Giáo trình Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số nhiều biến

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số nhiều biến

1. CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. Các khái niệm mở đầu 1. Tập hợp trong Rn 2. Định nghĩa hàm nhiều biến
2. CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.Tập hợp trong Rn 1.1. Khoảng cách giữa hai điểm Xét hai điểm M( x1, x2 , , xn ), N ( y1, y2 , , yn ) trong khơng gian Rn . Khoảng cách giữa M và N cho bởi cơng 1 thức: n 2 22 2 d M, N x y x y  x y  i i 1 1 n n i 1 d( A , B ) 0 A  B Tính chất : Ba điểm A , B , C d(,)(,) A B d B A tùy ý trong Rn ta cĩ : d(,)(,)(,) A B d A C d C B
3. CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.Tập hợp trong Rn 1.2. Lân cận của một điểm. M Rn :(,) d M M r Tập hợp B(M0 , r) = 0  gọi là hình cầu mở tâm M0 bán kính r . Lân cận của M0 là tất cả các tập hợp chứa một  - lân cận B(M0,  ) nào đĩ của M0. Chú ý :  Trong R hình dạng của B(x0, r) là khoảng (x0-r,x0 + r) 2  Trong R hình dạng của B(x0, r) là miền trịn x0 khơng lấy những điểm nằm trên biên 3  Trong R hình dạng của B(x , r) là quả cầu x 0 x0 khơng lấy những điểm nằm trên biên (mặt cầu) 0
4. CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.3. Điểm trong - Tập Mở . Điểm M0 gọi là điểm trong của tập A nếu :  0 :BMA ( 0 ,  )  .Tập hợp tất cả các điểm trong gọi là miền trong của tập A và kí hiệu là int A . Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm của nĩ đều là điểm trong. 1.4. Điểm biên - Tập đĩng Điểm M0 gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi lân cận của M0 đều chứa những điểm thuộc A và những điểm khơng thuộc A trừ M0 . Tập hợp tất cả các điểm biên gọi là biên của tập A và kí hiệu là  A .Tập A gọi là đĩng nếu nĩ chứa mọi điểm biên của nĩ .
5. CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.5. Điểm Tụ - Điểm cơ lập Đểm M0 gọi là điểm tụ của tập A nếu :  0 :BMAM (0 ,  )  ( \ 0 )  . Ngược lại, ta nĩi điểm M0 là điểm cơ lập của A Chú ý :  Điểm tụ cĩ thể là điểm trong hoặc điểm biên  Tập đĩng chứa được mọi điểm tụ của nĩ 1.6. Tâp bị chặn Tập E được gọi là một tập bị chặn A B(xo,r) nếu nĩ nằm trong một quả cầu nào đĩ
6. CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN : I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.7. Tâp Compact Tập A được gọi là tập Compact nếu nĩ đĩng và bị chặn 1.8. Tập liên thơng : Tập A gọi là một tập liên thơng nếu cĩ thể nối hai điểm bất kỳ M , N bằng một đường liên tục nằm trong A Tập liên thơng A gọi là đơn liên nếu nĩ được bao bởi một đường kín trong R2 ( hoặc một mặt kín trong R3 ). Ngược lại nếu nĩ được bao bởi nhiều đường , mặt khác nhau đơi một thì ta nĩi A là đa liên . M A N Tập LT –Đa Liên Tập Liên Thơng –Đơn Liên
7. CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN : I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2. Định nghĩa hàm nhiều biến 2.1 Định nghĩa Xét khơng gian Euclide n chiều Rn . Một phần tử M Rn là một bộ gồm n thành phần .Hàm số n biến thực trên DÌ Rn là một ánh xạ từ D vào R . Khi đĩ ta thường viết u = f(x1, x2 , , x n) hay u = f(M) . Chú ý :1) D gọi là miền xác định của hàm số . 2) Miền giá trị của hàm f là tập hợp các giá trị của u khi M chạy khắp miền D . 3) Trong giáo trình chỉ xét các hàm hai hoặc ba biến
8. II. HÀM NHIỀU BIẾN 2.2. Cách cho một hàm nhiều biến Người ta cĩ thể biểu diễn hàm nhiều biến bằng một hay nhiều biểu thức . Trong trường hợp này ta cĩ thể hiểu D là tập các điểm M sao cho biểu thức của f cĩ nghĩa . Ví dụ Trong các bài tốn ứng dụng ta cịn cĩ thể dùng bảng để biểu diễn hàm nhiều biến Ví dụ
9. CÁC VÍ DỤ-MXĐ Ví dụ 1 Tìm miền xác định của z = f(x,y) = 4 x2 y 2 y GIẢI x D={( x,: y) x2 + y 2 £ 4} o x2 y 2 Ví dụ 2 : khi( x , y ) (0,0) z x2 y 2 () x y 4 0khi ( x , y ) (0,0) Ví dụ 3 : z xln y
10. BÀI GIẢI 2 Ví dụ 2: D = R Ví dụ 3 : z xác định khi x.lny 0 y x 0 y 1 1 x 0 o x 0 y 1
11. CÁC VÍ DỤ-MXĐ Ví dụ 1 Tìm miền xác định, miền giá trị của z = f(x,y) cho bằng bảng (x,y) (1,2) (3,4) ( 5,6) (7,9) ( 12,14) f(x,y) 5 6 9 2 1 GIẢI MXĐ: D={(1,2), (3,4),( 5,6), (7,9),( 12,14)} MGT : f(D)={ 5,6,9,2,1}