Giáo trình Cơ học môi trường liên tục

Nội dung text: Giáo trình Cơ học môi trường liên tục

1. PGS. ts. Trần văn Liên cơ học môi tr−ờng liên tục hμ nội, 2008
2. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Lời nói đầu Cơ học môi tr−ờng liên tục lμ ngμnh khoa học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng vμ ứng suất trong các môi tr−ờng liên tục ở điều kiện cân bằng hay chuyển động do các tác động bên ngoμi nh− ngoại lực, chuyển vị, nhiệt độ, v.v Cơ học môi tr−ờng liên tục lμ cơ sở chung để nghiên cứu vμ phát triển các ngμnh cụ thể hơn nh− thủy khí động lực, lý thuyết đμn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, nhiệt động lực học, v.v Cuốn sách nμy đ−ợc biên soạn trên cơ sở các bμi giảng về cơ học môi tr−ờng liên tục của tác giả cho các lớp kỹ s− chất l−ợng cao (PFIEV) vμ kỹ s− công trình tại Tr−ờng Đại học Xây dựng. Mục đích của tác giả lμ giúp cho cho ng−ời đọc không những có cái nhìn tổng quan về các môn cơ học trong các tr−ờng kỹ thuật mμ còn cung cấp những khái niệm cơ bản, những ph−ơng pháp cần thiết vμ những ứng dụng có tính minh hoạ của cơ học môi tr−ờng liên tục trong các tính toán kỹ thuật. Đồng thời cuốn sách nμy có thể sử dụng lμm tμi liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên thuộc các ngμnh kỹ thuật nh− xây dựng, giao thông, thủy lợi, hμng hải, cơ khí, v.v , các học viên cao học vμ các cán bộ khoa học trẻ trong lĩnh vực chuyên ngμnh Cơ học vật rắn biến dạng. Xin cảm ơn Tr−ờng Đại học Xây dựng, Bộ môn sức bền vật liệu đã tạo điều kiện vμ ủng hộ trong việc hoμn thμnh cuốn sách nμy. Đặc biệt xin cảm ơn GS TSKH Đμo Huy Bích, GS TS Nguyễn Văn Phó, GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, PGS TS Lê Ngọc Hồng, PGS TS Lê Ngọc Thạch vμ PGS TS Tô Văn Tấn cùng các đồng nghiệp ở Bộ môn sức bền vật liệu Tr−ờng Đại học Xây dựng đã đọc kỹ vμ cho nhiều ý kiến xác đáng về nội dung cũng nh− cách trình bμy. Cuốn sách nμy chắc không tránh khỏi những sai sót, mong rằng sẽ nhận đ−ợc những góp ý của các đồng nghiệp. Các ý kiến góp ý luôn đ−ợc đón nhận một cách trân trọng vμ xin gửi về: Bộ môn sức bền vật liệu - Tr−ờng Đại học Xây dựng, 55 đ−ờng Giải phóng, Hμ Nội, Tel (04)38691462. Tác giả 1
3. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Mục lục Lời nói đầu 1 Mục lục 2 Danh mục ký hiệu 5 Mở đầu 0.1. Khái niệm về cơ học môi tr−ờng liên tục 9 0.2. Các giả thiết cơ bản của cơ học môi tr−ờng liên tục 10 Ch−ơng 1. Khái niệm về ten xơ 1.1. Khái niệm về đại l−ợng vô h−ớng, véc tơ vμ ten xơ 13 1.2. Tr−ờng vô h−ớng 14 1.3. Véc tơ vμ tr−ờng véc tơ 15 1.4. Ten xơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 20 Ch−ơng 2. Trạng thái biến dạng 2.1. Nghiên cứu chuyển động theo Lagrange vμ Euler 38 2.2. Ten xơ biến dạng trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 44 2.3. Nghiên cứu trạng thái biến dạng của môi tr−ờng liên tục 55 2.4. Các ph−ơng trình t−ơng thích biến dạng 60 2.5. Ten xơ tốc độ biến dạng 63 Ch−ơng 3. Trạng thái ứng suất 3.1. Ngoại lực 66 3.2. Trạng thái ứng suất 67 3.3. Ph−ơng trình vi phân cân bằng hay chuyển động 70 3.4. Ten xơ ứng suất 75 3.5. Nghiên cứu trạng thái ứng suất của môi tr−ờng liên tục 78 3.6. Phân tích ten xơ ứng suất thμnh ten xơ lệch vμ ten xơ cầu 84 Ch−ơng 4. Các ph−ơng trình cơ bản của cơ học môi tr−ờng liên tục 4.1. Định luật bảo toμn khối l−ợng. 92 4.2. Định luật biến thiên động l−ợng. Định luật biến thiên mômen động l−ợng 94 4.3. Các quá trình nhiệt động lực của môi tr−ờng 97 4.4. Định luật nhiệt động lực học thứ nhất 98 4.5. Định luật nhiệt động lực học thứ hai 102 4.6. Các ph−ơng trình cơ bản của cơ học môi tr−ờng liên tục 105 Ch−ơng 5. Lý thuyết đμn hồi tuyến tính 5.1. Định luật Hooke tổng quát 110 5.2. Định luật Hooke cho vật thể đμn hồi tuyến tính, thuần nhất vμ đẳng h−ớng 116 5.3. Cách đặt bμi toán của lý thuyết đμn hồi tuyến tính, thuần nhất vμ đẳng h−ớng 122 5.4. Cách giải bμi toán đμn hồi theo chuyển vị. Ph−ơng trình Lamé 126 2
4. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên 5.5. Cách giải bμi toán đμn hồi theo ứng suất. Ph−ơng trình Beltrami – Michell 128 5.6. Định lý Kirchhoff về sự duy nhất nghiệm của bμi toán đμn hồi tĩnh 131 5.7. Cách đặt bμi toán thuận vμ ng−ợc của lý thuyết đμn hồi. Nguyên lý cục bộ 133 Saint Venant. Nguyên lý độc lập tác dụng 5.8. Kéo nén thanh thẳng hình lăng trụ 136 5.9. Xoắn thanh thẳng hình lăng trụ 138 Ch−ơng 6. Bμi toán phẳng của lý thuyết đμn hồi trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 6.1. Trạng thái biến dạng phẳng 144 6.2. Trạng thái ứng suất phẳng. Trạng thái ứng suất phẳng suy rộng 147 6.3. Các ph−ơng trình cơ bản của bμi toán phẳng 151 6.4. Hμm ứng suất Airy 153 6.5. Hμm ứng suất có dạng đa thức đại số 158 6.6. Hμm ứng suất có dạng chuỗi l−ợng giác 167 6.7. Ph−ơng pháp sai phân hữu hạn 170 Ch−ơng 7. Bμi toán phẳng của lý thuyết đμn hồi trong hệ tọa độ cực 7.1. Các ph−ơng trình cơ bản 178 7.2. Tr−ờng hợp ứng suất không phụ thuộc vμo góc cực: Bμi toán đối xứng trục vμ 182 bμi toán uốn thuần túy thanh cong 7.3. Bμi toán nêm chịu lực tập trung tại đỉnh 189 7.4. Bμi toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên 194 7.5. Bμi toán bán không gian chịu lực tập trung trên biên 199 Ch−ơng 8. Tấm mỏng đμn hồi 8.1. Định nghĩa vμ giả thiết 201 8.2. Quan hệ chuyển vị vμ biến dạng 202 8.3. ứng lực. Quan hệ vật lý 203 8.4. Ph−ơng trình vi phân cân bằng 206 8.5. Điều kiện biên 211 8.6. Phân loại bμi toán tấm mỏng 214 8.7. Uốn tấm hình chữ nhật 216 8.8. Ph−ơng pháp sai phân 220 8.9. Bμi toán tấm trong hệ tọa độ cực 224 Ch−ơng 9. Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn trong bμi toán đμn hồi tuyến tính 9.1. Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn 228 9.2. Mô tả toán học ph−ơng pháp phần tử hữu hạn 231 9.3. Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn trong bμi toán thanh 239 9.4. Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn trong bμi toán phẳng của lý thuyết đμn hồi 254 9.5. Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn trong bμi toán tấm chịu uốn 261 3
5. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên 9.6. Ph−ơng pháp ma trận độ cứng động lực 264 Ch−ơng 10. Lý thuyết dẻo 10.1. Quan hệ ứng suất – biến dạng ngoμi giới hạn đμn hồi 273 10.2. Điều kiện dẻo. Mặt chảy vμ đ−ờng cong chảy 276 10.3. Các lý thuyết dẻo đơn giản 280 10.4. Về các lý thuyết dẻo hiện nay 287 10.5. Cách đặt bμi toán vμ ph−ơng pháp giải của lý thuyết dẻo 289 10.6. Các đ−ờng tr−ợt của trạng thái biến dạng phẳng 292 10.7. Bμi toán ống hình trụ chịu áp lực trong 298 Ch−ơng 11. Lý thuyết từ biến 11.1. ảnh h−ởng của thời gian đến ứng suất vμ biến dạng 302 11.2. Lý thuyết từ biến 305 11.3. Các mô hình cơ học của vật thể biến dạng 308 11.4. Cách đặt bμi toán vμ ph−ơng pháp giải của lý thuyết từ biến 313 11.5. Một số ví dụ tính toán theo lý thuyết từ biến ổn định 316 Ch−ơng 12. Cơ học chất lỏng vμ chất khí 12.1. áp suất thủy tĩnh. Ten xơ ứng suất nhớt 320 12.2. Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton 321 12.3. Chất lỏng lý t−ởng 324 12.4. Khái niệm về dòng chảy dừng, dòng không xoáy, dòng chảy có thế 327 Bμi tập 329 Tμi liệu tham khảo 351 Phụ lục A. Ma trận vμ các phép tính ma trận 352 Phụ lục B. Ch−ơng trình phần tử hữu hạn tính toán số vμ symbolic trên MatLab 361 4
6. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Danh mục các ký hiệu Hệ tọa độ, ten xơ x1 , x2 , x3 Các tọa độ Euler của hệ Descartes vuông góc X1 , X2 , X3 Các tọa độ Lagrange của hệ Descartes vuông góc x, y, z Tọa độ Descartes vuông góc r, θ, z Tọa độ cực (trụ) r ei Véc tơ đơn vị của hệ trục tọa độ ν, ξ, η Hệ tọa độ trên mặt cắt có pháp tuyến ngoμi νr t Thời gian V Miền không gian do môi tr−ờng liên tục chiếm chỗ S Mặt biên của thể tích V r r ν ()()ν 1 ,ν 2 ,ν 3 ;l l1 ,l2 ,l3 Véc tơ pháp tuyến ngoμi của mặt δij Ten xơ Kronecker eijk Ten xơ Levi – Civita ai , aij , aijk Ten xơ hạng 1 (véc tơ), hạng 2, hạng 3 I1 , I2 , I3 Bất biến thứ nhất, thứ hai vμ thứ ba của ten xơ hạng hai ∇ Toán tử nabla Δ, Δ1 Toán tử Laplace ba chiều, hai chiều cij Ma trận các côsin chỉ ph−ơng grad Građiên của hμm vô h−ớng div, rot Đive vμ rôta của tr−ờng véc tơ J Ma trận Jacobian của phép biến đổi det(A) Định thức của ma trận A Hằng số, đặc tr−ng cơ học vật liệu E Môđun đμn hồi Young G Môđun đμn hồi khi tr−ợt ν Hệ số nở ngang Poisson ρ Mật độ khối l−ợng λ, μ Các hằng số Lamé K Môđun biến dạng thể tích D Độ cứng trụ Et Môđun tái bền σtl Giới hạn tỷ lệ σch , τch Giới hạn chảy khi kéo, khi tr−ợt thuần túy σb (σb,k , σb,n) Giới hạn bền (khi kéo, khi nén) σdh Giới hạn bền dμi hạn H Môđun đμn hồi tức thời η Hệ số nhớt hay hệ số cản trong của vật liệu λ*, μ* Các hệ số nhớt của chất lỏng 5
7. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên χ* Hệ số nhớt khối của chất lỏng Môi tr−ờng liên tục m Khối l−ợng r R Véc tơ động l−ợng của môi tr−ờng r H Véc tơ mô men động l−ợng của môi tr−ờng K Động năng của môi tr−ờng Nội năng của môi tr−ờng hay thế đμn hồi toμn phần cho U vật thể đμn hồi Nội năng riêng (mật độ nội năng) của môi tr−ờng hay thế u đμn hồi trên một đơn vị khối l−ợng cho vật thể đμn hồi Q Nhiệt năng của môi tr−ờng A Công cơ năng của môi tr−ờng b Hằng số bức xạ nhiệt r c()c1 ,c2 ,c3 Véc tơ vận tốc truyền nhiệt T Nhiệt độ tuyệt đối (Kelvin) k Hệ số truyền nhiệt Fourier S Entrôpi của môi tr−ờng s Mật độ entrôpi p áp suất nhiệt động θ& Tốc độ biến dạng thể tích W Thế năng biến dạng trên một đơn vị thể tích W* Công bù Wθ Thế năng biến dạng thể tích WD Thế năng biến dạng hình dáng WP Công biến dạng dẻo Chuyển vị, biến dạng ur()u ,u ,u ;ur(u ,u ,u ) 1 2 3 x y z Chuyển vị của điểm vật chất trong hệ tọa độ Descartes vμ r u()u r ,uθ ,u z hệ tọa độ cực (trụ) r v()v1 ,v2 ,v3 Vận tốc chuyển động r w(w1 , w2 , w3 ) Gia tốc chuyển động Gij Ten xơ biến dạng hữu hạn Green Aij Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi εij Ten xơ biến dạng bé ωij Ten xơ quay tuyến tính r Véc tơ quay tuyến tính θ Biến dạng thể tích tỷ đối γ Biến dạng góc εtb Độ dãn trung bình của ten xơ biến dạng bé ε1 , ε2 , ε3 Các biến dạng chính của ten xơ biến dạng bé r εν Biến dạng dμi t−ơng đối theo ph−ơng ν 6
8. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên D ε ij Ten xơ lệch biến dạng S ε ij Ten xơ cầu biến dạng Γ C−ờng độ biến dạng tr−ợt εu C−ờng độ biến dạng ε ij Ten xơ chỉ h−ớng biến dạng eij Ten xơ tốc độ biến dạng ζij Ten xơ xoáy biến dạng ε&ij Ten xơ tốc độ biến dạng bé ε&u C−ờng độ tốc độ biến dạng εE Biến dạng đμn hồi εP Biến dạng dẻo, biến dạng d− εC Biến dạng từ biến w Độ võng của tấm Ngoại lực, ứng suất r r F()F1 , F2 , F3 ; F()Fx , Fy , Fz Lực thể tích trong hệ tọa độ Descartes vμ hệ tọa độ cực r (trụ) F()Fr , Fθ , Fz r K(K1 , K 2 , K 3 ) Lực khối r r r Pν ()Pν 1 , Pν 2 , Pν 3 ; Pν (Pνx , Pνy , Pνz ) Lực mặt trên biên có pháp tuyến ν r r pν ()pν1 , pν 2 , pν 3 Véc tơ ứng suất toμn phần trên mặt cắt có pháp tuyến ν σij Ten xơ ứng suất r r σ ν Véc tơ ứng suất pháp trên mặt cắt có pháp tuyến ν r σ ξη Véc tơ ứng suất tiếp trên mặt phẳng ξη σtb Giá trị ứng suất pháp trung bình của ten xơ ứng suất σ1 , σ2 , σ3 Các ứng suất chính của ten xơ ứng suất D σ ij Ten xơ lệch ứng suất S σ ij Ten xơ cầu ứng suất τ1 , τ2 , τ3 Các ứng suất tiếp chính T C−ờng độ ứng suất tiếp σu C−ờng độ ứng suất σ ij Ten xơ chỉ h−ớng ứng suất σ& ij Ten xơ tốc độ ứng suất τij Ten xơ ứng suất nhớt S Hμm tổng ứng suất φ Hμm xoắn Saint Venant Ψ Hμm ứng suất Prandtl ϕ Hμm ứng suất Airy 7
9. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên N , N , S , S , S, Q , Q , x y x y x y Các thμnh phần ứng lực trên mặt trung bình của tấm Mx , My , Mxy , Myx , H p Tải trọng ngang phân bố của tấm F Hμm ứng lực Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn M, C, K Ma trận khối l−ợng, cản, độ cứng của cả hệ U Véc tơ chuyển vị nút của cả hệ trong hệ tọa độ tổng thể P Véc tơ tải trọng quy về nút của cả hệ ue Tr−ờng chuyển vị của phần tử trong hệ tọa độ địa ph−ơng Ue Véc tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ của phần tử Ne=(N1 , N2 , ) Hμm dạng của phần tử hữu hạn Be Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị nút của phần tử εe , σe Véc tơ các thμnh phần biến dạng, ứng suất của phần tử De Ma trận các hằng số đμn hồi của phần tử hữu hạn Me , Ce , Ke Ma trận khối l−ợng, cản, độ cứng của từng phần tử PV , PS Véc tơ tải trọng thể tích, lực mặt quy về nút P ; P σ 0 ε 0 Véc tơ tải trọng quy về nút do ứng suất, biến dạng ban đầu PC Véc tơ tải trọng tập trung tại nút trong hệ tọa độ tổng thể Ma trận chuyển đổi các chuyển vị nút từ hệ tọa độ địa T e ph−ơng sang hệ tọa độ tổng thể A Diện tích tiết diện thanh I Mô men quán tính của tiết diện thanh Ae Diện tích phần tử tam giác phẳng h Độ dầy của phần tử tam giác phẳng, phần tử tấm i Số ảo i = −1 Kˆ Ma trận độ cứng động lực Uˆ Véc tơ biên độ phức của chuyển vị nút Pˆ Véc tơ biên độ phức của tải trọng quy về nút ω Tần số dao động ωi Tần số dao động riêng của hệ λ Tham số động lực Φe Biên độ của chuyển vị dọc trục hay chuyển vị ngang * qe Biên độ của tải trọng dọc trục hay tải trọng ngang Eˆ Môđun đμn hồi phức μ1 , μ2 Hệ số cản nhớt của vật liệu vμ môi tr−ờng K1 , K2 , K3 , K4 Các hμm Krylov qe1 , qe2 , qe3 , qe4 vμ qe Các thμnh phần vμ véc tơ tải trọng ˆ Re1 , Re2 , Re3 , Re4 vμ Re Các thμnh phần vμ véc tơ ứng lực tại tiết diện thanh 8
10. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Mở đầu 0.1. khái niệm về cơ học Môi tr−ờng liên tục 0.1.1. Đối t−ợng, mục đích vμ phạm vi của cơ học môi tr−ờng liên tục Đối t−ợng của cơ học môi tr−ờng liên tục lμ những vật thể hữu hạn có cấu tạo vật chất liên tục vμ khoảng cách giữa các điểm của chúng thay đổi trong thời gian chuyển động. Các vật thể nμy đ−ợc gọi lμ các “môi tr−ờng liên tục” hay các “continuum”. Khái niệm “môi tr−ờng” đ−ợc dùng để chỉ vật thể với ý nghĩa lμ kích th−ớc của vật thể lớn hơn rất nhiều so với kích th−ớc của các hạt vật chất, các phân tử, các mạng tinh thể cấu tạo nên vật chất. Tính chất “liên tục” đ−ợc hiểu lμ tại mỗi điểm hình học trong không gian của vật thể, ta luôn có thể lấy ra đ−ợc một phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó (hay lμ vật chất lấp đầy không gian vật thể). Mục đích của cơ học môi tr−ờng liên tục lμ thiết lập các tính chất chung vμ các quy luật chuyển động của môi tr−ờng liên tục nh− quy luật về lực do chất lỏng tác dụng lên các vật chuyển động trong nó; sự liên quan giữa tải trọng ngoμi vμ biến dạng của vật thể rắn, v.v Nếu cơ học lý thuyết nghiên cứu cân bằng hay chuyển động của chất điểm, hệ chất điểm rời rạc vμ vật rắn tuyệt đối thì cơ học môi tr−ờng liên tục lμ một phần rộng lớn của cơ học, nghiên cứu chuyển động của các môi tr−ờng có biến dạng nh− các chất khí, chất lỏng, vật rắn biến dạng vμ các môi tr−ờng đặc biệt nh− tr−ờng điện từ, tr−ờng bức xạ, tr−ờng hấp dẫn, v.v Các ph−ơng trình cân bằng hay chuyển động của cơ học môi tr−ờng liên tục lμ sự mở rộng các ph−ơng trình của cơ học lý thuyết. Cơ học môi tr−ờng liên tục lμ cơ sở chung để phát triển lý thuyết đμn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, thủy động lực học, khí động lực học, nhiệt động lực học vμ nhiều ngμnh khác của vật lý vμ cơ học. Tính chất chung vμ sự liên hệ mật thiết giữa các ngμnh cơ học vμ vật lý kể trên, mμ thoạt tiên t−ởng nh− khác nhau, bắt buộc ta phải nghiên cứu chúng nh− một thể thống nhất. 0.1.2. Nội dung vμ ph−ơng pháp của cơ học môi tr−ờng liên tục Các nghiên cứu về cơ học môi tr−ờng liên tục phát triển theo hai h−ớng: - Nghiên cứu tính chất cơ học của môi tr−ờng, tức lμ phát hiện vμ nghiên cứu các quy luật vật lý của môi tr−ờng khi chịu tác dụng của lực ngoμi. - Thiết lập các bμi toán cơ học thμnh các bμi toán toán học vμ phát triển ph−ơng pháp giải các bμi toán cụ thể. 9
11. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Bản thân việc giải quyết các bμi toán cụ thể của cơ học môi tr−ờng liên tục bằng toán học cũng đ−ợc xem lμ cơ học môi tr−ờng liên tục. Điều đó giải thích rằng thậm chí trong những tr−ờng hợp đơn giản nhất, các bμi toán của cơ học môi tr−ờng liên tục đ−ợc đặt ra về mặt toán học cũng rất khó vμ không thể giải đ−ợc một cách có hiệu quả bằng các ph−ơng tiện toán học hiện đại. Do đó buộc phải thay đổi cách đặt bμi toán vμ tìm cách giải gần đúng dựa trên cơ sở các giả thuyết vμ các kiến thức cơ học khác nhau. 0.2. Các giả thiết cơ bản của cơ học môi tr−ờng liên tục 0.2.1. Quan điểm hiện t−ợng vĩ mô Cấu trúc của các phân tử vμ các lực t−ơng tác giữa chúng rất phức tạp, không phải lúc nμo cũng biết đ−ợc. Ta không thể theo dõi chuyển động của từng hạt cơ bản, vì chúng rất nhiều vμ ch−a biết tr−ớc lực t−ơng tác giữa chúng với nhau. Điều quan trọng lμ cần chú ý rằng, thông th−ờng không cần thiết phải biết chuyển động của từng hạt cơ bản. Trên thực tế, ta chỉ cần một số đặc tr−ng trung bình quy −ớc dựa trên các quy luật vμ các giả thuyết chung thu đ−ợc bằng thực nghiệm trên các vật thể có kích th−ớc vĩ mô (hữu hạn). Đây lμ quan điểm hiện t−ợng vĩ mô - chỉ chú ý đến các quá trình, các hiệu ứng vμ các tính chất quan trọng đối với vật thể hữu hạn mμ ta quan sát hoặc sử dụng trong những hiện t−ợng khác nhau của thiên nhiên vμ kỹ thuật. Một ph−ơng pháp khác nghiên cứu các môi tr−ờng vật chất đã đ−ợc phát triển trong vật lý lμ ph−ơng pháp thống kê dựa trên quan điểm xác xuất sử dụng các đặc tr−ng trung bình từ tập hợp lớn các hạt. Các ph−ơng pháp thống kê luôn dùng những giả thuyết bổ sung về tính chất của hạt, t−ơng tác của chúng vμ giản −ớc các tính chất vμ t−ơng tác nμy. Cần l−u ý rằng trong nhiều tr−ờng hợp không tồn tại cơ sở để xây dựng các ph−ơng pháp nh− vậy. Tuy nhiên chúng không phải lμ ph−ơng tiện hiệu quả để giải các bμi toán, vì các ph−ơng trình t−ơng ứng thu đ−ợc vô cùng phức tạp. 0.2.2. Giả thuyết về tính chất liên tục của môi tr−ờng Tất cả vật chất cấu tạo từ các hạt riêng lẻ nh−ng chúng có rất nhiều trong mọi thể tích bất kỳ mμ ta quan tâm, nên có thể xem gần đúng nh− môi tr−ờng chiếm chỗ không gian một cách liên tục. Giả thiết về tính liên tục của môi tr−ờng vật chất đ−ợc đặt ra xuất phát từ quan điểm vĩ mô. Nh− vậy, “môi tr−ờng liên tục” hay “continuum” dùng để chỉ những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục vμ khoảng cách giữa các điểm của chúng thay đổi trong thời gian chuyển động. 10
12. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Việc lý t−ởng hóa nh− vậy lμ cần thiết, bởi vì khi nghiên cứu chuyển động của môi tr−ờng liên tục, ta sử dụng công cụ tính toán lμ các phép tính vi phân vμ tích phân của các hμm liên tục. 0.2.3. Giả thuyết không gian Euclide Không gian lμ tập hợp các điểm đ−ợc cho tr−ớc bằng những con số gọi lμ tọa độ của điểm. Không gian Euclide lμ không gian mμ trong đó ta có thể xây dựng một hệ tọa độ Descartes duy nhất cho mọi điểm của không gian. Vị trí các điểm của không gian hoμn toμn xác định nhờ hệ tọa độ Descartes vuông góc duy nhất cho toμn bộ không gian x, y, z. Khoảng cách giữa hai điểm M1(x1,y1,z1) vμ điểm M2(x2,y2,z2) bất kỳ xác định theo công thức 2 2 2 r = ()()()x1 − x2 + y1 − y2 + z1 − z2 (0.2.1) Cơ học môi tr−ờng liên tục giả thiết không gian lμ Euclide ba chiều. Cơ học xây dựng trong các không gian Euclide gọi lμ cơ học Newton. Kinh nghiệm chứng tỏ rằng không gian vật lý thực trong phạm vi không lớn lắm với độ chính xác cao có thể xem lμ không gian Euclide. Không phải bất kỳ không gian nμo đều có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất cho toμn không gian. Để đơn giản ta xét không gian hai chiều. Rõ rμng lμ trên mặt phẳng bao giờ ta cũng có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất có hai tọa độ cho toμn mặt phẳng. Trên mặt cầu bán kính cong của nó khác không, ta không thể vẽ một hệ có hai tọa độ, để khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên đó lμ độ dμi cung đ−ờng tròn lớn đ−ợc xác định bằng công thức (0.2.1). Trên mặt cầu chỉ có thể vẽ hệ tọa độ Descartes trong miền lân cận bé của mỗi điểm. Trong tr−ờng hợp không gian ba chiều cũng không phải lúc nμo cũng có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất cho toμn không gian. Để tránh nhầm lẫn giữa điểm của môi tr−ờng liên tục vμ điểm của không gian do môi tr−ờng liên tục chiếm chỗ, ta dùng khái niệm “điểm” để chỉ vị trí trong không gian cố định, còn khái niệm “phần tử” hay “hạt” để chỉ vật chất chứa trong thể tích vô cùng bé của môi tr−ờng liên tục (chất điểm). 0.2.4. Giả thuyết thời gian tuyệt đối trong các hệ quy chiếu quán tính Khái niệm thời gian liên quan đến thực nghiệm vμ rất cần thiết trong cơ học. Mỗi hiện t−ợng cơ học bất kỳ luôn luôn đ−ợc mô tả theo quan điểm ng−ời quan sát nμo đó. Nói chung, thời gian có thể phụ thuộc vμo hệ quy chiếu của ng−ời quan sát. Hệ quy chiếu, trong đó chuyển động tự do của các môi tr−ờng (lμ chuyển động của các vật hay môi tr−ờng không chịu tác động của lực ngoμi) xảy ra với vận tốc không đổi, đ−ợc gọi lμ hệ quy chiếu quán tính. Nếu hai hệ chuyển động thẳng đều với nhau, 11
13. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên trong đó một hệ lμ quy chiếu quán tính, thì hệ kia cũng lμ hệ quy chiếu quán tính. Do đó mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính cũng lμ hệ quy chiếu quán tính. Cơ học môi tr−ờng liên tục giả thiết thời gian tuyệt đối, lý t−ởng, trôi qua nh− nhau đối với mọi ng−ời quan sát trong các hệ quy chiếu quán tính: trong tμu hỏa, trong máy bay, trong giảng đ−ờng, v.v do đó ta sẽ dùng thời gian tuyệt đối lý t−ởng hóa để mô tả thực tế vμ nó chỉ đúng khi không kể đến các hiệu ứng của lý thuyết t−ơng đối hẹp. Trên đây, ta đã đ−a ra ba giả thuyết cơ bản dùng để xây dựng lý thuyết chuyển động của các vật thể biến dạng. Các kết luận rút ra từ lý thuyết nμy th−ờng phù hợp với thực nghiệm, nh−ng không phải lúc nμo cũng vậy. Trong những tr−ờng hợp cần thiết, mô hình không gian vμ thời gian có thể chính xác hóa vμ mở rộng. Nh−ng tất cả những sự mở rộng sau nμy đều xây dựng trên cơ sở cơ học Newton dựa vμo các giả thuyết cơ bản đã trình bμy ở trên. Bản chất của các giả thuyết đó trở nên dễ hiểu hơn trong quá trình phát triển lý thuyết sau nμy. Tóm lại, cơ học môi tr−ờng liên tục lμ ngμnh khoa học nghiên cứu, thiết lập các tính chất, các quy luật chuyển động của môi tr−ờng với giả thiết rằng môi tr−ờng lμ liên tục (continuum) trong không gian Euclide vμ dùng thời gian tuyệt đối, lý t−ởng, nh− nhau với mọi ng−ời quan sát trong các hệ quy chiếu quán tính. 12
14. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Ch−ơng 1 khái niệm về ten xơ 1.1. Khái niệm về đại l−ợng vô h−ớng, véc tơ vμ ten xơ Trong toán học vμ vật lý nói chung, đặc biệt trong cơ học nói riêng, ta th−ờng gặp các loại đại l−ợng khác nhau: - Đại l−ợng vô h−ớng lμ đại l−ợng mμ nó đ−ợc đặc tr−ng bằng một con số theo một đơn vị đo đã chọn nh− nhiệt độ, khối l−ợng, tỷ khối, năng l−ợng, độ ẩm, v.v - Đại l−ợng véc tơ lμ đại l−ợng mμ nó đ−ợc đặc tr−ng không những bằng con số chỉ số đo của nó theo một đơn vị đo xác định, mμ còn bằng h−ớng của nó trong không gian nh− chuyển dịch của chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực, v.v Cần phân biệt ba loại véc tơ: véc tơ tự do có điểm đặt chọn tùy ý; véc tơ tr−ợt có điểm đặt thay đổi dọc theo chính véc tơ đó, ví dụ lực đặt vμo một vật thể rắn lμ véc tơ tr−ợt; véc tơ buộc có điểm đặt cố định, ví dụ nh− khi xét chuyển động của điểm vật chất phải lấy điểm tác dụng lực lμ vị trí của điểm vật chất đó. Việc nghiên cứu các véc tơ buộc vμ các véc tơ tr−ợt dẫn đến việc nghiên cứu các véc tơ tự do, vì vậy d−ới đây ta chỉ xét các véc tơ tự do. - Đại l−ợng ten xơ đặc tr−ng cho trạng thái của vật thể nh− trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất của môi tr−ờng liên tục, sự phân bố các mômen quán tính đối với các trục khác nhau đi qua điểm nμo đó của vật thể rắn, năng xung l−ợng của tr−ờng điện từ, độ cong của mỗi điểm trong không gian phi Euclide, v.v Ten xơ lμ đại l−ợng tổng quát bao hμm cả các đại l−ợng vô h−ớng vμ véc tơ. Dựa vμo khái niệm ten xơ, ta có thể bao quát mọi đặc tr−ng của tất cả các đại l−ợng, xem chúng lμ các ten xơ hạng không (vô h−ớng), hạng một (véc tơ) vμ hạng bất kỳ. Ten xơ có đặc điểm chung lμ không phụ thuộc vμo cách chọn hệ tọa độ dùng để mô tả chúng, nghĩa lμ trong một hệ tọa độ có thể cho ten xơ bằng một hệ thống đại l−ợng nμo đấy, gọi lμ các thμnh phần của ten xơ. Nếu các thμnh phần của ten xơ đã cho trong một hệ tọa độ, thì nó đ−ợc xác định trong bất kỳ một hệ tọa độ nμo khác, vì trong định nghĩa ten xơ đã bao hμm quy luật biến đổi các thμnh phần của nó. Các qui luật vật lý vμ cơ học th−ờng đ−ợc biểu diễn d−ới dạng các hệ thức ten xơ. Viết các ph−ơng trình d−ới dạng ten xơ, cho phép thiết lập các quy luật bất biến, không phụ thuộc vμo cách chọn hệ tọa độ. Do tính chất tuyến tính vμ đồng nhất của các phép biến đổi ten xơ, nên các ph−ơng trình ten xơ đã đúng trong hệ tọa độ nμy, cũng đúng trong hệ tọa độ khác. Tính bất biến của các hệ thức ten xơ đối với phép 13
15. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên biến đổi hệ tọa độ lμ một trong những nguyên nhân cơ bản để sử dụng có hiệu quả phép tính ten xơ trong cơ học vμ vật lý. 1.2. Tr−ờng vô h−ớng Tr−ờng vô h−ớng lμ một hμm vô h−ớng của các tọa độ điểm trong miền xác định của hμm số ϕ(x1 , x2 , x3 ,t) với x1 , x2 , x3 lμ các tọa độ không gian, còn t lμ thời gian. Građiên của tr−ờng vô h−ớng lμ véc tơ có h−ớng mμ hμm ϕ tăng nhanh nhất vμ có độ lớn bằng đạo hμm theo h−ớng đó ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r gradϕ = ∇ϕ = e1 + e2 + e3 (1.2.1) ∂x1 ∂x2 ∂x3 r r r với e1 ,e2 ,e3 lμ các véc tơ chỉ ph−ơng đơn vị của hệ tọa độ cơ sở Ox1x2x3 , ký hiệu∇ đọc lμ ‘nabla’. Về mặt hình học, véc tơ građiên vuông góc với mặt mức (hay mặt đẳng trị) đ−ợc xác định từ ph−ơng trình ϕ(x1 , x2 , x3 ,t) = const . Khi đó véc tơ pháp tuyến đơn vị νr tại điểm cho tr−ớc của mặt nμy lμ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ er + er + er gradϕ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 νr = = 1 2 3 (1.2.2) gradϕ 2 2 2 ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠ ⎝ ∂x3 ⎠ Ký hiệu Δ với ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ Δϕ = ∇∇ϕ = 2 + 2 + 2 (1.2.3) ∂x1 ∂x2 ∂x3 đ−ợc gọi lμ toán tử Laplace, đọc lμ ‘laplacien’. Ph−ơng trình vi phân đạo hμm riêng ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ Δϕ = 2 + 2 + 2 = 0 (1.2.4) ∂x1 ∂x2 ∂x3 đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình Laplace vμ nghiệm của ph−ơng trình Laplace đ−ợc gọi lμ hμm điều hòa. Theo định lý trung bình của hμm điều hòa, giá trị của hμm điều hòa tại một điểm nμo đó bằng trung bình số học của các giá trị hμm số trên một mặt cầu (vμ do đó cả theo thể tích) bất kỳ với tâm tại điểm đã cho. Ph−ơng trình ⎛ ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ⎞ Δ2ϕ = ⎜ + + ⎟⎜ + + ⎟ = 0 (1.2.5) ⎜ 2 2 2 ⎟⎜ 2 2 2 ⎟ ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎠⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎠ đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình song điều hòa hay điều hòa kép vμ nghiệm ph−ơng trình nμy đ−ợc gọi lμ các hμm song điều hòa hay điều hòa kép. 14
16. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Ví dụ 1.2.1: Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) cho tr−ớc nằm trên các trục tọa độ nh− trên hình 1.2.1. Giải: Ph−ơng trình của mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C lμ x x x x 2 B ϕ(x , x , x ) = 1 + 2 + 3 −1 = 0 1 2 3 a b c ν Véc tơ građiên có dạng e2 1 r 1 r 1 r x1 gradϕ = e1 + e2 + e3 O e1 a b c A e3 Do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng lμ 1 1 1 C er + er + er gradϕ 1 2 3 νr = = a b c x3 2 2 2 gradϕ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Hình 1.2.1. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠ Nếu mặt phẳng ABC nghiêng đều ba trục tọa độ (a = b = c ), véc tơ pháp tuyến lμ r ±1 r ±1 r ±1 r r⎛ 1 1 1 ⎞ ν = e1 + e2 + e3 , thông th−ờng ta hay chọn ν ⎜ , , ⎟. 3 3 3 ⎝ 3 3 3 ⎠ 1.3. Véc tơ vμ tr−ờng véc tơ 1.3.1. Các phép tính véc tơ Trong không gian ba chiều, ta lập một hệ tọa độ Descartes vuông góc Ox1x2x3 lμ một tam diện thuận theo quy tắc bμn tay phải. Một véc tơ ar bất kỳ trong không gian đ−ợc xác định bởi ba hình chiếu a1 , a2 , a3 của nó trên các trục tọa độ (hình 1.3.1) vμ r a1 , a2 , a3 đ−ợc gọi lμ các tọa độ vuông góc hay lμ các thμnh phần của véc tơ a . Độ dμi của véc tơ ar xác định theo công thức x2 a2 r 2 2 2 a = a1 + a2 + a3 (1.3.1) a Đ−ờng chéo OB của hình bình hμnh dựng trên các véc r r tơ OA = ar vμ AB = b lμ tổng của hai véc tơ OB = ar + b , r còn đ−ờng chéo CA lμ hiệu của các véc tơ nμy CA = ar − b O a1 (hình 1.3.2). x1 r r a3 Tích vô h−ớng (hay tích trong) của hai véc tơ a vμ b lμ một đại l−ợng vô h−ớng có giá trị bằng tích độ dμi của x3 Hình 1.3.1. các véc tơ đó với côsin của góc giữa chúng 15
17. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên a r r r r C B ar.b = b.ar = ar b .cos(ar,b) (1.3.2) a+b r Nếu véc tơ ar vuông góc với véc tơ b thì tích vô h−ớng b a-b b của hai véc tơ nμy bằng không. Tích vô h−ớng của các véc tơ đơn vị tọa độ lμ O a A r r ⎧1 i = j ei .e j = δ ij = ⎨ (1.3.3) Hình 1.3.2. ⎩0 i ≠ j r r Nếu b = 1 thì hình chiếu của véc tơ ar lên véc tơ b bằng tích vô h−ớng của hai véc tơ r r nμy. Tọa độ ai lμ tích vô h−ớng của véc tơ a vμ véc tơ đơn vị ei r r ai = a.ei (1.3.4) r Tích véc tơ (hay tích ngoμi, tích có h−ớng) của hai véc tơ ar vμ b lμ một véc tơ cr có r độ lớn bằng diện tích hình bình hμnh dựng trên các véc tơ ar, b vμ có h−ớng vuông góc với mặt phẳng của các véc tơ nμy sao cho tam diện hình thμnh bởi các véc tơ r ar, b, cr lμ tam diện thuận (hình 1.3.3) c=aìb r r r b cr = ar ì b ; cr = ar b sin(ar,b) (1.3.5) Biểu diễn d−ới dạng định thức er er er a ⎛ 1 2 3 ⎞ r r ⎜ ⎟ a ìb = det⎜a1 a2 a3 ⎟ (1.3.6) ⎜ ⎟ ⎝b1 b2 b3 ⎠ d=bìa Tích véc tơ không có tính giao hoán tức lμ r r v Hình 1.3.3. cr = ar ì b = −b ì ar = −d r Tích hỗn hợp (hay tích véc tơ kép) của ba véc tơ ar, b, cr lμ một đại l−ợng vô h−ớng có giá trị bằng thể tích hình hộp giới hạn bởi các véc tơ nμy. Tích hỗn hợp nμy lμ số r d−ơng nếu các véc tơ ar, b, cr lập thμnh một tam diện thuận ⎛a1 a2 a3 ⎞ r rr r r r ⎜ ⎟ []abc = a.(b ì c) = det⎜b1 b2 b3 ⎟ (1.3.7) ⎜ ⎟ ⎝ c1 c2 c3 ⎠ 1.3.2. Biến đổi của các thμnh phần véc tơ khi quay trục tọa độ r Giả thiết hệ trục tọa độ Descartes ban đầu xi với các véc tơ đơn vị ei xoay quanh gốc r tọa độ O trở thμnh hệ trục tọa độ Descartes mới xi′ với các véc tơ đơn vị mới ei′ nh− 16
18. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên trên hình 1.3.4. Ký hiệu C = (cij ) lμ ma trận các côsin của góc hợp giữa trục mới xi′ r r với trục cũ xj vμ cũng lμ góc giữa véc tơ ei′ vμ véc tơ e j . Theo (1.3.2), ta có r r r r cij = cos(xi′, x j ) = cos(ei′,e j ) = ei′e j (1.3.8) x2 x2 x2′ x1′ a x2′ ′ e′ e2 e2 e′ e2 1 θ 2 e x1 e x1 e′ O 1 1 3 O x3′ e3 e1′ e′ = e 3 3 x3′ = x3 x1′ x3 Hình 1.3.4. Hình 1.3.5. r r Các véc tơ đơn vị mới ei′ có thể biểu diễn qua các véc tơ đơn vị cũ e j r r r ⎧e1′⎫ ⎛c11 c12 c13 ⎞⎧e1 ⎫ ⎧e1 ⎫ ⎪r ⎪ ⎜ ⎟⎪r ⎪ ⎪r ⎪ ⎨e2′⎬ = ⎜c21 c22 c23 ⎟⎨e2 ⎬ = C⎨e2 ⎬ (1.3.9) ⎪r ⎪ ⎜ ⎟⎪r ⎪ ⎪r ⎪ ⎩e3′⎭ ⎝c31 c32 c33 ⎠⎩e3 ⎭ ⎩e3 ⎭ Ng−ợc lại, ký hiệu C′ = (cij′ ) lμ ma trận các cô sin của góc hợp giữa trục cũ xi với trục mới x′j , ta có r r r r cij′ = cos(xi , x′j ) = cos(ei ,e′j ) = ei e′j (1.3.10) So sánh (1.3.8) vμ (1.3.10), ta thấy ngay rằng c'ij = c ji tức lμ ma trận C′ = (cij′ ) vμ ma trận C = (cij ) lμ chuyển vị của nhau. r r Từ (1.3.10), ta biểu diễn các véc tơ cơ sở cũ ei qua các véc tơ cơ sở mới e′j r r r ⎧e1 ⎫ ⎛ c11′ c12′ c13′ ⎞⎧e1′⎫ ⎧e1′⎫ ⎪r ⎪ ⎜ ⎟⎪r ⎪ ⎪r ⎪ ⎨e2 ⎬ = ⎜c′21 c′22 c23′ ⎟⎨e2′⎬ = C′⎨e2′⎬ (1.3.11) ⎪r ⎪ ⎜ ⎟⎪r ⎪ ⎪r ⎪ ⎩e3 ⎭ ⎝c31′ c32′ c33′ ⎠⎩e3′⎭ ⎩e3′⎭ So sánh (1.3.9) vμ (1.3.11), ta thấy rằng ma trận C′ = (cij′ ) vμ ma trận C = (cij ) lμ nghịch đảo của nhau. 17
19. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Nh− vậy, ma trận các côsin chỉ ph−ơng (cij ) lập thμnh một ma trận trực giao C′ = C −1 = C T (1.3.12) Khi hệ trục tọa độ Descartes ban đầu Ox1x2x3 quay trong mặt phẳng Ox1x2 một góc θ ng−ợc chiều kim đồng hồ quanh trục x3 trở thμnh hệ trục tọa độ mới Ox1′x′2 x3′ nh− trên hình 1.3.5, ma trận các côsin chỉ ph−ơng có dạng ⎛ cosθ cos 900 −θ cos900 ⎞ ⎛ cosθ sinθ 0⎞ ⎜ ( ) ⎟ 0 0 ⎜ ⎟ C = ()cij = ⎜cos()90 +θ cosθ cos90 ⎟ = ⎜− sinθ cosθ 0⎟ (1.3.13) ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ cos90 cos90 cos0 ⎠ ⎝ 0 0 1⎠ Bây giờ ta xét sự thay đổi của các thμnh phần véc tơ ar khi quay hệ trục tọa độ. Khi r r đó bản thân véc tơ a không thay đổi, nh−ng các thμnh phần tọa độ ai của véc tơ a trong hệ trục cũ xj sẽ thay đổi thμnh ai′ trong hệ trục mới xi′ . Ta có khai triển 3 3 r r ′r′ a = ∑ai ei = ∑ai ei (1.3.14) i=1 i=1 r r r r với ai = a.ei vμ ai′ = a.ei′ . Sử dụng (1.3.8) kết hợp với (1.3.9), ta đ−ợc 3 3 3 ′ r r′ r r r r ai = a.ei = a.∑cij e j = ∑cij a.e j =∑cij a j (1.3.15) i=1 i=1 i=1 T−ơng tự, sử dụng (1.3.10) kết hợp với (1.3.11) ta có 3 3 3 r r r ′ r′ r r′ ′ ai = a.ei = a.∑cij e j = ∑c ji a.e j =∑c ji a j (1.3.16) i=1 i=1 i=1 1.3.3. Tr−ờng véc tơ Tr−ờng véc tơ lμ một hμm véc tơ của các tọa độ điểm trong miền không gian xác r định của hμm số a(x1 , x2 , x3 ,t) với x1 , x2 , x3 lμ các tọa độ không gian, t lμ thời gian. Đại l−ợng vô h−ớng ∂a ∂a ∂a div()ar = ∇.ar = 1 + 2 + 3 (1.3.17) ∂x1 ∂x2 ∂x3 đ−ợc gọi lμ đive (hay phân kỳ) của tr−ờng véc tơ ar . Đại l−ợng véc tơ ⎛ er er er ⎞ ⎜ 1 2 3 ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂a ∂a ⎞ ⎛ ∂a ∂a ⎞ ⎛ ∂a ∂a ⎞ rot()ar = ∇ì ar = det⎜ ⎟ = ⎜ 3 − 2 ⎟er + ⎜ 1 − 3 ⎟er + ⎜ 2 − 1 ⎟er (1.3.18) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎝ ∂x2 ∂x3 ⎠ ⎝ ∂x3 ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ a1 a2 a3 ⎠ đ−ợc gọi lμ rôta (hay xoáy) của tr−ờng véc tơ ar . 18
20. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Các đại l−ợng div(ar)(); rot ar đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu các môi tr−ờng liên tục. Giá trị đive liên quan đến l−ợng vật chất đi qua mặt của một thể tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét. Véc tơ rôta liên quan đến chuyển động quay của các chất điểm quanh điểm đang xét. r r r r r Ví dụ 1.3.1: Khai triển véc tơ a(1,2,1) thμnh hai véc tơ a = σ v +τ v trong đó véc tơ σ v theo ph−ơng pháp tuyến với mặt phẳng ABC nghiêng đều với ba trục tọa độ (ví dụ r 1.2.1), véc tơ τ v nằm trong mặt phẳng ABC. Giải: Véc tơ pháp tuyến ngoμi của mặt phẳng ABC nghiêng đều ba trục tọa độ lμ νr(1 3 ,1 3 ,1 3). Hình chiếu của véc tơ ar lên ph−ơng pháp tuyến νr lμ ⎧1⎫ r r r ⎛ 1 1 1 ⎞⎪ ⎪ 4 σ v =ν .a = ⎜ ⎟⎨2⎬ = ⎝ 3 3 3 ⎠⎪ ⎪ 3 ⎩1⎭ r vμ thu đ−ợc véc tơ σ v ⎧1 3⎫ ⎧4 3⎫ r r r 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ σ v = σ v ν = ⎨1 3⎬ = ⎨4 3⎬ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩1 3⎭ ⎩4 3⎭ r Từ đó ta xác định đ−ợc véc tơ τ v nằm trong mặt phẳng ABC ⎧1⎫ ⎧4 3⎫ ⎧−1 3⎫ r r r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ τν = a −σ v = ⎨2⎬ − ⎨4 3⎬ = ⎨ 2 3⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩1⎭ ⎩4 3⎭ ⎩−1 3⎭ r Độ dμi véc tơ τ v theo (1.3.1) lμ 2 2 2 r ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 6 τν = ⎜− ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ 3 r r Để kiểm tra kết quả tính, dựa vμo điều kiện véc tơ σ v vuông góc với véc tơ τ v nên tích vô h−ớng của hai véc tơ nμy bằng không ⎧−1 3⎫ r r ⎛ 1 1 1 ⎞⎪ ⎪ σ v .τν = ⎜ ⎟⎨ 2 3⎬ = 0 ⎝ 3 3 3 ⎠⎪ ⎪ ⎩−1 3⎭ r 2 r 2 r 2 Cũng có thể kiểm tra dựa vμo hệ thức Pitago a = σν + τν , ta có 19
21. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên 2 2 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 6 16 ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = + = 6 = 1 + 2 +1 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 9 3 Ví dụ 1.3.2: Xác định các thμnh phần véc tơ ar(1,2,1) trong hệ tọa độ mới khi mặt 0 phẳng Ox1x2 xoay quanh trục x3 một góc 60 ng−ợc chiều kim đồng hồ. Giải: Theo (1.3.13) vμ (1.3.15), các thμnh phần của véc tơ ar trong hệ trục mới lμ ⎛ ⎞ ⎧a1′ ⎫ 1 2 3 2 0 ⎧1⎫ ⎧2.232⎫ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨a2′ ⎬ = ⎜− 3 2 1 2 0⎟⎨2⎬ = ⎨0.134⎬ ⎜ ⎟ ⎪a′ ⎪ ⎜ 0 0 1⎟⎪1⎪ ⎪1.000⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 1.4. Ten xơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 1.4.1. Hệ thống phần tử. Quy tắc chỉ số Einstein a) Hệ thống phần tử đ−ợc đặc tr−ng bởi một hay nhiều chỉ số vμ đ−ợc sắp xếp theo thứ tự nμo đấy, ví dự nh− ai , aij , aijk , với các chỉ số i,j,k có giá trị 1,2,3. Do đó hệ thống ai có một chỉ số gồm 3 phần tử lμ a1 , a2 , a3 đ−ợc gọi lμ hệ thống hạng nhất, hệ thống aij có hai chỉ số gồm 9 phần tử lμ a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 đ−ợc gọi lμ hệ thống hạng hai, v.v b) Ta đ−a vμo hai qui tắc quan trọng đối với chỉ số gọi lμ qui tắc Einstein: - Trong một đơn thức, chỉ số nμo chỉ gặp một lần, ta gọi lμ chỉ số tự do. Chỉ số nμy lấy giá trị 1,2,3. Ví dụ trong đơn thức aibjk , các chỉ số i,j,k lμ chỉ số tự do. - Trong một đơn thức, chỉ số nμo lặp lại hai lần, nó biểu thị tổng theo chỉ số đó 3 từ 1 đến 3. Ví dụ aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ∑ aibi . Chỉ số đó gọi lμ chỉ số câm vμ i=1 có thể thay bằng chữ khác aibi = a j b j = ambm . Sử dụng quy tắc nμy, công thức (1.3.15) có dạng ai′ = cij a j (1.4.1) vμ (1.3.16) có dạng ai = c ji a′j (1.4.2) - Chỉ số nμo xuất hiện trên hai lần thì không biểu thị tổng; nếu biểu thị tổng phải ghi chú riêng. Dùng quy −ớc trên, trong các tổng ta không phải viết dấu tổng Σ nữa. c) Hệ thống đối xứng vμ phản đối xứng: 20
22. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Một hệ thống lμ đối xứng đối với hai chỉ số nμo đấy, nếu ta hoán vị hai chỉ số đó cho nhau, các phần tử của hệ thống không đổi dấu vμ giá trị. Chẳng hạn hệ thống aij đối xứng, nếu aij = aji. Hệ thống đối xứng có dạng đặc biệt dùng rộng rãi trong phép tính ten xơ lμ ký hiệu Kronecker (1.3.3). Sử dụng ký hiệu nμy, công thức (1.3.12) có dạng đơn giản cik c jk = δ ij (1.4.3) Hệ thống aij lμ phản đối xứng, nếu ta hoán vị hai chỉ số i, j cho nhau, các phần tử thay đổi đấu aij = - aji , từ đó suy ra a11=a22=a33=0. Hệ thống Levi - Civita lμ hệ thống hạng ba eijk có tính chất: eijk=1 khi ijk lμ hoán vị chẵn của 1,2,3; ví dụ e123=e231=e312=1. eijk=-1 khi ijk lμ hoán vị lẻ của 1,2,3; ví dụ e132=e213=e321=-1. eijk=0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau; ví dụ e112=e232=0. Sử dụng ký hiệu Levi - Civita, định thức ma trận hạng ba có dạng ⎛ a a a ⎞ ⎜ 11 12 13 ⎟ det⎜a21 a22 a23 ⎟ = eijk a1i a2 j a3k (1.4.4) ⎜ ⎟ ⎝a31 a32 a33 ⎠ 1.4.2. Định nghĩa ten xơ a) Ten xơ hạng không lμ những đại l−ợng vô h−ớng có 30=1 thμnh phần vμ thμnh phần nμy không thay đổi trong phép biến đổi trục tọa độ. 1 b) Ten xơ hạng một lμ hệ thống ai gồm 3 =3 thμnh phần cho trong một hệ tọa độ Descartes nμo đấy mμ khi hệ tọa độ nμy thay đổi theo quy luật (1.4.1) thì chúng cũng thay đổi theo quy luật ấy ai′ = cij a j (1.4.5) Ta thấy rằng các tọa độ của một véc tơ cho tr−ớc trong mọi hệ tọa độ lập thμnh ten xơ hạng một. Ng−ợc lại các thμnh phần của một ten xơ hạng một có thể xem lμ tọa độ của một véc tơ nμo đấy. Bộ ba số (ρ, t0, H) với ρ lμ khối l−ợng riêng, t0 lμ nhiệt độ, H lμ độ cao tại điểm đang xét không phải một ten xơ hạng nhất. 2 c) Ten xơ hạng hai lμ hệ thống aij gồm 3 =9 thμnh phần cho trong một hệ tọa độ Descartes nμo đấy mμ khi hệ tọa độ nμy thay đổi theo quy luật (1.4.1) thì chúng cũng thay đổi theo quy luật ấy aij′ = cik c jl akl (1.4.6) 21
23. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Ta gặp ten xơ hạng hai khi nghiên cứu trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất của môi tr−ờng liên tục, sự phân bố các mômen quán tính đối với các trục đi qua điểm nμo đó của vật thể rắn, năng xung l−ợng của tr−ờng điện từ, độ cong của mỗi điểm trong không gian phi Euclide, v.v n d) Ten xơ hạng n lμ hệ thống aijkl gồm 3 thμnh phần cho trong một hệ tọa độ Descartes nμo đấy mμ khi hệ tọa độ nμy thay đổi theo quy luật (1.4.1) thì chúng cũng thay đổi theo quy luật ấy aijkl′ = cir c js ckt clu Larstu (1.4.7) Từ định nghĩa ten xơ, ta thấy mỗi thμnh phần của ten xơ trong hệ tọa độ mới lμ tổ hợp bậc nhất của các thμnh phần của ten xơ trong hệ tọa độ cũ. Do đó nếu tất cả các thμnh phần của ten xơ bằng không trong một hệ tọa độ nμo đấy thì nó cũng bằng không trong hệ tọa độ mới. 1.4.3. Phân biệt ten xơ với ma trận Theo định nghĩa ten xơ, các thμnh phần của hệ thống aijkl lập thμnh một ten xơ xác định, trong khi đó, các thμnh phần cij không phải lμ một ten xơ mμ lμ các thμnh phần của ma trận phép biến đổi tọa độ, thiết lập mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ khác nhau. Đối với các ten xơ có hạng bé hơn hay bằng hai, ta có thể biểu diễn ten xơ d−ới dạng ma trận nh−ng ng−ợc lại, mọi ma trận không phải lμ ten xơ. D−ới dạng ma trận, công thức (1.4.6) có dạng T (aij′ )= C(aij )C (1.4.8) Mặt khác từ (1.3.12) suy ra det(cij ) = ±1 nên det(aij′ ) = det(cik )ì det(c jl )ì det(akl ) = det(akl ) (1.4.9) nghĩa lμ định thức của các thμnh phần ten xơ hạng hai bất kỳ luôn lμ bất biến đối với phép biến đổi trục tọa độ. 1.4.4. Các phép tính đại số ten xơ Đối với ten xơ, ta có thể thực hiện một số phép tính bất biến, tức lμ những phép tính mμ kết quả của chúng không phụ thuộc vμo cách chọn hệ tọa độ: a) Tổng các ten xơ cùng hạng: Việc lấy tổng (cộng hay trừ) chỉ thực hiện cho các ten xơ cùng hạng, kết quả cho ta một ten xơ cùng hạng có các thμnh phần bằng tổng các thμnh phần t−ơng ứng của các ten xơ đã cho. Ví dụ, nếu aijk vμ bijk lμ các ten xơ hạng ba thì cijk=aijk±bijk cũng lμ ten xơ hạng ba. b) Phép cuộn các ten xơ: Phép cuộn ten xơ lμ phép đồng nhất hai chỉ số bất kỳ của một ten xơ có hạng lớn hơn hay bằng hai. Điều đó có nghĩa lμ lấy tổng theo chỉ số 22
24. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên đó. Kết quả cho ta một ten xơ có hạng giảm đi hai đơn vị. Ví dụ, với ten xơ hạng bốn aijkl , phép cuộn aikjk theo chỉ số thứ 2 vμ 4 cho ta một ten xơ hạng hai cij= aikjk . Với ten xơ hạng hai aij , phép cuộn aii cho ta một vô h−ớng lμ ten xơ hạng không. c) Phép nhân các ten xơ: Phép nhân áp dụng cho hai ten xơ có hạng bất kỳ bằng cách lấy mọi tích có thể có của từng thμnh phần ten xơ nμy với từng thμnh phần của ten xơ kia, kết quả nhận đ−ợc một ten xơ mới có hạng bằng tổng hạng của các ten xơ thμnh phần. Ví dụ tích của ten xơ hạng ba aijk vμ ten xơ blm cho ta ten xơ hạng năm cijklm=aijkblm . Cũng giống nh− phép nhân ma trận, phép nhân các ten xơ không có tính giao hoán. d) Phép hoán vị chỉ số: Từ ten xơ đã cho, ta lập ten xơ mới có cùng hạng vμ cùng những thμnh phần đó nh−ng thứ tự thμnh phần khác nhau bằng cách hoán vị chỉ số của ten xơ đã cho. Ví dụ, với ten xơ aijk , lập ten xơ mới bijk bằng cách ký hiệu chỉ số i, j, k thμnh j, k, i tức lμ bjki= aijk . Nh− vậy, kết quả của các phép tính đại số ten xơ cho ta một ten xơ mới. 1.4.5. Dấu hiệu ng−ợc lại về ten xơ D−ới đây, ta phát biểu dấu hiệu ng−ợc lại về ten xơ d−ới dạng đơn giản, tất nhiên điều đó có thể mở rộng cho hệ thống hạng bất kỳ. Chẳng hạn, nếu ta có hệ thức a(i, j,k)b jk = ci (1.4.10) vμ biết rằng ci lμ một ten xơ xác định, bjk lμ ten xơ tùy ý thì hệ thống a(i,j,k) cũng lμ một ten xơ tức lμ a(i,j,k)=aijk . Một tr−ờng hợp riêng quan trọng của mệnh đề nμy lμ: Giả sử có xi , yj , zk lμ thμnh phần của ba véc tơ tùy ý, nếu biết aijkxiyjzk lμ một bất biến thì ta có thể kết luận aijk lμ một ten xơ hạng ba. Đôi khi ng−ời ta dùng tính chất nμy để định nghĩa ten xơ đối với phép biến đổi tuyến tính. 1.4.6. Giá trị chính vμ ph−ơng chính của ten xơ hạng hai đối xứng Một tính chất rất quan trọng của ten xơ hạng hai đối xứng (với các thμnh phần lμ các số thực) lμ tồn tại ba ph−ơng chính trực giao với nhau. Ph−ơng chính (hay trục chính) νj của ten xơ hạng hai đối xứng aij lμ ph−ơng mμ véc tơ aijνj đồng ph−ơng với véc tơ νi tức lμ aijν j = aδ ijν j hay (aij − aδ ij )ν j = 0 (1.4.11) với a gọi lμ giá trị chính của ten xơ aij đối với ph−ơng chính νj . Mặt khác, các thμnh phần νj của ph−ơng chính phải thỏa mãn ph−ơng trình 23
25. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên 2 2 2 ν jν j =ν 1 +ν 2 +ν 3 =1 (1.4.12) Vì νj không đồng thời bằng không nên từ (1.4.11), suy ra ⎛a − a a a ⎞ ⎜ 11 12 13 ⎟ det()aij − aδ ij = det⎜ a21 a22 − a a23 ⎟ = 0 (1.4.13) ⎜ ⎟ ⎝ a31 a32 a33 − a⎠ Ph−ơng trình (1.4.13) đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình đặc tr−ng của ten xơ aij . Theo (1.4.9), ph−ơng trình nμy bất biến đối với phép biến đổi trục tọa độ nên các nghiệm của nó cũng lμ những bất biến. Khai triển (1.4.13), ta có 3 2 a − I1a + I 2a − I3 = 0 (1.4.14) trong đó I1 (aij )= aii = a11 + a22 + a33 2 2 2 I 2 ()aij = a11a22 + a22a33 + a33a11 − a12 − a23 − a31 (1.4.15) 2 2 2 I 3 ()aij = det ()aij = a11a22a33 + 2a12a23a31 − a11a23 − a22a31 − a33a12 lμ các bất biến chính của ten xơ hạng hai đối xứng aij . Vì aij lμ các số thực nên ph−ơng trình bậc ba (1.4.14) phải có ít nhất một nghiệm thực ar nμo đó. Ta lập hệ trục Descartes mới xi′ sao cho một trục của hệ tọa độ nμy trùng với ph−ơng của giá trị chính ar đã biết. Trong hệ trục mới xi′ nμy, ten xơ aij vẫn lμ ten xơ đối xứng vμ có dạng ⎛a 0 0 ⎞ ⎜ r ⎟ ()aij′ = ⎜ 0 a22′ a23′ ⎟ (1.4.16) ⎜ ⎟ ⎝ 0 a32′ a33′ ⎠ Ph−ơng trình (1.4.13) bây giờ có dạng ⎛a − a 0 0 ⎞ ⎜ r ⎟ det()aij′ − aδ ij = det⎜ 0 a22′ − a a′23 ⎟ = 0 (1.4.17) ⎜ ⎟ ⎝ 0 a32′ a33′ − a⎠ Khai triển (1.4.17) theo hμng (hay cột) đầu tiên ta có 2 2 ()ar − a [a − (a22′ + a33′ )a + (a22′ a33′ − a23′ )]= 0 Ph−ơng trình bậc ba nμy có một nghiệm a=ar đã biết. Ph−ơng trình bậc hai 2 2 [a − (a′22 + a33′ )a + (a22′ a33′ − a23′ )]= 0 24
26. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên có biệt thức 2 2 2 2 Δ = ()a22′ + a33′ − 4(a′22a33′ − a23′ )= (a22′ − a33′ ) + 4a23′ > 0 nên cả hai nghiệm đều lμ số thực. Nh− vậy, cả ba nghiệm của ph−ơng trình đặc tr−ng (1.4.14) đều lμ các số thực, ta ký hiệu lần l−ợt lμ a1 , a2 , a3 với quy −ớc a1 ≥ a2 ≥ a3 (về giá trị đại số). Giả sử ar vμ as lμ hai nghiệm khác nhau của (1.4.14), từ (1.4.11) vμ (1.4.12) ta xác r s định đ−ợc các ph−ơng chính ν j ;ν j t−ơng ứng (a − a δ )ν r = 0 ij r ij j s ()aij − asδ ij ν j = 0 s r Nhân ph−ơng trình đầu với ν i vμ ph−ơng trình sau với ν i rồi trừ đi nhau với chú ý tới các ten xơ aij vμ δij đối xứng, ta đ−ợc r s (ar − as )δ ijν i ν j = 0 r s r r r s vì ar≠as nên δ ijν i ν j = 0 tức lμ hai véc tơ ν vμ ν trực giao nhau. Nếu có hai giá trị chính bằng nhau, chẳng hạn a1=a2 thì khi đó mọi ph−ơng nằm trong mặt phẳng trực giao với ph−ơng thứ ba (t−ơng ứng với a3) đều lμ ph−ơng chính. Nếu cả ba giá trị chính bằng nhau a1=a2=a3 thì mọi ph−ơng trực giao đều lμ ph−ơng chính. Trong hệ tọa độ gồm các trục chính, ten xơ aij có dạng ⎛a 0 0 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ()aij = ⎜ 0 a2 0 ⎟ (1.4.18) ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 a3 ⎠ vμ các bất biến (1.4.15) có dạng I1 = a1 + a2 + a3 I 2 = a1a2 + a2a3 + a3a1 (1.4.19) I 3 = a1a2a3 Bây giờ ta xét cực trị của hμm số aν = aijν iν j (1.4.20) với các véc tơ chỉ ph−ơng phải thoả mãn điều kiện rμng buộc (1.4.12) ν iν i = 1. Sử dụng ph−ơng pháp nhân tử Lagrange, ta tìm cực trị của hμm số F = aijν iν j − a(ν iν i −1) (1.4.21) 25
27. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên trong đó a lμ thừa số Lagrange. Từ điều kiện tồn tại của cực trị ∂F = 0 ; i = 1,2,3 (1.4.22) ∂ν i ta nhận lại đ−ợc ph−ơng trình (1.4.11). Nh− vậy, đối với ten xơ hạng hai đối xứng aij , đại l−ợng aν xác định theo (1.4.20) đạt giá trị cực trị theo các ph−ơng chính. 1.4.7. Biểu thức giá trị chính của ten xơ hạng hai đối xứng Giả thiết ta đã biết đ−ợc các giá trị chính aj vμ các ph−ơng chính νj của ten xơ hạng hai đối xứng aij , lập ten xơ mới dij′ = aij − a0δ ij (1.4.23) trong đó a0 lμ một số vô h−ớng. Sử dụng phép biến đổi (aij − aδ ij )v j = [aij − a0δ ij − (a − a0 )δ ij ]v j = (dij′ − d′δ ij )v j = 0 Nh− vậy, các giá trị chính di′ của ten xơ dij′ xác định qua các giá trị chính ai của ten xơ aij bởi hệ thức di′ = ai − a0 (1.4.24) vμ ng−ợc lại. Đồng thời các ph−ơng chính của ten xơ dij′ trùng với các ph−ơng chính của ten xơ aij . Xét tr−ờng hợp 1 1 a = I (a ) = ()a + a + a = a (1.4.25) 0 3 1 ij 3 11 22 33 tb Khi đó ten xơ dij = aij − atbδ ij (1.4.26) có bất biến thứ nhất bằng không, các bất biến thứ hai vμ thứ ba lμ 1 2 2 2 2 2 2 1 2 I 2 ()dij = − []()()()a11 − a22 + a22 − a33 + a33 − a11 + 6()a12 + a23 + a31 = I 2 ()aij − []I1 ()aij 6 3 (1.4.27) 2 1 I ()d = det ()d = ()()()d − d d − d d − d = I ()a + []I ()a 3 − I ()()a I a 3 ij ij 1 tb 2 tb 3 tb 3 ij 27 1 ij 3 1 ij 2 ij Nh− vậy I 2 (dij )≤ 0 vμ nó chỉ bằng không khi các giá trị chính của ten xơ aij đều bằng nhau. Ten xơ dij có các giá trị chính ở dạng giải tích 2 ⎛ π ⎞ 2 ⎛ π ⎞ 2 d1 = − I 2 ()dij cos⎜ϑ − ⎟ ; d2 = − I 2 ()dij cos⎜ϑ + ⎟ ; d3 = − − I 2 ()dij cosϑ (1.4.28) 3 ⎝ 3 ⎠ 3 ⎝ 3 ⎠ 3 26
28. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên với tham số ϑ xác định theo công thức 3 3 I 3 (dij ) ⎛ π ⎞ cos3ϑ = − ; ⎜0 ≤ ϑ ≤ ⎟ (1.4.29) 2 3 ⎝ 3 ⎠ []− I 2 ()dij Từ đó ta có d 2 − d3 ⎛ π ⎞ τ 1 = = − − I 2 ()dij sin⎜ϑ − ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠ d3 − d1 ⎛ π ⎞ τ 2 = = − − I 2 ()dij sin⎜ϑ + ⎟ (1.4.30) 2 ⎝ 3 ⎠ d − d τ = 1 2 = − I ()d sinϑ 3 2 2 ij Sử dụng các hệ thức (1.4.24), (1.4.27) ta xác định đ−ợc các giá trị chính của ten xơ aij thông qua các bất biến của nó lμ 1 2 2 ⎛ π ⎞ a1 = atb + d1 = I1 ()aij + []I1 ()aij −3I 2 ()aij cos⎜ϑ − ⎟ 3 3 ⎝ 3 ⎠ 1 2 2 ⎛ π ⎞ a2 = atb + d2 = I1 ()aij + []I1 ()aij −3I 2 ()aij cos⎜ϑ + ⎟ (1.4.31) 3 3 ⎝ 3 ⎠ 1 2 a = a + d = I ()a − []I ()a 2 −3I ()a cosϑ 3 tb 3 3 1 ij 3 1 ij 2 ij với tham số ϑ xác định theo công thức 3 27 I 3 ()aij + 2[I1 (aij )] − 9I1 (aij )I 2 (aij ) ⎛ π ⎞ cos 3ϑ = − ; ⎜ 0 ≤ ϑ ≤ ⎟ (1.4.32) 2 3 ⎝ 3 ⎠ 2 {}[]I1 ()aij − 3I 2 ()aij 1.4.8. Phân tích ten xơ hạng hai bất kỳ thμnh các ten xơ đối xứng vμ ten xơ phản đối xứng Với ten xơ hạng hai bất kỳ aij , ta lập ten xơ mới bằng cách hoán vị chỉ số vμ lập tổng 1 1 ε = (a + a ); ω = (a − a ) (1.4.33) ij 2 ij ji ij 2 ij ji Từ đó ta thu đ−ợc ten xơ εij lμ ten xơ đối xứng tức lμ εij=εji , còn ten xơ ωij lμ ten xơ phản đối xứng tức lμ ωij=−ωji vμ aij = (ε ij + ω ji ) (1.4.34) Ten xơ đối xứng εij có ba giá trị chính lμ các số thực. Ten xơ phản đối xứng ωij có một giá trị chính bằng không vμ hai giá trị chính thuần ảo liên hợp. Ten xơ phản đối xứng hạng hai còn gọi lμ véc tơ kép r với các thμnh phần 27
29. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên r1 = −ω23 ; r2 = −ω31 ; r3 = −ω12 (1.4.35) 1.4.9. Tr−ờng ten xơ Nếu tại mỗi điểm của không gian, ta cho tr−ớc một ten xơ có hạng nμo đó vμ có giá trị thay đổi từ điểm nμy sang điểm khác, thì ta có tr−ờng ten xơ với hạng xác định (bằng với hạng của ten xơ đã cho). Các phép tính đại số đối với ten xơ đ−ợc chuyển sang tr−ờng ten xơ một cách tự động. D−ới đây, ta xem xét các phép tính vi phân đối với tr−ờng ten xơ. Xét tr−ờng ten xơ nμo đấy, chẳng hạn tr−ờng ten xơ hạng hai aij = aij (M ) = aij (x1, x2 , x3 ) Khi tr−ờng ten xơ thay đổi từ điểm M đến điểm lân cận M1 dọc theo đ−ờng cong nμo đó x1 = x1 ()t ; x2 = x2 ()t ; x3 = x3 ()t thì các thμnh phần ten xơ thay đổi lμ aij ()M 1 − aij ()M = aij [x1 (t + dt), x2 (t + dt), x3 (t + dt)]− aij [x1 ()t , x2 ()t , x3 ()t ] ∂aij (1.4.36) ≈ dxk = daij ∂xk Mặt khác, do cij không phụ thuộc vμo cách chọn điểm M nên khi thực hiện vi phân hai vế của (1.4.6), ta có daij′ = cik c jl dakl (1.4.37) Nh− vậy, hệ thống daij lμ một ten xơ cùng hạng ten xơ aij vμ đ−ợc gọi lμ vi phân tuyệt đối của tr−ờng ten xơ aij . ∂xl Theo (1.4.2) ta có = ckl , kết hợp với (1.4.6) thu đ−ợc ∂x′k ′ ′ ∂aij ∂aij ∂xl ∂amn = = cimc jnckl (1.4.38) ∂xk′ ∂xl ∂xk′ ∂xl Do đó, ∂aij ∂x k lμ cũng lμ một ten xơ vμ có hạng cao hơn hạng của tr−ờng ten xơ aij một bậc, đ−ợc gọi lμ đạo hμm tuyệt đối của tr−ờng ten xơ aij . Khi đó công thức (1.4.36) có thể viết d−ới dạng ∂aij daij = dxk (1.4.39) ∂x k vμ xem ten xơ daij lμ kết quả của phép cuộn của hai ten xơ ∂aij ∂x k vμ dxk . 1.4.10. Tr−ờng hợp bμi toán phẳng 28
30. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Xét ten xơ hạng hai đối xứng ⎛ a a 0 ⎞ ⎜ 11 12 ⎟ ()aij = ⎜a21 a22 0 ⎟ (1.4.40) ⎜ ⎟ ⎝ 0 a33 ⎠ Khi mặt phẳng Ox1x2 xoay quanh trục x3 một góc θ ng−ợc chiều kim đồng hồ (hình 1.4.1), theo công thức (1.3.13) ta thu đ−ợc ⎛ a′ a′ 0 ⎞ ⎛ cosθ sinθ 0⎞⎛ a a 0 ⎞⎛cosθ − sinθ 0⎞ ⎜ 11 12 ⎟ ⎜ ⎟⎜ 11 12 ⎟⎜ ⎟ ()aij′ = ⎜a′21 a′22 0 ⎟ = ⎜− sinθ cosθ 0⎟⎜a21 a22 0 ⎟⎜ sinθ cosθ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 0 0 a33′ ⎠ ⎝ 0 0 1⎠⎝ 0 0 a33 ⎠⎝ 0 0 1⎠ trong đó x2 a + a a − a x’ a′ = 11 22 + 11 22 cos2θ + a sin2θ 2 11 2 2 12 a11 − a22 x’1 a′ = a′ = a cos2θ − sin2θ 12 21 12 2 (1.4.41) αmin αmax a11 + a22 a11 − a22 a′22 = − cos2θ − a12 sin2θ θ x1 2 2 a′ = a O 33 33 Vì thμnh phần a không thay đổi ( a′ = a ) nên Hình 1.4.1. 33 33 33 ta chỉ xét hệ thống {a11,a12 ,a21,a22 } trong phép quay quanh trục x3 . Khi đó ta viết (1.4.41) d−ới dạng (1.4.8) T (aij′ ) = C(aij )C ; i, j = 1,2 (1.4.42) trong đó ⎛ a a ⎞ ⎛ cosθ sinθ ⎞ ⎜ 11 12 ⎟ ()aij = ⎜ ⎟ ; C = ⎜ ⎟ (1.4.43) ⎝a21 a22 ⎠ ⎝− sinθ cosθ ⎠ Nh− vậy, ta có thể xem hệ thống {a11 ,a12 ,a21 , a22 } nh− một “ten xơ hạng hai trong không gian hai chiều” khi hệ trục Ox1x2 quay quanh trục x3 . Bây giờ, ta xác định các giá trị chính vμ ph−ơng chính của ten xơ aij . Từ (1.4.40), ta thấy ten xơ aij có một giá trị chính lμ a33 vμ ph−ơng chính t−ơng ứng lμ ph−ơng x3 . Hai ph−ơng chính còn lại nằm trong mặt phẳng Ox1x2 . Ký hiệu α lμ góc giữa trục x1 với ph−ơng chính cần tìm vμ quy −ớc góc α lμ d−ơng khi quay ng−ợc chiều kim đồng hồ từ chiều d−ơng của trục x1 đến ph−ơng chính. Các ph−ơng chính lμ nghiệm của hệ ph−ơng trình 29
31. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên ⎛a11 − a a12 ⎞⎧cosα ⎫ ⎧0⎫ ⎜ ⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (1.4.44) ⎝ a21 a22 − a⎠⎩sinα ⎭ ⎩0⎭ Từ điều kiện tồn tại nghiệm không đồng thời bằng không của (1.4.44), ta nhận đ−ợc ph−ơng trình xác định các giá trị chính ⎛a11 − a a12 ⎞ det()aij − aδ ij = det⎜ ⎟ = 0 (1.4.45) ⎝ a21 a22 − a⎠ Theo (1.4.42), ph−ơng trình nμy bất biến đối với các phép quay trục tọa độ quanh trục x3 . Khai triển (1.4.45), ta đ−ợc 2 a − I1a + I 2 = 0 (1.4.46) với I1 , I2 lμ các bất biến khi quay hệ trục tọa độ quanh trục x3 I1 (aij )= a11 + a22 (1.4.47) ⎛ a11 a12 ⎞ 2 I 2 ()aij = det⎜ ⎟ = a11a22 − a12 ⎝a21 a22 ⎠ Giải ph−ơng trình (1.4.46) thu đ−ợc các giá trị chính trong mặt phẳng Ox1x2 2 a11 + a22 ⎛ a11 − a22 ⎞ 2 amax = + ⎜ ⎟ + a12 2 ⎝ 2 ⎠ (1.4.48) 2 a11 + a22 ⎛ a11 − a22 ⎞ 2 amin = − ⎜ ⎟ + a12 2 ⎝ 2 ⎠ Cùng với giá trị chính a33 , ta đã có ba giá trị chính của ten xơ aij . Việc đánh số thứ tự a1≥a2≥a3 ch−a thực hiện đ−ợc mμ phải dựa vμo các số liệu cụ thể. Gọi αmax , αmin lμ góc giữa ph−ơng có giá trị chính lớn nhất amax vμ ph−ơng có giá trị chính bé nhất amin với trục x1 (quy −ớc dấu d−ơng nh− hình 1.4.1) thì từ ⎛a − a a ⎞⎧cosα ⎫ ⎧0⎫ ⎜ 11 max,min 12 ⎟ max,min ⎜ ⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎝ a21 a22 − amax,min ⎠⎩sinα max,min ⎭ ⎩0⎭ ta đ−ợc − a12 − a12 tgα max = ; tgα min = (1.4.49) a22 − amax a22 − amin Sử dụng các bất biến (1.4.47), ta có 2 2 a12 a12 tgα max ìtgα min = = = −1 (1.4.50) ()()a22 − amax a22 − amin − a11a22 + amax amin 30
32. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên suy ra các ph−ơng nμy vuông góc với nhau. Cần l−u ý rằng, từ (1.4.41) ta cũng có thể xác định đ−ợc các ph−ơng chính 2a12 tg2α max,min = (1.4.51) a11 − a22 từ đó 1 ⎛ 2a ⎞ ⎜ 12 ⎟ 0 α max,min = arctg⎜ ⎟ + k.90 ; k = 0,1,2,K 2 ⎝ a11 − a22 ⎠ tức lμ hai ph−ơng chính vuông góc với nhau. Tuy nhiên, công thức (1.4.51) không chỉ ra cụ thể trong hai ph−ơng thì ph−ơng nμo lμ ph−ơng có giá trị chính lớn nhất, ph−ơng nμo lμ ph−ơng có giá trị chính bé nhất. Vì thμnh phần a22′ đ−ợc xác định qua bất biến thứ nhất của (1.4.47) nên từ (1.4.41) ta nhận đ−ợc công thức xác định các thμnh phần a11′ ; a12′ khi hệ trục Ox1x2 quay quanh trục x3 lμ a + a ⎧ 11 22 ⎫ ⎛ a11 − a22 ⎞ ⎧a11′ ⎫ a ⎧cos2θ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ 12 ⎟⎪ ⎪ = 2 + ⎜ 2 ⎟ (1.4.52) ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ a − a ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ a − 11 22 ⎟⎪ ⎪ ⎩a12′ ⎭ ⎜ 12 ⎟⎩sin 2θ ⎭ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ ⎝ 2 ⎠ Trong sức bền vật liệu, các thμnh phần ứng suất {σ x ,τ xy ,τ yx ,σ y } vμ biến dạng {ε x ,ε xy ,ε yx ,ε y } đóng vai trò nh− hệ thống {a11,a12 ,a21,a22 } trên đây. r Ví dụ 1.4.1: Tìm tích ten xơ của hai véc tơ b(1,2,3) vμ cr(4,5,6) sau đó thực hiện phép cuộn ten xơ để lấy tổng. Giải: Tích ten xơ của hai véc tơ (tích diat ⊗) lμ một ten xơ hạng hai với các thμnh phần aij lμ tích các thμnh phần của các véc tơ t−ơng ứng aij = bi c j nên ⎛ 4 5 6 ⎞ ⎜ ⎟ ()aij = ⎜ 8 10 12⎟ ⎜ ⎟ ⎝12 15 18⎠ Để lấy tổng, ta thực hiện việc đồng nhất hai chỉ số aii = a11 + a22 + a33 = 4 +10 +18 = 32 Ví dụ 1.4.2: Xác định ten xơ hạng hai đối xứng aij trong hệ trục mới khi mặt phẳng 0 Ox1x2 xoay quanh trục x3 một góc 60 ng−ợc chiều kim đồng hồ 31
33. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên ⎛4 2 3⎞ ⎜ ⎟ ()aij = ⎜2 5 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 1 7⎠ Giải: Theo (1.3.13), ta có ma trận các cô sin chỉ ph−ơng lμ ⎛ 1 2 3 2 0⎞ ⎛ 1 2 − 3 2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = ⎜− 3 2 1 2 0⎟ vμ C T = ⎜ 3 2 1 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠ ⎝ 0 0 1⎠ T Sử dụng (1.4.6) hay (1.4.8) ta có aij′ = cik c jl akl = C(aij )C từ đó thu đ−ợc các thμnh phần của ten xơ hạng hai đối xứng aij trong hệ tọa độ mới ⎛19 + 4 3 3 − 4 3 + 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 2 3 2 0⎞⎛4 2 3⎞⎛ 1 2 − 3 2 0⎞ ⎜ 4 4 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 3 − 4 17 − 4 3 1− 3 3 ⎟ ()aij′ = ⎜− 3 2 1 2 0⎟⎜2 5 1⎟⎜ 3 2 1 2 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 4 2 ⎜ 0 0 1⎟⎜3 1 7⎟⎜ 0 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ 3 + 3 1− 3 3 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ T Sử dụng (1.4.2), ta có thể thấy aij = cki clj akl′ = C (aij′ )C ⎛19 + 4 3 3 − 4 3 + 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 2 − 3 2 0⎞⎜ 4 4 2 ⎟⎛ 1 2 3 2 0⎞ ⎛4 2 3⎞ ⎜ ⎟⎜ 3 − 4 17 − 4 3 1− 3 3 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ()aij = ⎜ 3 2 1 2 0⎟⎜ ⎟⎜− 3 2 1 2 0⎟ = ⎜2 5 1⎟ ⎜ ⎟ 4 4 2 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1⎟⎜ ⎟⎜ 0 0 1⎟ ⎜3 1 7⎟ ⎝ ⎠⎜ 3 + 3 1− 3 3 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ 7 ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ Ví dụ 1.4.3: Xác định các thμnh phần của ten xơ aij khi hệ trục Ox1x2x3 ban đầu 0 quay quanh trục x3 một góc 45 ng−ợc chiều kim đồng hồ, sau đó quay quanh trục x1 mới một góc 300 ng−ợc chiều kim đồng hồ ⎛ − 8 6 − 2⎞ ⎜ ⎟ ()aij = ⎜ 6 4 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝− 2 2 − 5⎠ 0 Giải: Sau phép quay quanh trục x3 một góc 45 ng−ợc chiều kim đồng hồ, ta có ⎛ 2 2 2 2 0⎞⎛ − 8 6 − 2⎞⎛ 2 2 − 2 2 0⎞ ⎛4 6 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ()aij′ = ⎜− 2 2 2 2 0⎟⎜ 6 4 2⎟⎜ 2 2 2 2 0⎟ = ⎜6 − 8 2.2824⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠⎝− 2 2 − 5⎠⎝ 0 0 1⎠ ⎝0 2.2824 − 5 ⎠ 32
34. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Sau phép quay thứ hai, ta có ⎛1 0 0 ⎞⎛4 6 0 ⎞⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 4 5.1962 − 3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ()aij′′ = ⎜0 3 2 1 2 ⎟⎜6 −8 2.2824⎟⎜0 3 2 −1 2⎟ = ⎜5.1962 − 4.8005 2.7133 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 −1 2 3 2⎠⎝0 2.2824 − 5 ⎠⎝0 1 2 3 2⎠ ⎝ − 3 2.7133 −8.1995⎠ Nếu tìm tích của hai phép quay liên tiếp, ta đ−ợc ma trận côsin chỉ ph−ơng ⎛1 0 0 ⎞⎛ 1 2 1 2 0⎞ ⎛ 1 2 1 2 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = ⎜0 3 2 1 2 ⎟⎜−1 2 1 2 0⎟ = ⎜− 6 4 6 4 1/ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 −1 2 3 2⎠⎝ 0 0 1⎠ ⎝ 2 4 − 2 4 3 2⎠ từ đó thu đ−ợc cùng một kết quả ⎛ 1 2 1 2 0⎞⎛−8 6 −2⎞⎛1 2 − 6 4 2 4 ⎞ ⎛ 4 5.1962 −3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ()aij′′ = ⎜− 6 4 6 4 1/ 2⎟⎜ 6 4 2⎟⎜1 2 6 4 − 2 4⎟ = ⎜5.1962 −4.8005 2.7133 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 4 − 2 4 3 2⎠⎝−2 2 −5⎠⎝ 0 1/ 2 3 2 ⎠ ⎝ −3 2.7133 −8.1995⎠ Ví dụ 1.4.4: Tìm các giá trị chính vμ ph−ơng chính của ten xơ hạng hai đối xứng ⎛ 1 − 3 2 ⎞ ⎜ ⎟ ()aij = ⎜ − 3 1 − 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 2 4⎠ Giải: Theo (1.4.15), ta xác định đ−ợc các bất biến I1 = 1+1+ 4 = 6 2 2 I 2 = 1.1+1.4 + 4.1− ()− 3 − ()− 2 − ()2 = −4 2 2 2 I 3 = 1.1.4 + 2.()− 3 .()− 2 .()2 −1.()− 2 −1.()2 − 4.()− 3 = −24 Sử dụng các công thức (1.4.31) – (1.4.32), ta có 27(− 24) + 2(63 )− 9(6)(− 4) cos3ϑ = − = 0 3 2 {}6 2 − 3()− 4 suy ra ϑ = π 6 . Từ đó ta nhận đ−ợc các giá trị chính 1 2 2 ⎛ π π ⎞ a1 = 6 + 6 − 3()− 4 cos⎜ − ⎟ = 2 + 4 = 6 3 3 ⎝ 6 3 ⎠ 1 2 2 ⎛ π π ⎞ a2 = 6 + 6 − 3()− 4 cos⎜ + ⎟ = 2 + 0 = 2 3 3 ⎝ 6 3 ⎠ 1 2 2 ⎛ π ⎞ a3 = 6 − 6 − 3()− 4 cos⎜ ⎟ = 2 − 4 = −2 3 3 ⎝ 6 ⎠ 33
35. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Với a1=6, ph−ơng trình xác định ph−ơng chính (1.4.11) vμ (1.4.12) có dạng ⎛ ⎞ 1− 6 − 3 2 ⎧ν 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎧− 5ν − 3ν + 2ν = 0 ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 3 ⎜ ⎟ − 3 1− 6 − 2 ⎨ν 2 ⎬ = ⎨0⎬ ⎪− 3ν 1 − 5ν 2 − 2ν 3 = 0 ⎜ ⎟ suy ra ⎨ ⎜ 2 − 2 4 − 6 ⎟⎪ν ⎪ ⎪0⎪ ⎝ ⎠⎩ 3 ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ 2ν 1 − 2ν 2 − 2ν 3 = 0 2 2 2 ⎪ ν 2 +ν 2 +ν 2 =1 ν 1 +ν 2 +ν 3 = 1 ⎩ 1 2 3 Từ đó ta tìm đ−ợc các nghiệm ν 1 = ±1 2;ν 2 = m1 2;ν 3 = ± 2 2 , nh−ng vì ph−ơng νr(1 2,−1 2, 2 2) vμ ph−ơng νr(−1 2,1 2,− 2 2) lμ ng−ợc chiều nhau nên ta chỉ cần chọn một nghiệm νr(1 2,−1 2, 2 2) lμ đ−ợc. T−ơng tự, ph−ơng trình xác định ph−ơng chính ứng với a2=2 có dạng ⎛ ⎞ 1− 2 − 3 2 ⎧ν 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎧ −ν − 3ν + 2ν = 0 ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 3 ⎜ ⎟ − 3 1− 2 − 2 ⎨ν 2 ⎬ = ⎨0⎬ ⎪ − 3ν 1 −ν 2 − 2ν 3 = 0 ⎜ ⎟ suy ra ⎨ ⎜ 2 − 2 4 − 2⎟⎪ν ⎪ ⎪0⎪ ⎝ ⎠⎩ 3 ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ 2ν 1 − 2ν 2 + 2ν 3 = 0 2 2 2 ⎪ ν 2 +ν 2 +ν 2 = 1 ν 1 +ν 2 +ν 3 = 1 ⎩ 1 2 3 r có nghiệm ν 1 = m1 2;ν 2 = ±1 2;ν 3 = ± 2 2 vμ chọn ph−ơng ν (−1 2,1 2, 2 2). Ph−ơng trình xác định ph−ơng chính ứng với a3=-2 có dạng ⎛ ⎞ 1− (−2) − 3 2 ⎧ν 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎧ 3ν − 3ν + 2ν = 0 ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 3 ⎜ ⎟ − 3 1− (−2) − 2 ⎨ν 2 ⎬ = ⎨0⎬ ⎪− 3ν 1 + 3ν 2 − 2ν 3 = 0 ⎜ ⎟ suy ra ⎨ ⎜ 2 − 2 4 − (−2)⎟⎪ν ⎪ ⎪0⎪ ⎝ ⎠⎩ 3 ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ 2ν 1 − 2ν 2 + 6ν 3 = 0 2 2 2 ⎪ ν 2 +ν 2 +ν 2 = 1 ν 1 +ν 2 +ν 3 = 1 ⎩ 1 2 3 r có nghiệm ν 1 = ± 2 2;ν 2 = ± 2 2;ν 3 = 0 vμ chọn ph−ơng ν ( 2 2, 2 2,0). Từ đó ta đ−ợc ma trận các côsin chỉ ph−ơng của các ph−ơng chính có dạng vr ⎛ 1 2 −1 2 2 2⎞ ⎧ 1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎪r ⎪ C = ⎨v2 ⎬ = ⎜ −1 2 1 2 2 2⎟ ⎜ ⎟ ⎪vr ⎪ ⎜ 2 2 2 2 0 ⎟ ⎩ 3 ⎭ ⎝ ⎠ Khi đó trong hệ tọa độ gồm các trục chính, ten xơ aij có dạng ⎛6 0 0⎞ ⎜ ⎟ ()aij′ = ⎜0 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 − 2⎠ Có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách sử dụng (1.4.6) hay (1.4.8) nh− sau 34
36. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên ⎛ 1 2 −1 2 2 2⎞⎛ 1 − 3 2 ⎞⎛ 1 2 −1 2 2 2⎞ 6 0 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ T ⎜ ⎟ C()aij C = ⎜ −1 2 1 2 2 2⎟⎜ − 3 1 − 2 ⎟⎜ −1 2 1 2 2 2⎟ = ⎜0 2 0⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 2 2 0⎠⎝ 2 − 2 4⎠⎝ 2 2 2 2 0⎠ ⎝0 0 − 2⎠ vμ ⎛ 1 2 −1 2 2 2⎞ 6 0 0 ⎛ 1 2 −1 2 2 2⎞ ⎛ 1 − 3 2 ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ⎜ ⎟ C ()aij′ C = ⎜ −1 2 1 2 2 2⎟⎜0 2 0⎟⎜ −1 2 1 2 2 2⎟ = ⎜ − 3 1 − 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 2 2 0⎠⎝0 0 − 2⎠⎝ 2 2 2 2 0⎠ ⎝ 2 − 2 4⎠ Ví dụ 1.4.5: Tìm các giá trị chính vμ ph−ơng chính của ten xơ hạng hai đối xứng ⎛ 0 d d ⎞ ⎜ ⎟ ()aij = ⎜d 0 d ⎟ ⎜ ⎟ ⎝d d 0 ⎠ trong đó d>0 lμ một hằng số. Giải: Theo (1.4.15), ta xác định đ−ợc các bất biến 2 2 2 2 3 I1 = 0 + 0 + 0 = 0 ; I 2 = 0.0 + 0.0 + 0.0 − d − d − d = −3d ; I 3 = 0 + 2d.d.d − 0 − 0 − 0 = 2d Sử dụng các công thức (1.4.31) – (1.4.32), ta có 27 2d 3 + 2 03 − 9(0) − 3d 2 cos 3ϑ = − ( ) ( ) ( ) = −1 3 2 {}0 2 − 3()− 3d 2 suy ra ϑ = π 3. Từ đó ta nhận đ−ợc các giá trị chính 2 2 2 ⎛π π ⎞ a1 = 0 −3()−3d cos⎜ − ⎟ = 2d 3 ⎝ 3 3 ⎠ 2 2 2 ⎛π π ⎞ a2 = 0 −3()−3d cos⎜ + ⎟ = −d 3 ⎝ 3 3 ⎠ 2 π a = − 02 −3()−3d 2 cos = −d 3 3 3 Nh− vậy, ph−ơng trình đặc tr−ng có nghiệm đơn a1=2d vμ nghiệm kép a2,3=-d. Với a1=2d, ph−ơng trình xác định ph−ơng chính (1.4.11) vμ (1.4.12) có dạng ⎛− 2d d d ⎞⎧ν 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎧− 2dν 1 + dν 2 + dν 3 = 0 ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ d − 2d d ⎟⎨ν 2 ⎬ = ⎨0⎬ ⎪ dν 1 − 2dν 2 + dν 3 = 0 suy ra ⎨ ⎜ d d − 2d ⎟⎪ν ⎪ ⎪0⎪ dν + dν − 2dν = 0 ⎝ ⎠⎩ 3 ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ 1 2 3 2 2 2 ⎪ 2 2 2 ν 1 +ν 2 +ν 3 = 1 ⎩ ν 1 +ν 2 +ν 3 = 1 35
37. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên r có nghiệm ν1 = ±1 3 ;ν 2 = ±1 3 ;ν 3 = ±1 3 vμ chọn ν 1 (1 3 ,1 3 ,1 3). Với nghiệm kép a2,3=-d, ph−ơng trình (1.4.11) vμ (1.4.12) có dạng ⎛d d d ⎞⎧ν 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎧dν 1 + dν 2 + dν 3 = 0 ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜d d d ⎟⎨ν 2 ⎬ = ⎨0⎬ ⎪dν 1 + dν 2 + dν 3 = 0 suy ra ⎨ ⎜ d d d ⎟⎪ν ⎪ ⎪0⎪ dν + dν + dν = 0 ⎝ ⎠⎩ 3 ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ 1 2 3 2 2 2 ⎪ 2 2 2 ν 1 +ν 2 +ν 3 = 1 ⎩ ν 1 +ν 2 +ν 3 = 1 Các ph−ơng trình nμy có vô số nghiệm, mọi ph−ơng nằm trong mặt phẳng trực giao với ph−ơng thứ nhất (t−ơng ứng với a1=2d) đều lμ ph−ơng chính. Ta tiến hμnh chọn các ph−ơng chính nμy nh− sau: r - Tr−ớc hết, chọn một ph−ơng chính nμo đó vuông góc với ph−ơng ν 1 , ví dụ chọn r ph−ơng chính ν 2 (1 2 ,−1 2 ,0) ⎧ 1 2 ⎫ r r ⎛ 1 1 1 ⎞⎪ ⎪ ν 1.ν 2 = ⎜ ⎟⎨−1 2⎬ = 0 ⎝ 3 3 3 ⎠⎪ ⎪ ⎩ 0 ⎭ r r r - Sau đó, ta chọn véc tơ ν 3 lμ tích véc tơ của ν 1 vμ ν 2 theo hệ thức (1.3.6) r r r ⎛ e1 e2 e3 ⎞ r r r ⎜ ⎟ 1 r 1 r 2 r ν 3 =ν 1 ìν 2 = det⎜1 3 1 3 1 3 ⎟ = e1 + e2 − e3 ⎜ ⎟ 6 6 6 ⎝1 2 −1 2 0 ⎠ Ma trận các côsin chỉ ph−ơng của các ph−ơng chính có dạng vr ⎛1 3 1 3 1 3 ⎞ ⎧ 1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎪r ⎪ C = ⎨v2 ⎬ = ⎜1 2 −1 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎪vr ⎪ ⎜1 6 1 6 − 2 6 ⎟ ⎩ 3 ⎭ ⎝ ⎠ Khi đó trong hệ tọa độ gồm các trục chính, ten xơ aij có dạng ⎛2d 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ()aij′ = ⎜ 0 − d 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 − d ⎠ Có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách sử dụng (1.4.6) hay (1.4.8) nh− sau ⎛1 3 1 3 1 3 ⎞ 0 d d ⎛1 3 1 2 1 6 ⎞ 2d 0 0 ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ T ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C()aij C = ⎜1 2 −1 2 0 ⎟⎜d 0 d ⎟⎜1 3 −1 2 1 6 ⎟ = ⎜ 0 − d 0 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 6 1 6 − 2 6 ⎠⎝d d 0 ⎠⎝1 3 0 − 2 6 ⎠ ⎝ 0 0 − d ⎠ 36
38. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên vμ ⎛1 3 1 2 1 6 ⎞ 2d 0 0 ⎛1 3 1 3 1 3 ⎞ 0 d d ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ T ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C ()aij′ C = ⎜1 3 −1 2 1 6 ⎟⎜ 0 − d 0 ⎟⎜1 2 −1 2 0 ⎟ = ⎜d 0 d ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 3 0 − 2 6 ⎠⎝ 0 0 − d ⎠⎝1 6 1 6 − 2 6 ⎠ ⎝d d 0 ⎠ Ví dụ 1.4.6: Xác định các giá trị chính vμ ph−ơng chính của ten xơ hạng hai ⎛4 3 0⎞ ⎜ ⎟ ()aij = ⎜3 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 6⎠ Giải: Ten xơ aij có một giá trị chính a=6. Sử dụng công thức (1.4.48), ta có 2 2 4 + 2 ⎛ 4 − 2 ⎞ 2 4 + 2 ⎛ 4 − 2 ⎞ 2 amax = + ⎜ ⎟ + 3 = 3 + 10 ; amin = − ⎜ ⎟ + 3 = 3 − 10 2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ Do đó các giá trị chính của ten xơ aij lμ a1 = 3 + 10;a2 = 6;a3 = 3 − 10 . r Ph−ơng chính t−ơng ứng với giá trị chính a2=6 lμ ν (0 0 1), hai ph−ơng chính còn lại xác định theo công thức (1.4.49) − 3 0 − 3 0 tgα max = = tg(35.7825 ); tgα min = = tg()− 54.2175 2 − ()3 + 10 2 − ()3 − 10 0 0 suy ra α max = 35.7825 ; α min = −54.2175 . Từ đó ta nhận đ−ợc ph−ơng chính αmax lμ r r ν ()0.8112 0.5847 0 vμ ph−ơng chính αmin lμ ν (0.5847 − 0.8112 0). Ma trận các côsin chỉ ph−ơng chính có dạng r ⎧v1 ⎫ ⎛0.8112 0.5847 0⎞ ⎪r ⎪ ⎜ ⎟ C = ⎨v2 ⎬ = ⎜ 0 0 1⎟ ⎪r ⎪ ⎜ ⎟ ⎩v3 ⎭ ⎝0.5847 − 0.8112 0⎠ Trong hệ tọa độ các trục chính, ten xơ aij có dạng ⎛3+ 10 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ()aij′ = ⎜ 0 6 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 3− 10⎠ 37
39. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Ch−ơng 2 trạng thái biến dạng Để tránh nhầm lẫn giữa điểm của môi tr−ờng liên tục vμ điểm của không gian do môi tr−ờng liên tục chiếm chỗ, ta dùng khái niệm “điểm” để chỉ vị trí trong không gian cố định, còn khái niệm “phần tử” hay “hạt” để chỉ vật chất chứa trong thể tích vô cùng bé của môi tr−ờng liên tục (chất điểm). 2.1. nghiên cứu chuyển động theo Lagrange vμ Euler Tại thời điểm t bất kỳ, môi tr−ờng liên tục chiếm một miền nμo đấy trong không gian. Nếu trong một hệ tọa độ xác định, ta chỉ ra sự t−ơng ứng giữa các phần tử của môi tr−ờng liên tục với các điểm của không gian do chúng chiếm chỗ tại thời điểm t, thì ta nói rằng tại thời điểm đó ta đã biết hình thái (hay cấu hình) của môi tr−ờng liên tục. 2.1.1. Hệ tọa độ đồng hμnh vμ hệ tọa độ quy chiếu quán tính Để cho thuận tiện, ta đặt hình thái ban đầu vμ hình thái đang xét vμo hai hệ trục tọa độ khác nhau: - Tại hình thái ban đầu, ta chọn hệ tọa độ OX1X2X3 gắn chặt với môi tr−ờng gọi lμ hệ tọa độ đồng hμnh. Khi đó, phần tử môi tr−ờng chiếm điểm M0 có bán kính véc r tơ X lμ r r r r r X = X 1E1 + X 2 E2 + X 3 E3 = X i Ei (2.1.1) Các đại l−ợng (X1 , X2 , X3) gọi lμ tọa độ vật chất, chúng xác định tọa độ của từng chất điểm riêng của môi tr−ờng. Tất cả các phần tử của môi tr−ờng liên tục luôn đứng yên đối với hệ tọa độ đồng hμnh di động vì các tọa độ Xi không thay đổi nh−ng bản thân hệ tọa độ thì chuyển động, giãn ra co lại vμ bị uốn cong, Khái niệm hệ tọa độ đồng hμnh lμ sự mở rộng khái niệm hệ tọa độ riêng của vật rắn trong cơ học lý thuyết. - Tại hình thái sau, ta chọn hệ tọa độ ox1x2x3 gắn chặt với trái đất, toa tμu, gọi lμ hệ tọa độ quy chiếu. Khi đó, môi tr−ờng chiếm miền nμo đấy của không gian, r phần tử M0 lúc đầu sẽ chiếm vị trí M có bán kính véc tơ x lμ r r r r r x = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xi ei (2.1.2) Các đại l−ợng (x1 , x2 , x3) gọi lμ tọa độ không gian, chúng xác định vị trí tức thời của phần tử. Hệ quy chiếu, trong đó chuyển động tự do của các môi tr−ờng (lμ 38
40. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên chuyển động của các vật hay môi tr−ờng không chịu tác động của lực ngoμi) xảy ra với vận tốc không đổi, đ−ợc gọi lμ hệ quy chiếu quán tính. Nếu hai hệ chuyển động thẳng đều với nhau, trong đó một hệ lμ hệ quy chiếu quán tính, thì hệ kia cũng lμ hệ quy chiếu quán tính. Do đó mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính cũng lμ hệ quy chiếu quán tính. Tất cả các định luật Newton trong cơ học th−ờng đ−ợc phát biểu trong các hệ quy chiếu quán tính vμ không phụ thuộc vμo việc chọn hệ quy chiếu quán tính. Khi nghiên cứu chuyển động của môi tr−ờng liên tục, ta luôn hiểu rằng tồn tại hệ quy chiếu quán tính của ng−ời quan sát vμ hệ tọa độ đồng hμnh gắn chặt vμo môi tr−ờng liên tục. 2.1.2. Chuyển vị Chuyển vị lμ sự thay đổi vị trí của phần tử vật chất trong không gian. Véc tơ r r M 0 M = u = ui ei (2.1.3) gọi lμ véc tơ chuyển vị của phần tử M0 (hình 2.1.1) vμ r r r t=0 t=t0 u = x − X − oO (2.1.4) x 2 D−ới đây, để cho đơn giản, ta giả thiết hệ X2 r r M0 u X M tọa độ vật chất vμ hệ tọa độ không gian có O thể đặt trùng lên nhau (cùng gốc, cùng X3 ph−ơng vμ cùng chiều), do đó X 1 xr r ur = xr − X (2.1.5.a) o x1 hay lμ x3 ui = xi − X i (2.1.5.b) Hình 2.1.1. Nếu môi tr−ờng chuyển động, thì các phần tử của môi tr−ờng sẽ chuyển động theo các đ−ờng khác nhau trong không gian đ−ợc gọi lμ quỹ đạo chuyển động. Quy luật chuyển động của phần tử vật chất bất kỳ (X1 , X2 , X3) có dạng x1 = x1 (X 1 , X 2 , X 3 ,t) ; x2 = x2 (X 1 , X 2 , X 3 ,t) ; x3 = x3 (X 1 , X 2 , X 3 ,t) (2.1.6.a) hay lμ xi = xi (X 1, X 2 , X 3 ,t); i = 1,2,3 (2.1.6.b) Tọa độ x1 , x2 , x3 xác định vị trí tại thời điểm t của phần tử t−ơng ứng với điểm X1 , X2 , X3 tại thời điểm ban đầu. Bμi toán cơ bản của cơ học môi tr−ờng liên tục lμ xác định các hμm số trong (2.1.6). 39
41. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên 2.1.3. Biến Lagrange Hệ thức (2.1.6) xác định sự t−ơng ứng giữa các phần tử của hình thái ban đầu vμ vị trí của chúng ở hình thái tiếp theo. Cách mô tả chuyển động của môi tr−ờng liên tục nh− vậy gọi lμ cách mô tả chuyển động theo quan điểm Lagrange. Các tọa độ vật chất X1 , X2 , X3 đặc tr−ng cho từng phần tử riêng của môi tr−ờng vμ thời gian t đ−ợc gọi lμ các biến Lagrange: - Nếu X1 , X2 , X3 cố định, t thay đổi, hệ thức (2.1.6) cho quy luật chuyển động của một phần tử vật chất xác định. - Nếu X1 , X2 , X3 thay đổi, còn t cố định, hệ thức (2.1.6) thể hiện sự phân bố các phần tử môi tr−ờng tại thời điểm đó. - Nếu X1 , X2 , X3 vμ t thay đổi, hệ thức (2.1.6) xác định quy luật chuyển động của môi tr−ờng. Tóm lại, mô tả chuyển động theo Lagrange dựa trên lịch sử chuyển động của từng phần tử riêng biệt thuộc môi tr−ờng liên tục. 2.1.4. Biến Euler Giả thiết các hμm trong (2.1.6) liên tục vμ có các đạo hμm riêng liên tục. Tại mỗi thời điểm t cố định (t=const), các hμm xi = xi (X 1 , X 2 , X 3 ,t) lμ các hμm đơn trị, khi đó định thức của ma trận Jacobian ⎛ ∂x ∂x ∂x ⎞ ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ⎟ ⎛ ∂x ⎞ ⎜ ∂x ∂x ∂x ⎟ J = ⎜ i ⎟ = 2 2 2 (2.1.7) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂X j ⎠ ⎜ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ⎟ ⎜ ∂x3 ∂x3 ∂x3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3 ⎠ phải khác không ( det()J ≠ 0 ) vμ từ (2.1.6) ta có thể giải ng−ợc lại X i = X i (x1, x2 , x3 ,t); i =1,2,3 (2.1.8) lμ các hμm liên tục đơn trị. Bây giờ ta không quan tâm đến lịch sử chuyển động của từng phần tử riêng biệt mμ muốn xem xét: - Cái gì sẽ xảy ra tại một điểm không gian cho tr−ớc gắn liền với hệ tọa độ cố định (hệ quy chiếu) tại các thời điểm khác nhau ? - Tại điểm không gian đó, các phần tử khác nhau của môi tr−ờng đi qua nh− thế nμo ? 40
42. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Cách mô tả chuyển động của môi tr−ờng liên tục nh− vậy gọi lμ cách mô tả chuyển động theo quan điểm Euler. Các tọa độ không gian x1 , x2 , x3 xác định vị trí tức thời của phần tử vật chất thuộc môi tr−ờng vμ thời gian t đ−ợc gọi lμ các biến Euler. Sự khác nhau giữa hai quan điểm Lagrange vμ Euler thể hiện ở chỗ: - Theo quan điểm Lagrange, ta quan tâm đến quy luật thay đổi của các đại l−ợng đặc tr−ng đối với phần tử cho tr−ớc của môi tr−ờng vμ sử dụng các biến lμ các tọa độ vật chất X1 , X2 , X3 vμ t. Trong thực tế sự mô tả nh− vậy th−ờng rất chi tiết vμ phức tạp nh−ng nó luôn luôn đ−ợc thể hiện khi thiết lập các định luật vật lý. - Theo quan điểm Euler, ta quan tâm đến quy luật thay đổi các đại l−ợng nμy tại một nơi cho tr−ớc của không gian vμ sử dụng các biến lμ các tọa độ không gian x1 , x2 , x3 vμ t. Nếu cố định x1 , x2 , x3 thì (2.1.8) chỉ ra những phần tử vật chất X1 , X2 , X3 của môi tr−ờng đi qua điểm không gian cho tr−ớc tại các thời điểm t khác nhau. Quan điểm Euler thích hợp với việc nghiên cứu các dòng chảy vμ th−ờng đ−ợc dùng trong thực tế. Ví dụ, chuyển động của n−ớc trong dòng sông có thể nghiên cứu hoặc bằng cách theo dõi chuyển động của mỗi hạt n−ớc từ th−ợng nguồn đến cửa sông (quan điểm Lagrange), hoặc bằng cách quan sát sự thay đổi của dòng n−ớc tại những chỗ nhất định của con sông (quan điểm Euler) mμ không cần theo dõi chuyển động của từng hạt n−ớc riêng lẻ suốt dọc con sông. 2.1.5. Vận tốc, gia tốc chuyển động Chuyển động vμ sự chảy dùng để mô tả sự thay đổi tức thời hoặc liên tục của hình thái của môi tr−ờng liên tục. Có thể mô tả chuyển động của môi tr−ờng liên tục theo biến Lagrange nh− (2.1.6) hay theo biến Euler nh− (2.1.8). L−ợng thay đổi theo thời gian của các đại l−ợng đặc tr−ng nμo đó cho từng phần tử riêng biệt thuộc môi tr−ờng chuyển động gọi lμ đạo hμm vật chất (hay đạo hμm toμn phần) theo thời gian của đại l−ợng đó. Đạo hμm vật chất thể hiện l−ợng thay đổi của đại l−ợng đang xét đ−ợc xác định bởi ng−ời quan sát cùng chuyển động với phần tử môi tr−ờng. Vận tốc chuyển động tức thời lμ đạo hμm vật chất theo thời gian của vị trí phần tử xi r dxi r dx r vi = = x&i hay v = = x& (2.1.9) dt dt Sử dụng (2.1.5), tr−ờng vận tốc (2.1.9) có thể xác định qua tr−ờng chuyển vị dx d(u + X ) du dur v = i = i i = i hay vr = (2.1.10) i dt dt dt dt 41
43. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên vì khi các phần tử vật chất chuyển động thì các tọa độ vật chất Xi không phụ thuộc r vμo thời gian t. Theo Lagrange, ui = ui (X ,t) nên r r r du (X ,t) ∂u (X ,t) ∂ur X ,t v = i = i hay vr = ( ) (2.1.11) i dt ∂t ∂t r Theo Euler, ui = ui (x,t) trong đó các tọa độ xi cũng thay đổi theo thời gian t nên theo quy tắc đạo hμm của hμm hợp r r r dui (x,t) ∂ui (x,t) ∂ui (x,t) r vi = = + vk ()x,t (2.1.12) dt ∂t ∂xk hay lμ dur(xr,t) ∂ur(xr,t) vr()xr,t = = + vr()xr,t .∇ur ()xr,t dt ∂t với toán tử nabla∇ có dạng (1.2.1). Cần l−u ý rằng công thức vận tốc (2.1.12) cho d−ới dạng không hiển vì ở vế phải cũng có giá trị nμy. Toán tử vi phân d(L) ∂(L) ∂(L) r = + vk ()x,t (2.1.13) dt ∂t ∂xk đ−ợc gọi lμ toán tử đạo hμm vật chất. Bây giờ, ta mở rộng cho đại l−ợng bất kỳ đặc tr−ng cho tính chất của môi tr−ờng, chẳng hạn đại l−ợng aij có thể lμ vô h−ớng, véc tơ hay ten xơ. Theo quan điểm r Lagrange aij = aij (X ,t) nên đạo hμm vật chất theo thời gian lμ r da ∂a (X ,t) ij = ij (2.1.14) dt ∂t r Theo quan điểm Euler aij = aij (x,t) nên đạo hμm vật chất theo thời gian lμ r r r r daij ∂aij (x,t) ∂aij (x,t) dxk ∂aij (x,t) ∂aij ()x,t = + = + vk (2.1.15) dt ∂t ∂xk dt ∂t ∂xk trong đó: - Số hạng thứ nhất đặc tr−ng tốc độ thay đổi của đại l−ợng aij tại điểm không gian cố định. - Số hạng thứ hai gọi lμ tốc độ kéo theo do chuyển động của các phần tử trong tr−ờng thay đổi của đại l−ợng đã cho. Đ−ờng dòng của tr−ờng vận tốc tại thời điểm nμo đấy lμ đ−ờng cong mμ tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với h−ớng vận tốc tại điểm đó. Nếu tr−ờng vận tốc không 42
44. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên phụ thuộc vμo thời gian ∂vi ∂t = 0 thì chuyển động của môi tr−ờng đ−ợc gọi lμ dừng. Trong chuyển động dừng, quỹ đạo vμ đ−ờng dòng trùng nhau. Gia tốc chuyển động lμ đạo hμm vật chất theo thời gian của vận tốc chuyển động. Theo Lagrange, ta có r r r r dv (X ,t) ∂v (X ,t) dvr X ,t ∂vr X ,t w = i = i hay wr = ( ) = ( ) (2.1.16) i dt ∂t dt ∂t Theo Euler, ta có r r r r dvi (x,t) ∂vi (x,t) ∂vi (x,t) r wi ()x,t = = + vk ()x,t (2.1.17) dt ∂t ∂xk hay lμ ∂vr(xr,t) wr()xr,t = + vr()()xr,t .∇vr xr,t ∂t Ví dụ 2.1.1: Cho ph−ơng trình chuyển động của môi tr−ờng liên tục t t t −t x1 = X 1e + X 3 (e −1); x2 = X 2 + X 3 (e − e ); x3 = X 3 Tìm các chuyển vị, vận tốc, gia tốc theo biến Lagrange vμ theo biến Euler. r Giải: Theo biến Lagrange: Từ (2.1.5), chuyển vị u(u1,u2 ,u3 ) lμ t t t −t u1 = x1 − X 1 = X 1 (e −1)+ X 3 (e −1); u2 = x2 − X 2 = X 3 (e − e ); u3 = x3 − X 3 = 0 r Theo (2.1.11) ta xác định đ−ợc vận tốc v(v1 ,v2 ,v3 ) ∂u ∂u ∂u v = 1 = ()X + X et ; v = 2 = X ()et + e −t ; v = 3 = 0 1 ∂t 1 3 2 ∂t 3 3 ∂t r vμ gia tốc w(w1 , w2 , w3 ) xác định theo (2.1.16) ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u w = 1 = ()X + X et ; w = 2 = X ()et − e −t ; w = 3 = 0 1 ∂t 2 1 3 2 ∂t 2 3 3 ∂t 2 Theo biến Euler: Định thức của ma trận Jacobian (2.1.7) lμ ⎛et 0 et −1 ⎞ ⎜ ⎟ det()J = det⎜ 0 1 et − e−t ⎟ = et ≠ 0 ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 ⎠ nên ta tìm đ−ợc các hμm ng−ợc −t −t t −t X 1 = x1e + x3 (e −1); X 2 = x2 − x3 (e − e ); X 3 = x3 43
45. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên r từ đó theo (2.1.5), chuyển vị u(u1 ,u2 ,u3 ) lμ −t −t t −t u1 = x1 − X 1 = x1 (1− e )+ x3 (1− e ); u2 = x2 − X 2 = x3 (e − e ); u3 = x3 − X 3 = 0 Vận tốc chuyển động lμ đạo hμm vật chất của chuyển vị theo (2.1.12) −t −t −t −t v1 = x1e + x3e + (1− e )v1 + 0.v2 + (1− e )v3 t −t t −t v2 = ()e + e x3 + 0.v1 + 0.v2 + ()e − e v3 v3 = 0 r Giải hệ ba ph−ơng trình nμy, ta đ−ợc vận tốc v(v1 ,v2 ,v3 ) t −t v1 = x1 + x3 ; v2 = x3 (e + e ); v3 = 0 r Gia tốc chuyển động w(w1 , w2 , w3 ) xác định theo (2.1.17) t −t t −t t −t w1 = 1.v1 + 0.v2 +1.v3 = x1 + x3 ; w2 = x3 (e − e )+ 0.v1 + 0.v2 + (e − e ).v3 = x3 (e − e ); w3 = 0 2.2. Ten xơ biến dạng trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Biến dạng lμ sự thay đổi hình dạng của môi tr−ờng từ hình thái ban đầu nμo đấy (ch−a biến dạng) đến hình thái tiếp theo (biến dạng). Khi nghiên cứu biến dạng của môi tr−ờng ta không cần l−u ý đến các hình thái trung gian, nh−ng khi nghiên cứu sự chảy (trạng thái chuyển động liên tục của môi tr−ờng), ta phải chú ý đến quá trình thay đổi hình thái. 2.2.1. Độ đo biến dạng. Biến dạng dμi t−ơng đối Ký hiệu P0 lμ một phần tử lân cận của phần t=t0 P t=0 r r tử M0 , khi biến dạng phần tử P0 chiếm vị trí P X , x u + du 2 2 dur (hình 2.2.1). Bình ph−ơng khoảng cách vô dxr P0 cùng bé M P bằng r r 0 0 r r dX u M r r X + dX r r r ∂X ∂X X ds 2 = dX.dX = . dX dX (2.2.1) r M0 xr 0 i j X ∂X i ∂X j O vμ trong hình thái biến dạng, bình ph−ơng X1 , x1 khoảng cách MP bằng X3 , x3 r r 2 r r ∂x ∂x Hình 2.2.1. ds = dx.dx = . dxi dx j (2.2.2) ∂xi ∂x j 2 2 Hiệu số ds − ds0 xác định độ đo biến dạng của lân cận phần tử M0 thuộc môi tr−ờng liên tục từ hình thái ban đầu đến hình thái biến dạng tiếp sau 44
46. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên r r r r 2 2 r r r r ∂x ∂x ∂X ∂X ds − ds0 = dx.dx − dX.dX = . dxi dx j − . dX k dX l (2.2.3) ∂xi ∂x j ∂X k ∂X l Vì rằng r r r r r ∂x ∂x r ∂X ∂X dx = dxi = dX k ; dX = dX k = dxi ∂xi ∂X k ∂X k ∂xi nên ta có thể viết (2.2.3) d−ới dạng r r ⎛ ∂xr ∂xr ∂X ∂X ⎞ ds 2 ds 2 ⎜ . . ⎟dX dX (2.2.4) − 0 = ⎜ − ⎟ k l ⎝ ∂X k ∂X l ∂X k ∂X l ⎠ vμ r r ⎛ ∂xr ∂xr ∂X ∂X ⎞ ds 2 − ds 2 = ⎜ . − . ⎟dx dx (2.2.5) 0 ⎜ ⎟ i j ⎝ ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ⎠ Đại l−ợng ds − ds0 ds εν = = −1 (2.2.6) ds0 ds0 đ−ợc gọi lμ biến dạng dμi t−ơng đối của đoạn vật chất theo ph−ơng νr . Khi đó 2 ⎛ ds ⎞ 2 ⎜ ⎟ ()1+ εν = ⎜ ⎟ ⎝ ds0 ⎠ hay lμ 2 2 2 ds − ds0 2εν + εν = 2 (2.2.7) ds0 2 2 Bây giờ, ta xác định biểu thức của ds − ds0 theo các biến Lagrange vμ Euler khi các hệ trục tọa độ OX1X2X3 vμ ox1x2x3 lμ các hệ trục Descartes vuông góc đặt trùng đ−ợc r lên nhau (cùng gốc, cùng ph−ơng vμ cùng chiều). Khi đó ur = xr − X vμ từ (2.1.5), ta có r r ∂xr ∂ur ∂X ∂X ∂xr ∂ur = + ; = − (2.2.8) ∂X k ∂X k ∂X k ∂xi ∂xi ∂xi 2.2.2. Ten xơ biến dạng hữu hạn Green Thay (2.2.8) vμo (2.2.4) ta có r r ⎛ ∂ur ∂ur ∂ur ∂X ∂ur ∂X ⎞ ds 2 − ds 2 = ⎜ . + . + . ⎟dX dX (2.2.9) 0 ⎜ ⎟ k l ⎝ ∂X k ∂X l ∂X k ∂X l ∂X l ∂X k ⎠ 45
47. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Các hệ thức (2.2.4) vμ (2.2.9) cho ta ⎛ ∂x ∂x ⎞ ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ 2 2 ⎜ i i ⎟ ⎜ k l i i ⎟ ds − ds0 = ⎜ . −δ kl ⎟dX k dX l = ⎜ + + . ⎟dX k dX l = 2Gkl dX k dX l (2.2.10) ⎝ ∂X k ∂X l ⎠ ⎝ ∂X l ∂X k ∂X k ∂X l ⎠ ∂xi ∂ui với ; lμ građiên vật chất của biến dạng, chuyển vị vμ Gkl lμ ∂X k ∂X k 1 ⎛ ∂x ∂x ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜ i i ⎟ ⎜ k l i i ⎟ (2.2.11) Gkl = Glk = ⎜ . −δ kl ⎟ = ⎜ + + . ⎟ 2 ⎝ ∂X k ∂X l ⎠ 2 ⎝ ∂X l ∂X k ∂X k ∂X l ⎠ 2 2 Do dXk , dXj lμ thμnh phần của hai véc tơ tùy ý vμ ds − ds0 lμ bất biến khi quay trục tọa độ nên dựa vμo dấu hiệu ng−ợc của ten xơ (1.4.10), từ (2.2.10) ta suy ra hệ thống Gkl lμ một ten xơ hạng hai đối xứng đ−ợc gọi lμ ten xơ biến dạng hữu hạn Green (theo biến Lagrange). Khai triển (2.2.11) theo chỉ số 2 2 2 ∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ G = 1 + ⎢⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎥ 11 ∂X 2 ⎜ ∂X ⎟ ⎜ ∂X ⎟ ⎜ ∂X ⎟ 1 ⎣⎢⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎦⎥ 2 2 2 ∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ G = 2 + ⎢⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎥ 22 ∂X 2 ⎜ ∂X ⎟ ⎜ ∂X ⎟ ⎜ ∂X ⎟ 2 ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 2 2 ∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ G = 3 + ⎢⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎥ 33 ∂X 2 ⎜ ∂X ⎟ ⎜ ∂X ⎟ ⎜ ∂X ⎟ 3 ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ (2.2.12) 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 1 1 2 2 3 3 ⎟ G12 = ⎜ + ⎟ + ⎜ + + ⎟ 2 ⎝ ∂X 2 ∂X 1 ⎠ 2 ⎝ ∂X 1 ∂X 2 ∂X 1 ∂X 2 ∂X 1 ∂X 2 ⎠ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜ 2 3 ⎟ ⎜ 1 1 2 2 3 3 ⎟ G23 = ⎜ + ⎟ + ⎜ + + ⎟ 2 ⎝ ∂X 3 ∂X 2 ⎠ 2 ⎝ ∂X 2 ∂X 3 ∂X 2 ∂X 3 ∂X 2 ∂X 3 ⎠ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜ 3 1 ⎟ ⎜ 1 1 2 2 3 3 ⎟ G31 = ⎜ + ⎟ + ⎜ + + ⎟ 2 ⎝ ∂X 1 ∂X 3 ⎠ 2 ⎝ ∂X 1 ∂X 3 ∂X 1 ∂X 3 ∂X 1 ∂X 3 ⎠ Để thấy rõ ý nghĩa vật lý của các thμnh phần của ten xơ biến dạng hữu hạn Green, ta xét tr−ờng hợp riêng khi ph−ơng của đoạn thẳng phân tố ds nằm theo trục tọa độ X1 . Khi đó ds = dX 1 ;dX 2 = dX 3 = 0 vμ theo (2.2.7), biến dạng dμi t−ơng đối ε11 theo ph−ơng trục X1 có dạng 2 2 2 ds − ds0 2ε11 + ε11 = 2 = 2G11 ds0 Ph−ơng trình bậc hai nμy có nghiệm d−ơng ε11 = 1+ 2G11 −1 (2.2.13.a) 46
48. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên T−ơng tự, ta có biến dạng dμi t−ơng đối theo ph−ơng các trục tọa độ X2 , X3 ε 22 = 1+ 2G22 −1; ε 33 = 1+ 2G33 −1 (2.2.13.b) Tiếp đến, ta xét sự thay đổi góc giữa hai phần tử dX1 , dX2 tại thời điểm ban đầu nằm trên các trục tọa độ OX1 vμ OX2 . Góc ϕ12 giữa hai phần tử dx1 , dx2 tại hình thái biến dạng lμ tích vô h−ớng r r dx1.dx2 = dx1dx2 cosϕ12 = (1+ ε11 )dX 1 (1+ ε 22 )dX 2 cosϕ12 Sử dụng công thức (2.2.4), (2.2.11) vμ (2.2.13), ta có r r dx1.dx2 2G12 cosϕ12 = = dx1dx2 1+ 2G11 1+ 2G22 Đặt 1 1 ⎛ π ⎞ ε12 = γ 12 = ⎜ −ϕ12 ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ lμ một nửa biến dạng góc trong các mặt phẳng OX1X2 , suy ra 1 2G12 ε12 = arcsin (2.2.14.a) 2 ()()1+ 2G11 1+ 2G22 T−ơng tự, ta có biến dạng góc ε23 , ε31 trong các mặt phẳng OX2X3 , OX3X1 1 2G23 1 2G31 ε 23 = arcsin ; ε 31 = arcsin (2.2.14.b) 2 ()()1+ 2G22 1+ 2G33 2 ()()1+ 2G33 1+ 2G11 Vậy các thμnh phần trên đ−ờng chéo của ten xơ biến dạng hữu hạn Green xác định các biến dạng dμi theo ph−ơng trục tọa độ vμ các thμnh phần còn lại xác định các biến dạng góc trong các mặt phẳng tọa độ. Sáu thμnh phần biến dạng nμy mô tả đầy đủ trạng thái biến dạng tại một điểm. Thay (2.2.10) vμo (2.2.6), ta xác định đ−ợc độ dãn dμi t−ơng đối εν của phần tử vật r chất theo ph−ơng ν ()ν 1 ,ν 2 ,ν 3 bất kỳ trong không gian 2 2 ds − ds0 ds − ds0 2Gij dX i dX j εν = = 2 +1 −1 = 1+ 2 −1 = 1+ 2Gijν iν j −1 (2.2.15) ds0 ds0 ds0 dX i vì rằng ν i = . Tr−ờng hợp riêng, khi phần tử vật chất theo ph−ơng các trục tọa ds0 độ, hệ thức (2.2.15) dẫn về hệ thức (2.2.13). 2.2.3. Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi 47
49. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Thay (2.2.8) vμo (2.2.5) thu đuợc ⎛ ∂ur ∂xr ∂ur ∂xr ∂ur ∂ur ⎞ ds 2 − ds 2 = ⎜ . + . − . ⎟dx dx (2.2.16) 0 ⎜ ⎟ i j ⎝ ∂xi ∂x j ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j ⎠ Các hệ thức (2.2.5) vμ (2.2.16) dẫn đến ⎛ ∂X ∂X ⎞ ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ds 2 − ds 2 = ⎜δ − k . k ⎟dx dx = ⎜ i + j − k . k ⎟dx dx = 2A dx dx (2.2.17) 0 ⎜ ij ⎟ i j ⎜ ⎟ i j ij i j ⎝ ∂xi ∂x j ⎠ ⎝ ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j ⎠ ∂X k ∂uk với ; gọi lμ građiên không gian của biến dạng, chuyển vị vμ Aij lμ ∂xi ∂xi 1 ⎛ ∂X ∂X ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ A = A = ⎜δ − k . k ⎟ = ⎜ i + j − k . k ⎟ (2.2.18) ij ji ⎜ ij ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂xi ∂x j ⎠ 2 ⎝ ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j ⎠ 2 2 Do dxk , dxj lμ thμnh phần của hai véc tơ tùy ý vμ ds − ds0 lμ bất biến khi quay trục tọa độ nên dựa vμo dấu hiệu ng−ợc của ten xơ (1.4.10), từ (2.2.17) ta suy ra hệ thống Aij lμ một ten xơ hạng hai đối xứng đ−ợc gọi lμ ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi (theo biến Euler). Khai triển (2.2.18) theo chỉ số 2 2 2 ∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ A = 1 − ⎢⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎥ 11 ∂x 2 ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ 1 ⎣⎢⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎦⎥ 2 2 2 ∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ A = 2 − ⎢⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎥ 22 ∂x 2 ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ 2 ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 2 2 ∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ A = 3 − ⎢⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎥ 33 ∂x 2 ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ 3 ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ (2.2.19) 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 1 1 2 2 3 3 ⎟ A12 = ⎜ + ⎟ − ⎜ + + ⎟ 2 ⎝ ∂x2 ∂x1 ⎠ 2 ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ⎠ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜ 2 3 ⎟ ⎜ 1 1 2 2 3 3 ⎟ A23 = ⎜ + ⎟ − ⎜ + + ⎟ 2 ⎝ ∂x3 ∂x2 ⎠ 2 ⎝ ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ⎠ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 1 1 2 2 3 3 ⎟ A31 = ⎜ + ⎟ − ⎜ + + ⎟ 2 ⎝ ∂x3 ∂x1 ⎠ 2 ⎝ ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ⎠ T−ơng tự với ten xơ biến dạng hữu hạn Green, ta cũng có thể chứng minh rằng các thμnh phần trên đ−ờng chéo của ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi xác định các biến dạng dμi theo ph−ơng trục tọa độ vμ các thμnh phần còn lại xác định các biến dạng góc trong các mặt phẳng tọa độ. 48
50. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Các thμnh phần của ten xơ biến dạng Green hay ten xơ biến dạng Almansi bao gồm hai thμnh phần: một thμnh phần lμ tuyến tính vμ một thμnh phần chứa các số hạng phi tuyến của đạo hμm bậc nhất các chuyển vị. Nói cách khác, ten xơ biến dạng hữu hạn có thể phân ra thμnh tổng của hai ten xơ: một ten xơ biến dạng tuyến tính vμ một ten xơ biến dạng phi tuyến thực sự. 2.2.4. Ten xơ biến dạng bé Cauchy Khi građiên của chuyển vị lμ bé thì các ten xơ biến dạng hữu hạn Green (2.2.11) vμ Almansi (2.2.18) sẽ đ−a về các ten xơ biến dạng bé, trong đó bỏ qua số hạng tích của ∂x ∂u ∂X ∂u các građiên i ; i ; k ; k nên ∂X k ∂X k ∂xi ∂xi 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎜ k l ⎟ ε kl = ⎜ + ⎟ 2 ⎝ ∂X l ∂X k ⎠ vμ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ε = ⎜ i + j ⎟ ij ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ Nếu chuyển vị vμ các građiên của chuyển vị lμ bé, gọi chung lμ biến dạng bé, thì sự khác biệt giữa tọa độ vật chất vμ tọa độ không gian của phần tử môi tr−ờng không đáng kể. Do đó, ta có thể xem hai ten xơ biến dạng bé trùng nhau 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎜ k l ⎟ ⎜ k l ⎟ (2.2.20) ε kl = ε kl = ⎜ + ⎟ = ⎜ + ⎟ 2 ⎝ ∂X l ∂X k ⎠ 2 ⎝ ∂xl ∂xk ⎠ Hệ thức (2.2.20) đ−ợc gọi lμ hệ thức Cauchy của biến dạng tuyến tính. Cũng vì građiên chuyển vị lμ bé vμ ui = xi − X i nên ∂ui ∂xi ∂X i ∂xi = − = −δ ij << 1 ∂X j ∂X j ∂X j ∂X j ∂xi suy ra ≈ δ ij . Từ đó ta thu đ−ợc ∂X j ∂x ∂()L ∂(L) j ∂(L) ∂(L) = = δ ij = (2.2.21) ∂X i ∂x j ∂X i ∂x j ∂xi Nghĩa lμ, trong tr−ờng hợp biến dạng bé, đạo hμm theo biến Lagrange vμ Euler lμ nh− nhau vμ không cần phân biệt mô tả Lagrange hoặc Euler. Với ten xơ biến dạng bé, từ hệ thức (2.2.20) suy ra 49
51. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên ∂u ∂u ∂u 1⎛∂u ∂u ⎞ 1⎛∂u ∂u ⎞ 1⎛∂u ∂u ⎞ 1 2 3 ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 2 3 ⎟ ⎜ 3 1 ⎟ ε11 = ;ε22 = ; ε33 = ;ε12 = ⎜ + ⎟ ;ε23 = ⎜ + ⎟ ; ε31 = ⎜ + ⎟(2.2.22) ∂x1 ∂x2 ∂x3 2⎝∂x2 ∂x1 ⎠ 2⎝ ∂x3 ∂x2 ⎠ 2⎝ ∂x1 ∂x3 ⎠ x2 ∂u1 u1 + dx2 ∂x2 C1 D2 D1 β ∂u2 u2 + dx2 ϕ12 B1 ∂x2 A 1 α B2 ∂u u + 2 dx D C 2 ∂x 1 u2 1 dx2 A B dx1 ∂u1 u1 u1 + dx1 ∂x1 x1 Hình 2.2.2. ý nghĩa vật lý của các hệ thức (2.2.22) khá rõ rμng nh− trên hình 2.2.2: - Ba hệ thức đầu tiên chỉ ra rằng các đại l−ợng ε11 , ε22 , ε33 thể hiện độ dãn của đoạn vật chất tr−ớc khi biến dạng h−ớng theo các trục tọa độ. Thật vậy A1B2 = dx1 + u1 + (∂u1 ∂x1 )dx1 − u1 = (1+ ∂u1 ∂x1 )dx1 nên độ dãn dμi của đoạn vật chất AB lμ A1B1 − AB A1B2 − AB (1+ ∂u1 ∂x1 )dx1 − dx1 ∂u1 ε11 = ≈ = = (2.2.22.a) AB AB dx1 ∂x1 - Ba hệ thức sau chỉ ra rằng các đại l−ợng ε12 , ε23 , ε31 thể hiện sự thay đổi góc giữa hai đoạn vật chất tr−ớc khi biến dạng h−ớng theo các trục tọa độ. Các đại l−ợng nμy còn đ−ợc gọi lμ các biến dạng tr−ợt π B B D D 2ε = γ = −ϕ = α + β ≈ tgα + tgβ = 1 2 + 1 2 12 12 2 12 A B A D 1 2 1 2 (2.2.22.b) u + ()∂u ∂x dx − u u + ()∂u ∂x dx − u ∂u ∂u = 2 2 1 1 2 + 1 1 2 2 1 = 2 + 1 ()1+ ∂u1 ∂x1 dx1 ()1+ ∂u2 ∂x2 dx2 ∂x1 ∂x2 50
52. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Với biến dạng bé, từ hệ thức (2.2.15) ta xác định đ−ợc độ dãn dμi t−ơng đối εν của r phần tử vật chất theo ph−ơng ν (ν 1 ,ν 2 ,ν 3 ) bất kỳ trong không gian lμ ds − ds0 εν = = ε ijν iν j (2.2.23) ds0 Khi ph−ơng νr trùng với ph−ơng các trục tọa độ, từ (2.2.23) ta nhận lại đ−ợc các kết quả (2.2.22.a). D−ới dạng ma trận, hệ thức (2.2.23) có dạng ⎛ε11 ε12 ε13 ⎞⎧v1 ⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎪ εν = ε ijν iν j = ()v1 v2 v3 ⎜ε 21 ε 22 ε 23 ⎟⎨v2 ⎬ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎝ε 31 ε 32 ε 33 ⎠⎩v3 ⎭ r Ký hiệu ν ()ν 1 ,ν 2 ,ν 3 vμ ds0 lμ véc tơ chỉ ph−ơng vμ độ dμi của đoạn M0P0 , ta có ν = dX ds (hình 2.2.1). Khi đó, véc tơ chuyển vị t−ơng đối trên một đơn vị độ dμi j j 0 theo Lagrange đối với ph−ơng νr lμ dui ∂ui dX j ∂ui = = ν j (2.2.24) ds0 ∂X j ds0 ∂X j T−ơng tự, ta có véc tơ chuyển vị t−ơng đối trên một đơn vị độ dμi theo Euler. Với biến dạng bé, từ (2.2.21), ta suy ra các véc tơ chuyển vị t−ơng đối trên một đơn vị độ dμi theo Lagrange vμ theo Euler lμ trùng nhau. Khi đó, tại hình thái biến dạng, véc tơ đơn vị ban đầu νr trở thμnh dui ∂ui dx j ∂ui ν i + =ν i + =ν i + ν j (2.2.25) ds ∂x j ds ∂x j Ta xét sự thay đổi góc giữa hai véc tơ chỉ ph−ơng bất kỳ νr vμ ηr . Tại hình thái ch−a r r 0 biến dạng, véc tơ chỉ ph−ơng ν vμ η tạo với nhau một góc ϕνη ≠ 0 . Tại hình thái biến dạng, góc giữa hai véc tơ chỉ ph−ơng nμy lμ ϕνη (hình 2.2.2), do đó sự thay đổi 0 góc giữa hai véc tơ nμy lμ γ νη = ϕνη −ϕνη . Do biến dạng bé ( ∂ui ∂x j << 1) nên từ (2.2.25), ta suy ra tại hình thái biến dạng, các véc tơ đơn vị ban đầu νr vμ ηr có độ dμi vẫn bằng đơn vị. Từ đó ta có ⎛ ∂u ⎞⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ cosϕ = ⎜ν + i ν ⎟⎜η + i η ⎟ ≈ cosϕ 0 + ⎜ i + j ⎟ν η = cosϕ 0 + 2ε ν η νη ⎜ i j ⎟⎜ i j ⎟ νη ⎜ ⎟ j i νη ij j i ⎝ ∂x j ⎠⎝ ∂x j ⎠ ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ Vì rằng ϕ 0 −ϕ ϕ 0 +ϕ cosϕ 0 − cosϕ = −2sin νη νη sin νη νη ≈ −γ sinϕ 0 νη νη 2 2 νη νη 51
53. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên nên ta đ−ợc 2 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 2 γ = ⎜ i + j ⎟ν η = ε ν η (2.2.26) νη 0 ⎜ ⎟ j i 0 ij j i sinϕνη ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ sinϕνη Khi ph−ơng νr vμ ηr trùng với ph−ơng các trục tọa độ, từ (2.2.26) ta nhận lại đ−ợc các kết quả (2.2.22.b). D−ới dạng ma trận, hệ thức (2.2.26) có dạng ⎛ε11 ε12 ε13 ⎞⎧η1 ⎫ ⎛ε11 ε12 ε13 ⎞⎧ν 1 ⎫ 2 ⎜ ⎟⎪ ⎪ 2 ⎜ ⎟⎪ ⎪ γ νη = 0 ()v1 v2 v3 ⎜ε 21 ε 22 ε 23 ⎟⎨η2 ⎬ = 0 ()η1 η2 η3 ⎜ε 21 ε 22 ε 23 ⎟⎨ν 2 ⎬ sinϕνη ⎜ ⎟⎪ ⎪ sinϕνη ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎝ε 31 ε 32 ε 33 ⎠⎩η3 ⎭ ⎝ε 31 ε 32 ε 33 ⎠⎩ν 3 ⎭ 2.2.5. Ten xơ quay Nhờ ten xơ biến dạng bé, ta có thể biểu diễn chuyển vị t−ơng đối của phần tử P0 lμ lân cận của phần tử M0 r r r r du = u(P0 )− u(M 0 ) = du j e j r với e j lμ các véc tơ đơn vị của các trục tọa độ. Do đó ∂u ⎡1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞⎤ dur = j dX er = ⎢ ⎜ j + i ⎟ + ⎜ j − i ⎟⎥dX er = ()ε + ω dX er (2.2.27) ∂X i j 2 ⎜ ∂X ∂X ⎟ 2 ⎜ ∂X ∂X ⎟ i j ij ij i j i ⎣⎢ ⎝ i j ⎠ ⎝ i j ⎠⎦⎥ trong đó 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ω = ⎜ j − i ⎟ (2.2.28) ij ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂X i ∂X j ⎠ gọi lμ ten xơ quay tuyến tính phản đối xứng theo Lagrange. Để thấy rõ ý nghĩa vật lý của các thμnh phần ten xơ quay (2.2.28), ta xét sự quay của đ−ờng phân giác góc DAB trên hình 2.2.2. Tại hình thái ch−a biến dạng, đ−ờng phân giác tạo thμnh góc π/4 với trục x1 . Tại hình thái biến dạng, đ−ờng phân giác của góc D1A1B1 tạo với trục x1 một góc 1 1 ⎡π ⎤ π 1 α + ϕ12 = α + − ()α + β = + ()α − β 2 2 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 4 2 Nh− vậy, phân tố ABCD quay một góc π 1 π 1 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎜ 2 1 ⎟ + ()α − β − = ()α − β = ⎜ − ⎟ = ω12 4 2 4 2 2 ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ r Ten xơ phản đối xứng hạng hai ωij có thể xem lμ véc tơ kép r với các thμnh phần r1 = −ω23 ; r2 = −ω31 ; r3 = −ω12 hay lμ 52
54. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên 1 1 ∂uk ri = − eijkω jk = − eijk (2.2.29) 2 2 ∂X j Nếu ten xơ biến dạng εij đồng nhất bằng không, thì tại lân cận M0 chuyển vị t−ơng đối lμ sự quay vô cùng bé nh− một cố thể dui = ω ji dX j = −ωij dX j = eijk rk dX j hay lμ r dur = r ì dX Véc tơ kép r đ−ợc gọi lμ véc tơ quay tuyến tính theo Lagrange. T−ơng tự nh− vậy với ten xơ quay vμ véc tơ quay tuyến tính theo Euler. Do đó chuyển vị của phần tử P0 lân cận phần tử M0 r r r r r r u + du = u + r ì dX + ε ij dX ie j (2.2.30) gồm ba thμnh phần: r - Biến dạng thuần tuý lμ ε ij dX ie j . r r - Sự quay của P0 quanh M0 lμ r ì dX . r - Chuyển động tịnh tiến từ M0 đến M lμ u . Hai thμnh phần sau biểu thị chuyển động của lân cận phần tử M0 nh− một cố thể. r Véc tơ chuyển vị ε ij dX i e j liên quan đến biến dạng thuần tuý. Nh− vậy, ứng suất xuất hiện trong môi tr−ờng liên tục chính lμ do phần biến dạng thuần tuý nμy, nó không liên quan đến chuyển động của lân cận phần tử nh− một cố thể. Ví dụ 2.2.1: Xác định ten xơ biến dạng hữu hạn Green vμ Almansi của chuyển động cho trong ví dụ 2.1.1. Giải: Các chuyển vị theo biến Lagrange lμ t t t −t u1 = x1 − X 1 = X 1 (e −1)+ X 3 (e −1); u2 = x2 − X 2 = X 3 (e − e ); u3 = x3 − X 3 = 0 Ten xơ biến dạng hữu hạn Green xác định theo công thức (2.2.12) ⎛ 1 e2t −1 0 1 e2t − et ⎞ ⎜ 2 () 2 ( ) ⎟ 1 t −t ()Gij = ⎜ 0 0 2 ()e − e ⎟ ⎜ 1 e2t et 1 et e−t 1 2e2t 2et 1 e−2t ⎟ ⎝ 2 ()− 2 ()− 2 ()− − + ⎠ Các chuyển vị theo biến Euler lμ −t −t t −t u1 = x1 − X 1 = x1 (1− e )+ x3 (1− e ); u2 = x2 − X 2 = x3 (e − e ); u3 = x3 − X 3 = 0 53
55. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi xác định theo công thức (2.2.19) ⎛ 1 1− e−2t 0 1 e−t − e−2t ⎞ ⎜ 2 () 2 ( ) ⎟ 1 t −t ()Aij = ⎜ 0 0 2 ()e − e ⎟ ⎜ 1 e−t e−2t 1 et e−t 1 1 2e−t 2e−2t e2t ⎟ ⎝ 2 ()− 2 ()− 2 ()+ − − ⎠ Nếu bỏ qua các thμnh phần phi tuyến, ten xơ Green vμ Almansi có dạng ⎛ et −1 0 1 et −1 ⎞ ⎛ 1− e−t 0 1 1− e−t ⎞ ⎜ 2 ( ) ⎟ ⎜ 2 ()⎟ 1 t −t 1 t −t ()Gij = ⎜ 0 0 2 ()e − e ⎟ ; ()Aij = ⎜ 0 0 2 ()e − e ⎟ ⎜ 1 et −1 1 et − e−t 0 ⎟ ⎜ 1 1− e−t 1 et − e−t 0 ⎟ ⎝ 2 ()2 () ⎠ ⎝ 2 ()2 () ⎠ Ví dụ 2.2.2: Trạng thái biến dạng tại một điểm trong hệ trục Ox1x2x3 lμ ⎛ − 8 6 − 2⎞ ⎜ ⎟ −4 ()ε ij = ⎜ 6 4 2⎟ì10 ⎜ ⎟ ⎝− 2 2 − 5⎠ Xác định biến dạng dμi theo ph−ơng nghiêng đều với ba trục tọa độ Ox1′x2′ x3′ lμ kết 0 quả của hai phép quay liên tiếp: quay quanh trục x3 một góc 45 ng−ợc chiều kim 0 đồng hồ, sau đó quay quanh trục x1 mới một góc 30 ng−ợc chiều kim đồng hồ (xem ví dụ 1.4.3). Giải: Sau hai phép quay, ta đ−ợc ten xơ biến dạng trong hệ trục tọa độ Ox1′x2′ x3′ lμ ⎛ 4 5.1962 − 3 ⎞ ⎜ ⎟ −4 ()ε ij′′ = ⎜5.1962 − 4.8005 2.7133 ⎟ì10 ⎜ ⎟ ⎝ − 3 2.7133 − 8.1995⎠ Với ten xơ biến dạng bé, biến dạng dμi t−ơng đối εν của phần tử vật chất theo ph−ơng nghiêng đều ba trục tọa độ Ox1′x2′ x3′ xác định theo (2.2.23) ⎛ 4 5.1962 − 3 ⎞ ⎧1 3⎫ ⎛ 1 1 1 ⎞⎜ ⎟ −4 ⎪ ⎪ −4 εν = ⎜ ⎟⎜5.1962 − 4.8005 2.7133 ⎟ì10 ⎨1 3⎬ = 0.273ì10 ⎝ 3 3 3 ⎠⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ − 3 2.7133 − 8.1995⎠ ⎩1 3⎭ Ví dụ 2.2.3: Xác định sự thay đổi góc giữa các véc tơ νr(1 3 ,1 3 ,1 3) vμ véc tơ ηr(1 2 ,−1 2 ,0) do biến dạng tại điểm môi tr−ờng có ten xơ biến dạng lμ ⎛ 2 1 − 2⎞ ⎜ ⎟ −4 ()ε ij = ⎜ 1 3 0⎟ì10 ⎜ ⎟ ⎝− 2 0 5⎠ 54
56. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên r r Giải: Tại hình thái ch−a biến dạng, véc tơ ν vuông góc với véc tơ η vì ν iηi = 0 . Tại hình thái biến dạng, các véc tơ nμy có thể không còn vuông góc với nhau nữa, sự thay đổi góc giữa các véc tơ xác định theo hệ thức (2.2.26) 2 1 − 2 ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎛ 1 1 1 ⎞⎜ ⎟ −4 −4 γνη = ⎜ ⎟⎜ 1 3 0⎟ì10 ⎜−1 2 ⎟ = − 6 ì10 sin π 2 ⎜ ⎟ ()⎝ 3 3 3 ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− 2 0 5⎠ ⎝ 0 ⎠ Ví dụ 2.2.4: Xác định ten xơ quay tuyến tính ωij đối với tr−ờng chuyển vị của dầm công xôn chịu tải trọng tập trung P tại đầu tự do (hình 2.2.3) có dạng Px P u (x , x ) = 2 ()6Lx − 3x 2 −νx 2 ; u (x , x ) = − [3Lx 2 − x 3 + 3νx 2 ()L − x ]; u = 0 1 1 2 6EI 1 1 2 2 1 2 6EI 1 1 2 1 3 với E lμ môđun đμn hồi, ν lμ hệ số Poisson. Giải: Theo (2.2.28) ta có 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ P ω = ⎜ 2 − 1 ⎟ = − 6Lx − 3x 2 − 3νx 2 x2 12 ⎜ ⎟ ()1 1 2 P 2 ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ 6EI ω = 0 ; ω = 0 x1 13 23 tại trục trung hòa x =0 L 2 P Hình 2.2.3. ω = − (6Lx − 3x 2 ) 12 6EI 1 1 Kết quả nμy trùng với kết quả xác định góc nghiêng của trục trung hòa x2=0 từ sức bền vật liệu. 2.3. nghiên cứu trạng thái biến dạng của môi tr−ờng liên tục 2.3.1. Bất biến của ten xơ biến dạng. Ph−ơng chính. Biến dạng chính Các ten xơ biến dạng Gij , Aij , εij lμ các ten xơ hạng hai đối xứng, nên ta có thể áp dụng ph−ơng pháp xác định các ph−ơng chính nh− đã trình bμy trong mục 1.4.6. Điều đó có nghĩa lμ tại mỗi điểm của vật thể ch−a biến dạng luôn tồn tại ba ph−ơng, gọi lμ các ph−ơng chính (hay trục chính), ban đầu trực giao với nhau thì sau biến dạng vẫn còn trực giao với nhau. Các ph−ơng chính của ten xơ biến dạng aij (lμ một trong các ten xơ biến dạng Gij , Aij , εij ) đ−ợc xác định từ hệ ph−ơng trình (aij − aδ ij )ν j = 0 (2.3.1) 2 2 2 ν jν j =ν 1 +ν 2 +ν 3 =1 55
57. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên Các giá trị chính của ten xơ biến dạng aij gọi lμ các biến dạng chính hay độ dãn chính. Các biến dạng chính đ−ợc xác định từ ph−ơng trình ⎛a − a a a ⎞ ⎜ 11 12 13 ⎟ det()aij − aδ ij = det⎜ a21 a22 − a a23 ⎟ = 0 (2.3.2) ⎜ ⎟ ⎝ a31 a32 a33 − a⎠ Khai triển ra, ta đ−ợc 3 2 a − I1a + I 2a − I 3 = 0 (2.3.3) trong đó I1 = aii = a11 + a22 + a33 2 2 2 I 2 = a11a22 + a22a33 + a33a11 − a12 − a23 − a31 (2.3.4) 2 2 2 I 3 = det()aij = a11a22a33 + 2a12a23a31 − a11a23 − a22a31 − a33a12 lμ các bất biến chính của ten xơ biến dạng khi quay trục tọa độ. Ký hiệu a1 , a2 , a3 lμ các biến dạng chính với quy −ớc a1 ≥ a2 ≥ a3 (về giá trị đại số). Biến dạng chính lμ biến dạng dμi theo ph−ơng pháp tuyến của mặt chính. Trong hệ tọa độ gồm các trục chính, ten xơ biến dạng aij có dạng ⎛a 0 0 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ()aij = ⎜ 0 a2 0 ⎟ (2.3.5) ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 a3 ⎠ vμ các bất biến (2.3.4) có dạng I1 = a1 + a2 + a3 I 2 = a1a2 + a2a3 + a3a1 (2.3.6) I 3 = a1a2a3 Trong tr−ờng hợp biến dạng bé, tại lân cận phần tử M, ta lấy các ph−ơng chính biến dạng lμm các trục tọa độ. Xét thể tích tr−ớc vμ sau biến dạng của hình hộp phân tố có các cạnh h−ớng theo các trục chịu áp lực thuỷ tĩnh. Tr−ớc biến dạng, thể tích hình hộp phân tố lμ dV0 = dx1dx2dx3 . Sau biến dạng, do tác dụng của các lực, phân tố hình hộp giữ nguyên hình dáng vμ có thể tích dV lμ dV = (1+ ε11 )(dx1 1+ ε 22 )dx2 (1+ ε 33 )dx3 ≈ (1+ ε11 + ε 22 + ε 33 )dx1dx2dx3 Do đó dV − dV0 θ = = ε11 + ε 22 + ε 33 = I1 ()ε ij (2.3.7) dV0 56
58. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên nghĩa lμ bất biến thứ nhất I1 của ten xơ biến dạng bé εij thể hiện sự thay đổi t−ơng đối thể tích tại điểm đang xét của môi tr−ờng. Đại l−ợng 1 θ ε = I (ε ) = (2.3.8) tb 3 1 ij 3 đ−ợc gọi lμ độ dãn trung bình của ten xơ biến dạng. Nếu tại một điểm của môi tr−ờng liên tục có một trong ba biến dạng chính bằng không, thì trạng thái biến dạng tại điểm đó đ−ợc gọi lμ trạng thái biến dạng phẳng. Nếu cả ba biến dạng chính khác không, thì trạng thái biến dạng tại điểm đó đ−ợc gọi lμ trạng thái biến dạng khối (hay thể tích). Độ dãn dμi t−ơng đối εν theo các h−ớng khác nhau trong không gian của ten xơ biến dạng bé εij xác định theo hệ thức (2.2.23) với điều kiện các véc tơ chỉ ph−ơng thoả mãn điều kiện ν iν i =1, t−ơng tự các hệ thức (1.4.20) – (1.4.22). Do đó, ta có thể kết luận rằng, đối với ten xơ biến dạng bé εij , độ dãn dμi t−ơng đối εν đạt giá trị cực trị theo các ph−ơng chính. 2.3.2. Ten xơ lệch vμ ten xơ cầu biến dạng khi biến dạng bé Ten xơ biến dạng bé εij có thể viết d−ới dạng tổng hai ten xơ S D ε ij = ε ij + ε ij (2.3.9) với S D ε ij = ε tbδ ij ; ε ij = ε ij − ε tbδ ij (2.3.10) D−ới dạng ma trận, hệ thức (2.3.10) có dạng ⎛ε 0 0 ⎞ ⎛ε − ε ε ε ⎞ tb ⎜ ij tb 12 13 ⎟ S ⎜ ⎟ D ()ε ij = ⎜ 0 ε tb 0 ⎟ ; ()ε ij = ⎜ ε 21 ε ij − ε tb ε 23 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 ε tb ⎠ ⎝ ε 31 ε 32 ε ij − ε tb ⎠ S S Ten xơ ε ij gọi lμ ten xơ cầu biến dạng có các thμnh phần ε ij = 0 (i ≠ j) nên theo (2.2.22), ten xơ nμy không lμm thay đổi góc giữa hai phần tử vật chất h−ớng theo các S S trục tọa độ. Do bất biến thứ nhất I1 (ε ij ) = θ ≠ 0 nên ten xơ ε ij liên quan đến sự thay đổi thể tích tại lân cận phần tử M đang xét của môi tr−ờng. Ten xơ nμy có biến dạng S S S chính ε1 = ε 2 = ε 3 = ε tb , tức lμ mọi ph−ơng bất kỳ đều lμ ph−ơng chính vμ biến dạng dãn hay nén tại lân cận phần tử M lμ đều theo mọi ph−ơng. 57
59. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên D D Ten xơ ε ij gọi lμ ten xơ lệch biến dạng. Do bất biến thứ nhất I1 (ε ij ) = 0 nên ten xơ lệch biến dạng không lμm thay đổi thể tích mμ nó lμm thay đổi hình dạng của phân tố vật chất tại lân cận điểm đang xét. Các bất biến thứ hai vμ thứ ba lμ D 1 2 2 2 2 2 2 I 2 ()ε ij = − []()()()ε11 − ε 22 + ε 22 − ε 33 + ε 33 − ε11 + 6()ε12 + ε 23 + ε 31 6 1 2 2 2 1 2 = − []()()()ε1 − ε 2 + ε 2 − ε 3 + ε 3 − ε1 = I 2 ()ε ij − []I1 ()ε ij (2.3.11) 6 3 2 1 I ()ε D = det ()ε D = ()()()ε − ε ε − ε ε − ε = I ()ε + []I ()ε 3 − I ()()ε I ε 3 ij ij 1 tb 2 tb 3 tb 3 ij 27 1 ij 3 1 ij 2 ij D Từ (2.3.11) ta suy ra I 2 (ε ij )≤ 0 . Bất biến thứ hai chỉ bằng không khi các biến dạng chính của ten xơ biến dạng bé εij bằng nhau. Trong lý thuyết đμn hồi vμ đặc biệt lμ D trong lý thuyết dẻo sau nμy, bất biến I 2 (ε ij ) đóng vai trò rất quan trọng vì nó biểu thị tổng hợp sự thay đổi hình dáng của phần tử môi tr−ờng. D D D Biểu thức giải tích của các biến dạng chính ε1 ; ε 2 ; ε 3 xác định theo công thức (1.4.28). Mặt khác, sử dụng các hệ thức (1.4.23) vμ (1.4.24), ta suy ra các biến dạng D D chính ε i của ten xơ lệch biến dạng ε ij xác định qua các biến dạng chính εi của ten D xơ biến dạng εij bởi hệ thức ε i = ε i − ε tb vμ ng−ợc lại. Đồng thời, các ph−ơng chính D của ten xơ lệch biến dạng ε ij trùng với các ph−ơng chính của ten xơ biến dạng εij . 2.3.3. C−ờng độ biến dạng khi biến dạng bé Biến dạng chính có giá trị ε1 , ε2 , ε3 thì biến dạng tr−ợt chính lμ γ 3 = ε1 − ε 2 ; γ 2 = ε 3 − ε1 ; γ 1 = ε 2 − ε 3 (2.3.12) Đại l−ợng 2 2 Γ = γ 2 +γ 2 +γ 2 = 2 −I ()ε D = ()()()ε −ε 2 + ε −ε 2 + ε −ε 2 +6()ε 2 +ε 2 +ε 2 (2.3.13) 3 1 2 3 2 ij 3 11 22 22 33 33 11 12 23 31 đ−ợc gọi lμ c−ờng độ biến dạng tr−ợt (biến dạng cắt). Tr−ờng hợp biến dạng tr−ợt thuần túy ε11 = ε 22 = ε 33 = ε 23 = ε 31 = 0 ; γ 12 = 2ε12 = γ thì Γ = γ . C−ờng độ biến dạng tr−ợt liên quan đến góc tr−ợt của mặt tr−ợt tổng hợp có h−ớng bát diện với pháp tuyến νr(1 3 ,1 3 ,1 3). Đại l−ợng Γ 2 D 2 2 2 2 2 2 2 ε u = = − I 2 ()ε ij = ()()()ε11 −ε 22 + ε 22 − ε 33 + ε 33 − ε11 + 6()ε12 + ε 23 + ε 31 (2.3.14) 3 3 3 58
60. Cơ học môi tr−ờng liên tục Trần Văn Liên chỉ khác Γ hệ số 1 3 đ−ợc gọi lμ c−ờng độ biến dạng. Đại l−ợng εu biểu thị c−ờng độ của ten xơ lệch biến dạng. 2.3.4. Ten xơ chỉ h−ớng biến dạng T−ơng tự nh− ten xơ cầu, ta biểu diễn ten xơ lệch biến dạng thμnh ten xơ đặc tr−ng sự phân bố biến dạng vμ hệ số nhân xác định c−ờng độ biến dạng. Từ (2.3.14), ten xơ D lệch biến dạng ε ij có dạng 3 ε D = ε ε (2.3.15) ij 2 u ij với ε ij lμ ten xơ chỉ h−ớng biến dạng đặc tr−ng cho sự phân bố biến dạng lμm thay đổi hình dáng phần tử môi tr−ờng bao gồm các thμnh phần 2()ε11 − ε tb 2()ε 22 − ε tb 2(ε 33 − ε tb ) 2ε12 2ε 23 2ε 31 ε11 = ; ε 22 = ; ε 33 = ; ε12 = ; ε 23 = ; ε 31 = (2.3.16) 3ε u 3ε u 3ε u 3ε u 3ε u 3ε u Ten xơ chỉ h−ớng biến dạng ε ij có bốn thμnh phần độc lập vì I1 (ε ij )= 0 vμ từ (2.3.14) suy ra đồng nhất thức 2 2 2 2 2 2 (ε11 − ε 22 ) + ()ε 22 − ε 33 + (ε 33 − ε11 ) + 6(ε12 + ε 23 + ε 31 )≡ 2 Trạng thái biến dạng tại lân cận điểm xác định bởi sáu thμnh phần của ten xơ biến dạng εij . Đồng thời ta có thể biểu thị trạng thái biến dạng qua sáu đại l−ợng độc lập khác lμ: biến dạng dãn trung bình εtb , c−ờng độ biến dạng εu , vμ bốn thμnh phần độc lập của ten xơ chỉ h−ớng biến dạng ε ij nh− sau 3 ε = ε δ + ε ε (2.3.17) ij tb ij 2 u ij Ví dụ 2.3.1: Xác định các biến dạng chính vμ biến dạng dμi theo ph−ơng νr( 2 2, 2 2,0) trong hệ tọa độ chính của ten xơ biến dạng bé ⎛ 1 − 3 2 ⎞ ⎜ ⎟ −4 ()ε ij = ⎜ − 3 1 − 2 ⎟ ì10 ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 2 4⎠ -4 -4 Giải: Từ ví dụ 1.4.4, ta đã xác định đ−ợc các biến dạng chính ε1=6ì10 ; ε2=2ì10 ; -4 ε3=-2ì10 . Theo (2.3.5), trong hệ tọa độ chính ten xơ εij có dạng ⎛6 0 0⎞ ⎜ ⎟ −4 ()εij′ = ⎜0 2 0⎟ì10 ⎜ ⎟ ⎝0 0 − 2⎠ 59