Giáo trình Cơ sở vật lý của địa từ và thăm dò từ

285 trang huongle 3220

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ sở vật lý của địa từ và thăm dò từ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_so_vat_ly_cua_dia_tu_va_tham_do_tu.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở vật lý của địa từ và thăm dò từ

Cơ sở vật lý của địa từ và thăm dò từ
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 Chương 1. Cơ sở vật lý của địa từ và thăm dò từ Tôn Tích Ái Địa từ và thăm dò từ. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Từ khoá: Địa từ và thăm dò từ, Trường từ, Thế từ, Hàm số thế, Trường thế. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 1 Cơ sở vật lý của địa từ và thăm dò từ 2 1.1 Những định luật cơ bản của trường từ dừng 2 1.2 Trường từ của một vòng dây khép kín 4 1.3 Trường từ của vòng dây cơ bản và của lưỡng cực từ 7 1.4 Trường từ của một vòng dây tròn 8 1.5 Trường từ của vòng dây Helmholtz 13 1.6 Thế từ của vật thể bị từ hóa 15 1.7 Thế từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất 17 1.8 Thế từ của hình trụ bị từ hóa đồng nhất 18 1.9 Thế từ của elipxôit (ellipsoid) 19 1.10 Các đạo hàm của thế từ và sự liên hệ giữa chúng 21 1.11 Những đặc tính cơ bản của hàm số thế (điều hòa) 24 1.11.1 Định nghĩa về các hàm điều hòa và thế. Sự liên hệ giữa các hàm điều hòa với các hàm giải tích 24 1.11.2 Tiếp tục giải tích 26 1.11.3 Các điểm đặc biệt của hàm số giải tích 29 1.11.4 Các biểu thức tổng quát của trường thế, các đặc điểm của hàm số thế 30 1.12 Về thứ nguyên và đơn vị dùng trong giáo trình này 34 1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 Chương 1 Cơ sở vật lý của địa từ và thăm dò từ 1.1 Những định luật cơ bản của trường từ dừng Có thể xem trường từ của quả đất là trường từ dừng vì phần trường thay đổi theo thời gian chỉ chiếm một phần rất nhỏ trong toàn bộ trường từ của quả đất. Biên độ của các biến thiên ngày đêm yên tĩnh không vượt quá vài chục nT. Ngoài ra, tần số biến thiên của chúng cũng khoảng 10 −4 đến 10 −1 Hertz, cho nên các trường từ biến thiên này cũng ảnh hưởng rất ít đến trường điện cảm ứng. Vì vậy trong đa số trường hợp nghiên cứu trường từ của quả đất, người ta thường dùng các định luật về trường dừng. Các định luật này là các trường hợp riêng của các định luật về trường điện từ, được biểu diễn bằng các phương trình Maxwell. Đối với môi trường có độ dẫn, các phương trình Maxwell đối với trường từ dừng có dạng: G G rotH= j (1.1) G divH= 0 (1.2) G G trong đó H là cường độ trường từ (hiện nay người ta thường dùng véc tơ cảm ứng từ B thay G G G G cho véc tơ cường độ trường từ H , với (B = μ0μ H), j là mật độ dòng dẫn. G G rotB=μμ j G 0 divB= 0 Phương trình (1.1) biểu thị sự liên hệ giữa cường độ trường từ và mật độ dòng tại cùng G một điểm, còn (1.2) biểu diễn tính chất liên tục của trường từ. Vì vectơ H không có nguồn G → ( divH= 0 ) nên có thể xem nó là rot của vectơ A nào đó, tức là: →→ HrotA= (1.3) Vì vậy phương trình (1.1) có dạng G G rot rotA= j (1.4) G Nếu thay rot rot A bằng biểu thức của nó, tức là GG rot rotA=− grad divAΔ A ta thu được: GGG graddivA−Δ A = j trong đó Δ là toán tử Laplace. G Chọn A sao cho thỏa mãn điều kiện → div A= 0 2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3 → Trong trường hợp đó chúng ta thu được phương trình sau đối với vectơ A → → ΔA = − j (1.5) → → → Vectơ A được gọi là thế vectơ. Khi xác định được Ata sẽ xác định được H. Sở dĩ phải đưa vào thế véctơ là vì ta không thể giải trực tiếp phương trình (1.1) được, nhưng ngược lại, lại có thể giải được phương trình (1.5). Phương pháp giải phương trình này được trình bày trong các giáo trình về các phương trình vật lý toán. Nghiệm của phương trình (1.5) có dạng: G G 1 j A = ∫ dv 4π v r → trong đó r là khoảng cách từ yếu tố thể tích dv với mật độ dòng j chạy qua đến điểm cần tính thế véctơ. Từ phương trình này bằng cách tính rot (lấy vi phân) theo các tọa độ của điểm P, điểm mà tại đó cần khảo sát thế véctơ A, ta thu được: → → → 1 j 1 1 → H= rot A = rot dv = rot j dv − p 4π ∫p r 4π ∫ r p v v 1 → 1 − [ j grad ]dv ∫ p 4π v r G Vì giá trị của véctơ j không phụ thuộc vào điểm P, nên: G rotp J= 0 . Ngoài ra: G 1 r grad = − p r r 3 Vì vậy, → → → 1 ]r,j[ H = dv . (1.6) ∫ 3 4π V r G hoặc viết công thức trên đối với biểu thức của B → → → μμ ]r,j[ B = 0 dv ∫ 3 4π V r Biểu thức này được gọi là định luật Biot-Savart -Laplace dưới dạng tích phân. Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.1) theo một mặt S nào đó, ta thu được: 3
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4 → ⎯⎯→ → ⎯⎯→ ∫(rot H dS )= ∫ ( j dS ) S S Sử dụng công thức Stokes ta có → ⎯⎯→ ∫ (H dl )= I (1.7) trong đó I là cường độ dòng điện chạy qua mặt, còn tích phân ở vế trái phải tính theo đường bao quanh mặt đó. Các phương trình (1.6) và (1.7) chứng tỏ rằng, trong môi trường có độ từ thẩm bằng đơn vị, trường từ chỉ có thể tồn tại khi có dòng điện dẫn, hoặc khi có dòng đối lưu tương đương với mật độ bằng: G G jevn= G trong đó e là điện tích của hạt mang điện (điện tử, iôn), v là vận tốc chuyển động và n là số hạt trong một đơn vị thể tích. Trong phần môi trường không có dòng, các phương trình Maxwell có dạng sau đây: G rotH= 0 (1.8) G divH= 0 (1.9) G Trong trường hợp này véctơ H có thể được biểu diễn dưới dạng gradient của một hàm vô hướng U nào đó, vì rotgradU = 0, nên phương trình (1.8) thỏa mãn. Vì vậy, nếu đặt: G HgradU(x,y,z=− ) và chú ý đến phương trình (1.9) ta có: divgrad U ≡ ΔU = 0 (1.10) Hàm số U được gọi là hàm số thế từ, thỏa mãn phương trình Laplace. Để tìm hàm số đó ta cần phải giải phương trình (1.10). Để giải được phương trình này, cần phải biết được các điều kiện biên, tức là biết sự phân bố của hàm U hoặc là đạo hàm của nó theo pháp tuyến đối với một mặt nào đó. Trong khi khảo sát các hiện tượng liên hệ với sự chuyển động của các hạt mang điện trong trường từ, ta cần phải bổ sung thêm một phương trình nữa vào trong các phương trình miêu tả đầy đủ trạng thái của trường từ. Đó là phương trình Lorentz. →→→→ FeEevH=+[, ] (1.11) G G G trong đó F là lực tác dụng lên điện tích e chuyển động với vận tốc v trong điện từ trường E G và H . 1.2 Trường từ của một vòng dây khép kín Khi khảo sát nhiều vấn đề trong lý thuyết trường từ của quả đất người ta thường gặp phải trường từ của một nam châm cơ bản (lưỡng cực từ) hoặc vòng dây cơ bản tương đương với chúng. 4
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 5 Hiểu biết các qui luật về trường từ của các mô hình đó hết sức quan trọng. Các qui luật này được suy ra từ các phương trình của trường từ. Đầu tiên chúng ta sẽ khảo sát trường từ của một vòng dây có hình dạng bất kỳ. Ở đây vòng dây chính là một dây dẫn khép kín mà tiết diện ngang của sợi dây vô cùng nhỏ, dòng điện chạy qua vòng dây đó có độ lớn hữu hạn I. Có thể tính trường từ của vòng dây này từ định luật Biot-Savart- Laplace. Trong trường hợp này, định luật đó được biểu diễn dưới dạng: ⎯⎯→ → → I [ dl , r] H = 4π ∫ r 3 hoặc ⎯⎯→ → → μμ I [ dl , r] B = 0 . 4π ∫ r 3 G G G vì jdv= Idl , trong đó dl là yếu tố độ dài của vòng dây. Thành phần của véc tơ H theo trục x sẽ là: I r ry H = ( z dy − dz) . (1.12) x 4π ∫ r 3 r 3 G G Nếu gọi tọa độ của điểm đặt véctơ P (điểm cần xác định các giá trị của H hoặc B ) là x1, y1, z1 , còn tọa độ của yếu tố dl là x, y, z, thì ry= y 1 − y, rz= z 1 − z . (1.13) G Đưa vào véctơ phụ L với các thành phần bằng: r r L= 0, L = z ,L = − y . (1.14) x y r 3 z r 3 G Các biểu thức này cho thấy là hướng của véc tơ L hoàn toàn được xác định bởi tọa độ của điểm P và yếu tố dl. Trong trường hợp đó có thể viết công thức (1.12) dưới dạng I → ⎯⎯→ H = (L, dl ) . x 4π ∫ Áp dụng định lý Stokes về biến đổi tích phân đường thành tích phân mặt ta có: I → ⎯⎯→ H = (rot L dS ) . (1.15) x ∫ 4π S Tích phân lấy trên toàn mặt bị vòng dây bao quanh, đồng thời dạng và các kích thước của mặt có thể tùy ý. Hướng của pháp tuyến đối với yếu tố mặt dS phụ thuộc vào hướng của yếu tố vòng dây dl (tức là hướng của dòng). Theo công thức về tích vô hướng ta có: G (rotLdl)= rotx LdS x + roty LdS y+ rot z LdS z 5
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 6 Thay các thành phần của rot theo các công thức về giải tích véc tơ, còn các thành phần của yếu tố mặt qua các cos của góc tạo bởi pháp tuyến và các trục tọa độ, chúng ta có: G JG ∂∂LL∂L ∂L (rotLdl)= [(zx−+−y )cos(n, x) (z )cos(n, y) + ∂∂yz ∂∂ zx ∂L ∂L +−(y x )cos(n,z)] (1.16) ∂∂xy ∂L ∂L Hơn nữa, sử dụng các biểu thức (1.13) và (1.14) , tìm các đạo hàm riêng z và y và ∂y ∂z đặt chúng vào trong phương trình (1.16), ta thu được ⎛1⎞ ⎛1⎞ ∂ 2 ⎜ ⎟ ∂ 2 ⎜ ⎟ G ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ (rotLdS)= − [ cos(n, x) + cos(n, y) + ∂x ∂ x ∂x ∂ y 1 2 1 ⎛1⎞ ∂ 2 ⎜ ⎟ ⎝ r ⎠ + cos(n, z)]dS ∂x1 ∂ z G Các cos của các giá trị tạo bởi pháp tuyến n của yếu tố mặt dS với các trục tọa độ là các đạo hàm theo pháp tuyến của các tọa độ tương ứng. Vì vậy biểu thức trên có dạng: ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ G ∂ ⎝ r ⎠ dx ⎝ r ⎠ dy ⎝ r ⎠ dz (rotLdS) = − [ + + ]dS ∂x1 ∂x dn ∂y dn ∂z dn hoặc ⎡ ⎛1⎞⎤ d⎜ ⎟ G ∂ ⎢ r ⎥ (rotLdS) = − ⎢ ⎝ ⎠⎥dS ∂x1 ⎢ dn ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ G Vì vậy nếu trong (1.15) thay tích vô hướng của rot L với yếu tố mặt dS qua các đạo hàm thì chúng ta thu được: ⎛1⎞ d⎜ ⎟ I ∂ ⎝ r ⎠ H = − dS x 4π ∂ x ∫ dn 1 Tương tự ta tìm được các thành phần Hy và Hz: ⎛1⎞ d⎜ ⎟ I ∂ ⎝ r ⎠ H = − dS y ∫ 4π ∂ y1 dn 6
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 7 ⎛1⎞ d⎜ ⎟ I ∂ ⎝ r ⎠ H = − dS z ∫ 4π ∂ z1 dn Từ đó: ⎛ 1 ⎞ d⎜ ⎟ → I ⎝ r ⎠ I dS H = − grad dS = − grad cos(n, r) 4π ∫ dn 4π ∫ r 2 dS Biểu thức cos (n,r) chính là yếu tố góc đặc dΩ nhìn từ điểm P xuống dS, do đó: r 2 → IΩ H= − grad (1.17) 4π IΩ trong đó Ω là góc đặc nhìn từ điểm P xuống vòng dây. Vì vậy là thế từ của vòng dây c kín. Như vậy thế từ của vòng dây bằng: IΩ U = (1.18) 4π 1.3 Trường từ của vòng dây cơ bản và của lưỡng cực từ Nếu vòng dây dài khép kín là vòng dây cơ bản với diện tích vô cùng bé, thì tương ứng với công thức (1.18), thế từ dU của nó được biểu diễn bằng phương trình: IdS dU = cos(n,r) , 4πr 2 hoặc dưới dạng véctơ JJG G (dS,r) dU= I (1.19) 4rπ 3 Thế từ của một lưỡng cực từ tưởng tượng cũng có dạng hoàn toàn như vậy. Lưỡng cực từ gồm hai từ tích điểm m có dấu khác nhau và nằm cách nhau một khoảng bé dl. (Cho đến nay người ta chưa tìm ra được từ tích, nhưng người ta có thể tưởng tượng có từ tích). Trong trường hợp này sử dụng định luật Coulomb, chúng ta có: ⎯⎯→ → mdl ⎯⎯→ → m( dl ,r) dU = cos( dl , r ) = (1.20) 4πr 2 4πr 3 G G Tích m ld được gọi là mômen từ. Đây là một véctơ có hướng trùng với hướng ld và có trị số bằng tích của khối từ m với khoảng cách giữa các từ tích, tức là: G G mdl= Pm So sánh (1.19) với (1.20), ta thấy rằng, chúng sẽ đồng nhất với nhau, nếu như đặt: 7
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 8 ⎯⎯→ ⎯⎯→ I dS= m dl (1.21) → Tức là thay dòng cơ bản bằng lưỡng cực từ với mômen từ bằng IdS. Vì vậy tương tự, đại ⎯⎯→ lượng I dS được gọi là mômen từ của dòng cơ bản. Như vậy, có thể nói rằng mômen từ của dòng cơ bản là véctơ có trị số bằng tích của cường độ dòngG với diện tích của vòng dây và có hướng trùng với pháp tuyến của mặt bao bởi vòng dây dS, điều đó có nghĩa là: → → Pm = I dS Vì hướng pháp tuyến bất kỳ, nên chúng ta quy ước lấy hướng dương là hướng của pháp tuyến trùng với hướng chuyển động tịnh tiến của cái vặn nút chai, nếu như nó quay theo hướng của dòng. Như vậy, thế từ do vòng dây cơ bản gây ra, và do đó cường độ từ trường tỷ lệ với mômen từ của vòng dây: G G G G (P , r) )r,n( U = m = P 4π r 3 m 4π r 3 G G G GGGG (1.22) (P , r) P ⎡ r)r,n(3 n ⎤ H= − grad m = m − 4π r 3 4π ⎣⎢ r 5 r 3 ⎦⎥ G trong đó n là véctơ đơn vị có hướng trùng với hướng của mômen từ. Vì vậy khái niệm về mômen từ, trong khi khảo sát trường từ của dòng điện, cũng đóng vai trò như khái niệm từ tích trong trường hợp của nam châm không đổi. Nếu mở rộng khái niệm đó đối với vòng dây có kích thước hữu hạn, thì ta có thể chứng minh rằng cường độ trường từ của vòng dây hữu hạn cũng tỷ lệ với tích của cường độ dòng điện với diện tích của vòng dây. Các công thức (1.20) và (1.21) cho phép thay thế các dòng cơ bản bằng các lưỡng cực từ, trong khi tính toán thế từ của các vòng dây có dòng điện chạy qua. 1.4 Trường từ của một vòng dây tròn Để tìm thế từ của một vòng dây tròn có bán kính R, cần phải tính góc đặc Ω như là hàm số của toạ độ điểm P (Hình 1.1) c P r ρo ψ ρ θ α o1 o P1 x Hình 1.1 Trường từ của vòng dây tròn 8
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 9 Nếu nhận trục cực là trục của vòng dây Ox, và do tính đối xứng của trường từ đối với trục đó, nên thế từ tại điểm P chỉ phụ thuộc vào các tọa độ θ và r, tức là (Hình 1.1): Ω =f() r, θ Từ lý thuyết các hàm số cầu ta biết rằng, mọi hàm số của tọa độ r và θ, thỏa mãn phương trình Laplace có thể được khai triển thành chuỗi các hàm lũy thừa của r theo một trong những công thức sau: ∞ n Ω = ∑ An r Pn (cosθ ), n= 0 ∞ (1.23) Bn P n (cosθ ) Ω = ∑ n+ 1 , n= 0 r trong đó Pn (cos θ) là đa thức Legendre, An và Bn là các hệ số hằng số không phụ thuộc vào các tọa độ của điểm P. Đa thức Legendre là các hàm đại số của cosθ bậc n và là các hệ số của x trong khai triển biểu thức. 1 − ϕ() α =[1 +() α2 − 2 α cos θ ] 2 , tức là: 3 1 ϕ( α ) = 1 + α cos θ + α2 ( cos 2 θ − ) 2 2 5 3 + α3 ( cos 3 θ −cos θ ) 2 2 ∞ n =∑ αPn (cos θ ) n= 0 Do đó P0 () cosθ = 1, P1 () cosθ = cosθ 31 Pcso()θθ=− soc2 (1.24) 2 22 5 3 P (cosθ ) =cos 3 θ −cos θ và v.v 3 2 2 Như đã biết, đa thức Legendre có một số tính chất cơ bản như sau: 1- Nếu biến số của đa thức cosθ thay đổi dấu, thì các đa thức bậc chẵn sẽ không thay đổi, còn các đa thức bậc lẻ thay đổi dấu. 2- Đạo hàm của đa thức Legendre theo cosθ được biểu diễn bằng công thức: dP() cos θ n n = []P() cosθ − cos θ P ( cos θ) (1.25) d() cos θ sin 2 θ n− 1 n 9
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 10 Có thể thử lại tính chất này bằng cách vi phân các biểu thức (1.24). 3- Khi cosθ = 1, tất cả các đa thức đều bằng đơn vị, tức là Pn (1) = 1 4 - Khi cosθ = 0, các đa thức lẻ bằng không, còn các đa thức chẵn bằng: 1.2.3 (2n− 1) P() 0= ( − 1 )n (1.26) 2n 2.4 2n Trên cơ sở các tính chất này ta chuyển sang tìm biểu thức của góc đặc Ω, tức là tìm các hệ số An và Bn trong các phương trình (1.23). Để tìm các hệ số An hoặc Bn , chỉ cần khai triển Ω cho một trường hợp riêng, rồi so sánh n 1 các hệ số của khai triển này với các hệ số An và Bn của cùng một hàm số r hoặc . Nếu r n+ 1 lấy điểm P1 nằm trên trục tọa độ, thì ta dễ dàng tìm được góc đặc Ω mà từ P1 nhìn xuống vòng dây. Thật vậy từ P1 vẽ mặt cầu có bán kính PC1 = ρ , chúng ta có: ds α Ω = − cos( n,ρ ) = − 2 π cos( n, ρ ) sin ϕ d ϕ P1 ∫ 2 ∫ ρ ϕ=0 = −2 π cos( n, ρ )(1 − cos α ) trong đó α là góc OP1C, còn cos(n,ρ) có giá trị hoặc +1 hoặc -1, phụ thuộc vào hướng của dòng ở trong vòng dây. Giả sử rằng, dòng hướng theo chiều kim đồng hồ, và nếu như ta nhìn vào nó từ gốc tọa độ, thì cos(n, p)= 1, còn: ρcos ψ + r ρ cosψ + r cos α = 0 = 0 ρ 2 2 ρ0 +r − 2 ρ0 r cos( π − ψ ) trong đó ψ = O1OC. Giả sử rằng r < ρo và đem ρo ra khỏi dấu căn, ta có: 1 − 2 r ⎡ r 2 r ⎤ cosα = (cos ψ + )⎢ 1+ ( )− 2 cos(π − ψ )⎥ ρo ⎣ ρo ρo ⎦ Khai triển biểu thức ở trong ngoặc thứ hai theo đa thức Legendre, lúc đó ta có: ∞ r n cosα = cos ψ∑ ( ) Pn [cos( π − ψ)] n= 0 ρ o ∞ r r n + ∑ ( ) Pn [cos( π − ψ)] ρ0 n= 0 ρ 0 10
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 11 Đặt giá trị của cosα vào trong biiểu thức của ΩP1, sau một vài biến đổi đơn giản ta thu được: ∞ r Ω = −2 π {1 − cos ψ − cos ψ ( )n P [cos( π − ψ)] P1 ∑ n n= 1 ρ o ∞ r r n + ∑ ( ) Pn [cos( π − ψ)]} ρo n= 0 ρ o Biểu thức nằm dưới dấu tổng trong ngoặc vuông, theo tính chất của các đa thức Legendre (1.25), có thể được thay thế bằng đạo hàm của đa thức. Vì vậy, ∞ ⎧ 2 1 r 2 dPn [cos(π − ψ )]⎫ Ωp = −2 π⎨ 1 − cos ψ − sin ψ∑ ( ) ⎬ (1.27) ⎩ n= 1 n ρo d cos(π − ψ ) ⎭ Với các điểm nằm trên trục của vòng dây, θ = 0, và do đó, biểu thức của góc đặc (1.23) thành một trong các dạng sau: n Ω = −∑ An r , nếu r ρo (1.29) ∑ r n+ 1 trong đó ρo là khoảng cách từ gốc tọa độ đến vòng dây. So sánh biểu thức (1.28) với biểu thức (1.27), ta tìm được: 2 1 dPn [cos( π − ψ)] 1 Ao = 1 − cos ψ , An = sin ϕ . n n d cos(π − ψ ) ρ o Do đó, thế của vòng dây tròn tại một điểm bất kỳ của không gian thỏa mãn điều kiện: r π/2), biểu thức của thế có dạng: 2π I U = − {1− cos ψ − 4π n (1.31) 1 ⎛ r ⎞ dP() cos ψ 2 ⎜ ⎟ n −sin ψ∑ ⎜ ⎟ Pn () cos θ } n ⎝ ρ0 ⎠ d cosψ Các thành phần của cường độ trường từ theo trục x và trục y được xác định từ biểu thức: 11
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 12 ∂U 2π I sin 2 ψ ∞ r H = − = ( )n− 1 P' (cosψ ) x ∂x 4π ρ∑ ρ n 0 n= 1 0 sin 2 θ ×[cos θ P (cos θ ) + P' (cosθ )] n n n ∂U 2π Iy sin 2 ψ ∞ r H = − = ( )n− 2 P' (cosϕ )[P cos θ ) y ∂y 4π ρ2 ∑ ρ n n 0 n= 1 0 (1.32) cosθ − P' (cosθ )] n n trong đó Pn '() cosθ và Pn '( cosψ)biểu thị các đạo hàm theo cosθ và cosϕ. Hơn nữa, nếu thay biểu thức trong dấu ngoặc vuông theo công thức (1.25), ta thu được biểu thức của Hx như sau: 2 ∞ 2π sin ψ r n− 1 ' H x = ∑ ( ) Pn (cosψ )Pn− 1 (cosθ ) 4πρ 0 n= 1 ρ 0 Chú ý đến các công thức Legendre và thay sin ψ và cos ψ theo các giá trị của chúng qua x0 = OO1 , ρ 0 , ta có: 2 2IRπ 3x0 H[x =+321rcosθ 4πρ00 ρ 3 4x22− R +−0 r(3cos22θ 1) 4 ρ 4 0 (1.33) 22 5 x(2x00− 3R) 33 +−6 r (5cosθθ 3cos ) 4 ρ0 42244 15 (8x00−+ 12x R R )r 42 +−8 (35cosθθ 15cos+ 3)] 64 ρ 0 2 3IRxyπ 0 r 22 H[y0=+−521(2x3R)cosθ 4πρ00 ρ (1.34) 2 5r 22 −−4 (4x0 3R )] 8 ρ0 o Với các điểm nằm trên trục y (θ = 90 và r = y), các công thức của Hx và Hy với độ chính xác đến các số hạng bốn, có dạng: 22 R3y22 H2I[1x0=π34 +() R4x − 44πρ ρ o0 (1.35) 4 45 y 4224 +−+8 ()R12Rx8x00 64 ρ0 12
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 13 22 R5yxy0 22 H3Iy0=π54 [1 −() 3R4x − 48πρ ρ 00 (1.36) 4 35 y 4224 −−+8 ()5R 20R x00 8x ] 64 ρ0 Tại gốc tọa độ, ( điểm 0 ): 2 2π IR p m H x = 3 = 3 , 4 πρ 0 2πρ0 2- Hy = 0 với pm = πIR . Đây là kết quả mà trong giáo trình vật lý sơ cấp đã trình bày. Vì trị số cường độ trường, không phụ thuộc vào việc chọn gốc tọa độ, nên để cho thuận tiện trong khi sử dụng, thực tế người ta dùng các công thức (1.35) và (1.36). Trong các công thức này, gốc tọa độ trùng với hình chiếu của điểm cần khảo sát lên trục của vòng dây tròn. 1.5 Trường từ của vòng dây Helmholtz Hai vòng dây có đường kính giống nhau, nằm cách nhau một khoảng bằng bán kính R của chúng, với tâm nằm trên trục chung OO' được gọi là vòng Helmholtz. Đặc điểm của các vòng dây này là sự đồng nhất của trường từ trong phần tâm của chúng. Vì vậy vòng Helmholtz được sử dụng rộng rãi trong thực tế đo từ, như là một nguồn trường từ đồng nhất. P R r ψ θ o o' 2d Hình 1.2 Vòng dây Helmhollz Để tìm cường độ trường từ của các vòng dây đó, người ta dùng các công thức (1.31) và (1.32) và đặt gốc tọa độ nằm trên đường nối các tâm của các vòng dây đồng thời cho khoảng cách giữa các vòng dây bất kỳ và bằng 2d (Hình 1.2). 0 Vì với hai vòng dây thì r, θ và ρ0 là đồng nhất, còn ψ khác nhau một góc 180 , nên: 13
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 14 2 ∞ 2π I ω sin ψ r n− 1 ' H x = ∑ ( ) Pn− 1 (cosθ ){Pn (cos ψ ) + 4πρ 0 n= 1 ρ 0 ' +Pn [cos( π − ψ)]} Theo tính chất của đa thức Legendre: P'2n(cosψ) = −P'2n [cos(π−ψ)], P'2n-1(cosψ) = P'2n-1[cos (π−ψ)]. Vì vậy các số hạng chứa các đạo hàm bậc chẵn sẽ bị triệt tiêu, còn số hạng chứa bậc lẻ thì lại được tăng lên gấp đôi, do đó: 2 ∞ 4π I ω sin ψ r 2 n− 1 ' H x = ∑ ( ) P2 n− 2 (cosθ )P2 n− 1 (cosψ ) Giới hạn đến các số hạng 4πρ 0 n= 1 ρ 0 bậc bốn chúng ta có: 22 4Iπω sin ψ r ' Hx3=+[12 P (cosψ )P2 (cosθ ) 4πρ00 ρ 4 (1.37) r ' + 4 P54 (cosψθ )P (cos )] ρ0 Tương tự, ta thu được: 2 4Iπωy sin ψ r H{y3=ψP(cos)[P3(cosθ) 4πρ00 ρ 3 cos θ ' r −θ+ψP355 (cos )]3 P (cos )[P (cosθ ) (1.38) 3 ρ0 cos θ −θ+P' (cos )] } 5 5 Chọn góc ψ sao cho số hạng thứ hai trong (1.37) bằng không, muốn vậy cần sao cho: 5 1 P' (cosψ ) = 0, hoặc cos 2 ψ − = 0 3 2 2 Từ đó 1 cos 2 ψ = 5 Vì d 2 R cos2 ψ = , nên d = d 2+ R 2 2 Do đó khi đặt hai vòng dây nằm cách nhau một khoảng bằng R, thì số hạng thứ hai trong khai triển của H bằng không. Vì vậy tại các điểm nằm cách tâm một khoảng r nhỏ so với nửa khoảng cách giữa các vòng dây, thành phần trường dọc theo trục OO' giống nhau, tức là với 14
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 15 độ chính xác đến số hạng bậc bốn trường từ tại phần tâm của vòng dây được xem như là đồng nhất. Ưu điểm của hệ thống tạo trường từ này so với xôlênôit (trường từ tại phần tâm của xôlênôit cũng đồng nhất) là người quan sát có thể chạm đến được không gian có tồn tại trường đồng nhất. Không gian có trường đồng nhất không bị một thiết bị nào choán chỗ và vì vậy có thể đặt vào trong đó các mẫu vật hoặc các dụng cụ bất kỳ, miễn là kích thước của chúng không vượt quá kích thước của vòng dây. Nhược điểm của vòng Helmholtz so với xôlênôit là không thể tạo được trường từ mạnh. Trong thực tế vòng Helmholtz gồm có hai hệ vòng dây có tiết diện ngang là hình chữ nhật được sắp đặt sao cho trường từ ở phần tâm là trường đồng nhất. Trong trường hợp này để tính được từ trường do vòng Helmholtz tạo ra, người ta phải kể đến các số hạng hiệu chính cho sự hữu hạn của tiết diện ngang của vòng dây. 1.6 Thế từ của vật thể bị từ hóa Có thể xem vật thể bị từ hóa như là bao gồm vô số các nam châm cơ bản, hay là vô số các lưỡng cực từ, với thế từ dU được biểu diễn bằng công thức: ⎯⎯→ → (dP , r ) dU = m 4π r 3 G G G trong đó dPm là mômen từ của lưỡng cực. Có thể thay thế dPm = Jdv , trong đó dv là yếu tố thể tích. Khi đó: → → )r,J( dU = dv , 4π r 3 hoặc 1 ⎛ G 1⎞ dU = − ⎜ Jgrad ⎟dV . 4π ⎝ r ⎠ P Q Hình 1.3 Thế từ của vật thể bị từ hoá 15
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 16 Do đó, thế từ U do toàn vật thể gây ra tại điểm P (Hình 1.3) sẽ là: 11→ U(Jgrad=− )dv (1.39) 4rπ ∫ 1 Trong trường hợp này tích phân lấy theo toàn vật thể, còn grad lại tính theo các tọa độ r của P. Như đã biết: 1 1 grad = −grad P r Q r nên biểu thức (1.39) có dạng: 1 → 1 U = (Jgrad )dv (1.40) 4π ∫ Q r Sử dụng công thức giải tích véctơ vào trong (1.40), ta thu được: ⎛ → ⎞ → 1 ⎜ J ⎟ 1 div J U= div dv − dv 4π ∫⎜ r ⎟ 4π ∫ r ⎝ ⎠ Biến đổi tích phân thứ nhất thành tích phân mặt theo công thức Ostrogradski-Gauss, công thức trên sẽ trở thành dạng: G G 1 ⎛ jdS divJ ⎞ U = ⎜ − dv⎟ (1.41) 4π ⎜∫r ∫ r ⎟ ⎝ S V ⎠ Tích phân thứ nhất tính theo mặt S, còn tích phân thứ hai lấy theo toàn thể tích V. Biểu thức (1.41) hoàn toàn tương tự với biểu thức thế của các điện tích phân bố trên mặt với mật độ σ và ở trong với mật độ ρ; nếu như chúng ta giả thiết rằng ở trên mặt, các từ tính ảo phân bố với mật độ σ = J n , ( 1.42) và ở trong, phân bố theo mật độ khối G ρ = −divJ (1.43) Biểu thức (1.41) đúng cho tất cả các điểm của không gian: ở trong cũng như ở ngoài vật thể. G Nếu trong phương trình (1.40) véctơ J không đổi, tức là có thể xem vật bị từ hóa đồng nhất, thì phương trình đó sẽ chuyển thành dạng sau: 1 → 1 U = − (J grad dv) 4π ∫ p r Vì phép tính grad được tính theo tọa độ của điểm P, còn tích phân lại được tính theo tọa độ của điểm Q, nên ta có thể thay đổi thứ tự tính toán của chúng. 16
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 17 1 → dv U = − (J grad ) (1.44) 4π ∫ r dv Nếu gọi V = , thì ta thu được biểu thức của thế từ dưới dạng đơn giản: ∫ r 1 G U = − JgradV (1.45) 4π trong đó V có thể được xem như là thế trọng lực (hấp dẫn) của vật thể có mật độ bằng đơn vị. Như vậy thế từ của một vật thể bị từ hóa đồng nhất với dấu ngược lại bằng tích vô hướng G của độ từ hóa J với gradient của thế trọng lực của vật thể nhiễm từ, nếu xem mật độ của nó bằng đơn vị. Công thức (1.45) được gọi là công thức Poisson. Theo công thức này, ta có thể tìm được thế từ của các vật thể bị từ hóa đồng nhất, có mật độ không đổi, qua thế trọng lực của chính vật thể đó. Ngoài ra, khi vật thể bị từ hóa đồng nhất, thì từ phương trình (1.41), ta thu được: 1 J U = ∫ n ds (1.46) 4π s r vì G divJ= 0 , Để tìm thế từ theo công thức (1.46) cần phải biết sự phân bố mặt của thành phần pháp tuyến của véctơ từ hóa. Tùy thuộc vào dạng của vật thể, khi tìm thế từ của chúng người ta dùng, hoặc công thức (1.45) hoặc (1.46). Ví dụ với hình cầu, elipxôit, người ta thường dùng công thức (1.45), vì thế trọng lực của chúng đã được biết trước, ngược lại với các vật thể hình lăng trụ, hình trụ, tốt hơn hết để tìm thế từ của chúng, người ta sử dụng công thức (1.46). Để minh họa, ta hãy xét một số thí dụ về từ trường của hình cầu, hình trụ và của êlipxôit. 1.7 Thế từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất Thế trọng lực V do quả cầu có mật độ khối lượng bằng đơn vị gây ra tại điểm ngoài P cách tâm quả cầu một khoảng R có dạng v V = R trong đó v là thể tích của hình cầu. Vì vậy, thế từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất tại cùng điểm đó có dạng: 1 (J R) U = v 4π R 3 hoặc G G 1 MR U = ( ) 4π R 3 Như vậy là thế từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất ở tại không gian ngoài tương đương với thế của một lưỡng cực. 17
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 18 Để tìm thế từ tại điểm trong hình cầu cách tâm một khoảng R1, vẽ mặt cầu bán kính R1 để chia hình cầu đó ra thành hai phần. Thế từ U tại điểm nằm trên mặt cầu bằng tổng của thế U1 do hình cầu bán kính R1 gây ra và thế U2 do lớp cầu gây ra. Như vậy, thế U1 được biểu diễn bằng phương trình: 3 → → → → G G 4 R1 4 1 U1 = π 3 (JR)1 = π(JR)1 = (JR) 34π R1 34π 3 Thế trọng lực ở trong lớp cầu là một đại lượng không đổi và gradient bằng không, vì vậy. U2 = 0 Do đó thế ở trong hình cầu: 1 → → UU= = (JR) , 1 3 1 Từ đó cường độ từ trường ở trong hình cầu: → ⎯⎯→ 1 → H = −grad U = − J (1.47) 3 và G G J B = −μ 0 3 G G G Do đó, H tỷ lệ với độ từ hóa J và có hướng ngược với hướng của J . Hệ số tỷ lệ: 1 N = (1.48) 3 được gọi là hệ số khử từ của vật hình cầu. 1.8 Thế từ của hình trụ bị từ hóa đồng nhất Nếu giả thiết rằng hình trụ bị từ hóa đồng nhất dọc theo trục của nó, thì trên các mặt đáy G G thành phần pháp tuyến Jn của véctơ từ hóa J đồng nhất và bằng chính vectơ J.Vì vậy để thuận tiện cho việc tìm thế từ, ta sử dụng phương trình (1.46). Tại điểm ngoài P phương trình đó có dạng: J dS J dS U = ∫− ∫ 4π r1 4π r2 Trong đó tích phân đầu lấy theo mặt đáy thứ nhất, tích phân sau lấy theo mặt đáy thứ hai. Trong trường hợp tổng quát, tức là đối với một điểm bất kỳ của không gian, tích phân không thể tính được dưới dạng các hàm số đơn giản, vì vậy ta chỉ giới hạn khảo sát thế tại các điểm nằm trên trục của hình trụ. Giả sử bán kính trụ bằng a, độ dài l và khoảng cách từ điểm 18
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 19 P đến mặt S1 gần nhất bằng R, lúc đó, nếu gọi ρ là khoảng cách từ yếu tố mặt dS đến tâm 0, thì thế từ của mặt đáy thứ nhất sẽ là: 2π a J ρdθ dρ 1 2 2 U1 = ∫∫ =J( R + a − R) 2 2 4π 0 0 R + ρ 2 Biểu thức thế từ do mặt đáy thứ hai gây ra cũng có dạng tương tự, trong đó R được thay bằng R + l. Vì vậy thế tại điểm nằm ngoài được tính bằng công thức: 1 U = J⎡ R2+ a 2 −() R + l2 + a2 + l⎤ (1.49) 2 ⎣⎢ ⎦⎥ Tại điểm trong P, rõ ràng là thế từ được biểu diễn bằng công thức: 1 U = J[ R2+ a 2 +() l + R2 + a2 − 2R] (1.50) 1 2 1.9 Thế từ của elipxôit (ellipsoid) Ta tìm thế từ của elipxôit theo lý thuyết Poisson, vì thế trọng lực của nó tại điểm ngoài P, với tọa độ x, y, z đã tính được và được biểu diễn theo công thức sau: πabc ⎛ x 2 y 2 z 2 ⎞ dθ V = ⎜1 − − − ⎟ ∫ ⎜ 2 2 2 ⎟ 1 ⎝ a + θ b + θ c + θ ⎠ ϕ() θ trong đó a, b, c là các bán trục của elipxôit, ϕθ( )=+(abc222 θ) ( + θ) ( + θ), còn η là nghiệm của phương trình: x 2 y 2 z 2 + + = 1 (1.51) a 2 + η b 2 + η c 2 + η Đầu tiên chúng ta tìm thế từ trên mặt elipxôit. Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình (1.51) η = 0, vì vậy thế trọng lực sẽ là ∞ ⎛ x 2 y 2 z ⎞ dθ V= −π abc ⎜ + + ⎟ + φ ∫ ⎜ 2 2 2 ⎟ 0 ⎝ a + θ b + θ c + θ ⎠ ϕ() θ Có thể viết lại biểu thức này dưới dạng 1 V = −[Lx2 + My 2 + Nz2 ] + φ 2 trong đó L, M, N và φ là các đại lượng không đổi được biểu diễn qua các tích phân eliptic. ∞ dθ L=2 π abc ∫ 2 0 ()a + θ ϕ() θ 19
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 20 ∞ dθ M=2 π abc ∫ 2 0 ()b + θ ϕ() θ ∞ dθ N=2 π abc ∫ 2 0 ()c + θ ϕ() θ ∞ dθ φ = πabc∫ (1.52) 0 ϕ() θ Do đó thế từ trên mặt elipxôit sẽ có dạng: 1 U = (J Lx+ J My + J Nz) (1.53) 4π x y z Trong đó các tích số Lx, My, Nz là các thành phần của lực hấp dẫn do elipxôit gây ra. Thế từ của elipxôit tại điểm nằm ngoài theo định lý Poisson cũng có dạng: 1 U = (J f+ J f + J f ) 4π x x y y z z trong đó fx , f y ,f z cũng là các thành phần của thế hấp dẫn tại điểm ngoài P. Để tìm các lực này qua điểm P, ta vẽ elipxôit khác có cùng các tiêu điểm với elipxôit cho trước, với cùng mật độ như mật độ của elipxôit cho trước, theo định luật Maclorain, lực hấp dẫn của các elipxôit, tỷ lệ với các thể tích của chúng, tức là: f ' f ' f ' a b c x =y =z = 1 1 1 f x f y f z abc trong đó a1, b1, c1 là các bán trục và fx', fy', fz' là các thành phần của lực hấp dẫn của elipxôit được vẽ thêm. Vì điểm P nằm trên mặt elipxôit được vẽ thêm nên tương ứng với công thức (1.53) f 'x= L 1 x; f 'y= M 1 y và f 'z= N 1 z Trong đó L1, M1 và N1 là các đại lượng không đổi, được xác định bằng các công thức (1.52) mà trong đó các bán trục a, b, c được thay bằng các bán trục a1, b1, c1 Do đó: abc fLx1= x, abc111 abc fMy1= y, abc111 abc fNz1= z abc111 Từ đó 20
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 21 abc U e = [Jx L 1 x+ J y M 1 y + J z N 1 z] (1.54) 4π a1 b 1 c 1 Do tính chất của elipxôit được vẽ thêm, các bán trục a1, b1, c1 được xác định từ các điều kiện sau: Điều kiện thứ nhất: 22 22 2 ababq11−=−=1; (1.55) 22 22 2 acacq11−=−=2 Điều kiện thứ hai: 2 x 2 y z 2 2 +2 +2 =1 (1.56) a1 b1 c1 Các phương trình này được dùng để tìm các bán trục a1, b1, c1 đó. 1.10 Các đạo hàm của thế từ và sự liên hệ giữa chúng Cường độ cực đại của trường từ theo hướng thẳng góc với mặt đẳng thế đi qua điểm cho trước liên hệ với thế từ U bằng biểu thức: G H= − gradU G B = −μ 0 gradU (1.57) Đối với trường từ dị thường, cường độ này được biểu diễn qua Ta. Nó thay đổi từ điểm này qua điểm khác không những theo môđun mà còn theo hướng, hướng này trùng với hướng đường sức của trường từ. Trong tính toán, để cho thuận tiện, người ta dùng các thành phần của véctơ đó trong hệ thống tọa độ cho trước. Trong trường hợp tổng quát cường độ trường từ theo hướng của véctơ đơn vị λ bằng ∂U G G G G G B = −μ =T λ = T cos( T , λ). (1.58) λ 0 ∂λ a a a Trong thăm dò từ, các hệ thống tọa độ khác nhau được sử dụng. Trong hệ thống tọa độ vuông góc, trục Oz thông thường hướng xuống dưới, trục Ox có hướng trùng với kinh độ địa từ, còn trục Oy hướng về phía phải của trục Ox. Trong hệ thống toạ độ đó: H0 = T0 cos I0 Z0 = T0 sin I0 (1.59) trong đó I0 là góc từ khuynh bình thường Trong địa từ, người ta dùng hệ thống tọa độ địa lý với trục Ox trùng với kinh tuyến hướng lên phía bắc. Các thành phần của cường độ trường địa từ bình thường X0, Yo, Z0 trong hệ thống tọa độ đó (giả thiết rằng i = I0, δ = D0) sẽ là: X0 = H0 cos D0 = T0 cos I0 cos D0 Y0 = H0 sin D0 = T0 cos I0 sin D0 (1.60) - Z0 = T0 sin I0 21
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 22 Trên hình 1.4 người ta biểu diễn các thành phần của trường từ địa phương trong hệ thống toạ độ kể trên. Trong trường hợp này để cho đơn giản người ta cho: RH,RR,RY,RXh0x0y0x===0 Các giá trị dị thường của trường từ thu được bằng cách lấy hiệu giữa giá trị đo được của trường với giá trị trường bình thường. Các biểu thức tương tự đối với các thành phần cường độ trường từ trong hệ tọa độ địa phương có thể thu được từ các biểu thức (1.60) mà trong đó thay cho góc D người ta dùng góc δ phương vị từ của trục Ox. Hệ tọa độ này rất thuận lợi để khảo sát các dị thường từ hai chiều. Trong trường hợp đó trục Ox được đặt trùng với phương thẳng góc với đường phương của dị thường. Thành phần Ha trùng với thành phần trên trục Ox, còn thành phần theo trục Oy bằng không. Hình chiếu của véctơ T0 trên mặt phẳng xOz được xác định bằng góc i, góc này liên hệ với độ từ khuynh I0 và phương vị từ của tuyến δ bằng công thức sau: x δ Rh Rx O i Ry y Rz To z Hình 1.4 Các thành phần trường địa phương ctgi= ctgI0 cos δ (1.61) Các từ kế hiện đại có độ chính xác cao đo được hoặc hiệu số ΔT giữa giá trị của môđun T tại điểm cho trước và tại điểm, được gọi là điểm tựa (khi đo từ hàng không, trên tuyến tựa), hoặc môđun T tại mỗi điểm quan sát. Trong trường hợp sau người ta thu được giá trị ΔT khi tu chỉnh các kết quả đo được. Trong thăm dò từ người ta thường nghiên cứu các dị thường từ. Dị thường này được ký hiệu bằng (ΔT)a. Giá trị này được xác định từ tam giác các véctơ (Hình 1.5) (ΔT)a = ⏐Ts⎢− ⎢T0⎢ (1.62) Trong tam giác này: 22
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 23 2 2 Ta = T0 + Ta + 2T0 T a cos γ trong đó γ là góc giữa hướng trường địa từ bình thường và Ta. Nếu đặt giá trị Ts này vào trong biểu thức (1.62) và cho T0 ra khỏi dấu ngoặc, ta có (Hình 1.5): (Δ= T) T⎡ 1 + (T/T)2 + 2(T/T)cosγ − 1⎤ (1.63) a 0⎣ a0 a0 ⎦ γ Ta To To Hình 1.5 Dị thường từ 2 ⎛ Ta ⎞ Khi Ta<< T0 có thể bỏ qua số hạng ⎜ ⎟ trong biểu thức đó. Khai triển các số hạng ⎝ T0 ⎠ T còn lại theo nhị thức Newton và chỉ giới hạn đến số hạng lũy thừa bậc nhất của a ta thu T0 được: ()ΔTa = Ta cos γ (1.64) Biểu thức thức này chứng tỏ rằng với những giá trị không lớn ⎢Ta ⎢thành phần dị thường (ΔT)a là hình chiếu Ta trên hướng trường bình thường tức là đạo hàm của thế từ theo hướng trường bình thường. Vì hướng này không đổi nên có thể xem nó như hàm thế Za, Xa, và Ya. Trong hệ thống tọa độ với trục 0x trùng với H0, ΔδTHcosIcosZsinI=+ ()a a0 a0 (1.65) =+XcosIa0a0 ZsinI trong đó δ là phương vị từ của Ha Hình chiếu của Ya trên T0 luôn bằng không. Trong các đạo hàm hạng cao của thế từ ta có thể đo trực tiếp các đạo hàm bậc hai - gradient của cường độ từ trường 23
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 24 ∂∂∂222UUU∂ 2U ,,,và ∂∂∂∂∂zxzix2 ∂i ∂ z Chỉ số i biểu thị vi phân theo hướng trường bình thường. Bằng tính toán ta có thể thu được các đạo hàm bậc ba (các đạo hàm bậc hai của Z hoặc ΔT). Ngoài các đại lượng vật lý đã được khảo sát, khi tính toán và phân tích các dị thường từ đối với các vật thể hai chiều đôi khi người ta còn dùng thế từ, cường độ trường, hoặc gradient phức. Thế từ phức Uk thu được từ các công thức tương ứng của thế từ trong điều kiện của bài toán hai chiều và trong các công thức đó thay độ từ hóa J và khoảng cách r bằng các biến phức: J= Jx + i J z , r= x+ i y (1.66) Cường độ trường từ phức Bk được tạo thành từ hai hàm liên hiệp phức H và Z vì: BkB = H + i Z (1.67) hoặc BkB = Z + i H (1.68) phụ thuộc vào hướng của các trục tọa độ. Khác với thế từ thường, thế phức có ý nghĩa vật lý (trường toàn phần), vì trên mặt phẳng các đại lượng phức có thể được xem như là các véctơ. * * Nếu đưa hàm điều hòa (ΔT) a, liên hợp với cường độ trường đo được (ΔT)a, véctơ (ΔT)a thẳng góc với hướng trường bình thường còn (ΔT)a trùng với trường bình thường, ta có thể thu được biểu thức của trường phức * Bk =( Δ T)a + i( Δ T)a (1.69) Có thể thực hiện các toán tử đó đối với các gradient ∂Z ∂Z ∂ΔT ∂ΔT và , và ∂x ∂z ∂x ∂z và vân vân. 1.11 Những đặc tính cơ bản của hàm số thế (điều hòa) 1.11.1 Định nghĩa về các hàm điều hòa và thế. Sự liên hệ giữa các hàm điều hòa với các hàm giải tích Như ta đã biết từ lý thuyết các hàm số thế, một hàm số hai lần khả vi thỏa mãn phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa. ∂ 2 U ∂ 2 U ∂ 2 U ΔU = + + = 0 (1.70) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 hàm này phải điều hòa tại vô cùng, tức là phải được thỏa mãn bất đẳng thức sau: 24
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 25 c U() r ≤ (1.71) r m− 2 khi r nhận giá trị lớn. Trong trường hợp này r là khoảng cách từ gốc tọa độ tới điểm quan sát, còn m là thứ nguyên của không gian Euclide. Trong miền hai chiều (m = 2), từ điều kiện (1.71) ta có thể suy ra rằng hàm điều hòa tại vô cùng bị giới nội (khi r → ∞). Đối với miền ba chiều (m=3) hàm tại vô cùng tiến tới không. Hàm số thế với quan điểm vật lý là hàm vô hướng của các tọa độ, gradien (H) của nó xác định cường độ trường toàn phần của trường véc tơ cần nghiên cứu (trường trọng lực, trường từ v.v ) H= − gradU Hàm số thế thỏa mãn phương trình Laplace trong miền điều hòa của mình. Nhắc lại việc biểu diễn phương trình Laplace trong hệ thống tọa độ cầu và trụ: Trong tọa độ cầu: 1 ∂ ⎛ ∂U ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂U⎞ 1 ∂ 2 U ⎜r 2 ⎟ + ⎜sin θ ⎟ + = 0 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r2 sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r2 sin ϕ ∂ϕ2 (1.72) Trong tọa độ trụ: 1∂ ⎛ ∂ U⎞ 1∂ 2 U∂ 2 U ⎜ρ ⎟ + + = 0 (1.73) ⎜ ⎟ 2 2 2 ρ ∂ ⎝ ∂ρ ⎠ ρ ∂ϕ ∂z Từ phương trình (1.72) ta có thể dễ dàng giải phương trình Laplace trong trường hợp có đối xứng cầu, tức là khi hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một tọa độ r, lúc đó phương trình trên có dạng d dU r( 2 )= 0 dr dr từ đó C U =1 + C r 2 Với nghiệm thu được nếu giả thiết rằng C1 = 1, C2 = 0, ta có nghiệm cơ bản của phương trình Laplace ở trong không gian 1 U = (1.74) 0 r Với độ chính xác đến một thừa số nhân, nghiệm này trùng với thế của một chất điểm hoặc của một diện tích điểm đặt ở gốc tọa độ. Bằng cách tương tự, từ phương trình (1.73) ta có thể thu được nghiệm cơ bản của phương trình Laplace cho trường hợp hàm cần tìm có tính chất đối xứng trụ. Trong trường hợp này nghiệm sẽ là: 25
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 26 ⎛1⎞ U0 = ln⎜ ⎟ (1.75) ⎝ r ⎠ Với độ chính xác đến một thừa số nhân, nghiệm này trùng với thế của một sợi vật chất mảnh hoặc sợi các cực mảnh có mật độ dài không đổi đặt song song với trục Oy (thẳng góc với ρ). Trong trường hợp bài toán phẳng (m=2), để nghiên cứu các hàm điều hòa một cách hữu hiệu người ta dùng công cụ lý thuyết hàm giải tích mà ta hiểu như là hàm biến phức liên tục và khả vi. Như đã được chứng minh trong lý thuyết của các hàm giải tích, phần thực và phần ảo của hàm giải tích. f() z= ϕ( x, y) + iψ( x, y) (1.76) trong đó z = x + iy là các hàm điều hòa thỏa mãn phương trình Laplace. Để cho hàm f(z) là hàm điều hòa thì các hàm số ϕ(x,y) và ψ(x,y) phải là các hàm liên hợp, tức là chúng cần phải liên hệ với nhau bằng các phương trình Cauchy-Riman ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ = ; = − (1.77) ∂x∂ y ∂y∂ x 1.11.2 Tiếp tục giải tích Một đặc điểm quan trọng nhất của các hàm giải tích là khả năng tiếp tục giải tích mà lần đầu tiên Riman đã chứng minh được. Ta hãy viết chuỗi các hàm lũy thừa 2 n f() z= c0 + c 1 ( z − z0 ) + c 2 ( z − z0 ) + + cn ( z − z 0 ) (1.78) trong đóc 0, c 1 , , c n là các đại lượng phức. Dùng dấu hiệu Cauchy ta có thể xác định được tính hội tụ của chuỗi. Theo dấu hiệu đó, chuỗi sẽ hội tụ khi n n cn () z− z0 = z − z0 c n < 1 1 n Nếu biểu diễn qua Λ là cận trên của dãy cn < 1 n Λ= sup C n n → ∞ thì ta có thể khẳng định được rằng chuỗi (1.78) hội tụ với mọi giá trị của z khi Λ= 0, còn khi Λ≠ 0 hội tụ khi ⏐z − z0⏐< 1/ Λ (định luật Cauchy Adamar). Đại lượng 1/Λ được gọi là bán kính hội tụ và xác định vòng tròn bao quanh điểm z mà trong phạm vi của nó chuỗi các hàm lũy thừa hội tụ tuyệt đối. Trong giới hạn của vòng tròn đó chuỗi (1.78) là chuỗi Taylor mà các hệ số c0, c1 cn được xác định qua các giá trị của f(z) và các hàm đạo hàm của nó. fn ( z) c = n !n 26
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 27 Nhờ có chuỗi Taylor, ta có thể thu được giá trị tiếp tục giải tích của hàm f(x) cho trước trên trục thực trong khoảng [a, b] vào trong miền các giá trị phức của các biến. Hàm f(x) tại lân cận của điểm x: x − δ < x < x+δ mà trong đó nó là hàm giải tích có thể được biểu diễn bằng chuỗi Taylor với các hệ số thực: ∞ k f() x=∑ ck ( x − x 0 ) (1.79) k= 0 chuỗi ∞ k F()z=∑ ck ( z − z 0 ) k= 0 là giá trị tiếp tục giải tích của hàm số đó trong miền D của mặt phẳng biến số phức chứa đoạn [a,b] với điều kiện là trên đoạn này F(z) = f(x). Chuỗi này sẽ hội tụ trong vòng tròn c(δ, xx) với bán kính z− x 0 < δ . Nếu cho f(z) trong biểu diễn (1.78) bằng không ta thu được nghiệm của hàm giải tích như là nghiệm của phương trình đó. Từ phương trình (1.78) ta suy ra rằng khi z là nghiệm của hàm f(z), số hạng tự do của chuỗi đó sẽ là c0 = f(z0) = 0. Giả sử k là giá trị bé nhất trong các hệ số khác không (k ≥ 1). Trong trường hợp đó biểu thức (1.78) có thể viết dưới dạng sau: k k+ 1 f() z= ck ( z − z0 ) + ck+ 1 ( z − z 0 ) (1.80) Số k xác định độ bội nghiệm (khi k=1 ta gọi đó là nghiệm đơn) Cùng với biểu thức vi phân (1.14) đối với chuỗi Taylor còn có biểu thức tích phân mà Cauchy đã thu được. 1 )z(f c = dz n= 0,1 2, (1.81) n ∫ n+ 1 2π i C ()z− z 0 Trong đó C là một vòng tròn nào đó có tâm tại z nằm trong miền hội tụ sử dụng biểu thức này từ chuỗi các hàm số lũy thừa ta có thể đưa ra được công thức tích phân Cauchy: 1 f (ζ ) )z(f = dζ (1.82) 2π i ∫ (ζ − z ) Cδ 0 Công thức này cho ta giá trị của f(z) tại một điểm trong của vòng dây tròn cδ qua các giá trị của hàm số đó trên mặt ranh giới của nó ⎪ζ − z0⎪ = σ. Tích phân (1.82) có thể được phát triển ra cho biến của bất kỳ vòng tròn nào khác ở trong miền D mà trong đó hàm f(z) đơn trị và khả vi. Đối với những điểm nằm trên chính đường tròn, hàm số dưới dấu tích phân không được xác định. Trong vòng tròn Γ tích phân Cauchy có đạo hàm ở tất cả mọi hạng: !n f (ζ ) fn (z) = dζ . (1.83) ∫ n+ 1 2π i Γ (ζ − )z ) Điều đó có nghĩa là hàm giải tích có đạo hàm ở tất cả mọi hạng đồng thời các đạo hàm đó cũng là các hàm giải tích trong miền D. Sử dụng các biểu thức (1.81) và tính giới nội của tích phân ta có thể đánh giá các môđun của các hệ số trong chuỗi Taylor: 27
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 28 1 )z(f 1 M M c = dz ≤ 2π R = (1.84) n ∫ n+ 1 n+ 1 n 2π i C (z− z0 ) 2π R R trong đó R là bán kính của vòng tròn hội tụ. Từ biểu thức (1.84) ta có định lý Liuvil mà theo đó hàm số giải tích trên toàn bộ mặt phẳng z bị giới hạn theo môđun sẽ bằng hằng số (Khi R→ ∞ hệ số cn khi n → 0 bằng không, từ đó f(z) = c0 = const ). Nếu miền giải tích của hàm số f(z) không phải là vòng tròn, thì hàm số đó sẽ có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Lauran. ∞ k f ()z=∑ ck ( z − z 0 ) (1.85) −∞ Chuỗi này được biểu diễn qua tổng của hai chuỗi ∞ −1 k k fz()=∑ c(zz)k −0 +∑ c(zz)k − 0 (1.86) 0 −∞ Chuỗi đầu tiên đã được khảo sát ở trên. Chuỗi này hội tụ trong vòng tròn có bán kính ⎪z − z0⎪ r , tức là trong miền ngoài đối với vòng tròn z− z0 = r . Miền hội tụ chung cho cả hai chuỗi là hình vành khăn r≤ z − z0 ≤ R . Khai triển thành chuỗi Lauran có tính chất duy nhất. Trong trường hợp riêng, r có thể bằng không và lúc đó thay cho hình vành khăn người ta khảo sát vòng tròn hội tụ R có tâm bị tách ra. Các hệ số ck trong triển khai thành chuỗi Lauran được xác định bằng tích phân Cauchy. 1 f (ζ ) c = dζ k=0 , ± 1 , ± 2 (1.88) k ∫ k+ 1 2π i Γ (ξ − z0 ) Khi đó đường Γ cần phải nằm trong hình vành khăn với các bán kính trong ngoài là r và R. 28
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 29 1.11.3 Các điểm đặc biệt của hàm số giải tích Các điểm mà tại đó hàm không còn tính giải tích được gọi là các điểm đặc biệt cô lập của hàm giải tích f(z) trong miền D. Phụ thuộc vào tính chất của hàm f(z) xung quanh điểm đặc biệt mà người ta phân các điểm đặc biệt thành các điểm đặc biệt có thể triệt tiêu được và các điểm đặc biệt thực. Điểm đặc biệt a được gọi là triệt tiêu được khi lim f (z)= c (giới nội) z−> a Còn điểm cực lim f (z) = ∞ (1.89) z−> a Điểm đặc biệt thực là điểm không có giới hạn. Các hàm điều hòa không có các điểm đặc biệt này. Cần phải nhấn mạnh rằng xung quanh điểm cực hàm giải tích có thể đơn trị hoặc đa trị. Đối với hàm đơn trị việc tiếp tục giải tích theo một đường kín bất kỳ trong miền ⎪z − a⎪ < R không thay đổi giá trị của nó, còn đối với hàm đa trị có thể tiến tới điểm xuất phát trên mặt phẳng f(z) chỉ sau khi quay k vòng trên mặt phẳng của biến độc lập z. Ví dụ n hàm f(z) = z tương ứng với z0 có n giá trị f(z0) với cùng một môđun bằng giá trị căn số nhưng với argument khác nhau 2π /n. Vì vậy trên mặt phẳng f(z) ta rơi vào cùng một điểm sau khi đã vòng n vòng z− a (cực của hàm này a = 0). Đối với hàm lnz có vô số các giá trị. ln z= ln z + i arg z = ln r + i( ϕ + 2k π) (1.90) Khi đi vòng theo đường tròn z− a (cực của hàm này a=0), nói chung ta không thể quay trở về điểm xuất phát f(z0). Những điểm đặc biệt như vậy được gọi là các điểm đặc biệt nhánh của các hàm giải tích. -1 Hệ số c-1 của (z − a) trong khai triển Lauran được gọi là thặng dư của hàm số f(z) đối với điểm đặc biệt a và được biểu diễn bằng res f (a) hoặc resa f(z). Tương ứng với biểu thức (1.88) 1 resf (a) = ∫ f (z)ds (1.91) 2π i Γ Tại điểm đặc biệt có thể hủy bỏ được res f(a) bằng không. Thặng dư tại điểm cực hạng n được xác định bằng công thức: 1dn1− res(a)= lim [(z− a)n f(z)] (1.92) (n− 1)!za→ dzn1− Đối với điểm cực hạng một res(a)=− limza→ [(z a)f(z)] (1.93) Từ biểu thức (1.91) ta suy ra rằng tích phân theo đường kín bao quanh điểm đặc biệt, không bằng không. Khi trong vòng Γ có một vài điểm đặc biệt thì theo định lý Cosi 29
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 30 ∫f (z)dz= ∫ f (z)dz = = ∫ f (z)dz = Γ γ1 γ m (1.94) =2 π i[] res1 f() z + + resn f () z Việc sử dụng công thức (1.94) đối với hàm f(z) mà một vài điểm đặc biệt của nó nằm cao hơn trục thực (Hình 1.6) có thể có giá trị thực tế. Vẽ nửa đường tròn với tâm O mà các điểm đặc biệt rơi vào đó, ta có thể viết: R f (z)dz= f (x)dx+ f (z)dz (1.95) ∫c ∫ ∫ΓR −R C b a k -R O R Hình 1.6 Chứng minh công thức (1.96) Trong đó chỉ có số R ở tích phân thứ nhất có nghĩa là tích phân được tính dọc theo đường tròn khi mà f(z) trong nửa không gian trên tiến tới không nhanh hơn 1/z. Điều kiện đó có thể được viết dưới dạng f(z) = α(z)/z, trong đó α→0 khi z →∞. Tích phân thứ hai trong biểu thức (1.95) tiến tới không vì môđun của nó có thể được làm cho bé tùy ý khi ⎪α(z)⎪<ε α )z( ε f (z)dz = dz ≤ πR = πε ∫ ∫ z R γ R γ R Tương ứng với (1.95) thay các cận ± R trong tích phân đầu tiên ở trong vế phải bằng ± ∞ ta thu được. ∞ f (x)dx= 2 π i[res f (z)+ + res f (z)] ∫ a k (1.96) −∞ ở đây f (z) là giá trị tiếp tục giải tích của f(x) 1.11.4 Các biểu thức tổng quát của trường thế, các đặc điểm của hàm số thế Trong lý thuyết thế người ta chia ra thành thế của lớp đơn giản σdS U = ∫∫ (1.97) S r 30
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 31 và thế của lớp kép μ cos ϕ U = ∫∫ dS (1.98) S r thế Newton hoặc thế khối ρdV U = ∫∫∫ (1.99) V r Trong các biểu thức đó r=() x − ξ )2 +()() y − η2 + z − ζ 2 trong đó x, y, z là tọa độ của điểm mà tại đó người ta tính thế (điểm ngoài), ξ, η, ζ của điểm G trên mặt S hoặc trong khối V, tại đó có nguồn thế, ϕ là góc giữa r và pháp tuyến ngoài với mặt S (Hình 1.7), σ(ξ, η, ζ) và μ (ξ, η, ζ) là mật độ của lớp đơn hoặc lớp kép, ρ (ξ, η, ζ) là mật độ khối (mật độ thể tích dm/dv). Nếu m là hàm không khả vi của tọa độ thì biểu thức (1.99) biến thành tích dm phân U = ∫∫∫ V r Trong mô hình hai chiều khi mà sự phân bố của khối lượng chỉ phụ thuộc vào hai tọa độ ξ và ζ, các biểu thức (1.97) và (1.98) biến thành 1 U=∫ σ 'ln dl (1.100) C r 1 U=∫∫ σ 'ln dS (1.101) S r trong đó tích phân được thực hiện tương ứng với vòng C và diện tích S. Các thế như vậy được gọi là các thế loga. Từ biểu thức → ∂ r cos(n, r)= cos ϕ (1.102) ∂n 31
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 32 P n ϕ M1 n ϕ M2 Hình 1.7 Tính các biểu thức thế ta suy ra rằng ∂ ⎛1⎞ 1 ∂r cos ϕ ⎜ ⎟ = − = − (1.103) ∂n ⎝ r ⎠ r 2 ∂n r 2 Thế lớp đơn trên mặt S có giá trị giới nội mặc dù trong miền tích phân khi ξ=x, η= y, ζ = z hàm số dưới dấu tích phân biến thành vô cùng cũng như khi cho điểm P tiến đến vô cùng. Nếu có điều kiện khi mà trên mặt S chỉ có các khối cùng một dấu thì tích phân tiến tới không 1 giống như hàm . Khi đó lim rU = M , trong đó M là toàn bộ khối lượng của lớp. Nếu có r r→∞ hiện tượng đổi dấu trong sự phân bố khối lượng trên mặt S thì M=0 nên limr→∞ rU= 0 Thế Newton giữ nguyên tính điều hòa trong miền chứa nguồn có đặc điểm như vậy. Thế lớp kép liên tục trong toàn không gian ngoại trừ các điểm thuộc mặt S. Khi chuyển qua mặt này giá trị của thế gián đoạn. Thế Newton trong trường hợp tổng quát thỏa mãn phương trình Poisson. ΔU = − 4πρ (1.104) Tại miền không có nguồn ρ = 0 phương trình trên trở thành phương trình Laplace. ΔU=0. Gradient của thế U hướng dọc theo pháp tuyến với mặt mức C đi qua điểm P điểm mà tại đó ta tính gradient, và về mặt vật lý là giá trị cường độ toàn phần của trường tại điểm đó. Gradient của U được biểu diễn qua các thành phần cường độ theo các trục tọa độ Hx, Hy, Hz theo cách như sau: ∂U ∂U ∂U ∂U gradU = = cos(n, x) + cos(n, y) + cos(n,z) ∂n ∂x ∂y ∂z (1.105) 32
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 33 Khoảng cách Δn giữa các mặt mức mà giá trị hàm thế khác nhau một lượng ΔC được biểu diễn qua gradient của U dưới dạng sau: ΔC Δn = gradU Từ đó ta suy ra rằng khi gradient tăng, khoảng cách giữa các mặt đẳng thế giảm Thông lượng của gradient của thế qua mặt kín mà trong đó không có nguồn bằng không ∂U ∫∫ ds= 0 (1.106) S ∂n Khi mặt bao quanh nguồn ∂U ∫∫ dS= 4 π M (1.107) S ∂n trong đó M là toàn bộ khối của nguồn nằm trong mặt S. Đối với các hàm số, ta có định lý Gauss về giá trị trung bình như sau: 1 U(P ) = UdS (1.108) 0 4π r 2 ∫∫ Sr Theo định lý này giá trị của hàm thế tại điểm Po bằng tích phân của hàm số đó trên mặt cầu bán kính r có tâm tại điểm Po với điều kiện là trong mặt đó không có nguồn tạo ra thế. Từ định lý này ta suy ra rằng trong miền D hàm U điều hòa ∂ U (Đạo hàm theo pháp tuyến của hàm thế gián đoạn trên mặt của lớp đơn, còn đạo ∂ n ∂ 2 U hàm bậc hai theo r của thế Newton lại gián đoạn khi đi qua mặt ranh giới chứa các ∂ r 2 khối thể tích với mật độ ρ). Các giá trị cực đại và cực tiểu chỉ có thể có được tại các điểm trên mặt giới hạn miền đó. Đối với các hàm thế Newton loga (1.101), phương trình Poisson có dạng ΔU= − 2πρ ' U (1.109) Khi cắt qua ranh giới chứa nguồn thì có một trong các đạo hàm bậc hai của thế loga gián đoạn. Khác với thế khối, thế loga không tiến tới không tại vô cùng mà tại đó thế loga có những đặc điểm riêng. Nhờ có công thức Green mà người ta có thể đưa ra được phương trình biểu diễn thế U tại điểm P qua thế Newton và thế của lớp đơn và lớp kép Với hai hàm thế vô hướng U và V, công thức Green có dạng sau: ∂U ∂V ∂V ∫ (UV(Δ + . )dV= ∫ U dS (1.110) V ∂n ∂n S ∂n 33
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 34 ∂V ∂U ∫ (UΔ V − V Δ U)dV = ∫ (U − V )dS (1.111) V S ∂n ∂n 1.12 Về thứ nguyên và đơn vị dùng trong giáo trình này Trong giáo trình các đơn vị được sử dụng trong hệ SI. Trong hệ này có bốn đơn vị cơ bản: Khối lượng (M), độ dài (L), thời gian (T), cường độ dòng điện (I) tương ứng là kg, m, s, A. Trong hệ thống này thứ nguyên của một số đại lượng chính được trình bày trong bảng (1.1) Bảng 1.1 Đại lượng vật lý Ký Thứ nguyên Đơn vị hiệu Cường độ điện trường E MLT-3I-1 V/m -2 -1 Cảm ứng từ B MT I Tesla(Wb/m) Cường độ từ trường H L-1I A/m Cảm ứng điện D L-2TI C/m2 Mật độ dòng điện j L-2I A/m2 Mật độ điện tích khối ρ L-3TI C/m3 Độ dẫn điện σ M-1L-3T3I2 Ω-1m-1 -1 -3 4 2 Độ điện thẩm εo M L T I F/m -2 -2 Độ từ thẩm μo MLT I H/m Trong môn địa từ, từ trước đến nay người ta thường quen sử dụng các đơn vị điện từ CGS (CGSE và CGSM), vì vậy việc đưa vào hệ thống đơn vị SI mới có gặp một số chống đối nhất định. Lý do là trong hệ điện từ CGS giá trị của các véctơ B và H chỉ khác nhau khi chúng được đo trong các vật liệu từ còn trong không khí chúng có cùng một giá trị, vì trong hệ đơn vị này μ0 =1 và không có thứ nguyên; do đó mà các nhà địa từ không cần phải quan tâm là trong các đài vật lý địa cầu của mình H hay B được đo. Trong địa từ, đơn vị đo là gama (γ) với 1γ = 10-5 Gauss =10-5 Oersted -7 Ngược lại trong hệ SI, μ0 là một đại lượng có thứ nguyên và có giá trị bằng 4π.10 H/m. Trong hệ đơn vị này B và E có vai trò như nhau, vì vậy khi nói về trường từ người ta thường nghĩ đến B. Trong hệ đơn vị này đơn vị đo B là Tesla. Sự liên hệ giữa gama (γ) và Tesla là: 1γ = 10-9 Tesla = NanoTesla (nT). 34
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 Chương 2. Mô tả trường từ của quả đất Tôn Tích Ái Địa từ và thăm dò từ. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Từ khoá: Địa từ và thăm dò từ, Trường từ, Đo từ, Đo vẽ từ, Bản đồ từ, Catalogue. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 2 Mô tả trường từ của quả đất 2 2.1 Các yếu tố từ của Quả Đất 2 2.2 Các phương pháp nghiên cứu trường địa từ 4 2.3.1 Đo từ mặt đất 5 2.3.2 Đo từ trên mặt biển 5 2.3.3 Đo vẽ từ hàng không 5 2.3.4 Đo vẽ từ bằng vệ tinh 5 2.3.5 Đo từ tại các đài vật lý địa cầu 6 2.3.6 Các phương pháp gián tiếp 6 2.3 Các phương pháp biểu diễn trường địa từ 6 2.3.1 Catalogue 6 2.3.2 Các bản đồ từ 6 2.3.3 Một số số liệu trường từ tại Việt Nam 10 1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 Chương 2 Mô tả trường từ của quả đất 2.1 Các yếu tố từ của Quả Đất Các quan sát trực tiếp trên mặt đất cũng như ở ngoài nó, chứng tỏ rằng quả đất nằm trong trường từ. Ví dụ, nếu treo kim nam châm sao cho nó có thể quay tự do xung quanh trọng tâm, thì tại mỗi điểm của Quả Đất, kim sẽ dừng lại tại vị trí xác định. Thí nghiệm đơn giản đó chứng tỏ rằng trường từ tại mỗi điểm là trường từ đồng nhất. Song với các điểm đủ xa nhau , thì trục của nam châm tại các điểm khác nhau sẽ có phương khác nhau đối với trục quay. Như vậy là trường từ theo toàn mặt đất không phải là trường từ đồng nhất. Nhiệm vụ khoa học của môn địa từ và thăm dò từ là nghiên cứu bằng thực nghiệm trường từ đó với mục đích xác định nguyên nhân và sự liên hệ của trường từ của Quả Đất với các hiện tượng vật lý khác nhau xẩy ra trong vỏ, lòng quả đất và trong khí quyển bao quanh nó. Đại lượng đặc trưng cho trường từ của Quả Đất cũng như tất cả các trường khác là cường GG G độ trường từ H(B)T và các thành phần của nó. Để khai triển vectơ H T ra thành các thành phần, thông thường người ta sử dụng hệ thống tọa độ vuông góc. Trong hệ tọa độ này, trục x hướng theo kinh tuyến địa lý, trục y hướng theo vĩ tuyến. Người ta xem hướng dương là hướng lên phía bắc theo trục x, và hướng sang đông theo trục y. Trục thứ ba (trục z) hướng thẳng đứng từ trên xuống dưới. Đặt gốc tọa độ tại điểm mà ở đó ngừơi ta tiến hành quan sát vectơ cường độ trường từ G của Quả Đất. Tại đây vectơ H T trong hệ thống tọa độ chiếm một vị trí xác định. Hình chiếu của vectơ này trên trục x được gọi là thành phần bắc (X), hình chiếu trên trục y được gọi là thành phần đông (Y) còn hình chiếu trên trục z được gọi là thành phần thẳng đứng (Z) Hình G chiếu của H T trên mặt phẳng nằm ngang được gọi là thành phần nằm ngang và được ký hiệu bằng chữ H (Hình 2.1)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3 X H D I Y y HT Z z Hình 2.1 Các thành phần của trường địa từ G Mặt phẳng thẳng đứng ZOH mà H T nằm trong đó, được gọi là mặt phẳng kinh tuyến từ (local magnetic meridian ) còn góc D - góc nằm giữa mặt phẳng kinh tuyến từ và mặt phẳng XOZ được gọi là độ từ thiên hay độ lệch từ (magnetic declination). G Còn góc I giữa mặt phẳng nằm ngang và vectơ H được gọi độ từ khuynh hay độ nghiêng T G từ (magnetic dip or magnetic inclination). Từ hình 2.1 ta thấy rằng D dương nếu H hướng về G G phía Đông, âm nếu H hướng về phía Tây. I dương nếu H hướng xuống dưới (điều này xẩy G T ra ở bán cầu Bắc), âm khi H T hướng lên trên (bán cầu Nam). Các yếu tố từ kể trên có thể được xem như là tọa độ điểm đầu cùa H trong hệ tọa độ G T khác nhau. Ví dụ X, Y, Z là tọa độ điểm đầu của H T trong hệ thống tọa độ vuông góc. Z, H, D là tọa độ trong hệ thông tọa độ trụ HT, D, I trong hệ thông tọa độ cầu. Trong mỗi một hệ thống tọa độ các thành phần đã được kể đến là các thành phần độc lập. Để chuyển từ hệ thống toạ độ này sang hệ thống tọa độ khác, người ta dùng các công thức sau: X= H cos D; Y= H sin D; Z= HtgI; 2 2 2 2 2 2 HXY;HHZ;= + T = + (2.1) HT = H sec I = Z cos ecI; Y tgD = . X Các quan sát đối với các đại lượng này chứng tỏ rằng chúng không cố định theo thời gian mà liên tục thay đổi từ giờ này sang giờ khác từ ngày này qua ngày khác và từ năm này qua năm khác. Người ta thấy các biến đổi này có tính chất tuần hoàn nhưng chu kỳ, pha, biên độ thay đổi rất khác nhau. Thông thường, theo các đặc trưng của các biến thiên người ta có thể phân chúng thành hai loại: Biến thiên có đặc trưng chu kỳ nhanh và biến thiên chậm. Các biến thiên chậm còn được gọi là các biến thiên thế kỷ. 3
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4 Nghiên cứu cả hai loại biến thiên này người ta thấy chúng không những khác nhau theo các đặc trưng bên ngoài mà còn khác nhau theo nguồn gốc sinh thành nữa. Nguồn gốc của các biến thiên nhanh là các dòng điện trong các lớp cao của khí quyển (tầng điện ly), còn các biến thiên thế kỷ lại liên hệ với các nguồn nằm trong Quả Đất có cùng nguồn gốc với chính trường từ của Quả Đất. Với những lý do trên, người ta chia trường từ quan sát được ra thành hai phần: trường không đổi và các biến thiên thế kỷ có nguyên nhân bên trong, các trường từ biến đổi nhanh hơn có nguồn gốc bên ngoài. 2.2 Các phương pháp nghiên cứu trường địa từ Các phương pháp cơ bản để nghiên cứu trường từ của Quả Đất là các quan sát trực tiếp về sự phân bố không gian của trường từ, cũng như các biến thiên của nó trên mặt đất và trong không gian quanh đó. Việc đo đạc các thành phần của trường từ tại các điểm khác nhau, được gọi là đo vẽ từ. Phụ thuộc vào miền đo vẽ mà các đo vẽ từ được phân thành: đo vẽ trên mặt đất, trên mặt biển, đo vẽ hàng không và vệ tinh. Phụ thuộc vào nhiệm vụ đề ra mà các đo vẽ có thể được phân thành: đo vẽ toàn cầu, đo vẽ khu vực và đo vẽ địa phương. Theo các yếu tố đo được, các đo vẽ có thể là các đo vẽ môđun (đo vẽ T), đo vẽ thành phần (đo một hoặc vài thành phần) và đo vẽ số gia ΔT hoặc ΔZ. Hiện nay việc đo vẽ từ được thực hiện tại từng nước, do các cơ quan chuyên môn đảm nhiệm; trong đại đa số các trường hợp, các đo vẽ chỉ được tiến hành trên lãnh thổ của nước đó mà thôi. Tuy nhiên để tìm các quy luật về sự phân bố của trường từ trên mặt Quả Đất và để xây dựng các cơ sở lý thuyết cho trường địa từ, người ta không thể chỉ giới hạn việc quan sát các thành phần của trường từ trên một phần lãnh thổ của Quả Đất mà cần phải tiến hành đo đạc trên toàn mặt đất trong khoảng nhiều thế kỷ. Trường từ của Quả Đất không chỉ thay đổi theo thời gian mà chính bản thân các thay đổi đó có các đặc tính khác nhau tại các điểm khác nhau trên mặt đất. Vì vậy các quan sát tại các vùng khác nhau trong những thời gian khác nhau không phù hợp với nhau. Trong những trường hợp đó người ta phải tiến hành hiệu chỉnh cho chu trình thế kỷ (sự thay đổi của mỗi một yếu tố trường từ sau khoảng thời gian một năm). Các thay đổi này đáng được chú ý vì chúng cho phép người ta hiểu được động lực của nguồn trường của Quả Đất và cấu tạo bên trong của nó. Song cho đến nay các quy luật về sự phân bố chu trình thế kỷ trên mặt đất còn chưa được nghiên cứu hoàn thiện, vì vậy mà trong nhiều trường hợp các hiệu chỉnh này còn nhiều sai số. Chính vì những lý do trên mà tại đại hội lần thứ XI của ủy ban năm vật lý địa cầu quốc tế họp tại Toronto (Canađa) người ta đã đưa ra vấn đề về việc tiến hành đo vẽ từ trên phạm vi toàn thế giới theo một kế hoạch chung. Cuối những năm 50 và đầu những năm 60 các nổ lực của các quốc gia riêng biệt về nghiên cứu trường từ của Quả Đất trên phạm vi toàn cầu đã được thống nhất trong chương trình đo từ thế giới. Trong chương trình này các nước Liên Xô (cũ), Mỹ, Canađa và Nhật Bản thực hiện các đo từ thành phần. Các đo vẽ này phần lớn được thực hiện trên không và trên biển tại tất cả các vùng của Quả Đất bao gồm cả Bắc cực và Nam cực. Tuy nhiên độ chính xác của các đo vẽ chưa cao.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 5 2.3.1 Đo từ mặt đất Hầu như tất cả các nước đều tiến hành đo từ trên mặt đất thuộc lãnh thổ của mình. Các đo đạc về độ từ thiên đầu tiên được tiến hành trong các thế kỷ 16-17, còn các đo vẽ từ hệ thống được tiến hành từ nửa đầu của thế kỷ 20 này. Trong một số nước nhỏ người ta tiến hành đo lặp lại. Đo từ mặt đất tuy có năng suất thấp nhưng vẫn có giá trị lớn khi phải nghiên cứu chi tiết cấu trúc của trường trên những vùng hẹp . 2.3.2 Đo từ trên mặt biển Diện tích của các biển và đại dương chiếm khoảng 3/4 toàn bộ diện tích của mặt đất, vì vậy mà khoa học địa từ sẽ không có giá trị nếu như không tiến hành các quan sát địa từ trên các đại dương đó. Trước đây người ta cũng đã đo rời rạc các yếu tố địa từ trên mặt biển. Các đo đạc đó cho đến nay chỉ còn giá trị lịch sử. Công việc đo từ rộng rãi và có hệ thống đầu tiên được tiến hành ở Mỹ do viện Cargnegui đảm nhiệm từ năm 1905 -1929. Đặc điểm của các đo từ trên biển là cần phải tiến hành quan sát từ ở trên tàu. Các tàu này liên tục thay đổi vị trí của mình trong không gian và đồng thời lại có trường từ riêng luôn thay đổi tùy thuộc vào vị trí của tàu. Vì vậy phương pháp đo từ trên mặt biển cần phải chú ý đến hai đặc tính kể trên. Tại Liên xô (cũ), sau tai nạn của tàu Mỹ Cargnegui đã nhanh chóng đặt vấn đề xây dựng tàu không từ tính để tiến hành quan sát trên các biển và đại dương. Tuy nhiên chương trình bị gián đoạn vì chiến tranh thế giới thứ hai bùng nổ. Đến năm 1952 tàu Za ria (Rạng đông) của Liên xô đã được hạ thủy ở Lêningrad để tiến hành đo từ. Trên tàu này người ta tiến hành ghi liên tục các thành phần H và Z và modun của vectơ toàn phần HT. Trong khi tàu Za ria tiến hành đo đạc trên mặt biển thì tại Mỹ, Canađa, Nhật bản người ta cũng tiến hành đo từ hàng không. Các số liệu thu được có thể được dùng để biểu diễn cấu trúc không gian và thời gian của trường địa từ chính. Từ những năm 50 người ta bắt đầu tiến hành đo từ trên mặt biển bằng các tàu kim loại có mang theo từ kế. Đầu tiên là các từ kế ferozond được sử dụng, tiếp sau đó người ta bắt đầu sử dụng các từ kế proton. 2.3.3 Đo vẽ từ hàng không Ngày nay người ta đã sử dụng rộng rãi các phương pháp đo từ hàng không. Đo từ hàng không có một số ưu điểm so với các phương pháp đo từ khác. Thực tế, đo từ hàng không có thể được thực hiện trên mọi loại địa hình, máy bay có trường từ riêng bé nên đảm bảo hiệu suất đo vẽ cao. Đo từ hàng không không những được sử dụng để nghiên cứu trường từ của Quả Đất nói chung mà còn được sử dụng để nghiên cứu địa chất, tìm kiếm và thăm dò các khoáng sản có ích. 2.3.4 Đo vẽ từ bằng vệ tinh Thành công lớn trong việc nghiên cứu cấu trúc không gian của trường địa từ là nhờ trong những năm 60-70 người ta đã tiến hành đo môđun từ từ các vệ tinh nhân tạo. Đầu tiên người ta sử dụng từ kế ferôzond, sau đó người ta sử dụng các từ kế proton và rồi đến các từ kế lượng tử. Trong các vệ tinh đầu tiên, lượng thông tin được truyền về các trạm đặt trên mặt đất khi vệ 5
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 6 tinh bay qua các trạm đó. Ngày nay với việc sử dụng bộ nhớ người ta có thể thu được các số liệu về trường từ ghi được trên toàn bộ quỹ đạo của vệ tinh. Các kết quả đầy đủ chính xác về trường từ của quả đất là do các vệ tinh Cosmos - 49 (Liên xô) AGO- 2, 4 (Mỹ) thu được. Các số liệu này thu được trong khoảng thời gian rất ngắn cho phép người ta gạt bỏ được các biến thiên có chu kỳ dài. Các đo vẽ lặp lại sau đó nhiều năm được thưc hiện từ các vệ tinh AGO (Mỹ) Cosmos (thế hệ mới) cho phép người ta biết tỷ mỷ hơn về sự thay đổi của trường địa từ trong những năm tiếp theo. 2.3.5 Đo từ tại các đài vật lý địa cầu Để theo dõi sự thay đổi liên tục của các yếu tố của trường địa từ theo thời gian, người ta tiến hành ghi từ tại các đài vật lý địa cầu. Tại đây các biến thiên kế ghi liên tục các biến thiên từ dưới dạng các đồ thị trên giấy đặc biệt hoặc trên băng từ, trên các đĩa. Nhờ các đồ thị đó hoặc các số liệu trên băng từ, trên đĩa mà tại mỗi thời điểm người ta có thể xác định được các giá trị tuyệt đối của trường địa từ với độ chính xác ± 0,0001H (đo H) ±0,0001Z (đo Z) và ±0,010 (đối với độ từ thiên). Ngày nay trên toàn thế giới có khoảng hơn 200 đài vật lý địa cầu hoạt động thường xuyên. 2.3.6 Các phương pháp gián tiếp Khi nghiên cứu các tính chất từ của các đất đá, người ta có thể xác định được hướng của trường từ tại thời điểm thành tạo đá. Từ đặc tính này, hai lĩnh vực mới của phương pháp địa từ xuất hiện: Cổ từ và khảo cổ từ. Mặc dầu còn khá phức tạp và có chỗ chưa chính xác, nhưng những lượng thông tin này là nguồn tài liệu thực nghiệm duy nhất để có thể hình dung được trường địa từ trong quá khứ. 2.3 Các phương pháp biểu diễn trường địa từ Các quan sát từ được tiến hành tại các điểm khác nhau trên mặt đất, trên biển, trong không khí và trong vũ trụ cho chúng ta những số liệu khác nhau về sự phân bố các yếu tố địa từ của quả đất nói chung. Để biểu diễn các kết quả thu được người ta sử dụng các bảng kê (Catalogue) và các bản đồ từ. 2.3.1 Catalogue Phương pháp đầu tiên để tổng quát hóa các kết quả đo từ là các bản kê các xác định từ, trong đó người ta ghi tọa độ của các điểm, thời gian đo và số trị thu được. Hiện nay, để thuận tiện cho việc tu chỉnh các số liệu trên máy tính điện tử, người ta sử dụng các phương pháp ghi để có thể trực tiếp đưa các số liệu đó vào máy tính. 2.3.2 Các bản đồ từ Phương pháp thứ hai để biểu diễn các kết quả đo từ là phương pháp đồ thị, tức là phương pháp biểu diễn các kết quả thu được trên bản đồ dưới dạng các đường đẳng trị. Việc thành lập bản đồ các đường đẳng trị như vậy làm giảm nhẹ việc nghiên cứu trường từ của Quả Đất cũng như việc sử dụng các số liệu thu được.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 7 Hình 2.2.a Bản đồ đẳng từ thiên. 1975 (D đo bằng độ) Các bản đồ này thể hiện các đặc tính định lượng cũng như định tính của trường từ của quả đất nói chung cũng như tại từng vùng riêng biệt. Vì các yếu tố của trường địa từ luôn luôn thay đổi theo thời gian, nên việc thành lập các bản đồ từ thường được quy định về một thời điểm nào đó. Thời điểm này đúng vào giữa năm. Đó là ngày một tháng bảy. Thời điểm này được gọi là thời kỳ hay niên đại. Các bản đồ từ thế giới được trình bày trên các hình 2.2 cho ta những khái niệm chung nhất về sự phân bố các yếu tố địa từ trên mặt đất. Hình 2.2.b Bản đồ đẳng Z (103 nT) 7
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 8 Hình 2.2 Bản đồ đẳng H (103 nT) Từ các bản đồ từ đó, ta thấy rằng các đường đẳng trị là hệ thống các đường cong phân bố theo những quy luật nhất định. Ví dụ các đường đẳng từ thiên (Hình 2.2.a), xuất phát từ một điểm và hội tụ tại điểm khác, hầu như đối diện với nhau qua tâm hình cầu. Ngoại lệ là tại phần phía Đông của lục địa châu Á, các đường đẳng trị có dạng khép kín. Nếu vẽ các đường đẳng từ thiên tại các vùng cực địa lý (Hình 2.3), thì chúng ta có thể thấy rằng các đường đẳng trị này hội tụ không phải tại hai điểm mà tại bốn điểm. Các điểm này nằm ở Nam và Bắc bán cầu. Trong số đó có hai cực đia lý, còn hai điểm khác nằm gần hai cực địa lý. Các điểm nằm gần cực địa lý bắc được gọi là cực từ Bắc, còn điểm gần cực Nam - cực từ Nam.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 9 Hình 2.2.d 3 Bản đồ đẳng HT ( B ) (10 nT) Tại các cực từ, thành phần nằm ngang bằng không, còn độ từ khuynh bằng 90o. Vì vậy tại đó, kim nam châm quay tự do trong mặt phẳng nằm ngang sẽ dừng lại tại một vị trí bất kỳ. Từ đó khái niệm về kinh tuyến từ không còn ý nghĩa nữa. Thành phần nằm ngang khi chuyển từ cực từ bắc đến cực từ nam, đầu tiên tăng dần từ không đến giá trị cực đại nào đó, và sau đó lại giảm đến không. Hình 2.3 Bản đồ đẳng từ khuynh (Đường liên tục tương ứng với giá trị dương, đường chấm-giá trị âm, đường đậm là đường không) Như đã thấy từ bản đồ các đường đẳng trị, giá trị cực đại tại các kinh tuyến khác nhau thì khác nhau. Các đường đẳng trị về thành phần thẳng đứng có dạng tương tự như các đường đẳng trị về độ từ khuynh. Tại các cực từ thành phần thẳng đứng có giá trị cực đại khoảng 0,6 Oe (60.000 nT), còn tại xích đạo từ đại lượng này bằng không. Từ hai phía của xích đạo từ, thành phần thẳng đứng tăng khi tiến đến các cực từ. Các quan sát đã chứng tỏ rằng, vị trí của các cực từ, cũng như vị trí của các đường đẳng trị không cố định mà thay đổi liên tục từ năm này qua năm khác. Bảng 2.1 trình bày vị trí của các cực từ theo các số liệu quan sát từ các thời kỳ khác nhau. Bảng 2.1 Tọa độ địa lý của các cực từ tại các thời kỳ khác nhau Thời Cực Bắc Cực Nam kỳ Vĩ độ Kinh độ Vĩ độ Kinh độ 1600 78o42’ 59o00 81o16 169o30 1700 75o51 68o48 77o12 155o15 9
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 10 1770 66o 104o 77o12 155o15 1829 73o21 93o56 72o40 150o45 1885 69o57 82o45 73o45 153o 1900 69o18 96o37 73o45 153o 1922 71o 96o 72o25 154o 1950 72o 96o 70o 150o 1970 75o 101o 66o20 140o Người đầu tiên phát hiện trực tiếp ra cực bắc là thuyền trưởng Jemse – Ross. Vào tháng 7 năm 1831, ông ta đã thấy ở vĩ độ 70o 05 17 và kinh độ 96o 45 48 kim nam châm trong từ khuynh kế làm thành một góc 90o so với hướng nằm ngang. Nếu ta chú ý đến các bản đồ từ của từng vùng riêng biệt, thì ta có thể thấy rằng các đường đẳng trị có hình dạng khác nhiều so với hình dạng chung của bản đồ thế giới. Điều đó chứng tỏ rằng trường từ gần mặt đất phân bố không đều đặn và là hàm rất phức tạp của các tọa độ của các điểm trên mặt đất. Hơn nữa nó còn chứng tỏ sự bất đồng nhất trong cấu tạo của Quả Đất và đặc biệt là của vỏ Quả Đất. Tại các điểm khác nhau, vỏ quả đất có tính chất từ và bị từ hóa khác nhau. Trong một số trường hợp, để thuận tiện cho công việc nghiên cứu người ta có thể biểu diễn trường từ của quả đất dưới dạng giải tích. 2.3.3 Một số số liệu trường từ tại Việt Nam Trên lãnh thổ nước ta, công tác đo từ cũng đã được tiến hành tại các đài vật lý địa cầu, các đài địa từ cũng như ngoài thực địa như trên đất liền, trên biển và trên không. Tại đài địa từ Phú Thụy, các đo đạc được tiến hành trong năm 1991 cho ta các số liệu về trường địa từ như sau: T (B) = 44545 nT H = 39122 nT Z = 21300 nT D = −0,9169 r ≈ −1o I = artg (Z/H) = 21300/39122 = 0,5444 ≈ 28o,5. Công tác đo từ hàng không ở nước ta được sử dụng rất sớm, từ năm 1961, và ngày nay ngày càng được tiến hành rộng rãi ở những tỷ lệ lớn hơn và đã thu được những kết quả to lớn, trong đó có việc phát hiện mỏ sắt Thạch Khê- mỏ sắt lớn nhất Đông Dương. Năm 1961-1963, đã tiến hành khảo sát từ hàng không tỷ lệ 1:200.000 trên toàn miền Bắc. Kết quả khảo sát đã cho phép thành lập “Bản đồ trường dị thường ΔTa tỷ lệ 1:200.000 miền Bắc Việt Nam”, cho phép vạch ra hàng loạt hệ thống phá huỷ kiến tạo phân chia các miền trường từ có thể đối sánh được với các miền cấu tạo địa chất lớn, và phát hiện một số mỏ khoáng sản, trong đó có mỏ sắt Thạch Khê.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 11 Hình 2.4 Bản đồ góc nghiêng từ trường bình thường Việt Nam 11
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 12 Hình 2.5 Bản đồ cường độ từ trường bình thường T0
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 13 Hình 2.6 Bản đồ góc từ thiên bình thường D0 (1991,5) "Bản đồ tổng cường độ trường từ miền Nam Việt Nam" từ vĩ độ 16o30’ trở vào do Hải quân Mỹ thực hiện năm 1967 cho bức tranh trường từ phân dị khá mạnh trên toàn vùng. Sau ngày giải phóng 1975, trên toàn lãnh thổ Nam Việt Nam các công tác điều tra địa chất- địa vật lý khu vực kết hợp với công tác tìm kiếm thăm dò khoáng sản có ích đã được tiến hành mạnh mẽ. Năm 1995, tại Liên đoàn Địa Vật lý, Cục địa chất Việt Nam nhiều tác giả đã thành lập bản đồ từ hàng không toàn quốc tỷ lệ 1:500.000. Các bản đồ trường bình thường trên ghi lại một số công trình đo từ của các nhà địa vật lý Việt Nam. 13
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 14 Nhận xét: Các đường đẳng trị cường độ từ trường bình thường T0 trên lãnh thổ Việt Nam cũng như trên phần phía Nam đều là những đường song song với nhau. Ở phía Bắc mật độ đường đẳng trị dày hơn, càng về phía Nam mật độ đường đẳng trị thưa hơn. Các đường đẳng trị ở phần Nam bộ bị doãng ra ở phía tây và bị bẻ cong xuống phía nam, vì chịu ảnh hưởng của dị thường lục địa Châu Úc. - Giá trị trường từ bình thường trên lãnh thổ nước ta thay đổi liên tục. Kết quả đo trường từ tại trạm nghiên cứu Đà Lạt- Lâm Đồng và T0 do IGRF thực hiện trong thời gian từ 1960 đến 1991, cho ta thấy trung bình trường từ ở khu vực Đà Lạt thay đổi 18 nT/năm. - Gradient nằm ngang của trường từ bình thường T0 giảm liên tục từ phía bắc xuống phía nam (theo vĩ độ). - Đường xích đạo từ nằm trên lãnh thổ nước ta, gần trùng với vĩ tuyến địa lý 80 30’, cách mũi Cà Mau khoảng 15 km về phía Nam, nghĩa là xích đạo từ không trùng với xích đạo địa lý. - Các đường đẳng trị I0 hầu như song song với các đường vĩ tuyến địa lý, giống như các đường đẳng trị Z0.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 Chương 3. Biểu diễn trường từ của quả đất Tôn Tích Ái Địa từ và thăm dò từ. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Từ khoá: Địa từ và thăm dò từ, Trường từ, Gradient, Mônen từ, Cực địa từ, Từ trường xoáy, Điều hòa cầu. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 3 Biểu diễn trường từ của quả đất 2 3.1 Trường từ của Quả Đất dưới dạng trường từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất 2 3.1.1 Gradient 5 3.1.2 Mômen từ của Quả Đất 6 3.1.3 Các cực địa từ. Các tọa độ từ 7 3.2 Khai triển thế từ của Quả Đất thành chuỗi. Lý thuyết Gauss 8 3.3 Ý nghĩa vật lý của các số hạng trong khai triển Gauss 13 3.4 Phân chia trường từ của Quả Đất ra thành các thành phần "bên trong" và "bên ngoài" 15 3.5 Từ trường xoáy 19 3.6 Phân tích điều hòa cầu và môđun 20 3.6.1 Phân tích điều hòa cầu 20 3.6.2 Phân tích môđun 21 1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 Chương 3 Biểu diễn trường từ của quả đất 3.1 Trường từ của Quả Đất dưới dạng trường từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất Một trong những nhiệm vụ đầu tiên nhằm nghiên cứu trường của quả đất là biểu diễn bằng giải tích sự phụ thuộc giữa các thành phần của trường đối với tọa độ các điểm trên mặt đất. Điều này có thể thực hiện được nếu như biết được nguyên nhân gây nên trường từ hoặc như theo lý thuyết thế, biết trước sự phân bố của các yếu tố của trường từ của Quả Đất trên mặt đất. Nếu như biết được sự phụ thuộc hàm số giữa các yếu tố của trường từ của quả đất đối với tọa độ các điểm thì ta có thể giải quyết được một loạt các nhiệm vụ có tính chất khoa học và thực tế. Năm 1835 dựa trên các số liệu quan sát được, Simônôp đã giả thiết rằng trường từ của quả đất là trường từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất có trục từ đi qua tâm và song song với đường nối các cực từ thực. Như vậy, việc giải bài toán đặt ra bao gồm việc tìm trường của quả cầu bị từ hóa đồng nhất. Ta hãy khảo sát biểu thức của các yếu tố của trường từ của quả đất, nếu như cho rằng quả đất bị từ hóa đồng nhất. Từ phần lý thuyết cơ sở ta thấy rằng thế từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất tại điểm P được biểu diễn bằng phương trình: M U = cos θ (3.1) 4πr 2 trong đó θ là góc giữa OQ và hướng bán kính vectơ OP; OP =r (Hình 3.1) Khi đó trục quay của quả đất ON tạo với trục từ OQ một góc 90−ϕ0. Nối các điểm P, Q, N bằng các cung của vòng tròn lớn, từ tam giác cầu PQN ta tìm được cosθ = sin ϕ sinϕ + cosϕ cosϕ cos λ − λ 0 0 ( 0 ) trong đó ϕ và λ là vĩ độ và kinh độ của điểm P, còn ϕ0 và λ0 là vĩ độ và kinh độ của điểm Q và do đó M U = 2 []sinϕ sin ϕ0 + cos ϕ cos ϕ0 cos() λ − λ 0 4πr G G Mômen từ của hình cầu M bằng tích thể tích của hình cầu với độ từ hóa J của nó, tức là G 4 G M = πRJ3 3 trong đó R là bán kính của hình cầu
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3 Ta hãy đưa vào các ký hiệu sau: 4 g 0 = πJ sin ϕ 1 3 0 4 g1 = πJ cos ϕ cos λ (3.2) 1 3 0 0 4 h1 = πJ cos ϕ sin λ 1 3 0 0 o 90 − ϕo N λ Q 9 0 o − ϕ S θ n O s P Hình 3.1 Thế từ của Quả Đất hình cầu bị từ hoá đồng nhất Lúc đó R 3 U = []g0 sinϕ +( g1 cos λ + h1 sin λ) cos ϕ (3.3) 4π r 2 1 1 1 Vì cung của vòng tròn lớn NP là kinh tuyến của điểm P, nên thành phần trường theo hướng NP là thành phần bắc X, còn thành phần theo hướng của vòng tròn nhỏ PS là vĩ tuyến, nên Y là thành phần đông. Cuối cùng thành phần theo hướng bán kính vectơ r là thành phần thẳng đứng Z. Vì vậy 1 ∂U X = μ0 r ∂ϕ 1 ∂U Y = μ0 − r cosϕ ∂λ ∂U Z = −μ 0 ∂r Lấy vi phân biểu thức (3.3) theo ϕ, λ và r và cho r =R (Vì điểm P nằm trên mặt đất), ta thu được các biểu thức của các thành phần của trường từ như sau: 3
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4 μ X = 0 []g0 cosϕ −( g1 cos λ + h1 sin λ) sin ϕ 4π 1 1 1 μ Y = 0 []g1 sinλ − h1 cos λ 4π 1 1 2μ0 0 1 1 Z = []g1 sinϕ +() g1 cos λ + h1 sin λ cos ϕ 4π (3.4) 0 1 1 trong đó g 1, g 1, h 1 là các hằng số không phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên mặt đất. ϕ0 và λ0 là tọa độ giao điểm của trục từ với mặt Quả Đất. Nếu thừa nhận kinh tuyến đi qua điểm đó 1 là kinh tuyến gốc, thì λ0 =0 và theo công thức (3.2) h 1=0, vì vậy các thành phần của trường từ của quả đất là: μ X = 0 [g0 cosϕ − g1 cos λ sin ϕ] 4π 1 1 μ Y = 0 []g1 sin λ 4π 1 2μ 0 0 1 Z = []g1 sinϕ + g1 cos λ cos ϕ 4π (3.5) Nếu cho trục từ trùng với trục quay của Quả Đất, thì các thành phần của trường từ sẽ có dạng: μ X = 0 g0 cosϕ 4π 1 Y= 0 2μ 0 0 Z = g1 sin ϕ 4π hoặc μ M XH==0 s oϕ c 4Rπ 3 2μ M n= 0 Zsiϕ 4Rπ 3 Tại xích đạo, ở đó ϕ =0, ta có μ 0 M Z= 0; H = H T = 3 4π R (3.6) tại điểm cực ϕ =900 2μ 0 M H= 0; Z = H T = 3 4π R (3.7) H Tỷ số là tg của góc I (từ khuynh). Z Từ các phương trình (3.5) ta có:
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 5 tgI= 2tgϕ (3.8) tức là tg của góc I hai lần lớn hơn tg của vĩ độ từ. Nếu đem so sánh các giá trị của trường địa từ tính được theo các công thức vừa nêu trên đây với các giá trị thực tế thu được ta thấy tại một số điểm có sự sai lệch tương đối lớn. Tuy nhiên sự sai lệch không quá lớn để có thể gạt bỏ giả thuyết về sự từ hóa đồng nhất. Ngược lại về cơ bản, trường quan sát được có khuynh hướng gần với trường của quả cầu bị từ hóa đồng nhất. Ví dụ, giá trị cường độ trường tại xích đạo từ, khoảng hai lần bé hơn giá trị trường tại cực từ (Tại cực từ HT = 65000 nT, tại xich đạo HT = 35000 nT). Trong nhiều trường hợp độ từ khuynh tuân theo quy luật (3.8). Vì vậy gần đúng bậc nhất, ta có thể xem trường từ của Quả Đất là trường từ của một quả cầu bị từ hóa đồng nhất. Trên cơ sở của giả thuyết này người ta có thể tìm được các gradient của trường từ cũng như momen từ của Quả Đất. 3.1.1 Gradient Gradient của mỗi thành phần trường từ của Quả Đất là sự thay đổi của nó khi chuyển theo mặt đất hoặc thẳng góc với mặt đất một khoảng bằng đơn vị khoảng cách. Ta sẽ tìm các gradient của các thành phần thẳng đứng và nằm ngang theo chiều cao và vĩ độ từ. Từ các phương trình (3.5) ta có: ΔH 3H ΔH Z = − ; = −Htg ϕ = − sin10 ΔR R Δϕ 2 và ΔZ 3Z ΔZ = − ; = −Zctg ϕ = 2Hsin10 ΔR R Δϕ Nếu thừa nhận bán kính của quả đất R=6.103 km, còn các thành phần thẳng đứng và nằm ngang tại Sanh Petecbua tương ứng bằng 47000 nT và 15000 nT ta có thể thu được: ΔZnT =−23,5.10−3 ; ΔRm ΔZnTnT ==250 2,5.10−3 ; Δϕ0 do m ΔH nT = −7,5.10−3 ; ΔR m ΔH nT −3 nT 0 =400 = −4,0.10 ; Δϕ do m tức là khi lên cao 1 km, thành phần thẳng đứng tại Xanh Petecbua giảm đi 23,5nT, còn thành phần nằm ngang giảm 7,5nT. Khi dịch chuyển 1 km về phía cực từ bắc thành phần thẳng đứng tăng lên 2,5nT còn thành phần nằm ngang giảm đi 4nT. 5
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 6 3.1.2 Mômen từ của Quả Đất Ta có thể tìm được mômen từ của quả đất trong trường hợp bị từ hóa đồng nhất bằng cách bình phương các phương trình (3.2) rồi sau đó cộng chúng lại. Thực vậy, sau khi thực hiện các phép tính đó, ta thu được: 4 0 2 1 2 1 2 πJ = g1 + g`1 + h1 3 Từ đó nhân cả hai vế với R3, ta thu được M= R3 g0 2 + g1 2 + h1 2 1 1 1 (3.9) Từ các phương trình (3.4) bằng cách thay các giá trị bằng số của X, Y, Z tại một điểm bất 01 1 kỳ nào đó của Quả Đất người ta tính được các giá trị của g,g11và h1 . Các hệ số này ngày nay được xác định theo các số liệu quan sát được không phải tại một điểm trên mặt đất mà theo hàng loạt các quan sát tại các điểm phân bố đều trên mặt đất. Theo tính toán của Aphanaxiepva: 011 g111=== 30,320A / m; g 2,290A / m; h 5,900A / m từ đó M=8,3.1025 cgsm (8.3.1022 Am2). 1Am2 = 103 cgsm Giá trị g, h do một số tác giả phương Tây đưa ra: 011 Năm 1965: g111=== 30,334A / m;g 2,119A / m;h 5,776A / m. 011 Năm 1980: g111=== 29,988A / m;g 1,957A / m;h 5,606A / m. Theo Langel (1992) thì: 011 g111=== 29,775A / m; g 1,852A / m; h 5,411A / m Theo số liệu của William Gilbert năm 1992 thì M= 7,856.1022A.m2 . Độ từ hóa trung bình của quả đất là 3 0 2 1 2 1 2 J = g1 + g1 + h1 = 0,072cgsm(72A / m) 4π 1 cgsm (về độ từ hoá) = 103 A / m Nếu như thừa nhận rằng sự từ hóa của quả đất chỉ tập trung trong nhân của nó có bán kính khoảng hai lần bé hơn bán kính của quả đất, thì độ từ hóa của nhân phải lớn hơn khoảng tám lần, tức là J = 0,58 cgsm (576 A / m)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 7 3.1.3 Các cực địa từ. Các tọa độ từ Một vài hiện tượng của trường từ của quả đất, như biến thiên ngày đêm theo mặt trời thường xẩy ra và phụ thuộc vào các tọa độ địa từ: vĩ độ và kinh độ. Vĩ độ địa từ Φ là góc phụ với góc giữa trục từ của lưỡng cực, hoặc trục từ hóa đồng nhất với bán kính vectơ vẽ từ tâm Quả Đất đến điểm cho trước. Kinh độ địa từ Λ là góc giữa kinh tuyến từ địa phương và kinh tuyến từ đi qua trục địa lý. Giao điểm của trục từ của lưỡng cực hoặc của quả cầu bị từ hóa đồng nhất với mặt đất được gọi là các cực địa từ. Các cực địa từ khác với các cực từ. Các cực từ là các điểm mà tại đó độ từ khuynh bằng không và các đường đẳng từ thiên hội tụ. Có thể xác định được tọa độ địa lý ϕ0 và λ0 của các cực địa từ theo phương trình (3.2).Từ các phương trình đó ta thu được: h1 tgλ = 1 0 g1 1 1 g0 tgϕ0 = h1 2 + g1 2 1 1 (3.10) 1 1 1 Sử dụng các giá trị bằng số của g 1, g 0, h 1 đã đưa ra ở trên ta có thể tính được các tọa độ của các cực địa từ Bắc So sánh với các tọa độ của cực từ ta thấy rằng cực địa từ nằm cao hơn về phía Bắc một khoảng 7o và xa hơn về phía Đông 28o: 0 ϕ0 =78,2 N , λ0 =68,8’ W Số liệu của một vài năm xác định sau này: 0 0 1965 ϕ0 =78 33’ λ0= 68 33’W 0 0 1980 ϕ0 = 78 48’ λ0= 68 48’W Z t P o t 180 − Λ P m m S O Hình 3.2 Tọa độ địa từ Có thể chuyển từ tọa độ địa lý sang tọa độ địa từ. Muốn vậy ta hãy xét tam giác cầu PZPm (Hình 3.2) trong đó PZ là góc phụ với vĩ độ từ địa phương, PPm phụ với vĩ độ của cực địa từ còn PmZ phụ với vĩ độ địa từ, góc ZPPm là hiệu số kinh độ giữa điểm Z và cực địa từ còn góc ZPmP là góc bù với kinh độ địa từ Λ vì nó được tính từ cực địa từ nam. 7
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 8 Theo các công thức lượng giác cầu ta có sinΦ = sin ϕ sin ϕ + cos ϕ cos ϕ cos λ − λ 0 0 ( 0 ) cosϕ sin( ϕ − ϕ ) sin Λ = 0 cos Φ (3.11) Trong khi khảo sát một vài vấn đề về địa từ người ta còn phải dùng khái niệm thời gian từ địa phương. Thời gian từ địa phương tm là góc giữa cung vòng tròn lớn PmZ với cung PmS đi qua mặt trời (Hình 3.2). Từ tam giác cầu PPmS ta thấy rằng góc này là hiệu số giữa các kinh độ địa từ của mặt trời và điểm cho trước Z. Các giá trị kinh độ từ này tính được từ công thức (3.11). Tại các vùng vĩ độ trung bình và thấp thời gian từ khác rất ít so với thời gian mặt trời địa phương. Sự khác nhau đáng kể xẩy ra ở những nơi cách cực địa từ khoảng từ 15 đến 200. 3.2 Khai triển thế từ của Quả Đất thành chuỗi. Lý thuyết Gauss Một bước tiến lớn tiếp theo trong việc biểu diễn giải tích trường từ của Quả Đất là lý thuyết Gauss. Gauss đã đề ra lý thuyết này từ năm 1838. Lý thuyết có mục đích biểu diễn trường từ của quả đất dưới dạng hàm tọa độ của điểm quan sát mà không cần chú ý đến nguyên nhân vật lý của việc xuất hiện trường đó. Mặc dầu mang tính hình thức và không giải thích về nguồn gốc của trường từ của Quả Đất, lý thuyết Gauss có giá trị rất lớn và cho đến nay vẫn còn được sử dụng để tìm hiểu các hiện tượng địa từ. G Nếu cho rằng độ từ hóa J của Quả Đất tại mỗi một điểm có hướng và độ lớn bất kỳ, ta có thể tìm được trị số của thế từ U do Quả Đất gây ra tại điểm P với tọa độ là θ và λ (trong đó θ là góc phụ đối với vĩ độ, còn λ là kinh độ) (Hình 3.3) . Có thể biểu diễn thế từ U dưới dạng sau: 1 dm U = (3.12) 4π∫∫∫ ρ trong đó dm là yếu tố khối từ tại điểm bất kỳ M có tọa độ cầu là r' ,θ' ,λ' và nằm cách P một khoảng bằng ρ. Tích phân tính theo toàn bộ thể tích của hình cầu. Từ tam giác MPO ta có: N λ λ' θ P θ' ρ Q P M r 1 r' γ O
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 9 Hình 3.3 Khai triển thế từ của Quả Đất 2 ⎡ ⎛ 'r ⎞ 'r ⎤ ρ2 =r 2 + r' 2 − 2r r'cos γ = r2 ⎢ 1 + ⎜ ⎟ −2 cos γ⎥ ⎣⎢ ⎝ r ⎠ r ⎦⎥ trong đó γ là góc giữa r và r', vì vậy 1 dm U = (3.13 ∫ 2 4π r ⎛ 'r ⎞ ⎛ 'r ⎞ 1 + ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ cos γ ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ Vì r > r' nên hàm ϕ(r',γ ) nằm dưới dấu tích phân có thể được khai triển theo chuỗi hội tụ 'r của các hàm mũ . Thật vậy, dựa theo công thức về nhị thức Newton ta có: r 1 2 − ⎪⎧ ⎛ 'r ⎞ 'r ⎪⎫ 2 ϕ()r', γ =⎨ 1 + ⎜ ⎟ −2 cos γ⎬ = ⎩⎪ ⎝ r ⎠ r ⎭⎪ 2 2 1 ⎡⎛ 'r ⎞ ⎛ 'r ⎞ ⎤ 3 ⎡⎛ 'r ⎞ ⎛ 'r ⎞ ⎤ =1 − ⎢⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟cos γ⎥ + ⎢⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟cos γ⎥ 2 ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ 8 ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣ ⎦ Khai triển các dấu ngoặc vuông và kết hợp các số hạng r'/ r cùng một bậc,ta thu được: n ∞ ⎛ 'r ⎞ ϕ(r', γ ) = ∑⎜ ⎟ Pn () cos γ n= 0⎝ r ⎠ Trong đó Pn(cos γ) là một hàm số nào đó của cosγ mũ bậc n. Các hàm số này được gọi là các đa thức Legendre. Trong lý thuyết thế về các hàm số cầu người ta đã nghiên cứu các tính chất của đa thức Legendre. Theo một trong các tính chất đó người ta có thể tính được đa thức hạng (n+1) nếu biết được đa thức hạng n. Công thức truy hồi có dạng: (2n+ 1) n Pn+ 1 (cosγ ) = cosγ Pn (cos γ ) − Pn− 1 (cosγ ) n+ 1 n+ 1 (3.14) Giá trị của hai đa thức đầu tiên thu được trực tiếp từ khai triển nhị thức Newton. Thật vậy, từ phương trình (3.13) ta có: P0 ( cosγ) = 1 P cosγ = cos γ 1 () Vì vậy, nếu áp dụng công thức (3.14) ta tìm được 3 2 1 P2 () cos γ =cos γ − 2 2 9
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 10 5 3 3 P3 () cos γ =cos γ −cos γ 2 2 35 4 15 2 3 P4 () cos γ =cos γ −cos γ + 8 4 8 Vì vậy có thể viết biểu thức thế từ (3.12) dưới dạng chuỗi: n 1 ∞ ⎛ r' ⎞ U = P (cosγ )dm ∑∫ ⎜ ⎟ n 4π r n= 0 ⎝ r ⎠ Dễ dàng thấy rằng, số hạng đầu tiên của chuỗi này bằng không. Thật vậy, khi n=0 ta thu được U=∫dm. Đây chính là tổng tất cả các khối từ, mà như ta đã biết, trong mỗi một vật thể tổng tất cả các khối từ bằng không. Vì vậy n 1 ∞ ⎛ r' ⎞ U = P (cosγ )dm (3.15) ∑∫ ⎜ ⎟ n 4π r n= 1 ⎝ r ⎠ Hơn nữa, từ tam giác QNP1 (Hình 3.3), theo công thức lượng giác cầu, ta có: cosγ = cosθ cosθ '+ sinθ sinθ 'cos(λ − λ ') (3.16) Trong lý thuyết các hàm số cầu, người ta đã chứng minh rằng các đa thức Legendre Pn(cosγ) khi thay thế cosγ bằng biểu thức (3.16) sẽ có dạng sau: ∞ mm m Pnn (cosγ= )∑ [c Pn (cosθ )cos m λ P n (cos θ ')cos m λ ' m0= (3.17) mm m +θθλcnn P (cos )sin m Pn (cos ')sin mλ '] trong đó: dm P (cosθ ) Pm (cosθ ) = sin m θ n n d(cosθ ) m m ' m ' m ' d Pn (cosθ ) Pn (cosθ ) = sin θ ' m d(cosθ ) m và c n là các hệ số bằng số, hệ số này khi n =1 bằng đơn vị. m Hàm P n(cosθ) được gọi là hàm Legendre liên kết, khi n=1 và n=2 ta có các giá trị sau: 1 P1 () cosθ = sin θ 2 P1 () cosθ = 3cos θ sin θ 2 2 P2 () cosθ = 3sin θ
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 11 15 P12() cosγ= cos θ sin θ+ 6sin θ 3 2 22 Pcos15cossin3 ()θ= θ θ 33 P3 () cosθ= 15cos θ Thay vào phương trình (3.15) Pn(cosγ) qua biểu thức (3.17) ta có: n 1r'∞ ⎛⎞n U =θ[cmm P (cos )cos mλ Pm (cosθ ')cos mλ ' ∑∑∫⎜⎟ nn n 4rπ n1==⎝⎠ r m0 mm m +θλθλcnn P (cos )sin m Pn (cos ')sin m ']dm Vì θ, λ và r không thay đổi khi tính tích phân nên có thể đưa các hàm phụ thuộc vào chúng ra khỏi dấu tích phân, vì vậy: n1+ 11∞ ⎛⎞ n U =θ[Pmm (cos )cos mλθ c r 'n Pm (cof ')cos mλ 'dm ∑∑⎜⎟ nn∫ n 4rπ n1==⎝⎠ m0 +θλP(cos)sinmcmm r'P(cos')cosm'dm]nm θλ nn∫ n Biểu thức dưới dấu tích phân không phụ thuộc vào tọa độ của điểm P và với hình cầu cho trước là những đại lượng không đổi. Vì vậy, nếu đưa vào các ký hiệu: Am = cm r'Pm cosθ ' cos m λ 'dm n n ∫ n () Bm = cm r'Pm cosθ ' sin m λ 'dm (3.18) n n ∫ n ( ) thì ta nhận được ∞ n+ 1 n ⎛ 1 ⎞ m m m U = ∑⎜ ⎟ ∑ []An cos mλ + Bn sin m λ Pn (cos θ ) n= 1 ⎝ 4π r ⎠ m= 0 Nếu lại đưa thêm vào các ký hiệu m n+ 2 m An = R g n và m n+ 2 m Bn = R h n (3.19) trong đó R là bán kính của hình cầu, thì ta thu được biểu thức cuối cùng của thế từ U ∞ n+ 1 n R ⎛ R ⎞ m m m U = ∑∑⎜ ⎟ []gn cos mλ + hn sin m λ Pn ( cos θ) (3.20) 4π n== 1 ⎝ r ⎠ m 0 Tại các điểm trên mặt cầu,r=R, thế U có biểu thức sau ∞ n R m m m U = ∑∑[gn cos mλ + hn sin m λ] Pn ( cos θ) (3.21) 4π n== 1 m 0 11
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 12 Như vậy là thế từ ở trên mặt cầu, do một khối từ nào đó nằm trong mặt cầu gây ra, được biểu diễn dưới dạng một tổng kép với một số vô hạn các số hạng. Đồng thời với mỗi một số m m m hạng ta thấy chúng chứa các hàm số cầu Pn ( cosθ) với các hệ số không đổi g n và h.n Nếu giới hạn khai triển đến các số hạng hạng n thì số các số hạng g và h sẽ là: N= n( n+ 2) Từ (3.21) ta dễ dàng thấy rằng, m không thể lớn hơn n và khi m = 0 tất cả các số hạng chứa các hệ số h bằng không. Người ta tính các thành phần của trường X,Y và Z bằng cách lấy vi phân biểu thức (3.20) theo các tọa độ tương ứng, và sau đó cho r=R, tức là ∂U Z =−μ 0 ∂r ∞ n ⎡⎤mmm =μ0n∑∑⎣⎦()n + 1 g cos m λ+ () n + 1 h nn sin m λ P ( cos θ) n1m0== 1U∂ X =−μ 0 r ∂θ ∞ n dPm () cosθ ⎡⎤mm n =−μ0n∑∑⎣⎦(g cos mλ+ h n sin m λ n1m0== dθ 1U∂ Y =−μ 0 rsinθ∂λ (3.22) ∞ n Pcosm ()θ ⎡⎤mmn =μ0n∑∑⎣⎦mg sin mλ− mh n cos m λ n1m0== sin θ Về bản chất mà nói toàn bộ lý thuyết Gauss được thể hiện trong các phương trình này. Như ta thấy các phương trình này cho phép tính các yếu tố trường từ của Quả Đất tại mỗi một m m điểm bất kỳ trên mặt đất, nếu như biết trước các hệ số cố định g n và h n. Vì các vế phải của các phương trình này được biểu diễn dưới dạng các chuỗi với vô hạn các số hạng, nên để có thể sử dụng được các phương trình này trong thực tế người ta chỉ giới hạn một số hữu hạn các số hạng mà thôi. Số lượng các số hạng được giữ lại tùy thuộc vào mức độ hội tụ của chuỗi đó. Vấn đề mức độ hội tụ của các chuỗi này còn chưa được làm sáng tỏ nhưng chắc là các chuỗi này hội tụ chậm vì có một số lớn các dị thường địa phương và khu vực do các "khối từ " nằm gần mặt đất gây ra. m m Vì khi n tăng, số các hệ số g n và h n tăng lên rõ rệt cho nên trong thực tế người ta thường giới hạn số hạng không theo mức độ hội tụ của chuỗi mà dựa vào số lượng các phép tính cần thiết để xác định các hệ số cố định. Chính Gauss trong công trình của mình cũng chỉ giới hạn đến khai triển hạng bốn (n=4). m m Để xác định được các hệ số cố định g n và h n , từ các quan sát cần thiết phải xác định được các yếu tố của trường từ của quả đất tại một số điểm phân bố tương đối đều trên mặt đất. Khi n = 4 số các hệ số là 24, vậy số phương trình tối thiểu phải là 24. Tại mỗi một điểm có thể thành lập được ba phương trình, nên số điểm tối thiểu phải là 8.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 13 Tuy nhiên do các ảnh hưởng ngẫu nhiên của các dị thường địa phương có thể làm sai lệch các kết quả, nên để đạt được mức tin cậy lớn cần phải sử dụng số điểm nhiều hơn sao cho số phương trình lớn hơn nhiều số ẩn số cần tìm. Chính bản thân Gauss đã xác định 24 hệ số theo các quan sát tại 12 điểm. Như vậy là Gauss đã giải 36 phương trình để xác định 24 ẩn số. Trong trường hợp đó người ta sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu để giải hệ thống các phương trình này. Sau Gauss nhiều nhà bác học đã tiến hành giải hệ thống các phương trình này để tìm các hệ số bằng số theo số lượng các số hạng khai triển khác nhau. 3.3 Ý nghĩa vật lý của các số hạng trong khai triển Gauss Như ta đã thấy khai triển thế từ thành chuỗi là một phép tính hình thức. Phép tính này được gọi là giải tích điều hòa cầu. Tuy nhiên, mặc dầu phép biến đổi này hoàn toàn có tính chất hình thức nhưng các số hạng riêng biệt của chúng, tương ứng với số thứ tự n, có ý nghĩa vật lý nhất định, tương tự như trong giải tích điều hòa (giao động của sợi dây) Các số hạng khai triển đầu tiên tương ứng với n=1 dễ dàng được phân tích ý nghĩa vật lý nhất. Thật vậy khi n = 1, các phương trình (3.22) có dạng: 0 1 1 X= μ0[ g 1 sin θ −( g1 cos λ + h1 sin λ) cos θ] 1 1 Y= μ0[ g 1 sin λ − h1 cos λ] Z=μ 2⎡⎤ g011 cos θ+ g cos λ+ h sin λ sin θ 01⎣⎦() 1 1 Về dạng các biểu thức này hoàn toàn tương tự với các biểu thức của các thành phần của trường từ do quả cầu bị từ hóa đồng nhất gây ra. Nhưng có thể dễ dàng chứng minh rằng, các biểu thức này không những tương tự về dạng mà còn thống nhất với nhau về bản chất. Muốn 0 1 1 vậy ta cần thiết phải tìm các giá trị của các hệ số cố định g1 g, 1 và h1 Từ các phương trình (3.18) khi n=1 ta tìm được: A0 = r'cos θ 'dm 1 ∫ B1 = r'sin θ 'sin λ 'dm 1 ∫ A1 = r'sin θ 'cos λ 'dm 1 ∫ Các biểu thức dưới dấu tích phân là hình chiếu của bán kính vectơ r' lên các trục tọa độ vuông góc Z, X và Y, vì vậy nếu gọi chúng là z' , x' và y' ta có: A0 = z'dm 1 ∫ B1 = x'dm 1 ∫ A1 = y'dm (3.23) 1 ∫ Ta sẽ chứng minh rằng các biểu thức trên là các hình chiếu của mômen từ M của quả đất lên các trục tọa độ, tức là: 13
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 14 AM;BM;AM0 = 1 = 1 = 1 z 1 x 1 y Biểu diễn một trong các phương trình (3.23) dưới dạng A0 = ρ z'dv (3.24) 1 ∫ trong đó ρ là mật độ của khối từ và dv là yếu tố thể tích. Từ lý thuyết về thế từ ta đã biết rằng, các khối từ ảo có thể được phân bố trên mặt hoặc ở trong lòng vật thể bị nhiễm từ, đồng thời mật độ của các khối từ mặt ρs được biểu thị bằng biểu thức: ρs= J n G trong đó Jn là thành phần vectơ độ tư hóa J theo pháp tuyến đối với mặt, còn mật độ của các khối từ khối được biểu diễn bằng biểu thức: G ρv = divJ Vì vậy, nếu thay ρs và ρv bằng các giá trị của nó trong các biểu thức (3.24) ta thu được: G A0 = − z'divJdv+ z'J dS 1 ∫ ∫ n Tích phân đầu được tính theo toàn bộ thể tích, còn tích phân thứ hai tính theo mặt của vật thể. Theo công thức của giải tích vectơ ta có thể viết: G G G G z'divJ= div(z'J) −( Jgradz') = div(z'J) − J z . Vì vậy: G A0 = − div(z' J)+ J dv + z'J dS 1 ∫ ∫ z ∫ n Theo định lý Ostrogradski: G div(z' J)dv= z' J dS ∫ ∫ n và do đó A0 = J dv 1 ∫ z 0 Như vậy là ta đã chứng minh được A 1 là hình chiếu của mô men từ trên trục z. Hoàn toàn tương tự như vậy ta có thể chứng minh được rằng A1 = J dv 1 ∫ y B1 = J dv 1 ∫ x Biểu diễn các thành phần của mômen từ qua các tọa độ cực θ0 và λ0 A0 = M cos θ 1 0 B1 = M sin θ sin λ 1 0 0 1 A1 = M sin θ0 cos λ 0
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 15 o A1 θ o M 1 A1 λo 1 B1 Hình 3.4 Ý nghĩa ý vật lí của khai triển Gauss trong đó θ0 là góc giữa trục từ của quả đất và trục quay ON (Hình 3.4), còn λ0 là góc nhị diện giữa mặt phẳng kinh tuyến không và mặt phẳng kinh tuyến đi qua trục từ, tức là các tọa độ của giao điểm của trục từ đối với mặt đất. Có thể biểu diễn mômen từ của quả đất M dưới dạng: 4 3 M = πRJ tb 3 trong đó Jtb là độ từ hóa trung bình,vì vậy theo phương trình (3.19) ta có: 4 g 0 = πJ cos θ 1 3 tb 0 4 g1 = πJ sin θ cos λ 1 3 tb 0 0 1 4 h1 = πJtb sin θ 0 sin λ 0 3 So sánh các biểu thức này với các biểu thức (3.2) ta thấy chúng đồng nhất với nhau vì 0 ϕ0=90 - θ0 và khi từ hóa đồng nhất J = Jtb. Như vậy số hạng đầu tiên trong khai triển Gauss biểu diễn thế từ của quả cầu bị từ hóa đồng nhất có mômen từ bằng mômen từ trung bình khi quả cầu bị từ hóa đồng nhất. Có thể giải thích tiếp các số hạng tiếp theo trong khai triển Gauss như là thế từ của lần lượt nhiều lưỡng cực từ gây ra. 3.4 Phân chia trường từ của Quả Đất ra thành các thành phần "bên trong" và "bên ngoài" Một trong những kết quả chính của lý thuyết Gauss là tìm hiểu bản chất của trường từ của Quả Đất và khả năng phân chia trường từ đó ra thành các thành phần có nguồn gốc bên trong và bên ngoài. Chính bản thân Gauss trong khi khai triển chỉ giới hạn khảo sát thành 15
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 16 phần có nguyên nhân bên trong. Năm 1885 Smith đầu tiên đã tiến hành khai triển thế từ của Quả Đất theo các nguồn gốc bên trong và bên ngoài quả đất. Giả sử các khối từ tạo nên trường từ trên mặt đất nằm ngoài Quả Đất và tập trung trong một thể tích V nào đó. Ta hãy khảo sát thế từ tại điểm P do yếu tố khối từ nằm tại điểm M gây ra. Lúc đó ta có: dm dU = 4πρ trong đó ρ =PM, r' =OM và γ =POM. Vì vậy: N θ P θ' P1 γ ρ O Q r' V M Hình 3.5 Khai triển trường từ của Quả Đất theo nguồn gốc ngoài dm dU = 4π r2 + r' 2 − 2rr'cos γ Đưa r' ra khỏi dấu căn, ta thu được dm dU = 2 ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ 4π r' 1 + ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ cos γ ⎝ 'r ⎠ ⎝ 'r ⎠ Vì r'>r nên nếu như ta khai triển biểu thức dưới dấu căn thành chuỗi các hàm số mũ của r/r', tương tự như tiết trước, ta có: n 1 ∞ ⎛ r ⎞ dU = ∑ ⎜ ⎟ Pn () cosγ dm 4π r' n= 0 ⎝ 'r ⎠ Thế của toàn bộ khối tập trung trong thể tích V, rõ ràng sẽ được biểu diễn bằng biểu thức:
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 17 n 1 ∞ ⎛ r ⎞ U = P cosγ dm ∫ ∑ ⎜ ⎟ n () V 4π r' n= 0 ⎝ 'r ⎠ Từ tam giác cầu P1NQ: cosγ = cosθ cosθ '+ sinθ sinθ 'cos(λ − λ ') Vì vậy nếu đặt biểu thức này vào hàm số dưới dấu tích phân, theo (3.17) ta thu được: n 1r∞ ⎛⎞n U = [cmm P cosθλ cos m Pm cos θ ' cos mλ ' ∫ ∑∑⎜⎟ nn()n ( ) V 4rπ n0==⎝⎠ r' m0 mm m +θλθλcnn P() cos sin m Pn ( cos ' ) cos m ']dm hoặc ∞ ⎛⎞rn n ⎛⎞cm U =λθ[cos mn Pm cos ' cos mλ 'dm ∑∑⎜⎟ ∫⎜⎟n1+ n () n0==⎝⎠4rπ m0 V ⎝' ⎠ ⎛⎞cm +λsin mn Pmm cos θ ' sin m λ 'dm]P cos θ ∫⎜⎟n1+ nn() () V ⎝⎠r' trong đó tích phân lấy theo thể tích V. Nếu ký hiệu: c m n Pm () cosθ ' cos m λ 'dm = C m ∫ n+ 1 n n V 'r c m n Pm () cosθ ' sin m λ 'dm = D m ∫ n+ 1 n n V 'r thì lúc đó ta có: ∞ ⎛ r n ⎞ n ⎜ ⎟ m m m U = ∑⎜ ⎟ ∑[Cn cos mλ + Dn sin mλ ]Pn () cos θ n= 0 ⎝ 4π ⎠m= 0 m m trong đó C n và D n có cùng một giá trị tại tất cả các điểm bất kỳ P và vì vậy chúng là các hệ số hằng số. Hơn nữa, nếu lại đưa thêm các ký hiệu Cm = jm R − (n − 1) n n m m− (n − 1) Dn = kn R trong đó R là bán kính của Quả Đất, trong trường hợp đó: ∞ rn n Uj=λ⎡⎤mmmcosm+ksinmλPcosθ (3.25) ∑∑n1− ⎣⎦nnn() n0==4Rπ m0 Bây giờ ta sẽ tìm các thành phần Ze, Xe và Ye theo các trục tọa độ trên mặt cầu, tại đó r =R 17