›

Giáo trình Hình học Phẳng

pdf 53 trang huongle 4110
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hình học Phẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_hinh_hoc_phang.pdf

Nội dung text: Giáo trình Hình học Phẳng

  1. Q B A M O P D C
  2. Lời nói đầu Các kì thi HSG tỉnh và thành phố nhằm chọn ra đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia trong năm học 2010 – 2011 đã diễn ra sôi nổi vào những ngày cuối năm trước và đã để lại nhiều ấn tượng sâu sắc. Bên cạnh những bất đẳng thức, những hệ phương trình hay những bài toán số học, tổ hợp, ta không thể quên được dạng toán vô cùng quen thuộc, vô cùng thú vị và cũng xuất hiện thường trực hơn cả, đó chính là những bài toán hình học phẳng. Nhìn xuyên suốt qua các bài toán ấy, ta sẽ phát hiện ra sự xuất hiện của những đường tròn, những tam giác, tứ giác; cùng với những sự kết hợp đặc biệt, chúng đã tạo ra nhiều vấn đề thật đẹp và thật hấp dẫn. Có nhiều bài phát biểu thật đơn giản nhưng ẩn chứa đằng sau đó là những quan hệ khó và chỉ có thể giải được nhờ những định lý, những kiến thức ở mức độ nâng cao như: định lý Euler, đường tròn mixtilinear, định lý Desargues, điểm Miquel, Rồi cũng có những bài phát biểu thật dài, hình vẽ thì phức tạp nhưng lại được giải quyết bằng một sự kết hợp ngắn gọn và khéo léo của những điều quen thuộc để tạo nên lời giải ấn tượng. Nhằm tạo cho các bạn yêu Toán có một tài liệu tham khảo đầy đủ và hoàn chỉnh về những nội dung này, chúng tôi đã dành thời gian để tập hợp các bài toán, trình bày lời giải thật chi tiết và sắp xếp chúng một cách tương đối theo mức độ dễ đến khó về lượng kiến thức cần dùng cũng như hướng tiếp cận. Với hơn 50 bài toán đa dạng về hình thức và phong phú về nội dung, mong rằng “Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2010 – 2011” sẽ giúp cho các bạn có dịp thưởng thức, cảm nhận, ngắm nhìn nhiều hơn nét đẹp cực kì quyến rũ của bộ môn này! Xin chân thành cảm ơn các tác giả đề bài, các thành viên của diễn đàn đã gửi các đề toán và trình bày lời giải lên diễn đàn. Tài liệu với dung lượng lớn có thể còn nhiều thiếu sót, rất mong bạn đọc góp thêm ý kiến để tiếp tục hoàn thiện cuốn tài liệu này. Các ý kiến đóng góp xin gửi vào hai hòm thư lephuclu@gmail.com hoặc phan.duc.minh.93@gmail.com. Cảm ơn các bạn. Phan Đức Minh – Lê Phúc Lữ 2
  3. Các kí hiệu và từ viết tắt sử dụng trong tài liệu SSABC, ABCD Diện tích tam giác ABC , tứ giác ABCD a,, b c Độ dài các cạnh BC,, CA AB của tam giác ABC p Nửa chu vi tam giác R, r Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác BC Đường tròn đường kính BC PAO/ Phương tích của điểm A đối với đường tròn O ha,, h b h c Độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a,, b c d A, l Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng l đpcm Điều phải chứng minh 3
  4. Phần một: Đề bài Bài 1. Cho hình vuông ABCD . Trên đoạn BD lấy M không trùng với BD, . Gọi EF, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AD . Chứng minh rằng: 1. CM  EF 2. CM,, BF DE đồng quy. (Đề thi HSG Quảng Bình) Bài 2. Cho tam giác ABC có BC AC . Gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác GBC,GAC , trong đó G là trọng tâm tam giác ABC . Hãy so sánh R1 , R2 . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre, Bến Tre) Bài 3. Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng AM,, BM CM cắt các cạnh BC,, CA AB tại ABC', ', ' theo thứ tự. Đặt S1,,,,,SSSS 2 3S 4 5 6 lần lượt là diện tích các tam giác MA',', B MA C S SS MBCMB',',',' AMC AMC B . Chứng minh rằng nếu 1 3 5 3 thì M là trọng tâm tam giác SSS2 4 6 ABC (Đề thi HSG Đồng Tháp, vòng 2) Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp O . Gọi P,Q, M lần lượt là giao điểm của AB và CD , AD và BC , AC và BD . Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMP,OMQ,OPQ bằng nhau. (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11 THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Bài 5. Cho tam giác ABC , điểm M thay đổi bên trong tam giác. DEF là tam giác pedal của M đối với tam giác ABC . Tìm vị trí của M để diện tích tam giác DEF lớn nhất. (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn OR; . BH R 2 là đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC . Gọi DE, là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, BC . Chứng minh rằng: 1. BO  DE 2. DOE,, thẳng hàng. (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) 4
  5. Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp, A1,,,BD 1C 1 1 lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác BCD,,, CDA DAB ABC . Chứng minh rằng A1BCD 1 1 1 là hình chữ nhật. (Đề thi HSG THPT chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) Bài 8. Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC thỏa mãn MAB MBC MCA . Chứng minh rằng cot cotABC cot cot . (Đề thi HSG Quảng Ninh – bảng A) Bài 9. 3a2 3 Cho tứ giác lồi ABCD có AB BC CD a . Chứng minh rằng S . ABCD 4 (Đề thi HSG Bình Định) Bài 10.   Cho tam giác ABC và MN, là hai điểm di động trên BC sao cho MN BC . Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với AC , đường thẳng d2 đi qua N và vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của d1 và d2 . Chứng minh rằng trung điểm I của AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định. (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 2) Bài 11. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm chuyển động trên cạnh AB , N là điểm chuyển động trên cạnh AC . 1. Giả sử BM CN . Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. 1 1 2. Giả sử không đổi. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. AM AN (Đề thi HSG Long An, vòng 2) Bài 12. Cho đường tròn tâm O , đường kính BC và XY là một dây cung vuông góc với BC . Lấy PM, nằm trên đường thẳng XY và CY tuơng ứng, sao cho CY|| PB và CX|| MP . Gọi K là giao điểm của CX và BP . Chứng minh rằng MK BP . (Đề chọn đội tuyển THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định) Bài 13. Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp I . Điểm M tùy ý trên I . Gọi da là đường thẳng đi qua trung điểm MA và vuông góc với BC . Các đường thẳng db, d c được xác định tương tự. Chứng minh rằng da,,d b d c đồng quy tại một điểm N . Tìm tập hợp điểm N khi M chuyển động trên I . (Đề thi chọn đội tuyển Quảng Bình) 5
  6. Bài 14. Cho tam giác ABC , D là trung điểm cạnh BC và EZ, là hình chiếu của D trên AB, AC . Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến tại EZ, với đường tròn đường kính AD . Chứng minh rằng TB TC . (Đề thi chọn đội tuyển Nam Định) Bài 15. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O có A cố định và BC, thay đổi trên O sao cho BC luôn song song với một đường thẳng cố định cho trước. Các tiếp tuyến của O tại B và C cắt nhau tại K . Gọi M là trung điểm BC , N là giao điểm của AM với O . Chứng minh rằng đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định. (Đề thi chọn đội tuyển PTNK, ĐHKHTN TPHCM) Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB, cố định, điểm C di chuyển về một phía đối với đường thẳng AB . Gọi tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AC, BC lần lượt là MN, . Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định khi điểm C di động. (Đề thi HSG THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai) Bài 17. Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Đường phân giác trong của góc BAD cắt cạnh BC tại F và DC tại K . Từ đỉnh D kẻ DP  AK P AK . Đặt DP m, ADC 180  2 . Tính S ABCD theo S 1 m và , biết rằng KFC . SAFCD 15 (Đề thi HSG Vĩnh Long, vòng 2) Bài 18. Cho tam giác ABC cân tại A . Đường phân giác trong của góc B cắt cạnh AC tại D . Biết rằng BC BD AD . Hãy tính góc BAC . (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh) Bài 19. Cho tam giác ABC có góc A tù. Dựng các đường cao AD,, BE CF ( D,,,, E F BC CA AB tương ứng). EF', ' là hình chiếu của EF, lên BC . Giả sử 2E ' F ' 2 AD BC . Hãy tính góc BAC . (Đề thi HSG Quảng Nam) Bài 20. Gọi G, I là trọng tâm, tâm nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng qua G và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại Bc ,Cb . Các điểm Ca , Ac , Ab , Ba được xác định tương tự. Các điểm I a , I b , I c theo thứ tự là tâm nội tiếp các tam giác GBaCa ,GCb Ab ,GAc Bc . Chứng minh rằng AI a , BIb ,CI c đồng quy tại một điểm trên GI . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) 6
  7. Bài 21. Cho tam giác ABC nội tiếp O , đường thẳng AO cắt O lần thứ hai tại D . HK, lần lượt là hình chiếu của BC, lên AD ; hai đường thẳng BK, CH cắt O tại EF, . Chứng minh rằng AD,, BC EF đồng quy. (Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 22. Cho tam giác ABC nội tiếp O , nội tiếp I . Gọi M là tiếp điểm của BC và I , D là giao điểm thứ hai của AM và O . Chứng minh rằng nếu OI  AM thì tứ giác ABDC điều hòa. (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Bài 23. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. MN, là trung điểm AB, CD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt đường thẳng CD tại PP() N ; đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt đường thẳng AB tại Q ()Q M . O là giao điểm hai đường chéo AC, BD ; E là giao điểm của các đường thẳng AD, BC . Chứng minh rằng PQOE,,, thẳng hàng. (Đề thi HSG Vĩnh Phúc) Bài 24. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O . AC cắt BD tại E , AD cắt BC tại F . Trung điểm của AB,CD lần lượt là G, H . Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EGH . (Đề thi chọn đội tuyển THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Bài 25. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không cân và góc A nhọn. Hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, AC theo thứ tự là EF, . Gọi D là trung điểm BC ; PQ, là giao điểm của hai đường tròn đường kính AD, BC . Chứng minh rằng HPQ,, thẳng hàng và các đường thẳng BC,, EF PQ đồng quy. (Đề thi HSG Bà Rịa – Vũng Tàu) Bài 26. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H . MN, là trung điểm AH, BC . Các đường phân giác của các góc ABH, ACH cắt nhau tại P . Chứng minh rằng: 1. BPC 90  2. MNP,, thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11, THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình) 7
  8. Bài 27. d A, b Cho hai điểm AB, cố định và OR; thay đổi sao cho 2 , trong đó a, b theo thứ tự là đường d B, A đối cực của AB, đối với O . Xác định vị trí của O để SOAB lớn nhất. (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 2) Bài 28. Gọi B là điểm trên đường tròn O1 và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyến tại B của O1 . Gọi C là điểm không nằm trên O1 sao cho đường thẳng AC cắt O1 tại hai điểm phân biệt. Đường tròn O2 tiếp xúc với AC tại C và tiếp xúc với O1 tại D nằm khác phía với B so với đường thẳng AC . Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên đương tròn ngoại tiếp tam giác ABC . (Đề thi chọn đội tuyển Thái Bình) Bài 29. 1. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp O và ngoại tiếp I . Các đường thẳng qua I vuông góc với AI,, BI CI cắt BC,, CA AB tại MNP,, theo thứ tự. Chứng minh rằng MNP,, cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với OI . 2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp O cố định, AB cố định và khác đường kính, C di động trên đường tròn. Gọi N là trung điểm AC , M là hình chiếu của N trên BC . Tìm quỹ tích M khi C di động trên O . (Đề thi khảo sát đội tuyển THPT chuyên Thái Bình) Bài 30. Tam giác ABC nhọn, D nằm trong tam giác thỏa mãn ADB 60  ACB và DA BC DB  AC . Chứng minh rằng DC AB AD  BC . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 1) Bài 31. Cho tam giác BCD nội tiếp đường tròn O . Dựng hình bình hành ABCD . Gọi d là đường phân giác trong của góc BAD , d cắt đường thẳng CD tại F và cắt đường thẳng BC tại G . Gọi là đường thẳng qua C và vuông góc với d ; cắt O tại điểm thứ hai E . Gọi IJK,, lần lượt là hình chiếu của E lên các đường thẳng CB,, CD BD . Chứng minh rằng: 1. IJK,, thẳng hàng. 2. E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CFG . (Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng, vòng 2) 8
  9. Bài 32. Cho tam giác ABC nhọn, điểm M bất kì trong tam giác. AM cắt BC tại N . X ,Y,Z,T là hình chiếu của N trên AB, MB, AC, MC . Chứng minh rằng AM  BC khi và chỉ khi hoặc X ,Y,Z,T đồng viên hoặc X ,Y,Z,T thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 33. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Đường tròn O1 tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại PQ, và tiếp xúc trong với O tại S . Gọi giao điểm của AS và PQ là D . Chứng minh rằng BDP CDQ . (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Bài 34. Trên đường tròn O lấy hai điểm AM, khác đường kính. Điểm I trên đoạn OA I OA, . Hai đường tròn I, IA và IM  cắt nhau tại BC, . Các tia MB,, MI MC cắt O tại DEF,, theo thứ tự. Đường thẳng DF cắt ME,, MA AE lần lượt tại TSQ,, . Chứng minh rằng: 1. SD SF ST  SQ 2. BCQ,, thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) Bài 35. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng vuông góc với IA tại A cắt BI, CI tại KM, . Gọi BC', ' là giao điểm của hai cặp đường thẳng BI,,, AC CI AB . Đường thẳng BC'' cắt ABC tại NE, . Chứng minh rằng bốn điểm MNEK,,, thuộc cùng 1 đường tròn. (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 1) Bài 36. Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE,CF cắt nhau tại H . Trên các tia FB, EC theo thứ tự lấy các điểm P,Q sao cho FP FC, EQ EB. BQ cắt CP tại K . I, J theo thứ tự là trung điểm BQ,CP . IJ cắt BC, PQ theo thứ tự tại M , N . Chứng minh rằng: 1. HK  IJ 2. IAM JAN (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 37. Cho tam giác ABC nội tiếp O , trực tâm H . D là chân đường cao kẻ từ đỉnh B của ABC , điểm P bất kì trên O . QRS,, là các điểm đối xứng với P qua các trung điểm các cạnh AB,, AC BC theo thứ tự. AQ cắt HR tại F . Chứng minh rằng HS  DF . (Đề thi chọn đội tuyển Đà Nẵng) 9
  10. Bài 38. Cho nửa đường tròn đường kính AB 2 R . Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tia phân giác của góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai E , cắt tia phân giác của góc ABC tại H . 1. Tia phân giác của góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai F , cắt CE tại I . Tính diện tích tam giác FID khi nó đều. 2. Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK HD . Gọi J là giao điểm của AF và BH . Xác định vị trí của C để tổng khoảng cách từ các điểm IJK,, đến AB là lớn nhất. (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Bài 39. Cho tam giác ABC . Trên AB, BC lần lượt lấy MN, sao cho AM CN . Hai đường tròn BCM và BAN cắt nhau tại BD, . Chứng minh BD là phân giác của ABC . (Đề thi HSG Quảng Nam) Bài 40. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD . Gọi EF, lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC . Gọi H là giao điểm của BF, CE . Chứng minh rằng AH  BC . (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 1) Bài 41. Cho tam giác nhọn ABC , M là trung điểm BC . DE, là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC . Đường tròn O1 đi qua ABE,, . Đường tròn O2 đi qua ACD,, . Chứng minh rằng O1O 2  BC . (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) Bài 42. Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với các cạnh BC,, CA AB theo thứ tự tại D , E , F . Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD và đường tròn O ; NP, theo thứ tự là giao điểm thứ hai của MB, MC với O . Chứng minh rằng ba đường thẳng MD,, NE PF đồng quy. (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Bài 43. Cho tam giác ABC nội tiếp O . Tiếp tuyến của O tại B,C cắt nhau tại S . Trung trực của AB, AC cắt phân giác trong góc BAC tại M , N . BM ,CN cắt nhau tại P . Chứng minh rằng SA đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 44. Cho hai đường tròn OO1 , 2 cắt nhau tại AB, và I là trung điểm O1O 2 . Gọi C là điểm đối xứng với B qua I . Một đường tròn O qua AC, cắt OO1 , 2 tại MN, . Chứng minh rằng CM CN . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) 10
  11. Bài 45. Cho đường tròn C , hai đường tròn CC1 , 2 nằm trong C , cùng tiếp xúc trong với C với các tiếp điểm là KH, theo thứ tự. C1 và C2 tiếp xúc ngoài với nhau tại I . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài T1 của CC1 , 2 . T1 cắt C tại AB, và tiếp xúc với CC1 , 2 lần lượt tại MN, . Vẽ tiếp tuyến chung trong T2 của CC1 , 2 . T2 cắt C tại D sao cho I thuộc miền trong của tam giác ABD . Chứng minh rằng: 1. Tứ giác MNHK là tứ giác nội tiếp. 2. DI là phân giác của ADB . (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Bài 46. Cho tam giác ABC , tâm nội tiếp I , tâm ngoại tiếp O , các tâm bàng tiếp I1,,II 2 3 tương ứng với các góc ABC,, . AD,, BE CF là các đường cao trong tam giác ABC . Chứng minh rằng OI, I1DI,, 2E I 3F đồng quy. (Đề chi chọn đội tuyển Hải Phòng) Bài 47. Cho tam giác ABC và D là một điểm trên cạnh BC thỏa CAD ABC . Đường tròn O đi qua B và D cắt AB, AD tại EF, ; DE cắt BF tại G ; M là trung điểm AG . Chứng minh CM  AO . (Đề thi chọn đội tuyển Khánh Hòa) Bài 48. Cho tam giác không cân ABC . Gọi các tiếp điểm của đường tròn O nội tiếp tam giác với các cạnh BC,, CA AB lần lượt là A1,,BC 1 1 . Đặt AA1 OA 2, BB 1  O B 2 . Gọi AB1AB 3, 1 3 là các đường phân giác trong của tam giác A1BC 1 1 . 1. Chứng minh rằng A2A 3 là phân giác của B1AC 2 1 . 2. Gọi PQ, là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác A1AA 2 3 và B1BB 2 3 . Chứng minh rằng O PQ . (Đề kiểm tra đội tuyển THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước) Bài 49. Cho hình thang ABCD AD|| BC , E là điểm di động trên đường thẳng AB ; O1,O 2 lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác AED, BEC . Chứng minh rằng độ dài O1O 2 không đổi. (Đề thi chọn đội tuyển TPHCM) 11
  12. Bài 50. Cho tứ giác toàn phần ACBDEF , trong đó tứ giác ABCD có đường tròn nội tiếp tâm I . Gọi A1, B 1 , CD1, 1 là tiếp điểm của I với các cạnh AB,,, BC CD DA . Gọi M là hình chiếu vuông góc của I lên EF . Hình chiếu của M lên các đường thẳng A1BBCCDDA 1,,, 1 1 1 1 1 1 là M1,,,MM 2M 3 4 . Chứng minh rằng M1,,,MM 2M 3 4 thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) Bài 51. Cho lục giác lồi AMBDNC nội tiếp trong đường tròn đường kính MN , AC BD . Gọi FP, là giao điểm của MC với AD, AN ; EQ, là giao điểm của MD với BC, BN . Chứng minh rằng giá trị của CP FP DQ EQ biểu thức là một hằng số. CM FM DM EM (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) Bài 52. Cho hai đường tròn OO1 , 2 có bán kính khác nhau và có hai tiếp tuyến chung trong 1, 2 cắt nhau tại I . Một tiếp tuyến chung ngoài 3 tiếp xúc với OO1 , 2 lần lượt tại MN, . Đường tròn O3 nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi 1, 2, 3 và tiếp xúc với ba đường thẳng này theo thứ tự tại PQR,, . Biết rằng bốn điểm MNPQ,,, cùng nằm trên một đường tròn C . 1. Chứng minh rằng tâm của đường tròn C nằm trên đường tròn đi qua ba giao điểm của 1, 2, 3 2. Chứng minh 1  2 (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Đại học Vinh) Bài 53. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn O , với AB CD EF . Gọi I giao điểm của BE và AD . Gọi HK, lần lượt là trực tâm tam giác ADF, BCE . Biết rằng AIB 60  . Chứng minh rằng HOK,, thẳng hàng. (Đề thi HSG Hưng Yên) 12
  13. Phần hai: Lời giải Bài 1. Cho hình vuông ABCD . Trên đoạn BD lấy M không trùng với BD, . Gọi EF, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AD . Chứng minh rằng: 1. CM  EF 2. CM,, BF DE đồng quy. (Đề thi HSG Quảng Bình) Lời giải. A F D E P M B Q C Các đường thẳng ME, MF cắt CD, CB tại PQ, . Ta có EFM MCQ QMC MEF CM  EF . Tương tự, ta có ED CF, FBC  E , suy ra CM,, BF DE là các đường cao trong tam giác CEF nên chúng đồng quy (đpcm) Bài 2. Cho tam giác ABC có BC AC . Gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác GBC,GAC , trong đó G là trọng tâm tam giác ABC . Hãy so sánh R1 , R2 . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre, Bến Tre) Lời giải. A F E G B D C Gọi DEF,, là trung điểm các cạnh BC,, CA AB . 13
  14. Xét hai tam giác AFC và BFC có: CF chung, AF BF , AC BC AFC BFC . Xét hai tam giác AFG và BFG có: FG chung, AF BF , AFC BFC AG BG . CB BG  GC CA  AG  GC Do đó RR1 2 . 4SSBGC 4 AGC Bài 3. Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng AM,, BM CM cắt các cạnh BC,, CA AB tại ABC', ', ' theo thứ tự. Đặt S1,,,,,SSSS 2 3S 4 5 6 lần lượt là diện tích các tam giác MA',', B MA C S SS MBCMB',',',' AMC AMC B . Chứng minh rằng nếu 1 3 5 3 thì M là trọng tâm tam giác SSS2 4 6 ABC (Đề thi HSG Đồng Tháp, vòng 2) Lời giải. S SS ABBCCA''' Áp dụng định lý Céva, ta có 1 3  5   1. SSSACBACB2 4 6 ''' S SS Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 1 3 5 3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC', ', ' là SSS2 4 6 trung điểm các cạnh của tam giác ABC . Khi đó M là trọng tâm tam giác (đpcm) Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp O . Gọi P,Q, M lần lượt là giao điểm của AB và CD , AD và BC , AC và BD . Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMP,OMQ,OPQ bằng nhau. (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11 THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Lời giải. Q D A M O P B C Theo định lý Brocard, ta có O là trực tâm tam giác MPQ . Theo một kết quả quen thuộc thì điểm đối xứng với O qua MP nằm trên MPQ . Suy ra OMP và MPQ đối xứng với nhau qua MP , do đó bán kính của chúng bằng nhau. Tương tự, ta suy ra đpcm. 14
  15. Bài 5. Cho tam giác ABC , điểm M thay đổi bên trong tam giác. DEF là tam giác pedal của M đối với tam giác ABC . Tìm vị trí của M để diện tích tam giác DEF lớn nhất. (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) Lời giải. 1 OM 2 Theo công thức Euler, ta có SSDEF 1 2 ABC . 4 R Do đó SDEF lớn nhất OM nhỏ nhất O  M . Vậy diện tích tam giác DEF lớn nhất khi M là tâm ngoại tiếp tam giác ABC . Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn OR; . BH R 2 là đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC . Gọi DE, là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, BC . Chứng minh rằng: 1. BO  DE 2. DOE,, thẳng hàng. (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) Lời giải. B O E D A H C Trước hết, ta có đẳng thức quen thuộc BA BC 2 R  BH với R là bán kính đường tròn ABC . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên DE . Ta có BD BA BH2 BE  BC BAC~ BED . BK BD BH22 R 2 R BK R BH BC BA BC2 R  BH BH Lại có EBK ABH EBO . Suy ra OK . Vậy ta có đpcm. Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp, A1,,,BD 1C 1 1 lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác BCD,,, CDA DAB ABC . Chứng minh rằng A1BCD 1 1 1 là hình chữ nhật. (Đề thi HSG THPT chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) Lời giải. 15
  16. D A B C1 1 D1 A1 B C Theo tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta có: BDC BAC BAC 90  90 BD C 12 2 1 ACB DCA Suy ra các điểm BCB, , , A đồng viên D A B D CB . Tương tự, ta có D A B . 1 1 1 1 1 2 1 1 2 Do đó: ACB BDC CBD DCA D AB 360  DAB BAC CAD DAB 360  90 90  90  1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 Tương tự, ta suy ra đpcm. Bài 8. Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC thỏa mãn MAB MBC MCA . Chứng minh rằng cot cotABC cot cot . (Đề thi HSG Quảng Ninh – bảng A) Lời giải. Bài toán này là một kết quả quen thuộc về điểm Brocard (điểm M cho trong đề bài là một trong hai điểm Brocard của tam giác ABC ) Đặt MA x,, MB y MC z , ta có: x222222222222 c y y a z z b x a b c cot (1) 4SSSMAB 4 MBC 4 MCA 4S ABC b222 c a c 222 a b a 222 b c a 222 b c cotABCABC ,cot ,cot cot cot cot (2) 4SABC 4S ABC 4SS ABC 4 ABC Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm. Bài 9. 3a2 3 Cho tứ giác lồi ABCD có AB BC CD a . Chứng minh rằng S . ABCD 4 (Đề thi HSG Bình Định) 16
  17. Lời giải. B C A D 2 Đặt BAC , ta có 2SSSABCD 2 ABC 2 ACD BC  AC sin AC  CD 2 a cos 1 sin (1). Do 0 90  nên cos ,sin 0 . Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 2 3 cos si n 1 3 cos 1 sin 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có: 3 cos sin sin2 cos 2 1 3 2 3 3 Từ hai bất đẳng thức trên, ta có cos 1 sin , kết hợp với (1), ta có đpcm. 4 Bài 10.   Cho tam giác ABC và MN, là hai điểm di động trên BC sao cho MN BC . Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với AC , đường thẳng d2 đi qua N và vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của d1 và d2 . Chứng minh rằng trung điểm I của AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định. (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 2) Lời giải. A I H K B M C N   Gọi H là trực tâm tam giác ABC . Đặt BM u CN u , T là phép tịnh tiến theo u . Ta có TBH dTCH1, d 2 TH K . Do đó HK|| BC hay K luôn nằm trên đường thẳng 1 qua H và song song với BC . Phép vị tự tâm A tỉ số biến K I . Suy ra quỹ tích của I là đường 2 thẳng đi qua trung điểm AH và song song với BC . 17
  18. Bài 11. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm chuyển động trên cạnh AB , N là điểm chuyển động trên cạnh AC . 1. Giả sử BM CN . Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. 1 1 2. Giả sử không đổi. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. AM AN (Đề thi HSG Long An, vòng 2) Lời giải. 1. S A M N B C Gọi S là trung điểm cung BC chứa A của đường tròn ABC . Ta có BM CNBS,, CSMBS NCS SMB SNC . Suy ra SM SN hay S nằm trên trung trực của MN . Vậy trung trực của MN luôn đi qua điểm S cố định. 2. A N E I D M' M B C Gọi I là giao điểm của MN với phân giác trong góc A của tam giác ABC . Đường thẳng qua I vuông góc với AI cắt AB, AC lần lượt tại DE, . Gọi M ' là điểm đối xứng với M qua AI . Ta thấy IE, IA là phân giác trong và phân giác ngoài của góc M ' IN AENM ' 1. 2 1 1 1 1 Áp dụng hệ thức Descartes, ta có không đổi. Suy ra E cố định hay AE AM' AN AM AN MN luôn đi qua điểm I cố định. 18
  19. Bài 12. Cho đường tròn tâm O , đường kính BC và XY là một dây cung vuông góc với BC . Lấy PM, nằm trên đường thẳng XY và CY tuơng ứng, sao cho CY|| PB và CX|| MP . Gọi K là giao điểm của CX và BP . Chứng minh rằng MK BP . (Đề chọn đội tuyển THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định) Lời giải. X A K P B D O C M Y Gọi A là giao điểm thứ hai của BP và O , D là giao điểm của PM và BC . Đặt YCB ,YBC   90 . Ta có YPM YXC YB C ,YPB 90  BYX 90  BC Y  . Suy ra tam giác BPD cân tại P PB PD KB KC KA KX . Tam giác KPX cân tại X KP KX KA KP . Tứ giác MCKP có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành, do đó MC KP KA. Suy ra MCAK là hình bình hành. MK|| AC MK  BP (đpcm) Bài 13. Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp I . Điểm M tùy ý trên I . Gọi da là đường thẳng đi qua trung điểm MA và vuông góc với BC . Các đường thẳng db, d c được xác định tương tự. Chứng minh rằng da,,d b d c đồng quy tại một điểm N . Tìm tập hợp điểm N khi M chuyển động trên I . (Đề thi chọn đội tuyển Quảng Bình) Lời giải. A D T I H N M B C 19
  20. Gọi H là trực tâm tam giác ABC , D là trung điểm MA , N là trung điểm MH . Ta có daBC d a || AH , do đó da là đường trung bình của tam giác AMH da đi qua N . Tương tự, ta suy ra da,,d b d c đồng quy tại N . 1 r Gọi T là trung điểm HI . TN là đường trung bình trong tam giác MHI nên TN IM . Suy ra 2 2 r tập hợp điểm N khi M chuyển động trên I là đường tròn tâm T , bán kính . 2 Bài 14. Cho tam giác ABC , D là trung điểm cạnh BC và EZ, là hình chiếu của D trên AB, AC . Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến tại EZ, với đường tròn đường kính AD . Chứng minh rằng TB TC . (Đề thi chọn đội tuyển Nam Định) Lời giải. A F Z E B D C T Gọi F là giao điểm của DT với đường tròn đường kính AD thì tứ giác EDZF là tứ giác điều hòa. Vì A nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác EDZF nên A AB, AC , AF , AD A AE , AD , AZ , AF 1. Mặt khác, vì D là trung điểm BC nên AF|| BC , suy ra DT BC TBC cân tại T TB TC . Bài 15. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O có A cố định và BC, thay đổi trên O sao cho BC luôn song song với một đường thẳng cố định cho trước. Các tiếp tuyến của O tại B và C cắt nhau tại K . Gọi M là trung điểm BC , N là giao điểm của AM với O . Chứng minh rằng đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định. (Đề thi chọn đội tuyển PTNK, ĐHKHTN TPHCM) Lời giải. 20
  21. A I O M C B N K Gọi giao điểm thứ hai của KN với O là I . Tứ giác IBNC là tứ giác điều hòa nên ta có A AI, AB , AN , AC 1. Mà M là trung điểm BC nên AI|| BC , suy ra I cố định. Vậy đường thẳng KN luôn đi qua điểm I cố định. Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB, cố định, điểm C di chuyển về một phía đối với đường thẳng AB . Gọi tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AC, BC lần lượt là MN, . Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định khi điểm C di động. (Đề thi HSG THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai) Lời giải. C E N D M I A B Gọi E là điểm trên tia AC sao cho AE AB , D là trung điểm BE D cố định. Định hướng đường  thẳng AC theo hướng của vector AC . Ta có: NC p c NC p c, NB p b NB p b ME CE c b p b AE AB c CE cbMC, p c 1 1 MC MC p c p c 21
  22. DB ME NC Từ đó suy ra   1 DMN , , thẳng hàng, suy ra MN luôn đi qua D cố định (đpcm) DE MC NB Từ cách chứng minh trên, ta thấy giả thiết tam giác ABC vuông tại A là không cần thiết, khi C chuyển động trên một tia bất kì có gốc A và không nằm trên đường thẳng AB thì MN đi qua điểm D được xác định như trên. Bài 17. Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Đường phân giác trong của góc BAD cắt cạnh BC tại F và DC tại K . Từ đỉnh D kẻ DP  AK P AK . Đặt DP m, ADC 180  2 . Tính S ABCD theo S 1 m và , biết rằng KFC . SAFCD 15 (Đề thi HSG Vĩnh Long, vòng 2) Lời giải. A D P C B F K SKFC 1 2k 2 2 Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau: Nếu 2 thì SABCD m cot . SAFCD k 1 k SSKFC1 KFC 1FC KC 1 Từ giả thiết suy ra BAK . Ta có 2 2 . SAFCDk 1 S KAD k AD KD k 2 2 Từ đó suy ra SABF k 1 S KFC , S ADFC k 1 S KFC . 2 2 k 1 k 1 2k 2 Vậy ta có SSS S m2 cot (đpcm) ABCD ABF ADFCk 2 ADK k Bài 18. Cho tam giác ABC cân tại A . Đường phân giác trong của góc B cắt cạnh AC tại D . Biết rằng BC BD AD . Hãy tính góc BAC . (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh) Lời giải. A D B C 22
  23. Đặt BAC ,  . Không mất tính tổng quát, giả sử AB AC 1. 4 sin sin sin  Áp dụng định lý sin, ta có: BC ,, BD AD . sin2 sin3  sin3  Từ giả thiết, ta có: sin 4  sin  sin3  sin 4  sin  cos cos 7  cos 2  cos 6  cos  cos3  cos3  cos7  cos 2  cos6  sin2 sin5  sin2  sin4  5 Ta có sin2 0 sin5  sin4  5  4   BAC . 9 9 Bài 19. Cho tam giác ABC có góc A tù. Dựng các đường cao AD,, BE CF ( D,,,, E F BC CA AB tương ứng). EF', ' là hình chiếu của EF, lên BC . Giả sử 2E ' F ' 2 AD BC . Hãy tính góc BAC . (Đề thi HSG Quảng Nam) Lời giải. F E A C B E' D F' Ta có BE' BE sin C a sin 2C, CF ' CF sin B a sin 2 B E '' F a 1sin 2 B sin 2 C 2S 2bc sin A Theo công thức diện tích và định lý sin, ta có AD ABC 4 R sin B sin C . Do đó: a a 2E ' F ' 2 AD BC 2sinABCBCA 1 sin2 sin 2 2sin sin sin sinABCBCBCA 2 2sin2 2sin 2 cos cos sin sinABCBCAA cos 2 cos 2 cos cos sin 2sinABCBCBCAA cos cos cos sin cos sinAABCAABC cos cos 2sin cos cos 0 sinA cosABCAA cos sin cos 2 0 sinAABCAA cos 1 cos sin cos 0 sinAA cos 0 cos BCAA sin cos 0 23
  24. Đẳng thức thứ nhất cho ta sin A 0 BAC 135  . 4 Đẳng thức thứ hai không thể xảy ra vì với A là góc tù thì 0 sinAAAAAA 1,1cos 0 1sin cos 1 sin cos 1, mà cos BC 1 nên cos BCAABCAA sin cos 1 1 cos sin cos 0 . Vậy góc A có độ lớn là 135 . Bài 20. Gọi G, I là trọng tâm, tâm nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng qua G và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại Bc ,Cb . Các điểm Ca , Ac , Ab , Ba được xác định tương tự. Các điểm I a , I b , I c theo thứ tự là tâm nội tiếp các tam giác GBaCa ,GCb Ab ,GAc Bc . Chứng minh rằng AI a , BIb ,CI c đồng quy tại một điểm trên GI . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Lời giải. A I G Ia B C Ba M Ca Gọi X là giao điểm của AIa với GI , M là trung điểm BC . IIa Ta có phép vị tự tâm M , tỉ số 3 biến GBa C a ABC . Suy ra 2 . Áp dụng định lý Menelaus IMa cho tam giác IGM với cát tuyến AXIa , ta có: XG AMIIII XI AM 3  a 1  a  ( 2) 3. XI AGIMIMa XG AG a 2 YI ZI Tương tự, gọi YZ, là giao điểm của BI ,CI thì ta có 3 . b c YG ZG Vậy X YZ  hay AIa,,BI bCI c đồng quy tại một điểm trên GI . Bài 21. Cho tam giác ABC nội tiếp O , đường thẳng AO cắt O lần thứ hai tại D . HK, lần lượt là hình chiếu của BC, lên AD ; hai đường thẳng BK, CH cắt O tại EF, . Chứng minh rằng AD,, BC EF đồng quy. (Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên ĐHSP HN) 24
  25. Lời giải. A B' F H O M B C K E C' D Gọi BC', ' là giao điểm của BH, CK với O . M là giao điểm của EF và BC''. Ta có HK, lần lượt là trung điểm BB', CC '. Suy ra BC đối xứng với BC'' qua HK . Do đó các đường thẳng BC, B ' C ', HK đồng quy. Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm FBCECB, , ', , , ', ta có HMK,, thẳng hàng. M HK BC'',, M BC ADBCEF đồng quy tại M . Bài 22. Cho tam giác ABC nội tiếp O , nội tiếp I . Gọi M là tiếp điểm của BC và I , D là giao điểm thứ hai của AM và O . Chứng minh rằng nếu OI  AM thì tứ giác ABDC điều hòa. (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Lời giải. A N P I O F B M C D Ta chỉ cần xét với tam giác không cân tại A . Khi đó OI cắt BC tại F . Gọi NP, là tiếp điểm của I với AC, AB . Ta có FM là tiếp tuyến của I , suy ra đường đối cực của F đi qua M . Mà OI  AM nên AM là đường đối cực của F đối với I đường đối cực của A đối với I đi qua F , hay FNP,, thẳng hàng. 25
  26. Lại có AM,, BN CP đồng quy tại điểm Gergonne của tam giác ABC nên FMBC 1. Do đó AM là đường đối cực của F đối với O . Suy ra FA là tiếp tuyến của O . Vì A đối xứng với D qua FO nên FD là tiếp tuyến của O . Vậy ABDC là tứ giác điều hòa (đpcm) Bài 23. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. MN, là trung điểm AB, CD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt đường thẳng CD tại PP() N ; đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt đường thẳng AB tại Q ()Q M . O là giao điểm hai đường chéo AC, BD ; E là giao điểm của các đường thẳng AD, BC . Chứng minh rằng PQOE,,, thẳng hàng. (Đề thi HSG Vĩnh Phúc) Lời giải. D A N M O P Q E B C F Gọi F là giao điểm của AB và CD . Ta có FAFB FC  FD FM  FQ ABFQ 1 (hệ thức Maclaurin). Tương tự, ta có CDFP 1, suy ra PQOE,,, thẳng hàng (đpcm) Bài 24. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O . AC cắt BD tại E , AD cắt BC tại F . Trung điểm của AB,CD lần lượt là G, H . Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EGH . (Đề thi chọn đội tuyển THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Lời giải. 26
  27. D A E H Q I G P F B C Dựng các hình bình hành AEBP, DECQ . Gọi I là trung điểm EF , ta có IGH,, thẳng hàng (đường thẳng Gauss), suy ra FPQ,, thẳng hàng. FA FC AB CD CD Ta có FAB~ FCD ; EAB ~ EDC . AB CD AE DE CQ Suy ra FAE~ FCQ FEA FQC . Lại có AEP CQE FEP FQE IEG IHE . Do đó IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EGH (đpcm) Bài 25. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không cân và góc A nhọn. Hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, AC theo thứ tự là EF, . Gọi D là trung điểm BC ; PQ, là giao điểm của hai đường tròn đường kính AD, BC . Chứng minh rằng HPQ,, thẳng hàng và các đường thẳng BC,, EF PQ đồng quy. (Đề thi HSG Bà Rịa – Vũng Tàu) Lời giải. A F Q E P H I C B G D Gọi G là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC . Ta có PH/[ BC ] HE  HC HG  HA P H /[ AD ] 27
  28. H nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính AD, BC . HPQ,, thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của EF và BC . DEF là đường tròn Euler của tam giác ABC nên G nằm trên DEF . Do đó PI/[ BC ] IBIC  IEIF  IGID  P I /[ AD ] . Suy ra IPQ,, thẳng hàng hay BC,, EF PQ đồng quy tại I (đpcm) Bài 26. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H . MN, là trung điểm AH, BC . Các đường phân giác của các góc ABH, ACH cắt nhau tại P . Chứng minh rằng: 1. BPC 90  2. MNP,, thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11, THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình) Lời giải. A M P O H B D N C 90 AA A Ta có PBH , HBC 90  C PBC 135  C . Tương tự: PCB 135  B . 2 2 2 PBC PCB 270   A B C 90 BPC  90 Gọi D là giao điểm của AH và BC , O là tâm ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có AMNO là hình bình hành, suy ra DMN DAO . Mặt khác, OH, là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC , do đó: DAO BAC 2 BAD A 2 90  B DNM  90 DMN  270 A 2 B 2 BCP DNP , suy ra MNP,, thẳng hàng (đpcm) Bài 27. d A, b Cho hai điểm AB, cố định và OR; thay đổi sao cho 2 , trong đó a, b theo thứ tự là đường d B, A đối cực của AB, đối với O . Xác định vị trí của O để SOAB lớn nhất. (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 2) Lời giải. 28
  29. d A, b OA Ta có bổ đề sau (định lý Salmon): . d B, A OB Chứng minh: B A K H Q P M N O Gọi HK, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A lên b và B lên a ; PQ, là giao điểm của các cặp đường thẳng OA, b và OB, a ; MN, là ảnh của AB, qua phép nghịch đảo cực O , phương tích R2 . Ta có PMQ PNQ 90  M , N , P , Q đồng viên. Mặt khác, OA OM OB  ON R2 A,,, B M N đồng viên. Suy ra AB|| PQ . AH AP BQ BKd A, b AH ON OA Do đó ta có (đpcm) ON OP OQ OM d B, a BK OM OB Trở lại với bài toán. Từ bổ đề, ta có OA 2 OB . Đặt AB a, OB x, OA 2 x a,x 0 Áp dụng công thức Heron, ta có : 2 21 2 2 2 x a a x 4 2 21 2 2 2 9 16a 16SOAB 3 xaxaaxax 3 9 x a a x 9 9 2 9 a2 1 5 Vậy max S x2 a 2 a 2 x 2 x a . OAB 3 9 3 Bài 28. Gọi B là điểm trên đường tròn O1 và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyến tại B của O1 . Gọi C là điểm không nằm trên O1 sao cho đường thẳng AC cắt O1 tại hai điểm phân biệt. Đường tròn O2 tiếp xúc với AC tại C và tiếp xúc với O1 tại D nằm khác phía với B so với đường thẳng AC . Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên đương tròn ngoại tiếp tam giác ABC . (Đề thi chọn đội tuyển Thái Bình) Lời giải. 29
  30. B A C O1 O2 O3 D Gọi O3 là tâm BCD , tiếp tuyến chung của của OO1 , 2 là d , Dl là phép đối xứng trục với trục đối xứng là đường thẳng l . Ta có D: AB d, D: AC d , do đó CA;; CO DO;d  BA BO mod , suy ra các O1OOO 3 2 3 3 3 3 điểm ABCO,,, 3 đồng viên (đpcm) Bài 29. 1. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp O và ngoại tiếp I . Các đường thẳng qua I vuông góc với AI,, BI CI cắt BC,, CA AB tại MNP,, theo thứ tự. Chứng minh rằng MNP,, cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với OI . 2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp O cố định, AB cố định và khác đường kính, C di động trên đường tròn. Gọi N là trung điểm AC , M là hình chiếu của N trên BC . Tìm quỹ tích M khi C di động trên O . (Đề thi khảo sát đội tuyển THPT chuyên Thái Bình) Lời giải. 1. A I O M B C Giả sử AB AC , khi đó M nằm trên tia đối của tia BC . CC Ta có AIB 90  MIB MCI MIB~ MCI MI2 MB  MC . 2 2 Suy ra M nằm trên trục đẳng phương của O và đường tròn điểm tâm I . Tương tự với NP, , ta suy ra MNP,, thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng vuông góc với OI . 30
  31. 2. A P K N I O B M C Đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt MN tại P . Gọi K là trung điểm AB , I là trung điểm OK . Ta có MN  KN , suy ra tứ giác APNK nội tiếp APK ANK C AP AKcot KO . Do đó AKOP là hình chữ nhật BKOP là hình bình hành I là trung điểm BP . Mà tam giác BMP vuông tại M nên IM IB không đổi. Suy ra M nằm trên đường tròn tâm I bán kính IB . Bài 30. Tam giác ABC nhọn, D nằm trong tam giác thỏa mãn ADB 60  ACB và DA BC DB  AC . Chứng minh rằng DC AB AD  BC . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 1) Lời giải. A E D B C Dựng tam giác đều BED sao cho điểm E nằm trong góc ADB . Ta có DA BC DB  ACDB,, DEADE ACB ABC~ AED . Suy ra DA BC AC  DE AC  BE (1) Từ ABC~ AED , ta suy ra AEB~ ADC DC  AB ACBE  (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm. 31
  32. Bài 31. Cho tam giác BCD nội tiếp đường tròn O . Dựng hình bình hành ABCD . Gọi d là đường phân giác trong của góc BAD , d cắt đường thẳng CD tại F và cắt đường thẳng BC tại G . Gọi là đường thẳng qua C và vuông góc với d ; cắt O tại điểm thứ hai E . Gọi IJK,, lần lượt là hình chiếu của E lên các đường thẳng CB,, CD BD . Chứng minh rằng: 1. IJK,, thẳng hàng. 2. E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CFG . (Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng, vòng 2) Lời giải. A B Q K P F C D J I G E 1. Đây là kết quả quen thuộc về đường thẳng Simson nên không nêu ra chứng minh ở đây. 2. Gọi P là giao điểm của d và BD . Đường thẳng qua C song song với d cắt BD tại Q . Ta có CFG BAG DAG CGF CGF cân tại C CG CF ICE JCE . Từ đó suy ra ICE JCE EI EJ, CI CJ Lại có EBI EDJ , suy ra BIE DJE EB ED K là trung điểm BD , hay K là trung điểm PQ . Từ CI CJ , ta có IJ|| d || CQ I , J là trung điểm CG, CF . Suy ra E là tâm đường tròn ngoại tiếp CGF (đpcm) Bài 32. Cho tam giác ABC nhọn, điểm M bất kì trong tam giác. AM cắt BC tại N . X ,Y,Z,T là hình chiếu của N trên AB, MB, AC, MC . Chứng minh rằng AM  BC khi và chỉ khi hoặc X ,Y,Z,T đồng viên hoặc X ,Y,Z,T thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Lời giải. 32
  33. A Z M T Y X B N C Ta có các bộ 4 điểm sau đồng viên: XYNBYMTNTNZCAXNZ,,,;,,,;,,,;,,, . Điều kiện cần và đủ để XYZT,,, thẳng hàng hoặc đồng viên là YX ,YT  ZX, ZT mod 1 . (,YXYN )(, YNYT )(  ZXZN , )( ZNZT , )mod (BXBN , )( MNMT , )(  AXAN , )( CNCT , )mod (,BABN )( ANMC , )(,  ABAN )( CNCM , )mod (,BA BN )( AN , AB )( AN , MC )( CM , CN )0mod  (AN , BN ) ( AN , CN )  0 mod 2(AN , CN )( BN , CN )0mod  (,)AN CN  mod 2 AN  BC Vậy ta có đpcm. Ta còn có thể chứng minh được XYZT,,, thẳng hàng khi và chỉ khi M là trực tâm tam giác ABC Bài 33. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Đường tròn O1 tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại PQ, và tiếp xúc trong với O tại S . Gọi giao điểm của AS và PQ là D . Chứng minh rằng BDP CDQ . (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Lời giải. Bổ đề: Cho đường tròn C và hai điểm AB, nằm trên C . Một đường tròn C ' tiếp xúc trong với TA AE C tại T . Nếu AE, BF là các tiếp tuyến của C ' tại EF, thì ta có . TB BF Chứng minh: 33
  34. E A (C') A' T B' B F (C) Gọi AB', ' là giao điểm của TA, TB với C ' . Phép vị tự tâm T biến C ' C biến AB'' AB , 2 2 AE AA'' AT BB BT BF do đó A' B '|| AB . Suy ra:   TA'''''' ATAT BTBT TB AE BF AE TA' TA (đpcm) TA''' TB BF TB TB Trở lại bài toán: A Q D P O1 B C S BP SBsin BAS PD Áp dụng bổ đề, ta có . CQ SCsin CAS QD Lại có BPD CQD . Suy ra BPD~ CQD BDP CDQ (đpcm) Bài 34. Trên đường tròn O lấy hai điểm AM, khác đường kính. Điểm I trên đoạn OA I OA, . Hai đường tròn I, IA và IM  cắt nhau tại BC, . Các tia MB,, MI MC cắt O tại DEF,, theo thứ tự. Đường thẳng DF cắt ME,, MA AE lần lượt tại TSQ,, . Chứng minh rằng: 1. SD SF ST  SQ 2. BCQ,, thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) Lời giải. 34
  35. M O C B I Q D S T F A E 1. Từ giả thiết của bài toán, ta có ME là phân giác của góc DMF , do đó: QA,,,,, QT  DA DF AQ AD  MA MF ME MD  MAMF, MFME ,  MAME , mod Suy ra MTAQ,,, đồng viên. Vậy SD SF SM  SA ST  SQ . 2. Dễ thấy rằng I, IA là đường tròn M – mixtilinear của tam giác MDF . AD DB Theo bổ đề ở bài 33, ta có . Vì E là trung điểm cung EF nên AQ là phân giác ngoài của AF FC QD AD DB tam giác ADF , suy ra . Vì MD, MF là các tiếp tuyến của I, IA nên ta có QF AF FC QD CF BM MB MC . Do đó   1. Theo định lý Menelaus, ta suy ra QBC,, thẳng hàng (đpcm) QF CM BD Bài 35. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng vuông góc với IA tại A cắt BI, CI tại KM, . Gọi BC', ' là giao điểm của hai cặp đường thẳng BI,,, AC CI AB . Đường thẳng BC'' cắt ABC tại NE, . Chứng minh rằng bốn điểm MNEK,,, thuộc cùng 1 đường tròn. (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 1) Lời giải. 35
  36. K A M E B' C' N I P B C D Gọi D là giao điểm của MB và KC . Từ giả thiết, ta có MK, là các tâm bàng tiếp của tam giác ABC , suy ra D cũng là tâm bàng tiếp của tam giác AID,, thẳng hàng. Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác MBC ' và KCB ', ta có MK,, NE BC đồng quy tại P . Các bộ 4 điểm MBCK,,, và NBCE,,, đồng viên. Do đó ta có PM PK PBPC  PN  PE MNEK,,, đồng viên (đpcm) Bài 36. Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE,CF cắt nhau tại H . Trên các tia FB, EC theo thứ tự lấy các điểm P,Q sao cho FP FC, EQ EB. BQ cắt CP tại K . I, J theo thứ tự là trung điểm BQ,CP . IJ cắt BC, PQ theo thứ tự tại M , N . Chứng minh rằng: 1. HK  IJ 2. IAM JAN (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Lời giải. A E F H M B C I J K Q N P 36
  37. 1. Từ giả thiết, ta có BPC BQC 45 , suy ra tứ giác BCQP nội tiếp. Do đó: PK/[ BQ ] KB  KQ KC  KP P K /[ CP ] Theo tính chất trực tâm tam giác, ta có: PH/[ BQ ] HB·· HE HC HF P H /[ CP ] Vậy HK là trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính BQ, CP . Mà IJ là đường nối tâm của hai đường tròn nên ta có HK  IJ . 2. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác KBC với cát tuyến MIJ , ta có: MB JC IK NQ IK JP MB NQ   1   MC JK IB NP IQ JK MC NP Gọi d là phân giác trong của góc BAC , gọi ảnh của BMC,, qua phép đối xứng trục d là BM', ' , M'' B MB NQ C '. Ta có BMC', ', ' thẳng hàng và BC''  PQ . Lại có . Suy ra AMN, ', thẳng M'' C MC NP hàng. Do đó CAM BAM ' BAN . Tương tự, ta cũng có CAI BAJ . Từ đó suy ra IAM JAN (đpcm) Bài 37. Cho tam giác ABC nội tiếp O , trực tâm H . D là chân đường cao kẻ từ đỉnh B của ABC , điểm P bất kì trên O . QRS,, là các điểm đối xứng với P qua các trung điểm các cạnh AB,, AC BC theo thứ tự. AQ cắt HR tại F . Chứng minh rằng HS  DF . (Đề thi chọn đội tuyển Đà Nẵng) Lời giải. Q M' R A F D H S O B C I M P Phép vị tự Z tâm P tỉ số 2 biến tam giác trung bình của tam giác ABC thành tam giác SQR nên ta có ABC SQR . Mặt khác, trung điểm I của PH nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC và ZIH nên HSQR,,, đồng viên. 37
  38. Gọi MMO, ', ' là trung điểm BC, QR và tâm ngoại tiếp tam giác SQR , ta có AH 2 OM 2 O ' M ' và AH  QR nên A là trực tâm tam giác HQR . Suy ra AFH ADH 90  A , H , D , F đồng viên. Suy ra ADF AHF AHD DHF RQS DHF RHS DHF DHS . Từ đó ta có đpcm. Bài 38. Cho nửa đường tròn đường kính AB 2 R . Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tia phân giác của góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai E , cắt tia phân giác của góc ABC tại H . 1. Tia phân giác của góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai F , cắt CE tại I . Tính diện tích tam giác FID khi nó đều. 2. Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK HD . Gọi J là giao điểm của AF và BH . Xác định vị trí của C để tổng khoảng cách từ các điểm IJK,, đến AB là lớn nhất. (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Lời giải. C H J F I K A B G D E 1. Ta có I là tâm nội tiếp tam giác ACD và F là trung điểm cung CD không chứa A của ACD . Do đó FI ID . Suy ra tam giác FID đều DFI 60  ACD 60  BAC 30  . Để tính diện tích tam giác FID , ta cần tính độ dài cạnh FD . CD ACsin 30 2 R cos30  sin 30  R 3 Ta có FD . 2cos15 2cos15  2cos15  2 6 2 FD2 3 R 6 3 9 Do đó S . FID 4 16 2. Bằng các phép biến đổi góc đơn giản, ta có CH  BH . Do đó BCDH,,, đồng viên. Lại có H là trung điểm cung CD không chứa B của BCD và HK HD nên K là tâm nội tiếp tam giác BCD . Từ giả thiết của bài toàn, ta cũng có IJ, là tâm nội tiếp các tam giác ADC, ABC . Gọi G là giao điểm của CE và AB . Theo tính chất đường phân giác, ta có: 38
  39. GI AG DG AG DG AD d(,) I AB GI AD IC AC DC AC DC AC CD CD GC AC CD DA AD AC CD DA d(,) I AB AC Lại có ACD~ ABC . AC AB BC CA CD AB BC CA dJAB(,)(,) AB dKAB BC Tương tự, ta có , . CD AB BC CA CD AB BC CA Do đó dIAB(,)(,)(,) dJAB dKAB CD . Vậy dIAB(, ) dJAB (, ) dKAB (, )max CD max C là trung điểm cung AB . Bài 39. Cho tam giác ABC . Trên AB, BC lần lượt lấy MN, sao cho AM CN . Hai đường tròn BCM và BAN cắt nhau tại BD, . Chứng minh BD là phân giác của ABC . (Đề thi HSG Quảng Nam) Lời giải. A I D M E J B N C Gọi E là chân đường phân giác trong của góc ABC ; I là giao điểm của BCM với AC , J là giao  điểm của BAN với AC . Định hướng đường thẳng AC theo hướng của vector AC . Đặt AM CN t . bc ba Ta có AE , EC . b c b c 2 tc tc bc c t a c b BMIC,,, đồng viên   AM AB AI AC AI EI AI AE b b a c b a c 2 2 ctacb ba actacb Do đó PE/() BMC EI  EC  2 . b a c a c a c ac t a c b2 Hoàn toàn tương tự, ta có PE/() BNA 2 . a c Suy ra E nằm trên trục đẳng phương của BCM và BAN , do đó BED,, thẳng hàng nên BD là phân giác của ABC (đpcm) 39
  40. Bài 40. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD . Gọi EF, lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC . Gọi H là giao điểm của BF, CE . Chứng minh rằng AH  BC . (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 1) Lời giải. A X Y T F E H M B D C Gọi T là trực tâm tam giác ABC , BX, CY là hai đường cao của tam giác. MN, là giao điểm của XY , EF với BC . Ta có A DE cot FCEADFCcot cot CNB tan C  2 A FA EBDF cot DEcot B cot B NC tan B 2 XCYABXcot CCY cot A cot C MB tan C   XA YBBXcot A CY cot B cot B MC tan B Do đó M  N hay BC,, XY EF đồng quy. Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác BXF và CYE , ta có ATH,, thẳng hàng, từ đó suy ra đpcm. Bài 41. Cho tam giác nhọn ABC , M là trung điểm BC . DE, là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC . Đường tròn O1 đi qua ABE,, . Đường tròn O2 đi qua ACD,, . Chứng minh rằng O1O 2  BC . (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) Lời giải. A O1 O2 E D B S K M R C 40
  41. Gọi RS, là giao điểm khác BC, của OO1 , 2 với BC ; K là hình chiếu vuông góc của A lên BC . Ta có hai bộ 4 điểm AEKM,,, và AEBR,,, đồng viên, do đó: CB CKCM CACE  CBCR  CK  CR 2 CR . Tương tự, ta có BK 2 BS (1). CM Để chứng minh O1O 2  BC , ta sẽ chứng minh AK là trục đẳng phương của O1 và O2 . Điều đó xảy KS KR ra khi và chỉ khi: KS KC KR  KB KS  RC KR  SB . Mà điều này luôn đúng vì từ SB RC (1), ta có RS, là trung điểm của KC, KB . Vậy ta có đpcm. Bài 42. Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với các cạnh BC,, CA AB theo thứ tự tại D , E , F . Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD và đường tròn O ; NP, theo thứ tự là giao điểm thứ hai của MB, MC với O . Chứng minh rằng ba đường thẳng MD,, NE PF đồng quy. (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Lời giải. A M E F P O N B D C Ta có các tứ giác DEMF,, DMFN DMEP là các tứ giác điều hòa, do đó: sinFDM sin DEN sin EFP MF DN EP MF DM EM       1 sinEDM sin FEN sin DFP ME FN DP ME FM DM Theo định lý Céva sin cho tam giác DEF , ta có DM,, EN FP đồng quy (đpcm) Bài 43. Cho tam giác ABC nội tiếp O . Tiếp tuyến của O tại B,C cắt nhau tại S . Trung trực của AB, AC cắt phân giác trong góc BAC tại M , N . BM ,CN cắt nhau tại P . Chứng minh rằng SA đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Lời giải. 41
  42. A O M H F I P N B D C E S Gọi DEFH,,, là trung điểm BC , trung điểm cung BC không chứa A của O , trung điểm MN và trực tâm tam giác OMN . 1 1 1 1 Ta có IMN BMN BAM ABM BAC , HMN 90  ONM BAC . Tương tự, ta suy ra 2 2 2 2 IH, đối xứng với nhau qua AE . Theo một kết quả quen biết thì ta có AS là đường đối trung của tam giác ABC nên để chứng minh AIS,, thẳng hàng, ta chỉ cần chứng minh AHD,, thẳng hàng. Ta có AAA A MF cot 1 tan2 2cos 2 1 2 2cos2 HO FO DE RA 1 cos 1 2 1 2 2 ; 2 AAA A HF FH MF tan tan2 1 cos 2 DO Rcos A 2cos2 1 2 2 2 2 AF DE HO Do đó   1 ADH , , thẳng hàng theo định lý Menelaus. Vậy ta có đpcm. AE DO HF Bài 44. Cho hai đường tròn OO1 , 2 cắt nhau tại AB, và I là trung điểm O1O 2 . Gọi C là điểm đối xứng với B qua I . Một đường tròn O qua AC, cắt OO1 , 2 tại MN, . Chứng minh rằng CM CN . (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) Lời giải. 42
  43. A C I O1 O2 O B M N Gọi N ' là điểm trên O2 sao cho MAB N' AB . Từ giả thiết suy ra CO1BO 2 là hình bình hành. Ta có O2COBOMONOBOA 1 1,' 2 2 1 và CO1MBMBN CO 1 BO 1 CO 2 BO 2'' CO 2 N . Suy ra CO1 M N' O 2 C (c.g.c) AB, là hai điểm đối xứng với nhau qua O1O 2 nên OOOACO1AO 2 1 BO 2 1 CO 2 , , 1, O 2 đồng viên. Không mất tính tổng quát, giả sử RR , khi đó tia OC nằm trong góc AO M và tia OA nằm OO1 2 1 1 2 trong góc CO2 N ' . Ta có MCN ',' O CO O CM O CN'' MAN OO AO O AM AN . Mặt khác: 1 2 1 2 1 2 1 2 O1CM O 2 CN' O 1 CM O 1 MC 18 0  MO 1 C MO AACCCC NO MO AO NO AO O AM O AN'  901  90 2  180 1 1 2 2  180 MO C 1 22 2 2 2 1 Suy ra MCN '',,,' MAN A C M N đồng viên N  N' CM CN (đpcm) Bài 45. Cho đường tròn C , hai đường tròn CC1 , 2 nằm trong C , cùng tiếp xúc trong với C với các tiếp điểm là KH, theo thứ tự. C1 và C2 tiếp xúc ngoài với nhau tại I . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài T1 của CC1 , 2 . T1 cắt C tại AB, và tiếp xúc với CC1 , 2 lần lượt tại MN, . Vẽ tiếp tuyến chung trong T2 của CC1 , 2 . T2 cắt C tại D sao cho I thuộc miền trong của tam giác ABD . Chứng minh rằng: 1. Tứ giác MNHK là tứ giác nội tiếp. 2. DI là phân giác của ADB . (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Lời giải. 43
  44. D K H I A M N B J Phép vị tự Z tâm K biến C1 C biến AB tiếp tuyến của C song song với AB , do đó Z biến M J là trung điểm cung AB không chứa K của C . Suy ra KMJ,, thẳng hàng và AKJ ABJ JAM JAK~ JMA JM  JK JA2 . Tương tự, ta có JN JH JB2 . Mà J là trung điểm cung AB của C nên JA JB . JM  JK JN  JH M,,, N H K đồng viên. Theo trên, ta có P JM  JK JN  JH P J nằm trên trục đẳng phương của C và C , JCJC// 1 2 1 2 cũng chính là đường thẳng DI . Suy ra DIJ,, thẳng hàng nên DI là phân giác của ADB (đpcm) Bài 46. Cho tam giác ABC , tâm nội tiếp I , tâm ngoại tiếp O , các tâm bàng tiếp I1,,II 2 3 tương ứng với các góc ABC,, . AD,, BE CF là các đường cao trong tam giác ABC . Chứng minh rằng OI, I1DI,, 2E I 3F đồng quy. (Đề chi chọn đội tuyển Hải Phòng) Lời giải. A O I G B D J C M K I1 44
  45. Gọi G là giao điểm của I1D và OI , M là trung điểm cung BC không chứa A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , J là giao điểm của AI và BC , K là giao điểm của OM và I1D . I1M 1 ABC là đường tròn Euler của tam giác I1II 2 3 , suy ra M là trung điểm II1 II1 2 MKI M IM Áp dụng định lý Thales, ta có 1 . AD I1 A 2 IM IA A 2bc cos a Lại có IM BM , IA 2 , suy ra: A 2cos a b c 2 a A a a a 2cos IM a 2 2 2 2 AA2 p p a 2IM IA2bc cos 2 bc cos a p a 2 p a bc 2a 2 bc A a cos a b c a b c p 2 ah S KO R r Do đó MK a r . 2 p p KM r GI2 r Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IMO với cát tuyến I KG , ta có , từ đó suy ra đpcm. 1 GO R r Bài 47. Cho tam giác ABC và D là một điểm trên cạnh BC thỏa CAD ABC . Đường tròn O đi qua B và D cắt AB, AD tại EF, ; DE cắt BF tại G ; M là trung điểm AG . Chứng minh CM  AO . (Đề thi chọn đội tuyển Khánh Hòa) Lời giải. Bổ đề: Cho tứ giác toàn phần ABCDEF . Qua F kẻ các đường thẳng song song với AB,,, CD AC BD cắt CD,,, AB BD AC tại MNPQ,,, theo thứ tự. Khi đó MNPQ,,, thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng song song với EG . Chứng minh: N E B Q C G A F D P M 45
  46. Ta có nhận xét đơn giản sau: Cho hai tam giác ABC, DEF có các đường thẳng AD,, BE CF đồng quy. Khi đó nếu AB|| DE và BC|| EF thì AC|| DF . Áp dụng nhận xét trên cho các cặp tam giác FQN,,,,, DGE FMN BEG FMP AEG , ta suy ra các đường thẳng MN,, MP NQ cùng song song với EG , do đó MNPQ,,, thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng song song với EG . Trở lại với bài toán. A H K M E N I O G F B D J C Qua A kẻ AH|| BDAK , || BF , AI || DE H EF,, K ED I BF . Gọi J là giao điểm của EF, BC . Xét tứ giác toàn phần BEFDAJ , theo bổ đề trên, ta có CHIK,,, thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng song song với JG . Vì CH là đường chéo của hình bình hành AHJC nên CH đi qua trung điểm N của AJ . MN là đường trung bình của tam giác AGJ nên MN|| GJ . Suy ra CMN,, thẳng hàng và CM|| GJ . Mặt khác, theo một kết quả quen thuộc thì ta có JG là đường đối cực của A đối với O , do đó AO  JG . Từ các khẳng định trên ta suy ra CM|| AO (đpcm) Bài 48. Cho tam giác không cân ABC . Gọi các tiếp điểm của đường tròn O nội tiếp tam giác với các cạnh BC,, CA AB lần lượt là A1,,BC 1 1 . Đặt AA1 OA 2, BB 1  O B 2 . Gọi AB1AB 3, 1 3 là các đường phân giác trong của tam giác A1BC 1 1 . 1. Chứng minh rằng A2A 3 là phân giác của B1AC 2 1 . 2. Gọi PQ, là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác A1AA 2 3 và B1BB 2 3 . Chứng minh rằng O PQ . (Đề kiểm tra đội tuyển THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước) Lời giải. 46
  47. A A2 B1 A3 O C1 B C A1 1. ABAB2 1 1 1 AB3 1 A1BAC 1 2 1 là tứ giác điều hòa nên . Do đó A2A 3 là phân giác của BAC1 2 1 . ACACAC2 1 1 1 3 1 2. Ta có: 1 (;)(;)(;)(;)(;)AOAAAOACACAABCBAACAB  1 13 1 11 11132 1111 2 1111 (;)(;)(;)(;)ACAAACAAACAAAAAC2123 2121  2123 2121  (AAAA2 1 ; 2 3 ) mod Do đó OA tiếp xúc với A AAP OA2 . Tương tự, ta suy ra O nằm trên trục đẳng phương 1 1 2 3OAAA/ 1 2 3 1 của A1AA 2 3 và B1BB 2 3 nên OPQ,, thẳng hàng. Bài 49. Cho hình thang ABCD AD|| BC , E là điểm di động trên đường thẳng AB ; O1,O 2 lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác AED, BEC . Chứng minh rằng độ dài O1O 2 không đổi. (Đề thi chọn đội tuyển TPHCM) Lời giải. G M N A D F O1 E B C O2 47
  48. Gọi G là giao điểm của AB và CD ; MN, theo thứ tự là tâm ngoại tiếp các tam giác GAD, GBC ; F là giao điểm khác E của hai đường tròn ADE , BCE . Ta có FD; FE  AD; AE  BC ; BA  FC ; FE mod F , C, D thẳng hàng. Vì tâm ngoại tiếp và trực tâm là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác nên ta có: GM;;; GD  AD AG  FDFE mod E F  GM 2 2 GM; GD  AD ; AG BC ; BG  GN ; GC mod G , M , N thẳng hàng EF  MN 2 2 Mà EF là trục đẳng phương của ADE và BCE EF  OO1 2 , suy ra O1O 2 || MN . Lại có NO2|| MO 1 (cùng vuông góc với BC ). Do đó MNO2O 1 là hình bình hành. Suy ra O1O 2 MN không đổi (đpcm) Bài 50. Cho tứ giác toàn phần ACBDEF , trong đó tứ giác ABCD có đường tròn nội tiếp tâm I . Gọi A1, B 1 , CD1, 1 là tiếp điểm của I với các cạnh AB,,, BC CD DA . Gọi M là hình chiếu vuông góc của I lên EF . Hình chiếu của M lên các đường thẳng A1BBCCDDA 1,,, 1 1 1 1 1 1 là M1,,,MM 2M 3 4 . Chứng minh rằng M1,,,MM 2M 3 4 thẳng hàng. (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) Lời giải. Ta có hai bổ đề sau: Bổ đề 1: Cho tứ giác toàn phần ACBDEF , trong đó tứ giác ABCD nội tiếp trong O . Gọi G là giao điểm của AC và BD . M là hình chiếu của G lên EF . Khi đó OMG,, thẳng hàng và M là điểm Miquel của tứ giác toàn phần ACBDEF . Chứng minh: E C M X B G K O D F A Y Gọi XY, là các giao điểm của EO với O ; K là hình chiếu của F lên XY . Theo định lý Brocard, ta có G là trực tâm EOF EM  EF EKEO  EO2 OK  OE (1) Mặt khác, EKXY 1 OK  OE OX2 R 2 (2) 48
  49. Từ (1) và (2), ta có EMEF PEO/ EAEB  ECED  , suy ra các bộ 4 điểm đồng viên ABMF,,, và CDMF,,, . Do đó M là điểm Miquel của ABCDEF . Bổ đề 2: Cho tứ giác toàn phần ABCDEF và M là điểm Miquel của nó. Gọi XYZT,,, là hình chiếu vuông góc của M lên AB,,, BC CD DA . Khi đó XYZT,,, thẳng hàng. Chứng minh: F X Z M B C Y E A D T Ta có các bộ 4 điểm MFXZMFBCMZCY,,,;,,,;,,, đồng viên, do đó: ZFZX;;;;;;  MFMX  FXFM  CECM  ZYZM  ZCZY mod 2 2 2 Suy ra XYZ,, thẳng hàng. Hoàn toàn tương tự, ta suy ra đpcm. Trở lại với bài toán ban đầu. E M E C 1 C1 B1 X D D1 I F B A A1 Gọi E1 là giao điểm của A1D 1 và B1C 1 ; F1 là giao điểm của AB1 1 và CD1 1 . Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác DD1ABB 1 C , ta có AC , BD, B1D 1 đồng quy tại X . Tương tự, ta suy ra AC,,BD A1C 1, B 1D 1 đồng quy. Mặt khác, các đường thẳng AC,,BD A1C 1, B 1D 1 tương ứng là đường đối cực của EFFE1,,, 1 . Do đó EFEF,,,1 1 thẳng hàng. Xét tứ giác toàn phần A1BCDEF 1 1 1 1 1 . Ta có IM EF IM  E1 F 1 và tứ giác A1BCD 1 1 1 nội tiếp I . Theo bổ đề 1, ta có M là điểm Miquel của A1BCDEF 1 1 1 1 1 . Theo bổ đề 2, ta có M1,,,MM 2M 3 4 thẳng hàng (đpcm) 49
  50. Bài 51. Cho lục giác lồi AMBDNC nội tiếp trong đường tròn đường kính MN , AC BD . Gọi FP, là giao điểm của MC với AD, AN ; EQ, là giao điểm của MD với BC, BN . Chứng minh rằng giá trị của CP FP DQ EQ biểu thức là một hằng số. CM FM DM EM (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) Lời giải. M A B E F Q P C D N Ta có MPFC A AM,,,,,, AN ADAC B BM BNBDBC MQDE . CP FP EQ DQ CP FP DQ EQ FP DQ Suy ra : : k k 1 CM FM EM DM CM FM DM EM FM DM Mặt khác, ta có: FPS APsin NAD AP cos MAD tan AMC FAP  FM SFAM AMsin MAD AM sin MAD tan MAD DQ NDtan BND tan AMC DM NDtan MND tan MND FP DQ Từ giả thiết, ta suy ra F nằm giữa PM, ; Q nằm giữa DM, . Do đó . FM DM CP FP DQ EQ Vậy 0 , ta có đpcm. CM FM DM EM Bài 52. Cho hai đường tròn OO1 , 2 có bán kính khác nhau và có hai tiếp tuyến chung trong 1, 2 cắt nhau tại I . Một tiếp tuyến chung ngoài 3 tiếp xúc với OO1 , 2 lần lượt tại MN, . Đường tròn O3 nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi 1, 2, 3 và tiếp xúc với ba đường thẳng này theo thứ tự tại PQR,, . Biết rằng bốn điểm MNPQ,,, cùng nằm trên một đường tròn C . 1. Chứng minh rằng tâm của đường tròn C nằm trên đường tròn đi qua ba giao điểm của 1, 2, 3 50
  51. 2. Chứng minh 1  2 (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Đại học Vinh) Lời giải. Ta phát biểu lại bài toán như sau: Cho tam giác ABC không cân tại A ; OO1 , 2 là hai đường tròn bàng tiếp trong các góc CB, của tam giác. OO1 , 2 tiếp xúc với BC tại MN, . Đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với các cạnh AB,, AC BC tại PQR,, theo thứ tự. Biết rằng MNPQ,,, đồng viên. Chứng minh rằng tâm của MNPQ nằm trên ABC và tam giác ABC vuông tại A . A Q P I M B C K N R O 1. Gọi O là trung điểm cung BC không chứa A của ABC . Theo một kết quả quen thuộc, ta có BM CN p a . Từ đó suy ra OBM OCN (c.g.c) Ta cũng có OAP OAQ (c.g.c) Vậy O là giao điểm hai đường trung trực của các đoạn thẳng MN và PQ và MN không song song với PQ nên O là tâm của MNPQ . 2. Không mất tính tổng quát, giả sử b c . Gọi K là giao điểm của PQ và BC . KB RB p b Ta có AR,, BQ CP đồng quy nên KRBC 1 . KC RC p c a( p b ) a ( p c ) 2( p b )( p c ) Lại có KB KC a , suy ra KB ,, KC KR b c b c b c 2p ( p b ) ac 2 p ( p c ) ab KM KB BM , KN KC CN b c b c Vậy ta có MNPQ,,, đồng viên KM  KN KP  KQ KR2 (2p ( p b ) ac )(2 p ( p c ) ab ) 4( p b )2 ( p c ) 2 (b c )2 ( a 2 b 2 c 2 ) 0 a2 b 2 c 2 (vì tam giác ABC không cân tại A ) ABC vuông tại A (đpcm) 51
  52. Bài 53. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn O , với AB CD EF . Gọi I giao điểm của BE và AD . Gọi HK, lần lượt là trực tâm tam giác ADF, BCE . Biết rằng AIB 60  . Chứng minh rằng HOK,, thẳng hàng. (Đề thi HSG Hưng Yên) Lời giải. Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau: Bổ đề 1: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60. Gọi IHO,, là tâm nội tiếp, trực tâm, tâm ngoại tiếp của tam giác. Khi đó IH IO và AH AO . Chứng minh: Ta có AH 2 R cos A với tam giác ABC bất kì và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 1 Khi đó AH AO 2 R cos A R cos A A 60 . 2 Để chứng minh IH IO , ta sẽ sử dụng các kết quả sau mà không chứng minh lại: p r IO2 RRrIHRRrr 2 2; 2 4 2 4 3 2; sin;1 A cos A và R R  sin2x sin2 y sin2 z 4sin x sin y sin z với x y z 0 . Khi đó: 2 2 2 2 2 p r IO IH IO IH 3 R 6 Rr3 r p 0 p 3 R r 3 1 RR A sinAAA 3  cos  sin 0  sin 0 (đpcm). 3 2 6 Bổ đề 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60. Đường thẳng Euler của tam giác cắt các cạnh AB, AC tại MN, . Chứng minh rằng tam giác AMN đều. Chứng minh: A N I O E M H B C Gọi E là trung điểm OH . Từ bổ đề 1, ta suy ra AIE,, thẳng hàng vì cùng nằm trên trung trực của OH . Suy ra AE là phân giác của các góc BAC , MAN . Từ đó suy ra HAM OAN AM AN . Tam giác AMN cân tại A và có MAN 60  nên là tam giác đều (đpcm) Vậy cả hai bổ đề đã được chứng minh, trở lại với bài toán ban đầu. 52
  53. B A L I F H M O K E C D Gọi LM, là giao điểm của phân giác ngoài của góc AIB với các đường thẳng AF, BC . Từ giả thiết AB CD , ta có AD|| BC EBC AIB 60  . Theo bổ đề 2 suy ra OK|| IM . Tương tự, ta có OH|| IL . Mà LIM,, thẳng hàng nên HOK,, thẳng hàng (đpcm) ___ 53