›
›

Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 5: Dãy và chuỗi số thực

pdf 90 trang huongle 6740
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 5: Dãy và chuỗi số thực", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_giai_tich_1_chuong_5_day_va_chuoi_so_thuc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 5: Dãy và chuỗi số thực

  1. CHÖÔNG NAÊM DAÕY VAØ CHUOÃI SOÁ THÖÏC Ñeå xaây döïng moät raøo ngaên khaùn giaû traøn vaøo saân thi ñaáu boùng ñaù, ta caàn tính chu vi p cuûa moät hình b nhö beân caïnh. Hình naøy goàm hai 60 a cung troøn vaø hai ñoaïn thaúng, moãi a cung laø moät phaàn tö cuûa moät ñöôøng troøn coù baùn kính 60 meùt. b Duøng caùc coâng thöùc ñôn giaûn ta tính ñöôïc p (60 120 2) meùt GIAI TICH 1 - CHUONG 5 170
  2. Neáu baïn hoïc toaùn ñeå ñaït huy chöông Field, thì coâng thöùc treân quaù toát. Nhöng khi ñöa vaøo caùc ñeà aùn thi coâng thöïc teá, chuùng ta phaûi duøng moät trong caùc giaù trò cuûa p nhö sau p= 60 3,14 + 120 1,41 ; p = 60 3,141 + 120 1,414 ; p = 60 3,1416 + 120 1,4142 . Nhö vaäy trong thöïc teá, moät soá soá thöïc thöôøng ñöôïc thay theá baèng caùc giaù trò xaáp xó cuûa chuùng. Thí duï , ngöôøi thöôøng ñoàng nhaát vôùi moät trong caùc soá {3,14; 3,141; 3,1416}, vaø2 vôùi moät trong caùc soá {1,41; 1,414; 1,4142} GIAI TICH 1 - CHUONG 5 171
  3. Nay ta xem caùch moâ hình yù töôûng treân cuûa caùc nhaø toaùn hoïc . Ñònh nghóa . Cho f laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo — , ñaët an = f(n) vôùi moïi n Õ ,tanoùi an laø moät daõy soá thöïc. Thí duï 1. {sin(n3 + 2n)} laø moät daõy soá thöïc Thí duï 2. Ñaët a1 = 3,14, a2 = 3,141, a3 = 3,1415 , a4 = 3,14159 , a5 = 3,141592 , a6 = 3,1415926 , a7 = 3,14159265 , a8 = 3,141592653 , a9 = 3,1415926535 , . . . . Ñaây laø daõy soá giuùp chuùng ta choïn caùc giaù trò gaàn ñuùng cuûa soá p theo caùc sai soá cho pheùp trong caùc tính toaùn cuï theå . GIAI TICH 1 - CHUONG 5 172
  4. Ta xem moâ hình toaùn hoïc cuûa yù töôûng ñoàng nhaát moät soá thöïc a vôùi moät daõy caùc giaù tri xaáp xó cuûa noù nhö sau Ñònh nghóa . Cho {xn } laø moät daõy soá thöïc vaø moät soá thöïc a. Ta noùi daõy { xn } hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() x x x x x x345 N( )+m x 1 xN( )+1 N( )+k x 37 2 a- a a+   GIAI TICH 1 - CHUONG 5 173
  5. Baøi toaùn18.Chöùng minh {n-1} hoäi tuï veà 0 . -1 Chuùng ta neân moâ hình toaùn hoïc nhö sau : ñaët xn = n vôùi moïi soá nguyeân döông, vaø chöùng minh {xn} hoäi tuï veà 0. > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho | xn - a | N() 1 1 1 1 1 Nk()+ N()+1 4 3 2 - 0   GIAI TICH 1 - CHUONG 5 174
  6. Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho | xn - a | N() Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho | n-1 - 0 | N() Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho n-1 N() Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho -1 N() 1 1 1 1 1 Nk()+ N()+1 4 3 2 - 0   GIAI TICH 1 - CHUONG 5 175
  7. Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho  -1 N() (R18) (Tính chaát Archimeøde) Neáu x > 0 vaø 0 N() Cho moät  > 0 coù N() Õ sao cho  -1 N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 176
  8. Baøi toaùn19. Cho {xn } laø moät daõy soá thöïc sao cho coù moät soá thöïc döông C ñeå cho -1 | xn | § n C  n Õ . Chöùng minh {xn } hoäi tuï veà 0 . Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho | xn - 0 | N() Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho | xn | N() Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho n-1C N() Cho moät  > 0 tìm moät N() Õ sao cho -1C - CHUONG N( 5) 177
  9. Baøi toaùn20.Chöùng minh {2-n} hoäi tuï veà 0 . Chuùng ta moâ hình toaùn hoïc nhö sau : ñaët -n xn = 2  n Õ . Chöùng minh {xn } hoäi tuï veà 0 . Chöùng minh coù moät soá thöïc C sao cho -1 | xn | § n  n Õ . n -n -1 -k - n -k -1 Pn : n § 2  n Õ ( 2 § n ; 2 § 2 .n ) 1 P1 : 1 § 2 = 2 ñuùng n Pn ñuùng : n § 2 n+1 Pn+1 : n +1 § 2 n +1 = ( n ) + 1 § 2GIAI n TICH+ 1 1 - CHUONG§ 2 n 5+ 2 n § 2. 2 n = 2 178n+1
  10.  > 0  N() Õ sao cho ?  > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() | xn- a| § n > N()  > 0  N() Õ sao cho ? ’>0, M(’) Õ sao cho | x - a | N() n |xn - a | § ’  n > M(’)  > 0  N() Õ sao cho ’>0  M(’) Õ sao cho | x - a | N() n  |xn - a | § ’  n > M(’)  > 0  N() Õ sao cho ’>0  M(’) Õ sao cho | x - a | N(GIAI) TICH 1 - CHUONG 5 179 n |xn - a | § ’  n > M(’)
  11.  > 0  N() Õ sao cho ’>0  M(’) Õ sao cho | x - a | N()  n |xn - a | § ’  n > M(’) Cho moät ’ > 0 ta coù moät M(’) Õ sao cho | xn - a | § ’  n > M(’) Cho moät  > 0 tìm N() Õ sao cho | xn - a | N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 180
  12. Cho moät ’ > 0 ta coù moät M(’) Õ sao cho | xn - a | § ’  n > M(’) Cho moät  > 0 tìm N() Õ sao cho | xn - a | N() 1 0 tìm N() Õ sao cho 1 | xn - a | 2  n > N() Cho , ñaët ’ = 1  , ta coù M(’) , ñaët 2 N() =GIAI M(TICH 1 -’) CHUONG = M( 51  ) 181 2
  13.  > 0  N() Õ sao cho ?  > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() | xn- a| 0  N() Õ sao cho ? ’>0  M(’) sao cho | x - a | N() n |xn - a | N() n N() + 1 Baøi taäp töï laøm  > 0  N() Õ sao cho ?  > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() | xn- a| § n N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 182
  14. Ñònh nghóa . Cho g laømoätaùnhxaïtöøtaäphôïpcaùcsoá nguyeân döông Õ vaøo Õ . Ñaët nk = g(k)  k Õ . Ta duøng {nk } thay cho {xn } vì ta thöôøng kyù hieäu caùc soá nguyeân döông laø n g(k) = 12  k Õ nk = 12  k Õ g(k) = k  k Õ nk = k  k Õ g(k) = 3k  k Õ nk = 3k  k Õ 2 2 g(k) = k - 8k+100  k Õ nk = k -8k + 100  k Õ GIAI TICH 1 - CHUONG 5 183
  15. g   Cho g laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo Õ vaø f laø moät f fgo aùnh xaï töø Õ vaøo —. Ñaët x = f(n)  n œ Õ n  bk = fog(k)  k œÕ Ta thaáy fog cuõng laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo — . Vaäy {xn} vaø {bk}GIAI laøTICH 1 -caùc CHUONG daõy 5 soá thöïc . 184
  16. Cho { xn } laø moät daõy soá thöïc vaø moät soá thöïc a . Ta noùi daõy { xn } hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu   > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() Cho g laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo Õ vaø f laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo —. Ñaët xn = f(n)  n œ Õ . bk = fog(k)  k œ Õ . bk =x gk ()  k œ Õ k § g(k) GIAI TICH 1 - CHUONG  5k œ Õ 185
  17. Neáu g taêng g nghieâm caùch thì   k § g(k)  k œ Õ Ta noùi {b } laø k f moät daõy con cuûa fgo {xn} neáu g taêng nghieâm caùch. Luùc ñoù ta kyù hieäu  b = x k n k GIAI TICH 1 - CHUONG 5 186 ( bn = fog(n) = bn = f (g(n) ) = f(nk ) )
  18. Neáu g(n) = 2n ta kyù hieäux n laø x2n k Neáu g(n) = 2n+1 ta kyù hieäux n laø x2n+1 k Neáu g(n) = 5n+3 ta kyù hieäux n laø x5n+3 k GIAI TICH 1 - CHUONG 5 187
  19. Baøi toaùn21. Cho moät daõy soá thöïc {an}. Chöùng minh ba ñieàu sau ñaây töông ñöông (1) {an} hoäi tuï veà a trong — . (2) {an -a } hoäi tuï veà 0 trong — . (3) {|an -a |} hoäi tuï veà 0 trong — . > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() ’ > 0  M(’) Õ sao cho | (xm - a ) - 0 | M(’) ” > 0  K(”) Õ sao cho GIAI TICH 1 - CHUONG 5 188 | |xk - a | - 0 | K(”)
  20. > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() ’ > 0  M(’) Õ sao cho | (xm - a ) - 0 | M(’) ” > 0  K(”) Õ sao cho | |xk - a | - 0 | K(”) > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N() ’ > 0  M(’) Õ sao cho | (xm - a ) | = | xm - a | M(’) ” > 0  K(”) Õ sao cho GIAI TICH 1 - CHUONG 5 189 | |xk - a | | = |xk - a | K(”)
  21. Ñeå tínhs 2 chuùng ta thöôøng laøm nhö sau s= 3,14 + 1,41 hoaëc s = 3,141 + 1,414 hoaëc s = 3,1416 + 1,4142 . . . Ta thöû moâ hình toaùn hoïc cho vieäc laøm thoâng thöôøng naøy nhö sau. Ñaët a1 = 3,14, a2 = 3,141, a3 = 3,1415 , a4 = 3,14159 , a5 = 3,141592 , a6 = 3,1415926 , a7 = 3,14159265 , a8 = 3,141592653 , a9 = 3,1415926535 , . . . ., b1 = 1.41, b2 = 1.414, b3 = 1.4142 , b4 = 1.41421 , b5 = 1.414213 , b6 = 1.4142135 , b7 = 1.41421356 , b8 = 1.414213562 , b9 = 1.4142135623 , . . . ., GIAI TICH 1 - CHUONG 5 190
  22. Ta thaáy caùc daõy soá {an} vaø {bn} laàn löôït laø caùc daõy caùc soá xaáp xó vaø2 , hay {an} vaø {bn} laàn löôït hoäi tuï vaø 2 Nay ta ñaët s1 = a1+ b1 , s2 = a2 + b2 , s3 = a3 + b3 , s4 = a4 + b4 , s5 = a5 + b5 , . . . Theo caùch laøm thoâng thöôøng, chuùng ta chaáp nhaän {sn} laø daõy soá thöïc xaáp xó cho soás 2 . Chuùng ta seõ chöùng minh vieäc chaáp nhaän naøy laø ñuùng theo baøi toaùn sau. GIAI TICH 1 - CHUONG 5 191
  23. Baøi toaùn22. Cho hai soá thöïc a vaø b vaø hai daõy soá thöïc {an} vaø {bn} .Giaûsöû{an} hoäi tuï veà a vaø {bn} hoäi tuï veà b . Ñaët c = a +b vaø cn = an + bn vôùi moïi soá nguyeân döông n . Chöùng minh {cn} hoäi tuï veà c . Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | an - a | N() Cho moät ’> 0 tacoù M(’) Õ sao cho | bm - a | M(’) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho | ck - c | K(”) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho GIAI TICH 1 - CHUONG 5 192 | (ak+ bk) -(a +b )| K(”)
  24. Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | an - a | N() Cho moät ’> 0 tacoù M(’) Õ sao cho | bm - b | M(’) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho | (ak + bk) -(a +b )| K(”) (ak + bk) -(a +b ) = (ak - a) + (bk -b ) |(ak + bk) -(a +b )| § | ak - a | + | bk -b| |(ak + bk) -(a+b )| N() vaø k > M(’) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 193 |(ak + bk) -(a+b )| max {N(), M(’) }
  25. Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho | (ak + bk) -(a +b )| K(”) |(ak + bk) -(a+b )| max { N() , M(’) } Cho moät ” > 0 , choïn  = ’ = 1 ” vaø K(”) = max { N() , M(’) } 2 GIAI TICH 1 - CHUONG 5 194
  26. Baøi toaùn23. Cho hai soá thöïc a vaø b vaø hai daõy soá thöïc {an} vaø {bn} .Giaûsöû{an} hoäi tuï veà a vaø {bn} hoäi tuï veà b . Ñaët c = a.b vaø cn = an.bn vôùi moïi soá nguyeân döông n . Chöùng minh {cn} hoäi tuï veà c . Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | an - a | N() Cho moät ’> 0 tacoù M(’) Õ sao cho | bm - a | M(’) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho | ck - c | K(”) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho GIAI TICH 1 - CHUONG 5 195 | ak .bk – a.b | K(”)
  27. Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | an - a | N() Cho moät ’> 0 tacoù M(’) Õ sao cho | bm - b | M(’) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho | ak .bk - a.b | K(”) ak .bk - a.b = (ak - a)bk + a(bk -b ) |ak .bk -a.b| § | ak - a ||bk| + |a|| bk -b| |ak .bk – a.b| N() vaø k > M(’) Xöû lyù |bk| |bk| | bk -b| + |b| M(’) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 196 |ak .bk– a.b| N() vaø k > M(’)
  28. Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | an - a | N() Cho moät ’> 0 tacoù M(’) Õ sao cho | bm - b | M(’) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho | ak .bk - a.b | K(”) |ak .bk– a.b| N() vaø k > M(’) Giaûi phöông trình x2 + (|b|+ |a|)x = ” (|ab | | |)2 4 " | ab | | | Ñaët 'x 0 2 GIAI TICH 1 - CHUONG 5 197 |ak .bk – a.b| K(”) = max{N(),M(’)}
  29. Baøi toaùn23b. Cho soá thöïc a khaùc khoâng vaø daõy soá thöïc {an} sao cho an khaùc khoâng vôùi moïi n .Giaûsöû 1 {an} hoäi tuï veà a. Ñaëtcann vôùi moïi soá nguyeân -1 döông n . Chöùng minh {cn} hoäi tuï veà a . Cho  > 0, coù N() Õ sao cho | an - a| N() -1 Cho ’> 0, tìmM(’) Õ sao cho | cm - a | M(’) 11aa 1 ||a ca 1 m Xöû lyù Ñaët  m aa 2 aaaamm m Coù N() Õ sao cho | an - a| N() | an| |a| - | a - an | > |a| |a| -  = 2-1|a| 2 =|a|- |a|+ GIAI TICH 1 - CHUONG 5 198  n > N() 0 |am | |a|
  30. Cho  > 0, coù N() Õ sao cho | an - a| N() -1 Cho ’> 0, tìmM(’) Õ sao cho | cm - a | M(’) 11aa 1 ||a ca 1 m Xöû lyù Ñaët  m aa 2 aaaamm m Coù N() Õ sao cho | an - a| N() -1 | an| |a| - | a - an | > |a| -  = 2 |a|  n > N() 1 aa mn2| aa | 2 ||||cam 22  m max{(),()} N N aam || a || a GIAI TICH 1 - CHUONG 5 199
  31. Baøi toaùn24. Cho moät soá thöïc a vaø ba daõy soá thöïc {an}, {bn} vaø {xn} .Giaûsöû (i) an § xn § bn vôùi moïi soá nguyeân döông n . (ii) {an} vaø {bn} hoäi tuï veà a . Chöùng minh {xn} hoäi tuï veà a . Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | an - a | N() Cho moät ’> 0 tacoù M(’) Õ sao cho | bm - a | M(’) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho GIAI TICH 1 - CHUONG 5 200 | xn - a | K(”)
  32. Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | an - a | N() Cho moät ’> 0 tacoù M(’) Õ sao cho | bm - a | M(’) Cho moät ” > 0 tìm K(”) Õ sao cho | xk - a | K(”) |xk - a| = |xk - ak + ak -a| § | xk - ak | + | ak -a| (i) ak § xk § bk fl | xk - ak | § | bk - ak | an xn bn |xk-a| § | bk-ak | +| ak -a| § | bk-a | + | ak -a|+ | ak -a| GIAI TICH 1 - CHUONG 5 201 |xk - a| N() vaø k > M(’)
  33. Baøi toaùn25. Cho hai taäp con khaùc troáng A vaø B trong —. Giaû söû x § y " x œ A , " y œ B . Chöùng minh sup A § inf B Chöùng minh x § inf B " x œ A " x œ A , chöùng minh x § y " y œ B . Baøi toaùn 26. Cho hai daõy soá thöïc {an}vaø{bn}sao cho [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ Ù , m § n . Chöùng minh supabnn inf n n Chöùng minh an § bm " m , n œ Ù GIAI TICH 1 - CHUONG 5 202
  34. Chöùng minh an § bm " m , n œ Ù [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ Ù , m § n . [as , bs ] Õ [ar , br ] " r , s œ Ù , r § s . ∏ m § n : r = m vaø s = n [an , bn ] Õ [am , bm ] a am n bn bm an œ [an , bn ] fl an œ [am , bm ] . Vaäy an § bm ∏ n § m : r = n vaø s = m [am , bm ] Õ [an , bn ] am an bm bn GIAI TICH 1 - CHUONG 5 203 bm œ [am , bm ] fl bm œ [an , bn ] . Vaäy an § bm
  35. Baøi toaùn27. Cho hai daõy soá thöïc {an}vaø{bn}sao cho [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ Ù , m § n . Chöùng minh [supabnn , inf ]  [ ab kk , ] n n k Chöùng minh [supababknnkk , inf ] [ , ] n n ? xa  [supnn , inf b ] xabk [ kk , ] n n ? supaxnnkk inf b axb  k n n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 204
  36. Baøi toaùn28. Cho hai daõy soá thöïc {an}vaø{bn} sao cho (i) [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ Ù , m § n . (ii) limkض ( bk - ak ) = 0 . supab inf Chöùng minh nn n n an sup a b k inf bk n k  k  0 § infm œ Ù bm - supn œ Ù an § bk - ak " k œ Ù Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | bn - an - 0 | N() 0 § infm œ Ù bm - supn œ Ù an § > 0 Neáu 0 < infm œ Ù bm - supGIAIn TICHœ Ù 1 -a CHUONGn , ñaët 5 infbamm sup 205 m m
  37. Baøi toaùn29. Cho hai daõy soá thöïc {an} vaø{bn}sao cho (i) [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ Ù , m § n . (ii) limkض ( bk - ak ) = 0 Chöùng minh limkض ak = limkض bk = supn œ Ù an an sup a b k inf bk n k  k  Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | bn - an - 0 | N() Cho moät ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho | an - supn œ Ù an | M(’) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 206 | an - sup n œ Ù an | N()
  38. Baøi toaùn30. Cho ba daõy soá thöïc {an}, {bn}vaø{xn}sao cho (i) [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ Ù , m § n , (ii) limkض ( bk - ak ) = 0 , (iii) xn [an , bn ] " n œ Ù . Chöùng minh {xn} laø moät daõy hoäi tuï. limkض ak = limkض bk = supn œ Ù an (baøi toaùn 29) an xn bn " n œ Ù . an xn bn GIAI TICH 1 - CHUONG 5 207 sup an n 
  39. Cho {xn} laø moät daõy soá thöïc. Cho J laø moät taäp con trong Õ vaø J coù voâ haïn phaàn töû . Duøng qui naïp toaùn hoïc ta ñaët n1 = min J n2 = min J \[ 0 , n1] n3 = min J \[0,n2] nk+1 = min J \[0 , nk ] " k œ Õ Ta thaáy {nk } laø moät daõy ñôn ñieäu taêng trong Õ {x } Vaäynk laø moät daõy con cuûa daõy {xn} GIAI TICH 1 - CHUONG 5 208
  40. Baøi toaùn 31. Cho moät aùnh xaï f töø  vaøo taäp {1,2, . . , 9} Ñaët xn = f(n) vôùi moïi soá nguyeân döông n. Tìm moät daõy {}x con {} x cuûa {xn} sao chon hoäi tuï . nk k Ñaët Im = {n  : xn = m} vôùi moïi m {1,2, . . , 9}. I12 II 9 Coù r {1,2, . . , 9} sao cho Ir laø taäp coù voâ haïn phaàn töû Ñaët J = I vaø laäp daõy{}x töông öùng vôùi J . r nk Vì nk J = Ir , xr vôùi moïi soá nguyeân döông k . nk  ||0xr   k 1. Cho > 0 , ta thaáy : nk lim xn r GIAI TICH 1 - CHUONG 5 209 k k
  41. Cho {xn} laø moät daõy soá thöïc. Cho {Jn} laømoäthoï ñeám ñöôïc caùc taäp con trong Õ . Giaû söû Jn coù voâ haïn phaàn töû vaø Jn+1 Õ Jn vôùi moïi soá nguyeân döông n . Duøng qui naïp toaùn hoïc ta ñaët n1 = min J1 n2 = min J2 \[ 0 , n1] n3 = min J3 \[0,n2] nk+1 = min Jk+1 \[0 , nk ] " k œ Õ Ta thaáy {nk } laø moät daõy ñôn ñieäu taêng trong Õ {x } GIAI TICH 1 - CHUONG 5 210 Vaäynk laø moät daõy con cuûa daõy {xn}
  42. Ñònh lyù 6.1 (Bolzano- Weierstrass) Cho a vaø b laø hai soá thöïc vaø xn laø moät daõy soá thöïc . Giaû söû a < bvaø xn [a,b] vôùi moïi soá nguyeân n. Luùc ñoù coù moät daõy con {}xn cuûa daõy xn sao cho{}xn hoäi tuï veà x [a, b]. k k GIAI TICH 1 - CHUONG 5 211
  43. Ñònh lyù (Bolzano- Weierstrass) Cho a vaø b laø hai soá thöïc vaø xn laø moät daõy soá thöïc . Giaû söû a < bvaø xn [a, b] vôùi moïi soá nguyeân n Õ . Luùc ñoù coù moät daõy con{}xn cuûa daõy xn sao cho{}xn hoäi tuï veà x k k trong [a, b]. x }  x } J1’ = { n  : n J1” = { n : n Vì J’1  J”1 =  . Neân moät trong hai taäp J’1 vaø J”1 phaûi coù voâ haïn phaàn töû. Ta giaû söû J’2 coù voâ haïn phaàn töû . -1 GIAI TICH 1 - CHUONG 5 212 Ñaët [ab11 , ]= , ta coù [ab11 , ]  [ ab , ] vaø ( b 1 - a1 ) = 2 ( b -a )
  44. J’ = n  x } x } 1 { : n J”1 = { n  : n J’ = { n J’ : x } J” = { n J’ : x } 2 1 n 2 1 n Vì J’2  J”2 = J”1 . Neân moät trong hai taäp J’2 vaø J”2 phaûi coù voâ haïn phaàn töû. Ta giaû söû J”2 coù voâ haïn phaàn töû . Vaø ñaët J2 = J”2 . Ñaët [ab22 , ] = -2 Ta coù : J2  J1 , [a2 ,b2]  [a1 ,b1] , vaø (b2 - a2) = 2 (b- a) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 213
  45. J’ = { n J’ : x } J” = { n J’ : x } 2 1 n 2 1 n x  J3’{ = n J2”: n J3”{ =n J2”: xn  Vì J’3  J”3 = J”2 . Neân moät trong hai taäp J’3 vaø J”3 phaûi coù voâ haïn phaàn töû. Ta giaû söû J”3 coù voâ haïn phaàn töû . Vaø ñaët J3 = J”3 . Ñaët [ab33 , ] = Ta coù : J3  J2  J1 , [a3 ,b3]  [a2 ,b2]  [a1 ,b1] , vaø -3 (b3 – aGIAI3) TICH= 2 1 - CHUONG(b- a5) 214
  46.  J”{ =n J”: xn  J3’{ = n J2” : xn 3 2 x  x  J4’{ = n J3”: n J4”{ =n J3”: n Vì J’4  J”4 = J”3 . Neân moät trong hai taäp J’4 vaø J”4 phaûi coù voâ haïn phaàn töû. Ta giaû söû J’4 coù voâ haïn phaàn töû . Vaø ñaët J4 = J’4 . Ñaët [ab44 , ] = Ta coù : J4  J3  J2  J1 , [a4 ,b4]  [a3 ,b3]  [a2 ,b2]  [a1 ,b1] , vaø -4 GIAI TICH 1 - CHUONG 5 215 (b4 – a4) = 2 (b- a)
  47. xn [a, b] vôùi moïi soá nguyeân n Õ . Luùc ñoù coù moät daõy con{}x cuûa daõy x  sao cho hoäi tuï veà x nk n {}xn trong [a, b]. k Duøng qui naïp toaùn hoïc, ta tìm ñöôïc caùc soá thöïc a1 , . . . , an , . . . , b1 , . . . , bn , . . . sao cho an < bn  n  vaø [a,b]  [a1 ,b1]  [a2 ,b2]  . . . [an ,bn]  . . . -n (bn – an) = 2 (b- a)  n  , Neáu ñaët Jn = {n  : xn [an ,bn] }, thì Jn coù voâ haïn phaàn töû vaø J1  J2  J3  . . .  Jn  . . . . Luùc ñoù limabxannn lim sup{ n: } nn Choïn daõy con {} x cuûa {x }sao cho n J ,  k  . nk n k k GIAI TICH 1 - CHUONG 5 216 Ta coùaxkn b k . Vaäy lim xn x k k k
  48. Ñònh nghóa.Cho { xn } laø moät daõy soá thöïc . Ta noùi daõy { xn } laø moät daõy Cauchy neáu vaø chæ neáu   > 0  N() Õ sao cho | xn - xm | m > N() Baøi toaùn 32. Cho { xn } laø moät daõy soá thöïc hoäi tuï veà a. Chöùng minh { xn } laø moät daõy Cauchy .   > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N()   > 0  N() Õ sao cho | xn - xm | m > N()  ’ > 0  M(’) Õ sao cho GIAI TICH 1 - CHUONG 5 217 | xn - xm | m > M(’)
  49. Cho { xn } laø moät daõy soá thöïc hoäi tuï veà a. Chöùng minh { xn } laømoätdaõyCauchy .   > 0  N() Õ sao cho | xn - a | N()  ’ > 0  M(’) Õ sao cho | xn - xm | m > M(’) Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | xn - a | N() Cho moät ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho | xn - xm | m > M(’) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 218
  50. Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | xn - a | N() Cho moät ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho | xn - xm | m > M(’) | xn - xm | § | xn - a + a - xm | § | xn - a | + | a - xm | | xn - xm | N()  +  V ’M(’) V N() Cho moät ’ > 0 , ta choïn  = 1 ’ vaø M(’) = N() 2 | xn - xm | § | xn - a | + | a - xm | m 5 > M(’) 219
  51. Baøi toaùn33.Cho { xn } laø moät daõy soá thöïc Cauchy . Chöùng minh A = { xn : n œ Ù} bò chaën trong — Tìm moät soá thöïc M sao cho | xn | § M " n œ Ù -M § xn § M " n œ Ù > 0  N() Õ sao cho | xn - xm | m ¥ N() Tìm moät soá thöïc M sao cho | xn | § M " n œ Ù | xn | § | xn - xm | + | xm | m ¥ N()  = 1 , m = N(1) : | xn | N(1) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 220 Ñaët : M = max {| x1 | , | x2 | , . . . , | x N(1) -1 | , 1+ | x N(1) | }
  52. Baøi toaùn34.Cho {xn} laø moät daõy soá thöïc Cauchy vaø a laø moät soá thöïc. Giaû söû {xn} coù moät daõy con {} x n hoäi tuï k veà a. Chöùng minh {xn } hoäi tuï veà a. Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | xn - xm | m > N() Cho moät ’> 0 tacoù K(’) Õ sao cho | x n - a | K(’) k Cho moät ” > 0 tìm M(”) Õ sao cho | xn - a | M(”) GIAI TICH 1 - CHUONG 5 221
  53. Cho moät  > 0 ta coù N() Õ sao cho | xn - xm | 0 tacoù K(’) Õ sao cho | x n - a | K(’) k Cho moät ” > 0 tìm M(”) Õ sao cho | xm - a | M(”) | xm- a | § | xm - xn | + | xn - a| K(’) Cho moät ”> 0 . Ñaët  = ’= ”/ 2 vaøGIAI TICH M( 1 - CHUONG”) = 5 max {N() , K( 222’) }
  54. Baøi toaùn35. Cho {xn }laø moät daõy soá thöïc Cauchy. Chöùng minh {xn } hoäi tuï. Coù moät soá thöïc döông M sao cho | xn | § M  n Õ Coù moät soá thöïc döông M sao cho xn [- M , M ]  n Õ { xn } coù moät daõy con {} x n hoäi tuï veà a. k { xn } hoäi tuï veà a. GIAI TICH 1 - CHUONG 5 223
  55. Baøi toaùn36.Cho n laø moät soá nguyeân döông . Ñaët -1 -1 -1 -1 xn = (2!) + (4!) + (6!) + . . . + (2n!)  n Õ . Chöùng minh {xn } hoäi tuï . Chöùng minh {xn } laømoätdaõyCauchy Cho moät  > 0 tìm N() Õ sao cho | xn - xm | m > N() -1 -1 -1 -1 xn -xm=[(2!) + . . . + (2m!) + (2(m+1)!) + . . .+ (2n!) ] - [(2!)-1+ . . . +(2m!)-1] = (2(m+1)!)-1+ . . .+(2n!)-1 -m -1 -n -m | xn - xm | § 2 + . . . + 2 + . . . + § 2  n > m Cho moät  > 0 tìm N()GIAI ÕTICH sao1 - CHUONG cho 5 2-m m> 224 N()
  56. In[1]:= N[Sum[1/((2*i)!), {i, 1, 11}]] Out[1]= 0.543081 In[2]:= N[Sum[1/((2*i)!), {i,1, }], 13] Out[2]= 0.543081 In[4]:=N[Sum[1/((2*i)!),{i,1, }], 140] Out[4]=0.5430806348152437784779056 2075706168260152911236586370473740 2214710769063049223698964264726435 54303558704685860 442352756503219469470958629076GIAI TICH 1 - CHUONG 5 225
  57. In[4]:=N[Sum[1/((2*i)!),{i,1,Infini ty}], 25] Out[4]=0.5430806348152437784779056 In[2]:= Sum[1/((2*i)!),{i, 1, }] Out[2]={(Sqrt[2/p]-2 E Sqrt[2/ p] + E2 Sqrt[2/ p]) Sqrt[p/2]}/(2E) In[3]:=Simplify[(Sqrt[2/p]- 2E Sqrt[2/p]+ E2Sqrt[2/p])Sqrt[p/2]}/(2E)] Out[3]=[ 2(-1 + E)]/ 2E GIAI TICH 1 - CHUONG 5 226
  58. Baøi toaùn 37. Cho an laø moät daõy soá thöïc ñôn ñòeäu taêng vaø bò chaën treân . Ñaët A = an : n Õ . Luùc ñoù an seõ hoäi tuï veà a = sup A am § an " m , n œ Õ , m § n a = sup A Cho moät  > 0 tìm N() Õ sao cho | an - a | N() Cho moät  > 0 tìm N() Õ sao cho 0 § a - an N() Cho moät  > 0 tìm N() Õ sao cho a -  N() a- a a GIAI TICHa 1 - CHUONGa 5 227 a1 a2 a3 a4 5 k k+1
  59. am § an " m , n œ Õ , m § n a = sup A Cho moät  > 0 tìm N() Õ sao cho a -  N() Cho moät  > 0 tìm N() Õ sao cho a -  N() a- a a5 a1 a2 a3 a4 aN() an Giaû söû am § a -  " m Õ a- a a1 a2 a3 an a -  laøGIAI moät TICH 1 chaän - CHUONG treân 5 cuûa A 228
  60. Baøi toaùn 38. Cho an laø moät daõy soá thöïc ñôn ñòeäu taêng vaø khoâng bò chaën treân . Luùc ñoù an seõ hoäi tuï veà ¶ am § an " m , n œ Õ , m § n " M œ — ta coù moät n œ Õ sao cho an M " M > 0 ta tìm moät N œ Õ sao cho am M " m N. Baøi toaùn 39. Cho an laø moät daõy soá thöïc ñôn ñòeäu giaõm vaø bò chaën döôùi . Ñaët A = an : n Õ . Luùc ñoù an seõ hoäi tuï veà a = inf A Baøi toaùn 40. Cho an laø moät daõy soá thöïc ñôn ñòeäu giaõm vaø khoâng bò chaën döôùi . Luùc ñoù an seõ hoäi tuï veà - ¶ . GIAI TICH 1 - CHUONG 5 229
  61. limsup Cho moät daõy soá thöïc an. Ñaët An = am : m n  A1  An  Am " m , n œ Õ , n m ªNeáu A1 khoâng bò chaën treân . Ñaët limsup an n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 230
  62. Cho moät daõy soá thöïc an. Ñaët An = am : m n  A1  An  Am " m , n œ Õ , n m ªNeáu A1 bò chaën treân . Ñaët bm = sup Am b1 bm bn " m , n œ Õ , n m Neáu {bn } khoâng bò chaën döôùi , ñaët limsup an n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 231
  63. Cho moät daõy soá thöïc an. Ñaët An = am : m n  A1  Am  An " m , n œ Õ , n m ªNeáu A1 bò chaën treân . Ñaët bm = sup Am b1 bm bn " m , n œ Õ , n m Neáu {bn } bò chaën döôùi , ñaët limsupabnn lim ( lim ( sup a n ) ) nn nnm GIAI TICH 1 - CHUONG 5 232
  64. n Cho an = (-1) n vôùi moïi n Õ . m An = am : m n  = (-1) m : m n  m An = (-1) m : m n { 2k : k Õ , k n } A khoâng bò chaën treân limsup an 1 n Cho an = - n vôùi moïi n Õ . An = am : m n  = - m : m n (- , 0 ] A1 bò chaën treân bn = sup An = sup - k : k n  = - n  n  {bn } = {- m : m Õ } khoâng bò chaën döôùi limsupGIAI TICH 1 a- CHUONGn 5 233 n
  65. n Cho an = (- 1) vôùi moïi n Õ . m An = am : m n  = (- 1) : m n  = {1, -1} A1 bò chaën treân bm = sup Am = sup 1,-1 = 1 limsupab lim 1 {bn } bò chaën döôùi nn n n Ta thaáy am } khoâng hoäi tuï nhöng vaãn coù limsupan 1 n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 234
  66. liminf Cho moät daõy soá thöïc an. Ñaët An = ak : k n  x An k n sao cho x = ak n m : x An k n m sao cho x = ak  k m sao cho x = ak x Am A1  Am  An " m , n œ Õ , n m ªNeáu A1 khoâng bò chaën döôùi . Ñaët liminf an n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 235
  67. Cho moät daõy soá thöïc an. Ñaët An = ak : k n  A1  Am  An " m , n œ Õ , n m ªNeáu A1 bò chaën döôùi . Ñaët cm = inf Am cm ak  k m n m : cm ak  k m cn = inf An c1 cm cn " m , n œ Õ , n m Neáu {cn } khoâng bò chaën treân , ñaët liminf an n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 236
  68. Cho moät daõy soá thöïc an. Ñaët Ak = ak : m n  A1  Am  An " m , n œ Õ , n m ªNeáu A1 bò chaën döôùi . Ñaët cm = inf Am c1 cm cn " m , n œ Õ , n m Neáu {cn } bò chaën treân , ñaët liminfacnn lim ( lim ( inf a n ) ) nnm nn GIAI TICH 1 - CHUONG 5 237
  69. n Cho an = (-1) n vôùi moïi n Õ . m An = am : m n  = (-1) m : m n  m A1 = (-1) m : m 1 {- 2k –1 : k 1 } liminf an A1 khoâng bò chaën döôùi n Cho an = n vôùi moïi n Õ . An = am : m n  = m : m n [ n , ] A1 bò chaën döôùi cn = inf An = inf k : k n  = n  n  {cn } =  khoâng bò chaën treân GIAI TICH 1 - CHUONG 5 238 liminf an n
  70. n Cho an = (- 1) vôùi moïi n Õ . m An = am : m n  = (- 1) : m n  = {-1 , 1} A1 bò chaën döôùi cm = inf Am = inf -1, 1  = - 1 {c } bò chaën treân liminfacnn lim 1 n n n Ta thaáy am } khoâng hoäi tuï nhöng vaãn coù liminfan 1 . Maët khaùc limsupan 1 n n Trong tröôøng hôïp naøyGIAI TICH 1limsup - CHUONG 5aann liminf 239 n n
  71. Baøi toaùn41.Cho moät daõy soá thöïc an. Giaû söû limsup a vaøliminf an ñeàu laø caùc soá thöïc . Chöùng minh n n n limsupaann liminf n n Am = ak : k m  b = sup A m m cm = inf Am bm am cm limbcmm lim mm limsupaann liminf n n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 240
  72. Baøi toaùn 42. Cho moät daõy soá thöïc an. Giaû söû : liminf an vaølimsup an ñeàu laø caùc soá thöïc vaø baèng nhau. n n Chöùng minh an hoäi tuï vaø limaann = limsup n n Am = ak : k m  bm = sup Am cm = inf Am cm am bm  m  a limbamn limsup cn n b m n n limcamn lim inf mn limsup an n  limsupaann liminf GIAI TICH 1 - CHUONG 5 241 nn
  73. Baøi toaùn 43. Cho moät daõy soá thöïc an hoäi tuï veà a. Chöùng minh limsupaaann = liminf n n > 0,  N() Õ sao cho |an – a |  n N() Am = an : n m bm = sup Am cm = inf Am limsupab lim nmlim infacnm lim n m nm |an – a |  - an – a  a - an a+   > 0,  N() : a - an a+ n m N()  > 0,  N() : a - cm bm a+ m N() > 0,  N() Õ sao cho |cm – a |  m N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 242 > 0,  N() Õ sao cho |bn – a |  m N()
  74. Cho moät daõy soá thöïc an hoäi tuï veà a. Chöùng minh limsupaaann = liminf n n > 0,  N() Õ sao cho |an – a |  n N() Am = an : n m bm = sup Am cm = inf Am limsupab lim nmlim infacnm lim n m nm  > 0,  N() : a - cm bm a+ m N() a- a a+ cm bm > 0,  N() Õ sao cho |cm – a |  m N() GIAI TICH 1 - CHUONG 5 243 > 0,  N() Õ sao cho |bn – a |  m N()
  75. Baøi toaùn44.Cho A laø moät taäp khaùc roång bò chaën treân trong . Ñaët B = {-x : x A }. Chöùng minh B bò chaën döôùi vaø sup A = - inf B sup A - inf B ? sup A - inf B ? sup A - inf B ? x - inf B  x A - x inf B  x A y = - x inf B  x A B = {-x : x A }. y inf B  y B sup A - inf B ? sup A 0 : sup A +  < - infGIAI TICHB 1 - CHUONG 5 244
  76. > 0 : sup A +  0 : sup A  + inf B  x A y = - x >  + inf B  x A y >  + inf B  y B  + inf B laø moät chaën döôùi cuûa B Baøi toaùn 45. Cho A laø moät taäp khaùc roång bò chaën döôùi trong . Ñaët B = {-x : x A }. Chöùng minh B bò chaën treân vaø inf A = - supGIAIB TICH 1 - CHUONG 5 245
  77. Baøi toaùn46 .Cho moät daõy soá thöïc an. Ñaët bn = - an  n Õ . Chöùng minh limsupabnn liminf n n Am = an : n m  Bm = bn= -an : n m  d = sup A m m tm = inf Bm tm = -sup Am = - dm limsupad lim nmliminfbtnm lim n m n m Baøi toaùn 47. Cho moät daõy soá thöïc an. Ñaët bn = - an  n Õ . Chöùng minh liminfabnn limsup n n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 246
  78. Cho x m  laø moät daõy soá thöïc. Vôùi moïi soá nguyeân n Õ ta ñaët n x sn = x1 + . . . + xn =  i . i 1 Ta goïi sn laø toång rieâng phaàn thöù n cuûa daõy xm. É Neáu daõy soá thöïc sn  hoäi tuï veà moät soá thöïc s ta coù theå coi s nhö laø “toång soá” cuûa caùc soá trong daõy xm. Luùc ñoù ta goïi s laø chuoãi soá cuûa caùc soá trong daõy xm vaø kyù hieäu s laø xn vaø noùi chuoãi soá xn hoäi tuï. n 1 n 1 É Neáu daõy soá thöïc sn  phaân kyø , ta noùi chuoãi soá x  n phaân kyø. GIAI TICH 1 - CHUONG 5 247 n 1
  79. Baøi toaùn 48. Chöùng minh chuoãi 2 m hoäi tuï vaø m 1 m  2 = 1 . m 1 -m -1 -n Ñaët xm = 2 " m œ Õ vaø sn = 2 + . . . + 2 " n œ Õ -1 -n+1 -n sn = 2 ( 1+ . . . + 2 ) = 1- 2 " n œ Õ (qui naïp toaùn hoïc) n lim 2 0 limcn 1 n n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 248
  80. Baøi toaùn 49. Cho c œ (0 , 1). Chöùng minh chuoãi  cm c m 1 hoäi tuï vaø cm m 1 1 c m n Ñaët xm = c " m œ Õ vaø sn = c+. . .+ c " n œ Õ 1 cn 1 sc  ccnn (1 c 1 ) c  n n 1 c n c limc 0 lim cn n n 1 c GIAI TICH 1 - CHUONG 5 249
  81. Baøi toaùn 49. Chuoãi () 1 m phaân kyø . m 1 m Ñaët xm = (-1) vôùi moïi m œ Õ vaø 1 n sn = (-1) + . . . + (-1) " n œ Õ sn = -1 neáu n leû vaø sn = 0 neáu n chaún . {sn } khoâng laø moät daõy Cauchy {sn } khoâng hoäi tuï Chuoãim phaân kyø .  () 1 GIAI TICH 1 - CHUONG 5 250 m 1
  82. Ñònh lyù (Tieâu chuaån Cauchy). Cho an laø moät daõy soá thöïc. Luùc ñoù chuoãi soák 1ak hoäi tuï neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc  > 0, coù moät soá nguyeân döông N () sao n cho || anmNk   () km r n sa  r rk ssnm   a k nm k 1 km Cho  > 0, coù moät soá nguyeân döông N ()saocho |sn –sm | <   n m N (). {s } GIAIhoäi TICH tuï 1 - CHUONG 5k 1ak hoäi tuï 251 {sn} Cauchy n
  83. Ñònh lyù . Cho k 1ak vaø k 1bk laø hai chuoãi soá thöïc hoäi tuï. Luùc ñoùk 1()abk k hoäi tuï vaø ()ab a b kkk 111kk k k Ñaët s = u + v limsuvnnn lim lim n n n nnn n uank  lim uank k 1 n  k 1 n vbnk  lim vbnk k 1 n  k 1 n snkk ()ab k 1 GIAIlim TICHsnkk 1 - CHUONG 5 (ab ) 252 n  k 1
  84. Baøi toaùn 50. Cho an laø moät daõy soá thöïc. Giaû söû chuoãik 1ak hoäi tuï .Chöùng minh daõy an hoäi tuï veà 0. Vôùi moïi soá thöïc  > 0, coù moät soá nguyeân döông N () sao cho n |  k m a k |  " n m N ( ) Vôùi moïi soá thöïc ’ > 0, tìm moät soá nguyeân döông K(’) sao cho | ak -0 | ’ " k K(’) k | aaakki 0 ||||  |   kN() ik GIAI TICH 1 - CHUONG 5 253
  85. Ñònh lyù (Tieâu chuaån so saùnh) Cho moät daõy soá thöïc khoâng aâm an. Giaû söû chuoãik 1ak hoäi tuï. Cho moät daõy soá thöïc bn sao cho coù N Õ ñeå cho | bn| an  n ¥ N. Luùc ñoùk 1bk hoäi tuï. n n n |  k m b k | §§k m||bk k m ak "n ¥ m GIAI TICH 1 - CHUONG 5 254
  86. Ñònh lyù (Tieâu chuaåncaênsoá ) Cho moät daõy soá thöïc bn. Giaû söû coù moät soá thöïc döông c (0, 1) vaø moät 1/n soá nguyeân N sao cho ||bn c  n N. Luùc ñoùk 1bk hoäi tuï. n Ñaët an = c  n N | bn | an  n N k 1bk hoäi tuï GIAI TICH 1 - CHUONG 5 255
  87. Ñònh lyù (Tieâu chuaån tæ soá ) Cho moät daõy soá thöïc khaùc khoâng an, moät soá thöïc döông c (0, 1) vaø moät soá a nguyeân N. Giaû söû ||n 1 cnN an Luùc ñoù an hoäi tuï n 1 n-N Qui naïp toaùn hoïc : | an | c | aN | " n N n-N Ñaët bn = c | aN | GIAI TICH 1 - CHUONG 5 256
  88. Ñònh lyù (Tieâu chuaån tæ soá ) Cho moät daõy soá thöïc anvaø moät soá nguyeân N. Giaû söû a | n 1 | ¥ 1 " n N an Luùc ñoù an phaân kyø ï n 1 Qui naïp toaùn hoïc : | an | ¥ | aN | > 0 " n N Suyratakhoângcoù liman 0 n GIAI TICH 1 - CHUONG 5 257
  89. Ñònh lyù (Tieâu chuaån Leibnitz) Cho moät daõy soá thöïc an sao cho | an|  laø moät daõy ñôn ñieäu giaûm hoäi tuï veà 0 vaø am . am+1 0  m Õ. Luùc ñoù an hoäi tuï. n 1 GIAI TICH 1 - CHUONG 5 258
  90. Ñònh lyù (Tieâu chuaån tích phaân) Cho moät daõy soá thöïc an sao cho coù moät soá nguyeân N vaø moät haøm soá f ñôn ñieäu giaûm töø [N, ) vaøo [0, ) sao cho an = f(n) " n N. Luùc ñoù chuoãi soá thöïcn 1an hoäi tuï neáu vaø chæ neáu ftdt() N GIAI TICH 1 - CHUONG 5 259