Giáo trình Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 7: Bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc - Trần Minh Tú

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 7: Bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc - Trần Minh Tú

1. ®¹i häc CƠCƠ SỞSỞ CƠCƠ HỌCHỌC MÔIMÔI TRƯỜNGTRƯỜNG LIÊNLIÊN TỤCTỤC VVÀÀ LÝLÝ THUYÊTTHUYÊT ĐĐÀÀNN HỒIHỒI TrầnMinhTú ĐạihọcXâydựng–Hànội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 1(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
2. Chương 7 Bàitoánđàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 2(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
3. NỘI DUNG 7.1.7.1. B Bààitoitoáánn ứng ứng suất suất phẳng phẳng 7.2.7.2. B Bààitoitoáánn biến biến dạng dạng phẳng phẳng 7.3.7.3. Giải Giải b bààitoitoáánn phẳng phẳng theo theo ứng ứng suất suất - - H Hààmm ứng ứng suất suất Airy Airy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 3(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
4. Mở đầu Bàitoán không gian: là bàitoán tổng quát, cácđạilượngtính toán như ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vàobabiếnsốtrongtoạđộ không gian ba chiều. Bàitoán phẳng: Các đại lượng cần xác định chỉ phụ thuộc vàohai trong ba biến số toạ độ. Loại bàitoánnàychialàmhainhóm: bàitoán ứng suất phẳng và bàitoán biến dạng phẳng. Bàitoán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong một mặt phẳng. Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên chiều dàytấmvà song song với mặt trung bình. Bàitoán biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong một mặt phẳng. Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng không đổi theo chiều dài thuộc lớp bàitoánnày. Để thuận tiện khi sử dụng đối với bàitoán phẳng ta kí hiệu hệ trục trong mặt phẳng trung bình tấm là x, y thay cho x1, x2 và trục vuông gócvới mặt trung bình theo phương chiều dàytấmlà z. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 4(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
5. 7.1. Bàitoán ứng suất phẳng 7.1.7.1. B Bààitoitoáánn ứng ứng suất suất phẳng phẳng Giả thiết: - Tải trọng nằm trong mặt phẳng tấm (xy) - Chiều dàytấmlà bé so với cáckích thước còn lại (h<<D) -Ví dụ: tấm mỏng σ y τ xy (σ z )z= ± h = 0 τ xy σ x τ = 0 ( zx )z= ± h σ y τ xy τ = 0 τ ( zy z)= ± h xy σ x σx,,σ yτ xy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 5(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
6. 7.1. Bàitoán ứng suất phẳng 1. Đặc điểm: ƒ Giả thiết:σ zx===σσ zy zz 0 (mặttrênvàdưới không có tảitrọng)=> γ zx==γ zy 0 ƒ Các ẩnsốứng suất: σ xx; σσ yy; xy ƒ Các ẩnsố biếndạng: ε xx ; εεyy ; xy ⎛⎞1 μ εμσσεε=−⎡⎤ + =⎡⎤ + ≠0 ⎜⎟zz ⎣⎦()xx yy ⎣⎦xx yy ⎝⎠E 1− μ 2. Phương trình cân bằng: ∂σ ∂σ xx + yx +=f 0 ∂∂xyx ∂σ ∂σ xy+ yy +=f 0 ∂∂xyy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 6(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7. 7.1. Bàitoán ứng suất phẳng 3. Phương trình động hình học Cauchy ∂u ∂v 1 ∂uv∂ ε = ε = ε xy =+() xx ∂x yy ∂y 2 ∂y ∂x 4. Phương trình tương thích: ∂ 2ε ∂ε2 ε ∂ 2 xx + yy = 2 xy ∂y2 ∂ x2 ∂x ∂ y 5. Phương trình định luật Hooke: 1 ⎡⎤ ⎡ ⎤ ε xxx=−⎣⎦σνσxyy E ⎧σ x ⎫ 1ν 0 ⎧ε x ⎫ ⎪ ⎪ E ⎢ ⎥⎪ ⎪ 1 ⎨σ y ⎬ = ⎢ν 1 0 ⎥⎨ε y ⎬ ⎡⎤ 2 ε yy =−⎣⎦σνσyy xx ⎪ ⎪ 1−ν ⎢ 1−ν ⎥⎪ ⎪ E τ xy 0⎢ 0 ⎥ γ xy ⎩ ⎭ ⎣ 2 ⎦⎩ ⎭ 11+ν ε ==σσ xyx2μ yE xy ν εzz =−() εxx +ε yy 1−ν July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 7(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
8. 7.2. Bàitoán biến dạng phẳng 7.2. Bàitoán biến dạng phẳng 7.2. Bàitoán biến dạng phẳng ε y γ xy γ Chỉ tồn tại biến dạng trong một mặt phẳng xε ,,ε yγ xy xy ε x Đập nước Đoạn chiều dài 1 đ.v 1 σ y τ xy y τ xy σ x σ z x z Ống trụ chịu áp lực trong hoặc ngoài, hai đầu bị ngàmchặt July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 8(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
9. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 9(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
10. 7.2. Bàitoán biến dạng phẳng 1. Đặc điểm: ƒ Giả thiết: ε zx===εε zy zz 0 ⇒==σ zxσ zy 0; (σ zz ≠ 0) ƒ Các ẩnsốứng suất: σ xx; σσ yy; xy ƒ Các ẩnsố biếndạng: ε xx ; εεyy ; xy ∂σ ∂σ 2. Phương trình cân bằng: xx + yx +=f 0 ∂∂xyx ∂σ ∂σ xy+ yy +=f 0 ∂∂xyy 3. Phương trình động hình học Cauchy ∂u ∂v 1 ∂∂uv ε = ε = ε xy =+() xx ∂x yy ∂y 2 ∂∂y x 4. Phương trình tương thích: ∂ 2ε ∂ε2 ε ∂ 2 xx + yy = 2 xy ∂y2 ∂ x2 ∂x ∂ y July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 10(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
11. 7.2. Bàitoán biến dạng phẳng 1 Vì: ⎡⎤⇒=σ νσ + σ εσνσσzz =−+=zz() xx yy 0 zz( xx yy ) E ⎣⎦ E 11−νν2 ⎛⎞E = Mà: ⎡⎤ 1 2 εσνσσxxx=−+=xy()yzz⎜⎟ σ xx − σ yy 1−ν EE⎣⎦⎝⎠1−ν ν 5. Phương trình định luật Hooke: ν = ν1 1 1/E1 1−ν 1 εσνσ=−⎡⎤ xxxE ⎣⎦xy1 y ⎡ ⎤ 1 ⎧σ x ⎫ 1−ν ν 0 ⎧ε x ⎫ E ⎢ ⎥ 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ εσνσ=−⎡⎤⎨σ y ⎬ = ν ν1− 0 ⎨ε y ⎬ yy ⎣⎦yy1 xx 1()()+ν ν1 − 2⎢ 1− ν 2 ⎥ E1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ τ xy ⎢ 0 0 ⎥ γ xy ⎩ ⎭ ⎣ 2 ⎦⎩ ⎭ 1 1+ν1 ε xyx==σσy xy 2μ E1 σνσσzzxxyy=+() July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 11(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
12. 7.3. Giải bàitoán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.1. Nhận xét chung về cácbàitoán phẳng: ¾ Các phương trình cơ bảncủa bài toán biếndạng phẳng và ứng suất phẳng về mặt toán học là hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau ở phương trình vậtlý(E vàE1, ν và ν1) => Phương pháp giảigiống nhau. ¾ Bàitoán phẳng có 8 ẩn số (3 ứng suất, 3 biến dạng và 2 chuyển vị). Ta có 8 phương trình để tìmcác nghiệm trên (2 pt cân bằng, 3 pt động hình học và 3 pt vật lý) ¾ Các điều kiện biên tĩnh học để xácđịnhcác hằng số tích phân: * σ+σ=xxxyxlmf * σ+σ=xyyyylmf ¾ Có cùng phương trình tương thích 2 (Biểudiễnbiếndạng qua ứng suấtkếthợpvới ∇+=()σσxx yy 0 phương trình cân bằng, lựcthể tích =const) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 12(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
13. 7.3. Giải bàitoán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.2. Hàm ứng suất Airy cho bàitoán phẳng Airy đề xuất cách giải bàitoánđàn hồi phẳng: Thay cho việc xácđịnh ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xácđịnhmộthàm duy nhất- hàm ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn: -L-Lààhhààmm hai hai biến biến độc độc lập lập (x, (x, y) y) Khi Khi bỏ bỏ qua qua lực lực thể thể tí tch:ích: 2 2 ∂ 2ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ σ = − σ xx = σ = xy ∂y 2 yy ∂x 2 ∂x ∂ y Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích => Pt điều hoà Levy có dạng: ∂∂∂444ϕϕϕ Phương trình ∇=4ϕ +20 + = ∂∂∂∂xxyy4224 điều hoà kép July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 13(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
14. 7.3. Giải bàitoán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.4. Đường lối giải bàitoán LTĐH Thông thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác (khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục). a. Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực tiếp pt bi điều hòa, từ đó xácđịnhcácthành phần ứng suất => Khó khăn khi muốn có lời giải chính xác. b. Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ đó tìm ngược lại tải trọng từ đk bề mặt. => Chỉ giải quyết được một số bàitoán đơn giản. VD: Khảo sát tấm chữ nhật, tấm tam giác. Cho trước đầy đủ dạng hàm ϕ và suy ngược lại tải trọng đặt lên biên của tấm. y y a c b x x b July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 14(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
15. 7.3. Giải bàitoán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy Cácbướcgiải: ∂φ444 ∂φ ∂φ • Kiểm tra điều kiện: ∇4ϕ= +20 + = ∂∂∂∂xxyy4224 • Xácđịnhcácthành phần ứng suất ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ σ = σ = σ xy= − xx ∂y 2 yy ∂x 2 ∂x ∂ y •Tìm tải trọng theo điều kiện biên Trên mỗi biên xácđịnhcác cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài n với hai trục x, y: l = cos(n,x) ; m = cos(n, y) σxxl+ σyxm= fx* σxyl+ σyym= fy* • Biểu diễn tải trọng trên biên (phương, chiều và độ lớn) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 15(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
16. c. Đường lối nửa ngược: Chọn hàm ϕ chứamộtsốhệsốdướidạngẩn, sau đó tìm biểu thức ứng suất, rồi buộc những biểu thức này thỏa mãn đk biên, từ đó xácđịnhđượccáchệsốvà các số hạng chưa biết. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 16(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
17. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 17(39) Email: tpnt2002@yahoo.com