Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân mặt - Đặng Văn Vinh

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân mặt - Đặng Văn Vinh

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích hàm nhiều biến Chương 6: Tích phân mặt • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
2. z S z=z(x,y) y O x
3. Tương tự ta có thể chiếu xuống các mặt phẳng còn lại
4. Chú ý : Nếu hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một đường cong (trường hợp này xảy ra khi S là một mặt trụ song song với trục Oz ) thì phải chiếu S xuống các mặt phẳng tọa độ khác , không được chiếu xuống Oxy
5. Z=3 Z=0
6. 2 2 z z 1 x y 2 2 z z 1 dxdy x y
7. z z R2 x2 y2 Dxy z 0 y x
8. 2 2 z z 1 x y
9. C x+y+z=1 z=1-x-y S B D O xy A
10. B Dxy O A
11. I1 I2 I3
12. I2 I3 I4
13. C S1 S 3 B O S2 S4 A
14. 2 z=1 z=0
15. I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai Định nghĩa mặt hai phía Cho mặt cong S cĩ biên là đường cong kín C. Di chuyển pháp vécto của S từ một điểm A nào đĩ theo một đường cong tùy ý khơng cắt biên C. Nếu khi quay lại vị trí xuất phát, pháp vécto khơng đổi chiều thì mặt cong S được gọi là mặt hai phía Trong trường hợp ngược lại, pháp vectơ đổi chiều thì mặt cong S được gọi là mặt một phía
16. Các ví dụ Mặt tờ giấy, mặt quả cầu, mặt bàn, mặt nĩn, là những ví dụ về mặt hai phía
17. I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai Định nghĩa mặt định hướng S là mặt cong hai phía. Nếu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía cịn lại là âm thì mặt S được gọi là mặt định hướng. Chú ý. Pháp véctơ của mặt định hướng luơn được chọn theo qui tắc sau: Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp véctơ đi từ chân lên đầu.
18. Ví dụ Tìm pháp véctơ của mặt nĩn z x 2 y 2 tại A 1,1, 2 biết mặt nĩn được định hướng phía dưới nhìn theo hướng của trục 0z. Phương trình mặt nĩn: F( x , y , z ) z x2 y 2  0 ''' x y Pháp véctơ n Fx, F y , F z , ,1 2 2 2 2 x y x y x y S định hướng phía dưới nên: n , , 1 2 2 2 2 x y x y 1 1 Pháp véctơ tại điểm A: n , , 1 2 2
19. Ví dụ Tìm pháp véctơ của x 2 y 2 z 2 4 tại A 1,0, 3 biết mặt cầu được định hướng phía ngồi. 2 2 2 Phương trình : F( x , y , z ) 4 x y z  0 ''' Pháp véctơ n Fx, F y , F z 2 x , 2 y , 2 z S định hướng phía ngồi nên: n 2 x ,2 y ,2 z Pháp véctơ tại điểm A: n 2,0,2 3
20. Phía ngoài Phía trong
21. I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai Định nghĩa tích phân mặt loại hai P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S. Pháp vécto đơn vị của mặt S là: n (cos ,cos  ,cos  ) Tích phân mặt loại một I Pcos Q cos  R cos  ds S được gọi là tích phân mặt loại hai của P, Q, R trên mặt định hướng S, ký hiệu: I Pdydz Qdxdz Rdxdy S
22. I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai Cách tính Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta cĩ thể sử dụng cách tính tích phân mặt loại một. Pháp véctơ đơn vị phức tạp, ta cĩ cách tính sau: I Pdydz Qdxdz Rdxdy Pdydz Qdxdz Rdxdy S SSS IIII 1 2 3
23. Dấu cộng nếu pháp véctơ tạo với chiều dương 0z một gĩc nhọn, ngược lại dấu trừ.
24. Chú ý : Nếu hình chiếu của S xuống một mặt phẳng tọa độ nào đó (ví dụ mặt phẳng Oxy) chỉ là một đường cong (trường hợp này xảy ra khi S là một mặt trụ song song với trục Oz ) thì tích phân tương ứng với các biến vi phân của mặt phẳng đó bằng không
25. Ví dụ Tính I (2 x y ) dydz (2 y z ) dxdz (2 z x ) dxdy S trong đĩ S là phần mặt phẳng x y z 3 nằm trong hình trụ x2 + y2 = 2x, phía dưới theo hướng trục 0z.  1 1 1 Pháp véctơ đơn vị: n0 ,, 3 3 3 1 1 1 I (2x y ) (2 y z ) (2 z x ) ds S 3 3 3 3 I x y z ds 3 S ''2 2 3 (x y 3 x y ) 1 zx z y dxdy x2 y 2 2 x 9  Shình tròn 9
26. Ví dụ Tính I () x z dxdy S trong đĩ S là phần mặt z = x2 + y2, bị cắt bởi mặt phẳng x + z = 2, phía dưới theo hướng trục 0z. Pháp véctơ tạo với 0z một gĩc luơn tù. Phương trình: z = x2 + y2 Hình chiếu của S xuống 0xy: x2 y 2 2 x (x 1/ 2)2 y 2 9/ 4
27. I () x z dxdy  S Dấu – vì gĩc tù (x (2 x )) dxdy (x 1/ 2)2 y 2 9/ 4 I 2 dxdy (x 1/ 2)2 y 2 9/ 4 9 2 S 2  hình tròn 4
28. tích phân mặt loại 2 tích phân bội 3
29. z z=4-y2 1 y x
30. tích phân đường loại 2 tích phân mặt loại 2
31. Ví dụ 2 2 2 Tính I (3 xydx ) (3 yzdy ) (3 zxdz ) C trong đĩ C là giao của mặt phẳng 2 x z 2 và mặt paraboloid z = x2 + y2 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng của trục 0z. Chọn S là phần mặt 2x + z = 2 nằm trong paraboloid. Chọn phía trên của mặt S. Pháp véctơ đơn vị của S  2 1 n0 ,0, 5 5
32. Chuyển về tích phân mặt loại hai 2 2 2 I (3 x y ) dx (3 y z ) dy (3 z x ) dz C RQPRQP      dydz dxdz dxdy S y  z  z  x  x  y 2zdydz 2 xdxdz 2 ydxdy S Chuyển về tích phân mặt loại một 2 1 I 2 z  2 x  0 2 y  ds S 5 5 2 ' 2 ' 2 I 2  (2 2 x ) y 1 ( zx ) ( z y ) dxdy 5 D
33. Ví dụ Tính I ( x y ) dx (2 x z ) dy ydz C trong đĩ S là giao của mặt phẳng z y 2 và mặt paraboloid x2 + y2 = 1 ngược kim đồng hồ theo hướng của trục 0z. Chọn S là phần mặt z = y2 nằm trong hình trụ. Chọn phía trên Pháp véctơ đơn vị  2y 1 n0 0, , 2 2 4y 1 4 y 1
34. Chuyển về tích phân mặt loại hai I ( x y ) dx (2 x z ) dy ydz C RQPRQP      dydz dxdz dxdy S y  z  z  x  x  y 2dydz 0 dxdz 1 dxdy S Vì hình chiếu S xuống 0yz cĩ diện tích bằng 0, nên 2dydz 0 I 1 dxdy SS I 1 dxdy x2 y 2 1
35. S là biên của vật thể nên S kín. ''' I xzdydz yzdxdz xdxdy Px Q x R x dxdydz SV I (1 2 z ) dxdydz Sử dụng tọa độ cầu V / 2 2 8 2 I d d 1 2 cos   sin  d 0 0 0
36. Thêm mặt S1 là phần mặt phẳng trong paraboloid Chọn phía dưới của mặt S1 theo hướng trục oz.
37. Nội dung ơn thi học kỳ năm 2007-2008 1. Đạo hàm riêng và ứng dụng: Cách tìm ĐHR cấp 1, cấp 2 của hàm f = f(x,y), hàm hợp, hàm ẩn, đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient. 2. Ứng dụng của ĐHR: Taylor, cực trị tự do, cực trị cĩ điều kiện, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ 3. Tích phân kép: cách tính, tọa độ cực, tọa độ cực mở rộng. Ứng dụng hình học: diện tích, thể tích, diện tích mặt cong. 4. Tích phân bội ba: cách tính, tọa độ trụ, tọa độ cầu. Ứng dụng hình học: thể tích.
38. 5. Tích phân đường loại một: cách tính, tích phân đường loại một trong khơng gian: chú ý cách tham số hĩa đường cong trong khơng gian. 6. Tích phân đường loại hai: cách tính, cơng thức Green, tích phân khơng phụ thuộc đường đi. Chú ý: điều kiện của định lý Green, điều kiện tích phân khơng phụ thuộc đường đi. 7. Tích phân mặt loại một: cách tính, ứng dụng tính diện tích mặt cong S. 8. Tích phân mặt loại hai: cách tìm pháp véctơ mặt định hướng. Cách tính: 1/ chuyển về mặt loại một (nếu pháp véctơ đơn giản: mặt phẳng); 2/ dùng cơng thức Gauss – Ostrogradski): mặt kín Cơng thức Stokes: điều kiện sử dụng, dùng tính tích phân đường loại hai trong khơng gian khi mà pt tham số khĩ viết.