Giáo trình Phương trình vi phân - Chương 7: Hệ phi tuyến và các hiện tượng - Nguyễn Xuân Thảo

Nội dung text: Giáo trình Phương trình vi phân - Chương 7: Hệ phi tuyến và các hiện tượng - Nguyễn Xuân Thảo

1. Ph ươ ng trình vi phân Bài 8B PGS. TS. NGUY N XUÂN TH O Ch ươ ng 7 HỆ PHI TUY ẾN VÀ CÁC HI ỆN T ƯỢNG § 7.1. Nghi ệm cân b ằng và tính ổn đị nh • S n nh c a nghi m kì d 1. Đặt v ấn đề • i v i m t ph ươ ng trình vi phân b t kì không ph i luôn tìm ưc nghi m tưng minh • Ngay c khi không tìm ưc nghi m t ưng minh thì v n c n nh n ưc nh ng thông tin có giá tr v nghi m; ch ng h n nh ư tính không b ch n, b ch n, tu n hoàn c a nghi m, minh ho qua m t s ví d d ưi ây Ví d ụ 1. G i x(t) là nhi t c a m t v t th v i nhi t ban u x(0) = x 0. th i im t = 0 v t th ưc nhúng trong m t dung d ch có nhi t không i bng A. Theo nh lý làm ngu i c a Newton thì dx = −k( x − A ) (k > 0, k = const) dt • S d ng ph ươ ng pháp tách bi n, nh n ưc nghi m -kt x(t) = A + (x 0 - A)e rõ ràng r ng limx ( t ) = A t →∞ Hình 7.1.1. Các ưng cong nghi m in hình c a ph ươ ng trình làm ngu i c a dx Newton = −k( x − A ) dt 1
2. dx Ví d ụ 2. Xét ph ươ ng trình v t ng tr ưng dân s = f() x dt ó f( x ) là t l sinh và t l t vong c a các cá th trong m t ơn v th i gian. • ây là ph ươ ng trình Otonom c p 1. • N u f( c ) = 0 thì có x(t) = c là nghi m. Nghi m h ng s c a m t ph ươ ng trình vi phân còn ưc g i là nghi m cân b ng. • Nh ư v y c tr ưng nghi m c a ph ươ ng trình otonom c p 1 có th ưc mô t qua các im k d c a ph ươ ng trình. dx Ví d ụ 3. Xét ph ươ ng trình Logistic =kx( M − x ) , ó k > 0, M > 0. dt • Có 2 im k d , ó là các nghi m x = 0 và x = M • Có nghi m (t m c 1.7) là Mx x( t ) = 0 −kMt x0+( M − xe 0 ) • T ó có x( t ) = 0 và x( t) = M là nghi m cân b ng Hình 7.1.3. Các ưng cong nghi m in hình dx ca ph ươ ng trình =kx( M − x ) dt 2. S ự ổn đị nh c ủa các điểm k ỳ d ị • im k d x = c c a 1 ph ươ ng trình vi phân c p 1, otonom, ưc g i là n nh n u ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: |x 0-c| 0. • im k d x = c ưc g i là không n nh, n u nó không là im n nh. 2
3. Ví d ụ 4. Hình 7.1.4. Các ưng cong nghi m, ph u và vòi c a ph ươ ng trình dx =4x − x 2 dt • Hình 7.1.4 cho cách nhìn "r ng h ơn" v ưng cong nghi m c a m t ph ươ ng trình logistic v i k = 1 và M = 4. Chú ý r ng d i 3,5 < x < 4,5 (bao l y ưng x = 4) gi ng nh ư cái ph u c a các ưng cong nghi m: khi di chuy n t trái sang ph i thì các ưng cong nghi m chui vào ph u và l i trong ó. Ng ưc l i, d i -0,5 < x < 0,5 (bao l y ưng cong nghi m không n nh x = 0) gi ng nh ư 1 cái vòi: các ưng cong nghi m i vào d i r i sau ó i ra kh i di. V y im k d x = M = 4 là im n nh, còn im k d x = 0 là im không n nh. dx Ví d ụ 5. Xét ph ươ ng trình n /t t =kx( x − M ) , x(0) = x . dt 0 • Có 2 im k d là x = 0 và x = M t ươ ng ng v i các nghi m cân b ng x(t) = 0 và x(t) = M. Mx • Nghi m tho mãn iu ki n ban u là x( t ) = 0 kMt x0+( M − xe 0 ) Hình 7.1.6. Các ưng cong nghi m in hình c a ph ươ ng trình dx =kx( x − M ) dt • M t d i h p quanh nghi m n nh x = 0 ưc xem nh ư m t cái ph u, trong khi m t d i d c theo ưng cong nghi m x = M ưc xem nh ư m t cái vòi c a các ưng cong nghi m. Tính ch t các nghi m c a ph ươ ng trình (9) ưc tóm 3
4. tt b i s ơ pha Hình 7.1.7. im k d x = 0 là im n nh, còn im k d x = M là im không n nh. dx Hình 7.1.7. Bi u pha in hình c a ph ươ ng trình =f() x = kx( x − M ) dt a) Bùng n ổ dân s ố dx Ph ươ ng trình vi phân otonom =ax − bx2 − h dt vi a > 0, b > 0, h > 0 ưc coi là ph ươ ng trình mô t vi c bùng n dân s . dx Ví d ụ 6. Xét ph ươ ng trình vi phân =kx( M − x ) − h (2.1) dt • Ph ươ ng trình này th hi n s dân t i h n M khi h = 0 mà không có bùng n dân s . kM±( kM )2 − 4 hk • Các im k d H, N = 2k • Gi s t l bùng n h nh sao cho 4h < kM 2, khi ó các c n c a H, N u th c và khi 0 < H < N < M, ta vi t l i ph ươ ng trình d ưi d ng: dx =kN( − x )( x − H ) dt Nx(− H )( − Hx − Ne ) −kN( − Ht ) • Có nghi m x( t ) = 0 0 −kN( − Ht ) (x0− H )( − x 0 − Ne ) Hình 7.1.8. Các ưng cong nghi m in hình c a ph ươ ng trình dx =kN( − x )( x − H ) dt • V y ưng cong nghi m ưc mô t nh ư Hình 7.1.8 (d th y m t ph u c a nghi m d c theo ưng x = N và m t vòi c a nghi m d c theo ưng x = H). 4
5. Nghi m h ng x(t) = N là nghi m t i h n cân b ng, còn nghi m h ng x(t) = H là nghi m ng ưng cân b ng nghi m này chia các nghi m thành 2 nhánh: n u x 0 > H thì dân s t n giá tr N, n u x 0 < H thì dân s gi m d n. • im k d n nh x = N và im k d không n nh x = H, ưc mô t s ơ pha trong Hình 7.1.9 dx Hình 7.1.9. S ơ pha c a ph ươ ng trình =fx( ) = kN ( − xx )( − H ) dt Ví d ụ 7. Chúng ta xét m t ng d ng c th v các k t lu n n nh ví d 6, v i gi thi t r ng k = 1 và M = 4 v i l ưng cá trong h là x(t) g m hàng tr m l n ki m tra sau t n m. Dù cá không b câu thì cu i cùng trong h v n còn kho ng 400 con, cho dù s cá ban d u v i s l ưng nh ư th nào. Bây gi , gi s h = 3 cho hàng n m thu ho ch ưc 300 con ( m c h ng s qua các n m), khi dx ó ph ươ ng trình (2.1) tr thành =x(4 − x ) − 3 , và ph ươ ng trình b c 2: dt -x2 + 4x - 3 = 0 = (3 - x).(x - 1) = 0 có các nghi m là H = 1, N = 3. Do v y l ưng cá ng ưng cân b ng là 100 con và ng ưng t i h n cân b ng là 300 con. Tóm l i, n u trong h ban u có h ơn 100 con, thì s cá s t giá tr t i h n 300 con khi th i gian t t ng lên. Nh ưng n u lưng cá ban u trong h ít h ơn 100 con, thì h s b "câu h t" và s l ưng cá s h t sau m t kho ng th i gian h u h n. b) S ự r ẽ nhánh và tính độc l ập các tham s ố • M t h sinh h c ho c m t h v t lý, ưc c tr ưng b i m t ph ươ ng trình vi phân, s ph thu c r t nhi u vào giá tr c a các h s hay các tham s có m t trong ph ươ ng trình. Ch ng h n, s l ưng các im k d c a m t ph ươ ng trình vi phân có th b thay i t ng t khi thay i giá tr c a m t tham s . dx Ví d ụ 8. Ph ươ ng trình vi phân =x(4 − x ) − h dt (x có giá tr hàng tr m) c tr ưng cho s bùng n dân s (2.1) khi k = 1 và cho s dân t i h n khi M = 4. Trong Ví d 7, chúng ta ã xét tr ưng h p h = 3 và th y r ng ng ưng t i h n cân b ng là N = 300 và s dân ng ưng cân b ng là H = 100. Các ưng cong nghi m in hình, bao g m c các nghi m cân b ng x(t) = 3 và x(t) = 1, ưc mô t Hình 7.1.8. • Khi k = 1 và M = 4, dân s t i h n N và s dân t ng ưng H là 1 HN,= (4 ± 164)2 − h =±− 4 h (2.2) 2 5
6. dx Hình 7.1.8. Các ưng cong nghi m in hình c a ph ươ ng trình =kN( − x )( x − H ) dt • N u h H, nh ư Hình 7.1.8. • N u h = 4: Khi ó ph ươ ng trình (2.2) cho k t qu H = N = 2, nên ph ươ ng trình vi phân ch có nghi m cân b ng x(t) ≡ 2. Trong tr ưng h p này các ưng cong nghi m c a ph ươ ng trình ưc mô t nh ư hình 7.1.10. dx Hình 7.1.10. Các ưng cong nghi m c a ph ươ ng trình =x(4 − x ) − h v i h = 4 dt Nu s cá ban d u x 0 ( ơ n v là 100) v ưt quá 2, thì l ưng cá t n s l ưng ti h n 200 con. Tuy nhiên, v i m i l ưng cá ban u x 0 4: khi ó H, N không là s th c, nên bài toán không có nghi m n nh. Lúc này, các ưng cong nghi m gi ng nh ư các ưng cong Hình 7.1.11 và cá ch t d n (dù v i b t k s l ưng nào ban u), do h u qu c a b i tng 400 con/n m. dx Hình 7.1.11. Các ưng cong nghi m c a ph ươ ng trình =x(4 − x ) − h v i h = 5 dt 6
7. • Nu chúng ta t ng d n giá tr c a tham s h thì hình dáng các ưng cong nghi m thay i t Hình 7.1.8. v i h 4. V y ph ươ ng trình vi phân ã cho: - Có 2 im k d khi h 4 • Giá tr h = 4 mà ng v i nó, b n ch t nghi m c a ph ươ ng trình vi phân s thay i khi h t ng, ưc g i là im r nhánh c a ph ươ ng trình vi phân có ch a tham s h. M t ph ươ ng pháp chung th y ưc s "r nhánh" c a các nghi m, là v s ơ r nhánh g m các im (h, c), trong ó c là im k d c a ph ươ ng trình x' =x(4 - x) +h. Ch ng h n, n u chúng ta vi t (2.2) d ưi d ng c=2 ± 4 − h ; (c− 2)2 = 4 − h , trong ó C = N ho c C = H, chúng ta s có ưng parabol nh ư Hình 7.1.12. Parabol này là s ơ r nhánh c a ph ươ ng trình vi phân mô t s t ng tr ưng dân s . Hình 7.1.12. Parabol (c - 2) 2 = 4 - h là s ơ r nhánh c a ph ươ ng trình x' = x(4 - x) - h 7
8. § 7.2. Tính ổn đị nh và m ặt ph ẳng pha • nh pha • Tính ch t c a im t i h n 1. Đặt v ấn đề a) Nhi u hi n t ưng t nhiên ưc c tr ưng b i h g m hai ph ươ ng trình vi phân c p m t hai chi u d ưi d ng sau (h otonom) dx = F( x , y ) dt (1.1) dy = G( x , y ) dt ó F và G kh vi liên t c trong mi n R c a m t ph ng oxy ( ưc g i là m t ph ng pha c a h (1.1)). • V i ∀ (x 0, y 0) ∈ R, h trên luôn luôn t n t i nghi m duy nh t tho mãn các iu ki n u x(t 0) = x 0; y(t 0) = y 0 • Các ph ươ ng trình x = x(t), y = y(t) mô t ưng cong nghi m d ưi d ng tham s trong m t ph ng pha • Qu o c a h (1.1) là m i ưng cong nghi m nh ư trên i qua m t im c a mi n R • im t i h n c a h (1.1) là im (x ∗, y ∗) sao cho F (x ∗, y ∗) = G(x ∗, y ∗) = 0, khi ó các hàm h ng x(t) = x ∗, y(t) = y ∗ là nghi m cân b ng c a h (có qu o ch gm m t im). b) Trong nh ng bài toán th c t , nh ng im ơn gi n này cùng v i các qu o là các i t ưng ưc quan tâm nhi u nh t. x'= Fxy (,) • Ch ng h n, gi s h  c tr ưng cho 2 àn súc v t v i s l ưng y'= Gxy (,) x(t), y(t) s ng trong cùng m t môi tr ưng và c nh tranh nhau v cùng lo i th c n ho c m i. im (x ∗, y ∗) c a h cho th y s l ưng x ∗ lo i này và s l ưng y ∗ c a loài kia cùng t n t i song song. Còn n u (x 1, y 1) không ph i là im t i h n thì không th có các s l ưng h ng s x 1, y 1 c a t ng loài cùng chung s ng mà ph i x y ra s l ưng c a m t ho c c hai s ph i thay i theo th i gian. dx 2  =14x − 2 x − xy  dt c) Ví d ụ 1. Tìm các im t i h n c a h  dy  =16y − 2 y2 − xy  dt • Xét h ph ươ ng trình sau 8
9. 142x− x2 − xy = 0 x(142− x − y ) = 0  ⇔  162y− y2 − xy = 0 y()162− y − x = 0 x=0, 16 − 2 y −= x 0 x=0, y = 8   y=0, 14 − 2 x −= y 0 x=7, y = 0  ⇔  142−−=xy 0,162 − yx −= 0 x=4, y = 6   x=0 = y x=0, y = 0 • H có 4 im t i h n (0, 0); (0, 8); (7, 0); (4, 6). • N u g i x(t) là s l ưng th , y(t) là s l ưng sóc và các s l ưng y là nh ng hng s thì ch có 3 kh n ng: +) không có th , ch có 8 sóc. +) có 7 th và không có sóc +) có 4 th và 6 sóc. • Nh ư v y im t i h n (4, 6) cho bi t kh n ng duy nh t mà th và sóc cùng tn t i v i s l ưng khác 0. 2. Ảnh pha • nh pha là m t b c tranh trên m t ph ng pha v các im t i h n và các qu o không suy bi n. • M i qu o (không g m qu o ch có m t im) là m t ưng cong không suy bi n, không t c t. x'= 14 x − 2 x2 − xy Hình 7.2.1. Tr ưng véc t ơ và nh pha c a h  y'= 16 y − 2 y2 − xy Hình 7.2.1. th hi n tr ưng véc t ơ và nh pha c a h th - sóc Ví d 1. Các mi tên c a tr ưng véc t ơ th hi n h ưng chuy n ng c a im (x(t), y(t)). Chúng ta th y r ng khi cho s l ưng th x 0 ≠ 4 và s l ưng sóc y 0 ≠ 6 thì im (x(t), y(t)) chuy n ng d c theo m t qu o mà qu o ó ti n t i im (4, 6) khi t t ng lên. 9
10. x' = x − y Ví d ụ 2. Tìm im t i h n c a h  y'= 1 − x 2 x− y = 0 x=1 = y • Gi i h :  ⇔  1−x2 = 0 x= −1 = y do ó h có 2 im t i h n là (1, 1); ( −1, −1). Hình 7.2.2. Tr ưng véc t ơ c a h Tr ưng véc t ơ th hi n trong hình 7.2.2 g i lên ý t ưng r ng các qu o t a tròn, i ng ưc chi u kim ng h quanh im ( −1, −1), trong khi m t s qu o n im ( −1, −1), còn m t s qu o khác thì lùi xa kh i im ó. Quan sát này ưc xác th c b i nh pha c a h cho trong hình 7.2.3. Hình 7.2.3. nh pha c a h 3. Tính ch ất c ủa điểm t ới h ạn • Ng ưi ta c bi t quan tâm t i tính ch t c a các qu o g n m t im t i hn riêng r c a h otonom. dx  = −x, x() 0 = x 0  dt Ví d ụ 3. H tuy n tính otonom  dy  =ky,( k = constk , > 0), y() 0 = y  dt 0 −x = 0 • Có  ⇔x =0 = y nên h này ch có duy nh t m t im t i h n (0, 0). ky = 0 10
11. -t -kt • Nghi m c a h v i iu ki n u (x 0, y 0), là x(t) = x 0e ; y(t) = y 0e y y • N u x ≠ 0 thì có y = y e-kt = 0 (x e −t ) k = bx k, v i b = 0 . 0 0 k 0 k x0 x0 • B n ch t c a im t i h n (0,0) tu thu c vào tham s k là d ươ ng hay âm. +) Khi k >0: thì có im (x(t), y(t)) d n t i g c to theo các ưng y = bx k khi t → + ∞. Hình d ng c a ưng cong ph thu c vào l n c a k: y0 ∗) N u k = 1, khi ó y = bx (v i b = ) là ưng th ng i qua im (x 0, y 0). x0 Các ưng qu o là các ưng th ng, ưc mô t Hình 7.2.4 Hình 7.2.4. M t nút thích h p; các h ưng d n n g c to nên nó là m t nút chìm k ∗) Nu k > 1 và x 0, y 0 cùng khác 0: khi ó ưng cong y = bx có ti p tuy n t i gc to chính là tr c x. nh pha ưc mô t Hình 7.2.5 ng v i k = 2, qu o là các ưng parabol. Nói chính xác h ơn: qu o là các bán tr c to x cùng v i các n a bên trái và các n a bên ph i c a các parabol này. Hình 7.2.5. M t nút không thích h p vì t t c các h ưng ti p xúc v i m t ưng cong ơ n; chúng d n n g c nên nó là m t nút chìm ∗) Nu 0 < k < 1 và x 0, y 0 cùng khác 0, khi ó nh pha t ươ ng t nh ư Hình 7.2.5, v i im khác bi t là các ưng y = bx k ti p xúc v i tr c y (ch không ph i v i tr c x) t i g c to . 11
12. • Các im t i h n, nh ư ưc mô t các Hình 7.2.4 và 7.2.5 ưc g i là im nút. • Chính xác h ơn, im t i h n (x ∗, y ∗) c a h otonom (1.1) ưc g i là im nút, nu tho mãn 2 iu ki n sau: - Ho c là m i qu o u ti n t i (x ∗, y ∗) khi t →+∞ ho c là m i qu o u ri xa im (x ∗, y ∗) khi t →+∞ - M i qu o u ti p xúc v i ưng th ng i qua (x ∗, y ∗) t i (x ∗, y ∗). • M t im nút ưc g i là chính th ưng (" im sao"), n u c m i c p hai qu o i di n khác nhau thì không có c p nào ti p xúc v i ưng th ng i qua im t i h n, nh ư Hình 7.2.4. • Hình 7.2.5 m i qu o, tr ra m t c p 2 qu o i di n, u ti p xúc v i mt ưng th ng i qua im t i h n. im nút ó ưc g i là im nút phi chính. • M t im nút ưc g i là im nút lõm, n u m i q y o u i n im t i hn, và ưc g i là im nút ngu n n u m i qu o u lùi xa im nút. Nh ư vy, g c to trong Hình 7.2.4 là m t im nút lõm chính th ưng, còn Hình 7.2.5 thì g c to là m t im nút lõm phi chính. ∗) Khi k < 0. Hình 7.2.6. im yên ng a: các qu o t ươ ng t các ưng vi n c a m t im yên ng a trên m t ph ng pha. • Khi k < 0 thì các qu o gi ng v i qu o khi k = -1, ưc mô t Hình 7.2.6. N u x 0 và y 0 cùng khác 0 thì qu o t ươ ng ng Hình 7.2.6 là m t nhánh c a hypebol cân xy = b và |y(t)| → + ∞ khi t → + ∞. N u x 0 = 0 ho c y 0 = 0 thì qu o là bán tr c c a hypebol. im (x(t), y(t)) d n n g c to theo tr c x r i l i xa g c to theo tr c y, khi t → + ∞. V y có 2 qu o d n n im t i h n (0, 0) nh ưng chúng u không b ch n khi t → + ∞. im t i h n dng này, khi ưc mô t Hình 7.2.6 ưc g i là im yên ng a. 12
13. a) S ự ổn đị nh • im t i h n (x ∗, y ∗) c a h otonom (1.1) ưc g i là n nh n u khi im u ∗ ∗ ∗ ∗ (x 0, y 0) g n (x , y ) thì im (x(t), y(t)) luôn g n im (x , y ), ∀ t > 0. Ví d : im nút lõm ưc mô t Hình 7.2.4 và Hình 7.2.5 là các im nút n nh. • im t i h n (x ∗, y ∗) ưc g i là không n nh n u nó không là im n nh. • Ví d : im yên ng a (0, 0) Hình 7.2.6 là im không n nh. dx  = x  dt Ví d ụ 4. Xét h  dy  =ky( k = const , k > 0)  dt t kt • H có nghi m x(t) = x 0e , y(t) = y 0e . • Xét k = 1 ho c k = 2, khi ó m i tr ưng h p, im nút (0, 0) là m t im nút ngu n, là im nút không n nh. • N u im t i h n là (x ∗, y ∗), khi ó nghi m cân b ng x(t) = x ∗, y(t) = y ∗ ưc g i là nghi m n nh ho c không n nh tu thu c vào b n ch t c a im t i h n. • N u x(t) và y(t) l n l ưt là s l ưng th và s l ưng sóc thì ý ngh a c a im n nh là: các thay i nh (có th do t l sinh và t ) trong môi tr ưng c ư dân cân b ng s không làm v tính cân b ng. Các qu o v n g n im cân bng nh ưng không d n t i im cân b ng Ví d ụ 5. Gi s m t v t kh i l ưng m dao ng không b hãm, v i h ng s Hooke là k sao cho hàm v trí x(t) tho mãn ph ươ ng trình vi phân x" + ω2x = 0 (trong ó dx ω2 = k/m). G i y = là v n t c c a v t, chúng ta s có h ph ươ ng trình: dt dx  = y  dt  dy  = − ω2x  dt • H có nghi m t ng quát là: xtA( ) =cosω tB + sin ω t yt( ) = − Aωsin ω tB + ω cos ω t ó C = A2+ B 2 ; A = C cos α; B = C sin α. • Ta vi t l i x(t) = C cos( ωt - α) y(t) = -ωC sin ( ωt - α) 13
14. x2 y 2 thì có qu o là ưng elíp có ph ươ ng trình + = 1 C2(ω C ) 2 1 Hình 7.2.7. Tr ưng véc t ơ và các qu o elíp c a h x' = y, y' = − x . 4 im (0, 0) là tâm n nh 1 • Hình 7.2.7 mô t nh pha (v i ω = ). 2 • M i nghi m không t m th ưng c a h ã cho là tu n hoàn, m i qu o c a h là ưng cong kín, ơn bao l y im t i h n (0,0). Hình 7.2.8. Nu (x 0, y 0) thu c ưng tròn tâm 0 bán kính δ thì im (x(t), y(t)) thu c ưng tròn tâm 0 bán kính ε • im (0, 0) là im t i h n n nh c a h ã cho. M t im t i h n n nh ưc bao b i các qu o kín tu n hoàn, ưc g i là m t tâm. b) S ự ổn đị nh ti ệm c ận • im t i h n (x ∗, y ∗) ưc g i là n nh ti m c n n u nó là im n nh và mi qu o gn (x ∗, y ∗) u ti n n (x ∗, y ∗) khi t →+∞. 14
15. Hình 7.2.4. M t nút thích h p; các h ưng d n n g c to nên nó là m t nút chìm Hình 7.2.5. M t nút không thích h p vì t t c các h ưng ti p xúc v i m t ưng cong ơ n; chúng d n n g c nên nó là m t nút chìm • im t i h n (0, 0) trong các Hình 7.2.4 và 7.2.5 là n nh ti m c n. 1 Hình 7.2.7. Tr ưng véc t ơ và các qu o elíp c a h x' = y, y' = − x . 4 im (0, 0) là tâm n nh 15
16. • im (0, 0) ưc th hi n Hình 7.2.7 là n nh nh ưng không là n nh ti m cn Ví d ụ 6. Xét ví d 5 ó m = 1 và k = 2 và gi s v t ưc g n li n v i m t bình v i h s c n c = 2. Hàm d ch chuy n x(t) c a v t tho mãn ph ươ ng trình vi phân c p hai: x"(t) + 2x'(t) + 2x(t) = 0 (3.1) dx  = y  dt • t y = x' chúng ta có h c p m t t ươ ng ươ ng  (3.2) dy  = −2x − 2 y  dt • H (3.2) có im t i h n là (0, 0). 2 • (3.1) có ph ươ ng trình c tr ưng là r+2 r + 2 = 0 ⇔r1,2 =−±1 i , do ó h (3.2) có nghi m t ng quát là: x(t) = e -t (Acost + Bsint) = Ce -t cos(t - α) π y(t) = e -t [(B - A)cost - (A + B)sint] = -C 2 e-t sin (t-α + ) 4 2 2− 1 B  vi C= A + B ,α = tan   A  Hình 7.2.9. Mt im n nh ki u xo n c và 1 qu o g n nó. • (0, 0) là im n nh ti m c n c a h trên • M t im n nh ti m c n mà các qu o chuy n ng xo n c quanh nó và ti n n nó, ưc g i là im n nh xo n (hay im n nh xo n lõm). • M t im không n nh mà các qu o xo n quanh im ó và chuy n ng xa d n nó, ưc g i là im không n nh xo n (hay im ngu n xo n). 16
17. § 7.3. H ệ tuy ến tính và á tuy ến tính • im t i h n • S n nh c a h tuy n tính • S n nh c a h á tuy n tính 1. Đặt v ấn đề • Trong m c 5.2 ã ư a ra các khái ni m c a im n nh, n nh ti m c n, • Nghiên c u tính n nh c a các h tuy n tính và á tuy n tính 2. Điểm t ới h ạn • im t i h n ưc g i là cô l p n u nh ư có m t lân c n sao cho lân c n ó không ch a im t i h n nào dx  = f( x , y )  dt • Xét h otonom (h t iu khi n)  dy  = g( x , y )  dt có im t i h n cô l p (x 0, y 0) v i f(x 0, y 0) = g(x 0, y 0) = 0. • Không gi m tính t ng quát, ta có th gi thi t r ng h otonom nói trên có im (0, 0) là im t i h n cô lp (luôn có ưc v i phép i bi n u = x - x 0; v = y - y 0) dx  =x(3 − x − y )  dt Ví d ụ 1. Xét h ph ươ ng trình vi phân:  dy  =y(1 − 3 x + y )  dt • Có im (1, 2) là im t i h n cô l p du 2  =(u + 1)( −− uv ) =−−− uvu − uv  dt • i bi n: u = x - 1; v = y - 2 có h  dv  =+(v 2)(3 −+ uv ) =−+ 6 uvv 2 +2 − 3 uv  dt có (0,0) là m t im t i h n cô l p. 17
18. Hình 7.3.1. Hình yên ng a quanh Hình 7.3.2. Hình yên ng a quanh im (1,2) c a h im (0,0) c a h t ươ ng ươ ng x/=3 x − x 2 − xy u/=−− uvu − 2 − uv  c a Ví d 1  y/= y + y 2 − 3 xy v/=−6 u + 2 vv + 2 − 3 uv • Hai m t ph ng pha trong lân c n hai im t i h n t ươ ng ng trông hoàn toàn nh ư nhau. a) Tuy ến tính hoá t ại điểm t ới h ạn u′ = fx( 0 + uy, 0 + v ) • H phi tuy n t ng quát  v′ = gx()0 + uy, 0 + v vi các hàm f( x, y ) , g( x, y ) kh vi liên t c quanh im c nh (x0, y 0 ) du  =fxyux(,)00 + fxyv y (,) 00  dt • H trên ưc x p x v i h tuy n tính:  dv  =gxyu(,) + g (,) xyv  dt x00 y 00 dx  =x(3 − x − y )  dt Ví d ụ 2. H  dv  =y(1 − 3 x + y )  dt • Có im t i h n là (1,2 ) • Ta có f(1,2) =−( 3 2 x − y ) =− 1 ; x ()1,2 f1,2= − x = 1 y ( ) ()1,2 g1,2=− 3 y =− 6 ; x ( ) ()1,2 18
19. g(1,2) =+−( 12 y 3 x ) = 2 y ()1,2 u/ = − u − v • T ó có h tuy n tính hoá:  v/ = −6 u + 2 v b) Điểm t ới h ạn c ủa h ệ tuy ến tính x/   a bx  • Xét h tuy n tính   =   (3.3) y /  c d  y Cho (0,0) là im t i h n cô l p c a H (3.3), khi ó b n ch t c a im này ph a b  thu c vào hai giá tr riêng λ1 và λ2 c a ma tr n A =   , bao g m: c d  + th c và khác nhau nh ưng cùng d u + th c và khác nhau nh ưng trái d u + thc và b ng nhau + hai s ph c liên h p v i ph n th c khác không + s thu n o. • Trong m i tr ưng h p im t i h n (0,0) gi ng các im mà ta ã g p trong Mc 7.2: im nút, im yên ng a, im xo n c ho c tâm. Giá tr ị riêng c ủa A Phân lo ại điểm t ới h ạn Th c, khác nhau, cùng d u Nút phi chính Th c, khác nhau, trái d u im yên ng a Th c và b ng nhau Nút chính ho c phi chính Ph c liên h p im xo n c Thu n o Tâm Hình 7.3.9. L p các im t i h n (0,0) c a h hai chi u x/ = Ax −−− Giá tr riêng th c khác nhau nh ưng cùng d u ∗) N u λ1, λ 2 > 0 thì (0, 0 ) là nút phi chính (ngu n nh) ∗) N u λ1, λ 2 < 0 thì (0, 0 ) là nút phi chính (ngu n nh chìm) 1 7 3  Ví d ụ 1. a) Ma tr n A =   8 −3 17  • Có λ1 = 1, λ2 = 2 , (0,0) là im nút phi chính. 1 −7 − 3  b) Ma tr n B= − A =   8 3− 17  19
20. • Có giá tr riêng λ1 = − 1 và λ2 = − 2 , có (0,0) là nút lõm phi chính (ngu n nh chìm). −−− Giá tr riêng th c khác nhau nh ưng trái d u: λ ∗) Khi 1 0 thì (0, 0 ) là im xo n c ∗) N u p < 0 thì (0, 0 ) là im lõm xo n c. 1 −10 15  Ví d ụ 3. Ma tr n A =   4 −15 8  1 1 Có các giá tr riêng λ = − ± 3i , vì p = − < 0 nên (0,0) là lõm xo n c. 4 4 20
21. Hình 7.3.7. Nút lõm xo n c Ví d 3 −−− Giá tr riêng thu n o Nu ma tr n A có giá tr riêng o liên h p λ=qi, λ = − qi , khi ó có (0,0) là tâm n nh. 1 −9 15  Ví d ụ 4. Ma tr n A =   4 −15 9  • Có các giá tr riêng λ = ± 3i do ó (0,0) là tâm n nh. Hình 7.3.8 . Tâm n nh Ví d 4 3. S ự ổn đị nh c ủa h ệ tuy ến tính và á tuy ến tính Định lý 1. Cho λ1, λ 2 là các giá tr riêng c a ma tr n h s A c a h tuy n tính hai chi u dx  =ax + by  dt  (3.1) dy  =cx + dy  dt vi ad− bc ≠ 0. Khi ó im t i h n (0,0)là: 1) n nh ti m c n n u ph n th c c a λ1, λ 2 u âm 2) n nh nh ưng không n nh ti m c n n u ph n th c c a λ1, λ 2 u b ng 0 3) Không n nh n u λ1ho c λ2 có ph n th c d ươ ng ∗∗∗ H ệ á tuy ến tính dx  =ax + by + rxy( , )  dt • Cho h á tuy n tính  (3.2) dy  =cx + dy + sxy( , )  dt • Có (0,0) là m t im t i h n cô l p v i ad− bc ≠ 0. Định lý 2. Sự ổn đị nh c ủa h ệ á tuy ến tính 21
22. Cho λ1 và λ2 là giá tr riêng c a ma tr n h s c a h tuy n tính (3.1) t ươ ng ng vi h á tuy n tính (3.2). Khi ó: 1) N u λ1= λ 2 là các giá tr riêng th c b ng nhau thì im t i h n (0,0) c a (3.2) là m t nút ho c m t im xo n c, là n nh ti m c n n u λ1= λ 2 0. 2) N u λ1, λ 2 thu n o thì (0,0) là tâm ho c im xo n và có th là n nh ti m cn, n nh ho c không n nh. 3) N u λ1, λ 2 là th c b ng nhau ho c thu n o, im t i h n (0,0) c a h á tuy n tính (3.2) có s n nh và phân lo i gi ng im t i h n (0,0) c a h tuy n tính t ươ ng ng (3.1). • Chi ti t h ơn ta d n ra d ưi ây b ng phân lo i im t i h n c a h á tuy n tính. Các véc t ơ riêng λ1, λ 2 c ủa h ệ Phân lo ại điểm t ới h ạn c ủa h ệ tuy ến tính hoá á tuy ến tính λ1 0 Nút không n nh ho c im xo n c λ1> λ 2 > 0 Nút phi chính không n nh λ1,2 =a ± bi( a 0) im xo n c không n nh λ1,2 = ± bi n nh ho c không, tâm ho c im xo n c Hình 7.3.12. Lp các im t i h n c a m t h á tuy n tính. Ví d ụ 1. Xác nh d ng và tính n nh c a im t i h n (0,0) c a h á tuy n tính dx 2 2  =4x + 2 y + 2 x − 3 y  dt  dy  =4x − 3 y + 7 xy  dt • Ph ươ ng trình c tr ưng c a h tuy n tính t ươ ng ng là : 4− λ 2 = 0 ⇔(4 −λ )(3 −− λ ) − 8 ⇔λ =5, λ =− 4 4− 3 − λ 1 2 • Do λ1, λ2 th c, trái d u ⇒ (0,0) là im yên ng a không n nh c a h tuy n tính. • Do nh lý 2, (0, 0) là im yên ng a không n nh c a h á tuy n tính. 22
23. Hình 7.3.13. Qu o c a h Hình 7.3.14. Qu o c a h á tuy n tính hoá Ví d 1. tuy n tính ban u Ví d 1 • Qu o c a h tuy n tính quanh (0,0) cho b i Hình 7.3.13, còn qu o quanh (0, 0) c a h á tuy n tính cho b i Hình 7.3.14. Ví d ụ 2. Xác nh lo i và s n nh c a im t i h n (4, 3) c a h á tuy n tính: dx 2  =33 − 10x − 3 y + x  dt  dy  =−18 + 6x + 2 y − xy  dt 2 • fxy(,)3310=− xyxgxy −+ 3 , (,) =−++− 186 xyxy 2 , x0 = 4, y0 = 3 fx f y −102 +x − 3  • Có J( x , y ) = =   ggx y 6− y 2 − x  −2 − 3  • Do ó J(4,3) =   3− 2  du  = −2u − 3 v  dt • H tuy n tính t ươ ng ng:  dv  =3u − 2 v  dt • Ph ươ ng trình c tr ưng −2 −λ − 3 =⇔0 (λ + 2)2 += 90 ⇔λ =−2 ± 3 i 3− 2 − λ • Có (0,0) là m t im t i h n n nh ti m c n ca h tuy n tính ( L 1) và t ó im (4, 3) là im t i h n n nh ti m c n c a h á tuy n tính (do nh lí 2). 23
24. Hình 7.3.16. Qu o xo n c c a Hình 7.3.17. nh pha c a h h tuy n tính • Hình 7.3.16 ch ra m t qu o in hình c a h tuy n tính. • Hình 7.3.17 ch ra im xo n c t trong nh pha nh ư th nào c a h á tuy n tính ban u. Ghi nh ớ • Bu i sau gi lí thuy t h c m c: 7.4. • Tu n sau gi bài t p làm bài t p l các m c: 5.2, 5.3 và 5.4. 24