›
›

Giáo trình Cơ học Lý thuyết - Trịnh Anh Ngọc

pdf 71 trang huongle 240
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học Lý thuyết - Trịnh Anh Ngọc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_trinh_anh_ngoc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học Lý thuyết - Trịnh Anh Ngọc

  1. C‘ HOÏC LYÙ THUYEÁT (Toùm taét lyù thuye·t & Baøi taäp maãu) Trònh Anh Ngoïc 15/10/2009
  2. i Lôøi khuyeân We are what we repeatedly do. Excellence, then, is not an act, but a habit. Aristotle Khoâng ai hy voïng hoïc bôi maø khoâng bò öôùt. Cuõng khoâng coù ai hy voïng hoïc bôi maø chæ nhôø ñoïc saùch hay nhìn ngöôøi khaùc bôi. Bôi loäi khoâng theå hoïc maø khoâng coù thöïc haønh. Chæ coù moät caùch hoïc laø töï "neùm" mình xuo·ng nöôùc vaø taäp luyeän haøng tuaàn, thaäm chí haøng thaùng, cho ñe·n khi baøi taäp luyeän trôû thaønh phaûn xaï nheï nhaøng. Töông töï nhö vaäy, cô hoïc khoâng theå ñöôïc hoïc moät caùch thuï ñoäng. Khoâng giaûi quye·t nhieàu baøi toaùn coù tính thaùch thöùc, ngöôøi sinh vieân khoâng coù caùch naøo khaùc ñeå kieåm tra naêng löïc hieåu bie·t cuûa mình veà moân hoïc. —aây laø nôi sinh vieân gaÎt haùi ñöôïc söï töï tin, caûm giaùc thoûa maõn vaø loâi cuo·n naûy sinh nhôø söï hieåu bie·t xaùc thöïc veà caùc nguyeân lyù aån taøng. Khaû naêng giaûi caùc baøi toaùn laø chöùng minh to·t nha·t söï naém vöõng moân hoïc. Nhö trong bôi loäi, baïn giaûi caøng nhieàu baøi toaùn, baïn caøng saéc xaûo, naém baét nhanh caùc kyõ naêng giaûi toaùn. —eå thu lôïi ñaày ñuû töø caùc thí duï vaø baøi taäp ñöôïc giaûi trong taøi lieäu naøy (cuõng nhö saùch baøi taäp maø baïn coù), traùnh tham khaûo ngay lôøi giaûi quaù sôùm. Ne·u baïn khoâng theå giaûi baøi toaùn sau nhöõng noå löïc ban ñaàu, haõy thöû co· gaéng laàn nöõa! Ne·u baïn tìm ñoïc lôøi giaûi chæ sau nhieàu laàn noå löïc, noù seõ ñöôïc giöõ laïi trong trí baïn moät thôøi gian daøi. Coøn ne·u baïn tìm ra ñöôïc lôøi giaûi cuûa rieâng mình cho baøi toaùn, thì neân so saùnh noù vôùi lôøi giaûi trong saùch. Baïn coù theå tìm tha·y ôû ñoù lôøi giaûi goïn hôn, caùch tie·p caän thoâng minh hôn. Taøi lieäu oân taäp naøy khoâng theå thay the· cho saùch lyù thuye·t vaø saùch baøi taäp veà cô hoïc. Noù chæ coù taùc duïng giuùp baïn oân taäp coù chuû ñieåm veà moät so· va·n ñeà quan troïng trong chöông trình moân cô hoïc lyù thuye·t. Moät ñieàu quan troïng: vì moät cuo·n saùch baøi taäp noùi chung thöôøng chöùa ñöïng nhieàu, ra·t nhieàu caùc thí duï vaø baøi taäp, baïn tuyeät ño·i neân traùnh co· gaéng nhôù nhieàu kyõ thuaät vaø lôøi giaûi cuûa noù; thay vì the·, baïn neân taäp trung vaøo söï hieåu bie·t caùc khaùi nieäm vaø nhöõng neàn taûng maø noù haøm chöùa. Haõy baét ñaàu HOÏC vaø TAÄP. Chuùc baïn thaønh coâng.
  3. Muïc luïc 1 —OÄNG HOÏC 1 1 Phöông phaùp moâ taû chuyeån ñoäng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Heätoïañoä 1 1.2 Luaätchuyeånñoäng-Vaänto·c-Giato·c . . . . . . . . . . 3 1.3 Vaøi chuyeån ñoäng quan troïng . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Chuyeånñoängcuûaco·theå 5 2.1 Tröôøng vaän to·c cuûa co· theå . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Hôïp chuyeån ñoäng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 —OÄNG LÖÏC HOÏC 8 1 CaùcñònhluaätNewton 8 1.1 Löïc 8 1.2 Hai baøi toaùn cô baûn cuûa ñoäng löïc hoïc . . . . . . . . . . 9 1.3 Caùc ñònh lyù toång quaùt cuûa ñoäng löïc hoïc . . . . . . . . . 10 3 C‘ HOÏC GIAÛI TÍCH 15 1 Caùckhaùinieämcôbaûn 15 2 Phöông trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 Phöông trình toång quaùt ñoäng löïc hoïc . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phöông trình Lagrange loaïi hai . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Tröôøng hôïp heä baûo toaøn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Thuû tuïc thie·t laäp phöông trình Lagrange loaïi hai . . . 18 BAØI TAÄP 19 ii
  4. MUÏC LUÏC iii L‘ØI GIAÛI MOÄT SOÁ BAØI TAÄP 33 A —eà thi maãu 52 B —eà thi moân Cô hoïc lyù thuye·t 60 Taøi lieäu tham khaûo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
  5. Chöông 1 —OÄNG HOÏC —eå hieàu vaø bie·t caùch giaûi caùc baøi toaùn cô hoïc sinh vieân nha·t thie·t phaûi naém vöõng lyù thuye·t veà cô hoïc. Phaàn lyù thuye·t döôùi ñaây chæ laø toùm löôïc caùc ñieåm chính, sinh vieân neân hoïc laïi phaàn lyù thuye·t töông öùng trong caùc saùch lyù thuye·t. 1 Phöông phaùp moâ taû chuyeån ñoäng Kie·n thöùc caàn bie·t: (1) ñaïi so· vectô vaø (2) giaûi tích vectô (xem Ch. 0, [1]). Laøm caùc baøi taäp töø 1 ñe·n 8. 1.1 Heä toïa ñoä Hình 1: Vectô cô sôû ñòa phöông 1
  6. CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOÏC 2 + Heä toïa ñoä Descartes: M(x, y, z) r = xi + yj + zk (1.1) ⇔ dr = (dx)i + (dy)j + (dz)k (1.2) ⇒ + Heä toïa ñoä truï: M(r, ϕ, z) r = re + ze (1.3) ⇔ r z dr = (dr)e + (rdϕ)e + (dz)e (1.4) ⇒ r ϕ z trong ñoù er, eϕ, ez laø caùc vectô cô sôû ñòa phöông cuûa toïa ñoä truï taïi M. + Heä toïa ñoä caàu: M(r, ϕ, θ) r = re (1.5) ⇔ r dr = (dr)e + (rdϕ)e + (rdθ)e (1.6) ⇒ r ϕ θ trong ñoù er, eϕ, eθ laø caùc vectô cô sôû ñòa phöông cuûa toïa ñoä caàu taïi M. Heä toïa ñoä Quan heä vôùi toïa ñoä Vectô cô sôû ñòa phöông Descartes Truï x = r cos ϕ er = cos ϕi + sin ϕj (r, ϕ, z) y = r sin ϕ e = sin ϕi + cos ϕj ϕ − z = z ez = k Caàu x = r sin θ cos ϕ er = sin θ(cos ϕi + sin ϕj) + cos θk (r, ϕ, θ) y = r sin θ sin ϕ eϕ = sin θ( sin ϕi + cos ϕj) z = r cos θ e = cos θ(cos− ϕi + sin ϕj) sin θk θ − Hình 2: Vectô cô sôû ñòa phöông cuûa toïa ñoä töï nhieân. Treân ñöôøng cong C, choïn ñieåm M0 vaø moät chieàu döông treân C. Hoaønh ñoä cong cuûa ñieåm M treân C laø so· ñaïi so· s coù trò tuyeät ño·i baèng chieàu daøi cung _ M0M vaø la·y da·u coäng ne·u chieàu töø M0 ñe·n M laø chieàu döông, da·u tröø ne·u ngöôïc laïi.
  7. CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOÏC 3 Hình 2 theå hieän caùc vectô cô sôû ñòa phöông cuûa heä toïa ñoä töï nhieân (hoaønh ñoä cong s) cuûa ñöôøng cong coù phöông trình tham so· r = r(s). Vectô tie·p tuye·n ñôn vò t: dr t = . (1.7) ds Vectô phaùp tuye·n ñôn vò n ñöôïc xaùc ñònh sao cho dt 1 = kn = n, (1.8) ds ρ trong ñoù k = 1/ρ laø ñoä cong, ρ laø baùn kính cong (cuûa ñöôøng cong) taïi M. Chuù yù, vectô phaùp tuye·n ñôn vò n luoân höôùng veà beà loõm cuûa ñöôøng cong C. Vectô löôõng phaùp tuye·n ñôn vò: b = t n. (1.9) × + Toïa ñoä töï nhieân: M(s) r = r(s) (1.10) ⇔ dr dr = (ds) = (ds)t (1.11) ⇒ ds 1.2 Luaät chuyeån ñoäng - Vaän to·c - Gia to·c Phöông phaùp Luaät chuyeån ñoäng Vaän to·c Gia to·c Vectô r = f(t) r˙ ¨r x = f(t) Descartes y = g(t) (x, ˙ y,˙ z˙) (¨x, y,¨ z¨) i, j, k  { }  z = h(t) r = f(t) Truï  ϕ = g(t) (r, ˙ rϕ,˙ z˙) (¨r rϕ˙ 2, 2r ˙ϕ˙ + rϕ,¨ z¨) er, eϕ, k  − { }  z = h(t) Cöïc r = f(t) 2  (r, ˙ rϕ˙) (¨r rϕ˙ , 2r ˙ϕ˙ + rϕ¨) er, eϕ ϕ = g(t) − { }  Töï nhieân v2 s = f(t) (v, 0), v =s ˙ v,˙ t, n, b ρ { }  
  8. CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOÏC 4 To·c ñoä v = v . | | Trong toïa ñoä töï nhieân, to·c ñoä v =s ˙, gia to·c tie·p wt =v ˙, gia to·c phaùp 2 wn = v /ρ. Coâng thöùc tính baùn kính cong (kyù hieäu w = w ): | | v2 ρ = . (1.12) w2 w2 − t p Tích voâ höôùng v w cuûa vaän to·c vaø gia to·c theå hieän söï nhanh chaäm cuûa chuyeån ñoäng · > 0 nhanh daàn v w = vv˙ < 0 chaäm daàn (1.13) ·   = 0 ñeàu  1.3 Vaøi chuyeån ñoäng quan troïng ? Chuyeån ñoäng troøn. —ieåm chuyeån ñoäng troøn trong Oxy quanh O. Kyù hieäu: r - vectô ñònh vò ñieåm, ϕ - goùc quay, ω =ϕ ˙ - vaän to·c goùc, ~ω = ωk - vectô vaän to·c goùc. Vaän to·c cuûa ñieåm v = ~ω r. (1.14) × Gia to·c cuûa ñieåm w = ~ r ω2r, (1.15) × − wt wn | {z } | {z } trong ñoù ~ = d~ω/dt ( = dω/dt) laø vectô gia to·c goùc. Ne·u chuyeån ñoäng ñeàu thì v = ωR (ω = const) vaø gia to·c höôùng taâm w = ω2R (R - baùn kính cuûa quyõ ñaïo). ? Chuyeån ñoäng coù gia to·c xuyeân taâm gia to·c xuyeân taâm r v = c (const) Quyõ ñaïo phaúng ⇔ × ⇒ vaän to·c dieän tích d~σ = 1 r v = 1 c (const). ⇔ dt 2 × 2
  9. CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOÏC 5 Coâng thöùc Binet: mc2 d2 1 1 + = F. (1.16) r2 dϕ2 r r −     Phaân loaïi baøi toaùn ñoäng hoïc ñieåm ◦ Baøi toaùn thöù nha·t: Tìm phöông trình chuyeån ñoäng (luaät chuyeån ñoäng), phöông trình quyõ ñaïo, vaän to·c, gia to·c, gia to·c tie·p, gia to·c phaùp, baùn kính cong cuûa quyõ ñaïo. Baøi toaùn thöù hai: Khaûo saùt chuyeån ñoäng nhanh daàn ñeàu, chaäm daàn ñeàu vaø ñeàu. 2 Chuyeån ñoäng cuûa co· theå Co· theå laø cô heä maø khoaûng caùch giöõa caùc ñieåm cuûa noù khoâng thay ñoåi trong quaù trình chuyeån ñoäng. Vò trí cuûa co· theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi ba ñieåm khoâng thaúng haøng cuûa noù. 2.1 Tröôøng vaän to·c cuûa co· theå —Únh lyù 1. Tröôøng vaän to·c cuûa moät co· theå (S) laø tröôøng ñaúng chie·u - - v(M) MN= v(N) MN M, N (S). (1.17) · · ∀ ∈ ? Chuyeån ñoäng tònh tie·n Co· theå (S) chuyeån ñoäng tònh tie·n khi vectô no·i hai ñieåm ba·t kyø cuûa noù luoân luoân cuøng phöông vôùi chính noù. Tröôøng vaän to·c, gia to·c trong chuyeån ñoäng tònh tie·n laø tröôøng ñeàu. Chuyeån ñoäng cuûa (S) daãn veà chuyeån ñoäng cuûa moät ñieåm thuoäc (S). ? Chuyeån ñoäng quay quanh moät truïc co· ñònh Co· theå (S) chuyeån ñoäng quay quanh truïc co· ñònh khi noù coù hai ñieåm co· ñònh. Truïc quay laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm co· ñònh naøy. Caùc ñieåm naèm ngoaøi truïc quay chuyeån ñoäng troøn vôùi taâm naèm treân truïc quay. Goïi k laø vectô ñôn vò cuûa truïc quay (Oz), ϕ laø goùc quay.
  10. CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOÏC 6 Phöông trình chuyeån ñoäng: ϕ = ϕ(t). Tröôøng vaän to·c: v(M) = ~ω r, (1.18) × trong ñoù ~ω =ϕ ˙k laø vectô vaän to·c goùc. Tröôøng gia to·c: w(M) = ~ r + ~ω (~ω r), (1.19) × × × trong ñoù ~ =ϕ ¨k laø vectô gia to·c goùc. Gia to·c tie·p w = ~ r, gia to·c phaùp t × w = ~ω (~ω r). n × × ? Chuyeån ñoäng toång quaùt. Chuyeån dòch ba·t kyø cuûa co· theå töø vò trí naøy sang vò trí khaùc, trong khoaûng thôøi gian voâ cuøng beùù (chuyeån ñoäng töùc thôøi), coù theå ñöôïc thöïc hieän nhôø chuyeån ñoäng tònh tie·n, töông öùng vôùi chuyeån dòch cuûa moät ñieåm, vaø chuyeån ñoäng quay quanh truïc ñi qua ñieåm a·y. Tröôøng vaän to·c cuûa co· theå trong chuyeån ñoäng toång quaùt (coâng thöùc Euler): - v(M) = v(C) + ω(t) CM. (1.20) × ? Chuyeån ñoäng song phaúng Co· theå (S) chuyeån ñoäng song phaúng khi coù ba ñieåm khoâng thaúng haøng luoân luoân chuyeån ñoäng trong maÎt phaúng (π) co· ñònh. Khi khaûo saùt chuyeån ñoäng song phaúng ta chæ caàn xeùt chuyeån ñoäng cuûa moät tie·t dieän cuûa noù (phaàn giao cuûa co· theå vôùi (π)). Chuyeån ñoäng töùc thôøi cuûa co· theå goàm: chuyeån ñoäng chuyeån ñoäng quay quanh moät truïc vuoâng goùc vôùi (π), vaø chuyeån ñoäng tònh tie·n xaùc ñònh bôûi chuyeån ñoäng cuûa giao ñieåm truïc quay töùc thôøi vôùi maÎt phaúng (π) goïi laø taâm vaän to·c töùc thôøi. Phaân loaïi baøi toaùn ñoäng hoïc co· theå ◦ Baøi toaùn thöù nha·t: Khaûo saùt chuyeån ñoäng quay cuûa co· theå quanh truïc co· ñònh. Va·n ñeà: tìm ϕ, ω,  cuûa co· theå; vaän to·c, gia to·c cuûa moät ñieåm naøo ñoù treân co· theå. Baøi toaùn thöù hai: Baøi toaùn chuyeàn ñoäng. Baøi toaùn thöù ba: Ke·t hôïp vôùi chuyeån ñoäng quay vôùi chuyeån ñoäng tònh tie·n. 2.2 Hôïp chuyeån ñoäng Heä quy chie·u co· ñònh (T ) = Oxyz, chuyeån ñoäng cuûa M ño·i vôùi (T ) goïi • laø chuyeån ñoäng tuyeät ño·i. va, wa - vaän to·c, gia to·c cuûa M ño·i vôùi (T ),
  11. CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOÏC 7 goïi laø vaän to·c, gia to·c tuyeät ño·i cuûa M. Heä quy chie·u ñoäng (T ) = O x y z ((T ) chuyeån ñoäng ño·i vôùi (T )), • 1 1 1 1 1 1 chuyeån ñoäng cuûa M ño·i vôùi (T1) goïi laø chuyeån ñoäng töông ño·i. vr, wr - vaän to·c, gia to·c cuûa M ño·i vôùi (T1), goïi laø vaän to·c, gia to·c töông ño·i cuûa M. Chuyeån ñoäng cuûa (T ) ño·i vôùi (T ) goïi laø chuyeån ñoäng theo. Chuyeån • 1 ñoäng cuûa ñieåm P , gaén vôùi (T1) truøng vôùi M taïi thôøi ñieåm ñang xeùt, ño·i vôùi (T ) goïi laø chuyeån ñoäng theo cuûa M. ve, we - vaän to·c, gia to·c cuûa P ño·i vôùi (T ), goïi laø vaän to·c, gia to·c theo cuûa M. ? Coâng thöùc coäng vaän to·c: va = vr + ve. (1.21) ? Coâng thöùc coäng gia to·c: wa = wr + we + wc, (1.22) trong ñoù w = 2~ω v (1.23) c × r laø gia to·c Coriolis sinh ra do chuyeån ñoäng quay cuûa (T1) ño·i vôùi (T ). Phaân loaïi baøi toaùn hôïp chuyeån ñoäng ◦ Baøi toaùn thöù nha·t: Baøi toaùn toång hôïp chuyeån ñoäng. Baøi toaùn thöù hai: Baøi toaùn phaân tích chuyeån ñoäng. ? Chuyeån ñoäng song phaúng laø chuyeån ñoäng trong ñoù co· theå coù ba ñieåm khoâng thaúng haøng thuoäc co· theå luoân luoân chuyeån ñoäng trong moät maÎt phaúng co· ñònh. Chuyeån ñoäng song phaúng ñöôïc xeùt baèng caùch khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa hình phaúng S thuoäc co· theå naèm trong maÎt phaúng co· ñònh. Giao ñieåm cuûa truïc quay töùc thôøi cuûa co· theå vôùi maÎt phaúng co· ñònh goïi laø taâm quay hay taâm vaän to·c töùc thôøi. Phaân loaïi baøi toaùn chuyeån ñoäng song phaúng ◦ Tính vaän to·c goùc cuûa hình phaúng, tính vaän to·c cuûa moät ñieåm ba·t kyø treân hình phaúng. Tính gia to·c goùc cuûa hình phaúng, tính gia to·c cuûa moät ñieåm ba·t kyø treân hình phaúng. Thí duï veà chuyeån ñoäng song phaúng sinh vieân ñoïc kyõ lôøi giaûi caùc baøi taäp 3.2, 3.3, [1].
  12. Chöông 2 —OÄNG LÖÏC HOÏC 1 Caùc ñònh luaät Newton Noäi dung caùc ñònh luaät, xem Muïc 1.2, [1]. 1.1 Löïc Quan heä giöõa löïc vaø chuyeån ñoäng laø noäi dung cuûa ñònh luaät thöù hai F = mw. (2.1) ? Löïc ha·p daãn. Hai vaät kho·i löôïng m1, m2 huùt nhau bôûi löïc coù phöông laø ñöôøng no·i kho·i taâm cuûa chuùng vaø ñoä lôùn baèng m m F = G 1 2 , (2.2) d2 trong ñoù d laø khoaûng caùch hai kho·i taâm vaø G 6, 67 10−11 m3/s2kg laø haèng so· ha·p daãn. ≈ × Troïng löôïng cuûa moät vaät laø moâñun cuûa löïc huùt do traùi ña·t taùc duïng leân vaät. ? Löïc ma saùt. Löïc ma saùt naèm trong maÎt phaúng tie·p xuùc giöõa caùc vaät, ngöôïc höôùng vôùi chieàu chuyeån ñoäng cuûa vaät hay chieàu cuûa löïc taùc duïng vaøo vaät. Veà ñoä lôùn löïc ma saùt tæ leä vôùi phaûn löïc phaùp tuye·n Fms = ηRn, (2.3) 8
  13. CHÖ‘NG 2. —OƒNG LÖÏC HOÏC 9 trong ñoù η laø heä so· ma saùt. ? Löïc caûn cuûa moâi tröôøng. Vaät chuyeån ñoäng trong moâi tröôøng nhö khoâng khí, nöôùc,. . . luoân luoân chòu moät söùc caûn coù höôùng ngöôïc vôùi höôùng chuyeån ñoäng vaø coù ñoä lôùn tæ leä vôùi luõy thöøa cuûa vaän to·c F = µvα. (2.4) Heä so· tæ leä µ phuï thuoäc baûn cha·t cuûa moâi tröôøng, kích thöôùc vaø hình daùng cuûa vaät; α laø haèng so· phuï thuoäc vaøo chuyeån ñoäng. Trong caùc chuyeån ñoäng vôùi vaän to·c lôùn nhöng khoâng vöôït quaù vaän to·c aâm, thöïc nghieäm cho tha·y, löïc caûn cuûa moâi tröôøng tæ leä vôùi bình phöông cuûa vaän to·c (α = 2). Ne·u vaät rôi töï do trong khoâng khí thì löïc caûn F seõ taêng daàn töø 0 cuøng vôùi söï gia taêng vaän to·c. Cuo·i cuøng thì F cuõng seõ baèng troïng löïc mg cuûa vaät. Sau ñoù vaän to·c cuûa vaät seõ khoâng taêng leân nöõa do khoâng coù gia to·c. Vaän to·c khoâng ñoåi naøy, goïi laø vaän to·c giôùi haïn (xaùc ñònh töø phöông trình F = mg). ? Löïc ñaøn hoài. Khi loø xo bò keùo daõn ∆x = x x noù seõ taùc duïng leân vaät − 0 gaây ra löïc keùo moät löïc Fñh tæ leä vôùi ñoä giaõn ∆x, ngöôïc vôùi höôùng löïc keùo Fñh = k∆x. (2.5) − Heä so· tæ leä k goïi laø ñoä cöùng cuûa loø xo. 1.2 Hai baøi toaùn cô baûn cuûa ñoäng löïc hoïc Caùc böôùc caàn thöïc hieän khi phaân tích moät baøi toaùn cô hoïc: + Choïn heä quy chie·u vaø heä toïa ñoä gaén vôùi heä quy chie·u a·y. + Choïn ño·i töôïng khaûo saùt (moät hay nhieàu vaät). + Phaân tích caùc löïc taùc duïng leân ño·i töôïng khaûo saùt (veõ sô ñoà löïc). + AÙp duïng caùc ñònh luaät Newton thie·t laäp phöông trình hay heä phöông trình xaùc ñònh caùc ñaïi löôïng caàn tìm. Caùc baøi toaùn ñoäng löïc hoïc thuoäc veà moät trong hai daïng: Baøi toaùn thuaän. Cho chuyeån ñoäng cuûa cha·t ñieåm tìm löïc taùc duïng leân cha·t ñieåm. Baøi toaùn ngöôïc. Cho löïc taùc duïng leân cha·t ñieåm tìm chuyeån ñoäng cuûa ñieåm.
  14. CHÖ‘NG 2. —OƒNG LÖÏC HOÏC 10 1.3 Caùc ñònh lyù toång quaùt cuûa ñoäng löïc hoïc Noäi dung caùc ñònh lyù, xem Muïc 1.5, 2.1, 2.2 vaø 2.3, [1]. Löu yù moät so· khaùi nieäm vaø coâng thöùc caàn thie·t döôùi ñaây. ? Kho·i taâm cuûa moät heä laø ñieåm hình hoïc C xaùc ñònh bôûi 1 r = m r , (2.6) C M k k X trong ñoù rk laø vectô ñònh vò cha·t ñieåm thöù k, M = mk laø kho·i löôïng cuûa toaøn heä. P ? —oäng löôïng cuûa heä P = mkvk = MvC. X —Únh lyù 2 (—ònh lyù ñoäng löôïng cuûa heä). ˙ (e) P = Fk . (2.7) X —Únh lyù 3 (—ònh lyù chuyeån ñoäng kho·i taâm). (e) M¨rC = Fk . (2.8) X ? Moâmen quaùn tính cuûa heä ño·i vôùi ñieåm O: 2 JO = mkrk, (2.9) X trong ñoù rk laø khoaûng caùch töø cha·t ñieåm thöù k ñe·n O. ? Moâmen quaùn tính cuûa heä ño·i vôùi truïc ∆: 2 J∆ = mkdk, (2.10) X
  15. CHÖ‘NG 2. —OƒNG LÖÏC HOÏC 11 trong ñoù dk laø khoaûng caùch töø cha·t ñieåm thöù k ñe·n ∆. ? Tenxô quaùn tính laø ma traän J J J x − xy − xz J = Jyx Jy Jyz , (2.11)  −J J − J  − zx − zy z   trong ñoù Jx,Jy,Jz laø moâmen quaùn tính cuûa heä ño·i vôùi caùc truïc Ox, Oy, Oz; Jxy,Jxz, laø caùc moâmen quaùn tính ly taâm cuûa heä Jxy = Jyx = mkxkyk,Jyz = Jzx = mkykzk,Jzx = Jxz = mkzkxk(2.12). X X X T T Ne·u n = [cos α, cos β, cos γ] laø vectô ñôn vò cuûa truïc ∆ thì J∆ = n Jn. —Únh lyù 4 (—ònh lyù Huygens). 2 J∆ = JC + Md , (2.13) trong ñoù d laø khoaûng caùch giöõa hai truïc. ? Coâng thöùc tính moâmen quaùn tính caàn nhôù 1. Thanh maûnh ñoàng cha·t chieàu daøi l, kho·i löôïng M ño·i vôùi truïc qua kho·i taâm vaø vuoâng goùc vôùi thanh 1 J = Ml2. (2.14) C 12 2. Voøng ñoàng cha·t baùn kính R, kho·i löôïng M ño·i vôùi truïc qua taâm vaø vuoâng goùc vôùi maÎt phaúng chöùa voøng 2 JC = MR . (2.15) 3. —óa troøn ñoàng cha·t baùn kính R, kho·i löôïng M ño·i vôùi truïc qua taâm vaø vuoâng goùc vôùi ñóa 1 J = MR2. (2.16) C 2
  16. CHÖ‘NG 2. —OƒNG LÖÏC HOÏC 12 4. Hình truï troøn ñoàng cha·t baùn kính R, kho·i löôïng M ño·i vôùi truïc hình truï1 2 JC = MR . (2.17) ? Moâmen ñoäng löôïng cuûa heä L = r m v = r Mv + r0 m v0 . (2.18) k × k k C × C k × k k X X —aÎc bieät, trong chuyeån ñoäng quay ~ω, L = J~ω. (2.19) Chie·u xuo·ng truïc quay ∆ L∆ = J∆ω. (2.20) —Únh lyù 5 (—ònh lyù moâmen ñoäng löôïng cuûa heä). L˙ = r F(e). (2.21) k × k X ? —oäng naêng 1 1 T = m v2 = Mv2 + m v02. 2 k k 2 C k k X X Tröôøng hôïp ñaÎc bieät: (1) Chuyeån ñoäng tònh tie·n 1 T = Mv2 . (2.22) 2 C (2) Chuyeån ñoäng quay quanh truïc ∆ 1 T = J ω2. (2.23) 2 ∆ 1 —aây laø coâng thöùc tính moâmen quaùn tính cho o·ng truï. Tröôøng hôïp kho·i truï (ñaÎc) J C = 1 2 2 MR .
  17. CHÖ‘NG 2. —OƒNG LÖÏC HOÏC 13 ? Coâng Coâng phaân to· cuûa löïc F laøm cha·t ñieåm thöïc hieän chuyeån dòch voâ cuøng beù dr, kyù hieäu δW , δW = F dr. (2.24) · Coâng (toaøn phaàn) laøm cha·t ñieåm chuyeån dòch töø ñieåm A ñe·n ñieåm B, kyù hieäu W , W = F dr, (tích phaân ñöôøng loaïi 2) (2.25) · ZC(A,B) trong ñoù C(A, B) laø ñöôøng cong ñònh höôùng töø A ñe·n B. Löïc F goïi laø löïc baûo toaøn ne·u toàn taïi haøm V (x, y, z) (chæ phuï thuoäc vò trí) sao cho F = V. (2.26) − 5 Haøm V ñöôïc goïi laø haøm the· hay the· naêng. Haøm U = V goïi laø haøm löïc. − ? Vaøi coâng thöùc tính coâng cuûa löïc vaø haøm the· 1. Coâng cuûa troïng löïc (truïc z thaúng ñöùng höôùng leân): δW = mg dr = mgdz. (2.27) · − Coâng toaøn phaàn (töø A ñe·n B) W = mg(z z ). (2.28) A − B Haøm the· cuûa troïng löïc: V = mgz + C. 2. Coâng cuûa löïc ñaøn hoài gaây ra do loø xo ñoä cöùng k coù ñoä giaõn x (loø xo naèm ngang theo phöông x, go·c toïa ñoä ñöôïc choïn ôû vò trí caân baèng) δW = kxdx. (2.29) − Coâng toaøn phaàn (töø A ñe·n B) k W = (x2 x2 ). (2.30) 2 A − B k 2 Haøm the· cuûa löïc ñaøn hoài: V = 2 x .
  18. CHÖ‘NG 2. —OƒNG LÖÏC HOÏC 14 3. Coâng cuûa löïc ma saùt δW = ηR dx. (2.31) − n Coâng cuûa löïc ma saùt luoân luoân aâm (coâng caûn). Löïc ma saùt khoâng coù the·. 4. Coâng cuûa löïc trong chuyeån ñoäng quay quanh truïc δW = ωM∆(F)dt, (2.32) trong ñoù M∆(F) laø chie·u cuûa moâmen löïc F xuo·ng truïc ∆, coøn goïi laø moâmen cuûa löïc ño·i vôùi truïc ∆. —Únh lyù 6 (—ònh lyù ñoäng naêng cuûa heä). dT = F(e) δr + F(i) δr . (2.33) k · k k · k X X Phaân loaïi baøi toaùn aùp duïng caùc ñònh lyù toång quaùt ◦ Baøi toaùn thöù nha·t: Duøng ñònh lyù baûo toaøn ñoäng löôïng vaø ñònh lyù baûo toaøn moâmen ñoäng löôïng ñeå tìm chuyeån dòch cuûa moät vaøi boä phaân trong toaøn heä. Baøi toaùn thöù hai: Duøng ñònh lyù ñoäng löôïng ñeå xaùc ñònh phaûn löïc taïi caùc lieân ke·t. Baøi toaùn thöù ba: Duøng ñònh lyù moâmen ñoäng löôïng vaø ñònh lyù ñoäng naêng ñeå xaùc ñònh caùc ñaÎc tröng ñoäng hoïc cuûa chuyeån ñoäng.
  19. Chöông 3 C‘ HOÏC GIAÛI TÍCH 1 Caùc khaùi nieäm cô baûn Cô heä goàm N cha·t ñieåm M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2), ,MN (xN , yN , zN ) kho·i löôïng m1, m2, . . . , mN . Vò trí cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh ne·u bie·t 3N toïa ñoä x1, y1, z1; x2, y2, z2; ; xN , yN , zN . Moät vò trí cuûa heä ñöôïc goïi laø ca·u hình cuûa heä. Giaû söû heä chòu r raøng buoäc ñoäc laäp (haïn che· xeùt tröôøng hôïp heä chæ chòu lieân ke·t hình hoïc) fα(xk, yk, zk) = 0 (α = 1, 2, . . . , r). (3.1) Ne·u ca·u hình cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc giaù trò cuûa moät boä caùc bie·n • ñoäc laäp q1, q2, . . . , qd, thì q1, q2, . . . , qd ñöôïc goïi laø moät taäp caùc toïa ñoä suy roäng cuûa heä. So· toïa ñoä{ suy roäng goïi} laø baäc töï do cuûa heä. Tröôøng hôïp heä chòu r lieân ke·t hình hoïc thì so· toïa ñoä suy roäng d = 3N r. − —aïo haøm theo thôøi gian cuûa caùc toïa ñoä suy roäng goïi laø vaän to·c suy roäng • cuûa heä q˙1, q˙2, , q˙d. ‘¤ moät ca·u hình cho tröôùc cuûa heä x , y , z (k = 1, 2, ,N), giaû söû caùc • k k k cha·t ñieåm thöïc hieän chuyeån dòch ∆xk, ∆yk, ∆zk ñe·n ca·u hình xk + ∆xk, yk + ∆yk, zk + ∆zk thoûa raøng buoäc (3.1), thì ∂fα ∂fα ∂fα ∂fα ∆t + ∆xk + ∆yk + ∆zk = 0. (3.2) ∂t ∂xk ∂yk ∂zk Xk   15
  20. CHÖ‘NG 3. C‘ HOÏC GIAÛI TÍCH 16 Ta goïi caùc chuyeån dòch ∆xk, ∆yk, ∆zk thoûa (3.2) laø chuyeån dòch khaû dó (chuyeån dòch xaûy ra döôùi taùc duïng cuûa löïc cho tröôùc - chuyeån dòch thöïc - laø moät trong so· caùc chuyeån dòch khaû dó). Hieäu cuûa hai chuyeån dòch khaû dó ba·t kyø goïi laø chuyeån dòch aûo, kyù hieäu • δxk, δyk, δzk, chuùng thoûa ñieàu kieän ∂fα ∂fα ∂fα δxk + δyk + δzk = 0. (3.3) ∂xk ∂yk ∂zk Xk   2 Phöông trình Lagrange Caùc phöông trình Lagrange ñöôïc ruùt ra töø nguyeân lyù coâng aûo, coøn goïi laø nguyeân lyù chuyeån dòch aûo. 2.1 Phöông trình toång quaùt ñoäng löïc hoïc —Únh lyù 7 (Nguyeân lyù coâng aûo). Trong tröôøng hôïp lieân ke·t ñaÎt leân heä laø lyù töôûng, toång coâng phaân to· cuûa caùc löïc chuû ñoäng vaø löïc quaùn tính taùc duïng leân cô heä treân chuyeån dòch aûo ba·t kyø baèng khoâng taïi moïi thôøi ñieåm [(F m x¨ )δx + (F m y¨ )δy + (F m z¨ )δz ] = 0. (3.4) xk − k k k yk − k k k zk − k k k Xk Phöông trình (3.4) goïi laø phöông trình toång quaùt ñoäng löïc hoïc. 2.2 Phöông trình Lagrange loaïi hai d ∂T ∂T = Qs (s = 1, 2, . . . , d), (3.5) dt ∂q˙s − ∂qs trong ñoù T laø ñoäng naêng cuûa heä, Qs (s = 1, 2, . . . , d) laø löïc suy roäng.
  21. CHÖ‘NG 3. C‘ HOÏC GIAÛI TÍCH 17 Trong thöïc haønh, löïc suy roäng ñöôïc ruùt ra töø heä thöùc Qsδqs = (Fxkδxk + Fykδyk + Fzkδzk) (3.6) s X Xk (toång coâng phaân to· cuûa löïc chuû ñoäng taùc duïng leân heä). 2.3 Tröôøng hôïp heä baûo toaøn Ta·t caû caùc löïc chuû ñoäng ñeàu coù the· (heä ñöôïc goïi laø heä baûo toaøn hay heä ñoäng löïc), nghóa laø toàn taïi haøm U = U(xk, yk, zk) sao cho ∂U ∂U ∂U Fkx = ,Fky = ,Fkz = (k = 1, 2, ,N) ∂xk ∂yk ∂zk ∂U Qs = (s = 1, 2, . . . , d). ⇒ ∂qs Khi ñoù phöông trình Lagrange coù theå vie·t laïi d ∂L ∂L = 0 (s = 1, 2, . . . , d), (3.7) dt ∂q˙s − ∂qs trong ñoù L = T + U laø haøm Lagrange. Kyù hieäu V = U laø the· naêng cuûa heä thì L = T V . − − Tröôøng hôïp heä baûo toaøn ñoàng thôøi haøm löïc vaø ñoäng naêng khoâng phuï thuoäc hieån vaøo thôøi gian thì naêng löôïng toaøn phaàn cuûa heä ñöôïc baûo toaøn T + V = const. (3.8) Toïa ñoä cyclic laø toïa ñoä suy roäng qc khoâng coù maÎt trong haøm Lagrange, nghóa laø ∂L = 0. ∂qc Khi ñoù ta coù moät tích phaân ñaàu ∂L = const. ∂q˙c
  22. CHÖ‘NG 3. C‘ HOÏC GIAÛI TÍCH 18 2.4 Thuû tuïc thie·t laäp phöông trình Lagrange loaïi hai 1. Xaùc ñònh baäc töï do vaø choïn caùc toïa ñoä suy roäng. 2. Tính ñoäng naêng cuûa heä T , bieåu dieãn ñoäng naêng theo caùc toïa ñoä vaø vaän to·c suy roäng. 3. Tính toång coâng phaân to· cuûa löïc chuû ñoäng, bieåu dieãn noù theo caùc toïa ñoä suy roäng, töø ñoù suy ra caùc löïc suy roäng döïa vaøo heä thöùc (d). 4. Tính caùc ñaïo haøm ∂T/∂q˙s, d(∂T/∂q˙s)/dt, ∂T/∂qs. 5. Thay vaøo phöông trình Lagrange loaïi hai.
  23. Baøi taäp —oäng hoïc Baøi taäp oân veà vectô 1. Trong heä toïa ñoä Descartes, cho ba vectô: a = 2i j 2k, b = 3i 4k, c = i 5j + 3k. − − − − a) Tìm 3a + 2b 4c vaø a b 2. − | − | b) Tìm a , b vaø a b. Suy ra goùc giöõa a vaø b. | | | | · c) Tìm thaønh phaàn cuûa c theo höôùng cuûa a vaø theo höôùng cuûa b. d) Tìm a b, b c vaø (a b) (b c). × × × × × e) Tìm a (b c) vaø (a b) c vaø chæ ra raèng chuùng baèng nhau. Taäp ñöôïc saép a, b, ·c laø× heä vectô thuaän× · hay nghòch? { } f) Kieåm ñoàng nha·t thöùc (coâng thöùc Gibss): a (b c) = (a c)b (a b)c. × × · − · Hình 1: Baøi taäp 2 19
  24. Baøi taäp 20 2. Tìm goùc giöõa hai ñöôøng cheùo kho·i laäp phöông treân hình 1. 3. Cho ABCD laø hình bo·n caïnh toång quaùt (leäch) vaø cho P, Q, R, S laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, BC, CD, DA töông öùng. Chöùng minh P QRS laø hình bình haønh. 4. Trong hình töù dieän, veõ caùc ñöôøng no·i trung ñieåm cuûa moãi caïnh vôùi trung ñieåm cuûa caïnh ño·i dieän. Chöùng toû raèng ba ñöôøng naøy caét nhau taïi moät ñieåm chia ñoâi chuùng. 5. Cho töù dieän ABCD vaø cho P, Q, R, S laø troïng taâm cuûa caùc maÎt ño·i dieän vôùi caùc ñænh A, B, C, D töông öùng. Chöùng toû raèng caùc ñöôøng AP,BQ,CR,DS ñoàng quy taïi moät ñieåm goïi laø troïng taâm (centroid) cuûa töù dieän, noù chia moãi ñöôøng theo tæ so· 3 : 1. - - H.D. —ieåm M chia ñoaïn AB theo tæ so· k MA:MB= k. ⇔ 6. Chöùng toû raèng ba ñöôøng cao cuûa tam giaùc ñoàng quy taïi moät ñieåm. H.D. Choïn O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cao. 7. Chöùng minh caùc ñoàng nha·t thöùc: a) (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c). × · × · · − · · b) (a b) (c d) = [a, b, d]c [a, b, c]d. × × × − c) a (b c) + c (a b) + b (c a) = 0 (ñoàng nha·t thöùc Jacobi). × × × × × × 8. Cho vectô v laø haøm cuûa thôøi gian t vaø k laø vectô haèng. Tìm ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa: a) v 2; b) (v k)v; c) [v, v˙ , k]. —.S. a) 2v v˙ ; b) (|v˙ | k)v + (·v k)v˙ ; c) [v, v¨, k]. · · · 9. Tìm vectô tie·p tuye·n ñôn vò, vectô phaùp tuye·n ñôn vò vaø ñoä cong cuûa voøng troøn: x = a cos θ, y = a sin θ, z = 0 taïi ñieåm coù tham so· θ. —S. t = sin θi + cos θj, n = cos θi sin θj, k = 1/a. − − − 10. Tìm vectô tie·p tuye·n ñôn vò, vectô phaùp tuye·n ñôn vò vaø ñoä cong cuûa ñöôøng xoaén o·c: x = a cos θ, y = a sin θ, z = bθ taïi ñieåm coù tham so· θ. —.S. t = ( a sin θi + a cos θj + bk)/(a2 + b2)1/2, n = cos θi sin θj, k = a/(a2 + b2).− − − 11. Tìm vectô tie·p tuye·n ñôn vò, vectô phaùp tuye·n ñôn vò vaø ñoä cong cuûa parabol x = ap2, y = 2ap, z = 0 taïi ñieåm coù tham so· p. —.S. t = (pi + j)/(p2 + 1)1/2, n = (i pj)/(p2 + 1)1/2, k = 1/2a(p2 + 1)3/2. − Baøi taäp veà vaän to·c, gia to·c vaø vaän to·c goùc
  25. Baøi taäp 21 12. Moät ñieåm P di chuyeån doïc theo truïc x chuyeån dòch cuûa noù taïi thôøi ñieåm t ñöôïc cho bôûi x = 6t2 t3 + 1, trong ñoù x ño baèng meùt, t ño baèng giaây. Tìm − vaän to·c, gia to·c cuûa P taïi thôøi ñieåm t. Tìm nhöõng thôøi ñieåm P döøng vaø vò trí cuûa P taïi nhöõng thôøi ñieåm ñoù. 13. Moät ñieåm P di chuyeån doïc theo truïc x vôùi gia to·c taïi thôøi ñieåm t ñöôïc cho bôûi a = 6t 4 ms−2. Ban ñaàu P ôû ñieåm x = 20 m vaø coù vaän to·c 15 ms−1 veà phía x aâm.− Tìm vaän to·c vaø chuyeån dòch cuûa P taïi thôøi ñieåm t. Tìm thôøi ñieåm P döøng vaø chuyeån dòch cuûa P taïi thôøi ñieåm ñoù. 14. ? Moät haït P chuyeån ñoäng sao cho vectô ñònh vò cuûa noù, r thoûa phöông trình vi phaân r˙ = c r, × trong ñoù c laø vectô haèng. Chöùng minh P chuyeån ñoäng vôùi to·c ñoä khoâng ñoåi treân moät ñöôøng troøn. 15. ? Cho cô ca·u thöôùc veõ elip goàm thanh OA quay quanh O vôùi goùc ϕ = ωt, thanh BC coù hai ñaàu chuyeån ñoäng treân hai truïc x, y. Cho OA = AB = AC = 2a. Vie·t phöông trình chuyeån ñoäng, phöông trình quyõ ñaïo cuûa ñieåm M (AM = MB) (hình 2). Xaùc ñònh vaän to·c, gia to·c, gia to·c tie·p, gia to·c phaùp cuûa ñieåm M taïi thôøi ñieåm ba·t kyø. Hình 2: Baøi taäp 15 16. ? Moät baùnh xe baùn kính R chuyeån ñoäng laên khoâng tröôït treân ñöôøng thaúng vôùi vaän to·c ôû taâm baèng v0. Vie·t phöông trình chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M naèm treân vaønh baùnh xe. Xaùc ñònh vaän to·c, gia to·c ñieåm M, baùn kính cong ρ cuûa quyõ ñaïo. Khaûo saùt söï nhanh chaäm cuûa chuyeån ñoäng. 17. —ieåm M chuyeån ñoäng theo phöông trình x = at, y = bt2 (a, b laø haèng so·). Xaùc ñònh quyõ ñaïo, luaät chuyeån ñoäng cuûa ñieåm treân quyõ ñaïo. Tính vaän to·c, gia to·c cuûa ñieåm vaø baùn kính cong cuûa quyõ ñaïo taïi thôøi ñieåm t = 0.
  26. Baøi taäp 22 Hình 3: Baøi taäp 16 18. Moät baùnh ñaø baùn kính R = 2 m quay nhanh daàn ñeàu töø traïng thaùi ñöùng yeân. Sau 10 s moät ñieåm treân vaønh baùnh xe coù trò so· vaän to·c v = 100 m/s2. Xaùc ñònh vaän to·c vaø gia to·c cuûa ñieåm treân vaønh baùnh ñaø ôû thôøi ñieåm t = 15 s. 19. Moät ñaàu sôïi daây khoâng giaõn buoäc vaøo vaätA, coøn ñaàu kia qua·n vaøo roøng roïc baùn kính R = 10 cm quay quanh truïc O co· ñònh. Cho ñieåm A chuyeån ñoäng ñi xuo·ng vôùi phöông trình x = 100t2,(x(cm), t(s)). Xaùc ñònh vaän to·c goùc vaø gia to·c goùc cuûa roøng roïc, ñoàng thôøi xaùc ñònh gia to·c cuûa ñieåm B treân roøng roïc (OB = 5 cm). Hình 4: Baøi taäp 19 20. ? Cho cô ca·u chuyeàn ñoäng nhö hình 5. Bie·t vaät (1) chuyeån ñoäng vôùi 2 phöông trình x = 70t + 2 (x(cm), t(s)), R2 = 50 cm, r2 = 30 cm, R3 = 60 cm, r3 = 40 cm. Xaùc ñònh vaän to·c, gia to·c tie·p, gia to·c phaùp vaø gia to·c toaøn phaàn cuûa ñieåm M khi vaät (1) ñi ñöôïc moät ñoaïn s = 40 cm. Chuù thích. Baøi toaùn chuyeàn ñoäng goàm caùc baùnh xe quay quanh caùc truïc vaø coù lieân heä vôùi nhau (aên khôùp baèng raêng, tie·p xuùc khoâng tröôït, no·i vôùi nhau baèng caùc ñai chuyeàn). Tæ so· chuyeàn ñoäng giöõa chuùng ω1 R2 z2 K12 = = = , (3.9) ω2 R1 z1
  27. Baøi taäp 23 trong ñoù ωi, Ri vaø zi laàn löôït laø vaän to·c goùc, baùn kính vaø so· raêng cuûa baùnh xe thöù i. Hình 5: Baøi taäp 20 Baøi taäp veà hôïp chuyeån ñoäng 21. ? Moät hình noùn quay ñeàu quanh truïc OA vôùi vaän to·c goùc ω. —ieåm M chuyeån ñoäng ñeàu theo ñöôøng sinh cuûa hình noùn töø ñænh ñe·n ñaùy vôùi vaän to·c vr; goùc ∠MOA = α. Taïi thôøi ñieåm ñaàu t = 0, ñieåm M ôû vò trí M0 (OM0 = a). Tính gia go·c cuûa M taïi thôøi ñieåm t. Hình 6: Baøi taäp 21 22. Tam giaùc ABC vuoâng taïi A quay quanh caïnh AB thaúng ñöùng co· ñònh vôùi vaän to·c goùc ω =const. Moät ñieåm M chuyeån ñoäng treân caïnh BC theo phöông trình BM = s = 20t2. Xaùc ñònh vaän to·c, gia to·c cuûa ñieåm M khi M naèm ôû trung ñieåm BC. Bie·t BC = 40 cm, α = 30o, ω = 2 s−1. 23. ? Cô ca·u cam coù daïng hình neâm vôùi α = 30o chuyeån ñoäng tònh tie·n trong maÎt phaúng naèm ngang, vôùi vaän to·c khoâng ñoåi v1 = 30 cm/s. Cam ñaåy thanh AB chuyeån ñoäng thaúng ñöùng trong raõnh co· ñònh K (hình 7). Xaùc ñònh vaän to·c tuyeät ño·i cuûa thanh AB vaø vaän to·c töông ño·i cuûa noù so vôùi cam. ? 24. Moät cô ca·u bo·n khaâu goàm tay quay O1A = 10 cm quay quanh O1 vôùi −1 vaän to·c goùc ω1 = 10πs , tay quay O2B = 30 cm quay quanh O2 vaø thanh AB chuyeån ñoäng song phaúng. Cho O1O2 = 50 cm. Xaùc ñònh vaän to·c goùc thanh o AB, vaän to·c ñieåm B vaø vaän to·c goùc tay quay O2B khi α = β = 60 .
  28. Baøi taäp 24 Hình 7: Baøi taäp 23 Hình 8: Baøi taäp 24 —oäng löïc hoïc Baøi taäp veà baøi toaùn thuaän 25 (Baøi taäp 1.5, [1]). Moät caàu voøm coù baùn kính cong taïi ñænh A baèng R = 250 m. a) Haõy tìm aùp löïc cuûa xe coù kho·i löôïng m = 200 kg, ñang chuyeån ñoäng vôùi vaän to·c v = 40 km/h, taùc duïng leân caàu taïi A. b) Tính vaän to·c to·i ña cuûa xe ñeå noù vaãn coøn baùm vaøo maÎt caàu. La·y 9 = 9, 81 m/s2. 26 (Baøi taäp 1.6, [1]). Hai vaät kho·i löôïng m1 = 2 kg, m2 = 3 kg no·i vôùi nhau baèng daây khoâng giaõn, khoâng troïng löôïng. Keùo vaät m2 bôûi löïc 10 N theo phöông thaúng ñöùng. Haõy tính gia to·c caùc vaät vaø löïc caêng daây ñaÎt leân m 1, m2. 27. Hai vaät gio·ng nhau kho·i löôïng moãi kho·i laø M, ñöôïc no·i vôùi nhau baèng daây maûnh khoâng giaõn vaø coù theå di chuyeån treân maÎt phaúng nhaùm naèm ngang (hình 9). Hai vaät ñöôïc keùo vôùi to·c ñoä khoâng ñoåi theo ñöôøng thaúng baèng sôïi daây buoäc vaøo moät vaät. Cho bie·t söùc caêng trong daây keùo laø T 0, tìm söùc caêng trong daây no·i. Ne·u söùc caêng trong daây no·i ba·t thình lình taêng tôùi 4T0, thì gia to·c töùc thôøi cuûa hai kho·i vaø söùc caêng töùc thôøi trong daây no·i baèng bao nhieâu? Baøi taäp veà phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng (baøi toaùn ngöôïc)
  29. Baøi taäp 25 Hình 9: Baøi taäp 27 28 (Muïc 1.3.2 Chuyeån ñoäng thaúng, [1]). Xaùc ñònh chuyeån ñoäng thaúng cuûa cha·t ñieåm döôùi taùc duïng cuûa löïc: a) Phuï thuoäc thôøi gian F (t); b) Phuï thuoäc vò trí F (x); c) Phuï thuoäc vaän to·c F (x ˙). 29 (Muïc 1.4.2 Dao ñoäng thaúng, [1]). Moät vaät kho·i löôïng m treo vaøo ñaàu moät loø xo coù ñoä cöùng k. a) Xaùc ñònh chuyeån ñoäng cuûa vaät khi loø xo ñöôïc keùo giaõn moät ñoaïn λ vaø buoâng ra khoâng vaän to·c ñaàu. b) Vôùi ñieàu kieän ñaàu nhö caâu a), tìm chuyeån ñoäng cuûa vaät trong tröôøng hôïp vaät chòu löïc caûn cuûa moâi tröôøng coù ñoä lôùn tæ leä vôùi vaän to·c µx˙. Chuyeån ñoäng cuûa vaät seõ nhö the· naøo ne·u vaät coøn chòu theâm löïc kích ñoäng tuaàn hoaøn Q(t) = Q0 sin pt. 30. Maùy bay boå nhaøo thaúng ñöùng ñaït ñöôïc vaän to·c 1000 km/h, sau ñoù ngöôøi laùi ñöa maùy bay ra khoûi höôùng boå nhaøo vaø vaïch thaønh moät cung troøn baùn kính R = 600 m trong maÎt phaúng thaúng ñöùng. Troïng löôïng ngöôøi laùi laø 800 N. Hoûi ngöôøi laùi ñaõ eùp leân ghe· ngoài moät löïc cöïc ñaïi baèng bao nhieâu. 31. ? Moät quaû caàu kho·i löôïng m rôi thaúng ñöùng trong moâi tröôøng cha·t loûng vaø chòu löïc caûn tæ leä vôùi vaän to·c, FC = kv, k laø heä so· caûn, gia to·c troïng tröôøng g. Xaùc ñònh vaän to·c, phöông trình chuyeån ñoäng cuûa quaû caàu. Giaû thie·t v(0) = 0, y(0) = 0. 32. ? Moät vaät naÎng P rôi töï do khoâng vaän to·c ñaàu. Söùc caûn cuûa khoâng khí leä vôùi bình phöông vaän to·c, R = k2P v2 (k laø haèng so·). Xaùc ñònh vaän to·c vuûa vaät taïi thôøi ñieåm t vaø vaän to·c giôùi haïn cuûa noù. 33. ? Moät vieân ñaïn chuyeån ñoäng trong maÎt phaúng Oxy töø go·c O vôùi vaän to·c ñaàu V0 leäch so vôùi phöông ngang goùc α. Giaû söû boû qua löïc caûn khoâng khí. a) Tìm vaän to·c, quyõ ñaïo chuyeån ñoäng cuûa vieân ñaïn. 2 2 b) Xaùc ñònh α ñeå vieân ñaïn baén truùng muïc tieâu M(v0/2g, V0 /4g). Baøi taäp veà caùc ñònh lyù toång quaùt
  30. Baøi taäp 26 34. Chöùng toû raèng, ne·u moät heä di chuyeån töø traïng thaùi nghæ ñe·n traïng thaùi khaùc trong khoaûng thôøi gian naøo ñoù, thì trung bình cuûa löïc ngoaøi toaøn phaàn trong khoaûng thôøi gian naøy phaûi baèng khoâng. AÙp duïng: Moät ñoàng hoà caùt kho·i löôïng m ñaÎt treân maÎt saøn co· ñònh. AÙp löïc do ñoàng hoà leân maÎt saøn laø so· ño troïng löôïng bieåu kie·n cuûa ñoàng hoà. Caùt ôû traïng thaùi nghæ trong khoang treân, luùc t = 0, baét ñaàu chaûy xuo·ng khoang döôùi. Caùt ñe·n traïng thaùi nghæ ôû khoang döôùi sau khoaûng thôøi gian τ. Tìm trung bình theo thôøi gian troïng löôïng bieåu kie·n cuûa ñoàng hoà trong khoaûng thôøi gian [0, τ]. Troïng löôïng bieåu kie·n cuûa ñoàng hoà khoâng phaûi laø haèng so·! Haõy chöùng minh, khi caùt ñang chaûy, troïng löôïng bieåu kie·n cuûa ñoàng hoà lôùn hôn troïng löôïng thöïc (troïng löôïng tónh). 35. ? Moät tia nöôùc chaûy töø moät voøi phun vôùi vaän to·c v = 10 m/s vaø tröïc giao vôùi töôøng cöùng. —öôøng kính voøi d = 4 cm. Boû qua söï neùn ñöôïc cuûa nöôùc. Haõy xaùc ñònh aùp löïc cuûa tia nöôùc leân töôøng. Coi caùc phaàn töû nöôùc sau khi va chaïm coù vaän to·c höôùng doïc theo töôøng. Hình 10: Baøi taäp 35 ? 36. Hai vaät A vaø B coù kho·i löôïng laàn löôït laø m1 vaø m2 ñöôïc no·i vôùi nhau bôûi sôïi daây khoâng giaõn khoâng troïng löôïng voøng qua roøng roïc. Vaät A tröôït treân maÎt KL vaø vaät B tröôït treân maÎt EK cuûa laêng truï DEKL coù kho·i löôïng m3 vaø naèm treân maÎt nhaün naèm ngang. Xaùc ñònh dòch chuyeån s cuûa laêng truï khi vaät A tröôït xuo·ng moät ñoaïn l. Bie·t ban ñaàu heä ñöùng yeân. 37. Moät chie·c thuyeàn kho·i löôïng M ñöùng yeân treân maÎt nöôùc yeân tónh vaø moät ngöôøi ñaøn oâng kho·i löôïng m ôû muõi thuyeàn. Ngöôøi naøy ñöùng daäy ñi xuo·ng ñuoâi thuyeàn roài ngoài xuo·ng. Ne·u nöôùc caûn chuyeån ñoäng vôùi löïc tæ leä vôùi vaän to·c cuûa thuyeàn, chöùng toû raèng thuyeàn seõ ñe·n vaø döøng ôû vò trí ban ñaàu cuûa noù. [Ke·t quaû naøy ñoäc laäp vôùi haèng so· caûn vaø chi thie·t chuyeån ñoäng cuûa ngöôøi.]
  31. Baøi taäp 27 Hình 11: Baøi taäp 36 Hình 12: Baøi taäp 37 38. ? Moät ta·m troøn ñoàng cha·t naÎng Q baùn kính r coù theå quay khoâng ma saùt quanh truïc thaúng ñöùng Oz tröïc giao vôùi maÎt phaúng ñóa. Moät ngöôøi troïng löôïng P ñi theo meùp ta·m troøn vôùi vaän to·c töông ño·i u khoâng ñoåi. Ban ñaàu heä ñöùng yeân, hoûi ta·m troøn quay quanh truïc vôùi vaän to·c goùc ω baèng bao nhieâu? Hình 13: Baøi taäp 38 39. ? Truïc hình truï troïng löôïng P baùn kính R quay ñöôïc xung quanh truïc naèm ngang nhôø quaû caân A coù troïng löôïng Q treo vaøo sôïi daây qua·n quanh hình truï (xem hình 14). Boû qua kho·i löôïng cuûa daây vaø ma saùt ôû oå truïc. Haõy xaùc
  32. Baøi taäp 28 ñònh gia to·c goùc trong chuyeån ñoäng quay cuûa hình truï khi vaät A coù chuyeån ñoäng thaúng ñöùng. Hình 14: Baøi taäp 39 ? 40. Hai vaät A vaø B naÎng P1 vaø P2 ñöôïc no·i vôùi nhau baèng sôïi daây meàm khoâng giaõn khoâng troïng löôïng vaø vaét qua roøng roïc O baùn kính r troïng löôïng Q. Cho P1 > P2, kho·i löôïng roøng roïc phaân bo· ñeàu treân vaønh. Xaùc ñònh gia to·c vaät A. Hình 15: Baøi taäp 40 41. ? Cho tay quay OA chieàu daøi r trong cô ca·u thanh truyeàn quay vôùi vaän to·c goùc ω0. Thanh truyeàn OB cuõng coù chieàu daøi r. Tay quay vaø thanh truyeàn laø ñoàng cha·t vaø coù kho·i löôïng rieâng laø ρ (treân ñôn vò daøi). Tính ñoäng naêng cuûa cô heä. Hình 16: Baøi taäp 41
  33. Baøi taäp 29 42. ? Moät daây khoâng giaõn, khoâng troïng löôïng ñöôïc qua·n vaøo ñaàu ñóa troøn ñoàng cha·t kho·i löôïng m baùn kính r, coøn ñaàu kia buoäc vaøo ñieåm co· ñònh A. Khi daây lôi ra, hình truïï rôi xuo·ng khoâng vaän to·c ñaàu. Xaùc ñònh vaän to·c v cuûa taâm ñóa troøn khi noù rôi xuo·ng moät ñoaïn h. Xaùc ñònh gia to·c taâm C vaø söùc caêng daây. Hình 17: Baøi taäp 42 43. Moät hình truï troïng löôïng P1 coù cuoän xung quanh baèng moät sôïi daây. Daây vaét qua roøng roïc co· ñònh O roài no·i vôùi vaät A naÎng P2. Vaät A tröôït treân maÎt phaúng naèm ngang coù heä so· ma saùt f. Boû qua ma saùt ôû oå truïc O, tìm gia to·c cuûa vaät A vaø cuûa taâm C hình truï. Hình 18: Baøi taäp 43 Cô hoïc giaûi tích Baøi taäp veà phöông trình Lagrange 44. ? Moät haït kho·i löôïng m di chuyeån döôùi taùc duïng cuûa löïc ha·p daãn do kho·i löôïng M co· ñònh ñaÎt taïi go·c. La·y toïa ñoä cöïc r, θ laøm toïa ñoä suy roäng, vie·t phöông trình Lagrange loaïi hai cho chuyeån ñoäng cuûa haït. Tìm moät tích phaân ñaàu vaø giaûi thích yù nghóa cô hoïc cuûa noù.
  34. Baøi taäp 30 Hình 19: Baøi taäp 44 Hình 20: Baøi taäp 45 45. ? Moät haït P kho·i löôïng m tröôït treân maÎt trong trôn cuûa hình noùn troøn xoay coù goùc ôû ñænh baèng 2α. Truïc ño·i xöùng cuûa hình noùn thaúng ñöùng qua ñænh O höôùng xuo·ng. Choïn caùc toïa ñoä suy roäng: r, khoaûng caùch OP , vaø ϕ, goùc phöông vò ño·i vôùi maÎt phaúng co· ñònh ñi qua truïc hình noùn. Vie·t heä phöông trình Lagrange. Chöùng toû raèng ϕ laø toïa ñoä cyclic vaø tìm moät tích phaân ñaàu. Giaûi thích yù nghóa cô hoïc cuûa tích phaân ñaàu naøy. 46. ? Xeùt vaät kho·i löôïng m tröôït treân moät maÎt beân trôn nghieâng goùc α cuûa neâmï kho·i löôïng M, neâm naøy laïi tröôït treân maÎt phaúng trôn naèm ngang nhö hình 21. Toaøn boä chuyeån ñoäng laø phaúng. Vie·t phöông trình Lagrange loaïi Hình 21: Baøi taäp 46 hai cho heä naøy vaø suy ra (i) gia to·c cuûa neâm, vaø (ii) gia to·c töông ño·i cuûa vaät (ño·i vôùi neâm).
  35. Baøi taäp 31 47. ? Hình 22 veõ moät hình truï taâm G baùn kính a laên khoâng tröôït treân maÎt trong cuûa moät maÎt truï co· ñònh taâm O baùn kính b > a. Vie·t phöông trình Lagrange loaïi hai, suy ra chu kyø dao ñoäng beù cuûa hình truï quanh vò trí caân baèng. Hình 22: Baøi taäp 47 48. ? Cho heä nhö hình 23. —öôøng ray trôn vaø löïc cho tröôùc F (t) taùc ñoäng Hình 23: Baøi taäp 48 leân vaät P2. Boû qua troïng löïc. Vie·t heä phöông trình Lagrange loaïi hai cho heä. Tröôøng hôïp tính ñe·n troïng löïc thì sao? 49. Tìm quy luaät chuyeån ñoäng cuûa vieân bi B chuyeån ñoäng doïc trong o·ng OA ñang quay ñeàu trong maÎt phaúng naèm ngang vôùi vaän to·c goùc ω. Taïi thôøi ñieåm ban ñaàu vieân bi caùch O moät ñoaïn baèng A vaø coù vaän to·c doïc theo o·ng baèng khoâng. Hình 24: Baøi taäp 49 50. Vie·t phöông trình Lagrange loaïi hai cho chuyeån ñoäng cuûa con laéc keùp phaúng (xem hình 25). Giaû söû kho·i löôïng cuûa A vaø B baèng nhau vaø baèng m.
  36. Baøi taäp 32 Hình 25: Baøi taäp 50 51. Vie·t phöông trình Lagrange loaïi hai cho chuyeån ñoäng cuûa con laéc goàm cha·t ñieåm kho·i löôïng m treo treân daây qua·n vaøo hình truï co· ñònh baùn kính r (xem hình 26). —oä daøi cuûa phaàn daây buoâng thoõng taïi vò trí caân baèng laø l. Boû qua kho·i löôïng cuûa daây. Hình 26: Baøi taäp 51 52. Caùc ñaàu muùt cuûa thanh ñoàng cha·t AB, coù kho·i löôïng m, daøi 2a tröôït khoâng ma saùt theo caùc thanh naèm ngang vaø thaúng ñöùng cuûa moät khung quay quanh thanh thaúng ñöùng (xem hình 27). Vie·t phöông trình Lagrange loaïi hai cho chuyeån ñoäng cuûa thanh khi khung quay vôùi vaän to·c goùc khoâng ñoåi ω. Hình 27: Baøi taäp 52
  37. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp Trong Lôøi giaûi moät so· baøi taäp thænh thoaûng chuùng toâi coù chua theâm giaûi thích, nhaän xeùt, hoaÎc bình luaän. Caùc noäi dung naøy ñöôïc ñaÎt trong da·u ngoaÎc vuoâng vaø ñöôïc in nghieâng ñeå phaân bieät. 14 Töø phöông trình vi phaân ta suy ra dr2 r˙ r = 2r r˙ = 0 r = R (const) (a) ⊥ ⇒ dt · ⇒ d(r c) r˙ c · = r˙ c = 0 r c = const (b) ⊥ ⇒ dt · ⇒ · Töø ñaúng thöùc (b) ta tha·y hình chie·u cuûa P leân truïc ñi qua O coù vectô chæ phöông c laø ñieåm co· ñònh, goïi laø Q; hay noùi caùch khaùc, P luoân luoân naèm treân maÎt phaúng co· ñònh ñi qua ñieåm Q vaø nhaän c laøm phaùp vectô. Cuøng vôùi ñaúng thöùc (a) ta ruùt ra quyõ ñaïo cuûa P laø ñöôøng troøn. Kyù hieäu v = r˙ laø vaän to·c vaø w = ¨r laø gia to·c. Ta coù [baèng caùch la·y ñaïo haøm hai ve· phöông trình vi phaân] ¨r = r˙ c v w = 0. × ⇒ · Vaäy P chuyeån ñoäng vôùi to·c ñoä khoâng ñoåi. 15 [Chuù yù ñe·n caùc mo·i lieân heä giöõa ñieåm M (caàn khaûo saùt) vôùi caùc ñieåm maø giaû thie·t cuûa baøi toaùn cho bie·t chuyeån ñoäng. Duøng toïa ñoä descartes.] Ta coù: - OA = (2a cos ωt, 2a sin ωt), - OB = (2xA, 0) = (4a cos ωt, 0). 33
  38. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 34 Suy ra - 1 - - OM= (OA + OB) = (3a cos ωt, a sin ωt). 2 Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa M: x = 3a cos ωt y = a sin ωt  Quyõ ñaïo (khöû t töø phöông trình chuyeån ñoäng): x2 y2 + = 1. 9a2 a2 Vaän to·c: x˙ = 3aω sin ωt, y˙ = aω cos ωt. − Gia to·c: x¨ = 3aω2 cos ωt, y¨ = aω2 sin ωt. − − —eå tính gia to·c tie·p ta caàn tính to·c ñoä (moâñun vectô vaän to·c) v = a ω 1 + 8 sin2 ωt. | | Gia to·c tie·p: p 4a ω ω sin 2ωt wt =v ˙ = | | . √1 + 8 sin2 ωt —eå tính gia to·c phaùp ta caàn ñe·n moâñun vectô gia to·c: w = aω2√1 + 8 cos2 ωt. Gia to·c phaùp: aω2 9 12 sin2 2ωt w = w2 w2 = . n t − 2 − √p1 + 8 sin ωt p
  39. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 35 Chuù yù, gia to·c phaùp luoân luoân laø so· döông! 16 Chuyeån ñoäng cuûa taâm C laø chuyeån ñoäng thaúng ñeàu vaän to·c v0. Do baùnh xe laên khoâng tröôït neân Rϕ = v0t (giaû thie·t luùc t = 0 ñieåm M naèm ôû go·c toïa ñoä O). - - Heä thöùc lieân heä OM vôùi OC - - - OM=OC + CM. Chie·u heä thöùc vectô xuo·ng caùc truïc toïa ñoä 3π v0t x = xC + R cos 2 ϕ x = v0t R sin R − − v0t y = yC + R cos(π ϕ) ⇔ y = R R cos  −   − R Vaän to·c: v t v t v t x˙ = v 1 cos 0 , y˙ = v sin 0 v = v 2 1 cos 0 . 0 − R 0 R ⇒ 0 − R   s   Gia to·c: v2 v t v2 v t v2 x¨ = 0 sin 0 , y¨ = 0 cos 0 w = 0 . R R R R ⇒ R —eå tính baùn kính cong ta caàn bie·t gia to·c tie·p, 2 v0t v0 sin R wt =v ˙ = , R 2 1 cos v0t − R q  gia to·c phaùp 2 2 2 v0 v0t wn = w wt = 2 1 cos . − 2Rs − R p  
  40. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 36 Suy ra v2 v t v t ρ = = 2R 2 1 cos 0 = 4R sin 0 . w − R 2R n s   20 Vaän to·c cuûa (1): x˙ = 140t (cm/s). Do ñai chuyeàn, baùnh xe (2) chuyeån ñoäng quay vôùi vaän to·c goùc ω2 thoûa −1 ω2r2 = 140t suy ra ω2 = 14t/3 (s ) [vaän to·c cuûa ñieåm treân vaønh baùnh xe (2) baèng vaän to·c cuûa vaät (1)]. Baùnh xe (3) chuyeån ñoäng quay vôùi vaän to·c goùc ω3 thoûa ω2R2 = ω3R3 −1 suy ra ω3 = R2ω2/R3 = 35t/9 (s ) [baùnh xe (3) vaø baùnh xe (2) no·i vôùi nhau baèng ñai chuyeàn. Duøng coâng thöùc chuyeàn ñoäng]. —ieåm M gaén vôùi baùnh xe (3) chuyeån ñoäng quay quanh truïc. Vaän to·c cuûa M laø v = ω3r3 = 1400t/9 (cm/s). Gia to·c goùc cuûa baùnh xe (3) laø 3 = 2 2 35/9 (1/s ) neân gia to·c tie·p cuûa M laø wt = 3r3 = 1400/9 (cm/s ) vaø gia to·c 2 2 2 phaùp cuûa M laø wn = ω3 r3 = 19000t /81 (cm/s ) [xem laïi caùc coâng thöùc lieân quan ñe·n chuyeån ñoäng cuûa co· theå quanh moät truïc]. Thôøi ñieåm (1) ñi ñöôïc s = 40 (cm) laø t = 2/√7, thay vaøo caùc bieåu thöùc treân ta ñöôïc ke·t quaû caàn tìm. [Chuù yù, ke·t quaû tính vaän to·c, gia to·c tie·p, gia to·c phaùp cuûa ñieåm M chæ laø ñoä lôùn. —eå xaùc ñònh höôùng cuûa caùc vectô naøy ta caàn xeùt theâm chieàu quay cuûa caùc baùnh xe lieân ke·t vôùi nhau!] 21 Chuyeån ñoäng töông ño·i cuûa M ño·i vôùi hình noùn (heä toïa ñoä ñoäng) laø chuyeån ñoäng thaúng ñeàu neân gia to·c töông ño·i wr baèng khoâng. Chuyeån ñoäng theo laø chuyeån ñoäng troøn vôùi vaän to·c goùc ω -khoâng ñoåi neân vaän to·c theo cuûa M laø ve = ~ω r, trong ñoù ~ω = ωk, r =OM. Gia to·c theo (duøng coâng thöùc Gibbs): × dv w = e = (~ω r)~ω ω2r. e dt · − —eå yù raèng ~ω r = ωr cos α neân · − w = ω2r cos αk ω2rr , e − − 0 trong ñoù r0 laø vectô ñôn vò cuûa r. Ne·u phaân tích vectô r0 thaønh r = cos αk + sin αu 0 −
  41. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 37 vôùi u laø vectô ñôn vò tröïc giao vôùi k (truïc z) vaø naèm trong maÎt phaúng (AOM), thì w = ω2r sin αu. e − Gia to·c Coriolis cuûa M: w = 2~ω v = 2ωv sin αv, c × r r trong ñoù v laø vectô ñôn vò cuûa vectô k v r, vectô naøy vuoâng goùc vôùi maÎt phaúng (AOM). × AÙp duïng coâng thöùc coäng gia to·c, w = ω2r sin αu + 2ωv sin αv, a − r gia to·c naøy naèm trong maÎt phaúng vuoâng goùc vôùi OA. Taïi thôøi ñieåm t, r = vrt + a, w = ω2(v t + a) sin αu + 2ωv sin αv. a − r r 23 Heä toïa ñoä co· ñònh Oxy gaén vôùi neàn. Heä toïa ñoä ñoäng Cs gaén vôùi maÎt nghieâng cuûa neâm. Hình 28 veõ hai vò trí cuûa neâm, trong ñoù hình veõ khoâng Hình 28: Hai vò trí tröôùc vaø sau cuûa neâm (baøi taäp 23). lieàn neùt öùng vôùi vò trí ban ñaàu cuûa neâm. Thanh AB chuyeån ñoäng tònh tie·n, vaän to·c cuûa thanh ñöôïc cho bôûi vaän to·c cuûa A. —ieåm A0 laø vò trí ban ñaàu cuûa A (trong heä co· ñònh). Ta coù: HA = ∆x, ∆yA = HA tan α = ∆x tan α, suy ra vaän to·c tuyeät ño·i cuûa thanh AB: va(A) = v tan α, höôùng thaúng ñöùng leân treân. Ke·t quaû nhaän ñöôïc baèng caùch chia hai ve· cho ∆t, roài qua giôùi haïn, ∆t 0. → —ieåm A00 laø vò trí ban ñaàu cuûa A treân neâm. Ta coù: A 0A00 = ∆s cos α, 0 00 A A = HA = ∆x, suy ra vaän to·c töông ño·i cuûa A: vr(A) = v/cosα, höôùng ngöôïc chieàu vôùi s. Duøng döõ lieäu so·: o o va(A) = 30 tan 30 = 10√3 (cm/s), vr(A) = 30/ cos 30 20√3 (cm/s).
  42. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 38 Ta coù theå giaûi baèng coâng thöùc hôïp vaän to·c. Tröôùc he·t, ñeå yù raèng vaän to·c cuûa neâm v laø vaän to·c theo cuûa A, ve(A) = v. Tính vaän to·c töông ño·i cuûa A, vr(A) (nhö treân) roài duøng coâng thöùc hôïp vaän to·c tính vaän to·c tuyeät ño·i cuûa A, va(A). 24 Goïi I, ωAB laàn löôït laø taâm quay töùc thôøi, vaän to·c goùc töùc thôøi cuûa thanh o AB. —ieåm I chính laø giao ñieåm cuûa O1A vaø O2B. ‘¤ vò trí α = β = 60 tam giaùc O1IO2 laø tam giaùc ñeàu, suy ra: IA = O1I O1A = 40 (cm), IB = O I O B = 20 (cm). Töø coâng thöùc vaän to·c cuûa chuyeån− ñoäng quay cuûa thanh 2 − 2 O1A vaø thanh AB ta coù 10 10π = 40ω ω = 2, 5π (1/s). × AB ⇒ AB —ieåm B chuyeån ñoäng vôùi vaän to·c V = 20 2, 5π = 50π (cm/s). B × Vaän to·c goùc cuûa thanh O2B sinh vieân töï laøm. 31 Quaû caàu chòu taùc duïng cuûa: troïng löïc P = mg, löïc caûn cuûa moâi tröôøng F = kv (boû qua löïc ñaåy Archimeøde). —ònh luaät thöù hai cho C − mw = P + FC. Choïn heä truïc ñoä Oy thaúng ñöùng höôùng leân. Chie·u heä thöùc vectô leân truïc Oy, ta ñöôïc: k my¨ = mg ky˙ y¨ + y˙ = g. (a) − − ⇒ m − Giaûi phöông trình vi phaân (a) - caùch 1. Taùch bie·n (xem y˙ laø aån haøm), dy˙ k = dt, m y˙ + g − tích phaân hai ve· m k ln y˙ + g = t + C. (b) k m − m Duøng ñieàu kieän ñaàu y˙(0) = 0, ta ñöôïc C = k ln g; thay vaøo (b), sau moät so· bie·n ñoåi, ta thu ñöôïc vaän to·c cuûa quaû caàu: mg kt y˙ = exp 1 . (c) k −m −    
  43. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 39 —eå yù raèng khi t + , y˙ mg (vaän to·c giôùi haïn). Vaän to·c giôùi haïn naøy → ∞ → − k cuõng coù theå tìm töø phöông trình P + FC = 0. Tích phaân (c) vaø duøng ñieàu kieän ñaàu y(0) = 0 ta ñöôïc phöông trình chuyeån ñoäng (luaät chuyeån ñoäng): m2g kt mgt y = 1 exp . k2 − −m − k    Caùch 2. Phöông trình (a) laø phöông trình vi phaân tuye·n tính ca·p hai khoâng thuaàn nha·t. Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nha·t kt y = C + C exp . 1 2 −m   Tìm nghieäm phöông trình khoâng thuaàn nha·t döôùi daïng kt y = C (t) + C (t) exp . 1 2 −m   0 0 C1(t),C2(t) thoûa heä 0 kt 0 C1(t) + exp m C2(t) = 0 k exp − kt C0 (t) = g − m − m  2 −  0 0 Giaûi ra C1(t),C2(t), roài tích phaân theo t, cuo·i cuøng ta ñöôïc kt m2g mgt y = C exp + + C , 2 −m k2 − k 1   trong ñoù C1,C2 laø caùc haèng so· tích phaân phuï thuoäc ñieàu kieän ñaàu. Phaàn coøn laïi sinh vieân töï laøm. 33 a) Löïc taùc duïng leân vieân ñaïn laø troïng löïc P. Phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng (ñònh luaät thöù hai cuûa Newton) mw = P.
  44. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 40 Chie·u xuo·ng caùc truïc toïa ñoä: x¨ = 0 y¨ = g − Tích phaân heä phöông trình treân, ta ñöôïc vaän to·c cuûa vieân ñaïn (duøng ñieàu kieän ñaàu, vaän to·c): x˙ = V0 cos α y˙ = gt + V sin α − 0 Tích phaân laàn nöõa (duøng ñieàu kieän ñaàu, vò trí) ta ñöôïc phöông trình chuyeån ñoäng cuûa vieân ñaïn: x = V0t cos α y = 1 gt2 + V t sin α − 2 0 Khöû t trong hai phöông trình treân ta ñöôïc phöông trình quyõ ñaïo cuûa vieân ñaïn: g 2 y = 2 2 x + x tan α. −2V0 cos α b) —eå vieân ñaïn baén truùng ñieåm M ta phaûi coù V 2 1 V 2 V 2 1 3 0 = (1 + tan2 α) 0 + 0 tan α tan2 α 2 tan α + = 0. 4g −2 4g 2g ⇔ 2 − 2 Nghieäm: tan α = 1, tan α = 3. 35 Cô heä: kho·i nöôùc, ban ñaàu ñöôïc giôùi haïn bôûi a b, sau khoaûng thôøi gian 0 0 − ∆t giôùi haïn bôûi a b (hình 10). − Löïc ngoaøi taùc duïng: troïng löïc P, phaûn löïc R cuûa töôøng taùc duïng leân kho·i nöôùc. Choïn truïc x naèm ngang vaø aùp duïng ñònh lyù bie·n thieân ñoäng löôïng theo phöông x. P P = R∆t. (a) 2x − 1x −
  45. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 41 Kho·i nöôùc ban ñaàu vaø kho·i nöôùc luùc sau coù phaàn chung (2). Ne·u giaû thie·t chuyeån ñoäng cuûa kho·i nöôùc laø döøng thì P P = P (1) = mv, (b) 2x − 1x − 1x − (1) trong ñoù P1x laø ñoäng löôïng luùc ñaàu cuûa phaàn (1) coøn m laø kho·i löôïng cuûa noù. Ke·t quaû naøy nhaän ñöôïc laø do caùc phaàn (3) coù vaän to·c vuoâng goùc vôùi truïc x. Thay (b) vaøo (a) ta suy ra mv R = . (c) ∆t Ne·u nöôùc coù maät ñoä kho·i laø ρ thì kho·i löôïng cuûa phaàn (1) laø πd2 m = ρ v∆t 4 vaø nhö vaäy (ρ = 1), πd2v2 R = ρ = 125, 6 N. 4 36 Heä quy chie·u: truïc Ox naèm ngang coù chieàu töø traùi qua phaûi. Cô heä: goàm A, B, sôïi daây vaø laêng truï. Chuù yù, ôû ñaây ta khoâng keå daây vaø roøng roïc vì chuùng khoâng coù kho·i löôïng neân chæ coù taùc duïng raøng buoäc (lieân ke·t) caùc vaät trong heä (xem hình 11). Löïc ngoaøi taùc duïng: caùc troïng löïc P, PA, PB , vaø phaûn löïc N cuûa maÎt saøn taùc duïng leân laêng truï. —eå aùp duïng ñònh lyù bie·n thieân ñoäng löôïng treân phöông Ox, tröôùc he·t, ta tìm lieân heä giöõa caùc thaønh phaàn vaän to·c theo phöông x cuûa A, B vaø laêng truï. Ne·u goïi v laø vaän to·c cuûa laêng truï ño·i vôùi O, v 0 laø thaønh phaàn vaän to·c theo phöông x cuûa B ño·i vôùi laêng truï. Thì thaønh phaàn vaän to·c theo phöông x cuûa A ño·i vôùi laêng truï (vaän to·c töông ño·i) seõ laø v 0 cos α (do daây khoâng giaõn). Töø coâng thöùc coäng vaän to·c, ta coù thaønh phaàn vaän to·c theo phöông x cuûa A, B ño·i vôùi O (vaän to·c tuyeät ño·i) laàn löôït laø v 0 cos α + v, v0 + v. Do ban ñaàu heä ñöùng yeân neân ñoäng löôïng baèng khoâng, P1x = 0. —oäng löôïng luùc sau (khi A ñaõ tröôït xuo·ng moät khoaûng l doïc theo caïnh KL cuûa laêng
  46. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 42 truï): 0 0 0 P2x = m1(v cos α+v)+m2(v +v)+mv = (m1 cos α+m2)v +(m1 +m2 +m)v. Vì daây khoâng troïng löôïng neân moâmen ñoäng löôïng cuûa noù baèng khoâng. Nhö vaäy, theo ñònh lyù bie·n thieân ñoäng löôïng treân phöông Ox, 0 0 (m1 cos α + m2)v (m1 cos α + m2)v + (m1 + m2 + m)v = 0 v = . ⇒ − m1 + m2 + m Ve· phaûi cuûa phöông trình treân baèng khoâng do ta·t caû caùc löïc ngoaøi ñeàu tröïc giao vôùi Ox. La·y tích phaân hai ve· töø 0 ñe·n thôøi ñieåm ñang xeùt, ta ñöôïc: (m cos α + m )l s = 1 2 . − m1 + m2 + m Da·u tröø trong phöông trình chæ thò laêng truï di chuyeån ngöôïc höôùng di chuyeån cuûa B. 38 Cô heä: ta·m troøn vaø ngöôøi. Löïc ngoaøi taùc duïng: P, Q laø troïng löïc cuûa ngöôøi vaø ta·m troøn, RA, RB phaûn löïc lieân ke·t taïi caùc oå truïc (xem hình 13). (e) Ta coù mz(Fk ) = 0 neân moâmen ñoäng löôïng cuûa heä ñöôïc baûo toaøn theo phöông z. Vì ban ñaàu heä ñöùng yeân neân Lz = 0 taïi moïi thôøi ñieåm. P Taïi thôøi ñieåm ba·t kyø, giaû ñònh vaän to·c cuûa ngöôøi vaø vectô vaän to·c goùc cuûa ta·m troøn nhö hình veõ. Luùc ñoù vaän to·c tuyeät ño·i cuûa ngöôøi v = rω + u. Moâmen ñoäng löôïng cuûa heä ño·i vôùi truïc z: P r2 P L = J ω + r(rω + u) = (Q + 2P )ω + ru, z z g 2g g ta·m troøn ngöôøi |{z} | {z } trong ñoù ta ñaõ duøng coâng thöùc tính moâmen quaùn tính cuûa ta·m troøn ño·i vôùi 2 truïc z, Jz = Qr /2g. Töø Lz = 0 ta suy ra 2P u ω = . −r(Q + 2P )
  47. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 43 Chuù yù, da·u tröø trong bieåu thöùc ω chöùng toû vaän to·c goùc coù chieàu ngöôïc vôùi chieàu giaû thie·t. 39 Xem hình 14. ‘¤ ñaây, vì lyù do tie·t kieäm, chuùng toâi khoâng veõ hình laïi cuõng nhö khoâng theâm nhöõng chi tie·t boå sung trong quaù trình giaûi, chaúng haïn nhö sô ñoà caùc löïc ngoaøi taùc duïng leân heä, heä toïa ñoä ñöôïc duøng. Nhöng trong khi trình baøy lôøi giaûi caùc baïn neân veõ ra ñeå lôøi giaûi ñöôïc roõ raøng hôn. Cô heä: hình truï, sôïi daây vaø quaû caân A. Löïc ngoaøi: troïng löïc P vaø phaûn löïc N taùc duïng leân hình truï, troïng löïc Q taùc duïng leân quaû caân A. Heä toïa ñoä: Go·c O "taâm" cuûa hình tru, truïc Ox höôùng xuo·ng döôùi, truïc Oy naèm ngang höôùng töø phaûi qua traùi, vaø nhö vaäy truïc Oz vuoâng goùc vaø höôùng vaøo trong maÎt phaúng hình veõ. Choïn heä toïa ñoä nhö the· naøy thì hình truï seõ quay theo chieàu thuaän (ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà).ï Moâmen ñoäng löôïng cuûa heä ño·i vôùi truïc z: Q R2ω(P + Q) L = J ω + v R = . z z g A g hình truï quaû caân A |{z} | {z } 2 ‘¤ ñaây ta ñaõ duøng coâng thöùc tính moâmen quaùn tính cuûa hình truï Jz = PR /g, vaø lieân heä giöõa vaän to·c quaû caân A vôùi vaän to·c goùc cuûa hình truï, vA = ωR (do daây khoâng giaõn). Vì daây khoâng troïng löôïng neân moâmen ñoäng löôïng cuûa noù baèng khoâng. Moâmen cuûa löïc ngoaøi ño·i vôùi truïc z (hai löïc P, N coù ñöôøng taùc duïng caÎt truïc z neân moâmen cuûa chuùng baèng khoâng): Mz(Q) = RQ. AÙp duïng ñònh lyù bie·n thieân moâmen ñoäng löôïng (daïng vi phaân) ta ñöôïc: R2(P + Q) = RQ. g Suy ra gia to·c goùc cuûa hình truï: gQ  = . R(P + Q)
  48. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 44 40 Cô heä: roøng roïc, sôïi daây vaø hai vaät A, B. Löïc ngoaøi taùc duïng: P1, P2, Q vaø phaûn löïc R (hình 15). Heä toïa ñoä: Oxyz vôùi Ox naèm ngang höôùng töø traùi qua phaûi, Oy thaúng ñöùng höôùng leân vaø Oz vuoâng goùc vôùi maÎt phaúng hình veõ höôùng ra ngoaøi (trang gia·y). —eå yù raèng, ne·u vaät A (B) coù vaän to·c v thì roøng roïc coù ω = v/r. Moâmen ñoäng löôïng cuûa heä ño·i vôùi truïc z vuoâng goùc vôùi maÎt phaúng hình veõ P P rv(Q + P + P ) L = J ω + 1 vr + 2 vr = 1 2 . z z g g g roøng roïc vaät A vaät B |{z} | {z } | {z } 2 ‘¤ ñaây ta ñaõ duøng coâng thöùc Jz = Qr /2 tính moâmen quaùn tính cuûa roøng roïc. Vì daây khoâng troïng löôïng neân moâmen ñoäng löôïng cuûa noù baèng khoâng. AÙp duïng ñònh lyù bie·n thieân moâmen ñoäng löôïng ño·i vôùi truïc z, ta coù r(Q + P + P ) L˙ = (P P )r 1 2 w = (P P )r (w =v ˙), z 1 − 2 ⇔ g 1 − 2 suy ra (P P )g w = 1 − 2 . Q + P1 + P2 41 Thanh OA thöïc hieän chuyeån ñoäng quay quanh O vôùi vaän to·c goùc ω0 neân ñoäng naêng baèng 1 1 J ω2 = ρr3ω2. 2 1 0 6 0 1 2 ‘¤ ñaây, ta ñaõ duøng coâng thöùc J1 = 3 Mr vôùi M = ρr. Thanh AB chuyeån ñoäng song phaúng. Chuyeån ñoäng töùc thôøi cuûa noù laø chuyeån ñoäng quay quanh taâm quay töùc thôøi I (hình veõ) vôùi vaän to·c goùc ω1. Ta tha·y A laø trung ñieåm caïnh huyeàn cuûa tam giaùc vuoâng ∆OBI vuoâng taïi B, neân IA = OA = r. Vì v(A) = OAω0 = rω0 (trong chuyeån ñoäng cuûa thanh OA), v(A) = IAω1 = rω1 (trong chuyeån ñoäng cuûa thanh AB) neân ω1 = ω0. —eå tính ñoäng naêng cuûa thanh AB ta caàn tính moâmen quaùn tính J2 cuûa noù
  49. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 45 ño·i vôùi truïc ñi qua I. Tröôùc he·t, xaùc ñònh IJ vôùi J laø kho·i taâm (trung ñieåm) cuûa AB. AÙp duïng coâng thöùc coâsin cho tam giaùc ∆IAJ, ta coù: 5 IJ 2 = IA2 + AJ 2 2AI AJ cos ∠IAJ = r2 cos 2ϕ . − · 4 −   Do ñoù theo coâng thöùc Huygens 1 5 4 J = ρr3 + ρr3 cos 2ϕ = ρr3 cos 2ϕ . 2 12 4 − 3 −     —oäng naêng cuûa thanh AB baèng 1 4 ρr3 cos 2ϕ ω2. 2 3 − 0   Toùm laïi, ñoäng naêng cuûa heä baèng 1 1 4 5 1 ρr3ω2 + ρr3 cos 2ϕ ω2 = ρr3 cos 2ϕ ω2. 6 0 2 3 − 0 6 − 2 0     42 Cô heä: ñóa vaø daây. Löïc ngoaøi taùc duïng: P troïng löïc ñaÎt leân ñóa. Heä toïa ñoä ñöôïc choïn coù go·c ñaÎt taïi A, Ax thaúng ñöùng höôùng xuo·ng döôùi, Ay naèm ngang höôùng töø traùi qua phaûi, Az vuoâng goùc vôùi maÎt phaúng hình veõ (ñaàu baøi) höôùng töø ngoaøi vaøo trong (trang gia·p). Vôùi caùch choïn heä toïa ñoä naøy thì ñóa quay theo chieàu thuaän. 0 0 0 —eå tính moâmen ñoäng löôïng cuûa- heä ta duøng heä toïa ñoä K¨onig Cx y z (hình tònh tie·n cuûa Axyz theo vectô AC). —eå yù raèng, ñóa thöïc hieän chuyeån ñoäng song phaúng, do daây khoâng giaõn, coù chuyeån ñoäng töùc thôøi laø chuyeån ñoäng quay quanh truïc ñi qua "ñieåm tie·p xuùc" cuûa dóa vôùi truïc Ax vôùi vaän to·c goùc ω, vC = rω. Ne·u xeùt chuyeån ñoäng cuûa ñieåm naøy ño·i vôùi heä K¨onig (xem nhö ñöùng yeân), thì noù chuyeån ñoäng quay quanh C vôùi cuøng vaän to·c goùc. Nhö vaäy, 3 L = mrv + J ω = mr2ω, z C C 2
  50. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 46 trong ñoù JC laø moâmen quaùn tính cuûa ñóa ño·i vôùi truïc ñi qua C vaø cuøng höôùng 2 vôùi Az. ‘¤ ñaây ta ñaõ duøng coâng thöùc JC = mr /2. Vì daây khoâng troïng löôïng neân moâmen ñoäng löôïng cuûa noù baèng khoâng. Moâmen cuûa löïc ngoaøi (ñaÎt taïi C): mgr. AÙp duïng ñònh lyù bie·n thieân moâmen ñoäng löôïng: 3 2g mr2ω˙ = mgr  =ω ˙ = . 2 ⇒ 3r Vì C chuyeån ñoäng thaúng ñöùng neân gia to·c cuûa C: wC =v ˙C = 2g/3. —eå tìm löïc caêng ta xeùt heä chæ goàm ñóa. Khi ñoù, löïc ngoaøi taùc duïng leân heä goàm P vaø löïc caêng daây T. AÙp duïng ñònh lyù chuyeån ñoäng kho·i taâm, ta coù: 2mg mg mw = mg T T = mg = . C − ⇒ − 3 3 Caùch giaûi khaùc Phaàn ñaàu cuûa baøi taäp naøy coù theå giaûi baèng caùch duøng ñònh lyù bie·n thieân ñoäng naêng. ‘¤ ñaây ta cuõng duøng heä toïa ñoä K¨onig khi tính ñoäng naêng. —oäng naêng cuûa heä: 1 1 3 T = mv2 + J ω2 = mr2ω2. 2 C 2 C 4 Coâng sua·t cuûa löïc ngoaøi: W = mgvC = mgrω. AÙp duïng ñònh lyù bie·n thieân ñoäng naêng: 3 2g mr2ωω˙ = mgrω  =ω ˙ = . 2 ⇒ 3r 44 Heä laø haït chæ chuyeån ñoäng trong maÎt phaúng qua go·c neân coù 2 baäc töï do [Chuyeån ñoäng cuûa haït döôùc taùc duïng cuûa löïc xuyeân taâm laø chuyeån ñoäng phaúng. —a‚y laø raøng buoäc cuûa haït]. Toïa ñoä suy roäng (duøng toïa ñoä cöïc coù go·c ñaÎt taïi go·c).
  51. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 47 —oäng naêng cuûa haït laø (xem hình 19) 1 T = m(r ˙2 + r2θ˙2). 2 The· naêng cuûa haït (ño·i vôùi voâ cuøng) laø GMm V = . − r Haøm Lagrange L = T V : − 1 GMm L = m(r ˙2 + r2θ˙2) + . 2 r Tính caùc ñaïo haøm roài thay vaøo heä phöông trình Lagrange, ta ñöôïc: MG mr¨ m rθ˙2 = 0, − − r2   d m(2rr˙θ˙ + r2θ¨) = 0 (r2θ˙) = 0. ⇒ dt Tích phaân ñaàu: r2θ˙ =const. Chuù yù, ta coù theå nhaän ra chuyeån ñoäng coù moät tích phaân ñaàu töø nhaän xeùt ∂L/∂θ (haøm Lagrange khoâng phuï thuoäc θ, nghóa laø θ laø toïa ñoä cyclic). Tích phaân ñaàu naøy chính laø moâmen ñoäng löôïng cuûa haït mr2θ˙ ñöôïc baûo toaøn. 45 Heä laø haït. Vì vectô baùn kính cuûa haït: r = rer, trong ñoù er = (sin α cos ϕ, sin α sin ϕ, cos α), neân heä coù 2 baäc töï do. Toïa ñoä suy roäng: r, θ. Vaän to·c cuûa haït: r˙ =r ˙er + re˙ r. —eå yù raèng, e˙ =ϕ ˙ sin α( sin ϕ, cos ϕ, 0) =ϕ ˙ sin αe . r − ϕ
  52. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 48 Nhö vaäy, ñoäng naêng cuûa haït: 1 T = m(r ˙2 + r2ϕ˙ 2 sin2 α). 2 The· naêng cuûa haït (ño·i vôùi O): V = mgr cos α. Haøm Lagrange: 1 L = T V = m(r ˙2 + r2ϕ˙ 2 sin2 α) mgr cos α. − 2 − Heä phöông trình Lagrange (sv neân tính toaùn töôøng minh) r¨ rϕ˙ 2 sin2 α + g cos α = 0, − 2rr˙ϕ˙ + r2ϕ¨ = 0 (sin α > 0). Do haøm Lagrange khoâng phuï thuoäc ϕ neân ϕ laø toïa ñoä cyclic. Tích phaân ñaàu: r2varphi˙ = const. Sv töï giaûi thích yù nghóa vaät lyù. 46 Heä hai baäc töï do. Choïn toïa ñoä suy roäng: x, chuyeån dòch cuûa neâm ño·i vôùi ñieåm co· ñònh treân saøn; y, chuyeån dòch cuûa vaät ño·i vôùi ñieåm co· ñònh treân neâm. —oäng naêng vaø the· naêng cuûa heä: 1 1 T = Mx˙ 2 + m(x ˙ 2 +y ˙2 + 2x ˙y˙ cos α), 2 2 V = mgy sin α. − Haøm Lagrange: 1 1 L = T V = Mx˙ 2 + m(x ˙ 2 +y ˙ 2 + 2x ˙y˙ cos α) + mgy sin α. − 2 2 Tính caùc ñaïo haøm ∂L ∂L d ∂L = 0, = (M + m)x ˙ + (m cos α)y, ˙ = (M + m)¨x + (m cos α)¨y; ∂x ∂x˙ dt ∂x˙ ∂L ∂L d ∂L = mg sin α, = my˙ + (m cos α)x, ˙ = my¨ + (m cos α)¨x. ∂y ∂y˙ dt ∂y˙
  53. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 49 Heä phöông trình Lagrange loaïi hai: (M + m)¨x + (m cos α)¨y = 0, my¨ + (m cos α)¨x mg sin α = 0. − Giaûi ra ta ñöôïc mg sin α cos α (M + m)g sin α x¨ = , y¨ = . − M + m sin2 α − M + m sin2 α 47 Ne·u khoâng coù ñieàu kieän "laên khoâng tröôït" thì heä hai baäc töï do vôùi caùc toïa ñoä suy roäng: θ, goùc giöõa OG vaø truïc thaúng ñöùng höôùng xuo·ng; ϕ, goùc quay cuûa hình truï (ño·i vôùi vò trí tham chie·u naøo ñoù). —ieàu kieän laên khoâng tröôït cho (b a)θ˙ = aϕ˙ (b a)θ = aϕ. (a) − ⇒ − ‘¤ ñaây ta ñaõ choïn vò trí tham chie·u thích hôïp ñeå cho ϕ = 0 khi θ = 0. Vaäy heä moät baäc töï do. Choïn toïa ñoä suy roäng laø θ. —oäng naêng cuûa heä: 1 1 T = m((b a)θ˙)2 + Jϕ˙ 2 2 − 2 3 = m(b a)2θ˙2 4 − trong ñoù ta ñaõ duøng phöông trình lieân ke·t (a) vaø coâng thöùc tính moâmen quaùn tính cuûa hình truï J = ma2/2. The· naêng: V = mg(b a) cos θ. − − Haøm Lagrange 3 L = T V = m(b a)2θ˙2 + mg(b a) cos θ. − 4 − − Tính caùc ñaïo haøm: ∂L ∂L 3 d ∂L 3 = mg(b a) sin θ, = m(b a)2θ,˙ = m(b a)2θ.¨ ∂θ − − ∂θ˙ 2 − dt ∂θ˙ 2 −
  54. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 50 Phöông trình Lagrange loaïi hai: 3 2g m(b a)2θ¨ + mg(b a) sin θ = 0 θ¨ + sin θ = 0. 2 − − ⇒ 3(b a) − (chuù yù, phöông trình naøy truøng vôùi phöông trình chính xaùc cho dao ñoäng con laéc ñôn coù chieàu daøi l = 3(b a)/2). − Vôùi giaû thie·t dao ñoäng beù ta xa·p xæ sin θ θ trong phöông trình Lagrange, ta ñöôïc ≈ 2g θ¨ + θ = 0. 3(b a) − Chu kyø cuûa dao ñoäng theo coâng thöùc cuûa con laéc ñôn l 3(b a) 2π = 2π − . sg s 2g 48 Heä hai baäc töï do. Choïn caùc toïa ñoä suy roäng: x, θ nhö treân hình 23. —ieåm ñaÎc bieät ôû thí duï naøy laø löïc F taùc duïng leân P2 ñöôïc cho phuï thuoäc thôøi gian (khoâng baûo toaøn) neân ta caàn tính caùc löïc suy roäng! Chuyeån dòch aûo cuûa P2 theo phöông ngang: δx + a cos θδθ. neân coâng phaân to· cuûa löïc chuû ñoäng (chæ coù löïc F ) laø F (t)(δx + a cos θδθ) = Qxδx + Qθδθ, suy ra Qx = F (t),Qθ = (a cos θ)F (t). —oäng naêng cuûa heä: 1 1 T = mx˙ 2 + m[(x ˙ + a cos θθ˙)2 + (a sin θθ˙)2] 2 2 1 = mx˙ 2 + (ma cos θ)x ˙θ˙ + ma2θ˙2. 2
  55. Lôøi giaûi moät so· baøi taäp 51 Heä phöông trình Lagrange loaïi hai: d [2mx˙ + (ma cos θ)θ˙] = F (t), dt d [(ma cos θ)x ˙ + ma2θ˙] [ (ma sin θ)x ˙θ˙] = (a cos θ)F (t). dt − −
  56. Phuï luïc A —eà thi maãu Caâu 1 (2ñ) Moät con ong bay treân moät quyõ ñaïo theo luaät chuyeån ñoäng cho trong toïa ñoä cöïc laø bt t r = (2τ t), ϕ = (0 t 2τ), τ 2 − τ ≤ ≤ trong ñoù b vaø τ laø nhöõng haèng so· döông. Chöùng toû raèng to·c ñoä nhoû nha·t cuûa con ong laø b/τ. Tìm gia to·c cuûa con ong taïi thôøi ñieåm naøy. Caâu 2 (2ñ) Moät cha·t ñieåm P kho·i löôïng m chuyeån ñoäng döôùi löïc ha·p daãn Hình 1: Caâu 2 cuûa vaät coù kho·i löôïng M ñaÎt taïi O. Ban ñaàu P ôû caùch O khoaûng caùch a, ñöôïc baén ra xa O vôùi to·c ñoä (2MG/a)1/2. Tìm khoaûng caùch töø P ñe·n O taïi thôøi ñieåm t. Chöùng toû P chuyeån ñoäng ra voâ cuøng. ‘¤ ñaây G laø haèng so· ha·p daãn. Caâu 3 (1ñ) Cho ñóa troøn ñoàng cha·t baùn kính a, kho·i löôïng M. —eå thay ñoåi moâmen quaùn tính cuûa ñóa ngöôøi ta gaén theâm vaøo ñóa kho·i löôïng m caùch taâm khoaûng caùch a/2. Tính moâmen quaùn tính cuûa heä ño·i vôùi truïc ñi qua taâm vaø 52
  57. PHUÏ LUÏC A. —EÀ THI MAÃU 53 Hình 2: Caâu 3 vuoâng goùc vôùi ñóa. Ne·u khoâng theâm vaø kho·i löôïng m thì truïc phaûi dôøi song song ñe·n ñieåm naøo treân ñóa ñeå moâmen quaùn tính vaãn baèng nhö tröôøng hôïp tröôùc? Caâu 4 (2.5ñ) Moät ñóa troøn kho·i löôïng M baùn kính a coù theå quay khoâng ma Hình 3: Caâu 4 saùt quanh truïc naèm ngang ñi qua taâm cuûa noù. Moät con boï kho·i löôïng m chaïy vôùi vaän to·c khoâng ñoåi u quanh meùp ñóa. Ban ñaàu ñóa ñöôïc giöõ ôû traïng thaùi nghæ vaø ñöôïc thaû ra khi con boï ôû vò trí tha·p nha·t. Tính moâmen ñoäng löôïng cuûa heä (goàm ñóa vaø con boï) ño·i vôùi truïc quay. Vie·t phöông trình bie·n thieân ñoäng löôïng cuûa heä. Chöùng toû raèng 4mg u2 ϕ˙ 2 = (cos ϕ 1) + . a(M + 2m) − a2 trong ñoù ϕ laø goùc xaùc ñònh vò trí con boï so vôùi phöông thaúng ñöùng höôùng xuo·ng. Caâu 5 (2.5ñ) Moät o·ng truï baùn kính a, trong löôïng P1 coù cuo·n xung quanh baèng moät sôïi daây. Daây vaét qua roøng roïc co· ñònh O roài no·i vôùi vaät naÎng A troïng löôïng P2. Vaät A tröôït treân maÎt phaúng ngang coù heä so· ma saùt f. Boû qua ma saùt ôû oå truïc O. Vie·t phöông trình Lagrange loaïi hai cho heä. Tìm gia to·c cuûa A vaø taâm C cuûa o·ng truï. Chuù thích —eà thi goàm 5 caâu ñöôïc ca·u truùc nhö sau: Caâu 1 - —oäng hoïc ñieåm; kieåm tra kie·n thöùc vaø kyõ naêng tính toaùn caùc
  58. PHUÏ LUÏC A. —EÀ THI MAÃU 54 Hình 4: Caâu 5 khaùi nieäm ñoäng hoïc cô baûn: phöông trình (luaät) chuyeån ñoäng, quyõ ñaïo, vaän to·c, gia to·c, gia to·c tie·p, gia to·c phaùp, baùn kính cong. Caâu 2 - —oäng löïc hoïc ñieåm; kieåm tra khaû naêng thie·t laäp phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng vaø kyõ naêng giaûi phöông trình vi phaân. Caâu 3 - Kieåm tra kie·n thöùc veà kho·i taâm, moâmen quaùn tính. Caâu 4 - Kieåm tra kyõ naêng vaän duïng moät trong ba ñònh luaät toång quaùt (ñoäng löôïng, moâmen ñoäng löôïng vaø ñoäng naêng). Caâu 5 - Cô hoïc giaûi tích; kieåm tra kyõ naêng phaân tích lieân ke·t, thie·t laäp phöông trình Lagrange loaïi hai. —aùp aùn Caâu 1 Vaän to·c cuûa con ong taïi thôøi ñieåm t: 2b bt v = (τ t), v = (2τ t). r τ 2 − ϕ τ 3 − To·c ñoä cuûa con ong taïi thôøi ñieåm t: b 2 1 2 2 v = 2 4(τ t) + 2 (2τt t ) , τ r − τ − b2 v2 = f(t). τ 4 2 1 2 2 ‘¤ ñaây ta ñaõ ñaÎt f(t) = 4(τ t) + 2 (2τt t ) . —eå tìm to·c ñoä nhoû nha·t cuûa − τ −
  59. PHUÏ LUÏC A. —EÀ THI MAÃU 55 ong ta khaûo saùt haøm f(t). 2 f 0(t) = 8(τ t) + (2τt t2)(2τ 2t) − − τ 2 − − 4 = (τ t)(t2 2τt + 2τ 2) −τ 2 − − Xeùt da·u f 0(t) trong khoaûng [0, 2τ] coù theå tha·y f(t) nhoû nha·t (vaø nhö vaäy vaän to·c nhoû nha·t) khi t = τ. Vaän to·c nhoû nha·t baèng b/τ. Gia to·c cuûa con ong taïi thôøi ñieåm t: 2b bt 4b w = (2τ t), w = (τ t). r −τ 2 − τ 4 − ϕ τ 3 − Luùc t = τ, 3b 3b w = , w = 0 w = . r −τ 2 ϕ ⇒ τ 2 Caâu 2 Choïn heä toïa ñoä nhö hình veõ. Löïc taùc duïng: löïc ha·p daãn coù ñoä lôùn F = GMm/x2 vaø höôùng veà O. Phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng GMm GM mx¨ = x¨ = . − x2 ⇒ − x2 Kyù hieäu v =x ˙ x¨ =v ˙. Nhaân vaøo hai ve· phöông trình vôùi vdt = dx, ta ñöôïc ⇒ 1 GMdx d(v2) = . 2 − x2 Tích phaân hai ve· töø thôøi ñieåm ñaàu ñe·n thôøi ñieåm t: 1 1 v(t)2 v(0)2 = 2GM . − x(t) − x(0)  
  60. PHUÏ LUÏC A. —EÀ THI MAÃU 56 Duøng ñieàu kieän ñaàu, v(0)2 = 2MG/a, x(0) = a, ta suy ra 2GM v(t) = . s x(t) Nhaân vaøo hai ve· vôùi dt, ta ñöôïc 2GM dx = dt x1/2dx = √2GMdt. r x ⇒ Tích phaân hai ve·, ta ñöôïc 3 3 2/3 x(t)3/2 x(0)3/2 = √2GM t x(t) = a3/2 + √2GMt . − 2 ⇒ 2   —aây chính laø khoaûng caùch töø O ñe·n P taïi thôøi ñieåm t. Cho t , x(t) , nghóa laø P chuyeån ñoäng ra voâ cuøng. → ∞ → ∞ Caâu 3 Moâmen quaùn tính cuûa heä coù tính cha·t coäng tính. Goïi ∆ laø truïc ñi qua taâm (kho·i taâm cuûa ñóa), ta coù 1 a 2 a2(2M + m) J = Ma2 + m = . 2 2 4   Goïi ∆0 laø truïc caàn tìm vaø d laø khoaûng caùch giöõa hai truïc. Theo ñònh lyù Huygens, 2 1 2 2 J 0 = J + Md = Ma + Md . ∆ ∆ 2 —eå moâmen quaùn tính vaãn baèng nhö tröôøng hôïp tröôùc, ta phaûi coù 1 a2(2M + m) a m Ma2 + Md2 = d = . 2 4 ⇒ 2 M r
  61. PHUÏ LUÏC A. —EÀ THI MAÃU 57 Vaäy truïc ∆0 phaûi choïn ñi qua ñieåm caùch taâm ñóa khoaûng caùch d xaùc ñònh nhö treân. Caâu 4 Goïi θ laø goùc quay cuûa ñóa (chieàu choïn nhö hình veõ). —óa thöïc hieän chuyeån ñoäng quay neân moâmen ñoäng löôïng ño·i vôùi truïc quay laø 1 L = Jθ˙ = Ma2θ.˙ ñ 2 Chuyeån ñoäng cuûa con boï goàm: chuyeån ñoäng töông ño·i - chuyeån ñoäng troøn vôùi vaän to·c daøi khoâng ñoåi u; chuyeån ñoäng theo laø chuyeån ñoäng quay quanh truïc cuøng vôùi ñóa. Vaän to·c tuyeät ño·i cuûa con boï: u + aθ.˙ − (chuù yù kyõ caùch choïn chieàu quay döông). Moâmen ñoäng löôïng cuûa con boï: L = ma(u aθ˙). b − − Moâmen ñoäng löôïng cuûa heä ño·i vôùi truïc quay: 1 2 L = Lñ + L = Ma θ˙ ma(u aθ˙). b 2 − − Löïc taùc duïng leân heä: troïng löïc cuûa ñóa vaø cuûa con boï. Löïc taùc duïng leân ñóa quy veà löïc ñaÎt taïi ñieåm maø truïc quay ñi qua neân moâmen cuûa löïc baèng khoâng. Moâmen cuûa löïc taùc duïng leân heä cuõng laø moâmen cuûa löïc taùc duïng leân con boï: MO = mga sin ϕ (chuù yù kyõ caùch choïn chieàu quay döông). ‘¤ ñaây ϕ laø goùc xaùc ñònh vò trí con boï ño·i vôùi phöông thaúng ñöùng höôùng xuo·ng. AÙp duïng ñònh lyù bie·n thieân moâmen ñoäng löôïng cuûa heä, d 1 Ma2θ˙ ma(u aθ˙) = mga sin ϕ dt 2 − −   (M + 2m)a2θ¨ = mga sin ϕ. 2
  62. PHUÏ LUÏC A. —EÀ THI MAÃU 58 —eå yù raèng goùc chuyeån ñoäng cuûa con boï taïi thôøi ñieåm t so vôùi vò trí ban ñaàu baèng θ + ϕ. Con boï chuyeån ñoäng ñeàu neân a(θ + ϕ) = ut, suy ra θ˙ = (u/a) ϕ˙, − ϕ¨ = θ¨. Thay vaøo phöông trình bie·n thieân moâmen ñoäng löôïng ta ñöôïc sau moät so·− bie·n ñoåi: 2mg ϕ¨ = sin ϕ. −a(M + 2m) Nhaân hai ve· vôùi ϕdt˙ = dϕ, ta ñöôïc: 1 2mg d(ϕ ˙)2 = sin ϕdϕ. 2 −a(M + 2m) Tích phaân hai ve· töø thôøi ñieåm ñaàu ñe·n thôøi ñieåm t: 1 2mg [ϕ ˙(t)2 ϕ˙(0)2] = [cos(ϕ(t)) cos(ϕ(0))]. 2 − a(M + 2m) − Duøng ñieàu kieän ñaàu, ϕ(0) = 0, ϕ˙(0) = u/a, ta suy ra: 4mg u2 ϕ˙ 2 = (cos ϕ 1) + . a(M + 2m) − a2 Caâu 5 Heä: o·ng truï taâm C vaø vaät naêng A Vaät A thöïc hieän chuyeån ñoäng tònh tie·n theo phöông ngang. Hình truï thöïc hieän chuyeån ñoäng song phaúng, bao goàm: tònh tie·n theo phöông thaúng ñöùng (cuøng vôùi A) vaø quay (töùc thôøi) quanh B. Heä coù 2 baäc töï do. Toïa ñoä suy roäng: x - vò trí A theo phöông ngang, ϕ goùc quay cuûa o·ng truï. Caùc löïc chuû ñoäng: troïng löïc P1, löïc ma saùt Fms = fP2, troïng löïc P2. —oäng naêng cuûa A: P T = 2 x˙ 2. A 2g —eå tính ñoäng naêng o·ng truï, duøng coâng thöùc tính ñoäng naêng theo kho·i taâm C, tröôùc he·t ta tính vaän to·c cuûa C baèng coâng thöùc Euler (ñieåm cöïc laø B - taâm
  63. PHUÏ LUÏC A. —EÀ THI MAÃU 59 quay töùc thôøi) v =x ˙ +aϕ˙ w =x ¨ + aϕ.¨ C ⇒ C vB |{z} —oäng naêng o·ng truï (J = Ma2) P 1 P P T = 1 (x ˙ + aϕ˙)2 + Jϕ˙ 2 = 1 (x ˙ 2 + 2ax˙ϕ˙ + a2ϕ˙ 2) + 1 a2ϕ˙ 2. C 2g 2 2g 2g —oäng naêng cuûa heä: P + P P a P a2 T = T + T = 1 2 x˙ 2 + 1 x˙ϕ˙ + 1 ϕ˙ 2. A C 2g g g Coâng cuûa caùc löïc chuû ñoäng (giuùp tìm caùc löïc suy roäng): fP δx + P δx + P aδϕ Q = fP + P ,Q = P a. − 2 1 1 ⇒ x − 2 1 ϕ 1 Tính caùc ñaïo haøm roài thay vaøo phöông trình Lagrange, ta ñöôïc: P + P P a 1 2 x¨ + 1 ϕ¨ = fP + P , g g − 2 1 P a 2P a2 1 x¨ + 1 ϕ¨ = P a. g g 1 Giaûi ra ta ñöôïc g(P 2fP ) x¨ = 1 − 2 (gia to·c cuûa A), P1 + 2P2 gP2(1 + 2f) g(P1 + P2) ϕ¨ = wC = (gia to·c cuûa C). a(P1 + 2P2) ⇒ P1 + 2P2
  64. Phuï luïc B —eà thi moân Cô hoïc lyù thuye·t Thôøi gian: 120 phuùt Ngaøy thi: 4/6/2009 (Sinh vieân ñöôïc pheùp tham khaûo taøi lieäu chæ ñònh) Caâu 1 (2ñ) —ieåm chuyeån ñoäng treân ñöôøng cycloid, x = a(θ sin θ), y = a(1 cos θ), − − theo luaät θ = bt/a, trong ñoù a vaø b laø nhöõng haèng so· döông. ‘¤ thôøi ñieåm ba·t kyø, xaùc ñònh vaän to·c, gia to·c cuûa ñieåm vaø baùn cong cuûa quyõ ñaïo taïi vò trí cuûa ñieåm. Caâu 2 (2.5ñ) Moät vaät kho·i löôïng m tröôït khoâng ma saùt treân maÎt phaúng nghieâng moät goùc α (0 < α < π/2) so vôùi phöông ngang. Cho bie·t vaät chòu söùc caûn khoâng khí coù ñoä lôùn tæ leä vôùi bình phöông vaän to·c, kv2. Ban ñaàu vaät ôû ñænh do·c O vaø ñöôïc buoâng ra khoâng vaän to·c ñaàu. Vie·t phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa vaät. Chöùng minh vaän to·c cuûa vaät bie·n thieân theo quy luaät mg sin α v = (1 e−2kx/m), r k − trong ñoù x laø khoaûng caùch töø vaät ñe·n ñænh do·c. Tìm vaän to·c giôùi haïn cuûa vaät. Caâu 3 (1ñ) Moät quaû laéc ñoàng hoà goàm: thanh ñoàng cha·t chieàu daøi 2a, kho·i löôïng m vaø ñóa troøn ñoàng cha·t baùn kính a/2, kho·i löôïng M gaén vôùi nhau nhö hình 1. Tính moâmen quaùn tính cuûa quaû laéc ño·i vôùi truïc ñi qua O (ñieåm giöõa cuûa thanh), cho bie·t OC = 3a/4. 60
  65. PHUÏ LUÏC B. —EÀ THI MOÂN C‘ HOÏC LYÙ THUYEÁT 61 Hình 1: a) Caâu 3; b) Caâu 5. Caâu 4 (2ñ) Moät vaät kho·i löôïng 4m ôû traïng thaùi nghæ (ñöùng yeân) khi noù bò noå tung thaønh ba maûnh coù kho·i löôïng laàn löôït laø 2m, m vaø m. Sau khi noå tung, hai maûnh kho·i löôïng m ñöôïc quan saùt tha·y chuyeån ñoäng vôùi cuøng to·c ñoä u theo hai höôùng hôïp vôùi nhau goùc 120o. Tìm vaän to·c cuûa maûnh coù kho·i löôïng 2m. Tính ñoäng naêng toaøn phaàn cuûa heä (goàm ba maûnh). Vò trí ban ñaàu cuûa vaät laø ñieåm gì cuûa heä? Caâu 5 (2.5ñ) Con laên A laên khoâng tröôït treân maÎt phaúng nghieâng moät goùc α so vôùi phöông ngang, laøm vaät C troïng löôïng P ñöôïc naâng leân nhôø moät sôïi daây vaét qua roøng roïc B. Con laên A vaø roøng roïc B laø hai ñóa troøn ñoàng cha·t coù cuøng troïng löôïng Q vaø baùn kính R. Boû qua ma saùt laên vaø ma saùt cuûa truïc roøng roïc. Vie·t phöông trình Lagrange loaïi hai cho heä. Chöùng minh gia to·c cuûa C baèng (Q sin α P )g w = − . C 2Q + P Haõy chæ ra ñieàu kieän treân caùc döõ kieän cuûa ñaàu baøi (khoâng ñöôïc cho moät caùch töôøng minh). —aùp aùn Caâu 1 Vaän to·c: x˙ = b(1 cos θ), y˙ = b sin θ v = b 2(1 cos θ). − ⇒ − p Gia to·c: b2 b2 b2 x¨ = sin θ, y¨ = cos θ w = . a a ⇒ a
  66. PHUÏ LUÏC B. —EÀ THI MOÂN C‘ HOÏC LYÙ THUYEÁT 62 Tính baùn kính cong. Gia to·c tie·p: b2 sin θ wt =v ˙ = . a 2(1 cos θ) − p Gia to·c phaùp: 2 2 2 b 1 cos θ wn = w wt = − . − a r 2 p Suy ra v2 ρ = = 2a 2(1 cos θ). wn − p Caâu 2 Hình 1: Caâu 2. Heä quy chie·u ñöôïc choïn nhö hình veõ, truïc Ox höôùng song song vôùi maÎt nghieâng. Löïc taùc duïng leân vaät: troïng löïc P, phaûn löïc N vaø löïc caûn khoâng khí Fc. Chie·u phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng (ñònh luaät thöù hai cuûa Newton) leân truïc x, ta ñöôïc: mx¨ = mg sin α kx˙ 2. − Nhaân vaøo hai ve· vôùi xdt˙ = dx, ta ñöôïc: m d(v2) = (mg sin α kv2)dx, 2 − trong ñoù v =x ˙. Taùch bie·n, md(v2) = dx, 2(mg sin α kv2) −
  67. PHUÏ LUÏC B. —EÀ THI MOÂN C‘ HOÏC LYÙ THUYEÁT 63 roài tích phaân hai ve· (chuù yù, bie·n la·y tích phaân beân ve· traùi laø v2), ta ñöôïc: m v2 ln mg sin α kv2 = x x(0). −2k | − | v2(0) − Duøng ñieàu kieän ñaàu, v(0) = 0, x(0) = 0, mg sin α kv2 2kx ln − = , mg sin α − m   suy ra mg sin α v = (1 e−2kx/m). r k − Qua giôùi haïn, t , ta thu ñöôïc (do x ): → ∞ → ∞ mg sin α mg sin α v = lim (1 e−2kx/m) = . gh →∞ x r k − r k Caâu 3 Moâmen quaùn tính cuûa thanh ño·i vôùi truïc ñi qua O: 1 4ma2 J = m(2a)2 = . t 3 3 Moâmen quaùn tính cuûa ñóa ño·i vôùi truïc ñi qua O (duøng coâng thöùc Huygens): 1 a 2 3a 2 11Ma2 J = M + M = . ñ 2 2 4 16     Vaäy, moâmen quaùn tính cuûa quaû laéc ño·i vôùi truïc qua O: 4m 11M 2 J = J + Jñ = + a . t 3 16  
  68. PHUÏ LUÏC B. —EÀ THI MOÂN C‘ HOÏC LYÙ THUYEÁT 64 Hình 2: Caâu 4. Caâu 4 Heä goàm ba vaät coù kho·i löôïng laàn löôït laø m, m, 2m (ban ñaàu chuùng ke·t dính vôùi nhau). Theo giaû thie·t ban ñaàu chuùng ñöùng yeân, ñieàu ñoù coù nghóa laø löïc taùc duïng leân chuùng baèng khoâng! Ta aùp duïng ñònh lyù baûo toaøn ñoäng löôïng. Goïi v laø ñoä lôùn vaän to·c cuûa vaät 2m. Do ñoäng löôïng ban ñaàu cuûa heä baèng khoâng neân ñoäng löôïng cuûa heä luùc sau cuõng vaäy. Do ñoù vaän to·c cuûa vaät 2m coù phöông chieàu nhö hình veõ, vaø ñoä lôùn ñöôïc tính nhôø söï baûo toaøn ñoäng löôïng u mu cos 60o + mu cos 60o 2mv = 0 v = . − ⇒ 2 —oäng naêng cuûa heä: mu2 mu2 2m u 2 5mu2 T = + + = . 2 2 2 2 4   Vò trí ban ñaàu cuûa vaät (O) laø kho·i taâm cuûa heä. Caâu 5 Cô heä goàm: con laên A, roøng roïc B, vaät C. Löïc chuû ñoäng taùc duïng leân heä: troïng löïc Q, phaûn löïc NA, troïng löïc Q, phaûn löïc NB, troïng löïc P (xem hình veõ). Lieân ke·t: Con laên A chuyeån ñoäng song phaúng. Chuyeån dòch tònh tie·n s vaø quay quanh taâm goùc ϕ. Do laên tröôït neân δs = Rδϕ (s˙ = Rϕ˙). Roøng roïc B thöïc hieän chuyeån ñoäng quay goùc ϕ (choïn go·c thích hôïp). Vaät C dòch chuyeån tònh tie·n x. Do daây khoâng giaõn δx = δs (x˙ =s ˙). Nhö vaäy, heä coù 1 baäc töï do, choïn toïa ñoä suy roäng laø x (toïa ñoä vaät C).
  69. PHUÏ LUÏC B. —EÀ THI MOÂN C‘ HOÏC LYÙ THUYEÁT 65 Hình 3: Caâu 5. —oäng naêng cuûa con laên A: Q QR2 3Q T = s˙2 + ϕ˙ 2 = x˙ 2. A 2g 4g 4g —oäng naêng cuûa roøng roïc B: QR2 Q T = ϕ˙ 2 = x˙ 2. B 4g 4g —oäng naêng cuûa vaät C: P T = x˙ 2. C 2g —oäng naêng cuûa heä: P + 2Q T = T + T + T = x˙ 2. A B C 2g Coâng toaøn phaàn do löïc chuû ñoäng taùc duïng leân heä: δW = Q sin αδs P δx = (Q sin α P )δx. − − Do ñoù, löïc suy roäng Q = Q sin α P . x −
  70. PHUÏ LUÏC B. —EÀ THI MOÂN C‘ HOÏC LYÙ THUYEÁT 66 Tính caùc ñaïo haøm roài thay vaøo phöông trình Lagrange, ta ñöôïc: P + 2Q (Q sin α P )g x¨ = Q sin α P w =x ¨ = − . g − ⇒ C P + 2Q —ieàu kieän: ñeå vaät C ñi leân ta phaûi coù ñieàu kieän Q sin α P . ≥ Lôøi baøn Caâu 4 Caâu naøy thöôøng laøm cho caùc baïn luùng tuùng veà löïc taùc duïng leân heä. Tuy nhieân, ne·u ñeå yù ñe·n cuïm töø "ôû traïng thaùi nghæ (ñöùng yeân)" thì ta coù theå xem, theo ñònh luaät thöù nha·t cuûa Newton, heä khoâng chòu taùc duïng bôûi löïc naøo caû, hay noùi khaùc ñi, caùc löïc taùc duïng leân heä caân baèng. Caâu 5 Moät so· baïn cho laø heä coù 2 baäc töï do! Thaät ra vôùi ñieàu kieän "laên Hình 4: Tính ñoäng naêng trong chuyeån ñoäng song phaúng. khoâng tröôït" cuûa con laên thì baøi naøy chæ coù 1 baäc töï do. Moät so· baïn aùp duïng maùy moùc caùch tính ñoäng naêng cuûa con laên gio·ng nhö caùch tính ñoäng naêng cuûa o·ng truï (caâu 5 cuûa ñeà thi maãu). Nhö treân hình 4a), o·ng truï thöïc hieän chuyeån ñoäng song phaúng ñöôïc phaân tích baèng caùch choïn B laøm ñieåm cöïc, goàm: chuyeån ñoäng tònh tie·n cuûa ñieåm B vaø chuyeån ñoäng quay quanh truïc ñi qua B cuûa o·ng truï. Coøn trong baøi naøy, hình 4b), chuyeån ñoäng cuûa con laên goàm: chuyeån ñoäng tònh tie·n cuûa ñieåm A vaø chuyeån ñoäng quay quanh A cuûa con laên. Caùc baïn neân ñoïc laïi lôøi giaûi trong hai tröôøng hôïp ñeå so saùnh.
  71. Taøi lieäu tham khaûo [1] —aÎng —ình AÙng, Trònh Anh Ngoïc, Ngoâ Thaønh Phong, Nhaäp moân Cô hoïc, NXB —aïi hoïc Quo·c gia TP. HCM 2003. [2] Nguyeãn Troïng Chuyeàn, Phan Vaên Cuùc, Baøi taäp cô hoïc lyù thuye·t, NXB Khoa hoïc vaø Kyõ thuaät, Haø noäi, 1991. [3] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - An Undergraduate Text, Cambridge University Press, 2006. [4] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - Solution Manual, Cambridge Uni- versity Press, 2006. [5] X.M. Targ, Giaùo trình giaûn ye·u cô hoïc lyù thuye·t, NXB —aïi hoïc & Trung hoïc Chuyeân nghieäp Haø noäi, Mir Matxcôva 1979. 67