Giáo trình Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 2: Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ - Trần Minh Tú

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 2: Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ - Trần Minh Tú

1. ®¹i häc CƠCƠ SỞSỞ CƠCƠ HỌCHỌC MÔIMÔI TRƯỜNGTRƯỜNG LIÊNLIÊN TỤCTỤC VVÀÀ LÝLÝ THUYẾTTHUYẾT ĐĐÀÀNN HỒIHỒI TrầnMinhTú ĐạihọcXâydựng–Hànội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 1 Email: tpnt2002@yahoo.com
2. Chương 2 Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 2 Email: tpnt2002@yahoo.com
3. Chương 2: Cáckhái niệm cơ bản và phéptính tenxơ 2.1.2.1. Hệ Hệ thống thống ký ký hiệu hiệu 2.2.2.2. Qui Qui ước ước về về chỉ chỉ số số 2.3.2.3. Hệ Hệ thống thống đối đối xứng xứng v vààphảnphản đối đối xứng xứng 2.4.2.4. Trường Trường vô vô hướng hướng hay hay ten-xơ ten-xơ hạng hạng không không 2.5.2.5. Vec Vec tơ tơ hay hay ten-xơ ten-xơ hạng hạng nhất nhất 2.6.2.6. TenTen xơ xơ hạng hạng hai hai 2.7.2.7. TenTen xơ xơ hạng hạng n n July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 3 Email: tpnt2002@yahoo.com
4. Chương 2: Cáckhái niệm cơ bản và phéptính tenxơ MMởđầuởđầu •NghiêncứuCơ họcmôitrường liên tụcvàLýthuyết đàn hồi => Công cụ toán học => tenxơ • Thường gặp các đại lượng toán học, vật lý có cáctính chất khác nhau. ⎡a1 ⎤ a11⎡ a 12 a⎤ 13 = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ Ai ⎢a2 ⎥ Aij a21⎢ a 22 a⎥ 23 A=[] a ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a3 ⎦ a31⎣ a 32 a⎦ 33 Vô hướng: khối lượng Vec tơ: vận tốc Tenxơ: ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 4 Email: tpnt2002@yahoo.com
5. Chương 2: Cáckhái niệm cơ bản và phéptính tenxơ - Đại lượng vô hướng: là những đại lượng mà với một đơn vị đo đã chọn nó được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ, khối lượng, - Đại lượng vec tơ : là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo đơn vị đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, - Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho một trạng tháixácđịnhnào đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng tháiứngsuất, Ten xơ là một đại lượng tổng quát. Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vàocách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng. Ten xơ bậc cao a⎡ 111 a121 131 a⎤ = ⎢ ⎥ Aijk a⎢ 211 a221 231 a⎥ ⎢ ⎥ a⎣ 311 a321 331 a⎦ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 5 Email: tpnt2002@yahoo.com
6. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc(Descrates) 2.1.1. Hệ thống ký hiệu Các ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn: aaijijk, , a , qui ước: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy cácgiá trị 1, 2, 3 ai biểu thị một trong 3 phần tử aaa123,, aij biểu thị một trong 9 phần tử aaaaaaaaa11,,,,,,,, 12 13 21 22 23 31 32 33 aa, , , a aijk biểu thị một trong 27 phần tử 111 112 333 2.1.2. Qui ước về chỉ số Chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thểthaybằngchữsốkhác abii= ab11++= ab 2 2 ab 33 akk b Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 6 Email: tpnt2002@yahoo.com
7. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc(Descrates) 2.1.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng Trong hệ thống aij nếu thay đổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, cácthành phần của hệ thống không thay đổi dấu và giá trị, tức là aaij= ji => hệ thống nàylà hệ thống đối xứng ⎡100⎤ aa=− => hệ thống phản đối xứng δ = ⎢010⎥ ij ji ij ⎢ ⎥ Kí hiệu Kronecker ⎧1 i=j ⎣⎢001⎦⎥ δ ij = ⎨ ⎩0 i≠ j Ký hiệu Levi-Chivita 3 ⎧0 2 chi so bat ky bang nhau ⎪ 1 ε ijk = ⎨1 chieu quay ijk theo thu tu 123 ⎪−1 chieu quay ijk theo thu tu 321 ⎩ 2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 7 Email: tpnt2002@yahoo.com
8. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc(Descrates) 2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không Trường vô hướng là một hàmvôhướng ϕ ( x123,,,xxt) (,x123xx , ): toạ độ các điểm trong miền không gian ; t là tham số thời gian Gradient của trường vô hướng ∂ϕ JGJJ∂∂ϕϕGJG gradϕϕ=∇ =e123 + e + e ∂∂x12xx ∂ 3 Ký hiệu ∇ đọc là“nabla” JG ei là vec tơ đơn vị của hệ trục toạ độ Oxi - nếu trường vô hướng là nhiệt độ thì gradient là thông lượng nhiệt (flux of thermal energy) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 8 Email: tpnt2002@yahoo.com
9. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc(Descrates) Contours (đường) . gradient Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình ϕ = const 222 2 ∂ ϕ ∂∂ϕϕ Δ=∇∇=∇=ϕϕϕ222 + + ∂x123∂∂xx Ký hiệu Δ gọi là“toántửLaplace” hay Laplacien July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 9 Email: tpnt2002@yahoo.com
10. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc(Descrates) 2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất a. Cácthành phần vectơ Các đại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, đặc trưng bởi trị số và hướng, biểu diễn trong không gian ba chiều bằng đoạn thẳng có hướng gọi là vec tơ GJGJJGJJG x3 - Biểu diễn vec tơ: aa=++123 a a a3 GJGJJGJG a hoặc: ei – vec tơ đơn vị aaeaeae=+11 2 2 + 33 E3` O e1 a1 G x1 à 222 2 e -Độd i vec tơ: aa== a123 ++ a a = ai a2 2 x2 - cosin chỉ phương của cácvectơlà li i=1,2,3 với laaii= / và 222 lll123+ +=1 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 10 Email: tpnt2002@yahoo.com
11. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc(Descrates) b. Cácphéptính vec tơ a • Nhân vô hướng (,)a b a⋅ b =acos( b a , b ) b • Nhân có hướng a× b ijk b ab×= a123 a a a bbb123 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 11 Email: tpnt2002@yahoo.com
12. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc(Descrates) c. Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ JG Hệ trục toạ độ vuông góc ban đầu Oxi - vec tơ đơn vị là e JG i Phép xoay ' ' Hệ trục vuông gócmớiOxi - vec tơ đơn vị là ei á à ó x3 C c cosin chỉ phương cij l g c hợp bởi trục mới x3 x' i và trục cũ xj : x1 JG JJGJJG e3 ⎧⎫' ⎧⎫ ⎧⎫ e3` e1 eee111 ⎡⎤ccc11 12 13 ⎪⎪JJGJ⎪⎪JGJJ ⎪⎪G e1 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ O x1 eccceCe' ==⎢⎥ ⎨⎬22122232⎢⎥⎨⎬[] ⎨⎬ 2 e2 JG JJGJJG e ⎪⎪' ⎪⎪ ⎪⎪ 2 ⎢⎥ccc31 32 33 ⎪⎪eee33⎣⎦⎪⎪ ⎪⎪3 ⎩⎭ ⎩⎭ ⎩⎭ x2 x2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 12 Email: tpnt2002@yahoo.com
13. 2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc(Descrates) x JJGJGJGx 3 ⎧⎫ '''⎧⎫'' ⎧⎫ 3 eee11⎡⎤ccc 1 ⎪⎪JJGJ⎢⎥11 12 13 ⎪⎪JGJJ ⎪⎪G ⎪⎪ '''⎪⎪ ' ⎪⎪ ' x ⎨⎬eccceCe22==⎢⎥⎨⎬[]' ⎨⎬2 1 JJGJ21 22 23 GJG ⎪⎪ ⎢⎥'''⎪⎪'' ⎪⎪ e3 eee⎢⎥ccc e3` e1 ⎩⎭⎪⎪33⎣⎦31 32 33 ⎩⎭⎪⎪ ⎩⎭⎪⎪3 e1 O x1 Ma trận các cosin chỉ phương [C] và [C’] là e2 e các ma trận trực giao 2 −1 T x [CC'] ==[ ] [ C] 2 x 2.1.6 Ten xơ hạng hai: 2 2 Là hệ thống aij gồm 3 =9 thành phần: trạng thái ứng suất, trạng tháibiến dạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quántính đối với các trục đi qua điểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, n 2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống aijkl gồm 3 thành phần July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 13 Email: tpnt2002@yahoo.com
14. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 14 Email: tpnt2002@yahoo.com