›
›

Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 6: Hàm số liên tục

pdf 64 trang huongle 3600
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 6: Hàm số liên tục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_giai_tich_1_chuong_6_ham_so_lien_tuc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 6: Hàm số liên tục

  1. CHÖÔNG SAÙU H AØ M S OÁ L I EÂ N T UÏ C Chuùng ta ñaõ bieát neáu {an} laø moät daõy hoäi tuï veà a , theo 2 lyù thuyeát veà daõy soá chuùng ta coù theå duøng{}an ñeå xaáp xæ a2 . Nay chuùng ta ñaët f (t) = t2 vôùi moïi soá thöïc t . Ta coù theå dieån taû vieäc treân nhö laø “coù theå duøng daõy soá thöïc {f(an)} ñeå xaáp xæ f(a)”. Chuùng ta seõ xeùt moät moâ hình toaùn hoïc veà caùc aùnh xaï f coù tính chaát sau: neáu {an} laø moät daõy hoäi tuï veà a , thì {f(an)} laø moät daõy hoäi tuï veà f(a). Ñoù laø khaùi nieäm haøm soá lieân tuïc. 260
  2. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa — vaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo —, ta noùi f laø moät haøm soá thöïc treân A. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät taäp hôïp con khaùc troáng A cuûa — vaø x A,tanoùif lieân tuïc taïi x neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông  ta tìm ñöôïc moät soá thöïc döông (x, ) sao cho |f(x) - f(y)|<  y A vôùi |y - x |< (x, ). Neáu f lieân tuïc taïi moïi ñieåm x A ta noùi f lieân tuïc treân A 261
  3. Vôùi moïi soá döông  ta tìm ñöôïc moät soá döông (x, )sao cho |f(x) - f(y)|<  y A vôùi |y -x |< (x,). x f(x) f(x)- f(x)+ x f(x)  x- (x, ) x+ (x, ) f(x)- f(x)+ y x f(x) f(y) (x, )  262
  4. Baøi toaùn51. Cho c laø moät soá thöïc vaø ñaët f (x ) = c vôùi moïi x — . Chöùng minh f lieân tuïc treân — . Chöùng minh f lieân tuïc taïi moïi x trong — . " x — , "e > 0 $d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | 0 , tìm $d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | < e"y — , | y - x | < d(x, e ) | f ( y ) - f ( x ) | = | c - c | = 0 d(x, e ) = 1 | f ( y ) - f ( x ) | = 0 < e"y — , | y - x | < d(x,264 e )
  5. Baøi toaùn52.Cho c laø moät soá thöïc döôn , ñaët f (x ) = cx vôùi moïi x — . Chöùng minh f lieân tuïc treân — . Chöùng minh f lieân tuïc taïi moïi x trong — . " x — , "e > 0 $d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | 0 , tìm $d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | 0 , tìm d(x, e ) > 0 sao cho c | y - x | < e " y — , | y - x | < d(x, e ) (*) Thay | y - x | baèng d(x, e ) trong “c | y - x | < e” c d(x, e ) = e d(x, e ) = c-1e ta coù (*) 265
  6. Baøi toaùn 53. Ñaët f (x ) = x2 vôùi moïi x — . Chöùng minh f lieân tuïc treân — . Chöùng minh f lieân tuïc taïi moïi x trong — . " x — , "e > 0 $d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | 0 , tìm $d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | 0 , tìm $d(x, e ) > 0 sao cho | y + x |.| y - x | < e"y — , | y - x | < d(x, e ) 266
  7. Cho x — vaø cho e > 0 , tìm $d(x, e ) > 0 sao cho | y + x |.| y - x | 0, ñaët d(x, e ) = min{1,(1+2|x |)-1 e }> 0 | y+x |.|y-x | (1+2|x |)|y-x | < e"y —, |y-x | < d(267x, e )
  8. Baøi toaùn 53. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät taäp hôïp con A cuûa — vaø x A. Giaû söû f lieân tuïc taïi x . Cho {xn} laø moät daõy trong A (nghóa laø xn A vôùi moïi n ) vaø {xn}hoäi tuï veà x. Chöùng minh daõy f(xn) hoäi tuï veà f(x) Cho e > 0 , coù $d(x, e ) > 0 sao cho | f ( y ) - f ( x ) | 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho | xn - x | 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho | f(xm) - f(x) | < e” " m ¥ M(e”) . 268
  9. Cho moät e” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho | f(xm) - f(x) | 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho | xn - x | 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho | f(y) - f(x) | 0 Vôùi e coù ñaët Vôùi e’ ñaët ñaët e = e” d(x,e) e’= d(x,e) coù N(e’) M(e”)= N(e’) m¥M(e”)=N(e’) |x - x | <e’= d(x,e) n | f(xm)- f(x) | <e” 269
  10. Baøi toaùn 54. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät taäp hôïp con A cuûa — vaø x A. Giaû söû vôùi moïi daõy {xn} trong A (nghóa laø xn A vôùi moïi n Õ) vaø {xn} hoäi tuï veà x , thì daõy f(xn) hoäi tuï veà f(x) . Luùc ñoù f lieân tuïc taïi x . Cho moät e > 0 tacoùmoätN(e) œ Õ sao cho | xn - x | 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho | f(xn) - f(x) | 0 tìm d(x,e”) > 0 sao cho | f(y) - f(x) | 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ A 270 vôùi | yd – x | < d sao cho | f(yd ) - f(x) | ¥e”
  11. Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho | xn - x | 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho | f(xn) - f(x) | 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ A vôùi | yd – x | < d sao cho | f(yd ) - f(x) | ¥e” Tìm caùc thaønh toá coù veõ maâu thuaãn vôùi nhau | f(xn) - f(x) | < e’ V | f(yd ) - f(x) | ¥e” yd V xn | yd – x | < d V | xn - x | < e -1 Choïn d = n vaø xn = y1/n -1 271 | xn - x | < n vaø | f(xn) - f(x) | = | f(yd ) - f(x) | ¥e” " n
  12. Baøi toaùn55.Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, x A vaø hai haøm soá thöïc f vaø gtreânA lieân tuïc taïi x. Ñaët h (z)=f(z)+g(z)  z A. Luùc ñoù h lieân tuïc taïi x. Cho moät e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho | f(y) - f(x) | 0 tacoù (x,e’) > 0 sao cho | g(y) - g(x) | 0 tìm (x,e” ) > 0 sao cho | h(y) - h(x) | < e” " y œ A vôùi | y – x | < (x,272e”)
  13. Cho moät e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho | f(y) - f(x) | 0 tacoù (x,e’) > 0 sao cho | g(y) - g(x) | 0 tìm (x,e” ) > 0 sao cho | h(y) - h(x) | < e” " y œ A vôùi | y – x | < (x,e”) | h(y) - h(x) | = | ( f(y) + g(y)) - ( f(x) + g(x)) | = | f(y)- f(x) + g(y)- g(x) | | f(y) - f(x) | + | g(y) - g(x) | | h(y) - h(x) | < e + e’ "y œ A vôùi |y–x | < d(x,e), |y–x| < (x,e’) 1  '"(x,e”) = min {d(x,e), (x,e’)} 273 2
  14. Baøi toaùn55.Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, x A vaø hai haøm soá thöïc f vaø g treân A lieân tuïc taïi x. Ñaët h (z)=f(z)+g(z)  z A. Chöùng minh h lieân tuïc taïi x. Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (x ) Ta coù {g(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà g (x ) Chöùng minh {h (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà h (x ) f()xn + gx()n =() hxn h (xn)=f(xn)+g(xn) h (x)=f(x)+g(x) fx() gx() fx() + gx()274
  15. Baøi toaùn56.Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, x A vaø hai haøm soá thöïc f vaø g treân A lieân tuïc taïi x. Ñaët h (z)=f(z)g(z)  z A. Chöùng minh h lieân tuïc taïi x. Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (x ) Ta coù {g(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà g (x ) Chöùng minh {h (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà h (x ) f()xn . g()xn = h (xn ) h (xn)=f(xn)g(xn) h (x)=f(x)g(x) fx() gx() fx().() gx 275
  16. Baøi toaùn 57. Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, x A vaø f1 , . . ., fn laø caùc haøm soá thöïc treân A lieân tuïc taïi x. Ñaët h(z)=f1(z) +. . . +fn(z) vaø k(z)=f1(z) . . . fn(z) vôùi moïi z A. Chöùng minh h vaø k lieân tuïc taïi x. Chöùng minh h lieân tuïc taïi x Duøng qui naïp toaùn hoïc n = 1 : ñuùng Giaû söû keát quaû ñuùng vôùi n = m. Xeùt tröôøng hôïp n= m+1 h(z)=f1(z) +. . . +fn+1(z) = [f1+. . . +fm](z) + fm+1(z) f1+. . . +fm : lieân tuïc taïi x theo giaû thieát qui naïp h = [f1+. . . +fm]+ fm+1 : lieân tuïc taïi x Töông töï k lieân tuïc taïi x 276
  17. Baøi toaùn 57b. Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, x A vaø f laø một haøm soá thöïc treân A lieân tuïc taïi x. 1 Giả sử f(z) 0 vớimọi z trong A. Ñaët gz() f ()z vôùi moïi z A . Chöùng minh g lieân tuïc taïi x. Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (x ) Chöùng minh {g(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà g(x ) . Ñaëtafxbgxafxøbgxnnnn ( ), ( ), ()va () 11 11 bgx () va øbgx () nn 277 f ()xann fxa ()
  18. Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (x ) Chöùng minh {g(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà g(x ) . Ñaëtafxbgxafxøbgxnnnn ( ), ( ), ()va () 11 11 bgxnn () va øbgx () f ()xann fxa () Cho {xn} hoäi tuï veà x trong A Ta coù {an} hoäi tuï veà a an 0 vaø a 0 Theo baøi toaùn 23b {bn} hoäi tuï veà b 278
  19. Baøi toaùn58.Cho A vaø B laø hai taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân A vaø g laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân B sao cho f(A)  B. Chöùng minh h = gof lieân tuïc treân A. f B g A — h = g o f Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laømoätdaõyhoäituïveà f (x ) Cho {ym} laø moät daõy hoäi tuï veà y trong B . Ta coù {g (ym)} laø moät daõy hoäi tuï veà g (y ) Cho {zn} laø moät daõy hoäi tuï veà z trong A . 279 Chöùng minh {h (zn)} laø moät daõy hoäi tuï veà h (z )
  20. g f + + + x y=f(x) g(y)=h(x) h=go f {xn} hoäi tuï veà x {f (xn)} hoäi tuï veà f (x ) x xn f(x) f(xn ) {ym} hoäi tuï veà y {g (ym)} hoäi tuï veà g (y ) 280 y=f(x) y=f(x)nnh(xnn )=g(y ) gy=hx() ()
  21. Baøi toaùn59. Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b]. Luùcñoùtaäphôïpaûnhf([a, b]) = {f(x) :x [a, b]} laømoättaäpbòchaëntreântrong— . Cho x œ [a, b] vaø e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho | f(y) - f(x) | M 281 " soá thöïc M , $ xM œ [a, b] sao cho f (xM ) > M
  22. Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong [a, b]. Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (x) trong — . " soá thöïc M , $ zM œ [a, b] sao cho f (zM ) > M Choïn xn = zn " n œ Õ Vì { z } Õ [a, b] , coù moät daõy con {} z m cuûa { z } n n n hoäi tuï veà x trong [a, b] Choïn xn = z m " n œ Õ n {f (xn)} hoäi tuï veà f (x ) vaø Voâ lyù f (xn ) > mn ¥ n " n œ Õ Cho { a } laø moät daõy soá thöïc Cauchy . Luùc n 282 ñoù A = { an : n œ Ù} bò chaën trong —
  23. Baøi toaùn60. Cho A laø moät taäp khaùc troáng vaø bò chaën treân trong — . Chöùng minh coù daõy {xn } trong A hoäi tuï veà b = sup A † x § b " x œ A †"e> 0 : b - e khoâng laø moät chaën treân cuûa A "e> 0 , coù ye œ A sao cho ye œ [b - e , b ] y b-  b Ñaët xn =y1/n 1 xy= b - n n 1 b " n œ Ù n Cho A laø moät taäp khaùc troáng vaø bò chaën döôùi trong — . 283 Chöùng minh coù daõy {xn} trong A hoäi tuï veà c = inf A .
  24. Baøi toaùn 61. Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân [a,b]. Luùc ñoù coù c trong [a, b] sao cho f(c ) = max f([a, b]) f([a, b]) = { f(x) : x [a, b] } laø moät taäp bò chaën treân $ {yn} f([a,b]) sao cho {yn}hoäi tuï veà d =sup f([a,b]) ${xn}  [a,b] sao cho{f(xn)}hoäi tuï veà d = sup f([a,b]) supfa, ([b ]) a xn b y=n f(x)n d Coù moät daõy con {} x n cuûa {xn}hoäi tuï veà x trong [a, b] k 284
  25. Coù moät daõy con {} x n cuûa {xn}hoäi tuï veà x trong [a, b] k Vì f lieân tuïc , daõy{(f xn )} hoäi tuï veà f(x) k a xn fx() x k b n k f(x) {f(xn)}hoäi tuï veà d = sup f([a,b]) Daõy con {( f x n )} cuûa {f(xn)}hoäi tuï veà d = sup f([a,b]) k a x xn fx() d k b n k x [a, b] vaø f(x) = d = sup f([a,b]) Ñaët c = x [a, b] f(c) = sup f([a,b]) = max f([285a,b])
  26. Baøi toaùn 62. Cho f laø moäthaømsoá thöïc lieân tuïctreân [c,d]. Ñaët a = f (c) vaø b = f (d) . Giaû söû a < b . Chöùng minh [a , b]  f([c,d]) . Cho y œ [a , b] chöùng minh y œ f ( [c , d]) Cho y œ [a, b] chöùng minh coù x œ [c,d] ñeå cho f (x ) = y y = a : y = f (c) y = b : y = f (d) Cho y œ (a, b) chöùng minh coù x œ (c,d) ñeå cho f (x ) = y ?  x y  c d fc() fd() Ñaët S = { x œ [c, d] : f (x ) < y } c œ S Õ [c, d ] $ t œ [c, d] ñeå cho t = sup S 286
  27. ?  x y  c d fc() fd() Ñaët S = { x œ [c, d] : f (x ) < y } c œ S Õ [c, d ] $ t œ [c, d] ñeå cho t = sup S 287
  28. Ñaët S = { x œ [c, d] : f (x ) y } c œ S Õ [c, d ] $ t œ [c, d] ñeå cho t = sup S Ta chöùng minh f(t)=y f(t) y f(t) y Ta chöùng minh f(t) y 288
  29. Ñaët S = { x œ [c, d] : f (x ) y } $ t œ [c, d] ñeå cho t = sup S Ta chöùng minh f(t) y Coù {xn} trong S sao cho {xn} hoäi tuï veà t c S y xn t d fx()n  f(xn) y {f(xn)} hoäi tuï veà f(t) c S y xn t d fx()n ft()  f(t) y 289
  30. Ñaët S = { x œ [c, d] : f (x ) y } $ t œ [c, d] ñeå cho t = sup S f(t) y Ta chöùng minh f(t) y Giaû söû f(t) 0 vaø z = f(t) c ft() y z- S t d z z+  $  > 0 sao cho : |f(x) – f(t)| < x [c,d], |x-t| <  290
  31. Ñaët S = { x œ [c, d] : f (x ) y } $ t œ [c, d] ñeå cho t = sup S f(t) y Ta chöùng minh f(t) y Giaû söû f(t) 0 vaø z = f(t) $  > 0 sao cho : |f(x) – f(t)| t = sup S Voâ lyù f(t) y291
  32. Baøi toaùn 63. Cho f laø moäthaømsoá thöïc lieân tuïctreân [c , d]. Ñaët a = f (c) vaø b = f (d) . Giaû söû a > b . Chöùng minh [b,a]  f([c, d]) . Ñaët g(x) = f(c+d–x)  x [c , d]. Ta coù (c+d – x) [c , d] neáu vaø chæ neáu x [c , d]. g laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân [c , d]. g(c) = f(d) = b g(d) = f(c) = a Neáu g(s) = y thì f(t) = y , vôùi t = c+d – s AÙp duïng baøi toaùn 62 : [b,a]  g([c, d]) 292
  33. Baøi toaùn64.Cho f laø moäthaømsoá thöïc lieân tuïctreân[a , b]. Ñaët a = min f ([a , b]) vaø b = max f ([a , b]) . Chöùng minh f([a , b]) = [a , b]. f([a, b]) Õ [a , b] [a , b] Õ f([a , b])  a x b min fa,b ([ ]) f(x) max fa,b([ ]) f([a, b]) Õ [a , b] ? y f([a, b]) y [a , b]? y f([a, b]) a y b ? y f([a, b]) min f ([a , b]) y max f ([a , b]) ? 293
  34. Chöùng minh [a , b] Õ f([a , b]) $c, d œ [a,b] ñeå cho f(c)= min f ([a,b]) = a vaø f(d )= max f ([a,b]) = b  a c d b min fa,b ([ ]) max fa,b([ ]) caùc baøi toaùn 60 vaø 61 : [a , b] Õ f( [c , d]) f([c, d]) Õ f([a, b]) [a , b] Õ f( [a , b]) 294
  35. Ñinh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa . Ta noùi A laø moät khoaûng neáu vôùi moïi x vaø y trong A sao cho x < y, ta coù [a,b]  A. Caùc taäp sau ñaây laø laø caùc khoaûng: Trong caùc tröôøng 1. [a,b] = { x  : a x b }. hôïp 1, 2, 3, 4, 5, 6 : 2. (a,b] = { x  : a < x b }. a ñöôïc goïi laø moät 3. [a,b) = { x  : a x < b }. ñaàu muùt cuûa 4. (a,b) = { x  : a < x < b }. khoaûng. 5. [a, ) = { x  : a x}. Trong caùc tröôøng 6. (a, ) = { x  : a < x }. hôïp 1, 2, 3, 4, 7, 8 : 7. (- ,b] = { x  : x b }. b ñöôïc goïi laø moät 8. (- ,b) = { x  : x <b }. ñaàu muùt cuûa 9. . khoaûng. 295
  36. Baøi toaùn 65. Cho A vaø B laø hai khoaûng trong  vaø f laø moät song aùnh vaø ñôn ñieäu taêng töø A vaøo B . Chöùng minh f laø moät haøm soá lieân tuïc treân A. f ñôn ñieäu taêng neáu vaø chæ neáu : u 0, tìm moät () > 0 sao cho |f(y) – f (x)| < y A, | y – x | < () . Ta phaân ra ba tröôøng hôïp : x khoâng laø ñaàu muùt cuûa A. x laøñaàumuùtphíataytraùicuûaA. x laø ñaàu muùt phía tay maët cuûa A. 296
  37. u 0, tìm moät () > 0 sao cho |f(y) – f (x)| < y A, | y – x | < () . x khoâng laø ñaàu muùt cuûa A. Coù x1 vaø x2 trong A sao cho x1 <x < x2 f(x1) < f(x) < f(x2)  x1 x x2 f(x1) f(x) f(x2) Ñaët  = min{ , f ( x ) -f ( x1 ), f ( x2 )- f ( x) } = min{ , , } 297
  38. Cho x A, cho  > 0, tìm moät () > 0 sao cho |f(y) – f (x)| < y A, | y – x | < () .  x1 x x2 f(x1) f(x) f(x2) Ñaët  = min{ , f ( x ) -f ( x1 ), f ( x2 )- f ( x) } = min{ , , } Coù u vaø v trong [x1,x2]  A sao cho : f(u) = f(x) -  vaø f(v) = f(x) +  u v fx()- fx()+ 298 x1 x x2 f(x1) f(x) f(x2)
  39. Cho x A, cho  > 0, tìm moät () > 0 sao cho |f(y) – f (x)| 0. Luùc ñoù [x- , x+ ]  [u,v] : x- y x+ fx()- f(y) fx()+ u x v f(u) f(x) f(v) |f(y) – f (x)| <   y A, | y – x | < () 299
  40. x laø ñaàu muùt phía tay traùi cuûa A. Cho  > 0, tìm moät () > 0 sao cho |f(y) – f (x)| < y A, | y – x | < () . Coù x2 trong A sao cho x < x2  f(x) < f(x ) 2 x x2 f(x) f(x2) Ñaët  = min{ , f ( x2 )- f ( x) } = min{ , } Coù v trong [x,x2]  A sao cho : f(v) = f(x) +  v fx()+ 300 x x2 f(x) f(x2)
  41. Cho x A, cho  > 0, tìm moät () > 0 sao cho |f(y) – f (x)| 0. Luùc ñoù [x, x+ ]  [x,v] y x+ f(y) fx()+ x v f(x) f(v) |f(y) – f (x)| <   y A, | y – x | < () 301
  42. Cho x A, cho  > 0, tìm moät () > 0 sao cho |f(y) – f (x)| < y A, | y – x | < () . x laø ñaàu muùt phía tay phaûi cuûa A. Coù x1 trong A sao cho x1 < x f(x1) < f(x)  x1 x f(x1) f(x) Ñaët  = min{ , fx ( )- fx (1 )} = min{ , } Coù u trong [x1,x]  A sao cho : f(v) = f(x ) -  v fx()- 302 x1 x f(x1) f(x)
  43. Cho x A, cho  > 0, tìm moät () > 0 sao cho |f(y) – f (x)| 0. Luùc ñoù [x- , x]  [u,x] : |f(y) – f (x)| <   y A, | y – x | < () x- y fx()- f(y) 303 u x f(u) f(x)
  44. Baøi toaùn 66a. Cho soá nguyeân n ¥ 1. Ñaët f(x)=x n vôùi moïi x [0, ). Chöùng minh f lieân tuïc töø [0, )vaøo[0, ) . Duøng caùc baøi toaùn 52 vaø 57 ta thaáy f lieân tuïc Baøi toaùn 66b. Cho soá nguyeân n ¥ 1. Ñaët f(x)=x n vôùi moïi x [0, ). Chöùng minh f laø moät song aùnh töø [0, ) vaøo [0, ). f laø moät ñôn aùnh töø [0, )vaøo[0, ). x , y [0, ), x y f (x) f (y) 0 x < y x n < y n Duøng qui naïp toaùn hoïc n=1: ñuùng Giaû söû tröôøng hôïp n = m ñuùng, xeùt tröôøng hôïp n = m +1 xmmmmm 11 xx yx yy y 304
  45. f laø moät toaøn aùnh töø [0, )vaøo[0, ). Cho y [0, ), tìm x [0, ) sao cho f(x) = y . Neáu y = 0 , choïn x = 0 . Ta coù f(0) = 0. Neáu y > 0 , theo tính chaát Archimeøde, coù moät soá nguyeân döông N sao cho : theo tính chaát Archimeøde, coù moät soá nguyeân döông N sao cho : 0 < y < N.1 = N Duøng qui naïp toaùn hoïc, ta coù : N Nn  n . f(0) = 0 < y < N Nn = f(N) y [f(0), f(N)] f([0,N])  x [0,N]  [0, ) sao cho f(x) = y (baøi taäp 64) Vaäy cho y [0, ), ta tìm ñöôïc x [0, ) sao cho f(x) = y 305
  46. Baøi toaùn66c.Cho moät soá nguyeân n ¥ 1. Ñaët f(x)= x n vôùi moïi x [0, ). Ñaët h =f -1. Chöùng minh h ñôn ñieäu taêng treân [0, ). Cho u vaø v trong [0, ) sao cho u < v . Chöùng minh x = h(u) < h(v) = y u = xn , v = yn xn < yn x < y ? “ P Q ” “ ~Q ~P ” x y xn yn ? : duøng qui naïp toaùn hoïc nhö trong baøi taäp 66b 306 (iv) Duøng baøi toaùn tröôùc
  47. Baøi taäp 66 . Cho soá nguyeân n ¥ 1. Ñaët f(x)=x n vôùi moïi x [0, ). Chöùng minh (i) f lieân tuïc töø [0, )vaøo[0, ) . (ii) f laø moät song aùnh töø [0, )vaøo[0, ). (iii) Ñaët h =f -1, thì h ñôn ñieäu taêng treân [0, ). (iv) f -1 laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân [0, ). Ta 1 kyù hieäu f -1(x) laøn x hay x n vôùi moïi x [0, ). (i), (ii) vaø (iii) : caùc baøi taäp 66a, 66b vaø 66c. (iv) : duøng baøi toaùn 65 307
  48. Baøi toaùn67.Cho moät soá nguyeân k ¥ 1. Ñaët n = 2k+1, f(x)=x n vôùi moïi x . Luùc ñoù : (i) f lieân tuïc t öø  vaøo . (ii) f laø moät song aùnh töø  vaøo . (iii) Ñaët h = f -1, thì h ñôn ñieäu taêng treân . (iv) f -1 laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân .Ta kyù 1 hieäu f -1(x) laøn x hay x n vôùi moïi x . Phaàn chöùng minh töông töï nhö trong ñònh lyù tröôùc, chæ khaùc phaàn (ii). (iia) Cho x vaø y trong  sao cho x < y . Chöùng minh n n x =f(x)< f(y) = y 308
  49. (iia) Cho x vaø y trong  sao cho x < y . Chöùng minh x n =f(x)< f(y) = y n Chia laøm ba tröôøng hôïp : 0 x < y . x < 0 < y. x < y 0. Nhö trong phaàn chöùng minh ñònh lyù tröôùc Ñeå yù x2k+1 < 0 < y2k+1. Ñaët u =- y vaø v = - x . Ta coù 0 u < v vaø un = - yn vaø vn = - x n . AÙp duïng . 309
  50. Cho t  ta töông öùng sin moät goùc vaø moät ñieåm M(t) 1 2 nhö trong hình veõ. Ta ñaët sint M(t) sin t = hoaønh ñoä cuûa M(t) t 0 cos cos t = tung ñoä cuûa M(t) -1 cost 1 Xeùt haøm soá g töø [-1,1] vaøo  nhö sau 2 -1 - gx() 1 x  x [1,1] 2 Ta thaáy vôùi moïi x [-1,1] coù duy nhaát moät t [0, ] sao cho (x,g(x)) = M(t), vaø ngöôïc laïi. Vaø x chính laø cost . Vaäy haøm cos laø moät song aùnh töø [0, ] vaøo [-1,1] . 310
  51. Ta thaáy vôùi moïi x [-1,1] coù duy nhaát moät t [0, ] sao cho (x,g(x)) = M(t), vaø ngöôïc laïi. Vaø x chính laø cost . Vaäy haøm cos laø moät song aùnh töø [0, ] vaøo [-1,1] . Theo hình veõ, haøm cos ñôn ñieäu giaõm. sin Do tính song aùnh ñôn 1 ñieäu giaûm , haøm cos lieân 2 tuïc töø [0 , ] vaøo [-1,1], sint M(t) vaø haøm ngöôïc cuûa noù t 0 cuõng lieân tuïc töø [-1,1] cos vaøo [0, ]. Ta kyù hieäu -1 cost 1 haøm naøy laø arccos t vôùi moïi t [-1,1] . -1 - 311 2
  52. Theo hình veõ ta thaáy : sin 1 cos -t = cos t , 2 t M(t) cos (t+ ) = - cos t . sin t 0 cos (t + k2 ) = cos t , cos -1 cost 1 vôùi moïi t trong , k . Theo phaàn treân :  {xn} -1 - trong [0 , ] vaø hoäi tuï veà x 2 trong [0 , ], thì {cosxn} hoäi tuï veà cosx . Nay cho moät daõy {tn} trong [0 , 2 ] vaø hoäi tuï veà . Ta seõ chöùng minh {cos tn} hoäi tuï veà cos . 312
  53. Baøi toaùn68.Chöùng minh haøm cos lieân tuïc taïi . Cho moät daõy {tn} trong [0 , 2 ] vaø hoäi tuï veà . Ta seõ chöùng minh {cos tn} hoäi tuï veà cos . Haøm cos lieân tuïc treân [0 , ] ttnnneáu [0, ], xn 2 tt neáu [ ,2 ]. nn tn 2-t n |(2 - tn) - | = | - tn| : {xn} 0 trong [0 , ] vaø hoäi tuï veà cos  {cos xn} hoäi tuï veà cos cos xn = cos – tn = cos tn 313 {cos tn} hoäi tuï veà cos
  54. Lyù luaän töông töï, ta thaáy haøm sin laø moät song aùnh ñôn 11 ñieäu taêng lieân tuïc töø[,] 22 vaøo [-1,1]. Vaäy haøm 11 ngöôïc cuûa noù cuõng lieân tuïc töø [-1,1] vaøo[,] 22 . Ta kyù hieäu haøm naøy laø arcsin t vôùi moïi t [-1,1] . sin 1 2 Töø ñaây ta chöùng minh ñöôïc M(t) söï lieân tuïc cuûa haøm sin treân sint  nhö trong tröôøng hôïp t 0 cos haøm cos -1 cost 1 -1 - 314 2
  55. Lyù luaän töông töï, ta thaáy haøm tg laø moät song aùnh ñôn 11 ñieäu taêng lieân tuïc töø(,) 22 vaøo (- , ). Vaäy haøm 11 ngöôïc cuûa noù cuõng lieân tuïc töø (- , )vaøo(,) 22 . Ta kyù hieäu haøm naøy laø arctg t vôùi moïi t (- , ). tg Töø ñaây ta chöùng minh ñöôïc 2 tg t söï lieân tuïc cuûa haøm tg treân Mt() 11 t  (,kk 22 ) 0 k nhö trong tröôøng hôïp haøm cos - 2 315
  56. Lyù luaän töông töï, ta thaáy haøm cotg laø moät song aùnh ñôn ñieäu giaõm lieân tuïc töø(0, ) vaøo (- , ). Vaäy haøm ngöôïc cuûa noù cuõng lieân tuïc töø (- , )vaøo(0, ) . Ta kyùhieäu haøm naøy laø arccotg t vôùi moïi t (- , ). 0 cotg t Töø ñaây ta chöùng minh ñöôïc cotg Mt() söï lieân tuïc cuûa haøm cotg treân (,kk )  t k 0 nhö trong tröôøng hôïp haøm cos 316
  57. x Ñaët lnxdtx  1 (0, ) 1 t Ta chöùng minh ñöôïc ln laø moät song aùnh ñôn ñieäu taêng töø (0, ) vaøo  . Do ñoù ln lieân tuïc treân (0, ) vaø noù coù aùnh xaï ngöôïc kyù hieäu laø ex laø moät haøm soá lieân tuïc töø  vaøo (0, ). Cho soá thöïc döông a, ta ñaët ln x : logarit Neper cuûa x ln x lna x : logarit cô heä a cuûa x loga xx  (0, ) ln a ex : haøm muû cuûa x aex  xaln x Caùc haøm naøy lieân tuïc treân taäp chuùng xaùc ñònh 317
  58. Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa — vaø f laømoätaùnhxaïtöø A vaøo —, ta noùi f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc ñeàu treân A neáu vaø chæ neáu "  > 0 , $ () > 0 sao cho | f(x)-f(y)| 0 , tìm () > 0 sao cho | f(x)-f(y)| <  " x vaø y — sao cho |y - x |<() . | f(x)-f(y)| = c|x-y | <  Ñaët ()= c-1  | f(x)-f(y)| <  " x vaø y — sao cho |y - x |<() . 318
  59. Baøi toaùn70 .Cho f (x ) = x2 " x œ — . Chöùng minh f khoâng lieân tuïc ñeàu treân —. "  > 0 , $ () > 0 sao cho | f(x)-f(y)| 0 , "  > 0 coù x() vaø y () — sao cho |y ()-x ()| 0 , y = x + h vôùi h > 0 | y - x | = h | f(x)-f(y)| = (x + h)2 - x2 = 2xh + h2 ¥  "  > 0, choïn h = 2-1 , x() = -1, y()= x()+ 2-1 | f(x() ) - f(y()) | = 2 x() h + h2 ¥ 1 Choïn  = 1 . 319
  60. Baøi toaùn71 . Cho A = (0,1) vaø f (x ) = x-1 " x œ A . Chöùng minh f khoâng lieân tuïc ñeàu treân A. 100 80 60 40 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 $  > 0 , "  > 0 coù x() vaø y () A sao cho |y ()-x ()|< vaø | f(x ())-f(y ()) | ¥  . 320
  61. $  > 0 , "  > 0 coù x() vaø y () A sao cho |y ()-x ()| 0 | y - x | = h 0 x-h x 1 | f(x)-f(y)| = (x - h)-1 - x-1 = [ x (x - h) ]-1h x -2h "  > 0 ( œ (0, 1) ) . Choïn h = 2-1  , xh ()  vaø y ()= x - h | f(x() ) - f(y () ) | x()-2h = 1 Choïn  = 1 . 321
  62. Baøi toaùn72 .Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a,b]. Luùc ñoù f lieân tuïc ñeàu treân [a,b] Giaû söû coù moät soá thöïc döông  sao cho vôùi moïi soá thöïc döông  ta coù hai soá x( ) vaø y( ) trong [a, b ] sao cho |x( ) - y( ) | <  vaø |f(x( )) - f(y( ))| ¥  -1 -1 Ñaët xn= x(n ) vaø yn = y (n ) " n œ Ù -1 |xn- yn | < n vaø |f(xn)- f(yn)|¥  {xn}laø moät daõy trong [a,b] Coù moät daõy con {} x n cuûa {xn} hoäi tuï veà c trong [a, b ] k Ñaët uk = x n vaø vk = y n " k œ Ù k k -1 -1 lim uck | u - v | < (n ) < k vaø |f(u ) - f(v )| ¥  k k k k k k 322
  63. | u - v | < (n )-1 < k-1 vaø |f(u ) - f(v )| ¥  lim uck k k k k k k 1111 uvkk uvukkk kkkk 1 1 uk + < vk < uk - k k limuvckk lim kk limf (ufc ) ( ) k limf (vfck ) ( ) c 0 c c k k 1 0 Cho  '  , coù N(’) vaø M(’) trong  sao cho 2 |f(uk)- f(c)| < ’  k N(’) vaø |f(vk)- f(c)| < ’  k M(’) Choïn k = N(’) + M(’) + 1 323  |f(uk ) - f(vk )| |f(uk) - f(c)| + | f(c) - f(vk)| < ’+ ’= 