›
›

Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân bội ba - Đặng Văn Vinh

pdf 39 trang huongle 3490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân bội ba - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_ham_nhieu_bien_chuong_4_tich_phan_boi_b.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân bội ba - Đặng Văn Vinh

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân bội ba • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 0.2 – Tọa độ trụ 0.3 – Tọa độ cầu 0.4 – Ứng dụng hình học 0.5 – Ứng dụng cơ học
  3. I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba f f (,,) x y z xác định trên vật thể đóng, bị chặn E Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: EEE1, 2 , ,n . Thể tích tương ứng mỗi khối VEVEVE ( 1 ), ( 2 ), , (n ). Trên mỗi khối E i lấy tuỳ ý một điểm M i ( x i , y i , z i ). n Lập tổng Riemann: I n  f ()() M i  V E i i 1 II lim n , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi n I f(,,) x y z dxdydz E được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E.
  4. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Tính chất của tích phân bội ba 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này. 2) V E dxdydz E 3) f ( x , y , z ) dxdydz f ( x , y , z ) dxdydz EE 4) (f g ) dxdydz f dxdydz gdxdydz EEE 5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 không dẫm lên nhau: fdxdydz fdxdydz fdxdydz EEE1 2 6) (,,),(,,)(,,)xyz Efxyz gxyz f g EE
  5. Định lý (Fubini) I f (,,) x y z dxdydz E z z2 (,) x y Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là x0y. Mặt phía dưới: z z1(,) x y Mặt phía trên: z z2 (,) x y Hình chiếu: Pr0xy ED z z1(,) x y I f(,,) x y z dxdydz E z2 (,) x y f(,,) x y z dz dxdy D z1(,) x y Hình chiếu: D
  6. Ví dụ Tính tích phân bội ba I () x z dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E x2 y 2 1, z 2 x 2 y 2 , z 0 Hình chiếu của E xuống 0xy: D: x2 y 2 1 2 2 Mặt phía trên: z2 ( x , y ) 2 x y Mặt phía dưới: z 0 2 x2 y 2 I () x z dz dxdy x2 y 2 1 0
  7. 2 x2 y 2 z2 I xz dxdy 2 2 2 x y 1 0 2 2 2 2 2 (2 x y ) I x(2 x y ) dxdy x2 y 2 1 2 (2 x2 y 2 ) 2 I dxdy Đổi sang tọa độ cực. x2 y 2 1 2 2 2 2 1 2 r 7 I d  r  dr 0 0 2 6
  8. Ví dụ Tính tích phân bội ba I zdxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E y 1 x , z 1 x2 và các mặt phẳng tọa độ, (phần z 0 ) Hình chiếu của E xuống 0xy: Tam giác OAB 2 Mặt phía trên: z2 ( x , y ) 1 x Mặt phía dưới: z 0 1 x2 I zdz dxdy B OAB 0 A
  9. 2 A 1 x I zdz dxdy OAB 0 1 x2 z2 I dxdy B OAB 2 O 0 2 1 x2 I dxdy OAB 2 2 2 1 1 x 1 x 11 I dx dy 0 0 2 60
  10. Ví dụ Tính tích phân I (2 x 3 y ) dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E y x, z 1 y , x 0, z 0. Mặt phía trên: z 1 y Mặt phía dưới: z 0 Hình chiếu của E xuống 0xy:
  11. 1 y I 2 x 3 y dz dxdy D 0 I (2 x 3 y )z 1 y dxdy 0 D I 2 x 3 y (1 y ) dxdy D 1 1 I dx 2 x 3 y (1 y ) dy 0 x 11 I 60
  12. Ví dụ Tính tích phân I ( z 1) dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E x y2, z x , z 0, x 1. Mặt phía trên: z x Mặt phía dưới: z 0 Hình chiếu của E xuống 0xy:
  13. x I ( z 1) dz dxdy D 0 x z2 I z dxdy D 2 0 x2 I x dxdy D 2 1 1 x2 I dy x dx 1 y2 2 38 I 35
  14. II. Toạ độ trụ Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. z M được xác định duy nhất bởi bộ (,,)r z (,,)r z được gọi là tọa độ trụ của điểm M. M(,,) x y z Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ: x r cos z y r sin y z z r ''' xr x x z ''' M1( x , y ,0) J yr y y z r ''' zr z z z
  15. Đổi biến sang tọa độ trụ. I f(,,) x y z dxdydz E x r cos y r sin z z(,) r z z Mặt phía dưới: 1 z z2 (,) r Mặt phía trên: z z2 (,) r Hình chiếu: D Xác định cận r , của D: 1 2 z z1(,) r D : r1 r r 2 2r 2 z 2 (,) r I d dr f( r cos , r sin , z ) r  dz 1r 1 z 1(,) r
  16. Ví dụ 2 2 Tính tích phân I x y dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z 4, z 1 x2 y 2 , x 2 y 2 1. Mặt phía trên: z 4 Mặt phía dưới: z 1 r 2 Hình chiếu xuống 0xy: D: x2 y 2 1 0 2 D : 0 r 1 2 1 4 I d dr r r  dz 0 0 1 r2 2 1 4 2 1 I d dr r 2z d r2(3 r 2 ) dr 12 2 0 0 1 r 0 0 5
  17. Ví dụ Tính tích phân I zdxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z x2 y 2, z 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 1. Mặt phía trên: z 2 r 2 Mặt phía dưới: z r2 Hình chiếu của E xuống 0xy: D: x2 y 2 1 Cận của D: 0 2 D : 0 r 1
  18. 2 2 2 r 2 1 2 r 2 1 z2 I d dr z r  dz d r dr 3 0 0 2 2 r 0 0 r2 Ví dụ 2 2 Tính tích phân I x z dxdydz trong đó E: 2y x2 z 2 , y 2. E Chiếu xuống x0z Mặt trên: y 2 r2 Mặt dưới: y 2 Hình chiếu: D: x2 z 2 4 y 2 2 2 2 I d dr r r  dy 0 0 r2 / 2
  19. II. Toạ độ cầu Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. z M được xác định duy nhất bởi bộ (,,) M(,,) x y z (,,) được gọi là tọa độ cầu của điểm M. Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:  x sin   cos y sin   sin z cos  z cos  y ''' r sin  x x x  ''' M1( x , y ,0) J y y y  |J | 2  sin  ''' z z z 
  20. II. Toạ độ cầu Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi: 1   2 1 2 1 2 I f(,,) x y z dxdydz E  2 2 2 2 d d f( sin  cos , sin  sin , cos )  si n   d 1 1 1 Chú ý: 0  0 2 or 0
  21. Ví dụ 2 2 2 Tính tích phân I x y z dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z x2 y 2,. x 2 y 2 z 2 z x sin   cos Đổi sang tọa độ cầu: y sin   sin z cos  Xác định cận: 0  4 0 2 0 cos  / 4 2 cos  2 1 2 I d d  sin  d 0 0 0 10 80
  22. Ví dụ Tính tích phân I zdxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z x2 y 2, x 2 y 2 z 2 1. z x sin   cos Đổi sang tọa độ cầu: y sin   sin z cos  Xác định cận: 3  4 0 2 x 0 1 2 1 2 I d d cos   sin  d 3 / 4 0 0 8
  23. Ví dụ Tính tích phân I () y z dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z 0, x2 y 2 z 2 2 y ( z 0) z x sin   cos Đổi sang tọa độ cầu: y sin   sin z cos  Xác định cận:  x 2 0 0 2sin   sin 2sin sin 2 I d d ( sin  sin + cos  )  sin  d / 2 0 0
  24. Cách 2. z Đổi sang tọa độ cầu mở rộng Gốc tọa độ dời về đây x sin   cos y 1 sin   sin z cos  Xác định cận:  2 0 2 x 0 1 2 1 2 I d d (1 sin  sin + cos  )  si n   d / 2 0 0
  25. Ví dụ Tính tích phân () x 2 y 2 z 2 3/ 2 trong đó E là vật thể giới hạn bởi I e dxdydz E y 0, x2 y 2 z 2 1 ( y 0) z x sin   cos Đổi sang tọa độ cầu: y sin   sin z cos  Xác định cận: 0  2 y 0 1 x 2 1 3 2 e 1 I d d e  sin  d 2 0 0 3
  26. Ví dụ Tính tích phân I zdxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z 1, x2 y 2 z 2 2 z ( z 1) x sin   cos Đổi sang tọa độ cầu: y sin   sin z cos  Xác định cận: 0  2 0 2 0 ? Phải chia khối E ra làm 2 khối. Công việc tính toán rất phức tạp.
  27. Đổi sang tọa độ cầu mở rộng Gốc tọa độ dời về đây x sin   cos y sin  sin z 1 cos  Xác định cận:  2 0 2 0 1 2 1 2 I d d (1 cos )  sin  d / 2 0 0
  28. Ví dụ 1 Tính tích phân I dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E x2 y 2 z 0, x2 y 2 z 2 4, x 2 y 2 1 ( z 0) Sử dụng tọa độ cầu công việc tính toán phức tạp hơn nhiều. x r cos Đổi sang tọa độ trụ: y r sin z z Xác định cận: 0 2 0 r 1 0 z 4 r2 2 1 4 r2 r I d dr dz 0 0 0 r
  29. Ví dụ 0 0 0 Đổi sang tọa độ cầu rồi tính I dx dy xdz 2 4 x2 4 x 2 y 2 Xác định vật thể E: Vẽ khối E z 2 x 0 x 2 4 x y 0 2 2 4 x y z 0
  30. Đổi biến sang tọa độ cầu: z x sin   cos y sin   sin z cos  Xác định cận:  2 3 2 0 2 3 / 2 2 2 I d d sin  cos  sin   d / 2 0 3 / 2 2 3 / 2 2 2 1 2 I sin d   cos d   d sind   cos d / 2 0 4 / 2 I
  31. Ví dụ Đổi sang tọa độ trụ rồi tính 2 2 x x 2 4 2 2 I dx dy z x y dz 0 0 0 z Xác định vật thể E: Vẽ khối E 0 x 2 2 0 y 2 x x 0 z 4 y x x
  32. z Đổi biến sang tọa độ trụ: x r cos y r sin z z Xác định cận: 0 2 0 r 2cos 0 z 4 / 22cos 4 I d dr z  r  r  dz 0 0 0 4 / 2 2cos 2 2 z x I d r dr 2 0 0 0 128 I 9
  33. III. Ứng dụng hình học của tích phân bội ba Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E: VE 1 dxdydz E Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể. Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.
  34. Ví dụ Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi x2 y 2 z 2 1; x 2 y 2 z 2 4, z x 2 y 2 V dxdydz 0  E 4 Sử dụng tọa độ cầu 0 2 1 2 / 4 2 2 2 V d d sin  d 0 0 1 14 7 2 V 3 3 Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp!!
  35. Ví dụ Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi x 2 y 2 2 x ; x z 3, x z 3 V dxdydz z E x r cos Sử dụng tọa độ trụ y r sin z z 2 2 0 r 2cos x rcos 3 z 3 r cos / 2 2cos 3 r cos y V d dr r  dz / 2 0r cos 3 V 4
  36. Ví dụ Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi x 2 y 2 z 2 4; x 2 y 2 z 2 4 z V dxdydz E z Sử dụng tọa độ trụ 0 2 0 r 3 y 2 4 r2 z 4 r 2 2 3 4 r2 V d dr r  dz 0 0 2 4 r2 x 10 V Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơn nhiều. 3
  37. Ví dụ Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi y x 2 , y z 1, z 0. 1 y 1 1 1 y V dxdydz dz dxdy dx dy dz E Parabol 0 1x2 0
  38. Bài tập
  39. Bài tập