›
›

Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 7: Phép tính vi phân

pdf 88 trang huongle 7720
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 7: Phép tính vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_giai_tich_1_chuong_7_phep_tinh_vi_phan.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 7: Phép tính vi phân

  1. CHÖÔNG BAÛY P H EÙ P T Í N H V I P H AÂ N Quan saùt moät chieác xe chaïy treân ñöôøng thaúng, chuùng ta muoán xeùt vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa noù taïi moät thôøi ñieåm t . Ta moâ hình toaùn hoïc vieäc naøy nhö sau: ghi vò trí chieác xe taïi thôøi ñieåm s laø x(s). Vớimộtthời điểm s khaù gaàn nhö khaùc t, ta tính ñöôïc vaän toác trung bình cuûa chieác xe trong khoaûng thôøi gian töø t ñeán s nhö sau x()sxt− () xt() v = xr() ts, st− xs() 324
  2. x()sxt− () xt() v = xr() ts, st− xs() Vaän toác trung bình vt,s cho chuùng ta caùc thoâng tin veà vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t. Neáu s caøng gaàn t hôn, thì vt,s caøng cho chuùng ta caùc thoâng tin chính xaùc hôn veà vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t. Vaäy ñeå bieát vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t, ta phaûi xeùt vò trí x(r) cuûa chieác xe taïi caùc thôøi ñieåm r trong moät taäp hôïp A. Taäp hôïp A naøy phaûi coù tính chaát : luoân luoân coù caùc phaàn töû khaùc t nhöng raát gaàn325t.
  3. Ta moâ hình toaùn hoïc yù töôûng beân treân nhö sau Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa — vaø x ∈ —.Ta noùi x laø moät ñieåm tuï cuûa A neáu vôùi moïi soá thöïc döông δ ta tìm ñöôïc y ∈ A sao cho 0 < |x - y |<δ. Taäp hôïp taát caû caùc ñieåm tuï cuûa A ñöôïc kyù hieäu laø A* . y A x-δ x x+δ $ y ∈ A {( x - δ , x + δ ) \ {x}} x ∈ A* $ y ∈ {A \ {x}} ( x - δ , x + δ ) * ñ x ∈ (A \ x326}) {A \ {x}} ( x - δ , x + δ ) ∫«
  4. Baøi toaùn73. Cho A = (0,1) vaø x = 0 . Chöùng minh x laø moät ñieåm tuï cuûa A Cho δ > 0, tìm y ∈ A sao cho 0 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0 < y < δ δ y = 0 2 1 x-δ x x+δ=δ 327
  5. Baøi toaùn74. Cho A = [0,1] vaø x = 0 . Chöùng minh x laø moät ñieåm tuï cuûa A Cho δ > 0, tìm y ∈ A sao cho 0 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0 < y < δ δ y = 0 2 1 x-δ x x+δ=δ 328
  6. Baøi toaùn75. Cho A = { 0 } » [ 2-1, 1] vaø x = 0 . Chöùng minh x khoâng laø moät ñieåm tuï cuûa A ∀δ> 0, {A \{x}} ( x - δ , x + δ ) ∫« ∃δ> 0, {A \{x}} ( x - δ , x + δ ) = « ∃δ> 0, [2-1,1] (- δ , δ ) = « 1 0 2 A Choïnδ =>1 0 1 4 x- 1 x 1 = 1 4 x+ 4 4 1 11 {\{}A x }∩∩(,)xx−+δδ= [1,] (,)− = φ 2 44 329
  7. Baøi toaùn 76. Cho B laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, a ∈ B* . Ñaët A = B »{a}. Chöùng minh a ∈ A* . ∀δ> 0, ta coù {B \{a}} ( a - δ , a + δ ) ∫« ∀δ> 0, chöùng minh {A \{a}} ( a - δ , a + δ ) ∫« A \{a} = B \{a} ? A \{a}= A ∩(— \{a}) = (B »{a}) ∩(— \{a}) = (B ∩(— \{a}) )»({a}∩(— \{a}) = B ∩(— \{a}) = B \{a} 330
  8. Quan saùt moät chieác xe chaïy treân ñöôøng thaúng, chuùng ta muoán xeùt vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa noù taïi moät thôøi ñieåm t . Ta moâ hình toaùn hoïc vieäc naøy nhö sau • choïn moät taäp hôïp caùc thôøi ñieåm A sao cho t laø moät ñieåm tuï cuûa A, • vớimộtthời điểm s ∈ A \{t}, ta tính vaän toác trung bình vt,s cuûa chieác xe trong khoaûng thôøi gian töø t ñeán s. • neáu s caøng gaàn t thì vt,s caøng gaàn moät soá thöïc v . Ta noùi v laø vaän toác töùc thôøi cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t. x()sxt− () xt() xr() vts, = st− xs() 331
  9. Ta thöû xem moâ hình toaùn hoïc yù töôûng beân treân nhö sau. Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —, c ∈ —, f laø moät haøm soá thöïc treân A vaø a ∈ A* . Ta noùi • f coù giôùi haïn laø c taïi a neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông ε coù moät soá thöïc döông δ(ε) sao cho | f(x)-c |<ε∀x ∈ A vôùi 0 < |x - a|<δ(ε) , vaøø kyù hieäulimf (xc ) = . xa→ 332
  10. Baøi toaùn77. Cho A = [0,1] , a = 0 vaø ⎧ x −1 ⎪ ∀∈x [0,1), fx()= ⎨ x −1 ⎪ ⎩ 1neáu1.x = Chöùng minh limfx ( )= 1 x→0 " ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho | f(x)-1| 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho | f(x)-1| < ε∀x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) x −1 ()()xx−+111 fx()= = = ∀∈x (,)33301 x −1 ()()xx−+11 x+1
  11. "ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho | f(x)-1| 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho x 0 , ñaët δ(ε) = ε2 ta coù | f(x)-1| < ε∀x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε334)
  12. Baøi toaùn78. Cho A = [0,1] , a = 1 vaø ⎧ x −1 ⎪ ∀∈x [0,1), fx()= ⎨ x −1 ⎪ 1 ⎩ 1neáu1.x = Chöùng minh limfx ( ) = x→1 2 Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho 1 |()fx− 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho 1 |()fx−< | ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 1- δ(ε)< x <1335 2
  13. Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho 1 |()fx− 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho 1 |()fx− 0 , ñaët δ(ε) = ε ta coù 1 |()fx−< | ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 1- δ(ε)< x336 <1 2
  14. Duøng leänhLimit[f (xx ),→ a ] ñeå tính limfx ( ) xa→ x −1 In[1]:=→ Limit [ ,x 0] x −1 x −1 limx→0 = 1 Out[1]:= 1 x −1 x −1 In[1]:=→ Limit [ ,x 1] x −1 x −1 lim = 1 1 x→1 2 Out[1]:= x −1 2 337
  15. xx −1 x In[3]:=→ Limit [xx , 0] limxx −1 = 1 Out[3]:= 1 x→0 x 1 In[4]:=−→ Limit [xx , 1] x −1ln 1 Out[4]:= 2 x 11 lim(−=x ) x→1 x −1ln 2 338
  16. Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —, c ∈ —, f laø moät haøm soá thöïc treân A vaø a ∈ A* . Ta noùi f coù giôùi haïn beân phaûi laø c taïi a neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông ε coù moät soá thöïc döông δ(ε) sao cho | f(x)-c |<ε∀x ∈ A vôùi 0 < x - a < δ(ε), vaø kyù hieäu limf (xc ) = xa→ + a x 339
  17. Duøng leänhLimit[f (xx ),→→− a ,Direction 1] ñeå tính limfx ( ) xa→ + a x -1 0 1 −1 In[1]:=+→ Limit [(1xx )x , 0,Direction →− 1] Out[1]:= e lim(1+=x )1/ x e x→0+ 340
  18. Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —, c ∈ —, f laø moät haøm soá thöïc treân A vaø a ∈ A* . Ta noùi f coù giôùi haïn beân traùi laø c taïi a neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông ε coù moät soá thöïc döông δ(ε) sao cho | f(x)-c |<ε∀x ∈ A vôùi 0 < a - x < δ (ε), vaø kyù hieäu limf (xc ) = xa→ − x a 341
  19. Duøng leänhLimit[f (xx ),→→ a ,Direction 1] ñeå tính limfx ( ) xa→− x a -1 0 1 Log(cos x ) In[1]:=→→ Limit [ ,x 0,Direction 1] xx|| 1 Out[1]:= 2 Log(cos x ) lim = 1 x→0− xx|| 2 342
  20. Baøi toaùn 79. Cho A laømoättaäphôïpcon khaùctroángcuûa —, a ∈ A* A vaø moät haøm soá thöïc f treân A. Giaû söû f lieân tuïc taïi a. Luùc ñoù limf (xfa )= ( ) xa→ Cho moät ε > 0 , coù moät soá thöïc döông δ(a, ε) sao cho |f(x) - f(a)| 0 , tìm moät soá thöïc döông h(a, ε’) sao cho |f(x) - f(a)| 0 Ñaët ε =ε’, coù δ (a,ε ) Ñaët h(a, ε’) = δ (a,ε ) |f(x) - f(a)|<ε = ε’ ∀x∈ A, 0 < |x - a|<δ (a,ε )= h(a,ε’) 343
  21. Baøi toaùn 80. Cho A laømoättaäphôïpcon khaùctroángcuûa —, a ∈ A* A vaø moät haøm soá thöïc f treân A. Giaû söû limf (xfa )= ( ) . Chöùng minh f lieân tuïc taïi a xa→ Cho ε > 0 coù moät soá thöïc döông δ(a, ε) sao cho |f(x) - f(a)| 0 tìm moät soá thöïc döông h(a, ε’) sao cho |f(x) - f(a)| 0 Ñaët ε =ε’, coù δ (a,ε ) Ñaët h(a, ε’) = δ (a,ε ) |f(x)- f(a)|<ε = ε’ ∀x ∈A, 0 < |x - a |<δ (a,ε )= h(a,ε’) 344 É x = a : f(x) = f(a), | f(x) - f(a)| = 0 ⇒
  22. Baøi toaùn 81. Cho A laømoättaäphôïpcon khaùctroángcuûa —, a ∈ A* A vaø moät haøm soá thöïc f treân A. Giaû söû limf (xc ) = . Cho {x } laø moät daõy trong A \{a} xa→ n (nghóa laø xn ∈ A \{a} vôùi moïi n ) vaø {xn} hoäi tuï veà a. Chöùng minh daõy {f(xn)} hoäi tuï veà c . Cho e > 0 , coù $d(a, e ) > 0 sao cho | f ( x ) - c | 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho 0 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho 345 | f(xm) - c | < e” " m ¥ M(e”) .
  23. Cho moät e” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho | f(xm) - c | 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho | xn - a | 0 ta coù d(a,e) > 0 sao cho | f(x) - c | 0 Vôùi e Vôùi e’ e’= d(a,e) M(e”)= N(e’) ñaët e = e” coù d(x,e) coù N(e’) m¥M(e”)=N(e’) |x - a | <e’= d(a,e) n | f(xm)- c | <e” ⇒ ⇒ 346
  24. Baøi toaùn 82. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät taäp con A * cuûa —, c ∈ — vaø a∈A . Giaû söû vôùi moïi daõy {xn} trong A \{a} (nghóa laø xn ∈ A \{a} ∀ n ∈ Õ) vaø {xn} hoäi tuï veà a, thì daõy {f(xn)} hoäi tuï veà c. Chöùng minh. lim f ( xc ) = xa→ Cho e > 0, ta coù N(e) œ Õ sao cho | xn- a | 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho fl | f(xn) - c | 0, tìm d(a,e”) > 0 sao cho | f(y) - c | 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ A 347 vôùi | yd – a | < d sao cho | f(yd ) - c | ¥e”
  25. Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho | xn - a | 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho | f(xn) - c | 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ A vôùi | yd – a | < d sao cho | f(yd ) - c | ¥e” Tìm caùc thaønh toá coù veõ maâu thuaãn vôùi nhau | f(xn) - c | < e’ V | f(yd ) - c | ¥e” yd V xn | yd – a | < d V | xn - a | < e -1 Choïn d = n vaø xn = y1/n -1 348 | xn - a| < n vaø | f(xn) - c |=| f(yd ) - c | ¥e” " n
  26. Baøi toaùn 83. Cho A laømoättaäphôïpcon khaùctroáng cuûa —, x ∈ A* vaø hai haøm soá thöïc f vaø g treân A coù giôùi haïn taïi x laø c vaø d. Ñaët h (z)=f(z)+g(z) ∀ z ∈ A. Chöùng minh h coù giôùi haïn taïi x laøc+d. Cho {xn} laømoätdaõytrong A \{x} hoäi tuï veà x . Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà c Ta coù {g(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà d Chöùng minh {h (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà c+d h()xn = fx( n) + g(xn) h (xn)=f(xn)+g(xn) c+d c d 349
  27. Baøi toaùn 84. Cho A laømoättaäphôïpcon khaùctroáng cuûa —, x ∈ A* vaø hai haøm soá thöïc f vaø g treân A coù giôùi haïn taïi x laøc vaø d. Ñaët h (z)=f(z)g(z) ∀ z ∈ A. Chöùng minh h coù giôùi haïn taïi x laø cd . Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà c Ta coù {g(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà d Chöùng minh {h (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà cd h()xn =f()xn . gx()n h (xn)=f(xn)g(xn) cd c d 350
  28. Ñònh lyù. Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, a ∈ A* A vaø moät haøm soá thöïc f treân A. Luùc ñoù ba ñieàu sau ñaây töông ñöông (i) limfx ( )= fa ( ) xa→ (ii) f lieân tuïc taïi a (iii) vôùi moïi daõy {xn} trong A hoäi tuï veà a , ta coù {f(xn)} hoäi tuï veà f(a). 351
  29. Baøi toaùn 85. Cho B laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, a ∈ B*, c ∈ — vaø moät haøm soá thöïc g treân B . Ñaët A = B »{a}. Giaû söû limgx ( ) = c. Ñaët xa→ gx() x∈ B \{} a fx()= R S cxa= Chöùng minh f lieân tuïc taïi a . T Cho ε > 0 coù moät soá thöïc döông δ(a, ε) sao cho |g(x) - c | 0 tìm moät soá thöïc döông h(a, ε’) sao cho |f(x) - f(a)|<ε’ ∀ x ∈ A vôùi |x - a |<h(a, ε’) ⎧gx()− c x∈ B , fx−=−= fa fx c () () () ⎨ A = B »352{a} ⎩0.xa=
  30. Cho ε > 0 coù moät soá thöïc döông sao cho |g(x) - c | 0 tìm moät soá thöïc döông h(a, ε’) sao cho |f(x) - f(a)| 0 Ñaët ε = ε’ coù δ(a,ε) Ñaët h(a,ε’) = δ(a,ε) |f(x) - f(a)|<ε = ε’ ∀ x ∈ A , |x - a |<δ(a,ε) = h(a, ε’) 353
  31. Baøi toaùn 86. Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa —, a ∈ A*, c ∈ — vaø ba haøm soá thöïc f, g vaøh treân A.Giaûsöû f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ A vaølimf (xgxc )= lim ( ) = . xa→→ xa Chöùng minh lim hx ( ) = c . xa→ Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà c Ta coù {g(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà c Chöùng minh {h (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà c fx()n ≤≤ hx()n gx()n f(xn) ≤ h(xn) ≤ g(xn) c c c 354
  32. Cho x ∈ ( a , b ) . Luùc ñoù coù moät soá thöïc döông r sao cho x + h ∈ ( a , b ) " h ∈ (- r , r ) a x-r x h x+r b Cho f laø moät haøm soá thöïc treân (a, b)vaøx ∈ (a, b). Ñaët f ()()xh+−f x uh()= ∀∈hA ≡−(,)\{} rr 0 h 0 ∈ A* f ()()xh+ − fx Coùtheåxeùt limuh ( ) hay lim h→0 h→0 h 355
  33. Ñònh nghóa. Cho f laø moät haøm soá thöïc treân khoaûng môû (a, b)vaøx ∈ (a , b). Choïn moät soá thöïc döông r sao cho ( x - r , x + r) Õ (a , b) . Ñaët f ()()xh+ − f x uh()= ∀∈−hrr(,)\{}0 h Ta noùi f laømoäthaømsoákhaû vi taïi x neáu vaø chæ neáu giôùi haïn sau ñaây coù vaø laø moät soá thöïc. f ()()xh+ − fx lim (= limuh ( )) hh→→00h Luùc ñoù ta kyù hieäu giôùi haïn naøy laø f ’(x) vaø goïi noù laø ñaïo haøm cuûa f taïi x. Neáu f khaû vi taïi moïi x ∈ (a, b) ta noùi f khaû vi treân (a, b). 356
  34. Baøi toaùn87. Cho c laø moät soá thöïc vaø f (x) = c " x ∈ —. Chöùng minh f khaû vi treân — vaø f ’ (x) = 0 " x ∈ — f ()()xh+ − fx fx′()= lim h→0 h Cho x ∈ — vaø h∈ — \{0} f ()()xh+−f x cc− = = 0 h h f ()()xh+− fx lim= 0 h→0 h 357
  35. Baøi toaùn88. Cho c laø moät soá thöïc vaø f (x) = cx "x ∈ —. Chöùng minh f khaû vi treân — vaø f ’(x ) = c " x ∈ — f ()()xh+ − fx fx′()= lim h→0 h Cho x ∈ — vaø h∈ — \{0} f ()()()x +−h f x c x + hcx− ch = ==c h h h f ()()xh+− fx lim = c h→0 h 358
  36. Duøng leänh D[f(x), x] ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá f. Thí duï . Cho f (x ) = (7x - 3)3 cos 2x " x ∈ — . Tính ñaïo haøm cuûa f . In[1]:=D[(7x - 3)3Cos[2x],x] Out[1]:= 21(7x - 3)2cos2x - 2(7x-3)3sin2x f ’(x ) = 21(7x - 3)2cos2x - 2(7x-3)3sin2x " x ∈ — 359
  37. Baøi toaùn89. Cho f vaø g laø caùc haøm soá thöïc khaû vi treân khoaûng môû (a, b). Ta coù k = f + g khaû vi treân khoaûng môû (a, b) vaø k’(x )=f ’(x )+g’(x ) ∀x ∈ (a, b) f ()()xh+− fx gx()()+ h− gx fx′()= lim gx′( )= lim h→0 h h→0 h kx()()+− h kx kx′()= lim Cho x ∈ — vaø h∈ — \{0} h→0 h kx(+− h ) kx () [( f x ++ h ) gx ( + h )][() − f x + gx ()] = hh [fx (+− h ) fx ( )] + [ gx ( +− h ) gx ( )] ==+uh() vh () h f ()()x +−h f x g()()x + hg− x uh()= vh()= 360 h h
  38. kx()()+− h kx kx′()= lim Cho x ∈ — vaø h∈ — \{0} h→0 h kx()()+− h kx wh()==+ uh () vh () h f ()()xh+−f x gx()()+ h− gx uh()= vh()= h h ’ limhØ0 u (h ) = f (x ) limhØ0 v (h ) = g’(x ) w (h) = u (h) + v (h) ’ k’(x) = limhØ0 w (h ) = f (x ) + g’(x ) 361
  39. Baøi toaùn 90. Cho f laø moät haøm soá thöïc treân khoaûng môû (a,b) vaø x ∈ (a,b). Giaû söû f khaû vi taïi x . Cho M trong (| f ’(x)|, ∞). Chöùng minh coù moät soá thöïc döông r sao cho (x-r, x+r) ⊂ (a, b) vaø | f(y) – f(x)| ≤ M| y -x | ∀ y ∈ , | y – x| 0 , ∃δ(ε) > 0 sao cho f ()()xh+− fx |()fx′ −<∀< |ε h ,|| h δε () h 362
  40. ∀ε> 0 , ∃δ(ε) > 0 sao cho f ()()xh+− fx |()fx′ −<∀< |ε h ,|| h δε () h ε ε f’() x f ()()xh+-f x h f ()()xh+ − fx −−≤−≤|fx′′ ()|ε fx ()εεε ≤+≤+ fx ′ () | fx ′ ()| h fx()()+ h− fx −−≤|()|fx′′ε ≤ |()| fx +ε h f ()()xh+− fx |||()|,||()≤+∀<fx′ ε h h δε363 h
  41. f ()()xh+− fx |||()|,||()≤+∀ 0 |()|2f ′ xM+=ε |()|fx′ +=εε M −< M Choïn r = δ(ε) f ()()xh+− fx ||,||< M ∀<hh r h |(f xh+− ) fx ()| < Mh || ∀ h ,|| h < r |()()|||f yfx−<−∀∈−< Myx yabyxr (,),|| 364
  42. Baøi toaùn 91. Cho f laø moät haøm soá thöïc treân khoaûng môû (a,b) vaø x ∈ (a,b). Giaû söû f khaû vi taïi x vaø f ’(x) khaùc khoâng. Cho c trong (0, | f ’(x)|). Chöùng minh coù moät soá thöïc döông r sao cho (x-r, x+r) ⊂ (a, b) vaø c|y-x | ≤ | f(y) – f(x)| ∀ y ∈ , | y – x| 0 , ∃δ(ε) > 0 sao cho f ()()xh+− fx |()fx′ −<∀< |ε h ,|| h δε () h 365
  43. ∀ε> 0 , ∃δ(ε) > 0 sao cho f ()()xh+− fx |()fx′ −<∀< |ε h ,|| h δε () h ε ε f ()()x +-h f x f ’ x a = () h −−≤−≤≤+≤+||aafxaaε εεε′ () || f (x+− h ) fx () fx ( +− h ) fx () −−≤≤+||()||ε fx′ ε hh f ()()xh+− fx |()||fx′ ≤+∀< |ε h ,|| h δε ()366 h
  44. f ()()xh+ − fx |()|fx′ −≤ε | | ∀ h ,|| h 2 (|fx′ ( ) | c ) 0 |()|2f ′ xc− ε = |()|f ′ xcc−=+εε > Choïn r = δ(ε) f ()()xh+− fx ||,||>∀chhr ch || ∀ h ,|| h −∀∈−< cyx yabyxr (,),|| 367
  45. Baøi toaùn92. Cho f laø moät haøm soá thöïc treân khoaûng môû (a, b)vaøx ∈ (a, b). Giaû söû f khaû vi taïi x . Chöùng minh f lieân tuïc taïi x Cho ε > 0 , tìm moät δ(ε) > 0 sao cho : |f(y) – f(x) | | f ’(x)|, coù r > 0 sao cho (x-r, x+r) ⊂ (a,b) vaø | f(y) – f(x)| ≤ M| y -x | ∀ y ∈ , | y – x| 0 , ñaët δ(ε) = min{r, M-1 ε } |f(y) – f(x) | < ε∀y ∈(a,b), |y-x| < δ(ε) 368
  46. Baøi toaùn93. Cho f vaø g laø caùc haøm soá thöïc khaû vi treân khoaûng môû (a,b). Ta coù k = fg khaû vi treân khoaûng môû (a,b) vaø k’(x)=f ’(x)g(x)+f(x)g’(x) ∀x ∈ (a,b) f ()()xh+− fx gx()()+ h− gx fx′()= lim gx′( )= lim h→0 h h→0 h kx()()+− h kx ? lim h→0 h kx()()()()()()+− h kx f x + hgx +− h f xgx = hh f ()()()()()()()()xhgxhfxgxhfxgxhfxgx++−+++− = h f ()()xh+− fx gxh ()() +− gx =++gx()() h f x 369 hh
  47. kx()()()()+− h kx f x +− h f x =+gx() h hh gx()()+ h− gx + fx() h k(x+h)-k(x) f(x+h)-f(x) g(x+h)-g(x) = g(x+h) + f(x) h h h h ? 0 f ’(x)g(x)+ f(x)g’(x) k’(x)=f ’(x)g(x)+f(x)g’(x) ∀x ∈ (a,b) 370
  48. Baøi toaùn94. Cho f laø moät haøm soá töø (a, b) vaøo (c,d) vaø g laø moät haøm soá thöïc treân (c, d). Cho x ∈ (a, b)sao cho f khaû vi taïi x , g khaû vi taïi z = f(x) vaø g‘(x) = 0. Ñaët u = go f . Chöùng minh u khaû vi taïi x vaø u’(x) = 0 gfx( (+ h ))− gfx ( ( )) Chöùng minh lim= 0 h→0 h Cho ε > 0, tìm δ(ε) > 0 sao cho ∀ h, |h| 0, tìm δ(ε) > 0 sao cho |((gfx+− h ))(())| gfx <ε | h | ∀ h ,|| h <371δε ()
  49. Cho ε > 0, tìm δ(ε) > 0 sao cho |((gfx+− h ))(())| gfx 0, sao cho | f(x+h) – f(x)| ≤ M | h | ∀ h , | h | 0 , coù s(ε’) > 0, sao cho | g(z+k) – g(z)| ≤ ε’ | k | ∀ k , | k | 0, choïn ε’= M-1ε, vaø δ(ε) = min{r, 2-1M-1s(ε’)} |((gfx+− h ))(())| gfx <ε | h | ∀ h ,|| h <372δε ()
  50. Baøi toaùn95. Cho f laø moät haøm soá töø (a, b) vaøo (c,d) vaø g laø moät haøm soá thöïc treân (c, d). Cho x ∈ (a, b)sao cho f khaû vi taïi x , g khaû taïi z = f(x). Ñaët u = go f . Chöùng minh u khaû vi taïi x vaø u’(x) =g’(f(x))f’(x) . ° g ’(z) = 0 : u’(x) = 0 (BT 94) ° g’(z) = α > 0 . Ñaët g1(t) = g(t) - α t ∀ t ∈ (c,d). v(s) = g1(f(s)) ∀ s ∈ (a,b). g1’(t) = g’(t) - α ∀ t ∈ (c,d) g1’(z) = g’(z) - α = 0 v’(z) = 0 v(s)= g1(f(s)) = g(f(s)) - α f(s) = u(s)- α f(s) v’(s)= u’(s)- α f’(s) 0 = v’(z)= u’(z)- α f’(z) u’(s) = α f’(s) = g’(f(x))f’(x) 373
  51. Baøi toaùn 96 (Ñònh lyù aùnh xaï ngöôïc) . Neáu f laø moät song aùnh töø (a,b) vaøo (c,d), f lieân tuïc treân (a,b). Cho moät x trong (a,b) sao cho f khaû taïi x vaø f ’(x) ≠ 0. Chöùng minh aùnh xaï ngöôïc g ª f -1 cuûa f khaû vi taïi y = f(x)vaø 1 gy′()= f ′(())gy Ñaët u = g(v) ∀ v ∈ (c,d) f ()ufx− () gv()− gy () 1 fx′()= lim gx′( )== lim ? ux→ ux− vy→ vy− fgy′(()) Ñaët s = 2-1min{y–c, d–y}, c’ = y-s, c’ = y+s, a’= g(y-s), b’ = g(y+s). Luùc ñoù f ([a’,b’]) laø moät khoaûng ñoùng I chöùa [c’,d’]. Töø ñoù g lieân tuïc treân I , vaø g lieân tuïc taïi y. 374
  52. Ñaët u = g(v) ∀ v ∈ (c,d) f ()ufx− () gv()− gy () 1 fx′()= lim gx′( )== lim ? ux→ ux− vy→ vy− fgy′(()) Ñaët s = 2-1min{y–c, d–y}, c’ = y-s, c’ = y+s, a’= g(y-s), b’ = g(y+s). Luùc ñoù f ([a’,b’]) laø moät khoaûng ñoùng I chöùa [c’,d’]. Töø ñoù g lieân tuïc treân I , vaø g lieân tuïc taïi y. lim(ux−= ) lim( gvgy ( ) − ( )) = 0 vy→→ vy gv()−− gy () u x f () u − f () x ==[]−1 ∀≠vy vy−− fufx() () ux − gv()−− gy () f () u f () x −1 1 1 lim=== lim[ ] 375 vy→→vy−− ux ux fx′′() fgy (())
  53. Cho g(y)= arcsiny " y ∈ [-1, 1] vaø f(x)= sin x " x ∈ π π [,]− 22 Ta thaáy g laø aùnh xaï ngöôïc cuûa f vaø fx′()==− cos x 1 fx ()2 111 gy'( )== = ∀∈− y ( 1,1) fgy'(()) 1−−fgy (())22 1 y 376
  54. Cho f laø moät haøm soá thöïc treân moät khoaûng môû (a, b) vaø c laømoätñieåmtrong(a, b). Ta noùi † f ñaït cöïc ñaïi taïi c neáu vaø chæ neáu f(c) ≥ f(x) vôùi moïi x ∈ (a, b). † f ñaït cöïc tieåu taïi c neáu vaø chæ neáu f(c) ≤ f(x ) vôùi moïi x ∈ (a, b). Baøi toaùn 97. Cho f laø moät haøm soá thöïc treân moät khoaûng môû (a, b) vaø c laø moät ñieåm trong (a, b). Giaû söû f khaû vi taïi c vaø ñaït cöïc ñaïi taïi c. Chöùng minh f ’(c)=0. f ()()ch+−f c f ()()ch+ − f c lim ==fc' () lim hh→00+ h → − h f ()()ch+ − f c f ()()ch+ − f c lim ≤≥0 lim 377 hh→00+ h → − h
  55. Baøi toaùn 98 . Cho f laø moät haøm soá thöïc treân moät khoaûng môû (a, b) vaø c laø moät ñieåm trong (a, b). Giaû söû f khaû vi taïi c vaø ñaït cöïc tieåu taïi c. Chöùng minh f ‘(c)=0. f ()()ch+−f c f ()()ch+ − f c lim ==fc' () lim hh→00+ h → − h f ()()ch+ − f c f ()()ch+ − f c lim ≥≥0 lim hh→00+ h → − h 378
  56. Baøi toaùn99 .Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân [a, b] vaø khaû vi treân moät khoaûng môû (a, b) sao cho f(a)=f(b). Chöùng minh coù t ∈ (a, b)saochof ’(t) = 0. Coù c vaø d trong [a, b] sao cho f (c) = min f([a, b]) vaø f (d) = max f([a, b]) f (c) ≤ f (x) ≤ f (d) ∀ x ∈ [a, b] † Neáu f (c)= f (d): thì f(c) ≤ f (x) ≤ f (c) ∀ x ∈ [a, b], f laø aùnh xaï haèng vaø ta thaáy f ’(x) = 0 vôùi moïi x ∈ (a, b). † Neáu f (c) ≠ f (d)thìhoaëcc hoaëc d phaûi thuoäc (a, b) , vì f(a)=f(b) . f ’( c ) = 0 hoaëc f ’( d ) = 0 379
  57. Baøi toaùn 100 (Ñònh lyù giaù trò trung bình). Neáu f laø moät aùnh xaï lieân tuïc treân [a, b] vaø khaû vi treân (a, b) , thì coù moät c ∈ (a, b)saocho f(b)-f(a)=(b-a)f ’(c) fb()− fa () Ñaëtgx ()=− f () x ( x − a ) ∀∈ x [,] ab ba− Ta thaáy g(a)=g(b) vaø f ()b − f ()a gx'( )=− f' ( x ) ∀∈xab(,) ba− Theo baøi toaùn 99, coù c ∈ (a, b) sao cho g’(c) = 0 f ()bfa− () f ()bfa− () 0'()()==−gc fc' fc' ()= ba− ba− f(b)-f(a)=(b-a)f ’(c) 380
  58. Neáu f khaû vi treân (a, b), ñaët g(x)=f ’(x) vôùi moïi x trong (a, b). Ta thaáy g laø moät haøm soá treân (a, b). Neáu g khaû vi taïi x ∈ (a, b), ta thaáy g’(x) = (f ’)’(x) . Luùc ñoù ta noùi f coù ñaïo haøm baäc 2 taïi x, ñaïo haøm baäc 2 cuûa f taïi x chính laø g’(x), vaø ñöôïc kyù hieäu laø f ’’(x) hoaëc f (2)(x). Ta coøn kyù hieäu f (0)= f vaø f (1) = f‘. Ta coù theå duøng qui naïp toaùn hoïc ñeå ñònh nghóa caùc ñaïo haøm baäc cao n ≥ 2 nhö sau : f (n)(x)= (f (n-1) )’(x) . 381
  59. Ñònh nghóa . Cho f laø moät haøm soá thöïc khaû vi treân moät khoaûng môû (a , b). Ta thaáy f ‘ laø moät haøm soá thöïc treân (a , b) . Neáu f ‘ lieân tuïc treân (a , b), ta noùi f thuoäc lôùp C1 treân (a , b). Ñònh nghóa . Cho f laø moät haøm soá thöïc khaû vi n laàn treân moät khoaûng môû (a , b). Ta thaáy f (n) laømoäthaømsoá thöïc treân (a , b) . Neáu f (n) lieân tuïc treân (a , b), ta noùi f thuoäc lôùp Cn treân (a , b). 382
  60. Duøng leänh D[f(x),{x,n}] : tính ñaïo haøm baäc n cuûa haøm soá f. 1 − In[1]:= De [x2 ,{ x ,3}] 1 − 2 83624 Out[1]:=−+e x ( ) xxx975 1 1 − − 2 2 83624 Ñaïo haøm baäc ba cuûae x laøø e x ()−+ x 975x x 383
  61. Cho c vaø d laø hai ñieåm trong khoaûng môû (a,b), I(c,d) laø khoaûng ñoùng coù caùc ñaàu muùt laø c vaø d, vaøflaømoäthaøm khaû vi ñeán caáp n -1 treân khoaûng môû (a,b), vôùi n ≥ 2. Xeùt ña thöùc Taylor baäc n taïi c nhö sau n−1 ()k fc() k Pxcfcn−1(,)=+ () ∑ ()xc−∀∈ x Icd (,) k =1 k! 384
  62. Duøng leänh Series[f[x],{x,c,n}] Ta tính ñöôïc Pn-1(x,c). In[3]:= Series[exx ,{ ,0,4}] 11 1 Out[3]:=+ 1xx +23 + x + x 4 + o[ x ] 5 2624 Vaäy ta coù khai trieån Taylor taïi 0 ñeán baäc 4 cuûa haøm soá ex laø xxx234 1++x + + 2624 385
  63. Ñònh lyù. (Taylor) . Cho c vaø d laø hai ñieåm trong khoaûng môû (a,b), I(c,d) laø khoaûng ñoùng coù caùc ñaàu muùt laø c vaø d, vaøf laø moät haøm khaû vi ñeán caáp n treân khoaûng môû (a,b), vôùi n ≥ 2. Luùc ñoù coù s ∈ I(c, d)saocho fs()n () fd()=+ P (,) dc ()dc −n n−1 n! n−1 fc()k () fs ()n () =+fc() ∑ ()dc−+k ()dc −n k =1 k! n! n−1 ()k fc() k Pxcfcn−1(,)=+ () ∑ ()xc−∀∈ x Icd (,) k =1 k! 386
  64. Baøi toaùn101. Tính2 vôùi sai soá nhoû hôn 10-8 . Xeùt f(x) =x vôùi moïi x ∈ (0, ∞). Duøng qui naïp chöùng minh f coù ñaïo haøm moïi baäc vaø vôùi moïi x ∈ (0, ∞) −−13 11122(2) fx′()==−222 x , f () x x , −+n 1 ()nn− 111 3 2 fx()=− (1)22 ( n − 2 ) x n ≥ 3 98 2 = Ñaët c = 100 vaø d = 98 7 Tính 98 n−1 fc()kn() fs () () f ()()dfc=+∑ () dc −+kn ()((,)) dc − sIcd ∈ k=1 kn!! n−1 ()k ()n f ()100 k fs() n 98=+ 10 ∑ )(−+22 ) () − (sIcd ∈387 (,)) k =1 k! n!
  65. n−1 f ()k ()100 fs ()n () 98=+ 10 ∑ ()−+22k () −n (scd ∈ (,)) k =1 k! n! fs()n () Choïn n sao cho sai soá| ()|−≤210n −8 vaø tính n! 1 1 n−1 f ()k ()100 2 =≈+98 [10 ∑ ()]−2 k 7 7 k =1 k! ()n fs() ( n− 1)!−+nn11 − 1 Saisoá:| (−≤ 2)|nn (98)22 2 ≤ (49)−+1 nn!! n 1 1 In[1]:= N [ 49−4 ] In[2]:= N [ 49−5 ] Choïn 5 6 n =388 6 Out[1]:= 3.46933 10−8 Out[2]:= 5.90022 10−10
  66. 115 f ()k (100) 298[10=≈+∑ (2)] −k 77k=1 k ! −−13 11 111 2 In[9]:=+−−−+ N[ (1010022 ( 2) 100 ( 2) 7 2 222 −−57 11133534 1 11 +−−−10022(2) 100 (2) 6222 242222 −9 111357 5 +−100 2 (2)),17] 12022222 Out[9]:= 1.4142135623750000 Vôùi sai soá nhoû hôn 10-8 , ta coù theå choïn giaù trò xaáp xæ cuûa2 laø 1,414213562 389
  67. Ñònh lyù. (Maclaurin) Cho f laømoäthaømsoácoùñaïo haøm f (n) caáp n treân (a,b) vôùi moïi soá nguyeân döông n. Giaû söû coù r >0saocho[-r, r] ⊂ (a,b)vaø r n lim sup |()|fx()n = 0 n→∞ n! xrr∈−[,] ∞ f ()k (0) Luùc ñoù ft()=+ f (0)∑ tk ∀∈− t ( rr , ) k=1 k! Ñònh lyù Taylor cho ta : coù s ∈ I(c,d) sao cho n−1 fc()kn() fs () () fd()()=+ fc∑ () d −+ ckn () d − c k=1 kn!! 390
  68. Ñònh lyù Taylor cho ta : coù s ∈ I(c,d) sao cho n−1 fc()kn() fs () () f ()dfc=+ ()∑ ( dc −+ )kn ( dc − ) k=1 kn!! vôùi c = 0 vaød= t :coùs ∈ I(0,t) sao cho n−1 f ()kn(0)fs () ( ) f ()tf=+ (0) ∑ tkn + t k=1 kn!! ()n n ()n fs() n r ()n fs() | t |≤ sup |()|fxlim t n = 0 n! n! xrr∈−[,] n→∞ n! n−1 f ()k ()0 fs ()n () lim ∑ tftfk =−−lim[ ( ) (0 ) t n ] n→∞ k =1 k! n→∞ n! ∞ ()k f ()0 k ∑ tftf=−() ()0 391 k =1 k!
  69. Cho f (x ) = ex vôùi moïi x œ — . Ta thaáy f khaû vi moïi baäc treân — vaø f (n)(x) = ex " x œ — vaø f (n)(0) =1 " n œ Ù r n ren r |()|fx()n ≤∀∈−∀>xrrr[,], 0 n! n! r n ren r sup |()|fx()n ≤ n! xrr∈−[,] n! re22kkrrr re re 2 k() r 2 k =≤≤er 2kkkkk ! 1.2 2 2 k r2 =≤eerr()kk ()1 ∀> kr 22 k 2 392
  70. re22kkrrr re re 2 k() r 2 k =≤≤er 2kkkkk ! 1.2 2 2 k r2 =≤eerr()kk ()1 ∀> kr 22 k 2 1 m rm1 rm1 lim ( ) = 0 lime (2 ) = 0 limre (2 ) = 0 m→∞ 2 m→∞ m→∞ renr lim = 0 n→∞ n! r n ren r lim sup |()|limfx()n ≤=0 n→∞n! xrr∈−[,] n →∞ n! 393
  71. Cho f (x ) = ex vôùi moïi x œ —. Ta thaáy f khaû vi moïi baäc treân — vaø f (n)(x) = ex " x œ — vaø f (n)(0) = 1 " n œ Ù r n lim sup |()|fx()n = 0 n→∞ n! xrr∈−[,] Ñònh lyù (Maclaurin) ∞ f ()k (0) ft()=+ f (0)∑ tk ∀∈−> t ( rr , ), r 0 k=1 k! ∞∞f ()n (0) 1 eftft ==() (0) +∑∑ tnn =+ 1 t ∀∈− t [ rr , ] nn==11nn!! ∞ t 1 n e ==+ft() 1 ∑ tt∀∈−∞∞(,)394 n=1n!
  72. Ñònh lyù (L’ Hoâpital). Cho f vaø g laøhaihaømsoákhaûvi treân khoaûng môû (a,b)saochog’(x) ≠ 0 vôùi moïi x ∈ (a,b), f ′()x ôû ñaây -¶ ≤ a < b ≤ ¶ . Giaû söû giôùi haïn lim xa→ gx′() xaùc ñònh . f ()xfx′ () Ta coùlim= lim trong caùc tröôøng hôïp sau : xa→→gx() xa g′ () x (i) limf (x )= lim g()x = 0 x → a x → a (ii) limg (x ) = ±∞ 395 xa→
  73. ln(13+ x ) Tính lim x → 0 x Ñaët u (x ) = ln(1+3x) vaø v (x ) = x " x œ (0 , ¶) limux ( )= limvx ( ) = 0 x → 00x → 3 ux'( ) = v'(x ) = 1 13+ x ux() ux'( ) 3 lim = lim = lim = 3 x → 00vx() x → vx'( ) x → 013+ x 396
  74. TÍNH GIÔÙI HAÏN CAÙC HAØM SOÁ I † Duøngtínhlieântuïccuûacaùchaømsoá Cho f laø moät haøm soá thöïc treân khoaûng [a, b] vaø lieân tuïc taïi c ∈ (a, b). Luùc ñoùlimf (x )= f (c ) ( Baøi toaùn 79) xc→ xx62− 45+ Baøi toaùn 102 . Tính giôùi haïn lim 42 x→ 3 xx+ Ñaët()gx=− x62 4 x + 5va() øhx =+ x 42 x xx62−+45() gx fx()==∀∈x [0,3] ∀∈x [1, 3] xx42+ hx() xx62−+45 5 397 lim42= f ( 3) = f lieân tuïc treân [1 , 3], 3(1,3) ∈ x→ 3 xx+ 6
  75. II † Duøng caùckeátquaû cuûabaøitaäp 7.7.3.1 limxxnn=∞ lim 2 =∞ xx→∞ →−∞ 1 limx21n+ =−∞ lim =∞ xx→−∞ →0 x2n 11 lim21nn++=∞ lim 21 =−∞ xx→→00+−x x xx62− 45+ Baøi toaùn 103 . Tính giôùi haïn lim x→∞ xx42+ x62−+45(145)145xxxx 6 −− 4 +−−− 6 − xx 4 + 6 ==x2 xx42++ x 4(1 x−− 2 ) 1 + x 2 398
  76. - 2 14-+xx 46 5 1 1+ x 1 x →∞ x →∞ 0 0 0 xx62−+45 145 − x−− 4 + x 6 lim= lim x2 =∞ xx→∞xx42++ →∞ 1 x− 2 399
  77. 21x + Baøi toaùn 104 . Tính giôùi haïn lim x→1+ x −1 Đặt y = x -1 x = y +1 2x +1 = 2y + 3 21xy++ 2 3 1 lim==+ lim lim (2y 3) xy→→10++xy−1 y → 0 + y 1 lim (2y + 3) =∞ y→0+ y 21x + lim = ∞ + x→1 x −1 400
  78. 21x + Baøi toaùn 105 . Tính giôùi haïn lim x→1− x −1 Đặt y = x -1 x = y +1 2x +1 = 2y + 3 21xy++ 2 3 1 lim==+ lim lim (2y 3) xy→→10−−xy−1 y → 0 − y 1 lim (2y + 3) =−∞ y→0− y 21x + lim = −∞ − x→1 x −1 401
  79. Baøi toaùn 106 . Tính giôùi haïn lim(x2 − 5xx+− 1 ) x→∞ xx2 −++51 x xx22−+−=51 x ( xx −+− 51) x xx2 −++51 x xx22−+−51 x x (5 −+ x−− 1 ) −+ 5 x 1 == x21212−++51(151)151 x xx − xx−− + + − xx −− + + −1 2 −+55x lim(xx− 5+− 1 x ) = lim =−402 xx→∞ →∞ 15−++xx−−12 1 2
  80. III † Duøng caùckeátquaû cuûacaùcbaøitaäp 7.7.3.1 vaø 7.7.2.3 . limeexx=∞ , lim = 0, lim ln x =∞ . lim ln x =−∞ xx→∞ →−∞ x →∞ x →0 Cho v laø moät haøm soá thöïc döông treân (a, b). Ñaët f(x) = ln(v(x)) vôùi moïi x trong (a,b). Ta coù (ifxd ) lim ( )=⇔ lim vxe ( ) =d , xc→→ xc (ii ) lim f ( x )=∞ ⇔ lim v ( x ) =∞ , xc→→ xc (iii ) lim f ( x )= −∞ ⇔ lim v ( x ) = 0 . xc→→ xc Baøi taäp naøy giuùp ta tính caùc giôùi haïn cuûa caùc haøm soá v coù daïng tích hoaëc luyõ thöøa 403
  81. δ Baøi toaùn 107 . Cho δ > 0 . Tính giôùi haïn lim x x→∞ Ñaët f(x) = lnxδ = δ lnx limfx ( ) =∞ lim xδ = ∞ x→∞ x→∞ 404
  82. 35+ x x Baøi toaùn 108 . Tính giôùi haïn lim( ) x→0 x2 + 7 35++xx 35 Ñaët()ln()ln()fx==x x xx22+ 77+ limfx ( )= 0 35+ x x x→∞ lim( )= 1 405 x→0 x2 + 7
  83. IV † Duøng baøitaäp 7.7.3.5 ()ixe lim−nnxx=∞ , lim xen = 0, ∀ ∈ xx→∞ →−∞ ln x ()limii = 0. x→∞ x 1 Baøi toaùn 109 . Tính giôùi haïn lim x x x→∞ 1 ln x ln x Ñaëtfx ( )== ln xx limfx ( )= lim= 0 x xx→∞ →∞ x 1 limx x = 1 x→∞ 406
  84. 1 Baøi toaùn 110 . Tính giôùi haïn lim x x2 x→∞ 1 2 ln x Ñaëtfx ( )== ln xx Ñaët y = x2 x →∞ y →∞ x2 lnx lnyy1/ 2 1 ln == x2 yy2 lnxy ln1/ 2 1 ln y 1 ln y limfx ( )=== lim lim lim lim 0 xxy→∞ →∞xy2 →∞ y →∞22 yy y →∞ 1 limx x2 = 1 x→∞ 407
  85. V † Duøng nguyeân taéc Hoâpital 1 Baøi toaùn 111 . Tính giôùi haïn lim(1+ 6x ) x x→0 1 ln(1+ 6x ) Ñaëtfx ( )=+ ln(1 6 x )x = x Ñaët u(x) = ln(1+6x) , v(x) = x u’(x) = 6 , v’(x) = 1 ln(16)+ x ux () u′ () x 6 limfx ( )=== lim lim lim lim 6 xx→→00xvxvx xx →→ 00()′ () x → 0 1 1 6 lim(1+= 6x ) x e 408 x→0
  86. 6 y Baøi toaùn 112 . Tính giôùi haïn lim(1+ ) y→∞ y Ñaët x = y -1 y →∞ x → 0 1 ln(1+ 6x ) Ñaëtfx ( )=+ ln(1 6 x )x = x Ñaët u(x) = 1+6x , v(x) = x u’(x) = 6 , v’(x) = 1 ln(16)+ x ux () u′ () x 6 limfx ( )=== lim lim lim lim 6 xx→→00xvxvx xx →→ 00()′ () x → 0 1 1 6 y x 6 lim(1++= )= lim(1 6x ) e 409 yx→∞y →0
  87. VI † GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ ee2nn− + 3 Baøi toaùn 113 . Tính giôùi haïn lim n→∞ 35e2n + ee2xx−+3 Ñaëtfx ( ) = 35e2x + ee22xx−+3(13)13 e x − e−− x + e 2 x − e −− x + e 2 x == 35eeee2222xxxx++ (35)−− 35 + ee2nn−+31 lim = n→∞ 353e2n + 410
  88. −5n Baøi toaùn 114 . Tính giôùi haïn lim n 73n+ n→∞ −5x −−55x 73x+ Ñaëtgx ( )== ln x ln x Ñaëtfx ( ) = x 73xx++ 73−1 −5 limgx ( )==−∞ lim ln x xx→∞ →∞ 73+ x−1 limfx ( )= 0 x→∞ −5n limn 73n+ = 0 n→∞ 411