Giáo trình Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 3: Lý thuyết về ứng suất - Trần Minh Tú

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 3: Lý thuyết về ứng suất - Trần Minh Tú

1. ®¹i häc CƠCƠ SỞSỞ CƠCƠ HỌCHỌC MÔIMÔI TRƯỜNGTRƯỜNG LIÊNLIÊN TỤCTỤC VVÀÀ LÝLÝ THUYÊTTHUYÊT ĐĐÀÀNN HỒIHỒI TrầnMinhTú ĐạihọcXâydựng–Hànội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 1(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
2. Chương 3 Lý thuyết về ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 2(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
3. NỘI DUNG 3.1.3.1. Định Định nghĩa nghĩa về về ứng ứng suất suất 3.2.3.2. Điều Điều kiện kiện cân cân bằng bằng 3.3.3.3. Ứng Ứng suất suất trên trên mặt mặt cắt cắt nghiêng nghiêng 3.4.3.4. Trạng Trạng th thááiứngsuấtiứngsuất––TenxơTenxơ ứng ứng suất suất 3.5.3.5. Mặt Mặt ch chínhính––PhươngPhương ch chínhính––ứngứng suất suất ch chínhính 3.6.3.6. Ứng Ứng suất suất tiếp tiếp cực cực trị trị 3.7.3.7. Cường Cường độ độ ứng ứng suất suất 3.8.3.8. B Bààii tập tập tự tự giải giải July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 3(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
4. 3.1. Định nghĩa về ứng suất 3.1. Định nghĩa về ứng suất Vật thể chịu tác dụng của ngoại lực Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tácgiữacác phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng. Nội lực: mặt cắt – pháp tuyến ν Ứng suất: mặt cắt – pháp tuyến ν điểm P(x1, x2, x3) ΔP JG ν JG ΔP pν = lim Δ→A 0 ΔA pν - ứng suất toànphần July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 4(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
5. 3.1. Định nghĩa về ứng suất Phân tích vec tơ ứng suất p JG G G G pν2 ν p =+pe pe + pe ν νν12123 ν 3 ν pν1 22 2 ppppν =++νν123 ν , p , p – cácthành phần ứng suất pν1 ν2 ν3 p theo các phương 1, 2, 3 ν3 JG JG JG p =+σ νννησ ν σ pν νη σνν 22 ν pν =+σννσ νη σ – ứng suất pháp νν σi j σνη – ứng suất tiếp pháptuyến phương ư.s July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 5(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
6. 3.1. Định nghĩa về ứng suất Tenxơ ứng suất σ 33 σ 32 ⎡⎤σσσ11 12 13 σ 31 ⎢⎥ σ T = σσσ 12 σ ⎢⎥21 22 23 x3 σ ⎢⎥21 ⎣⎦σσσ31 32 33 σ 11 x1 x2 σ 22 σ σ 13 Qui ước chiều dương của ứng suất σ 23xy - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 6(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
7. 3.2. Điều kiện cân bằng 3.2. Điều kiện cân bằng 3.2.1. Đặt vấn đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm: * • Lực bề mặt có cường độ ffff( 123,,) f* • Lực thể tích có cường độ ff( 123,, f f) Chianhỏvậtthểthành các phân tố bởi các S mặt song song mặt phẳng toạ độ V - Phân tố loại 1- phân tố hình hộp chữ nhật - Phân tố loại 2- phân tố hình tứ diện f Vậtthểởtrạngthái cân bằng ⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 7(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
8. 3.2. Điều kiện cân bằng 3.2.2. Phương trình vi phân cân bằng Navier-Cauchy (Điều kiện cân bằng phân tố loại 1) x 2 -Lựctác động lên phân tố gồm: P σ σ12 x - Ngoại lực: lực thể tích cường độ f 12 + d 1 i σ13 x 1 σ - Nội lực: cácthành phần ứng suất σij σ σ 11 dx 11 11 + x 1 -Cácthành phần ứng suất trên các σ M 1 12 x1 mặt lân cận xi, (xi+dxi): K σ13 ∂∂∂σσσ ⎛⎞ ∂2u σ13 + dx1 11 21 31 1 x3 x Xf11=⇒00 + + + =⎜⎟ρ 1 ∑ ∂∂∂x xx dt2 123 ⎝⎠ • Hệphươngtrình cân bằng 2 Hệphươngtrình cân bằng ∂∂∂σσσ ⎛⎞ ∂u • Xf=⇒0012 + 22 + 32 + = ρ 2 Navier-Cauchy ∑ 22⎜⎟2 (3.7) Navier-Cauchy ∂∂∂x123xx⎝⎠ dt ∂∂∂σσσ ⎛⎞ ∂2u 2 13 23 33 3 ∂σ ji ⎛⎞∂ ui Xf33=⇒00 + + + =⎜⎟ρ ∑ 2 +=fi 0 ρ ∂∂∂x123xx⎝⎠ dt ⎜⎟2 ∂xdj ⎝⎠t ρ là khối lượng riêng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 8(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
9. 3.2. Điều kiện cân bằng 3.2.3.Định luật đối ứng của ứng suất tiếp σ ij= σ ji (3.8) 3.2.4. Điều kiện biên theo ứng suất (điềukiệncânbằngcủaphântốloại2) x2 Xét điều kiện cân bằng phân tố tứ diện C X =⇒0 σσσlllf + + =* ∑ 11112123131σ ν 13 * X =⇒0 σσσlllf + + =* (3.9) σ f2 ∑ 21212223232 11 * * f * σ f 1 B Xlllf=⇒0 σσσ + + = 12 3 ∑ 31312323333 x1 σ A 23 •Điềukiệnbiên: * σ22 •Điềukiệnbiên: σ21 σ jil j= f i x3 G JJG -(3.7) và (3.9): điều kiện cân bằng lxii= cos(ν , ) của toàn thể môi trường - (3.9) là điều kiện biên để xácđịnhcác hằng số tích phân July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 9(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
10. 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng x 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 2 Cosin chỉ phương của mặt nghiêng: C G JJG ν σ13 p lxii= cos(ν , ) ν2 σ11 p Cácthành phần ứng suất trên mặt nghiêng: σ p ν1 B 12 ν3 x pp,, p σ 1 ν123νν A 23 σ22 σ21 x pν ν * 3 pfν11≈ * pfν 22≈ Từ (3.9): * pfν 33≈ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 10(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
11. 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng x2 Cácthành phần ứng suất trên mặt nghiêng: C ν σ13 p ν2 σ11lllp 1++=σσ 21 2 31 3ν 1 σ11 p (3.10) p ν1 B σ12lllp 1++=σσ 22 2 32 3ν 2 σ12 ν3 x1 σ23 σ13lllp 1++=σσ 23 2 33 3ν 3 A σ22 σ21 x3 •• ỨngỨng suất suất trên trên mặt mặt nghiêng: nghiêng: σ jilp j= ν i 222 (3.12) •• ỨngỨng suất suất to toàànn phần: phần: ppppν =++ννν123 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 11(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
12. 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng •• ỨngỨng suất suất ph phááp:p: Ứng suất pháplà tổng hình chiếu của cácthành phần ứng suất lên pháp tuyến σνν=++p ν11lplpl ν 22 ν 33 222 (3.13) σσνν =+++111lll σ 222 σ 3332( σ 1212 llllll + σ 1313 + σ 2323) ν •• ỨngỨng suất suất tiếp: tiếp: σνν σ =−p22σ (3.14) νηννν σνη July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 12(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
13. 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.4.1. Trạng tháiứngsuất σ 33 Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp σ 32 tất cả những thành phần ứng suất trên tất σ 31 cả cácmặtcắtđiqua điểmđó. σ 12 mặt cắt – pháptuyếnν Ứng suất: x3 σ 21 điểm P(x1, x2, x3) σ 11 á x Trạng th iứngsuất: x 1 2 σ 22 -điểmP(x1, x2, x3) σ 13 σσ xy Qui ước chiều dương của ứng suất 23 - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 13(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
14. 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.4.2. Ứng suất khi biến đổi hệ trục toạ độ ' - hệ trục ban đầu xi σ ij= cc ik jlσ kl ' -hệtrụcmớixi - cosin chỉ phương của gócgiữahệtrụcmớivà cũ: cij 3.4.3. Tenxơ ứng suất σ 33 • TenTen xơ xơ ứng ứng suất: suất: σ 32 • σ 31 σ 12 ⎡⎤σσσ11 12 13 x3 σ ⎢⎥21 Tσ = σσσ21 22 23 σ 11 ⎢⎥x1 x2 σ ⎢⎥22 σ ⎣⎦σσσ31 32 33 σ 13 σ 23xy Tenxơ hạng 2, đối xứng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 14(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
15. 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất Tσ = DTσσ+ 0 •• TenTen xơ xơ lệch lệch ứng ứng suất: suất: ⎡⎤σσ11− tb σ 12 σ13 D =−⎢⎥σσσσ Biến đổi σ ⎢⎥21 22 tb 23 hình dáng ⎢⎥ ⎣⎦σ 31 σσσ32 33− tb •• TenTen xơ xơ cầu cầu ứng ứng suất: suất: ⎡σ tb 00⎤ T0= ⎢ σ 0⎥ Biến đổi σ ⎢ tb ⎥ thể tích ⎢ ⎥ ⎣ 00σ tb ⎦ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 15(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
16. 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính σ22 - σtb σtb σ 22 σtb σ - σ = 11 tb σ11 σ - σ σ33 σtb 33 tb Biến đổi Biến đổi thể tích hình dáng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 16(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
17. 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính - Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0. - Ứng suất chính: ứng suất pháptrênmặtchính -Phươngchính: phương pháp tuyến của mặt chính Giả sử phương chính có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ Vì mặtchínhcóứng. suấttiếpbằng 0, nên ứng suấttoànphần pν có phương trùng với pháp tuyếnvàcógiátrị bằng σ: pνii= σl Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng (σσ11−++)lll 1 σ 21 2 σ 31 3 =0 222 σσσσ12lll 1+−+() 22 2 32 3 =0 lll123+ +=1 σσ13ll 1++−= 23 2( σσ 33) l 3 0 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 17(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
18. 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính Điều kiện để hệ phương trình không có nghiệm tầm thường cho ta phương trình đặc trưng Các ứng suất chính σ xácđịnhtừphương trình đặc trưng: 32 (3.23) σσσ−+−=III1230 I1112233=++σ σσ σ11σσ 12 13 σ σσσσσ I3= σ 122223σσ I =++11 12 22 23 11 13 2 σ σσ σ12σσσσσ 22 23 33 13 33 13 23 33 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 18(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
19. 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính -Phương chính ν của ứng suấtchínhσi có các cosin chỉ phương trong hệ xi là li xác định từ 3 trong hệ 4 phương trình: (σσ11−++=i )lll 1 σ 21 2 σ 31 3 0 σσσσlll+− + =0 12 1( 22i ) 2 32 3 (3.24) σσ13ll 1++−= 23 2( σσ 33i ) l 3 0 222 lll123++=1 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 19(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
20. 3.6. Ứng suất tiếp cực trị τ τ 3.6.3.6. Ứng Ứng suất suất tiếp tiếp cực cực trị trị max x2 σ2 σ σ1 σ σ 2 3 σ 1 σ3 x1 x3 1 σ 12−σ Mặt có ứngsuấttiếpcựctrịlà τ max = những mặt có pháp tyến nghiêng 2 góc450 so với cáctrụcứngsuất σ −σ σ −σ τ 2 = 23 τ 3 = 13 chính. max 2 max 2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 20(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
21. 3.7. Cường độ ứng suất 3.7. Cường độ ứng suất Cườngđộứngsuấtlà một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của tenxơ lệch ứng suất Cường độ ứng suất tiếp ••Cường độ ứng suất tiếp τ i = I2 (Dσ ) 1 222 τ=−+−+−()()() σσσσσσ i 6 12 23 31 Cường độ ứng suất pháp ••Cường độ ứng suất pháp σ i = 3I2 (Dσ ) 2 222 σσσσσσσ=−+−+−()()() i 2 12 23 31 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 21(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
22. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 22(35) Email: tpnt2002@yahoo.com
23. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 23(35) Email: tpnt2002@yahoo.com