1 , F'2 , , F'n song song cùng chiều F'2 C và cùng trị số với nhau nhưng khác chiều O y G G A R' G hệ lực cũ. Hợp lực R' của hệ lực này rõ G 3 R F'3 G ràng có trị số bằng R và đường tác dụng F3 sẽ khác đi. Song ta cần chứng minh rằng x G G đường tác dụng của hợp lực R hay R' đều Hình 72 qua điểm C cố định nào đó. Điểm C này được gọi là tâm hệ lực song song đã cho G G G G G Thật vậy, bắt đầu ta hợp hai lực song song với F1 , F2 được hợp lực R1 = F1 + F2 G G G đặt tại C1. Ta nhận thấy khi quay F1 quanh A1, F2 quanh A2 thì R1 quay quanh C1 cùng chiều quay và cùng một góc với các lực đó. Điểm C1 nằm trên A1A2 và thoả mãn bất đẳng thức F1.A1C1 = F2.A2C2 (theo điều kiện cân bằng của đòn ở đây ta coi G G A1A2 là đòn, điểm C1 là điểm tựa hay trục quay của đòn). Vì khi quay F1 , F2 cùng một góc và cùng chiều thì đoạn A1A2 và đẳng thức trên không đổi. Tiếp tục hợp lực G G G G G G R2 = R1 + F3 = F1 + F2 + F3 bao giờ cũng đi qua C2 nằm trên đoạn thẳng C1A3 và Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 52
  54. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G G tiếp tục làm như vậy cho đến lực Fn , thì hợp lực R của hệ lực song song này luôn đi qua điểm C không đổi đối với các điểm A1, A2, , An nằm trên vật. Ta gọi toạ độ điểm A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), , AC(xC,yC,zC) rồi quay các lực G G G F1 , F2 , , Fn quanh điểm đặt của chúng sao cho song song với trục z thành hệ lực G G G F1 , F2 , , Fn . Áp dụng định lý VARIGNON đối với trục y ta có : G G m y (R) = ∑ m y (Fk ) (a) G Theo hình vẽ m y (R') = R.x O (vì R’ = R) G Tương tự : m y (F1 ') = F1.x1 , Thay vào đẳng thức (a) ta được : R.xO = F1.x1 + F2 .x2 + + Fn .xn F .x + F .x + + F .x F x Hay : x = 1 1 2 2 n n = ∑ k k c R R F .y + F .y + + F .y F y Tương tự : y = 1 1 2 2 n n = ∑ k k c R R F .z + F .z + + F .z F z z = 1 1 2 2 n n = ∑ k k c R R Trong đó : R = ∑ Fk (4.1) Áp dụng công thức này ta tìm trọng tâm vật rắn. 1.2 Trọng tâm vật rắn : Các vật đặt gần quả đất đều chịu lực hút quả đất hướng thẳng đứng từ trên xuống gọi là trọng lực. Đối với vật có kích thước khá bé so với đường kính quả đất thì có thể xem trọng lực các phân tố của vật như các lực song song và có giá trị không đổi với từng phân tố khi ta xoay vật. Trong truờng hợp như vậy gọi là trường hợp trọng lực đồng nhất. Giả sử ta có một vật rắn. Chia vật thành n phân tố chịu các G G G G lực P1 , P2 , , Pn tác dụng. Hợp các lực này ta được lực P . Đó chính là trọng lượng của vật, được tính theo công thức : n P = ∑ Pk (4.2) k =1 Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 53
  55. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G Dù vật quay thế nào các lực P vẫn k z giữ nguyên điểm đặt trên vật và song song với nhau. A2 G G Vì thế hợp lực P của chúng luôn đi A1 F2 G qua điểm C cố định trên vật. C là tâm F C y G 1 các lực song song P cũng là điểm đặt k An G G của trọng lực P còn gọi là trọng tâm của G P Fn vật (Hình 73). x Vậy trọng tâm của vật là một điểm Hình 73 cố định trên vật mà trọng luợng của vật luôn luôn đặt tại điểm đó. Theo công thức (4.1) ta suy ra công thức xác định trọng tâm của vật là : P .x x = ∑ k k C P P .y y = ∑ k k (4.3) C P P .z z = ∑ k k C P Trong đó xk, yk, zk là toạ độ điểm đặt của lực Pk của phân tố thứ k (k = 1,2, n) §2. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM CỦA VẬT ĐỒNG CHẤT ĐỐI XỨNG, VẬT PHỨC TẠP (VẬT GHÉP, VẬT KHUYẾT ) 2.1 Toạ độ trọng tâm các vật đồng chất: N ếu các vật đồng chất là một khối thì trọng lượng Pk của phân tố nào cũng tỷ lệ với thể tích của nó Pk = γ.Vk. Trọng lượng P của vật tỷ lệ thể tích của vật V1, nghĩa là P = γ.V (γ là trọng lượng riêng của vật ). Theo công thức (4.3) công thức xác định trọng tâm của vật là : V .x x = ∑ k k C V V .y y = ∑ k k (4.4) C V V .z z = ∑ k k C V Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 54
  56. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Tương tự vật là bản phẳng mỏng đồng chất thì toạ độ trọng tâm của bản là : ∑ S k .xk xC = S (4.5) S .y y = ∑ k k C S Sk diện tích phân tố k của bản, S là diện tích của bản. Cũng vậy, toạ độ trọng tâm của đường cong đồng chất sẽ là : l .x x = ∑ k k C l l .y y = ∑ k k (4.6) C l l .z z = ∑ k k C l lk chiều dài phân tố k, l chiều dài của đường cong. 2.2 Các phương pháp xác định trọng tâm của vật đồng chất : 1. Phương pháp đối xứng : Định lý : Nếu vật đồng chất có mặt phẳng π đối xứng, một trục hoặc tâm đối xứng thì trọng tâm của vật nằm trên mặt phẳng đối xứng, trục hoặc tâm đối xứng ấy. Thật vậy, ta chia vật thành những cặp phần P'k Pk tử đối xứng bằng nhau qua mặt phẳng (Hình 74). P''k Hợp các trọng lực của từng cặp lại, ta được một hệ lực song song có điểm đặt nằm trên mặt phẳng. Trọng lực P của vật là hợp lực các lực Hình 74 này cũng nằm trên mặt phẳng đối xứng của vật. Với trục đối xứng và tâm đối xứng ta cũng chứng minh như vậy. 2. Phương pháp phân chia (vật ghép) : Một vật có thể chia ra một số hữu hạn phần tử mà vị trí trọng tâm từng phần tử đó ta có thể xác định dễ dàng thì trọng tâm của vật có thể xác định theo công thức trên. Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 55
  57. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Ví dụ 1: Cho một bản đồng chất có y 2cm kích thước như hình 75. Hãy xác định 4cm trọng tâm của bản. C2 C3 2cm Bài giải : 6cm Ta dựng hệ trục Oxy và chia hình trên 2cm C thành ba phần. Tính tọa độ trọng tâm của 1 2cm mỗi phần và diện tích của chúng. Hình 75 1 2 3 xk -1 1 4 yk 1 4 7 Sk 4 16 8 Diện tích của bản là : S = S1 + S2 + S3 = 4+ 16 +8 S = 28 cm2. Thay các giá trị số trên vào công thức (4.5) ta được x1S1 + x2 S 2 + x3S3 − 4 +16 + 32 22 xC = = = cm S 28 14 y S + y S + y S 4 + 64 + 56 31 y = 1 1 2 2 3 3 = = cm C S 28 7 3. Phương pháp bù trừ (vật khuyết ): y Phương pháp này là trường hợp riêng của phương pháp phân chia được sử dụng cho vật có lỗ khuyết, khi phân biệt trọng R tâm của vật không có lỗ khuyết và bản thân r x lỗ khuyết. C C1 C2 Ví dụ : Xác định trọng tâm của bản tròn bán kính R, có lỗ khuyết bán kính r (Hình 76). Khoảng cách C1C2 = a. Hình 76 Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 56
  58. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Bài giải: Trọng tâm của hình khuyết này là nằm trên trục đối xứng C1C2. Ta dựng hệ trục C1xy. Để tìm xC ta bù thêm diện tích bản tròn thành kín (phần I) rồi trừ diện tích bằng diện tích lỗ khuyết (phần II). Diện tích phần II (lỗ khuyết) lấy dấu âm. Khi đó, ta có : 2 xC1 = 0, S1 = πR 2 xC 2 = a, S 2 = −πr 2 2 S = S1 + S 2 = π (R − r ) Thay các giá trị đó vào công thức (4.5) ta tìm được : x S + x S − ar 2 x = C1 1 C 2 2 = C S (R 2 − r 2 ) yC = 0 ar 2 Như vậy, trọng tâm O của hình khuyết nằm bên trái C1 một đoạn bằng . (R 2 − r 2 ) 4. Phương pháp thực nghiệm : Ngoài các phương pháp trên, người ta còn dùng phương pháp thực nghiệm như treo hoặc cân vật để tìm trọng tâm của vật có hình dạng phức tạp: Ví dụ : Để tìm trọng tâm của máy bay người ta lần lượt đặt các bánh xe lên bàn cân tìm được M1 và M2. Lập b phương trình như sau: a N1 N 2 a.N2 = (b-a).N1 C Suy ra : B b.N A a = 1 N + N 1 2 P Hình 77 Hoặc ta dùng dây treo vật cần tìm trọng tâm thì phương của dây treo là phương của trọng lực. Ta cho vài ba điểm trên vật thì giao điểm các phương đó là trọng tâm của vật. Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 57
  59. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC §3. CÔNG THỨC TÍNH TRỌNG TÂM CỦA VÀI VẬT ĐỒNG CHẤT ĐƠN GIẢN Xét cung tròn AB bán kính, góc y x ở tâm AOˆB = 2. Theo tính chất đối A xứng trọng tâm của cung tròn sẽ nằm trên trục x (hình 78). Tính toạ độ M’ dl dφ trọng tâm theo công thức sau : M O φ x xk ∆lk 1 xC = lim = x.dl α H ∆lk→0 L L ∫ (L) B Trong đó L là chiều dài cung AB. Để lấy tích phân trên cung AB Hình 78 ta lấy phân tố MM’ có chiều dài dl = Rdφ với góc định vị φ. Toạ độ x của phân tố là : x = R cosϕ Chiều dài của cung AB là : L = 2R.α Từ đó ta có : 1 R 2 α x = xdl = cosϕ.dϕ C ∫ ∫ L (L) 2Rα −α sinα x = R C α Như vậy trọng tâm của cung tròn nằm trên trục đối xứng của nó và cách điểm Q của cung một đoạn bằng : sinα x = R C α Trong đó α tính bằng radian. Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 58
  60. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 3.2 Trọng tâm tam giác : Dựng các đường thẳng song song cới cạnh đáy BD, chia tam giác ra thành nhiều dãi hẹp (hình 79) Rõ ràng trọng tâm của mỗi dãi sẽ A nằm trên trung tuyến AE của tam giác. Vì vậy trọng tâm của tam giác sẽ nằm I M trên trung tuyến này. Ta cũng làm như C vậy đối với hai trung tuyến kia. Từ đó B C suy ra, trọng tâm tam giác sẽ nằm trên E giao điểm của ba đường trung tuyến Hình 79 của nó, nghĩa là : 1 CE = AE (4.7) 3 3.3 Trọng tâm hình quạt : Cho một hình quạt bán kính R, góc ở tâm D AOˆB = 2α . Từ điểm O, ta vẽ các bán kính 2 R chia hình quạt ra thành n hình quạt nhỏ. Khi n 3 tăng lên vô hạn thì các hình quạt nhỏ xem α x O như những tam giác mà nó có trọng tâm trên α C 2 cung DE có bán kính R . 3 Trọng tâm hình quạt trùng với trọng tâm Hình 80 B của cung tròn DE. Theo công thức (4.6) thì trọng tâm hình quạt sẽ là : 2 sinα x = R (4.8) C 3 α 3.4 Trọng tâm của chóp : Cho khối chóp tam giác EABD. Để xác định trọng tâm C của khối ta dựng các mặt phẳng song song với đáy ABD, chia khối chóp ra n phân tố. Khi tăng n lên vô hạn ta coi mỗi phân tố đó là một tam giác phẳng. Trọng tâm các tam giác này nằm trên đường thẳng EC1 (C1 trọng tâm đáy ABD). Vì vậy trọng tâm của khối sẽ nằm trên EC1. Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 59
  61. GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Cũng tương tự, ta thấy trọng tâm E của khối cũng nằm trên AC2 (C2 là trọng tâm mặt BDE). Vì vậy, trọng tâm của khối sẽ là giao điểm C của các EC1 và AC2. C2 Bây giờ ta xác định điểm C vì C C1C2 và AE chia các cạnh của góc B A AKˆ E thành các đoạn tỷ lệ, nên chúng C1 K song song nhau. Tam giác C1C2C đồng dạng tam giác EAC. Ngoài ra D 1 1 Hình 81 KC = AK nên C C = AK . Từ đó 1 3 1 2 3 ta tìm ra được : CC C C 1 1 = 1 2 = CE AE 3 1 1 do đó : CC = CE = EC 1 3 4 Kết quả này cũng đúng cho cả khối chóp đa giác và khối nón. Để tìm trọng tâm của một số vật đồng chất khác ta có thể tra cứu trong các sách cẩm nang kỹ thuật. Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 60