Giáo trình Giải tích 1 - Chương 1: Số phức

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 1 - Chương 1: Số phức

1. GIẢI TÍCH 1
2. CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
3. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 1. Dạng đại số của số phức: a/ Định nghĩa: Dạng đại số của số phức là: z a i b Trong đó: a : được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu là Re z b : được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Im z i : được gọi là đơn vị ảo với i2 1
4. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Tập hợp số phức được ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức. y Biểu diễn hình học của số phức: b z Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo x O a Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là z hoặc mod z
5. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC z a i b được gọi là số phức liên hợp của z b/ Các phép toán: z1 a1 i b1 Cho hai số phức z2 a2 i b2 a1 a2 z1 z2 b1 b2 z1 z2 a1 a2 i b1 b2 z1x z2 a1 i b1 x a2 i b2 a1 a2 b1 b2 i a1 b2 a2 b1
6. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Quy tắc: Ta thực hiện phép nhân tương tự như trong trường hợp số thực với chú ý: i2 1 Dễ nhận thấy nếu z a i b thì z. z a2 b2 và nếu z 0 thì 1 1 a i b z a i b a i b a i b a b i a2 b2 a2 b2
7. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC z a i b a i b a i b 1 1 1 1 1 2 2 z2 a2 i b2 a1 i b1 a2 i b2 (z2 0) a1 a2 b1 b2 a2 b1 a1 b2 2 2 i 2 2 a2 b2 a2 b2
8. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau: z z a i b a i b 2 a 2 Re z z z a i b a i b 2 i b 2 i Im z z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1. z2 z1. z2 z z 1 1 z2 z2
9. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số 1 3 i z 1 i Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp 1 i ta được 1 3 i 1 i 4 2 i z 2 i 1 i 1 i 2
10. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VD2: Cho f z z3 2 i z2 2 i z 2i a/ Tính f i b/ Giải phương trình f z 0 Giải: a/ Dễ dàng tính được f i 0 b/ z i là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được f z z i z2 2z 2 0
11. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Nhận xét : Phương trình z 2 2 z 2 0 có 2 nghiệm là 1 i ở đây ' 1 i2 Kết luận : Phương trình f z 0 có 3 nghiệm là z i , z 1 i
12. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 2. Dạng lượng giác của số phức: a/ Định nghĩa: y z Cho số phức z a i b , z 0 b r Gọi r là khoảng cách từ x gốc toạ độ O tới z O a và là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với vectơ bán kính của điểm z . (0 φ 2π) Khi đó ta có : z a i b r cos i sin
13. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Biểu thức z r cos i sin được gọi là dạng lượng giác của số phức z Trong đó: r z a 2 b 2 chính là mođun của số phức z được gọi là acgumen của số phức z , ký hiệu arg z b b Ta có : tg arctg a a Chú ý : chọn sao cho b và sin cùng dấu
14. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VD : Số phức z 1 i Ta có: z r 1 2 1 2 2 1 5 tg 1 hoặc 1 4 4 5 Ta chọn 4 5 5 Vậy z 1 i 2 cos i sin 4 4
15. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC b/ Các phép toán: Cho hai số phức z 1 r1 cos 1 i sin 1 z2 r2 cos 2 i sin 2 r1 r2 z1 z2 , k Z 1 2 k2π z1 x z2 r1.r2 cos 1 2 i sin 1 2  z r 1 1 cos i sin  1 2 1 2 , z2 0 z2 r2
16. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được các công thức sau: Công thức Moivre r cos isin k r k cosk isin k k Z Công thức Euler ei cos isin
17. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Vậy số phức z r cos i sin r ei Biểu thức z r e i được gọi là dạng mũ của số phức z VD : Tính 1 i 8 π π Ta có : 1 i 2 cos i sin 4 4 1 i 8 24 cos2π i sin 2π 24
18. 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC 3. Khai căn của số phức: n Ta giải phương trình z với z C Giả sử α r cos i sin α C Ta đặt z ρ cosθ i sinθ Khi đó ta có zn ρn cos nθ i sin nθ r cos i sin ρn r ρ n r k2π nθ k2π θ , k Z n
19. 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC Vậy nghiệm của phương trình z n là n k2π k2π ( ) zk r cos i sin n n ở đây k 0 , 1 , , n 1 là ta có đủ nghiệm của phương trình. Vậy phương trình z n có đúng n nghiệm cho bởi công thức (*) với k 0 , 1 , , n 1 và chúng được gọi là các căn bậc n của số phức .
20. 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC VD: Tìm 3 1 Ta có : 1 cos 0 i sin 0 3 3 k2π k2π vậy 1 cos 0 i sin 0 cos i sin 3 3 với k 0 , 1 , 2 3 Vậy 1 là ε0 cos 0 i sin 0 1 2π 2π 1 3 ε cos i sin i 1 3 3 2 2 4π 4π 1 3 ε cos i sin i 2 3 3 2 2
21. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ 4. Định lý cơ bản của đại số: a/ Định lý 1: Phương trình bậc n, n Z n n 1 an x an 1x a1x a0 0 an 0 có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, nghiệm phức và nghiệm bội của nó. VD: Phương trình bậc 5 3 2 x 1 . x 1 0 có đúng 5 nghiệm là x 1 (nghiệm bội 3) và x i
22. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ b/ Định lý 2: Cho phương trình bậc n với hệ số thực n n 1 f x an x an 1x a1x a0 0 ai  , i 0 , 1 , 2 , . . . , n ở đây an 0 Nếu x α là nghiệm của phương trình thì x cũng là nghiệm của phương trình này.
23. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VD : Giải phương trình z4 4z3 11z2 14z 10 0 Biết phương trình này có 1 nghiệm là z1 1 i Nhận xét : z1 1 i là nghiệm của phương trình vậy z2 1 i cũng là nghiệm của phương trình Ta có : z z1 z z2 z 1 i z 1 i z2 2z 2
24. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ Chia đa thức ta được z4 4z3 11z2 14z 10 z2 2z 2 z2 2z 5 Ta đi giải phương trình z2 2z 5 0 ' 1 5 4 4 i2 vậy phương trình này có 2 nghiệm là 1 2 i Kết luận : Phương trình z4 4z3 11z2 14z 10 0 z1 1 i có 4 nghiệm là z3 1 2 i
25. BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 1: Viết số phức sau dưới dạng đại số 5 2 i 1 i a/ z b/ z 4 3 i 1 i BÀI 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác a/ z 1 b/ z 2 2 i c/ z 3 i
26. BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 3: Tính căn bậc 3 của số phức sau : 8 16 i z ( kết quả biểu diễn i 2 dưới dạng đại số) BÀI 4: Giải phương trình a/ z2 z b/ 1 i z2 3 i z 4 6 i 0 c/ 4 z4 24 z3 57 z2 18 z 45 0 biết z 3 i 6 là 1 nghiệm của phương trình này
27. BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 5: 2 3 i 1998 Cho số phức z . Tính z 3 2 i BÀI 6: π i Cho số phức z e 3 Tìm dạng lượng giác của số phức z 1
28. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 1: 2 i 11 2 a/ z i 4 3 i 25 25 HD: Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp 4 3 i 5 1 i 5 b/ z i i 1 i HD: Trong dấu ngoặc nhân tử và mẫu với số phức liên hợp 1 i
29. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 2: a/ z 1 1 . cos π i sin π HD: a 1 , b 0 Ta có r 1 , tg 0. Chọn 3 π 3 π b/ z 2 2 i 2 2 cos i sin 4 4 HD: a 2 , b 2 3 Ta có r 2 2 , tg 1 . Chọn 4
30. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC 7π 7π c/ z 3 i 2 cos i sin 6 6 HD: a 3 , b 1 1 Ta có r 2 , tg 3 7 Chọn 6
31. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 3: ε0 3 i 8 16 i 3 có 3 giá trị là ε1 2 i i 2 ε2 3 i 8 16 i HD: z 3 3 8 i 2 3 i i 2 π π z 2 3 cos i sin 2 2 a/
32. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 4: a/ z2 z z 0 , z 1 Phương trình này có 4 nghiệm là 1 3 z i 2 2 HD: Đặt z a i b a a2 b2 z2 z b 2ab
33. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC b/ 1 i z2 3 i z 4 6 i 0 z 1 i Phương trình này có 2 nghiệm là z 2 3 i HD: Δ 48 14 i 7 i 2
34. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC c/ 4 z4 24 z3 57 z2 18 z 45 0 z 3 i 6 Phương trình này có 4 nghiệm là 3 z 2 HD:  z 3 i 6   z 3 i 6  z2 6z 15 4z4 24z3 57z2 18z 45 z2 6z 15 4z2 3
35. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 5: 1998 1998 2 3 i z 1 3 2 i HD: 2 3 i 2 3 i 3 2 i i 3 2 i 13 1998 1998 4 499 2 z i i . i 1
36. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC π i BÀI 6: z e 3 π π Vậy z 1 3 cos i sin 6 6 π i π π 1 3 HD: z e 3 cos i sin i 3 3 2 2 3 3 3 1 π π z 1 i 3 i 3 cos i sin 2 2 2 2 6 6