›
›

Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh

pdf 66 trang huongle 2930
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_ham_nhieu_bien_chuong_2_dao_ham_rieng_v.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (tt) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung 0.4 – Đạo hàm theo hướng 0.5 – Cơng thức Taylor, Maclaurint 0.6 – Cực trị của hàm nhiều biến
  3. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient cĩ đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong một lân cận của
  4. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Véctơ đơn vị cùng phương u = f(x,y)  u l0 l 1, l 2 oy u (,) u1 u 2 M(,) x y u  l0 cos ,cos   ,  là gĩc tạo bởi u và chiều dương trục 0x và 0y tương ứng. M0(,) x 0 y 0 ox x x0 t cos Phương trình tham số của tia MM0 : t 0 y y0 t cos  Đạo hàm của hàm f theo hướng véctơ u tại điểm M 0 là giới hạn (nếu cĩ) ' f f()() M f M 0 fu () M 0 ()M 0 lim u MM 0 MM 0
  5. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient 2 2 ' f(,)(,) x y f x0 y 0 M0 M ()() x x 0 y y 0 t fu ( M 0 ) lim t 0 t f( x t cos , y t cos  ) f ( x , y ) ' 0 0 0 0 fu ( M 0 ) lim t 0 t Đây chính là đạo hàm của hàm f theo biến t '''' '' '' f  x f  y f( x , y )  cos f ( x , y )  cos  fu () M0 ft x t y t x0 0 y 0 0 f ' (,), x y f''( x , y ), f( x, y ) cos ,cos  u 0 0 x 0 0 y 0 0  '' gradf( x0 , y 0 ) fx ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ) véctơ gradient của f tại M0   ' Tích vơ hướng của véctơ fu ( M0 ) grad f ( x 0 , y 0 ), l 0 gradient tại M0 với véctơ đơn vị.
  6. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Tương tự, ta cĩ định nghĩa đạo hàm của f=f(x,y,z) tại M0 theo hướng u '''' fu ( M0 ) fx ( M 0 )  cos f y ( M 0 )  cos  f z ( M 0 )  cos    ' fu ( M0 ) grad f ( x 0 , y 0 , z 0 ), l 0  Trong đĩ: véctơ đơn vị cùng phương với u là: l 0 cos ,, c os  c os  ,,   là các gĩc tạo bởi u và chiều dương trục 0x, 0y và 0z tương ứng.  ''' Véctơ Gradient của f(x,y,z) tại M0 là: gradf( M0 ) fx ( M 0 ), f y ( M 0 ), f z ( M 0 )
  7. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. 2 4 5 Tìm đạo hàm của f ( x , y ) xy 3 x y tại điểm M0(1,1) theo hướng của véctơ u (1, 2) Giải.  1 2 Véctơ đơn vị cùng phương với u là: l0 , cos , c os  5 5 ' 2 3 5 ' fx y 12 x y fx (1,1) 11 ' 4 4 f ' (1,1) 13 fy 2 xy 15 x y y 11 26 f '''(1,1) f (1,1)  cos f (1,1)  c os  3 5 u x y 5 5
  8. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. 3 2 Tìm đạo hàm của f ( x , y ) x 3 xy 4 y tại điểm M0(1,2) theo hướng của véctơ tạo với chiều dương trục 0x một gĩc 300.  Giải. Véctơ đơn vị là: l0 cos , c os   ,  3 1 l0 cos ,cos , 6 2 6 3 6 3 2 2 ' 2 f ' (1,2) 3 fx 3 x 3 y x ' ' fy 3 x 8 y f y (1,2) 13  ''' 3 3 13 f(1,2) fx (1,2)  cos f y (1,2)  c os  l0 2 2
  9. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. y 1 3 Tìm đạo hàm của f (,) x y arctg tại điểm M0 , x 2 2 2 2 theo hướng pháp véctơ của đường trịn x + y = 2x tại M0. 2 2 '' Giải. F( x , y ) x y 2 x 0 n Fx, F y 2 x 2,2 y ( 1, 3)  1 3 Véctơ đơn vị là: l0 , 2 2 ' y ' 3 fx f() M x2 y 2 x 0 2 ' x ' 1 f fy () M 0 y x2 y 2 2 3  ''' f()()() M0 fx M 0  cos f y M 0  c os  l0 2
  10. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. 3 2 2 Tìm đạo hàm của f ( x , y , z ) x 2 xy 3 yz tại điểm M0(3,3,1) theo hướng của véctơ l=(2,1,2).  2 1 2 Giải. Véctơ đơn vị là: l ,, (cos ,cos  ,cos  ) 0 3 3 3 ' 2 2 ' fx 3 x 2 y fx (3,3,1) 45 ' 2 ' fy 4 xy 3 z f y (3,3,1) 39 ' ' fz 6 yz fz (3,3,1) 18 '''' fMl ()()()()0 fMcx 0 os fMc y 0  os  fMc z 0  os  55
  11. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. 2 Tìm đạo hàm của f ( x , y , z ) x 3 yz 4 tại điểm M0(1,2,-1) theo hướng của véctơ tạo với các trục tọa độ những gĩc nhọn bằng nhau.  Giải. Véctơ đơn vị là: l0 (cos ,cos  ,cos  ) 1 cos2 cos 2  cos 2  1 3cos2 1 cos 3 ' ' fx 2 x fx (1,2, 1) 2 ' f ' (1,2, 1) 3 fy 3 z y ' ' fz 3 y fz (1,2, 1) 6 3 fM ''''()()()() fMc os fMc  os  fMc  os  l 0x 0 y 0 z 0 3
  12. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Chú ý. Cho hàm f=f(x,y,z). Đạo hàm của f tại M0 theo hướng của véctơ (1,0,0) là: '''' ' fi ( M0 ) fx ( M 0 )  cos f y ( M 0 )  cos  f z ( M 0 )  cos  fx () M0 Vậy đạo hàm theo hướng véctơ (1,0,0) tại M0 là đạo hàm riêng theo x tại đĩ, đạo hàm riêng theo x tồn tại. Nếu đạo hàm riêng theo x khơng tồn tại, thì đạo hàm theo hướng vẫn cĩ thể cĩ (vì theo định nghĩa, đạo hàm theo hướng là giới hạn một phía)
  13. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. Tìm đạo hàm của f ( x , y , z ) | x | 2 yz tại điểm M0(0,1, 1) theo hướng của véctơ (1,0,0).  Giải. Véctơ đơn vị là: l0 1,0,0 Khơng tồn tại đạo hàm riêng theo x tại M0. Tìm đạo hàm của f theo hướng của véctơ (1,0,0) bằng định nghĩa ' fxt(0 cos , yt 0 cos  , zt 0 cos  ) fxyz ( 0 , 0 , 0 ) fi (0,1,1) lim t 0 t ' f( t ,1,1) f (0,1,1) |t | 2 2 |t | t fi (0,1,1) lim lim lim lim 1 t 0 t t 0 t t 0 t t 0 t Lý do: trong định nghĩa đạo hàm theo hướng, M dần đến bên phải của M0.
  14. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Theo cơng thức tính đạo hàm đạo hàm theo hướng:     ' fu ( M0 ) grad f ( M 0 ), l 0 gradf( M0 )  l 0  cos    gradf()() M0  l 0 grad f M 0  Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị lớn nhất theo hướng của véctơ gradf() M 0  Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng: gradf(,) x0 y 0  Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất theo hướng ngược với gradf() M 0  Giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng bằng: gradf(,) x0 y 0
  15. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. 2 3 Cho hàm f ( x , y , z ) xyz 2 xy yz và một điểm M 0 1,1,2 1) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đĩ tại M0 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất này. 2) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đĩ tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất này. Giải. 1) Hướng cần tìm là hướng của véctơ gradf (M0)  ''' gradf( M0 ) fx ( M 0 ), f y ( M 0 ), f z ( M 0 )  f' |grad f ( M ) | Giá trị lớn nhất bằng độ lớn véctơ gradf (M0): gradf( M0 ) 0 2) Hướng cần tìm là ngược hướng của véctơ gradf (M0)
  16. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. Cho hàm f ( x , y ) ln( xyz ) và một điểm M 0 1, 2, 3 1) Tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M0. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M0. Giải. 1) Đạo hàm theo hướng của hàm f tại M0 là một hàm phụ thuộc vào hướng của véctơ l =(l1, l2,l3). Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng độ lớn véctơ gradf (M0) Giá trị lớn nhất đạt được khi lấy đạo hàm theo hướng của véctơ gradf (M0
  17. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. 2 Cho hàm f ( x , y ) x sin( xy ) và một điểm M 0 1,0 Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đĩ tại M0 cĩ giá trị bằng 1 2 2 Giả sử hướng cần tìm là hướng của véctơ đơn vị: l0 ( a , b ), a b 1 f'''()()() M f M  a f M  b l0 0 x 0 y 0 ' ' ' ' fx 2 x y cos( xy ) fx ( M0 ) 2 fy xcos( xy ) fy ( M 0 ) 1 f' ( M ) 2 a b 1 l0 0 Vậy cĩ hai hướng: a 0 a 4/5 ; b 1 b 3/5 l0 (0,1) hoặc l0 (4/5, 3/5)
  18. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. Cho hàm f ( x , y ) x 2 y 2 2 x 4 y . Tìm tất cả các điểm mà tốc độ thay đổi nhanh nhất của hàm f tại những điểm đĩ là theo hướng của véctơ i j . Giả sử điểm cần tìm là M(a,b) Tốc độ thay đổi nhanh nhất của f tại M là theo hướng của véctơ  gradf(M) '' gradf( M ) fx ( a , b ), f y ( a , b ) (2a 2,2 b 4) Theo đề: gradf(M) cùng hướng với véctơ i + j = (1,0) + (0,1) = (1,1) a 1 t / 2 a 1 s (2a 2,2 b 4) t (1,1), t 0 , s 0 b 2 t / 2 b 2 s Tập hợp các điểm là nửa đường thẳng.
  19. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient Ví dụ. Nhiệt độ T tại một điểm (x,y,z) được cho bởi cơng thức 2 2 2 T( x , y , z ) 200  e x 3 y 9 z T tính bằng 0C; x, y, z tính bằng mét. 1) Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại điểm P(2,-1,2) theo hướng đến điểm (3,-3,3). 2) Tìm hướng mà nhiệt độ thay đổi nhanh nhất tại điểm P(2,-1,2). 3) Tìm giá trị lớn nhất của tốc độ thay đổi tại điểm P(2,-1,2).
  20. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient  gradf(,,) x0 y 0 z 0 Mặt phẳng tiếp diện Mặt cong S cĩ ptrình: F(x,y,z) P là một điểm thuộc S Phương trình mặt phẳng tiếp diện tại P với S: ''' FPxxx( )( 0 ) FPyy y ( )( 0 ) FPzz z ( )( 0 ) 0 Pháp véctơ của mặt phẳng tiếp diện chính là vectơ gradf(P)
  21. Ví dụ. Viết phương trình mặt tiếp diện và phương trình của pháp tuyến với mặt x2 z 2 y2 3 tại điểm P(-2, 1, -3). 4 9 x2 z 2 F( x , y , z ) y2 3 0 4 9 x2 z F''' ; F 2 y ; F x2 y z 9 Phương trình mặt tiếp diện 2 1(x 2) 2( y 1) ( z 3) 0 3 3x 6 y 2 z 18 0 x 2 y 1 z 3 Phương trình pháp tuyến qua P và cĩ VTCP (-1, 2, -2/3): 1 2 2/3
  22. V. Cơng thức Taylor, Maclaurint Cho hàm f f (,) x y cĩ các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong lân cận V của điểm M 0 x 0 , y 0 . Cơng thức Taylor của f đến cấp n tại điểm M0 là n dk f fxyfx(,)(,)(,)(,)(,) 0 xy 0 yfxy 0 0  xy 0 0 Rxyn k 1 k! trong đĩ R n (,) x y là phần dư cấp n. Khai triển Taylor tại điểm M0(0,0) được gọi là khai triển Maclaurint
  23. V. Cơng thức Taylor, Maclaurint Cĩ hai cách thường dùng để biễu diễn phần dư: 1) Nếu cần đánh giá phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Lagrange: 1 R(,)(,) x y dn 1 f x   x x   y n (n 1)! 0 0 trong đĩ 0  1 2) Nếu khơng quan tâm phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Peano: n Rn (,)() x y o 2 2 trong đĩ ()()x x0 y y 0
  24. V. Cơng thức Taylor, Maclaurint Ứng dụng khai triển Taylor 1) Xấp xĩ hàm đã cho với một đa thức (một hoặc nhiều biến) trong lân cận một điểm cho trước. 2) tính đạo hàm cấp cao của f tại một điểm cho trước. 3) Tính giới hạn của hàm số (giới hạn kép nếu hàm 2 biến) 4) Tính gần đúng với sai số cho trước (vi phân cấp một khơng làm được điều này).
  25. V. Cơng thức Taylor, Maclaurint Ví dụ. 2 Cho hàm f ( x , y ) x 2 xy và một điểm M 0 1,2 Tìm cơng thức Taylor của f tại M0 đến cấp hai. df (1,2) d 2 f (1,2) f( x ,y ) f (1,2) o ( 2 ) 1! 2! f ''(1,2)(x 1) f (1,2)( y 2) f( x , y ) f (1,2) x y 1! f''(1,2)(x 1) 2 2 f '' (1,2)( x 1)( y 2) f '' (1,2)( y 2) 2 xx xy yy o() 2 2! (x 1)2 ( y 2) 2 tính tất cả các đạo hàm riêng trong cơng thức, thay vào!!
  26. V. Cơng thức Taylor, Maclaurint Chú ý. Tìm khai triển Taylor bằng cơng thức rất mất thời gian, nên trong đa số trường hợp ta sử dụng cách sau. Tìm khai triển Taylor của f = f(x,y) tại M0(x0,y0): 1) Đặt X x x0, Y y y 0 x X x0; y Y y 0 2) Tìm khai triển Maclaurint của hàm f(X,Y), sử dụng khai triển Maclaurint của hàm một biến. 3) Đổi f(X,Y) sang f(x,y) (thay X x x 0 , Y y y 0 ) 4) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các bậc của x x0, y y 0
  27. V. Cơng thức Taylor, Maclaurint Ví dụ. 1 Tìm khai triển Taylor đến cấp hai của f (,) x y tại M 1,2 . 2x 3 y 0 Đặt X x 1, Y y 2 x X 1; y Y 2 1 1 1 1 f  2(XY 1) 3( 2) 2XY 3 8 8 1 2XY /8 3 /8 1 2XY 3 Sử dụng khai triển hàm một biến g( t ) 1 t t2 o ( t 2 ), t 1 t 8 8 2 1 2XYXY 3 2 3 2 f 1 o ( ) 8 8 8 8 8 Khai triển, bỏ bậc cao hơn 2, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự. 1 2 3 4 f ( x 1) ( y 2) ( x 1)2  8 82 8 2 8 3
  28. V. Cơng thức Taylor, Maclaurint Ví dụ. Tìm khai triển Taylor đến cấp ba của f ( x , y ) ln( x y ) tại M 0 1,1 . Đặt X x 1, Y y 1 x X 1; y Y 1 XY XY f ln(2 X Y ) ln 2  1 ln 2 ln 1 2 2 2 2 t2 t 3 X Y Sử dụng khai triển hàm một biến g( t ) ln(1 t ) t o ( t3 ), t 2 3 2 2 3 XYXYXY 1 1 3 f ln 2   o ( ) 2 2 2 3 2 Khai triển, bỏ bậc cao hơn 3, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự. x 1 y 1 f ln 2  2 2
  29. V. Cơng thức Taylor, Maclaurint Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp ba của f ( x , y ) e x sin y . Sử dụng khai triển hàm một biến x x2 x 3 y3 ex 1 o ( x3 ) siny y o ( y4 ) 1! 2! 3! 3! 2 3 3 x x x x3 y 4 f( x , y ) e sin y 1 o ( x )  y o ( y ) 1! 2! 3! 3! y3 xy 3 xyxy 2 2 3 xyxy 3 3 3 f(,)() x y y xy o 3 6 6 2 36 6 36 Khai triển, bỏ bậc cao hơn 3, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự. x2 y y 3 f(,)() x y y xy o 3 2 6
  30. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Định nghĩa Hàm f f (,) x y đạt cực đại chặt tại M 0 (,) x 0 y 0 , nếu f(,)(,) x y f x0 y 0 với mọi (x,y) gần (,) x 0 y 0 tức là  BMr (,):(,),:()() 0  MBMr 0  DMMfMf 0 fM 0 Định nghĩa Hàm f đạt cực đại khơng chặt tại M 0 (,) x 0 y 0 , nếu f(,)(,) x y f x0 y 0 với mọi (x,y) gần (,) x 0 y 0 tức là  BMr (,): 0  MBMr (,) 0  DfMf ,() fM () 0 và M1 M 0 , M 1 B ( M 0 , r ) : f ( M 1 ) f ( M 0 ) tương tự cho cực tiểu chặt và cực tiểu khơng chặt.
  31. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Hàm f(x,y) = x2 + y2 đạt cực tiểu tại (0,0). Xét f ( x , y ) f (0,0) x2 y 2 0 f(,) x y x2 y 2 0 (,)(0,0) x y Vậy điểm (0,0) là điểm cực tiểu chặt.
  32. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Khảo sát cực trị của f ( x , y ) 1 ( x 1) 2 ( y 1) 2 tại (1,1). f( x , y ) f (1,1) 1 ( x 1)2 ( y 1) 2 1 (x 1)2 ( y 1) 2 0 f( x , y ) f (1,1) f( x , y ) 1 ( x , y ) (1,1) Vậy hàm đạt cực đại chặt tại (1,1).
  33. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Khảo sát cực trị f(x,y) = x2y2 tại (0,0). Ta cĩ f ( x , y ) f (0,0) x2 y 2 0 suy ra f đạt cực tiểu tại (0,0) Trong mọi lân cận của (0,0) đều tìm được một điểm khác với (0,0 mà giá trị của f tại đĩ bằng giá trị của f(0,0) = 0. Vậy (0,0) là điểm cực tiểu khơng chặt.
  34. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Khảo sát cực trị của f(x,y) = x y2 tại điểm (0,0). Hàm khơng đạt cực trị tại (0,0). Nếu ta tiến về (0,0) theo đường thẳng y = x ( x > 0) thì f > 0. Nếu ta tiến về (0,0) theo đường thẳng y = x ( x và điểm mà f < 0.
  35. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Định lý điều kiện cần của cực trị Hàm f đạt cực trị tại M 0 (,) x 0 y 0 thì tại đĩ: 1) Khơng tồn tại đạo hàm riêng cấp 1, hoặc '' 2) fx ( x0 , y 0 ) 0,  f y ( x 0 , y 0 ) 0. Chứng minh. Điểm dừng: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0. Điểm tới hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc khơng tồn tại. Điểm cực trị: hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu.
  36. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Định lý điều kiện đủ của cực trị Cho M 0 (,) x 0 y 0 là điểm dừng của hàm f = f(x,y) và f cĩ các đạo hàm riêng lien tục đến cấp 2 trong lân cận của điểm M0. 2 1) Nếu d f ( M 0 ) 0 , thì M 0 là điểm cực tiểu. 2 2) Nếu d f ( M 0 ) 0 , thì M 0 là điểm cực đại. Chứng minh. 2 Chú ý: Nếu d f ( M 0 ) 0 , thì khơng kết luận được. Ta phải tìm vi phân cấp cao hơn của f.
  37. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f(x,y) ' fx ( x , y ) 0 1) Tìm điểm dừng ' P1( x , y ), P 2 ( x , y ), fy ( x , y ) 0 '' '' '' 2) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai f xx ,,. f xy f yy 3) Khảo sát từng điểm dừng. '' '' '' 2 P1(,): x 1 y 1 A fxx( P1 ), B f xy ( P 1 ), C f yy ( P 1 ), AC B 0 0 P1 là điểm cực tiểu P1 là điểm cực đại A 0 A 0 0: khơng kết luận được 0 P1 khơng là điểm cực trị phải khảo sát bằng định nghĩa
  38. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Chú ý: 1) Sơ đồ ở slide trước khơng cho phép khảo sát cực trị tại điểm mà các đạo hàm riêng khơng tồn tại. Những điểm này được khảo sát bằng định nghĩa 2) Đối với hàm nhiều hơn hai biến ta khảo sát tương tự, bằng cách dùng định lý điều kiện cần (tìm ở đâu) và định lý điều kiện đủ (tìm như thế nào) Theo định lý điều kiện đủ, để khảo sát tại điểm dừng ta xét dấu vi phân cấp 2. Đây là một dạng tồn phương. 3) Sơ đồ ở slide chỉ sử dụng cho hàm hai biến.
  39. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Ví dụ. Khảo sát cực trị tự do của hàm f ( x , y ) x 2 xy y 2 2 x y f' 2 x y 2 0 1) Tìm điểm dừng: x ' P1(1,0), fy x 2 y 1 0 '' '' '' 2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. f xx 2, f xy 1, f yy 2 '' '' 3) Khảo sát từng điểm dừng. P 1 (1,0) : A fxx ( P 1 ) 2; B f xy ( P 1 ) 1 '' 2 C fyy ( P1 ) 2; AC B 3 0 0 f f( P ) 1 Kết luận cho điểm dừng P1: P 1 là điểm cực tiểu, ct 1 A 0
  40. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Ví dụ. Khảo sát cực trị tự do của hàm f ( x , y ) x 4 y 4 x 2 2 xy y 2 ' 3 f 4 x 2 x 2 y 0 PP(1,1), ( 1, 1), 1) Tìm điểm dừng: x 1 2 ' 3 fy 4 y 2 x 2 y 0 P3(0,0) '' 2 '' '' 2 2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. f xx 12 x 2, f xy 2, f yy 12 y 2 '' 3) Khảo sát từng điểm dừng. P 1 (1,1) : A fxx ( P 1 ) 10; B 2 '' 2 2 C fyy ( P1 ) 10; AC B 10 4 0 0 f f( P ) 2. Kết luận cho điểm dừng P1: P 1 là điểm cực tiểu, ct 1 A 0 Tương tự P2 là điểm cực tiểu.
  41. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 2 Tại điểm dừng P 3 (0,0) : AC B 0 khơng thể kết luận được. Khảo sát bằng định nghĩa: ffxyf ( , ) (0,0) xyx4 4 2 2 xyy 2 Xét dấu của f trong lân cận của (0,0): 1 n Chọn dãy: (xn , y n ) ,0  (0,0) n 1 1 1 n2 Khi đĩ: f( x , y ) 0 n n n4 n 2 n 4 1 1 n Chọn dãy: (xn , y n ) ,  (0,0) n n 1 1 2 Khi đĩ: f( x , y ) 0 n n n4 n 4 n 4 Vậy hàm khơng đạt cực trị tại (0,0).
  42. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do
  43. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Ví dụ. Khảo sát cực trị tự do của hàm f ( x , y ) 1 x 2 y 2 ' x fx 0 2 2 x y Khơng cĩ điểm dừng. ) Tìm điểm dừng: ' y f y 0 2 2 x y Dùng định nghĩa ta thấy đạo hàm riêng theo x, theo y tại (0,0) khơng tồn tại. 0,0) là điểm tới hạn, khơng là điểm dừng. f(0,0) f ( x , y ) f (0,0) x2 y 2 0 f(0,0) 0 ( x , y ) (0,0). Suy ra (0,0) là điểm cực tiểu chặt.
  44. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do Khảo sát cực trị của f(x,y) = |x|+ y2 tại điểm (0,0). ' Khơng tồn tại f x (0,0) Điểm (0,0) khơng là điểm dừng. (0,0) là điểm tới hạn. f( x , y ) f (0,0) | x | y2 0 (0,0) là điểm cực tiểu chặt.
  45. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Đồ thị của f ( x , y ) 2 x 2 y là mặt phẳng. Khơng cĩ cực trị tự do. Xét điều kiện: x 2 y 2 1 Khảo sát cực trị trên đường ellipse là giao của mặt phẳng và mặt trụ. Tồn tại cực trị cĩ điều kiện.
  46. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Định nghĩa cực trị cĩ điều kiện Hàm f f (,) x y đạt cực đại chặt tại M 0 (,) x 0 y 0 với điều kiện (x , y ) 0 nếu  BMr (,):(,),:()() 0  MBMr 0  DMMfMf 0 fM 0 và thỏa điều kiện ràng buộc ( M ) 0. Tương tự, ta cĩ định nghĩa cực đại khơng chặt cĩ điều kiện, cực tiểu chặt và khơng chặt cĩ điều kiện.
  47. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Điểm M 0 (,) x 0 y 0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong (x , y ) 0 '' nếu x ( MM 0 ) 0; y ( 0 ) 0 Định lý (điều kiện cần của cực trị cĩ điều kiện) Điểm M 0 (,) x 0 y 0 thỏa các điều kiện: 1) M0 khơng là điểm kỳ dị của đường cong ( x , y ) 0 2) f ( x , y ), ( x , y ) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong lân cận của M0 3) Hàm f(x,y) với điều kiện ( x , y ) 0 đạt cực trị tại M0. Khi đĩ tồn tại một số  thỏa: f''( M )  ( M ) 0 x0 x 0 '' fy( M0 )  y ( M 0 ) 0 (M ) 0 0
  48. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Số  được gọi là nhân tử Lagrange. Hàm L (,)(,)(,) x y f x y   x y được gọi là hàm Lagrange. Định lý (điều kiện đủ của cực trị cĩ điều kiện) Giả sử f ( x , y ), ( x , y ) khả vi liên tục đến cấp 2 trong lân cận của M 0 . Trong lân cận của M 0 các thỏa các điều kiện trong định lý điều kiện cần. 2 d L( M 0 ) 0 M 0 là điểm cực tiểu cĩ điều kiện. 2 d L( M 0 ) 0 M0 là điểm cực đại cĩ điều kiện. 2 d L() M 0 khơng xác định dấu M 0 khơng là điểm cực trị
  49. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Sơ đồ khảo sát cực trị của f = f(x,y) với điều kiện (x , y ) 0 1) Lập hàm Lagrange L (,)(,)(,) x y f x y   x y ' Lx ( x , y ) 0 P( x , y ), 1 1 1 1 Tìm điểm dừng của L(x,y): ' Ly ( x , y ) 0 P2( x 2 , y 2 ), 2 (x , y ) 0  '' '' '' 2) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai LLL xx ,,. xy yy 3) Khảo sát từng điểm dừng. P( x , y ), : 2 '' 2 '' '' 2 1 1 1 1 d L( P1 ) Lxx ( P 1 ) dx 2 L xy ( P 1 ) dxdy L yy ( P 1 ) dy Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận. Tương tự khảo sát các điểm dừng cịn lại.
  50. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Chú ý: 2 1) Để khảo sát d L () P 1 đơi khi ta cần sử dụng điều kiện (x , y ) 0 d ( x , y ) 0 d ( P1 ) 0 '' x(P1 ) dx y ( P 1 ) dy 0 Từ đây ta cĩ dx theo dy (hoặc dy theo dx) 2 2 2 Thay vào biểu thức của d L () P 1 , ta cĩ một hàm theo dx (hoặc dy ) 2) Trong bài tốn cực trị cĩ điều kiện, dx và dy khơng đồng thời bằng 0. 3) Trường hợp cĩ nhiều hơn một điều kiện: 1(x , y ) 0, 2 ( x , y ) 0 L(,)(,)(,)(,) x y f x y 1 1 x y  2 2 x y và tiếp tục tương tự trường hợp một điều kiện.
  51. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Ví dụ. Tìm cực trị của hàm f ( x , y ) 6 5 x 4 y với điều kiện x 2 y 2 9 1) Hàm Lagrange: L ( x , y ) 6 5 x 4 y  ( x2 y 2 9) ' Lx 5 2 x 0 P1(5, 4), 1 1/ 2, ' Ly 4 2 y 0 P2( 5,4), 2 1/ 2 2 2 (x , y ) x y 9 0 '' '' '' 2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. LLL xx 2  , xy 0, yy 2  3) Khảo sát từng điểm dừng. P 1 (5, 4),  1 1/ 2: 2 '' 2 '' '' 2 2 2 d L( P1 ) Lxx ( P 1 ) dx 2 L xy ( P 1 ) dxdy L yy ( P 1 ) dy dx dy 5 từ điều kiện: d ( P ) 0 10dx 8 dy 0 dy dx 1 4 2 2 2 5 9 2 P là điểm cực đại chặt cĩ điều kiện d L( P1 ) dx dx dx 0 1 4 16
  52. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Ví dụ. Tìm cực trị của hàm f ( x , y ) 2 x 2 12 xy y 2 với điều kiện x 2 4 y 2 25 1) Hàm Lagrange: L ( x , y ) 2 x 2 12 xy y 2  ( x 2 4 y 2 25) ' Lx 4 x 12 y 2 x 0  2:PP (3, 2), ( 3,2), 1 1 2 ' Ly 12 x 2 y 8 y 0 17 1 :,PP 3 4 2 2 4 (x , y ) x 4 y 25 0 '' '' '' 2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. LLL xx 4 2  , xy 12, yy 2 8  3) Khảo sát từng điểm dừng. P 1 (3, 2),  1 2: 2 '' 2 '' '' 2 2 2 d L( P1 ) Lxx ( P 1 ) dx 2 L xy ( P 1 ) dxdy L yy ( P 1 ) dy 8dx 24 dxdy 18 dy 8 từ điều kiện: d ( P ) 0 6dx 16 dy 0 dx dy 1 3 2 P là điểm cực tiểu chặt cĩ điều kiện d L( P1 ) 0 1
  53. VI. Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Định nghĩa Số a được gọi là giá trị lớn nhất của hàm f trên một tập đĩng và bị chặn D, nếu  M D :() f M a và  M 0 D :() f M 0 a Tương tự ta cĩ định nghĩa giá trị nhỏ nhất. Nhắc lại: Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f = f(x) trên [a,b]: ' 1) Tìm điểm dừng thuộc (a,b): f( x ) 0 x1 , x 2 , loại các điểm khơng thuộc (a,b). Tính giá trị của f tại những điểm cịn lại. 2) Tính giá trị của f(a), f(b). 3) So sánh giá trị của f ở bước 1) và bước 2). Kết luận.
  54. VI. Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Định lý Weierstrass Hàm nhiều biến f liên tục trên tập đĩng và bị chặn D thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f trên D: 1) Tìm trong D (giữa các điểm trong của D) Tìm điểm dừng của f : PP1, 2 , loại các điểm khơng là điểm trong của D. Tính giá trị của f tại những điểm cịn lại. 2) Tìm trên biên D. 3) So sánh giá trị của f ở bước 1) và bước 2). Kết luận.
  55. VI. Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Chú ý: 1) Tìm trên biên D: giả sử biên D cho bởi phương trình (x , y ) 0 Tìm trên biên D tức là tìm cực trị của f(x,y) với điều kiện (x , y ) 0 Lập hàm Lagrange: L(,)(,).(,) x y f x y  x y ' Lx ( x , y ) 0 Q(,) x y 1 1 1 Tìm điểm dừng của L: ' Ly ( x , y ) 0 Q2(,) x 2 y 2 (x , y ) 0  Tính giá trị của f tại các điểm Q1, Q2,
  56. VI. Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Chú ý: 2) Trường hợp đặc biệt, biên của D là những đoạn thẳng Tìm trên từng đoạn thẳng. Giả sử tìm trên đoạn AB cĩ phương trình a c ax by c ( b 0) y x b b Thay vào hàm f(x,y) ta cĩ hàm một biến x, tìm gtln, gtnn của hàm này.
  57. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f ( x , y ) ( x 6) 2 ( y 8) 2 trên miền D: x 2 y 2 25 f' 2( x 6) 0 1) Tìm trong D: x ' P1(6, 8) D fy 2( y 8) 0 2) Tìm trên biên của D: ( x , y ) x 2 y 2 25 0 Lập hàm Lagrange: L ( x , y ) ( x 6) 2 ( y 8) 2  ( x 2 y 2 25)
  58. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện ' Lx 2( x 6) 2 x 0 ' Tìm điểm dừng của L: L y 2( y 8) 2  y 0 QQ 1 (3, 4); 2 ( 3,4) 2 2 x y 25 f( Q1 ) f (3, 4) 25 f( Q2 ) f ( 3,4) 225 3) So sánh giá trị của f ở bước 1) và bước 2). Kết luận Giá trị lớn nhất là 225 đạt tại (-3,4). Giá trị nhỏ nhất là 25 đạt tại (3,-4).
  59. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f (,) x y x 2 xy y 2 trên miền D: | x | | y | 1 A(0,1) D( 1,0) B(1,0) C(0, 1) ' fx 2 x y 0 P (0,0) D f() P1 0 ) Tìm trong D: ' 1 fy x 2 y 0
  60. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 2) Tìm trên biên của D. Cĩ 4 cạnh. Tìm trên từng cạnh một. Trên AB: phương trình AB là y 1 x , x [0,1] f x2 x(1 x ) (1 x ) 2 3 x 2 2 x 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến trên [0,1]. 1 f' 6 x 2 0 x [0,1] 3 1 2 Trên AB cĩ 3 điểm nghi ngờ: A(0,-1), B(1,0) và Q1 , 3 3 1 Tính giá trị của f tại 3 điểm này: f();(); A 1 f B 1 f( Q ) 1 3 Tương tự tìm trên 3 cạnh cịn lại. 3) so sánh, kết luận: GTLN: 1; GTNN: 0.
  61. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f (,) x y x 2 y 2 trên miền D: x 2 y 2 2 x ' fx 2 x 0 P (0,0) 1) Tìm trong D: ' 1 loại vì khơng là điểm trong của fy 2 y 0
  62. VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 2) Tìm trên biên D: ( x , y ) x 2 y 2 2 x 0 y2 2 x x 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến f x2 (2 x x 2 ) 2 x 2 2 x trên [0,2] 1 1 1 f' 4 x 2 0 x f ; f(0) 0 ; f (2) 4 2 2 2 1 3) So sánh, kết luận: Giá trị lớn nhất là 4 ; giá trị nhỏ nhất là 2 Chú ý: cĩ thể lập hàm Lagrange.
  63. Bài tập
  64. Bài tập
  65. Bài tập
  66. Bài tập