Giáo trình Toán cao cấp A2 (Bản đầy đủ)

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp A2 (Bản đầy đủ)

1. HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG === === SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TỐN CAO CẤP (A2) (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006
2. Giới thiệu mơn học 0. GIỚI THIỆU MƠN HỌC 1. GIỚI THIỆU CHUNG: Tốn cao cấp A1, A2, A3 là chương trình tốn đại cương dành cho sinh viên các nhĩm ngành tốn và nhĩm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của tốn cao cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, cịn tốn cao cấp A2 là các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính. Cĩ khá nhiều sách giáo khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiên với phương thức đào tạo từ xa cĩ những đặc thù riêng, địi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều hơn, do đĩ cần phải cĩ tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho từng mơn học. Tập tài liệu hướng dẫn học mơn tốn cao cấp A2 này được biên soạn cũng nhằm mục đích trên. Tập tài liệu này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thơng. Nội dung của cuốn sách bám sát các giáo trình của các trường đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thơng biên soạn năm 2001 và theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, giáo trình này cũng cĩ thể dùng làm tài liệu học tập,tài liệu tham khảo cho sinh viên của các trường, các ngành đại học và cao đẳng. Giáo trình được trình bày theo cách thích hợp đối với người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực cho cơng tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu của mỗi chương để thấy được mục đích ý nghĩa, yêu cầu chính của chương đĩ. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người đọc cĩ thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thơng qua cách diễn đạt và chứng minh rõ ràng. Đặc biệt bạn đọc nên chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn hoặc mở rộng tổng quát hơn các kết quả. Hầu hết các bài tốn được xây dựng theo lược đồ: đặt bài tốn, chứng minh sự tồn tại lời giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thuật tốn giải quyết bài tốn này. Các ví dụ là để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc các thuật tốn, vì vậy sẽ giúp người đọc dễ dàng hơn khi tiếp thu bài học. Sau các chương cĩ phần tĩm tắt các nội dung chính và cuối cùng là các câu hỏi luyện tập. Cĩ khoảng từ 30 đến 40 bài tập cho mỗi chương, tương ứng vĩi 3 -5 câu hỏi cho mỗi tiết lý thuyết. Hệ thống câu hỏi này bao trùm tồn bộ nội dung vừa được học. Cĩ những câu kiểm tra trực tiếp các kiến thức vừa được học nhưng cũng cĩ những câu địi hỏi học viên phải vận dụng một cách tổng hợp và sáng tạo các kiến 5
3. Giới thiệu mơn học thức để giải quyết. Vì vậy việc giải các bài tập này giúp học viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra được mức độ tiếp thu lý thuyết của mình. Các bài tập được cho dưới dạng trắc nghiệm khách quan, đây là một phương pháp rất phù hợp với hình thức đào tạo từ xa. Học viên cĩ thể tự kiểm tra và đối chiếu với đáp án ở cuối sách. Tuy nhiên phương pháp trắc nghiệm cũng cĩ những mặt hạn chế của nĩ, chẳng hạn phương pháp này khơng thể hiện được khả năng trình bày kết quả, khả năng lập luận, mà đây là một trong những yêu cầu chính của việc học tốn. Một bài tốn cĩ thể giải cho đúng kết quả nhưng cách giải sai thậm chí sai cả về bản chất. Hai lần sai dấu trừ biến thành dấu cộng và cho kết quả đúng nhưng thực chất là sai. Mặt khác cĩ thể giải bài tốn trắc nghiệm bằng cách thử các trường hợp và loại trừ, nhưng cách làm này khá tiêu cực. Để khắc phục những hạn chế của phương pháp kiểm tra trắc nghiệm chúng tơi khuyên người đọc nên tự giải quyết các bài tốn theo phương pháp tự luận, sau đĩ mới đối chiếu với các trường hợp a, b, c, d để chọn phương án đúng. Giáo trình gồm 7 chương tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết): Chương I: Lơ gích tốn học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số. Chương II: Khơng gian véc tơ. Chương III: Ma trận. Chương IV: Định thức. Chương V: Hệ phương trình tuyến tính Chương VI: Ánh xạ tuyến tính. Chương VII: Khơng gian véc tơ Euclide và dạng tồn phương. Ngồi vai trị là cơng cụ cho các ngành khoa học khác, tốn học cịn được xem là một ngành khoa học cĩ phương pháp tư duy lập luận chính xác chặt chẽ. Vì vậy việc học tốn cũng giúp ta rèn luyện phương pháp tư duy. Các phương pháp này đã được giảng dạy và cung cấp từng bước trong quá trình học tập ở phổ thơng, nhưng trong chương I các vấn đề này được hệ thống hố lại. Nội dung của chương I được xem là cơ sở, ngơn ngữ của tốn học hiện đại. Một vài nội dung trong chương này đã được học ở phổ thơng nhưng chỉ với mức độ đơn giản. Các cấu trúc đại số thì hồn tồn mới và khá trừu tượng vì vậy địi hỏi học viên phải đọc lại nhiều lần mới tiếp thu được. Các chương cịn lại của giáo trình là đại số tuyến tính. Kiến thức của các chương liên hệ chặt chẽ với nhau, kết quả của chương này là cơng cụ của chương khác. Vì vậy học viên cần thấy được mối liên hệ này. Đặc điểm của mơn học này 6
4. Giới thiệu mơn học là tính khái quát hố và trừu tượng cao. Các khái niệm thường được khái quát hố từ những kết quả của hình học giải tích ở phổ thơng. Khi học ta nên liên hệ đến các kết quả đĩ. 2. MỤC ĐÍCH MƠN HỌC Cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản về đại số : Mệnh đề, tập hợp, ánh xạ , cấu trúc đại số và đại số tuyến tính bao gồm các khái niệm về khơng gian vecto, ma trận, định thức, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng tồn phương , làm cơ sở để tiếp thu các mơn kỹ thuật điện và điện tử. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MƠN HỌC Để học tốt mơn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau : 1- Thu thập đầy đủ các tài liệu : ◊ Bài giảng: Tốn cao cấp A2. Lê Bá Long, Nguyễn Phi Nga, Học viện Cơng nghệ BCVT, 2005. ◊ Sách hướng dẫn học tập và bài tập: Tốn cao cấp A2. Lê Bá Long, Nguyễn Phi Nga, Học viện Cơng nghệ BCVT, 2005. Nếu cĩ điều kiện, sinh viên nên tham khảo thêm: Các tài liệu tham khảo trong mục Tài liệu tham khảo ở cuối cuốn sách này. 2- Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân: 9 Đặt ra mục các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân, và cố gắng thực hiện chúng Cùng với lịch học, lịch hướng dẫn của Học viện của mơn học cũng như các mơn học khác, sinh viên nên tự đặt ra cho mình một kế hoạch học tập cho riêng mình. Lịch học này mơ tả về các tuần học (tự học) trong một kỳ học và đánh dấu số lượng cơng việc cần làm. Đánh dấu các ngày khi sinh viên phải thi sát hạch, nộp các bài luận, bài kiểm tra, liên hệ với giảng viên. 9 Xây dựng các mục tiêu trong chương trình nghiên cứu Biết rõ thời gian nghiên cứu khi mới bắt đầu nghiên cứu và thử thực hiện, cố định những thời gian đĩ hàng tuần. Suy nghĩ về thời lượng thời gian nghiên cứu để “Tiết kiệm thời gian”. “Nếu bạn mất quá nhiều thì giờ nghiên cứu”, bạn nên xem lại kế hoạch thời gian của mình. 3- Nghiên cứu và nắm những kiến thức đề cốt lõi: 7
5. Giới thiệu mơn học Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước khi nghiên cứu bài giảng mơn học và các tài liệu tham khảo khác. Nên nhớ rằng việc học thơng qua đọc tài liệu là một việc đơn giản nhất so với việc truy cập mạng Internet hay sử dụng các hình thức học tập khác. Hãy sử dụng thĩi quen sử dụng bút đánh dấu dịng (highline maker) để đánh dấu các đề mục và những nội dung, cơng thức quan trọng trong tài liệu. 4- Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập: Thơng qua các buổi hướng dẫn học tập này, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm được những nội dung tổng thể của mơn học và giải đáp thắc mắc; đồng thời sinh viên cũng cĩ thể trao đổi, thảo luận của những sinh viên khác cùng lớp. Thời gian bố trí cho các buổi hướng dẫn khơng nhiều, do đĩ đừng bỏ qua những buổi hướng dẫn đã được lên kế hoạch. 5- Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên: Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn đàn học tập trên mạng Internet. Hệ thống quản lý học tập (LMS) cung cấp mơi trường học tập trong suốt 24 giờ/ngày và 7 ngày/tuần. Nếu khơng cĩ điều kiện truy nhập Internet, sinh viên cần chủ động sử dụng hãy sử dụng dịch vụ bưu chính và các phương thức truyền thơng khác (điện thoại, fax, ) để trao đổi thơng tin học tập. 6- Tự ghi chép lại những ý chính: Nếu chỉ đọc khơng thì rất khĩ cho việc ghi nhớ. Việc ghi chép lại chính là một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nĩ giúp ích rất nhiều cho việc hình thành thĩi quen tự học và tư duy nghiên cứu. 7 -Trả lời các câu hỏi ơn tập sau mỗi chương, bài. Cuối mỗi chương, sinh viên cần tự trả lời tất cả các câu hỏi. Hãy cố gắng vạch ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hồn thiện. Đối với các bài tập, sinh viên nên tự giải trước khi tham khảo hướng dẫn, đáp án. Đừng ngại ngần trong việc liên hệ với các bạn học và giảng viên để nhận được sự trợ giúp. Nên nhớ thĩi quen đọc và ghi chép là chìa khố cho sự thành cơng của việc tự học! 8
6. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA Đây là chương mở đầu làm cơ sở, làm ngơn ngữ và cơng cụ khơng những cho tốn học mà cịn cho các ngành khoa học khác. Ta biết rằng tốn học là một ngành khoa học lý thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các qui luật lập luận của tư duy lơgich hình thức. Các qui luật cơ bản của lơgich hình thức đã được phát triển từ thời Aristote (Arít-xtốt ) (thế kỷ thứ 3 trước cơng nguyên) cùng với sự phát triển rực rỡ của văn minh cổ Hy Lạp. Tuy nhiên mãi đến thế kỷ 17 với những cơng trình của De Morgan (Đờ Mocgan), Boole thì lơgích hình thức mới cĩ một cấu trúc đại số đẹp đẽ và cùng với lý thuyết tập hợp giúp làm chính xác hố các khái niệm tốn học và thúc đẩy tốn học phát triển mạnh mẽ. Việc nắm vững lơgich hình thức giúp học viên khơng những học tốt mơn tốn mà cịn cĩ thể vận dụng trong thực tế và biết lập luận chính xác. Học tốt mơn lơgich là cơ sở để học tốt đại số Boole, vận dụng để giải các bài tốn về sơ đồ cơng tắc rơle, các sơ đồ điện và cơng nghệ thơng tin. Yêu cầu của phần này là phải nắm vững khái niệm mệnh đề tốn học, các phép tốn liên kết mệnh đề và các tính chất của chúng. Khái niệm tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số là các khái niệm cơ bản: vừa là cơng cụ vừa ngơn ngữ của tốn học hiện đại. Vì vai trị nền tảng của nĩ nên khái niệm tập hợp được đưa rất sớm vào chương trình tốn phổ thơng (lớp 6). Khái niệm tập hợp được Cantor đưa ra vào cuối thế kỷ 19. Sau đĩ được chính xác hố bằng hệ tiên đề về tập hợp. Cĩ thể tiếp thu lý thuyết tập hợp theo nhiều mức độ khác nhau. Chúng ta chỉ tiếp cận lý thuyết tập hợp ở mức độ trực quan kết hợp với các phép tốn lơgich hình thức như "và", "hoặc", phép kéo theo, phép tương đương, lượng từ phổ biến, lượng từ tồn tại. Với các phép tốn lơgích này ta cĩ tương ứng các phép tốn giao, hợp, hiệu các tập hợp con của các tập hợp. Trên cơ sở tích Descartes (Đề-các) của hai tập hợp ta cĩ khái niệm quan hệ hai ngơi mà hai trường hợp đặc biệt là quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự. Quan hệ tương đương được dùng để phân một tập nào đĩ thành các lớp khơng giao nhau, gọi là phân hoạch của tập đĩ. Quan hệ đồng dư mơđulơ p (modulo) là một quan hệ tương đương trong tập các số nguyên. Tập thương của nĩ là tập  p các 9
7. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số số nguyên mơđulơ p. Tập  p cĩ nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã, an tồn mạng. Quan hệ thứ tự được dùng để sắp xếp các đối tượng cần xét theo một thứ tự dựa trên tiêu chuẩn nào đĩ. Quan hệ ≤ trong các tập hợp số là các quan hệ thứ tự. Khái niệm ánh xạ là sự mở rộng khái niệm hàm số đã được biết. Khái niệm này giúp ta mơ tả các phép tương ứng từ một tập này đến tập kia thoả mãn điều kiện rằng mỗi phần tử của tập nguồn chỉ cho ứng với một phần tử duy nhất của tập đích và mọi phần tử của tập nguồn đều được cho ứng với phần tử của tập đích. Ở đâu cĩ tương ứng thì ta cĩ thể mơ tả được dưới ngơn ngữ ánh xạ. Sử dụng khái niệm ánh xạ và tập hợp ta khảo sát các vấn đề của giải tích tổ hợp, đĩ là các phương pháp đếm số phần tử. Giải tích tổ hợp được sử dụng để giải quyết các bài tốn xác suất thống kê và tốn học rời rạc. Ta cĩ thể thực hiện các phép tốn cộng các số, hàm số, đa thức, véc tơ hoặc nhân các số, hàm số, đa thức Như vậy ta cĩ thể thực hiện các phép tốn này trên các đối tượng khác nhau. Cái chung cho mỗi phép tốn cộng hay nhân ở trên là các tính chất giao hốn, kết hợp, phân bố Một tập hợp cĩ phép tốn thoả mãn điều kiện nào đĩ được gọi là cĩ cấu trúc đại số tương ứng. Các cấu trúc đại số quan trọng thường gặp là nhĩm, vành, trường, khơng gian véc tơ. Đại số học là một ngành của tốn học nghiên cứu các cấu trúc đại số. Lý thuyết Nhĩm được Evarist Galois (Galoa) đưa ra vào đầu thế kỉ 19 trong cơng trình "Trong những điều kiện nào thì một phương trình đại số cĩ thể giải được?", trong đĩ Galoa vận dụng lý thuyết nhĩm để giải quyết. Trên cơ sở lý thuyết nhĩm người ta phát triển các cấu trúc đại số khác. Việc nghiên cứu các cấu trúc đại số giúp ta tách ra khỏi các đối tượng cụ thể mà thấy được cái chung của từng cấu trúc để khảo sát các tính chất, các đặc trưng của chúng. Chẳng hạn, tập các ma trận vuơng cùng cấp, các tự đồng cấu tuyến tính, các đa thức cĩ cấu trúc vành khơng nguyên nên cĩ những tính chất chung nào đĩ. Các cấu trúc đại số cĩ tính khái quát hố và trừu tượng cao vì vậy người ta nghĩ rằng khĩ áp dụng vào thực tiễn. Tuy nhiên thực tế cho thấy đại số Boole được ứng dụng rất hiệu quả trong việc giải quyết các bài tốn về sơ đồ mạch điện, vào máy tính. Lý thuyết nhĩm được ứng dụng vào cơ học lượng tử. Lý thuyết vị nhĩm và vành được ứng dụng trong lý thuyết mật mã, lý thuyết Ơtơmát. 1.2 TĨM TẮT NỘI DUNG 1.2.1 Lơgíc mệnh đề a. Mệnh đề 10
8. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số b. Liên kết mệnh đề: 9 Phép phủ định: p đọc khơng p 9 Phép hội: p ∧ q đọc p và q 9 Phép tuyển: p ∨ q đọc p hoặc q 9 Phép kéo theo: p ⇒ q đọc p kéo theo q, p suy ra q 9 Phép tương đương: p ⇔ q đọc p tương đương q 9 Lượng từ phổ biến: ∀ đọc với mọi 9 Lượng từ tồn tại: ∃ đọc tồn tại. 1.2.2 Tập hợp và phần tử a. Tập hợp 9 a là phần tử của A ký hiệu a∈ A, đọc a thuộc A 9 a khơng phải là phần tử của A ký hiệu a∉ A, đọc a khơng thuộc A. 9 T ập rỗng φ 9 T ập con: A ⊂ B ⇔ (x∈ A ⇒ x∈ B) 9 Tập bằng nhau A = B ⇔ ((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)) b. Các phép tốn trên tập hợp 9 Hợp x∈ A ∪ B ⇔ (x∈ A ∨ x∈ B) 9 Giao x∈ A ∩ B ⇔ (x∈ A ∧ x∈ B) 9 Hiệu x∈ A \ B ⇔ (x∈ A ∧ x∉ B) 9 Phần bù A ⊂ X , A = X \ A X A A X 9 Tập tất cả các tập con của X : P ( )= { ⊂ } A B (a,b) a A,b B 9 Tích đề các × = { ∈ ∈ } A× B × C = {(a,b,c) a∈ A, b∈ B,c∈C} c. Quan hệ 9 Quan hệ hai ngơi R trên X là tập con R ⊂ X × X , gọi là cĩ tính: o phản xạ nếu xR x, ∀ x∈ X 11
9. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số x y ⇒ y x o đối xứng nếu R R x y ∧ y z⇒ x z o bắc cầu nếu R R R x y ∧ y x ⇒ x = y o phản đối xứng nếu R R 9 Quan hệ hai ngơi R trên X được gọi là quan hệ tương đương nếu nĩ cĩ tính phản xạ đối xứng bắc cầu, ký hiệu ~. y x X x ~ y 9 L ớp tương đương của y, ký hiệu = { ∈ } 9 Quan hệ hai ngơi R trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nĩ cĩ tính phản xạ phản đối xứng và bắc cầu, ký hiệu ≤. 9 Quan hệ thứ tự ≤ trên X được gọi là quan hệ thứ tự tồn phần nếu hai phần tử bất kỳ x, y của X đều cĩ thể so sánh được với nhau, nghĩa là x ≤ y hoặc y ≤ x . Quan hệ thứ tự khơng tồn phần được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. 1.2.3 Ánh xạ a. Ánh xạ: Ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật cho ứng mỗi x∈ X với một và chỉ một y ∈Y , ký hiệu f : X → Y , y = f (x) b. Phân loại: hoặc x a y = f (x) được gọi là cơng thức xác định ảnh. 9 f là một đơn ánh nếu f (.x) = f (y) ⇒ x = y 9 f là một tồn ánh nếu f (X ) = Y . 9 f là một song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa tồn ánh. −1 9 Nếu f là một song ánh thì cĩ ánh xạ ngược f :Y → X xác định −1 bởi: y = f (x) ⇔ x = f (y) cũng là một song ánh. c. Các phép tốn 9 Hợp của hai ánh xạ f :X → Y và g :Y → Z là ánh xạ g f (x) = g( f (x)) g o f : X → Z xác định bởi o . 9 Lực lượng của tập hợp : Hai tập hợp gọi là cùng lực lượng nếu cĩ một song ánh từ tập này lên tập kia. Tập cĩ cùng lực lượng với {1,2, , n } 12
10. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số được gọi là tập hữu hạn cĩ n phần tử. Tập rỗng là tập hữu hạn cĩ 0 phần tử. Tập khơng hữu han được gọi là tập vơ hạn. 9 Tập cùng lực lượng với tập số tự nhiên ² được gọi là tập vơ hạn đếm được. Tập số thực  khơng đếm được. 1.2.4 Giải tích tổ hợp 9 Số các hốn vị n phần tử là Pn = n! p 9 Số các chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là n 9 Số các chỉnh hợp khơng lặp chập p của n phần tử là n! A p = n(n −1) (n − p +1) = n (n − p)! 9 Số các tổ hợp chập p của n phần tử là A p n! C p = n = n p! (n − p)!p! 9 Nhị thức Niu-tơn n n n n n−1 n−1 0 n p p n− p (.a + b) = Cn a + Cn a b + + Cnb = ∑Cn a b p=0 9 Sơ lược về phép đếm o Cơng thức cộng: A ∪ B + A ∩ B = A + B , A × × A = A ⋅ ⋅ A o Cơng thức nhân: 1 k 1 k , {}f : A → B = A B (A) = 2 A o Chỉnh hợp cĩ lặp: , P . o Nếu f :A → B song ánh thì A = B . 1.2.5 Các cấu trúc đại số Luật hợp thành trong, hay cịn gọi là phép tốn hai ngơi, trên tập X là một ánh xạ từ X × X vào X , ký hiệu *: X × X → X (x, y) a x * y Luật hợp thành trong * của tập X được gọi là: 9 Cĩ tính kết hợp nếu ∀x, y, z ∈ X : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z 9 Cĩ tính giao hốn nếu ∀x, y ∈ X : x ∗ y = y ∗ x 13
11. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 9 Cĩ phần tử trung hồ (hay cĩ phần tử đơn vị) là e∈ X nếu ∀x ∈ X : x ∗ e = e ∗ x = x 9 Giả sử * cĩ phần tử trung hồ e∈ X . Phần tử x'∈ X được gọi là phần tử đối xứng của x ∈ X nếu x ∗ x'.= x'∗x = e Tập khác trống G với luật hợp thành * được gọi là một vị nhĩm nếu * cĩ tính kết hợp và cĩ phần tử trung hồ. 9 Vị nhĩm là một nhĩm nếu mọi phần tử của G đều cĩ phần tử đối. 9 Nếu * cĩ tính giao hốn thì nhĩm (G,*) được gọi là nhĩm giao hốn hay nhĩm Abel. Vành (A,+,⋅), trong đĩ "+,⋅" là hai luật hợp thành trong của A ≠ φ thoả mãn: 9 (A,+) là một nhĩm Abel, 9 Luật nhân cĩ tính kết hợp, 9 Luật nhân cĩ tính phân phối hai phía đối với luật cộng, nghĩa là: ∀x,y, z ∈ A : x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z phân phối bên trái ∀x,y, z ∈ A : (x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z phân phối bên phải 9 Nếu thoả mãn thêm điều kiện: Luật nhân cĩ tính giao hốn thì (A,+,⋅ ) là vành giao hốn. Luật nhân cĩ phần tử đơn vị là 1 thì (A,+,⋅ ) là vành cĩ đơn vị. 9 Vành khơng cĩ ước của 0 được gọi là vành nguyên. Trường là một vành giao hốn cĩ đơn vị (K,+,⋅) sao cho mọi phần tử x ≠ 0 của K đều khả nghịch (cĩ phần tử đối của luật nhân). 9 (4,+,⋅), (,+,⋅), (,+,⋅) là trường. 9 (n,+,⋅) là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố. 1.2.6 Đại số Bool: Đại số Boole (B,∨,∧,' ) là một tập khác trống B với hai phép tốn hai ngơi ∨,∧ : B × B → B và phép tốn một ngơi ': B → B thoả mãn các tiên đề sau: 9 B1: ∨,∧ cĩ tính kết hợp, nghĩa là với mọi a,b,c ∈ B a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c 14
12. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 9 B2: ∨,∧ cĩ tính giao hốn, nghĩa là với mọi a,b∈ B a ∨ b = b ∨ a,a ∧ b = b ∧ a 9 B3: Tồn tại các phần tử khơng và phần tử đơn vị 0,1∈ B sao cho 0 ≠ 1 và với mọi a∈ B a ∨ 0= a, a ∧1 = a 9 B4: Với mọi a∈ B thì a'∈ B là phần tử đối theo nghĩa là: a ∨ a'=1, a ∧ a'= 0 9 B5: Luật ∨ phân phối đối với luật ∧ và luật ∧ phân phối đối với luật ∨ , nghĩa là với mọi a,b,c ∈ B a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c ). Hai cơng thức Boole trong đại số Boole (B,∨,∧,' ) được gọi là đối ngẫu nếu trong một cơng thức ta thay ∨,∧,0,1 , bằng ∧,∨,1,0 thì ta được cơng thức hai. Nguyên lý đối ngẫu: Nếu một cơng thức của đại số Boole được chứng minh là đúng dựa trên cơ sở hệ tiên đề B1-B5 thì cơng thức đối ngẫu của chúng cũng đúng. Cĩ thể áp dụng đại số Boole để giải quyết các bài tốn về mạch điện, thiết kế một mạng thoả mãn những yêu cầu nào đĩ, rút gọn mạng điện 1.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu 1: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất; a) "Mọi số nguyên tố đều là số lẻ cĩ phải khơng?" là một mệnh đề lơgich tốn học. b) "Trái đất quay xung quanh mặt trời" khơng phải là một mệnh đề lơgich tốn học. c) Mệnh đề p ∨ p luơn đúng. d) Tất cả các ý trên đều sai. Câu 2: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất a) ()p ∧ ( p ⇒ q) ≡ q . b) (.p ⇒ q) ≡ (p ∧ q ) c) ()(.p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ≡ (p ⇒ r) d) Tất cả các ý trên đều đúng. Câu 3: Cho tập A và phần tử x của A. Điều nào sau đây sai a) x∈ A. b) x ⊂ A. c) φ ∈ P (A). d) φ ⊂ P (A). 15
13. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số Câu 4: Giả sử A, B,C, D là tập con của E . Trường hợp nào sau đây là sai: a) A \ B = φ khi và chỉ khi A ⊂ B . b) Nếu A ⊂ B,C ⊂ D thì A ∪ C ⊂ B ∪ D,.A ∩ C ⊂ B ∩ D c) A ∪ A ≠ A. d) Nếu A ∪ C ⊂ A ∪ B,A ∩ C ⊂ A ∩ B thì C ⊂ B . Câu 5: Cho A, B là hai tập con của E . Hãy chọn câu trả lời đúng nhất: a) A ⊂ B ⇔ B ⊂ A. b) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∪ B = E . c) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ B ∪ A = φ . d) Tất cả các ý trên đều đúng. Câu 6: Cho A, B là hai tập con của E . Hãy chọn câu trả lời đúng nhất: a) A \ (A \ B) = A ∩ B . b) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C) . c) A ∪ (.B \ A) = A ∪ B d) Tất cả các ý trên đều đúng. Câu 7: Giả sử A, B,C, D là tập con của E . Trường hợp nào sau đây là sai: a) A ∩ B ≠ φ ⇔ (A× B) ∩ (B × A) ≠ φ . b) (A× C) ∪ (B × D) = (A ∪ B) × (C ∪ D) . c) (A× C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D) . d) Nếu A ⊂ B,C ⊂ D thì A× C ⊂ B × D . Câu 8: Trong các trường hợp sau đây trường hợp nào thì hai tập hợp A và B khơng bằng nhau a) A = {x∈ x2 + 2x >1} , B = {x∈ x > 2 −1}. b) A là tập mọi số thực ≥ 0, B là tập mọi số thực ≥ trị tuyệt đối của chính nĩ. 16
14. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số ⎧ 3 3 1 ⎫ c) A = ⎨x∈ x − a = x − a; a = ⎬ , B = {a,− 2a }. ⎩ 3⎭ d) A là tập các số tự nhiên nguyên tố nhỏ hơn 15, B = {}2,3,5,7,11,13 . Câu 9: Quan hệ nào trong các trường hợp sau đây là quan hệ tương đương trong tập các số nguyên  . a) aRb ⇔ a chia hết cho b. b) aRb ⇔ a khơng nguyên tố với b. c) aRb ⇔ (a,b) =1 (a và b nguyên tố cùng nhau) d) aRb ⇔ a − bMm, trong đĩ m ≥ 2 là một số tự nhiên cho trước. Câu 10: Trong , xét quan hệ tương đương R xác định bởi: aRb ⇔ a3 − b3 = a − b . Tìm lớp tương đương a của a trong các trường hợp sau: a) Trị tuyệt đối của a thoả mãn: a > 2 3 . b) Trị tuyệt đối của a thoả mãn: a =1 3 . c) Trị tuyệt đối của a thoả mãn: a < 2 3 vµ a ≠1 3 . d) Trị tuyệt đối của a thoả mãn: a = 2 3 . Câu 11: Quan hệ R nào trong các trường hợp sau đây là quan hệ thứ tự trong tập tương ứng a) aRb ⇔ b − a ≥ 0, ∀a,b∈. * * b) aRb ⇔ bMa, ∀a,b∈+ , + là tập các số nguyên dương. c) ARB ⇔ A ⊂ B, ∀A, B∈ P (X ), trong đĩ X ≠ φ là một tập cho trước d) Tất cả các trường hợp trên đều là quan hệ thứ tự. Câu 12: Tìm các ví dụ về tập được sắp (E,≤) và hai tập con A,B ⊂ E thoả mãn: a) Tồn tại supA nhưng khơng tồn tại supB . b) Tồn tại supB nhưng khơng tồn tại supA . c) Tồn tại supA∉ A nhưng tồn tại maxB . 17
15. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số d) Tồn tại inf A nhưng khơng tồn tại supA . Câu 13: Các ánh xạ f : →  nào sau đây là đơn ánh: a) f (x) = 2 x + 5. b) f (x) = x3 + x2 − 5x . c) f (x) = 3x − 2 x . d) f (x) = x2 + bx + c; b,c∈ . Câu 14: Cho hai ánh xạ f , g : ²→² xác định bởi: ⎧n 2 nÕu n ch½n f (n) = 2n, g(n) = ⎨ ⎩(n −1) 2 nÕu n lỴ Hãy xác định: a) f o g . b) g o f . c) f o f . d) f o g o f . Câu 15: Giả sử A, B,C, D là tập con của X . ⎧1 nÕu x∈ A Đặt I A(x) = ⎨ và gọi là hàm đặc trưng của tập A. ⎩ 0 nÕu x∉ A Hãy chọn câu trả lời đúng nhất: a) I A ⋅ I A = I A ; I X \ A =1− I A . b) I A∩B = I A ⋅ IB ; I A∪B = I A + IB − I A ⋅ IB . c) A ⊂ B ⇔ I A ≤ IB . d) Tất cả các ý trên đều đúng. Câu 16: Cho ánh xạ f : X → Y và A,B ⊂ X . Điều nào sau đây luơn luơn đúng: a) A ⊂ B ⇔ f (A) ⊂ f (B) . b) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B ) . c) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) . d) f (B \ A) = f (B) \ f (A ) . Câu 17: Cho ánh xạ f : X → Y và C, D ⊂ Y . Điều nào sau đây khơng luơn luơn đúng: a) f −1(C ∩ D) = f −1(C) ∩ f −1(D) . b) C ⊂ D ⇔ f −1(C) ⊂ f −1(D) . c) f −1(C ∪ D) = f −1(C) ∪ f −1(D) . 18
16. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số d) f −1(C \ D) = f −1(C) \ f −1(D) . Câu 18: Ký hiệu h = g o f là hợp của hai ánh xạ f : X → Y, g :Y → Z . Điều nào sau đây khơng luơn luơn đúng: a) f ,g đơn ánh thì h đơn ánh. b) f ,g tồn ánh thì h tồn ánh. c) h đơn ánh thì g đơn ánh. d) h tồn ánh thì g tồn ánh. Câu 19: Ký hiệu h = g o f là hợp của hai ánh xạ f : X → Y, g :Y → Z . Điều nào sau đây khơng luơn luơn đúng: a) h đơn ánh thì f đơn ánh. b) h tồn ánh thì f tồn ánh. c) h đơn ánh và f tồn ánh thì g đơn ánh. d) h tồn ánh và g đơn ánh thì f tồn ánh. Câu 20: Cho hai phép thế của tập {1,2,3,4}: ⎡1 2 3 4⎤ ⎡1 2 3 4⎤ σ = ⎢ ⎥ , μ = ⎢ ⎥ . Tìm: ⎣3 4 1 2⎦ ⎣4 2 1 3⎦ −1 −1 a) σ o μ . b) μ o σ . c) σ . d) μ . Câu 21: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số: a) Gồm 4 chữ số khác nhau. b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau. c) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. d) Số chẵn gồm chữ số bất kỳ. 7!4!⎛ 8! 9! ⎞ Câu 22: Tính giá trị A = ⎜ − ⎟ 10! ⎝ 3!5! 2!7!⎠ 4 5 2 6 a) A = . b) A = . c) A = . d) A = . 5 4 3 7 m!−(m −1)! 1 Câu 23: Tìm tất cả các số tự nhiên dương m ≥1 thoả mãn = (m +1)! 6 a) m = 4. b) m =1, m = 4 . c) m = 3, m = 4. d) m = 2, m = 3. 19
17. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số Câu 24: Mười người bạn đi xem phim, cùng ngồi một hàng ghế, chơi trị đổi chỗ cho nhau. Cho rằng một lần đổi chỗ mất hết một phút, hỏi thời gian họ đổi chỗ cho nhau là bao nhiêu? a) Hết 10 ngày đêm. b) Hết 100 ngày đêm. c) Hết 1670 ngày đêm. d) Hết 2520 ngày đêm. Câu 25: Một hợp tác xã cĩ 225 xã viên. Họ muốn bầu một người làm chủ nhiệm, một thư ký, một thủ quỹ mà khơng kiêm nhiệm. Giả sử mọi xã viên đều cĩ khả năng được chọn như nhau, hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn? a) Cĩ 12600 cách. b) Cĩ 13800 cách. c) Cĩ 14580 cách. d) Cĩ 13680 cách. Câu 26: Một hợp tác xã cĩ 225 xã viên. Họ muốn bầu một hội đồng quản trị gồm một chủ nhiệm, một thư ký, một thủ quỹ mà khơng kiêm nhiệm. Giả sử mọi xã viên đều cĩ khả năng được chọn như nhau, hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn? a) Cĩ 2100 cách. b) Cĩ 2300 cách. c) Cĩ 4860 cách. d) Cĩ 2280 cách. Câu 27: Một cái hộp đựng 10 quả cầu trong đĩ cĩ 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách: a) Lấy ra 4 quả cầu từ hộp. b) Lấy ra 4 quả cầu, trong đĩ cĩ đúng 2 quả cầu đỏ. c) Lấy ra 4 quả cầu, trong đĩ cĩ nhiều nhất 2 quả cầu đỏ. d) Lấy ra 4 quả cầu, trong đĩ cĩ ít nhất 2 quả cầu đỏ. Câu 28: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất: k k −1 k a) Cn−1 + Cn−1 = Cn . 0 1 2 n n b) Cn + Cn + Cn + + Cn = 2 . 1 3 5 2n−1 0 2 4 2n c) C2n + C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + C2n + + C2n . d) Tất cả các ý trên đều đúng. Câu 29: Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển của nhị thức (37 +19)31. 10 21 10 12 12 19 a) C31 37 .19 . c) C31 37 .19 . 20
18. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 10 10 21 12 19 12 b) C31 37 .19 . d) C31 37 .19 . Câu 30: Phép tốn nào sau đây khơng phải là một luật hợp thành trong: a) Phép cộng hai véc tơ. b) Tích vơ hướng hai véc tơ. c) Phép cộng hai đa thức. d) Phép nhân hai hàm số. Câu 31: Phép hợp thành trong nào sau đây khơng cĩ tính giao hốn: a) Phép cộng các số thực. b) Phép nhân các số tự nhiên. c) Phép hợp các ánh xạ từ tập E ≠ φ vào chính tập E . d) Phép cộng các hàm số. Câu 32: Trường hợp nào sau đây khơng cĩ cấu trúc nhĩm a) Tập các số tự nhiên ² với phép cộng. b) Tập các số tự nhiên  với phép cộng. c) Tập các số hữu tỉ khác khơng 4* với phép nhân. * d) Tập các số hữu tỉ dương khác khơng 4+ với phép nhân. Câu 33: Giả sử ()G,* là một nhĩm. Điều nào sau đây khơng đúng: a) Phần tử trung hồ e là duy nhất. b) Với mỗi phần tử x , phần tử đối x' của nĩ là duy nhất. c) Phần tử trung hồ e khơng cĩ phần tử đối. d) Thoả mãn luật giản ước, nghĩa là nếu x * y = x * z thì y = z . Câu 34: Trong mỗi tập số sau đây với phép cộng số và phép nhân số, trường hợp nào khơng phải là một vành: a) Tập các số nguyên chẵn. b) Tập các số hữu tỉ dương 4+ . c) Tập các số cĩ dạng a + b 2 , a và b nguyên. d) Tập các số nguyên mơđulơ p . Câu 35: Cho A là một vành. Phần tử x∈ A được gọi là luỹ linh nếu tồn tại một số tự nhiên n ≠ 0 sao cho xn = 0 . Điều nào sau đây khơng đúng: 21
19. Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số a) Nếu x,y luỹ linh và xy = yx thì x + y cũng lũy linh. b) Nếu x luỹ linh và xy = yx thì xy cũng lũy linh. c) Nếu x∈ A luỹ linh thì tồn tại x−1. d) Nếu x∈ A luỹ linh thì tồn tại (1 − x)−1. Câu 36: Hãy xác định các cơng thức đại số Boole nào sau đây là tương đương: a) ()()x ∧ z ∨ x'.∧ y b) (x ∧ y'.)∨ z c) ()()x ∨ y ∧ x'∨z ∧ (y ∨ z). d) [y ∨ (x ∧ z)]∧ []z ∨ ()x'∧y . Câu 37: Cơng thức []x ∨ (y'∧z) ∨ (x ∧ z') ∨ (y ∧ z) cĩ cơng thức rút gọn là cơng thức nào sau đây: a) y ∨ z . c) (.x ∧ y') ∨ z b) x ∨ z . d) (.x ∧ z') ∨ y Câu 38: Trường hợp nào sau đây là cơng thức rút gọn của mạng • • a) x ∧ (y ∨ z). b) x ∨ (y ∧ z). c) z ∧ (y ∨ x). d) y ∨ (x ∧ z). 22
20. Chương 2: Khơng gian véc tơ 2. CHƯƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ 2.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA Khái niệm khơng gian véc tơ cĩ nguồn gốc từ vật lý. Ban đầu các véc tơ là những đoạn thẳng cĩ định hướng, với khái niệm này người ta đã sử dụng để biểu diễn các đại lượng vật lý như: véc tơ vận tốc, lực tác động, lực điện từ . Các nhà vật lý cịn sử dụng phương pháp véc tơ Fresnel để tổng hợp các dao động điều hồ. Cuối thế kỷ 17 Descartes đã đề xuất phương pháp toạ độ để giải quyết các bài tốn hình học. Với phương pháp này mỗi véc tơ trong mặt phẳng được đồng nhất với một cặp số là hồnh độ và tung độ cịn véc tơ trong khơng gian được đồng nhất với bộ ba số. Các phép tốn của véc tơ (cộng véc tơ, nhân 1 số với véc tơ) cĩ thể chuyển tương ứng bằng phép tốn trên các bộ số và thoả mãn một số tính chất nào đĩ. Trong nhiều lĩnh vực khác chúng ta cũng thấy những đối tượng khác như các đa thức, hàm số, v.v cĩ các phép tốn thoả mãn các tính chất tương tự các véc tơ. Điều này dẫn đến việc khái quát hố khái niệm véc tơ. Trong các cơng trình về số quaternion từ năm 1843 của nhà tốn học Anh Hamilton, người ta cĩ thể tìm thấy một dạng thơ sơ của khái niệm khơng gian vec tơ 3 và 4 chiều. Hamilton dùng các số quaternion để nghiên cứu các vấn đề tốn lý. Sau đĩ các nhà vật lý như Maxwell và Gibbs đã phát triển dần lý thuyết khơng gian véc tơ 3 chiều. Khái niệm khơng gian véc tơ 4 chiều được Einstein (Anh-xtanh) sử dụng trong thuyết tương đối. Ngày nay lý thuyết khơng gian véc tơ nhiều chiều được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của tốn học và các ngành khoa học khác. Chúng ta thấy khái niệm khơng gian véc tơ được hình thành qua một quá trình lâu dài trên cơ sở các thành tựu về lý thuyết cũng như ứng dụng thực tế và khái quát hố cao. Vì vậy để học tốt chương này đồi hỏi người học phải nắm vững khái niệm khơng gian véc tơ vĩi mức độ trừu tượng cao, cịn các mơ hình cụ thể là các khơng gian 2 chiều, 3 chiều ta đã biết. Đối tượng của ta ở đây là các khơng gian véc tơ hữu hạn chiều. Đĩ là các khơng gian cĩ hệ sinh hữu hạn. Trong khơng gian này mọi véc tơ đều cĩ thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của hệ sinh. Muốn cho biểu diễn này là duy nhất thì hệ sinh phải độc lập tuyến tính, lúc đĩ ta gọi là một cơ sở của khơng gian véc tơ. Các hệ số trong biểu diễn ở trên được gọi là toạ độ của véc tơ. 23
21. Chương 2: Khơng gian véc tơ Học viên cần luyện tập tìm toạ độ của một véc tơ trong các cơ sở khác nhau. Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véc tơ cho trước. Tìm hạng của một hệ véc tơ, tìm chiều của khơng gian con. Cơng thức chiều của tổng hai khơng gian véc tơ con, chiều của giao của hai khơng gian véc tơ con. Thấy được mối liên hệ giữa hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ sinh và cơ sở, liên hệ giữa hạng của hệ sinh và chiều của khơng gian sinh bởi hệ sinh này (định lý 2.17). Liên hệ với những phép tốn và tính chất véc tơ đã biết ở phổ thơng. 2.2 TĨM TẮT NỘI DUNG 2.2.1 Khái niệm khơng gian vectơ Khơng gian véc tơ trên trường K là tập V khác φ với hai phép tốn: * Phép tốn trong * Phép tốn ngồi V ×V →V K ×V →V (α,u) αu (u,v) a u a thoả mãn các tiên đề sau với mọi u,vàv, w∈V α,β ∈ K 9 (u + v) + w = u + (v + w ) 9 Cĩ 0 ∈V sao cho u + 0 = 0 + u = u 9 Với mỗi u ∈V cĩ − u ∈V sao cho u + (−u) = (−u) + u = 0 9 u + v = v + u 9 (α + β )u = αu + βu 9 α(u + v) = αu +αv 9 (αβ )u = α(βu ) 9 1u = u , trong đĩ 1 là phần tử đơn vị của K . Khi K =  thì V được gọi là khơng gian véc tơ thực. Khi K =  thì V thì được gọi là khơng gian véc tơ phức. Các phần tử của V được gọi là các véc tơ, các phần tử của K được gọi là các phần tử vơ hướng. Vì (V ,+) là một nhĩm Abel nên véc tơ 0 và véc tơ đối − u của u là duy nhất với mọi u ∈V . 9 Cĩ luật giản ước: u + v = u + w ⇒ v = w . 9 Với mọi u ∈V , 0,u = 0 (.−1)u = −u 24
22. Chương 2: Khơng gian véc tơ 9 Với mọi α ∈ K , α0 = 0 . 9 Nếu αu = 0 thì α = 0 hoặc u = 0 . Ta định nghĩa u − v := u + (−v), khi đĩ u + v = w ⇔ u = w − v . Với các véc tơ u1,u2, ,un ∈V và với mọi α1,α2, ,αn ∈ K , do tính kết hợp của phép cộng nên ta cĩ thể định nghĩa theo qui nạp: n ∑αkuk =α1u1 + + αnun = (α1u1 + + αn−1un−1) + αnun ∈V k =1 biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1, ,un . Trong giáo trình này ta chỉ xét K =  , nghĩa là chỉ xét các khơng gian véc tơ thực. 2.2.2 Khơng gian vectơ con a. Khơng gian véc tơ con: Tập con W ≠ φ của V sao cho hai phép tốn từ V thu hẹp vào W trở thành khơng gian véc tơ (thoả mãn các tiên đề V1-V8) thì W được gọi là khơng gian véc tơ con của V (hay nĩi tắt: khơng gian con của V ). b. Khơng gian con W bé nhất chứa hệ véc tơ S được gọi là khơng gian sinh bởi hệ S ký hiệu W = span S và S được gọi là hệ sinh của W . W = span S bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S . Nếu V = span S , S = {}v1, ,vn hữu hạn thì V được gọi là khơng gian hữu hạn sinh. Lúc đĩ, với mọi u ∈V ; u = x1v1 + + xnvn , x1, , xn ∈ . c. Tổng của một họ khơng gian véc tơ con: Giả sử W1, ,Wn là n khơng gian con của V . Ta ký hiệu W1 + + Wn là tổng của các khơng gian con W1, ,Wn và định nghĩa như sau: u ∈W1 + + Wn ⇔ u = u1 + + un, ui ∈Wi ; i =1, ,n. Tuy nhiên, nĩi chung cách viết trên khơng duy nhất. Khi với mỗi u ∈W1 + + Wn cách viết trên duy nhất thì tổng các khơng gian con này được gọi là tổng trực tiếp. Lúc đĩ ta ký hiệu: W1 ⊕ ⊕Wn . Tổng W1 + W2 là tổng trực tiếp khi và chỉ khi W1 ∩W2 = {}0 . Ta cĩ thể chứng minh được W1 + + Wn = span(W1 ∪ ∪Wn ) 25
23. Chương 2: Khơng gian véc tơ Một cách tổng quát ta định nghĩa và ký hiệu tổng của một họ các khơng gian ⎛ ⎞ véc tơ con ()W là W = span⎜ W ⎟ . i i∈I ∑ i ⎜ U i ⎟ i∈I ⎝i∈I ⎠ Vậy W = u + + u u ∈W ,i ∈ I, j =1, ,k;k =1,2, . ∑ i { i1 ik i j i j j } i∈I 2.2.3 Độc lập tuyến tính Hệ n véc tơ S = {}u1, ,un của V được gọi là độc lập tuyến tính nếu: α1u1 + +αnun = 0,α1, ,αn ∈ thì α1 = = αn = 0. Hệ khơng độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Hệ con {}v1, ,vn của hệ S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của S nếu nĩ là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của S thì ta cĩ hệ phụ thuộc tuyến tính. Mọi hệ véc tơ S đều cĩ hệ con độc lập tuyến tính tối đại, số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S đều bằng nhau và ta gọi là hạng của S , ký hiệu r(S). Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là một cơ sở của V . Nếu B = {}e1, ,en là một cơ sở của V . Lúc đĩ, với mọi u ∈V ; tồn tại duy nhất x1, , xn ∈ sao cho u = x1v1 + + xnvn . (x1, , xn ) = []u B được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở B . Mọi khơng gian hữu hạn sinh V đều tồn tại cơ sở. Số phần tử của mọi cơ sở của V đều bằng nhau và được gọi là số chiều của V , ký hiệu dimV . dim()()spanS = r S . 2.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu 1: Trường hợp nào sau đây tập 3 với các phép tốn được định nghĩa là khơng gian véc tơ ⎧(x, y, z) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z) a) ⎨ ⎩α(x, y, z) = (αx, y, z) ; α ∈ ⎧(x, y, z) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z') b) ⎨ ⎩α(x, y, z) = (2α x,2α y,2α z) ; α ∈ 26
24. Chương 2: Khơng gian véc tơ ⎧(x, y, z) + (x', y', z') = (x + x'+1, y + y'+1, z + z'+1) c) ⎨ ⎩α(x, y, z) = (0,0,0) ; α ∈ ⎧(x, y, z) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z') d) ⎨ . ⎩α(x, y, z) = (α x,α y,α z) ; α ∈ Câu 2: Với các phép cộng hai hàm số và phép nhân hàm số với số thực, tập các hàm số nào sau đây là khơng gian véc tơ. a) Tập các hàm số khơng âm trên [a,.b] b) Tập các hàm số bị chặn trên [a,.b] c) Tập các hàm số khả vi trên [a,b] ( cĩ đạo hàm tại mọi điểm). d) Tập các hàm số trên [a,b] sao cho f (b) = 1. Câu 3: Tập hợp các véc tơ cĩ dạng nào sau đây khơng là khơng gian con của 3 a) Các véc tơ cĩ dạng (x,0, z). b) Các véc tơ cĩ dạng (x, y,1) . c) Các véc tơ cĩ dạng (x, y, z) thoả mãn x + y + z = 0. d) Các véc tơ cĩ dạng (x, y, z), 2x − y + z = 0, x + y − 4z = 0. Câu 4: Tập hợp các véc tơ cĩ dạng nào sau đây khơng là khơng gian con của 3 a) Các véc tơ (x, y, z) thoả mãn x ≤ y ≤ z . b) Các véc tơ (x, y, z) thoả mãn xy = 0 . c) Các véc tơ (x, y, z) thoả mãn 3x + 2y − 4z = 0. d) Các véc tơ (x, y, z) thoả mãn x = y2 . Câu 5: Tìm véc tơ u sau của khơng gian 4 thoả mãn phương trình: 3(v1 − u) + 2(v2 + u) = 5(v3 + u ) trong đĩ v1 = (2,5,1,3); v2 = (10,1,5,10); v3 = (4,1,−1,1 ) a) u = (6,12,18,24) . b) u = (7,−2,3,0 ) . c) u = (1,2,3,4) . d) u = (−2,3,7,0 ) . 27
25. Chương 2: Khơng gian véc tơ Câu 6: Hãy biểu diễn véc tơ u thành tổ hợp tuyến tính của v1,v2,v3 : a) u = (7,−2,15) ; v1 = (2,3,5 ) , v2 = (3,7,8) , v3 = (1,−6,1). b) u = (1,4,−7,7) ; v1 = (4,1,3,−2) ,)v2 = (1,2,−3,2 ,)v3 = (16,9,1,−3 . c) u = (6,9,14) ; v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,2) , v3 = (1,2,3) . d) u = (6,2,−7) ; v1 = (2,1,−3 ), v2 = (3,2,−5) , v3 = (1,−1,1) . Câu 7: Hãy xác định λ sao cho x là tổ hợp tuyến tính của u,v, w: x = (7,−2,λ) ; u = (2,3,5 ), v = (3,7,8) , w = (1,−6,1). a) λ = 10. c) λ = − 11. b) λ = 12. d) λ =11. Câu 8: Hệ véc tơ nào sau đây sinh ra 3 a) u = (2,1,−3) , v = (3,2,−5) , w = (1,−1,1) . b) u = (2,−1,3) , v = (4,1,2) , w = (8,−1,8). c) u = (3,1,4) , v = (2,−3,5) , w = (5,−2,9) , s = (1,4,−1) . d) u = (3,0,13) , v = (2,7,4), w = (1,−10,11) . Câu 9: Hệ véc tơ nào sau đây của 3 là độc lập tuyến tính a) u = (1,−2,1), v = (2,1,−1) , w = (7,−4,1). b) u = (1,−3,7) , v = (2,0,8) , w = (8,−1,8), x = (3,−9,7) . c) u = (1,2,−3) , v = (1,−3,2) , w = (2,−1,5) . d) u = (2,−3,13), v = (0,0,0) , w = (1,−10,11) . Câu 10: Hệ véc tơ nào dưới đây là độc lập tuyến tính. a) u = (4,−2,6), v = (6,−3,9) trong 3 . b) u = (2,−3,1), v = (3,−1,5) , w = (1,−4,3) trong 3 . c) u = (5,4,3), v = (3,3,2) , w = (8,1,3) trong 3. d) u = (4,−5,2,6),)v = (2,−2,1,3 ,)w = (6,−3,3,9 ,)s = (4,−1,5,6 trong 4 . Câu 11: Tìm λ để hệ véc tơ sau phụ thuộc tuyến tính: 28
26. Chương 2: Khơng gian véc tơ −1 −1 −1 −1 −1 −1 u = (λ, , ) , v = ( ,λ, ) , w = ( , ,λ) . 2 2 2 2 2 2 a) λ = 1. c) λ =1, λ =1/ 2 . b) λ = 2, λ =1/ 2 . d) λ = −3. Câu 12: Xác định hệ véc tơ nào sau đây là một cơ sở của khơng gian 3 a) u = (1,−2,1), v = (2,1,−1) . b) u = (2,−3,13), v = (2,0,8) , w = (8,−1,8), x = (3,−9,7) . c) u = (1,1,1), v = (1,2,3) , w = (2,−1,1). d) u = (1,1,2) , v = (1,2,5) , w = (5,3,4) . Câu 13: Xác định toạ độ của véc tơ v = (4,−3,2) viết trong cơ sở B = {}(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) của khơng gian 3 . a) []v B = (2,−3,8). b) [v]B = (2,−5,7). c) []v B = (−2,−3,8) . d) [v]B = (2,−3,−8) . Câu 14: Tìm chiều của các khơng gian con của 4 a) Các véc tơ cĩ dạng (x, y,0,t). b) Các véc tơ cĩ dạng (x, y, z,t) với z = x − y và t = x + y . c) Các véc tơ cĩ dạng (x, y, z,t) với x = y = z = t . d) Các véc tơ cĩ dạng (x, y, z,t) với x = 2y + z − 3t . Câu 15: Tìm hạng r của hệ véc tơ sau của khơng gian 4 : v1 = (1,2,3,4) ; v2 = (2,3,4,5); v3 = (3,4,5,6); v4 = (4,5,6,7). a) r = 4 . c) r = 2. b) r = 3. d) r =1. Câu 16: Tìm chiều của khơng gian con sinh bởi hệ các véc tơ sau: a) v1 = (2,4,1), v2 = (3,6,−2) , v3 = (−1,2,−1 2). b) v1 = (2,4,1,−3) , v2 = (1,2,1,−2 ), v3 = (1,2,2,−3). c) v1 = (1,0,0,−1) , v2 = (2,1,1,0) , v3 = (1,1,1,1), v4 = (1,2,3,4) , 29
27. Chương 2: Khơng gian véc tơ v5 = (0,1,2,3). d) v1 = (1,1,1,1,0), v2 = (1,1,−1,−1,−1) , v3 = (2,2,0,0 −1) , v4 = (1,1,5,5,2 ) , v5 = (1,−1,−1,0,0 ) . Câu 17: Trong khơng gian 4 xét các véc tơ: v1 = (2,4,1,−3 ) ; v2 = (1,2,1,−2 ); v3 = (1,2,2,−3); u1 = (2,8,3,−7 ) ; u2 = (1,0,1,−1 ); u3 = (3,8,4,−8) . Đặt V1 = span{}v1,v2,v3 , V2 = span{u1,u2,u3} Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . a) dim(V1) = 3, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 4, dim V1 ∩V2 =1. b) dim(V1) = 3, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 5, dim V1 ∩V2 =1. c) dim(V1) = 2, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 3, dim V1 ∩V2 =1. d) dim(V1) = 2, dim(V2 ) = 3, dim(V1 + V2 )()= 4, dim V1 ∩V2 =1. Câu 18: Trong khơng gian 4 xét các véc tơ: v1 =(2,1,2,1 ) ; v2 = (3,4,2,3 ); v3 =(1,1,1,1); u1 =(−1,−1,1,3) ; u2 = (1,1,0,−1); u3 = (2,2,2,2) . Đặt V1 = span{}v1,v2,v3 , V2 = span{u1,u2,u3} Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . a) dim(V1) = 3, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 4, dim V1 ∩V2 =1. b) dim(V1) = 3, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 5, dim V1 ∩V2 =1. c) dim(V1) = 2, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 3, dim V1 ∩V2 =1. d) dim(V1) = 2, dim(V2 ) = 3, dim(V1 + V2 )()= 4, dim V1 ∩V2 =1. Câu 19: Cho hai hệ véc tơ: v1 = (1,1,1,1),v2 = (1,−1,1,−1),v3 = (1,3,1,3) và u1 = (1,2,0,2),u2 = (1,2,1,2),u3 = (3,1,3,1 ). Đặt V1 = span{}v1,v2,v3 , V2 = span{u1,u2,u3} 30
28. Chương 2: Khơng gian véc tơ Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . a) dim(V1) = 3, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 4, dim V1 ∩V2 =1. b) dim(V1) = 3, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 5, dim V1 ∩V2 =1. c) dim(V1) = 2, dim(V2 ) = 2, dim(V1 + V2 )()= 3, dim V1 ∩V2 =1. d) dim(V1) = 2, dim(V2 ) = 3, dim(V1 + V2 )()= 4, dim V1 ∩V2 =1. Câu 20: Cho 3 véc tơ v1,v2 ,v3 của khơng gian véc tơ V . Khẳng định nào sau đây là sai: a) Nếu {v1,v2}độc lập thì {v1 + v2,v1 − v2} cũng độc lập. b) Nếu {}v1,v2,v3 độc lập thì {v1 + v2,v2 + v3,v3 + v1} cũng độc lập. c) Nếu {v1,v2,v3}độc lập thì {}2v1 + v2 + v3,v1 + 2v2 + v3,v3 − 2v2 + 5v1 cũng độc lập. d) Nếu {}v1,v2,v3 độc lập thì {v1 + 3v2,v1 + 2v2 − v3,v3 + v1} cũng độc lập. Câu 21: Giả sử W1, W2 là hai khơng gian con của khơng gian véc tơ V . Phát biểu nào sau đây khơng đúng: a) W1, W2 là hai khơng gian con của W1 + W2 . b) W1 ∪W2 là khơng gian con của W1 + W2 . c) W1 + W2 là khơng gian véc tơ nhỏ nhất chứa W1 ∪W2 . d) Tổng W1 + W2 là tổng trực tiếp W1 ⊕W2 khi và chỉ khi W1 ∩W2 = φ . Câu 22: Phát biểu nào sau đây khơng đúng: 3 a) Nếu W1, W2 là hai khơng gian con của  , dimW1 = dimW2 = 2 thì W1 ∩W2 ≠ {0}. b) dimW1 ⊕W2 = dimW1 + dimW2. c) Tồn tại W1, W2 là hai khơng gian con của khơng gian véc tơ V thoả mãn dimW1 = 4, dimW2 = 5, dimV = 7 và dimW1 ∩W2 = 1. 3 d) Nếu W1, W2 là hai khơng gian con của  , dimW1 =1, dimW2 = 2 và 3 W1 ⊄ W2 thì  = W1 ⊕ W2 . 31
29. Chương 2: Khơng gian véc tơ Câu 23: Cho u = (1,−3,2) và v = (2,−1,1) là hai véc tơ của 3 . Với giá trị k nào thì (1,k,5)∈span{}u,v . a) k = 9. c) k = −4. b) k = 4 . d) k = −8. Câu 24: Cho u = (1,−3,2) và v = (2,−1,1) là hai véc tơ của 3 . Véc tơ nào sau đây thuộc khơng gian span{u,v}. a) (2,−5,4) . c) (2,−5,−4 ). b) (1,7,−4). d) (3,−5,8) . Câu 25: Cho W1 = {(x, y,0) x, y ∈ }, W2 = span{(1,2,3);(1,−1,1)} là hai khơng gian véc tơ con của 3 . Véc tơ nào sau đây thuộc vào khơng gian con W1 ∩W2 . a) (1,−6,2). c) (2,−5,0). b) (1,−6,0) . d) (5,−6,0) . 3 Câu 26: Cho W1, W2 , W3 là ba khơng gian véc tơ con của  xác định như sau:W1 = {(x, y, z) x + y + z = 0}, W2 = {(x, y, z) x = z}, W3 = {(0,0, z) z ∈}. Hãy tìm câu trả lời đúng nhất 3 a)  =W1 + W2 . 3 b)  =W1 ⊕W3 . 3 c)  = W2 ⊕W3 . d) Tất cả các trường hợp trên đều dúng. 32
30. Chương 3: Ma trận 3. CHƯƠNG 3: MA TRẬN 3.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA Lý thuyết ma trận cĩ mặt khắp nơi, trong tốn học cũng như trong các ngành khoa học khác. Vì vậy chúng ta dễ lầm tưởng rằng lý thuyết ma trận ra đời đã lâu lắm nhưng thực tế lý thuyết này mới ra đời từ đầu thế kỷ 19, mặc dù nhiều loại bảng số cĩ tính chất đặc biệt đã được biết đến từ hàng trăm năm nay. Các ma trận vuơng xuất hiện đầu tiên ở đầu thế kỷ 19 trong các cơng trình về dạng tồn phương hay về các phép thế tuyến tính. Phép nhân hai ma trận vuơng cấp 3 được Gauss (Gau-xơ) đưa ra vào năm 1801. Tên gọi ma trận được nhà tốn học Anh Sylvester (Synvét) đưa ra năm 1850. Cayley (Kê-li) là người đầu tiên mơ tả một cách tổng quát các phép tính với các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858). Peano là người đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyến tính qua các ma trận. Cịn Gauss là người đầu tiên sử dụng ma trận để nghiên cứu các dạng tồn phương. Ký hiệu ma trận cơ đọng, rất cĩ ích và thuận tiện trong khi thực hiện các phép biến đổi tuyến tính (chương 6) và cho phép ta phát triển một phương pháp hồn chỉnh để giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính. Sự quan tâm của các nhà vật lý đối với lý thuyết ma trận, đặc biệt tăng lên sau khi Heisenberg, Born, Jordan vào năm 1925 đã dùng nĩ trong các bài tốn của cơ học lượng tử. Sự phát triển của máy tính hiện đại thực hiện dễ dàng những phép tính ma trận cơ bản càng thúc đẩy thêm sự ứng dụng rộng rãi ma trận vào những lĩnh vực khác. Cĩ người ví ma trận như là số học của tốn cao cấp. Cách ví von này hồn tồn hợp lý vì ma trận được sử dụng rộng rãi trong các chuyên ngành khác nhau của tốn học. Với tư cách là sự biểu diễn của các phép biến đổi tuyến tính, ma trận được sử dụng trong các bài tốn cực trị của hàm nhiều biến, đạo hàm hàm hợp, ma trận Jacobi trong phép đổi biến số, giải các hệ phương trình vi phân tuyến tích. Các ma trận dương dùng để mơ tả các đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên, mơ tả xác suất chuyển của chuỗi Markov trong lý thuyết xác suất. Giải các bài tốn quy hoạch tuyến tính. Phân loại các đường, mặt bậc 2 Chương trình phần mềm MATLAB (Matrix laboratory) hỗ trợ cho việc tính tốn, đồ hoạ và mơ phỏng cũng được thực hiện trong mơi trường ma trận. Nắm vững khái niệm ma trận giúp học viên học tốt các chương 4,5,6,7. Trong chương này ta chỉ xét khái niệm ma trận cùng với các phép tốn cộng ma trận, nhân một số với ma trận, nhân hai ma trận và ma trận chuyển vị. 33
31. Chương 3: Ma trận Cộng hai ma trận cùng cỡ được thực hiện bằng cách cộng các phần tử nằm trên các hàng các cột tương ứng với nhau. Nhân một số với ma trận là nhân số này với mọi phần tử của ma trận. Hai phép tốn này được thực hiện một cách dễ dàng. Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận trước bằng số hàng của ma trận sau. Khi đĩ phần tử ở hàng i cột j của ma trận tích cĩ được bằng cách lấy các phần tử trên hàng thứ i của ma trận trước nhân tương ứng với các phần tử trên cột thứ j của ma trận sau rồi cộng lại. Như vậy phép nhân ma trận được thực hiện khĩ hơn nhiều. Học viên cần luyện tập nhiều về phép nhân ma trận. Tập hợp các ma trận cùng cỡ với phép cộng ma trận và phép nhân một số với ma trận là một khơng gian véc tơ. Tập hợp các ma trận vuơng cùng cấp với phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với ma trận là một vành cĩ đơn vị, khơng giao hốn và khơng nguyên. Ma trận của một hệ véc tơ trong một cơ sở B nào đĩ là ma trận cĩ các cột là toạ độ của hệ véc tơ này trong cơ sở B. Ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B' là ma trận của hệ véc tơ B' viết trong cơ sở B. Hạng của ma trận là hạng của hệ véc tơ cột. Ma trận nghịch đảo được xét trong chương 4 khi ta đã học định thức của ma trận. Bài tốn chéo hố ma trận được xét trong chương 6 cùng với bài tốn chéo hố tự đồng cấu tuyến tính. Ma trận trực giao và bài tốn chéo hố trực giao của một ma trận được xét trong chương 7 bằng cách sử dụng tích vơ hướng. 3.2 TĨM TẮT NỘI DUNG 3.2.1 Khái niệm ma trận Một bảng số cĩ m hàng n cột ⎡ a11 a12 a1n ⎤ ⎢ a a a ⎥ A = ⎢ 21 22 2n ⎥ ⎢ M M O M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 am2 amn ⎦ được gọi là một ma trận cỡ m × n . aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j . i=1,m Viết tắt dạng A = a hay A = a [ ij ]j=1,n [ ij ]m×n Tuỳ theo các phần tử aij là số nguyên, thực hay phức mà ta nĩi A là ma trận nguyên, thực hay là ma trận phức. 9 Khi m = n ta nĩi A là ma trận vuơng cấp n . 34
32. Chương 3: Ma trận 9 Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m × n được ký hiệu Mm×n . 9 Tập hợp tất cả các ma trận vuơng cấp n được ký hiệu Mn . Ma trận khơng 0 = []o m×n (các phần tử đều bằng 0) Hai ma trận cùng cỡ bằng nhau A = a = B = b ⇔ a = b với mọi i =1,m ; j =1,n. []ij m×n []ij m×n ij ij 3.2.2 Các phép tốn ma trận a. Cộng hai ma trận cùng cỡ: a + b = a + b [ ij ]m×n [ ij ]m×n [ ij ij ]m×n b. Nhân ma trận với một số: k a = ka [ ij ]m×n [ ij ]m×n Nhân ma trận với ma trận: Tích hai ma trận A = a và B = b là [ ij ]m× p []ij p×n p ma trận cỡ m×n AB = c trong đĩ c = a b với mọi i =1,m ; j =1,n . []ij m×n ij ∑ ik kj k =1 c. Ma trận đơn vị cấp n: Ma trận In vuơng cấp n cĩ các phần tử trên đường chéo bằng 1 và các phần tử ở vị trí khác đều bằng 0. Với mọi ma trận A cỡ m × n ta cĩ Im A = A = AIn . d. Ma trận chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A = a là []ij m×n At = c ; c = a i = 1, n j = 1, m []ij n×m ij ji 3.2.3 Ma trận của một hệ véc tơ trong một cơ sở nào đĩ Giả sử V là khơng gian n chiều với một cơ sở B = {e1, en}. {}v1, ,vm là một hệ véc tơ của V cĩ toạ độ trong cơ sở B : n Nếu v = a e , j =1,m thì A = a được gọi là ma trận của hệ j ∑ ij i [ ij ]n×m i=1 véc tơ {}v1, ,vm trong cơ sở B . Ma trận chuyển cơ sở : Ma trận của hệ véc tơ B' trong cơ sở B được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B'. 35
33. Chương 3: Ma trận Giả sử B = {}e1, en , B'= {e'1, e'n} là hai cơ sở của V . n Nếu e'j = ∑tijei , j =1,n i=1 thì P = [tij ] là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B'. n n ∀u ∈V ;u = ∑ xiei = ∑ x'i e'i , cơng thức đổi tọa độ i=1 i=1 []x = t x' i n×1 [ ij ]n×n [ j ]n×1 Nếu A, A' lần lượt là ma trận của {v1, ,vm} trong cơ sở B , B' thì A = PA '. 3.2.4 Hạng của ma trận Ta gọi hạng của ma trận A, ký hiệu r(A), là hạng của các véc tơ cột của A. 3.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu 1: Phép tốn nào sau đây khơng thực hiện được ⎡1 2 − 3 6⎤ ⎡− 5 1 − 3 0⎤ ⎡1 2 5⎤ ⎡4 3⎤ a) ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ . b) ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ . ⎣5 0 7 9⎦ ⎣− 2 8 − 4 2⎦ ⎣3 4 7⎦ ⎣2 9⎦ ⎡1 2 − 3 6⎤ ⎡− 5 1 − 3 0⎤ c) − 3⎢ ⎥ . d) 0⎢ ⎥ . ⎣5 0 7 9⎦ ⎣− 2 8 − 4 2⎦ Câu 2: Cho ⎡2 − 5 1 ⎤ ⎡1 − 2 − 3⎤ ⎡0 1 − 2⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ ⎥ , C = ⎢ ⎥ . ⎣3 0 − 4⎦ ⎣0 −1 5 ⎦ ⎣1 −1 −1⎦ Tìm 3A + 4B − 2C . ⎡12 7 − 5⎤ ⎡1 2 5⎤ a) ⎢ ⎥ . b) ⎢ ⎥ . ⎣ 4 9 21⎦ ⎣3 4 7⎦ ⎡10 − 25 − 5⎤ ⎡12 17 − 25⎤ c) ⎢ ⎥ . d) ⎢ ⎥ . ⎣ 7 − 2 10 ⎦ ⎣24 − 9 21 ⎦ ⎡x y⎤ ⎡ x 6 ⎤ ⎡ 4 x + y⎤ Câu 3: Tìm x, y, z,w nếu 3⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣z w⎦ ⎣−1 2w⎦ ⎣z + w 3 ⎦ a) x = 2, y = 4, z =1,w = 3. b) x = 3, y = 5, z =1,w = 6. 36
34. Chương 3: Ma trận c) x = −2, y = 5, z = 3,w = − 1. d) x = −3, y = 5, z = 2,w = 7 . Câu 4: Cho A,B,C là 3 ma trận vuơng cấp n. Điều nào sau đây khơng luơn đúng. a) A()()BC = AB C . b) A(B + C) = AB + AC . c) A()()kB = kA B = k(AB). d) AB = BA. ⎡2 − 5 1 ⎤ ⎡− 3 1 6 4⎤ Câu 5: Cho A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ ⎥ . Phép tốn nào sau ⎣3 0 − 4⎦ ⎣ 0 − 2 7 5⎦ đây thực hiện được a) A + B . b) AB . c) At B . d) ABt . ⎡ 2 −1⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 − 2 − 3⎤ Câu 6: Cho A = 1 0 , B = ⎢ ⎥ . Tính AB . ⎢ ⎥ ⎣3 4 0 ⎦ ⎣⎢− 3 4 ⎦⎥ ⎡−1 − 8 −10⎤ ⎢ ⎥ ⎡15 − 21⎤ a) 1 − 2 − 5 . b) ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣10 − 3 ⎦ ⎣⎢ 9 22 15 ⎦⎥ ⎡ 11 − 8 9 ⎤ ⎡ 8 − 5 9 ⎤ c) ⎢10 21 3 ⎥ . d) ⎢ − 7 0 10⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢− 7 9 15⎦⎥ ⎣⎢−14 27 18⎦⎥ ⎡1 2 0⎤ t Câu 7: Cho A = ⎢ ⎥ . Tính A A . ⎣3 −1 4⎦ ⎡−1 − 8 −10⎤ ⎡10 −1 12 ⎤ a) ⎢ 1 − 2 − 5 ⎥ . b) ⎢−1 5 − 4⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 9 22 15 ⎦⎥ ⎣⎢12 − 4 16 ⎦⎥ ⎡ 1 18 −10⎤ ⎡5 1 ⎤ ⎢ ⎥ c) ⎢ ⎥ . d) 11 2 − 5 . ⎣1 26⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 9 22 15 ⎦⎥ ⎡1 2 ⎤ 3 Câu 8: Cho A = ⎢ ⎥ . Tìm 2A − 4B + 5I . ⎣4 − 3⎦ 37
35. Chương 3: Ma trận ⎡ 9 − 4⎤ ⎡− 7 30 ⎤ a) ⎢ ⎥ . b) ⎢ ⎥ . ⎣− 8 17 ⎦ ⎣ 60 − 67⎦ ⎡−14 60 ⎤ ⎡−11 52 ⎤ c) ⎢ ⎥ . d) ⎢ ⎥ . ⎣120 −134⎦ ⎣104 −117⎦ ⎡1 3⎤ ⎡x⎤ ⎡x⎤ Câu 9: Tìm x, y nếu ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = 6⎢ ⎥ ⎣5 3⎦ ⎣y⎦ ⎣y⎦ a) x = 3, y = 5. b) x = −6, y = − 10. c) x =12, y = 20. d) Các trường hợp trên đều đúng. ⎡x y⎤ ⎡1 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡x y⎤ Câu 10: Tìm x, y, z,w thoả mãn ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎣z w⎦ ⎣0 1⎦ ⎣0 1⎦ ⎣z w⎦ a) x = y = 4, z =w = 3. b) x = w, z = 0 ; x,y tuỳ ý. c) x = y,;z =w x,z tuỳ ý. d) x = z,w = 0; x,y tuỳ ý. Câu ⎡1 2⎤ n 11: Cho A = ⎢ ⎥ . Tìm A . ⎣0 1⎦ ⎡1 2n⎤ ⎡1 2n ⎤ a) ⎢ ⎥ . b) ⎢ ⎥ . ⎣0 1 ⎦ ⎣⎢0 1 ⎦⎥ ⎡1 2n ⎤ ⎡ 1 0⎤ c) ⎢ ⎥ . d) ⎢ ⎥ . ⎣⎢1 1 ⎦⎥ ⎣− 2n 1⎦ 2003 ⎡ 0 1⎤ Câu 12: Tính ⎢ ⎥ ⎣−1 0⎦ ⎡0 −1⎤ ⎡ 0 1⎤ a) ⎢ ⎥ . b) ⎢ ⎥ . ⎣1 0 ⎦ ⎣−1 0⎦ ⎡ 1 1⎤ ⎡1 2003⎤ c) ⎢ ⎥ . d) ⎢ ⎥ . ⎣−1 0⎦ ⎣1 −1 ⎦ Câu 13: Cho ma trận A = [aij ] vuơng cấp n. Ta gọi TrA = a11 + a22 + + ann (tổng các phần tử trên đường chéo chính) là vết của A. Khẳng định nào sau đây khơng đúng: a) Tr(A + B) = TrA + TrB . 38
36. Chương 3: Ma trận b) TrAB = TrBA (mặc dù AB ≠ BA). c) Tồn tại ma trận A,B sao cho AB − BA = I . d) Nếu B = P−1AP thì TrA = TrB . ⎡x y⎤ n Câu 14: Tìm tất cả các ma trận A =⎢ ⎥ sao cho A = I , với số tự ⎣0 z⎦ nhiên n > 0 nào đĩ. ⎡1 0⎤ ⎡−1 0 ⎤ ⎡1 y ⎤ ⎡−1 y⎤ a) A cĩ dạng ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ; với y tuỳ ý. ⎣0 1⎦ ⎣ 0 −1⎦ ⎣0 −1⎦ ⎣ 0 1⎦ ⎡1 0⎤ ⎡1 y ⎤ ⎡−1 y⎤ b) A cĩ dạng ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ; với y tuỳ ý. ⎣0 1⎦ ⎣0 −1⎦ ⎣ 0 1⎦ ⎡1 0⎤ ⎡−1 0 ⎤ ⎡x y ⎤ ⎡− x y⎤ c) A cĩ dạng ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ; với x,tuy ỳ ý. ⎣0 1⎦ ⎣ 0 −1⎦ ⎣ − x⎦ ⎣ 0 x⎦ ⎡1 0⎤ ⎡−1 0 ⎤ d) A cĩ dạng ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ . ⎣0 1⎦ ⎣ 0 −1⎦ Câu 15: Tập con W nào sau đây là khơng gian véc tơ con của khơng gian véc tơ M2 các ma trận vuơng cấp 2. ⎡a b⎤ a) W tập các ma trận A = ⎢ ⎥ thoả mãn ad − bc = 0. ⎣c d⎦ ⎡a b⎤ b) W tập các ma trận A = ⎢ ⎥ . ⎣b d⎦ ⎡a b⎤ 2 c) W tập các ma trận A =⎢ ⎥ thoả mãn A = A. ⎣c d⎦ ⎡a b⎤ d) W tập các ma trận A =⎢ ⎥ a,b,c tuỳ ý. ⎣c 1⎦ ⎡3 1 ⎤ ⎡1 1⎤ ⎡0 0⎤ ⎡0 2 ⎤ Câu 16: Tìm x, y, z sao cho ⎢ ⎥ = x ⎢ ⎥ + y ⎢ ⎥ + z ⎢ ⎥ ⎣1 −1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣1 1⎦ ⎣0 −1⎦ (biểu diễn một ma trận thành tổ hợp tuyến tính của 3 ma trận khác). a) x = −4, y = 5, z = − 1. b) x = 4, y = −5, z = 2 . c) x = −3, y = 4, z = 1. d) x = 3, y = −2, z = − 1. 39
37. Chương 3: Ma trận Câu 17: Viết ma trận A của hệ véc tơ {v1,v2,v3,v4}, v1 = (1,−2,5), v2 = (3,−4,0), v3 = (7,3,−5), v4 = (11,3,−12) trong cơ sở chính tắc của khơng gian véc tơ 3 . ⎡ 1 − 2 5 ⎤ ⎡ 5 − 2 1 ⎤ ⎢ 3 − 4 0 ⎥ ⎢ 0 − 4 3 ⎥ a) A =⎢ ⎥ . b) A =⎢ ⎥ . ⎢ 7 3 − 5 ⎥ ⎢ − 5 3 7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣11 3 −12⎦ ⎣−12 3 11⎦ ⎡ 1 3 7 11 ⎤ ⎡ 5 0 − 5 −12⎤ c) A =⎢− 2 − 4 3 3 ⎥ . d) A =⎢− 2 − 4 3 3 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 5 0 − 5 −12⎦⎥ ⎣⎢ 1 3 7 11 ⎦⎥ ⎡ 1 3 4⎤ Câu 18: Giả sử T = ⎢ 3 −1 6⎥ là ma trận chuyển từ cơ sở sang ⎢ ⎥ B B' ⎣⎢−1 5 1⎦⎥ của khơng gian 3 . Cho B = {(−1,2,4), (2,1,−2),(3,0,−5) } tìm B'. a) B'= {}(8,5,−7),(−20,5,39),(5,14,9) . b) B'= {}(21,19,15),(−3,−7,1),(17,21,8) . c) B'= {}(2,5,3),(10,5,−11),(11,14,−1) . d) B'= {}(−12,24,−8),(−5,8,−1),(27,−11,−7) . Câu 19: Trong khơng gian 3. Cho hai cơ sở B = {}(1,2,1), (2,3,3),(3,7,1) , B'= {(3,1,4), (5,2,1),(1,1,−6) }. Tìm cơng thức liên hệ giữa toạ độ của một véc tơ trong hai cơ sở trên, []u B = (x, y, z) và []u B' = (x', y', z') a) x = −27x'−71y'−41z', y = 9x'+20y'+9z', z = 4x'+12y'+8z'. b) x = 9x'+17y'−41z', y = 9x'−41y'+12z', z =14x'+23y'−8z'. c) x = −9x'+27y'−41z', y =19x'+41y'+12z', z =14x'+23y'−8z'. d) x = 9x'+17y'+41z', y = 9x'−41y'+12z', z = 4x'−43y'+18z'. 40
38. Chương 3: Ma trận ⎡ 1 1 2 1 2 ⎤ ⎢ 1 2 3 2 3 ⎥ Câu 20: Tìm hạng của ma trận A = ⎢ ⎥ ⎢ 0 3 3 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣−1 0 −1 − 2 − 3⎦ a) r(A) = 4 . b) r(A) = 3. c) r(A) = 2 . d) r(A) =1. 41
39. Chương 4: Định thức 4. CHƯƠNG 4: ĐỊNH THỨC 4.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA Ma trận và định thức ngày nay luơn đi liền với nhau và ai cũng nghĩ là khái niệm định thức phải ra đời sau khái niệm ma trận, nhưng sự thực ngược lại. Định thức hình thành là nhằm để giải các hệ phương trình tuyến tính mà việc làm này đã cĩ một lịch sử lâu đời trước đĩ. Khái niệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ra vào năm 1693 khi bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính. Định thức được tiếp tục phát triển và nghiên cứu qua các cơng trình của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Vandermonde (Vănđécmơng) (Hà Lan), Laplace (Pháp), Jacobi (ia-cơ-bi) (Đức) Người đầu tiên nghiên cứu khái niệm định thức một cách hệ thống là Cauchy (Cơ-si) (Pháp). Ngồi ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thức cịn được sử dụng để nghiên cứu những vấn đề của ma trận như: ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, tìm giá trị riêng Khảo sát tính chất độc lập của một hệ véc tơ. Định thức Jacobi được sử dụng trong phép đổi biến số của tích phân nhiều lớp. Định thức Wronsky (vrơng-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc lập tuyến tính của các nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Định thức của một ma trận vuơng được định nghĩa bằng tổng của các số hạng gồm tích của các phần tử trên tất cả các hàng nằm trên các cột khác nhau và dấu của hốn vị tương ứng. Tuy nhiên khi tính định thức ta thường sử dụng các tính chất của nĩ và phương pháp khai triển theo hàng, theo cột hoặc nhiều hàng, nhiều cột (Định lý Laplace). Để định nghĩa định thức ta sử dụng khái niệm phép thế đĩ là một song ánh từ một tập cĩ n phần tử vào chính nĩ, ảnh của phép thế là hốn vị. Khái niệm phép thế, hốn vị ta đã gặp trong chương 1, trong mục giải tích tổ hợp. Trong chương này ta xét đến hai ứng dụng của định thức là tìm ma trận nghịch đảo và tìm hạng của ma trận. Trong chương 5 ta sẽ ứng dụng định thức để giải hệ phương trình tuyến tính. Trong chương 6 ta sẽ ứng dụng định thức để tìm giá trị riêng của ma trận hoặc tự đồng cấu tuyến tính. 42
40. Chương 4: Định thức Trong chương 3, ta đã chỉ ra rằng tập các ma trận vuơng cùng cấp với phép cộng ma trận và phép nhân ma trận là một vành cĩ đơn vị nhưng khơng nguyên, do đĩ nĩ khơng phải là một trường. Vì vậy tồn tại những ma trận vuơng khác ma trận khơng và khơng khả nghịch. Sử dụng tính chất định thức của tích hai ma trận bằng tích hai định thức của hai ma trận này, ta chứng minh được điều kiện cần và đủ để một ma trận khả nghịch là định thức của nĩ khác 0. Đồng thời ta cĩ cơng thức tính ma trận nghịch đảo bằng nghịch đảo của định thức nhân với chuyển vị của ma trận phụ hợp. Hạng của một ma trận bằng cấp cao nhất của định thức con khác 0 chứa trong ma trận. Vì vậy yêu cầu của chương này là phải nắm vững được định nghĩa định thức của một ma trận vuơng, các tính chất của định thức, các phương pháp tính định thức. Từ đĩ cĩ thể tính tốn thành thạo định thức của các ma trận thơng thường, vận dụng để giải các bài tốn về ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận và làm cơng cụ để học tiếp các chương sau. Ngồi phương pháp sử dụng định thức ta cĩ thể sử dụng phương pháp Gauss- Jordan để tìm ma trận nghịch đảo, thực chất của phương pháp này là sử dụng phép biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận. 4.2 TĨM TẮT NỘI DUNG 4.2.1 Hốn vị và phép thế Mỗi song ánh σ :{}1,2, ,n → {1,2, ,n} được gọi là một phép thế bậc n. Ảnh của một phép thế được gọi là hốn vị. Nếu cĩ cặp i σ ( j ) thì ta nĩi cĩ một nghịch thế của σ . Giả sử k là số các nghịch thế của σ , ta định nghĩa và ký hiệu dấu của phép thế σ : sgnσ = (−1)k Tập các phép thế bậc n ký hiệu Sn . Tập Sn cĩ đúng n! phần tử. 4.2.2 Định thức của ma trận vuơng Định thức của ma trận vuơng A = a được ký hiệu là det A hay A và [ ij ]n×n định nghĩa bởi biểu thức: 43
41. Chương 4: Định thức detA = ∑sgnσ ⋅ a1σ (1) anσ (n) σ∈Sn Tính chất 9 Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu. (1) 9 Định thức cĩ tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng. (2) 9 Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận cĩ hai hàng tỷ lệ thì định thức bằng 0. (3) 9 Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng khác thì định thức khơng thay đổi. (4) 9 Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đĩ: det At = det A (5) 9 Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh các định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4) suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột khác thì định thức khơng thay đổi. 9 Định thức của mọi hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính đều bằng 0. 9 Với mọi ma trận cùng cấp A, B luơn cĩ det AB = det Adet B. a11 a1n 9 det(A)(mod p) = ∑sgnσ a1σ (1) anσ (n) = M O M σ∈S n an1 ann 4.2.3 Các cách tính định thức a. Khai triển theo cột det A = a1 j A1 j + + anj Anj i+ j gọi là cơng thức khai triển của A theo cột thứ j. Trong đĩ Aij = (,−1) Mij Mij là định thức của ma trận cấp n-1 cĩ được bằng cách xố hàng i cột j của ma trận A. Aij được gọi là phần bù đại số của aij . b. Khai triển theo hàng 44
42. Chương 4: Định thức det A = ai1Ai1 + + ain Ain gọi là cơng thức khai triển của A theo hàng thứ i. Khai triển k cột j1, , jk (Định lý Laplace) detA = M j1, , jk A j1, , jk ∑ i1, ,ik i1, ,ik 1≤i1 < <ik ≤n trong đĩ M j1, , jk là định thức của ma trận cĩ được bằng cách lấy các phần i1, ,ik j1, , jk tử trên k hàng: i1, ,ik và k cột: j1, , jk của ma trận A = [aij ] , cịn M n×n i1, ,ik là định thức của ma trận ta xố đi k hàng i1, ,ik và k cột j1, , jk của ma trận j1, , jk i1 + +ik + j1 + + jk j1, , jk A = []aij và A = (−1) M được gọi là phần n×n i1, ,ik i1, ,ik bù đại số của M j1, , jk . i1, ,ik c. Khai triển k hàng i1, ,ik (Định lý Laplace) detA = M j1, , jk A j1, , jk ∑ i1, ,ik i1, ,ik 1≤ j1 < < jk ≤n 4.2.4 Ma trận nghịch đảo Ma trận vuơng A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuơng cùng cấp B sao cho AB = BA = I . Vì phép nhân ma trận cĩ tính kết hợp nên B nếu tồn tại thì duy nhất và ta gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu A−1. 1 A khả nghịch khi và chỉ khi det A ≠ 0 và A−1 = Bt , với B = [A ] , det A ij n×n trong đĩ A là phần bù đại số của phần tử a của ma trận A = a , được gọi ij ij []ij n×n là ma trận phụ hợp của A. a. Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp Gauss-Jordan: Để tìm ma trận A−1 ta thực hiện các bước sau: 9 Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A: A I 45
43. Chương 4: Định thức 9 Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng của A I để đưa ma trận A ở vế trái về ma trận đơn vị. 9 Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận A−1. A I → → I A−1 . b. Tìm hạng của ma trận bằng định thức Giả sử A = [aij ] là một ma trận cỡ m × n. Nếu cĩ định thức con cấp p khác 0 và mọi định thức con cấp p +1 bao quanh nĩ đều bằng 0 thì r(.A) = p 4.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu 1: Trường hợp nào sau đây đúng 3 − 2 a − b a a) = 25 . b) = −b2 . 4 5 a a + b ⎡ 4 3⎤ k +1 k + 2 4 3 c) ⎢ ⎥ = 23. d) = k − 3k + 2k −1 ⎣−1 5⎦ k + 3 k + 4 Câu 2: Cho A, B là hai ma trận vuơng cấp n ≥ 2.Trường hợp nào sau đây luơn đúng a) det(kA) = k det(A). b) det(A + B) = det(A) + det(B ) . c) det(AB) = det(A)det(B) . d) det(−A) = −det(A ) . Câu 3: Trường hợp nào sau đây khơng đúng 5 0 4 a) = 0. − 2 0 3 b) Nếu A là ma trận vuơng cấp n cĩ det(A) = − 9 thì det(AAt )= 81. c) det(Am )= ()det(A) m , A là ma trận vuơng cấp n. 46
44. Chương 4: Định thức 1 7 − 3 d) − 2 − 5 6 = 0. 3 8 − 9 k k Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của k sao cho = 0 4 2k a) k = 0. b) k = 0, k = 4 . c) k = 2, k = 4 . d) k = 0, k = 2 . Câu 5: Trường hợp nào sau đây khơng đúng a) Định thức của ma trận vuơng cĩ một hàng là các số 0 thì bằng khơng. b) Định thức của ma trận vuơng cĩ hai hàng tỉ lệ thì bằng khơng. c) Định thức của ma trận vuơng cĩ một hàng tỉ lệ với một cột thì bằng khơng. d) Nếu thay đổi vị trí hai hàng của định thức thì định thứcđổi dấu. Câu 6: Trường hợp nào sau đây khơng đúng a1 + b1x a1 − b1x c1 a1 b1 c1 a) a2 + b2x a2 − b2x c2 = −2x a2 b2 c2 . a3 + b3x a3 − b3x c3 a3 b3 c3 a1 b1 a1x + b1y + c1 a1 b1 c1 b) a2 b2 a2x + b2 y + c2 = xy a2 b2 c2 . a3 b3 a3x + b3 y + c3 a3 b3 c3 1 a bc 1 a a2 c) 1 b ca = 1 b b2 . 1 c ab 1 c c2 1 a b + c d) 1 b c + a = 0. 1 c a + b 47
45. Chương 4: Định thức − 2 − 5 1 2 − 3 7 −1 4 Câu 7: Tính định thức D = . 5 − 9 2 7 4 − 6 1 2 a) D = − 69 . b) D = − 78 . c) D = 82 . d) D = 68 . 1 1 2 3 1 2 − x2 2 3 Câu 8: Tính định thức D = . 2 3 1 5 2 3 1 9 − x2 a) D = (x2 − 2)(x2 − 9 ) . b) D = (x2 −1)(x2 − 4 ) . c) D = (x2 − 3)(x2 − 9 ) . d) D = (x2 −1)(x2 − 3 ) . 2 − 4 0 0 0 1 3 0 0 0 Câu 9: Tính định thức D = 5 − 9 1 2 3 . 12 7 4 − 2 3 − 6 4 2 5 −1 a) D = − 87 . b) D = −170 . c) D = 59 . d) D = 790 . 1 −1 1 −1 1 2 4 8 Câu 10: Tính định thức D = 1 4 16 64 1 x x2 x3 a) D = −82(x −1)(x − 2)(x − 3 ) . b) D =15(x −1)(x − 2)(x − 4 ). c) D = 30(x +1)(x − 2)(x − 4 ) . d) D = 82(x −1)2 (x − 3 ) . 48
46. Chương 4: Định thức 2 − 4 2 0 1 1 3 3 2 − 3 Câu 11: Tính định thức D = 3 − 2 0 0 0 . 4 5 0 0 0 − 6 4 −1 − 3 5 a) D = 125. b) D = − 115 . c) D = −125 . d) D = 75 . 0 1 1 a 1 0 1 b Câu 12: Tính định thức D = . 1 1 0 c a b c 0 a) D = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2bc − 2ca. b) D = (a − b − c)2 . c) D = (a + b + c)2 . d) D = a2 + b2 + c2 + 4abc . ⎡ 3 1 5 − m⎤ Câu 13: Cho ma trận A = ⎢m + 1 1 3 ⎥ ;  . Với giá trị ⎢ ⎥ m ∈ ⎣⎢ 3 m − 1 3 ⎦⎥ nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A−1 . a) m ≠1, m ≠ 2. b) m ≠1, m ≠ 2, m ≠ 5 . c) m ≠ −2, m ≠ 3, m ≠ 5. d) m ≠ −3, m ≠ 2, m ≠ 4 . ⎡ 3 m 2 ⎤ Câu 14: Cho ma trận A = ⎢ 4 1 m⎥ ; m ∈ . Với giá trị nào của m ⎢ ⎥ ⎣⎢m 1 4 ⎦⎥ thì tồn tại ma trận nghịch đảo A−1 . a) m ≠1, m ≠ 2. b) m ≠ 2, m ≠ 5. c) m ≠ −5, m ≠1, m ≠ 4 . d) m ≠ −3, m ≠1, m ≠ 2. 49
47. Chương 4: Định thức ⎡1 2 3⎤ Câu 15: Tìm ma trận phụ hợp B của ma trận A = ⎢2 3 4⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢1 5 7⎦⎥ ⎡ 5 8 − 7⎤ ⎡ 1 −10 7 ⎤ a) B = ⎢ 2 4 − 3⎥ . b) B = ⎢ 1 4 − 3⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢− 4 7 −1⎦⎥ ⎣⎢−1 2 −1⎦⎥ ⎡ 8 − 6 7 ⎤ ⎡ 2 − 8 5 ⎤ c) B = ⎢ 11 23 − 3⎥ . d) B = ⎢ 9 0 −1⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢−12 0 −1⎦⎥ ⎣⎢− 21 4 − 7⎦⎥ ⎡1 1 1⎤ Câu 16: Cho ma trận A = ⎢0 1 1⎥ . Tìm ma trận nghịch đảo A−1 . ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 1⎦⎥ ⎡1 − 2 1 ⎤ ⎡1 −1 −1⎤ a) A−1 = ⎢0 1 − 2⎥ . b) A−1 = ⎢0 1 −1⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 1 ⎦⎥ ⎣⎢0 0 1 ⎦⎥ ⎡ 1 0 0⎤ ⎡1 −1 0 ⎤ c) A−1 = ⎢−1 1 0⎥ . d) A−1 = ⎢0 1 −1⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 −1 1⎦⎥ ⎣⎢0 0 1 ⎦⎥ ⎡4 1 −1⎤ Câu 17: Cho ma trận A = ⎢1 4 − 3⎥ . Tìm ma trận nghịch đảo A−1 . ⎢ ⎥ ⎣⎢7 − 4 2 ⎦⎥ ⎡8 − 2 −1 ⎤ ⎡8 − 2 −1 ⎤ 1 a) A−1 = ⎢3 12 24 ⎥ . c) A−1 = ⎢3 14 −11⎥ . ⎢ ⎥ 6 ⎢ ⎥ ⎣⎢9 − 23 −15⎦⎥ ⎣⎢9 − 23 26 ⎦⎥ ⎡ 4 − 2 −1 ⎤ ⎡ 7 3 − 6 ⎤ 1 1 b) A−1 = ⎢23 −15 −11⎥ . d) A−1 = ⎢15 17 −15⎥ . 7 ⎢ ⎥ 13 ⎢ ⎥ ⎣⎢32 − 23 −15⎦⎥ ⎣⎢21 − 41 31 ⎦⎥ 50
48. Chương 4: Định thức ⎡4 − 3 2 ⎤ Câu 18: Cho ma trận A = ⎢1 − 3 − 2⎥ . Tìm ma trận nghịch đảo −1 . ⎢ ⎥ A ⎣⎢2 1 5 ⎦⎥ ⎡13 −17 −12⎤ ⎡11 −13 −14⎤ 1 1 a) A−1 = ⎢ 9 −16 −10⎥ . c) A−1 = ⎢ 8 21 −18⎥ 11 ⎢ ⎥ 12 ⎢ ⎥ ⎣⎢− 7 10 9 ⎦⎥ ⎣⎢− 5 17 3 ⎦⎥ ⎡ 7 23 25 ⎤ ⎡13 −11 − 32⎤ 1 1 b) A−1 = ⎢ 9 −16 −12⎥ . d) A−1 = ⎢10 −19 − 21⎥ 21⎢ ⎥ 21⎢ ⎥ ⎣⎢14 11 9 ⎦⎥ ⎣⎢− 9 20 7 ⎦⎥ . Câu 19: Cho A, B, C là hai ma trân vuơng cùng cấp. Điều nào sau đây khơng đúng. a) Nếu Am = 0 thì tồn tại (I − A)−1 = I + A + + Am−1. b) Nếu A2 − 3A + I = 0 thì tồn tại A−1 = 3I − A. c) Nếu AB = 0 thì khơng tồn tại A−1. d) Nếu det A ≠ 0 và BA = CA thì B = C . ⎡3 2 5 4 ⎤ ⎢4 1 4 m ⎥ Câu 20: Tìm hạng r(A) của ma trận A = ⎢ ⎥ ⎢2 3 6 8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 − 6 − 9 − 20⎦ ⎧ 2 khi m =1 ⎧ 2 khi m = 0 a) r(A) = ⎨ . b) r(A) = ⎨ . ⎩ 3 khi m ≠1 ⎩ 3 khi m ≠ 0 ⎧ 3 khi m = −1 ⎧ 3 khi m = 2 c) r(A) = ⎨ . d) r(A) = ⎨ . ⎩ 4 khi m ≠ −1 ⎩ 4 khi m ≠ 2 ⎡2m − 3 m2 m2 +1⎤ ⎢ ⎥ 4 − m m − 2 0 Câu 21: Tìm hạng r(A) của ma trận A = ⎢ ⎥ ⎢5m m +1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢3m 0 0 0 ⎦⎥ 51
49. Chương 4: Định thức ⎧ 3 khi m = 0,m = −1,m = 2 a) r(A) = ⎨ . ⎩ 4 khi m ≠ 0,m ≠ −1,m ≠ 2 ⎧ 3 khi m = 0,m =1,m = −2 b) r(A) = ⎨ . ⎩ 4 khi m ≠ 0,m ≠1,m ≠ −2 ⎧ 2 khi m =1,m = 2,m = 3 c) r(A) = ⎨ . ⎩ 3 khi m ≠1,m ≠ 2,m ≠ 3 ⎧ 2 khi m = −1,m =1,m = 2 d) r(A) = ⎨ . ⎩ 3 khi m ≠ −1,m ≠1,m ≠ 2 ⎡1 1 1 m⎤ ⎢1 1 m 1 ⎥ Câu 22: Tìm hạng r(A) của ma trận A = ⎢ ⎥ ⎢1 m 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣m 1 1 1 ⎦ ⎧1 khi m = −1 ⎧ 2 khi m = 2 ⎪ ⎪ a) r(A) = ⎨ 3 khi m = 3 . b) r(A) = ⎨ 3 khi m = 3 ⎪ ⎪ ⎩ 4 khi m ≠ −1,m ≠ 3 ⎩ 4 khi m ≠ 2,m ≠ 3 ⎧1 khi m = −1 ⎧1 khi m =1 ⎪ ⎪ c) r(A) = ⎨ 2 khi m = 2 . d) r(A) = ⎨ 3 khi m = −3 . ⎪ ⎪ ⎩ 4 khi m ≠ −1,m ≠ 2 ⎩ 4 khi m ≠1,m ≠ −3 1 1 1 1 1 0 1 1 Câu 23: Tính định thức cấp n Dn = 1 1 0 1 . M M M O M 1 1 1 0 a) D = 2n−1. b) D = 2(n −1)n . c) D = (−1)n−1. d) D = nn−1. 7 − x −12 6 Câu 24: Giải phương trình 10 −19 − x 10 = 0 12 − 24 13 − x 52
50. Chương 4: Định thức a) x = 0, x = −2, x = 3. b) x = −1, x = 1. c) x =1, x = −2, x = 3. d) x = −2, x = 1. 5 − x 7 − 5 Câu 25: Giải phương trình 0 4 − x −1 = 0 2 8 − 3 − x a) x = −1, x = −2, x = 3. b) x = −1, x = 3. c) x =1, x = 2, x = 3. d) x = −2, x =1, x = 3. 53
51. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính 5. CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA Khi khảo sát các hệ tuyến tính thường dẫn đến bài tốn giải hệ phương trình tuyến tính. Đối với hệ phi tuyến người ta thường giải quyết bằng cách xấp xỉ tuyến tính. Vì vậy hệ phương trình tuyến tính cĩ rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Cùng với sự phát triển của cơng nghệ thơng tin, nhiều bài tốn ứng dụng giải tích tốn học ngày càng được mở rộng. Nhiều bài tốn trong các lĩnh vực khác nhau cĩ thể đưa về cùng một vấn đề là giải hệ phương trình tuyến tính. Cĩ thể chỉ ra đây một vài bài tốn dạng này: - Sự phân phối dịng điện trong những sơ đồ cĩ nhiều ghép nối. - Giải gần đúng những bài tốn của lý thuyết thế vị. - Giải gần đúng một vài bài tốn trong các vấn đề bức xạ điện từ. - Sự phân phối vận tốc các dịng nước trong các hệ thuỷ lực học phức tạp. - Ứng dụng giải tích thống kê vào tâm lý học, xã hội học và kinh tế học Hệ phương trình tuyến tính đã được biết đến rất sớm. Ở Trung Quốc người ta tìm thấy một cuốn sách cĩ khoảng từ năm 500 trước cơng nguyên, trong đĩ cĩ những chỉ dẫn về việc dùng một bàn tính để giải các hệ phương trình tuyến tính qua các ví dụ cụ thể. Phương pháp giải này chính là thuật tốn khử Gauss. Ở châu Âu thuật tốn này đã được mơ tả trong cơng trình của Buteo (Pháp) năm 1550, trước Gauss hơn hai thế kỷ. Một phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính là sử dụng định thức của Cramer. Thoạt tiên ta cĩ thể thấy rằng hình như vấn đề giải hệ phương trình tuyến tính đã cũ rồi và cĩ thể giải quyết bằng những phương tiện tính tốn sơ cấp quen biết. Tuy nhiên để giải các bài tốn nêu ra ở trên ta thường phải khảo sát khoảng từ 150 đến 200 phương trình đồng thời. Tình trạng ấy trong thực hành đã gây ra nhiều khĩ khăn lớn đến nổi hầu như khơng thể giải quyết nổi nếu chỉ dùng phương pháp sơ cấp. Với sự hỗ trợ của máy tính và các thuật tốn mới đã khiến cho hệ phương trình tuyến tính được ứng dụng hiệu quả để giải quyết các bài tốn thực tế. 54
52. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính cĩ thể viết dưới dạng ma trận, dưới dạng một véc tơ là một tổ hợp tuyến tính của một hệ các véc tơ khác hoặc biểu thức toạ độ của một ánh xạ tuyến tính (chương 6). Nếu ta ký hiệu các hệ số của hệ m phương trình cĩ n ẩn thành một ma trận cỡ m×n, các ẩn thành ma trận cột n×1, các hệ số vế sau thành ma trận cột m×1 thì hệ phương trình đã cho cĩ thể biểu diễn dưới dạng ma trận. Với cách biểu diễn này ta thấy nếu ma trận các hệ số khả nghịch thì hệ phương trình cĩ duy nhất nghiệm (hệ Cramer). Nếu ta xét n+1 véc tơ cĩ m thành phần trong đĩ n véc tơ đầu là các hệ số ứng với các ẩn cịn véc tơ thứ n+1 là hệ số của vế sau của hệ phương trình. Khi đĩ hệ phương trình được biểu diễn dưới dạng véc tơ, vế sau là một tổ hợp tuyến tính của n véc tơ các hệ số. Với cách biểu diễn này thì hệ phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi véc tơ vế sau thuộc vào khơng gian con sinh bởi n véc tơ của các hệ số. Điều này cho thấy ta cĩ thể giải quyết một bài tốn hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận, tổ hợp tuyến tính, hạng của hệ véc tơ, ánh xạ tuyến tính và ngược lại. Vì vậy khi học chương này địi hỏi học viên thấy được mối liên hệ giữa các khái niệm trên để giải quyết bài tốn một cách linh hoạt. Học viên cần nắm vững và vận dụng thành thạo hai phương pháp: Cramer và phép khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Cramer là sử dụng định thức để giải hệ phương trình, khi Cramer đưa ra quy tắc này thì nĩ trở thành "mốt" trong các cơng trình về tốn ứng dụng trong một thời gian dài. Tuy nhiên phương pháp khử của Gauss đơi khi tỏ ra đơn giản hơn. Giải bài tốn theo phương pháp khử của Gauss là sử dụng các phép biến đổi tương đương lên các phương trình của hệ để đưa hệ phương trình cần giải về hệ tương đương đơn giản hơn mà ta dễ dàng tìm được nghiệm. Thực chất của phương pháp này là sử dụng các phép biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận hệ số của hệ phương trình. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên quan đến nhân của ánh xạ tuyến tính được khảo sát trong chương 6. 5.2 TĨM TẮT NỘI DUNG 5.2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn cĩ dạng tổng quát: 55
53. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính ⎧a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 ⎪ n ⎪a21x1 + a22x2 + + a2n xn = b2 ⎨ Hay a x = b , i = 1, , m ∑ ij j i ⎪ j=1 ⎩⎪am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm trong đĩ x1, x2, , xn là n ẩn, aij là hệ số của ẩn thứ j trong phương trình i, bi là vế phải của phương trình thứ i; i = 1, , n; j = 1, , m. Khi các vế phải bi = 0 thì hệ phương trình được gọi là thuần nhất. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính ⎡ a11 a12 a1n ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢a a a ⎥ ⎢b ⎥ ⎢x ⎥ A = ⎢ 21 22 2n ⎥ , B = ⎢ 2 ⎥ , X = ⎢ 2 ⎥ ⎢ M M O M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 am2 amn ⎦ ⎣bm ⎦ ⎣xn ⎦ AX = B 5.2.2 Dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tính m Nếu ta ký hiệu véc tơ cột thứ i của ma trận A là vi = (a1i , , ami ) ∈ và m véc tơ vế sau b = (b1, ,bm ) ∈ , thì hệ (5.1) được viết dưới dạng véc tơ: x1v1 + x2v2 + + xnvn = b 5.2.3 Hệ Cramer Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn cĩ ma trận hệ số A khơng suy biến được gọi là hệ Cramer. Mọi hệ Cramer đều tồn tại duy nhất nghiệm. n Cụ thể hệ ∑aij x j = bi , i = 1, , n cĩ nghiệm xi = Di D , i = 1, , n; j=1 Trong đĩ D = det A = DB {v1, ,vi−1,vi ,vi+1, ,vn} Di = DB {}v1, ,vi−1,b,vi+1, ,vn 56
54. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính Di là định thức của hệ các véc tơ cột là các hệ số của hệ phương trình nhưng véc tơ cột thứ i được thay bởi véc tơ cột vế sau. 5.2.4 Định lý tồn tại nghiệm (Kronecker-Kapelli) ~ ~ Hệ phương trình (5.1) cĩ nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r(A) trong đĩ A là ma trận cĩ được bằng cách bổ sung thêm vào ma trận hệ số A một cột cuối là vế phải của hệ phương trình. ⎡ a11 a1n b1 ⎤ ~ A = ⎢ ⎥ ⎢ M O M M ⎥ ⎣⎢am1 amn bm ⎦⎥ 5.2.5 Cách giải (Cramer) Giả sử hệ phương trình đã cho tương đương với p phương trình đầu ⎧a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1 ⎪ ⎪a21x1 + a22x2 + + a2n xn = b2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩a p1x1 + a p2x2 + + a pnxn = bp a11 a1p Giả sử M O M ≠ 0 (trường hợp khác cách giải hồn tồn tương tự) a p1 a pp Hệ phương trình trên được viết lại: ⎧a11x1 + a12x2 + + a1p x p = b1 − a1p+1x p+1 − − a1n xn ⎪ ⎪a21x1 + a22x2 + + a2 p x p = b2 − a2 p+1x p+1 − − a2n xn ⎨ ⎪ ⎪ ⎩a p1x1 + a p2x2 + + a pp x p = bp − a pp+1x p+1 − − a pn xn đây là hệ Cramer cĩ vế sau phụ thuộc vào các ẩn x p+1, , xn . Vậy hệ cĩ vơ số nghiệm phụ thuộc x p+1, , xn . 5.2.6 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss Thực hiện các biến đổi sơ cấp sau lên các phương trình: 57
55. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính 9 Đổi chỗ hai phương trình; 9 Nhân, chia một số khác 0 vào cả 2 vế của một phương trình; 9 Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính các phương trình khác. Để đưa hệ phương trình đã cho về hệ tương đương mà ma trận bổ sung của hệ mới cĩ dạng ⎡a'11 b'1 ⎤ ⎢ a' b' ⎥ ⎢ pp p ⎥ ⎢ b' p+1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ b'm ⎦ 5.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu 1: n Cho hệ phương trình tuyến tính ∑aij x j = bi , i = 1, , m , cĩ ma trận hệ số j=1 ⎡ a11 a1n ⎤ ⎡ a11 a1n b1 ⎤ ~ A = ⎢ ⎥ và ma trận bổ sung A = ⎢ ⎥ , ⎢ M O M ⎥ ⎢ M O M M ⎥ ⎣⎢am1 amn ⎦⎥ ⎣⎢am1 amn bm ⎦⎥ m các véc tơ hệ số tương ứng vi = (a1i , ,ami )∈ ,i =1, ,n và véc tơ vế sau m b = (b1, ,bm ) ∈ . Điều nào sau đây khơng đúng. a) Hệ phương trình cĩ duy nhất nghiệm khi và chỉ khi n = m,det A ≠ 0. ~ b) Hệ phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r(A) . c) Hệ phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi b∈span{}v1 , ,vn . d) Nếu r(A) = p thì khơng gian nghiệm cĩ chiều là n − p . Câu 2: Phép biến đổi nào sau đây khơng phải là phép biến đổi tương đương của hệ phương trình. a) Thay đổi vị trí của hai phương trình của hệ. b) Nhân một số bất kỳ vào cả 2 vế của một phương trình của hệ. 58
56. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính c) Cộng một phương trình vào một phương trình khác của hệ (vế với vế). d) Trừ một phương trình vào một phương trình khác của hệ. Câu 3: Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau cĩ duy nhất nghiệm ⎧(m −1)x1 + x2 + x3 + x4 =1 ⎪ ⎪x1 + (m −1)x2 + x3 + x4 = 2 ⎨ ⎪x1 + x2 + (m −1)x3 + x4 = 3 ⎪ ⎩x1 + x2 + x3 + (m −1)x4 = 4 a) m ≠ ±2. b) m ≠1; m ≠ 3. c) m ≠ −3; m ≠1. d) m ≠ −2; m ≠ 3 . Câu 4: Tìm các điều kiện của a, b, c, d thì hệ phương trình sau cĩ duy nhất nghiệm ⎧ x + y + z =1 ⎪ ⎨ ax + by + cz = d ⎪ 2 2 2 2 ⎩a x + b y + c z = d a) a,b, c, d khác nhau từng đơi một. b) a,b, c khác nhau từng đơi một và d tuỳ ý. c) a,b, c khác nhau từng đơi một và d = 1. d) a,b, c khác nhau từng đơi một và khác 1, d tuỳ ý. Câu 5: Cho hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc tham số m ⎧ mx + y + z =1 ⎪ ⎨ x + my + z = m ⎪ 2 ⎩ x + y + mz = m Điều nào sau đây khơng đúng a) Nếu m ≠1 và m ≠ − 2 thì hệ cĩ duy nhất nghiệm. 59
57. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính b) Nếu m = 0 thì hệ cĩ vơ số nghiệm. c) Nếu m =1 thì hệ cĩ vơ số nghiệm. d) Nếu m = −2 thì hệ vơ nghiệm. ⎧9x1 + x2 + 4x3 =1 ⎪ Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính: ⎨2x1 + 2x2 + 3x3 = 5 ⎪ ⎩7x1 + x2 + 6x3 = 7 Tính các định thức D, D1, D2, D3 a) D = 22, D1 =16, D2 = −6, D3 =19. b) D =13, D1 = −16, D2 =14, D3 =19. c) D = 42, D1 = −36, D2 = 6, D3 = 90 . d) D = 45, D1 =17, D2 = −13, D3 = 35. ⎧4x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 7 ⎪ ⎪ x1 − 2x2 − 2x3 − 3x4 = 3 Câu 7: Giải hệ phương trình tuyến tính ⎨ ⎪3x1 − x2 + 2x3 = −1 ⎪ ⎩2x1 + 3x2 + 2x3 − 8x4 = −7 a) x1 = 2, x2 =1, x3 = −3, x4 =1. b) x1 = −3, x2 =1, x3 = 2, x4 = −1. c) x1 = −3, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −1. d) x1 = 4, x2 = −5, x3 = 7, x4 = 3. ⎧2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2 ⎪ ⎪6x1 + 2x2 + 4x3 + 5x4 = 3 Câu 8: Giải hệ phương trình tuyến tính ⎨ ⎪6x1 + 4x2 + 8x3 +13x4 = 9 ⎪ ⎩4x1 + x2 + x3 + 2x4 = 1 a) x1 = −1− 8x4, x3 = 0, x2 =1+ 2x4 . b) x1 = −1− 8x4, x3 =1, x2 =1 + 2x4 . c) x2 = −1− 8x1, x3 = 0, x4 =1+ 2x1. 60
58. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính d) x3 = −1− 8x1 + 2x2, x4 =1+ 2x1 − 5x2. ⎧2x1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 5 ⎪ ⎪4x1 − 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7 Câu 9: Giải hệ phương trình tuyến tính ⎨ ⎪6x1 − 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9 ⎪ ⎩3x1 − 4x2 + 9x3 +10x4 =11 a) x1 =1, x2 = 3 − 2x4, x3 = 4 − 2x4. b) x1 = 0, x2 = 4 − 2x4, x3 = 3 − 2x4 . c) x1 =1, x2 = 3 − 2x3, x4 = 4 + 2x3 . d) x1 = 3 + 5x4 , x2 = 4, x3 = 3 − x4 . ⎧ x1 + 4x2 − 5x3 + 9x4 = 1 ⎪ ⎪3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 = 3 Câu 10: Cho hệ phương trình tuyến tính ⎨ ⎪2x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 2 ⎪ ⎩2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 = 5 Tìm câu trả lời đúng nhất a) x1 = 2, x2 = 3, x3 = −1, x4 = −2 là một nghiệm của hệ. b) x1 =1/7, x2 =15/ 7, x3 = 0, x4 = −6/ 7 là một nghiệm của hệ. c) x1 = −11, x2 = −3, x3 = 6, x4 = 6 là một nghiệm của hệ. d) Các trường hợp trên đều là nghiệm của hệ. ⎧2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 5 ⎪ ⎪ x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 = 3 Câu 11: Giải hệ phương trình tuyến tính ⎨ ⎪ x1 + 5x2 − 9x3 + 8x4 =1 ⎪ ⎩5x1 +18x2 + 4x3 + 5x4 =12 a) x1 = 2 + x3 + 7x4, x2 = −1+ 5x3 − x4 . b) x1 = 6 − 26x3 +17x4, x2 = −1+ 7x3 − 5x4 . c) x1 = 2 + 6x3 − 7x4, x2 = −1+ 4x3 − 2x4 . d) x1 = 4 +11x4, x2 = −1− 6x4 , x3=2 . 61
59. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính ⎧2x1 − x2 + x3 − x4 = 3 ⎪ ⎪4x1 − 2x2 − 2x3 + 3x4 = 2 Câu 12: Giải hệ phương trình tuyến tính ⎨ ⎪2x1 − x2 + 5x3 − 6x4 =1 ⎪ ⎩2x1 − x2 − 3x3 + 4x4 = 5 a) x1 =1+ 2x4, x2 = 3 − 2x4, x3 = 4 − 2x4 . b) x1 = 0, x2 =1 + 7x4, x3 = −2 − 5x4 . c) x1 = −4, x2 = −6 + 3x3, x4 = 7 − 9x3. d) Hệ vơ nghiệm Câu 13: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: ⎧8x1 +12x2 + mx3 + 8x4 = 3 ⎪ ⎪4x1 + 6x2 + 3x3 − 2x4 = 3 ⎨ ⎪2x1 + 3x2 + 9x3 − 7x4 = 3 ⎪ ⎩2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 1 ⎧m = −3 ⇒ x1 = 3/ 2 − 3/ 2x2 −1/ 2x4 ; x3 =1/5 + 4/5x4 a) ⎨ ⎩m ≠ −3 ⇒ x1 = 5/ 2 − 3/ 2x2 ; x3 = 0; x4 = −1/ 4. ⎧m = −9 ⇒ x1 = 3/5 − 3/ 2x2 −1/10x4 ; x3 =1/5 + 4/5x4 b) ⎨ ⎩m ≠ −9 ⇒ x1 = 8/5 − 3/ 2x2 ; x3 = 0; x4 = −1/ 4. ⎧m = −1⇒ x1 = 3 − 2x2 −10x4 ; x3 = 5 + 7x4 c) ⎨ ⎩m ≠ −1⇒ x1 = 5 − 3x2 ; x3 = 0; x4 = −1. d) Hệ vơ nghiệm Câu 14: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: ⎧3x1 − x2 + 2x3 + 4x4 = 5 ⎪ ⎪9x1 − 4x2 + mx3 +10x4 =11 ⎨ ⎪7x1 − 3x2 + 6x3 + 8x4 = 9 ⎪ ⎩5x1 − 2x2 + 4x3 + 6x4 = 7 62
60. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính ⎧m = 8 ⇒ x1 = 3 − 2x4 ; x2 = 4 + 2x3 − 2x4 a) ⎨ ⎩m ≠ 8 ⇒ x1 = 3 − 2x4 ; x2 = 4 − 2x4 ; x3 = 0. ⎧m = 6 ⇒ hƯ v« nghiƯm b) ⎨ ⎩m ≠ 6 ⇒ x1 = 5 + 3x4 ; x2 = 4 + x4 ; x3 = 0. ⎧m = 6 ⇒ x1 = 5 + 3x4 ; x2 = 4 + 2x3 − 2x4 c) ⎨ ⎩m ≠ 6 ⇒ hƯ v« nghiƯm. ⎧m = −4 ⇒ x1 = 7 + 2x4 ; x2 = −2 + x3 − 2x4 d) ⎨ ⎩m ≠ −4 ⇒ x1 = 7 + 2x4 ; x2 = −2 − 2x4 ; x3 = 0. Câu 15: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: ⎧8x1 +12x2 + 7x3 + x4 = 9 ⎪ ⎪2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 3 ⎨ ⎪mx1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 7 ⎪ ⎩4x1 + 6x2 + 3x3 + 4x4 = 5 ⎧m = −8 ⇒ x1 = 2 − 3x2 ; x3 = −5; x4 = 0 a) ⎨ ⎩m ≠ −8 ⇒ x1 = 0; x2 = 2/3; x3 = −5; x4 = 0. ⎧m = 8 ⇒ x1 = 2 − 3x2 ; x3 = −1; x4 = 0 b) ⎨ ⎩m ≠ 8 ⇒ hƯ v« nghiƯm. ⎧m = 6 ⇒ x1 = 2 − 3/ 2x2 ; x3 = −1; x4 = 0 c) ⎨ ⎩m ≠ 6 ⇒ x1 = 0; x2 = 4/3; x3 = −1; x4 = 0. ⎧m = 4 ⇒ x2 = 7 − 2/3x1; x3 = 0; x4 = 3 d) ⎨ ⎩m ≠ 4 ⇒ x1 = 21/ 2; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 3. Câu 16: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: ⎧2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 5 ⎪ ⎪5x1 + mx2 + 4x3 + 5x4 =13 ⎨ ⎪ x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 = 3 ⎪ ⎩ x1 + 5x2 − 9x3 + 8x4 =1 63
61. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính a) Hệ vơ nghiệm. b) ⎧m =18 hƯ v« nghiƯm ⎪ ⎨ 13 17 1 1 1 ⎪m ≠18 ⇒ x1 = − ; x2 = ; x3 = 0; x4 = − − . ⎩ 5 5(m −18) m −18 5 5(m −18) ⎧m = 7 hƯ v« nghiƯm ⎪ c) ⎨ 11 1 1 ⎪m ≠ 7 ⇒ x1 = 4 − ; x2 = ; x3 = 0; x4 = 3 − . ⎩ (m − 7) m − 7 (m − 7) ⎧ 2 1 1 m = 5 ⇒ x = 3 − + x ; x = ; x = 0; x =1 − ⎪ 1 m − 5 3 2 m − 5 3 4 m − 5 d) ⎨ 2 1 1 ⎪m ≠ 5 ⇒ x = 3 − ; x = ; x = 0; x =1 − . ⎩⎪ 1 m − 5 2 m − 5 3 4 m − 5 Câu 17: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: ⎧2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2 ⎪ ⎪2x1 − 3x2 + 3x3 + mx4 = 7 ⎨ ⎪4x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4 ⎪ ⎩4x1 +14x2 + x3 + 7x4 = 4 ⎧ 4 5 2 m = 7 ⇒ x = 3 − x − ; x = 3x + ; x = ⎪ 1 2 m − 7 3 2 m − 7 4 m − 7 a) ⎨ 4 5 2 ⎪m ≠ 7 ⇒ x = 3 − ; x = 0; x = ; x = . ⎩⎪ 1 m − 7 2 3 m − 7 4 m − 7 ⎧ 5 3 3 ⎪m = 3 ⇒ x1 =1− 3x2 − ; x3 = 4x2 + ; x4 = b) ⎨ m − 3 m − 3 m − 3 ⎩⎪m ≠ 3 hƯ v« nghiƯm. ⎧m = −1 hƯ v« nghiƯm ⎪ c) ⎨ 5 3 3 m ≠ −1⇒ x =1− 3x − ; x = 4x + ; x = . ⎩⎪ 1 2 m +1 3 2 m +1 4 m +1 ⎧m =1 hƯ v« nghiƯm ⎪ d) ⎨ 9 10 5 5 m ≠1⇒ x =1 − x − ; x = 4x + ; x = . ⎩⎪ 1 2 2 m −1 3 2 m −1 4 m −1 64
62. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính Câu 18: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: ⎧5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3 ⎪ ⎪7x1 − 3x2 + 7x3 +17x4 = m ⎨ ⎪4x1 − 2x2 + 3x3 + 7x4 =1 ⎪ ⎩8x1 − 6x2 − x3 − 5x4 = 9 a) Hệ vơ nghiệm. ⎧m ≠ 0 hƯ v« nghiƯm ⎪ b) ⎨ − 5 x −13x − 3 − 7 x −19 x − 7 m = 0 ⇒ x = 3 4 ; x = 3 4 . ⎩⎪ 1 2 2 2 ⎧m = 9 hƯ v« nghiƯm ⎪ c) ⎨ 2x + 11x − 3 − 5x + 21x − 7 m ≠ 9 ⇒ x = 1 2 ; x = 1 2 . ⎩⎪ 3 2 4 2 ⎧m ≠ 4 hƯ v« nghiƯm ⎪ d) ⎨ 3x + 5x − 3 − 7x +13x + 5 m = 4 ⇒ x = 3 4 ; x = 3 4 . ⎩⎪ 1 2 2 2 Câu 19: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: ⎧ x1 + mx2 + 4x3 + 4x4 = 2 ⎪ ⎪6x1 + 20x2 − x3 + 9x4 =12 ⎨ ⎪3x1 + 8x2 + 2x3 + 6x4 = 5 ⎪ ⎩2x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 = 3 a) Hệ vơ nghiệm với mọi m . ⎧m = 8 ⇒ x1 = 2 − 3x2 ; x3 = −1; x4 = 0 b) ⎨ ⎩m ≠ 8 ⇒ hƯ v« nghiƯm. ⎧m = 6 ⇒ x1 = 2 − 3/ 2x2 ; x3 = −1; x4 = 0 c) ⎨ ⎩m ≠ 6 ⇒ x1 = 0; x2 = 4/3; x3 = −1; x4 = 0. ⎧m = 4 ⇒ x2 = 7 − 2/3x1; x3 = 0; x4 = 3 d) ⎨ ⎩m ≠ 4 ⇒ x1 = 21/ 2; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 3. 65
63. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính Câu 20: Tìm x, y, z sao cho cĩ thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau (2,−5,3) = x(1,−3,2) + y(2,−4,−1) + z(1,−5,7). a) x = −2, y =1, z = − 5. b) x = −1, y = 4, z = − 6 . c) Khơng tồn tại x,.y, z d) x = 3, y =11, z = − 4 . Câu 21: Tìm tất cả các giá trị m sao cho cĩ thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau (7,−2,m) = x(2,3,5) + y(3,7,8) + z(1,−6,1). a) m = 11. b) m = 15 . c) m ≠ 11. d) m = − 21. Câu 22: Tìm tất cả các giá trị m sao cho cĩ thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau (1,3,5) = x(3,2,5) + y(2,4,7) + z(5,6,m). a) m = − 10. b) m = 25. c) m ≠ 11. d) m ≠ 10. Câu 23: Tìm các điều kiện của a, b, c để hệ phương trình sau cĩ nghiệm ⎧ x + 2y − 3z = a ⎪ ⎨ 2x + 6y −11z = b ⎪ ⎩ x − 2y + 7z = c a) 5.b = 2a + c b) 5.a = 2b + c c) a = 5b + 2c. 66
64. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính d) a = 2b − 7c . Câu 24: Tìm các điều kiện của a, b, c để (a,b,c)∈3 thuộc vào khơng 3 gian con của  sinh bởi các véc tơ v1 = (2,1,0), v2 = (1,−1,2), v3 = (0,3,−4) . a) 2a = 4b + 3c. b) a = 2b − 3c . c) a = 5b + 7c. d) b = 3a − 5c . Câu 25: Tìm một cơ sở của khơng gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau ⎧ x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 ⎪ ⎪3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 ⎨ ⎪4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 ⎪ ⎩3x1 + 8x2 + 24x3 −19x4 = 0 a) {}(7,−5,1,1); (4,2,0,1) b) {}(3,−2,1,0); (−1,3,0,1) c) {}(8,−6,1,0); (−7,5,0,1) d) {}(7,−5,3,5); (2,1,0,−7) 4 Câu 26: Đặt V1, V2 lần lượt là hai khơng gian véc tơ con của  gồm các véc tơ v = (x1, x2 , x3 , x4 ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): ⎧2x1 − 3x2 − 3x3 − 2x4 = 0 ⎧2x1 + x2 −10x3 + 9x4 = 0 ⎪ ⎪ (I) ⎨3x1 − 5x2 − 4x3 − 4x4 = 0 , (I) ⎨ x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 ⎪ ⎪ ⎩ x1 − 2x2 − x3 − 2x4 = 0 ⎩3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . a) dimV1 = 2, dimV2 =1, dimV1 ∩V2 = 2, dimV1 + V2 = 4. b) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 =1, dimV1 + V2 = 3. 67
65. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính c) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 = 2, dimV1 + V2 = 2 . d) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 =1, dimV1 + V2 = 4. 4 Câu 27: Đặt V1, V2 lần lượt là hai khơng gian véc tơ con của  gồm các véc tơ v = (x1, x2 , x3 , x4 ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): ⎧4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 ⎧2x1 − 3x2 − 3x3 − 2x4 = 0 ⎪ ⎪ (I) ⎨3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 , (II) ⎨4x1 − 7x2 − 5x3 − 6x4 = 0 ⎪ ⎪ ⎩ x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 ⎩ x1 − 2x2 − x3 − 2x4 = 0 Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . a) dimV1 = 2, dimV2 =1, dimV1 ∩V2 = 2, dimV1 + V2 = 4. b) dimV1 = 2, dimV2 =1, dimV1 ∩V2 =1, dimV1 + V2 = 3. c) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 = 2, dimV1 + V2 = 4 . d) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 =1, dimV1 + V2 = 3. ⎡1 2⎤ ⎡3 5⎤ Câu 28: Giải phương trình : ⎢ ⎥ X = ⎢ ⎥ ⎣3 4⎦ ⎣5 9⎦ ⎡−1 −1⎤ a) X = ⎢ ⎥ . ⎣ 2 3 ⎦ ⎡3 1⎤ b) X = ⎢ ⎥ . ⎣7 1⎦ ⎡5 2⎤ c) X = ⎢ ⎥ . ⎣7 1⎦ ⎡3 3⎤ d) X = ⎢ ⎥ . ⎣5 1⎦ ⎡3 − 2⎤ ⎡−1 2⎤ Câu 29: Giải phương trình : X ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣5 − 4⎦ ⎣− 5 6⎦ 68
66. Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính ⎡5 2 ⎤ a) X = ⎢ ⎥ . ⎣3 −1⎦ ⎡ 3 5 ⎤ b) X = ⎢ ⎥ . ⎣− 2 − 4⎦ ⎡3 − 2⎤ c) X = ⎢ ⎥ . ⎣5 − 4⎦ ⎡ 5 − 2⎤ d) X = ⎢ ⎥ . ⎣− 3 4 ⎦ Câu 30: Giải phương trình AX = B với ẩn là ma trận X , trong đĩ: ⎡ 1 −1 1⎤ ⎡1 1 1 −1⎤ A = ⎢−1 2 1⎥ , B = ⎢1 0 2 2 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢− 2 3 1⎦⎥ ⎣⎢1 − 2 2 0 ⎦⎥ ⎡ 9 5 1 0⎤ a) X = ⎢ 7 3 1 0⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢− 3 −1 1 1⎦⎥ ⎡0 5 1 9 ⎤ b) X = ⎢0 3 1 7 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢1 −1 1 − 3⎦⎥ ⎡ 4 7 1 0⎤ c) X = ⎢ 5 8 1 0⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢− 3 −1 1 1⎦⎥ ⎡ 4 6 −1 2 ⎤ d) X = ⎢ 5 3 3 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢− 3 8 1 −1⎦⎥ 69
67. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 6. CHƯƠNG 6: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 6.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA Ánh xạ tuyến tính (biến đổi tuyến tính) từ một khơng gian véc tơ này vào khơng gian véc tơ kia là ánh xạ bảo tồn phép cộng véc tơ và phép nhân một số với véc tơ. Ánh xạ tuyến tính là một nội dung chính của đại số tuyến tính. Một ánh xạ tuyến tính từ một khơng gian véc tơ vào chính khơng gian đĩ được gọi là tự đồng cấu tuyến tính (gọi tắt là tự đồng cấu) hay tốn tử tuyến tính. Nhà tốn học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm ánh xạ tuyến tính (1888). Ánh xạ tuyến tính cịn bảo tồn các khơng gian con qua các tập ảnh và ảnh ngược. Nghĩa là ảnh qua ánh xạ tuyến tính của một khơng gian con là một khơng gian con, ảnh ngược của khơng gian con cũng là khơng gian con. Đặc biệt ảnh f (V ) của ánh xạ tuyến tính f :V →W là khơng gian con của W được gọi là ảnh của f . Cịn ảnh ngược f −1{0} là khơng gian véc tơ con của V được gọi là nhân của f . Chiều của khơng gian véc tơ ảnh f (V ) được gọi là hạng của f . Ánh xạ tuyến tính và đơn ánh được gọi là đơn cấu, tồn ánh được gọi là tồn cấu, song ánh được gọi là đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu từ khơng gian này lên khơng gian kia thì ta nĩi hai khơng gian đĩ đẳng cấu. Cĩ những tiêu chuẩn riêng để nhận biết một ánh xạ tuyến tính là tồn cấu, đơn cấu hay đẳng cấu. Một ánh xạ tuyến tính là tồn cấu khi và chỉ khi hạng của nĩ bằng chiều của khơng gian đích. Một ánh xạ tuyến tính là đơn cấu khi và chỉ khi nhân của nĩ chỉ gồm véc tơ khơng. Ánh xạ tuyến tính từ một khơng gian véc tơ vào một khơng gian véc tơ cùng chiều là tồn cấu khi và chỉ khi là đơn cấu (do đĩ là đẳng cấu), điều này cũng giống như ánh xạ giữa hai tập hữu hạn cĩ cùng số phần tử. Một ánh xạ tuyến tính hồn tồn được xác định bởi ảnh của cở sở bất kỳ qua ánh xạ này. Vì vậy khi đã cho cơ sở B = {e1, ,en} của V và cơ sở B' của W thì ánh xạ tuyến tính f :V →W hồn tồn được xác định bởi ma trận của hệ véc tơ {}f (e1), , f (en ) viết trong cơ sở B' . Điều này giải thích tại sao đại số tuyến tính thường được xem là lý thuyết ma trận. Ma trận của tổng hai ánh xạ tuyến tính bằng tổng hai ma trận, ma trận của tích một số với một ánh xạ tuyến tính bằng tích của số này với ma trận xác định ánh xạ tuyến tính, ma trận của hợp hai ánh xạ tuyến 70
68. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính tính bằng tích hai ma trận của chúng. Nĩi cách khác tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nĩ là một đẳng cấu bảo tồn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép nhân hai ma trận. Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nĩ. Ma trận của một tự đồng cấu trong hai cơ sở khác nhau là đồng dạng. Chính vì lý do này nên một bài tốn về ma trận cĩ thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính và ngược lại. Cơng thức xác định ảnh của một ánh xạ tuyến tính cĩ biểu thức toạ độ là một hệ phương trình tuyến tính. Tìm véc tơ thuộc khơng gian ảnh tương ứng với tìm điều kiện của vế sau để hệ phương trình tuyến tính cĩ nghiệm. Nhân của ánh xạ tuyến tính là khơng gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất xác định ánh xạ này. Một vấn đề quan trọng của lý thuyết ma trận là chéo hố ma trận, đĩ là tìm một ma trận đồng dạng của ma trận cho trước mà ma trận đồng dạng này cĩ dạng chéo. Vấn đề này tương đương với việc tìm một cơ sở gồm các véc tơ riêng của tự đồng cấu xác định bởi ma trận đã cho. Thuật tốn chéo hố ở cuối chương sẽ giúp học viên giải quyết được bài tốn dạng này. Bài tốn chéo hĩa ma trận cĩ rất nhiều ứng dụng. Bài tồn chéo hĩa trực giao ma trận được xét trong chương 7. 6.2 TĨM TẮT NỘI DUNG 6.2.1 Ánh xạ tuyến tính Ánh xạ f từ khơng gian véc tơ V vào khơng gian W thoả mãn: (i) với mọi u,;v ∈V f (u + v) = f (u) + f (v) (ii) với mọi u,v ∈V , α ∈; f (αu) = αf (u) được gọi là ánh xạ tuyến tính Khi V = W thì f được gọi là tự đồng cấu hay tốn tử tuyến tính. Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là Hom(V ,W ) hayL(V ,W ) . Ta xác định hai phép tốn "+,⋅" trên tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W . Với hai phép tốn này thì (Hom(V ,W ),+,⋅ ) cĩ cấu trúc khơng gian véc tơ và dimHom(V ,W ) = dimV ⋅ dimW . Tập các tự đồng cấu của V , ký hiệu EndV , với hai phép tốn cộng và hợp ánh xạ thì (EndV ,+,o ) là một vành khơng giao hốn, cĩ đơn vị , khơng nguyên. Ngồi ra với hai phép tốn "+,⋅" thì (EndV ,+,⋅) cịn là một khơng gian véc tơ. 71
69. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 6.2.2 Nhân và ảnh Với ánh xạ tuyến tính f :V →W ta ký hiệu và định nghĩa Kerf = f −1{0} là hạt nhân và Im f = f (V ) là ảnh của f . Chiều của Im f được gọi là hạng của ánh xạ f , ký hiệu r( f ) . dimV = r( f ) + dimKerf 6.2.3 Tồn cấu, đơn cấu, đẳng cấu Ánh xạ tuyến tính mà tồn ánh được gọi là tồn cấu. Ánh xạ tuyến tính mà đơn ánh được gọi là đơn cấu. Ánh xạ tuyến tính và song ánh được gọi là đẳng cấu. Hai khơng gian V ,W được gọi là đẳng cấu nếu cĩ ánh xạ tuyến tính đẳng cấu f :.V →W 6.2.4 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f :.V →W Giả sử B = {e1, ,en} là một cơ sở của V . B'= {ω1, ,ωm} là một cơ sở của W . Ma trận A = a của hệ véc tơ {f (e ), , f (e )} trong cơ sở ' được gọi [ ij ]m×n 1 n B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f ứng hai cơ sở B , B'. Nếu (x1, , xn ) là toạ độ của v ∈V trong cơ sở B . (y1, , ym ) là toạ độ của f (v)∈W trong cơ sở B' thì ⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎧y1 = a11x1 + + a1nxn ⎪ ⎢ ⎥ = a ⎢ ⎥ hay ⎢ M ⎥ []ij m×n ⎢ M ⎥ ⎨ ⎪ ⎣⎢ym ⎦⎥ ⎣⎢xn ⎦⎥ ⎩ym = am1x1 + + amnxn được gọi là biểu thức toạ độ của ánh xạ tuyến tính f . Tương ứng Hom(V ,W ) → Mm×n f a A là một đẳng cấu tuyến tính và r( f ) = r(A ). 72
70. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 6.2.5 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Giả sử f :V →W là ánh xạ tuyến tính. Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B1 = {e1, ,en} sang cơ sở B'1 = {}e'1 , , e'n của khơng gian V . Gọi P là ma trận chuyển cơ sở B2 = {ω1, ,ωm} sang cơ sở B'2 = {}ω'1 , ,ω'm của W . A là ma trận của f trong cơ sở B1, B2 , A' là ma trận của f trong cơ sở B'1 , B'2 Thì A'= P−1AT Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của khơng gian véc tơ V . Gọi A, A' là ma trận của f trong hai cơ sở B, B' và T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B' thì: A'= T −1AT 6.2.6 Khơng gian riêng, giá trị riêng, véc tơ riêng Véc tơ v ∈V , v ≠ 0 sao cho f (v) = λv được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của tự đồng cấu f . Nếu λ là giá trị riêng thì Vλ = {v∈V f (v) = λv}= Ker()f − λidV được gọi là khơng gian riêng ứng với giá trị riêng λ. λ0 là giá trị riêng của f khi và chỉ khi λ0 là nghiệm của đa thức đặc trưng P(λ) := det()f − λidV = det(A − λI) Tự đồng cấu f trong khơng gian véc tơ V chéo hố được nếu tồn tại một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này cĩ dạng chéo. Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong khơng gian n chiều V cĩ đúng n nghiệm thực phân biệt thì f chéo hố được. Giả sử đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f chỉ cĩ các nghiệm thực: n m1 mk P(λ) = (−1) (λ − λ1) (λ − λk ) với m1 + + mk = n và các λ1, ,λk khác nhau từng đơi một. Khi đĩ f chéo hố được khi và chỉ khi với mọi i = 1, , k : dimV = m . λi i 73
71. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính Vậy chéo hố ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng: P(λ) := det( f − λidV ) = det(A − λI) = 0 n m1 mk ⇒ P(λ) = (−1) (λ − λ1) (λ − λk ) . Bước 2: Với mỗi giá trị riêng λi ta tìm các véc tơ riêng v = x1e1 + + xnen cĩ ()x1 , , xn là nghiệm của hệ phương trình ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ A − λ I ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . []i ⎢ M ⎥ ⎢M⎥ ⎣⎢xn ⎦⎥ ⎣⎢0⎦⎥ Tập hợp nghiệm là khơng gian con di chiều; di = n − r()A − λi I . Nếu di < mi với i nào đĩ, 1≤ i ≤ k thì f khơng hố chéo được. Nếu di = mi thì ta chọn mi véc tơ độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng λi , với mọi i = 1, , k . Hệ gồm m1 + + mk = n các véc tơ riêng này là cơ sở B' cần tìm. 6.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu 1: Ánh xạ f :2 → 2 nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính: a) f (x, y) = (x2, y) . b) f (x, y) = (y, x). c) f (x, y) = (x, y +1) . d) f (x, y) = (3 x,3 y) . Câu 2: ánh xạ f :2 → 3 nào dưới đây khơng phải là ánh xạ tuyến tính: a) f (x, y) = (−2x, x + y, x − 3y). b) f (x, y) = (y,0,−x) . 74
72. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính c) f (x, y) = (x, y, xy) . d) f (x, y) = (a1x + b1y,a2x + b2 y,a3x + b3 y). Câu 3: ánh xạ f : M2 →  nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính: ⎛ ⎡a b⎤⎞ ⎜ ⎟ a) f ⎜⎢ ⎥⎟ = a + d . ⎝ ⎣c d⎦⎠ ⎛ ⎡a b⎤⎞ a b ⎜ ⎟ b) f ⎜ ⎢ ⎥⎟ = . ⎝ ⎣c d⎦⎠ c d ⎛ ⎡a b⎤⎞ ⎜ ⎟ c) f ⎜⎢ ⎥⎟ = 2a + 3b + c − d +1. ⎝ ⎣c d⎦⎠ ⎛ ⎡a b⎤⎞ ⎜ ⎟ 2 2 d) f ⎜ ⎢ ⎥⎟ = a + d . ⎝ ⎣c d⎦⎠ Câu 4: ánh xạ f : P2 → P2 nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính: 2 2 a) f (a0 + a1x + a2x )= a0 + (a1 + a2 )x + (2a0 − 3a1)x . 2 2 b) f (a0 + a1x + a2x )= a0 + a1(x +1) + a2 (x +1) . 2 c) f (a0 + a1x + a2x )= a2 + a0x . 2 2 d) f (a0 + a1x + a2x )= (a0 +1) + a1x + a2x . Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính f :3 → 2 sao cho f (1,0,0) = (1,1), f (0,1,0) = (3,0), f (0,0,1) = (4,−7). Điều nào sau đây đúng: ⎡1 1 ⎤ a) Ma trận chính tắc của f là A = ⎢3 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢4 − 7⎦⎥ b) f (1,3,2) = (−13,18) . c)f (x, y, z) = (x + 3y + 4z, x − 7z ) . d) Với mọi (x, y, z)∈3, f (x, y, z) ≠ (0,0). 75
73. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f :2 → 2 cĩ ma trận chính tắc ⎡ 2 −1⎤ ⎢ ⎥ . Véc tơ nào sau đây thuộc Im f : ⎣− 8 4 ⎦ a) (.1,4) b) (−3,12). c) (4,−1). d) (14,−2) . Câu 7: Cho ánh xạ tuyến tính f :3 → 2 cĩ ma trận chính tắc ⎡4 1 2⎤ ⎢ ⎥ . Véc tơ nào sau đây thuộc Kerf : ⎣6 2 3⎦ a) (.1,4,0) b) (1,1,−2) . c) (.6,4,3) d) (2,0,−4) . Câu 8: Xét ánh xạ tuyến tính D : P2 → P2 xác định bởi cơng thức D( p) = p' , cho tương ứng đa thức p với đạo hàm p' của nĩ. Điều nào sau đây khơng đúng: ⎡0 1 0⎤ a) Ma trận chính tắc của D là A = ⎢ ⎥ . ⎣0 0 2⎦ b) D là một tồn cấu. c) Hạng của D là r(D) = 2. d) dim KerD = 1. Câu 9: Cho ánh xạ tuyến tính f :4 → 3 cĩ cơng thức xác định ảnh f (x, y, z,t) = (x − y + z + t, x + 2z − t, x + y + 3z − 3t) Hệ véc tơ nào sau đây khơng là một cơ sở của Im f . a) v1 = (1,0,1), v2 = (0,1,2). 76
74. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính b) v1 = (1,0,−1), v2 = (0,1,2 ). c) v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,2) . d) v1 = (1,1,1), v2 = (1,2,3 ) . Câu 10: Cho ánh xạ tuyến tính f :4 → 4 cĩ cơng thức xác định ảnh f (x, y, z,t) = (x + 3y − z + 2t,11y − 5z + 3t,2x − 5y + 3z + t,4x + y + z + 5t) Tìm hạng r( f ) và dimKerf . a) r( f ) = 3 và dimKerf = 2 . b) r( f ) = 2 và dimKerf = 2 . c) r( f ) = 3 và dimKerf = 1. d) r( f ) = 2 và dimKerf = 1. Câu 11: Cho ánh xạ tuyến tính f :4 → 3 cĩ cơng thức xác định ảnh f (x, y, z,t) = (x − y + z + t, x + 2z − t, x + y + 3z − 3t) Hệ véc tơ nào sau đây là một cơ sở của Kerf . a) u1 = (3,1,−1,4), u2 = (1,−2,5,1) . b) u1 = (−3,1,−1,5), u2 = (1,−2,6,1) . c) u1 = (2,1,−1,0), u2 = (1,2,0,1 ) . d) u1 = (−3,1,−1,5), u2 = (1,−2,6,1), u3 = (1,2,0,1). Câu 12: Xét ánh xạ tuyến tính T : P2 → P3 xác định bởi cơng thức T()p(x) = xp(x) . Điều nào sau đây khơng đúng a) T đơn cấu. b) T tồn cấu. c) x + 2x2 + 3x3 thuộc ImT . ⎡0 0 0⎤ ⎢1 0 0⎥ d) Ma trận của T trong cơ sở chính tắc là A = ⎢ ⎥ . ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 1⎦ 77
75. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính Câu 13: Ánh xạ f :3 → 4 nào sau đây là ánh xạ tuyến tính cĩ khơng gian ảnh sinh bởi hai véc tơ v1 = (1,2,0,−4), v2 = (2,0,−1,−3) . a) f (x, y, z) = (x + 2y, 2x, − y, − 4x − 3y) . b) f (x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + y − z, x − y, 4x − y + 3z). c) f (x, y, z) = (x + z, y − z, x − y, 4x − 3z) . d) f (x, y, z) = (3x + 2y + z, x + 2y − z, x − 3y, 4x). ⎡1 2⎤ Câu 14: Cho ma trận vuơng cấp hai M = ⎢ ⎥ ∈ M2, f : M2 → M2 là ⎣0 3⎦ ánh xạ tuyến tính xác định bởi f (A) = AM − MA. Tìm một cơ sở của nhân của f . ⎧ ⎡1 −1⎤ ⎡1 0⎤ ⎫ a) ⎨ ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎬ . ⎩ ⎣1 0 ⎦ ⎣0 1⎦ ⎭ ⎧ ⎡1 −1⎤ ⎡1 0⎤ ⎫ b) ⎨ ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎬ . ⎩ ⎣0 2 ⎦ ⎣1 1⎦ ⎭ ⎧ ⎡1 −1⎤ ⎡1 0⎤ ⎫ c) ⎨ ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎬. ⎩ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 1⎦ ⎭ ⎧ ⎡1 −1⎤ ⎡1 0⎤ ⎡1 −1⎤ ⎫ d) ⎨ ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ ⎬ . ⎩ ⎣0 2 ⎦ ⎣1 1⎦ ⎣1 1 ⎦ ⎭ Câu 15: Cho ánh xạ tuyến tính f :7 → 5 cĩ hạng r( f ) = 4. Điều nào sau đây đúng. a) Khơng gian nghiệm của phương trình f (x) = 0 cĩ chiều bằng 1. b) Khơng gian nghiệm của phương trình f (x) = 0 cĩ chiều bằng 3. c) Với mọi y ∈5, phương trình f (x) = y luơn cĩ nghiệm. d) Các điều trên đều sai. Câu 16: Cho hai ánh xạ tuyến tính f , g :3 → 2 cĩ cơng thức xác định ảnh 78
76. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính f (x, y, z) = (2x, y + z) , g(x, y, z) = (x − z, y). Tìm cơng thức xác định 2 f − 5g a) ()2 f − 5g (x, y, z) = (−x + 5z,−3y + 2z) . b) ()2 f − 5g (x, y, z) = (2x − y + 5z,5x + 4y + 2z) . c) ()2 f − 5g (x, y, z) = (5x + y − 3z,2x − 3y + 2z) . d) ()2 f − 5g (x, y, z) = (2x + y + 5z,−3x − y + 2z) . Câu 17: Cho hai ánh xạ tuyến tính f , g :3 → 3 cĩ cơng thức xác định ảnh f (x, y, z) = (x + y + z, y,−z), g(x, y, z) = (0, x − y, x − z) . Tìm cơng thức xác định g o f (x, y, y) . a) g o f (x, y, y) = (x + 2y − z, y + 2z,2x − y + 3z) . b) g o f (x, y, y) = (x + z, x + y, y + z) . c) g o f (x, y, y) = (2x + 4z,2z,2y − 6z) . d) g o f (x, y, y) = (3x + 2y − 5z, y + 6z,2x − y − 7z). Câu 18: Ánh xạ f :3 → 3 cĩ cơng thức xác định ảnh nào sau đây khơng là một đẳng cấu. a) f (x, y, z) = (x + z, y + z, x + y + z) . b) f (x, y, z) = (−x + y + z, x − y + z, x + y − z). c) f (x, y, z) = (3x + 2y + 8z,3x + y + 4z, x + 3y) . d) f (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y). Câu 19: ánh xạ f :3 → 3 cĩ cơng thức xác định ảnh f (x, y, z) = (2x,4x − y,2x + 3y − z) là một đẳng cấu. Tìm cơng thức xác định ảnh của ánh xạ ngược f −1(x, y, z). a) f −1(x, y, z) = ()2x,2x − 7y + 3z,7x − 3y + z . b) f −1(x, y, z) = ()x,2x − 4y − z,7x − 3y + 2z . 79