›
›

Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân kép - Đặng Văn Vinh

pdf 58 trang huongle 2710
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân kép - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_ham_nhieu_bien_chuong_3_tich_phan_kep_d.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân kép - Đặng Văn Vinh

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích hàm nhiều biến Chương 3: Tích phân kép • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân kép 0.2 – Tọa độ cực 0.3 – Ứng dụng hình học 0.4 – Ứng dụng cơ học
  3. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Cho vật thể (hình trụ cong) được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f f (,) x y giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn). Tìm thể tích vật thể.
  4. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
  5. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
  6. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
  7. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
  8. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f (,) x y giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn). giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D Tìm thể tích vật thể. 1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, , Dn. Có diện tích tương ứng là SSS, , , . DDD1 2 n 2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm M(,) x y S i i i Di n 3) Thể tích của vật thể: V  f() M S V i Di n i 1 4) VV lim n n
  9. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Định nghĩa tích phân kép Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D. Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có) n I f(,)() x y dxdy  f M  S lim i Di D n i 1 Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D.
  10. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Tính chất của tích phân kép 1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này. 2) S D 1 dxdy D 3) f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy DD 4)  f ( x , y ) g ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy g ( x , y ) dxdy DDD 5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 không dẫm lên nhau: f(,)(,)(,) x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy DDD1 2 6)  (,),(,)(,)x y D f x y g x y fdxdy gdxdy DD
  11. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Ví dụ Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x , y ) 16 x 2 2 y 2 giới hạn dưới bởi hình vuông: R [0,2] [0,2] giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên R. Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau: a) Chia R thành 4 phần bằng nhau; b) Chia R thành 16 phần bằng nhau; c) Chia R thành 64 phần bằng nhau; d) Chia R thành 256 phần bằng nhau; e) Tính thể tích của vật thể.
  12. 4 V V  f() M  S n i Di i 1 S Di 1,  i 1, ,4. V f(1,1) f (1,2) f (2,1) f (2,2) V 13 7 10 4 34.
  13. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
  14. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
  15. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
  16. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Cách tính (Định lý Fubini) Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D. y=y2(x) y=y1(x) a b 1) Giả sử D xác định bởi: a x b b y2 () x I f( x , y ) dxdy dx f ( x , y ) dy y1()() x y y 2 x D a y1()x
  17. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini) x=x1(y) d x=x2(y) c ) Giả sử D xác định bởi: d x2 () y c y d I f( x , y ) dxdy dy f ( x , y ) dx D c x1()y x1()() y x x 2 y
  18. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Giải câu e) 2 0 x 2 0 y 2 2 2 2 2 2 2 2 Tính thể tích của vật thể. V 16 x 2 y dxdy dx 16 x 2 y dy R 0 0 2 2 3 2 2 y 2 16 (16 x )y 2 dx 32 2x dx 48 3 3 0 0 0
  19. Ví dụ Tính tích phân kép I xydxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D y 2 x2 , y x . 2 x 1 2 x y 2 x 1 2 x2 I xy dxdy dx xy dy D 2 x 2 x2 1 y2 x dx 2 2 x 1 (2 x2 ) 2 x 2 x x dx 2 2 2
  20. Ví dụ Tính tích phân kép I () x y dxdy , trong đó D là tam giác OAB, với D OAB(0,0), (1,1), (2,0). 0 x 2 0 y ? A Cần chia D ra thành hai miền: D1 và D2 D I 1 D2 DDD1 2 B 1x 2 2 x I dx ()() x y dy dx x y dy 0 0 1 0 Nếu lấy cận y trước, x sau thì không cần chia
  21. Ví dụ 2 Tính tích phân kép I y x dxdy D D là miền phẳng giới hạn bởi 1 x 1,0 y 1. 2 2 I xy dxdy y x dxdy y x dxdy D DD1 2 2 2 y x dxdy x y dxdy DD1 2 1 1 1 x2 D 2 2 1 dx y x dy dx x y dy 1x2 1 0 11 I D2 D2 15
  22. Ví dụ 1 1 x2 Tính tích phân kép I dy e dx 0 y 1 x2 Tích phân e dx không tính được ( qua các hàm sơ cấp) y Thay đổi thứ tự lấy tích phân: 1) Xác định miền D 2) Vẽ miền D 3) Thay đổi thứ tự
  23. 0 y 1 D : y x 1 0 x 1 Thay đổi cận: D : 0 y x 1 1 x 2 1 x 1 2 2 1x2 e 1 I dx e dy ex yx dx xex dx e 0 0 0 0 0 20 2
  24. Ví dụ 1 1 3 Tính tích phân kép I dy sin( x 1) dx 0 y 1 3 Tích phân sin( x 1) dx không tính được (qua các hàm sơ cấp) y 0 y 1 D : y x 1 Thay đổi cận: 0 x 1 D : 2 0 y x 2 1 x 1 2 3 sin(x3 1)  yx dx I dx sin( x 1) dy 0 0 0 0 1 2 3 cos(1) 1 xsin( x 1) dx 0 3
  25. Ví dụ 1 y2 y Thay đổi thứ tự lấy tích phân I dy f(,) x y dx 0 0 0 y 1 D : 2 0 x y y Vẽ miền D: Thay đổi cận 0 x 2 D : 1 1 4x y 1 2 1 2 I dx f(,) x dy 0 1 1 4x 2
  26. Ví dụ 2 3 2 4 y Thay đổi thứ tự lấy tích phân I dy f(,) x y dx 3 12 y2 3 y 3 D1 D : 2 2 12 y x 2 4 y Vẽ miền D: D3 Thay đổi cận Phải chia D làm 3 miền 3 x 2 3 D2 D1 : 3 x 2 3 2 2 D2 : 12 x y 4 x x 2 2 4x x y 12 x 2 3 x 4 D : 3 I fdxdy fdxdy fdxdy 4x x2 y 4 x x 2 DDD1 2 3
  27. II. Tọa độ cực y Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes y M(,) x y x r cos r y r sin x x Chú ý: x2 y 2 r 2 Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính bằng 2: x2 y 2 4 Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r 2.
  28. II. Tọa độ cực Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1: x2 y 2 2 x Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r2 2 r cos r 2cos Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1: x2 y 2 2 y Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r2 2 r sin r 2sin Ví dụ. Phương trình đường tròn thẳng x = 2 (trong tọa độ Descartes) 2 Phương trình đường thẳng này trong tọa độ cực là: rcos 2 r cos
  29. II. Tọa độ cực I f(,) x y dxdy R Qua phép đổi biến: x r cos y r sin Chia [a,b] thành m phần. Chia [,]  thành n phần.
  30. ri 1 r r i Miền Rij : j 1   j Trên Rij lấy một điểm (,)ri j 1 1 r ( r r ); (   ) i2 i 1 i i 2 i 1 i Diện tích miền Rij là: 1 1 A r2   r 2  ; ij2 i 2 i 1  () j  j 1 1 1 A   r2 r 2   r r  r r r*  r   ij2 i i 1 2 i i 1 i i 1 i
  31. Tọa độ cực của điểm Rij là: (ri cos j , r i  sin  j ) m n Tổng Riemann Vmn   f( r i  cos j , r i  sin  j )  A i i 1 j 1 m n   f( ri  cos j , r i  sin  j )  r i  r   i 1 j 1 m n g( r , ) r  f ( r  cos  , r  sin  ) Đặt Vmn   g(,) r i j  r   i 1 j 1 m n f( x , y ) dxdy lim   f ( ri  cos j , r i  sin  j )  A i R m, n i 1 j 1 m n  b lim   g ( ri , j )  r   g(,) r drd  m, n i 1 j 1 a  b f( x , y ) dxdy d f ( r  c os  , r  sin  ) r  dr R a
  32. Ví dụ Tính tích phân kép I () x y dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D x2 y 2 1, x 2 y 2 4, y 0, y x x r cos y r sin 0 DD : 4 1 r 2
  33. I () x y dxdy D / 4 2 / 4 2 2 I d rcos r sin r  dr d cos sin  r  dr 0 1 0 1 2 / 4 r3 I cos sin  d 3 0 1 / 4 8 1 I cos sin  d 0 3 3 7 I 3
  34. Ví dụ 2 2 Tính I 4 x y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D x2 y 2 4, y x , y x 3 (y x) x r cos y r sin D : 4 3 0 r 2 /3 2 2 I d 3 r r  dr / 4 0 2 I 9
  35. Ví dụ 2 2 Tính I x y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D x2 y 2 2 x , y x . x r cos y r sin D : 2 4 0 r 2cos / 4 2cos I d r r  dr / 2 0 / 4 8 3 16 10 2 I cos d / 2 3 9
  36. Ví dụ Tính I ( x 1) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D x2 y 2 2 x ; x 2 y 2 4 x ; y x ; y x 3 x r cos y r sin D : 4 3 2cos r 4cos /3 4cos I d ( r cos 1) r  dr / 4 2cos
  37. Ví dụ Tính I () x y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D x2 y 2 2 x ; x 2 y 2 2 y . x r cos 0 D : 2 y r sin 0 r ? 0 D1 : 4 0 r 2sin D 2 D1 D2 : 4 2 0 r 2cos I DD1 2
  38. II. Tọa độ cực Toạ độ cực mở rộng: 2 2 2 Trường hợp 1. Miền phẳng D là hình tròn ()()x x0 y y 0 a Dùng phép đổi biến: x x0 r cos y y0 r sin Khi đó định thức Jacobi: '' xr x cos r .sin J '' r yr y sin r .cos Khi lấy cận của r , ta coi như gốc tọa độ dời về tâm hình tròn.
  39. II. Tọa độ cực Toạ độ cực mở rộng: x2 y 2 Trường hợp 2. Miền phẳng D ellipse 1,a 0, b 0 a2 b 2 x Dùng phép đổi biến: r cos a y r sin b Khi đó định thức Jacobi: '' xr x a.cos ar .sin J '' a b r yr y b.sin br .cos Khi đó cận của r,: 0 2 0 r 1
  40. Ví dụ Tính I (2 x y ) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D (x 1)2 ( y 2) 2 4; x 1. Gốc tọa độ dời về đây x 1 r cos y 2 r sin D : 2 2 0 r 2 / 2 2 I d 2(1 r cos ) (2 r sin )  r  dr / 2 0
  41. Ví dụ Tính I ( x 1) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D x2 y 2 1;y 0; x 0 9 4 x r cos 3 y r sin 2 0 D : 2 0 r 1 / 2 1 I d 3. r cos 1  3 2 r  dr 0 0
  42. Ví dụ Tính I xdxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D x2 y2 1; y 0; y x 3 x r cos 0 D : 3 3 0 r 1 y r sin sin y/ r tg cos x/( r 3) Vì đường y = x nên tg 3 3 /3 1 I d 3. r cos  3 1  r  dr 0 0
  43. III. Ứng dụng hình học Diện tích miền D: SD 1  dxdy D Thể tích hình trụ cong được giới hạn trên bởi f = f(x,y), giới hạn dưới bởi miền D, giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song 0z, tựa trên biên D V f(,) x y dxdy D Thể tích hình trụ cong được giới hạn trên bởi f = f2(x,y), giới hạn dưới bởi f = f1(x,y), giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song 0z, tựa trên biên D: V f2(,)(,) x y f 1 x y dxdy D
  44. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi x2 y 2 2 y ; x 2 y 2 6 y ; y x 3; x 0 Diện tích miền D là: / 2 6sin SD dxdy d rdr D /3 2sin 6sin / 2 2 / 2 r 2 SD d 16sin d 2 /3 2sin /3 4 S 2 3 D 3
  45. III. Ứng dụng hình học Để tính thể tích khối  1) Xác định mặt giới hạn bên trên: z z2 (,) x y 2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: z z1(,) x y 3) Xác định hình chiếu của  xuống 0xy: D proxy  V z2(,)(,) x y z 1 x y dxdy D Chú ý: 1) Có thể chiếu  xuống 0xz, hoặc 0yz. Khi đó mặt phía trên, mặt phía dưới phải theo hướng chiếu xuống. 2) Để tìm hình chiếu của  xuống 0xy, ta khử z trong các phương trình của 
  46. III. Ứng dụng hình học 2 2 V ()()2 2x x 2 x 1 y dxdy x2 y 2 1 2 2 V 1 x y dxdy x2 y 2 1 x r cos Đổi sang tọa độ cực: y r sin 1 2 1 2 2 4 2 r r V d 1 r  r  dr d 0 0 2 4 0 0 V 2
  47. Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z x2 y 2; y x 2 ; y 1; z 0 Mặt trên: z x2 y 2 Mặt phía dưới: z 0 Hình chiếu: D D
  48. III. Ứng dụng hình học 2 2 V x y 0 dxdy D 1 x 1 D : 2 x y 1 1 1 2 2 V dx x y dy 1 x2 1 1 3 2 y V x y dx 3 1 x2 1 1 x6 88 V x2 x 4 dx 105 1 3 3
  49. Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn trên bởi (x 1)2 y 2 z ;2 x z 2 Mặt phía trên: z z2 ( x , y ) 2 x 2 2 2 Mặt phía dưới: z z1( x , y ) ( x 1) y Hình chiếu: khử z trong 2 phương trình (x 1)2 y 2 2 x 2 x2 y 2 1 Hình chiếu D: x2 y 2 1 V z2 z 1 dxdy x2 y 2 1
  50. Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z 2 x 2 y 2 1; x y 1; và các mặt tọa độ Mặt phía trên: z 2 x2 y 2 1 Mặt phía dưới: z 0 Hình chiếu: là tam giác màu đỏ. A 0 B 2 2 Mặt dưới V 2 x y 1 0 dxdy tam giaùc
  51. Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z 4 y2 ; z y 2 2; x 1; x 2. z Có thể chiếu xuống 0xy tương tự các ví dụ trước. Chiếu vật thể xuống 0yz: Mặt phía trên: x 2 Mặt phía dưới: x 1 x
  52. Thể tích vật thể cần tính: z V x2(,)(,) y z x 1 y z dydz D D 1 4 y2 V dy (2 ( 1)) dz 1 2 y2 2 1 4 y V 3 z dy y 1 2 y2 1 2 2 V 3 4 y 2 y dy 1 V 8.
  53. III. Ứng dụng hình học Mặt S cho bởi phương trình z = z(x,y), D là hình chiếu của S xuống 0xy. Chia miền D thành n miền con D1, D2, , Dn. S được chia thành các mặt con S1, S2, , Sn. Lấy điểm bất kỳ Pi( x i , y i ,0) D i Tương ứng điểm M i(,,) x i y i z i S i T là mặt tiếp diện với S tại Mi Ti là mảnh có hình chiếu Di Với Di nhỏ ta coi diện tích của Ti là diện tích gần đúng của mảnh Si. n SSST n  () i i 1 Gọi  i là góc giữa hai mảnh Di và Ti : SDSD (i ) ( i )  cos i Ta có  i là góc giữa pháp tuyến tại Mi với mặt S và trục Oz.
  54. III. Ứng dụng hình học  '' Véctơ pháp của S tại Mi : ni ( f x ( x i , y i ), f y ( x i , y i ), 1) 1 cosi 2 2 '' fx( x i , y i ) f y ( x i , y i ) 1 n 2 2 '' S Sn  f x( x i , y i ) f y ( x i , y i ) 1  S ( D i ) i 1 n 2 2 '' S lim  fx f y 1  S ( D i ) n i 1 Diện tích mặt cong có phương trình z = f(x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng xy là D được tính bởi công thức: 2 2 f  f S 1 dxdy D x  y
  55. Ví dụ Tính diện tích phần mặt paraboloid z 1 x 2 y 2 nằm trong hình trụ x2 y 2 1 Hình chiếu của S xuống 0xy: D: x2 y 2 1 Phương trình mặt S: z 1 x2 y 2 '' zx 2 x ; z y 2 y Diện tích phần mặt paraboloid: 2 2 '' S 1 zx z y dxdy D 2 1 2 2 2 S 1 4 x 4 y dxdy d 1 4 r  r  dr x2 y 2 1 0 0
  56. Bài tập
  57. Bài tập