Giáo trình Lý thuyết trường điện từ

pdf

108 trang huongle 4220

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết trường điện từ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ly_thuyet_truong_dien_tu.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết trường điện từ

LI NÓI U K t khi Hertz bng th c nghi m ã ch ng t nng l ưng in có th b c x trong không gian và s t n t i c a tr ưng in t ã m u k nguyên ng dng sóng in t trong thông tin liên l c, truy n s li u, gi i trí a ph ươ ng ti n, iu khi n t xa H th ng thông tin vô tuy n này ngày càng tr nên quan tr ng và thi t y u trong xã h i hi n i. Do ó vi c hi u bi t bn cht c a sóng in t , tính ch t lan truy n c a tr ưng in t c ng nh ư các ng d ng c a nó là rt c n thi t. tích lu phn ki n th c này ng ưi h c c n ph i có ki n th c n n tng v gi i tích vector, phép tính tensor, ph ươ ng trình vi phân và o hàm riêng, gi i tích hàm m t bi n và hàm nhi u bi n trong Toán h c cao c p; quang hc sóng và in h c trong Vt lý i c ươ ng. Giáo trình Lý thuy t tr ng in t ưc biên so n trong khuôn kh c a ch ương trình hoàn thi n b sách giáo trình dùng gi ng d y và h c t p c a Khoa Công ngh in t , Tr ưng i h c Công nghi p TP H Chí Minh, bao gm các ni dung ưc trình bày trong 5 ch ươ ng nh ư sau: Ch ương 0 Mt s công th c toán h c Ch ương 1 Các nh lu t và nguyên lý c ơ b n c a tr ng in t Ch ương 2 Tích phân các ph ơ ng trình Maxwell Ch ương 3 Sóng in t phng Ch ương 4 Nhi u x sóng in t Do th i gian và tài li u tham kh o còn nhi u h n ch , cho nên ch c ch n giáo trình còn nhi u thi u sót. R t mong có s óng góp, phê bình c a b n c giáo trình ưc hoàn thi n h ơn. Tác gi Võ Xuân Ân 1
MC L C Trang Li nói u 1 Ch ơng 0 Mt s công th c toán h c 3 Ch ơng 1 Các nh lu t và nguyên lý c ơ b n c a tr ưng in t 8 Ch ơng 2 Tích phân các ph ươ ng trình Maxwell 32 Ch ơng 3 Sóng in t ph ng 60 Ch ơng 4 Nhi u x sóng in t 90 Tài li u tham kh o 107 2
Ch ơ ng 0 MT S CÔNG TH C TOÁN H C 1. Vector r r r r a = {a x a, y a, z }= ai x + aj y + ak z r r r r b = {b x b, y b, z }= bi x + bj y + kb z r r r r c = {c x c, y c, z }= ci x + cj y + ck z r r • b.a = a x b x + a y b y + a z b z r r r i j k r r r r r • a × b = a x a y a z = i()a y b z − a z b y + j()a z b x − a x b z + k()a x b y − a y b x b x b y b z r r r r r r • b.a = a b cos ( b,a ) r r r • a × b = c r r r Ph ươ ng: c ⊥ ( b,a ) Chi u: theo qui t c v n nút chai r r r r r l n: c = a b sin ( b,a ) r r r r r r r r r • a × (b× c)= ( c.a.b )− ( b.a.c ) 2. Toán t nabla  ∂ ∂ ∂  ∇ =  , ,  ∂x ∂y ∂z 3. Gradient r ∂U r ∂U r ∂U gradU = ∇ U. = i + j + k ∂x ∂y ∂z 4. Divergence r r ∂a ∂a ∂a div a = ∇ a. = x + y + z ∂x ∂y ∂z 5. Rotary 3
r r r i j k r r r  r r  ∂ ∂ ∂ ∂a z ∂a y  ∂a x ∂a z  ∂a y ∂a x rot a = ∇× a = = i −  + j −  + k −  ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y  a x a y a z S ph c Hàm m e z = e x+iy = e x (cos y + isin y) Hàm m là m t hàm tu n hoàn có chu kì là 2 πi. Th c v y, ta có e 2kπi = cos 2kπ + isin 2kπ = 1 Suy ra e z+2kπi = e z e. 2kπi = e z Công th c Euler eiy = cosy +isiny Khi ó s ph c z = r e iϕ = r(cos ϕ +isin ϕ) Ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p hai Ph ươ ng trình vi phân t tr ưng c p hai là ph ươ ng trình b c nh t i v i hàm ch ưa bi t và các o hàm c a nó: y′′ + a1y′ + a 2 y = )x(f (1) Trong ó: a1, a 2 và f(x) là các hàm c a bi n c l p x f(x) = 0 ⇒ (1) g i là ph ươ ng trình tuy n tính thu n nh t f(x) ≠ 0 ⇒ (1) g i là ph ươ ng trình tuy n tính không thu n nh t a1, a 2 ≡ const ⇒ (1) g i là ph ươ ng trình tuy n tính có h s không i Ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p hai thu n nh t Ph ươ ng trình vi phân t tr ưng c p hai thu n nh t có d ng: y′′ + a1y′ + a 2 y = 0 (2) a1, a 2 là các hàm c a bi n x 4
nh lí 1. N u y 1 = y 1(x) và y 2 = y 2(x) là 2 nghi m c a (2) thì y = C 1y1 + C 2y2 (trong ó C 1, C 2 là 2 h ng s tu ý) c ng là nghi m c a ph ươ ng trình y. y1(x) Hai hàm y 1(x) và y 2(x) là c l p tuy n tính khi ≠ const , ng c l i là ph y2 ()x thu c tuy n tính nh lí 2. N u y 1(x) và y 2(x) là 2 nghi m c l p tuy n tính c a ph ươ ng trình vi phân t tr ưng c p hai thu n nh t (2) thì y = C 1y1 + C 2y2 (trong ó C 1, C 2 là 2 hng s tu ý) là nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình y. nh lí 3. N u ã bi t m t nghi m riêng y 1(x) c a ph ươ ng trình vi phân t tr ưng c p hai thu n nh t (2) thì có th tìm ưc m t nghi m riêng y 2(x) c a ph ươ ng trình ó, c l p tuy n tính v i y 1(x) b ng cách t y 2(x) = y 1(x).u(x) Ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p hai không thu n nh t Ph ươ ng trình vi phân t tr ưng c p hai là ph ươ ng trình b c nh t i v i hàm ch ưa bi t và các o hàm c a nó: y′′ + a1y′ + a 2 y = f )x( (3) Trong ó: a1 và a 2 là các hàm c a bi n c l p x; f(x) ≠ 0 nh lí 1. Nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình không thu n nh t (3) b ng nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình thu n nh t (2) t ươ ng ng và m t nghi m riêng nào ó c a ph ươ ng trình không thu n nh t (3). nh lí 2. Cho ph ươ ng trình không thu n nh t y′′ + a1y′ + a 2 y = f1 )x( + f2 )x( (4) Nu y 1(x) là nghi m riêng c a ph ươ ng trình y′′ + a1y′ + a 2 y = f1 )x( (5) và y 2(x) là nghi m riêng c a ph ươ ng trình y′′ + a1y′ + a 2 y = f2 )x( (6) thì y(x) = y 1(x) + y 2(x) c ng là nghi m riêng c a ph ươ ng trình (4) Ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p hai có h s không i 5
Ph ươ ng trình vi phân t tr ưng c p hai thu n nh t có d ng: y′′ + py′ + qy = 0 (7) p, q là các h ng s Gi s nghi m riêng c a (7) có d ng y = ekx (8) Trong ó: k là h ng s s ưc xác nh Suy ra y′ = ke kx , y′′ = k 2ekx (9) Thay (8) và (9) vào (7) ta có ekx (k 2 + pk + q)= 0 (10) Vì e kx ≠ 0 nên k 2 + pk + q = 0 (11) Nu k tho mãn (11) thì y = e kx là m t nghi m riêng c a ph ươ ng trình vi phân (7). Ph ươ ng trình (11) g i là ph ơ ng trình c tr ng c a ph ươ ng trình vi phân (7) Nh n xét: Ph ơ ng trình c tr ng (7) là ph ươ ng trình b c 2 có 2 nghi m k 1 và k 2 nh ư sau - k 1 và k 2 là 2 s th c khác nhau , khi ó 2 nghi m riêng c a ph ươ ng trình vi phân (7) là k1x k2x y1 = e , y2 = e (12) Hai nghi m riêng (12) là c l p t tr ưng vì y ()k −k x 1 = e 1 2 ≠ const (13) y2 Do ó nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân (7) là k1x k2x y = y1 + y2 = C1e + C2e (14) - k 1 và k 2 là 2 s th c trùng nhau: k 1 = k 2 k1x k1x Hai nghi m riêng c l p t tr ưng: y1 = e , y2 = xe 6
Nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân (7) là k1x k1x k1x y = C1e + C2xe = (C1 + C2x)e (15) - k 1 và k 2 là 2 s ph c liên h p: k 1 = ααα + i βββ và k 2 = ααα - i βββ Hai nghi m riêng c a ph ươ ng trình vi phân (7) là • y = e()α+iβ x = eαxeiβx 1 • (16) ()α−iβ x αx −iβx y2 = e = e e Theo công th c Euler ta có eiβx = cos βx + isin βx (17) e−iβx = cos βx − isin βx Suy ra • y = eαxeiβx = eαx ()cos βx + isin βx 1 • (18) αx −iβx αx y2 = e e = e ()cos βx − isin βx • • Nu y1 và y2 là 2 nghi m c a ph ươ ng trình vi phân (7) thì các hàm • • y1 + y2 αx y1 = = e cos βx 2 • • (19) y + y y = 1 2 = eαx sin βx 2 2i cng là nghi m c a ph ươ ng trình vi phân (7) và c l p t tr ưng vì y 1 = tg βx ≠ const (20) y2 Do ó nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân (7) là αx αx αx y = C1e cos βx + C2e sin βx = e (C1 cos βx + C2 sin βx) (21) 7
Ch ơ ng 1 CÁC NH LU T VÀ NGUYÊN LÍ C Ơ B N C A TR ƯNG IN T 1.1. Các i l ng c tr ng cho trng in t 1.1.1. Vector c ng in tr ng • in tr ưng ưc c tr ưng b i l c tác d ng lên in tích t trong in tr ưng r r F = qE (1.1) Hay: r r F (1.2) E = q r • C t E t i m t im b t kì trong in tr ưng là i l ưng vector có tr s bng l c tác d ng lên m t ơn v in tích im d ươ ng t t i im ó • Lc tác d ng gi a 2 t im Q và q r r Qq r0 (1.3) F = 2 4πεε 0 r −12 - ε0 = ,8 854 .10 /F m - h ng s in - ε - in th m t ươ ng i r - r0 - vector ơ n v ch ph ươ ng • H t im q1 q, 2 , , q n r r n r n 1 qi r i0 (1.4) E = ∑Ei = ∑ 2 i=1 4πεε 0 i=1 ri r r i0 - các vector ơ n v ch ph ươ ng • Trong th c t h th ưng là dây m nh, m t ph ng hay kh i hình h c, do ó: r r 1 r (1.5) E l = ∫ρldl 2 4πεε 0 l r 8
r r 1 r (1.6) ES = ∫ρSdS 2 4πεε 0 S r r r 1 r (1.7) E V = ∫ρV dV 2 4πεε 0 V r 1.1.2. Vector in c m • ơn gi n khi tính toán i v i các môi tr ưng khác nhau, ng ưi ta s r dng vector in c m D r r (1.8) D = εε 0 E 1.1.3. Vector t c m • T tr ưng ưc c tr ưng b i tác d ng l c c a t tr ưng lên in tích chuy n ng hay dòng in theo nh lu t Lorentz r r r F = qv× B (1.9) r • T tr ưng do ph n t dòng in Id l t o ra ưc xác nh b i nh lu t th c nghi m BVL r µµ r r (1.10) dB = 0 (Id l × r) 4πr 2 −7 −6 - µ 0 = 4π.10 = ,1 257 .10 H / m - h ng s t - µ - t th m t ươ ng i • T tr ưng c a dây d n có chi u dài l r r r (1.11) µµ 0 Id l × r B = ∫ 2 4π l r 1.1.4. Vector c ng t tr ng • ơn gi n khi tính toán i v i các môi tr ưng khác nhau, ng ưi ta s r dng vector c ưng t tr ưng H 9
r r B (1.12) H = µµ 0 1.2. nh lu t Ohm và nh lu t b o toàn in tích 1.2.1. nh lu t Ohm d ng vi phân • Cưng dòng in I ch y qua m t S t vuông góc v i nó bng l ưng in tích q chuy n qua m t S trong m t ơn v th i gian dq (1.13) I = − dt Du tr ch dòng in I ưc xem là d ươ ng khi q gi m • mô t y s chuy n ng c a các h t mang in trong môi tr ưng d n in, ng ưi ta ưa ra khái ni m m t dòng in r r r r (1.14) J = n 0 ve = ρv = σE dng vi phân c a nh lu t Ohm - n0 - m t h t in có in tích e - ρ - m t in kh i r - v - v n t c d ch chuy n c a các h t in - σ - in d n su t • Dòng in qua m t S ưc tính theo r r r r I = ∫ dI = ∫ dJ S = ∫ σEdS (1.15) S S S • Mt v t d n d ng kh i l p ph ươ ng c nh L, 2 m t i di n n i v i ngu n áp U, ta có L ρ (l u ý: áp d ng c/t S = L 2 và R = ρ = ) S L U (1.16) I = ∫σEdS = σES = (σL)(EL ) = σLU = S R dng thông th ưng c a nh lu t Ohm r r Vì E và dS cùng chi u, t 10
1 (1.17) σ = RL σ - in d n su t có ơn v là 1/ Ωm 1.2.2. nh lu t b o toàn in tích • in tích có th phân b liên t c hay gián on, không t sinh ra và c ng không t m t i, dch chuy n t vùng này sang vùng khác và t o nên dòng in. • Lưng in tích i ra kh i m t kín S bao quanh th tích V b ng l ưng in tích gi m i t th tích V ó. • Gi s trong th tích V ưc bao quanh b i m t S, ta có Q = ∫ρdV (1.18) V sau th i gian dt l ưng in tích trong V gi m i dQ dQ d (1.19) I = − = − ∫ρdV dt dt V Mt khác r r I = ∫ dJ S (1.20) S Suy ra r r ∂ρ (1.21) ∫ dJ S = −∫ dV S V ∂t Theo nh lý OG r r v ∂ρ (1.22) ∫ dJ S = ∫ ()∇ J. dV = −∫ dV S V V ∂t Suy ra v ∂ρ (1.23) ∇ J. + = 0 ∂t ây là dng vi phân c a nh lu t b o toàn in tích hay ph ươ ng trình liên tục. 1.3. Các c tr ng c ơ b n c a môi tr ng 11
• Các c tr ưng c ơ b n c a môi tr ưng: ε, µ, σ • Các ph ươ ng trình: r r (1.24) D = ε0εE r r B (1.25) H = µ0µ gi là các ph ươ ng trình v t ch t • ε, µ, σ ∉ c ưng tr ưng : môi tr ưng tuy n tính • ε, µ, σ ≡ const : môi tr ưng ng nh t và ng h ưng • ε, µ, σ theo các h ưng khác nhau có giá tr không i khác nhau: môi tr ưng không ng h ưng. Khi ó ε, µ bi u di n b ng các tensor có dng nh ư b ng s. Ch ng h n ferrite b t hoá ho c plasma b t hoá là các môi tr ưng không ng h ưng khi truy n sóng in t • ε, µ, σ ∈ v trí : môi tr ưng không ng nh t Trong t nhiên a s các ch t có ε > 1 và là môi tr ưng tuy n tính. Xecnhec có ε >> 1 : môi tr ưng phi tuy n µ > 1 : ch t thu n t : các kim lo i ki m, Al, NO, Ph ươ ng trình, O, N, không khí, ebonic, các nguyên t t hi m µ > 1 : ch t s t t : môi tr ưng phi tuy n : Fe, Ni, Co, Gd, h p kim các nguyên t s t t ho c không s t t Fe-Ni, Fe-Ni-Al. t hoá c a ch t s t t ln h ơn t hoá c a ch t ngh ch t và thu n t hàng tr m tri u l n. • Cn c vào d n in riêng σ: ch t d n in, ch t bán d n và ch t cách in hay in môi Ch t d n in: σ > 10 4 1/ Ωm, σ = ∞ : ch t d n in lý t ưng Ch t bán d n: 10 -10 < σ < 10 4 12
Ch t cách in: σ < 10 -10 , σ = 0 : in môi lý t ưng Không khí là in môi lý t ưng: ε = µ = 1, σ = 0 1.4. nh lí Ostrogradski-Gauss i v i in tr ng • ưc tìm ra b ng th c nghi m, là c ơ s c a các ph ươ ng trình Maxwell r • Thông l ưng c a vector in c m D qua m t S là i l ưng vô h ưng ưc xác nh b i tích phân r r (1.26) ΦE = ∫ DdS S r dS r D r r dΩ q S r dS : vi phân di n tích theo h ưng pháp tuy n ngoài r r r dS.cos( D ,dS) : hình chi u c a S lên ph ươ ng D r • Xét m t m t kín S bao quanh in tích im q, tính thông l ưng c a D do q to ra qua m t kín S, ta có r r r r q.dS.cos d,D S q (1.27) dΦ = DdS = ( ) = dΩ 4πr 2 4π dΩ là vi phân góc kh i t in tích q nhìn toàn b di n tích dS r Thông l ưng c a D qua toàn m t kín S là r r q (1.28) Φ = ∫ DdS = ∫ dΩ = q S 4π Ω • Xét tr ưng h p in tích im q n m ngoài m t kín S. T in tích q nhìn toàn m t S d ưi m t góc kh i nào ó. M t S có th chia thành 2 n a S và S' 13
(có giao tuy n là AB). Pháp tuy n ngoài c a S và S' s có chi u ng ưc nhau. Do ó tích phân trên S và S' có cùng giá tr nh ưng trái d u. Khi ó thông r lưng c a D qua toàn m t kín S b ng 0. r A D r dS B q • Xét h in tích im q 1, q 2, , q n t trong m t kín S, ta có r n r (1.29) D = ∑Di i=1 r Thông l ưng c a D do h q 1, q 2, , q n gây ra qua toàn m t kín S r r n r r n (1.30) Φ = ∫ DdS = ∑∫ Di dS = ∑q i = Q S i=1 S i=1 r Vy: Thông l ưng c a vector in c m D qua m t kín S b t k b ng t ng i s các in tích n m trong th tích V ưc bao quanh b i S Lưu ý: Vì Q là t ng i s các in tích q 1, q 2, , q n, do ó Φ có th âm ho c d ươ ng • Nu trong th tích V ưc bao quanh b i S có m t in khi ρ thì Φ ưc tính theo r r (1.31) Φ E = ∫ DdS = ∫ρdV = Q S V Các công th c (1.30) và (1.31) là d ng toán h c c a nh lí Ostrogradski- Gauss i v i in tr ưng. Nguyên lý liên t c c a t thông • Th c nghi m ã ch ng t ưng s c t là khép kín dù ngu n t o ra nó là dòng in hay nam châm. Tìm bi u th c toán h c bi u di n cho tính ch t này 14
r • Gi s có m t kín S tu ý n m trong t tr ưng v i vector t c m B. Thông r lưng c a B qua m t kín S b ng t ng s các ưng s c t i qua m t S này. Do ưng s c t khép kín nên s ưng s c t i vào th tích V b ng s r ưng s c t i ra kh i th tích V ó. Vì v y thông l ưng c a B ưc tính theo r r (1.32) Φ M = ∫ BdS = 0 S Công th c (1.32) g i là nguyên lý liên t c c a t thông. ây là m t ph ươ ng trình c ơ b n c a tr ưng in t 1.5. Lu n im th nh t - Ph ơ ng trình Maxwell-Faraday Khi t vòng dây kín trong m t t tr ưng bi n thiên thì trong vòng dây này r xh dòng in c m ng. Ch ng t trong vòng dây có m t in tr ưng E có chi u là chi u c a dòng in c m ng ó. Thí nghi m v i các vòng dây làm b ng các ch t khác nhau, trong iu ki n nhi t khác nhau u có k t qu t ươ ng t . Ch ng t vòng dây d n không ph i là nguyên nhân gây ra in tr ưng mà ch là ph ươ ng ti n giúp ch ra s có m t ca in tr ưng ó. in tr ưng này c ng không ph i là in tr ưng t nh vì ưng s c c a in tr ưng t nh là ưng cong h . in tr ưng t nh không làm cho h t in dch chuy n theo ưng cong kín t o thành dòng in ưc (vì hoá ra trong in tr ưng t nh không c n t n công mà v n sinh ra n ng l ưng in !). Mu n cho các h t in dch chuy n theo ưng cong kín t o thành dòng in thì công ph i khác 0, có ngh a là r r ∫ qE ld ≠ 0 (1.33) l và .s c c a in tr ưng này ph i là các .cong kín và g i là in tr ưng xoáy. Phát bi u lu n im I: B t kì m t t tr ưng nào bi n i theo th i gian cng t o ra m t in tr ưng xoáy. 15
Thi t l p ph ươ ng trình Maxwell-Faraday: Theo nh lu t c m ng in t c a Faraday, s c in ng c m ng xh trong m t vòng dây kim lo i kín v tr s b ng t c bi n thiên c a t thông i qua di n tích c a vòng dây dΦ (1.34) e = − c dt Du (-) ph n nh s c in ng c m ng trong vòng dây t o ra dòng in cm ng có chi u sao cho ch ng l i s bi n thiên c a t thông Φ r r Φ = ∫ BdS (1.35) S r là thông l ưng c a vector t c m B qua S ưc bao b i vòng dây. Suy ra r r r r   r   r (1.36) dΦ d  dB   ∂B  ec = − = − ∫ BdS = ∫− dS = ∫− dS dt dt S S  dt  S  ∂t  Ho c bi u di n s c in ng c m ng e c theo l ưu s c a vector c ưng r in tr ưng E r r (1.37) ec = ∫ E ld l Chi u c a vòng dây kín l l y ng ưc chi u kim ng h khi nhìn nó t ng n r ca B r B r dS S r dl Vì vòng dây kín l ng yên nên theo các công th c (1.35), (1.36), (1.37) ta có 16
r r r  ∂B  r (1.38) ∫ E ld = ∫− dS l S  ∂t  ây là ph ươ ng trình Maxwell-Faraday d ưi d ng tích phân, c ng là m t ph ươ ng trình c ơ b n c a tr ưng in t . Vy: L ưu s c a vector c ưng in tr ưng xoáy d c theo m t ưng cong kín b t kì b ng v giá tr tuy t i nh ưng trái d u v i t c bi n thiên theo th i gian c a t thông g i qua di n tích gi i h n b i ưng cong kín ó. Theo gi i tích vector (công th c Green-Stock) r r r r ∫ E ld = ∫(∇× E)dS (1.39) l S Theo các ph ươ ng trình (1.38) và (1.39) r r ∂B (1.40) ∇× E = − ∂t ây là ph ươ ng trình Maxwell-Faraday d ưi d ng vi phân, có th áp d ng i v i t ng im m t trong không gian có t tr ưng bi n thiên. 1.6. Lu n im th hai - Ph ơ ng trình Maxwell-Ampere Theo lu n im I, t tr ưng bi n thiên theo th i gian sinh ra in tr ưng xoáy. V y ng ưc l i in tr ưng bi n thiên có sinh ra t tr ưng không ? m b o tính i x ng trong m i li n h gi a in tr ưng và t tr ưng, Maxwell ư a ra lu n im II: Bt kì m t in tr ưng nào bi n thiên theo th i gian c ng t o ra m t t tr ưng. (ã ch ng minh b ng th c nghi m) Lưu ý: in tr ưng nói chung có th không p.b ng u trong không gian, có ngh a là thay i t im này sang im khác, nh ưng theo lu n im II sự bi ến thiên c ủa điện tr ường theo không gian không t ạo ra t ừ tr ường, ch ỉ có sự bi ến thiên c ủa điện tr ường theo th ời gian m ới t ạo ra t ừ tr ường . Thi t l p ph ươ ng trình Maxwell-Ampere: 17
Theo nguyên lí tác d ng t c a dòng in và nh lu t Biot-Savart-Laplace, Ampere phát bi u nh lu t dòng in toàn ph n: r Lu s c a vector c ng t tr ng H d c theo m t ng cong kín b t kì b ng t ng i s các dòng in i qua di n tích bao b i ng cong này v r n (1.41) ∫ H ld = ∑Ii = I l i=1 r Ii dS r J S r dl Dòng in I i qua di n tích S có th phân b liên t c ho c gián on. r Nu dòng in qua m t S có phân b liên t c v i m t dòng in J thì v r r r ∫ H ld = ∫ dJ S (1.42) l S nh lu t dòng in toàn ph n c ng là m t ph ươ ng trình c ơ b n c a tr ưng in t Khái ni ệm v ề dòng điện d ịch Cn c vào nh lu t c m ng in t c a Faraday và nh lu t dòng in toàn ph n c a Ampere, Maxwell b ng lý thuy t ã ch ra s tác d ng t ươ ng h gi a t và t tr ưng cùng v i vi c ưa ra khái ni m m i v dòng in d ch. Dòng in d ch có m t ưc tính theo công th c r r v r ∂D ∂E ∂P r r (1.43) J = = ε + = J + J d ∂t 0 ∂t ∂t d0 dP Trong ó: 18
v r ∂P J = - m t dòng in p.c c trong in môi do s xê d ch c a các dP ∂t in tích r r ∂E J = ε - in tr ưng bi n thiên trong chân không và g i là m t dòng d0 0 ∂t in d ch ch ng minh s t n t i c a dòng in d ch, xét thí d sau: có m t m t kín S bao quanh 1 trong 2 b n c a t in. Do có in áp xoay chi u t vào t r in nên gi a 2 b n t có in tr ưng bi n thiên E và dòng in bi n thiên ch y qua t . Dòng in này chính là dòng in d ịch trong chân không vì gi a 2 b n t không t n t i in tích chuy n ng và có giá tr : r ∂E (1.44) I = S′ε d0 0 ∂t Theo nh lu t Gauss r r (1.45) q = ∫ ε0EdS = ε0 ES′ S r ∫dS = S′ vì in tr ưng ch t n t i gi a 2 b n t S i v i môi tr ưng chân không, ta có: ε = 1 S +q S' r E ~ -q Dòng in d n ch y trong dây d n n i v i t có giá tr b ng 19
r dq d r r ∂E (1.46) I = = ∫ε0 EdS = S′ε0 dt dt S ∂t Suy ra I = I d0 (1.47) Vy: dòng in d ch ch y gi a 2 b n t b ng dòng in d n ch y m ch ngoài t in. Bng cách b sung dòng in d ch vào v ph i c a ph ươ ng trình (1.42), ta có (b sung c vì v khía c nh t o ra t tr ng dòng in d ch t ơ ng ơ ng dòng in d n) r v r r r ∂D r (1.48) ∫ H ld = ∫ dJ S + ∫ dS l S S ∂t Hay r v r  r ∂D  r (1.49) ∫ H ld = ∫  J + dS l S  ∂t  ây là ph ươ ng trình Maxwell-Ampere d ưi d ng tích phân Theo gi i tích vector (công th c Green-Stock) v r r r ∫ H ld = ∫ (∇ × H)dS (1.50) l S Suy ra r r r ∂D r r (1.51) ∇× H = J + = J + J ∂t d ây là ph ươ ng trình Maxwell-Ampere d ưi d ng vi phân, c ng là m t ph ươ ng trình c ơ b n c a tr ưng in t Nu môi tr ưng có in d n su t σ = 0 ( in môi lí t ưng và chân không) r r thì do J = σE = 0, ta có: r r ∂E r (1.52) ∇ × H = ε = J 0 ∂t d0 20
Vy: dòng in d ch hay in tr ưng bi n thiên theo th i gian c ng t o ra t tr ưng nh ư dòng in d n. 1.7. Tr ng in t và h ph ơ ng trình Maxwell Theo các lu n im c a Maxwell, t tr ưng bi n thiên theo th i gian t o ra in tr ưng xoáy, và ng ưc l i in tr ưng bi n thiên theo th i gian t o ra t tr ưng. V y trong không gian in tr ưng và t tr ưng có th ng th i t n t i và có liên h ch t ch v i nhau in tr ưng và t tr ưng ng th i t n t i trong không gian t o thành m t tr ưng th ng nh t g i là tr ưng in t . Tr ưng in t là m t d ng v t ch t c tr ưng cho s t ươ ng tác gi a các ht mang in. - Ph ơ ng trình Maxwell-Faraday Dng tích phân r r r  ∂B  r (1.53) ∫ E ld = ∫ − dS l S  ∂t  Dng vi phân r r ∂B (1.54) ∇× E = − ∂t Di n t lu n im th nh t c a Maxwell v m i liên h gi a t tr ng bi n thiên và in tr ng xoáy. - Ph ơ ng trình Maxwell-Ampere Dng tích phân r v r  r ∂D  r (1.55) ∫ H ld = ∫ J + dS l S  ∂t  Dng vi phân r r r ∂D (1.56) ∇× H = J + ∂t 21
Di n t lu n im th hai c a Maxwell: in tr ng bi n thiên c ng sinh ra t tr ng nh dòng in d n. - nh lí OG i v i in tr ng Dng tích phân r r ∫ DdS = q (1.57) S r r r Theo gi i tích vector: ∫ DdS = ∫∇ D. dV và q = ∫ρdV , ta có S V V Dng vi phân r ∇ D. = ρ (1.58) Di n t tính không khép kín c a các ng s c in tr ng t nh luôn t các in tích d ơ ng i ra và i vào các in tích âm: tr ng có ngu n - nh lí OG i v i t tr ng Dng tích phân r r ∫ BdS = 0 (1.59) S Dng vi phân r ∇ B. = 0 (1.60) Di n t tính khép kín c a các ng s c t tr ng: tr ng không có ngu n Các ph ươ ng trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) g i là h ph ươ ng trình Maxwell r r ∂B ∇× E = − ∂t r r r ∂D (1.61) ∇× H = J + ∂t r ∇ D. = ρ r ∇ B. = 0 - H ph ơ ng trình Maxwell v i ngu n ngoài 22
Trong lí thuy t anten b c x in t phát ra t ngu n và i vào không gian. Dòng in trong anten là ngu n b c x in t . Ngu n dòng in này c l p vi môi tr ưng và không ch u nh h ưng c a tr ưng do nó t o ra, g i là ngu n ngoài. Các ngu n ngoài có b n ch t in ho c không in. c tr ưng cho r ngu n ngoài c a tr ưng in t ta có khái ni m m t dòng in ngoài JO . .lu t Ohm d ng vi phân: r r r r J + JO = σ(E + E O ) (1.62) Nh n xét: h ph ươ ng trình Maxwell (1.61) ch mô t tr ưng in t t i nh ng im trong không gian không t n t i ngu n ngoài c a tr ưng hay tr ường điện t ừ t ự do . Khi có ngu n ngoài h ph ươ ng trình Maxwell ưc vi t l i r r ∂B ∇× E = − ∂t r r r r ∂D (1.63) ∇ × H = J + J + O ∂t r ∇ D. = ρ r ∇ B. = 0 Trong môi tr ưng ng nh t và ng h ưng có ε, µ và σ, t c là r r môi tr ưng in môi: D = εε 0 E r r môi tr ưng d n in: J = σE r r môi tr ưng t hoá: B = µµ 0 H , ta có r r ∂H ∇ × E = −µµ 0 ∂t r r r r ∂E (1.64) ∇ × H = σE + J + εε O 0 ∂t r ρ ∇ E. = εε 0 r ∇ H. = 0 - Nguyên lí i l n c a h ph ơ ng trình Maxwell 23
• Xét tr ưng h p môi tr ưng ng nh t và ng h ưng, không dòng in r r dn, không in tích t do và ngu n ngoài J = JO = ρ = 0 r r ∂H ∇ × E = −µµ 0 ∂t r r ∂E (1.65) ∇× H = εε 0 ∂t r ∇.E = 0 r ∇ H. = 0 r r Nh n xét: E và H i x ng và có th i l n cho nhau • h ph ươ ng trình Maxwell trong tr ưng h p có ngu n ngoài v n i xng, c n ph i ưa thêm 2 i l ưng hình th c r JM - m t dòng t ngoài ρM - m t t kh i Trong môi tr ưng ng nh t và ng h ưng, không dòng in d n, không in tích t do, v i ngu n in và t ngoài r r r ∂H ∇× E = −J − µµ M 0 ∂t r r r ∂E (1.66) ∇× H = J + εε , JE ≡ J O E 0 ∂t r ρ ∇ E. = εε 0 r ρ ∇ H. = M µµ 0 ng d ng: n u k t qu bài toán cho m t ngu n in (ngu n t ) ã bi t, thì s d ng nguyên lý i l n xác nh k t qu bài toán cho m t ngu n t (ngu n in), mà không c n ph i gi i c hai. - H ph ơ ng trình Maxwell i v i tr ng in t iu hoà 24
Tr ưng in t và ngu n bi n thiên iu hoà v i t n s góc ω nên có th bi u di n d ưi d ng ph c, ta có r r• E = re E r r• (1.67) H = re H r r• J = re J • ρ = re ρ Vi: • • r• r• r• r• r• r• iωt iωt iωt iωt (1.68) ρ = ρm e ; E = E m e ; H = H m e ; J = J m e r• r• r r r iϕx iϕy iϕz Trong ó: E m ≡ E m ()z,y,x = Ei mx e + Ej my e + kE mz e gi là biên ph c r• ca E ; ϕx, ϕy, ϕz là các pha ban u Khi ó r• r• ∇× E m = −iωµµ 0 H m r• r• r• r• (1.69) ∇ × H = σ E m + iωεε 0 E m + J Em • r• ρm ∇ E. m = εε 0 r• ∇.H = 0 1.8. iu ki n biên i v i các vector c a tr ng in t Xét hai môi tr ưng 1 và 2 có m t phân cách S, xét tính liên t c ho c gián on c a các vector c a tr ưng in t và ã xác nh ưc - i v i thành ph n pháp tuy n c a in tr ưng D1n - D 2n = ρS (1.70) ρS mt in m t 25
E1n ε 2 Khi ρS = 0 ta có: D 1n = D 2n hay = E 2n ε1 - i v i thành ph n ti p tuy n c a in tr ưng D1τ ε 2 (1.71) E1τ = E 2τ, = D 2τ ε1 - i v i thành ph n pháp tuy n c a t tr ưng H n1 µ 2 (1.72) B1n = B 2n , = H 2n µ1 - i v i thành ph n ti p tuy n c a t tr ưng H1τ - H 2τ = I S (1.73) IS dòng in m t B1τ µ 2 Khi I S = 0 ta có: H 1τ = H 2τ hay = B2τ µ1 - Tr ưng hp c bi t môi tr ưng 1 là in môi và môi tr ưng 2 là v t d n lí t ưng có σ2 = ∞. Trong v t d n lí t ưng tr ưng in t không t n t i, có ngh a r r là E 2 = H 2 = 0 . r r Thc v y, n u v t d n lí t ưng t n t i tr ưng in t E 2 ;H 2 ≠ 0 thì d ưi tác dng c a tr ưng các in tích t do s phân b l i in tích trên b m t c a nó cho n khi tr ưng ph do chúng t o ra tri t tiêu v i tr ưng ban u và k t qu tr ưng t ng h p trong v t d n lý t ưng b ng 0. Trên b m t S c a v t d n lí tưng có dòng in m t và in tích m t t n t i trong m t l p m ng vô h n. Khi ó ta ưc ρS (1.74) E1n = ε1 E1τ = 0 H1n = 0 H1τ = I S 26
Vy: tr ưng in t trong in môi sát m t v t d n lí t ưng ch có thành r r ph n pháp tuy n c a E và thành ph n ti p tuy n c a H 1.9. N ng l ng tr ng in t - nh lí Umov Poynting - N ng l ưng c a tr ưng in t  εε E 2 µµ H 2   0 0  W = W E + W M = ∫ (ωE + ωM )dV = ∫ + dV V V  2 2  - nh lí Umov Poynting ã ch ng minh ưc r r dW (1.75) ∫ΠdS = − − Pt − PO S dt Trong ó r r r Π = E × H (W/m 2) vector Poynting rr r Ph ươ ng trình = ∫ JEdV = ∫ σE 2dV công su t tiêu hao nhi t do dòng in d n V V r J gây ra trong V r r PO = ∫ J E EdV công su t c a ngu n ngoài trong th tích V V (1.75) g i là nh lí Umov Poynting mô t s cân b ng c a tr ưng in t trong th tích V Phát bi u: T ng các bi n i n ng l ưng tr ưng in t , công su t t n hao nhi t và công su t ngu n ngoài trong th tích V b ng thông l ưng c a vector Poynting qua m t kín S bao th tích V ó. r Vector Poynting Π bi u th s d ch chuy n n ng l ưng c a tr ưng in t . 1.10. nh lí nghi m duy nh t H phươ ng trình Maxwell có nghi m duy nh t khi tr ưng in t tho mãn các iu ki n sau 27
1. Bi t các vector c in tr ưng và t tr ưng t i th i im t 0 = 0 t i b t kì im nào trong vùng không gian kh o sát hay còn g i là iu ki n ban u, tc là r r E 0 = E( 0,z,y,x ) khi t = 0 r r (1.76) H 0 = H( 0,z,y,x ) r r 2. Bi t thành ph n ti p tuy n c a E và thành ph n ti p tuy n c a H t i m t gi i h n S bao mi n không gian kh o sát trong kho ng th i gian 0 < t < ∞ hay còn g i là iu ki n biên E = E τ|S ho c H = H τ|S v i 0 < t < ∞ (1.77) Nh n xét: nh lí nghi m duy nh t có ý ngh a quan tr ng vì b ng cách nào ó ta nh n ưc nghi m c a h ph ươ ng trình Maxwell và n u nó tho mãn các iu ki n trên thì nghi m nh n ưc là duy nh t. 1.11. Nguyên lí t ơ ng h Nguyên lí t ươ ng h ph n nh m i quan h t ươ ng h gi a tr ưng in t và các ngu n t o ra nó t i hai im khác nhau trong không gian. 1. B ổ đề Lorentz Dng vi phân  r• r•   r• r•  r• r• r• r• (1.78) ∇.E1m × H 2m  − ∇.E 2m × H1m  = J E1m E 2m − J E2m E1m −      r• r• r• r•  −  J M1m H 2m − J M2m H1m    Dng tích phân  r• r•   r• r•  (1.79)   ∫E1m × H2m  − E2m × H1m dS = S     r• r• r• r•   r• r• r• r•  = ∫ J E1m E2m − J E2m E1m  −  J M1m H2m − J M2m H1m dV V     V → ∞, ta có 28
 r• r• r• r•   r• r• r• r•  (1.80) ∫ J E1m E 2m − J E2m E1m  −  J M1m H 2m − J M2m H1m dV = 0 V     2. Nguyên lí t ươ ng h ỗ Gi s trong môi tr ưng ng nh t và ng h ưng, ngu n in và t 1 phân b trong V 1, ngu n in và t 2 phân b trong V 2 và 2 th tích này không có mi n chung. Do ó v trái c a ph ươ ng trình (1.80) tích phân trong mi n V → ∞ chia thành 3 mi n V 1, V 2 và mi n còn l i. Tuy nhiên tích phân trong mi n còn li b ng 0 vì mi n này không t n t i ngu n cho nên ph ươ ng trình (1.80) ưc vi t l i r• r• r• r•  r• r• r• r•  (1.81) ∫ J E1m E 2m − J M1m H 2m dV = ∫ J E2m E1m − J M2m H1m dV V1  V2  gi là nguyên lí t ươ ng h c a tr ưng in t và ngu n c a chúng 2 mi n khác nhau. 1.12. Nguyên lí ng d ng in ng Nguyên lí ng d ng in ng hay còn g i là nguyên lí m u hoá xác nh mi quan h gi a tr ưng in t . Các tham s in và hình h c c a h in t và môi tr ưng i v i 2 h in t ng d ng in ng v i nhau. Tham s hoá các i l ưng c a tr ưng in t r r r r r r r r (1.82) H = α1a1 E; = α 2a 2 J; E = α3a 3 J; M = α 4a 4 l; = α5a 5 t; = α 6a 6 r r r r a1 a; 2 a; 3 a; 4 là các vector ơ n v không có th nguyên ch s ph thu c c a cưng tr ưng và ngu n vào các to không gian và th i gian a 5 a; 6 là các ơ n v vô h ưng xác nh to không gian và th i gian Các h s t l αi có th nguyên t ươ ng ng là 2 2 α1 [A/m], α2 [V/m], α3 [A/m ], α4 [V/m ], α5 [m], α6 [s] Thay các i l ưng trong (1.82) vào các ph ươ ng trình Maxwell sau ây r r r r ∂E (1.83) ∇× H = σE + J + εε , JE ≡ J O E 0 ∂t 29
r r r ∂H ∇× E = −J − µµ M 0 ∂t Ta ưc r r r ∂a 2 (1.84) ∇× a1 = c1 + c 2 + c3a 3 ∂a 6 r r r ∂a1 ∇× a 2 = −c4a 4 − c5 ∂a 6 Các h s t l c i không có th nguyên t ươ ng ng v i các bi u th c sau σα 2α 5 εα 2α5 α 3α 5 α 4α 5 µα 1α 5 c1 = ; c 2 = ; c3 = ; c 4 = ; c5 = α1 α 6 α1 α 2 α 2α 6 H ph ươ ng trình (1.84) là d ng không có th nguyên, mô t các h in t khác nhau qua h s c i. Hai h in t có các h s c i t ươ ng ng b ng nhau g i là 2 h ng d ng in ng v i nhau. 1.13. Tr ng t nh in Tr ưng t nh in ưc t o ra b i các in tích ng yên và không bi n i theo th i gian, ta có h ph ươ ng trình Maxwell nh ư sau r ∇× E = 0 r ∇ D. = ρ (1.85) r r D = εε 0 E 1.14. T tr ng c a dòng in không i r ∇× E = 0 r ∇ D. = ρ (1.86) r r D = εε 0 E r r ∇× H = J r ∇.B = 0 (1.87) r r B = µµ 0 H 30
Nh n xét: in tr ưng c a dòng in không i c ng t ươ ng t nh ư in tr ưng t nh và là m t tr ưng th , ch khác nhau là in tr ưng c a dòng in r r không i t n t i ngay c trong v t d n J = σE , còn in tr ưng t nh thì không tn t i bên trong v t d n. 31
Ch ơ ng 2 TÍCH PHÂN CÁC PH ƯƠ NG TRÌNH MAXWELL 2.1. Ph ơ ng trình sóng i v i các vector c ng tr ng Lưu ý: - ε là in th m t i i v i môi tr ưng - µ là t th m t i i v i môi tr ưng t ε’ = εε0 và µ’ = µµ0 - ε’ là in th m tuy t i - µ’ là t th m tuy t i H ph ươ ng trình Maxwell trong môi tr ưng ng nh t và ng h ưng có c ngu n in và t ngoài r r r r ∂E ∇× H = σE + J + εε (1) E 0 ∂t r r r ∂H ∇× E = −J − µµ (2) (2.1) M 0 ∂t r ρ ∇ E. = (3) εε 0 r ρ ∇ H. = M (4) µµ 0 r r Nh n xét: Các ph ươ ng trình (1) và (2) bao g m E , H và các ngu n in và t nên khó gi i. Vì v y c n ưa chúng v d ng ơn gi n h ơn. Ly rot 2 v c a các ph ươ ng trình (1) và (2) r r r r r r 2 ∂ ∇× (∇× H)= ∇(∇ H. )− ∇ H = σ(∇× E)+ ∇× J + εε (∇× E) (1) E 0 ∂t r r r r r 2 ∂ (2.2) ∇× (∇× E)= ∇(∇ E. )− ∇ E = −∇ × J − µµ (∇× H) (2) M 0 ∂t Suy ra 32
r r r r 2 r r 2 ∂ H ∂H 1 ∂JM ∇ H − εε 0µµ 0 2 − µµ 0σ = −∇ × JE + ∇ρM + εε 0 + σJM (1) ∂t ∂t µµ 0 ∂t r r r r 2 r 2 ∂ E ∂E 1 ∂J E ∇ E − εε 0µµ 0 2 − µµ 0σ = ∇ × JM + ∇ρ + µµ 0 (2) ∂t ∂t εε 0 ∂t r Nh n xét: V trái c a các ph ươ ng trình (1) và (2) trong (2.3) ch còn E r ho c H . ây là các ph ươ ng trình vi phân c p 2 có v ph i. R t khó gi i vì v ph i là các hàm r t ph c t p. Th ưng ch gi i trong tr ưng h p không có ngu n và in môi lí t ưng σ = 0, ta có r r ∂ 2H ∇2H − εε µµ = 0 (1) 0 0 ∂t 2 r r ∂ 2E (2.4) ∇2E − εε µµ = 0 (2) 0 0 ∂t 2 2.2. Ph ơ ng trình cho các th in ng Nh n xét: h ph ươ ng trình Maxwell (2.1) là tuy n tính, các ngu n in và t th ưng ưc kích thích riêng r và c l p v i nhau. 2.2.1. i v i ngu n in ơn gi n xét tr ưng trong in môi lí t ưng σ = 0 h ph ươ ng trình Maxwell (2.1) ưc vi t l i r r r ∂E ∇× H = J + εε (1) E 0 ∂t r r ∂H (2.5) ∇× E = −µµ (2) 0 ∂t r ρ ∇ E. = (3) εε 0 r ∇.H = 0 (4) t: r 1 r (2.6) H = (∇× AE ) µµ 0 33
r AE g i là th vector in r 1 r D th y r ng: ∇ H. = ∇.(∇× A E )= 0 µµ 0 ư a (2.6) vào (2) c a h ph ươ ng trình (2.5) ta ưc r  r  (2.7) ∂AE ∇×E +  = 0  ∂t  Suy ra r r ∂A (2.8) E = − E − ∇ϕ ∂t E Lưu ý ∇×∇ϕE = 0 (2.9) ϕE là th vô h ưng in r AE và ϕE ưc g i chung là các th in ng c a ngu n in r r r Nh ư v y: H và E ưc bi u di n qua AE và ϕE theo các công th c (2.6) và (2.8) t ươ ng ng. r Tìm AE và ϕE ? r r T các công th c (2.6) và (2.8) thay H và E vào (1) c a (2.5) ta có r r ∂ 2A  r ∂ϕ  r (2.10) ∇2A − εε µµ E − ∇∇ A. + εε µµ E  = −µµ J E 0 0 ∂t 2  E 0 0 ∂t  0 E r AE và ϕE ưc ch n tu ý. Vì v y ơn gi n ta có th ch n iu ki n ph r ∂ϕ (2.11) ∇ A. + εε µµ E = 0 E 0 0 ∂t (2.11) còn g i là h th c chu n Ph ươ ng trình sóng (2.10) ưc vi t l i r r ∂ 2A r (2.12) ∇2A − εε µµ E = −µµ J E 0 0 ∂t 2 0 E r T công th c (2.8) thay E vào (3) c a (2.5) và áp d ng (2.11) ta có 34
2 2 ∂ ϕE ρ (2.13) ∇ ϕE − εε 0µµ 0 2 = − ∂t εε 0 Các ph ươ ng trình (2.12) và (2.13) g i là các ph ươ ng trình sóng không thu n nh t hay các ph ươ ng trình d’Alambert cho các th in ng c a tr ưng r in t i v i ngu n in. AE và ϕE 2.2.2. i v i ngu n t H ph ươ ng trình Maxwell (2.1) i v i ngu n t trong in môi lí t ưng σ = 0 có d ng r r ∂E ∇× H = εε (1) 0 ∂t r r r ∂H (2.14) ∇× E = −J − µµ (2) M 0 ∂t r ∇.E = 0 (3) r ρ ∇ H. = M (4) µµ 0 Cách làm t ươ ng t nh ư i v i ngu n in ta có r 1 r E = − (∇× AM ) εε 0 r r ∂A (2.15) H = − M − ∇ϕ ∂t M r r ∂ 2A r ∇2A − εε µµ M = −εε J M 0 0 ∂t 2 0 M 2 2 ∂ ϕM ρM (2.16) ∇ ϕM − εε 0µµ 0 2 = − ∂t µµ 0 r ∂ϕ (2.17) ∇ A. + εε µµ M = 0 M 0 0 ∂t r AM và ϕM là các th in ng i v i ngu n t 35
Nu trong môi tr ưng in môi lí t ưng t n t i ng th i c ngu n in và ngu n t thì tr ưng in t t ng h p b ng ch ng ch t tr ưng c a ngu n in và ngu n t , có ngh a là r r r ∂A E 1 E = − − ()∇× AM − ∇ϕE ∂t εε 0 r r r (2.18) 1 ∂AM H = ()∇× AE − − ∇ϕM µµ 0 ∂t r r r r Nh n xét: E và H ưc bi u di n qua AE và ϕE ho c AM và ϕM làm cho h ph ươ ng trình Maxwell ơ n gi n h ơn. ây chính là ưu im c a ph ươ ng pháp dùng các th in ng. 2.2.3. i v i tr ng iu hoà Nu các ngu n c a tr ưng bi n thiên iu hoà theo th i gian v i t n s góc ω thì các ph ươ ng trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) vi t d ưi d ng biên ph c như sau r• r• 2 r• 2 2 ∂ AEm ∇ AEm − k = −µµ J Em ∂t 2 0 • • 2 2 2 ∂ ϕEm ρm ∇ ϕEm − k 2 = − ∂t εε 0 r• r• 2 r• (2.19) 2 2 ∂ AMm ∇ AMm − k = −εε J Mm ∂t 2 0 • • 2 2 2 ∂ ϕMm ρMm ∇ ϕMm − k 2 = − ∂t µµ 0 Trong ó: k = ω εε 0µµ 0 là s sóng trong môi tr ưng (2.19) là các ph ươ ng trình không thu n nh t, còn g i là ph ươ ng trình Hemholtz r r Bi u th c c a E và H có d ng 36
r r• 1  r•  • (2.20)   E = −iωA Em − ∇ × A Mm  − ∇ϕEm εε 0   r• r r• • 1   ∂ A Mm   H = ∇ × A Em  − − ∇ϕMm µµ 0   ∂t Gi a th vector và th vô h ưng có m i quan h sau • 1 r• (2.21) ϕEm = ∇.AEm ωεε 0µµ 0 • 1 r• ϕMm = ∇.AMm ωεε 0µµ 0 Nh n xét: Theo (2.20) và (2.21) cho th y r ng i v i tr ưng in t iu hoà ch c n tìm nghi m c a hai ph ươ ng trình Hemholtz i v i các th vector r• r• AEm và AMm 2.3. Ph ơ ng trình sóng cho các vector Hertz 2.3.1 Vector Hertz in t r r ∂Γ (2.22) A = εε µµ E E 0 0 ∂t r Trong ó: ΓE g i là vector Hertz in Thay (2.22) vào (2.6) ta ưc r 1 r ∂ r (2.23) H = (∇× AE )= εε 0 (∇×ΓE ) µµ 0 ∂t Thay (2.22) vào h th c chu n (2.11) ta ưc ∂ r (2.24) (∇.Γ + ϕ )= 0 ∂t E E Suy ra r ϕE = −∇ .ΓE (2.25) Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta ưc 37
r r r ∂A r ∂ 2Γ (2.26) E = − E − ∇ϕ = ∇()∇.Γ − εε µµ E ∂t E E 0 0 ∂t 2 r r r Nh n xét: E và H ươ c bi u di n qua vector Hertz in ΓE r Tìm ΓE ? Thay (2.22) vào (2.12) ta ưc r r r ∂ 2A ∂  r ∂2Γ  r (2.27) 2 E  2 E  ∇ AE − εε 0µµ 0 2 = εε 0µµ 0 ∇ ΓE − εε 0µµ 0 2  = −µµ 0 JE ∂t ∂t  ∂t  Hay r ∂  r ∂2Γ  1 r (2.28)  2 E  ∇ ΓE − εε 0µµ 0 2  = − JE ∂t  ∂t  εε 0 Ly tích phân 2 v c a (2.28) t 0 n t ta ưc r r 2 t r 2 ∂ ΓE 1 (2.29) ∇ ΓE − εε 0µµ 0 2 = − ∫ JEdt ∂t εε 0 0 t r t r (2.30) PE = ∫ JEdt 0 r PE g i là vector phân c c c a ngu n in Ph ươ ng trình (2.29) ưc vi t l i r r r 2 (2.31) 2 ∂ ΓE PE ∇ ΓE − εε 0µµ 0 2 = − ∂t εε 0 r r Nh ư v y: vector phân c c PE là ngu n t o ra vector Hertz in ΓE . Do ó r ΓE còn g i là th vector phân c c in. 2.3.2 Vector Hertz t Tươ ng t cách làm c a vector Hertz in ho c áp d ng nguyên lí i l n ca h ph ươ ng trình Maxwell ta có r r ∂Γ (2.32) A = εε µµ M M 0 0 ∂t 38
r Trong ó: ΓM g i là vector Hertz t r ϕM = −∇ .ΓM (2.33) r ∂ r (2.34) E = −µµ (∇× Γ ) 0 ∂t M r r r ∂ 2Γ (2.35) H = ∇()∇.Γ − εε µµ M M 0 0 ∂t 2 r r r Nh n xét: E và H ươ c bi u di n qua vector Hertz t ΓM r Tìm ΓM ? r ∂  r ∂ 2Γ  1 r (2.36)  2 M  ∇ ΓM − εε 0µµ 0 2  = − JM ∂t  ∂t  µµ 0 Ly tích phân 2 v c a (2.28) t 0 n t ta ưc r r 2 t r 2 ∂ ΓM 1 (2.37) ∇ ΓM − εε 0µµ 0 2 = − ∫ JMdt ∂t µµ 0 0 t r t r (2.38) PM = ∫ JMdt 0 r PM g i là vector t hoá c a ngu n t (2.37) ưc vi t l i r r r 2 (2.39) 2 ∂ ΓM PM ∇ ΓM − εε 0µµ 0 2 = − ∂t µµ 0 r r r Nh ư v y: vector t hoá PM là ngu n t o ra vector Hertz t ΓM . Do ó ΓM còn g i là th vector t hoá. r r r Nh n xét: E và H ưc bi u di n qua vector Hertz in ΓE ho c vector r Hertz t ΓM ơ n gi n h ơn ph ươ ng pháp dùng các th in ng. 2.3.2 Tr ng lo i in và tr ng lo i t 39
r r Tr ưng h p các vector Hertz in ΓE và vector Hertz t ΓM ch có m t r thành ph n. Trong h to Decac các vector Hertz in ΓE và vector Hertz t r ΓM theo ph ươ ng z là r r (2.40) ΓE = kΓE r r (2.41) ΓM = kΓM r - Tr ưng c a ngu n in ( ng v i vector Hertz in ΓE m t thành ph n) s r r có H theo ph ươ ng z b ng 0 (H z = 0), còn các thành ph n khác c a H nói chung khác 0. Tr ưng in t lo i này g i là tr ưng lo i in d c E hay t ngang TM r - Tr ưng c a ngu n t ( ng v i vector Hertz t ΓM m t thành ph n) s có r r E theo ph ươ ng z b ng 0 (E z = 0), còn các thành ph n khác c a E nói chung khác 0. Tr ưng in t lo i này g i là tr ưng lo i t d c H hay in ngang TE Nh ư v y: trong tr ưng hp t ng quát và iu ki n biên nh t nh, tr ưng in t có th xem nh ư t ng h p c a 2 lo i tr ưng: lo i in và lo i t 2.4. Tìm nghi m c a ph ơ ng trình sóng Nh n xét: áp d ng nguyên lí i l n, vi c tìm nghi m c a các ph ươ ng trình r r d’ Alambert ch c n xác nh E ho c H . Do ó có th s d ng m t hàm vô hưng i di n cho ϕE và ϕM ho c b t c thành ph n nào trong h to r r r r Decac c a ΓE , ΓM , AE và AM , ph ươ ng trình d’ Alambert ưc vi t l i ∂2ψ (2.42) ∇2ψ − εε µµ = −g 0 0 ∂t 2 g - hàm ngu n c a tr ưng phân b trong th tích V Nghi m c a (2.42) b ng t ng nghi m c a ph ươ ng trình sóng thu n nh t không v ph i và nghi m riêng c a ph ươ ng trình sóng thu n nh t có v ph i, t c là tìm nghi m c a ph ươ ng trình sau ∂2ψ (2.43) ∇2ψ − εε µµ = 0 0 0 ∂t 2 40
i v i tr ưng h p ngu n im t g c to . Vì ngu n im có tính i x ng c u nên hàm ψ ch ph thu c r và t. Trong h to c u ta có ∂ 2ψ 2∂ψ 1 ∂ 2 (2.44) ∇2ψ = + = ()rψ ∂r 2 r∂r r r∂r 2 t φ = r ψ ta có ∂2φ ∂2φ (2.45) − εε µµ = 0 ∂r 2 0 0 ∂t 2 Nghi m c a ph ươ ng trình vi phân (2.45) là  r   r  (2.46) φ = f  t −  + f t +  1 v  2  v  Suy ra  r   r  (2.47) f  t −  f  t +  1 v  2  v  ψ = + r r 1 Trong ó: v = là v n t c truy n sóng trong môi tr ưng; f1 và f 2 là εε 0µµ 0 các hàm tu ý  r  f1 t −   v  mô t sóng c u phân kì truy n t ngu n → vô cùng r  r  f2  t +   v  mô t sóng c u h i t truy n t vô cùng → ngu n r iu ki n b c x t i vô cùng: r  ∂E r  (2.48) lim r + ik E = 0 r→∞  ∂t  r  ∂H r  lim r + ik H = 0 r→∞  ∂t  Trong ó: k = ω εε 0µµ 0 là s sóng 41
Nh n xét: vì là ngu n im t t i g c to và không gian là vô h n nên theo iu ki n b c x t i vô cùng ta ch n nghi m c a ph ươ ng trình sóng (2.43) cho ngu n im là hàm f 1 và lo i b hàm f 2 Vy  r  (2.49) f  t −  1 v  ψ = r Nu r → 0 (t i g c to ) thì nghi m (2.49) không tho mãn ph ươ ng trình sóng thu n nh t mà ph i tho mãn ph ươ ng trình sóng d’ Alambert vì th ta ph i ch n d ng c a f 1 sao cho ψ là nghi m c a ph ươ ng trình sóng d’ Alambert và ph i tho mãn tr ưng tr ng thái d ng. tr ng thái d ng, ph ươ ng trình sóng d’ Alambert ưc vi t l i ∇2ψ = −g (2.50) gi là ph ươ ng trình sóng Poisson và có nghi m là 1 g (2.51) ψ = ∫ dV 4π V r Lưu ý : r là kho ng cách t v trí quan sát tr ưng n y u t vi phân gdV. Theo (2.49) và (2.51) ta ch n d ng hàm c a f 1 nh ư sau  r  1  r  (2.52) f  t −  = g t −  1 v  4π  v  Nh ư v y, nghi m c a ph ươ ng trình sóng d’ Alambert là  r  (2.53) g ′ t,r −  1  v  ψ()t,r = ∫ dV 4π V r Nh n xét: tr ưng th i im t t i v trí quan sát b ng giá tr c a ngu n th i im t’ s m h ơn t m t kho ng th i gian là r (2.54) t′ = v 42
Nh ư v y, tr ưng t i v trí quan sát ch m pha so v i ngu n m t kho ng th i gian t’ nên (2.53) g i là th ch m c a tr ưng in t . Tươ ng t nh ư nghi m (2.53) ta có r  r  (2.55) ′ r JE  t,r −  µµ 0  v  AE ()t,r = ∫ dV 4π V r r  r  (2.56) ′ r JM  t,r −  εε 0  v  AM ()t,r = ∫ dV 4π V r i v i tr ưng iu hoà ta có  r  •  r  • iω t−  • • (2.57) g t −  = g e  v  = g e−ikr eiωt = g e−ikr  v  m m  r  r• r• iω t−  r• (2.58)  r   v  −ikr AE  t −  = AEm e = AE ()t e  v   r  r• r• iω t−  r• (2.59)  r   v  −ikr AM t −  = A Mm e = AM ()t e  v  • r• r• Các th ch m ψ, A E , A M ưc tính là • −ikr (2.60) • 1 g()′ t,r e ψ()t,r = ∫ dV 4π V r r• r• −ikr (2.61) µµ 0 J E ()′ t,r e AE ()t,r = ∫ dV 4π V r 43
r• r• −ikr (2.62) εε 0 J M ()′ t,r e AM ()t,r = ∫ dV 4π V r 2.5. Tr ng in t c a lng c c in Lưng c c in là y u t b c x sóng in t , là thành ph n c ơ b n c a anten. Thí d ụ v ề l ưỡng c ực điện, m t on dây d n ng n m nh bên trong có dòng in bi n i do ngu n cung c p bên ngoài ơn gi n ta có gi thi t nh ư sau - t trong in môi lí t ưng: σ = 0; ε, µ = const - l > l, r là kho ng cách r t v trí quan sát tr ưng in t n lưng c c in d ph ơ ng pháp th ch m tính tr ng 2.5.1. Tr ng in t c a yu t lng c c in Ch n h to c u có g c O n m t i tr ng tâm c a lưng c c in, tr c lưng c c in h ưng theo Oz và dòng in cung c p cho lưng c c in có dng r• r • r r• iωt iωt (2.63) I = k Im e = k J m Se Trong ó: S là ti t di n c a lưng c c in Vì dòng in cung c p h ưng theo tr c Oz và t n t i trong th tích V = Sl nên t i v trí quan sát tr ưng M ch có m t thành ph n h ưng theo tr c Oz. Th ch m c a lưng c c in là • • • r• r • r −ikr r −ikr r (2.64) µµ 0 J m e µµ 0 Im e µµ 0 Im l −ikr AEm = k AEm = k ∫ dV = k ∫ dl = k e 4π V r 4π l r 4πr 44
Lưu ý: S d tính ưc tích phân (2.64) là do gi thi t biên và pha c a dòng in cung c p là không i trên toàn lưng c c in và do r >> l nên kho ng cách t b t c im nào trên lưng c c in n v trí xác nh tr ưng u b ng r. Trong h to c u ta có công th c r r r (2.65) k = r0 cos θ − θ0 sin θ r r r0 và θ0 là các vector ơ n v trong h to c u Khi ó (2.64) ưc vi t l i • r• −ikr r r (2.66) µµ 0 Im le AEm = ()r0 cos θ − θ0 sin θ 4πr Cưng t tr ưng c a lưng c c in là • r• r• −ikr r (2.67) 1   Im l  e r      Hm = ∇ × AEm  = ∇ × ()r0 cos θ − θ0 sin θ  µµ 0   4π  r  Suy ra • r• −ikr (2.68) r Im l 1  e Hm = ϕ  + ik sin θ 0 4π  r  r r ϕ0 là vector ơ n v trong h to c u T h ph ươ ng trình Maxwell không ngu n in tích ta có r• r• (2.69) ∇× Hm = iωεε 0 E m Khi ó c ưng in tr ưng c a lưng c c in ưc tính là • r• r• −ikr (2.70) 1   Im l e E m = ∇× Hm  = . iωεε   4πiωεε r 0 0  r  1 ik  r  1 ik   . r2  + cos θ + θ  − k 2 + sin θ  0  r 2 r  0  r 2 r   45
r• r• Nh n xét: Các bi u th c tính E và H trong (2.68) và (2.70) c a b c x e−ikr lưng c c in u có th a s và biên t l ngh ch v i r, có m t ng r pha là m t c u bán kính r. Nh ư v y tr ưng b c x lưng c c in có tính ch t c a sóng c u. V n t c dch chuy n c a m t ng pha g i là v n t c pha v ph Ta có ph ươ ng trình c a m t ng pha là φ = ωt – kr = const (2.72) dφ = ωdt – kdr = 0 Và dr ω (2.73) v = = ph dt k r• Nu nhân các bi u th c c a (2.68) và (2.70) vi e iωt và l y ph n th c c a E r• và H ta có giá tr t c th i c a chúng là I lk  1  (2.74) H = m sin θ cos ()()ωt − kr − sin ωt − kr  ϕ 4πr  kr  2 Imlk  1 1  E r = cos θ 2 2 sin ()ωt − kr − cos ()ωt − kr  2πωεε 0r  k r kr  I lk 2  1  1  m   Eθ = sin θ  2 2 −1sin ()ωt − kr − cos ()ωt − kr 4πωεε 0r  k r  kr  Eϕ = Hr = Hθ = 0 2.5.2. Tr ng vùng g n Khi r > l thì g i là tr ưng vùng g n 2π Do r << λ nên kr = r << 1 và trong (2.74) n u b qua các vô cùng bé λ 1 bc cao so v i và l ch pha kr ta có kr 46
I l (2.75) H = m sin θcos ωt ϕ 4πr 2 Iml E r = 3 cos θsin ωt 2πωεε 0r Iml Eθ = 3 sin θsin ωt 4πωεε 0r π Nh n xét: H ϕ l ch pha so v i E r và E θ m t góc nên vector Poynting 2 r r• trung bình Π tb = re Π = 0, có ngh a là n ng l ưng tr ưng in t c a lưng c c in vùng g n ch y u là c a dao ng xung quanh ngu n, không mang tính r ch t sóng, g i là vùng c m ng . Hình 2.1 trình bày c u trúc ưng s c c a E và r H r r r E E E r r r E E H I 2.5.3. Tr ng vùng xa Khi r >> λ thì thì g i là tr ưng vùng xa 2π Do r >> λ nên kr = r >> 1 và trong (2.74) n u b qua các vô cùng bé λ 1 bc cao so v i ta có kr I lk I l (2.76) H = m sin θsin ()ωt − kr = − m sin θsin ()ωt − kr ϕ 4πr 2λr 2 Imlk Iml µµ 0 Eθ = sin θsin ()ωt − kr = − sin θsin ()ωt − kr 4πωεε 0r 2λr εε 0 Nh n xét: 47
- Tr ưng vùng xa c a lưng c c in ch g m 2 thành ph n H ϕ và E θ ng pha, vuông góc v i nhau và vuông góc v i ph ươ ng truy n sóng r, vector r r• Poynting ph c ch có ph n th c Π tb = re Π ≠ 0, n ng l ưng tr ưng in t b c x vào trong không gian. Vì v y vùng xa g i là vùng b c x - Biên c a H ϕ và E θ t l v i ω, t l ngh ch v i λ. N u có cùng giá tr dòng in I m, cùng kho ng cách và t n s càng cao thì H ϕ và E θ càng l n - Biên c a H ϕ và E θ t l v i sin θ nên tr ưng b c x c a lưng c c in π có tính nh h ưng trong không gian. Chúng t c c i t i m t ph ng và 2 bng 0 theo ph ươ ng c a lưng c c in θ = 0. - Tr ưng b c x có tính nh h ưng, th ưng ưc mô t b ng gi n hưng. Gi n h ưng c a lưng c c in, kí hi u F( θ, ϕ), là hàm ưc xác nh b i bi u th c: E (2.77) F()θ,ϕ = = sin θ E max Z 0 = 0 = θ 0 = E θ ϕ θ = 90 0 E = E max Mt ph ng kinh tuy n Mt ph ng v tuy n 2.5.4. Công su t b c x , tr b c x Công su t b c x c a lưng c c in ưc tính theo công th c r r (2.78) Pbx = ∫ Π tb dS S 48
I r E r dS r H r dθ dϕ Trong ó r r 2 2 3 Iml k 2 (2.79) Π tb = r 2 3 sin θ 32 π r ωεε 0 Vi phân m t c u dS = r 2sin θdθdϕ Suy ra 2 2 3 2π π 2 2 2 2 I m l k 3 I m l k µµ 0 I m (2.80) Pbx = 2 3 ∫ dϕ∫sin θdθ = = R bx 32 π r ωεε 0 0 0 12 π εε 0 2 Trong ó 2 2 (2.81) lk µµ 0 2 µµ 0  1  R bx = =   6π εε 0 3 εε 0  λ  Rbx - tr b c x c a lưng c c in t (2.82) µµ 0 zc = [ Ω] εε 0 zc - tr sóng c a môi tr ưng Trong chân không ho c không khí, ta có ε = µ = 1, do ó µ0 z c0 = = 120 π = 377 Ω ε0 49
 1 2  1 2 R = 80 π2   = 790   Ω bx 0  λ   λ   1 2 P = 395 I2   W bx 0 m  λ  2.6. Tr ng in t c a lng c c t Lưng c c t là y u t b c x sóng in t , là thành ph n c ơ b n c a anten Thí d ụ v ề l ưỡng c ực t ừ, m t on dây d n ng n m nh bên trong có dòng t bi n i do ngu n cung c p bên ngoài. Cách làm t ươ ng t nh ư i v i lưng c c in ho c áp d ng nguyên lí i l n và trong các công th c (2.68) và (2.70) thay r r r r • • H b ng E, thay E b ng H, thay µ b ng - ε và thay Im b ng −IMm • r• −ikr (2.83) r IMm l 1  e E m = −ϕ  + ik sin θ 0 4π  r  r • r• −ikr r (2.84) IMm l e  r  1 ik   1 2 ik   m   H = r2 0  2 + cos θ + θ0  2 − k + sin θ 4πiωµµ 0 r   r r   r r   r r r E E H r r r E E E I Theo (2.83) và (2.84) cho th y tr ưng b c x c a lưng c c t c ng là sóng c u, r r E , H ~ r, ω r r E , H có tính nh h ưng trong không gian 50
Vai trò c a in tr ưng và t tr ưng lưng c c t so v i c a lưng c c in thay th cho nhau. Vì v y c u trúc ưng s c c a chúng là gi ng nhau v i r r E và H i ch cho nhau 2.6.1 Tr ng in t c a vòng dây Nh n xét: trong th c t , ng ưi ta có th t o ra tr ưng in t xung quanh 1 vòng dây nh m nh có dòng in bi n i I m ch y qua t ươ ng t nh ư lưng c c t. Vòng dây d n này g i là anten khung nguyên t . Gi s : - m t ph ng vòng dây n m trùng v i m t ph ng v tuy n c a h to c u - kích th ưc vòng dây r t nh so v i b ưc sóng c a tr ưng in t do nó phát ra • • iωt - dòng in bi n i iu hoà theo th i gian v i t n s góc ω: I = I m e v i biên và pha d c theo ưng dây có giá tr nh ư nhau Theo (2.61) th ch m t i im Q thu c tr ưng in t do vòng dây phát ra r• r• (2.85) µµ 0 J m −ikr AEm = ∫ e dV 4π V r′ r Trong ó: r’ là kho ng cách t im Q n y u t vi phân dl Ta có: r r r r • r (2.86) dV = Sd l , JmdV = JmSd l = Im ld Suy ra • r• −ikr r (2.87) µµ 0 Im e AEm = ∫ ld 4π l r′ Vì dòng in ch y trong dây d n ch theo ph ươ ng v tuy n ϕ nên th ch m r• AEm c a nó c ng ch có 1 thành ph n h ưng theo ph ươ ng v tuy n Thí d : 51
r Xét 2 y u t vi phân dl ca vòng dây t i x ng v i nhau qua m t ph ng P i qua im tính tr ưng Q và vuông góc v i m t ph ng vòng dây (m t ph ng r P g i là m t ph ng kinh tuy n). M i m t y u t vi phân dl l i phân tích thành 2 r r yu t vi phân: dl ′′ // (P) và dl′⊥ (P). Nh n xét: r - th vector do các y u t vi phân dl ′′ t o ra t i Q có cùng giá tr nh ưng hưng ng ưc nhau nên b tri t tiêu r - th vector do các y u t vi phân dl′ t o ra t i Q có cùng giá tr và cùng hưng v i nhau nên t ng g p ôi. Q P θ dl dl’ r R r’ ϕ dl’’ O ϕ a’ O a ϕ a’ dl I dl’ I R dl’’ b r Do ó tích phân trong (2.87) ch c n l y theo y u t vi phân dl′. H ơn n a r do tính i x ng c a dl′ i v i m t ph ng P nên tích phân trên ch c n l y theo na vòng dây và nhân ôi Ta có: dl’ = dl cos ϕ = Rcos ϕ d ϕ (2.88) Trong ó: R là bán kính c a vòng dây Suy ra: • r• r −ikr (2.89) µµ 0 Im R e cos ϕ AEm = ϕ0 ∫ dϕ 2π V r′ 52
r Trong ó: ϕ0 là vector ơ n v h ưng theo ph ươ ng v tuy n, theo hình v trên ta có các h th c sau r′2 = aQ 2 + ab 2 , ab 2 = Oa 2 + R 2 − 2ROa cos ϕ (2.90) Hay r′2 = aQ 2 + Oa 2 + R 2 − 2ROa cos ϕ = r 2 + R 2 − 2Rr sin θcos ϕ (2.91) Trong ó: r là kho ng cách t O n Q Theo gi thi t r’ >> R nên cho R 2 = 0 và t (2.91) ta có 2R r′ = r 2 − 2Rr sin θcos ϕ = r 1− sin θcos ϕ ≈ r − R sin θcos ϕ r Suy ra 1 1 1 1 = = ≈ ′ R r r − R sin θcos ϕ r 1− sin θcos ϕ r 1 R  1 R ≈ 1+ sin θcos ϕ = + sin θcos ϕ r  r  r r 2 Và e−ik r′ ≈ e−ik (r−R sin θcos ϕ) = e−ikr eikR sin θcos ϕ = = e−ikr ()cos ()()kR sin θcos ϕ + isin kR sin θcos ϕ Khi λ >> R thì kR << 1, do ó có th xem cos (kR sin θcos ϕ) ≈1 sin (kR sin θcos ϕ) ≈ kR sin θcos ϕ Suy ra e−ik r′ ≈ e−ikr (1+ ikR sin θcos ϕ) Thay vào tích phân trong (2.89) ta có e−ikr π e−ikr 1  (2.92) ∫ cos ϕdϕ = sin θ + ik  V r′ 2 r  r  Và 53
• r• r −ikr (2.93) µµ 0 Im e 1  2 AEm = ϕ sin θ + ik R 0 r4  r  • r• 2 −ikr r (2.94) Im R e  r  1 ik   1 2 ik   Hm =  r2  + cos θ + θ  − k + sin θ 4 r  0  r 2 r  0  r 2 r   • r• r• 2 2 −ikr (2.95) 1   r Im R k le 1    E m = ∇× Hm  = ϕ0 sin θ + ik  iωεε 0   i4 ωεε 0r  r  D th y r ng tr ưng b c x c a vòng dây d n có tính ch t t ươ ng t nh ư tr ưng b c x c a lưng c c t và s hoàn toàn gi ng nhau n u tho mãn iu ki n sau • • (2.96) IMm l 2 = µµ Im πR iω 0 t • r r• • r (2.97) IMm l PM = q l = Mm iω r• PM g i là moment lưng c c t t r• r • r • 2 (2.98) PMv = S0µµ 0 Im S = S0µµ 0 Im πR r• • PMv g i là moment t c a vòng dây d n có dòng in Im và di n tích S Khi ó tr ưng b c x c a lưng c c t và vòng dây d n là t ươ ng ươ ng nhau r• r• (2.99) PM = PMv T các bi u th c (2.94) và (2.95) ta tính ưc thành ph n tr ưng b c x ca vòng dây vùng xa là 54
I R 2k 2 (2.100) H = − m sin θcos ()ωt − kr θ r4 2 2 ImR k µµ 0 Eϕ = = sin θcos ()ωt − kr r4 εε 0 Công su t b c x và tr b c x c a vòng dây ưc tính là I2 (2.101) P = m R bxv 2 bxv 8  S 2 (2.102) R = π3   z bx 3  λ  c 2.7. Tr ng in t c a y u t di n tích m t Xét tr ưng b c x c a y u t vi phân di n tích mà trên ó có dòng in và t m t ch y vuông góc v i nhau. Gi s y u t vi phân di n tích n m trong m t ph ng xOy có d ng hình ch nh t kích th ưc a, b Dòng in m t h ưng theo tr c x: I ESx bthiên iu hoà theo th i gian Dòng t m t h ưng theo tr c y: I MSy bthiên iu hoà theo th i gian S << λ nên biên và pha c a dòng in và t m t là gi ng nhau trên toàn b y u t vi phân di n tích S, còn g i là nguyên t Huyghens z b y O IMSy a IESx x Áp d ng các nghi m th ch m cho tr ưng b c x c a y u t vi phân di n tích v i dòng in m t I ESx và dòng t m t I MSy ta có 55
• • −ikr (2.103) µµ 0 IESxm e AExm = ∫ dS 4π S r • • −ikr (2.104) εε 0 IMSym e AMym = ∫ dS 4π S r • Vì dòng in m t I ESx h ưng theo tr c x nên AExm cng ch có thành ph n • này, t ươ ng t dòng t m t I MSy h ưng theo tr c y nên AMym c ng ch có thành ph n này Theo gi thi t, biên và pha c a dòng in và t m t là không i trên toàn y u t vi phân di n tích, kho ng cách t im quan sát tr ưng n y u t di n tích l n h ơn r t nhi u so v i kích th ưc c a y u t di n tích, do ó có th ư a các bi u th c trong d u tích phân c a (2.103) và (2.104) ra ngoài • • −ikr (2.105) µµ 0 IS ESxm e AExm = 4πr • • −ikr (2.106) εε 0 IS MSym e AMym = 4πr Trong ó: r là kho ng cách t im quan sát tr ưng n g c to S = ab là di n tích c a y u t m t Các thành ph n c a th vector trong h to c u và h to Decac liên h v i nhau nh ư sau Ar = A x sin θcos ϕ + A y sin θsin ϕ + A z cos θ Aθ = A x cos θcos ϕ + A y cos θsin ϕ + Az sin θ (2.107) Aϕ = −A x sin ϕ + A y cos ϕ • • Do ch có AExm và AMym khác 0, ta có • • AErm = AExm sin θcos ϕ 56
• • (2.108) AEθm = AExm cos θcos ϕ • • AEϕm = − AExm sin ϕ • • AMrm = AMym sin θsin ϕ • • (2.109) AMθm = AMym cos θsin ϕ • • AMϕm = AMym cos ϕ Áp d ng các công th c (2.6) và công th c 1 c a (2.15) cho (2.108) và (2.109), ta ưc r• 1  r•  H = ∇× AEm  µµ 0   r• 1  r•  E = − ∇× A Mm  εε 0   Kh o sát tr ng b c x c a y u t di n tích vùng xa 1 Khi tính tr ưng ta ch quan tâm n s h ng suy gi m , b qua các s r 1n hng b c cao h ơn   . Do ó khi tính rot trong h to c u c a (2.108) và  r  • r • r ∂ Aθm ∂ Aϕm (2.109) ta ch gi l i các thành ph n v i o hàm ϕ và θ ưc gi 0 ∂r 0 ∂r li, còn các s h ng b c cao h ơn ưc b qua và ta có • • ikS IESxm cos θcos ϕ −ikr HEϕm = e 4πr • • (2.110) ikS IESxm sin ϕ −ikr HEθm = − e 4πr • • ikS IMSym cos θsin ϕ −ikr E Mϕm = e 4πr 57
• • ikS IMSym cos ϕ −ikr E Mθm = − e 4πr S d ng các ph ươ ng trình Maxwell th nh t và th hai r• 1  r•  E Em = − ∇× HEm  iωεε 0   r• 1  r•  HMm = − ∇× EMm  iωµµ 0   cho các bi u th c (2.110) ta có • • ik µµ 0 εε 0 IS ESxm sin ϕ −ikr E Eϕm = e 4πr • • (2.111) ik µµ 0 εε 0 IS ESxm cos θcos ϕ −ikr E Mθm = − e 4πr • • ikS IMSym cos ϕ −ikr HMϕm = − e µµ 0 εε 0 4πr • • ikS IMSym cos θsin ϕ −ikr HMθm = − e µµ 0 εε 0 4πr Ly t ng các bi u th c c a (2.110) và (2.111) theo các thành ph n c a E θ và E ϕ ta ưc • • • • µµ 0 εε 0 ikS IESxm sin ϕ −ikr EΣϕm = E Eϕm + E Mϕm = − e ()1+ αcos θ 4πr (2.112) I Trong ó: α = MSym IESxm µµ 0 εε 0 Tươ ng t , theo các thành ph n c a H θ và H ϕ ta ưc • • • • ikS IMSym cos ϕ −ikr  1  HΣϕm = HEϕm + HMϕm = − e 1+ cos θ µµ 0 εε 0 4πr  α  58
• • • • (2.113) ikS IESxm sin ϕ −ikr HΣθm = HEθm + HMθm = − e ()1+ αcos θ 4πr Nh n xét: - Các công th c (2.112) và (2.113) cho th y r ng tr ưng b c x vùng xa ca y u t vi phân di n tích trong m t ph ng kinh tuy n có c tr ưng h ưng dng ưng cong cardioid - Tr ưng b c x c a nguyên t Huyghens c ng t ươ ng t nh ư tr ưng b c x ca lưng c c in và lưng c c t t vuông góc và cùng chung im gi a z C(1+ αcos θ) mt ph ng 59
Ch ơ ng 3 SÓNG IN T PH NG • Sóng ph ng: m t ng pha là m t ph ng • Sóng tr : m t ng pha là m t tr • Sóng c u: m t ng pha là m t c u • Trong th c t , sóng in t ưc t o ra t các ngu n nhân t o u là sóng tr và sóng c u. Sóng ph ng ch là m u lí t ưng c a sóng in t . • Mc tiêu: kh o sát các tính ch t c a sóng in t ph ng lan truy n trong môi tr ưng ng nh t ng h ưng và không ng h ưng, s ph n x và khúc x t i các m t phân cách, s phân c c và các hi u ng khác. Ngu n sóng in t là iu hoà v i ω và r t xa v i im kh o sát. 3.1. Nghi m ph ơ ng trình sóng i v i sóng ph ng 3.1.1. Sóng ph ng ng nh t TEM (transverse electromagnetic wave) r r - N u trong m t ng pha c a sóng in t có biên c a E và H b ng nhau t ươ ng ng t i m i im thì sóng ph ng ưc g i là ng nh t - Ph ươ ng trình Maxwell c a sóng ph ng iu hoà trong môi tr ưng ng r r nh t và ng h ưng v i các biên ph c c a E và H trong h to Decac có dng • • • ∂ Hzm ∂ H ym − = iωε E xm (1) ∂y ∂z P • • • ∂ H xm ∂ Hzm − = iωε E ym (2) ∂z ∂x P • • • ∂ H ym ∂ H xm − = iωε E zm (3) ∂x ∂y P • • • ∂ E zm ∂ E ym − = −iωµµ H xm (4) ∂y ∂z 0 60
• • • ∂ E xm ∂ E zm − = −iωµµ H ym (5) ∂z ∂x 0 • • • ∂ E ym ∂ E xm − = −iωµµ H zm (6) ∂x ∂y 0 y z O l P Trong ó: • Oz ≡ ph ươ ng truy n sóng • mt ph ng ng pha và ng biên c a sóng ph ng chính là m t ph ng P // mt ph ng xOy và có ph ươ ng trình z = l    σ  εP = εε 0 1− i   ωεε 0  r r E và H có giá tr nh ư nhau trên toàn m t ph ng P và ∉ x, y; ch ∈ z, t. Khi ó: ∂E ∂E ∂H ∂H = = = = 0 (3.1) ∂x ∂y ∂x ∂y • • E zm = H zm = 0 (3.2) Vy: sóng ph ng ng nh t lan truy n trong môi tr ưng ng nh t và ng r r hưng không có các thành ph n d c theo ph ươ ng truy n sóng z c a E và H . r r Các E và H n m trong m t ph ng vuông góc v i ph ươ ng truy n sóng. Sóng ph ng ng nh t có tính ch t nh ư v y g i là sóng in t ngang, kí hi u là sóng TEM. 3.1.2. Nghi m ph ơ ng trình sóng T các ph ươ ng trình (1), (2), (4) và (5) ta có: 61
• 2 • ∂ E xm 2 + k E xm = 0 (7) ∂z2 P • 2 • ∂ E ym 2 + k E ym = 0 (8) ∂z2 P • 2 • ∂ H xm 2 + k H xm = 0 (9) ∂z2 P • 2 • ∂ H ym 2 + k H ym = 0 (10) ∂z2 P Trong ó:    σ  k P = ω εPµµ 0 = εε 0 1− i µµ 0 - s sóng ph c  ωεε 0  Nh n xét: - vì các ph ươ ng trình sóng (7), (8), (9) và (10) gi ng nhau nên ch c n tìm nghi m c a m t trong s các ph ươ ng trình sóng này. - ây là các ph ươ ng trình vi phân c p 2 tuy n tính thu n nh t có h s không i, do ó nghi m c a ph ươ ng trình sóng (7), ch ng h n, có d ng là • • • −ik Pz ik Pz E xm = E xmt e + E xmpx e (3.3) y z O l P Trong ó: • −ik Pz - E xmt e bi u th sóng ph ng truy n theo tr c z > 0: sóng t i t i m t ph ng P 62
• ik Pz - E xmpx e bi u th sóng ph ng truy n theo tr c z < 0: sóng ph n x t i m t ph ng P • • - E xmt , E xmpx là các biên ph c c a sóng t i và sóng ph n x t ươ ng ng Tươ ng t ta có nghi m c a các ph ươ ng trình sóng (8), (9) và (10) là • • • −ik Pz ik Pz E ym = E ymt e + E ympx e • • • −ik Pz ik Pz H xm = H xmt e + H xmpx e (3.4) • • • −ik Pz ik Pz H ym = H ymt e + H ympx e Suy ra r• r • r • r • • r • •  −ik P z ik P z   −ik P z ik P z  E m = i E xm + j E ym = iE xmt e + E xmpx e  + jE ymt e + E ympx e      (3.5) r• r • r • r • • r • •  −ik P z ik P z   −ik P z ik P z  H m = i H xm + j H ym = iH xmt e + H xmpx e  + jH ymt e + H ympx e      r• r• tìm m i liên h gi a Em và Hm cho sóng t i và sóng ph n x , b ng cách r r quay h to Decac sao cho tr c x // E , do ó tr c y // H , ta có y r• • Hm Hym • E xm O x r• Em r• r • r • r • r • • E m = i E xm + j E ym = i E xm = i E m vì E ym = 0 (3.6) r• r • r • r • r • • H m = i H xm + j H ym = j H ym = j H m vì H xm = 0 T ph ươ ng trình Maxwell (1), iu ki n (3.6) và các nghi m (3.3), (3.4) ta r• r• có m i liên h gi a Em và Hm cho sóng t i và sóng ph n x nh ư sau 63
• • • • • 1 ∂ H ymt µµ 0 E mt = E xmt = − = H ymt = Z H mt iωε ∂z ε P P P • (3.7) • • • • 1 ∂ H ympx µµ 0 E mpx = E xmpx = − = − H ympx = −ZP H mpx iωε P ∂z εP Trong ó: µµ 0 µµ 0 1 ZP = = = Z (3.8) εP εε 0 ()1− itg δE 1− itg δE r• r• T (3.7) d ng c a Em và Hm cho sóng ph ng TEM ưc vi t l i r•  r• r   r• r     −ik Pz   ik Pz  E m = ZP Hmt × ke − Hmpx × ke       (3.9) r• r• r• −ik Pz ik Pz Hm = Hmt e + Hmpx e Ho c r• r•  r• r r• r  iωt   i()()ωt−k z   i ωt+k z   P   P  E = E m e = ZP H mt × ke − H mpx × ke       (3.10) r• r• r• r• iωt i()()ωt−k P z i ωt +k P z H = H m e = H mt e + H mpx e x l α β γ O z y ơn gi n trong nh ng ph n sau ta ch xét i v i sóng t ới lan truy n trong môi tr ưng r ng vô h n. 64
r• r• Dng c a Em và Hm c a sóng ph ng TEM lan truy n d c theo ph ươ ng z ưc bi u di n trong (3.9) ho c (3.10). T ươ ng t theo ph ươ ng l b t k h p v i Ox, Oy và Oz t o thành các góc α, β và γ. Ta có: r• r• i()ωt−kPl (3.11) H t = Hmt e r• Hmt n m trong m t ph ng vuông góc v i ph ươ ng l. Và r• r• r   i()ωt−k l   P E t = ZP Hmt × l e (3.12)   r l là vector ơ n v c a ph ươ ng truy n sóng l. S sóng ph c k P và tr sóng ph c Z P có th vi t l i k P = β − iα iψ (3.13) ZP = ZP e Trong ó α, β và ψ là các s th c α là h s t n hao c a môi tr ưng β là h s pha c a sóng ψ argument c a tr sóng ph c Khi ó α, β, ZP và ψ bi u di n qua ω, ε, µ và th i gian δE nh ư sau 1 1 α = ω εε µµ − + 1+ tg 2δ (3.14) 0 0 2 2 E 1 1 β = ω εε µµ + 1+ tg 2δ (3.15) 0 0 2 2 E Z ZP = 4 2 (3.16) 1+ tg δE 65
α −1+ 1+ tg 2δ ψ = arctg = arctg E (3.17) β 2 1+ 1+ tg δE Vn t c pha v ph c a sóng ph ng chính là v n t c d ch chuy n m t ng pha ca nó. Khi ó theo (3.10) và (3.13), gi s môi tr ưng không t n hao α = 0, mt ng pha c a sóng t i có d ng φ = ωt − βz = const (3.18) Suy ra dφ = ωdt − βdz = 0 (3.19) Cho nên v n t c pha v ph ưc xác nh b i dz ω 1 1 v v = = = . = ph dt β εε µµ 1 1 1 1 (3.20) 0 0 + 1+ tg 2δ + 1+ tg 2δ 2 2 E 2 2 E Trong ó v là v n t c truy n sóng ph ng trong môi tr ưng r ng vô h n Vector Poynting trung bình c a sóng t i h ưng theo ph ươ ng truy n z ưc tính là 2 r r• r• r• r r 1   1 2 1 E  *  mt Π tb = re Π = re Emt ×H mt  = k ZP H mt = k (3.21) 2   2 2 ZP r• r• Lưu ý: Vì E và H ng pha nên ψ = 0 ⇒ eiψ =1 3.2 Sóng ph ng ng nh t trong các môi tr ng ng nh t và ng h ng 3.2.1. Sóng ph ng ng nh t trong in môi lí t ng • Xét sóng in t ph ng ng nh t truy n d c theo tr c z > 0 (sóng t i) trong in môi lí t ưng ng nh t, ng h ưng và r ng vô h n. 66
• Vì môi tr ưng truy n sóng in t là in môi lí t ưng nên σ = 0,    σ  ε P = εε 0 1− i  = εε 0 , k P = k và Z P = Z. T các bi u th c (3.14) –  ωεε 0  (3.21) ta có α = ,0 ψ = 0 β = k = ω εε 0µµ 0 µµ Z = Z = 0 P εε 0 (3.22) 1 vph = = v εε 0µµ 0 r 2 1 2 1 E Π = Z H = mt tb 2 mt 2 Z r• r• Em và Hm có d ng là r• r• −iβz Hm = Hmt e r• r• r (3.23)   −iβz Em = ZHmt × ke   Ho c r• r• r• iωt i()ωt −βz H = H m e = H mt e r• r• r• r (3.24) iωt   i()ωt −βz E = E m e = ZH mt × ke   Nh n xét: r r • E và H vuông góc v i nhau và cùng vuông góc v i ph ươ ng truy n sóng r r • E và H luôn ng pha và có biên không i d c theo ph ươ ng truy n sóng • Vn t c pha v ph là h ng s b ng v n t c truy n sóng trong môi tr ưng • Môi tr ưng không t n hao n ng l ưng, không tán s c sóng in t , tr sóng Z là m t s th c 67
r E r H 3.2.2. Sóng ph ng ng nh t trong môi tr ng d n in • Trong môi tr ưng d n in σ ≠ 0, s sóng và tr sóng là các i l ưng ph c,    σ  k P = ω ε Pµµ 0 = ω εε 0 1− i µµ 0 = β − iα  ωεε 0  µµ µµ Z = 0 = 0 = Z eiψ P ε   P P  σ  εε 0 1− i   ωεε 0  r• Nh ư ã nói trên ch xét i v i sóng t i, do ó theo (3.10) và (3.13) E và r• H có d ng r• r• r• r• i()ωt −k P z i()()ωt −βz+iαz i ωt −βz −αz H = H mt e = H mt e = H mt e e r• r• r r• r   i()ωt −k z iψ   i()ωt −βz+iαz   P   E = ZP H mt × ke = ZP e H mt × ke =     (3.25)  r• r    i()ωt −βz+ψ −αz = ZP H mt × ke e   68
x E m0 −αz E m = E m0e z y Nu môi tr ưng có in d n su t σ r t l n, ch ng h n nh ư kim lo i, m t cách g n úng xem σ → ∞, do ó th i gian δE >> 1 nên theo các bi u th c (3.14) – (3.21) ta có 2 σ 1+ tg δE ≈ tg δE = ωεε 0 1 1 ωµµ σ α = ω εε µµ − + 1+ tg 2 δ ≈ 0 0 0 2 2 E 2 1 1 ωµµ σ β = ω εε µµ + 1+ tg 2δ ≈ 0 0 0 2 2 E 2 ωµµ (3.26) Z ≈ Z = 0 P σ ω ω 2ω v = = ≈ ph β 1 1 σµµ εε µµ + 1+ tg 2δ 0 0 0 2 2 E α −1+ 1+ tg 2δ π ψ = arctg = arctg E ≈ arctg ()1 = β 2 4 1+ 1+ tg δE r• • góc t n hao α ≠ 0 nên sóng in t b t n hao n ng l ưng, biên c a E r• và H suy gi m theo quy lu t hàm m e -αz d c theo ph ươ ng truy n sóng z. r• r• • E và H l ch pha nhau m t góc ψ = argZ P 69
• vph là hàm s ph thu c t n s ω, có ngh a là ω thay i trong quá trình lan truy n sóng in t ⇒ sóng ph ng trong môi tr ưng d n in b tán sc. Do ó môi tr ưng d n in là môi tr ưng tán s c. 3.3. Hi u ng b m t trong v t d n Nh n xét: ωµµ σ Theo công th c α ≈ 0 nh n th y r ng 2 • Trong v t d n in t t σ r t l n và n u t n s sóng in t ω càng cao thì r r α càng l n. Do ó biên c a E và H suy gi m r t nhanh khi truy n vào bên trong v t d n, có ngh a là sóng in t ch t n t i m t l p r t m ng sát b m t c a v t d n in t t. • Dòng in cao t n ch y trong v t d n c ng ch ch y l p m t ngoài. Ch ng h n f = 1 kHz thì d = 2 mm và f = 100 kHz thì d = 0,2mm. d: l ưng kim thép – Cu làm dây d n dòng in cao t n r r Thép B B ⊕ Cu r r B B c ⊕ c • Hi n t ưng sóng in t ho c dòng in cao t n khi truy n trong v t d n in t t ch t p trung m t l p m ng b m t g i là hi u ng b m t hay hi u ng skin • i l ưng c tr ưng cho hi u ng b m t là th m sâu c a tr ưng hay dày l p skin δ, ó là kho ng cách sóng in t i t b m t vào sâu 70
r r bên trong v t d n mà t i ó bi n c a E và H gi m i e = 2,718 l n so v i giá tr t i b m t. Theo (3.25) và (3.26) ta có E = E e−αz m m0 −αz (3.27) H m = H m0e Trong ó: r r Em0 và H m0 là biên c a E và H t i b m t v t d n (z = 0). Theo nh ngh a th m sâu c a tr ưng ta có E m0 = eαδ = e (3.28) Em Suy ra 1 1 2 δ = = = α ωµµ 0σ ωµµ 0σ (3.29) 2 Nh n xét: • Trong công th c (3.29), σ và µ là các tham s in c a v t d n in. th m sâu c a tr ưng δ t l ngh ch v i c n b c hai c a t n s ω và in dn su t σ c a v t d n. Ch ng h n Ag, Cu, Al có th m sâu c a tr ưng r t bé c δ = 0,5 µm d i sóng vô tuy n f = 10 6 Hz. Do ó các kim lo i này dùng làm màn ch n sóng in t r t t t. • Do có h/ bm nên dòng in cao t n có c ưng phân b không u trong cùng m t ti t di n ngang c a dây d n, do ó tr kháng c ng không u nhau t ươ ng ng. ti n tính toán ng ưi ta ưa ra khái ni m tr kháng m t riêng c a v t d n • Tr kháng m t riêng c a v t d n, kí hi u Z S, là t s in áp c a tr ưng r ơi trên m t ơn v chi u dài theo chi u dòng in và giá tr dòng in ch y qua m t ơn v chi u r ng t vuông góc v i nó 71
Xét v t d n ph ng, r ng vô h n và b dày l n. Ch n h to Decac có tr c z trùng v i ph ươ ng truy n sóng, m t ph ng v t d n trùng v i m t ph ng xOy. r Π r x O E r J y z r Gi s E ≡ Ox. Theo nh lu t Ohm ta có: r r ∞ ∞ −()α+iβ z σE m0 I = ∫ dJ S = ∫ J x dz = ∫ σE m0e dz = (3.30) S 0 0 α + iβ Lưu ý: Tích phân (3.30) ưc l y t 0 → ∞, m t dù b dày v t d n là h u hn nh ưng dòng in cao t n ch ch y trên l p b m t r t m ng nên b dày v t dn có th xem là vô h n. r Cưng in tr ưng E t i b m t v t d n b ng in áp r ơi trên m t ơ n v chi u dài d c theo chi u dòng in nên ta có U E m0 α ωµµ 0 ZS = = = ()1+ i = ()1+ i = R S + iχS I σE m0 σ 2σ  β  α1+ i  (3.31)  α  do α = β Trong ó: ωµµ R = 0 là in tr ưng m t riêng c a v t d n. (3.32) S 2σ 72
RS chính là nguyên nhân làm t n hao sóng in t trong v t d n. N ng lưng sóng in t bi n thành nhi t n ng t nóng v t d n. χS là ph n kháng c a tr kháng m t riêng c a v t d n Z S. Nh n xét: Bi u th c (3.32) cho th y r ng mu n gi m t n hao n ng l ưng sóng in t truy n d c v t d n c n ph i s d ng các kim lo i d n in t t nh ư Au, Ag, Cu 3.4. S phân c c c a sóng ph ng r r Sóng in t có các vector E và H dao ng theo ph ươ ng xác nh g i là r r sóng phân c c. Ng ưc l i n u các vector E và H dao ng theo m i ph ươ ng ng u nhiên g i là sóng không phân c c. Sóng in t ph ng có nhi u d ng phân c c nh ư: phân c c elip, phân c c tròn và phân c c th ng. 3.4.1. Phân c c elip r Trong quá trình truy n sóng n u ng n c a vector E v ch m t hình elip trong không gian g i là sóng phân c c elip. Sóng phân c c elip chính là t ng hp c a 2 sóng thành ph n cùng t n s , cùng ph ươ ng truy n, nh ưng ph ươ ng c a r E vuông góc nhau. Gi s có 2 sóng ph ng nh ư sau: r r E = Ei cos (ωt − βz) r 1 r mx (3.33) E2 = Ej my cos ()ωt − βz + ϕ Sóng t ng h p có d ng 2 2  E   E  E E  1   2  1 2 2   +   − 2cos ϕ = sin ϕ (3.34)  E mx   E my  E mx E my ây là ph ươ ng trình mô t ưng elip trong m t ph ng to (E 1, E 2). Tr c ln c a elip h p v i tr c Ox m t góc ψ ưc tính theo: 2E mx E my tg 2ψ = 2 2 cos ϕ (3.35) E mx − E my 73
Trong ó: E mx > E my r Trong quá trình truy n sóng theo tr c z, ng n c a vector E t ng h p v ch nên m t ưng elip xo n trong không gian 3.4.2. Phân c c tròn Nu 2 sóng thành ph n có biên b ng nhau: E mx = E my = E m và l ch pha π nhau m t góc ϕ = ± . Suy ra sin 2 ϕ =1, cos ϕ = 0 và ph ươ ng trình (3.34) tr 2 thành 2 2 2 E1 + E 2 = E m (3.36) ây là ph ươ ng trình mô t ưng tròn trong m t ph ng to (E 1, E 2). r Trong quá trình truy n sóng theo tr c z, ng n c a vector E t ng h p v ch nên mt ưng tròn xo n trong không gian, g i là sóng phân c c tròn. r Nu nhìn theo chi u truy n sóng vector E t ng h p quay thu n chi u kim ng h , ta có sóng phân c c tròn quay ph i. N u nhìn theo chi u truy n sóng r vector E t ng h p quay ng ưc chi u kim ng h , ta có sóng phân c c tròn r quay trái. Chi u quay c a vector E t ng h p ph thu c vào d u c a góc l ch π pha 2 3.4.3. Phân c c th ng (tuy n tính) r Trong quá trình truy n sóng theo tr c z, vector E luôn h ưng song song theo m t ưng th ng g i là sóng phân c c th ng hay sóng phân c c tuy n tính. tr ưng h p này góc l ch pha c a 2 sóng thành ph n có giá tr ϕ = 0, ±π, ±2π, Suy ra sin ϕ = 0, cos ϕ = ±1 và ph ươ ng trình (3.34) tr thành  2  E1 E 2   +  = 0 (3.37)  E mx E my  Hay 74
E my E 2 = ± E1 (3.38) E mx ây là ph ươ ng trình mô t ưng th ng i qua g c to h p v i tr c Ox mt góc ψ’ ưc tính theo E tg ψ′ = my (3.39) E mx r Nh n xét: Tu thu c vào h ưng c a vector E ng ưi ta còn phân thành 2 tr ưng h p phân c c ngang và phân c c ng. x r Emx E ψ’ O Emy y 3.5. S ph n x và khúc x c a sóng ph ng Mc tiêu ph n này nghiên c u qui lu t c a sóng ph n x và khúc x t i m t ph ng phân cách r ng vô h n gi a 2 môi tr ưng có tham s in khác nhau. ơ n gi n ta ch xét i v i sóng ph ng t i phân c c th ng ngang và ng. 3.5.1. Sóng t i phân c c ngang r Nu vector E c a sóng t i vuông góc v i m t ph ng t i, g i là sóng phân r cc ngang. Trong tr ưng h p này vector E c a sóng t i s song song v i m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng. Tìm qui lu t c a sóng ph n x và khúc x ? Ch n h to Decac có m t xOy ≡ m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng, tr c z trùng v i pháp tuy n c a m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng. Hai môi tr ưng là in môi có các tham s in ε1, µ1, ε2, µ2 t ươ ng ng. Vì sóng t i là sóng ph ng truy n theo ph ươ ng z t, l p v i pháp tuy n z m t góc ϕt nên có th quay tr c to quanh tr c z cho tr c x c a nó ch ph ươ ng r ca vector E c a sóng t i. T i m t ph ng phân cách s có sóng ph n x l i môi 75
tr ưng 1 vi góc ph n x ϕph n x truy n theo h ưng z px , còn sóng khúc x t i m t ph ng phân cách v i góc khúc x ψ i vào môi tr ưng 2 theo ph ươ ng z kx . Theo r h.v nh n th y r ng E c a sóng t i, sóng ph n x và sóng khúc x ch có 1 r thành ph n theo tr c x, còn H c a các sóng trên có 2 thành ph n theo tr c y và z. Áp d ng các bi u th c (3.4) và (3.5) ta có: Sóng t i r• r • −ik 1z t E1 = i E1mx e r• r • r • (3.40)   −ik 1z t H1 =  j H1my + k H1mz e   Sóng ph n x r• r • −ik 1z px E′1 = i E′1mx e r• r • r • (3.41)   −ik 1z px H′1 = − j H′1my + k H′1mz e   Sóng khúc x r• r • −ik 2z kx E 2 = i E 2mx e r• r • r • (3.42)   −ik 2z kx H 2 =  j H 2my + k H 2mz e   Trong ó: k1 = ω ε1ε0µ1µ0 và k 2 = ω ε2ε0µ2µ0 là s sóng c a môi tr ưng 1 và 2 t ươ ng ng. Các ph ươ ng truy n sóng z t, z px và z kx bi u di n qua x, y, z nh ư sau: z t = −ysin ϕt + z cos ϕt z px = −ysin ϕpx − z cos ϕpx (3.43) z kx = −ysin ψ + z cos ψ 76
y r H1 r zt E1 r H 2 ϕt ψ ϕpx z O r zpx zk r E 2 E1′ r H′ 1 r r Vì các môi tr ưng u là in môi nên áp d ng iu ki n biên cho E và H ti m t ph ng phân cách xOy (z = 0) ta có: • • • • • E1τ = E1mx + E′1mx = E 2τ = E 2mx • • • • • (3.44) H1τ = H1my + H′1my = H 2τ = H 2my Thay các bi u th c (3.40) - (3.43) vào (3.44) và cho z = 0 ta có: • • • ik 1y sin ϕt ik 1y sin ϕpx ik 2y sin ψ E1mx e + E′1mx e = E2mx e • • • (3.45) ik 1y sin ϕt ik 1y sin ϕpx ik 2y sin ψ H1my e − H′1my e = H2my e (3.45) luôn tho mãn ∀y ta l i có: • • • E1mx + E′1mx = E2mx • • • (3.46) H1my − H′1my = H2my ik y sin ϕ eik 1y sin ϕt = e 1 px = eik 2y sin ψ T bi u th c cu i c a (3.46) suy ra: ϕt = ϕpx (3.47) k1 sin ϕt = k 2 sin ψ (3.48) Nh n xét: (3.47) mô t nh lu t ph n x sóng in t t i m t ph ng phân cách. (3.48) mô t nh lu t khúc x sóng in t . t 77
(3.49) n1 = ε1ε0 và n 2 = ε2ε0 ln l ưt là chi t su t c a môi tr ưng 1 và 2. Gi s µ1 = µ2 = µ thì nh lu t khúc x c a sóng in t ph ng có d ng gi ng nh ư trong quang h c n1 sin ϕt = n 2 sin ψ (3.50) mô t gi a các biên ph c c a sóng t i, sóng ph n x và sóng khúc x ng ưi ta ưa ra khái ni m h s ph n x và h s khúc x . H s ph n x (reflective modulus) là t s gi a biên ph c c a sóng r ph n x và sóng t i tính cho E , kí hi u R. H s khúc x (refractive modulus) r là t s gi a biên ph c c a sóng khúc x và sóng t i tính cho E , kí hi u T. i v i sóng phân c c ngang ta có: • • E′1m E 2m R ng = • và Tng = • (3.51) E1m E1m Theo hv i v i sóng phân c c ngang ta có: • • • • E1m = E1mx , E′1m = E′1mx • • • • E 2m = E 2mx , H1my = H1m cos ϕt (3.52) • • • • H′1my = H′1m cos ϕt , H 2my = H 2m cos ψ và • • E1m H1m = Z1 • • E′1m H′1m = (3.53) Z1 • • E 2m H2m = Z2 78
µ1µ0 µ2µ0 Trong ó: Z1 = và Z2 = là tr sóng c a môi tr ưng 1 và 2 ε1ε0 ε2ε0 tươ ng ng. Thay các bi u th c (3.52) và (3.53) vào (3.46) r i chia c 2 v c a • chúng cho E1m ta có 1+ R ng = Tng cos ϕt cos ψ (3.54) ()1− R ng = Tng Z1 Z2 Suy ra: Z cos ϕ − Z cos ψ R = 2 t 1 ng Z cos ϕ + Z cos ψ 2 t 1 (3.55) 2Z2 cos ϕt Tng = Z2 cos ϕt + Z1 cos ψ (3.55) g i là công th c Fresnel Góc khúc x ψ có th tính ưc qua góc t i ϕt theo nh lu t khúc x (3.48) nh ư sau: 2  k  ε  1  1 2 cos ψ = 1−  sin ϕt  ≈ 1− sin ϕt (3.56)  k 2  ε2 Nu 2 môi tr ưng là in môi có µ1 = µ2 = µ thì (3.55) ưc vi t l i ε1 2 ε1 cos ϕt − ε 2 1− sin ϕt ε 2 R ng = ε1 2 ε1 cos ϕt + ε2 1− sin ϕt ε 2 (3.57) 2 ε1 cos ϕt Tng = ε1 2 ε1 cos ϕt + ε2 1− sin ϕt ε2 3.5.2. Sóng t i phân c c ng r Nu vector E c a sóng t i n m trong m t ph ng t i, g i là sóng phân c c r ng. Trong tr ưng h p này vector H c a sóng t i s song song v i m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng. Tìm qui lu t c a sóng ph n x và khúc x ? 79
Ch n h to Decac có m t xOy ≡ m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng, tr c z trùng v i pháp tuy n c a m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng và tr c x ch r ph ươ ng c a vector H c a sóng t i. y r H1 zt r E 1 ϕt r ψ r ϕpx O H z zk 2 E1′ r zpx r E 2 H1′ r Theo h.v nh n th y r ng H c a sóng t i, sóng ph n x và sóng khúc x r ch có 1 thành ph n theo tr c x, còn E c a các sóng trên có 2 thành ph n theo tr c y và z. Ti n hành t ươ ng t nh ư i v i sóng phân c c ngang ta có: Z cos ϕ − Z cos ψ R = 1 t 2 Z cos ϕ + Z cos ψ 1 t 2 (3.58) 2Z2 cos ϕt T = Z1 cos ϕt + Z2 cos ψ T và R liên h v i nhau theo công th c: Z1 1+ R = T (3.59) Z2 Nu 2 môi tr ưng là in môi có µ1 = µ2 = µ thì (3.58) ưc vi t l i ε1 2 ε2 cos ϕt − ε1 1− sin ϕt ε2 R = ε1 2 ε2 cos ϕt + ε1 1− sin ϕt ε2 (3.60) 2 ε1 cos ϕt T = ε1 2 ε2 cos ϕt + ε1 1− sin ϕt ε2 80
3.5.3. Sóng t i vuông góc v i m t ph ng phân cách Khi sóng t i vuông góc v i m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng, t c là ϕt = 0, theo nh lu t khúc x ta có cos ψ = 1 và do ó góc khúc x ψ = 0. H s khúc x và h s ph n x trong các bi u th c c a (3.55) và (3.58) có d ng ơn gi n nh ư sau: Z − Z 2Z R = 2 1 , T = 2 ng Z + Z ng Z + Z 2 1 2 1 (3.61) Z1 − Z2 2Z2 R = , T = Z1 + Z2 Z1 + Z2 3.5.4. S ph n x toàn ph n Nu môi tr ưng 1 có chi t su t l n h ơn môi tr ưng 2 n 1 > n 2, theo (3.50) ta có: n1 sin ψ = sin ϕt (3.62) n 2 π có ngh a là ψ > ϕt. Khi ó ta s có góc t i gi i h n 0 ϕ0 thì sóng khúc x không i vào môi tr ưng 2 mà quay π tr l i môi tr ưng 1 ( ng v i ψ > ), g i là hi n t ưng ph n x toàn ph n. Góc 2 ϕ0 g i là góc gi i h n ưc xác nh theo công th c: n 2 ϕ0 = arcsin (3.64) n1 Hi n t ưng ph n x toàn ph n ưc ng d ng truy n ánh sáng trong s i quang. 81
3.5.5. S khúc x toàn ph n Nu sóng t i truy n n m t ph ng phân cách vào môi tr ưng 2 mà không ph n x tr l i môi tr ưng 1 g i là s khúc x toàn ph n. Trong tr ưng h p này h s ph n x b ng 0. Góc t i ng v i hi n t ưng khúc x toàn ph n g i là góc Brewster, kí hi u là ϕb. T (3.55) và (3.58) ta có góc Brewster i v i 2 tr ưng hp phân c c ngang và ng c a sóng t i nh ư sau: ε R = 0 → Z cos ϕ − Z 1− 1 sin 2 ϕ = 0 ng 2 b 1 ε b 2 (3.65) ε1 2 R = 0 → Z1 cos ϕb − Z2 1− sin ϕb = 0 ε2 Nh n xét: - 2 ph ươ ng trình trong (3.65) không th có nghi m ng th i, t c là ch có 1 trong 2 tr ưng h p x y ra hi n t ưng khúc x toàn ph n. LT và TN ã ch ra rng ch có sóng phân c c ng m i có hi n t ưng khúc x toàn ph n và góc Brewster ϕb ưc xác nh nh ư sau: ε1 tg ϕb = (3.66) ε2 - Các k t qu ã nh n ưc i v i sóng ph n x và khúc x t i m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng là in môi c ng úng i v i các môi tr ưng b t kì có in d n su t σ ≠ 0. Khi ó các công th c Fresnel trong (3.55) và (3.58) ch c n thay ε = εP và Z = Z P. 3.6. iu ki n biên g n úng Leontovic Xét sóng ph ng khúc x t i m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng t in môi (môi tr ưng 1) vào môi tr ưng có in d n su t l n σ2 (môi tr ưng 2), ta có: k1 << k P2 hay ε1<< ε2 tg δE2 (3.67) Theo nh lu t khúc x (3.48) ta có: 82
ε1 sin ψ ≈ sin ϕt (3.68) ε2 tg δE2 Nh ư v y: v i m i góc t i ϕt khi tho mãn iu ki n (3.67) thì góc khúc x ψ ≈ 0, có ngh a là sóng khúc x truy n vào môi tr ưng có in d n su t l n theo ph ươ ng pháp tuy n v i m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng không ph thu c vào góc t i ϕt. Nu ch n tr c z trùng v i ph ươ ng pháp tuy n c a m t ph ng phân cách thì r r E và H c a sóng khúc x trong môi tr ưng 2 có d ng: r r H2 = τ0H2τ r r r r r (3.69) E2 = ()()τ0 × k ZP2H2τ = τ0 × k E2τ Trong ó: r - τ0 là vector ơ n v ti p tuy n v i m t ph ng phân cách 2 môi tr ưng r r - H2τ, E 2τ là các thành ph n ti p tuy n c a H và E c a sóng khúc x sát mt ph ng phân cách Theo iu kin biên t ng quát t i m t ph ng phân cách ta có: E = E 1τ 2τ (3.70) H1τ = H2τ Suy ra: E1τ = ZP2H1τ (3.71) r r (3.71) mô t quan h gi a các thành ph n ti p tuy n c a H và E c a sóng in t ph ng truy n t môi tr ưng in môi qua môi tr ưng d n in có in d n su t l n, g i là iu ki n biên g n úng Leontovic . Trong th c t iu ki n biên g n úng Leontovic ưc ng d ng tính t n hao c a sóng in t truy n dc b m t các kim lo i d n in t t. 3.7. Sóng ph ng trong môi tr ng không ng h ng 3.7.1. Môi tr ng không ng h ng 83
Môi tr ưng ng h ưng có các tham s in t ε, µ, σ là các h ng s ; r r r r E // D ; B// H theo các ph ươ ng trình v t ch t: r r r r D = εε 0E , B = µµ 0H (3.72) Trong tn ngoài các môi tr ưng ng h ưng còn có các môi tr ưng không ng h ưng, ó theo các h ưng khác nhau các tham s in t ε, µ có giá tr t khác nhau. ε, µ ưc bi u di n d ưi d ng tensor t th m µ và tensor in t th m ε nh ư sau: µ µ µ  ε ε ε  t  xx xy xz  t  xx xy xz  µ = µyx µyy µyz , ε = εyx εyy εyz  (3.73)     µzx µzy µzz  εzx εzy εzz  Các ph ươ ng trình v t ch t trong môi tr ưng không ng h ưng s là: r tr r t r D = εE , B = µH (3.74) Hay: D x = ε xx E x + ε xy E y + ε xz E z D y = ε yx E x + ε yy E y + ε yz E z Dz = εzx E x + εzy E y + εzz E z (3.75) Bx = µ xx H x + µ xy H y + µxz H z By = µ yx H x + µ yy H y + µ yz H z Bz = µzx H x + µzy H y + µzz H z Nh n xét: r r r r - (3.75) cho th y r ng E # D ; B# H - Trong th c t không t n t i các môi tr ưng mà c ε, µ u là tensor, ch có các môi tr ưng không ng h ưng nh ư sau: t Môi tr ưng có ε, σ là h ng s và t th m là tensor µ , g i là môi tr ưng không ng h ưng t quay. Thí d : ferrite b t hoá b i t tr ưng không i là môi tr ưng t quay i v i sóng in t , ưc ng d ng trong k thu t siêu cao tn làm các tb iu khi n s truy n sóng. 84
t Môi tr ưng có µ, σ là h ng s và in th m là tensor ε , g i là môi tr ưng không ng h ưng in quay. Thí d : ch t khí b ion hoá (plasma) d ưi tác d ng c a t tr ưng không i là môi tr ưng in quay i v i sóng in t . Tng ion c a khí quy n trái t c ng là môi tr ưng in quay i v i sóng in t, khi truy n sóng vô tuy n trong t ng ion c n xét n tính không ng h ưng ca nó. 3.7.2. Tensor t th m và tensor in th m Ferrite chính là h p ch t Fe 3O4 và m t s oxide kim lo i khác nh ư MnO, MgO, NiO v a có tính ch t in môi v a có tính ch t s t t , ε = 5 – 20, σ = r -4 -6 -1 10 – 10 ( Ωm) . Khi không có t tr ưng không i , H0 = 0, ferrite bi u hi n nh ư m t môi tr ưng ng h ưng i v i s truy n sóng in t . Khi có t r tr ưng không i, H0 ≠ 0, ferrite bi u hi n tính ch t c a môi tr ưng không ng hưng t quay i v i s truy n sóng in t . Tensor t th m có d ng nh ư sau: µ − ia 0  t  x  µ =  ia µ x 0  (3.76)    0 0 µ0  Trong ó:  ω ω   M 0  µ x = µ xx = µ yy = µ0 1− 2 2   ω − ωM  µ xy = −µ yx = −ia ωω a = µ 0 0 2 2 (3.77) ω − ωM e ωM = µ0 H 0 m 0 e ω0 = M m 0 Vi: - e là in tích c a electron 85
- m0 là kh i l ưng c a electron - M là l n c a vector t hoá c a ferrite - ω là t n s c a sóng in t - ωM là t n s c ng h ưng t quay - µ0 là h ng s t Khí b ion hoá có m t s l ưng l n các /tích t do g m electron và ion, r gi là môi tr ưng plasma, có σ r t l n. Khi không có t tr ưng không i , H0 = 0, plasma bi u hi n nh ư m t môi tr ưng ng h ưng i v i s truy n sóng in r t. Khi có t tr ưng không i, H0 ≠ 0, plasma bi u hi n tính ch t c a môi tr ưng không ng h ưng in quay i v i s truy n sóng in t . Tensor in th m có d ng nh ư sau: ε − ib 0  t  x  ε =  ib ε x 0  (3.78)    0 0 ε z  Trong ó:  ω2   0  εx = εxx = εyy = ε0 1− 2 2   ω − ωM  εxy = −εyx = −ib ωMω0 b = ε0 2 2 ω − ωM  ω2  (3.79)  0  εz = εzz = ε0 1−   ω2  e ωM = µ0H0 m0 2 2 Ne ω0 = ε0m0 Vi: - ωM là t n s c ng h ưng t quay - e là in tích c a electron 86
- m0 là kh i l ưng c a electron - N là s electron trong 1 ơn v th tích - ε0 là h ng s in - µ0 là h ng s t - ω là t n s c a sóng in t 3.7.3. Sóng ph ng trong ferrite b t hoá Xét sóng ph ng iu hoà truy n d c theo ph ươ ng c a vector t tr ưng không i t hoá v t li u ferrite r ng vô h n. Ch n tr c z trùng v i ph ươ ng r truy n sóng và vector H0 , s d ng tensor t th m (3.76) và iu ki n ngang ca sóng ph ng TEM (3.1) cho các ph ươ ng trình Maxwell ta có: • • ∂ H y = −iωε Ex ∂z • • ∂ Hx = iωε Ey ∂z • Hz = 0 • (3.80) • • ∂ E y   = iωµ Hx − ia Hy  ∂z  x  • • • ∂ Ex   = −iωµ Hy + ia Hx  ∂z  x  • Ez = 0 Nghi m c a (3.80) có d ng: r• r • r •   −ikz E =  i Emx + jEmy e   (3.81) r• r • r •   −ikz H =  i Hmx + jHmy e   Thay (3.81) vào (3.80) ta có: 2 2 2 k − ω εµ x = ±ω εa (3.82) Suy ra: 87
k + = ω ε(µ + a) x (3.83) − k = ω ε()µx − a Khi ó v n t c pha và tr sóng ưc tính theo công th c: + ω 1 vph = + = k ε()µ x + a ω 1 v− = = ph k − ε()µ − a x (3.84) µ + a Z+ = x P ε µ − a Z− = x P ε r r Các thành ph n c a H và E c a sóng ph ng trong ferrite b t hoá: • + • + H y = iHx • + • + + (3.85) Ex = ZP H y • + • + + E y = −ZP Hx Và • − • − H y = −iHx • − • − − (3.86) Ex = ZP H y • − • − − E y = −ZP Hx Hay d ưi d ng vector: + r• • + r r i()ωt−k+z H = Hm ()i + ji e r• +  r• + r  E Z+ H k (3.87) = P  ×    • + • + Hm = Hmx Và 88
− r• • − r r i()ωt−k−z H = Hm ()i − eji r• −  r• − r  E Z− H k (3.88) = P  ×    • − • − Hm = Hmx Nh n xét: - (3.85) và (3.87) mô t sóng phân c c tròn quay ph i - (3.86) và (3.88) mô t sóng phân c c tròn quay trái Nh ư v y: khi sóng ph ng truy n trong môi tr ưng ferrite b t hoá b i t tr ưng không i, môi tr ưng này th hi n các tham s in t khác nhau i vi sóng phân c c tròn quay ph i và quay trái ng v i các s sóng k + và k -; v n + - + - tc pha v ph , v ph và tr sóng Z P , Z P khác nhau. Do ó t th m c a môi tr ưng ferrite b t hoá có giá tr khác nhau i v i sóng phân c c tròn quay ph i và quay trái nh ư sau: µ+ =µ +a x − (3.89) µ =µx −a Nh n xét: khi sóng phân c c th ng truy n trong môi tr ưng ferrite b t hoá r r dc theo t tr ưng không i H0 h ưng theo tr c z thì vector H c a sóng in t s quay i m t góc θ. Hi n t ưng quay m t ph ng phân c c c a sóng phân cc th ng truy n trong môi tr ưng ferrite b t hoá g i là h/ ng Faraday. Góc r quay m t ph ng phân c c c a H trong 1 ơ n v chi u dài trong ferrite g i là hng s Faraday, kí hi u là θ’ và ưc tính theo công th c: k + − k − ω ε θ′ = = ()µx + a − µx − a (3.90) 2 2 89
Ch ơ ng 4 NHI U X SÓNG IN T 4.1. Khái ni m • Nu trong môi tr ưng ng nh t và ng h ưng có m t hay m t nhóm v t th mà các kích th ưc c a chúng c b ưc sóng c a sóng in t thì t i ó có th x y ra hi n t ưng sóng ph n x l i môi tr ưng, sóng khúc x truy n vào các v t th và s i vòng c a sóng t i qua các v t th làm cho c u trúc c a tr ưng sóng t i thay i. Hi n t ưng trên g i là s nhi u x sóng in t t i các v trí b t ng nh t c a môi tr ưng. Các v t th này g i là vt ch ưng ng i, sóng t i g i là sóng s ơ c p, sóng ph n x g i là sóng th cp. Tr ưng in t nhi u x toàn ph n là tr ưng t ng h p c a các sóng sơ c p, sóng th c p và sóng khúc x • Mc tiêu: xác nh tr ưng th c p ho c tr ưng toàn ph n t i m t im b t kì trong không gian môi tr ưng ng nh t và ng h ưng t i th i im t bt kì khi ã bi t các tham s in và d ng hình h c c a v t ch ưng ng i, và c u trúc c a tr ưng sóng s ơ c p. • Vì v t ch ưng ng i có d ng hh c r t ph c t p và nh ng v trí khác nhau so v i ngu n s ơ c p, do ó bài toán nhi u x sóng in t ch có th gi i gn úng. Trong th c t ng ưi ta th ưng dùng các i l ưng v t lí nh ư ti t di n ph n x t ươ ng ươ ng, ti t di n h p th toàn ph n c tr ưng cho s nhi u x sóng in t . • Vi c gi i chính xác bài toán nhi u x sóng in t ch có th th c hi n i vi v t ch ưng ng i có d ng hh c ơn gi n nh ư htr tròn nh dài vô h n, hc u t r t xa ngu n sóng s ơ c p, có ngh a là c u trúc c a ngu n và tr ưng sóng s ơ c p không ph thu c vào v t ch ưng ng i. 4.2. Nhi u x c a sóng ph ng trên v t d n tr tròn dài vô h n 4.2.1. Bài toán 90
- Gi s có m t v t d n in t t d ng tr tròn bán kính a dài vô h n t trong kk và có sóng ph ng iu hoà truy n t i vuông góc v i tr c c a vt d n. Xác nh tr ưng th c p ph n x t vt d n. - Ch n h to tr có tr c z trùng v i trc c a vt d n và sóng ph ng iu hoà truy n d c theo tr c Ox và vuông góc v i tr c c a vt d n. Khi ó s phân r r cc c a sóng t i có th x y ra 2 tr ưng h p: E t // Oz và E t ⊥ Oz. N u sóng t i là r sóng phân c c th ng b t kì c a E t thì nó ưc xem nh ư là t ng h p c a 2 tr ưng hp trên. Do ó vi c gi i bài toán nhi u x sóng in t ph ng ch c n xét i vi d ng sóng ph ng phân c c ã nêu. z r r E H t t r E r r t r Π t Π t x H t r r E t // Oz E t ⊥ Oz 2a - Vì sóng t i vuông góc v i z nên i v i tr ưng sóng ph n x ta có: ∂ (),E H = 0 và các ph ươ ng trình Maxwell có d ng: ∂z • • ∂ E mz = −iωµµ r H mr ∂ϕ 0 • • ∂ E mz = iωµµ H mϕ (4.1) ∂r 0 •  •  • 1 ∂   ∂ H mr  r H mϕ  − = iωεε E mz r  ∂r   ∂ϕ  0   91
và: • • ∂ Hmz = iωεε r Emr ∂ϕ 0 • • ∂ Hmz = −iωεε Emϕ (4.2) ∂r 0 •  •  • 1 ∂   ∂ Emr  r Emϕ  − = −iωεε µµ Hmz r  ∂r   ∂ϕ  0 0   Nh n xét: • • • • - H ph ươ ng trình (4.1) ch g m các thành ph n E mz , H mr , H mϕ và E mr = 0 (ph ươ ng truy n sóng th c p). ây g i là tr ưng th c p in ngang hay t d c, • kí hi u là TE ho c H, ng v i tr ưng h p sóng t i phân c c E mt // Oz. • • • • - H ph ươ ng trình (4.2) ch g m các thành ph n H mz , E mr , E mϕ và H mr = 0 (ph ươ ng truy n sóng th c p). ây g i là tr ưng th c p t ngang hay in d c, • kí hi u là TH ho c E, ng v i tr ưng h p sóng t i phân c c E mt ⊥ Oz. - Hai h ph ươ ng trình (4.1) và (4.2) có d ng t ươ ng t nhau nên ch c n xét mt trong 2 h ph ươ ng trình trên là ưc, c th là h ph ươ ng trình (4.1). Vì v t dn in t t có σ r t l n nên tr ưng sóng khúc x h u như không t n t i trong • vt d n. ơn gi n, xem v t d n có σ → ∞. i v i sóng t i phân c c có E mt // Oz thì iu ki n biên c a ph ươ ng trình (4.1) nh ư sau: • • E zt + E z = 0 (4.3) ti: r = a ; 0 ≤ ϕ ≤ 2 π ; -∞ < z < ∞ - Sóng ph n x t b m t v t d n truy n ra xa vô h n theo ph ươ ng r ph i có c tr ưng sóng t i vô cùng, có ngh a là ph i tho mãn iu ki n b c x t i vô cùng: 92
r  ∂E r  lim  + ik E = 0 r→∞  ∂r  r (4.4)  ∂H r  lim  + ik H = 0 r→∞  ∂r  Vy: bài toán nhi u x sóng ph ng trên v t d n tr tròn dài vô h n qui v vi c xác nh nghi m c a ph ươ ng trình (4.1) và các iu ki n (4.3) và (4.4). 4.2.2. Tr ng th c p tìm nghi m c a ph ươ ng trình (4.1) v i các iu ki n (4.3) và (4.4), ta • • chuy n (4.1) sang d ng ph ươ ng trình sóng. t các giá tr c a Hmr , Hmϕ t 2 ph ươ ng trình u vào ph ươ ng trình cu i c a h (4.1) ta có: • • • 2 2 • ∂ E mz 1 ∂ E mz 1 ∂ E mz 2 + + + k E mz = 0 (4.5) ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ2 Nghi m c a (4.5) có d ng: • • ∞ m J m (ka ) ()2 im ϕ mz mzt E = − E ∑ ()− i ()2 H m ()kr e m=−∞ H m ()ka • • ∞ E mzt m mJ m ()ka ()2 im ϕ mr H = ∑ ()− i ()2 H m ()kr e (4.6) µµ 0ωr m=−∞ H m ()ka • • ∞ ()2 E mzt m J m ()ka ∂H m ()kr im ϕ mϕ H = − ∑ ()− i ()2 e µµ 0ωr m=−∞ H m ()ka ∂r Trong ó: Jm(kr) là hàm Bessel c p m (2) Hm (kr ) là hàm Hanken c p m lo i 2 4.2.3. Gi n h ng Tr ưng th c p ph n x t v t d n tr tròn dài vô h n có th bi u di n tr c quan b ng gi n h ưng nh ư sau: 93
- Tìm c ưng tr ưng th c p vùng xa tho mãn kr >> 1. Áp d ng d ng ti m c n c a hàm Hanken c p m lo i 2 khi kr → ∞ và b qua s h ng nh b c 1 1 cao so v i c a (4.6) ta có: r 2/3 r 2/1  π  • • −i kr −  ∞ 2  4  J m (ka ) im ϕ mz mzt E ≈ − E e ∑ ()2 e πkr m=−∞ H m ()ka •  π  • −i kr −  ∞ E mzt 2  4  J m ()ka im ϕ mϕ H ≈ e ∑ ()2 e (4.7) µµ 0 πkr m=−∞ H m ()ka εε 0 • H mr ≈ 0 Nh n xét: - Tr ưng th c p ph n x t v t d n tr tròn dài vô h n ch có 2 thành ph n • • E mz , H mϕ vuông góc v i nhau và vuông góc v i ph ươ ng truy n sóng r. - Theo (4.7) gi n h ưng c a tr ưng th c p ph n x t v t d n tr tròn dài vô h n nh ư hv (xem tài li u KKL, trang 97, hình 4.2) v i các tham s ka khác nhau. - T gi n h ưng nh n th y r ng khi ka ≈ 1, a > 1, a >> λ thì tr ưng th c p b t u xh các c c i phía i di n v i ngu n sóng t i và làm méo tr ưng sóng t i phía này m nh hơn. Khi ka → ∞, a → ∞ thì tr ưng th c p có c c i quay v phía sóng t i và có m t vùng t i phía i di n, c ưng tr ưng vùng này b ng 0. ánh giá tính ch t c a tr ưng b c x th c p khi tr ưng s ơ c p truy n qua v t ch ưng ng i, ng ưi ta ưa ra i l ưng di n tích ph n x t ươ ng ươ ng. i v i v t d n tr tròn dài vô h n thì di n tích ph n x t ươ ng ươ ng tính theo 1 ơ n v chi u dài c a htr là σ0 ưc xác nh theo công th c: Pbx = σ0Π tbt (4.8) Trong ó: 94