Giáo trình Toán 2 - Chương 1: Ma trận và định thức

Nội dung text: Giáo trình Toán 2 - Chương 1: Ma trận và định thức

1. NỘI DUNG Chương 1: Ma trận & định thức. Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính. TOÁN 2 Chương 3: Không gian vector. Chương 4: Trị riêng, vector riêng của ma trận và dạng toàn phương. Tài liệu: Khoa CNTT & TƯD, ĐH Tôn Đức Thắng Toán cao cấp, Đại Số Tuyến Tính (Toán 2), Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, NXB ĐHQG TP HCM. Tóm tắt bài giảng Toán C2, Thái Khắc Định, ĐH Tôn Đức Thắng. 1 2 MA TRẬN CHƯƠNG 1 1.1. Định nghĩa. Cột & MA TRẬN ĐỊNH THỨC a12 Hàng 13 ⎡⎤ a ⎢⎥ 23 A = ⎢⎥57 ⎣⎦⎢⎥24 A là ma trận cấp 3x2 Tập các ma trận n hàng – k cột kí hiệu là Mnxk 3 4
2. 1.2. Các loại ma trận. - Ma trận chuyển vị: của ma trận A kí hiệu là AT hàng A Æ cột AT - Ma trận vuông: số hàng = số cột cột A Æ hàng AT ⎡⎤135 ⎢⎥là ma trận vuông cấp 3. A = ⎢⎥246 ⎡⎤13 ⎢⎥ ⎡⎤152 ⎣⎦⎢⎥987 A = 57 AT = ; ⎢⎥ ⎢⎥374 ⎣⎦⎢⎥24 ⎣⎦ -Ma trận đơn vị: ngoài đường chéo chính thì bằng 1 5 ⎡⎤100 ⎡⎤ T ⎢⎥ I = ⎢⎥010 là ma trận đơn vị cấp 3. A = [574,] A = 7. 3 ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎢⎥4 ⎣⎦001 5 6 1.3. Các phép toán trên ma trận. 1.3.2. Phép nhân một số với một ma trận. 1.3.1. Phép cộng hai ma trận. ⎡⎤⎡⎤21 1 2 ⎡⎤21++ 12 ⎡⎤⎡21 2.22.142 ⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥30+− 31=+−⎢⎥3(3)01 + ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 23⎢⎥⎢ 0== 2.32.0 ⎥⎢⎥ 6 0 ⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥04 1 2 ⎣⎦⎢⎥01++ 42 ⎣⎦⎣⎢⎥⎢04 2.02.408 ⎦⎣⎦⎥⎢⎥ ⎡⎤33 ⎢⎥ = ⎢⎥01 ⎣⎦⎢⎥16 7 8
3. 1.3.3. Phép nhân hai ma trận. Định nghĩa: A * B = C ⎡⎤145 nxk kxm = nxm ⎡⎤214⎢⎥⎡⎤2.1++ 1.3 4.0 2.4 ++ 1.2 4.1 2.5 ++ 1.1 4.3 ⎢⎥⎢⎥321= ⎢⎥ ⎣⎦032 ⎣⎦0.1++ 3.3 2.0 0.4 ++ 3.2 2.1 0.5 ++ 3.1 2.3 ⎣⎦⎢⎥013 c = hàng i của A * cột j của B ij ⎡⎤51423 = ⎢⎥ ⎣⎦98 9 Lưu ý: số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. c = (hàng 2 của A) x (cột 1 của B) (1 2 3)*(4 5 1)= 1.4+2.5+3.1=4+10+3=17 21 = 0.1++ 3.3 2.0 Tổng quát: cij = (hàng i của A) x (cột j của B) 9 10 ⎡⎤145 Bài tập ⎡⎤214 ⎢⎥ AB==⎢⎥,321⎢⎥ ⎣⎦032 ⎣⎦⎢⎥013 1. Tính tích các ma trận sau: ⎡⎤145 ⎡⎤21 ⎡⎤2110 ⎡⎤40 214 ⎡⎤013 ⎡⎤⎡⎤223− ⎢⎥ 11 ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎡⎤3 b) ⎢⎥30 0 1 c) 53− 321 a) 04⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥54− 1⎢⎥ 01 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥2 ⎣⎦102 ⎣⎦⎣⎦⎢⎥12 ⎣⎦032 ⎣⎦ ⎣⎦⎢⎥12− 10 ⎣⎦ ⎣⎦⎢⎥013 ⎣⎦⎢⎥13 ⎡⎤2.1++ 1.3 4.0 2.4 ++ 1.2 4.1 2.5 ++ 1.1 4.3 = ⎢⎥2. Tính tích của AB và BA nếu ⎣⎦0.1++ 3.3 2.0 0.4 ++ 3.2 2.1 0.5 ++ 3.1 2.3 ⎡⎤121 ⎡⎤001 ⎢⎥B = ⎢⎥010 ⎡⎤51423 A = ⎢⎥232 ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥100 ⎣⎦98 9 ⎣⎦⎢⎥143 ⎣⎦ 11 12
4. ĐỊNH THỨC 2.1. Định nghĩa. Định thức của A vuông, ký hiệu là det(A) hoặc |A| ⎡⎤0100 ⎢⎥0010 3. Cho A = ⎢⎥. ||aa= ; | −=−2 | 2; ⎢⎥0001 ⎢⎥ 0000 ⎣⎦ aa11 12 =−=aa11 22 aa 12 21 đ/c chính - đ/c phụ aa21 22 Tính các ma trận sau: đ/c chính đ/c phụ 2 T T a) A , AI3,I3A; b) A.A , A .A 12 =−=−1.4 3.2 2 34 13 14 ĐỊNH THỨC ĐỊNH THỨC ⎡⎤−−−22 3 22 A =−⎢⎥11 3 −11 aaa11 12 13 aa11 12 ⎢⎥ ⎣⎦⎢⎥20− 120 aaa21 22 23 aa21 22 aaa31 32 33 aa31 32 det(A )=− [( 2).1.( −+ 1) 2.3.2 +− ( 3).( − 1).0] −− [( 3).1.2 +− ( 2).3.0 + 2.( − 1).( − 1)] = [a a a + a a a + a a a ] 11 22 33 12 23 31 13 21 32 = [2 + 12] −− [ 6 + 2] = [14] −− [ 4] = 18 -[ a13a22a31+ a11a23a32 + a12a21a33] 15 16
5. Phân tích theo hàng i ⎡⎤−−22 3 ⎢⎥ A =−⎢⎥11 3 ⎣⎦⎢⎥20− 1 Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n. h3 detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin (1) =++−2.AA31 0. 32 ( 1). A 33 trong đó: 31++23−− 33 22 Aik được gọi là phần bù đại số của aik =−2.(1). +−− (1).(1). i+k 13− 11 Aik = (-1) det(A bỏ hàng i cột k) =−−−−−−2.[2.3 ( 3).1] [( 2).1 2.( 1)] =+−−+=2.[6 3] [ 2 2] 18 17 18 ⎡⎤−−22 3 Ví dụ 1: ⎢⎥ A =−⎢⎥11 3 ⎢⎥20− 1 Phân tích theo cột i ⎣⎦ C2 AA=++2.12 1. A 22 0. A 32 detA = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni , −−−13 2 3 =−2.( 1)12++ . +− 1.( 1) 22 . trong đóAki là phần bù đại số của aki 21−− 21 =−2.[( − 1).( − 1) − 3.2] + [( − 2).( − 1) − ( − 3).2] =−2[1 − 6] + [2 + 6] = 10 + 8 = 18 19 20
6. 2.2. Các tính chất. 1. det(AB) = det(A)det(B) det(AAT)=det(A).det(AT)=det(A).det(A)=25 2. det(AT) = det(A). Cho det(A)=5. Tính det(AAT) và det (A6). det (A6)=det(A.A A)=det(A).det(A) det(A) =det(A)6=56. 21 22 2.2. Các tính chất. Ví dụ 8: ⎡⎤−−22 3 A =−⎢⎥11 3 2 abc ⎢⎥ ⎣⎦⎢⎥20− 1 03− de =−−2.( 3).( 5).6 = 180 −−22 3hh↔ −11 3 −11 3 12 hh=−2 h 00− 5f 22 1 A =−11 3 = −−22 − 3 = −−00 9 00 06 20− 1 20− 1 20− 1 20 00 −11 3 hh↔ ⎛−11 3 ⎞ −11 3 hh=+2 h 23 33 1 ⎜⎟ a −300 = −−00 9 = −−⎜⎟025 = 025 =−−2.( 3).( 5).6 = 180 ⎜⎟00− 9 00− 9 bc−50 025 ⎝⎠ de f6 = -1.2.(-9) = 18 23 24
7. Định lý: - Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng không thì định BÀI TẬP thức của nó bằng 0. -Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì định 1. Tính các định thức cấp 2: thức của nó bằng 0. aab2 nn+++11223 a) ;; b) c) . ab b2 nn−1 −22 4 124 2312−− −=11 2 0 −=112 0 2. Tính các định thức cấp 3: 20− 4 124 101 aabac2 +1 ax+ x x a) 110; b) ab b2 +1 bc ; c) xbxx.+ 011 ac bc c2 +1 xxcx+ 25 26 3. Tính các định thức cấp 4: 4. Tính các định thức: 23− 3 4 a 111 1111+ x 21− 1 2 b 011 11− x 1 1 a) ; b) ; a) ; 62 1 0 c 101 111+ y 1 23 0− 5 d 110 1111− y 21111 0 abc 10− 11 13111 acb0 0111−− b) . c) ; d) . 11411 bc0 a abcd 11151 cba0 −−1110 11116 27 28
8. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0. 3.1. Khái niệm. - Ma trận phụ hợp. Cho ⎡⎤aa11 12 a 1n ⎡⎤AA11 21 A n1 ⎢⎥⎢⎥ Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch aa a AA A A = ⎢⎥21 22 2n đặt P = ⎢⎥12 22 n2 nếu tồn ma trận B cấp n sao cho: ⎢⎥ A ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ aa a AA A AB = BA = In, ⎣⎦m1 m2 mn ⎣⎦1m 2m nm B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kh A-1. với Aij là phần bù đại số của aij. Ma trận PA được gọi là ma trận phụ hợp của A. Ngược lại ta nói A không khả nghịch. A 29 30 ⎡ 120⎤ 3.2. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. ⎢ ⎥ det( A )=−30 ≠ 0 ⇒∃ A−1 Ví dụ A = ⎢ 314⎥ ⎣⎢−212⎦⎥ 1. Dùng ma trận phụ hợp. 14 3 4 3 1 A;A;A==−=−=−=2145 = −1 1 1112 12−− 22 13 21 Nếu A khả nghịch thì AP= A det(A ) 20 1 0 1 2 A;A;A=− =−42 = = =− =− 5 2112 22−− 22 23 21 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp. 20 10 12 A;A;A===−=−==−845 Nếu A khả nghịch thì 3114 32 34 33 31 ⎡⎤12 4 Vậy − ⎢⎥15 15 15 ⎡⎤−−248 ⎢⎥ ⎢⎥−1 1712⎢⎥ P =−14 2 − 4 ⇒=−=APA − A ⎢⎥30⎢⎥ 15 15 15 ⎢⎥555−− ⎢⎥ ⎣⎦ ⎢⎥11 1 31 − 32 ⎣⎦⎢⎥66 6
9. 3.2. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. Dùng phép biến đổi sơ cấp: ⎡⎤120100 ⎡⎤120100 1. Dùng ma trận phụ hợp. ⎢⎥⎢⎥ A = 314010⎯hh⎯⎯⎯22=−3 h 1→ 054310−− −1 1 ⎢⎥⎢⎥ Nếu A khả nghịch thì AP= A ⎢⎥ det(A ) ⎣⎦−212001 ⎣⎦⎢⎥−212001 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp. ⎡⎤120100 hh=+2 h ⎢⎥ Nếu A khả nghịch thì ⎯⎯⎯⎯33 1→ ⎢⎥054310−− pbdsc pbdsc −1 ⎣⎦⎢⎥052201 [ A|I] ⎯⎯⎯→⎯⎯⎯ → ⎣⎦⎡⎤ I|A 120100 ⎡⎤1 hh= hhh332=+ ⎢⎥336 ⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎥054310−− ⎯⎯⎯→ 33 ⎣⎦⎢⎥006− 111 34 ⎡ ⎤ ⎡⎤ 1 ⎢120100⎥ ⎢⎥120 1 0 0 hh33= ⎢ ⎥ 1 ⎢⎥ 6 054310−− hh22=− 712− ⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯5 → ⎢⎥010 ⎢ −111⎥ ⎢⎥15 15 15 ⎢001 ⎥ ⎢⎥−11 1 ⎣ 666⎦ ⎢⎥001 ⎣⎦666 ⎡⎤ ⎡⎤12− 4 ⎡⎤12− 4 ⎢⎥1201 0 0 ⎢⎥100 ⎢⎥ ⎢⎥1 15 15 15 15 15 15 hh22=−4 h 3 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥−−71 2 hh22=− ⎯⎯⎯⎯→ 050− 5 712− -1 712− ⎯⎯⎯⎯→ hh11=−2 h 2 ⎢⎥⇒ A=⎢⎥ ⎢⎥333 ⎯⎯⎯⎯→ 010 ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥15 15 15 15 15 15 −11 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥001 11 1 −11 1 666 ⎢⎥− ⎢⎥ ⎣⎦ 001 ⎢⎥666 ⎣⎦⎢⎥666 ⎣⎦ 35 36
10. HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Hạng của một ma trận là cấp cao nhất của các định thức con khác 0. Xét ma trận A cấp mxn, các phần tử nằm trên Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau: ⎡1 2 − 2 3⎤ giao của k hàng k cột tạo nên một ma trận vuông A = ⎢2 1 4 0⎥ cấp k, định thức của nó được gọi là định thức ⎢ ⎥ ⎣⎢1 1 6 3⎦⎥ con cấp k. Ta có tất cả 4 định thức con cấp 3: Ví dụ ⎡1 2 5 0⎤ 1 2 − 2 1 2 3 1 − 2 3 2 − 2 3 ⎢ ⎥ 2 1 4 = 0; 2 1 0 = 0; 2 4 0 = 0; 1 4 0 = 0 A = ⎢4 1 3 2⎥ 1 −1 6 1 −1 − 3 1 6 3 1 6 3 ⎣⎢2 3 6 1⎦⎥ ⎡1 2⎤ 1 2 δ = ⎢ ⎥ là một định thức con cấp 2 của A. có định thức con cấp 2: = −3 ≠ 0 Vậy rA=2. ⎣3 1⎦ 2 1 ⎡2 5 0⎤ ⎢ ⎥ Định lý: Ma trận bậc thang có k hàng khác không có γ = 1 3 2 là một định thức con cấp 3 của A. ⎢ ⎥ hạng bằng k. ⎣⎢3 6 1⎦⎥ 37 38 4.2 Cách tính hạng của một ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi CHƯƠNG 2 hạng ma trận. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN Để tìm hạng của một ma trận A, ta dùng các phép TÍNH biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang B, và hạng của A chính là số hàng khác không của B. 39 40
11. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1. Định nghĩa hệ phương trính tuyến tính. 2.1. Hệ phương trình Cramer. 1.2. nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. 2.1.1. Định nghĩa. 1.3. Định lý Kronecker. 2.1.2. Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo. 2.1.3. Phương pháp Cramer. 2.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát. 2.2.1. Phương pháp Gauss. 2.2.2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. 41 42