Giáo trình cơ sở lý thuyết tập hợp và logic Toán (Phần 2)

Nội dung text: Giáo trình cơ sở lý thuyết tập hợp và logic Toán (Phần 2)

1. Tiểu chủ đề 1.7. đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược Thông tin cơ bản Deleted: 7.1. Đơn ánh Formatted: Heading02, Space Before: 0 pt Ta xét các ánh xạ trong ví dụ sau: Formatted: Heading03 Ví dụ 7.1: Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và hai ánh xạ f : X → Y, g : X → Y xác định b?i các bảng sau đây: Hai ánh xạ f và g được biểu diễn bởi hai lược đồ hình tên trong Hình 8 dưới đây. Hình 2 Ta thấy ba phần tử b, d, e của tập hợp X đều có ảnh qua ánh xạ f là phần tử 2 của tập hợp Y. Trong lược đồ 8a), ba mũi tên từ ba điểm b, d, e của X đều đi đến điểm 2 của Y. Điều này không xảy ra với ánh xạ g. Các phần tử a, b, c, d, e của tập hợp X có các ảnh qua ánh xạ g là những phần tử đôi một khác nhau của tập hợp Y. Trong lược đồ 8 b), các mũi tên từ hai điểm khác nhau của X đi đến hai điểm khác nhau của Y. Nói một cách khác, hai phần
2. tử khác nhau bất kì của tập hợp X có ảnh qua ánh xạ g là hai phần tử khác nhau của tập hợp Y. Ánh xạ g được gọi là một đơn ánh. Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa: ánh xạ f: X → Y gọi là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kì của tập X có ảnh qua f là hai phần tử khác nhau của tập hợp Y, tức là với mọi x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2). Hiển nhiên, điều kiện trên tương đương với điều kiện sau: Với mọi x1, x2 ∈ X, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 Theo định nghĩa vừa nêu, hiển nhiên ánh xạ f trong Ví dụ 1 không phải là một đơn ánh. Ví dụ 7.2 : (i) Ánh xạ f : ⏐R → ⏐R xác định bởi f(x) = x2 không phải là một đơn ánh vì chẳng hạn, f(−1) = f(1) = 1. (ii) Ánh xạ g : N* → Q xác định bởi g(n) = là một đơn ánh vì với hai số nguyên dương m, n bất kì, nếu m ≠ n thì ≠ . (iii) Ánh xạ ϕ : ⏐R →⏐R xác định bởi (x) = sin x không phải là một đơn ánh vì chẳng hạn, ϕ(0) = ϕ (π) = 0. Tuy nhiên, nếu đặt A = {x ∈⏐R : ≤ x ≤ } thì ánh xạ /A : A → ⏐R, thu hẹp của trên tập con A của ⏐R là một đơn ánh. Tương tự, ánh xạ (x) = cos x không phải là một đơn ánh. Tuy nhiên, nếu dặt B = {x ∈⏐R : 0 ≤ x ≤ π} thì ánh xạ /B : B →⏐R, thu hẹp của trên tập con B của ⏐R là một đơn ánh. ánh xạ h : ⏐R → ⏐R xác định bởi h(x) = ⏐x⏐ không phải là một đơn ánh nhưng ánh xạ h/R+ ⏐R, thu hẹp của h trên tập hợp ⏐R+ các số nguyên không âm R+ là một đơn ánh. (iv) Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh và A là một tập con của tập hợp X thì ánh xạ f/A : A → Y, thu hẹp của f trên A, là một đơn ánh. 7.2. Toàn ánh Formatted: Heading03 Ta trở lại xét hai ánh xạ f và g trong Ví dụ 2.1.
3. ảnh của ánh xạ f là f(X) = {1, 2, 3}. Mỗi phần tử 4, 5, 6,7, 8 của Y không phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X qua ánh xạ f; f(X) là một tập con thực sự của Y, tức là f(X) ⊂ Y và f(X) ≠ Y. Tương tự, ảnh của ánh xạ g là g(X) = {1, 3, 4, 6, 7}. Mỗi phần tử 2, 5, 8 của Y không nhận một phần tử nào của Y làm ảnh của nó qua ánh xạ g. g(X) cũng là một tập con thực sự của Y. Ta xét một ví dụ khác. Ví dụ 7.3 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f} và Y = {M, N, P, Q}. Xét ánh xạ ϕ : X → Y cho bởi bảng sau: ánh xạ ϕ được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong hình 9 Hình 9 Khác với hai ánh xạ f và g trong Ví dụ 1, ở đây ảnh của ϕ là ϕ(X) = {M, N, P, Q} = Y. Như vậy mỗi phần tử của Y dều là ảnh của một phần tử nào đó của X qua ánh xạ ϕ. Người ta gọi ánh xạ ϕ là một toàn ánh. Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa ánh xạ f: X → Y được gọi là một toàn ánh nếu ảnh của ánh xạ f bằng tập đến của ánh xạ, tức là: f(X) = Y. Từ định nghĩa của toàn ánh suy ra rằng f : X → Y là một toàn ánh khi và chỉ khi với mỗi y ∈ Y, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho f(x) = y. Hiển nhiên các ánh xạ f và g trong Ví dụ 1 không phải là những toàn ánh. Ví dụ 7.4:
4. (i) Đặt A = {x ⏐R : 0}). (iii) ánh xạ h : ⏐R → Xác định bởi h(x) = ex là một song ánh với mỗi số dương y, tồn tại một số thực duy nhất x sao cho f(x) = ex = y.
5. (iv) ánh xạ ϕ : ⏐R+ →⏐R+ xác định bởi f(x) = là một song ánh vì với mỗi số thực không âm y, tồn tại một thực không âm duy nhất x sao cho ϕ (x) = = y. (v) Đặt A = {x ∈⏐R: 0 < x < π}. ánh xạ ψ : A →⏐R xác định bởi g(x) = cotgx là một song ánh từ A lên ⏐R vì với mỗi số thực y, tồn tại một phần tử duy nhất x ∈ A sao cho ψ (x) = cotgx = y. 7.4. ánh xạ ngược Formatted: Heading03 Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y. Khi đó, với mỗi phần tử y ∈ Y, tồn tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = y. a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y. ánh xạ: g : Y → X xác định bởi: y → g(y) = x, trong đó x là phần tử duy nhất của X sao cho f(x) = y, gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f. ánh xạ ngược của song ánh f : X → Y được kí hiệu là f−1. Tính chất đặc trưng của ánh xạ ngược được cho trong định lí sau: b) Định lí: Nếu f : X → Y là một song ánh và f : Y → X là ánh xạ ngược của f thì với mọi x ∈ X, y ∈ Y, f−1 (f(x)) = x và f (f−1 (y)) = y, (1) tức là: f = Ix và fo f−1 = IY, trong đó IX và IY, theo thứ tự, là ánh xạ đồng nhất trên tập hợp X và tập hợp Y. Nói một cách khác, hai lược đồ sau là giao hoán. Hình 10 Chứng minh: Giả sử y là một phần tử bất kì của Y. Khi đó f−1(y) = x, trong đó x là phần tử duy nhất của X sao cho f(x) = y. Do đó f (f−1 (y)) = f(x) = y. Ta đã chứng minh hệ thức thứ hai trong (1). Nếu x là một phần tử bất kì của X thì y = f(x) ∈ Y. Vì f là một đơn ánh nên x là phần tử duy nhất có ảnh qua ánh xạ f là y. Do đó f−1(y) = x và ta có f−1 (f(x)) = f−1(y) = x.
6. Ta sẽ thấy f−1 là ánh xạ duy nhất thoả mãn đồng thời hai hệ thức trong (1). Đó là hệ quả của định lí sau: c) Định lí. Giả sử hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → X thoả mãn các hệ thức sau: g (f(x)) = x với mọi x ∈ X và f (g (y)) = y với mọi y ∈ Y (2) Khi đó (i) f và g là những song ánh. (ii) g là ánh xạ ngược của f. Chứng minh : Trước hết ta chứng minh f là một song ánh. Với mỗi y ∈ Y, x = g(y) là một phần tử của X. Theo giả thiết, ta có f(x) = f(g(y)) = y. Do đó f là một toàn ánh. Với hai phần tử bất kì x1, x2 ∈ X, nếu f(x1 = f(x2) thì g(f(x1) = g (f(x2)). Do đó, từ hệ thức thứ nhất trong (2) suy ra x1 = x2. Vậy f là một đơn ánh. f vừa là toàn ánh vừa là đơn ánh nên nó là một song ánh. Tương tự, g cũng là một song ánh. Bây giờ ta chứng minh g là ánh xạ ngược của X, tức là g(y) = f−1 (y) với mọi y ∈ Y. Thật vậy, giả sử y là một phần tử bất kì của Y và g (y) = x. Từ hệ thức thứ hai trong (2) suy ra f(x) = f(g(y)) = y. Vì f là một đơn ánh nên x là phần tử duy nhất của x có ảnh là y qua ánh xạ f. Do đó f−1(y) = x = g(y). Từ định lí trên suy ra rằng: d) Nếu g : Y → X là ánh xạ ngược của ánh xạ f : X → Y thì f là ánh xạ ngược của g. Do đó: (f−1)−1 = f. Quan hệ giữa các ánh xạ ngược f− và g−1 của hai song ánh f : X → Y và g : Y → Z với ánh xạ ngược (gof)−1 của ánh xạ hợp gof Z được cho trong định lí sau. e) Định lí Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Khi đó (i) Nếu f và g là những đơn ánh thì ánh xạ hợp gof là một đơn ánh. (ii) Nếu f và g là những toàn ánh thì gof là một toàn ánh. (iii) Nếu f và g là những song ánh thì gof là một song ánh, và (gof)−1 = f−1 . g−1, tức là lược đồ sau là giao hoán.
7. Hình 11 Chứng minh Đặt h = gof. (i) Với mọi x1, x2 ∈ X, nếu x1 ∈ x2 thì do f là một đơn ánh nên f(x1) ≠ f(x2). Vì g là một đơn ánh nên g(f(x1)) ≠ g(f(x2)), tức là h(x1) ≠ h(x2). Vậy h = gof là một đơn ánh. (ii) Giả sử z là một phần tử bất kì của Z. Vì g : Y → Z là một toàn ánh nên tồn tại y ∈ Y sao cho g(y) = z. Lại vì f : X → Y là một toàn ánh nên tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y. Do đó g(f(x)) = g(y) = z, tức là h(x) = z. Vậy h là một toàn ánh. (iii) Nếu f và g là những song ánh thì f và g vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Do đó từ (i) và (i) suy ra rằng h = gof cũng vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, tức là gof là một song ánh. Do đó tồn tại các ánh xạ ngược f−1 : Y → X, g−1 : Z → Y và (gof)−1 : Z → X. Ta chứng minh: (gof)−1 (z) = f−1 (g−1 (z)) với mọi z ∈ Z. Thật vậy, giả sử z là một phần tử bất kì của Z. Vì g là một song ánh nên tồn tại một phần tử duy nhất y ∈ Y sao cho: g(y) = z (1) Vì f là một song ánh nên tồn tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho: f(x) = y (2) Từ (1) và (2) suy ra g (f(x)) = g(y) = z, tức là: h(x) = z (3) Vì g, f, h là những song ánh nên từ (1), (2), (3) suy ra: g−1(z) = y, f−1(y) = x và h−1 (z) = x. Do đó: f−1 (g−1(z)) = f−1 (y) = x = h−1 (z). f) Hoán vị của một tập hợp Giả sử X là một tập hợp cho trước. Mỗi song ánh f : X → X từ tập hợp X lên X gọi là một hoán vị của tập hợp X.
8. Hiển nhiên ánh xạ đồng nhất IX trên tập hợp X là một hoán vị của tập hợp X. Từ định lí e) suy ra rằng ánh xạ hợp của hai hoán vị của tập hợp X là một hoán vị của tập hợp X. Nếu X là một tập hợp hữu hạn, chẳng hạn X có n phần tử thì định nghĩa của hoán vị nêu trên tương đương với định nghĩa hoán vị của một tập hợp n phần tử mà ta đã biết trong sách giáo khoa toán ở bậc phổ thông trung học. Hoạt động 7.1. Tìm hiểu đơn ánh, toàn ánh và song ánh Sinh viên đọc thông tin cơ bản rồi thảo luận theo nhóm 2 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Nhiệm vụ Formatted: Heading03 Nhiệm vụ 1 : Formatted: Heading04 − Cho ba ví dụ về ánh xạ không phải là đơn ánh cũng không phải là toàn ánh. − Cho ba ví dụ về đơn ánh không phải là toàn ánh. − Cho ba ví dụ về toán ánh không phải là đơn ánh. − Cho ba ví dụ về ánh xạ f : X → Y không phải là đơn ánh nhưng thu hẹp f/A của nó trên một tập con A của X là một đơn ánh. − Cho n ánh xạ f1 : X → X1, f2 : X1 → X2, fn = Xn−1 → Xn và đặt h = fn . fn−1. . f1 : X → Xn. • Nếu h1 hn là những đơn ánh thì h có phải là một đơn ánh hay không? • Nếu h1, , hn là những toàn ánh thì h có phải là một toàn ánh hay không? • Nếu h1, , hn là những song ánh thì h có phải là một song ánh hay không? Nhiệm vụ 2 : − Tập hợp X có m phần tử, tập hợp Y có n phần tử cho m n. Tồn tại hay không một đơn ánh từ X vào Y? − Cho hai ví dụ về ánh xạ f : X → Y không phải là song ánh nhưng ánh xạ thu hẹp h = f/A của f trên một tập hợp con A của X là một song ánh. Tìm ánh xạ ngược của h. − Tìm hai cặp ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z sao cho f không phải là một toàn ánh nhưng ánh xạ hợp gof là một toàn ánh. Đánh giá hoạt động 7.1
9. 1. Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai ánh xạ f : A → B, g : A → B xác định bởi hai bảng sau: a) Biểu diễn các ánh xạ f và g bởi lược đồ hình tên. b) f và g có phải là đơn ánh không? 2. Cho hai tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Y = {a, b, c, d, e, f} và hai ánh xạ f, g : X → Y xác định bởi các bảng sau: a) Biểu diễn các ánh xạ f và g bởi lược đồ hình tên. b) f và g có phải là toàn ánh hay không? 3. Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1,2,3,4,5} và hai ánh xạ f, g : X → Y xác định bởi các bảng sau: a) Biểu diễn f và g bởi lược đồ hình tên. b) Chứng minh rằng f và g là những song ánh và tìm ánh xạ ngược của f và g. 4. Cho hai số thực a, b, a ≠ 0. Chứng minh rằng ánh xạ f : ⏐R →⏐R xác định bởi f(x) = ax + b là một song ánh và tìm ánh xạ ngược của f. 5. Chứng minh rằng các ánh xạ sau đây là những song ánh và tìm ánh xạ ngược của mỗi ánh xạ đó: a) f : ⏐R+ →⏐R+ xác định bởi f(x) = , b) g : ⏐R →⏐R xác định bởi g(x) = x3,
10. c) h : ⏐R* →⏐R*, x → h(x) = , d) u : A → A, x → u(x) = , trong đó A =⏐R \ {1} 6. Giả sử C là tập hợp các điểm của đường tròn đường kính AB và D là tập hợp các điểm của tiếp tuyến với đường tròn tại điểm B. Với mỗi điểm M ∈ D, gọi N là giao điểm của đường thẳng AM với đường tròn. a) ánh xạ f : D → C xác định bởi f(M) = N có phải là một đơn ánh hay không? b) f có phải là một song ánh hay không? 7. Cho tập hợp số thực A = {x ∈⏐R : −1 ≤ x ≤ 1} và hai ánh xạ f : ⏐R →⏐R, g : ⏐R → A xác định bởi Chứng minh rằng ánh xạ hợp gof là một toàn ánh. 8. Giả sử f : X ∈ X là một toàn ánh từ tập hợp X lên X. Chứng minh rằng nếu fof = f thì f là ánh xạ đồng nhất trên tập hợp X. 9. Cho ba ánh xạ f, g : X → Y và h : Y → Z. Chứng minh rằng nếu h là một đơn ánh và hof = hog thì f = g. 10. Cho ba tập hợp X, Y, Z và ánh xạ f : Y → Z có tính chất sau: Với mọi ánh xạ u, v : X → Y, fou = fov ⇒ u = v. Chứng minh rằng f là một đơn ánh. 11. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Chứng minh rằng: a) Nếu ánh xạ hợp h = gof là một đơn ánh thì f là một đơn ánh, b) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh, c) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì g và f là những toàn ánh. 12. Giả sử f : X → Y và g : Y → X là hai toàn ánh thoả mãn đẳng thức gof = IX. Chứng minh rằng g là ánh xạ ngược của f. 13. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai hoán vị f : A → A và g : A → A của tập hợp A xác định bởi:
11. Tìm các hoán vị hợp gof và fog. 14. Giả sử X và Y là hai tập hợp có n phần tử (N(X) = n và N(Y) = n). Chứng minh rằng có tất cả n! song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y. Từ đó suy ra rằng số hoán vị của một tập hợp n phần tử là n! Hướng dẫn : Điều khẳng định đúng với n = 1. Thật vậy, giả sử X = {a1} và Y = {b1}. Chỉ có một song ánh từ X lên Y : đó là ánh xạ f : X → Y xác định bởi f (a1) = b1. Như vậy, nếu X và Y là những tập hợp có một phần tử thì có 1 = 1! song ánh từ X lên Y. Giả sử điều khẳng định đúng với n, tức là có n! song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y, nếu X và Y đều có n phần tử. Ta chứng minh điều khẳng định đúng cho n + 1. Thật vậy, giả sử X = {a1, a2, , an, an + 1} và Y = {b1, b2, , bn, bn +1}. Phải chứng minh có cả thảy (n + 1) ! song ánh từ X lên Y. Ta chia tập hợp tất cả các song ánh từ X lên Y thành n + 1 tập con như sau: Tập con thứ nhất A1 gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f (an+1) = b1. Tập con thứ hai A2 gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f(an+1) = b2, . Tập con thứ n + 1 An+1 gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f (an+1) = bn+1. Các tập con A1, , An+1 đôi một rời nhau. Hãy chứng minh rằng mỗi tập hợp Ak có n! phần tử, k = 1, 2, , n + 1. 15. Giả sử tập hợp X có k phần tử, tập hợp Y có n phần tử, k ≤ n. Chứng minh rằng có cả thảy n (n − 1) (n − k + 1) đơn ánh từ X vào Y. Hướng dẫn : Ta chứng minh điều khẳng định bằng phép quy nạp theo k. Điều khẳng định đúng với k = 1. Giả sử X = {x1} và Y = {y1, y2, , yn}, n là một số nguyên dương bất kì, n > 1. Khi đó, có cả thảy n đơn ánh từ X vào Y: Đó là các ánh xạ f1 : X → Y, x1 → f1 (x1) = y1, ánh xạ f2 : X2 → Y2, x1 → f2 (x1) = y2, , ánh xạ fn : X → Y, x1 → fn (x1) = yn. Giả sử điều khẳng định đúng cho k, tức là nếu X có k phần tử và Y có n phần tử, k n thì có cả thảy n (n − 1)
12. (n − k + 1) đơn ánh từ X vào Y. Ta chứng minh điều khẳng định đúng cho k + 1, tức là nếu tập hợp X có k + 1 phần tử và tập hợp Y có n phần tử, k + 1 ≤ n thì có cả thảy n (n − 1) (n − (k + 1) + 1) đơn ánh từ X vào Y. Thật vậy, giả sử X = {x1, x2, , xk, xk+1}, Y = {y1, y2, , yn}. Chia tập hợp tất cả các đơn ánh từ X vào Y thành n tập con như sau: Tập con A1 gồm tất cả các đơn ánh f : X → Y sao cho f (xk+1) = y1, tập con A2 gồm tất cả các đơn ánh f : X Y sao cho f (xk+1) = y2, , tập con An gồm tất cả các đơn ánh f : X → Y sao cho f (xk+1) = yn. Các tập con A1, , An đôi một rời nhau. Hãy chứng minh rằng mỗi tập con Ak có (n − 1) (n − 2) ((n − 1) − k + 1). Formatted: Heading01
13. TIỂU CHỦ ĐỀ 1.8. ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA MỘT ÁNH XẠ Thông tin cơ bản 8.1. ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ Formatted: Heading03 a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một ánh xạ và A là một tập con của X. Tập hợp các ảnh của tất cả các phần tử của A qua ánh xạ f gọi là ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f, kí hiệu là f(A). Như vậy, với mọi x ∈ Y, y f(A) khi và chỉ khi tồn tại x A sao cho y = f(x). Do đó: f(A) = {y ∈ Y: Tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x). Ví dụ 8.1 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng sau: ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 1 dưới đây. Hình 1 Cho hai tập con A và B của X : A = {a, c, e}; B = {a, d}. ảnh của A và B qua ánh xạ f là: f(A) = {1, 2}; f (B) = {1, 5}. Ví dụ 8.2 : (i) Giả sử f : ⏐R →⏐R là ánh xạ xác định bởi f (x) = x2, A = {, 3, 7} và ⏐R− là tập hợp các số thực không dương, ⏐R− = {x ∈ ⏐R: x ≤ 0}. Khi đó: f(A) = {2, 9, 49} và f (⏐R−) = ⏐R+. (ii) Giả sử D : ⏐R → {0, 1} là ánh xạ xác định bởi: 1 với x ∈ Q,
14. D(x) = 0 với x ∈⏐R\ Q. (D là hàm số Điritslê). Tìm ảnh của các tập hợp A = {1, −1, 0,5, 1, 118}, B = {, , e}, C = {, 100} qua ánh xạ D. Ta có: f(A) = {1}; f(B) = {0}; f(C) = {0, 1}. (iii) Cho ánh xạ f: ⏐R → ⏐R xác định bởi f(x) = −3x và các tập hợp số thực A = {x ∈⏐R : 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈⏐R : x 3}. Một vài tính chất của ảnh b) Định lí Cho ánh xạ f : X → Y và các tập con A, B của X. Khi đó: (i) Nếu A ⊂ B thì f(A) ⊂ f(B), (ii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f(B), (iii) f (A ∩ B) f(A) ∩ f(B). Chứng minh (i) Nếu y ∈ f(A) thì tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x). Vì A ⊂ B nên từ đó suy ra x ∈ B và y = f (x). Do đó y ∈ f(B). Vậy f(A) ∈ f(B). (ii) Vì A ⊂ A ∪ B nên, theo (i), ta có f(A) ⊂ f(A ∪ B). Tương tự, f(B) ⊂ f(A ∪ B). Do đó (1) f(A) ∪ f(B) ⊂ f (A ∪ B). Ta chứng minh bao hàm thức ngược (2) f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B). Giả sử y là một điểm bất kì của f(A ∪ B). Khi đó, tồn tại x ∈ A ∪ B sao cho y = f(x). Vì x ∈ A ∪ B nên x ∈ A hoặc x ∈ B. Nếu x ∈ A thì y = f(x) ∈ f(A), do đó y ∈ f(A) ∪ f(B). Nếu x ∈ B thì y ∈ f(B); do đó y ∈ f(A) ∪ f(B). Ta đã chứng minh (2). Từ (1) và (2) suy ra đẳng thức (ii) cần chứng minh. (iii) Vì A ∩ B ⊂ A nên, theo (i), ta có f (A ∩ B) ⊂ f (A), Tương tự, f(A ∩ B) ⊂ f(B). Do đó f(A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f(B). Chú ý :
15. Trong (iii), không thể thay dấu bởi dấu =. Chẳng hạn, xét ánh xạ f : ⏐R →⏐R xác định bởi f(x) = x2 và các tập số thực ⏐R+ = {x ∈⏐R : x ≥ 0}, ⏐R− = {x ∈⏐R : x ≥ 0}. Khi đó ⏐R+ ∩ ⏐R− = {0}; f (⏐R+ ∩ ⏐R−) = f ({0}) = {0}; f(⏐R+) = ⏐R+, f(⏐R−) = ⏐R+ và f(⏐R+ và f (⏐R+) ∩ f(⏐R−) = ⏐R+. Như vậy, f (⏐R+ ∩ ⏐R−} là một tập con thực sự của f (⏐R+) ∩ f(⏐R−). Tuy nhiên, nếu f : X → Y là một đơn ánh thì bao hàm thức (iii) trở thành đẳng thức. c) Định lí Nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh thì với hai tập con A, B bất kì của X, ta đều có: f (A ∩ B) = f(A) ∩ f(B). Chứng minh Theo định lí b), (iii), ta có f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). Ta chứng minh: (1) f(A) ∩ f(B) ⊂ f(A ∩ B). Giả sử y ∈ f(A) ∩ f(B). Khi đó y ∈ f(A) và y ∈ f(B). Do đó, tồn tại x1 ∈ A sao cho y = f(x1) và tồn tại x2 ∈ B sao cho y ∈ f(x2 ). Từ đó ta có f(x1) = f(x2). Vì f là một đơn ánh nên đẳng thức vừa nêu kéo theo x1 = x2. Như vậy, ta có x1 ∈ A, x1 ∈ B và y = f(x1), tức là x1 ∈ A ∩ B và y = f(x1). Do đó y ∈ f (A ∩ B).Từ đó có đẳng thức (1) cần chứng minh . d) Định lí Nếu f : X → Y là một ánh xạ thì với hai tập con bất kì của X, ta có: f(A) \ f(B) ⊂ f (A\B). Chứng minh Giả sử y ∈ f(A) \ f(B). Khi đó y ∈ f(A) và y ∈ f(B). Do đó, tồn tại x1 ∈ A sao cho f(x) = y. Hiển nhiên x2 ∉ B (vì nếu x ∈ B thì y = f(x) ∉ f(B)). Như vậy, ta có x ∈ A, x ∉ B và y = f(x), tức là x ∈ A \ B và y = f(x). Do đó y ∈ f (A\B). Từ đó ta có bao hàm thức cần chứng minh. Chú ý Trong bao hàm thức của định lí không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =. Ta lấy lại ví dụ vừa xét: f : ⏐R →⏐R là ánh xạ xác định bởi f(x) = x2, ⏐R+ và ⏐R− là hai tập con của ⏐R. Khi đó, f(⏐R+) = ⏐R+, f(⏐R−) = ⏐R+, f(⏐R+) \ f(⏐R−) = ⏐R+ \⏐R+ = φ, ⏐R+ \⏐R− = ⏐R+ \{0} = , f(⏐R+ \⏐R−) = f () = . Ta thấy f (⏐R+) \ f (⏐R−) là tập con của f (⏐R+\⏐R−) và f (⏐R+) \ f (⏐R−) ≠ f (⏐R+ \⏐R−).
16. Trong phần câu hỏi và bài tập, ta sẽ chứng minh rằng nếu f : X → Y là một đơn ánh thì bao hàm thức trong Định lí d) trở thành đẳng thức. 8.2. Tạo ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một ánh xạ và C là một tập con của Y. Tập hợp tất cả các phần tử x ∈ X sao cho f(x) ∈ C gọi là tạo ảnh của tập hợp C qua ánh xạ f, kí hiệu là f−1(C). Như vậy, với mọi x ∈ X, x ∈ f−1(C) khi và chỉ khi f(x) ∈ C. f−1 (C) = {x ∈ X : f(x) ∈ C}. Chú ý rằng trong kí hiệu f−1(C), f−1 không phải là ánh xạ ngược của f. Với mọi ánh xạ f : X → Y và với mọi tập con C của Y, tạo ảnh f−1 (C) của C luôn tồn tại, trong khi chỉ song ánh f mới có ánh xạ ngược. Hiển nhiên f1(Y) = X. Ví dụ 8.3 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f, g}, Y = {M, N, P, Q, R} và ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng sau: (i) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên. (ii) Tìm tạo ảnh của các tập hợp C = {M, N, P} và D = {P, Q, R} qua ánh xạ f. (i) ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 2.
17. Hình 2 (ii) Tạo ảnh của các tập hợp C và D qua ánh xạ f là f−1(C) = {a, b, c, d, f}; f−1(D) = {d, e, g}. Ví dụ 8.4 : (i) Giả sử f : ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi f(x) = ⏐x⏐, C = {y ⏐R : 1 ≤ y ≤ 3}. Khi đó: f−1(C) = {1 ≤ x ≤ 3} ∪ {−3 ≤ x ≤ −1}. (ii) Cho ánh xạ g: ⏐R → ⏐R xác định bởi g(x) = sin x, C = {−1, 1}, D = {0}. Khi đó: g−1(C) = { + kπ : k ∈ Z} ; g−1(D) = {k : k ∈ Z}. (iii) Với ánh xạ h : ⏐R → ⏐R xác định bởi C = {y ∈⏐R : −1 ≤ y 3}. Ta có: f−1(C) = ⏐R \ Q; h−1(D) = Q; h−1 (D) = φ. Một vài tính chất của tạo ảnh b) Định lí Giả sử f: X → Y là một ánh xạ, C và D là những tập con của Y. Khi đó: (i) Nếu C ⊂ D thì f−1(C) ⊂ f−1(D), (ii) f−1 (C ∪ D) = f−1 (C) ∪ f−1 (D), (iii) f−1 (C ∩ D) = f−1 (C) ∩ f−1 (D), (iv) f−1 (C\D) = f−1 (C) \f−1 D). Chứng minh (i) Giả sử C ⊂ D. Nếu x ∈ f−1 (C) thì f(x) ∈ C. Vì C ⊂ D nên f(x) ∈ D; do đó x ∈ f−1 (D). (ii) Vì C ⊂ C ∪ D nên, theo (i), ta có f−1 (C) ⊂ f−1 (C ∪ D). Tương tự, ta có f−1(D) f−1 (C ∪ D). Do đó:
18. (1) f−1 (C) ∪ f−1(D) ⊂ f−1 (C ∪ D). Ta chứng minh bao hàm thức ngược (2) f−1 (C ∪ D) ⊂ f−1 (C) ∪ f−1 (D). Thật vậy, nếu x ∈ f−1 (C ∪ D) thì f(x) ∈ C ∪ D. Do đó f(x) ∈ C hoặc f(x) ∈ D. Nếu f(x) ∈ C thì x ∈ f−1 (C); do đó x ∈ f−1 (C) ∪ f−1 (D). Nếu f(x) ∈ D thì x ∈ f−1(D), do đó x ∈ f−1(C) ∪ f−1(D). Từ đó ta có bao ham fthức (2). Từ (1) và (2) suy ra đẳng thức (ii) cần chứng minh. (iii) Vì C ∩ D ⊂ C nên f−1 (C ∩ D) ⊂ f−1 (C). Tương tự, ta có f−1 (C ∪ D) ⊂ f−1 (D). Do đó (3) f−1(C ∩ D) ⊂ f−1 (C) ∩ f−1 (C) ∩ f−1 (D). Ta chứng minh: (4) f−1 (C) ∩ f−1(D) ⊂ f−1 (C ∩ D). Thật vậy, nếu x ∈ f−1 (C) ∩ f−1 (D) thì x ∈ f−1 (C) và x ∈ f−1 (D). Do đó f(x) ∈ C và f(x) ∈ D. Từ đó suy ra f(x) ∈ C ∩ D; do đó x ∈ f−1 (C ∩ D). Ta đã chứng minh (4). Từ (3) và (4) suy ra đẳng thức (iii). (iv) Các điều kiện sau là tương đương: x ∈ f−1 (C \ D), f(x) ∈ C \ D, f(x) ∈ C và f(x) ∉ D, x ∈ f−1(C) và x ∉ f−1 (D), x ∈ f−1(C) \ f−1(D). Do đó ta có đẳng thức (iv) . Quan hệ giữa ảnh và tạo ảnh được cho trong định lí sau: c) Định lí Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y. Khi đó: (i) Với mọi tập con C của Y, ta có: (1) f(f−1(C)) ⊂ C, (ii) Với mọi tập con A của X, ta có: (2) A ⊂ f−1 (f(A)). Chứng minh (i) Nếu y ∈ f (f−1(C)) thì tồn tại x ∈ f−1 (C) sao cho y = f(x). Vì x ∈ f−1 (C) nên f (x) ∈ C, tức là y ∈ C. Do đó f (f−1(C)) ⊂ C.
19. (ii) Nếu x A thì f (x) f(A). Do đó x thuộc tạo ảnh của tập hợp f(A) qua ánh xạ f, tức là x f−1 (f(A)). Vậy A f−1 (f(A)) . Chú ý: (i) Trong bao hàm thức (1) không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 8.5 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d}, Y = {M, N, P, Q, R} và ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng sau: ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 3. Hình 3 Với tập con C = {M, N, P, R} của tập hợp Y, ta có: f−1(C) = {a, b, c}, f(f1(C)) = {M, N}. Ta thấy f(f−1(C)) là một tập con thực sự của C, tức là f (f−1(C)) ≠ C. Một ví dụ khác: Giả sử g : ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi g(x) = x2 và C = {x ∈⏐R : x ≥ −1} là một tập con của ⏐R. Khi đó, ta có f−1(C) = ⏐R và f(f−1(C)) = ⏐R+. ở đây, ta lại thấy f (f−1(C)) là một tập con thực sự của C. Trong phần câu hỏi và bài tập ta sẽ chứng minh rằng nếu C ⊂ f(X) thì bao hàm thức (1) trong Định lí c) trở thành đẳng thức. (ii) Trong bao hàm thức (2), không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 8.6 :
20. Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}, Y = {M, N, P, Q, R, S, T} và ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng sau: ánh xạ được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 4. Hình 4 Với tập con A = {a, b, c} của tập hợp X, ta có: f(A) = {M, N, P} và f−1 (fA)) = {a, b, c, d, e}. Ta thấy A là một tập con thực sự của tập hợp f−1 (f(A)). Ta xét một ví dụ khác: cho ánh xạ D : ⏐R → {0, 1} xác định bởi: 1 với x ∈ Q, D(x) = 0 với x ∈⏐R \ Q. (D là hàm số Điritslê). Với tập con A = {−1, } của ⏐R, ta có: D(A) = {1} và D−1 (D(A)) = d−1({1}) = Q. A là một tập con thực sự của D−1 (D(A)). Trong phần câu hỏi và bài tập, ta sẽ chứng minh rằng nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh thì bao hàm thức (2) trong Định lí c) trở thành đẳng thức. d) Quan hệ giữa tạo ảnh của một tập hợp qua một song ánh và ảnh của tập hợp đó qua ánh xạ ngược của song ánh.
21. Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y. Khi đó f có ánh xạ ngược g = f−1 : Y → X. Ta sẽ chỉ ra rằng nếu C là một tập con của Y thì tạo ảnh f−1 (C) của tập hợp C qua ánh xạ f và ảnh g(C) của tập hợp C qua ánh xạ g = f−1 là hai tập hợp bằng nhau: g (C) = f−1(C). Thật vậy, với mọi x ∈ X, các điều kiện sau là tương đương: x ∈ g(C), Tồn tại y ∈ C sao cho g(y) = x, f(x) = y và y ∈ C x ∈ f−1(C). Vậy g(C) = f−1(C). Ta minh hoạ điều khẳng định vừa nêu qua một ví dụ. Ví dụ 8.7 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và song ánh f : X → Y xác định bởi bảng sau: ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 5 Hình 5 ánh xạ ngược g = f−1 : Y → X của f được cho trong bảng sau: Với tập con C = {1, 2, 3, 4} của tập hợp Y : Tạo ảnh của tập hợp C qua ánh xạ f là:
22. f−1(C) = {a, b, c, d} ảnh của tập hợp C qua ánh xạ ngược g = f−1 của C là g(C) = {a, d, b, c}. Ta thấy g(C) = f−1 (C). Như vậy, • Nếu ánh xạ f : X → Y không phải là một song ánh và C là một tập con của Y thì kí hiệu f−1 (C) chỉ tạo ảnh của tập hợp C qua ánh xạ f. (Trong trường này f không có ánh xạ ngược). • Nếu ánh xạ f : X → Y là một song ánh và C là một tập con của Y thì ảnh (f−1) (C) của C qua ánh xạ ngược f−1 : Y → X của f cũng là tạo ảnh f−1 (C) của C qua ánh xạ f. Hoạt động 8.1. Thực hành xác định ảnh và tạo ảnh của tạp hợp qua ánh xạ Nhiệm vụ: Formatted: Heading03 Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản sau đó thảo luận theo nhóm 2, 3 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Nhiệm vụ 1: Formatted: Heading04 − Cho ba ví dụ về ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ. Biểu diễn các ánh xạ bởi những lược đồ hình tên và ảnh của tập hợp bởi lược đồ Ven − Cho ba ví dụ về tạo ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ. Biểu diễn các ánh xạ đó bởi những lược đồ hình tên và tạo ảnh bởi lược đồ Ven Nhiệm vụ 2: Formatted: Heading04 − Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (iii) của định lí 1b,1d), không thể thay dấu bởi dấu =. Nhiệm vụ 3: Formatted: Heading04 − Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (1) của Định lí 2c), không thể thay dấu bởi dấu =. − Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (2) của Định lí 2c), không thể thay dấu bởi dấu =. Đánh giá hoạt động 8.1 1. Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f , g , h⎬ ; Y = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9⎬, ánh xạ f: X → Y xác định bởi bảng sau
23. và hai tập con A , B của X : A = ⎨a , b , c⎬ ; B = ⎨c , d , h⎬ a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và các tập hợp A, B bởi lược đồ Ven b) Tìm f(A), f(B) , f(A ∪ B), f(A) ∪ f(B), A ∩ B, f(A) ∩ f(B) và f(A ∩ B) c) Nếu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A ∩ B) và f(A) ∩ f(B) 2. Cho hai tập hợp X = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6⎬, Y = ⎨m , n , p , q , r , s , t⎬ ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng và hai tập con A = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , ⎨B = 4 , 5 , 6⎬ của X a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và các tập hợp A, B bởi lược đồ Ven b) Tìm f(A), f(B), f(A) \ f(B), A \ B và f(A \ B) c) Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A \ B) và f(A) \ f(B) 3. Chứng minh rằng nếu ánh xạ f: X → Y là một đơn ánh thì với hai tập con bất kì A và B của X, ta có: f( A \ B) = f(A) \ f(B) 4. Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f⎬ , Y = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng và tập con C = ⎨1 , 2 , 3 , 7 , 8⎬ của X a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và tập hợp C bởi lược đồ Ven b) Tìm các tập hợp f−1 (C) và f (f−1(C)) c) Nếu mối quan hệ giữa hai tập hợp C và f (f−1(C)).
24. 5. Cho ánh xạ f. Chứng minh rằng với mọi tập con C của f(X) ta có f(f−1(C)) = C 6. Cho hai tập hợp X = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8⎬, Y = ⎨a , b , c , d , e , f, g⎬, ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng và tập con A = ⎨3 , 4 , 5⎬ của tập hợp X a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và tập hợp A bởi lược đồ Ven b) Tìm các tập hợp A và f−1 (f(A)) c) Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A) và f−1 (f(A)) 7. Chứng minh rằng nếu ánh xạ f: X → Y là một đơn ánh thì với mọi tập con A của X ta có: A = f−1 (f(A)) 8. Cho ánh xạ f: X → R và hai tập hợp A, B, A ⊂ X, B ⊂ R. Tìm ảnh f(A) và tạo ảnh f−1 (B) trong mỗi trường hợp sau a) f(x) = sin 2x ; X = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ 6Π⎬, A = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ ⎬ U ⎨x ε R : Π ≤ x ≤ + Π⎬ B = y R : −1 y 0⎬ b) f(x) = | x2 − 4| , X = R , A = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : 2 ≤ y ≤ 4⎬ c) f(x) = | x2 − 2x| , X = R , A = ⎨x ε R : | x| ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : 0 ≤ y ≤ ⎬ 9. Cho ánh xạ f: R → R xác định bởi f(x) = |x + 1| và tập hợp A = ⎨x ε R; 1 ≤ x ≤ 2⎬ Tìm f(A) và f−1(f(A)) 10. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f(x) = x8 + x4 + 1, A = ⎨x ε R : |x| 2⎬, B = ⎨y ε R : 0 ≤ y ≤ 1⎬. Tìm ảnh f(A) và tạo ảnh f−1(B) 11. Giả sử R [x] là tập hợp các đa thức với các hệ số thực và Rn[x] là tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n, với các hệ số thực và g: Rn[x] → R[x] là ánh xạ xác định bởi g(P) = P(x2 + 1) a) Tìm ảnh của tập hợp các đa thức có bậc ≤ 1 b) Tìm tạo ảnh của tập hợp các đa thức có bậc 0 và tạo ảnh của tập hợp chỉ có một phần tử là đa thức x2 + 1 12. Cho ánh xạ f: X → Y. A → X , B → Y Chứng minh rằng: f(A ∩ f−1 (B)) = f(A) ∩ B
25. 13. Giả sử f: X → Y là một ánh xạ, A là một tập con của X, B là một tập −1 −1 con của Y và g = f/A. Chứng minh rằng g (B) = A ∩ f (B) 14. Chứng minh rằng toàn ánh f: X → Y từ tập hợp X lên tập hợp Y là một song ánh khi và chỉ khi tạo ảnh của mỗi tập con một phần tử của Y là một tập con một phần tử của X 15. Cho ánh xạ f : X → Y và g: Y → W. Gọi h: X x Y → V x W là ánh xạ xác định bởi (x, y) h (x, y) = (f(x), g(y)) Chứng minh rằng nếu M ⊂ V, N ⊂ W thì h−1(M x N) = f−1 (M) x g−1 (N) (ánh xạ h được gọi là tích của hai ánh xạ f và g, và được kí hiệu là f x g) 16. Cho hai ánh xạ f: X → Y và g: X → Z. Gọi h: X → Y x Z là ánh xạ xác định bởi x → h(x) = (f(x), g(x)). Chứng minh rằng nếu B ⊂ Y, C ⊂ Z thì h−1(B x C) = f−1 (B) ∩ f−1 (C) (ánh xạ h được gọi là ánh xạ phức) Thông tin phản hồi cho chủ đề 1 Formatted: Heading01
26. CƠ SỞ CỦA LÍ THUYẾT TẬP HỢP TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2. TẬP HỢP Hoạt động 1.1 Formatted: Heading02 Khái niệm Tập hợp. Tập con. Các tập hợp bằng nhau. 1. a) A = [21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} b) B = {31, 37, 41, 43, 47} c) C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 2. a) A = {2, 3, 4, 5, 6} b) B = {0, −1, −}; c) C = φ. 3. a) A là tập hợp bảng số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu là 3 và công sai là 4 b) B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 16 và nhỏ hơn 50; c) C là tập hợp bảng số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội là . 5. S, S, Đ, Đ. 6. S, S, Đ, Đ. 7. Đ, S, Đ, Đ. 8. Đ, S, Đ, S. Đ, Đ, S, Đ. 9. (A) = {φ, {a1}, {a2}, {a3}, {a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3}, {a1, a2, a3}}. b) P (A) có 8 phần tử. 10. a) B = {φ, {a1}, {a2}, {a3}, {a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3}, {a1, a2, a3}, a4, {a1, a4}, {a2, a4}, {a3, a4}, {a1, a2, a4}, {a1, a3, a4}, {a2, a3, a4}, {a1, a2, a3, a4}}. b P(B) có 16 phần tử. 11. a) Sai; b) Đúng. 12. Hiển nhiên điều khẳng định đúng với n = 0. Giả sử điều khẳng định n đúng với n, tức là tập hợp A = {a1, a2, , an} có 2 tập con. Ta chứng minh n + 1 tập hợp B = {a1, a2, , an, an + 1} có 2 tập con. Chia các tập con của B làm hai loại: (i) Các tập con của B không chứa an + 1, (ii) Các tập con của B chứa an + 1 Dễ thấy mỗi loại đều có 2n phần tử.
27. Hoạt động 2.1 Formatted: Heading02 Các phép toán trên các tập hợp 1. Vì B ⊂ A nên: A ∪ B = A, A ∩ B = B, B \ A = φ. A \ B = {15, 21, 25, 27, 33, 35, 39}. 2. a) A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5: A ∪ B = {0. 2. 4. 5. 6. 8. 10. 12. 14. 15. 16. 18. 20, }. A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau: 10n, 10n + 2, 10n + 4, 10n + 5, 10n + 6, 10n + 8, n N. A ∩ B là tập hợp các bội tự nhiên của 10: A ∩ B = {0, 10, 20, 30, 40, } = {10n : n ∈ N}. A \ B là tập hợp các số chẵn không phải là bội của 5: A \ B = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, }. A \ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau: 10n + 2, 10n + 4, 10n + 6, 10n + 8, n ∈ N. B \ A là tập hợp các số lẻ bội của 5: B \ A = {5, 15, 25, 35, } = {10n + 5 : n ∈ N}. 3. a) V ∩ C là tập hợp các tam giác vuông cân. V ∪ C là tập hợp các tam giác vuông hoặc cân. V \ C là tập hợp các tam giác vuông nhưng không cân. C \ V là tập hợp các tam giác cân nhưng không vuông. 4. A ∪ B = {x ∈ R : x < 0} ∪ {x ∈ R; x ≥ 5}; A ∩ B = {x R: −5 ≤ x ≤ −5}; A \ B = {x ∈ R : x < −6} ∪ {x ∈ R : x ≥ 5}; B \ A = {x ∈ R : −5 < x < 0}. 5. a) E = LM; F = TX; b) E = ND, F = HB; c) E = HD; F = BX. 6. a) Miền II chứa các mảnh bé màu nâu, không phải là hình vuông. Miền IV chứa các mảnh hình vuông lớn màu nâu. Miền V chứa các mảnh hình vuông màu đỏ và xanh. b) Miền II chứa 6 mảnh. Miền IV chứa 2 mảnh. Miền V chứa 8 mảnh.
28. 18. Tập hợp A ∪ B có 6 phần tử. 19. Gọi A là tập hợp các xe (taxi và buýt) có màu khác màu vàng. Tập hợp A có: 42 − 14 = 18 phần tử. Gọi B là tập hợp các xe buýt Tập hợp A ∪ B có 37 phần tử. B \ A là tập hợp các xe buýt vàng. Ta có: A ∪ B = A ∪ (B \ A), trong đó B \ A và A là hai tập hợp không giao nhau. Từ đó dễ dàng tính được có 9 xe buýt vàng. 20. 4 học sinh chỉ học khá môn Toán, 7 em chỉ học khá môn Văn, 5 em chỉ học khá môn Anh; 9 em không học khá môn nào. TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3. QUAN HỆ Hoạt động 3.1 Formatted: Heading02 Quan hệ hai ngôi 5. R = {(2, 4), (2, 12), (2, 14), (4, 4), (4, 12), (7, 14)}. 6. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 8), (7, 7), (8, 8)}/ 7. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 6), (7, 1), (7, 7), (8, 1), (8, 2), (8, 8}. 8. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4), }. 9. R = {(1, A), (2, A), (4, B), (7, C)}. 10. R = {(A, A), (A, C), (B, B), (B, C), (C, C)}. 11. R {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7}. 12. Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp R1 được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của nửa mặt phẳng nằm phía trên đường phân giác thứ nhất y = x, tập hợp R2 được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của mặt phẳng không nằm trên đường phân giác thứ nhất. 14. Đó là quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 15. R là một quan hệ đối xứng nhưng không phản xạ và không bắc cầu. 16. Đó là quan hệ phản xạ, bắc cầu nhưng không đối xứng. 17. Quan hệ R2 trên Y là phản xạ; R1 và R2 không phải là những quan hệ phản xạ. 18. Quan hệ R2 trên Y là đối xứng. Không có quan hệ nào là bắc cầu. 20. R−1 = {(7, 1), (14, 2), (21, 3), (28, 4), }
29. = ((7n, n) : n N*}. 22. R2 . R1 = {(3, 6), (6, 7), (9, 8), (12, 9), (15, 10), } = {(3n, n + 5) : n ∈ N*}. R1 . R2 = {(1, 2), (4, 3), (7, 4), (10, 5), } = {(3n − 2, n + 1) : n ∈ N*}. Hoạt động 4.1 Formatted: Heading02 Quan hệ tương đương 0 1. ~1 chia L thành 4 lớp tương đương. 0 ~2 chia L thành 2 lớp tương đương. 0 ~3 chia L thành 2 lớp tương đương với. 2. b) Quan hệ tương đương R trên N chia N thành bốn lớp tương đương. 3. b) {1, 3}~ = {{1, 2}, {1, 3{, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3{, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}. 4. b) Tập thương R2/~ là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng có tâm là điểm gốc và điểm gốc. 5. X/R = {{x} : x ∈ X}. 6. R không phải là một quan hệ phản xạ. 7. Không tồn tại một quan hệ tương đương R thoả mãn điều kiện đã nêu vì A ∩ C ≠ φ. 8. X/~ = {A, A2, , Am}. 9. Với mỗi tập con A chứa a của X, Â = {A} (lớp tương đương chứa A là tập hợp một phần tử). Mọi tập hợp con của X không chứa a đều tương đương với nhau, chúng tạo nên một lớp tương đương của quan hệ ~. Vậy P / ~ = {{A}; a ∈ A ⊂ X} ∪ , trong đó B là một tập con của X không chứa a, là tập hợp tất cả các tập con của X không chứa a. 10. Tập thương C*/R có hai phần tử: Tập hợp các điểm của hai nửa mặt phẳng bên phải và bên trái của trục tung tạo nên hai lớp tương đương của quan hệ R. Hoạt động 5.1 Formatted: Heading02 Quan hệ thứ tự 1. B) ≤ là quan hệ toàn phần. 2. Đó không phải là một quan hệ toàn phần. 3. b) Không.
30. 4. b) Không. 5. R không phản đối xứng. 6. Ba quan hệ thứ tự. 7. a) 40 là phần tử tối đại; 2 và 5 là những phần tử tối tiểu. b) 40 là phần tử lớn nhất của X; X không có phần tử nhỏ nhất. 8. 35 là giá trị lớn nhất của X; 39 là giá trị nhỏ nhất của x. 9. RC là quan hệ thứ tự trên C. 10. b) Mỗi phần tử của X đều là một phần tử tối đại, đồng thời là phần tử tối tiểu. Tập hợp sắp thứ tự X không có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất. a, e, f là các phần tử tối tiểu của Y; c là phần tử tối đại, cũng là phần tử lớn nhất của Y. 13. b) D1 là phần tử tối tiểu; D3 là phần tử tối tiểu, cũng là phần tử tối đại. D4 là phần tử tối đại. Tập sắp thứ tự X không có phần tử nhỏ nhất và không có phần tử lớn nhất. 14. A là dây xích, B không phải là dây xích. 15. 1 là phần tử chặn dưới của A; Các số 77n, n ∈ N* là các phần tử chặn trên của A. 1 và 3 là các phần tử chặn dưới của B; B không có phần tử chặn trên. 16. 1 và 3 là các phần tử chặn trên của A. Các số 90n, n ∈ N* là các phần tử chặn dưới của A. Các số 1, 3, 32, 33, 34, 35 là các phần tử chặn trên của B. Không có phần tử chặn dưới của B trong {N*, ≤}. 17. a) Mỗi số thực nhỏ hơn hoặc bằng −7 đều là một phần tử chặn dưới của A; mỗi số thực lớn hơn hoặc bằng 3 đều là một phần tử chặn trên của A. b) Số không và các số thực âm là các phần tử chặn dưới của N. Không có phần tử chặn trên của N trong R. TIỂU CHỦ ĐỀ 1.6. ÁNH XẠ Formatted: Heading01 Hoạt động 6. 1 Formatted: Heading02 Định nghĩa và các khái niệm cơ bản về ánh xạ 1. b) R không phải là một ánh xạ. 2. b) R không phải là một ánh xạ. 3. c) ϕ không phải là một ánh xạ.
31. 4. b) f là một ánh xạ. Tập xác định của f l à A; f(A) = {18, 35}. 5. a) R là một ánh xạ. b) Tập xác định của ánh xạ R là X; ảnh của ánh xạ là R(X) = {17, 18{ 6. Có một ánh xạ từ X vào Y. 7. Có m ánh xạ t ừ X vào Y. 8. 4 ánh xạ. 10. f(−2) = {x ∈ R : x ≤ 2}; f(0) = {x ∈ R : x ≤ 0}; f(x2) = {y ∈ R : y ≤ x2}. 11. f (X) = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} ∪ {x ∈ R : 1 0; (fog) (x) = x, x ∈ R. b) gof không tồn tại; (fog) (x) = −ln , x ∈ R*. c) gof không tồn tại; (fog) (x) = ln (cos x), x ∈ . 15. a) h (R) không chứa hai số htực −2 và 1. b) áp dụng a). 16. X = {3, } hoặc X là một tập con của tập hợp {3, }. 17. X = {−1, 1} hoặc X là một tập con của tập hợp {−1, 1}. 19. Tập xác định của f là: X = . f (X) = {0}. Hoạt động 7.1 Formatted: Heading02 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược 1. b) f không phải là một đơn ánh; g là một đơn ánh. 2. b) f không phải là một toàn ánh; g là một toàn ánh. 3. b) ánh xạ ngược của f và g được cho trong hai bảng sau:
32. 4. f−1 (y) = − , y ∈ R. 5. a) f−1 : R+ → R+, y → f−1 (y) = y2. b) g−1 : R → R, y → g−1 (y) = . c) h−1 : R* → R*, y → h−1 (y) = d) u−1 : A → A, y → u−1 (y) = . 6. a) f là một đơn ánh. b) f không phải là một song ánh. 13. Hoạt động 8.1 Formatted: Heading02 ảnh và tạo của một tập hợp qua một ánh xạ 1. b) f(A) = {1, 2, 4}; f (B) = {4, 2, 8}; f (A ∪ B) = {1, 2, 4, 8}, A ∩ B = {c{; f (A) ∩ f (B) = {2, 4}; f (A ∩ B) = {4}. c) f (A ∩ B) là một tập con thực sự của f (A) ∩ f (B).
33. 2. b) f(A) = {p, r, q{, f(B) = {q, r, t}; f (A) \ f (B) = {p}; A \ B = {1, 2, 3}; f (A \ B} = {p, r}. c) f (A) \ f(B) là một tập con thực sự của f (A\B). 4. b) f−1 (C) = {a, b, c}; f (f−1 (C)) = {1, 2, 3}. c) f (f−1 (C)) là một tập con thực sự của C. 6. b) f (A) = {b, c}; f−1 (f(A)) = {2, 3, 4, 5}. c) A là một tập con thực sự của f−1 (f(A)). 8. a) f(A) = {y R : 0 y 1}; f−1 (B) = {y ∈ R : ≤ x ≤ π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 2π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ π} b) f(A) = {y ∈ R : 3 ≤ y ≤ 4}; f1 (B) = {x ∈ R : ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ −} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ } c) f(A) = {y ∈ R : ) ≤ y ≤ 3}; f−1(B) = {x ∈ R : 1 − ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 1 + }. 9. f(A) = {y ∈ R : 2 ≤ y ≤ 3}; f−1 (f(A)) = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2} ∪ { x ∈ R : −4 ≤ x ≤ −3}. 10. f(A) = {y ∈ R : 1 ≤ y ≤ 273}; f−1(B) = {0}. 11. a) ảnh của tập hợp các đa thức có bậc ≤ 1 là tập hợp các đa thức có bậc 0 và các đa thức bậc hai có dạng P(x) = ã2 + b. b) Tạo ảnh của tập hợp các đa thức có bậc 0 là tập hợp các đa thức có bậc 0. Tạo ảnh của tập hợp chỉ có một phần tử là đa thức x2 + 1 là tập hợp chỉ có một phần tử là đa thức Q(x) = x.
34. CHỦ ĐỀ 2 CƠ SỞ LÔGIC TOÁN I. Mục tiêu Kiến thức : Người học nắm đươc những kiến thức về : Cơ sở của lôgic mệnh đề Các phép suy luận thường gặp Các phép chứng minh thường gặp Vận dụng các phép suy luận và chứng minh trong dạy và học toán Kỹ năng : Hình thành và rèn luyện cho người học các kĩ năng : Phân tích cấu trúc của các mệnh đề: phủ định, hội, tuyển, tương đương thường gặp và xác định giá trị chân lí của chúng Vận dụng các phép tương đương lôgic thường gặp trong toán học Phân tích các phép suy luận và chứng minh trong dạy học toán ở tiểu học Thái độ : Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lôgic mệnh đề trong dạy và học toán II. Giới thiệu tiểu mô đun STT Tên tiểu chủ đề Trang 1 Mệnh đề và các phép logic 2 Các bài toán về suy luận đơn giản 3 Công thức 4 Quy tắc suy luận 5 Hàm mệnh đề - Mệnh đề tổng quát và mệnh đề tồn tại 6 Suy luận và chứng minh 7 Suy luận và chứng minh trong dạy học toán ở tiểu học III. Điều kiện cần thiết để thực hiện môđun * Kiến thức Nắm được kiến thức toán học ở trường phổ thông Nắm được kiến thức của chương trình Trung học Sư phạm. * Đồ dùng dạy học Một số thiết bị dạy học sử dụng trong khi tổ chức các hoạt động: máy chiếu projector, máy chiếu đa năng, tranh ảnh Giấy trong, bút dạ, bảng phoócmica * Tài liệu tham khảo IV. Nội dung
35. TIỂU CHỦ ĐỀ 2.1. MỆNH ĐỀ VÀ CÁC PHÉP LÔGIC Thông tin cơ bản 1.1. Mệnh đề Trong môn tiếng Việt ở trường phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm về cõu. Các câu thường gặp có thể chia thành hai loại : loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan. Mỗi câu như thế được hiểu là một mệnh đề. Loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào Để kí hiệu các mệnh đề ta dùng các chữ cái a, b, c Trong lôgic ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp của các mệnh đề mà chỉ quan tâm đến tính “đúng” hoặc “sai” của chúng. Nếu a là mệnh đề đúng thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 1, kí hiệu là G(a) = 1, nếu a là mệnh đề sai thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 0, kí hiệu là G(a) = 0 Chẳng hạn, các câu + “Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam” là mệnh đề đúng + “Nước Pháp nằm ở Châu Phi” là mệnh đề sai + “Tháng Giêng có 30 ngày” là mệnh đề sai + “15 là số lẻ” là mệnh đề đúng + “Số 35 chia hết cho 3” là mệnh đề sai + “12 lớn hơn 20” là mệnh đề sai + “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông” là mệnh đề sai Các câu + “2 nhân 2 bằng mấy?” + “Anh tốt nghiệp phổ thông năm nào?” + “Bộ phim này hay quá!” + “Tất cả chúng ta hãy đi học đúng giờ!” đều không phải là mệnh đề. Nội chung, những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh và câu cảm thán đều không phải là mệnh đề Chú ý 1. Trong thực tế ta gặp những mệnh đề mở là những mệnh đề mà giá trị đúng, sai của nó phụ thuộc vào những điều kiện nhất định (thời gian, địa điểm, ) Nó đúng ở thời gian, địa điểm này nhưng lại sai ở thời gian, địa điẻm khác. Song ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào nó cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn: + Sinh viên năm thứ nhất đang tập quân sự + Trời nắng nóng + Năng suất lúa năm nay cao hơn năm ngoái + 12 giờ trưa hôm nay tôi đang ở Hà Nội 2. Để kí hiệu a là mệnh đề “2 + 2 = 5” ta viết a = “2 + 2 = 5” 3. Ta thừa nhận các luật sau đầy của lôgic mệnh đề a) Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng cũng không sai b) Luật mâu thuẫn (hay còn gọi là luật phi mâu thuẫn): không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai 1.2. Các phép lôgic
36. Khi có hai số a và b, dùng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia tác động vào hai số đó ta sẽ có những số mới (gọi là tổng hiệu, tích, thương của hai số đó) Khi có hai mệnh đề a và b, người ta cũng xây dựng các phép toán tác động vào hai mệnh đề đó để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta lần lượt xây dựng các phép toán đó 1.2.1. Phép phủ định mệnh đề a = “Nhôm là một kim loại” ta thiết lập được mệnh đề a = “Nhôm không phải là kim loại” a = “Không phải nhôm là kim loại” Từ mệnh đề b = “Số 30 chia hết cho 4” ta thiết lập được mệnh đề b = “Số 30 không chia hết cho 4” hoặc b = “Không phải 30 chia hết cho 4” Mệnh đề a (hoặc b) là mệnh đề phủ định của mệnh đề a (hoặc b) Rõ ràng, a là mệnh đề đúng còn mệnh đề a là mệnh đề sai; mệnh đề b sai còn mệnh đề b là đúng Vậy phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là , đúng khi a sai và sai khi a đúng. Bảng chân lí của phép phủ định được cho bởi bảng sau Ví dụ 1.1 : Phủ định của mệnh đề “Tháng Ba có 31 ngày” là mệnh đề “Tháng Ba không có 31 ngày’ hoặc “Không phải tháng Ba có 31 ngày” Ví dụ 1.2 : Phủ định của mệnh đề “8 lớn hơn 12” là mệnh đề “8 không lớn hơn 12” hoặc “8 nhỏ hơn hoặc bằng 12” Chú ý : Phủ định của một mệnh đề có nhiều cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn: “Nhôm không phải là kim loại” “Không phải nhôm là kim loại” “Nhôm đâu có phải là kim loại” “Nói nhôm là kim loại không đúng” hoặc “25 không lớn hơn 10” “25 nhỏ hơn hoặc bằng 10” “Không phải 25 lớn hơn 10” “25 đâu có lớn hơn 10” “Nói 25 lớn hơn 10 là sai” 1.1.2. Phép hội Từ hai mệnh đề a = “Mỗi năm có 12 tháng” b = “Mỗi năm có bốn mùa”
37. Ta thiết lập mệnh đề c = “Mỗi năm có 12 tháng và bốn mùa” Hoặc từ hai mệnh đề a = “36 là số chẵn” b = “36 chia hết cho 9” Ta thiết lập mệnh đề c = “36 là số chẵn chia hết cho 9” Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là hội của hai mệnh đề a và b đã cho Vậy hội của hai mệnh đề a; b là một mệnh đề c, đọc là a và b, kí hiệu là c = a  b, đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Giá trị chân lí của phép hội được xác định bởi bảng sau Chú ý : Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “và” hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, song le, đồng thời, vẫn, cùng hoặc dùng dấu phảy hoặc không dùng liên từ gì Ví dụ 1.3 : “Thành phố Hà Nội là thủ đô nhưng không phải là thành phố lớn nhất của cả nước” là hội của hai mệnh đề a = “thành phố Hà Nội là thủ đô của cả nước” và b = “thành phố Hà Nội không phải là thành phố lớn nhất cả nước” Rõ ràng G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1 Ví dụ 1.4 : “Lúc 12 giờ trưa nay Hương có mặt ở Hà Nội và ở Bắc Ninh” là hội của hai mệnh đề a = “Lúc 12 giờ trưa nay Hương có mặt ở Hà Nội” và b = “Lúc 12 giờ trưa nay Hương có mặt ở Bắc Ninh” Rõ ràng hai mệnh đề này không thể cùng đúng nên G (a  b) = 0 Ví dụ 1.5 : “36 là số chẵn chia hết cho 5” là hội của hai mệnh đề a = “36 là số chẵn” và b = “36 chia hết cho 5” ở đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G (a  b) = 0 Ví dụ 1.6 : “Số e lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3” là hội của hai mệnh đề a = “e > 2” và b = “e < 3”. ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a  b) = 1 Ví dụ 1.7 : Anh Hùng nói thạo tiếng Anh mà không biết tiếng Đức Ví dụ 1.8 : Cường vừa trẻ, đẹp trai, học giỏi mà lại có nhiều tài lẻ Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nhưng lại không có nghĩa của mệnh đề hội.
38. Chẳng hạn: “Tập số âm và tập số dương là hai tập con rời nhau của tập số thực” “Nhà Thanh nuôi được 15 con gà và vịt” 1.1.3. Phép tuyển Từ hai mệnh đề a = “Mỗi năm có 12 tháng” b = “Mỗi năm có 52 tuần” Ta thiết lập mệnh đề c = “Mỗi năm có 12 tháng hoặc 52 tuần” Hoặc từ hai mệnh đề a = “50 là số nguyên tố” b = “50 chia hết cho 5” Ta thiết lập mệnh đề c = “50 là số nguyên tố hoặc chia hết cho 5” Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là tuyển của hai mệnh đề đã cho Vậy tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề c, đọc là a hoặc b, kí hiệu c = a  b, đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề a, b là đúng và sai khi cả hai mệnh đề a, b cùng sai Giá trị chân lí của phép tuyển được xác định bởi bảng sau Ví dụ 1.9 : “Mỗi năm có bốn mùa hoặc mỗi tuần có bảy ngày” là tuyển của hai mệnh đề a = “Mỗi năm có bốn mùa” và b = “Mỗi tuần có bảy ngày” ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a  b) = 1 Ví dụ 1.10 : “20 là số tròn chục hoặc chia hết cho 3” là tuyển của hai mệnh đề a = “20 là số tròn chục” và b = “20 chia hết cho 3” ở đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G(a  b) = 1 Ví dụ 1.11 : “Tháng Hai có 31 ngày hoặc 3 + 3 = 1” là tuyển của hai mệnh đề a = “tháng Hai có 31 ngày” và b = “3 + 3 = 1” ở đây G(a) = G(b) = 0 nên G(a  b) = 0 Ví dụ 1.12 : “Cô An chưa có gia đình hay là đã tốt nghiệp đại học” Chú ý : 1. Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “hoặc” (hay một liên từ khác cùng loại) 2. Khi thiết lập mệnh đề tuyển của nhiều mệnh đề, ta dùng dấu chấm phảy thay cho liên từ “hoặc”
39. Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2” 3. Liên từ “hoặc” trong thực tế thường được dùng với hai nghĩa: loại trừ và không loại trừ. Phép tuyển “hoặc a hoặc b” là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng không thể cả a lẫn b Phép tuyển “a hoặc b” là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b Chẳng hạn: “Hôm nay là hoặc Chủ nhật hoặc thứ Bảy” là phép tuyển loại trừ “24 là số chẵn hoặc chia hết cho 3” “Hôm nay là Chủ nhật hoặc ngày lễ” là những phép tuyển không loại trừ Dưới đây, nếu không nói gì thêm, ta sẽ chỉ xét các phép tuyển không loại trừ 1.1.4. Phép kéo theo Từ hai mệnh đề a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3” và b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3” Ta thiết lập mệnh đề c = “Nếu số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3” Hoặc từ hai mệnh đề: a = “Trời vừa mưa rào” b = “Đường phố bị ướt” Ta thiết lập mệnh đề c = “Nếu trời vừa mưa rào thì đường phố bị ướt” Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là mệnh đề kéo theo thiết lập từ hai mệnh đề a và b Vậy mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a  b, sai khi a đúng mà b sai và đúng trong các trường hợp còn lại Giá trị chân lí của mệnh đề a  b được xác định bởi bảng sau: Chú ý 1. Mệnh đề “a kéo theo b” thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: “nếu a thì b” “a suy ra b” “có a thì có b” 2. Ta có thể minh họa bảng giá trị chân lí trên qua ví dụ sau:
40. “Nếu trời mưa rào thì đường phố bị ướt” a  b Mệnh đề này sai, nếu trời mưa rào (a đúng) mà đường phố không ướt (b sai). Mệnh đề này đúng trong các trường hợp còn lại Trời vừa mưa rào (a đúng) và đường phố bị ướt (b đúng) Trời không mưa rào (a sai) và đường phố không bị ướt (b đúng) Trời không mưa rào (a sai) và đường phố bị ướt (b sai) (có thể do nước máy chảy tràn ra đường, Ví dụ 1.13 : “Số 45 có tận cùng bằng 5 nên nó chia hết cho 5”. Mệnh đề này đúng Ví dụ 1.14 : “Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng” là mệnh đề đúng Ví dụ 1.15 : “Nếu mỗi năm có 10 tháng thì mỗi tuần có 10 ngày” là mệnh đề đúng Ví dụ 1.16 : “Nếu mỗi năm có 12 tháng thì 2 + 2 = 5” là mệnh đề sai Ví dụ 1.17 : “Số 243 có tổng các chữ số chia hết cho 9 suy ra nó chia hết cho 5” là mệnh đề sai Ví dụ 1.18 : “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Mỹ” là mệnh đề đúng, vì ở đây cả hai mệnh đề a và b đều sai Chú ý 1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a  b người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề đó. Không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng 2. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong phú. Chẳng hạn: “Bao giờ bánh đúc có xương Bấy giờ dì ghẻ mới thương con chồng” hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” 1.1.5. Phép tương đương Từ hai mệnh đề a = “Hình chữ nhật có một góc nhọn” và b = “ 200 là số nguyên tố” ta thiết lập mệnh đề c = “Hình chữ nhật có một góc nhọn khi và chỉ khi 200 là số nguyên tố” Hoặc từ hai mệnh đề a = “Số 45 có tận cùng bằng 5” và b = “Số 45 chia hết cho 5” ta thiết lập mệnh đề c = “Số 45 có tận cùng bằng 5 khi và chỉ khi nó chia hết cho 5” Trong mỗi ví dụ nêu trên, mệnh đề c là mệnh đề tương đương được thiết lập từ hai mệnh đề đã cho
41. Vậy mệnh đề a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại Giá trị chân lí của mệnh đề tương đương được xác định bởi bảng sau Chú ý Trong thực tế mệnh đề “a tương đương b” còn được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn: “a khi và chỉ khi b” “a nếu và chỉ nếu b” Ví dụ 1.19 : “Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay xung quanh mặt trời” là mệnh đề đúng Ví dụ 1.20 : “ 3 < 7 khi và chỉ khi 70 chia hết cho 3” là mệnh đề sai Ví dụ 1.21 : “Tổng các góc trong một tam giác bằng 900 nếu và chỉ nếu 13 là số nguyên tố” là mệnh đề sai Ví dụ 1.22 : “Tháng Hai có 31 ngày khi và chỉ khi 2 x 2 = 11” là mệnh đề đúng Hoạt động : Tìm hiểu khái niệm mệnh đề Nhiệm vụ : Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản sau đó thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động 1.1 đến 1.6 dưới đây : Nhiệm vụ 1 : Xây dựng haiví dụ về mệnh đề đúng trong mỗi lĩnh vực số học,hình học và d?i sống, xã hội. Nhiệm vụ 2 : Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề sai trong mỗi lĩnh vực số học,hình học và dời sống, xã hội. Nhiệm vụ 3 : Viết bốn câu không phải là mệnh đề Nhiệm vụ 4 : Xây dựng ba ví dụ về mệnh đề mở (hoặc mệnh đề chưa xác định) Nhiệm vụ 5 : Phát biểu luật bài trung và luật mâu thuẫn của lôgic mệnh đề Đánh giá 1. Đánh dấu x vào ô trống đặt sau câu là mệnh đề a, Bạn An học năm thứ mấy?
42. b, 2 x 5 = 11 c, 23 là số nguyên tố d, 17 có phải là số nguyên tố không? e, Đội tuyển Việt Nam hôm nay đá hay quá! f, Tổng các góc trong một tứ giác lồi bằng 3600 g, Hãy nêu một ví dụ về mệnh đề ! h, ở Hà Nội sáng nay có mưa rào i, Bạn nào có thể cho biết mệnh đề là gì? 2. Viết giá trị chân lí của các mệnh đề sau vào ô trống a, “3 không lớn hơn 7” b, “Số hữu tỉ không phải là số vô tỉ” c, “Hai đường chéo của hình thang có độ dài bằng nhau” 3. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống a, Có mệnh đề vừa đúng lại vừa sai b, Có mệnh đề không đúng cũng không sai Hoạt động 1.2. Tìm hiểu phép phủ định Nhiệm vụ : Nhiệm vụ 1 : Lập bảng chân lí của mệnh đề phủ định Nhiệm vụ 2 : Xây dựng bốn ví dụ về phép phủ định mệnh đề trong số học trong hình học, trong đời sống, xã hội Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng và diễn đạt mỗi mệnh đề phủ định bằng các cách khác nhau Đánh giá 1. Thiết lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau a, 5 x 7 = 35 b, 24 không chia hết cho 5 c, Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau d, Trời mưa e, An cao hơn Thọ f, 40 < 30 Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 2. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau a, “15 lớn hơn hoặc bằng 20” “15 không nhỏ hơn 20” “Không phải 15 nhỏ hơn 20” “Nói 15 nhỏ hơn 20 là không đúng” b, “Hình bình hành không có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường” “Hai đường chéo của hình bình hành không cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường” “Không phải hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường” “Nói hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường là không đúng”
43. Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng Hoạt động 1.3. Tìm hiểu phép hội Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1 : Lập bảng chân lí của mệnh đề hội Nhiệm vụ 2 : Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề hội Trong số học Trong hình học Trong đời sống xã hội Trong các mệnh đề đó được sử dụng những liên từ khác nhau Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá 1. Cho các mệnh đề a = “3 < 5” và b = “5 < 10” Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành lời a, a  b b, a  b c, a  b d, a  b 2. Cho các mệnh đề a = “Trời nắng” và b = “Trời nóng” Viết dưới dạng kí hiệu các mệnh đề sau a, “Trời vừa nắng lại vừa nóng” b, “Trời không nắng nhưng nóng” c, “Trời đã nắng lại nóng” d, “Trời nắng nhưng đâu có nóng” e, “Trời không nắng cũng chẳng nóng” 3. Cho các mệnh đề a = “30 là số tròn chục” b = “30 chia hết cho 5” c = “30 không chia hết cho 4” Hãy viết dưới dạng kí hiệu các mệnh đề sau a, “30 là số tròn chục chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 4” b, “30 là số tròn chục không chia hết cho cả 4 và 5” c, “30 là số tròn chục không chia hết cho 5 mà chia hết cho 4” Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 4. Hãy diễn đạt các mệnh đề sau đây thành lời a  b  c  d  e trong đó: a = “Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song” b = “Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau” c = “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường” d = “Tứ giác ABCD có hai góc kề bù nhau”
44. e = “Tứ giác ABCD có hai góc đối diện bằng nhau” Sau đó tìm giá trị chân lí của nó trong trường hợp : a, ABCD là hình bình hành b, ABCD là hình thang Hoạt động 1.4. Tìm hiểu phép tuyển Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề tuyển Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về phép tuyển Trong số học Trong hình học Trong đời sống xã hội Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá 1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống a, “3 nhỏ hơn hoặc bằng 3” b, “3 nhỏ hơn hoặc bằng 7” c, “7 nhỏ hơn hoặc bằng 3” d, “4 nhỏ hơn 2 hoặc 3” e, “4 nhỏ hơn 2 hoặc nhỏ hơn 3” 2. Cho các mệnh đề a = “44 chia hết cho 2” b = “44 chia hết cho 3” Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau : a, a  b b, a  b c, a  b d, a  b e, a  b f, a  b g, a  b h, a  b Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 3. Đánh dấu x vào ô trống, nếu là phép tuyển loại trừ a, Nhà toán học Galoa chết năm 20 hoặc 21 tuổi b, Tiểu sử của nhà toán học Galoa có thể tìm đọc trong báo “Toán học và tuổi trẻ” hoặc cuốn “Chuyện kể về các nhà toán học” c, Số tự nhiên a chia hết cho 2 hoặc 3 d, Số tự nhiên a là số chẵn hoặc lẻ e, Số tự nhiên a có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8 f, Số tự nhiên a chia hết cho 2 thì có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8 Hoạt động 1.5. Tìm hiểu phép kéo theo Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề kéo theo Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về phép kéo theo Trong số học Trong hình học
45. Trong đời sống xã hội Sau đó diễn đạt chúng thành các cách khác nhau rồi tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá 1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống a, Nếu 3 < 7 thì 15 chia hết cho 5 b, Nếu 20 là số nguyên tố thì 2 x 5 = 10 c, Hình chữ nhất có bốn góc vuông suy ra 18 chia hết cho 5 d, Tổng các góc trong một tam giác bằng 3600 khi 2 x 2 = 11 e, 3  2 nếu 35 chia hết cho 3 2. Cho các mệnh đề a = “42 chia hết cho 6” b = “42 chia hết cho 2 và 3” Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau a, a  b b, a  c,  b d, e, b  a f, b  g,  a h, Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 3. Cho biết a, G (a  b) = G (a  b) = 1 và G (a  b) = 0 Tìm giá trị chân lí của mệnh đề a, b b, G (a  b) = 1. Tìm G (a  b) c, G (  b) = 1. Tìm G (a  b) Hoạt động 1.6. Tìm hiểu phép tương đương Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề tương đương Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề tương đương Trong số học Trong hình học Trong đời sống xã hội Sau đó diễn đạt chúng thành các cách khác nhau rồi tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá 1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống a, 5 < 8 khi và chỉ khi 21 chia hết cho 3 b, 2 + 3 = 10 nếu và chỉ nếu 13 là số nguyên tố c, Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi phân số là tối giản d, Hình chữ nhật có bốn góc vuông khi và chỉ khi phân số lớn hơn 1 e, Tháng Ba có 28 ngày khi và chỉ khi Việt Nam nằm ở châu Âu f, Mỗi tuần có 7 ngày nếu và chỉ nếu Pari là thủ đo của Trung Quốc 2. Cho các mệnh đề a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3” b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3” Hãy diễn đạt thành lời các mệnh đề sau a, b, c, d,
46. 3. Cho biết G(a  b) = 1, G() = 0 Tìm giá trị chân lí của ; a ; b 4. Cho biết G() = 1. Có thể nói gì về giá trị chân lí của , , và Tiểu chủ đề 2.2. Các bài toán về suy luận đơn giản Thông tin cơ bản Suy luận đơn giản là những phép suy luận không dùng những công cụ của lôgic mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép tuyển ). Các bài toán về suy luận đơn giản là những bài toán khi giải chỉ cần vận dụng những phép suy luận đơn giản Khi giải các bài toán về suy luận đơn giản, đòi hỏi chúng ta phải biết vận dụng một cách sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về thiên nhiên, xã hội và phong tục tập quán trong đời sống sinh hoạt hàng ngày Dưới đây ta lần lượt nghiên cứu các phương pháp thường sử dụng khi giải các bài toán dạng này 2.1. Phương pháp lập bảng Các bài toán giải bằng phương pháp lập bảng thường xuất hiện hai nhóm đối tượng (chẳng hạn tên người và nghề nghiệp, hoặc vận động viên và giải thưởng, hoặc tên sách và màu bìa ). Khi giải ta thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột. Các cột ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đối tượng nhóm thứ hai Dựa vào điều kiện trong đề bài, ta loại bỏ dần (ghi số 0) các ô (là giao của mỗi hàng và mỗi cột). Những ô còn lại (không bị loại bỏ) là kết quả của bài toán Ví dụ 2.1 : Ba người thợ hàn, thợ tiện và thợ điện đang ngồi trò chuyện trong giờ nghỉ giải lao. Người thợ hàn nhận xét: Ba chúng ta làm nghề trùng với tên của ba chúng ta, nhưng không ai làm nghề trùng với tên mình cả Bác Điện hưởng ứng: Bác nói đúng Bạn hãy cho biết tên và nghề nghiệp của mỗi người Giải Ta thiết lập bảng sau Theo đề bài, không ai có tên trùng với nghề của mình, cho nên ta ghi số 0 vào các ô 1 ; 5 và 9. Bác Điện hưởng ứng nhận xét của bác thợ hàn nên bác Điện không làm nghề hàn. Ta ghi số 0 vào ô số 7
47. Nhìn cột 2 ta thấy bác thợ hàn không tên là Hàn, không tên là Điện. Vậy bác thợ hàn tên là Tiện. Ta đánh dấu X vào ô số 4 Nhìn hàng 4 ta thấy bác Điện không làm nghề hàn cũng không làm nghề điện. Vậy bác làm nghề tiện. Ta đánh dấu X vào ô số 8 Nhìn hàng 2 và ô 8 ta thấy bác Hàn không làm nghề hàn, cũng không làm nghề tiện. Vậy bác làm nghề điện. Đánh dấu X vào ô số 3 Kết luận: Bác Hàn làm thợ điện. Bác Tiện là thợ hàn. Bác Điện làm thợ tiện Ví dụ 2.2 : Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán và Địa lí được bọc ba màu khác nhau: xanh, đỏ, vàng. Cho biết cuốn bọc bìa màu đỏ đặt giữa hai cuốn Văn và Địa lí, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì? Giải: Ta có bảng sau Theo đề bài “cuốn bìa màu đỏ đặt giữa hai cuốn Văn và Địa lí”. Vậy cuốn sách Văn và Địa lí đều không bọc màu đỏ cho nên cuốn Toán phải bọc màu đỏ. Ta ghi số 0 vào ô 4 và 6, đánh dấu X vào ô 5 Mặt khác, “cuốn Địa lí và cuốn bìa màu xanh mua cùng ngày”. Điều đó có nghĩa là cuốn Địa lí không bọc màu xanh. Ta ghi số 0 vào ô 3 Nhìn cột thứ tư, ta thấy cuốn Địa lí không bọc màu xanh cũng không bọc màu đỏ. Vậy cuốn Địa lí bọc màu vàng. Ta đánh dấu X vào ô 9 Nhìn vào cột 2 và ô 9 ta thấy cuốn Văn không bọc màu đỏ, cũng không bọc màu vàng. Vậy cuốn Văn bọc màu xanh. Ta đánh dẫu X vào ô 1 Kết luận : Cuốn Văn bọc màu xanh, cuốn Toán bọc màu đỏ, cuốn Địa lí bọc màu vàng Ví dụ 2.3 : Trên bàn có bốn hộp kín được đánh số thứ tự 1 ; 2 ; 3 và 4. Trong mỗi hộp đựng một trong bốn loại quả: đào, mận, bưởi hoặc cam. Ba bạn Lộc, Đạt và Thanh tham gia trò chơi như sau: Mỗi bạn lần lượt đoán trong mỗi hộp đựng quả gì, nếu ai đoán đúng ít nhất một hộp thì sẽ được phần thưởng. Lộc đoán trước : Hộp thứ nhất đựng cam, hộp thứ hai đựng mận, hộp thứ ba đựng bưởi và hộp thứ tư đựng đào Đạt đoán tiếp : Hộp thứ nhất đựng đào, hộp thứ hai đựng bưởi, hộp thứ ba đựng cam và hộp thứ tư đựng mận Cuối cùng Thanh đoán Hộp thứ nhất đựng mận, hộp thứ hai đựng cam, hộp thứ ba đựng đào và hộp thứ tư đựng bưởi Kết thúc cuộc chơi, ban giám khảo công bố cả ba bạn đều không đạt phần thưởng
48. Bạn hãy cho biết trong mỗi hộp đựng quả gì? Giải : ta thiết lập bảng và ghi vào bảng theo lập luận sau Theo đề bài ta có: − Lộc không được phần thưởng. Vậy hộp thứ nhất không đựng cam, hộp thứ hai không đựng mận, hộp thứ ba không đựng bưởi và hộp thứ tư không đựng đào. Ta ghi số 0 vào các ô 4 ; 6 ; 11 và 13 − Đạt không được phần thưởng. Vậy hộp thứ nhất không đựng đào, hộp thứ hai không đựng bưởi, hộp thứ ba không đựng cam và hộp thứ tư không đựng mận. Ta ghi tiếp số 0 vào các ô 1 ; 7 ; 12 và 14 − Thanh cũng không được phần thưởng, cũng lập luận như trên rồi ta ghi tiếp số 0 vào các ô 2; 8 ; 9 và 15 Nhìn hàng thứ hai ta thấy hộp thứ nhất không đựng đào, không đựng mận, cũng không đựng cam. Vậy nó đựng bưởi. Ta đánh dấu X vào ô 3 Tương tự ta được : hộp thứ hai đựng dấu (đánh dấu X vào ô 5), hộp thứ ba đựng mận (đánh dẫu X vào ô 10) và hộp thứ tư đựng cam (đánh dấu X vào ô 16) Ví dụ 2.4 : Giờ Văn cô giáo trả bài kiểm tra. Bốn bạn Tuấn, Hùng, Lan, Quân ngồi cùng bàn đều đạt điểm 8 trở lên. Giờ ra chơi Phương hỏi điểm của bốn bạn. Tuấn trả lời: Lan không đạt điểm 10, mình và Quân không đạt điểm 9 còn Hùng không đạt điểm 8 Hùng thì nói : Mình không đạt điểm 10, Lan không đạt điểm 9 còn Tuấn và Quân đều không đạt điểm 8 Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt điểm mấy? Giải: Ta lập bảng và ghi bảng theo lập luận ở dưới Theo Tuấn ta ghi số 0 vào các o 3 ; 5 ; 8 và 10 Theo Hùng ta ghi số 0 vào các ô 2 ; 7 ; 9 và 12
49. Vì bốn bạn đều đạt điểm 8 trở lên, nên nhìn vào cột 2, ta kết luận Tuấn đạt điểm 10. Tương tự với các cột 3 ; 4 và 5 ta kết luận Hùng đạt điểm 9, Lan đạt điểm 8 còn Quân điểm 10 Ví dụ 2.5 : Năm người thợ tên là Da, Điện, Hàn, Tiện và Sơn làm năm nghề khác nhau trùng với tên của năm người đó, nhưng không ai có tên trùng với nghề của mình. Bác thợ da lấy em gái của bác Da. Tên của bác thợ da trùng với nghề của anh vợ mình và vợ bác chỉ có hai anh em. Bác Tiện khong làm thợ sơn mà lại là em rể của bác thợ hàn. Bác thợ sơn và bác Da là hai anh em cùng họ Bạn hãy cho biết bác Da và bác Tiện làm nghề gì Vì không ai làm nghề trùng với tên của mình nên ta ghi số 0 vào các ô 1; 7 ; 13 ; 19 và 25 Bác Tiện không làm thợ sơn nên ta ghi số 0 vào ô 24. Mặt khác bác Tiện làm em rể của bác thợ hàn nên bác Tiện không phải là thợ hàn. Ta ghi số 0 vào ô 14. Nhìn cột 5 ta thấy bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ điện Nếu bác Tiện là thợ da thì theo đề bài, bác Da là thợ tiện. Như vậy bác Tiện vừa là em rể của bác thợ tiện vừa là em rể của bác thợ hàn, mà vợ bác Tiện chỉ có hai anh em. Điều này vô lí. Vậy bác Tiện là thợ điện. Ta ghi số 0 vào ô 4 và dấu X vào ô 9 Bác Tiện là thợ điện nên bác Da không phải là thợ điện. Ta ghi số 0 vào ô 6. Bác thợ sơn và bác Da là hai anh em cùng họ nên bác Da không là thợ sơn. Ta ghi số 0 vào ô 21 Theo lập luận phần trên thì bác Da không phải là thợ tiện. Vậy bác Da là thợ hàn. Ta đánh dấu X vào ô 11 2.2. Phương pháp suy luận đơn giản Suy luận đơn giản là phép suy luận không dùng công cụ của lôgic mệnh đề. Dưới đây ta xét một số ví dụ minh hoạ cho phương pháp giải này Ví dụ 2.6 : Một viên quan nước Lỗ đi sứ sang Tề, bị vua Tề xử phạt tội chết và bị hành quyết: hoặc chém đầu hoặc treo cổ. Trước khi hành quyết nhà vua cho sứ giả được nói một câu và giao hẹn nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai thì treo cổ. Sứ giả mỉm cười và nói một câu mà nhờ đó đã thoát chết Bạn hãy cho biết câu nói đó của sử giả như thế nào?
50. Phân tích : Điều kiện của nhà vua đặt ra là nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai thì treo cổ. Vì nhà vua cho rằng một câu nói chỉ có thể đúng hoặc sai, như thế vị sứ giả chắc chắn sẽ bị chết. Nhưng nhà vua không tính đến khả năng vị sứ giả sẽ nghĩ ra câu nói mà đem chém đầu thì sứ giả nói sai (cho nên sứ giả không bị chém đầu) còn nếu đem treo cổ thì sứ giả nói đúng (nên khong bị treo cổ). Câu nói đó là : “Tôi sẽ bị treo cổ” Giải : Câu nói của sứ giả là: “Tôi sẽ bị treo cổ” Nếu nhà vua đem sứ giả đi chém đầu thì sứ giả nói sai. Mà nói sai thì phải xử treo cổ chứ không thể chém đầu sứ giả Nếu nhà vua đem treo cổ sứ giả thì sứ giả nói đúng. Mà nói đúng thì phải đem chém đầu chứ không thể treo cổ Sứ giả không bị chém đầu, không bị treo cổ cho nên đã thoát chết Ví dụ 2.7 : Người ta đồn rằng ở một ngôi đền nọ rất thiêng do ba vị thần ngự trị: thần Thật Thà (luôn luôn nói thật), thần Dối Trá (luôn luôn nói dối) và thần Khôn Ngoan (khi nói thật, khi nói dối). Các vị thần đều ngự ở trên bệ thờ và sẵn sàng trả lời câu hỏi khi có người thỉnh cầu. Nhưng vì hình dạng của ba vị thần giống hệt nhau nên người ta không biết vị thần nào để tin hay không tin Một hôm, một học giả từ phương xa đến ngôi đền gặp các thần để xin lời thỉnh cầu. Bước vào đền, học giả hỏi thần ngồi bên phải : Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Dối Trá Tiếp đó hỏi thần ngồi giữa Ngài là thần gì? Tôi là thần Khôn Ngoan Cuối cùng ông ta quay sang hỏi thần ngồi bên trái Ai ngồi cạnh ngài Đó là thần Thật Thà Nghe xong học giả khẳng định được mỗi vị là thần gì. Bạn hãy cho biết học giả đó đã suy luận như thế nào? Phân tích Ta nhận xét, cả ba câu hỏi của vị học giả đều nhằm xác định một thông tin là thần ngồi giữa là thần gì? Kết quả nhận được các câu trả lời như sau Thần bên phải : Đó là thần Dối Trá Thần ở giữa : Tôi là thần Khôn Ngoan Thần bên trái : Đó là thần Thật Thà Dựa vào các câu trả lời, vị học giả trước hết đã suy luận để xác định ai là thần Thật Thà. Tiếp theo dựa vào câu trả lời của vị thần Thật Thà thì xác định được vị thần thứ hai, rồi thứ ba Ngoài ra còn có thể giải bằng cách khác: suy luận để xác định ai là thần Dối Trá (hoặc Khôn Ngoan) trước, sau đó xác định hai vị thần còn lại Giải Cách 1 : Ta nhận xét Thần ngồi bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói thần ngồi giữa là thần Thật Thà
51. Thần ngồi giữa cũng không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan.” Vậy thần ngồi bên phải là thần Thật Thà. Theo câu trả lời của ngài thì ngồi giữa là thần Dối Trá. Cuối cùng, thần bên trái là thần Khôn Ngoan Cách 2 : Ta nhận xét: N  ếu thần ngồi bên trái là thần Dối Trá thì thần bên phải là thần Thật Thà hoặc Khôn Ngoan. Nếu ngồi bên phải là thần Thật Thà thì ngồi giữa là thần Dối Trá. Điều ngài vô lí, vì bên trái cũng là thần Dối Trá. Nên bên phải là thần Khôn Ngoan thì ngồi giữa là thần Thật Thà. Điều này vô lí, vì ngài nói : “Tôi là thần Khôn Ngoan” Vậy bên trái không phải là thần Dối Trá Nếu bên phải là thần Dối Trá thì ngồi giữa là thần Thật Thà hoặc Khôn Ngoan. Nhưng ngài không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan”. Nếu ngồi giữa là thần Khôn Ngoan thì bên trái là thần Thật Thà. Điều này vô lí, vì ngài nói: “Ngồi giữa là thần Thật Thà” Vậy bên phải cũng không phải là thần Dối Trá. Vậy, ta suy ra ngồi giữa là thần Dối Trá. Như vậy bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Ngồi giữa là thần Thật Thà”. Thế thì bên trái là thần Khôn Ngoan. Cuối cùng, bên phải là thần Thật Thà. Cách 3: Tương tự, ta có thể suy luận để xác định ai là thần Khôn Ngoan trước. Sau đó xác định hai vị thần còn lại Ví dụ 2.8 : ở một xã X có hai làng : dân làng A chuyên nói thật, còn dân làng B chuyên nói dối. Dân hai làng thường qua lại thăm nhau. Một chàng thanh niên nọ về thăm bạn ở làng A. Vừa bước vào xã X, đang ngơ ngác chưa biết đây là làng nào, chàng thanh niên gặp ngay một cô gái và anh ta hỏi người này một câu. Sau khi nghe trả lời chàng thanh niên bèn quay ra (vì biết chắc mình đang ở làng B) và sang tìm bạn ở làng bên cạnh. Bạn hãy cho biết câu hỏi đó thế nào và câu trả lời đó ra sao mà chàng thanh niên lại khẳng định chắc chắn như vậy Phân tích: Để nghe xong câu trả lời người thanh niên đó có thể khẳng định được mình đang đứng trong làng A hay làng B thì anh ta phải nghĩ ra một câu hỏi sao cho câu trả lời của cô gái chỉ phụ thuộc vào họ đang đứng trong làng nào mà không phụ thuộc cô gái ấy là người làng nào. Cụ thể hơn : cần đặt câu hỏi để cô gái trả lời là “phải”, nếu họ đang đứng trong làng A và “không phải”, nếu họ đang đứng trong làng B Giải: Câu hỏi của người thanh niên đó là : “Có phải chị là người làng này không?” Trường hợp 1 : Họ đang đứng trong làng A : nếu cô gái là người làng A thì câu trả lời là :”Phải”; nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là “Phải” (vì dân làng B chuyên nói dối) Trường hợp 2 : Họ đang đứng ở trong làng B. Nếu cô gái là người làng A thì câu trả lời là: “Không phải”; nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là : “Không phải” Như vậy, nếu họ đang đứng trong làng A thì câu trả lời chỉ có thể là “Phải”, còn nếu họ đang đứng trong làng B thì câu trả lời chỉ có thể là “Không phải” Người thanh niên quyết định quay ra, vì anh đã nghe câu trả lời là “Không phải” Ví dụ 2.9 :
52. Một hôm anh Quang lấy quyển album ra giới thiệu với mọi người. Cường chỉ vào người đàn ông trong ảnh và hỏi anh Quang : “Người đàn ông này có quan hệ thế nào với anh?” Anh Quang bèn trả lời : “Bà nội của chị gái vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ tôi” Bạn hãy cho biết anh Quang và người đàn ông ấy quan hệ với nhau thế nào? Giải : Bà nội của chị gái vợ anh ấy cũng chính là bà nội của vợ anh ấy. Bà nội của vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ anh Quang. Vậy vợ anh ấy và vợ anh Quang là hai chị em con dì con già. Suy ra anh Quang và người đàn ông ấy là hai anh em rể họ Ví dụ 2.10 : Trong giờ ngoại khóa, thầy giáo gọi 6 em nam và 6 em nữ ra sân và giao cho lớp trưởng nhiệm vụ tập hợp các bạn đứng thành vòng tròn sao cho không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau và đối diện với một bạn nữ qua tâm vòng tròn là một bạn nam. Suy nghĩ một lát, lớp trưởng trả lời: “Thưa thầy, không thể xếp được như vậy!”. Bạn lớp phó học tập tiếp luôn: “Nhưng nếu bớt đi một bạn nam và một bạn nữ hoặc thêm một bạn nam và một bạn nữ thì xếp được thưa thầy!” Bạn hãy cho biết hai bạn nói đúng hay sai, giải thích tại sao? Giải : Ta chia đường tròn thành 12 phần đều nhau như hình vẽ. Ta đánh số các điểm chia theo thứ tự từ 1 đến 12 Để hai bạn nữ không đứng cạnh nhau thì ta phải xếp các bạn nữ vào đứng ở các điểm ghi số lẻ, các bạn nam đứng ở các điểm ghi số chẵn (hoặc ngược lại) Nhìn trên hình vẽ ta thấy đối diện với một bạn mang số lẻ qua tâm đường tròn cũng là một bạn mang số lẻ và đối diện với một bạn mang số chẵn qua tâm đường tròn là một bạn mang số chẵn. Như vậy đối diện với một bạn nữ qua tâm đường tròn là một bạn nữ (chứ không thể là bạn nam)
53. Giả sử bớt đi một bạn nam và một bạn nữ Ta chia vòng tròn thành 10 phần bằng nhau như hình vẽ. Ta đánh số các điểm chia theo thứ tự từ 1 đên 10. Ta xếp các bạn nữ vào các điểm chia mang số lẻ và các bạn nam vào các điểm chia mang số chẵn (hoặc ngược lại). Nhìn trên hình vẽ ta thấy đối diện với một bạn mang số lẻ trên đường tròn là một bạn mang số chẵn. Như vậy đối diện với một bạn nữ qua tâm vòng tròn là một bạn nam và không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau Tương tự trường hợp thêm một nam và một nữ Vậy hai bạn đã nói đúng Ví dụ 2.11 : Một đoàn du khách trên đường đi thăm rừng Cúc Phương. Đến một ngã ba đường họ đang không biết rẽ lối nào thì nhìn thấy hai chú bé đang chăn trâu bên cạnh đường. Họ được nghe mọi người lưu ý từ trước rằng, trong hai cậu có một cậu chuyên nói thật còn cậu thứ hai chuyên nói dối. Khi được hỏi, các cậu chỉ trả lời: “Đúng” hoặc “Không”. Nhưng mọi người không biết cậu nào nói thật còn cậu nào nói dối. a, Một người lại gần và đặt hai câu hỏi cho một trong hai cậu bé. Sau khi nghe trả lời ông ta xác định được đường nào đi rừng Cúc Phương b, Lát sau, một cô gái khác chỉ hỏi một trong hai cậu bé một câu. Sau khi nghe trả lời cô cũng biết lối nào đi rừng Cúc Phương Bạn hãy cho biết các câu hỏi đó thế nào? Phân tích : a, Để bằng hai câu hỏi cho một cậu bé người đó xác định được lối nào đi rừng Cúc Phương thì người đó dùng câu hỏi thứ nhất để xác định em đó là nói thật hay nói dối. Dựa vào đó dùng câu hỏi thứ hai để xác định lối nào đi rừng Cúc Phương b, Để bằng một câu hỏi cho một cậu bé, cô gái xác định được lối nào đi rừng Cúc Phương thì câu hỏivề một trong hai con đường có đi rừng Cúc Phương hay không và câu trả lời nhận được không phụ thuộc vào cậu bé đó nói thật hay nói dối Giải : a, Trước hết người đó chỉ vào con trâu và hỏi một trong hai cậu bé: “Đây là con trâu có phải không?
54. Trường hợp 1 : Cậu bé trả lời “Đúng” thì cậu nói thật. Khi đó du khách chỉ vào một trong hai con đường và hỏi tiếp : “Có phải lối này đi rừng Cúc Phương hay không?”. Nếu cậu bé trả lời là “Đúng” thì lối đó đi rừng Cúc Phương, nếu cậu bé trả lời là “Không” thì lối thứ hai đi rừng Cúc Phương Trường hợp 2 : Cậu bé trả lời là “Không” thì cậu đó nói dối. Sau đó đặt tiếp câu hỏi như trên. Trong trường hợp này, nếu cậu bé trả lời là “Đúng” thì lối thứ hai đi rừng Cúc Phương và ngược lại b, Cô gái chỉ vào một con đường và hỏi một trong hai cậu bé: “Nếu tôi hỏi bạn cậu lối này có đi rừng Cúc Phương không thì bạn cậu trả lời thế nào?” Trường hợp 1 : Lối đó đi rừng Cúc Phương. Nếu cậu bé được hỏi là người nói thật (cậu thứ hai là người nói dối) thì câu trả lời là “Không”. Nếu cậu bé được hỏi là người nói dối (cậu thứ hai là người nói thật) thì câu trả lời cũng là “Không” Trường hợp 2 : Lối đó không đi rừng Cúc Phương. Lập luận như trong trường hợp 1 ta nhận được câu trả lời luôn là “Đúng” (cho dù cậu bé được hỏi là người nói thật hay nói dối) Qua phân tích trên đây ta thấy : nếu câu trả lời luôn là “Không” thì lối đó đi rừng Cúc Phương. Ngược lại, nếu câu trả lời là “Đúng” thì lối đó không đi rừng Cúc Phương. 2.3. Phương pháp lựa chọn tình huống Ví dụ 2.12: Tổ Toán của một trường trung học phổ thông có năm người : thầy Hùng, thầy Quân, cô Vân, cô Hạnh và cô Cúc. Kỳ nghỉ hè cả tổ được hai phiếu đi nghỉ mát. Mọi người đều nhường nhau, thầy hiệu trưởng đề nghị mỗi người đề xuất một ý kiến. Kết quả như sau: 1. Thầy Hùng và thầy Quân đi. 2. Thầy Hùng và cô Vân đi. 3. Thầy Quân và cô Hạnh đi 4. Cô Cúc và cô Hạnh đi 5. Thầy Hùng và cô Hạnh đi Cuối cùng thầy hiệu trưởng quyết định chọn đề nghị của cô Cúc, vì theo đề nghị đó thì mỗi đề nghị đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần Bạn hãy cho biết ai đã đi nghỉ mát trong kì nghỉ hè đó? Phân tích : Để chọn được đề nghị thoả mãn yêu cầu của đề bài ta lần lượt xét đề nghị của từng người. Sẽ có hai khả năng xảy ra Có một trong bốn đề nghị còn lại bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta loại bỏ đề nghị đó Không có đề nghị nào trong bốn đề nghị còn lạibị bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta chọn đề nghị đó Giải: Ta nhận xét Nếu chọn đề nghị thứ nhất thì đề nghị thứ tư bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ nhất và thứ tư Nếu chọn đề nghị thứ hai thì đề nghị thứ ba bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ hai và thứ ba Nếu chọn đề nghị thứ năm thì mỗi đề nghị trong bốn đề nghị còn lại đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần Vậy kì nghỉ hè năm đó thầy Hùng và cô Hạnh đi nghỉ mát
55. Ví dụ 2.13 : Sau giờ tập luyện buổi sáng đội tuyển thể thao rủ nhau vào quán ăn trưa. Thực đơn của quán có tám món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, ốc xào măng và canh chua. Toàn đội thống nhất sẽ gọi ba món trong thực đơn cho bữa ăn. Nguyện vọng của các cầu thủ chia ra thành năm nhóm như sau Nhóm 1 : Gà luộc, nem rán và chim quay Nhóm 2 : Đậu rán, bò xào và cá rán Nhóm 3 : Bò xào, cá rán và ốc xào măng Nhóm 4 : Nem rán, ốc xào măng và canh chua Nhóm 5 : Gà luộc, bò xào và canh chua Cuối cùng toàn đội đồng ý với thực đơn của đội trưởng đã chọn, vì theo thực đơn đó mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích Hỏi toàn đội hôm đó đã ăn những món gì? Giải : Ta nhận xét Nếu chọn thực đơn của nhóm một thì cả nhóm hai và ba đều không có món nào mà minh ưa thích. Vậy không thể chọn thực đơn của ba nhóm đầu Nếu chọn thực đơn của nhóm bốn thì nhóm hai không có món nào mà mình ưa thích. Vậy không thể chọn thực đơn của nhóm bốn Nếu chọn thực đơn của nhóm năm thì mỗi nhóm trong bốn nhóm còn lại đều có ít nhất một món mà mình ưa thích Vậy bữa trưa hôm đó toàn đội đã chọn thực đơn gồm ba món: gà luộc, bò xào và canh chua Ví dụ 2.14 : Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê ở năm tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây, Cần Thơ, Nghệ An, Tiền Giang. Khi được hỏi quê ở tỉnh nào, các bạn trả lời như sau: Anh : Tôi quê ở Bắc Ninh, còn Doan ở Nghệ An Bình : Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Cúc ở Tiền Giang Cúc : Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Doan ở Hà Tây Doan : Tôi quê ở Cần Thơ, còn Anh ở Hà Tây Nếu không bạn nào trả lời sai hoàn toàn thì quê của mỗi bạn ở tỉnh nào? Phân tích Trước hết ta cần hiểu “không bạn nào trả lời sai hoàn toàn” nghĩa là gì? Mỗi câu trả lời đều nói về quê quán của hai người. Nếu câu trả lời sai hoàn toàn thì có nghĩa là quê của cả hai ngườiđó đều không ở hai tỉnh đó. Vậy câu trả lời không sai hoàn toàn có nghĩa là một trong hai người hoặc cả hai người có quê ở hai tỉnh đó Chẳng hạn, câu trả lời của Anh không sai hoàn toàn, có nghĩa là: hoặc Anh quê ở Bắc Ninh còn quê của Doan không ở Nghệ An hoặc quê của Anh không ở Bắc Ninh còn Doan quê ở Nghệ An hoặc Anh quê ở Bắc Ninh và Doan quê ở Nghệ An Để xác định quê quán của mỗi bạn, ta lần lượt xét câu trả lời của mỗi người. Mỗi câu trả lời nói về quê quán của hai người. Ta lần lượt xét các trường hợp sau + Quê của người thứ nhất trong câu trả lời là đúng. Bằng suy luận ta xét các câu trả lời của bốn người còn lại. Nếu không có câu nào sai hoàn toàn thì ta xác định được quê của người đó. Tiếp đó ta xác định quê của bốn người còn lại. Nếu có một câu trả lời (trong bốn câu còn lại) bị sai hoàn toàn thì quê của người thứ nhất trong câu trả lời không ở tỉnh đó. Vậy quê của người thứ hai trong câu trả lời làđúng. Tiếp đó ta tìm quê của bốn người còn lại
56. + Quê của người thứ nhất trong câu trả lời là sai. Vậy quê của người thứ hai trong câu trả lời là đúng. Ta xác định được quê của người này. Tiếp đó ta xác định quê của bốn người còn lại Giải : Giả sử Anh quê ở Bắc Ninh thế thì quê của Bình và Cúc đều không ở Bắc Ninh. Vậy theo Bình thì Cúc quê ở Tiền Giang và theo Cúc thì Doan quê ở Hà Tây. Vì Anh quê ở Bắc Ninh nên quê của Anh không ở Hà Tây. Vậy theo An thì An quê ở Cần Thơ. Cuối cùng còn Bình quê ở Nghệ An (vì bốn bạn kia quê ở bốn tỉnh còn lại rồi) Ví dụ 2.15 : Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào vòng bán kết: Việt nam, Singapor, Thái Lan và Inđônêxia. Trước khi vào đấu vòng bán kết ba bạn Dũng, Quang, Tuấn dự đoán như sau: Dũng : Singapor nhì, còn Thái Lan ba Quang : Việt Nam nhì, còn Thái Lan thứ tư Tuấn : Singapor nhất và Inđônêxia nhì Kết quả mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy? Giải : Nếu Singapor đạt giải nhì thì Singapor không đạt giải nhất. Vậy (theo Tuấn) thì Inđônêxia đạt giải nhì. Điều này vô lí vì có hai đội đều đạt giải nhì Nếu Singapor không đạt giải nhì thì theo Dũng, Thái Lan đạt giải ba. Như vậy, Thái Lan không đạt giải tư. Theo Quang, Việt Nam đạt giải nhì. Thế thì Inđônêxia không đạt giải nhì. Vậy theo Tuấn, Singapor đạt giải nhất, cuối cùng còn đội Inđônêxia đạt giải tư Kết luận : Thứ tự giải của các đội trong Cúp Tiger 98 là : Nhất : Singapor Nhì : Việt Nam Ba : Thái Lan Tư: Inđônêxia 2.4. Phương pháp biểu đồ Ven Trong khi giải một số bài toán, người ta thường dùng những đường cong kín để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Nhờ sự mô tả này ta đi đến lời giải một cách tường minh và thuận lợi. Những đường cong như thế ta sẽ gọi là Biểu đồ ven. Phương pháp giải dùng biểu đồ Ven ta gọi là phương pháp biểu đồ Ven. Ví dụ 2.16 :
57. Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, Ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng Anh và 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 12 cán bộ phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hỏi : a) Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó? b) Có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh? Chỉ dịch được tiếng Pháp? Giải : Số lượng cán bộ phiên dịch được Ban tổ chức huy động cho hội nghị có thể mô tả bởi biểu đồ Ven ở hình 3. Nhìn vào sơ đồ ta có : Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Anh là : 30 − 12 = 18 (người). Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là : 25 − 12 = 13 (người). Số cán bộ phiên dịch được Ban tổ chức huy động cho hội nghị là : 30 + 13 = 43 (người). Trả lời : Ban tổ chức đã huy động tất cả 43 cán bộ phiên dịch cho hội nghị, trong đó có 18 người chỉ dịch được tiếng Anh và 13 người chỉ dịch được tiếng Pháp. Ví dụ 2.17 : Có bao nhiêu số có ba chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3 ? Giải : Số các số chẵn có ba chữ số là : (998 − 100) : 2 + 1 = 450 (số). Số các số có ba chữ số chia hết cho 3 là : (999 − 102) : 3 + 1 = 300 (số) Dãy các số chia hết cho 3 có ba chữ số là : 102, 105, 108, 111, , 996, 999. Trong dãy trên có một nửa là số lẻ, một nửa là số chẵn. Vậy có 150 số có ba chữ số chia hết cho 3 là số chẵn. Bây giờ ta mô tả bài toán bằng biểu đồ Ven như hình 4. Nhìn vào sơ đồ ta có: Số các số chẵn có ba chữ số không chia hết cho 3 là: 450 − 150 = 300 (số). Số các số có ba chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3 là: 300 + 300 = 600 (số). Trả lời : Có tất cả 600 số là số chẵn hoặc chia hết cho 3.
58. Ví dụ 2.18 : Lớp 9A có 30 em tham gia dạ hội tiếng Anh và tiếng Trung, trong đó có 25 em nói được tiếng Anh và 18 em nói được tiếng Trung. Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả hai thứ tiếng ? Giải : Các em học sinh lớp 9A tham gia dạ hội có thể được mô tả bằng biểu đồ Ven ở hình 5. Số học sinh chỉ nói được tiếng Trung là : 30 − 25 = 5 (em). Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là : 30 − 18 = 12 (em). Số em nói được cả hai thứ tiếng là: 30 − (5 + 12) = 13 (em). Trả lời: Có 13 em nói được cả tiếng Anh và tiếng Trung. Ví dụ 2.19 : Trong hội khoẻ Phù Đổng có 100 vận động viên đăng kí dự thi. Mỗi vận động viên được đăng kí dự thi một hoặc hai trong ba môn: ném tạ, bơi lội hoặc đấu cờ vua. Kết quả có 30 vận động viên chỉ thi đấu cờ vua, 53 người đăng kí thi ném tạ và 45 người đăng kí thi bơi. Hỏi có bao nhiêu người đăng kí thi đấu cả hai môn: ném tạ và bơi lội? Giải: Các vận động viên đăng kí thi đấu có thể được mô tả bởi hình 6. Số vận động viên đăng kí thi ném tạ hoặc bơi lội là: 100 − 30 = 70 (người)
59. Số vận động viên đăng kí cả hai môn ném tạ và bơi lội là: (45 + 53) − 70 = 28 (người). Trả lời: Có 28 vận động viên đăng kí thi đấu cả hai môn ném tạ và bơi lội. Ví dụ 2.20 : Trong một hội nghị có 500 đại biểu tham dự, mỗi đại biểu có thể sử dụng một trong ba thứ tiếng : Nga, Anh, hoặc Pháp. Theo thống kê của Ban tổ chức, có 60 đại biểu chỉ nói được một trong ba thứ tiếng, 180 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Anh và Pháp, 150 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga, 170 đại biểu nói được cả tiếng Nga và tiếng Pháp. Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng? Giải : Số đại biểu nói được cả hai thứ tiếng Nga và Pháp hoặc Nga và Anh là: 500 − (60 + 180) = 260 (người) Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là : (170 + 150) − 260 = 60 (người). Trả lời: Có 60 đại biểu nói được cả ba thứ tiếng. Ví dụ 2.21 : Hai trăm học sinh trường phổ thông chuyên ngữ tham gia dạ hội tiếng Nga, tiếng Trung và tiếng Anh. Có 60 bạn chỉ nói được tiếng Anh, 80 bạn nói được tiếng Nga và 90 bạn nói được tiếng Trung và 20 bạn chỉ nói được hai thứ tiếng Nga và Trung. Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả ba thứ tiếng ? Giải : Số học sinh nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung là : 200 − 60 = 140 (bạn). Số học sinh nói được cả hai thứ tiếng Nga và Trung là : (90 + 80) − 140 = 30 (bạn). Số học sinh nói được cả ba thứ tiếng là : 30 − 20 = 10 (bạn). Trả lời : Có 10 bạn nói được cả ba thứ tiếng. Hoạt động Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản ở nhà sau đó thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động 2.1 đến 2.4 dưới đây. Trên lớp đại diện sinh viên sẽ trình bày minh hoạ kết quả thực hiện dưới sự tổ chức của giáo viên. Hoạt động 2.1. Thực hành giải toán bằng phương pháp lập bảng Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1: Trình bày khái niệm về phương pháp lập bảng Nhiệm vụ 2: Xây dựng ba ví dụ về giải toán suy luận bằng phương pháp lập bảng Đánh giá 1. Trong giờ học nữ công các bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba bông hoa cúc, đào, hồng. Bạn làm hoa hồng quay sang nói với Cúc : “Thế là trong ba chúng mình chẳng có ai làm hoa trùng với tên của mình cả!”. Hỏi ai làm bông hoa nào? 2. Tại một trại hè thiếu nhi quốc tế có một nhóm gồm ba thiếu niên: một người Anh, một người Pháp và một người Nga. Mỗi người trong số ba bạn này đang học một trong ba ngoại ngữ: tiếng Anh, tiếng Pháp hoặc tiếng Nga. Biết rằng bạn học tiếng Anh lớn hơn bạn người Pháp 1 tuổi. Hãy xác định mõi bạn đang học ngoại ngữ gì ? 3. Ba cô giáo dạy tiếng Nga, Anh, Pháp được giao phụ trách đêm dạ hội ngoại ngữ. Một cô nói với các em: “Ba cô dạy ba thứ tiếng trùng với tên của các cô, nhưng chỉ
60. có một cô có tên trùng với thứ tiếng mình dạy”. Cô dạy tiếng Pháp hưởng ứng : “Cô nói đúng!”. Rồi chỉ vào cô vừa nói, tiếp lời: “Rất tiếc cô tên là Nga mà lại không dạy tiếng Nga”. Bạn hãy cho biết mỗi cô dạy thứ tiếng gì? 4. Các bạn Hùng, Lan, Phượng đến nhà Cúc chơi thấy trên bàn có bốn gói giấy màu xanh, đỏ, tím, vàng bèn hỏi bạn: “Gói gì vậy?” Cúc trả lời : “Mình có bốn viên bi xanh, đỏ, tím, vàng đựng trong bốn gói này. Đề nghị các bạn thử đoán xem mỗi viên bi ở trong gói nào?”. Hùng nhanh nhảu nói : Theo mình thì bi xanh không ở trong gói đỏ, bi đỏ không ở trong gói tím, bi tím không ở trong gói vàng còn bi vàng không ở trong gói xanh. Lan lắc đầu: Bi xanh không ở trong gói tím, bi đỏ không ở trong gói vàng, bi tím không ở trong gói xanh còn bi vàng không ở trong gói đỏ. Phượng chậm rãi nói : Theo mình thì bi xanh không ở trong gói vàng, bi đỏ không ở trong gói xanh, bi tím không ở trong gói đỏ còn bi vàng không ở trong gói tím. Cúc gật đầu khen: “Cả ba bạn đoán đều đúng cả!”. Bạn hãy cho biết trong mỗi gói đựng viên bi màu gì ? 5. Giờ toán hôm nay thày giáo trả bài kiểm tra, bốn bạn Minh; Hùng, Thông, Thái ngồi cùng bàn đều đạt điểm 6 trở lên. Giờ ra chơi Trung hỏi điểm của bốn bạn. Minh trả lời: Mình và Hùng không đạt điểm 6, Thông không đạt điểm 7 và Thái không đạt điểm 8. Hùng thì nói : Mình, Minh và Thông đều không đạt điểm 8 còn Thái thì không đạt điểm 7. Thông tiếp lời : Mình và Thái không đạt điểm 9, còn Minh và Hùng lại không đạt điểm 7. Cuối cùng, Thái khẳng định : Mình và Thông không đạt điểm 6 còn Minh và Hùng không đạt điểm 9. Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt điểm mấy ? 6. Ba nghệ sĩ Vàng, Bạch, Hồng rủ nhau đi quán uống cà phê. Ngồi trong quán, người đội mũ trắng nhận xét: “Ba ta đội mũ có màu trùng với tên của chúng ta, nhưng không ai có màu mũ trùng với tên của mình cả”. Nghệ sĩ Vàng hưởng ứng: “Anh nói đúng”. Bạn hãy cho biết mỗi nghệ sĩ đội mũ màu gì? 7. Cô Phương đưa ba bạn Lan, Hồng, Phượng đi dự hội thi “Tiếng hát hoa phượng đỏ”. Về đến trường các bạn đến hỏi thăm, cô trả lời: “Mỗi bạn đều đạt một trong các giải nhất, nhì, ba hoặc đặc biệt”. Cô đề nghị các bạn thử đoán xem. Hà đoán ngay: Theo em thì Phượng đạt giải nhất, Hồng giải nhì còn Lan đạt giải ba. Bích cho là: Lan đạt giải nhất, Phượng giải nhì còn Hồng đạt giải ba. Bạn Ngọc lại đoán: Hồng giải nhất, Lan giải nhì còn Phượng giải ba.
61. Nghe xong cô Phương lắc đầu nói không bạn nào đạt giải như các em dự đoán. Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt giải gì? 8. Điểm thi học kì môn tiếng Việt của ba bạn An, Bình, Huệ đều đạt từ khá trở lên. Khi hỏi điểm của ba bạn, Hà nhận được câu trả lời như sau: 1) Huệ không đạt điểm 7, An không đạt điểm 8 còn Bình không đạt điểm 9. 2) Bình và Huệ không đạt điểm 8 còn An không đạt điểm 9. 3) An và Bình không đạt điểm 7 còn Huệ không đạt điểm 9. Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt điểm mấy? 9. Ba thầy giáo Văn, Sử, Hoá dạy ba môn văn, sử, hoá, trong đó chỉ có một thầy có tên trùng với môn mình dạy. Hỏi mỗi thầy dạy môn gì, biết rằng thầy dạy môn hoá ít tuổi hơn thầy Văn và thầy Sử. 10. Năm người thợ sơn, hàn, tiện, điện và mộc tên là Sơn, Hàn, Tiện, Điện và Mộc, nhưng không ai có tên trùng với nghề của mình. Mỗi người mượn và cho nhau mượn một cuốn sách. Bác Sơn mượn sách của bác thợ sơn. Nghề của bác Sơn trùng với tên của người có sách cho bác mượn. Bác thợ tiện không tên là Mộc nhưng lại đang mượn cuốn sách của bác Hàn. Còn bác Mộc và bác thợ sơn là hai người cùng phố. Bạn hãy cho biết bác thợ tiện và thợ sơn tên là gì? 11. Giáo sư Thông nổi tiếng là thông minh nhưng lại hay đãng trí. Ông có một tủ sách, trong đó từ điển xếp vào ngăn trên, sách xếp vào ngăn giữa còn tạp chí xếp vào ngăn dưới cùng. Một lần ông cần tìm cuốn “Từ điển Anh − Việt”, cuốn sách “Cơ sở lôgic toán” và tạp chí “Thế giới mới”. Sau một hồi tìm kiếm đống tài liệu bề bộn để trên bàn làm việc, giáo sư khẳng định rằng thư kí đã xếp cuốn từ điển vào ngăn sách, cuốn sách và tạp chí vào ngăn tạp chí. Cô thư kí thanh minh rằng chắc chắn là giáo sư đã bỏ cả ba tài liệu đó vào ngăn từ điển. Còn bà giáo sư lại cho là cuốn từ điển lẫn trong ngăn để tạp chí, cuốn sách và tạp chí thì xếp cả trong ngăn sách. Người nào cũng cho rằng mình là đúng, thế là một cuộc to tiếng xảy ra. Vừa lúc đó cô con gái giáo sư bước vào phòng vừa cười vừa nói: “Mọi người sai cả rồi”. Nếu cô con gái nói đúng thì ba tài liệu trên lúc đó đang nằm ở đâu? 12. ở bốn góc vườn trồng cây cảnh của ông nội trồng bốn khóm hoa cúc, huệ, hồng và dơn. Biết rằng hai góc vườn phía tây và phía bắc không trồng huệ, khóm huệ trồng giữa khóm cúc và góc vườn phía nam, còn khóm dơn trồng giữa khóm hồng và góc vườn phía bắc. Bạn hãy cho biết mỗi góc vườn ông nội đã trồng hoa gì ? 13. Giáo sư Châu gửi cho mỗi đồng nghiệp của mình (ở bảy nước khác nhau) một bức thư kèm theo một bài khảo luận viết bằng tiếng mẹ đẻ của họ. Nhưng do cô thư kí sơ ý nên đã dẫn đến hậu quả: không một ai trong số bảy đồng nghiệp nhận được bức thư và bài khảo luận mà giáo sư Châu định gửi cho mình, cũng không một ai nhận được thư và bài khảo luận viết bằng cùng một thứ tiếng, Giáo sư người Nga là chuyên gia về địa chất thì lại nhận được bức thư viết bằng tiếng Ba Lan và bài khảo luận về sao Hoả mà lẽ ra phải gửi cho giáo sư người Pháp. Trong khi đó giáo sư người Pháp lại nhận được bức thư bằng tiếng Italia cùng bài khảo luận về vi sinh mà lẽ ra phải gửi cho giáo sư người Hà Lan. Giáo sư người Hà Lan nhận được bức thư viết bằng tiếng Tây Ban Nha cùng bài khảo luận về môi trường đáng lẽ phải gửi cho giáo sư Ba Lan. Giáo sư Ba Lan lại nhận được bài khảo luận về địa chất. Giáo sư
62. Italia là chuyên gia về chăn nuôi lại nhận được bức thư bằng tiếng Đức, còn giáo sư người Đức là chuyên gia về hạt nhân lại nhận được bức thư bằng tiếng Pháp. Bạn hãy cho biết các giáo sư người Đức, Italia và Tây Ban Nha đã nhận được bài khảo luận viết bằng tiếng gì? Giáo sư Tây Ban Nha đã nhận được bức thư viết bằng tiếng gì? 14. Thày Vinh vừa đưa bốn bạn An, Cường, Bình và Đông đi thi học sinh giỏi về trường, mọi người đến hỏi thăm, thày trả lời : “Mỗi bạn đều đạt một trong các giải: đặc biệt, nhất, nhì, ba hoặc khuyến khích”. Thày đề nghị mọi người thử đoán xem. Phan nhanh nhảu nói : Theo em thì An, Bình giải nhì, còn Cường và Đông giải khuyến khích. Thanh lắc đầu : Không phải, mà An, Cường, Đông đều giải nhất, chỉ có Bình giải ba. Thịnh thì cho là chỉ có Bình giải nhất còn ba bạn đều đạt giải ba. Toàn lại nhận định: “Chỉ có Cường và Đông giải nhì còn An và Bình đạt giải khuyến khích”. Nghe xong thày mỉm cười : “Các em đoán sai cả rồi”. Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt giải gì? 15. Chiều thứ bảy Tùng nghe ba bạn Mạnh, Cường và Lân hẹn nhau sáng chủ nhật đến nhà nhau chơi hoặc cùng nhau đi chơi công viên. Lúc 9 giờ sáng chủ nhật Tùng gọi điện đến gia đình ba bạn. Mẹ Mạnh cho biết : Mạnh và Lân không có ở nhà bác, còn Cường thì không ở nhà Lân. Em gái Cường khẳng định : Cả ba anh không có ở nhà em. Bà Lân thì bảo: Lân và Mạnh không có ở nhà bà, Cường không có ở nhà Mạnh. Bạn hãy cho biết ba bạn lúc ấy đang ở đâu? Hoạt động 2.2. Thực hành giải toán bằng phương pháp suy luận đơn giản Nhiệm vụ Nhiệm vụ: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp suy luận đơn giản Đánh giá 1. Trước vành móng ngựa là ba người đàn ông, họ là người bản xứ hoặc tên thực dân. Quan toà được biết khi được hỏi, người bản xứ bao giờ cũng nói thật, còn tên thực dân bao giờ cũng nói dối, nhưng quan toà không biết trong bọn họ ai là người bản xứ, ai là thực dân. Quan toà hỏi người thứ nhất : “Anh là ai?”. Nhưng anh ta nói ngọng nên quan toà không hiểu câu trả lời. Quan toà bèn quay sang hỏi người thứ hai, rồi người thứ ba : “Người thứ nhất trả lời thế nào?”. Người thứ hai trả lời : “Anh ta nói anh ta là người bản xứ”. Còn người thứ ba lại nói : “Anh ta nói anh ta là thực dân”. Bạn hãy cho biết người thứ hai và thứ ba là thực dân hay bản xứ? (Ta giả thiết rằng ba người này khi nghe nhau nói họ hiểu nhau nói gì). 2. Trên một hòn đảo nọ chỉ có hai bộ lạc sinh sống: Cabơnhắc chuyên nói thật và Prasin chuyên nói dối. Một du khách đi chơi trên đảo gặp một người dân bản xứ bèn thuê làm người giúp việc. Đi được một quãng, trông thấy một người đàn ông khác. Du khách bảo người giúp việc ra hỏi xem người đó thuộc dân tộc nào. Chàng giúp việc đi về và trả lời : “Anh ta nói rằng anh ta là người Prasin”. Nghe xong du khách
63. khẳng định người giúp việc của mình là không thật thà bèn đuổi đi mà không thuê nữa. Bạn hãy cho biết khẳng định của du khách là đúng hay sai? Tại sao? 3. Ba bạn Quân, Hùng và Mạnh vừa đạt giải nhất, nhì và ba trong kì thi toán quốc tế. Biết rằng: a, Không có học sinh trường chuyên nào đạt giải cao hơn Quân. b, Nếu Quân đạt giải thấp hơn một bạn nào đó thì Quân không phải là học sinh trường chuyên. c, Chỉ có đúng một bạn không phải là học trường chuyên. d, Nếu Hùng và Minh đạt giải nhì thì Mạnh đạt giải cao hơn bạn quê ở Hải Phòng. Bạn hãy cho biết mỗi bạn đã đạt giải nào? Bạn nào không học trường chuyên và bạn nào quê ở Hải Phòng. 4. Thày Nghiêm được nhà trường cử đưa bốn học sinh Lê, Huy, Hoàng, Tiến đi thi đấu điền kinh. Kết quả có ba em đạt các giải nhất, nhì, ba và một em không đạt giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả, các em trả lời như sau: Lê: Minh đạt giải nhì hoặc ba. Huy: Mình đã đạt giải. Hoàng: Mình đạt giải nhất. Tiến: Mình không đạt giải. Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói : “Chỉ có ba bạn nói thật, còn một bạn đã nói đùa”. Bạn hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt giải? 5. Trong giờ ngoại khoá các bạn tham gia một trò chơi như sau: Mỗi bạn chọn 20 hoặc 22 quân cờ (trong đó có một số quân màu đỏ và một số quân màu trắng). Sau đó mỗi bạn xếp số quân cờ đó thành vòng tròn sao cho không có hai quân cùng màu đứng cạnh nhau và đối diện với quân đỏ qua tâm đường tròn cũng là quân đỏ. Ba bạn Lan, Tuấn và Dung vào cuộc chơi : Lan chọn 10 quân trắng và 10 quân đỏ; Tuấn chọn 11 quân trắng và 11 quân đỏ còn Dung thì chọn 12 quân đỏ và 10 quân trắng. Bạn Minh đứng ở ngoài nhìn thấy thế bèn nói “Chỉ có Tuấn có thể xếp được còn Lan và Dung đều không thể xếp được thoả mãn yêu cầu của cuộc chơi”. Bạn giải thích tại sao? 6. Năm vận động viên Tuấn, Tú, Kỳ, Anh, Hợp chạy thi. Kết quả không có hai bạn nào về đích cùng một lúc. Tuấn về đích trước Tú nhưng sau Hợp. Còn Hợp và Kỳ không về đích kề liền nhau. Anh không về đích kề liền với Hợp, Tuấn và Kỳ. Bạn hãy xác định thứ tự về đích của năm vận động viên nói trên. 7. Một du khách muốn tham quan bằng ô tô bốn khu di tích lịch sử A, B, C, D trong huyện nọ. Theo bản đồ chỉ dẫn thì giữa hai khu di tích bất kì đều có đường ô tô nối liền nhau và nếu đi bằng con đường qua khu B không qua khu D thì hoặc qua cả hai khu A, C hoặc không qua cả hai khu đó. Vì trong huyện có những đoạn đường đang sửa chữa cho nên những con đường qua C, kể cả những con đường qua D lúc đó đều không thể qua cả A và B. Bạn xem có cách nào đi một vòng (có nghĩa là không đi đường nào hai lần) qua được cả bốn khu trên không. Nếu không thì nên chọn đường đi như thế nào để tham quan được nhiều nhất?