Giáo trình Cơ sở Toán học

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở Toán học

1. Bộ giáo dục và đào tạo đại học huế tr−ờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Sở TOáN HọC {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} ∅ huế − 2005
2. . LO` INOI´ D- `AˆU . . . . . . . Nh˜ung ngu`oim´oib˘a´td¯ˆa`u nghiˆenc´uu to´anho.cthu`ong ca’m thˆa´y kh´oxˆay . . du. ng th´oiquen ph´atbiˆe’umˆo.t c´ach ch˘a.t ch˜enh˜ung ´ykiˆe´nmuˆo´n tr`ınhb`ay, kh´o . . . . . ho.ctˆa.p c´acphuong ph´aplˆa.p luˆa.n d¯´ungd¯˘a´n v`akh´on˘a´md¯uo. c c´ackh´ainiˆe.mco . . . . . ba’ncu’a to´anho.c. Nh˜ung kh´okh˘ann`aydu`ong nhu b˘a´t nguˆo`nt`u chˆo˜:mˆo.tl`a . . . khˆongd¯uo. c luyˆe.ntˆa.pvˆe` lˆogicto´an,mˆo.tchu’ d¯` ˆe nghiˆenc´uu c´ach lˆa.p luˆa.n suy . diˆe˜n ´apdu. ng v`aoviˆe.cch´ung minh c´acd¯i.nh l´yto´anho.c; hai l`ado thiˆe´u c´ackh´ai . . . . niˆe.mcoba’n v`ac´acphuong ph´apd`ung trong l´y thuyˆe´ttˆa.pho. p m`ang`aynay . . . . . . thu`ong d¯uo. c ´apdu. ng trong mo.i ng`anhto´anho.cv`ad`ung l`amco so’ d¯ ˆe ’ khai ph´a . . v`agia’i th´ıch c´ackh´ainiˆe.mcoba’ncu’a to´anho.c (nhu ´anh xa., quan hˆe., ); ba . . . . . . . l`ado khˆongn˘a´md¯uo. cnh˜ung kh´ainiˆe.mcoba’ncu’ad¯a.isˆo´ tr`uutuo. ng, mˆo.t chu’ . . d¯` ˆe d¯angph´attriˆe’nma.nh m˜ev`ac´oa’nh huo’ ng d¯ˆe´nmo.i ng`anhto´anho.c kh´ac,cu. . . . thˆe’ qua c´accˆa´utr´uc d¯a.isˆo´ cu’a c´actˆa.pho. psˆo´ quen thuˆo.c (nhu tˆa.p c´acsˆo´ tu. . . . nhiˆen,tˆa.p c´acsˆo´ nguyˆen,tˆa.p c´acsˆo´ h˜uutı’,tˆa.p c´acsˆo´ thu. c v`atˆa.p c´acsˆo´ ph´uc). . . . D- uo. csu. d¯ ˆo.ng viˆenma.nh m˜ecu’a c´acd¯ˆo`ng nghiˆe.p trong c´acKhoa To´an- . . . Co-Tin ho.c, Cˆongnghˆe. Thˆongtin v`aVˆa.tl´y(Tru`ong D- a.iho.c Khoa ho.c-D- a.iho.c . . . Huˆe´), c´acKhoa To´anv`aTin ho.c (Tru`ong D- a.iho.cSupha.m-D- a.iho.cHuˆe´)v`a . d¯ ˘a.cbiˆe.t do nhu cˆa`uho.ctˆa.pcu’a c´acsinh viˆentrong D- a.iho.cHuˆe´ o’ c´acKhoa . . n´oitrˆen,ch´ungtˆoima.nh da.nviˆe´t gi´aotr`ınh Co so’ To´anho.c, trong khi trˆenthi. . . . . . tru`ong s´ach c´okh´anhiˆe` u t`ailiˆe.u liˆenquan d¯ˆe´nho.c phˆa`n n`ay(nhung d¯uo. c tr`ınh . . b`ayta’nma.nv`ar`oira.c). D- iˆe` u m`ach´ungtˆoimong muˆo´n l`ac´ackiˆe´nth´uccu’a . . . ho.c phˆa`n n`aypha’id¯uo. cd¯ua v`aod¯ˆa`yd¯u’,cˆod¯o.ng, ch´ınh x´ac,cˆa.p nhˆa.t v`ab´am s´attheo yˆeucˆa`u d¯`aota.o sinh viˆenc´acng`anhTo´an,Vˆa.t l´y,Cˆongnghˆe. Thˆongtin . . . . v`amˆo.tsˆo´ ng`anhk˜y thuˆa.t kh´accu’a c´actru`ong d¯a.iho.c v`acao d¯˘a’ ng. V´oisu. nˆo’ . lu. chˆe´t m`ınhcu’aba’n thˆan,ch´ungtˆoithiˆe´t ngh˜ı d¯ˆayc`onl`at`ailiˆe.u tham kha’o . . tˆo´t cho c´acgi´aoviˆengia’ng da.yho.c phˆa`n Nhˆa.pmˆonD- a.isˆo´ hay Co so’ To´anho.c . . . . Nˆo.i dung cu’a t`ailiˆe.u n`ayd¯uo. cbˆo´ tr´ıtrong 6 chuong. Trong c´acphˆa`ncu’a . . . . mˆo˜i chuong c´onhiˆe` uth´ıdu. cu. thˆe’ minh hoa. cho nh˜ung kh´ainiˆe.mc˜ung nhu . . . . . . nh˜ung kˆe´t qua’ cu’ach´ung. Cuˆo´icu’amˆo˜ichuong l`anh˜ung b`aitˆa.pd¯uo. ccho.nlo.c . . . . t`u dˆe˜ d¯ ˆe´n kh´ob´amtheo nˆo.i dung cu’achuong d¯´ov`aliˆe` n sau d¯´ol`ac´acl`oi gia’i . . . . cu’ach´ung. D- ´o l`ac´acchuong vˆe` Lˆogicto´anv`atˆa.pho. p, Anh´ xa., Quan hˆe.,Sˆo´ tu. . . . . nhiˆenv`asˆo´ nguyˆen,Sˆo´ h˜uutı’,sˆo´ thu. c v`asˆo´ ph´uc, D- ath´uc. . Ch´ung tˆoixin chˆanth`anhc´amon c´acd¯ˆo`ng nghiˆe.p d¯ ˜a d¯ ˆo.ng viˆenv`ag´op´y . . . . cho cˆongviˆe.cviˆe´t gi´aotr`ınh Co so’ To´anho.c n`ayv`al`oi c´amond¯˘a.cbiˆe.t xin . . . . d`anhcho Khoa To´an-Co-Tin ho.c (Tru`ong D- a.iho.c Khoa ho.c-D- a.iho.cHuˆe´)vˆe` su. . . gi´upd¯˜o qu´y b´auv`ata.o d¯ i` ˆe ukiˆe.n thuˆa.nlo. ichoviˆe.c xuˆa´tba’n gi´aotr`ınh n`ay. Typeset by AMS-TEX
3. . . . T´acgia’ mong nhˆa.nd¯uo. csu. chı’ gi´aocu’a c´acd¯ˆo`ng nghiˆe.p v`ad¯ˆo.c gia’ vˆe` nh˜u.ng thiˆe´u s´otkh´otr´anhkho’icu’a cuˆo´n s´ach. ´ Cˆo´ D- ˆoHuˆe´, AˆtDˆa.uTro.ng D- ˆong (2005) Nguyˆe˜nGiaD- .inh 2
4. . . CHUONG I: . LOGICˆ TOAN´ VAT` Aˆ. PHO. P 1.1. LOGICˆ TOAN.´ 1.1.1. Mˆe.nh d¯ˆe` v`ac´acph´epto´anlˆogic: . 1.1.1.1. Mˆe.nh d¯ˆe` : Mˆe.n h d¯` ˆe l`amˆo.t cˆaupha’n ´anhmˆo.td¯iˆe` ud¯´ung ho˘a.c sai, ch´u khˆongpha’iv`u.a d¯´ung v`u.a sai. Th´ıdu. : 1) Sˆo´ 35 chia hˆe´t cho 5: mˆe.n h d¯` ˆe d¯ung. ´ . 2) M˘a.t tr`oi quay quanh tr´aid¯ˆa´t: mˆe.n h d¯` ˆe sai. 3) Tam gi´ac ABC c´o3 g´ocvuˆong:mˆe.n h d¯` ˆe sai. 4) 2 < 5: mˆe.n h d¯` ˆe d¯ung. ´ C´accˆauho’i, cˆauca’m th´an,cˆaumˆe.nh lˆe.nh, v`an´oichung c´accˆaukhˆong . . . nh˘a`m pha’n ´anht´ınhd¯´ungsai cu’a thu. ctˆe´ kh´ach quan d¯ˆe` u khˆongd¯uo. c coi l`a mˆe.n h d¯` ˆe . . . Trong lˆogicmˆe.n h d¯` ˆe , ta khˆongquan tˆamd¯ˆe´ncˆa´u tr´ucng˜u ph´apc˜ung nhu y´ ngh˜ıanˆo.i dung cu’amˆe.n h d¯` ˆe m`achı’ quan tˆamd¯ˆe´n t´ınhd¯´ungsai cu’amˆo˜imˆe.nh d¯` ˆe . . . D- ˆe ’ chı’ c´acmˆe.n h d¯` ˆe chua x´acd¯i.nh, ta d`ung c´acch˜u c´ai: p, q, r, v`ago.i . . ch´ungl`ac´acbiˆe´nmˆe.nh d¯ˆe` .Taquyu´ocviˆe´t p = 1 khi p l`amˆe.nh d¯ˆe` d¯ung ´ v`a p = 0 khi p l`amˆe.n h d¯` ˆe sai. C´acgi´atri. 0 v`a1 go.i l`ac´acgi´atri. chˆanl´ycu’a c´ac mˆe.n h d¯` ˆe . . . . . George Boole d¯˜anghiˆenc´uuphuong ph´apta.o ra c´acmˆe.n h d¯` ˆe m´oib˘a`ng . . . . . c´ach tˆo’ ho. pt`umˆo.t ho˘a.c nhiˆe` umˆe.n h d¯` ˆe d¯˜ac´o.C´acmˆe.n h d¯` ˆe m´oid¯uo. cgo.il`a . . . . . c´acmˆe.nh d¯ˆe` ph´ucho. p, ch´ungd¯uo. cta.orat`uc´acmˆe.nh d¯ˆe` hiˆe.nc´ob˘a`ng c´ach d`ung c´acph´epto´anlˆogic. 1.1.1.2. Ph´epphu’ d¯ i .nh: Phu’ d¯. i nh cu’amˆe.n h d¯` ˆe p ,k´yhiˆe.ul`ap,d¯o.c l`a“khˆong p”, l`amˆe.n h d¯` ˆe sai khi p d¯ung ´ v`ad¯´ung khi p sai. . . Ph´epphu’ d¯. i nh trong lˆogicmˆe.n h d¯` ˆe ph`uho. pv´oi ph´epphu’ d¯. i nh trong ngˆon . . . . . . ng˜u thˆongthu`ong, ngh˜ıal`aph`uho. pv´oi ´yngh˜ıacu’at`u“khˆong”(“khˆongpha’i”). Th´ıdu. :1)p: “9 l`amˆo.tsˆo´ le’”(D- ), p: “9 khˆongl`amˆo.tsˆo´ le’” (S). . . 2 . 2) p: “v´oimo.isˆo´ thu. c x, y, (x + y) < 0” (S), p: “tˆo`nta.isˆo´ thu. c x, y, (x + y)2 ≥ 0” (D- ). 1.1.1.3. Ph´ephˆo. i: Hˆo.icu’a hai mˆe.n h d¯` ˆe p, q,k´yhiˆe.ul`ap ∧ q,d¯o.cl`a“p v`a q”, . . . l`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe d¯ung ´ khi ca’ p lˆa˜n q c`ung d¯´ungv`asai trong c´actru`ong ho. p c`on la.i. . . . . . . Ph´ephˆo.i ph`uho. pv´oi ´yngh˜ıacu’a liˆent`u “v`a”cu’a ngˆonng˜u thˆongthu`ong. Th´ıdu. :1)p: “2 l`asˆo´ nguyˆentˆo´”(D- )v`aq: “2 l`asˆo´ ch˜an”(D- )th`ıp ∧ q: “2 l`a sˆo´ nguyˆentˆo´ v`al`ach˘a˜n” (D- ). 3
5. . . 2) Mˆe.nh d¯ˆe` “Sˆo´ π l´on 3 v`al`amˆo.tsˆo´ h˜uutı’” (S) l`ahˆo.icu’a hai mˆe.nh d¯ˆe` . . . “Sˆo´ π l´onhon 3” (D- ) v`a“Sˆo´ π l`amˆo.tsˆo´ h˜uutı’” (S). 1.1.1.4. Ph´eptuyˆe’n: Tuyˆe’ncu’ahaimˆe.nh d¯ˆe` p, q,k´yhiˆe.u p ∨ q,d¯o.cl`a“p . . ho˘a.c q”, l`amˆo.tmˆe.nh d¯ˆe` sai khi ca’ p lˆa˜n q d¯` ˆe u sai v`ad¯´ungtrong mo.i tru`ong . ho. p c`onla.i. . . . . . . Ph´eptuyˆe’n´ung v´oi liˆent`u “ho˘a.c” trong ngˆonng˜u thˆongthu`o ng theo ngh˜ıa . khˆongloa.itr`u, c´ongh˜ıal`amˆe.n h d¯` ˆe “p ho˘a.c q”d¯´ung khi v`achı’ khi ´ıtnhˆa´tmˆo.t trong hai mˆe.n h d¯` ˆe p v`a q d¯ung. ´ . . Th´ıdu. :1)p: “3 nho’ hon5”(D- )v`aq: “3 b˘a`ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho’ hon ho˘a.cb˘a`ng 5” (D- ). 2) p: “Paris l`athu’ d¯ ˆo n u .´o.c Anh” (S) v`a q: “6 l´o.nho.n 8” (S) th`ı p ∨ q: . . . . “Paris l`athu’ d¯ ˆo n u ´oc Anh ho˘a.c6l´onhon 8” (S). 1.1.1.5. Ph´eptuyˆe’n loa.i: Tuyˆe’n loa.icu’a hai mˆe.n h d¯` ˆe p, q,k´yhiˆe.u p ⊕ q,d¯o.c . l`a“p ho˘a.c q (nhung khˆongca’ hai)”, l`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe d¯ung ´ khi chı’ c´omˆo.t trong . . . hai mˆe.n h d¯` ˆe p v`a q l`ad¯´ungv`asai trong mo.i tru`ong ho. p c`onla.i. . . . . . . Ph´eptuyˆe’n loa.i´ung v´oi liˆent`u “ho˘a.c” trong ngˆonng˜u thˆongthu`ong theo . ngh˜ıaloa.itr`u√. √ . - Th´√ıdu. : p:“ 2 l`amˆo.tsˆo´ h˜uutı’” (S) v`a q:“ 2l`amˆo.tsˆo´ vˆotı’”(D)th`ı p ⊕ q: . “ 2l`amˆo.tsˆo´ h˜uutı’ ho˘a.c l`amˆo.tsˆo´ vˆotı’”(D- ). 1.1.1.6. Ph´epk´eo theo: Mˆe.n h d¯` ˆe k´eotheo p ⇒ q,d¯o.cl`a“p k´eotheo q”hay . . ”nˆe´u p th`ı q”, l`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe sai khi p d¯ung ´ v`a q sai v`ad¯´ungtrong c´actru`ong . ho. p c`onla.i. . . . . Trong ph´epk´eotheo n´oitrˆen, p d¯ u o. cgo.i l`agia’ thiˆe´t, c`on q d¯ u o. cgo.il`akˆe´t luˆa.n. . . V`ıph´epk´eotheo xuˆa´thiˆe.no’ nhiˆe` unoi trong c´acsuy luˆa.n to´anho.c, nˆenc´o . . . . . nhiˆe` u thuˆa.tng˜u d¯ u o. cd`ung d¯ˆe’ diˆe˜nd¯a.tmˆe.n h d¯` ˆe p ⇒ q.Du´oi d¯ˆayl`amˆo.tsˆo´ th´ı . . du. thu`ong g˘a.p nhˆa´t. –“Nˆe´u p th`ı q”, –“p k´eotheo q”, –“T`u. p suy ra q”, –“p l`ad¯iˆe` ukiˆe.nd¯u’ d¯ ˆe ’ c´o q”, –“q l`ad¯iˆe` ukiˆe.ncˆa`n d¯ ˆe ’ c´o p”. . Th´ıdu. :1)“Nˆe´u hˆomnay tr`oin˘a´ng, ch´ungtˆois˜ed¯ira b˜aibiˆe’n” l`amˆo.tmˆe.nh . . . . . . . d¯` ˆe k´eotheo v`ad¯uo. c xem l`ad¯´ungtr`u phi hˆomnay tr`oi thu. csu. n˘a´ng, nhung ch´ungtˆoikhˆongd¯ira b˜aibiˆe’n. . 2) “Nˆe´u hˆomnay l`ath´u hai th`ı3 + 5 = 7” l`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe k´eotheo v`al`a . . . d¯ung ´ v´oimo.i ng`aytr`u th´u hai. Trong suy luˆa.n to´anho.c, ch´ungta x´etc´acph´epk´eotheo thuˆo.c loa.itˆo’ng . . . . qu´athon trong ngˆonng˜u thˆongthu`ong. Kh´ainiˆe.m to´anho.cvˆe` ph´epk´eotheo . . d¯ ˆo.clˆa.pv´oimˆo´i quan hˆe. nhˆan- qua’ gi˜ua gia’ thiˆe´tv`akˆe´t luˆa.n. 4
6. . . . Khˆongmay, cˆa´utr´uc nˆe´u - th`ıd¯uo. c d`ungtrong nhiˆe` u ngˆonng˜u lˆa.ptr`ınh . . . . la.i kh´acv´oicˆa´u tr´ucd¯uo. c d`ungtrong lˆogicto´an.D- asˆo´ c´acngˆonng˜u lˆa.p tr`ınh . . . ch´uanh˜ung cˆaulˆe.nh nhu nˆe´u p th`ı S (if p then S), trong d¯´o p l`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe . . . c`on S l`amˆo.t d¯oa.nchuong tr`ınh(gˆo`mmˆo.t ho˘a.c nhiˆe` ulˆe.nh cˆa`n pha’i thu. chiˆe.n). . . . . . . . . Khi thu. chiˆe.nmˆo.t chuong tr`ınhg˘a.pnh˜ung cˆa´utr´uc nhu vˆa.y, S s ˜e d¯ u o. c thu. c . . . hiˆe.nnˆe´u p l`ad¯´ung,trong khi d¯´o S s˜ekhˆongd¯uo. c thu. chiˆe.nnˆe´u p l`asai. . . . . . . . . 1.1.1.7. Ph´eptuong d¯uong: Mˆe.n h d¯` ˆe “p tuong d¯uong q”, k´yhiˆe.ul`ap ⇔ q, . . l`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe d¯ung ´ khi p v`a q c´oc`ung gi´atri. chˆanl´y v`asai trong c´actru`ong . ho. p c`onla.i. . . . . . . . D- .inh ngh˜ıa cu’a ph´eptuong d¯uong ph`uho. pv´oi ´yngh˜ıacu’acu. mt`u“khi . . . v`achı’ khi” hay “nˆe´u v`achı’ nˆe´u” cu’a ngˆonng˜u thˆongthu`ong. Trong to´anho.c, . . . . . . mˆe.n h d¯` ˆe “p tuong d¯uong q”c´othˆe’ diˆe˜nd¯a.tdu´oida.ng: “d¯iˆe` ukiˆe.ncˆa`n v`ad¯u’ d¯ ˆe ’ c´o p l`ac´o q”. . Th´ıdu. :1)D- iˆe` ukiˆe.ncˆa`n v`ad¯u’ d¯ ˆe ’ 4ABC cˆanl`ahai g´oco’ d¯´aycu’a n´ob˘a`ng nhau. 2) Dˆa´ub˘a`ng xa’y ra trong bˆa´td¯˘a’ ng th´u.c Cauchy √ a1 + a2 + ããã+ an n a a a ≤ 1 2 n n khi v`achı’ khi a1 = a2 = ããã= an. Sau d¯ˆayl`aba’ng chˆantri. cu’a c´acph´epto´anlˆogicn´oitrˆen. p q p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p ⇒ q p ⇔ q 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1.1.1.8. C´acph´epto´anlˆogicv`ac´acph´epto´anbit: C´acm´ayt´ınhd`ung . c´acbit d¯ˆe’ biˆe’udiˆe˜n thˆongtin. Mˆo.t bit c´ohai gi´atri. l`a0 v`a1. Y´ ngh˜ıacu’at`u . . n`ayb˘a´t nguˆo`nt`ubinary digit (sˆo´ nhi. phˆan).Thuˆa.tng˜un`aydo nh`aThˆo´ng kˆe . . . ho.cnˆo’itiˆe´ng John Turkey d¯ua ra v`aon˘am1946. Bit c˜ung c´othˆe’ d¯ u o. cd`ung d¯ˆe’ biˆe’udiˆe˜n gi´atri. chˆanl´y. Ta s˜ed`ungbit 1 d¯ˆe’ biˆe’udiˆe˜n gi´atri. d¯ung ´ v`abit 0 d¯ˆe’ biˆe’udiˆe˜n gi´atri. sai. Tas˜ed`ung c´ack´yhiˆe.u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´acph´epto´an . . . . . . −, ∧, ∨, ⊕ nhu thu`ong d¯uo. c l`amtrong c´acngˆonng˜u lˆa.p tr`ınhkh´acnhau. . . . . Thˆongtin thu`ong d¯uo. cbiˆe’udiˆe˜nb˘a`ng c´ach d`ung c´acxˆaubit, d¯´ol`ad˜ay c´acsˆo´ 0 v`a1. Khi d¯˜al`amnhu. thˆe´, c´acph´epto´antrˆenc´acxˆaubit c˜ung c´othˆe’ . . . d¯ u o. c d`ungd¯ˆe’ thao t´acc´acthˆongtin d¯´o.Ta c´othˆe’ mo’ rˆo.ng c´acph´epto´anbit . . t´oi c´acxˆaubit. Ta d¯i.nh ngh˜ıac´acOR bit, AND bit v`aXOR bit d¯ˆo´iv´oi hai xˆau 5
7. bit c´oc`ungchiˆe` u d`ail`ac´acxˆauc´oc´acbit cu’ach´ung l`ac´acOR, AND v`aXOR cu’a c´acbit tu.o.ng ´u.ng trong hai xˆautu.o.ng ´u.ng. Th´ıdu. : xˆau1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 xˆau2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 OR bit 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 AND bit 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 XOR bit 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 . . . . . . 1.1.2. Su. tuong d¯uong lˆogiccu’a c´accˆongth´uc: . . . . . . . . Trong lˆogicmˆe.n h d¯` ˆe , ngu`oi ta d¯ua ra kh´ainiˆe.m cˆongth´uc, tuong tu. nhu . kh´ainiˆe.mbiˆe’uth´uc trong to´anho.c. 1.1.2.1. D- .inh ngh˜ıa: . 1) C´acbiˆe´nmˆe.n h d¯` ˆe p, q, r, l`ac´accˆongth´uc, 2) Nˆe´u P, Q l`ac´accˆongth´u.cth`ı P,P ∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l`a c´accˆongth´u.c, . . . 3) Chı’ chˆa´p nhˆa.n c´accˆongth´ucd¯uo. c th`anhlˆa.pb˘a`ng viˆe.c ´apdu. ng mˆo.tsˆo´ . h˜uuha.n c´acquy t˘a´c 1)-2). . . 1.1.2.2. D- .inh ngh˜ıa: Cˆongth´uc A go.il`ah˘a`ng d¯´ungnˆe´u A nhˆa.n gi´atri. 1v´oi mo.ihˆe. gi´atri. chˆanl´yc´othˆe’ c´ocu’a c´acbiˆe´nmˆe.n h d¯` ˆe c´om˘a.t trong A. . . Cˆongth´uc A go.i l`ah˘a`ng sai nˆe´u A nhˆa.n gi´atri. 0v´oimo.ihˆe. gi´atri. chˆanl´y c´othˆe’ c´ocu’a c´acbiˆe´nmˆe.nh d¯ˆe` c´om˘a.t trong A. Khi d¯´ota go.i A l`amˆo.t mˆau thuˆa’n. . Mˆo.t cˆongth´uc khˆongpha’i l`ah˘a`ng d¯´ung, c˜ung khˆongpha’i l`amˆauthuˆa’n . . d¯ u o. cgo.il`atiˆe´p liˆen. . . . . . . . 1.1.2.3. D- .inh ngh˜ıa: Hai cˆongth´uc A v`a B d¯ u o. cgo.i l`atuong d¯uong lˆogic, . . . k´yhiˆe.u A ≡ B,nˆe´u A ⇔ B l`amˆo.th˘a`ng d¯´ung.Hˆe. th´uc A ≡ B c`ond¯uo. cgo.il`a . mˆo.td¯˘a’ ng th´uc. 1.1.2.4. C´actu.o.ng d¯u.o.ng lˆogicco. ba’n: 1) Luˆa.td¯ˆo`ng nhˆa´t: p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p. 2) Luˆa.tnuˆo´t: p ∧ 0 ≡ 0,p∨ 1 ≡ 1. 3) Luˆa.tl˜uy d¯˘a’ ng: p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p. 6
8. 4) Luˆa.tphu’ d¯. i nh k´ep: p ≡ p. 5) Luˆa.t giao ho´an: p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p. . 6) Luˆa.tkˆe´tho. p: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r). 7) Luˆa.t phˆanphˆo´i: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r),p∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). 8) Luˆa.t De Morgan: p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q. . . . . 9) Mˆo.tsˆo´ tuong d¯uong tiˆe.n ´ıch: p ∧ p ≡ 0,p∨ p ≡ 1, p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p),p⇔ q ≡ p ⇔ q, (p ⇒ q) ≡ (p ∨ q), (p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p). 1.1.3. Suy luˆa. n to´anho. c: . . 1.1.3.1. Suy luˆa. ndiˆ˜endi.ch: Suy luˆa.nl`ar´ut ra mˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe m´oit`umˆo.thay nhiˆe` umˆe.n h d¯` ˆe d¯˜ac´o. . . . . Phˆant´ıch c´acsuy luˆa.n trong ch´ung minh to´anho.c, ngu`oi ta thˆa´ymˆo˜ich´ung . . . . . . minh bao gˆo`mmˆo.tsˆo´ h˜uuha.nbu´oc suy luˆa.nd¯on gia’n. Trong mˆo˜ibu´oc suy . luˆa.nd¯on gia’n d¯´o,ta d¯˜a“ngˆa`m” vˆa.ndu. ng mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´atd¯ˆe’ . . . . t`u c´acmˆe.nh d¯ˆe` d¯ ˜a d¯ u o. cth`ua nhˆa.n l`ad¯´ung(tiˆend¯ˆe` ,d¯i.nh l´y, d¯i.nh ngh˜ıa,gia’ . . . thiˆe´t) c´othˆe’ r´utra mˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe m´oi. Ngu`oi ta go.i c´acmˆe.n h d¯` ˆe xuˆa´t ph´atd¯˜a . . . . . . . d¯ u o. cth`ua nhˆa.n l`ad¯´ungl`ac´actiˆe` n d¯` ˆe , c`onmˆe.n h d¯` ˆe m´oid¯uo. c r´utra (nh`o vˆa.n du. ng c´acquy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at)go.il`ahˆe. qua’ lˆogiccu’a c´actiˆe` n d¯` ˆe . Ph´ep . suy luˆa.nnhuthˆe´ go.i l`asuy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch hay go.it˘a´t l`asuy diˆe˜n. - . . . 1.1.3.2. D.inh ngh˜ıa: Gia’ su’ A1,A2, ,An,B l`anh˜ung cˆongth´uc. Nˆe´utˆa´t . ca’ c´achˆe. gi´atri. chˆanl´ycu’a c´acbiˆe´nmˆe.nh d¯ˆe` c´om˘a.t trong c´accˆongth´ucd¯´o . l`amcho A1,A2, ,An nhˆa.n gi´atri. 1c˜ung d¯ˆo`ng th`oi l`amcho B nhˆa.n gi´atri. 1, . . t´ucl`aA1 ∧ A2 ∧ ∧ An ⇒ B l`amˆo.t cˆongth´uch˘a`ng d¯´ung,th`ı ta go.i B l`ahˆe. qua’ lˆogiccu’a A1,A2, ,An. Khi d¯´ota c˜ungn´oir˘a`ng c´omˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.n . . t`u c´actiˆe` n d¯` ˆe A1,A2, ,An t´oihˆe. qua’ lˆogic B cu’ach´ung. 7
9. . . Quy t˘a´c suy luˆa.n d¯ ´o d¯ u o. ck´yhiˆe.u l`a: A ,A , ,A 1 1 n . B . . 1.1.3.3. Mˆo.tsˆo´ quy t˘a´c suy luˆa. nthu`ong d`ung: p 1) (Quy t˘a´ccˆong). p ∨ q . p ∧ q 2) (Quy t˘a´cr´ut gon). p . p, p ⇒ q 3) (Quy t˘a´ckˆe´t luˆan - Modus ponens). q . p ⇒ q,q 4) (Quy t˘a´ckˆe´t luˆan ngu.o.c - Modus tollens). p . . p ⇒ q, q ⇒ r 5) (Quy t˘a´c tam d¯oan luˆan). p ⇒ r . . p ⇒ q, q ⇒ p 6) (Quy t˘a´cd¯u.atu.o.ng d¯u.o.ng v`ao). p ⇔ q p ∨ q,p 7) (Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n). q p ⇒ r, q ⇒ r 8) (Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n gia’ thiˆe´t). p ∨ q ⇒ r p ⇒ q, p ⇒ r 9) (Quy t˘a´chˆoikˆe´t luˆan). p ⇒ q ∧ r . . q ⇒ p 10) (Quy t˘a´c pha’nd¯a’o). p ⇒ q p ⇒ q,p ⇒ q 11) (Quy t˘a´c pha’nch´u.ng). p Th´ıdu. : 1) Cho: Nˆe´u tr`o.imu.a(p) th`ısˆanu.´o.t(q) (d¯´ung) Tr`o.i d¯angmu.a (d¯´ung) . . Kˆe´t luˆa.n: Sˆanu´ot (d¯´ung). 2) Cho: Nˆe´u hai g´ocd¯ˆo´id¯ı’nh (p)th`ıb˘a`ng nhau (q) (d¯´ung) A v`a B khˆongb˘a`ng nhau (d¯´ung) b b Kˆe´t luˆan: A v`a B khˆongd¯ˆo´id¯ı’nh (d¯´ung). . b b 3) Cho: Mo.ih`ınh vuˆongd¯ˆe` ul`ah`ınh thoi (p ⇒ q) (d¯´ung) . . Mo.ih`ınh thoi c´oc´acd¯u`ong ch´eovuˆongg´oc(q ⇒ r) (d¯´ung) . . Kˆe´t luˆa.n: Mo.i h`ınhvuˆongd¯ˆe` u c´oc´acd¯u`ong ch´eovuˆongg´oc(p ⇒ r) (d¯´ung). 8
10. 1.1.3.4. Suy luˆa.n nghe c´ol´y: Suy luˆa.n nghe c´ol´y l`asuy luˆa.n khˆongtheo mˆo.t . . . . quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´atn`aod¯ˆe’ t`u nh˜ung tiˆe` n d¯` ˆe d¯˜ac´o,r´utra d¯uo. cmˆo.tkˆe´t luˆa.n x´acd¯i.nh. Nˆe´u c´actiˆe` nd¯ˆe` d¯` ˆe u d¯´ungth`ıkˆe´t luˆa.nr´ut ra khˆongch˘a´cch˘a´n . d¯ung, ´ m`achı’ c´ot´ınh chˆa´tdu. d¯o´an,gia’ thuyˆe´t. . . Trong to´anho.c c´ohai kiˆe’u suy luˆa.n nghe c´ol´ythu`ong d`ung, d¯´ol`a – Ph´epquy na.p khˆongho`anto`an, . . . – Ph´eptuong tu. . . . . Th´ıdu. :1)T`u d¯. i nh l´ytrong h`ınh ho.c ph˘a’ ng: “Hai d¯u`ong th˘a’ ng c`ung vuˆong . . . . . g´ocv´oimˆo.td¯u`ong th˘a’ ng th´u ba th`ı song song v´oi nhau”, ch´ungta nˆeura mˆo.t . . . “du. d¯o´an”:“Hai m˘a.t ph˘a’ ng c`ung vuˆongg´ocv´oimˆo.tm˘a.t ph˘a’ ng th´u ba th`ı song song v´o.i nhau”. . . . D- ˆay l`amˆo.tth´ıdu. vˆe` ph´epsuy luˆa.nb˘a`ng tuong tu. . 0 1 2 3 4 2) C´acsˆo´ 22 +1, 22 +1, 22 +1, 22 +1, 22 + 1 l`anh˜u.ng sˆo´ nguyˆentˆo´. . . 2n Kˆe´t luˆa.n: v´oimo.isˆo´ tu. nhiˆen n,sˆo´ 2 + 1 l`asˆo´ nguyˆentˆo´. . D- ˆay l`alˆo´i suy luˆa.n quy na.p khˆongho`anto`and¯˜anˆeulˆenbo’ i Fermat (1601- . . 1665) sau khi d¯˜akiˆe’m nghiˆe.mv´oi c´acsˆo´ n =0, 1, 2, 3, 4. Nhung sau d¯´oEuler d¯˜a . 25 chı’ ra r˘a`ng v´oi n = 5, kh˘a’ ng d¯i.nh n`aykhˆongd¯´ung, ngh˜ıa l`a2 + 1 khˆongl`asˆo´ nguyˆentˆo´. 3) 6=3+3, 8=3+5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, Kˆe´t luˆa.n: mo.isˆo´ nguyˆendu.o.ng ch˘a˜nl´o.nho.n4l`atˆo’ng cu’a hai sˆo´ nguyˆentˆo´. Mˆe.nh d¯ˆe` n`aymang tˆenl`ab`aito´anGoldbach. D- ˆay l`amˆo.t trong nhiˆe` u kh˘a’ ng . . . . d¯. i nh trong to´anho.cchuad¯uo. cch´ung minh. . . 3 3 3 . . 4) Phuong tr`ınh x + y = z khˆongc´onghiˆe.m nguyˆen,phuong tr`ınh 4 4 4 . . n n n x + y = z khˆongc´onghiˆe.m nguyˆen. Kˆe´t luˆa.n: phuong tr`ınh x + y = z . khˆongc´onghiˆe.m nguyˆenv´oimo.isˆo´ nguyˆen n>2. . . . Mˆe.n h d¯` ˆe n`ayd¯uo. c nˆeura bo’ i Fermat n˘am1637, go.i l`a“d¯i.nh l´y cuˆo´ic`ung . . . cu’a Fermat”. M˜aid¯ˆe´n th´ang5 n˘am1995, mˆe.nh d¯ˆe` n`aym´oid¯uo. c ho`anto`an . . . . ch´ung minh xong bo’ i nh`ato´anho.c ngu`oi Anh tˆenl`aWiles. To´anho.c l`akhoa ho.ccu’a suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch. Tˆa´tca’ c´acvˆa´n d¯` ˆe trong to´an . . ho.cchı’ d¯ u o. c tr`ınhb`ayb˘a`ng c´acsuy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch. Tuy nhiˆen,trong qu´atr`ınh . ph´atminh, s´angta.o to´anho.c, l´yluˆa.ndiˆe˜ndi.ch g˘a´nch˘a.tv´oi c´acsuy luˆa.n nghe . . . c´ol´y.Ta d`ungquy na.p khˆongho`anto`anhay tuong tu. d¯ ˆe ’ nˆeura c´acgia’ thuyˆe´t. . . Sau d¯´om´oich´ung minh c´acgia’ thuyˆe´t n`ayb˘a`ng diˆe˜ndi.ch. 1.1.4. C´acphu.o.ng ph´apch´u.ng minh: . . 1.1.4.1. Ch´ung minh l`ag`ı? Trong suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch, nˆe´ut`u c´actiˆe` n d¯` ˆe . A1,A2, ,An, ta r´utra kˆe´t luˆa.n B b˘a`ng c´ach vˆa.ndu. ng nh˜ung quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´atth`ıta n´oi B l`akˆe´t luˆa.n lˆogiccu’a c´actiˆe` n d¯` ˆe A1,A2, ,An v`a . suy luˆa.n d¯´ol`aho. p lˆogic. Nˆe´utˆa´tca’ c´actiˆe` nd¯ˆe` A1,A2, ,An d¯` ˆe u d¯´ungth`ı . ta go.ikˆe´t luˆa.n lˆogic B l`amˆo.tkˆe´t luˆa.nch´ung minh v`ago.i suy luˆa.n d¯´ol`amˆo.t ch´u.ng minh. 9
11. . . Phˆant´ıch c´acch´ung minh to´anho.c ta thˆa´ymˆo˜ich´ung minh gˆo`mmˆo.tsˆo´ . . . . . h˜uuha.nbu´oc, mˆo˜ibu´ocl`amˆo.t suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch trong d¯´ota vˆa.ndu. ng mˆo.t . . quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at.Nhu vˆa.y, mˆo.tch´ung minh to´anho.cgˆo`m ba bˆo. phˆa.n cˆa´u th`anh: . . 1) Luˆa. nd¯ˆe` , t´ucl`amˆe.n h d¯` ˆe cˆa`nch´ung minh. . . . . . . 2) Luˆa. nc´u, t´ucl`anh˜ung mˆe.n h d¯` ˆe d¯ u o. cth`ua nhˆa.n (d¯i.nh ngh˜ıa,tiˆe` n d¯` ˆe , . . d¯. i nh l´y,gia’ thiˆe´t) d¯uo. clˆa´y l`amtiˆe` n d¯` ˆe trong mˆo˜i suy luˆa.n. . . . . . 3) Luˆa. nch´ung, t´uc l`anh˜ung quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´atd¯uo. cvˆa.ndu. ng . . . trong mˆo˜ibu´oc suy luˆa.ncu’ach´ung minh. . . . . . 1.1.4.2. Phuong ph´apch´ung minh tru. ctiˆe´p: Khi ta ch´ung minh mˆe.n h d¯` ˆe . B b˘a`ng c´ach va.ch r˜o B l`akˆe´t luˆa.n lˆogiccu’anh˜ung tiˆe` n d¯` ˆe d¯ung ´ A1,A2, ,An, . . . ngh˜ıal`a B l`amˆo.tkˆe´t luˆa.nch´ung minh th`ıta n´oil`ad¯˜ach´ung minh tru. ctiˆe´p mˆe.n h d¯` ˆe B. . . 2 Th´ıdu. : H˜aych´ung minh tru. ctiˆe´pmˆe.n h d¯` ˆe :“Nˆe´u n l`amˆo.tsˆo´ le’ th`ı n c˜ung l`amˆo.tsˆo´ le’”. . . Gia’ su’ r˘a`ng gia’ thiˆe´tcu’amˆe.n h d¯` ˆe k´eotheo n`ayl`ad¯´ung,t´ucl`an l`amˆo.tsˆo´ . . 2 2 le’. Khi d¯´o n =2k + 1, v´oi k l`amˆo.tsˆo´ nguyˆen.T`u d¯´osuy ra n =4k +4k +1= 2(2k2 +2k) + 1. Do d¯´o n2 l`amˆo.tsˆo´ le’. . . . . . 1.1.4.3. Phuong ph´apch´ung minh t`ım pha’nth´ıdu. : Gia’ su’ ta cˆa`nch´ung . . . . . minh mˆe.n h d¯` ˆe p sai. Nˆe´u ta t`ımd¯uo. cmˆe.n h d¯` ˆe q, tru`ong ho. pd¯˘a.cbiˆe.tcu’a p l`a . . sai. Khi d¯´o q d¯ung ´ v`a p ⇒ q l`ad¯´ung.Do d¯´otheo quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n nguo. cth`ıp l`ad¯´ung.T`u. d¯ ´o p l`asai. . . Th´ıdu. : Cho m v`a n l`anh˜ung sˆo´ kh´ackhˆongbˆa´tk`y. Ch´ung minh r˘a`ng n+ m 1.1. 1.1.4.4. Phu.o.ng ph´apch´u.ng minh pha’nd¯a’o: Gia’ su’. ta cˆa`nch´u.ng minh . . . p ⇒ q.Nˆe´utach´ung minh d¯uo. c q ⇒ p th`ıtheo quy t˘a´c pha’nd¯a’o, ta c´o p ⇒ q . . . d¯ung. ´ Nhu vˆa.y , d¯ ˆe ’ ch´ung minh p ⇒ q, ta c´othˆe’ chuyˆe’n sang ch´ung minh q ⇒ p l`ad¯u’. . . Th´ıdu. : Cho a l`amˆo.tsˆo´ h˜uutı’ kh´ac0. Ch´ung minh r˘a`ng nˆe´u b l`amˆo.tsˆo´ vˆo tı’ th`ı ab c˜ung l`amˆo.tsˆo´ vˆotı’. m Ta viˆe´t a = ,v´o.i m, n l`ahai sˆo´ nguyˆenkh´ac0. Nˆe´u ab l`asˆo´ h˜u.utı’ th`ıta n k ab kn c´othˆe’ viˆe´t ab = v´o.i k, l l`ahai sˆo´ nguyˆenv`a l =6 0. Khi d¯´o b = = k/l = l a m/n lm . v`asuy ra b l`amˆo.tsˆo´ h˜uutı’. 1.1.4.5. Phu.o.ng ph´apch´u.ng minh pha’nch´u.ng: Co. so’. lˆogiccu’aphu.o.ng . . . . ph´apch´ung minh pha’nch´ung l`anhu sau: muˆo´nch´ung minh mˆe.n h d¯` ˆe p l`ad¯´ung, ta gia’ thiˆe´t p l`asai, t´u.cl`ap l`ad¯´ung.Sau d¯´ota ch´u.ng minh r˘a`ng p ⇒ q l`ad¯´ung v`a q l`ad¯´ung.Do d¯´otheo quy t˘a´c pha’nch´u.ng th`ı p l`ad¯´ung.D- iˆe` u n`aydˆa˜n d¯ ˆe´n mˆauthuˆa’n (luˆa.t b`aitrung). 10
12. . . . . . Th´ıdu. : Ch´ung minh r˘a`ng u´ocsˆo´ tu. nhiˆennho’ nhˆa´t kh´ac1 cu’amˆo.tsˆo´ tu. nhiˆen . . l´onhon1l`amˆo.tsˆo´ nguyˆentˆo´. . . . . . Gia’ su’ k l`au´octu. nhiˆennho’ nhˆa´t kh´ac1 cu’asˆo´ tu. nhiˆen n (n>1) v`a k . . . khˆongl`asˆo´ nguyˆentˆo´. Do d¯´otˆo`nta.iu´ocsˆo´ m cu’a k sao cho 1 <m<k.Nhung . . . . . . khi d¯´o m c˜ung l`amˆo.tu´ocsˆo´ cu’a n.D- iˆe` u n`aymˆauthuˆa’nv´oi k l`au´octu. nhiˆen nho’ nhˆa´t kh´ac1 cu’a n. . . . . . . 1.1.4.6. Phuong ph´apch´ung minh x´et tˆa´tca’ c´actru`ong ho. p: Trong . to´anho.c , d¯ ˆe ’ ch´ung minh mˆe.n h d¯` ˆe n`aod¯´ol`ad¯´ung,ta c´othˆe’ x´etn´otrong tˆa´tca’ . . . c´actru`ong ho. p c´othˆe’ c´o. . Th´ıdu. : Ch´ung minh r˘a`ng t´ıch cu’a3sˆo´ nguyˆenliˆentiˆe´pchiahˆe´t cho 3. . . V´oi n l`amˆo.tsˆo´ nguyˆen,ta viˆe´t n =3q + r v´oi q l`amˆo.tsˆo´ nguyˆenv`a r =0, 1, 2. a) r =0: n =3q hay n chia hˆe´t cho 3, khi d¯´o n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´tcho 3. b) r =1: n =3q +1hayn +2=3(q + 1) hay n + 2 chia hˆe´t cho 3, khi d¯´o n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´t cho 3. c) r =2: n =3q +2hay n +1 = 3(q + 1) hay n + 1 chia hˆe´tcho3, n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´t cho 3. . . . . . . . 1.1.4.6. Phuong ph´apch´ung minh quy na.p: Phuong ph´apn`ays˜ed¯uo. c . . . tr`ınhb`aytrong Chuong IV vˆe` “Sˆo´ nguyˆenv`asˆo´ tu. nhiˆen”. ˆ . 1.2. TA. PHO. P. . . 1.2.1. Tˆa. pho. p v`ac´ach x´acd¯i.nh mˆo.ttˆa.pho. p: . . . . . . 1.2.1.1. Kh´ainiˆe.mtˆa.pho. p: Nh˜ung d¯ˆo´ituo. ng d¯uo. ctu. tˆa.p do mˆo.tt´ınh chˆa´t . chung n`aod¯´oth`anhlˆa.pmˆo.ttˆa.pho. p. D- ˆay khˆongpha’i l`amˆo.td¯i.nh ngh˜ıam`achı’ . . l`amˆo.tsu. mˆota’ cho ta mˆo.th`ınh a’nh tru. c quan cu’a kh´ainiˆe.m d¯´o. . . . . . . Su. mˆota’ mˆo.ttˆa.pho. p c´acd¯ˆo´ituo. ng du. a trˆenmˆo.t kh´ainiˆe.m tru. c quan vˆe` . . . . . . . . mˆo.td¯ˆo´ituo. ng n`aod¯´od¯˜ad¯uo. c nh`ato´anho.c ngu`oiD- u´c Georg Cantor d¯uara . . lˆa`nd¯ˆa`u tiˆenv`aon˘am1895. L´ythuyˆe´th`ınh th`anht`u kh´ainiˆe.m tru. c quan d¯´o . . . cu’atˆa.pho. pd¯˜adˆa˜n d¯ ˆe´nnh˜ung nghi.chl´yho˘a.c c´acmˆauthuˆa’n lˆogicnhu nh`atriˆe´t . . . ho.c ngu`oi Anh Bertrand Russell d¯˜achı’ ra n˘am1902. Nh˜ung mˆauthuˆa’n lˆogic . . . . . d¯´oc´othˆe’ tr´anhd¯uo. cb˘a`ng c´ach xˆaydu. ng mˆo.tl´y thuyˆe´ttˆa.pho. p xuˆa´t ph´att`u . . nh˜ung gia’ thiˆe´tco ba’n, go.i l`ac´actiˆend¯ˆe` . Tuy nhiˆen,ch´ungta s˜ed`ung phiˆen . . . . . ba’n ban d¯ˆa`ucu’a Cantor, d¯uo. cgo.il`al´y thuyˆe´ttˆa.pho. p ngˆaytho,ch´ukhˆong . . . . ph´attriˆe’n phiˆenba’n t i ˆe n d¯` ˆe cu’al´ythuyˆe´t n`ay, bo’ iv`ıtˆa´tca’ c´actˆa.pho. pd¯uo. c . xem x´ettrong t`ailiˆe.u n`ayc´othˆe’ xu’ l´y phi mˆauthuˆa’nb˘a`ng c´ach d`ung l´y thuyˆe´t ban d¯ˆa`ucu’a Cantor. . . . . C´acvˆa.thayd¯ˆo´ituo. ng th`anhlˆa.pmˆo.ttˆa.pho. pgo.i l`ac´acphˆa`ntu’ cu’atˆa.p . ho. p d¯´o. 11
13. Trong ngˆonng˜u. thˆongthu.`o.ng, ngu.`o.i ta d`ungnh˜u.ng t`u. nhu.: nh´om,to`an . thˆe’,tˆa.pthˆe’, ch`um,bˆa`y, d¯`an, d¯ˆe’ n´oivˆe` mˆo.ttˆa.pho. p n`aod¯´o. . . . . . . . Mˆo.ttˆa.pho. pthu`ong d¯uo. ck´yhiˆe.ubo’ ic´acch˜uc´aiin hoa: A, B, C, D, . . . . . . . . E, X, Y , Z, Phˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. pthu`ong d¯uo. ck´yhiˆe.ubo’ i c´acch˜u c´aiin thu.`o.ng: a, b, c, d, x, y, z, Th´ıdu. : . . 1) Tˆa.pho. p c´acsˆo´ tu. nhiˆen,k´yhiˆe.u N. . 2) Tˆa.pho. p c´acsˆo´ nguyˆen,k´yhiˆe.u Z. . . 3) Tˆa.pho. p c´acsˆo´ h˜uutı’,k´yhiˆe.u Q. . . 4) Tˆa.pho. p c´acsˆo´ thu. c, k´yhiˆe.u R. . . 5) Tˆa.pho. p c´acsˆo´ ph´uc, k´yhiˆe.u C. . 6) Tˆa.pho. p c´acd¯iˆe’m trˆenm˘a.t ph˘a’ ng. . . . . 7) Tˆa.pho. p c´acnghiˆe.m thu. ccu’aphuong tr`ınhsin 3x − sin x + sin 2x =0. . . . . 8) Tˆa.pho. p c´acsinh viˆenn˘amth´u nhˆa´t ng`anhtin ho.ccu’a tru`ong D- a.iho.c Khoa ho.c. K´yhiˆe.u: . . –D- ˆe ’ chı’ a l`amˆo.t phˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p A, ta viˆe´t a ∈ A v`ad¯o.cl`a“a thuˆo.c . . A”hay“a l`aphˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p A”. . . –D- ˆe ’ chı’ b khˆongpha’i l`amˆo.t phˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p A, ta viˆe´t b/∈ A ho˘a.c . b∈A v`ad¯o.cl`a“b khˆongthuˆo.c A” ho˘a.c“b khˆongpha’i l`amˆo.t phˆa`ntu’ cu’atˆa.p . ho. p A”. . . . . 1.2.1.2. Tˆa. pho. prˆo˜ng: Tˆa.pho. p khˆongch´ua phˆa`ntu’ n`aogo.il`atˆa.prˆo˜ng, k´y hiˆe.u ∅. . . . . 2 . Th´ıdu. : Tˆa.pho. p c´acnghiˆe.m thu. ccu’aphuong tr`ınh x +1=0l`atˆa.pho. prˆo˜ng. . 1.2.1.3. C´ach x´acd¯i.nh mˆo.ttˆa. pho. p . . 1. Liˆe.tkˆetˆa´tca’ c´acphˆa` ntu’ cu’atˆa.pho. p: Theo c´ach n`ay, d¯ˆe’ x´ac . . d¯. i nh mˆo.ttˆa.pho. p n`aod¯´ota liˆe.t k ˆe d¯` ˆa yd¯u’ tˆa´tca’ c´acphˆa`ntu’ cu’a n´o. . . . . . Th´ıdu. :1)Tˆa.pho. p4sˆo´ nguyˆenduong d¯ˆa`u tiˆend¯uo. cviˆe´t l`a: {1, 2, 3, 4}. . . . . . 2) Tˆa.pho. p c´acch˜u c´aitrong ba’ng ch˜u c´aitiˆe´ng Anh d¯uo. cviˆe´t l`a: {a,b,c, ,z}. . . . . 3) Tˆa.pho. p c´acsˆo´ tu. nhiˆench˘a˜nd¯uo. cviˆe´t l`a: {0, 2, 4, 6, ,2n, }. . . Ch´u´yr˘a`ng khi liˆe.t kˆec´acphˆa`ntu’ cu’amˆo.ttˆa.pho. p ta khˆongquan tˆamd¯ˆe´n . . th´u tu. cu’a ch´ung. . . . 2. Chı’ r˜othuˆo. ct´ınh d¯˘a. c trung cu’a c´acphˆa` ntu’ cu’atˆa.pho. p. Ta . c´othˆe’ x´acd¯i.nh mˆo.ttˆa.pho. pb˘a`ng c´ach chı’ r˜oc´act´ınhchˆa´t chung cu’a c´acphˆa`n . . . tu’ cu’atˆa.pho. pd¯´od¯ˆe’ sau d¯´odu. a v`aoc´act´ınh chˆa´t n`ayta c´othˆe’ kh˘a’ ng d¯i.nh . . . . mˆo.td¯ˆo´ituo. ng n`aod¯´oc´ol`amˆo.t phˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p d¯´ohay khˆong.C´act´ınh . . . . chˆa´tnhuvˆa.ygo.i l`athuˆo.c t´ınhd¯˘a.c trung cu’a c´acphˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p. . . . . . Th´ıdu. : Tˆa.pho. p c´acu´ocsˆo´ nguyˆenduong cu’a 24 l`a: 12
14. A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} . . v`ad¯uo. cviˆe´tla.i l`a: A = {n ∈ N : n|24}. . . . . . . Trong tru`ong ho. ptˆo’ng qu´at,nˆe´utˆa.pho. p X l`atˆa.pho. ptˆa´tca’ c´acphˆa`ntu’ x, sao cho x c´ot´ınh chˆa´t T th`ıta viˆe´t: X = {x | x c´ot´ınh chˆa´t T} ho˘a.c X = {x : x c´ot´ınh chˆa´t T}. . . . 1.2.1.4. Gia’nd¯ˆo` Venn: C´actˆa.pho. pc˜ung c´othˆe’ d¯ u o. c minh hoa. b˘a`ng h`ınh . . . v˜enh`o d`ung gia’nd¯ˆo` Venn, do nh`ato´anho.c ngu`oi Anh John Venn lˆa`nd¯ˆa`u tiˆen . . . . d¯ u a ra v`aon˘am1881. Trong c´acgia’nd¯ˆo` Venn, tˆa.pho. p v˜utru. U -tˆa.pho. pch´ua . . . . . tˆa´tca’ c´acd¯ˆo´ituo. ng d¯angx´et- d¯uo. cbiˆe’udiˆe˜nb˘a`ng mˆo.th`ınh ch˜u nhˆa.t. Bˆen . . . . . . trong h`ınhch˜u nhˆa.t n`ay, nh˜ung miˆe` n ph˘a’ ng gi´oiha.nbo’ i c´acd¯u`ong cong kh´ep . . . . . . k´ın khˆongtu. c˘a´td¯uo. cd`ung d¯ˆe’ biˆe’udiˆe˜n c´actˆa.pho. p. D- ˆoi khi c´acd¯iˆe’md¯uo. c . . . . . . d`ung d¯ˆe’ biˆe’udiˆe˜n c´acphˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p. C´acgia’nd¯ˆo` Venn thu`ong d¯uo. c . . d`ung d¯ˆe’ chı’ ra mˆo´i quan hˆe. gi˜ua c´actˆa.pho. p. . . 1.2.1.5. D- .inh ngh˜ıa: Cho A l`amˆo.ttˆa.pho. p. Nˆe´uc´och´ınh x´ac n phˆa`ntu’ phˆan . biˆe.t trong A,v´oi n l`amˆo.tsˆo´ nguyˆenkhˆongˆam,th`ı ta n´oir˘a`ng A l`amˆo.ttˆa.p . . . . h˜uuha.nv`an l`aba’nsˆo´ cu’a A.Ba’nsˆo´ cu’a A d¯ u o. ck´yhiˆe.ul`a|A|.Mˆo.ttˆa.pho. p . . . d¯ u o. cgo.il`avˆoha.nnˆe´u n´okhˆongpha’il`ah˜uuha.n. . . . Th´ıdu. :1)Cho A l`atˆa.pho. pc´acch˜uc´aitrong ba’ng ch˜u c´aitiˆe´ng Anh. Khi d¯ ´o |A| = 26. . . 2) Tˆa.pho. p c´acsˆo´ nguyˆentˆo´ l`amˆo.ttˆa.pho. p vˆoha.n. . 1.2.2. Tˆa. pho. p con v`aquan hˆe. bao h`am: . . . . 1.2.2.1. D- .inh ngh˜ıa: Tˆa.pho. p A d¯ u o. cgo.i l`amˆo.ttˆa.pho. p con (hay tˆa.p con) . . . cu’a B,k´yhiˆe.u A ⊂ B,nˆe´umˆo˜i phˆa`ntu’ cu’a A l`amˆo.t phˆa`ntu’ cu’a B.Nhuvˆa.y, . A ⊂ B khi v`achı’ khi v´oimo.i x ∈ A k´eotheo x ∈ B. Khi c´o A ⊂ B, ta c`onn´oi“A l`amˆo.tbˆo. phˆa.ncu’a B”hay“A bao h`amtrong . B”. Khi d¯´ota c`onviˆe´t B ⊃ A v`ad¯o.cl`a“B bao h`am A”hay“B ch´ua A”. . . . Quan hˆe. “⊂”d¯uo. cgo.i l`aquan hˆe. bao h`am. C´achˆe. th´uc A ⊂ B, B ⊃ A . . . d¯ u o. cgo.i l`ac´acbao h`amth´uc. . . Nˆe´u A ⊂ B v`ac´o´ıtnhˆa´tmˆo.t phˆa`ntu’ thuˆo.c B nhung khˆongthuˆo.c A th`ıta . . . . n´oi A l`amˆo.ttˆa.p con thu. csu. cu’a B hay bˆo. phˆa.n thu. csu. cu’a B. . . . . . Th´ıdu. :1)Tˆa.pho. p N c´acsˆo´ tu. nhiˆenl`atˆa.p con thu. csu. cu’atˆa.pho. p Z c´ac sˆo´ nguyˆen. . . . 2) Tˆa.pho. p c´ach`ınhvuˆongl`atˆa.p con cu’atˆa.pho. p c´ach`ınhch˜u nhˆa.t, c˜ung . nhu l`atˆa.p con cu’atˆa.p c´ach`ınh thoi. . . 1.2.2.2. T´ınhchˆa´t: V´oi A,B,C l`a3 tˆa.pho. pbˆa´tk`y, ta luˆonc´o: 1) ∅⊂A, 2) A ⊂ A, 3) nˆe´u A ⊂ B v`a B ⊂ C th`ı A ⊂ C. 13
15. . . . Thˆa.tvˆa.y, 1) d¯uo. c suy ra t`u mˆe.n h d¯` ˆe “x ∈∅⇒x ∈ A” l`aluˆonluˆond¯´ung . . . (do “x ∈∅” l`asai). 2) d¯uo. c suy ra t`u mˆe.n h d¯` ˆe “x ∈ A ⇒ x ∈ A” l`aluˆonluˆon . . . d¯ung. ´ Cuˆo´ic`ung 3) d¯uo. c suy ra t`u t´ınhd¯´ungcu’amˆe.nh d¯ˆe` “(x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ C)” . . . . 1.2.2.3. Tˆa.pho. pl˜uy th`ua: Cho X l`amˆo.ttˆa.pho. p. Tˆa.pl˜uy th`uacu’a X,k´y X . . hiˆe.u P(X)hay2 ,l`atˆa.pho. pgˆo`mtˆa´tca’ c´actˆa.p con cu’a X,t´ucl`a P(X)={A | A ⊂ X}. . Th´ıdu. :1)V´oi X = {a, b, c} th`ıta c´o P(X)={∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c},X}. 2) P(∅)={∅}, P({∅})={∅, {∅}}. . . 1.2.2.4. D- .inh ngh˜ıa: Hai tˆa.p A v`a B d¯ u o. cgo.i l`ab˘a`ng nhau, k´yhiˆe.u A = B, nˆe´u A ⊂ B v`a B ⊂ A. . Th´ıdu. : V´oi A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} v`a B = {n ∈ N : n|30} th`ıta c´o A = B. . 1.2.3. C´acph´epto´antˆa.pho. p: . . 1.2.3.1. D- .inh ngh˜ıa: Ho. pcu’a hai tˆa.pho. p A v`a B,k´yhiˆe.ul`aA ∪ B (d¯o.cl`a . . . . “A ho. p B”), l`atˆa.pho. pgˆo`m c´acphˆa`ntu’ thuˆo.c ´ıtnhˆa´tmˆo.t trong hai tˆa.pho. p A, B,t´u.cl`a A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. . Th´ıdu. :1)V´oi A = {a, b, c, d} v`a B = {c, d, e, f}, ta c´o A∪B = {a, b, c, d, e, f}. 2) V´o.i A = {x ∈ N | x chia hˆe´tcho2} v`a B = {x ∈ N | x chia hˆe´tcho3}, ta c´o A ∪ B = {x ∈ N | x chia hˆe´t cho 2 ho˘a.c3}. . 1.2.3.2. D- .inh ngh˜ıa: Giao cu’a hai tˆa.pho. p A v`a B,k´yhiˆe.ul`aA ∩ B (d¯o.cl`a . . . . . “A giao B”), l`atˆa.pho. pgˆo`m c´acphˆa`ntu’ v`ua thuˆo.c A v`ua thuˆo.c B,t´ucl`a A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. . . . . . Hai tˆa.pho. pd¯uo. cgo.il`ar`oi nhau nˆe´u giao cu’ach´ung l`atˆa.pho. prˆo˜ng. . Th´ıdu. :1)V´oi A = {a, b, c, d} v`a B = {c, d, e, f}, ta c´o A ∩ B = {c, d}. 2) V´o.i A = {x ∈ N | x chia hˆe´tcho2} v`a B = {x ∈ N | x chia hˆe´tcho3}, ta c´o A ∩ B = {x ∈ N | x chia hˆe´tcho6}. . . . . 3) Tˆa.pho. p c´acsˆo´ h˜uutı’ v`atˆa.pho. p c´acsˆo´ vˆotı’ l`ahai tˆa.p con r`oi nhau . . cu’atˆa.pho. p R c´acsˆo´ thu. c. . 1.2.3.3. D- .inh ngh˜ıa: Hiˆe.ucu’a hai tˆa.pho. p A v`a B,k´yhiˆe.ul`aA\B hay A−B, . . . . l`atˆa.pho. pgˆo`m c´acphˆa`ntu’ thuˆo.c A nhung khˆongthuˆo.c B,t´ucl`a A \ B = {x | x ∈ A ∧ x/∈ B}. 14
16. . . Nˆe´u B ⊂ A th`ıta k´yhiˆe.u A \ B = CAB hay B khi A d¯ ˜a d¯ u o. c x´acd¯i.nh r˜o v`ago.i d¯´ol`aphˆa`nb`ucu’a B trong A. . . . . . Hiˆe.ud¯ˆo´ix´ung cu’a hai tˆa.pho. p A v`a B,k´yhiˆe.ul`aA ⊕ B,l`atˆa.pho. pd¯uo. c . x´acd¯i.nh bo’ i A ⊕ B =(A \ B) ∪ (B \ A)={x | (x ∈ A ∧ x/∈ B) ∨ (x/∈ A ∧ x ∈ B)}. . Th´ıdu. :1)V´oi A = {a, b, c, d} v`a B = {c, d, e, f}, ta c´o A \ B = {a, b},B\ A = {e, f} v`a A ⊕ B = {a, b, e, f}. . 2) V´oi A = {x ∈ R | x<1} =(−∞, 1), ta c´o CRA = {x ∈ R | x ≥ 1} = [1, +∞). . . . 1.2.3.4. C´ach˘a`ng d¯˘a’ ng th´uctˆa. pho. pcoba’n: Mˆo˜itˆa.p con cu’amˆo.ttˆa.p . . . . . . . . ho. pd¯uo. ctuong ´ung v´oimˆo.tt´ınh chˆa´t(mˆe.n h d¯` ˆe ) x´acd¯i.nh n´otrˆentˆa.pho. pd¯˜a . . . . . . . cho. V´oituong ´ung n`ay, c´acph´epto´antˆa.pho. pd¯uo. c chuyˆe’n sang c´acph´epto´an . . . . . . . . . . . lˆogic:phu’ d¯. i nh tuong ´ung v´oi phˆa`nb`u, tuyˆe’ntuong ´ung v´oiho. p, hˆo.ituong . . . . . . . u´ng v´oi giao, tuyˆe’n loa.ituong ´ung v´oihiˆe.ud¯ˆo´ix´ung. . . . . . . . T`u c´actuong d¯uong lˆogicco ba’n trong 1.1.2.4, v´oi A,B,C l`ac´actˆa.p con . . . . . . cu’atˆa.pv˜u tru. U, ta c´oc´ach˘a`ng d¯˘a’ ng th´uctˆa.pho. pcoba’ndu´o i d¯ˆay(luu´y r˘a`ng mˆe.n h d¯` ˆe x ∈∅c´ogi´atri. chˆanl´y0 v`amˆe.n h d¯` ˆe x ∈ U c´ogi´atri. chˆanl´y1). 1) Luˆa.td¯ˆo`ng nhˆa´t: A ∩ U = A, A ∪∅= A. 2) Luˆa.tnuˆo´t: A ∩∅= ∅,A∪ U = U. 3) Luˆa.tl˜uy d¯˘a’ ng: A ∩ A = A, A ∪ A = A. 4) Luˆa.tb`u: A = A. 5) Luˆa.t giao ho´an: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A. . 6) Luˆa.tkˆe´tho. p: A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C, A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C. 7) Luˆa.t phˆanphˆo´i: A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C),A∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 15
17. 8) Luˆa.t De Morgan: A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B. . 1.2.3.5. Biˆe’udiˆe˜n c´actˆa.pho. ptrˆen m´ayt´ınh: C´onhiˆe` uc´achd¯ˆe’ biˆe’udiˆe˜n . . . . . . c´actˆa.pho. p trˆenm´ayt´ınh. Mˆo.tphuong ph´apl`aluutr˜uc´acphˆa`ntu’ cu’atˆa.p . . . . . ho. p theo c´ach khˆongs˘a´pth´utu. . Tuy nhiˆen,nˆe´u d¯ i` ˆe u d¯´od¯˜al`amd¯uo. c, th`ıviˆe.c . . . t´ınhho. p, giao ho˘a.chiˆe.ucu’a hai tˆa.pho. ps˜erˆa´tmˆa´t th`oi gian, v`ımˆo˜i ph´ept´ınh . . . . . . d¯´od¯`oiho’imˆo.tluo. ng t`ımkiˆe´mrˆa´tl´ond¯ˆo´iv´oi c´acphˆa`ntu’ .Tas˜ec´oo’ d¯ˆaymˆo.t . . . . . . . phuong ph´apluutr˜uc´acphˆa`ntu’ b˘a`ng c´ach d`ungsu. s˘a´p t`uy´yc´acphˆa`ntu’ cu’a . . . . tˆa.pv˜u tru. .Phuong ph´apbiˆe’udiˆe˜ntˆa.pho. p n`ays˜el`amcho viˆe.ct´ınh nh˜ung tˆo’ . . . . ho. pcu’a c´actˆa.pho. p tro’ n ˆe n d ˆe˜ d`anghon. . . . . . . Gia’ su’ tˆa.pv˜u tru. U l`ah˜uuha.n (v`ac´ok´ıch thu´ocho. pl´yd¯ˆo´iv´oi dung . . . . . . . luo. ng bˆo. nh´o). Tru´ochˆe´t, h˜aychı’ r˜osu. s˘a´pt`uy ´yc´acphˆa`ntu’ cu’a U,ch˘a’ ng ha.n a1,a2, ,an, sau d¯´obiˆe’udiˆe˜ntˆa.p con A cu’a U b˘a`ng mˆo.t xˆaubit c´od¯ˆo. . . d`ai n, trong d¯´obit th´u i o’ xˆaun`ayl`a1 nˆe´u ai ∈ A v`al`a0 nˆe´u ai ∈/ A. . . . . D- ˆe ’ nhˆa.nd¯uo. c c´acxˆaubit cho c´acho. p, giao v`ahiˆe.ud¯ˆo´ix´ung cu’a hai tˆa.p . . . ho. p, ta s˜ethu. chiˆe.n c´acph´epto´anBoole trˆenc´acxˆaubit biˆe’udiˆe˜n hai tˆa.pho. p . . . . d¯´o.T`u d¯´ota c´oxˆaubit d¯ˆo´iv´oiho. p, giao, hiˆe.ud¯ˆo´ix´ung l`aOR bit, AND bit, . XOR bit cu’a hai xˆaubit biˆe’udiˆe˜n hai tˆa.pho. p d¯˜acho. . Th´ıdu. : V´oi U = {x1,x2, ,xn},A= {x1,x3,x5,x6,x8},B= {x2,x3,x4,x6, x9,x10}, ta c´o: A 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 B 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 A ∩ B 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 A ∪ B 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 A ⊕ B 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1.2.4. T´ıch Descartes: - . . 1.2.4.1. D.inh ngh˜ıa: Cho n d¯ ˆo´ituo. ng a1,a2, ,an, ta th`anhlˆa.pmˆo.td¯ˆo´i . . . . . . . tuo. ng m´oil`a(a1,a2, ,an), trong d¯´o a1 o’ vi. tr´ıth´u nhˆa´t, a2 o’ vi. tr´ıth´u hai, . . . . . . , an o’ vi. tr´ıth´u n v`ad¯uo. cgo.il`abˆo. n s˘a´pth´utu. . . . . . Hai bˆo. n s˘a´pth´utu. (a1,a2, ,an)v`a(b1,b2, ,bn)d¯uo. cgo.il`ab˘a`ng . nhau, k´yhiˆe.u(a1,a2, ,an)=(b1,b2, ,bn), nˆe´u ai = bi v´oi i =1, 2, ,n. . . . . . D- ˘a.cbiˆe.t, d˜ayc´ohai phˆa`ntu’ d¯ u o. cgo.il`ac˘a.ps˘a´pth´utu. hay go.it˘a´t l`ac˘a.p. 16
18. - . 1.2.4.2. D.inh ngh˜ıa: T´ıch Descartes cu’a n tˆa.pho. p A1,A2, ,An,k´yhiˆe.ul`a n . . . A1 ìA2 ìãããìAn hay Π Ai, l`atˆa.pho. pgˆo`m c´acbˆo. n s˘a´pth´utu. (a1,a2, ,an), . i=1 . trong d¯´o ai ∈ Ai v´oi i =1, 2, ,n,t´ucl`a A1 ì A2 ìãããìAn = {(a1,a2, ,an) | ai ∈ Ai,i=1, 2, ,n}. n D- ˘a.cbiˆe.t, khi A1 = A2 = ããã= An = A th`ıta k´yhiˆe.u A1ìA2ìã ã ãìAn = A . . Th´ıdu. : V´oi A = {x, y},B= {0, 1, 2},C= {a, b},tac´o A ì B ì C = {(x, 0,a), (x, 0,b), (x, 1,a), (x, 1,b), (x, 2,a), (x, 2,b), (y,0,a), (y,0,b), (y,1,a), (y,1,b), (y,2,a), (y,2,b)}. . . . 1.2.5. Su. luo. ng ho´a: . . 1.2.5.1. D- .inh ngh˜ıa: H`ammˆe.n h d¯` ˆe l`amˆo.t cˆauch´uabiˆe´n v`atro’ th`anhmˆe.nh . . d¯` ˆe khi ta thay biˆe´n d¯´ob˘a`ng mˆo.t phˆa`ntu’ cu. thˆe’ thuˆo.cmˆo.ttˆa.pho. p x´acd¯i.nh. Th´ıdu. :1)P(x): “x l`asˆo´ nguyˆentˆo´” l`ah`ammˆe.n h d¯` ˆe mˆo.tbiˆe´n x´acd¯i.nh trˆen . . tˆa.pho. p N c´acsˆo´ tu. nhiˆen. . . . . 2 2) Mˆo˜iphuong tr`ınhl`amˆo.th`ammˆe.n h d¯` ˆe . Ch˘a’ ng ha.nphuong tr`ınh x + . . 4x + 3, l`amˆo.t h`ammˆe.n h d¯` ˆe mˆo.tbiˆe´n x´acd¯i.nh trˆentˆa.pho. p R c´acsˆo´ thu. c. N´o . . tro’ th`anhmˆe.n h d¯` ˆe d¯ung ´ v´oi x = −1v`ax = −3. . . . . 3) Bˆa´tphuong tr`ınhl`amˆo.th`ammˆe.nh d¯ˆe` . Ch˘a’ ng ha.nbˆa´tphuong tr`ınh . (x − 3)(x +2) 0 then x := x +1 . . . Khi g˘a.p cˆaun`aytrong chuong tr`ınh,gi´atri. cu’abiˆe´n x o’ d¯ i ˆe ’m d¯´otrong qu´a . . . . . . tr`ınhthu. chiˆe.nchuong tr`ınhs˜ed¯uo. cd¯˘a.t v`ao P(x), t´ucl`ad¯˘a.t v`aocˆau“x>0”. . . . . Nˆe´u P(x) d¯´ungd¯ˆo´iv´oi gi´atri. n`aycu’a x,th`ılˆe.nh g´an x := x +1s˜ed¯uo. c thu. c . hiˆe.n v`agi´atri. cu’a x s˜et˘anglˆen1. Nˆe´u P(x) l`asai d¯ˆo´iv´oi gi´atri. d¯´ocu’a x,th`ı . . . lˆe.nh g´ans˜ekhˆongd¯uo. c thu. chiˆe.n v`agi´atri. x khˆongthay d¯ˆo’i. . . Khi tˆa´tca’ c´acbiˆe´n trong h`ammˆe.n h d¯` ˆe d¯` ˆe ud¯uo. c g´ancho gi´atri. x´acd¯i.nh, th`ımˆe.nh d¯ˆe` ta.o th`anhs˜ec´ogi´atri. chˆanl´y. Tuy nhiˆen,c`onc´omˆo.t c´ach quan . . . tro.ng kh´acd¯ˆe’ biˆe´n c´ach`ammˆe.n h d¯` ˆe th`anhc´acmˆe.n h d¯` ˆe , m`angu`oitago.il`asu. . . . . . . . . . . luo. ng ho´a.Ta x´eto’ d¯ˆayhai loa.iluo. ng ho´a,d¯´ol`aluo. ng t`u phˆo’ du. ng v`aluo. ng . t`u tˆo`nta.i. . . Cho A l`amˆo.ttˆa.pho. pv`aP l`amˆo.t t´ınhchˆa´tcu’a c´acphˆa`ntu’ cu’a A, ngh˜ıa . l`a P(x)l`amˆo.t h`ammˆe.n h d¯` ˆe x´acd¯i.nh trˆen A. X´ettˆa.pho. p AP = {x ∈ A | P(x)}, 17
19. . . . . . ngh˜ıal`atˆa.pgˆo`m c´acphˆa`ntu’ x ∈ A sao cho P(x) d¯´ung.Du´oi d¯ˆayl`ac´actru`ong . ho. p c´othˆe’ x˜ayra. - . . . . 1.2.5.2. D.inh ngh˜ıa: Trong tru`ong ho. p AP = A, ngh˜ıa l`atˆa´tca’ c´acphˆa`ntu’ . . cu’a A d¯` ˆe u thoa’ m˜ant´ınh chˆa´t P.D- iˆe` u n`ayd¯uo. ck´yhiˆe.u l`a: ∀x ∈ A, P(x) . . hay go.nhonl`a(∀x)(P), d¯o.c l`a“v´oimo.i x thuˆo.c A, x thoa’ m˜ant´ınhchˆa´t P”. . . . . . . K´yhiˆe.u ∀ (d¯o.c l`a“v´oimo.i”) d¯uo. cgo.il`aluo. ng t`u phˆo’ du. ng. - . . . 1.2.5.3. D.inh ngh˜ıa: Trong tru`ong ho. p AP =6 ∅, ngh˜ıal`ac´o´ıtnhˆa´tmˆo.t phˆa`n . . . tu’ cu’a A thoa’ m˜ant´ınh chˆa´t P.D- iˆe` u n`ayd¯uo. ck´yhiˆe.u l`a: ∃x ∈ A, P(x) . . hay go.nhonl`a(∃x)(P), d¯o.c l`a“c´o´ıtnhˆa´t (hay tˆo`nta.i) phˆa`ntu’ x thuˆo.c A thoa’ . . m˜ant´ınh chˆa´t P”. K´yhiˆe.u ∃ (d¯o.c l`a“c´o´ıtnhˆa´t” hay “tˆo`nta.i”) d¯uo. cgo.il`a . . . luo. ng t`u tˆo`nta.i. . . . . . . . Luu´yr˘a`ng tˆa.pho. p A d¯ u o. cgo.i l`akhˆonggian c´acluo. ng t`u. . . . . 1.2.5.4. Ch´u´y:1) Trong tru`ong ho. p AP = ∅, ngh˜ıa l`akhˆongc´ophˆa`ntu’ n`ao cu’a A thoa’ m˜ant´ınh chˆa´t P.D- iˆe` u n`aych´ınh l`amˆe.n h d¯` ˆe : (∃x)(P) . . . . v`atrong tru`ong ho. p n`ay AP = A,t´ucl`a(∀x)(P), trong d¯´o P k´yhiˆe.u t´ınhchˆa´t . khˆong P.Nhuvˆa.y (∃x)(P) ≡ (∀x)(P). . . . . 2) Trong tru`ong ho. p AP =6 A, ngh˜ıa l`akhˆongpha’imo.i phˆa`ntu’ cu’a A d¯` ˆe u thoa’ m˜ant´ınh chˆa´t P.D- iˆe` u n`aych´ınh l`amˆe.n h d¯` ˆe : (∀x)(P) . . . . . v`atrong tru`ong ho. p n`ay AP =6 ∅,t´ucl`a(∃x)(P). Nhu vˆa.y (∀x)(P) ≡ (∃x)(P). Th´ıdu. :1)X´acd¯i.nh t´ınhd¯´ung sai cu’a c´acmˆe.n h d¯` ˆe sau: (∃x ∈ R)(4x − 3=−2x + 1) l`amˆe.n h d¯` ˆe d¯ung. ´ 2 (∃x ∈ Q)(x = 2) l`amˆe.n h d¯` ˆe sai. (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x<y)l`amˆe.n h d¯` ˆe sai. (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x + y = 1) l`amˆe.n h d¯` ˆe d¯ung. ´ 18
20. . . . . 2) H˜aybiˆe’udiˆe˜n cˆau: “Mo.i ngu`oi d¯` ˆe uc´och´ınh x´acmˆo.t ngu`oiba.ntˆo´t . nhˆa´t” th`anhmˆo.t cˆongth´uc (lˆogic). . . . Gia’ su’ P(x, y) l`acˆau“y l`angu`oiba.ntˆo´t nhˆa´tcu’a x”. Khi d¯´ocˆautrong th´ıdu. c´othˆe’ di.ch th`anh: (∀x)(∃y)(∀z)[P(x, y) ∧ ((z =6 y) ⇒ P(x, z)]. . 3) T`u d¯. i nh ngh˜ıa vˆe` t´ınhliˆentu. ccu’amˆo.t h`amsˆo´ ta.imˆo.td¯iˆe’m, ta c´o:h`am . f x´acd¯i.nh trˆentˆa.pho. p A ⊂ R l`aliˆentu. cta.i a ∈ A nˆe´u v`achı’ nˆe´u (∀>0) (∃δ>0) (∀x ∈ A)(|x − a| 0) (∀δ>0) (∃x ∈ A)(|x − b| 1. c) Sˆo´ 235 chia hˆe´t cho 5 nhu.ng khˆongchia hˆe´t cho 2. d) 5v`a7l`ahaisˆo´ le’ nguyˆentˆo´ c`ung nhau. e) H`ınhthoi ABCD c´o AB = AC v`a AD ⊥ BC. 3. T`ım phu’ d¯. i nh cu’a c´acmˆe.n h d¯` ˆe sau: a) Khˆongc´oˆonhiˆe˜mo’. Huˆe´. b) M`ua h`eo’. TP. Hˆo` Ch´ı Minh l`an´ongv`an˘a´ng. c) 4 + 8 = 11. 5 d) 22 + 1 = 4294967297 v`akhˆongpha’i l`amˆo.tsˆo´ nguyˆentˆo´. . . 4. H˜ayph´atbiˆe’u c´acd¯i.nh l´ysau d¯ˆaydu´oida.ng mˆe.n h d¯` ˆe k´eotheo p ⇒ q ho˘a.c p ⇔ q. . a) G´ocngo`aicu’amˆo.t tam gi´acb˘a`ng tˆo’ng hai g´octrong khˆongkˆe` v´oi n´o. 19
21. . b) Mo.i d˜ayd¯on d¯ i ˆe.u v`abi. ch˘a.n d¯` ˆe u l`ad˜ayhˆo.itu. . . c) Mo.i h`amliˆentu. c trˆenmˆo.t khoa’ng d¯´ongv`abi. ch˘a.nd¯ˆe` ud¯a.t gi´atri. l´on nhˆa´t v`anho’ nhˆa´t trˆenkhoa’ng d¯´o. d) Nˆe´u tam gi´ac ABC l`atam gi´accˆanth`ı n´oc´ohai g´ocb˘a`ng nhau v`ad¯a’o la.i. . e) Mo.i d˜ayCauchy (trong R)l`ahˆo.itu. v`achı’ c´acd˜ayd¯´om´oihˆo.itu. . 5. Cho p, q v`a r l`ac´acmˆe.n h d¯` ˆe : p:Ba.nbi. c´um. . . q:Ba.n thi truo. tk`y thi cuˆo´i kho´a. . . . r:Ba.nd¯uo. c lˆenl´op. . . . H˜aydiˆe˜nd¯a.tc´acmˆe.n h d¯` ˆe sau th`anhnh˜ung cˆauthˆongthu`ong: a) p ⇒ q, b) q ⇔ r, c) q ⇒ r, d) p ∨ q ∨ r, e) (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r), f) (p ∧ q) ∨ (q ∧ r). 6. Cho p v`a q l`ahai mˆe.n h d¯` ˆe : . p:Ba.n l´aixe v´oitˆo´cd¯ˆo. trˆen60km/h. . . q:Ba.nbi. pha.tv`ıvuo. t qu´atˆo´cd¯ˆo. cho ph´ep. . H˜ayviˆe´t c´acmˆe.n h d¯` ˆe sau b˘a`ng c´ach d`ung p v`a q v`ac´acto´antu’ lˆogic. . a) Ba.n khˆongl´aixe v´oitˆo´cd¯ˆo. trˆen60km/h. . . . . b) Ba.n l´aixe v´oitˆo´cd¯ˆo. trˆen60km/h nhung ba.n khˆongbi. pha.tv`ıvuo. t qu´a tˆo´cd¯ˆo. cho ph´ep. . . . c) Ba.ns˜ebi. pha.tv`ıvuo. t qu´atˆo´cd¯ˆo. cho ph´ep nˆe´uba.n l´aixe v´oitˆo´cd¯ˆo. trˆen60km/h. . d) Nˆe´uba.n khˆongl´aixe v´oitˆo´cd¯ˆo. trˆen60km/h th`ıba.n s˜ekhˆongbi. pha.t . . v`ıvuo. t qu´atˆo´cd¯ˆo. cho ph´ep. . . . e) L´aixe v´oitˆo´cd¯ˆo. trˆen60km/h l`ad¯u’ d¯ ˆe ’ bi. pha.tv`ıvuo. t qu´atˆo´cd¯ˆo. cho ph´ep. . . . . f) Ba.nbi. pha.tv`ıvuo. t qu´atˆo´cd¯ˆo. cho ph´epnhung ba.n khˆongl´aixe v´oitˆo´c d¯ ˆo. trˆen60km/h. . . . g) Mˆo˜ilˆa`nba.nbi. pha.tv`ıvuo. t qu´atˆo´cd¯ˆo. cho ph´epl`aba.n d¯˜al´aixe v´oitˆo´c d¯ ˆo. trˆen60km/h. 7. Ph´atbiˆe’umˆe.n h d¯` ˆe d¯ a’o v`apha’nd¯a’ocu’a c´acmˆe.n h d¯` ˆe k´eotheo sau: a) Nˆe´u hˆomnay c´ogi´om`ua D- ˆong B˘a´c th`ıng`aymai tr`o.i gi´ar´et. b) Tˆoid¯ˆe` u d¯ira b˜ait˘a´mbˆa´tc´u. ng`ayn`aotr`o.in˘a´ng. c) Nˆe´umˆo.tsˆo´ chia hˆe´t cho 6 th`ıchia hˆe´t cho 2 v`acho 3. . d) Nˆe´umˆo.tsˆo´ chia hˆe´t cho 9 th`ıtˆo’ng c´acch˜u sˆo´ cu’a n´ochia hˆe´t cho 9. . . 8. Lˆa.pba’ng gi´atri. chˆanl´ycho c´acmˆe.n h d¯` ˆe ph´ucho. p sau: a) p ⇒ (q ∨ r), b) p ⇒ (q ⇒ r), c) (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r), 20
22. d) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r), e) (p ⇔ q) ∨ (q ⇔ r), f) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ r). 9. T`ım c´acOR bit, AND bit v`aXOR bit cu’a c´acc˘a.p xˆaubit sau: a) 1011110, 0100001; b) 11110000, 10101010; c) 0001110001, 1001001000; d) 1111111111, 0000000000. . . 10. Lˆa.p c´acmˆe.n h d¯` ˆe ph´ucho. pgˆo`m c´acmˆe.n h d¯` ˆe p, q v`a r sao cho n´od¯´ungkhi: . . . . a) p, q l`ad¯´ungv`a r l`asai, nhung l`asai trong mo.i tru`ong ho. p c`onla.i. . . . b) Hai trong ba mˆe.n h d¯` ˆe p, q v`a r l`ad¯´ungv`asai trong mo.i tru`ong ho. p c`on la.i. . 11. Ch´ung minh c´acmˆe.n h d¯` ˆe k´eotheo sau l`ah˘a`ng d¯´ung: a) (p ∧ q) ⇒ p, b) p ⇒ (p ∨ q), c) p ⇒ (p ⇒ q), d) (p ∧ q) ⇒ (p ⇒ q), e) p ⇒ q ⇒ p, f) p ⇒ q ⇒ q, g) [(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ r. 12. Ch´u.ng to’ r˘a`ng: p ⇔ q, q ⇔ r a) p ⇔ r p ∧ q ⇒ p b) . p ⇒ q p ⇒ q, r ⇒ s c) . (p ∧ r) ⇒ (q ∧ s) p ⇒ q, r ⇒ s d) . (p ∨ r) ⇒ (q ∨ s) . . . . . 13. D`ung phuong ph´apch´ung minh tru. ctiˆe´pd¯ˆe’ ch´ung minh mˆe.nh d¯ˆe` : “hai . . . d¯ u `ong ch´eocu’a h`ınhch˜u nhˆa.tth`ıb˘a`ng nhau”. . . . H˜aychı’ ra c´acbu´oc suy luˆa.n trong ch´ung minh. . 14. Ch´ung minh ho˘a.c b´acbo’ r˘a`ng t´ıch cu’a hai sˆo´ vˆotı’ l`amˆo.tsˆo´ vˆotı’. . 2 15. Ch´ung minh ho˘a.cb´acbo’ r˘a`ng n − n + 41 l`asˆo´ nguyˆentˆo´ khi n l`asˆo´ nguyˆendu.o.ng. √ 16. D`ung phu.o.ng ph´apch´u.ng minh pha’nch´u.n g d¯ ˆe ’ ch´u.ng minh r˘a`ng 3 3l`a mˆo.tsˆo´ vˆotı’. 21
23. . . . 17. Ch´ung minh r˘a`ng mˆo.tsˆo´ nguyˆenkhˆongchia hˆe´t cho 5 th`ıb`ınh phuong cu’a . n´okhi chia cho 5 s˜edu 1 ho˘a.c4. . . . 18. H˜aydiˆe˜nd¯a.t c´acmˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆayb˘a`ng ngˆonng˜u thˆongthu`ong v`ax´ac d¯. i nh t´ınhd¯´ung sai cu’ac´acmˆe.n h d¯` ˆe d¯´o.Sau d¯´oh˜aylˆa.pmˆe.n h d¯` ˆe phu’ d¯. i nh cu’a c´acmˆe.n h d¯` ˆe trˆen. a) (∃x ∈ R)(∀y ∈ R)(x + y = 1). b) (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x + y = 1). c) (∀n ∈ N)(∃m ∈ N)(n<m). d) (∃n ∈ N)(∀m ∈ N)(n<m). . . . 19. Cho P(x)l`acˆau“x n´oid¯uo. ctiˆe´ng Anh” v`a Q(x)l`acˆau“x biˆe´t ngˆonng˜u C”. H˜aydiˆe˜nd¯a.t c´accˆausau b˘a`ng c´ach d`ung P(x),Q(x) v`ac´acph´epto´anlˆogic. . . . . . Cho khˆonggian c´acluo. ng t`u l`atˆa.pho. p c´acsinh viˆeno’ D- a.iho.cHuˆe´. . . . a) C´omˆo.t sinh viˆeno’ D- a.iho.cHuˆe´ n´oid¯uo. ctiˆe´ng Anh v`abiˆe´tC. . . . . b) C´omˆo.t sinh viˆeno’ D- a.iho.cHuˆe´ n´oid¯uo. ctiˆe´ng Anh nhung khˆongbiˆe´t C. . . . c) Mo.i sinh viˆeno’ D- a.iho.cHuˆe´ d¯` ˆe u n´oid¯uo. ctiˆe´ng Anh ho˘a.cbiˆe´tC. . . . d) Khˆongc´omˆo.t sinh viˆenn`aoo’ D- a.iho.cHuˆe´ n´oid¯uo. ctiˆe´ng Anh ho˘a.cbiˆe´t C. . . . 20. Cho F(x, y) l`acˆau“x c´othˆe’ l`uaga.t y”, v´oi khˆonggian l`atˆa.pho. pmo.i . . . . . . ngu`oi trˆenthˆe´ gi´oi. H˜ayd`ungc´acluo. ng t`u d¯ ˆe ’ diˆe˜nd¯a.t c´accˆausau: . . . a) Mo.i ngu`oid¯ˆe` u c´othˆe’ l`uaga.tA. . . . . . b) Bc´othˆe’ l`uaga.td¯uo. cmo.i ngu`oi. . . . . . c) Mo.i ngu`oid¯ˆe` u c´othˆe’ l`uaga.td¯uo. c ai d¯´o. . . . . . d) Khˆongc´oai c´othˆe’ l`uaga.td¯uo. ctˆa´tca’ mo.i ngu`oi. . . . . e) Mo.i ngu`oid¯ˆe` u c´othˆe’ bi. l`uaga.tbo’ i ai d¯´o. . . . f) Khˆongai c´othˆe’ l`uaga.td¯uo. cca’ Alˆa˜nB. . . . . . g) C c´othˆe’ l`uaga.td¯uo. c ch´ınhx´achai ngu`oi. . . . . . h) C´och´ınh x´acmˆo.t ngu`oi m`aai c˜ung l`uaga.td¯uo. c. . . . i) Khˆongai c´othˆe’ l`uaga.td¯uo. c ch´ınhm`ınh. . . . . . . . . j) C´omˆo.t ngu`o i n`aod¯´oc´othˆe’ l`uaga.td¯uo. cch´ınh x´acmˆo.t ngu`oitr`uba’n thˆanm`ınh. . . 21. Cho c´actˆa.pho. p A,B,C.Ch´ung minh r˘a`ng: a) (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C). b) (A ∪ B) \ C =(A \ C) ∪ (B \ C). c) A \ (B \ C)=(A \ B) ∪ (A ∩ C). d) (A \ B) ∪ (B \ C) ∪ (C \ A) ∪ (A ∩ B ∩ C)=A ∪ B ∪ C. 22. X´etxem c´acd¯˘a’ ng th´u.c sau d¯ˆayd¯´unghay khˆong. a) (A ì B) ∩ (C ì D)=(A ∩ C) ì (B ∩ D). b) (A ì B) ∪ (C ì D)=(A ∪ C) ì (B ∪ D). 22
24. . . 23. Cho c´actˆa.pho. p A,B,C.Ch´ung minh r˘a`ng: a) A ⊕ A = ∅. b) A ⊕∅ = A. c) A ⊕ B = B ⊕ A. d) A ⊕ B =(A ∪ B) \ (A ∩ B). e) (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C). f) A ∩ (B ⊕ C)=(A ∩ B) ⊕ (A ∩ C). . . . . 24. H˜aychı’ r˜oc´acph´epto´antrˆenc´acxˆaubit d¯uo. c thu. chiˆe.nnhuthˆe´ n`aod¯ˆe’ . . t`ımc´actˆo’ ho. p sau cu’a c´actˆa.pho. p: A = {a, b, c, d, e},B= {b, c, d, g, p, t, v} C = {c, e, i, o, u, x, y, z},D= {d, e, h, i, n, o, t, u, x, y}. a) A ∪ B, b) A ∩ B, c) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C), d) A ∪ B ∪ C ∪ D. . . 25. Cho A,B,C l`a3 tˆa.ph˜uuha.n. Ch´ung minh r˘a`ng: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|−|A ∩ B|−|B ∩ C|−|A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. . . . . . T`ım cˆongth´uc cho tru`ong ho. p n tˆa.ph˜uuha.n. . . . . . 26. Mˆo.t cuˆo.cho.pgˆo`m 12 ngu`oi tham du. d¯ ˆe ’ b`anvˆe` 3vˆa´n d¯` ˆe . C´o8 ngu`oi ph´at biˆe’uvˆe` vˆa´nd¯ˆe` I, 5 ngu.`o.i ph´atbiˆe’uvˆe` vˆa´nd¯ˆe` II v`a7 ngu.`o.i ph´atbiˆe’uvˆe` vˆa´n d¯` ˆe III. Ngo`aira, c´od¯´ung1 ngu.`o.i khˆongph´atbiˆe’uvˆa´nd¯ˆe` n`ao.Ho’i nhiˆe` ul˘a´m l`ac´obao nhiˆeungu.`o.i ph´atbiˆe’uca’ 3vˆa´n d¯` ˆe . 23
25. ’ . . . ˜ ’ TRA LO` IVAHU` O´ NG DAˆN GIAIBAI` TAˆ. P . . CHUONG I 1. a) Khˆongpha’il`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe . b) Khˆongpha’il`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe . c) Khˆongpha’il`amˆo.tmˆe.n h d¯` ˆe . d) Mˆe.n h d¯` ˆe d¯ung. ´ e) Mˆe.n h d¯` ˆe sai. √ √ . 2. a) p ∧ q,v´oi p:“1 1” v`a q: “sin 12 < 1”, l`amˆe.n h d¯ ˆe sai. c) p ∧ q,v´o.i p: “Sˆo´ 235 chia hˆe´t cho 5” v`a q: “Sˆo´ 235 khˆongchia hˆe´tcho 2”, l`amˆe.n h d¯` ˆe d¯ung. ´ d) p ∧ q,v´o.i p: “5 v`a7 l`ahai sˆo´ le’”v`aq: “5 v`a7 l`ahai sˆo´ nguyˆentˆo´ c`ung nhau”, l`amˆe.n h d¯` ˆe d¯ung. ´ e) p ∧ q,v´o.i p: “H`ınhthoi ABCD c´o AB = AC”v`aq: “H`ınhthoi ABCD c´o AD ⊥ BC”, l`amˆe.n h d¯` ˆe sai. 3. a) C´oˆonhiˆe˜mo’. Huˆe´. . b) M`ua h`eo’ TP. Hˆo` Ch´ı Minh l`akhˆongn´ongho˘a.c khˆongn˘a´ng. c) 4+8=6 11. 5 d) 22 +1=6 4294967297 ho˘a.c l`amˆo.tsˆo´ nguyˆentˆo´. . 4. a) p ⇒ q,v´oi p:“α l`ag´ocngo`aicu’amˆo.t tam gi´ac”v`a q:“α b˘a`ng tˆo’ng hai g´octrong khˆongkˆe` v´o.i n´o”. . . b) p ⇒ q,v´oi p:“(xn) l`ad˜ayd¯ond¯iˆe.uv`abi. ch˘a.n” v`a q:“(xn) l`ad˜ayhˆo.i tu. ”. . c) p ⇒ q,v´oi p:“f l`ah`amliˆentu. c trˆenkhoa’ng d¯´ongv`abi. ch˘a.n[a, b]” v`a . q:“f d¯ a.t gi´atri. l´on nhˆa´t v`anho’ nhˆa´t trˆen[a, b]”. d) p ⇔ q,v´o.i p: “Tam gi´ac ABC l`atam gi´accˆan”v`a q: “Tam gi´ac ABC c´ohai g´ocb˘a`ng nhau”. . . . e) p ⇔ q,v´oi p: “D˜aysˆo´ thu. c(xn) l`ad˜ayCauchy” v`a q: “D˜aysˆo´ thu. c(xn) l`ahˆo.itu. ”. . . 5. a) Nˆe´uba.nbi. c´um th`ıba.n thi truo. tk`y thi cuˆo´i kho´a. . . . . b) Ba.n khˆongthi truo. tk`y thi cuˆo´i kho´al`ad¯iˆe` ukiˆe.ncˆa`nv`ad¯u’ d¯ ˆe ’ ba.nd¯uo. c lˆenl´o.p. . . . . . c) Ba.n thi truo. tk`y thi cuˆo´i kho´al`ad¯u’ d¯ ˆe ’ ba.n khˆongd¯uo. c lˆenl´op. . . . . . d) Ba.nbi. c´um ho˘a.cba.n thi truo. tk`y thi cuˆo´i kho´aho˘a.cba.nd¯uo. c lˆenl´op. . . . . . e) Ba.nbi. c´um l`ad¯u’ d¯ ˆe ’ ba.n khˆongd¯uo. c lˆenl´op ho˘a.cba.n thi truo. t k`ythi . . . cuˆo´i kho´al`ad¯u’ d¯ ˆe ’ ba.n khˆongd¯uo. c lˆenl´op. . . . . f) Ba.nbi. c´um v`athi truo. t k`ythi cuˆo´i kho´aho˘a.c khˆongthi truo. t k`ythi . . . cuˆo´i kho´av`ad¯uo. c lˆenl´op. 24
26. 6. a) p. b) p ∧ q. c) p ⇒ q. d) p ⇒ q. e) p ⇒ q. f) q ∧ p. g) p ⇔ q. . 7. a) Mˆe.n h d¯` ˆe d¯ a’o: Nˆe´u ng`aymai tr`oi gi´ar´etth`ı hˆomnay c´ogi´om`uaD- ˆong . B˘a´c. Mˆe.n h d¯` ˆe pha’nd¯a’o: Nˆe´u ng`aymai tr`oi khˆonggi´ar´etth`ıkhˆongc´ogi´om`ua D- ˆong B˘a´c v`aohˆomnay. . b) Mˆe.nh d¯ˆe` d¯ a’o: Nˆe´u tˆoid¯ira b˜ait˘a´mth`ı ng`ayd¯´otr`oin˘a´ng. Mˆe.nh d¯ˆe` pha’nd¯a’o: Nˆe´u tˆoikhˆongd¯ira b˜ait˘a´mth`ı ng`ayd¯´otr`o.i khˆongn˘a´ng. c) Mˆe.nh d¯ˆe` d¯ a’o: Nˆe´umˆo.tsˆo´ chia hˆe´t cho 2 v`acho 3 th`ıchia hˆe´t cho 6. Mˆe.n h d¯` ˆe pha’nd¯a’o: Nˆe´umˆo.tsˆo´ khˆongchia hˆe´t cho 2 ho˘a.c cho 3 th`ıkhˆongchia hˆe´t cho 6. . d) Mˆe.n h d¯` ˆe d¯ a’o: Tˆo’ng c´acch˜u sˆo´ cu’amˆo.tsˆo´ chia hˆe´t cho 9 th`ısˆo´ d¯´ochia . hˆe´tcho9. Mˆe.n h d¯` ˆe pha’nd¯a’o: Tˆo’ng c´acch˜u sˆo´ cu’amˆo.tsˆo´ khˆongchia hˆe´tcho 9th`ısˆo´ d¯´okhˆongchia h´etcho 9. 8. p q r p ⇒ (q ∨ r) p ⇒ (q ⇒ r) (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 9. a) 1111111, 0000000, 1111111; b) 11111010, 10100000, 01011010; c) 1001111001, 0001000000, 1000111001; d) 1111111111, 0000000000, 1111111111. 25
27. (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) (p ⇔ q) ∨ (q ⇔ r) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ r) 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 10. a) p ∧ q ∧ r. b) (p ∧ q ∧ r) ∨ (q ∧ r ∧ p) ∨ (r ∧ p ∧ q). 11. a) Nˆe´u(p ∧ q) d¯´ungth`ı p d¯ung. ´ b) Nˆe´u p d¯ung ´ th`ı p ∨ q d¯ung. ´ c) Nˆe´u p d¯ung ´ th`ı p sai v`akhi d¯´o p ⇒ q l`ad¯´ung. d) Nˆe´u p ∧ q l`ad¯´ungth`ıca’ p v`a q d¯` ˆe ud¯´ung v`akhi d¯´o p ⇒ q l`ad¯´ung. e) Nˆe´u p ⇒ q d¯ung ´ th`ı p ⇒ q sai v`akhi d¯´o p d¯ung ´ (v`a q sai). f) Nˆe´u p ⇒ q d¯ung ´ th`ı p ⇒ q sai v`akhi d¯´o q sai (v`a p d¯ung), ´ t´u.cl`aq l`a d¯ung. ´ g) Nˆe´u[(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] d¯´ungth`ıca’ ba p ∨ q, p ⇒ r, q ⇒ r d¯` ˆe u d¯ung ´ v`akhi d¯´o p ho˘a.c q d¯ung, ´ nˆen r l`ad¯´ung. 12. a) Nˆe´u p ⇔ q v`a q ⇔ r l`ad¯´ung th`ı gi´atri. chˆanl´ycu’a p v`a q,cu’a q v`a r l`a . . nhu nhau. Do d¯´ogi´atri. chˆanl´ycu’a p v`a r l`anhu nhau hay p ⇔ r l`ad¯´ung. b) Nˆe´u p sai th`ı p ⇒ q l`ad¯´ung. Nˆe´u p d¯ung ´ th`ı p sai v`ado p ∧ q ⇒ p l`a d¯ung ´ nˆen p ∧ q l`asai. Do d¯´o q l`asai hay q l`ad¯´ung.Khi d¯´o p ⇒ q l`ad¯´ung. c) Nˆe´u p sai ho˘a.c r sai th`ı p ∧ r l`asai nˆen(p ∧ r) ⇒ (q ∧ s) l`ad¯´ung.Nˆe´u p d¯ung ´ v`a r d¯ung ´ th`ıdop ⇒ q v`a r ⇒ s l`ad¯´ung nˆen q v`a s l`ad¯´ung. Do d¯´o q ∧ s d¯ung, ´ nˆen(p ∧ r) ⇒ (q ∧ s) l`ad¯´ung. d) Nˆe´u p sai v`a r sai th`ı p ∨ r l`asai nˆen(p ∨ r) ⇒ (q ∨ s) l`ad¯´ung.Nˆe´u p d¯ung ´ ho˘a.c r d¯ung ´ th`ıdo p ⇒ q v`a r ⇒ s l`ad¯´ungnˆen q ho˘a.c s l`ad¯´ung.Do d¯´o q ∨ s d¯ung, ´ nˆen(p ∨ r) ⇒ (q ∨ s) l`ad¯´ung. 13. . Suy luˆa.n 1: Luˆa.nch´ung: p ⇔ q, p A :H`ınh ch˜u. nhˆatl`amˆoth`ınh b`ınhh`anhc´o 1 . . q mˆo.t g´ocvuˆong 26
28. . A2: ABCD l`ah`ınh ch˜u nhˆa.t ——————————————————— A3: ABCD l`ah`ınh b`ınhh`anhc´omˆo.t g´ocvuˆong . Suy luˆa.n 2: Luˆa.nch´ung: A4:H`ınh b`ınhh`anhc´omˆo.t g´ocvuˆongth`ı c´oc´ac p ⇒ q, p canh d¯ˆo´ib˘a`ng nhau v`ac´acg´ocd¯ˆe` u vuˆong . q A3: ABCD l`ah`ınh b`ınhh`anhc´omˆo.t g´ocvuˆong ——————————————————— A5: AD = BC, AB = CD, Aˆ = Bˆ = Cˆ = Dˆ =1v . Suy luˆa.n 3: Luˆa.nch´ung: A6:Nˆe´u hai tam gi´acvuˆongc´ohai c˘a.pca.nh g´oc p ⇒ q, p vuˆongb˘a`ng nhau t`u.ng d¯ˆoimˆotth`ıch´ung . q b˘a`ng nhau A7: Aˆ = Bˆ =1v, BC = AD, AB = AB (AB chung) ——————————————————— A8: 4ABC = 4BAD . Suy luˆa.n 4: Luˆa.nch´ung: A9: Hai tam gi´acvuˆongb˘a`ng nhau th`ıhai ca.nh p ⇒ q, p huyˆe` ntu.o.ng ´u.ng b˘a`ng nhau q A8: 4ABC = 4BAD ——————————————————— A10: AC = BD . Suy luˆa.n 5: Luˆa.nch´ung: A ⇒ A 2 3 p ⇒ p ,p ⇒ p ,p ⇒ p ,p ⇒ q A ⇒ A 1 1 2 2 3 3 3 5 p ⇒ q A5 ⇒ A8 A8 ⇒ A10 ——————————————————— A2 ⇒ A10 . 14. (Ch´ung minh b˘a`ng pha√’nth´ıdu. )T´ıch cu’a hai sˆo√´ vˆotı√ ’ khˆongnhˆa´t thiˆe´tl`a . . mˆo.tsˆo´ vˆotı’. Ch˘a’ ng ha.n, 2l`amˆo.tsˆo´ vˆotı’ nhung 2. 2l`amˆo.tsˆo´ h˜uutı’. . 2 15. (Ch´ung minh b˘a`ng pha’nth´ıdu. ) n − n + 41 khˆongluˆonluˆonl`amˆo.tsˆo´ 2 2 . nguyˆentˆo´. Ch˘a’ ng ha.n, 41 − 41 + 41 = 41 l`amˆo.tho. psˆo´. . . . 16. (Ch´ung minh b˘a`ng pha’nch´ung) V´oi n l`amˆo.tsˆo´ nguyˆen,ta viˆe´t n =3q + r v´o.i r =0, 1, 2v`an3 = 3(9q3 +9q2r +3qr2)+r3. Do d¯´onˆe´u n3 chia hˆe´tcho3 3 . th`ı r =0hay√ r =0t´ucl`an chia hˆe´t cho 3. √ . 3 ´ ´ . ’ ´ 3 a . ∈ ∗ Gia’ su’ 3 l`asˆo mˆo.tsˆoh˜uutı’, ngh˜ıal`ata c´othˆe viˆet 3= b v´oi a, b N v`a(a, b) = 1. Khi d¯´o a3 =3b3,nˆena3 chia hˆe´t cho 3, do d¯´o a chia hˆe´t cho 3 hay 27
29. . 3 3 3 a =3c v´oi c ∈ N.V`ıvˆa.y, b =9c ,nˆenb chia hˆe´t cho 3, do d¯´o b chia hˆe´tcho 3. D- iˆe` u n`aymˆauthuˆa’nv´o.i(a, b)=1. . . . . 17. (Ch´ung minh b˘a`ng c´ach x´etc´actru`ong ho. p) Cho n l`amˆo.tsˆo´ nguyˆenkhˆong chia hˆe´t cho 5. Khi d¯´o n =5q + r v´o.i r =1, 2, 3, 4v`an2 =25q2 +10qr + r2. –V´o.i r =1tac´on2 = 5(5q2 +2qr)+1, –V´o.i r =2tac´on2 = 5(5q2 +2qr)+4, –V´o.i r = 3 ta c´ota c´o n2 = 5(5q2 +2qr +1)+4, –V´o.i r = 4 ta c´ota c´o n2 = 5(5q2 +2qr +3)+1. 2 . Do d¯´o n chia cho 5 c´odu 1 ho˘a.c4. . . . 18. a) Tˆo`nta.isˆo´ thu. c x v´oimo.isˆo´ thu. c y, ta c´o x + y = 1 (sai). Phu’ d¯. i nh cu’amˆe.n h d¯` ˆe n`ayl`a: (∃x ∈ R)(∀y ∈ R)(x + y =1)≡ (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x + y =6 1) (d¯´ung). . . . b) V´oimo.isˆo´ thu. c x tˆo`nta.isˆo´ thu. c y, ta c´o x + y =1(d¯´ung). Phu’ d¯. i nh cu’amˆe.n h d¯` ˆe n`ayl`a: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x + y =1)≡ (∃x ∈ R)(∀y ∈ R)(x + y =6 1) (sai). . . . c) V´oimo.isˆo´ tu. nhiˆen n tˆo`nta.isˆo´ tu. nhiˆen m, ta c´o n<m(d¯´ung).Phu’ d¯. i nh cu’amˆe.n h d¯` ˆe n`ayl`a: (∀n ∈ N)(∃m ∈ N)(n<m) ≡ (∃n ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ m) (sai). . . . d) Tˆo`nta.isˆo´ tu. nhiˆen n v´oimo.isˆo´ tu. nhiˆen m, ta c´o n<m(sai). Phu’ d¯. i nh cu’amˆe.n h d¯` ˆe n`ayl`a: (∃n ∈ N)(∀m ∈ N)(n<m) ≡ (∀n ∈ N)(∃m ∈ N)(n ≥ m) (d¯´ung). 19. a) ∃x (P(x) ∧ Q(x)). b) ∃x (P(x) ∧ Q(x)). c) ∀x (P(x) ∨ Q(x)). d) ∀x (P(x) ∨ Q(x)). 20. a) ∀xF(x, A). b) ∀yF(B,y). c) ∀x ∃yF(x, y). d) ∃x ∀yF(x, y) ≡∀x ∃y F(x, y). e) ∃x ∀yF(x, y). f) ∃xF(x, A) ∨ F(x, B) ≡∀x F(x, A) ∧ F(x, B). g) ∃x ∃y ∀z(x =6 y ∧ F(C, x) ∧ F(C, y) ∧ (F(C, z) ⇒ (z = x ∨ z = y))). 28
30. h) ∃x ∀y ∀z ((F(y, x) ∧ (F(y, z) ⇒ z = x))). i) ∃xF(x, x) ≡∀x F(x, x). j) ∃x ∃y ∀z (x =6 y ∧ F(x, y) ∧ (F(x, z) ⇒ z = y)). 21. Ch´u´yr˘a`ng A \ B = A ∩ B, trong d¯´o B l`aphˆa`nb`ucu’a B trong tˆa.p U ch´u.a A,B,C. a) (A ∩ B) \ C =(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)=A ∩ (B \ C). b) (A ∪ B) \ C =(A ∪ B) ∩ C =(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)=(A \ C) ∪ (B \ C). c) A \ (B \ C)=A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)= (A \ B) ∪ (A ∩ C). d) A \ B, B \ C, C \ A, A ∩ B ∩ C ⊂ A ∪ B ∪ C ⇒ (A \ B) ∪ (B \ C) ∪ (C \ A) ∪ (A ∩ B ∩ C) ⊂ A ∪ B ∪ C. ∀x ∈ A ∪ B ∪ C ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C. – x ∈ A:i)x ∈ B:+x ∈ C ⇒ x ∈ A ∩ B ∩ C, + x/∈ C ⇒ x ∈ B \ C; ii) x/∈ B ⇒ x ∈ A \ B. – x/∈ A:i)x ∈ B:+x ∈ C ⇒ C \ A, + x/∈ C ⇒ B \ C; ii) x/∈ B ⇒ x ∈ C ⇒ C \ A. Vˆa.y A ∪ B ∪ C ⊂ (A \ B) ∪ (B \ C) ∪ (C \ A) ∪ (A ∩ B ∩ C). 22. a) D- ung.´ (x, y) ∈ (Aì B)∩(C ì D) ⇔ (x, y) ∈ Aì B ∧(x, y) ∈ C ì D ⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ C ∧ y ∈ D) ⇔ x ∈ A ∩ C ∧ y ∈ B ∩ D ⇔ (x, y) ∈ (A ∩ C) ì (B ∩ D). b) Khˆongd¯´ung. Ta chı’ c´o(A ì B) ∪ (C ì D) ⊂ (A ∪ C) ì (B ∪ D). Bao . . . h`amth´uc nguo. cla.i khˆongc´o.Ch˘a’ ng ha.n, cho.n A = D = ∅ v`a B =6 ∅, C =6 ∅ th`ı vˆe´ tr´ail`atˆa.prˆo˜ng trong khi vˆe´ pha’i kh´acrˆo˜ng. . . . . 23. C´accˆaua), b) v`ac) suy t`u d¯. i nh ngh˜ıa. Go.i p,q,r tuong ´ung l`ac´acmˆe.nh d¯` ˆe x ∈ A, x ∈ B,x ∈ C. Khi d¯´o x ∈ A ⊕ B ch´ınhl`amˆe.n h d¯` ˆe tuyˆe’n loa.i p ⊕ q. p q r p ∨ q p ∧ q (p ∨ q) ∧ (p ∧ q) p ⊕ q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 29
31. (p ⊕ q) ⊕ r q ⊕ r p ⊕ (q ⊕ r) p ∧ (q ⊕ r) p ∧ r (p ∧ q) ⊕ (p ∧ r) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 . . . Ba’ng gi´atri. chˆanl´yo’ trˆencho c´ackˆe´t qua’ cˆaud) t`u cˆo.t 6 v`a7, cˆaue) t`u cˆo.t8 . v`a10, cˆauf) t`u cˆo.t 11 v`a13. 24. U = A ∪ B ∪ C ∪ D = {a,b,c,d,e,g,h,i,n,o,p,t,u,v,x,y,z}. A 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 C 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 D 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 A ∪ B 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 A ∩ B 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A ∪ D(1) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 B ∪ C(2) 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) ∩ (2) 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 25. |A ∪ B| = |A ∪ (B \ A ∩ B)| = |A| + |B|−|A ∩ B|. |A∪B∪C| = |A∪B|+|C|−|(A∪B)∩C| = |A|+|B|−|A∩B|+|C|−(|A∩C|+ |B∩C|−|(A∩C)∩(B∩C)|)=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|. . . Cho A1,A2, ,Am l`a m tˆa.ph˜uuha.ncu’atˆa.ph˜uuha.n U.B˘a`ng quy na.p . . . c´othˆe’ ch´ung minh d¯uo. cr˘a`ng: n−1 |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am| = N1 − N2 + N3 −ããã+(−1) Nm, 30
32. | ∩ ∩ ∩ | ≤ ≤ trong d¯´o, Nk = P Ai1 Ai2 Aik ,1 k m. 1≤i1<i2<ããã<i ≤m k . Nˆe´ugo.i N = |U|, N0 = |U \ A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am|, ta c´ocˆongth´uc sau v`ago.i l`a nguyˆenl´yb`utr`u n N0 = N − N1 + N2 − N3 + ããã+(−1) Nm. . . 26. Go.i U l`atˆa.pho. pgˆo`m c´acth`anhviˆencu’a cuˆo.cho.p, Ai l`atˆa.pho. p c´ac th`anhviˆenph´atbiˆe’uvˆe` vˆa´nd¯ˆe` i (1 ≤ i ≤ 3). Khi d¯´osˆo´ th`anhviˆenkhˆong ph´atbiˆe’uvˆa´nd¯ˆe` n`aol`a N0 = 1 trong sˆo´ c´acth`anhviˆen N = |U| = 12. Ta c´o N1 = |A1| + |A2| + |A3| =8+5+7=20,N2 = |A1 ∩ A2| + |A2 ∩ A3| + |A1 ∩ A3|, . . N3 = |A1 ∩ A2 ∩ A3| v`a N2 ≥ 3N3. Theo cˆongth´ucvˆe` nguyˆenl´y b`utr`u, ta c´o N0 = N − N1 + N2 − N3 hay 1 = 12 − 20 + N2 − N3 hay N3 = N2 − 9. Do d¯´o ≥ − ≤ ≤ 9 ` ´ . . N3 3N3 9hay2N3 9hayN3 2 =4, 5. Vˆa.y nhiˆeul˘am l`ac´o4 ngu`oi ph´atbiˆe’uca’ 3vˆa´nd¯ˆe` . 31
33. . . CHUONG II: ANH´ XA. ´ 2.1. ANH XA. . 2.1.1. D- .inh ngh˜ıav`ath´ıdu. : . . 2.1.1.1. Mo’ d¯` ˆa u: Anh´ xa. l`amˆo.t kh´ainiˆe.mcu. ck`y quan tro.ng trong to´anho.c. . . Anh´ xa. d`ung d¯ˆe’ kha’o s´atc´act´ınh chˆa´tcu’amˆo.ttˆa.pho. p v`ac´acphˆa`ntu’ cu’a n´o. . . . Anh´ xa. biˆe’udiˆe˜n c´acmˆo´i quan hˆe. gi˜ua c´actˆa.pho. p v`ac´acphˆa`ntu’ . Ch˘a’ ng ha.n, . . . . . . x´ettˆa.pho. p c´accon ngu`oi trˆento`anthˆe´ gi´oi v`akha’o s´atd¯ˆo. tuˆo’icu’amˆo˜i ngu`oi. . . . . . . . Ta gh´epmˆo˜i con ngu`oiv´oimˆo.t con sˆo´ go.i l`atuˆo’icu’a ngu`oi d¯´o.Mˆo˜i ngu`oid¯ˆe` u . . . . . . c´omˆo.t con sˆo´,v`ımˆo˜i ngu`oi khˆongthˆe’ c´ohai tuˆo’i nˆenmˆo˜i ngu`oichı’ u´ng v´oi . . . . mˆo.t con sˆo´ duy nhˆa´t. C´othˆe’ nhiˆe` u ngu`oic´oc`ung d¯ˆo. tuˆo’i, ngh˜ıal`anhiˆe` u ngu`oi . . . . . . c´othˆe’ u´ng v´oic`ung mˆo.t con sˆo´.C´othˆe’ c´omˆo.t con sˆo´ khˆongd¯uo. c´ung v´oimˆo.t . . . . . . . ngu`oi n`ao.Con sˆo´ c`angl´onth`ıd¯ˆo. tuˆo’icu’a con ngu`oi´ung v´oi con sˆo´ d¯´oc`ang . . . . . . . l´on. Nhu vˆa.y, ta d¯˜athu. chiˆe.nmˆo.t “´anhxa.”t`utˆa.pho. pgˆo`m c´accon ngu`oi trˆen . . tr´aid¯ˆa´t v`aotˆa.pho. p c´acsˆo´ tu. nhiˆen. . . . . C´ac´anhxa. c`ond¯uo. c d`ungd¯ˆe’ d¯. i nh ngh˜ıac´accˆa´u tr´ucr`oira.cnhuc´acd˜ay . c´acxˆau. Anh´ xa. c˜ung d`ung d¯ˆe’ biˆe’udiˆe˜n th`oi gian mˆo.t m´ayt´ınhpha’imˆa´td¯ˆe’ . gia’imˆo.t b`aito´anc´oquy mˆod¯˜acho. C´ach`am(´anhxa.)d¯ˆe. quy, t´uc l`ac´ach`am . . . . d¯ u o. cd¯i.nh ngh˜ıaqua ch´ınhn´od¯uo. c d`ungxuyˆensuˆo´t trong tin ho.c. . . 2.1.1.2. D- .inh ngh˜ıa: Cho hai tˆa.pho. p A v`a B.Mˆo.t ´anhxa. f t`u A v`ao B l`a . . . . mˆo.tsu. gh´epd¯ˆoimˆo˜i phˆa`ntu’ a ∈ A v´oimˆo.t phˆa`ntu’ duy nhˆa´tcu’a B,k´yhiˆe.u . . . . . f(a). Phˆa`ntu’ f(a) ∈ B d¯ u o. cgo.i l`agi´atri. cu’a f ta.i a. A d¯ u o. cgo.i l`atˆa.p nguˆo`n . hay miˆe` n x´acd¯i.nh v`a B go.i l`atˆa.pd¯´ıch hay miˆe` n gi´atri Mˆo.t ´anhxa. f t`u A v`ao . . . . . . B c`ond¯uo. cgo.il`amˆo.t h`amt`u A v`ao B v`ad¯uo. ck´yhiˆe.ubo’ i f f : A −→ B hay A −→ B hay f : x ∈ A 7−→ f(x) ∈ B. . . Th´ıdu. :1)Go.i A l`atˆa.pho. p c´acb`aithi cu’a c´acsinh viˆentrong mˆo.tl´op n`ao d¯´o.Khi chˆa´m b`aithi theo thang d¯iˆe’m 10, thˆa`y gi´aochˆa´m thi d¯˜athiˆe´tlˆa.pmˆo.t . . ´anh xa. t`u A v`aotˆa.pho. p {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. . . . . 2) Cho A l`amˆo.ttˆa.pho. p. Mˆo.tsu. gh´epd¯ˆoimˆo˜i phˆa`ntu’ x ∈ A v´oich´ınh x . . . l`amˆo.t ´anhxa. t`u A d¯ ˆe´n A. Anh´ xa. n`ayd¯uo. cgo.i l`a´anhxa. d¯` ˆo ng nhˆa´tcu’a A v`a . . d¯ u o. ck´yhiˆe.ul`aidA ho˘a.c1A. √ √ 1 3) C´ach`amsˆo´ y = 1+x2,y= x, y = x´acd¯inh lˆa`nlu.o.t c´ac´anh x +1 . . xa. sau: + + + f : R −→ R ,g: R0 −→ R0 ,h: R \{−1}−→R, + + trong d¯´o R = {x ∈ R | x>0}, R0 = {x ∈ R | x ≥ 0}. 32
34. . 2.1.1.3. D- .inh ngh˜ıa: Cho ´anhxa. f : A −→ B.Tago.itˆa.pho. p G = {(x, f(x)) | x ∈ A}⊂A ì B l`ad¯ˆo` thi. cu’a ´anhxa. f. . Nhu vˆa.y, khi cho ´anhxa. f : A −→ B,tac´otˆa.p con G cu’a A ì B c´ot´ınh . . chˆa´t l`av´oimo.i x ∈ A,tˆo`nta.i duy nhˆa´tmˆo.tc˘a.p thuˆo.c G, c´oth`anhphˆa`nth´u nhˆa´tl`ax.D- a’ola.i, nˆe´u G ⊂ A ì B c´ot´ınhchˆa´t d¯´oth`ı G cho ta mˆo.t ´anhxa. . . f : A −→ B m`ad¯ˆo` thi. cu’a f l`a G.V`ıvˆa.y, ngu`oi ta c´othˆe’ d¯` ˆo ng nhˆa´t ´anhxa. . f : A −→ B v´oid¯ˆo` thi. G cu’a n´o. . . 2.1.1.4. D- .inh ngh˜ıa: Hai ´anhxa. f,g : A −→ B d¯ u o. cgo.i l`ab˘a`ng nhau, k´y . hiˆe.u f = g,nˆe´uv´oimo.i x ∈ A, ta c´o f(x)=g(x). 2.1.1.5. D- .inh ngh˜ıa: Cho ´anhxa. f : A −→ B v`a X ⊂ A.Tago.i ´anhxa. . g : X −→ B l`athu he.pcu’a f lˆen X,k´yhiˆe.ul`ag = f|X ,nˆe´uv´oimo.i x ∈ X, . f(x)=g(x).Khi d¯´o f go.il`amo’ rˆo.ng cu’a g lˆen A. Ch´u´yr˘a`ng, thu he.pcu’amˆo˜i ´anhxa. lˆenmˆo.ttˆa.p con cu’atˆa.p nguˆo`n l`aduy . . . . nhˆa´t, nhung mo’ rˆo.ng cu’amˆo˜i ´anhxa. lˆenmˆo.ttˆa.pho. pch´uatˆa.p nguˆo`n l`akhˆong duy nhˆa´t. Th´ıdu. :1)Hai ´anhxa. f : R −→ [−1, 1] : x 7−→ sin x v`a g :[0, 2π] −→ [−1, 1] : x 7−→ sin x l`ahai ´anhxa. kh´acnhau v`ı ch´ungc´oc´actˆa.p nguˆo`n kh´acnhau. Tuy nhiˆen, f|[0,2π] = g. 2) Cho A = {1, 2, 3, 4},X= {1, 2, 3},B= {a, b, c} v`a´anhxa. g : X −→ B : . 1 7−→ a, 2 7−→ b, 3 7−→ c. Khi d¯´oc´o3 mo’ rˆo.ng cu’a g lˆen A l`a f1,f2,f3 : A −→ B . cho bo’ i fi(1) = a, fi(2) = b, fi(3) = c (i =1, 2, 3),f1(4) = a, f2(4) = b, f3(4) = c. + . 3) Cho c´ac´anhxa. f : R −→ R0 ,g: R −→ Z,h: R −→ R x´acd¯i.nh bo’ i: f(x)=|x|,g(x)=[x] (phˆa`n nguyˆencu’a x),h(x)=x − [x] (phˆa`nle’ cu’a x). Khi d¯´o f| + = id + ,g|Z = idZ,h|Z = 0 (´anhxa c´omoi gi´atri d¯` ˆe ub˘a`ng 0 goil`a R0 R0 . . . . ´anh xa. 0). ’ 2.1.2. Anh v`ata.oa’nh: 2.1.2.1. D- .inh ngh˜ıa: Cho ´anhxa. f : A −→ B, x ∈ A, X ⊂ A, S ⊂ B. Khi d¯´ota go.i: – f(x)l`aa’nh cu’a x bo’.i f, – f(X)={f(x) ∈ B | x ∈ X} l`aa’nh cu’a X bo’.i f, −1 . – f (S)={x ∈ A | f(x) ∈ S} l`ata.oa’nh cu’a S bo’ i f. . −1 . D- ˘a.cbiˆe.t, v´oi y ∈ B, f ({y})={x ∈ A | f(x)=y} v`aviˆe´td¯on gia’nl`a − f 1(y). Khi X = A, ta go.i f(A)l`aa’nh cu’a f v`ak´yhiˆe.ul`aImf. R˜or`angkhi . X = ∅ ta c´o f(∅)=∅.T`u d¯. i nh ngh˜ıata c´o: X ⊂ X0 ⊂ A ⇒ f(X) ⊂ f(X0) ⊂ f(A),S⊂ S0 ⊂ B ⇒ f −1(S) ⊂ f −1(S0) ⊂ A. 33
35. Th´ıdu. :1)Cho A = {a, b, c, d, e},B= {1, 2, 3, 4},X= {a, b, d},Y= {3, 4} v`a . f : A −→ B x´acd¯i.nh bo’ i f(a)=1,f(b)=4,f(c)=2,f(d)=1,f(e) = 4. Khi d¯´ota c´o: f(X)={1, 4}, Imf = {1, 2, 4},f−1(Y )={b, e},f−1(3) = ∅,f−1(1) = {a, d}. . 2) Cho ´anhxa. f : R −→ R x´acd¯i.nh bo’ i f(x)=cosx. Khi d¯´ota c´o: √ 3 π f −1(2) = ∅,f−1( )={± +2kπ | k ∈ Z}, Imf =[−1, 1]. 2 6 2.1.2.2. Mˆe.nh d¯ˆe` : Cho ´anhxa. f : A −→ B, X v`a Y l`ac´actˆa.p con cu’a A, S v`a T l`ac´actˆa.p con cu’a B. Khi d¯´ota c´o: 1) X ⊂ f −1(f(X)). 2) f(f −1(S)) ⊂ S. 3) f(X ∪ Y )=f(X) ∪ f(Y ). 4) f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ). 5) f −1(S ∪ T)=f −1(S) ∪ f −1(T). 6) f −1(S ∩ T)=f −1(S) ∩ f −1(T). 7) f(A \ X) ⊃ f(A) \ f(X). 8) f −1(B \ S)=A \ f −1(S). Ch´u.ng minh: 1) x ∈ X ⇒ f(x) ∈ f(X) ⇒ x ∈ f −1(f(X)). Do d¯´o X ⊂ f −1(f(X)). 2) y ∈ f(f −1(S)) ⇒∃x ∈ f −1(S),f(x)=y ⇒ y = f(x) ∈ S. Do d¯´o f(f −1(S)) ⊂ S. 3) X, Y ⊂ X ∪ Y ⇒ f(X),f(Y ) ⊂ f(X ∪ Y ) ⇒ f(X) ∪ f(Y ) ⊂ f(X ∪ Y ). y ∈ f(X ∪ Y ) ⇒∃x ∈ X ∪ Y,y = f(x) ⇒ (y = f(x),x∈ X) ∨ (y = f(x),x∈ Y ) ⇒ y ∈ f(X) ∪ f(Y ). Do d¯´o f(X ∪ Y ) ⊂ f(X) ∪ f(Y ). 4) y ∈ f(X ∩ Y ) ⇒∃x ∈ X ∩ Y,y = f(x) ⇒ (y = f(x),x ∈ X) ∧ (y = f(x),x∈ Y ) ⇒ y ∈ f(X) ∩ f(Y ). Do d¯´o f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ). 5) x ∈ f −1(S ∪ T) ⇔ f(x) ∈ S ∪ T ⇔ (f(x) ∈ S) ∨ (f(x) ∈ T) ⇔ (x ∈ f −1(S)) ∨ (x ∈ f −1(T)) ⇔ x ∈ f −1(S) ∪ f −1(T). Do d¯´o f −1(S ∪ T)= f −1(S) ∪ f −1(T). 6) x ∈ f −1(S ∩ T) ⇔ f(x) ∈ S ∩ T ⇔ (f(x) ∈ S) ∧ (f(x) ∈ T) ⇔ (x ∈ f −1(S)) ∧ (x ∈ f −1(T)) ⇔ x ∈ f −1(S) ∩ f −1(T). Do d¯´o f −1(S ∩ T)= f −1(S) ∩ f −1(T). 7) y ∈ f(A) \ f(X) ⇒ (y ∈ f(A)) ∧ (y/∈ f(X)) ⇒ (∃x ∈ A, y = f(x)) ∧ x/∈ X ⇒ x ∈ A \ X, y = f(x) ⇒ y ∈ f(A \ X). Do d¯´o f(A) \ f(X) ⊂ f(A \ X). 8) x ∈ f −1(B \ S) ⇔ f(x) ∈ B \ S ⇔ (f(x) ∈ B) ∧ (f(x) ∈/ S) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x/∈ f −1(S)) ⇔ x ∈ A \ f −1(S). Do d¯´o f −1(B \ S)=A \ f −1(S). . . Trong 1), 2), 4), 7), c´acbao h`amnguo. cla.i n´oichung khˆongd¯´ung. 34
36. Thˆa.tvˆa.y, cho.n A = {1, 2, 3, 4},B= {1, 2, 3},X= {1, 2},Y= {3, 4},S= . {1, 3} v`a f : A −→ B l`a´anhxa. x´acd¯i.nh bo’ i f(1) = 1,f(2) = 2,f(3) = 1,f(4) = 1 th`ı ta c´o: X ⊂ f −1(f(X)),f(f −1(S)) ⊂ S, =6 =6 f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ),f(A \ X) ⊃ f(A) \ f(X). =6 =6 2.1.3. D- o.n ´anh,to`an´anh,song ´anh: ´ . . . . 2.1.3.1. D- .inh ngh˜ıa: Anh xa. f : A −→ B d¯ u o. cgo.i l`amˆo.td¯on ´anhnˆe´uv´oi mo.i x1,x2 ∈ A, x1 =6 x2 k´eotheo f(x1) =6 f(x2) (hay f(x1)=f(x2) k´eotheo . . . x1 = x2). Ngu`oi ta c`ongo.imˆo.td¯on ´anhl`amˆo.t ´anhxa. mˆo.td¯ˆo´imˆo.t. ´ . . 2.1.3.2. D- .inh ngh˜ıa: Anh xa. f : A −→ B d¯ u o. cgo.il`amˆo.t to`an´anhnˆe´u . . . . f(A)=B,t´ucl`av´oimo.i y ∈ B,tˆo`nta.i x ∈ A sao cho f(x)=y. Ngu`oi ta c`on . go.i to`an´anh f : A −→ B l`amˆo.t ´anhxa. t`u A lˆen B. ´ . . 2.1.3.3. D- .inh ngh˜ıa: Anh xa. f : A −→ B d¯ u o. cgo.i l`amˆo.t song ´anhhay mˆo.t . . . . . ´anh xa. mˆo.td¯ˆo´imˆo.tt`u A lˆen B nˆe´un´ov`ua l`ad¯on ´anhv`ua l`ato`an´anh,t´ucl`a . v´oimo.i y ∈ B,tˆo`nta.i duy nhˆa´t x ∈ A sao cho f(x)=y. . ´ Th´ıdu. :1)Cho A l`amˆo.ttˆa.pho. pv`aB ⊂ A. Anh xa. d¯` ˆo ng nhˆa´t idA l`amˆo.t . song ´anhv`a“ph´epbao h`am” B −→ A : x 7−→ x l`amˆo.td¯on ´anh. 2) Anh´ xa. n ∈ Z 7−→ −n ∈ Z l`amˆo.t song ´anh,´anhxa. n ∈ Z 7−→ 2n ∈ Z l`a . . 2 mˆo.td¯on ´anhnhung khˆongpha’i l`ato`an´anhv`a´anhxa. n ∈ Z 7−→ n ∈ Z khˆong pha’il`ad¯o.n ´anhv`ac˜ungkhˆongpha’i l`ato`an´anh. 3 . 3) Anh´ xa. f : R −→ R : x 7−→ x l`amˆo.t song ´anhnhung ´anhxa. g : Q −→ 3 . R : x 7−→ x l`amˆo.td¯on ´anhv`akhˆongpha’il`amˆo.t to`an´anh. . 4) Anh´ xa. x ∈ R 7−→ sin x ∈ R khˆongl`ad¯on ´anhv`ac˜ung khˆongl`ato`an . ´anh nhung ´anhxa. x ∈ R 7−→ sin x ∈ [−1, 1] l`amˆo.t to`an´anhv`akhˆongpha’il`a . mˆo.td¯on ´anh. . 2.1.4. Ho. p th`anhcu’a c´ac´anhxa.: 2.1.4.1. D- .inh ngh˜ıa: Cho hai ´anhxa. f : A −→ B v`a g : B −→ C. Khi d¯´ota . . . . c´o´anhxa. h : A −→ C cho bo’ i h(x)=g(f(x)) v`a h d¯ u o. cgo.il`aho. p th`anhhay t´ıch cu’a ´anhxa. f v`a´anhxa. g,k´yhiˆe.u g ◦ f hay gf. Th´ıdu. :1)Cho ´anhxa. f : A −→ B. Khi d¯´o f ◦ idA = f v`a idB ◦ f = f. . 2) Cho hai ´anhxa. f,g : R −→ R cho bo’ i f(x)=3x +2,g(x) = cos x. Khi d¯´o g ◦ f(x)=g(f(x)) = g(3x + 2) = cos(3x + 2) v`a f ◦ g(x)=f(g(x)) = f(cos x) = 3 cos x + 2. R˜or`ang f ◦ g =6 g ◦ f. 1 3) Cho hai ´anhxa f : R \{0}−→R v`a g : R −→ R+ cho bo’.i f(x)= v`a . x x2 +1 g(x)=x2 + 1. Khi d¯´ota c´o g ◦ f : R \{0}−→R+ : x 7−→ g(f(x)) = . x2 35
37. 2.1.4.2. Mˆe.nh d¯ˆe` : Cho ba ´anhxa. f : A −→ B, g : B −→ C, h : C −→ D. Khi d¯´ota c´o(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f). . . Ch´ung minh: V´oimo.i x ∈ A,tac´o ((h ◦ g) ◦ f)(x)=h ◦ g(f(x)) = h(g(f(x))) = h(g ◦ f(x)) = (h ◦ (g ◦ f))(x). Do d¯´o(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f). . . . T`u d¯´ota n´oiph´epho. p th`anh´anhxa. c´ot´ınh kˆe´tho. p. 2.1.4.3. Mˆe.nh d¯ˆe` . Cho hai ´anhxa. f : A −→ B v`a g : B −→ C. Khi d¯´o: 1) Nˆe´u f v`a g l`ac´acd¯o.n ´anhth`ı g ◦ f l`ad¯o.n ´anh. 2) Nˆe´u f v`a g l`ac´acto`an´anhth`ı g ◦ f l`ato`an´anh. 3) Nˆe´u f v`a g l`ac´acsong ´anhth`ı g ◦ f l`asong ´anh. Ch´u.ng minh: 1) ∀x, x0 ∈ A, g ◦ f(x)=g ◦ f(x0) ⇒ g(f(x)) = g(f(x0)) ⇒ 0 . 0 . . f(x)=f(x ) (do g l`ad¯on ´anh) ⇒ x = x (do f l`ad¯on ´anh).Vˆa.y g ◦ f l`ad¯on ´anh. 2) g ◦ f(A)={g ◦ f(x) | x ∈ A} = {g(f(x)) | f(x) ∈ f(A)} = = {g(f(x)) | f(x) ∈ B} (do f l`ato`an´anh)= g(B)=C (do g l`ato`an´anh). Vˆa.y g ◦ f l`ato`an´anh. 3) Suy t`u. 1) v`a 2). 2.1.4.4. D- .inh ngh˜ıa: Cho f : A −→ B v`a g : B −→ A l`ahai ´anhxa. sao cho . . g ◦ f = idA v`a f ◦ g = idB. Khi d¯´ota n´oi g l`a´anhxa. nguo. ccu’a f. . Th´ıdu. :1)Cho hai ´anhxa. f,g : R −→ R x´acd¯i.nh bo’ i f(x)=2x +5v`a x − 5 g(x)= .V´o.imoi x ∈ R ta c´o: 2 . (2x +5)− 5 g ◦ f(x)=g(f(x)) = g(2x +5)= = x = id (x). 2 R x − 5 x − 5 f ◦ g(x)=f(g(x)) = f( )=2( )+5=x = id (x). 2 2 R . . . . Vˆa.y g l`a´anhxa. nguo. ccu’a f v`a f c˜ung l`a´anhxa. nguo. ccu’a g. + + . x 2) Cho hai ´anhxa. f : R −→ R v`a g : R −→ R x´acd¯i.nh bo’ i f(x)=a . . v`a g(x) = logax,o’ d¯ˆay a ∈ R,a>0,a=6 1. V´oimo.i x ∈ R ta c´o: x x g ◦ f(x)=g(f(x)) = g(a )=loga(a )=x = idR(x). logax f ◦ g(x)=f(g(x)) = f(logax)=a = x = idR+ . . . . . Vˆa.y g l`a´anhxa. nguo. ccu’a f v`a f c˜ung l`a´anhxa. nguo. ccu’a g. ´ . . 2.1.4.5. Mˆe.nh d¯ˆe` : Anh xa. f : A −→ B c´o´anhxa. nguo. c khi v`achı’ khi f l`a mˆo.t song ´anh. . . . . . Ch´ung minh: Gia’ su’ f c´o´anhxa. nguo. cl`ag : B −→ A.T`u d¯. i nh ngh˜ıata c´o . 0 g ◦ f = idA v`a f ◦ g = idB. Khi d¯´ov´oimo.i x, x ∈ A, f(x)=f(x0) ⇒ g(f(x)) = g(f(x0)) ⇒ x = x0. 36
38. . . Vˆa.y f l`amˆo.td¯on ´anh.Ngo`aira, v´oimo.i y ∈ B,tˆo`nta.i x = g(y) ∈ A sao cho f(x)=f(g(y)) = y.Vˆa.y f l`amˆo.t to`an´anh.Do d¯´o f l`amˆo.t song ´anh. . . . . . D- a’ola.i, gia’ su’ f l`amˆo.t song ´anh.Quy t˘a´cchotuong ´ung mˆo˜i y ∈ B v´oi . −1 . . phˆa`ntu’ duy nhˆa´tcu’a f (y) x´acd¯i.nh ´anhxa. g : B −→ A v`adˆe˜ d`angc´od¯uo. c . . g ◦ f = idA v`a f ◦ g = idB. Do d¯´o g l`a´anhxa. nguo. ccu’a f. 0 . . 0 2.1.4.6. Mˆe.nh d¯ˆe` : Nˆe´u g, g : B −→ A l`ahai ´anhxa. nguo. ccu’a f th`ı g = g . . 0 Ch´ung minh: Do g ◦ f = idA v`a f ◦ g = idB nˆenta c´o 0 0 0 0 g = g ◦ idB = g ◦ (f ◦ g )=(g ◦ f) ◦ g = idA ◦ g = g . ´ . . . . . . −1 K´yhiˆe.u: Anh xa. nguo. c duy nhˆa´tcu’a ´anhxa. f thu`ong d¯uo. ck´yhiˆe.ul`af . Dˆe˜ d`angthˆa´yr˘a`ng: (f −1)−1 = f, (g ◦ f)−1 = f −1 ◦ g−1. . 2.1.4.7. Mˆe.nh d¯ˆe` : Cho A, B l`ahai tˆa.ph˜uuha.n c´oc`ungba’nsˆo´ v`a´anhxa. f : A −→ B. Khi d¯´oc´acd¯iˆe` u sau tu.o.ng d¯u.o.ng. . 1) f l`amˆo.td¯on ´anh. 2) f l`amˆo.t to`an´anh. 3) f l`amˆo.t song ´anh. Ch´u.ng minh: 1) ⇒ 2) v`ı |A| = |B| (gia’ thiˆe´t) v`a |A| = |f(A)| (do f l`ad¯o.n ´anh), nˆen |f(A)| = |B|. Do d¯´o f(A)=B hay f l`amˆo.t to`an´anh. 2) ⇒ 3) V`ı f l`ato`an´anhnˆennˆe´u f khˆongl`asong ´anhth`ı f khˆongl`ad¯o.n . ´anh. Khi d¯´otˆo`nta.i hai phˆa`ntu’ cu’a A c´ochung a’nh. V`ıvˆa.y, |B| = |f(A)| < |A|. D- iˆe` u n`aymˆauthuˆa’nv´o.i gia’ thiˆe´t. 3) ⇒ 1) Hiˆe’n nhiˆen. . . . 2.1.5. Ho. nh˜ung phˆa` ntu’ cu’amˆo.ttˆa.pho. p: . 2.1.5.1. D- .inh ngh˜ıa: Cho I l`amˆo.ttˆa.pho. p t`uy´ykh´acrˆo˜ng v`amˆo.t ´anhxa. . . . f : I −→ A. Khi d¯´o,v´oimˆo˜i α ∈ I ta k´yhiˆe.u f(α)bo’ i xα v`an´oic´acphˆa`ntu’ xα . . . . . . . v´oi α ∈ I th`anhlˆa.pmˆo.tho. nh˜ung phˆa`ntu’ cu’a A d¯ u o. c d¯´anhsˆo´ bo’ itˆa.pho. p I, . . . k´yhiˆe.u(xα)α∈I , c`ontˆa.pho. p I go.il`atˆa.pchı’ sˆo´.Nˆe´u c´ac xα l`anh˜ung tˆa.pho. p . . . . th`ıta go.i(xα)α∈I l`amˆo.tho. tˆa.pho. p d¯´anhsˆo´ bo’ itˆa.pho. p I.Nˆe´u c´acphˆa`ntu’ . . . cu’a A l`anh˜ung tˆa.p con cu’amˆo.ttˆa.pho. p U th`ıta go.i(xα)α∈I l`amˆo.tho. nh˜ung . tˆa.p con cu’atˆa.pho. p U. . Th´ıdu. :1)Cho ´anhxa. f : N −→ R : n 7−→ an = f(n). Khi d¯´ota c´oho. sˆo´ thu. c . . . . . . . (an)n∈N d¯ u o. c d¯´anhsˆo´ bo’ itˆa.pho. p N c´acsˆo´ tu. nhiˆenv`ata thu`ong go.i l`ad˜aysˆo´ . thu. c(an)n∈N. 2) Cho ´anhxa. g : N −→ P (N):n 7−→ Jn = {0, 1, ,n}. Khi d¯´ota c´od˜ay . . nh˜ung tˆa.p con cu’atˆa.pho. p N: J0 ⊂ J1 ⊂ããã⊂Jn ⊂ããã . - . 2.1.5.2. D.inh ngh˜ıa: Cho (Aα)α∈I l`amˆo.tho. tˆa.pho. p. Ta go.i 37
39. . . . –Ho. pcu’aho. (Aα)α∈I l`amˆo.ttˆa.pho. p, k´yhiˆe.u ∪ Aα, x´acd¯i.nh bo’ i α∈I ∪ Aα = { x |∃α ∈ I, x ∈ Aα }. α∈I . . – Giao cu’aho. (Aα)α∈I l`amˆo.ttˆa.pho. p, k´yhiˆe.u ∩ Aα, x´acd¯i.nh bo’ i α∈I ∩ Aα = { x |∀α ∈ I, x ∈ Aα }. α∈I . – T´ıch Descartes cu’aho. (Aα)α∈I l`amˆo.ttˆa.pho. p, k´yhiˆe.u Q Aα, x´acd¯i.nh α∈I bo’.i YAα = { (xα)α∈I |∀α ∈ I, xα ∈ Aα }. α∈I . . Nˆe´uv´oimo.i α ∈ I, Aα = A th`ı Q Aα go.i l`al˜uyth`ua Descartes bˆa.c I cu’a A v`a α∈I k´yhiˆe.ul`aAI . . Th´ıdu. :1)X´etho. tˆa.p con (Jn)n∈N cu’atˆa.pho. p N, trong d¯´o Jn = {0, 1, ,n}. Khi d¯´o ∪ Jn = N v`a ∩ Jn = {0}. n∈N n∈N . N . . 2) L˜uy th`ua Descartes R l`atˆa.pho. p c´acd˜aysˆo´ thu. c. ’ ´ ˆ’ . 2.2. GIAITICH TO HO. P. 2.2.1. Nh˜u.ng nguyˆenl´yd¯ˆe´mco. ba’n: . . 2.2.1.1. Quy t˘a´ccˆo.ng: Gia’ su’ c´ohai cˆongviˆe.c. Viˆe.cth´u nhˆa´t c´othˆe’ l`am . b˘a`ng n1 c´ach, viˆe.cth´u hai c´othˆe’ l`amb˘a`ng n2 c´ach v`anˆe´u hai viˆe.c n`aykhˆong . thˆe’ l`amd¯ˆo`ng th`oith`ıs˜ec´on1 + n2 c´ach l`ammˆo.t trong hai viˆe.c d¯´o. . . . . . Quy t˘a´ccˆo.ng c´othˆe’ mo’ rˆo.ng cho tru`ong ho. p c´onhiˆe` uhon hai cˆongviˆe.c. . . . . Gia’ su’ c´acviˆe.c T1,T2, ,Tm c´othˆe’ l`amtuong ´ung b˘a`ng n1,n2, ,nm c´ach . v`akhˆongc´ohai viˆe.c n`aoc´othˆe’ l`amd¯ˆo`ng th`oi. Khi d¯´osˆo´ c´ach l`ammˆo.t trong m viˆe.c d¯´ol`a n1 + n2 + ããã+ nm. . . . . . Nguyˆenl´ycˆo.ng c´othˆe’ ph´atbiˆe’udu´oida.ng ngˆonng˜u tˆa.pho. pnhusau: Nˆe´u . . . . A1,A2, ,An l`ac´actˆa.ph˜uuha.n d¯ˆoimˆo.tr`oi nhau, khi d¯´osˆo´ phˆa`ntu’ cu’aho. p . c´actˆa.pho. p n`ayl`a |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = |A1| + |A2| + ããã+ |An|. . . Th´ıdu. : Mˆo.t sinh viˆenc´othˆe’ cho.n b`aithu. c h`anhm´ayt´ınht`u mˆo.t trong ba . . . . danh s´ach tuong ´ung c´o24, 16 v`a20 b`ai.C´obao nhiˆeuc´ach cho.n b`aithu. c h`anh? . . . . C´o24 c´ach cho.n b`aithu. c h`anht`u danh s´ach th´u nhˆa´t, 16 c´ach t`u danh s´ach . . . th´u hai v`a20 c´ach t`u danh s´ach th´u ba. V`ıvˆa.y c´o24 + 16 + 20 = 60 c´ach cho.n . b`aithu. c h`anh. 38
40. . . . 2.2.1.2. Quy t˘a´c nhˆan: Gia’ su’ mˆo.t nhiˆe.mvu. n`aod¯´od¯uo. c t´ach l`amhai viˆe.c. . . Viˆe.cth´unhˆa´tc´othˆe’ l`amb˘a`ng n1 c´ach, viˆe.cth´uhai c´othˆe’ l`amb˘a`ng n2 c´ach . . . . sau khi viˆe.cth´u nhˆa´td¯˜ad¯uo. c l`am,khi d¯´os˜ec´o n1.n2 c´ach thu. chiˆe.n nhiˆe.mvu. n`ay. . . . . . . . Ngu`oitathu`ong su’ du. ng quy t˘a´c nhˆanmo’ rˆo.ng. Gia’ su’ mˆo.t nhiˆe.mvu. n`ao . . . d¯ ´o d¯ u o. c thi h`anhb˘a`ng c´ach thu. chiˆe.n c´acviˆe.c T1,T2, ,Tm v`anˆe´uviˆe.c Ti c´o . . thˆe’ l`amb˘a`ng ni c´ach sau khi c´acviˆe.c T1,T2, ,Ti−1 d¯ ˜a d¯ u o. c l`am.Khi d¯´oc´o n1.n2 .nm c´ach thi h`anhnhiˆe.mvu. d¯˜acho. . . . . . Nguyˆenl´y nhˆanc´othˆe’ ph´atbiˆe’udu´oida.ng ngˆonng˜u tˆa.pho. pnhusau: . . Nˆe´u A1,A2, ,An l`ac´actˆa.ph˜uuha.n, khi d¯´osˆo´ phˆa`ntu’ cu’a t´ıch Descartes A1 ì A2 ìãããìAn l`a |A1 ì A2 ìãããìAn| = |A1|.|A2| |An|. . . . Th´ıdu. :1)Ngu`oi ta c´othˆe’ ghi nh˜ancho nh˜ung chiˆe´cghˆe´ trong mˆo.t gia’ng . . . . d¯ u `ong b˘a`ng mˆo.tch˜u c´ai(trong ba’ng ch˜u c´aitiˆe´ng Anh) v`amˆo.tsˆo´ nguyˆen . . . . . duong khˆongvuo. t qu´a100. B˘a`ng c´ach nhu vˆa.y, nhiˆe` u nhˆa´t c´obao nhiˆeuchiˆe´c . . ghˆe´ c´othˆe’ d¯ u o. c ghi nh˜ankh´acnhau. . Thu’ tu. c ghi nh˜ancho mˆo.t chiˆe´cghˆe´ gˆo`m hai viˆe.c, g´anmˆo.t trong 26 ch˜u . . c´aiv`asau d¯´og´anmˆo.t trong 100 sˆo´ nguyˆenduong. Quy t˘a´c nhˆanchı’ r˘a`ng c´o . 26.100 = 2600 c´ach kh´acnhau d¯ˆe’ g´annh˜ancho mˆo.t chiˆe´cghˆe´.Nhuvˆa.y nhiˆe` u nhˆa´ttac´othˆe’ g´annh˜ancho 2600 chiˆe´cghˆe´. 2) C´obao nhiˆeuxˆaunhi. phˆand¯ˆo. d`ai n? Mˆo˜imˆo.t trong n bit cu’a xˆaunhi. phˆanc´othˆe’ cho.nb˘a`ng hai c´ach v`ımˆo˜i bit . n ho˘a.cb˘a`ng 0 ho˘a.cb˘a`ng 1. Bo’ ivˆa.y, theo quy t˘a´c nhˆancho thˆa´y c´otˆo’ng cˆo.ng 2 xˆaunhi. phˆankh´acnhau d¯ˆo. d`ai n. . . . . . Cho X l`amˆo.ttˆa.pho. pc´on phˆa`ntu’ . Khi d¯´oc´actˆa.p con cu’a X tuong ´ung . . 1-1 v´oi c´acxˆaunhi. phˆand¯ˆo. d`ai n (xem 1.2.3.5). V`ıvˆa.ytˆa.pl˜uy th`ua P(X)c´o ba’nsˆo´ l`a2n. . . . . . 3) C´othˆe’ ta.od¯uo. c bao nhiˆeu´anhxa. t`u mˆo.ttˆa.pho. p A c´o m phˆa`ntu’ v`ao . . mˆo.ttˆa.pho. p B c´o n phˆa`ntu’ . Theo d¯i.nh ngh˜ıa,mˆo.t ´anhxa. x´acd¯i.nh trˆen A c´ogi´atri. trˆen B l`amˆo.t ph´ep . . . . . . tuong ´ung mˆo˜i phˆa`ntu’ cu’a A v´oimˆo.t phˆa`ntu’ n`aod¯´ocu’a B. R˜or`angsau khi . . . . . d¯˜acho.nd¯uo. ca’nh cu’a i − 1 phˆa`ntu’ d¯` ˆa u , d¯ ˆe ’ cho.na’nh cu’a phˆa`ntu’ th´u i cu’a A ta c´o n c´ach. V`ıvˆa.y theo quy t˘a´c nhˆan,ta c´o n.n. . . . n = nm ´anh xa. x´acd¯i.nh trˆen A nhˆa.n gi´atri. trˆen B. . . . 4) C´obao nhiˆeud¯on ´anhx´acd¯i.nh trˆentˆa.pho. p A c´o m phˆa`ntu’ v`anhˆa.n . . gi´atri. trˆentˆa.pho. p B c´o n phˆa`ntu’ . . . Nˆe´u m>nth`ıv´oimo.i ´anhxa., ´ıtnhˆa´t c´ohai phˆa`ntu’ cu’a A c´oc`ung mˆo.t a’nh, d¯iˆe` u d¯´oc´ongh˜ıal`akhˆongc´od¯o.n ´anht`u. A d¯ ˆe´n B. Bˆaygi`o. gia’ su’. m ≤ n . v`ago.i c´acphˆa`ntu’ cu’a A l`a a1,a2, ,am. R˜or`angc´o n c´ach cho.na’nh cho phˆa`n . . . tu’ a1.V`ı ´anhxa. l`ad¯on ´anhnˆena’nh cu’a phˆa`ntu’ a2 pha’i kh´aca’nh cu’a a1 nˆen 39
41. . chı’ c´o n − 1 c´ach cho.na’nh cho phˆa`ntu’ a2. N´oichung, d¯ˆe’ cho.na’nh cu’a ak,ta c´o n − k + 1 c´ach. Theo quy t˘a´c nhˆan,ta c´o n! n(n − 1) (n − m +1)= (n − m)! . . . . d¯ o n ´anht`u tˆa.pho. p A d¯ ˆe´ntˆa.pho. p B. . 2.2.2. Chı’nh ho. p v`aho´anvi.: . . . 2.2.2.1. D- .inh ngh˜ıa: Cho tˆa.pho. p X c´o n phˆa`ntu’ .Mˆo˜i c´ach s˘a´pxˆe´p c´oth´u . . . . . . tu. k phˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p X d¯ u o. cgo.i l`amˆo.tchı’nh ho. p (khˆongl˘a.p) chˆa.p k cu’a n phˆa`ntu’. cu’a X. . . k K´yhiˆe.usˆo´ chı’nh ho. pchˆa.p k cu’a n phˆa`ntu’ l`a An. Khi d¯´ota c´o n! Ak = n(n − 1)(n − 2) (n − k +1)= . n (n − k)! . . . Thˆa.tvˆa.y, phˆa`ntu’ d¯` ˆa u tiˆencu’achı’nh ho. p c´othˆe’ cho.nb˘a`ng n c´ach, v`ıtˆa.pho. p . . . . . . . . X c´o n phˆa`ntu’ , phˆa`ntu’ th´u hai cu’achı’nh ho. pd¯uo. ccho.nt`un − 1 phˆa`ntu’ c`on . . . . . . la.icu’atˆa.pho. p X,t´uc l`ata c´o n − 1 c´ach cho.n phˆa`ntu’ n`ay. Tuong tu. ta c´o . . . . n − 2 c´ach cho.n phˆa`ntu’ th´u ba v`ac´u nhu thˆe´ ta c´o n − k + 1 c´ach cho.n phˆa`n . . . . . tu’ th´u k. Theo quy t˘a´c nhˆanta d¯uo. c n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) chı’nh ho. p . chˆa.p k cu’a n phˆa`ntu’ . . . . . . Nhu vˆa.y, sˆo´ chı’nh ho. pchˆa.p k cu’a n phˆa`ntu’ ch´ınhl`asˆo´ d¯ o n ´anht`u tˆa.p . . . . ho. p k phˆa`ntu’ v`aotˆa.pho. p n phˆa`ntu’ . . . Th´ıdu. :1)C´obao nhiˆeusˆo´ tu. nhiˆenc´o4 ch˜u sˆo´ kh´acnhau m`akhˆongxuˆa´t . hiˆe.nch˜u sˆo´ 0? . . . Mˆo˜isˆo´ cˆa`n t`ım l`amˆo.tchı’nh ho. pchˆa.p4cu’a 9 phˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p . . . {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.Vˆa.ysˆo´ c´acsˆo´ tu. nhiˆenc´o4 ch˜u sˆo´ kh´acnhau lˆa´yt`u 9! 9ch˜u. sˆo´ d¯˜acho b˘a`ng A4 = = 3024. 9 5! . . . . . 2) Gia’ su’ c´ot´amvˆa.nd¯ˆo.ng viˆencha.y thi. Ngu`oi th˘a´ng s˜enhˆa.nd¯uo. chuy . . . . . . . . . . chuong v`ang,ngu`oivˆe` d¯ ´ıch th´u hai nhˆa.nhuychuong ba.c, ngu`oivˆe` d¯ ´ıch th´u . . . . ba nhˆa.nhuychuong d¯ˆo`ng. C´obao nhiˆeuc´ach trao c´achuy chuong n`ay, nˆe´utˆa´t ca’ c´ackˆe´tcu. ccu’a cuˆo.c thi d¯ˆe` u c´othˆe’ xa’y ra? . . . . Sˆo´ c´ach trao huy chuong ch´ınh l`asˆo´ chı’nh ho. pchˆa.p3cu’atˆa.pho. p 8 phˆa`n . 3 . . tu’ .V`ıvˆa.yc´oA8 =6.7.8 = 336 c´ach trao huy chuong. . . . 2.2.2.2. D- .inh ngh˜ıa: Cho tˆa.pho. p X c´o n phˆa`ntu’ .Mˆo˜i c´ach s˘a´pxˆe´p c´oth´u . . . . . tu. n phˆa`ntu’ cu’a X d¯ u o. cgo.i l`amˆo.t ho´anvi. cu’a n phˆa`ntu’ cu’a X. Theo d¯i.nh . . ngh˜ıatrˆen,mˆo˜i ho´anvi. cu’a X l`amˆo.tchı’nh ho. pchˆa.p n cu’a n phˆa`ntu’ . Ngo`ai . ra, mˆo˜i ho´anvi. cu’a X ch´ınhl`amˆo.t song ´anht`u X lˆen X. K´yhiˆe.usˆo´ c´acho´anvi. cu’a X l`a Pn v`ata c´o Pn = n!. 40
42. Th´ıdu. :1)C´obao nhiˆeuc´ach s˘a´pxˆe´pchˆo˜ ngˆo`icho5emho.c sinh trˆenmˆo.tghˆe´ d`ai? . Mˆo˜i c´ach s˘a´pxˆe´pchˆo˜ ngˆo`icho5emho.c sinh l`amˆo.t ho´anvi. cu’a 5 phˆa`ntu’ . Vˆa.ysˆo´ c´ach s˘a´pxˆe´pchˆo˜ ngˆo`i l`a5! = 120. . 2) Gia’ su’ r˘a`ng c´omˆo.t du kh´ach d¯i.nh d¯idu li.ch ta.i 8 th`anhphˆo´. Anh ta . b˘a´td¯ˆa`u cuˆo.c h`anhtr`ınhcu’a m`ınhta.imˆo.t th`anhphˆo´ n`aod¯´o,nhung c´othˆe’ d¯ ˆe´n . . 7 th`anhphˆo´ kia theo bˆa´tk`yth´utu. n`aom`aanh ta muˆo´n. Ho’i anh ta c´othˆe’ d¯ i qua tˆa´tca’ c´acth`anhphˆo´ n`aytheo bao nhiˆeulˆo. tr`ınhkh´acnhau? . . Sˆo´ lˆo. tr`ınhc´othˆe’ gi˜ua c´acth`anhphˆo´ b˘a`ng sˆo´ ho´anvi. cu’a 7 phˆa`ntu’ ,v`ı . . . . th`anhphˆo´ d¯` ˆa u tiˆend¯˜ad¯uo. c x´acd¯i.nh, nhung 7 th`anhphˆo´ c`onla.i c´othˆe’ c´oth´u . . . tu. tu`y´y.Do d¯´oc´o7! = 5040 c´ach d¯ˆe’ ngu`oi b´anh`angcho.n h`anhtr`ınhcu’am`ınh. . 2.2.3. Tˆo’ ho. p: . . 2.2.3.1. D- .inh ngh˜ıa: Mˆo.ttˆo’ ho. pchˆa.p k cu’amˆo.ttˆa.pho. pl`amˆo.t c´ach cho.n . . . . . . khˆongc´oth´u tu. k phˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p d¯˜acho. Nhu vˆa.y, mˆo˜itˆo’ ho. pchˆa.p k . . ch´ınhl`amˆo.ttˆa.p con k phˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p ban d¯ˆa`u. . . . Tac´othˆe’ x´acd¯i.nh sˆo´ tˆo’ ho. pchˆa.p k cu’atˆa.pho. p n phˆa`ntu’ .D- ˆe ’ l`amd¯iˆe` u . . . . d¯´o,ch´u´yr˘a`ng c´acchı’nh ho. pchˆa.p k cu’amˆo.ttˆa.pho. pc´othˆe’ nhˆa.nd¯uo. cb˘a`ng . . . . . . c´ach tru´ochˆe´tlˆa.p c´actˆo’ ho. pchˆa.p k,rˆo`is˘a´pth´utu. cho c´acphˆa`ntu’ thuˆo.c c´ac ’ . k ’ . . . . tˆo ho. p d¯´o.Do d¯´onˆe´ugo.i Cn l`asˆo´ c´actˆo ho. pchˆa.p k t`u tˆa.pho. p n phˆa`ntu’ th`ı k k ta c´o An = Cn.k!hay n! (1) Ck = . n k!(n − k)! k . . Sˆo´ Cn ch´ınhl`asˆo´ c´actˆa.p con k phˆa`ntu’ cu’atˆa.p n phˆa`ntu’ v`al`asˆo´ c´acxˆaunhi. k . . . . phˆand¯ˆo. d`ai n c´od¯´ung k bit 1. Sˆo´ Cn c`ond¯uo. cgo.il`ahˆe. sˆo´ nhi. th´uc, so’ d˜ıc´o . . tˆen nhu vˆa.yl`av`ı n´oxuˆa´thiˆe.n trong khai triˆe’n nhi. th´uc: n n k k n−k (a + b) = X Cna b . k=0 . n 0 T`u d¯. i nh ngh˜ıa,ta c´o Cn =1v`aCn = 1 (v`ıchı’ c´omˆo.ttˆa.p con gˆo`m n phˆa`n . . . . . . tu’ cu’atˆa.pho. p n phˆa`ntu’ v`achı’ c´omˆo.ttˆa.p con c´o0 phˆa`ntu’ ,t´uc l`atˆa.p ∅). V´oi . . . . . . quy u´oc 0! = 1 th`ıcˆongth´uc (1) d¯´ung cho ca’ tru`ong ho. p k =0v`ak = n. . . Th´ıdu. :1)T`ım sˆo´ giao d¯iˆe’mtˆo´i d¯acu’a a) 12 d¯u`ong th˘a’ ng phˆanbiˆe.t, b) 6 . . . . . . d¯ u `ong tr`onphˆanbiˆe.t, c) 12 d¯u`ong th˘a’ ng v`a6 d¯u`ong tr`ontrˆen. . . Hai d¯u`ong th˘a’ ng phˆanbiˆe.t c´otˆo´i d¯amˆo.t giao d¯iˆe’m nˆensˆo´ giao d¯iˆe’mtˆo´i 12! d¯acu’a 12 d¯u.`o.ng th˘a’ ng phˆanbiˆetl`aC2 = = 66 d¯iˆe’m. . 12 2!10! . . Hai d¯u`ong tr`onphˆanbiˆe.t c´otˆo´i d¯ahai giao d¯iˆe’m nˆensˆo´ giao d¯iˆe’mtˆo´id¯a . . 2 ’ cu’a6d¯u`ong tr`onphˆanbiˆe.tl`a2C6 =2.15 = 30 d¯iˆem. 41
43. . . . . Mˆo.td¯u`ong th˘a’ ng c˘a´tmˆo.td¯u`ong tr`ontˆo´i d¯ata.i d¯ i ˆe ’mnˆensˆo´ giao d¯iˆe’mtˆo´i d¯acu’a 12 d¯u.`o.ng th˘a’ ng v`a6 d¯u.`o.ng tr`ontrˆenl`a66 + 30 + 12.6.2 = 240 d¯iˆe’m. . . 2) Mˆo.tl´opho.cgˆo`m 20 nam v`a11 n˜u.Ho’i c´obao nhiˆeuc´ach th`anhlˆa.pmˆo.t . . tˆo´p ca gˆo`m4namv`a3n˜u sao cho anh A v`achi. B (trong l´opho.c d¯´o)khˆong . d¯` ˆo ng th`oic´om˘a.t. 4 . 3 Sˆo´ c´ach cho.n 4 nam l`a C20 v`asˆo´ c´ach cho.n3n˜ul`a C11, nˆensˆo´ c´ach cho.n 4 3 3 tˆo´p ca l`a C20.C11.Sˆo´ c´ach cho.n 4 nam trong d¯´oc´oanh A l`a C19 v`asˆo´ c´ach cho.n . 2 3n˜u trong d¯´oc´ochi. B l`a C10.V`ıvˆa.ysˆo´ c´ach th`anhlˆa.ptˆo´p ca theo yˆeucˆa`ul`a 4 3 3 2 C20.C11 − C19.C10 = 755.820. . 2.2.3.2. Mˆe.nh d¯ˆe` (H˘a`ng d¯˘a’ ng th´uc Pascal): Cho n v`a k l`ac´acsˆo´ nguyˆen du.o.ng v`a k<n. Khi d¯´o: k−1 k k (2) Cn−1 + Cn−1 = Cn. Ch´u.ng minh: (n − 1)! (n − 1)! k(n − 1)! + (n − k)(n − 1)! Ck−1 + Ck = + = n−1 n−1 (k − 1)!(n − k)! k!(n − k − 1)! k!(n − k)! (k + n − k)(n − 1)! n! = = = Ck. k!(n − k)! k!(n − k)! n . . . . H˘a`ng d¯˘a’ ng th´uc Pascal l`aco so’ d¯ ˆe ’ s˘a´pxˆe´ph`ınh ho.c c´achˆe. sˆo´ nhi. th´uc . . th`anhtam gi´ac,trong d¯´oh`angth´u n cu’a tam gi´acgˆo`m c´achˆe. sˆo´ nhi. th´uc k . . . Cn (0 ≤ k ≤ n). Tam gi´acn`ayd¯uo. cgo.i l`atam gi´acPascal. H˘a`ng d¯˘a’ ng th´uc . k−1 k Pascal chı’ ra r˘a`ng khi cˆo.ng hai hˆe. sˆo´ nhi. th´ucliˆe` nkˆe` Cn−1 v`a Cn−1 trong tam . . . k . . . gi´acPascal s˜enhˆa.nd¯uo. chˆe. sˆo´ nhi. th´uc Cn cu’a h`angtiˆe´p theo o’ du´oihˆe. sˆo´ k Cn−1. 1 11 121 1331 14641 15101051 . 2.2.3.3. Mˆe.nh d¯ˆe` (H˘a`ng d¯˘a’ ng th´uc Vandermonde): Cho m, n, k l`a3 sˆo´ . tu. nhiˆensao cho k ≤ m v`a k ≤ n. Khi d¯´o: k k i k−i (3) Cm+n = XCm.Cn . i=0 42
44. . . . . . . Ch´ung minh: X´ethai tˆa.pho. pr`oi nhau A v`a B lˆa`nluo. tc´om v`a n phˆa`ntu’ . Khi . k . d¯´osˆo´ c´ach cho.n k phˆa`ntu’ cu’a A ∪ B l`a Cm+n.M˘a.t kh´ac,v´oimˆo˜i i (0 ≤ i ≤ k), . . . cho.n k phˆa`ntu’ cu’a A ∪ B l`acho.n i phˆa`ntu’ cu’a A v`a k − i phˆa`ntu’ cu’a B. Theo i k−i quy t˘a´c nhˆan,d¯iˆe` u n`ayc´othˆe’ l`amb˘a`ng Cm.Cn c´ach. V`ıvˆa.y, sˆo´ c´ach cho.n k k . i k−i . . phˆa`ntu’ cu’a A ∪ B l`a PCm.Cn v`at`u d¯´ota c´ocˆongth´uc (3). i=0 . . 2.2.3.4. Mˆe.nh d¯ˆe` (Cˆongth´uc nhi. th´uc Newton): Cho x v`a y l`ahai biˆe´n . . v`a n l`amˆo.tsˆo´ nguyˆenduong. Khi d¯´o: n n k k n−k (4) (x + y) = XCnx y . k=0 . n Ch´ung minh: C´acsˆo´ ha.ng trong khai triˆe’ncu’a(x + y) =(x + y) (x + y)(n k n−k . . . k n−k lˆa`n) s˜ec´oda.ng x y v´oi0≤ k ≤ n.D- ˆe ’ nhˆa.nd¯uo. csˆo´ ha.ng da.ng x y ,ta . ’ k . . . . cho.n x t`u k tˆong x + y v`ac´o Cn c´ach cho.nnhuvˆa.y, khi d¯´o y d¯ u o. ccho.nt`un − k . . tˆo’ng c`onla.i. T`u d¯´ota c´ocˆongth´uc (4). . Trong khai triˆe’n trˆen,cho.n x = y = 1, ta c´osˆo´ c´actˆa.p con cu’amˆo.ttˆa.pho. p n . k n n phˆa`ntu’ l`a P Cn =2 . k=0 . . . ’ ˆ . 2.3. LU. CLUO. NG CUATA. PHO. P. . . . . . 2.3.1. D- .inh ngh˜ıa: Ta n´oitˆa.pho. p X c`ung lu. cluo. ng (hay c`ung ba’nsˆo´)v´oi . . tˆa.pho. p Y nˆe´utˆo`nta.imˆo.t song ´anht`u X v`ao Y . . . . . . . Gia’ su’ tˆa.pho. p A c´o n phˆa`ntu’ .D- iˆe` u n`ayc´ongh˜ıa l`ac´omˆo.ttuong ´ung . . . . mˆo.t-mˆo.tgi˜ua c´acphˆa`ntu’ cu’a A v´oi c´acsˆo´ tu. nhiˆen1, 2, ,n. N´oic´ach kh´ac, . . . . . . A c´o n phˆa`ntu’ nˆe´u v`achı’ nˆe´un´oc`ung lu. cluo. ng v´oitˆa.pho. p {1, 2, ,n}. . . . Sau d¯ˆaych´ungta s˜ekha’o s´atl´op c´actˆa.pho. p vˆoha.n c´o“´ıtphˆa`ntu’ nhˆa´t”, . . d¯´ol`ac´actˆa.p d¯ ˆe´md¯uo. c. . . . . . . . . 2.3.2. D- .inh ngh˜ıa: Tˆa.pho. p X d¯ u o. cgo.i l `a d¯ ˆe´md¯uo. cnˆe´un´oc`ung lu. cluo. ng . . . v´oitˆa.pho. p N c´acsˆo´ tu. nhiˆen. . . . Th´ıdu. : Tˆa.pho. p Z c´acsˆo´ nguyˆenl`amˆo.ttˆa.pd¯ˆe´md¯uo. c. Thˆa.tvˆa.y, ´anhxa. . f : N −→ Z x´acd¯i.nh bo’ i: 1+k nˆe´u n =2k, f(n)= 1 − k nˆe´u n =2k − 1. l`amˆo.t song ´anh. . . . . . . . Tuong tu. ,tˆa.pho. p c´acsˆo´ tu. nhiˆench˘a˜n v`atˆa.pho. p c´acsˆo´ tu. nhiˆenle’ d¯` ˆe u . . l`ac´actˆa.p d¯ ˆe´md¯uo. c. 43
45. . . . . Th´ıdu. trˆencho thˆa´ymˆo.ttˆa.p vˆoha.n c´othˆe’ c´oc`ung lu. cluo. ng v´oimˆo.ttˆa.p . . con thu. csu. cu’a n´o. . . 2.3.3. Mˆe.nh d¯ˆe` : Mˆo˜itˆa.p con vˆoha.ncu’amˆo.ttˆa.p d¯ ˆe´md¯uo. c c˜ungl`amˆo.ttˆa.p . . d¯ ˆe´md¯uo. c. . . . . Ch´ung minh: Gia’ su’ A = {a0,a1,a2, } l`amˆo.ttˆa.pd¯ˆe´md¯uo. cv`aB l`amˆo.t ´ . ´ ´ tˆa.p con vˆoha.ncu’a A.Go.i i0 l`asˆo tu. nhiˆennho’ nhˆat sao cho ai0 ∈ B, i1 l`asˆo . ’ ´ ∈ \{ } ´ . tu. nhiˆennho nhˆat sao cho ai1 B ai0 .Mˆo.t c´ach quy na.p, in l`asˆo tu. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao cho ain ∈ B \{ai0 ,ai1 , ,ain−1 } . . . B˘a`ng c´ach d¯´o,c´acphˆa`ntu’ cu’a B d¯ u o. cxˆe´p th`anhmˆo.t d˜ayvˆoha.n B = . . {ai0 ,ai1 , ,ain , }. N´oic´ach kh´ac,c´omˆo.t song ´anh N −→ B d¯ ˘a.t n tuong . . ´ . . u´ng v´oi ain hay B l`amˆo.ttˆa.p d¯ ˆe md¯uo. c. . . . . . . . . 2.3.4. Mˆe.nh d¯ˆe` : Ho. p d¯ ˆe´md¯uo. c c´actˆa.pho. p d¯ ˆe´md¯uo. c l`atˆa.p d¯ ˆe´md¯uo. c. . . . . . Ch´ung minh: Gia’ su’ Ai (i =1, 2, ,) l`ac´actˆa.pd¯ˆe´md¯uo. c. Ta ch´ung minh . . . A = ∪Ai l`atˆapd¯ˆe´md¯uoc. Ta liˆet kˆec´acphˆa`ntu’ cu’a Ai = {ai1,ai2, ,ain, } i . . . th`anhmˆo.tba’ng: a11 a12 a13 a14 a1n a21 a22 a23 a24 a2n a31 a32 a33 a34 a3n a41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann . . . Rˆo`i d¯´anhsˆo´ c´acphˆa`ntu’ cu’a A theo th´u tu. chiˆe` um˜ui tˆentrong ba’ng trˆen . . . sao cho khˆongc´ophˆa`ntu’ n`aobi. d¯´anhsˆo´ hai lˆa`n. B˘a`ng c´ach d¯´o,ta liˆe.tkˆed¯uo. c . . . . tˆa´tca’ c´acphˆa`ntu’ cu’atˆa.pho. p A, ngh˜ıal`a A d¯ ˆe´md¯uo. c. . . . 2.3.5. Hˆe. qua’: Tˆa.p Q c´acsˆo´ h˜uutı’ l`ad¯ˆe´md¯uo. c. . . ˜ ´ . . { n ∈ | ∈ } Ch´ung minh: V´oimˆoisˆonguyˆenduong m,k´yhiˆe.u Qm = m Q n Z . . . . . . . ∞ . Khi d¯´o Qm l`ad¯ˆe´md¯uocdoc`ung lucluong v´oi Z.V`ı Q = ∪ Qm,nˆent`umˆenh . . . m=1 . . . d¯` ˆe trˆen Q l`ad¯ˆe´md¯uo. c. . . . . 2.3.6. Mˆe.nh d¯ˆe` : T´ıch Descartes cu’a hai tˆa.p d¯ ˆe´md¯uo. c l `a d¯ ˆe´md¯uo. c. . . . . . Ch´ung minh: Gia’ su’ A v`a B l`ahai tˆa.p d¯ ˆe´md¯uo. c, v´oi A = {a1,a2, ,an, }, B = {b1,b2, ,bn, }. Theo d¯i.nh ngh˜ıa A ì B = {(ai,bj ) | i, j =1, 2, }. . . . V´oimˆo˜i i,x´ettˆa.p Ci = {(ai,bj ) | j =1, 2, }. R˜or`ang Ci d¯ ˆe´md¯uo. cv`ıc`ung . . . . ∞ . . lu. cluo. ng v´oi B. Khi d¯´o A ì B = ∪ Ci l`ad¯ˆe´md¯uo. c. i=1 44
46. . . Ch´ung ta th`ua nhˆa.nkˆe´t qua’ sau d¯ˆay, v`ımuˆo´nch´ung minh n´ota cˆa`nmˆo.t . . hiˆe’ubiˆe´t sˆaus˘a´chonvˆe` c´acsˆo´ thu. c. . . . . 2.3.7. Mˆe.nh d¯ˆe` : Tˆa.pho. p R c´acsˆo´ thu. c l`amˆo.ttˆa.p vˆoha.n khˆongd¯ˆe´md¯uo. c. . . . . . . . Ngu`oi ta n´oitˆa.pho. p c´acsˆo´ thu. c c´olu. cluo. ng continum. . . 2.4. NHOM,´ VANH` VATRU` O` NG. . . . . Nh´om,v`anhv`atru`ong l`ac´accˆa´u tr´ucquan tro.ng v`arˆa´tthu`ong g˘a.p trong ’. . . . . . c´acho.c phˆa`ncu’a to´anho.c. O d¯ˆay, ta chı’ gi´oi thiˆe.unh˜ung n´etso luo. c nhˆa´tvˆe` vˆa´n d¯` ˆe n`ay. . 2.4.1. D- .inh ngh˜ıa: Cho G l`amˆo.ttˆa.pho. p. Mˆo˜i ´anhxa. ◦ : G ì G −→ G . . . ’ d¯ u o. cgo.i l`amˆo.t ph´epto´anhai ngˆoi(hay mˆo.t luˆa.tho. p th`anh)trˆen G.Anh cu’a . . . . . . c˘a.p phˆa`ntu’ (x, y) ∈ G ì G bo’ i ´anhxa. ◦ s˜ed¯uo. ck´yhiˆe.ul`ax ◦ y v`ad¯uo. cgo.i . l`at´ıch hay ho. p th`anhcu’a x v`a y. . 2.4.2. D- .inh ngh˜ıa: Cho G l`amˆo.ttˆa.pho. p, trˆend¯´oc´oph´epto´anhai ngˆoi ◦. Ta n´oi G l`amˆo.t nh´omnˆe´u thoa’ m˜anba d¯iˆe` ukiˆe.n sau: . (G1) Ph´epto´anc´ot´ınhkˆe´tho. p: (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), ∀x,y,z ∈ G. . . . . . (G2) C´omˆo.t phˆa`ntu’ e ∈ G,d¯uo. cgo.i l`aphˆa`ntu’ trung ho`a,v´oi t´ınhchˆa´t x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G. . . 0 . . (G3) V´oimo.i x ∈ G,tˆo`nta.i phˆa`ntu’ x ∈ G,d¯uo. cgo.i l`anghi.ch d¯a’ocu’a x, sao cho x ◦ x0 = x0 ◦ x = e. Nˆe´u nh´om G thoa’ m˜anthˆemd¯iˆe` ukiˆe.n: (G4) Ph´epto´anc´ot´ınhgiao ho´an: x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G . . th`ı G d¯ u o. cgo.il`amˆo.t nh´omaben hay nh´omgiao ho´an. . 2.4.3. Nhˆa.nx´et: Phˆa`ntu’ trung ho`acu’amˆo.t nh´oml`aduy nhˆa´t. Thˆa.tvˆa.y, nˆe´u e v`a e0 d¯` ˆe u l`ac´acphˆa`ntu’. ho`acu’a nh´om G th`ı e = e ◦ e0 = e0. . . 0 V´oimo.i x ∈ G, phˆa`ntu’ nghi.ch d¯a’o x trong (G3) l`aduy nhˆa´t. Thˆa.tvˆa.y, 0 0 . nˆe´u x1 v`a x2 l`ac´acphˆa`ntu’ nghi.ch d¯a’ocu’a x th`ı 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 = x1 ◦ e = x1 ◦ (x ◦ x2)=(x1 ◦ x) ◦ x2 = e ◦ x2 = x2. 45
47. . . . Trong nh´omc´oluˆa.t gia’nu´oc, t´ucl`a x ◦ y = x ◦ z ⇒ y = z, x ◦ z = y ◦ z ⇒ x = y. . . . Thˆa.tvˆa.y, d¯ˆe’ c´oluˆa.t gia’nu´oc, chı’ cˆa`n nhˆanhai vˆe´ cu’ad¯˘a’ ng th´uc x ◦ y = x ◦ z . 0 . . v´oi nghi.ch d¯a’o x cu’a x t`u bˆentr´aiv`anhˆanhai vˆe´ cu’ad¯˘a’ ng th´uc x ◦ z = y ◦ z . 0 . v´oi nghi.ch d¯a’o z cu’a z t`u bˆenpha’i. . . . . . Theo th´oiquen, luˆa.tho. p th`anh ◦ trong mˆo.t nh´omaben thu`ong d¯uo. ck´y . . . . hiˆe.u theo lˆo´icˆo.ng “+”. Ho. p th`anhcu’ac˘a.p phˆa`ntu’ (x, y)d¯uo. ck´yhiˆe.ul`ax + y . . . . . v`ad¯uo. cgo.i l`atˆo’ng cu’a x v`a y. Phˆa`ntu’ trung ho`acu’a nh´omd¯uo. cgo.i l`aphˆa`n . . . . tu’ khˆong,k´yhiˆe.u 0. Nghi.ch d¯a’ocu’a x d¯ u o. cgo.i l`aphˆa`ntu’ d¯ ˆo´icu’a x,k´yhiˆe.u −x. . . . . . . . Tru`ong ho. ptˆo’ng qu´at,ph´epto´an ◦ trong nh´omthu`o ng d¯uo. ck´yhiˆe.u theo . . . . . lˆo´i nhˆan“.”. Ho. p th`anhcu’ac˘a.p phˆa`ntu’ (x, y)d¯uo. ck´yhiˆe.ul`ax.y hay d¯on . . . . . gia’n xy v`ad¯uo. cgo.i l`at´ıch cu’a x v`a y. Phˆa`ntu’ trung ho`acu’a nh´omd¯uo. cgo.i . . . . . −1 l`aphˆa`ntu’ d¯ o nvi Phˆa`ntu’ nghi.ch d¯a’ocu’a x d¯ u o. ck´yhiˆe.ul`ax . . . Th´ıdu. :1)C´actˆa.pho. psˆo´ Z, Q, R lˆa.p th`anhnh´omaben d¯ˆo´iv´oi ph´epcˆo.ng. ∗ ∗ ∗ 2) C´actˆa.p Z = {±1}, Q = Q \{0}, R = R \{0} l`amth`anhnh´omaben d¯ ˆo´iv´o.i ph´epnhˆan. . . 3) Nhu ta d¯˜abiˆe´t, mˆo˜i song ´anht`u tˆa.p {1, 2, ,n} lˆen ch´ınh n´ogo.i l`amˆo.t . . . ho´anvi. trˆen n phˆa`ntu’ ; ta c`ongo.i n´ol`amˆo.t ph´epthˆe´ trˆen n phˆa`ntu’ .Tˆa.pho. p . . . Sn tˆa´tca’ c´acph´epthˆe´ trˆen n phˆa`ntu’ l`amth`anhmˆo.t nh´omd¯ˆo´iv´oi ph´epho. p . . . . th`anh´anhxa Sn d¯ u o. cgo.i l`anh´omd¯ˆo´ix´ung trˆen n phˆa`ntu’ .D- ˆa y l `a m ˆo.t nh´om khˆongaben khi n>2. 0 . 2.4.4. D- .inh ngh˜ıa: Cho G v`a G l`ac´acnh´om(v´oi ph´epto´anviˆe´t theo lˆo´i 0 . . nhˆan). Anh´ xa. f : G −→ G d¯ u o. cgo.il`amˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u nh´omnˆe´u f(xy)=f(x)f(y), ∀x, y ∈ G. . . 0 0 . Khi d¯´od¯ˆo`ng cˆa´u nh´om f chuyˆe’nd¯onvi. e cu’a G th`anhd¯onvi. e cu’a G ,t´ucl`a 0 . . f(e)=e . N´oc˜ungchuyˆe’n phˆa`ntu’ nghi.ch d¯a’ocu’a x th`anhphˆa`ntu’ nghi.ch d¯a’o cu’a f(x), t´u.cl`af(x−1)=f(x)−1, ∀x ∈ G. . . . . 2.4.5. D- .inh ngh˜ıa: Mˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u nh´omd¯ˆo`ng th`oi l`amˆo.td¯on ´anhd¯uo. cgo.i . l`amˆo.td¯oncˆa´u nh´om. . . . Mˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u nh´omd¯ˆo`ng th`oi l`amˆo.t to`an´anhd¯uo. cgo.i l`amˆo.t to`ancˆa´u nh´om. . . . Mˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u nh´omd¯ˆo`ng th`oi l`amˆo.t song ´anhd¯uo. cgo.i l`amˆo.td¯˘a’ ng cˆa´u nh´om. 46
48. . 0 . 0 Nˆe´u c´omˆo.td¯˘a’ ng cˆa´u nh´omgi˜ua G v`a G th`ıta n´oi G d¯ ˘a’ ng cˆa´uv´oi G v`a viˆe´t G =∼ G0. ´ . . . Th´ıdu. :1)Anh xa. i : Z −→ Q d¯. i nh ngh˜ıabo’ i cˆongth´uc i(x)=x l`amˆo.td¯on cˆa´u nh´om. . . 2) Cho G l`amˆo.t nh´omcyclic sinh bo’ i a ∈ G,t´uc l`anh´omm`amˆo˜i x ∈ G c´o n . . n biˆe’udiˆe˜n x = a ,v´oi n ∈ Z. Khi d¯´o´anhxa. p : Z −→ G x´acd¯i.nh bo’ i p(n)=a l`amˆo.t to`ancˆa´u nh´om. + x . 3) Anh´ xa. m˜u exp: R −→ R , exp(x)=e l`amˆo.td¯˘a’ ng cˆa´u nh´omt`u nh´om . . . . + cˆo.ng c´acsˆo´ thu. c R lˆennh´omnhˆanc´acsˆo´ thu. cduong R . . 2.4.6. D- .inh ngh˜ıa: Cho R l`amˆo.ttˆa.pho. p, trˆend¯´oc´ohai ph´epto´anhai ngˆoi, k´yhiˆe.u theo lˆo´icˆo.ng v`anhˆan.Ta n´oi R l`amˆo.t v`anhnˆe´u thoa’ m˜anc´acd¯iˆe` ukiˆe.n sau: . (R1) R l`amˆo.t nh´omaben d¯ˆo´iv´oi ph´epcˆo.ng. . (R2) Ph´epnhˆanc´ot´ınhkˆe´tho. p: (xy)z = x(yz), ∀x,y,z ∈ R. . (R3) Ph´epnhˆanphˆanphˆo´i hai ph´ıad¯ˆo´iv´oi ph´epcˆo.ng: x(y + z)=xy + xz, (y + z)x = yx + zx, ∀x,y,z ∈ R. . . V`anh R d¯ u o. cgo.i l`av`anhgiao ho´annˆe´u thoa’ m˜an: (R4) Ph´epnhˆanc´ot´ınhgiao ho´an: xy = yx, ∀x, y ∈ R. . . . V`anh R d¯ u o. cgo.i l`ac´od¯onvi. nˆe´u thoa’ m˜an: . . . (R5) Ph´epnhˆanc´od¯onvi.,t´uc l`ac´ophˆa`ntu’ 1 ∈ R sao cho: 1x = x1=x, ∀x ∈ R. . . . Th´ıdu. :1)C´actˆa.pho. psˆo´ Z, Q, R l`ac´acv`anhgiao ho´anv`ac´od¯onvi. d¯ ˆo´iv´oi . . . . c´acph´epto´ancˆo.ng v`anhˆanthˆongthu`ong. Tˆa.pho. p N c´acsˆo´ tu. nhiˆenkhˆongl`a . mˆo.t v`anh,v`ın´okhˆongl`amˆo.t nh´omd¯ˆo´iv´oi ph´epcˆo.ng. . . 2) Gia’ su’ A l`amˆo.t nh´omcˆo.ng aben. Go.i End(A) l`atˆa.pho. p c´acd¯ˆo`ng cˆa´u . . . nh´omt`u A v`ao A.Tˆa.pho. p n`ayc`ung v´oi hai ph´epto´ansau: ∀f,g ∈ End(A), . f + g x´acd¯i.nh bo’ i(f + g)(x)=f(x)+g(x), ∀x ∈ A . fg x´acd¯i.nh bo’ i(fg)(x)=f(g(x)), ∀x ∈ A 47
49. . . lˆa.p th`anhmˆo.t v`anh(khˆonggiao ho´an),c´od¯onvi Phˆa`ntu’ khˆongcu’a End(A) . . l`ad¯ˆo`ng cˆa´u 0 (0(x)=0, ∀x ∈ A), c`onphˆa`ntu’ d¯ o nvi. l`a´anhxa. d¯` ˆo ng nhˆa´t idA (idA(x)=x, ∀x ∈ A). 0 ´ 0 . . 2.4.7. D- .inh ngh˜ıa: Cho R v`a R l`ac´acv`anh. Anh xa. f : R −→ R d¯ u o. cgo.i l`amˆo.td¯ˆo`ng cˆa´u v`anhnˆe´u f(x + y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y), ∀x, y ∈ R. . . . C´ackh´ainiˆe.md¯oncˆa´u v`anh,to`ancˆa´u v`anh,d¯˘a’ ng cˆa´u v`anhd¯uo. c ngh˜ıa . . . . . . . . tuong tu. nhu d¯ ˆo´iv´oi tru`ong ho. p nh´om. . . . . 2.4.8. D- .inh ngh˜ıa: Phˆa`ntu’ x trong mˆo.t v`anhc´od¯onvi. R d¯ u o. cgo.i l`akha’ . 0 nghi.ch nˆe´utˆo`nta.i phˆa`ntu’ x ∈ R sao cho xx0 = x0x =1. . . 0 . Dˆe˜ ch´ung minh r˘a`ng phˆa`ntu’ x c´ot´ınh chˆa´tnhuvˆa.ynˆe´utˆo`nta.ith`ı duy nhˆa´t. . . −1 N´od¯uo. ck´yhiˆe.ul`ax . . . 2.4.9. D- .inh ngh˜ıa: Mˆo.t v`anhgiao ho´an,c´od¯onvi. 1 =6 0 sao cho mo.i phˆa`ntu’ . . . . kh´ac0 trong n´od¯ˆe` u kha’ nghi.ch d¯uo. cgo.il`amˆo.t tru`ong. . . . . V`anh Q l`amˆo.t tru`ong. V`anh Z c´acsˆo´ nguyˆenkhˆongl`amˆo.t tru`ong, v`ı c´ac sˆo´ kh´ac ±1 d¯` ˆe u khˆongkha’ nghi.ch trong Z. . . 2.4.10. D- .inh ngh˜ıa: Nˆe´u v`anh R ch´ua c´acphˆa`ntu’ a =06 ,b=6 0 sao cho ab =0 th`ıta n´oi R c´ou.´o.ccu’a khˆong. . . . . 2.4.11. Mˆe.nh d¯ˆe` : Mˆo˜i tru`on g d¯` ˆe u l`amˆo.t v`anhkhˆongc´ou´occu’a khˆong. . . . . . . Ch´ung minh: Gia’ su’ F l`amˆo.t tru`ong, a v`a b l`ac´acphˆa`ntu’ thuˆo.c F v´oi ab =0. Nˆe´u a =0th`ı6 a kha’ nghi.ch. Ta c´o b =1b =(a−1a)b = a−1(ab)=a−10=0. . . Vˆa.y F khˆongc´ou´occu’a khˆong. . . . 2.4.12. D- .inh ngh˜ıa: Cho R l`amˆo.t v`anhc´od¯onvi Nˆe´u c´osˆo´ duong n sao cho . . . . 1+ +1=0th`ısˆo´ nguyˆenduong nho’ nhˆa´t c´ot´ınhchˆa´t d¯ ´o d¯ u o. cgo.i l`ad¯˘a.c | {zn } . . . . . sˆo´ cu’a v`anh R. Nguo. cla.i, nˆe´u khˆongc´osˆo´ nguyˆenduong n n`aonhu thˆe´ th`ıta . . n´oi R c´od¯˘a.csˆo´ b˘a`ng 0. D- ˘a.csˆo´ cu’a R d¯ u o. ck´yhiˆe.ul`aChar(R). . . 2.4.13. Mˆe.nh d¯ˆe` : Nˆe´u F l`amˆo.t tru`ong th`ı Char(F) ho˘a.cb˘a`ng 0 ho˘a.c l`amˆo.t sˆo´ nguyˆentˆo´. . . . . Ch´ung minh: Gia’ su’ n = Char(F)l`amˆo.tho. psˆo´ v´oi phˆant´ıch n = rs (0 < r, s < n). Dˆe˜ thˆa´yr˘a`ng n.1=(r.1)(s.1) = 0. V`ıtru.`o.ng F khˆongc´ou.´o.ccu’a . khˆong,nˆenho˘a.c r.1 = 0 ho˘a.c s.1=0.D- iˆe` u n`aymˆauthuˆa˜nv´oid¯i.nh ngh˜ıacu’a d¯ ˘a.csˆo´. 48