›
›

Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 6: Uốn phẳng thanh thẳng

pdf 54 trang huongle 3440
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 6: Uốn phẳng thanh thẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_suc_ben_vat_lieu_chuong_6_uon_phang_thanh_thang.pdf

Nội dung text: Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 6: Uốn phẳng thanh thẳng

  1. Chương 6: Uốn Phẳng Thanh Thẳng 1 Các Khái Niệm 2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 5 Biến Dạng Của Thanh Chịu Uốn 6 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi
  2. 1 Các Khái Niệm Uốn phẳng p 2 Pi q Mi x z y Pi q Mi
  3. 1 Các Khái Niệm Uốn khơng gian (uốn xiên) p Pi q Mi a x z y
  4. 1 Các Khái Niệm P p2 M x z x z y l y M P z z y y Qy Qy M Pl M x M x Uốn thuần túy Uốn ngang phẳng
  5. 2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang M x C C z z Qx M y x x Qy y y * Uốn trong mặt phẳng (yz) tồn tại nội lực: QMy, x * Uốn trong mặt phẳng (xz) tồn tại nội lực: QMx, y
  6. 2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang M 2 qa 2 P qa q * Biểu đồ nội lực A B C a 4a P qa M 2 qa2 q A B C Y B Y a 4 a C 11 qa 4 Q y 5 I qa qa 4 3qa2 qa2 M x 25 qa2 32
  7. 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.1 Các giả thiết M z x x z y y Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng  0 Giả thiết về các thớ dọc const x  y 0  z 0
  8. 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy Phía vật liệu bị giãn ra Lớp trung hòa Đường trung hòa Phía vật liệu bị co lại M M M Phía vật liệu bị co lại M Phía vật liệu bị giãn ra Lớp trung hòa Phía chịu nén M z x y Đường trung hòa Lớp trung hòa Phía chịu kéo
  9. 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang Lớp trung hòa. M z r o o z x y x m m  y z dz y Đường trung hòa. z dz dj r M mm oo r y d j r. d j y x  (7.1) z oor. d j r z o o y m x  n n m y
  10. 3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang mm oo r y d j r. d j y  (7.1) z oor. d j r x y Theo định luật Hooke:  E  E (7.2) z z r Quan hệ giữa ứng suất và lực dọc: y y E E N  dF E dF ydF S 0 Sx 0 (7. 3) z F z F r r F r x Quan hệ giữa ứng suất và mômen uốn: E E E My  z xdF yxdF yxdF J 0 J xy 0 (7.4) F F r r F r xy E 2 E 2 E Mx  z ydF y dF y dF J (7.5) F F r r F r x
  11. 3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang M x  z y (7.6) J x - M : Mômen uốn t i m t c t có đi m tính ng su t x ạ ặ ắ ể ứ ấ - J : Mômen quán tính chính trung tâm của m t c t có đi m x ặ ắ ể tính ứng suất - y : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến đường trung hòa => Ứng suất phân bố đều theo bề rộng mặt cắt và thay đổi tuyến tính theo chiều cao của mặt cắt.
  12. 3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang * Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt đối xứng  min  min M x yn F max z z h x y k dF y x max M x  z y  max y J x y  max M x k  max y max J x M   x M  max min  x yn min max Wx J x J x : Mômen chống uốn của m t c t Wx ặ ắ ymax
  13. * Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt không đối xứng  min n ymax Phía chịu nén x k ymax Phía chịu kéo y  max M x k  max y max J x  max  min M x n  min y max J x
  14. 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.3. Điều kiện bền ứng suất pháp min n ymax Phía chịu nén x k ymax Phía chịu kéo y max Vật liệu dòn Vật liệu dẽo M x k max y max   k  M x max J x  y    (7.8) (7.7) z max J max M x  x yn  min max  n  J x
  15. 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.4 Dạng hợp lý của tiết diện min n ymax Phía chịu nén x k ymax Phía chịu kéo y max M x k  max y max k y  k  J x max a yn  M max  n   x yn min max J x Vật liệu dòn Mặt cắt không đối xứng k   n  a 1 Vật liệu dẽo Mặt cắt đối xứng k   n  a 1
  16. 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn thuần túy M M  z  z z  z  z
  17. 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn thuần túy u uv  x  x  x  x  u x 2 2  0 x  x 45 2 2 0,5 x  x  x 2 2  uv  x  x 900 0 0 0 45 0 45 90 a  x  x 2  x 2 2 450 0,5  x  x x  2 x 2 2
  18. Ví dụ 1: Dầm AB mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. M 2b z A B y M 12 kN . m ;  6 kN / cm2 b * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền. * Nếu bố trí mặt cắt ngang như hình bên, xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền. b 2b
  19. M x z 2b A B y Q y b M M x Theo điều kiện bền M x max max z    Wx Trong đó 3 b 2 b 2 2 M M;;; J b4 y b W b 3 xmax x12 3 max x 3 3M 3M 3.12.100   b 3 3 6,69 cm 2b3 2  2.6
  20. Bố trí mặt cắt ngang như hình 2 b 2b 3 2b b b4 b b 3 J ;; y b W x12 6 max 2 x 3 3M 3M 3.1200   b 3 3 8,43 cm b3   6 x 2b b 6,69 cm b b 8,43 cm 2b b
  21. Ví dụ 2: Dầm AB mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. M 2b z A B y 4b M 15 kN . m ;  6 kN / cm2 b 3b b * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền. M - Biểu đồ nội lực phát z sinh trong dầm. A B y Qy M x M
  22. M 2b z x A B y 4b y x1 Qy b 3b b M x M Xác định trọng tâm của mặt cắt 2 y F  ci i 3b .30 b2 2 b .12 b 2 11 y i 1 b c 2 30b2 12 b 2 3  Fi i 1 32 3 2 5b . 6 b 11 2 3 b . 4 b 11 2 4 Jx b 3 b .30 b b 2 b .12 b 54 b 12 3 12 3
  23. Theo điều kiện bền 2b x M 4b max  x max y  z max   x J x y 1 Trong đó b 3b b k 11 MMx y y b max max max 3 M 11 11M 11.1500 b   b 3 3 2,57 cm 54b4 3 3.54.  3.54.6 Ch n ọ b 2,6 cm
  24. Ví dụ 3: Dầm AC mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. 6b 3M M 1 2b z A B C y 8b b 2 2 b 3 cm ;k 2,5 kN / cm ;  n  6 kN / cm * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Xác định tải trọng cho phép (M) theo điều kiện bền. 3M M - Biểu đồ nội lực phát z sinh trong dầm. A B C y 2M M x M
  25. 6b Xác định trọng tâm của mặt cắt y 2 y F 12b x  ci i 6b .8 b .12 b 6,5 b .6 b .11 b y i 1 4,9 b x c 2 8b .12 b 6 b .11 b 1 b  Fi 8b i 1 Mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang 3 3 8b . 12 b 2 6 b . 11 b 2 4 Jx 6 b 4,9 b .8.12 b b 6,5 b 4,9 b .6.11 b b 433,7 b 12 12 Theo điều kiện bền Trong đó: M x max k max y max   k  J x MMx 2 max M k x max n  y  ymax 7,1 b min max  n  J n x y 4,9 b max
  26. 2M 7,1b  k  433,7b4 2M 4 4,9b  n  433,7b 3 3 433,7b  k  433,7.3 .2,5 M 2061,6 kN . cm 2.7,1 2.7,1 433,7b3   433,7.33 .6 M n 7169,32 kN . cm 2.4,9 2.4,9 Chọn M 2061 kN . cm Cách 2: so sánh k  ymax 7,1b  k  2,5 => Thanh bị phá hủy do kéo n ymax 4,9 b  n  6
  27. Theo điều kiện bền M x max k max y max   k  J x 2M 7,1b   433,7b4 k 433,7b3   433,7.33 .2,5 M k 2061,6 kN . cm 2.7,1 2.7,1 Chọn M 2061 kN . cm
  28. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 4.1 Các giả thiết Lớp trung hòa. M z z x x y y Đường trung hòa. Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng khơng cịn đúng nữa  0 Giả thiết về các thớ dọc x  y 0  z 0
  29. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 4.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang M x  z y J x 4.3 Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang z A x F y C y dz
  30. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng  yz  zy z ()p ()t  z A  z x F y C b y c dz dz ()()tdF  p dF  . dz . b 0 z z yz c FFCC M M dM xydF x x ydF  . dz . b 0 JJ yz c FFCCx x
  31. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng M M dM xydF x x ydF  . dz . b 0 JJ yz c FFCCx x dM dM 1 x ydF  . dz . b 0  x ydF J yz c yz dz J b FC x x c FC - Q : Lực cắt t i m t c t có đi m tính ng su t y ạ ặ ắ ể ứ ấ - Jx : Mômen quán tính chính trung tâm của c m t c t có đi m tính ng su t QSy x ặ ắ ể ứ ấ  yz - b : bề rộng mặt cắt tại đi m tính ng su t c ể ứ ấ Jx b c - S c : Mômen tĩnh của diện tích bị cắt lấy đối vớix trục trung hòa.
  32. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng * Sự phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt  min x  max C y yc A y  F C max bC  0khi y h / 2 6Q h2 yz  y y2 yz 3  0khi y 0 bh 4 yz max
  33. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 4.4 Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn ngang phẳng * Điều kiện bền ứng suất pháp Vật liệu dòn Vật liệu dẽo M x k max y max   k  J M x x  max y  z max max   M J x  x yn  min max  n  J x * Điều kiện bền ứng suất tiếp F /2 QSy. x  max  yz max C   Jx . b
  34. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng M  z E  z x  z DD  z  zy z C  zy  z BB  z  zy Qy  z AA  z
  35. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng  1 yz u u u   zy  z a z  zy  z a  uv B zy B  yz 1  yz v    z z cos 2 a  sin 2 a u2 2 yz   z sin 2 a  cos 2 a uv2 yz
  36. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng * Ứng suất pháp cực trị d u 2 yz 0 z sin 2 a 2  yz cos 2 a 0 tg 2 a da  z 1   2 4  2 max z z yz min 2 * Ứng suất tiếp cực trị d uv  z 0 z cos 2 a 2  yz sin 2 a 0 tg 2 a da2  yz 1 2 2 max z 4  xy min 2
  37. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng N E 3  max a 900 max 1 3 D 0 amax 45 3  max C a 450 max   3 1  max 1 B 0 amax 45 k A 3  max 0 amax 0
  38. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng  uv u  max u  max  uv a p min p a a a a max max max  min  max
  39. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng q    z z cos 2 a  sin 2 a u2 2 yz   z sin 2 a  cos 2 a uv2 yz
  40. Ví dụ 4: Dầm AC mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. b 2 P qa q M 2 qa 3b A B C 3a a q 120 kN / m ; a 2 m ; 6 kN / cm2 ;   2,5 kN / cm 2 * Xác định phản lực liên kết tại A, B. * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền ứng suất pháp. * Với b tìm được, kiểm tra bền cho dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp.
  41. * Phản lực liên kết tại A, B 3a 13 m 0 q .3 a . 2 qa2 Y .3 a qa .4 a 0 Y qa  ABB2 6 3a 11 m 0 Y .3 a q .3 a . 2 qa2 qa . a 0 Y qa  BAA2 6 2 P qa q M 2 qa * Biểu đồ nội lực A B C YA YB 3a a 11 qa qa 6 Qy 7 qa 6 qa2 M x qa2 121 qa2 72
  42. * Theo điều kiện bền ứng suất pháp 121 2 M qa  x max  72  z max   2   Wx b 3b 6 121qa2 121.120.22.100 b 3 3 20,77cm Chọn b 21cm 108  108.6 * Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất tiếp 11 3b 3b qa. b 11qa 11.120.2  6 4 2 0,499kN / cm2   2,5kN / cm2 yz max b 3b 3 12b2 12.212 .b 12 => Bền
  43. Ví dụ 5: Dầm AC mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. 2 P qa 6b M qa q A B C 12b 2a a 8b b q 780 kN /; m a 1,8; m  18 kN / cm2 * Xác định phản lực liên kết tại A, C. * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền ứng suất pháp.
  44. * Phản lực liên kết tại A, C 3a 17 m 0 qaqa2 .3 . Yaqaa .2 .3 0 Y qa  ABB2 4 a 1 m 0 qaYaqa2 .2 .3 . qaa . 0 Y qa  BAA2 4 2 P qa * Biểu đồ nội lực M qa q A B C YA YB 2a a 2qa qa Qy qa / 4 9qa / 4 1,5qa2 M x qa2
  45. 6b * Trọng tâm của mặt cắt y 2 y F  ci i x i 1 6b .8 b .12 b 6,5 b .6 b .11 b 12b yc 2 4,9 b 8b .12 b 6 b .11 b x1  Fi i 1 8b b * Mơmen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang 3 3 8b . 12 b 2 6 b . 11 b 2 4 Jx 6 b 4,9 b .8.12 b b 6,5 b 4,9 b .6.11 b b 433,7 b 12 12 * Theo điều kiện bền ứng suất pháp M x max 2  y  Mx 1,5 qa ; ymax 12 b 4,9 b 7,1 b max max   max J x 1,5qa2 1,5 qa 2 .7,1 1,5.780.1,8.10.7,1 2 2 .7,1b   b 3 3 7,012 cm 433,7b4 433,7  433,7.18 Chọn b 7,1cm
  46. Ví dụ 6: Dầm AC mặt cắt ngang hình chữ I24, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. y q P x x h A B C d l a y P 40 kNq ; 20 kNml / ; 4 ma ; 1 m   1600daN / cm2   1000daN / cm2 4 3 h 24 cm ; d 0,56 cm ; Jx 3460 cm ; W x 289 cm * Xác định phản lực liên kết tại A, B. * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp. * Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp.
  47. * Phản lực liên kết tại A, B l m 0 qlYlPla . . . 0 Y 90 kN  ABB2 l m 0 Y . l q . l . P . a 0 Y 30 kN  BAA2 P * Biểu đồ nội lực q A B C YA YB l a 30kN 40kN Qy 50kN 40kN . m M x 22,5kN . m
  48. * Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất pháp M 40.102  x max 13,84kNcm /2 1384 daNcm / 2  1600 daNcm / 2 max   Wx 289 Bền * Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất tiếp F / 2 QSy. x 50.163  max 4,2062kNcm /2 420,62 daNcm / 2  1000 daNcm / 2 max C   Jx. b 3460.0,56 Bền
  49. Cho một đập ngăn nước được làm bằng Ví dụ 7: b các tấm gỗ A chồng theo phương đứng. Để đỡ các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ gỗ thẳng đứng B, các trụ này được chôn xuống đất và làm việc như các dầm côngxôn như hình vẽ. Các trụ thẳng đứng B có mặt cắt ngang hình vuông kích thước bxb và có khoảng cách giữa các cột là s=0,8m. Mực h nước trong đập có chiều cao h=2m. Xác định B A kích thước mặt cắt ngang cột B nếu ứng suất uốn cho phép của gỗ bằng   8MPa Nước s b b B h s B A
  50. * Mơmen uốn lớn nhất tại chân cột: q. h h h3 s M 0 . xmax h 2 3 6 1 R q. h 2 0 * Theo điều kiện bền ứng suất pháp 1 h 1 3 3 M  h s x max 6   q0 hs z max   W 1 3 x b 6  h3 s 9,81.2 3 .0,8 b 3 3 0,1987 m   8.103 Chọn b 199 mm
  51. Ví dụ 7: Cho một đập ngăn nước được làm bằng các tấm gỗ A chồng theo phương đứng. Để đỡ các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ gỗ thẳng đứng B, các trụ này được chôn xuống đất và làm việc như các dầm côngxôn như hình vẽ. Các trụ thẳng đứng B có mặt cắt ngang hình vuông kích thước bxb và có khoảng cách giữa các cột là s=0,8m. Mực nước trong đập có chiều cao h=2m. Xác định kích thước mặt cắt ngang cột B nếu ứng suất uốn cho phép của gỗ bằng   8MPa b h B A b b B s B A
  52. Ví dụ 8: Cho một hệ sàn như hình vẽ. Sàn mang tải thiết kế bao gồm cả trong lượng bản thân sàn w 9600 N / m2 . Dầm đỡ sàn có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước 54mm x 204mm với nhịp dầm l=4000mm, khoảng cách của các dầm (tính từ trục dầm) bằng s=406mm. Bỏ qua trọng lượng dầm, xác định ứng suất pháp lớn nhất pháp sinh trong dầm. Sàn 406 Dầm s 406 s 51mm 204 mm
  53. * Sơ đồ tải trọng và mơ hình tính của dầm: w 9600 N / m2 a ) Sàn b ) q 51mm 204 mm 4000 406 s 406 Dầm s 51mm 204 mm * Mơmen uốn lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm: ql2 w. s . l 2 9,6.406.4 2 M 7795,2 kN . mm xmax 8 8 8
  54. * Ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm: M 7795,2  xmax 0,022kN / mm2 z max 2 Wx 51.204 6