›
›

Giáo trình Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương 3: Thanh chịu kéo-Nén đúng tâm

pdf 47 trang huongle 2690
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương 3: Thanh chịu kéo-Nén đúng tâm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_phuong_phap_so_trong_tinh_toan_ket_cau_chuong_3_t.pdf

Nội dung text: Giáo trình Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương 3: Thanh chịu kéo-Nén đúng tâm

  1. Chương 3: Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm 1 Giới Thiệu 2 Khái Niệm 3 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang 5 Biến Dạng 6 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng 7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu 8 Ứng Suất Cho Phép-Hệ Số An Tồn 9 Tính Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm 10 Bài Tốn Siêu Tĩnh
  2. 1 Giới Thiệu
  3. 2 Khái Niệm z * Thanh chỉ chịu tác dụng của lực tập trung hay lực P phân bố cĩ phương trùng với trục thanh y M z M x Nz z x Qx M y x Q q y y z N P z x y * Một thanh chịu kéo-nén đúng tâm khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại duy nhất một thành phần nội lực: Nz
  4. 3 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang * Tồn tại duy nhất một thành phần nội z P lực: lực dọc Nz x Nz y * Qui ước dấu của nội lực: lực dọc dương khi hướng ra mặt cắt (kéo) * Biểu đồ nội lực: 3P C 3qa l l a P P qa B 6qa 4qa q 3a d A 9qa N z
  5. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang 4.1 Giả thiết về biến dạng của thanh: - Giả thiết mặt cắt ngang phẳng x => Biến dạng dài như nhau trên các lớp dọc: e =const L y z => Bỏ qua ứng suất tiếp trên q các mặt. L ∆L s x dF z F Nz z - Giả thiết về các thớ dọc y => : Trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại ứng suất pháp dọc trục  z - Giả thiết về vật liệu: vật liệu liên tục, đồng nhất, đẳng hướng
  6. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang  z 4.2 Biểu thức tính ứng suất:  z E z + Theo định luật Hooke: E  z  z Vì trên toàn mặt cắt  z  z const Nên  const trên toàn mặt cắt z s x z + Quan hệ giữa ứng suất và nội lực: N dF dF F z  z  z  z z F F y N - F: diện tích mặt cắt ngang z  z F - N : l c d c t i m t c t m tính ng su t z ự ọ ạ ặ ắ cóđđiể ứ ấ
  7. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang * Biểu thức tính ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo- nén đúng tâm: N - F: di n tích m t c t ngang z ệ ặ ắ  z - N : l c d c t i m t c t có m tính ng su t F z ự ọ ạ ặ ắ điể ứ ấ * Ví dụ: tính ứng suất tại một mặt cắt: - Ứng suất phát sinh trên mặt cắt tại B thuộc đoạn BC: P (1) 2qa C qa z 2 d d l l a P P qa 4 B 4qa - Ứng suất phát sinh trên mặt cắt tại 2qa B thuộc đoạn AB: (2) 4qa q z 2 3a 2d 2d 4 - Ứng suất phát sinh trên mặt cắt tại A C: 7qa N (3) 7qa z  z 2d 2 4
  8. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang ; ; a * Ví dụ: tính ứng suất phát sinh trong các thanh của hệ dàn ; - Tách nút tại A: B XNN cos300 cos60 0 0 EF N P AB AC P AB 300 0 0 0 30 A YNNP ABsin30 AC sin60 0 A 0 600 60 1 3 NPAB NPAC EF2 N AC 2 2 C - Ứng suất phát sinh trong thanh AB a a P (AB) NAB 2 75 2  z 10,714kN /cm KN FAB FAB 7 12 4 2   cm 2 E 2.10 kN / cm - Ứng suất phát sinh trong thanh AC P 150KN a 2m 3P 3.150 F 7cm 2 (AC )N AC 2 2 2  z 9,279kN / cm FFAC AC 2.7
  9. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang * Hiện tượng tập trung ứng suất
  10. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang * Hệ số tập trung ứng suất
  11. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang * Hệ số tập trung ứng suất
  12. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang * Hệ số tập trung ứng suất
  13. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang * Hệ số tập trung ứng suất
  14. 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang * Hệ số tập trung ứng suất
  15. 5 Biến Dạng sz sz 1đv * Biến dạng dài dọc trục: ez  N - Biến dạng dài dọc trục của một đơn vị chiều dài:  z z z E EF - Biến dạng dài dọc trục củavi phân chiều dài dz:  z dz N - Biến dạng dài dọc trục của cả chiều dài L: L  dz z dz z L L EF + Nz: lực dọc trên mặt cắt ngang + F: diện tích mặt cắt ngang + E: Mơđun đàn hồi của vật liệu - Các trường hợp đặc biệt: N z const Trên chiều dài L: EF N L L z EF
  16. 5 Biến Dạng P C P P a P B N 3P z const Trên từng đoạn chiều dài L : EF i 3a N L z L  EF i i A Nz 3P 3qa C P P qa a B 4qa EF const 6qa Trên từng đoạn chiều dài Li: q 3a S Nzi L  E F A i i i 9qa Nz
  17. 5 Biến Dạng n Biến dạng dài dọc trục của cả chiều dài L: N S N * L  dz z dz z z EF  EF L L i 1 i * Ví dụ: Tính biến dạng dài dọc trục của cột AC: P C qa d l l a P P qa B 4qa 2qa q 3a 2d A 7qa N z 2 2 SN 0,5 qa 2qa a 0,5 4qa 7qa 3a 22,5qa L z AC  2 2 2 i 1 EF d 2d E d i E E 4 4
  18. 5 Biến Dạng ; n ; N S a * Biến dạng dài dọc trục của cả chiều dài L: L  dz z dz N z ; z EF  EF L L i 1 i * Ví dụ: Tính biến dạng dài dọc trục của hai thanh AB,AC: B 1 3 NP NP EF P AB 2 AC 2 300 * Biến dạng dài dọc trục của thanh AB: 0 A 1 4a 60 P. N L2 2 Pa 2.150.200 EF2 L B AB 3 0,275 cm AB EF EF 3EF 3.2.104 .6,3 C a a * Biến dạng dài dọc trục của thanh AC: KN 12 4 2   cm 2 E 2.10 kN / cm 3 P 150KN a 2m P.2 a NL 3Pa 3.150.200 L C AC 2 0, 206 cm F 7cm 2 AC E.2FEF .2 2EF 2.2.104 .6,3
  19. 5 Biến Dạng * Biến dạng ngang: e’ '  z s s   z  E 1đv e m hệ số Poisson. 0  0,5 Vật liệu m Vật liệu m Thép 0,25 - 0,3 Đá 0,2 - 0,34 Gang 0,23 - 0,27 Bê tông 0,16 - 0,18 Đồng 0,31 - 0,34 Cao su 0,47 Nhôm 0,32 - 0,36 Đất sét 0,2 - 0,4 Thuỷ tinh 0,25
  20. 6 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng * Biết ứng suất trên mặt cắt ngang, tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng: 1 1 u  u   Z Z Z u uv 1 v 1     U 0  u Fu  z Fz .cos 0 u uv z z  z V 0  F  F .sin 0   z  uv u z z u z 2 2 Ta lại có:  0 Fz Fu .cos z 45  z 2 2 0,5 z  z  2 z  cos uv 2 2 u Z  z  z  Z uv sin 2 2 900 0 0 0 45 0 45 90  z   z z 2 2 2  max  z 450  z  max 0,5 z min 2  z   z 2 z 2 2
  21. 6 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng u uv  z  z 2  z u  Z cos   z z u 2 2  Z  sin 2  0 uv z 45  z 2 2 2 0,5 z  z  z 2 uv 2  z  z 900 0 0 0 45 0 45 90  z   z z 2 2 2 450 0,5 z  z   z 2 z 2 2
  22. 7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu * Kéo-nén vật liệu dẽo: d0 h0 L0 d0 b0 h0 L0  PF/ P z 0 P D D b E b E P B  B ch C ch C Ptl A tl A O O l  z l/ L P P P P  tl P  ch P  b tl tl F ch ch F b b 0 0 F0
  23. 7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu * Kéo-nén vật liệu dịn: P P n Pb D k D Pb O l O l n k n n Pb k k Pb Pb  b Pb  b F0 F0
  24. 8 Ứng Suất Cho Phép-Hệ Số An Tồn * Ứng suất cho phép:    0 n +  0 ứng suất nguy hiểm + n hệ số an tồn k n b  b * Vật liệu dịn: 0  b  ;    kn n n  * Vật liệu dẻo:  ()     ch 0ch 0 tl n
  25. 9 Tính Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm * Điều kiện bền: N + Vật liệu dẻo:  z  z max   F max   max  k + Vật liệu dịn:   min  n * Điều kiện cứng: LL  
  26. Ví dụ: Cho cột chịu lực như hình vẽ. Cột cĩ mặt cắt ngang hình trịn đường kính d. + Xác định đường kính cột theo điều kiện bền + Tính biến dạng dài dọc trục của cột P 150 kN ,  9 kN / cm2 , E 2.10 4 kN / cm 2 3P + Theo điều kiện bền 3P C N  z  z max   F max 1m P l l P B 5P 5PP 20 20.150   d 10,3 cm d 2  .9   4 3m + Biến dạng dài dọc trục của cột 2 3 SN 3PP .1 5 .3 18.150.10 L z 1,62 mm A  EF EF 10,32 i 1 i 2.104 . 4 Nz
  27. Ví dụ: Cho cột chịu lực như hình vẽ. + Xác định các diện tích mặt cắt ngangcột theo điều kiện bền + Tính biến dạng dài dọc trục của cột q 15 kN / m , a 1 m ,  8 kN / cm2 , E 2.10 4 kN / cm 2 N  z  * Theo điều kiện bền z max   F max 2P 2qa + Xét đoạn AB C F 2 4qa 4 qa 4.15.1 2 l l   F1 7,5 cm a P P qa F1   8 B qa qa + Xét đoạn BC q 2qa 2 qa 2.15.1 2 3a   F2 3,75 cm F2   8 F1 * Biến dạng dài dọc trục của cột A 4qa 2 Nz SN 0,5 4qa qa 3 a 0,5 2 qa qa a L z mm  EF EF EF i 1 i 1 2
  28. Ví dụ: Thanh AB tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại A và được giữ bởi thanh BC như hình vẽ. Thanh BC cĩ diện tích mặt cắt ngang F, làm bằng vật liệu cĩ E,   + Xác định các diện tích mặt cắt ngang F để thanh BC bền + Tính biến dạng dài dọc trục của thanh BC q 12 kNma /, 2, m  8 kNcmE /2 , 2.10 4 kNcm / 2 q q X A A A B B 0 EF, Y 60 a A 2a N C 600 2a 0 * Xét cân bằng thanh AB: mA 0 q .2 a . a N sin 60 .2 a 0 N 2 qa / 3 2qa / 3 2 qa 2.12.2 * Theo điều kiện bền   F 3,464 cm2 F 3  3.8 * Biến dạng dài dọc trục của BC NL. 2qa 2 a 4.12.22 .10 3 L BC . 0,922 mm EF 3EF 3 3.2.104 .3,47
  29. Ví dụ: Cho hệ dàn như hình vẽ + Xác định các diện tích mặt cắt ngang F để các thanh bền + Tính biến dạng dài dọc trục của các thanh P 25, kNa 2, m  8 kNcmE /2 , 2.10 4 kNcm / 2 * Tách nút tại A: B 0 0 EF N P XNN ABcos30 AC cos60 0 P AB 300 0 30 A YNNP sin300 sin60 0 0 A 0 AB AC 600 60 1 3 N NP NP EF2 AC AB 2 AC 2 C * Theo điều kiện bền a a PP 25     F 1,56 cm2 z max 2F 2  2.8 * Biến dạng dài dọc trục của AB NL. P4 a 25.4.2.103 L AB AB . 1,84 mm AB EF2 EF 3 2.2.104 .1,57 3
  30. 10 Bài Tốn Siêu Tĩnh C Hệ siêu tĩnh: là hệ cĩ số ẩn số nhiều hơn số phương d trình thiết lập được l l a P P qa F B L 400 mm E E 2,5.103 kN / cm 2 L 300 mm 3 2 F 9 cm2 E 2.10 kN / cm F 7 cm2 q B D 3a A C P 2d 400mm 200mm 200mm A LLAF 2 CE LAC 0 Cách giải hệ siêu tĩnh: ngồi các phương trình cân bằng tĩnh học, ta thiết lập thêm các phương trình tương thích biến dạng
  31. Ví dụ: Cho cột chịu lực và cĩ liên kết như hình vẽ + Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong cột + Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền + Tính chuyển vị của mặt cắt tại B P 75kN;   8kN / cm2 ; E 2.104 kN / cm2 NC C C NC d d 1,5m P l l P 1,5m P l l P B B 2P 3m 3m 2d 2d A A NC P Nz Nz
  32. NC P + Phương trình tương thích biến dạng: LAC LAC LAC 0 N .1,5 N .3 2P.3 2 C C 0 N P d 2 2d 2 2d 2 C 3 E E E 4 4 4 N C N C C C 2P / 3 d d 1,5m P l l P 1,5m P l l P B B 2P 4P / 3 3m 3m 2d 2d A A NC P Nz Nz Nz
  33. N z 2P + Theo điều kiện bền:  z 2   max F d 3 4 8P 8.75 d 2,82cm Chọn: d 3cm 3   3 8 C 2P /3 d 1,5m P l l P + Chuyển vị của mặt cắt tại A: B 4P /3 4P / 3.AB 16.75 L 5,3.10 4 m AB 2d 2 2.104 .62 E 3m 4 2P / 3.AB 8.75 L 5,3.10 4 m 2d BC d 2 2.104 .32 E 4 A Nz
  34. Ví dụ: Kết cấu gồm một thanh thép đường kính d1=6cm, được lồng trong một ống nhơm cĩ đường kính trong d2=10cm, đường kính ngồi d3=16cm chịu nén dọc trục bởi lực P=150kN thơng qua một tấm cứng như hình vẽ. + Kiểm tra bền cho kết cấu. + Tính chuyển vị của đĩa B P 2 4 2 B  nhom  1,5kN / cm ; Enhom 0,7.10 kN / cm  10kN / cm2 ; E 2.104 kN / cm2 N  thep  thep n Nt Nn Nt Nn P + Gọi Nt, Nn lần lượt là ứng lực phát B sinh trong trục thép và ống nhơm B d 1 d1 d 2 d2 + Xét cân bằng tấm cứng B d 3 d3 0,5m 0,5m P Nt Nn 1 Nhôm Nhôm + Phương trình tương thích biến dạng: Thép Thép Nt 0,5 Nn 0,5 A Lt Ln 2 A Et Ft En Fn
  35. Từ (1) và (2) ta cĩ: Nt 60P /151; Nn 91P /151 + Kiểm tra bền cho kết cấu. 60.150 Đối với trục thép:  2,1kN / cm2   10kN / cm2 t .62 thep 151 4 91.150 Đối với ống nhơm:  0,73kN / cm2   1,5kN / cm2 n nhom 151 162 102 4 + Tính chuyển vị của đĩa B N .0,5 60.150.0,5 L t 7,96.10 3 m thep E F .62 t t 2.104. 4
  36. Ví dụ: Thanh AC tuyệt đối cứng liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. Các thanh giằng BE và CD làm cùng vật liệu cĩ mơđun đàn hồi E và cĩ diên tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F. + Tính ứng lực trong hai thanh CD và BE. + Xác định diện tích mặt cắt ngang của hai thanh CD và BE để hai thanh cùng bền + Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P.   8kN / cm2 ; E 2.104 kN / cm2 E D Y N1 E,2F E, F 1m A X B B A A A N2 1m P 30kN C P 30kN C q 15kN / m q 15kN / m 1m 1m 2m 1m 1m 2m
  37. + Xét cân bằng thanh AC N1 YA X B  mA 0 30.1 N1.2 15.2.3 N2.4 0 A A N1 2N2 60 1 N2 P 30kN C + Phương trình tương thích biến dạng N2.2 N1.1 q 15kN / m LCD 2 LBE 2 EF E2F 1m 1m 2m N1 2N2 2 E D Từ (1) và (2) N2 15kN, N1 30kN B A L + Điều kiện bền BE N 15   z   8kN / cm2 C max F F LCD 15 F 1,875cm2 2m 2m 8 1 1 30.1 + Chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P: L 1,875.10 4 m P 2 BE 2 2.104.2.2
  38. Ví dụ: Cho cột bêtơng –cốt thép chiều cao h=3m cĩ mặt cắt ngang hình vuơng cạnh b=0,6m. Cột được gia cường bằng bốn thanh thép, mỗi thanh cĩ đường kính d=28mm và được nén bởi lực P như hình vẽ. Xem ứng xủa của vật liệu là đàn hồi. Tính lực P lớn nhất mà cột cĩ thể chịu được nếu ứng suất cho phép khi nén trong thép và bêtơng lần lượt là  S  70MPa,  C  8MPa . Mơđun đàn hồi của thép và bêtơng lần lượt là ES 200GPa, EC 25GPa . Khi tính bỏ qua trọng lượng của cột. P + Xét cân bằng đĩa cứng B B P Ps Pc AA B P A A c 0,6m 3m Ps 3m 0,6m O O P Ps Pc (1)
  39. + Phương trình tương thích biến dạng Ps h P c h LLc s (2) EFEFs s c c EFEF + Từ (1) và (2) ta cĩ s s c c PPPPs ; c EFEFEFEFs s c c s s c c + Ứng suất phát sinh trong thép và bêtơng PEPPEPs s c c s ;  c FEFEFFEFEFs s s c c c s s c c + Tải giớ hạn mà thép và bêtơng cĩ thể chịu được EEc s PFFPFF s c .;. s c s   c  EEs c
  40. + Diện tích của thép và bêtơng 2 d 2 2 Fs 4 .28 2463 mm 4 2 2 2 Fc b F s 600 2463 357537 mm E 200 + Ta cĩ tỉ số s 8 Ec 25 + Tải giớ hạn mà thép và bêtơng cĩ thể chịu được Ec 1 P Fs F c . s  2463 35753770 3,3 MN Es 8 E P F s F. 357537 8.24638 3,0 MN c s  c  Ec
  41. Ví dụ: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang khơng đổi cĩ diện tích F 1600mm 2 và mang tải trọng P=160kN như hình vẽ. Xác định ứng suất trên tất cả các mặt của phân tố quay một gĩc 300 . P P Hình 3.8 P + Ứng suất trên mặt cắt ngang  z F + Ứng suất phát sinh trên mặt cắt của phân tố quay 300 P 160  cos2 cos 2 .cos 2 30 0 0,075kN / mm 2 u z F 1600 1 1P 160  sin 2 sin 2 0,5. .sin 60 0,043kN / mm2 uv2 z 2F 1600
  42. Ví dụ: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang khơng đổi cĩ diện tích F 968mm 2 gồm hai đoạn được dán với nhau bằng keo tại mặt cắt 1-1. mặt cắt 1-1 tạo với phương đứng một gĩc 300. Hệ mang tải trọng P=16kN như hình vẽ. Biết rằng keo dán cĩ độ bền chịu kéo   13780kN / m2 và độ bền chịu cắt   6890kN / m2 . Kiểm tra bền cho mối nối này 1 P P 1 P + Ứng suất trên mặt cắt ngang  z F + Ứng suất phát sinh trên mặt cắt 1-1 tạo với phương đứng một gĩc 300 2P 216 2 0 2 2 u  z cos cos .cos 30 0,0123kN / mm    0,0137 kN / mm F 968 1 1P 16 3 2 3 2 uv  z sin 2 sin 2 0,5. .sin 60 7,157.10kN / mm    6,89.10 kN / mm 2 2F 968 => Vậy mối nối khơng đảm bảo điều kiện cắt