Giáo trình Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương 4: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

Nội dung text: Giáo trình Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương 4: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

1. Chương 4: Đặc Trưng Hình Học Mặt Cắt Ngang 1 Giới Thiệu 2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng 3 Các Mômen Quán Tính 4 Công Thức Chuyển Trục Song Song
2. 1 Giới Thiệu P P x x y y * Khả năng chịu lực của chi tiết không những phụ thuộc vào hình dáng, kích thước mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào cách bố trí của mặt cắt ngang.
3. 2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng y 2.1 Diện tích của hình phẳng y dF F dF F O x x 2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng - Đối với trục Ox: S ydF x F - Đối với trục Oy: S xdF y F
4. 2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng 2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng * Mômen tĩnh có thể âm, dương hoặc bằng không * Mômen tĩnh của hình phẳng đối với một trục nào đó bằng không, trục đó được gọi là trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm là trọng tâm hình phẳng. dF y x Sx S y 0 y dF y
5. 2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng 2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng * Gọi C là trọng tâm hình phẳng, các trục Cx0 và Cy0 là hai trục trung tâm y S y dF 0 0 x0 0 y F y y 0 S x dF 0 dF y0 0 x0 F yC C x0 x xC x0 Ta có O y yC y0 xC x x S ydF y y dF y dF y dF x C 0 C 0 F F F F S y .F S y .F x C x0 C
6. 2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng 2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng S x yC .F y S x .F 0 y C y y Nếu hình phẳng là hình phức tạp y 0 dF x y 0 C x n C 0 S y .F x  Ci i i 1 O n xC x x S x .F y  Ci i i 1
7. 2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng 2.3 Trọng tâm của hình phẳng y0 y n xC Fi y S  i y 0 x y i 1 dF C n x F y 0 F C x  i C 0 i 1 n y F O  Ci i xC x x S x i 1 yC n F  Fi i 1
8. 3 Các Mômen Quán Tính y 3.1 Mômen quán tínhcủa hình phẳng y dF - Đối với trục Ox: J y 2dF x F - Đối với trục Oy: J x2dF y F O x x 3.2 Mômen quán tính cực của hình phẳng đối với tâm O J 2dF F 2 2 2 Ta thấy: x y J J x J y
9. 3 Các Mômen Quán Tính y 3.3 Mômen quán tính ly tâm của hình y phẳng đối với hệ trục xOy dF J xydF xy F O x x * Mômen quán tính ly tâm có thể âm, dương hoặc bằng không dF dF * Nếu mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với một hệ trục nào đó bằng không, hệ trục đó được gọi là x hệ trục quán tính chính x x * Nếu hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. y
10. 3 Các Mômen Quán Tính 3.4 Mômen quán tính của một số hình thường gặp * Hình chữ nhật h/ 2 bh3 J y 2dF y 2bdy x x h F h/ 2 12 y dy dF 3 bh y J x 12 b hb3 J y 12
11. 3 Các Mômen Quán Tính 3.4 Mômen quán tính của một số hình thường gặp * Hình tròn d J J 0,05d 4 x y x 4 J 2J x 0,1d y * Hình tam giác bh3 J x h x 36 C b
12. 4 Công Thức Chuyển Trục Song Song y0 * Biết: J , J y x0 y0 y * Tìm: J x , J y y0 dF x0 yA A x0 Với x // x0 , y // y0 x x x A 0 O Ta có xA x x y yA y0 J y2dF y y 2 dF y2 dF y 2dF 2y y dF x A 0 A 0 A 0 F F F F F J y 2 .F J 2y .S x A x0 A x0 J x2 .F J 2x .S y A y0 A y0
13. 4 Công Thức Chuyển Trục Song Song y0 y * Nếu A là trọng tâm mặt cắt, Ax0 và Ay0 là hai trục trung tâm của mặt cắt y ngang y0 dF x0 yA A x0 Ta có S S 0 x0 y0 O xA x x J J y 2 .F x x0 A J J x2 .F y y0 A
14. * Ví dụ 1: Tính mômen quán tính của hình chữ nhật đối với các trục x,y y y yc 2b C 2b xc x x b b 3 4 b 2b 2b 2 2 8 4 J J b .2b b J x x xc c 12 3 3 Ta có 3 4 2 2b b b b 2 2 4 J y J y J y .2b b c 12 6 c 2 3
15. * Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của hình tam giác đối với các trục x h h C xc x b x b 2 bh3 h 1 bh3 Ta có J J x J x . bh xc 36 c 3 2 12 bh3 J x c 36 bh3 J x 12
16. * Ví dụ 3: Tính mômen quán tính của hình tam giác đối với các trục x, y y y h 2 h x x h 2 b b 3 h b 2 bh3 J 2 x 12 48 3 hb J y 12
17. * Ví dụ 4: Tính chính trung tâm của hình phẳng y b b b b (1) x (2) 3 2b 2b . 2 b4 JJ 2 x y 12 12
18. * Ví dụ 5: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng 450 y 30 40 1 2 3 x 900 JJJJx x x x 450 30 30.9003 J x1 12 4 2 Jx 76626 cm 450.303 900 30 JJ .450.30 x2 x 3 12 2 2 900.303 30.450 3 J J J J 2 45765 cm4 y y1 y 2 y 3 12 12
19. * Ví dụ 6: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng y b b x 7b 7b C b b yc x1 15b 15b xC 0 2 y F Toạ độ trọng tâm của hình phẳng  Ci i 3,5b .15 b .7 b 3 b .13 b .6 b 89 y i 1 b C 2 15b .7 b 13 b .6 b 18  Fi i 1 32 3 2 1 2 15b . 7 b 89 13 b . 6 b 89 4 JJJx x x 3,5 bbbb .15.7 3 bbbb .13.6 118,917b 12 18 12 18 3 3 1 2 7b . 15 b 6 b . 13 b J J J 870,25 b4 y y y 12 12
20. * Ví dụ 7: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng 7b 7b y b b (2) x (1) 8b 8b yc x1 b b xC 0 2 y F Toạ độ trọng tâm của hình phẳng  Ci i 4b .8 b2 8,5 b .7 b 2 y i 1 6,1 b C 2 8b2 7 b 2  Fi i 1 3 3 1 2 b. 8 b 22 7 b . b 2 2 4 Jx J x J x 4 b 6,1 b .8 b 8,5 b 6,1 b .7 b 118,85b 12 12 3 3 1 2 8b . b b . 7 b J J J 29,25 b4 y y y 12 12
21. * Ví dụ 8: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng 50cm 50cm y 70cm 40cm 70cm x 40cm 75cm 75cm 3 3 75.70 12,5.20 4 Jx 4 2110416,667 cm 12 12 2 70.753 40.12,5 3 100 1 J 2 40.12,5 1901041,667 cm4 y 12 36 3 2