›
›

Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 4: Số thực

pdf 29 trang huongle 5750
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 4: Số thực", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_giai_tich_1_chuong_4_so_thuc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 4: Số thực

  1. CHÖÔNG BOÁN SOÁ THÖÏC Neáu chuùng ta qui hoaïch moät con ñöôøng maøu xanh treân moät khu ñaát hình vuoâng d coù chieàu daøi moãi caïnh laø 1 km. Hoûi 1 chuùng ta neân ghi chieàu daøi d cuûa con ñöôøng naøy laø bao nhieâu trong döï aùn ? 1 Theo ñònh lyù Pythagore d2 = 2 . Trong caùc chöông tröôùc, chuùng ta ñaõ thaáy khoâng coù soá höõu tæ naøo baèng d caû. Con soá d naøy coù thöïc ngoaøi ñôøi nhöng khoâng theå tieáp caän baèng caùc lyù luaän bình thöôøng ngoaøi ñôøi nhö ñeám soá, chia phaàn (soá nguyeân vaø soáGIAI höõu TICH tæ).1 - CHUONG 4 141
  2. Trong Phuï luïc A cuûa quyeãn “Giaùo Trình Toaùn Giaûi Tích 1”, NXB Thoáng Keâ, duøng khaùi nieäm daõy Cauchy, chuùng ta xaây döïng ñöôïc taäp hôïp — caùc soá thöïc d döïa vaøo taäp caùc soá nguyeân nhö sau. Ñònh nghóa. — laø moät taäp hôïp treân ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc: pheùp coäng (x,y) x +y vaø pheùp nhaân (x,y) xy (ñaây laø caùc aùnh xaï töø — — vaøo —) vaø moät quan heä thöù töï toaøn phaàn coù caùc tính chaát sau : vôùi moïi x, y, z vaø u trong — (R1) x + y = y + x , (R2) x +(y + z)=(x+ y)+z, (R3) coù moät phaàn töû 0 trong — sao cho 0 +x = x x —, (R4) coù moät phaàn töû -GIAIx TICHtrong 1 - CHUONG— 4sao cho x +(-x)=0, 142
  3. (R1) x + y = y + x , (R2) x +(y + z)=(x+ y)+z, (R3) coù moät phaàn töû 0 trong — sao cho 0 +x = x  x —, (R4) coù moät phaàn töû - x trong — sao cho x +(-x)=0, (R5) xy = yx, (R6) x(yz)=(xy)z, (R7) coù moät phaàn töû 1 trong — sao cho 1x = x x —, (R8) neáu x 0 coù moät phaàn töû x-1 trong — sao cho x -1.x =1, (R9) x(y + z)=xy + xz, GIAI TICH 1 - CHUONG 4 143
  4. Baøi toaùn1 . Cho  vaø  laø hai soá thöïc sao cho x +  = x vaø x +  = x  x . Chöùng minh  =  . x +  = x  x  x +  = x  x   =   =  +  =  +  =  Vaäy phaàn töû 0 duy nhaát Baøi toaùn 2 . Cho  vaø  laø hai soá thöïc sao cho .x = x vaø .x = x  x . Chöùng minh  =  . .x = x  x  .x = x  x   =   = . = . =  Vaäy phaàn töû 1 duy nhaátGIAI TICH 1 - CHUONG 4 144
  5. BAØI TOAÙN 3 . Cho hai soá thöïc x vaø y . Chöùng minh x + y = x fl y = 0 . x + y = x y = 0 [x +y]+ (-x) = x+ (-x) = 0 0 = x +[y+ (-x)] = x +[(-x ) +y] = [x +(-x )] +y = 0 + y = y BAØI TOAÙN 4. Cho moät soá thöïc x . Chöùng minh 0.x= 0 0.x = (0).x = (0 + 0).x = 0.x + 0.x 0.x= 0 BAØI TOAÙN 5. Cho hai soá thöïc x vaø y. Giaû söû x ∫ 0. Chöùng minh x .y = 0 fl y = 0 . y =(x-1). (x .y ) = ( xGIAI-1). TICH 0 1 - CHUONG= 0. 4( x-1) y = 0 145
  6. BAØI TOAÙN 6. Cho moät soá thöïc x . Chöùng minh (-1).x= - x (R4) x +(-x)=0, x + (-1).x = 1.x + (-1).x 1.x + (-1).x = [1+ (-1)].x = 0.x Ñònh nghóa . Cho hai soá thöïc x vaø y . Ta ñaët y - x = y + (-x ) GIAI TICH 1 - CHUONG 4 146
  7. (R10) " x § y vaø y § z " " x § z ", (R11) " x § y vaø y § x" "x = y ", (R12) x § y hoaëc y § x, (R13) " x § y vaø z § u " " x + z § y + u ", (R14) " x § y vaø 0 § u " " x u § y u ". BAØI TOAÙN 7 . Cho hai soá thöïc x vaø y . Chöùng minh x § y ñ 0 § y - x x § y fl 0 § y - x 0 § y - x fl x § y x § y 0 § y - x x + (-x) § y + ( -x) (Duøng (R13) ) 0 § y - x GIAI TICH 1 - CHUONG 4 147
  8. BAØI TOAÙN 8 . Cho hai soá thöïc x vaø y . Chöùng minh x § y fl - y § -x (1) x § y - y § -x x Ø - y : -y = x + ( - x - y ) (1) vaø (R13) : x + ( - x - y ) § y + ( - x - y ) Ñònh nghóa . Cho hai soá thöïc x vaø y ta seõ duøng caùc kyù hieäu sau : x ¥ y neáu vaø chæ neáu y § x , x > y neáu vaø chæ neáu " y § x vaø x y ", x < y neáuGIAI TICH vaø 1 chæ - CHUONG neáu 4 " y ¥ x vaø x 148 y ".
  9. Ñònh nghóa . Cho hai soá thöïc a vaø b , sao cho a § b . Ta ñaët [a , b ] = { x œ — : a § x § b } Ñònh nghóa . Cho hai soá thöïc a vaø b , sao cho a < b . Ta ñaët (a , b ) = { x œ — : a < x < b } [a , b ) = { x œ — : a § x < b } ((-a¶, b, b] ) = = { {xxœœ——: : a x< <x b§ b} } (a , ¶ ) = { x œ — : a < x } [a , ¶) = { x œ — : a § x } (- ¶ , b ] = { x œ —GIAI :TICH 1x - CHUONG § b 4} 149
  10. Cho moät soá thöïc a ta ñaët R akhia 0 , ||a S T akhia0 . Ta goïi | a | laø trò giaù tuyeät ñoái cuûa a. BAØI TOAÙN 9 . Cho moät soá thöïc x . Chöùng minh x § |x | °Neáu x ¥ 0 : | x | = x . °Neáu x § 0 : | x | = - x Baøi toaùn trôû thaønh : neáu x § 0 chöùng minh x § - x Duøng baøi toaùn 8 : xGIAI § TICH0 1 - CHUONG fl 40 § - x 150
  11. BAØI TOAÙN 10 . Cho moät soá thöïc x . Chöùng minh -|x | § x °Neáu x ¥ 0 : | x | = x Baøi toaùn trôû thaønh : neáu 0 § x chöùng minh - x § x Duøng baøi toaùn 8 : 0 § x fl - x § 0 °Neáu x § 0 : | x | = - x Baøi toaùn trôû thaønh : neáu x § 0 chöùng minh - (- x ) § x BAØI TOAÙN 11 . Cho moät soá thöïc x . Chöùng minh ≤ x § | x | x § | x |GIAI TICH vaø 1 - CHUONG -4x § | x | 151
  12. BAØI TOAÙN 12. Cho hai soá thöïc x vaø y . Chöùng minh | x + y | § | x | + | y | °Neáu 0§ x + y : | x + y | = x + y Baøi toaùn trôû thaønh : neáu 0 § x + y chöùng minh x + y § | x | + | y | °Neáu x + y § 0 : | x + y | = -(x + y ) = - x - y Baøi toaùn trôû thaønh : neáu x + y § 0 chöùng minh - x - y § | x | + | y | Duøng baøi toaùn 8 , baøi toaùn 9 vaø (R13) -x |-x| = |x| -y |-yGIAI| = TICH |y 1 |- CHUONG 4 152
  13. (R15) — chöùa taäp hôïp caùc soá nguyeân döông Õ vaø caùc soá nguyeân döông n chính laø 1 + . . . + 1 (n laàn). (R16) Taäp hôïp caùc soá nguyeân Ÿ  -n : n Õ  0 Õ chöùa trong —. (R17) Taäp hôïp caùc soá höõu tæ –  n-1m : n Õ vaø m Ÿ  chöùa trong —. GIAI TICH 1 - CHUONG 4 153
  14. (R18) (Tính chaát Archimeøde) Neáu x > 0 vaø 0 < y, luùc ñoù coù moät soá nguyeân döông n sao cho y < nx . (hay n-1y < x ) (R19) (Tính truø maät cuûa – vaø — \ – trong —) vôùi moïi soá thöïcx vaø moïi soá thöïc döông  ta tìm ñöôïc p vaø q trong – vaø r vaø s trong — \ – sao cho x -  < p < x < q < x +  vaø x -  < r < x < s < x + . GIAI TICH 1 - CHUONG 4 154
  15. Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng trong — . Ta noùi A laø moät taäp bò chaën treân neáu coù moät soá thöïc sao cho x §  x A , luùc ñoù ñöôïc goïi laø moät chaën treân cuûa A . A laø moät taäp bò chaën döôùi neáu coù moät soá thöïc b sao cho b§ x  x A , luùc ñoù b ñöôïc goïi laø moät chaën döôùi cuûa A A laømoättaäpbò chaën neáu A laø moät taäp bò chaën treân vaø bò chaën döôùi GIAI TICH 1 - CHUONG 4 155
  16. Thí duï 1 . Cho hai soá thöïc a vaø b, sao cho a < b . Ta thaáy (- ¶, b ) laømoättaäpbòchaëntreân, (a , ¶ ) laømoättaäpbòchaëndöôùi, [a , ¶) laø moät taäp bò chaën döôùi (- ¶ , b ] laømoättaäpbòchaëntreân, (a , b ) laø moät taäp bò chaën , [a , b ) laømoättaäpbòchaën, (a , b ] laømoättaäpbòchaën. GIAI TICH 1 - CHUONG 4 156
  17. (R20) Neáu A laø moät taäp con khaùc troáng vaø bò chaën treân trong —, luùc ñoù coù moät soá thöïc m0 sao cho (i) x § m0 " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A , thì m0 § b Luùc ñoù ta goïi m0 laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A vaø kyù hieäu m0 laø sup A . GIAI TICH 1 - CHUONG 4 157
  18. (R21) Neáu A laø moät taäp con khaùc troáng vaø bò chaën döôùi trong —, luùc ñoù coù moät soá thöïc k0 sao cho (i) k0 § x " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho b § x vôùi moïi x œ A , thì b § k0 Luùc ñoù ta goïi k0 laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A vaø kyù hieäu k0 laø inf A . GIAI TICH 1 - CHUONG 4 158
  19. Baøi toaùn13 . Cho A laø khoaûng (0,1). Chöùng minh sup A = 1 (i) x § m0 " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A , thì m0 § b Luùc ñoù ta goïi m0 laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A vaø kyù hieäu m0 laø sup A . (i) x § 1 " x œ (0 , 1) , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ (0 , 1) , thì 1 § b GIAI TICH 1 - CHUONG 4 159
  20. (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ (0 , 1) , thì 1 § b x § b " x œ (0 , 1) fi 1 § b Ñaûo ñeà : “ P fi Q ” ‹ “ ~ Q fi ~ P ” b <1 fi $ x œ (0 , 1) sao cho b < x b <1 fi Tìm moät x œ (0 , 1) sao cho b < x b 0 1 ∏ b œ (0 , 1) : choïn x = 2 -1(1 + b) ∏ b œ (- ¶ , 0 ] : GIAI choïn TICH 1 - CHUONGx = 4 2 -1 160
  21. Baøi toaùn14 . Cho A laø taäp hôïp { n-1 : n œ Õ }. Chöùng minh inf A = 0 (i) k0 § x " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A , thì b § k0 Luùc ñoù ta goïi k0 laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A vaø kyù hieäu k0 laø inf A . (i) 0 § x " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho b § x vôùi moïi x œ A , thì b § 0 GIAI TICH 1 - CHUONG 4 161
  22. (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho b § x vôùi moïi x œ A , thì b § 0 b § n-1 " n œ Õ fi b § 0 Ñaûo ñeà : “ P fi Q ” ‹ “ ~ Q fi ~ P ” 0 0 vaø 0 < y, luùc ñoù coù moät soá nguyeân döông n sao cho y < nx GIAI. TICH (hay 1 - CHUONG n -14y < x ) 162
  23. Cho A laømoättaäpbòchaäntreântrong— vaø M œ — . Ñeå chöùng minh sup A § M , ta coù theå laøm nhö sau Chöùng minh x § M " x œ A . Baøi toaùn 15 . Cho c laø moät soá thöïc döông vaø B laø moät taäp con bò chaën treân khaùc troáng cuûa —. Ñaët cB = cy : y B  . Chöùng minh sup cB = c sup B Ñaët A = cB vaø M = c sup B . Ta phaûi chöùng minh ∏ sup A § M ∏ M § sup A GIAI TICH 1 - CHUONG 4 163
  24. cB = cy : y B  . Chöùng minh sup cB = c sup B Ñaët A = cB vaø M = c sup B . Ta phaûi chöùng minh ∏ sup A § M ∏ M § sup A Chöùng minh sup A § M Chöùng minh x § c sup B " x œ A = cB . Chöùng minh cy § c sup B " y œ B. y § sup B " y œ B. c y § csupGIAI BTICH = 1 - CHUONGM 4 " y œ B. 164
  25. cB = cy : y B  . Chöùng minh sup cB = c sup B Ñaët A = cB vaø M = c sup B . Ta phaûi chöùng minh M § sup A Ta phaûi chöùng minh c sup B § sup cB Ta ñaõ chöùng minh sup cB § c sup B Ñaët E = cB vaø d = c-1 . Ta coù B = d E sup d E § dsup E GIAI TICH 1 - CHUONG 4 165
  26. Baøi toaùn16. Cho A laø moät taäp khaùc troáng vaø bò chaën treân trong — vaø c = sup A. Cho  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh c -  khoâng laø moät chaën treân cuûa A. (i) x § m0 " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A , thì m0 § b Luùc ñoù m0 = sup A . (i) x § c " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A , thì c § b GIAI TICH 1 - CHUONG 4 166 neáu c -  laø moät chaën treân cuûa A : c c - 
  27. Baøi toaùn17. Cho A laø moät taäp khaùc troáng vaø bò chaën treân trong — vaø c laø moät chaën treân cuûa A. Giaû söû vôùi moïi soá thöïc döông  ta coù moät x A sao cho c -  < x . Chöùng minh c = sup A (i) x § m0 " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A , thì m0 § b Luùc ñoù m0 = sup A . (i) x § c " x œ A , (ii) Neáu coù moät b trong — sao cho x § b vôùi moïi x œ A , thìGIAI cTICH§ 1 - CHUONGb 4 167
  28. (ii) Neáu b laø moät chaën treân cuûa A , thì c § b b laø moät chaën treân cuûa A fi c § b Ñaûo ñeà : “ P fi Q ” ‹ “ ~ Q fi ~ P ” b <c fi b khoâng laø moät chaën treân cuûa A b < c fi Tìm moät x œ A sao cho b < x GIAI TICH 1 - CHUONG 4 168
  29. b 0 ta coù moät x A sao cho c -  < x b khoâng coøn laø moät chaën treân cuûa A GIAI TICH 1 - CHUONG 4 169