Giáo trình Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 6: Lý thuyết đàn hồi tuyến tính - Trần Minh Tú

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 6: Lý thuyết đàn hồi tuyến tính - Trần Minh Tú

1. ®¹i häc CƠCƠ SỞSỞ CƠCƠ HỌCHỌC MÔIMÔI TRƯỜNGTRƯỜNG LIÊNLIÊN TỤCTỤC VVÀÀ LÝLÝ THUYÊTTHUYÊT ĐĐÀÀNN HỒIHỒI TrầnMinhTú ĐạihọcXâydựng–Hànội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 1(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
2. Chương 6 Lý thuyết đànhồituyếntính July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 2(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
3. NỘI DUNG 6.1.6.1. Định Định luật luật Hooke Hooke 6.2.6.2. Biểu Biểu thức thức nội nội năng năng 6.3.6.3. Sự Sự thu thu gọn gọn c cáácc hằng hằng số số đ đàànn hồi hồi 6.4.6.4. B Bààitoitoáánđnđàànn hồi hồi tuyến tuyến tí tnhính đẳng đẳng hướng hướng 6.5.6.5.CCááccccááchch giải giải b bààitoitoáánn lý lý thuyết thuyết đ đàànn hồi hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 3(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
4. 6.1. Định luật Hooke 6.1.6.1. Định Định luật luật Hooke Hooke Chương 3: TĩnhTĩnhhọc: học: trạng trạngth thááiiứ ứngng suất suất Chương 4: HHìnhìnhhọc:học: trạng trạngththááiibbiếniếnddạngạng TTínhínhchấtchấtvậtvậtlý:lý: Quan Quanhhệệứứngngsuấtsuất biếnbiếndạngdạng?????? July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 4(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
5. 6.1. Định luật Hooke Tổng quát: cácứngsuấtcó thểbiểudiễnbằnghàmcủacác biến dạng σ ij= f ()ε ij Đối với vật liệu đànhồituyếnt= ính khi bỏ qua những mất mátnhiệt năng, quan hệ ứng suất – biến dạng là cácquanhệthuầnnhất tuyến tính ⎧ε ⎫ ⎧⎫σ11 ⎡⎤CCCCCC11 12 13 14 15 16 11 ⎪⎪⎢⎥⎪ ⎪ ε [C ]6x6 - σ 22 CCCCCC21 22 23 24 25 26 22 ij ⎪⎪⎢⎥⎪ ⎪ ma trận các ⎪⎪⎢⎥CCCCCC. ⎪ε ⎪ ⎪⎪σ 33 31 32 33 34 35 36 ⎪ 33 ⎪ à ⎨⎬= ⎢⎥⎨ ⎬ hằng số đ n σ CCCCCC ε hồi – 36 phần ⎪⎪12 ⎢⎥41 42 43 44 45 46 ⎪ 12 ⎪ ⎪⎪σ ⎢⎥CCCCCC ⎪ε ⎪ tử ⎪⎪23 ⎢⎥51 52 53 45 55 56 ⎪ 23 ⎪ σ CCCCCC ⎩⎭⎪⎪13 ⎣⎦61 62 63 64 65 66 ⎩⎭⎪ε13 ⎪ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 5(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
6. 6.1. Định luật Hooke ⎡σ1 ⎤ σ111=σ 6 ⎢ ⎥ σ =σ 1 5 σ2 222 ⎡⎤σσσ ⎢ ⎥ 11 12 13 σ =σ ⎢⎥⎢σ3 ⎥ 333 σσσ2 4 ⇒ ⎢ ⎥ ⎢⎥21 22 23 σ σ =σ 3 ⎢ 4 ⎥ 423 ⎣⎦⎢⎥σσσ31 32 33 ⎢σ ⎥ σ513=σ ⎢ 5 ⎥ σ =σ ⎣⎢σ6 ⎦⎥ 612 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 6(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7. 6.1. Định luật Hooke ⎡ε1 ⎤ ε1 ε= 11 ⎢ ⎥ 1 6 5 ε ε2 ε= 22 ε⎡ ε ε ⎤ ⎢ 2 ⎥ 11 12 13 ⎢ε ⎥ ε ε= ⎢ 4⎥ 3 3 33 γ = 2ε ε21 ε ε 222 23⇒ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ γ γ ε= 2 ε⎢ ε ε 3⎥ ⎢ 4 ⎥ 4 23 31⎣ 32⎦ 33 ⎢γ ⎥ γ ε= 2 ⎢ 5 ⎥ 5 13 ⎣⎢γ 6 ⎦⎥ γ6 ε= 2 12 July 2009 hnn MiTra uT – University of Civil Engineering – Ha noi 7(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
8. 6.1. Định luật Hooke Dị hướng: ứng suất đơn có thể âyg nên iếnb dạng dàivà biến dạng góc ⎛CCCCCCσ ⎞ ⎛ ⎞⎛ε ⎞ ⎜ 111⎟ ⎜ 12 13 14 15⎟⎜ 1 ⎟ 16 ⎜CCCCCCσ 221⎟ ⎜ 22 23 24 25⎟⎜ε 2 ⎟ 26 ⎜CCCCCCσ ⎟ ⎜ ⎟⎜ε ⎟ ⎜ 331⎟ = ⎜ 32 33 34 35⎟⎜ 3 ⎟ 36 ⎜CCCCCCσ 441⎟ ⎜ 42 43 44 45⎟⎜ε 4 ⎟ 46 ⎜ ⎟ CCCCCCσ ⎜ ⎟⎜ε ⎟ ⎜ 551⎟ ⎜ 52 53 54 55⎟⎜ 5 ⎟ 56 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝CCCCCCσ 661⎠ ⎝ 62 63 64 65⎠⎝ε 6 ⎠ 66 Tương táckéo - cắt Tương tác ắtc - ắtc Tương táckéo-kéo July 2009 hnn MiTra uT – University of Civil Engineering – Ha noi 8(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
9. Vật liệu dị hướng: (a) vật liệu cán, (b) gỗ, (c) sợi thủy tinh trong nền epoxy, và (d) a tinh thể khối lập phương. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 9(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
10. 6.2. Biểu thức nội năng 6.2.6.2. Biểu Biểu thức thức nội nội năng năng Khiphântốbiếndạng, cácnộilực(ứngsuất) trêncác mặt của phân tố sẽ thực hiện các công (A) trên các chuyển vị đường và chuyển vị góc tương ứng của phân tố. Vật thể đàn hồi lý tưởng: năng lượng sinh ra khi biến dạng được bảo toàndo vậycôngcủanộilựctrênphântốsẽhoàntoàn chuyển hoá thành thế năng biến dạng đàn hồi (W) tích lũy trong trong phân tố: A = W ⇒=δ A δW Mà: δ A =+σ11 δε 11 σ 22 δε 22 ++++= σ 33 δε 33 σ 12 δε 12 σ 13 δε 13 σ 13 δε 13 σ ij δε ij Mặt khácthếnăngbiếndạngđàn hồi là hàmcủacácthành phần biến dạng ∂W ⇒=δW δε WW= ()εij ij ∂εij July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 10(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
11. 6.2. Biểu thức nội năng Định lý Green: cácthành phần nội lực (ứng suất) bằng đạo hàmriêngcủa thếnăngbiếndạngđàn hồi đối với biến dạng tương ứng ∂W (5.5) σ ij = ∂εij Công thức Clapeyron xác định thế năng biến dạng đànhồi 1 W = σ ε (5.6) 2 ij ij Định lý Castigliano ∂W εij = (5.7) ∂σ ij July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 11(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
12. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.3.6.3. Sự Sự thu thu gọn gọn c cáácc hằng hằng số số đ đàànn hồi hồi 6.3.1. Vật liệu đàn hồi dị hướng Phần lớn các vật liệu dị hướng đều có cấu trúc đối xứng, cáctính chất đối xứng hình học làmgiảmđisốlượngcác hằng số độc lập của ma trận độ cứng hay ma trận độ mềm. => 21 hằng số ⎡⎤CCCCCC11 12 13 14 15 16 ⎢⎥CCCCC ⎢⎥22 23 24 25 26 ⎢⎥CCCC33 34 35 36 []C = ⎢⎥ CCC ⎢⎥44 45 46 ⎢⎥§X CC ⎢⎥55 56 ⎣⎦C66 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 12(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
13. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi Trục đối xứng đànhồi: Trong hệ trụctoạ độ Ox1x2x3 và Ox’1x’2x’3 (x3≡x’3) tại1 điểmxácđịnh nếucáchằng số đàn hồiCij không thay đổi khi chuyển từ hệ trục này sang hệ trục khác bằng phép quay => x3 (x’3) là trục đốixứng đàn hồi Mặt phẳng đối xứng đàn hồi: Nếu phépbiếnđổilà đối xứng gương của các trục đối với một mặt phẳng nàođó thì mặt phẳng nàygọilà mặt phẳng đối xứng đàn hồi (mặt phẳng x1x2) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 13(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
14. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi Mặt phẳng đối xứng đàn hồi: Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ: July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 14(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
15. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.3.2. Vật liệu đơn nghiêng (monoclinic) Nếu tồn tại một mặt phẳng đối xứng đàn hồi (mặt phẳng vuông gócvớie3) thì gọi là vật liệu đơn nghiêng, khi đó số các hằng số độc lập trong ma trận độ cứng và độ mềm là 13. b a c e2 e’2 e’3 e1 e’1 e3 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 15(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
16. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.3.3. Vật liệu trực hướng (orthotropic) Vật liệu có 3 mặt phẳng đối xứng đànhồivuông góc với nhau từng đôi một, khi đó ma trậnđộcứngvà ma trận độ mềm chỉ còn 9 hằng số độc lập. 1⎡− 0⎤ 0 1⎡ 0⎤ 0 1⎡ 0⎤ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎢ 1⎥ 0 0⎢ − 1⎥ 0 0⎢ 1⎥ 0 0⎣⎢ 0⎦⎥ 1 0⎣⎢ 0⎦⎥ 1 0⎣⎢ 0− ⎦⎥ 1 b c a July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 16(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
17. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.3.4. Vật liệu đẳng ướngh ngang Nếu ộtm trong các ặtm phẳngc đối ự xứng r ut đà ệ i tl ậ av ủ ic ồ nh hướng là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng ướngh ngang. gv n ứ ộc nđ ậ r tà ma a M trận ộđ ềmm cỉh còn lại 5 hằng số độc ậpl. cos⎡ θ θ sin⎤ 0 ⎢ ⎥ CCC⎡11 12 12 0 0⎤ 0 []Q=sin − θ θ cos 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ CCC 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢12 22 23 ⎥ ⎣0 0⎦ 1 CCC⎢12 23 22 0 0⎥ 0 ⎢ 1 ⎥ 0⎢ 0 0 CC()22 − 23 0 0⎥ ⎢ 2 ⎥ 0⎢ 0 0 0 C66 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0⎣ 0 0 0C66 0⎦ July 2009 hnn MiTra uT – University of Civil Engineering – Ha noi 17(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
18. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.3.5. Vật liệu đẳng hướng Nếu mọi mặt phẳng đối xứng vật liệu trong vật liệu trực hướng đều là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng. Tính chất của vật liệu theo mọi phương là như nhau, lúcnàysốcác hằng số độc lập chỉ còn 2 ⎡⎤CCC11 12 12 000 C12 = λ ⎢⎥ ⎢⎥CCC12 11 12 0001 (CC11− 12 ) = μ ⎢⎥CCC12 12 11 0002 ⎢⎥ ⎢⎥1 000 (CC11− 12 ) 0 0 ⎢⎥2 λ, μ - hằng số Lamé ⎢⎥1 ⎢⎥000 0 (CC11− 12 ) 0 ⎢⎥2 ⎢⎥1 ⎢⎥000 0 0 (CC11− 12 ) ⎣⎦2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 18(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
19. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi Định luật Hooke cho vật thể đàn hồi đẳng hướng có thể viết dưới dạng sau: σ = 2με+ δ λθ σ11=+2με 11 λθ σ12= 2με 12 ij ij ij (5.13a) λ- hằng số Lamé σ 22=+2με 22 λθ σ13= 2με 13 μ – à σ = 2με modul đ nhồitrượt σ 33=+2με 33 λθ 23 23 E ⎡σ1 ⎤λ⎡ μ+ λ2 λ 0 0⎤⎡ 0ε1 ⎤ μ = ⎢σ ⎥ λ⎢ λ μ λ+ 2 0 0⎥⎢ 0ε ⎥ 21()+ν ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢σ3 ⎥ λ⎢ λ λ μ 2+ 0 0⎥⎢ε 03 ⎥ ν E ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ λ = ⎢τ 4 ⎥ 0⎢ 0 0μ 0⎥⎢γ 4 0⎥ ()()112+−ν ν ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ τ5 0 0 0 0μ γ 5 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ θ = εεεii =++11 22 ε 33 ⎢⎣τ6 ⎥⎦ 0⎢⎣ 0 0 0μ 0⎦⎥⎣⎢γ 6 ⎦⎥ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 19(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
20. 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi Dạng biểu diễn biến dạng qua ứng suất của định luật Hooke 1+ν ν 1 1+ν ε =−σδσ εσνσσ=−+⎡⎤()ε12 = σ12 ij ij ij kk 11 E ⎣⎦11 22 33 E EE 1+ν 1 ε = σ ν - hệ số Poisson εσνσσ=−+⎡⎤() 13 13 22 E ⎣⎦22 11 33 E 1 1+ν E ε = σ εσνσσ33 =−+⎣⎦⎡⎤33() 11 22 23 23 μ = E E 21()+ν ⎡ε1 ⎤/E/E/E⎡ 1 −ν ν − 0 0 0⎤⎡σ1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ε /E/E/E−ν 1 −ν 0 0 0 σ G (Sức bền Vật liệu) ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ε3 ⎥ /E/E/E−⎢ν ν − 1 0 0⎥⎢ 0σ3 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢γ 4 ⎥0⎢ 0 0 1/ μ 0⎥⎢τ 4 0⎥ ⎢γ ⎥0⎢ 0 0 0/ μ 1⎥⎢τ 0⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 5 ⎥ ⎢⎣γ 6 ⎥⎦0⎢⎣ 0 0 0 0/ μ⎦⎥⎣⎢ 1τ6 ⎦⎥ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 20(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
21. 6.4. Bàitoánđànhồituyếntính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản 6.4.6.4. B Bààitoitoáánđnđàànn hồi hồi tuyến tuyến tí tnhính đẳng đẳng hướng hướng 6.4.1. Cácphươngtrình cơ bản Vậtthể đàn hồituyếntínhcóthể tích V, mật độ vậtchất ρ bề mặt giớihạnS, nằmcânbằng dướitácđộng của ngoạilựcthể tích có cường độ f trong toàn bộ hay mộtphầnthể tích V, của ngoạilựcbề mặtcócường độ f* trên phầnS1 củamặtgiớihạn, và củacác chuyểnvị cưỡng bứcchotrước u0 trên phầnS2 củamặtgiớihạn. Mục đích: Xácđịnhứngsuất, chuyển vị và biến dạng của vật thể đàn hồi S1 • Bàitoántĩnh:gia tốc các chuyển vị bằng không V • Bàitoán động: gia tốc các chuyển S2 vị khác không July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 21(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
22. 6.4. Bàitoánđànhồituyếntính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản Phương hướng giải quyết: • Các phương trình cân bằng: quan hệ giữa các ứng suất với nhau, giữa cácứngsuấtvà các ngoại lực. • Các phương trình hình học: quan hệ giữa cácbiếndạngvà chuyển vị, cácquanhệgiữacác biến dạng với nhau. • Các phương trình vật lý: quan hệ giữa cácứngsuấtvà cácbiếndạng (định luật Hooke). • Tìmcách giải hệ thống các phương trình kể trên. Các phương trình cơ bản July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 22(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
23. 6.4. Bàitoánđànhồituyếntính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy (3.7) ∂∂∂σσσ11 21 31 + ++=f1 0 ∂∂∂xxx123 ∂∂∂σσσ12 22 32 + ++=f2 0 (5.16) ∂∂∂xxx123 ∂∂∂σσσ31 32 33 + ++=f3 0 ∂∂∂xxx123 b. Hệ phương trình hình học Cauchy (4.15) ∂u1 ∂uu21∂ ε = γγ12== 212 ε 12 = + 11 ∂xx∂ ∂x1 12 ∂u2 ∂u3 ∂u2 ε 22 = γγ23== 322 ε 23 = + (5.17) ∂x2 ∂xx23∂ ∂u3 ∂u3 ∂u1 ε 33 = γγ13== 312 ε 13 = + ∂x3 ∂xx13∂ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 23(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
24. 6.4. Bàitoánđànhồituyếntính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản c. Hệ phương trình tương thích Saint-Venant (4.33-4.34) 22 2 2 ∂∂ε11εεγ 22 ∂12 ∂12 22+=2 = ∂x21 ∂xxxxx ∂∂ 1212 ∂∂ 2 222 ∂ ε11 ∂∂∂ε 33 εγ13 13 22+=2 = ∂x31 ∂xxxxx ∂∂ 1313 ∂∂ 2 222 ∂ ε 22 ∂∂∂ε 33 εγ23 23 22+=2 = ∂∂x32xxxxx ∂∂∂∂ 2323 (5.18) ∂∂2ε ∂ ⎛⎞∂∂εεε 11 =−++⎜⎟23 31 12 ∂∂xx23 ∂ x 1⎝⎠ ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ∂∂2εε∂ ⎛⎞∂∂ε ε 22 =−++⎜⎟31 12 23 ∂∂xx31 ∂ x 2⎝⎠ ∂ x 2 ∂ x 3 ∂ x 1 ∂∂2ε ∂ ⎛⎞∂ε εε∂ 33 =−++⎜⎟12 23 31 ∂∂xx12 ∂ x 3⎝⎠ ∂ x 3 ∂ x 1 ∂ x 2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 24(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
25. 6.4. Bàitoánđànhồituyếntính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản d. Hệ phương trình vật lý (Định luật Hooke) (5.13a-5.13b) Hệ gồm 15 phương trình σ11=+2με 11 λθ σ = 2με 12 12 vi phân và đại số: σ 22=+2με 22 λθ σ13= 2με 13 • 3 phương trình (5.16) • 6 phương trình (5.17) σ =+2με λθ σ 23= 2με 23 hoặc (5.18) 33 33 (5.19a) • 6 phương trình (5.19a) 1 1+ν hoặc (5.19b) ε = σ εσνσσ11 =−+⎣⎦⎡⎤11() 22 33 12 12 E E 15 hàmẩn: 6 ứng 1+ν 1 ε = σ suất + 6 biến dạng + εσνσσ=−+⎡⎤() 13 13 22 E ⎣⎦22 11 33 E 3 chuyển vị 1 1+ν ε = σ Điều kiện biên ??? εσνσσ33 =−+⎣⎦⎡⎤33() 11 22 23 23 E E (5.19b) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 25(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
26. 6.4. Bàitoánđànhồituyếntính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản 6.4.2. Điều kiện biên a.a. Điều Điều kiện kiện biên biên theo theo ứng ứng suất suất (điều (điều kiện kiện biên biên tĩnh tĩnh học) học) Trên bề mặtS1 củavậtthể * chịulựcbề mặtcường độ fi * σσσ11lllf 1++= 21 2 31 3 1 * σσσ12lllf 1++= 22 2 32 3 2 * σσσ13lllf 1++= 23 2 33 3 3 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 26(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
27. b.b. Đi Điềuều ki kiệnện biên biêntheo theochuy chuyểnển v vịị ( (điềuđiều ki kiệnện biên biênđ độngộng h học)ọc) Trên phần bề mặt S2 chịu các chuyển vị hoặc cácđạohàm của chuyển vị cưỡng bức usi = u0i ; vsi = v0i (hoặc cácđạohàm của chuyển vị) u0, v0 là cácthành phần chuyển vị đã biết trên bề mặt. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 27(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
28. 6.4. Bàitoánđànhồituyếntính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản c.c. Nguyên Nguyên lý lý Saint-Venant Saint-Venant Khi giải cácbàitoán biên, để giảm bớt khó khănkhi tính toán người ta thường sử dụng một nguyên lý nổi tiếng là nguyên lý Saint-Venant: Nếu trên một miền nhỏ của vật thể đànhồicó tác dụng một hệ lực trong trạng thái cân bằng , thì ởnhữngnơiđủxamiềnđặtlựcđó, trạng thái ứng suất và biến dạng chỉ phụ thuộc vào hợp lực đặt vào, mà không phụ thuộc vàohình thức phân bố của cáclựcđó. Áp dụng nguyên lý này, ta có thể thay thế cácđiều kiện biên vi phân viết theo ứng suất bằng cácđiều kiện biên tích phân viết theo hợp lực. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 28(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
29. Saint-Venant’s Principle July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 29(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
30. 6.5. Cáccách giải bàitoán lý thuyết đànhồi 6.5.6.5.CCááccccááchch giải giải b bààitoitoáánn lý lý thuyết thuyết đ đàànn hồi hồi Nếu giải cùng lúc 15 phương trình trên để nhận được 15 ẩn số: cồng kềnh về mặt toán học Thu gọn về một số phương trình để tìmmộtsốhàmẩnchính - các phương trình để giải của bàitoán ƒ Cách giải theo chuyểnvị: chọncácẩncơ bản là các thành phần chuyểnvị ƒ Cách giải theo ứng suất: chọncácẩncơ bản là các thành phần ứng suất ƒ Cách giảihỗnhợp: Chọnmộtphần ẩn chuyểnvị, mộtphần ẩn ứng suất Các ẩnsố còn lạisẽ tìm đượcsaukhiđãxácđịnh đượccácẩnsố chính. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 30(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
31. 6.5. Cáccách giải bàitoán lý thuyết đànhồi 6.5.1. Cách giải theo chuyển vị Ẩnsố là các thành phần chuyểnvị ui , để xácđịnhchúng cần 3 phương trình Từ 3 phương trình cân bằng, biểudiễn ứng suất qua biếndạng, rồibiến dạng qua chuyểnvị ta nhận được hệ phương trình Lamê. 2 ∂uu12∂ ∂u3 2 ∂θ ⎛⎞du1 θ =++ μμλ∇++uf11() += 0⎜⎟2 ∂x123∂∂xx ∂xdt1 ⎝⎠ ∂θ ⎛⎞du2 ∂222∂∂ μμλ∇++2uf() += 02 ∇=2 + + 22⎜⎟2 222 ∂x2 ⎝⎠dt ∂x123∂∂xx 2 2 ∂θ ⎛⎞du3 μμλ∇++uf33() += 0⎜⎟2 Nabla kép ∂xdt3 ⎝⎠ (5.21) Giải (5.21) u i Pt quan hệ cvị-bdạng ε i Định luật Hooke σi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 31(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
32. 6.5. Cáccách giải bàitoán lý thuyết đànhồi 6.5.2. Cách giải theo ứng suất Sáu ẩn ứng suất cần 6 phương trình. Ba phương trình cân bằng (hoặc chuyển động) và điều kiện biên không đủ xác định trạng tháiứngsuất một cách duy nhất => Bàitoánsiêutĩnh=> Cầnbổsung phươngtrình : biến đổi phương trình tương thich biến dạng Từ các pt tương thích, biểu diễn biến dạng qua ứng suất nhờ các pt định luật Hooke, chú ý đến 3 pt cân bằng ta nhận đượchệ pt Beltrami-Michel ∂2S ∂2S (1+∇v ) 2σ + =0 (1+ v )∇+2σ =0 S = σ ++σσ 11 2 12 ∂∂xx 11 22 33 ∂ x1 12 2 2 là hàm tổng ứng suất 2 ∂ S 2 ∂ S (1+∇v ) σ 22 +2 =0 (1+ v )∇+σ13 =0 ∂ x2 ∂∂xx13 2 2 2 ∂ S 2 ∂ S (1+ v )∇+σ 23 =0 (1+∇v ) σ 33 +2 =0 ∂∂xx23 (5.22) ∂ x3 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 32(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
33. 6.5. Cáccách giải bàitoán lý thuyết đànhồi 6.5.3. Các phương phápgiải-Lờigiảigiảitích và lời giải số Bàitoán thuận: xác định ứng suất, biến dạng xuất hiện trong vật thể có hình dáng cho trước, chịu tác dụng của lực ngoài cho trứơc => Tích phân phương trình vi phân cân bằng hay chuyển động với điều kiện biên và điều kiện ban đầu ¾ Phương pháp thuận: Tích phân trực tiếp các phương trình, các hằng số xác định theo điều kiện biên. Khó khăn về mặt toán học. Bàitoán ngược: cho biết trước biến dạng hay ứng suất, cần phải xác định lực ngoàitácdụnglênvậtthểđểsinhrabiếndạngđó ¾ Phương phápngược: Cho nghiệm, thử cácđiềukiệncủabàitoán. Nếu đúng thì nghiệm ban đầu cho là đúng, nếu sai thì chọn lại nghiệm khác. Khó khăn về mặt thời gian (chỉ dùng trong một số bài toán đơn giản). July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 33(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
34. 6.5. Cáccách giải bàitoán lý thuyết đànhồi ¾ Phương pháp nửa ngược (Saint-Venant): Cho dạng nghiệm, dạng này có thểđãthoảmãnmộtvàiđiềukiệnnàođó của bàitoán nhưng dạng nghiệm còn chứa một số hằng số hoặc hàmsốchưaxácđịnh. Những hàm số, hằng số nàycó thể tìm được từ những điều kiện còn lại của bài toán. (đa số cácbàitoánsửdụngphươngphápnày) Phần lớn cácbàitoán quan trọng của kỹ thuật đều giải bằng phương pháp nửa ngược ™Các dạng lời giải: • Lời giải giải tích: cho kết quả nghiệm là những hàmsốgiải tích - biết nghiệm tại mọi điểm của vật thể => Phương pháp giải tích. • Lời giải số: cho kết quả nghiệm bằng số tại một số điểm của vật thể. => Phương phápsố. • Cùng với sự phát triển của công cụ tính toán, phương pháp số ngàycàng được ứng dụng rộng rãi và tỏ ra rất hữu hiệu trong việc giải quyết cácbàitoán thực tế kỹ thuật (phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn ) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 34(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
35. Bài toán phẳng p0 p(x) * B lm()στ+= () f A x sxysx β x ml() () f* στys+= xys y h Ví d (đi uki nbiên ng su t) ụ ề ệ ứ ấ C y l AB（y = 0）： l=0 , m= − 1 x ffpxp ==−=−0, ( ) xy l 0 ⋅0σ +τ ( ⋅ 1 −= ) 0 τ = 0 x xy xy y=0 ⋅σ( − 1 τ ) + ⋅ 0p = x− ( ) x y yx σ =p() x = p y y=0 l 0 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 35(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
36. p Biên AC p(x) 0 B D A x+cos( lN , ) == cos(90β ) β x =−sin β h C mcos(= N ,= ) y β cos y l (σ sin⋅x − β )+τxy ⋅ β cos= 0 σcos⋅ βy τ + β yx ( ⋅ − sin = ) 0 July 2009 hnn MiTra uT – University of Civil Engineering – Ha noi 36(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
37. Điều kiện biên chuyển vị p p(x) 0 B A β x ⎧us = u ⎪ h ⎨vs = v C ⎪ y l w⎩ s = w |ux= l= 0 , vx |= l= 0 BC（x = l）： ∂u ∂v =0 ,= 0 ∂y x= l ∂x x= l July 2009 hnn MiTra uT – University of Civil Engineering – Ha noi 37(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
38. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 38(39) Email: tpnt2002@yahoo.com