›
›

Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 8: Tích phân

pdf 57 trang huongle 5980
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 8: Tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_giai_tich_1_chuong_8_tich_phan.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán giải tích 1 - Chương 8: Tích phân

  1. T Í C H P H AÂ N 413
  2. Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa — vaø f laøm oätaù nhxaïtöø A vaøo —, ta noùi f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc ñeàu treân A neáu vaø chæ neáu "  > 0 , $ () > 0 sao cho | f(x)-f(y)| <  " x vaø y A sao cho |y - x |<() . Cho I laø moät khoaõng trong A coù chieàu daøi ñd(I) nhoû hôn (). Cho x vaø y trong I sao cho f(x ) vaø f(y) laàn löôït laø cöïc tieåu vaø cöïc ñaïi cuûa f trong I . Luùc ñoù f(y) – f (x) <  I ñd(I) < () 415
  3. Cho f laø moät haøm soá lieân tuïc treân khoaûng [a,b]. Ñaët S laø laø dieän tích cuûa hình giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa f , truïc hoaønh vaø caùc ñöôøng thaúng thaúng goùc vôùi truïc hoaønh taïi caùc ñaàu muùt a vaø b vôùi truïc hoaønh. S a b Cho moät soá thöïc döông , chuùngtaseõtínhxaápxæS vôùi sai soá nhoû hôn  . Nhöng dt(S) laøgì? Laømsaoxaùcñònhnoù? 416
  4. Ñònh nghóa. Cho moät khoaûng ñoùng [a, b]. Cho 2n+1 soá thöïc a 0, a1, , an, c1,  , cn sao cho a = a0 < a1 <  < an-1 < an = b vaø ck [ a k-1, ak] vôùi moïi k =1,  , n. Luùc ñoù ta noùi P = a0 , a1, , an-1 , an; c1, , cn laø moät phaân hoaïch cuûa khoaûng [a, b] vaø ñaët |P | = max a1 - a0 , a2- a1, , an - an-1. Ñaët P([a,b]) laø taäp hôïp taát caû caùc phaân hoaïch cuûa [a, b]. a b a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1 c n a n 417
  5. Ñònh nghóa. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät khoaûng ñoùng [a, b] vaø P = a0 ,a1,  , an-1,a n; c1,  , cn laø moät phaân hoaïch cuûa khoaûng [a , b]. Ta ñaët n SfP(,)  fc (k )( akk a 1 ) k 1 vaø goïi toång soá naøy laø toång Riemann töông öùng vôùi phaân hoaïch P . 418 a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1c n a n
  6. Ñònh nghóa. Cho P = a0,a1, , an-1,an; c1, , cn laø moät phaân hoaïch cuûa khoaûng [ a,b ]. Ta ñaët di = a i-1 vôùi moïi i trong {1,. . ., n} vaø P’ = a0,a1, , an -1,a n; d1,  , dn . Ta thaáy P’ laø moät phaân hoaïch cuûa [a,b]. d d 3 d dn-1 cd1 2 4 a b a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1 c n a n Baøi toaùn TP1. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh coù moät soá thöïc döông () sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < ().419
  7. Baøi toaùnTP1.Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh coù moät soá thöïc döông () sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| 0, coù’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y [a, b], |y-x| < ’(’). n 1 n 1 SfP(, ') fa ( )( a a ) SfP(, )  fc (kk )( a 1 a k )  kk 1 k k 0 k 0 nn 11 |(,)(,')||()()()()|SfPSfP  fcaakk 11 k faaa kk420 k kk 00
  8. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| 0, coù’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y [a, b], |y-x| < ’(’). nn 11 |(,)(,')||()()()()|SfPSfP  fcaakk 11 k faaa kk k kk 00 nn 11 | [f (cfaaakkkk ) ( )]( 11 )| | fcfaaa ( kkkk ) ( )|( ) kk 00 d3 d d cd1 d2 4 n-1 a b a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1 c n a n n 1 |SfP ( , ) SfP ( , ') | '( akk 1 a ) '( b a ) neáu | P | '( ') k 0 421
  9. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,P’)| 0, coù’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| 0, ñaët ’= (b-a)-1 . Ta coù ’(’) > 0 . Ñaët () = ’(’). Ta coù |S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < (). 422
  10. Ñònh nghóa. Cho P = a0,a1, , an-1,an; a0, , an-1 vaø Q = d0,d1, , dm-1,dm ; d0 ,  , dm-1 laø caùc phaân hoaïch cuûa khoaûng [a,b]. Ta noùi P  Q neáu vaø chæ neáu a0,a1, , an-1,an }  d0,d1, , dm-1,dm} d d d d d d d d d d m-2 d d 0 d1 2 3 4 6 7 8 9 10 m-1 m a b a a0 a1 a2 a3 an -1 n Baøi toaùn TP2. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a , b], vaø  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh coù moät soá thöïc döông ( ) sao cho |S(f,P’) - S(f,Q’ )| <  P, Q P ([a, b]), P’  Q’ |P| <  () 423
  11. d d d d d d d d d dm-2 d d 0 d1 2 3 4 6 7 8 9 10 m-1 m a b a a0 a1 a2 a3 an -1 n Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| < P, Q P ([a, b]),P’  Q’ |P| < () m 1 SfQ(, ')  fd (kk )( d 1 d k ) k 0 nn 11 SfP(,')  fa ()(j ajj 11 a ) fa () j ( d kk d ) jjada 00jkj 1 n 1  fa()(jk d 1 d k ) jada 0 jkj 1 424
  12. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| < P, Q P ([a, b]),P’  Q’ |P| < () m 1 SfQ(, ')  fd (kk )( d 1 d k ) k 0 n 1 SfP(, ')  fa(jk )( d 1 d k ) jada 0 jkj 1 n 1 SfQ(, ')  fd(kk )( d 1 d k ) jada 0 jkj 1 n 1 |(,SfQ ')(,')|| SfP  [(fdkjkk ) fa ( )]( d 1 d )| jada 0 jkj 1 425
  13. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| 0, coù’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| < ’  x,y [a, b], |y-x| < ’(’). n 1 |(,SfQ ')(,')| SfP  '(d d )neáu| P |  '(')  kk 1 426 jada 0 jkj 1
  14. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’)| 0, coù’(’) > 0 sao cho |f(y) - f(x)| 0 , ñaët ’= (b-a)-1  , ta coù ’(’). Ñaët 427 () = ’(’)
  15. Baøi toaùnTP3.Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø  laø moät soá thöïc döông. Chöùng minh coù moät soá thöïc döông ( ) sao cho |S(f,P) - S(f,Q )| 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| 0, coù () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,P’ )| 0, coù () > 0 sao cho |S(f,Q’) - S(f,P’ )| < P, Q P ([a, b]),P’  Q’, |P| < () 428
  16. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| 0, coù’(’) > 0 sao cho |S(f,R) - S(f,R’)| 0, coù”(”) > 0 sao cho |S(f,U’) - S(f,V’)| < ”  U, V P ([a, b]), U’  V’, |U| < ”( ”) |S(f,P) - S(f,Q)| |S(f,P) - S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q’)| + + |S(f,Q’) - S(f,Q)| < 2 ’+ |S(f,P’) - S(f,Q’)|  P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’) . Ta öôùc löôïng |S(f,P’) - S(f,Q’)| 429
  17. Ta öôùc löôïng |S(f,P’) - S(f,Q’)| Cho ”> 0, co ù”(”) > 0 sao cho |S(f,U’) - S(f,V’)| < ”  U, V P ([a, b]), U’  V’, |U| < ”( ”) Neáu P vaø Q laø caùc phaân hoaïch cuûa [a,b] thaønh caùc ñoaïn coùñaà um uù tlaà nlö ôïtlaø{ a 0,a1, . . .,an} vaø {d0,d1, . . .,d m}, choïn V laø moät phaân hoaïch cuûa [a,b] thaønh caùc ñoaïn coù ñaàu muùt laø {a0 ,a1, . . .,an,d0 ,d1, . . .,dm}. S(f,P’ ) - S (f,Q’ )| S(f,P’) - S (f,V’ )| + S (f,Q’) - S(f,V’)| S(f,P’) - S(f,Q’)| < 2”  P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”) 430
  18. Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| 0, ñaët ’= ”= 4-1 , vaø () = min{’(’),”(”)} 431
  19. Ñònh nghóa. Cho moät khoaûng ñoùng [a, b], ñaët -1 a n,k = a + n k(b-a )  n  , k = 0,1, . . ., n. Pn = {an,0 , an,1,. . .,b; an, 0 , an, 1,. . ., an,n-1} Ta goïi Pn laø phaân hoaïch ñeàu thöù n cuûa ñoaïn [a,b] a b Baøi toaùn TP4. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a , b], ñaët s n = S (f,P n) vôùi moïi soá nguyeân n. Chöùng minh { sn} hoäi tuï veà moät soá thöïc s. Cho moät  > 0, tìm moät soá nguyeân N sao cho |sn –sm | m N 432
  20. Cho moät  > 0, tìm moät soá nguyeân N() sao cho |sn –sm | m N() Cho moät  > 0, tìm moät soá nguyeân N() sao cho |S(f,Pn) –S(f,Pm) | m N() Cho ’> 0, coù’(’) > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| m M(’) |S(f,Pn) –S(f,P m) | m M(’) Cho  > 0, choïn ’= . Ta coù M(’). Ñaët N() = M(433’)
  21. Baøi toaùnTP5.Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], ñaët s nhö trong baøi toaùn TP4. Chöùng minh :  > 0 ,  () > 0 sao cho | S(f,P) – s | 0, tìm moät () > 0 sao cho |S(f,P) –s | 0, tìm moät soá nguyeân N(’) sao cho |S(f,Pn) –s | 0, tìm ’(”) > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| < P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(”) 434
  22. Cho moät  > 0, tìm moät () > 0 sao cho |S(f,P) –s | 0, tìm moät soá nguyeân N(’) sao cho |S(f,Pn) –s | 0, tìm ’(”) > 0 sao cho |S(f,P) - S(f,Q)| 0, ñaët ’= ”= 2-1 . Choïn () = ’( ”) vaø moät -1 soá nguyeân n sao cho n N(’) vaø |P n| = n (b-a) < ’( ”) : 435 |S(f,P) –s | < P P ([a , b]), |P| < ().
  23. Ñònh nghóa. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät khoaûng ñoùng [a,b]. Ta noùi f khaû tích Riemann neá ucoùm oätsoá thöïc sao cho vôùi moïi soá  > 0 , ta coù moät  > 0 ñeå cho | - S (f,P)|   P P ([a , b]) vôùi |P |  a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1c n a n |P | = max a1 - a0 , a2- a1, , an - an-1. Luùc ñoù ta goïi laø tích phaân cuûa f treân [a, b] vaø kyù hieäu laø b 436 za ftdt()
  24. ab Ta kyù hieäuf (tdt ) f ( tdt ) ba Ñònh lyù. Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [ a, b ] . Luùc ñoù f khaû tích . Integrate[f(x), x,a,b ] : tính tích phaân Riemann NIntegrate[f(x), x,a,b] : tính xaáp xæ tích phaân 3 In[1]:= Integrate x * ArcTan x , x, 0, 1 Out[1]= 1 - 6 1 xarctgxdx3 1 z 6 437 0
  25. In[3]:= Integrate x^3 * ArcTan x , x, 0, 6 Out[3]= -198 + 3885 ArcTan[6] 12 In[4]:= NIntegrate x^3 * ArcTan x , x, 0, 6 Out[4]= 438.578 6 198 3885arctg 6 z xarctgxdx3 438, 578 0 12 438
  26. Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b] . Luùc ñoù f khaû tích. Ñeå giaûi caùc baøi toaùn lyù thuyeát veà tích phaân cuûa f , chuùng ta laøm nhöõng böôùc sau Vôùi moïi soá nguyeân n, choïn phaân hoaïch Pn cuûa [a,b] -1 -1 a , a + n (b - a),  , a + (n -1)n (b - a) , b ; a + n-1(b - a ), , a + (n-1)n-1(b - a) , b} Xöû lyù baøi toaùn döïa treân toång Riemann S(f,Pn) n ba ba ba SfP(,n )  fak ( ) ñda ([ ( k 1) , ak ]) k 1 nnn n baba  fa() k k 1 nn b Duøng tính chaát limSfP ( , ) fxdx ( ) 439 n a n
  27. Baøi toaùn114.Cho f vaøg laø caùc haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø  laø caùc soá thöïc . b b b Chöùng minh z (  f g )() tdt z f () tdt  z gtdt () a a a -1 -1 Cho Pn = a , a + n (b - a), , a + (n -1)n (b - a) , b ; -1 -1 a + n (b - a), , a + (n-1) n (b - a) , b} laø phaân hoaïch cuûa khoaûng ñoùng [a, b]. n b-a b-a Sf()()()  g,Pn   f gak k 1 nn n b-a b-a b-a [(fa k )  ga ( k )] k 1 nnn 440
  28. n b-a b-a Sf()()()  g,Pn   f gak k 1 nn n b-a b-a b-a [(fa k )  ga ( k )] k 1 nnn n baba Sf,P() nn fak ( ) Sf,P () k 1 nn n baba Sg,P()  nn gak ( ) Sg,P () k 1 nn 441
  29. bbb ( f g )() xdx f () xdx  gxdx () aaa 442
  30. Baøi toaùn116.Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a ,b ] vaø c (a,b ). Ta coù bcb f ()tdt f () tdt f () tdt aac ca ca ca ca Qaaancaanc {, , , ( 1) , ; , , ( 1) ,} n nnnn bc bc bc bc R {,cc , , cn ( 1) , bc ; , , cn ( 1) , b } n nnnn ca ca bc bc Paa {, , , an ( 1) ,, cc , , cn ( 1) , b ; n nnnn ca ca bc bc aancccnb ,, ( 1),, ,, ( 1),}443 nnnn
  31. ca ca ca ca Qaaancaanc {, , , ( 1) , ; , , ( 1) ,} n nnnn bc bc bc bc R {,cc , , c ( n 1) , b ; c , , c ( n 1) , b } n nnnn ca ca bc bc Paa {, , , an ( 1) ,, cc , , cn ( 1) , b ; n nnnn ca ca bc bc aancccnb ,, ( 1),, ,, ( 1),} nnnn 444
  32. nncaca bcbc SfP(,n )  fa ( k ) fc ( k ) kk 11nn nn n caca n bcbc SfQ(,n )  fa ( k ) SfR(,n )  fc ( k ) k 1 nn k 1 nn 445
  33. nncaca bcbc SfP(,n )  fa ( k ) fc ( k ) kk 11nn nn n caca n bcbc SfQ(,n )  fa ( k ) SfR(,n )  fc ( k ) k 1 nn k 1 nn bc b f ()xdx f () xdx f () xdx aac 446
  34. Baøi toaùn117.Cho f vaø g laø hai haøm soá thöïc lieân tuïc treân [ a, b] . Giaû söû f( x) g (x )  x [a, b ]. Chöùng minh bb f ()tdt gtdt () aa n baba Sf,P()n  f ( a k ) k 1 nn n baba Sg,P()n  ga ( k ) k 1 nn bb f ()tdt gtdt () aa 447
  35. Baøi toaùn118.Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân [a, b] . Chöùng minh b b |()||()|z ftdt z ftdt a a n baba Sf,P()n  f ( a k ) k 1 nn n baba Sf|,P(| n )  |fak ( )| k 1 nn b b |()||()|z f t dt z f t dt a a 448
  36. Baøi toaùn119.Cho f laø moäthaømsoá thöïc lieân tuïctreân moät khoaûng [a, b]. Ñaët x Gx()  ftdt () x [,] ab a Chöùng minh G laø moät haøm soá lieân tuïc treân [a, b] Cho moät  > 0 , tìm moät  () > 0 sao cho |G(x) – G(y) | < x , y [a, b] , |x – y | < () xy y G( x ) G ( y ) f () t dt f () t dt f () t dt  y x aa x yy |()Gx Gy ()|| ftdt ()| |()| ft dt  y x xx 449
  37. Cho moät  > 0 , tìm moät () > 0 sao cho |G(x) – G(y) | < x , y [a, b] , |x – y | < () yy |()Gx Gy ()|| ftdt ()| |()| ft dt  y x xx Vì f lieân tuïc treân [a,b], neân coù moät soá thöïc döông M : | f(t) | M  x , y [a, b] y |()Gx Gy ()| |()| ft dt M | y x |  x () = M-1  |G(x) – G(y) | < x , y [a, b] , |x – y | < () 450
  38. Baøi toaùn 120. Cho c laø moät soá thöïc vaø f (x) = c vôùi moïi b x [ a, b] . Chöùng minh fxdx() cb ( a ) a nnbaba ba Sf,P()n  f ( a k ) c c(b a) kk 11nn n Sf(,Pn )= cb()- a b b f ()xdx cb ( a ) fx ( )d x a a 451
  39. Baøi toaùn121.Cho f laø moäthaømsoá thöïc lieân tuïctreân x moät khoaûng [a, b]. Ñaët Gx()  ftdt () x [,] ab . Chöùng minh G khaû vi treân (a,b)vaaøG’(x)=f (x) x (a,b) Gx()() h Gx Gx()() h Gx lim f (x ) lim | fx ( ) | 0 h 0 h h 0 h xh x Gx()() h Gx f() t dt f () t dt 1xh h > 0 aa= f (tdt ) hhh x xh 1 xh f ()xdt f () xh f ()=xfxdt () x h x Gx()() h Gx 1xh 1xh fx() ftdt () fxdt () hhh xx452
  40. Gx()() h Gx 1xh 1xh fx() ftdt () fxdt () hhh xx 1 xh [ft ( )- fx ( )] dt h x Cho moät  > 0, tìm () > 0 sao cho  hh,0 | | () Gx()() h Gx 1 xh |()||[()-()]| fx ft fx dt  hh x 11xh xh |[()-()]||[()-()]|ft fx dt ft fx dt hh xx|| 1 xh |ft ( )- fx ( ) | dt ||h x 453
  41. Cho moät  > 0, tìm () > 0 sao cho  hh,0 | | () Gx()() h Gx 1 xh |()||[()-()]| fx ft fx dt  hh x 11xh xh |[()-()]||[()-()]|ft fx dt ft fx dt xx h > 0 hh|| 1 xh |ft ( )- fx ( ) | dt ||h x Cho moät  > 0, tìm () > 0 sao cho 1 xh |()-()|ft fx dt   hh,0 | | () ||h x 454
  42. Cho moät  > 0, tìm () > 0 sao cho 1 xh |()-()|ft fx dt   hh,0 | | () ||h x Cho moät ’ > 0, coù moät ’(’) > 0 sao cho |f(u)-f( v)| 0 u = t , v = x x t x+h 111xh xh | f ()-tfxdt ( ) |     'dt 'h ' 0 h ' ( ' ) hhh xx Cho  > 0 , ñaët ’=  > 0 coù ’(’) > 0 ñaët ()= ’(’) Cho moät  > 0, tìm ñöôïc () > 0 sao cho Gx()() h Gx |()|,||() fx h h 455 h
  43. Baøi toaùn122.Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân [a,b]. Giaû söû coù haøm soá v lieân tuïc treân [a,b ] vaø khaû vi treân (a,b) vaø v’(x )=f( x) vôùi moïi x (a, b) . Luùc ñoù x f ()tdt vx ( ) va ( )  x [ ab , ] a x ÑaëtGx ( )  ftdt ( ) , ux ( ) vx ( ) va ( ) Gx ( ) x [ ab , ] a u'(x) v'(x) G'(x)= f( x ) - f( x ) =0  x() a,b  t (a, b),  x (a, b) : u(t) – u(a) = u’(x)(t – a) = 0 u( t) = u(a ) = 0  t [ a, b) u lieân tuïc treân [a,b ] ub() lim() ut 0 x tb 0()() vx va ftdt ()  x [,] ab u(t) = 0 t [a,b] a 456
  44. Baøi toaùn123.Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân [a,b]. Giaû söû coù haøm soá v lieân tuïc treân [a,b ] vaø khaû vi treân (a,b) vaø v’(x )=f( x) vôùi moïi x (a, b) . Luùc ñoù x vx()  ftdt () va () x [,] ab a Ñònh nghóa. Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân [a,b]. Cho haøm soá v lieân tuïc treân [ a,b] vaø khaû vi treân (a,b) vaø v’(x)= f(x) vôùi moïi x (a , b). Luùc ñoù ta noùi v laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a,b), coùmoäthaèngsoác x vx()  ftdt () c x [,] ab x a f (tdt ) la øtích phaân xaùc ñònh cuûa ftreân [ ax , ] a 457
  45. Baøi toaùn 123 giuùp ta tính tích phaân cuûa moät haøm soá f lieân tuïc treân moät khoaûng [a, b] nhö sau : tìm moät haøm soá v lieân tuïc treân [a,b ] vaø khaû vi treân (a, b) vôùi v’( x) = f(x ) vôùi moïi x ( a,b) . Luùc ñoù b f ()tdt vb ( ) va ( ) a 3 Baøi toaùn 124 . Tính (x73 xdx 5) 0 1184 Ñaëtvx ( ) 84 x x5 x vôùi moïi x [0,3] Duøng nhaän xeùt beân treân ta coù 3 3 6519 xx73 dxv v 11 x 8 x 4 x (5)(3)(0)(5)84 0 0 458 8
  46. Baøi toaùn125. Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a , b]. Luùc ñoù coù c (a , b) sao cho b f ()xdx f ()( c b a ) a x ÑaëtGx ( )  ftdt ( ) x [ ab , ] a G lieân tuïc treân [a, b] , khaû vi treân (a, b) vaø G’(x) = f(x) vôùi moïi x trong (a, b). Coù c ( a, b) : G (b ) –G(a) = G’(c)(b-a) = f(c)(b-a) ba b Gb() Ga () fxdx () fxdx () fxdx () aa a b f ()xdx f ()( c b a ) 459 a
  47. Baøi toaùn126.Cho u vaøv laø caùc haøm soá thöïc khaû vi lieân tuïc treân (c, d), vaø cho moät khoaûng [a, b ] chöùa trong (c, d). Ta coù bb utv() () tdt [()() ubvb uava ()()] u ()() tvtdt aa Ñaët G(s) = u(s)v(s) vôùi moïi s (c, d) . ta coù G’(x) = u‘(x)v(x) + u(x)v’(x) vôùi moïi x [a, b] b G( b ) G( a ) G'( t )dt a b u(b)v(b) u(a)v(a)[] u(t)v'(t) u(t)v(t) dt a bb u(t)v'(t)dt u(t)v(t)dt 460 aa
  48. Baøi toaùn 126 cho ta phöông phaùp tính tích phaân töøng phaàn cho caùc haøm soá coù daïng tích: (ña thöùc).(bieåu thöùc löôïng giaùc) (ln x, arctg x, arcsin x, arccos x). (ña thöùc) Baøi toaùn 127 . Tínhxxdx cos 0 Ñaët u(x) = x vaø v(x) = sin x u’(x) = vaø v’(x) = cos x xcos xdx u ( x ) v ( x ) dx 00 uv()() uv (0)(0) uxvxdx ()() 0 sin(xdx ) cos cos0 2 461 0
  49. Ñònh lyù (Taylor) . Cho a, b, c vaø d laø caùc soá thöïc sao cho [c,d ]  (a,b), vaøf laø moät haøm khaû vi ñeán caáp n treân khoaûng môû (a,b), vôùi n 1. Ñaët g (x) = f(x) – Pn- 1(x,c ) vôùi moïi x trong (c, d) . Luùc ñoù n 1 ()kn 1 fc()d ( dx ) f ()dfc () ( dc )knfxdx() ()  c k 1 kn!(1)! g(x) = f(x) - Pn-1(x,c)  x (c,d). Luùc ñoù n 1 d ()dx gd() f()n () xdx c (1)!n 462
  50. ()kn 1 n 1 fc()d ( dx ) f ()dfc () ( dc )knfxdx() ()  c k 1 kn!(1)! d n = 1 : f ()dfc () fxdx(1) () c Giaû söû n = m 1 ñuùng : ()km 1 m 1 fc () d ( dx ) f ()dfc () ( dc )kmfxdx() ()  c k 1 km!(1)! Xeùt n = m +1 ()km m fc()d ( dx ) f ()dfc () ( dc )km f(1) () xdx ?  c k 1 km!! 463
  51. ()km 1 m 1 fc()d ( dx ) f ()dfc () ( dc )kmfxdx() ()  c k 1 km!(1)! Xeùt n = m +1 ()km m fc()d ( dx ) f ()dfc () ( dc )km f(1) () xdx ?  c k 1 km!! d mm 1 d ()dx ()dx fxdx()mm() fx ()() c (1)!mm ! c m d ()dx f (1)m ()xdx c m! mm d ()dc ()mm () dx ( 1) fc() f() xdx 464 mm!! c
  52. Baøi toaùn128 .Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng [a,b], h laø moät haøm soá thöïc khaû lieân tuïc treân khoaûng (p,q), vaø khoaûng [c ,d]  ( p,q). Giaû söû h([c ,d]) chöùa trong [a, b]. Chöùng minh dh()d fhshsds(())'() fxdx () ch()c Choïn u sao cho u’ = f . Ñaët v = uoh . v’(s) = u’(h(s ))h’ (s ) v’(s ) = f(h(s ))h’(s) dd f (())()hs h sds v () sds vd ( ) vc () cc uhd(()) uhc (()) hd() hd() f ()xdx u () xdxuhd (()) uhc (()) 465 hc() hc()
  53. Ñònh nghóa. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät khoaûng môû (a , b) . Giaû söû d z ftdt() xaùc ñònh vôùi moïi [c, d]  (a, b). c Coù moät soá thöïc sao cho vôùi moïi soá thöïc döông  ta tìm ñöôïc moät soá thöïc döông  ñeå cho d | - z ftdt() | <  khi | a - c |  vaø | d - b| . c Luùc ñoù ta noùi laø tích phaân suy roäng cuûa f treân (a,b) vaø vaãn kyù hieäu noù laø b z ftdt() a ÔÛû ñaây ta coù theå xeùt a baèng - hoaëc b coù theå baèng . 466
  54. 1 Baøi toaùn 129. Chofx ( ) vôùi moïix (0,1). x 1 Chöùng minhf khaû tích treân (0,1) vaø tínhfxdx ( ) . 0 d z ftdt() xaùc ñònh vôùi moïi [c, d]  (0,1). c Coù moät soá thöïc sao cho vôùi moïi soá thöïc döông  ta tìm ñöôïc moät soá thöïc döông  ñeå cho d | - z ftdt() | <  khi | 0 - c |  vaø | 1 - d| . c d 1 d dx =2 x 2(d c ) 2 khi d 1 vaø467 c 0 c x c
  55. 1 Baøi toaùn 130. Chofx ( ) vôùi moïi x . 1 x2 Chöùng minhf khaû tích treân vaø tínhfxdx ( ) . d z ftdt() xaùc ñònh vôùi moïi [c, d]  (- , ) c Coù moät soá thöïc sao cho vôùi moïi soá thöïc döông  ta tìm ñöôïc moät soá thöïc döông M ñeå cho d | - z ftdt() | <  khi c - M vaø M d. c d 1 d dx =arctg arctgd - arctg c khi d vaø 468 c - c 1 x2 c
  56. Cho a, b, a1 , , an trong  sao cho a = a1<a2 < < an= b. n 1 Cho f laø moät haøm soá lieân tuïc treân Aaa (, i i 1 ). Luùc ñoù i 1 f ñöôïc goïi laø moät haøm soá lieân tuïc töøng ñoaïn treân (a, b). Ñònh nghóa. Cho f laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc töøng n 1 ñoaïn treân moät khoaûng môû (a, b) (vôùi Aaa (,i i 1 )). Giaû i 1 söû tíchphaânsuyroängcuûaf treân caùc khoaûng (a1 ,a2), . . ., (an-1 ,an). Luùc ñoù ta noùi tích phaân Riemann cuûa f treân b (a, b) xaùc ñònh, ñöôïc kyù hieäu laø f ()tdtvaø coù trò giaù laø a n 1 a  zai 1 ftdt() 469 i 1 i