›
›

Giáo trình Hàm Green - Trọng Nghĩa

pdf 35 trang huongle 1890
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hàm Green - Trọng Nghĩa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_ham_green_trong_nghia.pdf

Nội dung text: Giáo trình Hàm Green - Trọng Nghĩa

  1. Hàm Green Phương trình Dyson Trọng Nghĩa
  2. Nội dung • Định lý Wick • Giản đồ Feynman • Phương trình Dyson
  3. Định lý Wick  Định lý Wick Hàm Green theo khai triển S-Matrận  Giản đồ Feynman n 1 () i  Phương trình G( p ; t t ) dt dt  1 n Dyson n 0 n! ˆˆˆˆ TCp( t ) V ( t1 ) V ( t n ) C p ( t ) 00 S(,) 00
  4. Định lý Wick  Định lý Wick Hàm Green theo khai triển S-Matrận  Giản đồ Feynman n 1 () i  Phương trình G( p ; t t ) dt dt  1 n Dyson n 0 n! ˆˆˆˆ TCp( t ) V ( t1 ) V ( t n ) C p ( t ) 00 S(,) 00 Trong đó ˆˆ i TCpp()()(;) t C t G0 p t t 00
  5. Định lý Wick  Định lý Wick Ta sẽ tập trung vào tính T-tích có dạng như sau  Giản đồ Feynman ˆˆˆ ˆ ˆ TCpp()()()()() tVtVtVtC1 2 3 t 00  Phương trình Dyson
  6. Định lý Wick  Định lý Wick Ta sẽ tập trung vào tính T-tích có dạng như sau  Giản đồ Feynman ˆˆˆ ˆ ˆ TCpp()()()()() tVtVtVtC1 2 3 t 00  Phương trình Dyson Giả sử thế V là thế tương tác electron-electron 2 14 e it()    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k q k q k k V() t1  2 Ck q C k q C k C k e 2 k k q q
  7. Định lý Wick  Định lý Wick Ta sẽ tập trung vào tính T-tích có dạng như sau  Giản đồ Feynman ˆˆˆ ˆ ˆ TCpp()()()()() tVtVtVtC1 2 3 t 00  Phương trình Dyson Giả sử thế V là thế tương tác electron-electron 2 14 e it()    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k q k q k k V() t1  2 Ck q C k q C k C k e 2 k k q q Như vậy ta sẽ phải luôn tính T-tích của các toán tử sinh hủy ˆ ˆ ˆ ˆ TC1() t 1 C 1 () t 1 Cn () t n C n () t n 00
  8. Định lý Wick  Định lý Wick Định lý Wick:  Giản đồ Feynman Trung bình T-tích của các toán tử sẽ bằng tổng tất cả các  Phương trình bắt cặp có thể có của 1 toán tử sinh và 1 toán tử hủy, mỗi Dyson cặp này phải sắp xếp đúng theo trình tự thời gian
  9. Định lý Wick  Định lý Wick Định lý Wick:  Giản đồ Feynman Trung bình T-tích của các toán tử sẽ bằng tổng tất cả các  Phương trình bắt cặp có thể có của 1 toán tử sinh và 1 toán tử hủy, mỗi Dyson cặp này phải sắp xếp đúng theo trình tự thời gian Ngoài ra, ta có ˆ ˆ ˆ ˆ TC ()()()() t C  t   TC t C t 0 0 0 0
  10. Định lý Wick  Định lý Wick Định lý Wick:  Giản đồ Feynman Trung bình T-tích của các toán tử sẽ bằng tổng tất cả các  Phương trình bắt cặp có thể có của 1 toán tử sinh và 1 toán tử hủy, mỗi Dyson cặp này phải sắp xếp đúng theo trình tự thời gian Ngoài ra, ta có ˆ ˆ ˆ ˆ TC ()()()() t C  t   TC t C t 0 0 0 0 Như vậy, theo định lý Wick ˆ ˆ ˆ ˆ TC ()()()() t C  t12 C  t C  t 00 ˆ ˆ ˆ ˆ   TC ()()()() t C t12 TC  t C  t 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ   TC ()()()() t C t TC  t21 C  t 0 0 0 0
  11. Định lý Wick  Định lý Wick Trong đó, các trung bình T-tích của mỗi cặp  Giản đồ Feynman ˆ ˆ ˆ ˆ TCtCtk()()(,)()()()1 k 2 iGktt 0 1 2 TCtCt k k n F k 0 0 0 0  Phương trình Dyson
  12. Định lý Wick  Định lý Wick Xét trường hợp tương tác electron-phonon  Giản đồ Feynman ˆ ˆˆ VMBCC  q q k q k  Phương trình qk, Dyson
  13. Định lý Wick  Định lý Wick Xét trường hợp tương tác electron-phonon  Giản đồ Feynman ˆ ˆˆ VMBCC  q q k q k  Phương trình qk, Dyson Khi đó T-tích sẽ có hai loại toán tử ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCtBtCtCtBtCtCtCtp()()()()()()()() q1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 p 001 1 1 2 2 2
  14. Định lý Wick  Định lý Wick Xét trường hợp tương tác electron-phonon  Giản đồ Feynman ˆ ˆˆ VMBCC  q q k q k  Phương trình qk, Dyson Khi đó T-tích sẽ có hai loại toán tử ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCtBtCtCtBtCtCtCtp()()()()()()()() q1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 p 001 1 1 2 2 2 Các toán tử khác loại giao hoán nhau, ta có ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ TCtCtCtCtCtCtp()()()()()()()() q1 q 1 q 2 q 2 p TBtBt q 1 q 2 001 1 2 200 1 2
  15. Định lý Wick  Định lý Wick  Giản đồ Định lý Wick cũng có thể áp dụng cho các toán tử phonon Feynman ˆ ˆ ˆ ˆ TBq()()()() t1 B q t 2 B q t 3 B q t 4  Phương trình 001 2 3 4 Dyson ˆ ˆ ˆ ˆ TBq()()()() t1 B q t 2 TB q t 3 B q t 4 01 2 0 0 3 4 0 ˆ ˆ ˆ ˆ TBq()()()() t1 B q t 3 TB q t 2 B q t 4 01 3 0 0 2 4 0 ˆ ˆ ˆ ˆ TBq()()()() t1 B q t 4 TB q t 2 B q t 3 01 4 0 0 2 3 0 ˆ ˆ ˆ ˆ q q 0 q q 0TB q()()() t 1 B q t 2 TB q t 3 Bt q ()4 1 2 3 40 1 1 0 0 3 3 0 ˆ ˆ ˆ ˆ q q 0 q q 0TB q()()()() t 1 B q t 3 TB q t 2 B q t 4 1 3 2 40 1 1 0 0 2 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ q q 0 q q 0TB q()()()() t 1 B q t 4 TB q t 2 B q t 3 1 4 2 30 1 1 0 0 2 2 0
  16. Định lý Wick  Định lý Wick Với các toán tử phonon  Giản đồ Feynman ˆˆ TBqq()()(;) t1 B t 2 iD 0 q 1 t 1 t 2 0011  Phương trình Dyson
  17. Định lý Wick  Định lý Wick Với các toán tử phonon  Giản đồ Feynman ˆˆ TBqq()()(;) t1 B t 2 iD 0 q 1 t 1 t 2 0011  Phương trình Dyson So sánh với các toán tử electron ˆ ˆ ˆ ˆ TCtCtk()()(,)()()()1 k 2 iGktt 0 1 2 TCtCt k k n F k 0 0 0 0
  18. Định lý Wick  Định lý Wick Minh họa, ta tính thử 3 số hạng đầu. Với n = 0  Giản đồ Feynman ˆˆ i TCkk()()(,) t1 C t 2 G 0 k t 1 t 2 00  Phương trình Dyson
  19. Định lý Wick  Định lý Wick Minh họa, ta tính thử 3 số hạng đầu. Với n = 0  Giản đồ Feynman ˆˆ i TCkk()()(,) t1 C t 2 G 0 k t 1 t 2 00  Phương trình Dyson Với n = 1 ˆ TBq 0 00
  20. Định lý Wick  Định lý Wick Minh họa, ta tính thử 3 số hạng đầu. Với n = 0  Giản đồ Feynman ˆˆ i TCkk()()(,) t1 C t 2 G 0 k t 1 t 2 00  Phương trình Dyson Với n = 1 ˆ TBq 0 00 Với n = 2 3 i ˆˆ dt1 dt 2 Mq M q TB q()() t 1 B q t 2  1 200 1 2 2! qq12, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCp()()()()()() t C k q t1 C k t 1 C k q t 2 C k t 2 C p t  001 1 1 2 2 2 kk12,
  21. Định lý Wick  Định lý Wick Các toán tử phonon sẽ cho hàm Green phonon  Giản đồ ˆˆ Feynman TBq()()(;) t1 B q t 2 i q q D 0 q 1 t 1 t 2 001 2 1 2  Phương trình Dyson
  22. Định lý Wick  Định lý Wick Các toán tử phonon sẽ cho hàm Green phonon  Giản đồ ˆˆ Feynman TBq()()(;) t1 B q t 2 i q q D 0 q 1 t 1 t 2 001 2 1 2  Phương trình Dyson Các toán tử electron, ta áp dụng định lý Wick ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCtCp()()()()()() k q tCtC1 k 1 k q tCtCt 2 k 2 p 001 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCtCp()()()()()() k q t1 TCtC k 1 k q t 2 TCtCt k 2 p 01 1 0 0 1 2 2 0 0 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCtCp()()()()()() k q t2 TCtC k 2 k q t 1 TCtCt k 1 p 02 2 0 0 2 1 1 0 0 1 0 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCp() t C k q ()()()()()t1 TCtCtk 1 p TC k q tCt 2 k 2 0 1 10 0 1 0 0 2 2 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCtCtp()()()()()() p TC k q tCt1 k 1 TC k q tCt 2 k 2 0 0 01 1 1 0 0 2 2 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCtCp()()()()()() k q t2 TC k q tCt 1 k 1 TCtCt k 2 p 02 2 0 0 1 1 1 0 0 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TCp()() t C p t TC k ()()()()t1 Ck q t 2 TC k t 2 C k q t 1 0 0 0 1 2 20 0 2 1 1 0
  23. Định lý Wick  Định lý Wick  Giản đồ Ta chuyển các cặp thành hàm Green electron hoặc số hạt Feynman TCtCˆ()()()()()() ˆ tCtC ˆ ˆ tCtCt ˆ ˆ p k1 q 11 k 1 1 k 2 q 2 2 k 2 2 p  Phương trình 00 Dyson i3 GpttGpqttGptt(,)(,)(,) p k1 q 1 k 2 0 1 0 1 1 2 0 2 i3 GpttGpqttGptt(,)(,)(,) p k1 k 2 q 1 0 2 0 1 2 1 0 1 i2  n()(,)(,)  GpqttGptt q1 0 p k 1 F k 2 0 1 2 1 0 1 i n()()(,)  n  G p t t q1 q 200 F k 1 F k 2 i2  n()()(,)  G t t G p t t q1 0 p k 2 F k 1 0 2 0 2 i3 GpttGkttGkqt(,)(,)(,) t k1 k 2 q 1 0 0 1 1 2 0 1 1 2 1
  24. Giản đồ Feynman  Định lý Wick Giản đồ Feynman  Giản đồ Feynman Feynman đưa ra một phương pháp đơn giản: làm việc với các số hạng trên thông qua hình vẽ được gọi là giản đồ  Phương trình Dyson
  25. Giản đồ Feynman  Định lý Wick Giản đồ Feynman  Giản đồ Feynman Feynman đưa ra một phương pháp đơn giản: làm việc với các số hạng trên thông qua hình vẽ được gọi là giản đồ  Phương trình Dyson Quy tắc
  26. Giản đồ Feynman  Định lý Wick  Giản đồ Các số hạng trong biểu thức trên tương ứng với Feynman  Phương trình Dyson GpttGpqt(,)(,)(,) tGpt t 0 1 0 1 1 2 0 2 GpttGpqt0(,)(,)(,) 2 0 1 2 tGpt 1 0 1 t n()(,)(,) G p q t t G p t t n()()(,) n G p t t Fk2 0 1 2 1 0 1 F k12 F k 0 n()()(,) G t t G p t t Fk1 0 2 0 2 GpttGkt0(,)(,)(,) 0 1 1 tGk 2 0 1 qt 1 2 t 1
  27. Phương trình Dyson  Định lý Wick Hàm Green năng lượng  Giản đồ Feynman G(,)(,) p E dteiE() t t G p t t  Phương trình Dyson
  28. Phương trình Dyson  Định lý Wick Hàm Green năng lượng  Giản đồ Feynman G(,)(,) p E dteiE() t t G p t t  Phương trình Dyson Tương tự, hàm Green cho phonon D(,)(,) q dtet D q t d D(,)(,) q t e it D q  2
  29. Phương trình Dyson  Định lý Wick Chuyển sang hàm Green năng lượng  Giản đồ Feynman GpE(,)(,)(,)(,) G(0) pEG (0) pE 2  (1) pE  Phương trình Dyson
  30. Phương trình Dyson  Định lý Wick Chuyển sang hàm Green năng lượng  Giản đồ Feynman GpE(,)(,)(,)(,) G(0) pEG (0) pE 2  (1) pE  Phương trình Dyson Trong đó phần năng lượng riêng d (1)(,)(,)(,)p E i M 2 D (0) q G (0) p q E  q 2 q
  31. Phương trình Dyson  Định lý Wick Chuyển sang hàm Green năng lượng  Giản đồ Feynman GpE(,)(,)(,)(,) G(0) pEG (0) pE 2  (1) pE  Phương trình Dyson Trong đó phần năng lượng riêng d (1)(,)(,)(,)p E i M 2 D (0) q G (0) p q E  q 2 q Tương tự, tính toán với n = 4 G(0)(,)(,)(,)(,) p E 3(1) p E 2 G (0) p E 2(2)  p E
  32. Phương trình Dyson  Định lý Wick Thực hiện tương tự với các n cao hơn, người ta thu được  Giản đồ Feynman GGGGG (0) (0)  (1)  (2) (0) (0)    Phương trình Dyson
  33. Phương trình Dyson  Định lý Wick Thực hiện tương tự với các n cao hơn, người ta thu được  Giản đồ Feynman GGGGG (0) (0)  (1)  (2) (0) (0)    Phương trình Dyson Suy ra GGGG (0) (0) 
  34. Phương trình Dyson  Định lý Wick Thực hiện tương tự với các n cao hơn, người ta thu được  Giản đồ Feynman GGGGG (0) (0)  (1)  (2) (0) (0)    Phương trình Dyson Suy ra GGGG (0) (0)  Thu được phương trình Dyson như sau G(0) (,) p E G(,) p E 1  (p , E ) G ( p , E )
  35. Phần trình bày đến đây là hết Cám ơn các bạn đã theo dõi