Giáo trình Toán Giải tích (Phần 2)

119 trang huongle 5080

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán Giải tích (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_giai_tich_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán Giải tích (Phần 2)

Toaùn cao caáp : Giaûi tích 101 Chöông VI TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH I. Nguyeân haøm - tích phaân baát ñònh : 1. Ñònh nghóa : Cho caùc haøm soá f, F xaùc ñònh treân [a, b ]. F ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) neáu F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b). F goïi laø nguyeân haøm cuûa f treân [a, b ] neáu: F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) vaø F’(a +) = f(a), F’(b -) = f(b) Ví duï: • (- cosx) laø nguyeân haøm cuûa sinx vì (-cosx)’ = sinx • (- cosx + 7) cuõng laø nguyeân haøm cuûa sinx. x3 x3 x3 • , − 5 , − C laø nhöõng nguyeân haøm cuûa x 2 vì: 3 3 3 / / / x3 x3  x 3  = −5  = − C  = x 2 3 3  3  2. Ñònh lyù: Neáu haøm soá f lieân tuïc treân [a, b ] thì f coù nguyeân haøm treân [a, b ]. 3. Ñònh lyù: Giaû söû F laø nguyeân haøm cuûa f treân (a, b). Khi ñoù: i) F + C (C laø haèng soá) cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b). ii) Neáu G laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) thì G(x) = F (x) + C, ∀x ∈ (a, b). Chöùng minh : i) (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) ⇒ F + C laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) ii) [G(x) - F(x) ]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, ∀x ∈ (a, b)
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 102 ⇒ G(x) - F(x) = C (haèng soá), ∀x ∈ (a, b) ⇒ G(x) = F(x) + C, ∀x ∈ (a, b) Ghi chu ù: • Ñònh lyù treân vaãn ñuùng neáu thay (a, b) baèng [a, b ]. • Neáu f coù moät nguyeân haøm thì f coù voâ soá nguyeân haøm vaø 2 nguyeân haøm baát kyø cuûa cuøng moät haøm thì sai khaùc nhau moät haèng soá. 4. Ñònh nghóa : Taäp hôïp taát caû nhöõng nguyeân haøm cuûa f treân [a, b ] ñöôïc goïi laø tích phaân baát ñònh cuûa f treân [a, b ], kyù hieäu: ∫ f( x ) dx . Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f thì ∫ f( x ) dx =F( x ) + C . II. Tính chaát cuûa tích phaân baát ñònh : Cho f, g laø caùc haøm soá coù nguyeân haøm treân (a, b). Khi ñoù: d i) f() x dx= ( f () x dx )' =fx() dx ∫ ∫ ii) d∫ f( x ) dx =f( x ) dx iii) ∫( fx()()± gx) dx = ∫ fxdx () ± ∫ gxdx () iv) ∫kf() x dx =kfx ∫ ( ) dx , k ∈ ℝ n n = Heä quaû: ∫∑kfxdxii() ∑ k ii ∫ fxdx () i=1 i = 1 v) Neáu F’(x) = f(x) thì ∫F'() x dx= ∫ dF () x =Fx( ) + C = ∫ f( x) dx vaø ∫fydy( ) =+ Fy( ) C, ∫ ftdt () =+ Ft( ) C , Chöùng minh : Daønh cho ñoäc giaû (suy ra töø tính chaát ñaïo haøm). III. Caùc coâng thöùc tích phaân baát ñònh cô baûn :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 103 1. ∫ 0dx =C 2. ∫ adx = ax+ C xn+1 3. xn dx = + C () n≠ -1 ∫ n +1 dx (lnx )' , x > 0 4. ∫ = ln x + C ( vì (ln |x| + C)’ = (ln |x|)’ =  x ln(−x )', x 0  x 1 =  = , x ≠ 0) 1 1 x − =,x < 0  −x x 5. ∫ ex dx = e x + C / ax ax  6. ∫ ax dx = +C (vì   = a x) ln a ln a  7. ∫sinxdx = - cosx + C 8. ∫ cosxdx = sinx+ C 1 9. dx = (1+tg2 x ) dx = tgx + C ∫ cos 2 x ∫ 1 10. dx = (1+ cotg2 x ) dx =− cot gx + C ∫ sin 2 x ∫ dx 11. = arctgx + C ∫ 2 1+ x dx 12. ∫ = arcsinx + C 1− x2 −n + 1 dx − x −1 13. = xn dx = + C = + C ( n ≠ 1) ∫ n ∫ n−1 x −n + 1 (n− 1) x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 104 dx ∫ = x + C 2 x sin x −d(cos x ) 14. tgxdx = dx = =-ln cosx + C ∫ ∫ cos x ∫ cos x cos x d(sin x ) 15. cotgxdx = dx = =ln sinx + C ∫ ∫ sin x ∫ sin x dx x 16. ∫ =arcsin + C a2− x 2 a dx1 x 17. =arctg + C ∫ ax2+ 2 a a dx 18. ∫ =ln x + x2 ++ bC x2 + b dx1 x− a 19. =ln + C (a ≠ 0) ∫ xa2− 2 2 a xa + dx1 x− b 20. =ln + C (a ≠ b) ∫ (xaxb−− )( ) ba − xa − x a2 x 21. axdx22−= ax 22 −+ arcsin + C (a ≠ 0) ∫ 2 2 a x a 2 22. axdx22+ = ax 22 ++ln xaxC +++ 22 ∫ 2 2 IV. Vaøi ví duï: x4−5 xx 3 − 2 + 3 x + 7 a. dx ∫ x2 +1 8x + 9  = x2 −5 x − 2 +  dx ∫x2 +1 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 105 x35 x 2  8 x + 9  = − −2x +   dx 3 2∫x2 + 1  x35 x 2 4.2 xdx dx = −−+2x + 9 32∫x2+ 1 ∫ x 2 + 1 xx35 2 dx ( 2 + 1) = −−+2x 4 + 9 arctgx + C ∫ 2 3 2 x +1 x35 x 2 = − −+2x 4 ln( x2 ++ 1) 9 arctgx + C 3 2 1 1 b. ∫ (x2 + x ) x x dx = ∫(x2 + x ) x2 x 4 dx 3 3 11 7 15 11 (2+ ) (1 + )  4 4 = ∫x4+ x 4  dx = ∫ x4+ x 4 dx = x4+ x 4 + C   15 11 (e3 7) x e3x7 x c. e3x7 x dx = (e3 7)x dx = = + C ∫ ∫ lne3 7 3+ ln7 dx d( x+ a ) d. = =ln x+a + C ∫ x+ a ∫ x+ a sin xdx tgxdx tg2 x e. = = tgxd( tgx ) = + C ∫ cos 3 x ∫ cos 2 x ∫ 2 Caùch khaùc : sin xdx −d(cos x ) 1 = = + C ∫ cos 3 x ∫ cos 3 x 2 cos 2 x 1 tg2 x = (1+ tg2 x ) + C = + K 2 2 dx( x+ x 2 + 1) 2 f. ∫ ∫ 2 dx −2 + 2 2 2 (x x 1) x−( x + 1)  = ∫ (x2+ 2 x x 2 +++ 1 x 2 1) dx
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 106 x3 1 = 2+x + u2 du (u = x 2 + 1 ⇒ du = 2xdx) 3 ∫ 1 +1 x3 u 2 2 2 3 = 2 +x + + C = x3+ x +( x 2 + 1) 2 + C 1 3 +1 3 3 2 dx dx 1(xa+ )( − xa − ) g. = = dx ∫ x2− a 2 ∫ (x− a )( x + a ) 2a∫ ( xaxa− )( + ) 1 1 1  1 = −  dx = [ln |x - a | - ln |x + a |] + C 2a∫ xa− xa +  2a 1 x− a = ln + C ( a ≠ 0 ) 2a x+ a h. ∫ tg2 xdx = ∫ (tg2 x+ 1 − 1) dx = tgx - x + C i. ∫ tg5 xdx = ∫ (tg5 x+ tg 3 x − tg 3 x + tgx − tgx ) dx = ∫tg3 x( tg 2 x+− 1) dx ∫ tgx ( tg 2 x ++ 1) dx ∫ tgxdx tg4 x tg 2 x = − − ln cosx +C 4 2 V. Phöông phaùp tính tích phaân baát ñònh : 1. Phöông phaùp ñoåi bieán : a. Giaû söû f laø haøm soá coù nguyeân haøm treân mieàn D. Ñaët x = ϕ(t), vôùi ϕ laø haøm khaû vi ñôn ñieäu ñoái vôùi bieán t vaø mieàn giaù trò cuûa ϕ(t) chöùa trong D. Khi ñoù: ∫f() x dx= ∫ f (())'()ϕ t ϕ t dt Ví duï: sin 3 x 1) ∫ dx Ñaët: x = t 3 ⇒ dx = 3t 2dt , 3 x2 = t 2, 3 x = t 3x 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 107 (sint )3 t2 dt ⇒ I= = 3sintdt = -3cost + C = -3cos 3 x + C ∫ t2 ∫ 2) I = ∫ a2− x 2 dx (a > 0) , a 2 - x 2 ≥ 0 ⇔ - a ≤ x ≤ a π π x Ñaët : x = asint vôùi − ≤t ≤ ⇒ dx = acostdt ⇒ sint= 2 2 a ⇒ I = ∫ a2− x 2 dx = ∫ a2− a 2sin 2 t acostdt = ∫ acos2 ta cos tdt = ∫ a2 cos t cos tdt = ∫ a2cos 2 tdt π π  (vì t ∈ − , ⇒ cost ≥ 0 ⇒ |cost | = cost ) 2 2  a2 (1+ cos2 t ) a2 a 2 = dt = t+ sin 2 t + C ∫ 2 2 4 a2 x a 2 = arcsin+ 2sint cos t +C 2a 4 a2 xax 2 x 2 = arcsin+ 1 − + C 2a 2 a a 2 a2 x x = arcsin+a2 − x 2 + C 2a 2 b. Ñaët u = h(x) vôùi h khaû vi lieân tuïc. Ta coù: ∫ghx( ( )) h '( xdx )= ∫ gudu ( ) 3  18 Ví duï : 1) ()35x7+ x 8 + 5 x  dx ∫ 8  3x8 Ñaët : u = + 5x ⇒ du = (3x 7 + 5)dx 8 ( u = h(x) ⇒ du = h’(x)dx) u19 1 3  19 ⇒ I= u18 du = + C = x8 + 5 x  + C ∫ 19 19 8 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 108 3xdx 3xdx 2) = ∫ x4+6 x 2 + 15 ∫ (x2+ 3) 2 + 6 Ñaët : u = x 2 + 3 ⇒ du = 2xdx 3 2 xdx 3 du ⇒ I= = 2∫ (x2+ 3) 2 + 6 2∫ u2 + 6 6 u 6 x2 + 3  = arctg + C = arctg   + C 4 6 4 6  e3x dx 3) I = Ñaët : u = e x ⇒ du = e xdx ∫ e2x +1 e3x dx e2x e x dx u2 du u2 +1 − 1 I = = = = du ∫ e2x +1 ∫ e2x +1 ∫ u2 +1 ∫ u2 +1 du = du− =− u arctgu +=− C ex arctge x + C ∫ ∫ u2 +1 1 dx dx= 1 dx 1 a 1 du= x 4) ∫2 2 2 ∫ 2 = ∫ 2 = ∫ 2 (u ) x+ a a x  a x  a u+1 a   +1   +1 a  a  1 1 x =arctanu += C arctan + C a a a dx dx dx 5) ∫ = ∫ = ∫ a2− x 2 2  x  2 2 − x  − a 1    a 1   a   a  du x  x = ∫ u==  arcsin uC += arcsin + C (a>0) 1− u2 a  a dx 6) ∫ = ln x+ x2 + b + C x2 + b x2 + b + x Ñaët u = x + x2 + b ⇒ du = dx x2 + b
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 109 dx du du ⇒ = = x2 + b x2 + b + x u dx du ⇒ ∫ = ∫ = ln |u| + C = ln x+ x2 + b + C x2 + b u 2. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn : Cho u= ux( ), v = vx( ) laø caùc haøm khaû vi vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc. Khi ño ù: ∫udv= uv − ∫ vdu Chöùng minh: Ta coù: d(uv) = vdu + udv ⇒ ∫d( uv ) = ∫ udv + ∫ vdu Suy ra ∫udv= uv − ∫ vdu Thoâng thöôøng ñeå tính : ∫ f( x ) dx , ta phaân tích : f(x)dx = udv sao cho tính ñöôïc caùc tích phaân ∫ vdu vaø∫ dv . Nhaän xeùt : ex  ex      • Daïng: ∫ p( x ) cos x  dx . Ñaët u = p(x) vaø dv = cosx  dx     sin x  sin x  ln x    • Daïng: ∫ p( x )  arctgx  dx .   arcsin x  ln x    Ñaët u= arctgx  vaø dv =p(x)dx   arcsin x  Ví duï: a) ∫ x2 ex dx
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 110 Ñaët: u = x 2 ⇒ du = 2xdx dv = e xdx, choïn v = e x (dv = e xdx ⇒ v = e x + C, choïn C = 0) Do ñoù : ∫ x2 ex dx = uv - ∫ vdu = x 2ex - ∫ 2xex dx Ñaët: u = 2x ⇒ du = 2dx; dv = e xdx, choïn v = e x ⇒ ∫ x2 ex dx = x 2ex - [2xe x - ∫ 2ex dx ] = x 2ex - 2xe x + 2e x + C Toång quaùt : ∫ xn e x dx = x nex - nx n - 1 ex + n(n - 1)x n - 2 ex + + (-1) n - 1 n! xe x + (-1) nn! e x + C dx b) lnxdx Ñaët :u = lnx ⇒ du = ; ∫ x dv = dx, choïn v = x xdx lnxdx = xlnx - = xlnx - x + C ∫ ∫ x c) ∫ xn ln xdx , n ≠ -1 1 xn+1 Ñaët : u = lnx ⇒ du = dx; dv = x ndx, choïn v = x n +1 xn+1 x n + 1 xn+1 x n + 1 xn ln xdx = lnx− dx = lnx − + C ∫ n+1∫ ( n + 1) x n+1 ( n + 1) 2 d) I= ∫ x3 sin xdx Ñaët: u = x 3 ⇒ du = 3x 2dx dv = sinxdx, choïn v = -cosx ⇒ I = -x3cosx + ∫3x2 cos xdx = -x3cosx + 3x 2sinx - ∫ 6x sin xdx = -x3cosx + 3x 2sinx + 6xcosx - ∫ 6cosxdx
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 111 = -x3cosx + 3x 2sinx + 6xcosx - 6sinx + C e) I = ∫ xarctgxdx dx Ñaët: u = arctgx ⇒ du = 1+ x2 1 1 dv = xdx, v = (x 2 + 1) (Choïn C = ) 2 2 1 1 1 ⇒ I= (x 2 + 1)arctgx - (x2 + 1) dx 2 ∫ 2 1 + x2 1 1 = (x 2 + 1) arctgx - x +C 2 2 f) ∫ a2− x 2 dx −2xdx xdx Ñaët: u = a2− x 2 ⇒ du = = − 2 ax22− ax 22 − dv = dx, choïn v = x x2 dx −x2 + a 2 − a 2 ⇒ I= x a2− x 2 −∫ − = x a2− x 2 −∫ dx a2− x 2 a2− x 2 dx 2 2 2 2 2 = x a− x - a− x dx + a ∫ 2 2 ∫ a− x dx 2 2 2 ⇒ 2I = x a− x + a ∫ 2 2 a− x x a2 x ⇒ I = a2− x 2 + arcsin + C 2 2 a Töông töï: J = ∫ a2+ x 2 dx xdx Ñaët: u = a2+ x 2 ⇒ du = , dv = dx, choïn v = x a2+ x 2 Ta coù:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 112 x2 dx x2+ a 2 − a 2 dx J = x a2+ x 2 - ∫ = x a2+ x 2 - ∫ a2+ x 2 a2+ x 2 dx ⇒2J= xa2+ x 2 + a 2 ∫ a2+ x 2 x a2 dx ⇒J= a2+ x 2 + ∫ 2 2 a2+ x 2 x a2 = a2+ x 2 + ln(x + a2+ x 2 ) + C 2 2 VI. Tích phaân caùc haøm höõu tæ : Nhaéc laïi : dx = ln |x + a | + C ∫ x+ a dx −1 = + C ∫ (x+ a ) k (k− 1)( x + a ) k−1 dx 1 x− a = ln + C ∫ x2− a 2 2a x+ a dx 1 (xx− )( − xx − ) = 1 2 dx ∫−− − ∫ −− (xxxx1 )( 221 ) xx ( xxxx 1 )( 2 ) 1 1 1  = − dx −∫ − −  x21 x xx 2 xx 1  1 x− x = ln2 +C ( x ≠ x ) − − 1 2 x2 x 1 xx 1 (Ax+ B ) dx 1. Tích phaân daïng : I= ( a ≠ 0) ∫ ax2 + bx + c A2 ax+ b Ab  dx I = dx + B −  2a∫ ax2 + bx + c 2a  ∫ ax2 + bx + c
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 113 A 2 Ab  dx = ln |ax + bx + c | + B −  2a 2a  ∫ ax2 + bx + c dx Tính: I1 = (a ≠ 0) ∫ ax2 + bx + c 1 dx 1 dx I1 = = ∫ ∫ 2 2 a 2 +b + c a b  c b x x x +  + − a a 2a  a 4 a 2 1 dx = ∫ 2 a b  ∆ x +  − 2a  4 a 2 i) Neáu ∆ 0: 2 ax + bx + c = a(x - x 1)(x - x 2) 2 vôùi x 1, x 2 laø nghieäm cuûa ax + bx + c = 0 2. Phaân tích moät ña thöùc thaønh tích cuûa nhöõng nhò thöùc vaø tam thöùc : (Ñöa moät phaân thöùc veà toång cuûa nhöõng phaân thöùc ñôn giaûn) Ghi chuù: Ta chæ xeùt caùc ña thöùc coù theå vieát döôùi daïng tích cuûa nhöõng nhò thöùc baäc nhaát vaø nhöõng tam thöùc baäc hai. Ví duï:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 114 (3x− 5) dx Tính : ∫ (x− 3)( x + 2)( x − 1) 3x − 5 A B C Ta coù = + + (x− 3)( x + 2)( x − 1) x−3 x + 2 x − 1 Ax(+ 2)( x −+ 1) Bx ( − 3)( x −+ 1) Cx ( − 3)( x + 2) = (x− 3)( x + 2)( x − 1) 2 Cho : x = 3 ⇒ 10A = 4 ⇒ A = ; 5 11 x = -2 ⇒ 15B = -11 ⇒ B = − 15 1 x = 1 ⇒ -6C = -2 ⇒ C = 3 3x − 5 2 11 1 ⇒ = − + (x− 3)( x + 2)( x − 1) 5(x− 3) 15( x + 2) 3( x − 1) (3x − 5) dx ∫ (x− 3)( x + 2)( x − 1) 2 11 1 = ln |x - 3 | - ln |x + 2 | + ln |x - 1 | + C 5 15 3 Ghi chuù: Ta coù theå tính A, B theo caùch khaùc : − 3x 5 ≡ (x− 3)( x + 2)( x − 1) (ABCx++ )(42 +−− A BCx )236 −+− A B C (x− 3)( x + 2)( x − 1) A+ B + C = 0  Ñoàng nhaát 2 veá ⇒ A−4 B − C = 3  −2A + 36 B − C =− 5 n n - 1 Ghi chuù: Neáu anx + a n -1x + a 1x + a 0 = 0 coù nhieàu hôn n nghieäm thöïc ⇒ a n = a n - 1 = = a 0 = 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 115 Ví duï: ax 2 + bx + c = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät ⇒ a = b = c = 0 5x + 2 Ví duï 1 : = (x2+ 1) 2 (3 x − 2) 3 AxBCxD+ + E F G + ++ + xx222+1 ( + 1) 3 xx − 2 (3 − 2) 2 (3 x − 2) 3 Ví duï 2 : 6x2 − 7 x + 2 = (x2− x + 1)( x + 2) 4 AxBC+ D E F ++ + + xxx2−++1 2( x + 2) 234 ( x + 2) ( x + 2) Ví duï 3 : 1 1 1 = = x4 +1 (x2+ 1) 2 − 2 x 2 (x2− 2 xx + 1)( 2 + 2 x + 1) Ax+ B Cx + D = + x2−21 x + x 2 + 21 x + dx dx Ví duï 4: Tính = ∫ x3 +1 ∫ (x+ 1)( x2 − x + 1) 1 A Bx+ C Ax(2 −++ x 1) ( BxCx + )( + 1) = + = x3 +1 x+1 x2 + x + 1 x3 +1 1 Cho : x = -1 ⇒ 3A = 1 ⇒ A = 3 2 x = 0 ⇒ A + C = 1 ⇒ C = 3 1 1 x = 1 ⇒ A + 2(B + C) = 1 ⇒ B + C = ⇒ B = - 3 3 1 2  −x +  dx dx 1 dx 3 3  = + ∫ x3 +1 3∫ x + 1 ∫ x2 − x + 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 116 1 1 2x − 1 2 1  dx = ln |x + 1 | - dx + −  3 3.2∫ x2 − x + 1 3 6  ∫ x2 − x + 1 1 | | 1 2 1 dx = ln x + 1 - ln(x - x + 1) + ∫ 2 3 6 2 1  3 x −  + 2  4 1 2(x − ) 1x +1 1 2 = ln+ arctg 2 + C 3x2 − x + 1 2 3 3 5. Tích phaân bieåu thöùc löôïng giaùc : Baèng caùc pheùp ñoåi bieán thích hôïp, ta coù theå ñöa tích phaân bieåu thöùc löôïng giaùc ∫ R(sin x ,cos x) dx , trong ñoù R laø haøm höõu tyû, veà tích phaân bieåu thöùc höõu tyû. 1. Tröôøng hôïp toång quaùt : ta duøng coâng thöùc ñoåi bieán x t= tg⇒ x= 2 arc tg t 2 2t 1− t2 2 dt vaø aùp duïng coâng thöùc sinx= , cos x = , dx = 1+t2 1 + t 2 1 + t 2 dx Ví duï: I = ∫ 4sinx+ 3cos x + 5 x Ñaët t= tg⇒ x= 2 arctgt ta co ù: 2 1 2 dt dt dt I = = = ∫2t 1 − t 2 1+t2 ∫ t 2 + 4 t + 4 ∫ ()+ 2 4+ 3 + 5 t 2 +2 + 2 1t 1 t −1 1 = +=−C + C + x t 2 tg + 2 2 2. Daïng ñaëc bieät : i. Neáu R(−sin xx ,cos) = − Rxx( sin ,cos ) thì ñaët t= cos x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 117 ii. Neáu Rx(sin ,− cos x) = − Rxx( sin ,cos ) thì ñaët t= sin x iii. Neáu R(−sin x , − cos xRxx) = ( sin ,cos ) thì ñaët t= tgx , hay t= cotg x Ví duï 1 : I=∫(sin23 x cos x += 2cos xdx) ∫ ( sin 22 x cos x + 2cos) xdx Ñaët t= sin x⇒ dt= cos xdx ; sincos22xx+= 2 tt 22( 1 −) +=−++ 2 tt 42 2 ta coù: t5 t 3 I=−++() tt4 2 2 dt =−+++ 2 tC ∫ 5 3 −sin5x sin 3 x = + +2sin x + C 5 3 dx Ví duï 2 : I = ∫ sin2x+ sin 2 x − 3cos 2 x 1 Ñaët t= tgx⇒ dt= dx ta coù: cos 2 x =dx = dt = dt I ∫ ∫2 ∫ cos2x() tg 2 x+ 2 tgx − 3 tt+−23()() tt − 1 + 3 111  11t− 1 tgx − 1 = −  dt =ln += C ln + C 41343∫t−+ t  t + 4 tgx + 3 3. Daïng ∫ sinmx cos n xdx i. Neáu m ( hoaëc n) laø soá nguyeân leû thì ñoåi bieán t= cos x (hoaëc t= sin x ). ii. Neáu m vaø n laø soá nguyeân döông chaün thì duøng coâng thöùc haï baäc. iii. Neáu m vaø n nguyeân chaün vaø coù moät soá aâm thì ñoåi bieán t= tgx (hoaëc t = co tgx )
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 118 Ví duï: Tính ( daønh cho ñoäc giaû ) K= ∫ sin2 x cos 4 xdx L= ∫ sin3 x cos 2 xdx sin 2 x cos 2 x M= dx N= dx ∫ cos 4 x ∫ sin 4 x VI. Tích phaân bieåu thöùc coù chöùa caên: Vôùi caùc pheùp ñoåi bieán thích hôïp, ta coù theå ñöa tích phaân cuûa bieåu thöùc coù caên soá veà tích phaân cuûa bieåu thöùc höõu tyû. 1. Caùc tích phaân sau coù theå ñöa veà tích phaân haøm löôïng giaùc: π π  2 2  i. Daïng ∫ R x, A− x dx ñaët x= Asin tt , ∈ − ,    2 2  π π  2 2  ii. Daïng ∫ R x, A+ x dx ñaët x= Atgt, t ∈ − ,    2 2  A π  iii. Daïng ∫ R x, x2− A 2  dx ñaët x=, t ∈ () 0,π \     cost  2  m r  ax+ b  ax + b  2. Daïng R x ,n  , s   dx ∫ cx+ d  cx + d     ax+ b Ñaët tk = vôùi k laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa n vaø s. cx+ d k −dt + b− ad − bc = ⇒ = k 1 Khi ñoù xk dx kt 2 thay vaøo bieåu ct− a ()ctk − a thöùc tích phaân ta coù tích phaân cuûa haøm höõu tyû. dx Ví duï 1 : I = ∫ 3x−1 − 6 x − 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 119 k = 6, ñaët t6= x − 1⇒ dx= 6 t 5 dt . Suy ra 6t5 dt 6 t 4 dt  1  I= = =6 t3 ++++ t 2 t 1 dt ∫2 ∫ ∫   t− t t−1 t − 1  t4 t 3 t 2  =6 ++++t ln t −+ 1  C 4 3 2  2/3 3()x − 1 1/2 1/3 = +−+−2()()x 1 3 x 1 2 +66x −+ 16ln 6 x −−+ 11 C 1 1 − x Ví duï 2 : I= dx ∫ x1+ x 1−x −+ t2 1 − 4 t = ⇒ = = Ñaët t x2 ; dx2 dt 1+x t + 1 ()t2 +1 t2 +1 − 4 t t 2 I= t dt = 4 dt ∫2 2 ∫ 2 2 −t + 1 ()t2 +1 ()()t−1 t + 1 1 1  t − 1 =2 + = 2arctgt + ln + C ∫ t2+1 t 2 − 1  t + 1 1− x −1 1− x + =2arctg + ln 1 x + C 1+ x 1− x +1 1+ x p 3. Daïng vi phaân nhò thöùc ∫ xm( a+ bx n ) dx vôùi m, n, p laø caùc soá höõu tyû. - Neáu p laø soá nguyeân, ta ñaët tk = x , trong ñoù k laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa maãu soá cuûa m vaø maãu soá cuûa n.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 120 m +1 - Neáu laø soá nguyeân, ñaët tk= a + bx n vôùi k laø maãu soá n cuûa p. m +1 − - Neáu + p laø soá nguyeân thì ñaët tk= ax n + b vôùi k laø n maãu soá cuûa p. Ví duï: = dx a) I ∫ 8 ( p= -8 laø soá nguyeân) 3x()1+ 6 x Ñaët x= t6⇒ dx= 6 t 5 dt 5 3 =6t dt = t dt I ∫86 ∫ 8 t2 ()1+ t() 1 + t 5 1+ 4 x b) I= ∫ dx x m +1 (m=− 1/2; n = 1/4; p = 1/5⇒ = 2 ∈ ℤ ) n 4 3 Ñaët t5=1 + 4 xxt⇒ =( 5 − 1) ⇒ dx= 201( t 54 − ) tdt 3 t.20( t5− 1 ) t 4 dt = =5() 5 − I∫2 20 ∫ t t 1 dt ()t5 −1 (1+ 3 x ) c) I= ∫ dx x m +1 mnp=−1/2; = 1/3; = 1/2⇒ + p = 2 ∈ ℤ n
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 121 1  1− 6 tdt 2 = + ⇒ = ⇒ = t1  x3 dx 4 ; 3 x  ()t2−1() t 2 − 1 Ñaët 1 3/ 2 =()t2 − 1 x 13/ 2 − 6 tdt tdt = +−()2 =− I∫2 1.1. t 4 6 ∫ 3 t −1 ()t2−1() t 2 − 1 4. Daïng ∫ R( x, ax2 + bx + c) dx vôùi a≠0, ∆= b2 − 4 ac ≠ 0 R x A2+ x 2  dx , i. Ñöa tích phaân ñang xeùt veà caùc daïng ∫ ,  b R x, x2− A 2  dx baèng pheùp ñoåi bieán u= x + . Khi ñoù ∫   2a caùc tích phaân naøy coù theå ñöa veà tích phaân haøm löôïng giaùc. dx Ví duï: ∫ 2 ()x+2 x2 + 413 x + π π  dt Ñaët x+=23, tgt t ∈− ,  ⇒ dx = 3; 2 2  cos 2 t π π  tgt Vì t ∈ − ,  neân tgt vaø sint cuøng daáu ⇒ sin t = 2 2  1+ tg2 t − =3dt 1 ==+ 1cos tdt 1 I ∫2 ∫ 2 C cost9tg2 t 9 tg 2 t + 9 9sin t 9sin t 2 x + 2  −  + 1 3  x2 +4 x + 13 = +=−C + C x + 2  x + 2 9  3 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 122 Caùch khaùc : 1−dx 2 1 u= ⇒ du=,() x + 2 = x+ 2 ()x + 2 2 u 2 2 −du udu 1 d()9 u + 1 I=∫ =− ∫sgn() u =− ∫ sgn( u ) 1 2 +9 2 + 9 + 91u 291 u u2 1 =−9u2 + 1sgn () u + C 9 Nhaän xeùt: dx 1. Ñoái vôùi tích phaân daïng ta coù ∫ n ()x−α ax2 + bx + c 1 theå ñoåi bieån theo coâng thöùc t = x −α du 2. Ñoái vôùi tích phaân daïng ∫ ta coù theå ñoåi bieån u u2 + A theo coâng thöùc t= u2 + A⇒ t 2− A = u 2 ⇒ udu= tdt udu dt ⇒ = = I ∫ ∫ 2 u2 u 2 + A t− A ii. Phöông phaùp ñoåi bieán theo Euler - Neáu a > 0 : ñoåi bieán t± ax = ax2 ++ bx c - Neáu c > 0 : ñoåi bieán xt± c = ax2 ++ bx c 2 ++=( −)( −) ≠ - Neáu ax bxcaxx1 xx 212, x x ta ñoåi bieán theo ()− =2 ++ coâng thöùc t x x1 ax bx c dx Ví duï 1 : ∫ 3 ()x2 +2 x + 5
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 123 du Ñaët u= x + 1⇒ du= dx , I = ∫ 3 ()u2 + 4 π π  dt Ñaët u=2, tgt t ∈ − ,  ⇒ du = 2; 22  cos 2 t 3/2 3/2 8 ()()u2+4 = 8 tg 2 t + 1 = cos 3 t 2dt 1 1 1 u  I= =cos tdt =+= sin t C sin arctg  + C ∫8 4 ∫ 4 4 2 cos 2 t   cos 3 t 1x + 1  =sin arctg  + C 4 2  dx Ví duï 2: I = ∫ x2 +2 x + 5 Ñaëttx−= x2 +25 x + ⇒ tx=+ x 2 + 25 x + x2 +2 x + 5 + x + 1 dx dt ⇒ dt= dx ⇒ = xx2++25 xx 2 ++ 25 t +1 dt ⇒ I= =ln1 tCxxx ++= ln +2 ++++ 251 C ∫ t +1 3x + 1 Ví duï 3: I= ∫ dx x2 +4 x + 3 (3t− 5) dt tdt dt Ñaët t= x + 2⇒ I =∫ = 3 ∫ − 5 ∫ t2−1 t 2 − 1 t 2 − 1 =3t2 −− 15ln tt + 2 −+ 1 C 2 2 =3()x +−− 2 15ln xx ++ 2() +−+ 2 1 C
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 124 Chöông VII TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH I Khaùi nieäm : 1. Baøi toaùn dieän tích : Cho haøm f xaùc ñònh, döông vaø lieân tuïc treân [a, b ]. Tính dieän tích hình thang cong (H) giôùi haïn bôûi y = f(x), y = 0, x = a, x = b Chia ñoaïn [a, b ] thaønh n ñoaïn bôûi caùc ñieåm x0 = a < x 1 < x 2 < < x n-1 < x n=b Qua x i keû ñöôøng thaúng song song Oy. ( ) Hình thang cong (H) ñöôïc chia thaønh n hình thang cong nhoû Hi . Treân moãi ñoaïn [xi - 1 , x i] laáy ñieåm ξi ∈ [xi - 1 , x i], thieát laäp hình chöõ nhaät coù ñoä daøi caùc caïnh laø (x i - x i - 1 ) vaø f( ξi). ( ) ⇒ Dieän tích cuûa hình thang cong Hi gaàn baèng dieän tích hình chöõ nhaät coù ñoä daøi caùc caïnh laø (x i - x i - 1 ) vaø f( ξi). ≈ ξ ξ ξ S(H ) (x 1 - x 0)f( 1) + (x 2 - x 1)f( 2) + (x 3 - x 2)f( 3) + + (x n - x n - 1 )f( ξn) n n − ξ − ξ = ∑(xi x i −1 ) f( i)⇒ S(H ) = lim∑ (xi x i −1 ) f( i) max(x− x ) → 0 i=1 i i −1 i=1 Ví duï 1: Tính dieän tích hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y = f(x) = x 2, y = 0, x = 1, x = 3 Giaû söû chia ñoaïn [1, 3 ] bôûi pheùp phaân hoaïch ñeàu 3− 1 2 x0 = 1, x 1 = 1 + , , x i = 1 + i , , xn = 3 n n Choïn ξi = x i . Laäp toång: n n n n 2 ξ 2 2 2 2+ 2 i  Sn = ∑ f ( i)(x i - x i - 1 ) = ∑ f( x i ) = ∑ xi = ∑1  i=1 n i=1 n i=1 ni=1  n 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 125 n 2  n n n 2+ 4i + 4 i 2+ 8 + 8 2 = ∑12  = ∑12 ∑i 3 ∑ i ni=1  n n  ni=1 n i = 1 n i = 1 8nn (+ 1) 8 nn ( + 1)(2 n + 1) = 2+ + n22 n 3 6 8 26 Dieän tích laø: S = limS = limS = 2 + 4 + = − → n →+∞ n max(xi x i −1 ) 0 n 3 3 Ví duï 2 : Tính dieän tích hình thang giôùi haïn bôûi : y = 2x -1, y = 0, x = 2, x = 5. Coi pheùp phaân hoaïch ñeàu treân [2, 5 ] 3 3i x0 = 2, x 1= 2 + . , x i = 2 + , , x n = 5 n n Choïn ξi = x i. Laäp toång n n n   − ξ 3 − 3+ 3 i  − Sn = ∑(xi x i −1 ) f( i) = ∑(2xi 1) = ∑ 22  1  i=1 n i=1 ni=1  n   n n + 3+ 6 i  18 18n ( n 1) = ∑3  = 9 + 2 ∑i = 9 + 2 ni=1  n  n i=1 n 2 ⇒ S = limSn = 9 + 9 = 18 n→+∞ 2. Ñònh nghóa : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân [a, b ]. Coi pheùp phaân hoaïch (baát kyø) ñoaïn [a, b ] bôûi caùc ñieåm x 0 = a < x 1 < x 2 < x n = b. Treân moãi ñoaïn [xi - 1 , x i] laáy ñieåm ξi baát kyø. n − ξ Laäp toång tích phaân : In = ∑(xi x i −1 ) f( i) i=1 Neáu giôùi haïn limI toàn taïi höõu haïn khoâng phuï thuoäc vaøo − → n max(xi x i −1 ) 0 pheùp phaân hoaïch treân ñoaïn [[[a, b ]]] vaø khoâng phuï thuoäc caùch choïn ñieåm ξξξi thì giôùi haïn ñoù ñöôïc goïi laø tích phaân xaùc ñònh cuûa haøm f treân [a, b ].
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 126 b n Kyù hieäu : fxdx( )= lim I = lim ( xx − − ) f( ξi) ∫ −→n −→ ∑ i i 1 max(xxii−1 )0 max( xx ii − 1 )0 a i=1 Trong ñoù: a laø caän döôùi, b laø caän treân, x bieán tích phaân, f(x) haøm döôùi daáu tích phaân Khi haøm f coù tích phaân xaùc ñònh treân [a, b ] ta noùi f khaû tích treân [a, b ] II. Ñieàu kieän khaû tích : 1. Ñònh lyù: haøm so á f khaû tích treân [a, b ] ⇒ f bò chaän treân [a, b ]. ( nghóa laø ∃m > 0, |f(x) | ≤ m, ∀x ∈ [a, b ] ) Chöùng minh : Giaû söû f khoâng bò chaän treân [a, b ]. Choïn daõy caùc phaân hoaïch [ ] − = treân a, b sao cho lim max(xk x k −1 ) 0 n→+∞ k=1, , n ∈[ ] Vì f khoâng bò chaën treân [a, b] neân toàn taïi k vaø c xk−1, x k sao ( ) ( − ) cho fc xk x k −1 lôùn tuøy yù. Choïn ξk = c thì n n − ξ − ξ In = ∑(xi x i −1 ) f( i) = ∑(xi x i −1 ) f( i) + (x k - x k - 1 )f(c) i=1 i=1 i≠ k ≥() ()()() −−ξ −> Suy ra Ifcxxn kk−1∑ f iii xx − 1 n i≠ k ⇒ I n khoâng theå coù giôùi haïn höõu haïn khi max(x i - x i -1) → 0 ⇒ f khoâng khaû tích treân [a, b ]. Do ñoù, f bò chaän treân [a, b ]. Ghi chuù: Ñieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng, nghóa laø neáu f bò chaän treân [a, b ] thì chöa chaéc f khaû tích treân [a, b ]. Ví duï:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 127 1x ∈ℚ ∩ [ 0,1 ] f(x) =  0x ∈[] 0,1 \ ℚ Hieån nhieân f bò chaän treân [0, 1 ] vì 0 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ [0, 1 ] Nhöng f khoâng khaû tích treân [0, 1 ]. Thaät vaäy, xeùt pheùp phaân hoaïch treân [0, 1 ]: x 0 = 0 < x 1 < x 2 < x n = 1. Neáu choïn ξi laø soá höõu tæ treân [xi - 1 , x i] ta coù: n − ξ In = ∑(xi x i −1 ) f( i) = (x 1- x 0) + (x 2 - x 1) + + (x n - x n - 1 ) i=1 = x n - x 0 = 1 - 0 = 1 ( vì f( ξi) = 1) Neáu choïn ξi laø soá voâ tyû treân [xi - 1 , x i] thì: n − ξ In = ∑(xi x i −1 ) f( i) = 0 i=1 ⇒ lim I phuï thuoäc caùch choïn ñieåm ξi − → n max(xi x i −1 ) 0 ⇒ f khoâng khaû tích treân [0, 1 ] 2. Ñònh lyù: i) f lieân tuïc treân [a, b ] ⇒ f khaû tích treân [a, b ] ii) f bò chaän treân [a, b ] vaø f coù höõu haïn ñieåm giaùn ñoaïn treân [a, b ] ⇒ f khaû tích treân [a, b ]. 5 Ví duï 1: Duøng ñònh nghóa tính ∫(x2 − 2) x dx 3 5 x3 5 125  27 50 ∫(x2 − 2) x dx = − x2 = − 52  - + 32 = 3 3 3 3  3 3 f(x) = x 2 - 2x lieân tuïc treân [3, 5 ] ⇒ f khaû tích treân [3, 5 ] Coi pheùp phaân hoaïch ñeàu treân ñoaïn [3, 5 ] vôùi 5− 3 2i xi = i + 3 = + 3 n n
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 128 Choïn ξi = x i. Laäp toång : n n 2  − ξ 2+ 2i  − + 2 i  In = ∑(xi x i −1 ) f( i) = ∑ 3  23   i=1 ni=1  n  n   n 2  + + + 2+ 8i + 4 i 2+ 16nn ( 1) + 8 nn ( 1)(2 n 1) = ∑32  = 3n 2 3 ni=1  n n  n n2 n 6 5 2 − 8 ⇒ (x 2) x dx = limIn = 6 + 8 + ∫ n→+∞ 3 3 a Ví duï 2: Duøng ñònh nghóa tính ∫ sinxdx 0 n a  Höôùng daãn: S n = ∑sin ih h =  . Tính S n baèng caùch nhaân 2 veá i=1 n  h cho 2sin . 2 III. Vaøi tính chaát cuûa tích phaân xaùc ñònh : a Qui öôùc : i) ∫ f( x ) dx = 0 a b a ii) ∫ f( x ) dx = - ∫ f( x ) dx a b b 1) ∫ mdx = m(b - a), m laø haèng soá a Vôùi caùc haøm f, g khaû tích treân [a, b ] ta coù: b b b 2) ∫[]f() x± g () x dx = ∫f() x dx± ∫ g () x dx a a a b b 3) ∫ kf( x ) dx = k∫ f( x ) dx a a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 129 Heä quaû: Neáu k i laø haèng soá vaø caùc haøm soá f i khaû tích treân [a, b ] thì bn n b = ∫∑kfxdxii() ∑ k ii ∫ fxdx () ai=1 i = 1 a b c b 4) ∀ c ∈ [a, b ] : ∫ f( x ) dx = ∫f() x dx+ ∫ f () x dx a a c Heä quaû: a ≤ c 1 ≤ c 2 ≤ c n ≤ b b c1 c 2 b ∫ f( x ) dx = ∫f() x dx+ ∫ f () x dx + + ∫ f () x dx a a c1 c n b b 5) f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b ] ⇒ ∫ f( x ) dx ≤ ∫ g( x ) dx a a 6) Ñònh lyù giaù trò trung bình : Neáu haøm soá f lieân tuïc treân [a, b ] thì b ∃ c ∈ [a, b ] sao cho: ∫ f( x ) dx = (b - a) f(c) a 7) Ñònh lyù: Neáu haøm soá f lieân tuïc treân [a, b ] (a ⇒ x a, b vaø x0 a; b saocho f ()0 x 0 ∫ f( x ) dx > 0 a Chöùng minh : 1) , 2) , 3) laø hieån nhieân (töø ñònh nghóa). 4) Choïn pheùp phaân hoaïch a = x 0 < x 1 < x 2 < x i < < x n = b sao cho ∃k ∈ {0, n } :x k = c n k n − ξ − ξ − ξ ∑(xi x i −1 ) f( i)= ∑(xi x i −1 ) f( i) + ∑ (xi x i −1 ) f( i) ⇒ ñpcm i=1 i=1 i= k + 1 5) f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b ] ⇒ g(x) - f(x) ≥ 0, ∀x ∈[a, b ] n []ξ− ξ − ≥ ⇒ ∑ g()i f ()( iii xx −1 ) 0 i=1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 130 (do g( ξi) - f( ξi) ≥ 0; x i - x i - 1 > 0 , ∀ i) b b b ⇒ ∫[]gx()− fx () dx = ∫ gxdx () − ∫ fxdx () ≥ 0 ⇒ ñpcm a a a Nhaän xeùt : • Neáu m≤ fx( ) ≤ M, ∀∈ x [,] ab thì: b m(b - a) ≤ ∫ f( x ) dx ≤ M(b - a) a (do tính chaát 1 vaø tính chaát 5) b b • Do -f(x) ≤ |f(x) | ⇒ - ∫f() x dx≤ ∫ f () x dx a a b b vaø do f(x) ≤ |f(x) | ⇒ ∫f() x dx≤ ∫ f () x dx a a b b ⇒ | ∫ f( x ) dx | ≤ ∫ f( x ) dx a a 6) Vì f lieân tuïc treân [a, b ] neân ∃x1, x 2 ∈ [a, b ] sao cho: f(x 1) = minf ( x ) ≤ f(x) ≤ maxf ( x ) = f(x 2) x∈[] a, b x∈[] a, b b ≤ ≤ ⇒ f(x 1)(b - a) ∫ f( x ) dx f(x 2)(b - a) (* ) a + Neáu a = b: keát luaän laø hieån nhieân ñuùng. 1 b + Neáu a < b: thì (* ) cho ta : f(x ) ≤ f( x ) dx ≤ f(x ) 1 − ∫ 2 b a a Vì f lieân tuïc treân [a, b ] neân f lieân tuïc treân [x1, x 2] ⊂ [a, b ] hoaëc treân [x2, x 1] ⊂ [a, b ]. 1 b ⇒ ∃c ∈ [x , x ] hoaëc ∃c ∈ [x , x ] : f(c) = f( x ) dx 1 2 2 1 − ∫ b a a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 131 b ⇒ ∃c ∈ [a, b ] : ∫ f( x ) dx = (b - a)f(c) a YÙ nghóa hình hoïc : Treân ñöôøng cong AB, A(a, f(a)), B(b, f(b)) ,t ồn t ại C(c, f(c)) sao cho dieän tích aABb = dieän tích hình chöõ nhaät coù ñoä daøi hai c ạnh laø (b - a) vaø f(c). Caùch nhôù: Nhôù töø ñònh lyù Lagrange: b ∫ f( x ) dx = F(b) - F(a) = F ’(c)(b - a) = f(c)(b - a) a 7) Neáu x0 ∈(a, b) ⇒ toàn taïi khoaûng môû (c; d) chöùa x 0 sao cho 1 f(x) > f( x )> 0 , ∀x ∈(c, d) ⊂ (a; b ) 2 0 b c d b ⇒ ∫fxdx() = ∫ fxdx ()+ ∫ fxdx () + ∫ fxdx () a a c d d d ≥ ≥1 =− 1 > ∫fxdx() ∫ fxdx ()0 ( dcfx )()0 0 c2 c 2 Töông töï khi x 0 = a hay x 0 = b. IV. Coâng thöùc Newton - Leibnitz : 1. Söï lieân heä giöõa nguyeân haøm vaø tích phaân xaùc ñònh : Neáu haøm soá f khaû tích treân [a, b ] thì ∀x∈ [a, b ] ta coù: x x ∫ f( x ) dx toàn taïi ⇒ φ(x) = ∫ f( x ) dx laø moät haøm xaùc ñònh treân [a, b ] a a x x x Löu yù: ∫ f( x ) dx = ∫ f( t ) dt = ∫ f( y ) dy a a a i) Ñònh ly ù: Cho f laø haøm lieân tuïc treân [a, b ]. Khi ñoù x φ(x) = ∫ f( t ) dt khaû vi taïi x ∈ (a, b) vaø a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 132 / dφ( x ) d x x  φ’(x) = = ∫ f( t ) dt =∫ f( t ) dt  = f(x) dx dx a a  Chöùng minh : Laáy h khaù beù sao cho x, x + h ∈ (a, b). Ta coù: φ(x+h) - φ(x) x+ h x x xh+ x x+ h = ∫f() t dt− ∫ f () t dt = ∫f() t dt+ ∫ f () t dt − ∫ f () t dt = ∫ f( t ) dt a a a x a x Töø ñònh lyù giaù trò trung bình ta suy ra: φ(x+h) - φ(x)= f(c)(x + h - x)= f(c)h, vôùi c ∈ [x, x + h ] hoaëc c ∈ [x + h, x ] Vì f lieân tuïc taïi x neân khi h → 0 thì c → x. Do ñoù limfc ( )= lim fc ( ) = f(x) h→0 c → x φ(x+ h ) − φ () x hf( c ) ⇒ φ’(x) = lim = lim h h→0 h = limf ( c ) = f(x) vôùi x ∈ (a, b) c→ x Töông töï: Neáu x = a ta coù φ’(a +) = f(a) Neáu x = b ta coù φ’(b -) = f(b) x ii) Heä quaû: Neáu f lieân tuïc treân [a, b ] thì φ(x) = ∫ f( t ) dt laø moät a nguyeân haøm cuûa f treân [a, b ]. 2. Coâng thöùc Newton - Leibnitz : Ñònh lyù: F laø nguyeân haøm cuûa f treân [a, b ] thì b ∫ f( x ) dx = F(b) - F(a) a Chöùng minh : x Töø heä quaû treân ta coù F(x) vaø ∫ f( t ) dt laø 2 nguyeân haøm cuûa a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 133 x f treân [a, b ] thì : ∫ f( t ) dt = F(x) + C a a + Cho x = a : 0 = ∫ f( t ) dt = F(a) + C ⇒ C = -F(a) a b + Cho x = b : ∫ f( t ) dt = F(b) + C = F(b) - F(a) a Ví duï 1: 5 x3 x 2 5 125 75 8 12  ∫(x2 − 3) x dx = (− 3) = − − −  2 3 2 2 3 2 32  Ghi chuù: Ta thöôøng vieát: b b ∫ f( x ) dx = F(x) = F(b) - F(a) a a 1 Ví duï 2: ∫ xarctgxdx 0 dx Ñaët: u = arctgx ⇒ du = 1+ x2 1 dv = xdx, choïn v = (x 2 + 1) 2 1 11 1 1 π 1 Ta coù ∫ xarctgxdx = (x2 + 1) arctgx − ∫ dx = − 0 20 2 0 4 2 a Ví duï 3: ∫ a2− x 2 dx (a > 0) 0 a x a2 x a a2 π 1 ∫ a2− x 2 dx =(a2− x 2 + arcsin ) = = πa2 0 2 2 a 0 2 2 4 Nhaän xeùt : Giaû söû f lieân tuïc treân [a, b ], ϕ(x), h(x) khaû vi vaø coù mieàn giaù trò ⊂ [a, b ].
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 134 d h( x ) d h( x ) h( x ) Ta coù: f() t dt = F( t ) = ( f( t ) dt )’ ∫ ϕ ∫ dx ϕ(x ) dx (x ) ϕ (x ) = [F(h(x) ) - F( ϕ(x)) ]’ = h’(x)F ’(h(x)) - ϕ’(x)F ’( ϕ(x)) = h’(x)f(h(x)) - ϕ’(x)f( ϕ(x)) 2 d 0 d x Ví duï 1: ∫ 1+ t2 dt = - ∫ 1+ t2 dt = -(x 2)’ 1+ (x2 ) 2 dx x2 dx 0 = -2x 1+ x4 2 / x2 x    ∫ sin xdx ∫ sin xdx  0  Ví duï 2: Tính : lim 0 = lim + 3 + 3 / x→0 x x→0 (x ) 2x sin x 2 2sin x 2 = lim+ 2 = lim+ = x→0 3x x→0 3x 3 x ∫ sin 2 xdx 1 Ví duï 3: lim x x→1 x −1 1 1 1 sin2x + sin 2 x2 x 3 = lim2 x = sin2 1 x→1 1 2 V. Caùc phöông phaùp tính tích phaân xaùc ñònh : 1. Phöông phaùp ñoåi bieán soá : b a) Cho ∫ f( x ) dx vôùi f lieân tuïc treân [a, b ] a Neáu x = ϕ(t) thoûa : i) ϕ khaû vi lieân tuïc treân [α, β] ii) ϕ (α) = a, ϕ (β) = b iii) Khi t bieán thieân treân [α, β] thì x bieán thieân treân [a, b ]
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 135 b β Khi ñoù, ta coù ∫ f( x ) dx = ∫ f[]ϕ() t ϕ '() t dt a α Chöùng minh : Giaû söû F laø nguyeân haøm cuûa f treân [a, b ] b Ta coù: ∫ f( x ) dx = F(b) - F(a) (1) a β β f(())'()ϕ t ϕ tdtF= [] ϕ () t = F( ϕ(β)) - F( ϕ(α)) = F(b) - F(a) (2) ∫ α α (1) vaø (2) ⇒ ñpcm 2 2 Ví duï 1: ∫ 4− x2 dx = 2 ∫ 4− x2 dx −2 0 π x Ñaët x = 2sint, 0 ≤ t ≤ ⇒ dx = 2costdt vaø t = arcsin 2 2 π x0 = 0 ⇒ t 0 = 0, x 1 = 2 ⇒ t 1 = 2 π π 2 2 2 Suy ra 2∫ 4− x2 dx = 2∫ 4− 4sin2 t 2costdt = 2∫ 4 cos 2tdt 0 0 0 π π 2 1  = 4 (1+ cos2)t dt = 4t+ sin 2 t 2 = 2 π ∫ 2  0 0 a dx Ví duï 2: Cho a > 0, tính ∫ 2 2 3 0 (a+ x ) π Ñaët :x = atgt, 0 ≤ t ≤ 4 x Suy ra t = arctg vaø dx = a(1 + tg 2t)dt a π x0 = 0 ⇒ t 0 = 0 , x 1 = a ⇒ t 1 = 4
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 136 π π a dx 4 a(1+ tg2 t ) dt 1 4 dt = = ∫ 2 2 3 ∫ 2 223 2 ∫ 2 0 (a+ x ) 0 (a+ atgt ) a 0 1+ tg t π π 1 4 1 1 = 2 ∫ costdt = 2 sint 4 = a a a2 2 0 0 b) Cho f lieân tuïc treân [a, b ]. Neáu u = h(x) thoûa: i) h khaû vi ñôn ñieäu treân [a, b ] ii) Khi x bieán thieân treân [a, b ] ta coù f(x)dx thaønh g(u)du. b h( b ) b thì ∫ f( x ) dx = ∫ g( u ) du = ∫ ghx(()) h '() xdx a h( a ) a Chöùng minh : töông töï. π 4 cos xdx Ví duï 1: ∫ 2 π 2+ 3sin x 6 Ñaët: u = sinx ⇒ du = cosxdx π 1 π π 1 x0 = ⇒ u 0 = , x1 = ⇒ u 1 = sin = 6 2 4 4 2 π 1 1 4 cos xdx 2 du 1 2 du ⇒ ∫ 2 = ∫ 2 = ∫ 2+ 3sin x 2+ 3 u 3 2 2 π 1 1 + u 6 2 2 3 1 3 1 3 2 1 3 3  = arctg u = arctg− arctg  2 3 2 1 62 2 2  2 1 dx Ví duï 2: (0 < α < π) ∫ 2 −α + −1 x2 x cos 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 137 1 dx = , ∫ −α2 + 2 α −1 (x cos ) sin Ñaët u = x - cos α ⇒ du = dx x0 = -1 ⇒ u0 = -1 - cos α; x1 = 1 ⇒ u 1 = 1 - cos α − α 1 cos du 1 u 1− cos α ⇒ I = = arctg ∫ 2+ 2 α α α − − α −1 − cos α u sin sin sin 1 cos 1 1cos−α (1cos) − − α  = arctg− arctg sinα sin α sin α  α α  2sin2 2 cos 2 1   = arctg2+ arctg 2 α αα αα  sin 2sin cos 2sin cos  22 22  1 α α  = arctg( tg )+ arctg (cot g ) sinα  2 2  1 α π α   = arctg() tg+ arctg tg ( − )   sinα  2 2 2   1 α π α  π = + − = sinα  2 2 2  2sin α 2. Tích phaân töøng phaàn : Cho u= ux( ), v = vx( ) laø caùc haøm khaû vi vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc bb b treân [a; b ] . Khi ño ù ∫udv= uv − ∫ vdu aa a 1 dx Ví duï 1: xarctgxdx Ñaët : u = arctgx ⇒ du = ∫ 1+ x2 −1 2 1 dv = xdx, choïn v = (x 2 + 1) 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 138 1 11 1 1 ⇒ xarctgxdx = (x2 + 1) arctgx − dx ∫ 1 ∫ 1 2− 1 2 − 2 − 2 2 π 5 1 3 = +arctg − 48 24 Ví duï 2: π π 2 2 n n ∈ ℕ ≥ i) Chöùng minh: ∫ sinxdx = ∫ cos xdx vôùi n , n 2 . 0 0 π 2 ii) Tính: ∫ sin n xdx vôùi n ∈ ℕ , n ≥ 2 . 0 π π i) Ñaët : x = -u ⇒ dx = -du, u = - x, 2 2 π π x0 = 0 ⇒ u 0 = , x1 = ⇒ u 1 = 0. Do ñoù: 2 2 π π π 2 0 π  2 2 ∫ sinn xdx = ∫ sinn −u  ( − du ) = ∫ cosn udu = ∫ cosn xdx 0 π 2  0 0 2 π π 2 2 ii) ∫ sinn xdx = ∫ sinn−1 x sin xdx 0 0 Ñaët u = sin n - 1 x ⇒ du = (n - 1)cosx.sin n -2xdx dv = sinxdx, choïn v = -cosx π π 2 2 n n−1 ⇒ I n = ∫ sinxdx = ∫ sinx sin xdx 0 0 π π 2 − = − cosx sinn 1 x 2 + (n− 1) cos2 x sinn− 2 xdx 0 ∫ 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 139 π 2 − − 2n− 2 = (n 1)∫ (1 sin x )sin xdx = (n - 1)I n - 2 - (n - 1)I n 0 ⇒ nI n = (n - 1)I n – 2 n −1 n−1 n − 3 ⇒ I n = In - 2 = In - 4 n n n − 2 n−1 n − 3 n − 5 = In - 6 n n−2 n − 4 Vaäy, n−1 n − 3 n − 57531  . . . . .I (khi n = 2k)  n n−2 n − 4 8642 0 In =  n−1 n − 3 n − 58642  . . . . . .I (khi n = 2k+1)  n n−2 n − 4 9753 1 π π π 2 π 2 0 maø: I 0 = sinxdx = , I 1 = sinxdx = -cosx 2 = 1 ∫ 2 ∫ 0 0 0 (2k − 1)!! π  (khi n= 2 k )  (2k )!! 2 ⇒In=  (2k )!!  (khi n= 2 k + 1) (2k + 1)!! Qui öôùc : (2k)!! = 2. 4. 6. 8 (2k - 2)(2k) (2k + 1)!! = 1. 3. 5. (2k - 1)(2k + 1) VI. Tích phaân suy roäng : b Tích phaân xaùc ñònh ∫ f( x ) dx ñaõ xeùt ôû treân vôùi [a, b ] höõu haïn vaø f a lieân tuïc treân [a, b ] hoaëc f coù soá höõu haïn ñieåm giaùn ñoaïn loaïi 1 treân [a, b ]. Trong phaàn naøy ta xeùt: • Tích phaân treân moät khoaûng voâ haïn.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 140 • Tích phaân treân [a, b ] vaø treân [a, b ] coù ñieåm giaùn ñoaïn voâ cuøng. 1. Tích phaân treân moät khoaûng voâ haïn : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân [a, + ∞) khaû tích treân [a, b ], ∀b ≥ a. b Khi ñoù tích phaân xaùc ñònh ∫ f( x ) dx laø toàn taïi ∀b ≥ a. a Ñònh nghóa : i) Cho f xaùc ñònh treân [a, + ∞) khaû tích treân [a, b ], ∀b ≥ a .Ta ñònh nghóa tích phaân suy roäng cuûa f treân [a, + ∞) laø: +∞ b f( x ) dx = limf ( x ) dx ∫ b→+∞ ∫ a a ii) Töông töï, neáu haøm soá f khaû tích treân [c, a ] , ∀c ≤ a, ta ñònh nghóa tích phaân suy roäng cuûa f treân (−∞ ,a ] laø a a f( x ) dx= lim f ( x ) dx ∫c→ − ∞ ∫ − ∞ c iii) Cho f xaùc ñònh treân (-∞, + ∞) vaø khaû tích treân moïi khoaûng ñoùng [a, b ], b ≥ a. Ta ñònh nghóa tích phaân suy roäng cuûa f treân (-∞, + ∞) laø +∞a −∞ ∫f() x dx= ∫ f () x dx + ∫ f () x dx −∞ −∞ a a b = limf ( x ) dx + limf ( x ) dx c→−∞ ∫ b→+∞ ∫ c a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 141 +∞ • Ta noùi tích phaân suy roäng ∫ f( x ) dx laø hoäi tu ï neáu a b +∞ limf ( x ) dx toàn taïi höõu haïn. Neáu f( x ) dx khoâng hoäi tuï b→+∞ ∫ ∫ a a ta noùi noù phaân ky ø. a a • f( x ) dx hoäi tu ï neáu limf ( x ) dx toàn taïi höõu haïn, ∫ c→−∞ ∫ −∞ c a ngöôïc laïi ta noùi ∫ f( x ) dx phaân ky ø. −∞ +∞ a +∞ • ∫ f( x ) dx hoäi tuï ⇔ ∫ f( x ) dx vaø ∫ f( x ) dx cuøng hoäi −∞ −∞ a tuï. Ví duï 1: +∞ dx b dx 1x + 3 b 1 = lim = lim ln = ln2 ∫ + + b→+∞ ∫ + + b→+∞ + 2 (x 3)( x 8) 2 (x 3)( x 8) 5x 8 2 5 Vaäy tích phaân suy roäng treân laø hoäi tuï. +∞ x4 dx Ví duï 2: I = . ∫ 10 + −∞ x 1 x 4 Vì laø haøm chaün neân x10 +1 +∞ 5 x4 dx b x4 dx 2 b du I = 2 = 2 lim = lim ∫ 10 + b→+∞ ∫ 10 + b→+∞ ∫ 2 + 0 x 1 0 x 1 5 0 (u 1) 2 b5 π = lim[]arctgu = ( u = x 5 ) 5 b→+∞ 0 5 +∞ du Ví duï 3: Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa ∫ α 1 x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 142 +∞ dx b dx b ( i ) α = 1 : = lim = lim[] lnx = + ∞ ⇒ phaân kyø ∫ b→+∞ ∫ b→+∞ 1 x 1 x 1 +∞ b b α ≠ dx −α 1 −α + 1 ( i i) 1 : α = limx dx = limx  ∫ b→+∞ ∫ b→+∞ −α   1 x 1 1 1  1 1 −α  ,neáu α > 1 = lim (b1 − 1) = α −1 1−α b→+∞ +∞,neáu α 1 vaø phaân kyø neáu 1 1 x 2. Tích phaân treân [a, b ] coù ñieåm giaùn ñoaïn voâ cöïc : Ñònh nghóa : i). Neáu haøm soá f khaû tích treân [a + ε , b ], ∀ε > 0 vaø ∞ lim+ f ( x ) = + ta ñònh nghóa tích phaân suy roäng cuûa f treân x→ a b b b [ ] = a, b laø fxdx() lim+ fxdx () =lim + fxdx () ∫ε →0 ∫x → a ∫ a a+ε x [ ε] ∀ε ∞ ii). Neáu f khaû tích treân a, b - , > 0 vaø lim− f ( x ) = + x→ b ta ñònh nghóa tích phaân suy roäng treân [a, b ] laø b b−ε x = f() x dx lim+ f () x dx =lim − f () x dx ∫ε →0 ∫x → b ∫ a a a iii). Neáu f khaû tích treân [a, c - ε), ∀ε > 0, f khaû tích treân [c + ε, b), ∀ε > 0 vaø limf ( x ) = +∞, ta ñònh nghóa: x→ c b c b c−ε b + + f( x ) dx = f() x dx f () x dx = lim+f ( x ) dx lim + f ( x ) dx ∫ ∫ ∫ ε→0∫ ε → 0 ∫ a a c a c +ε b c b Ghi chuù: ∫ f( x ) dx hoäi tuï ⇔ ∫f() x dx vaø ∫ f () x dx cuøng hoäi tuï a a c
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 143 2 dx Ví duï : Xeùt ∫ 2 −2 4 − x 1 = +∞ 1 = +∞ Ta coù lim− ; lim+ x→2 4 − x2 x→− 2 4 − x2 2 dx 0dx 2 dx = + ∫ 2 ∫2 ∫ 2 −2 4 − x −24−x 0 4 − x 0 2 −ε dx+ dx = lim+ lim+ ε→0∫2 ε → 0 ∫ 2 −2 + ε 4−x 0 4 − x 0 2 −ε x+ x = lim+ arcsin lim+ arcsin ε→02−2 + ε ε → 0 2 0 − +ε − ε π π −2  + 2 − −  + π = lim+  arcsin  lim+ arcsin =   = ε→02  ε → 0 2 2  2 Ñònh ly ù: i). Cho haøm soá f khaû tích treân [a, b - ε] ∀ε > 0 ; = +∞ lim− f ( x ) vaø nguyeân haøm F (cuûa f) lieân tuïc treân x→ b b [a, b ]. Khi ñoù ∫ f( x ) dx = F(b) - F(a) a [ ε ] ∀ε ∞ ii). Neáu f khaû tích treân a + , b , > 0, lim+ f ( x ) = + vaø coù x→ a moät nguyeân haøm F lieân tuïc treân [a, b ] thì b ∫ f( x ) dx = F(b) - F(a) a iii). Neáu f khaû tích treân [a, c - ε) ∪ [c + ε, b) vaø limf ( x ) =+ ∞ x→ c vaø f coù moät nguyeân haøm F lieân tuïc treân [a, b ] thì b ∫ f( x ) dx = F(b) - F(a) a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 144 Chöùng minh : Ta chöùng minh cho i), caùc tröôøng hôïp coøn laïi laø töông töï. b b−ε [ −ε − ] Ta coù: f( x ) dx = lim+ f ( x ) dx = lim+ Fb ( ) Fa ( ) ∫ ε →0 ∫ ε →0 a a = F(b) - F(a) [ ] ε (Vì F lieân tuïc treân a, b neân lim + F(b - ) = F(b)) ε →0 2 dx Ví duï 1: . Haøm soá trong daáu tích phaân coù moät nguyeân ∫ 2 −2 4 − x x haøm laø F(x) = arcsin lieân tuïc treân [-2, 2 ] neân 2 2 dx 2  2  π π  = arcsin - arcsin − = − − = π ∫ 2       −2 4 − x 2  2  2 2  b dx Ví duï 2: Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa : (a 0) ∫ − α a (b x ) −ε 1 b dx b dx ∞ ⇒ lim − α = + α = lim + α x→ b − ∫ − ε →0 ∫ − (b x ) a (b x ) a (b x ) + Neáu α = 1: b b−ε b −ε dx dx − − = lim + = lim(+ ln(b x ) ∫ − ε →0 ∫ − ε →0 a b x a b x a −ε + − ∞ = lim(+ ln( ) ln(b a ) = + ε →0 + Neáu α ≠ 1: b dx 1 b − ε α = lim + α −1 ∫ − ε →0 α − − a (b x ) ( 1)(b x ) a   1− 1 = lim + α−1 α − 1  ε →0 (α− 1) ε ( α − 1)(b − a ) 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 145 +∞α > 1  = (b− a ) 1−α  α 0) . ∫ − α a (x a ) b b 1 ∞ dx dx Ta coù lim + α = + . Vaø α = lim + α x→ a − ∫ − ε →0 ∫ − (x a ) a (x a ) a+ε (x a ) + Neáu α = 1 b dx b = lim( ln x− a ) = lim [ln(b− a ) − ln(ε )] = + ∞ ∫ + a+ε − ε →0 ε → + a x a 0 + Neáu α ≠ 1 : b b − dx dx 1 b  α = lim + α = lim + α −1 a+ε  ∫ − ε →0 ∫ − ε →0 α − − a (x a ) a+ε (x a ) ( 1)(x a )  −  1+ 1 = lim + α−1 α − 1  ε →0 (α− 1)(b − a ) ( α − 1) ε  +∞α > 1  = (b− a ) 1−α  α < 1  (1−α ) Vaäy : b dx • Neáu : α ≥ 1 ⇒ phaân kyø ∫ − α a (x a )
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 146 b dx • Neáu : α < 1 ⇒ hoäi tuï ∫ − α a (x a ) 3. Moät soá tieâu chuaån hoäi tuï cuûa tích phaân suy roäng : Ta chæ xeùt tröôøng hôïp f xaùc ñònh treân [a, + ∞), khaû tích treân [a, b ], ∀b ≥ a. Tröôøng hôïp (-∞, a ] hay tröôøng hôïp [a, b ] ∞ ∞ (vôùi lim+ f ( x ) = + hay lim− f ( x ) = + ) x→ a x→ b +∞ ñöôïc xeùt baèng caùch ñöa veà daïng ∫ f( x ) dx . a b • Ñoái vôùi tích phaân ∫ f( x ) dx , ta ñoåi bieán u = -x, du= − dx −∞ b b− b vaø fxdx( )= lim fxdx ( ) = lim fu ( −− )( du ) ∫a→−∞ ∫ a →−∞ ∫ −∞ a− a c +∞ =limgudu() = gudu ( ) vôùi g(u) = f(-u) c→+∞ ∫ ∫ −b − b b • ∞ Ñoái vôùi tích phaân f( x ) dx , lim+ f ( x ) = + ta ñoåi bieán ∫ x→ a a 1 u = . Khi ñoù: x− a b 1 b 1 −du  =b− a + fxdx( ) = lim fx() lim 1 fa ∫ε→+ ∫a+ε ε → + ∫  2  0 0 ε u  u  a 1 +∞ =ε () = () lim + 1 g u du1 g u du ε →0 ∫ ∫ b− a b− a 1  f a +  u  vôùi g() u = u2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 147 b • Ñoái vôùi tích phaân f( x ) dx , limf ( x ) = +∞ ta ñoåi bieán ∫ − x→ b a 1 u = , khi ñoù b− x b 1 b−ε 1 du  fxdx fxdx() =ε fb − ( ) = lim+ lim + 1  2  ∫ε→0 ∫a ε → 0 ∫ a b− a u u  1 +∞ ε () = () = lim + 1 g u du1 g u du ε →0 ∫ ∫ b− a b− a 1  f b −  u  vôùi g() u = u2 a) Ñònh lyù 1: Cho f , g xaùc ñònh treân [a, + ∞ ] khaû tích treân [a, b ], ∀b ≥ a. Giaû söû 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, + ∞), ta coù: +∞ +∞ i) Neáu ∫ g( x ) dx hoäi tuï thì ∫ f( x ) dx hoäi tuï a a +∞ +∞ ii) Neáu ∫ f( x ) dx phaân kyø thì ∫ g( x ) dx phaân kyø a a Chöùng minh : x  / x  / ∀x ∈ [a, + ∞) ta coù ∫ f( x ) dx  = f(x) ≥ 0 vaø ∫ g( x ) dx  = g(x) ≥ 0 a  a  x x ⇒ ∫ f( x ) dx vaø ∫ g( x ) dx laø 2 haøm taêng treân [a, + ∞) a a +∞ x i) Giaû söû g( x ) dx hoäi tuï ⇒ limg ( x ) dx = M (höõu haïn) ∫ x→+∞ ∫ a a x x ⇒ ∀x∈[a, + ∞) : ∫ f( x ) dx ≤ ∫ g( x ) dx ≤ M a a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 148 x ∫ f( x ) dx taêng vaø bò chaën treân treân [a, + ∞) a x +∞ ⇒ limf ( x ) dx toàn taïi höõu haïn ⇒ f( x ) dx hoäi tuï. x→+∞ ∫ ∫ a a +∞ x ii) Giaû söû f( x ) dx phaân kyø ⇒ limf ( x ) dx = + ∞ ∫ x→+∞ ∫ a a ⇒ ∀M, ∃x1 ∈ [a, + ∞) sao cho x > x 1 x ∀ ∃ ∈ [ ∞ Ta coù ∫ f( x ) dx > M ⇒ M, x1 a, + ) sao cho x > x 1 a x x Ta coù ∫g() x dx≥ ∫ f () x dx > M a a x x ⇒ limg ( x ) dx = + ∞ ⇒ g( x ) dx : phaân kyø x→+∞ ∫ ∫ a a b) Ñònh lyù 2 : Cho f, g laø 2 haøm xaùc ñònh, döông treân [a, + ∞). Giaû f( x ) söû f, g khaû tích treân [a, x ], ∀x ≥ a vaø lim = k. Khi ñoù: x→+∞ g( x ) +∞ +∞ i) Neáu 0 < k < + ∞ thì ta coù: ∫ f( x ) dx & ∫ g( x ) dx cuøng baûn chaát a a (cuøng hoäi tuï hoaëc cuøng phaân kyø) +∞ +∞ ii) Neáu k = 0 vaø ∫ g( x ) dx hoäi tuï thì ∫ f( x ) dx hoäi tuï a a +∞ +∞ iii) Neáu k = 0 vaø ∫ f( x ) dx phaân kì thì ∫ g( x ) dx phaân kì a a +∞ +∞ iv) Neáu k = + ∞ vaø ∫ f( x ) dx hoäi tuï thì ∫ g( x ) dx hoäi tuï a a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 149 +∞ +∞ v) Neáu k = + ∞ vaø ∫ g( x ) dx phaân kì thì ∫ f( x ) dx phaân kì a a Chöùng minh : Ta chæ chöùng minh tröôøng hôïp i) i) Giaû söû 0 0, ∃x1 sao cho x > x 1 x→+∞ g( x ) f( x ) f( x ) Ta coù : − k 0, ∃x2 khaù lôùn sao cho x > x 2, ta coù : 2 k k f( x ) k 3k k 3k = k - < < k + = ⇔ g(x)< f(x) < g(x) (1) 2 2 g( x ) 2 2 2 2 +∞ +∞ +∞ k ∫ f( x ) dx hoäi tuï ⇒ ∫ g( x ) dx hoäi tuï ⇒ ∫ g( x ) dx hoäi tuï a a 2 a +∞ +∞ +∞ 3k ∫ f( x ) dx phaân kyø ⇒ ∫ g( x ) dx phaân kyø ⇒ ∫ g( x ) dx phaân kyø a a 2 a +∞ +∞ Töôngtöï: ∫ g( x ) dx hoäi tuï ⇒ ∫ f( x ) dx hoäi tuï a a +∞ +∞ ∫ g( x ) dx phaân kì ⇒ ∫ f( x ) dx phaân kyø a a Nhaän xeùt : + Ñònh lyù 1 chæ aùp duïng khi f, g khoâng aâm treân [a, + ∞) + Ñònh lyù 2 chæ aùp duïng khi f, g döông treân [a, + ∞) +∞ +∞ + Tích phaân f() x dx cuøng baûn chaát vôùi f() x dx vôùi moïi A ∫A ∫a thoûa a≤ A <+∞ c) Ñònh lyù 3 :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 150 +∞ +∞ Neáu tích phaân ∫ f( x ) dx hoäi tuï thì ∫ f( x ) dx cuõng hoäi tuï. a a Ñònh nghóa : +∞ +∞ i) Neáu ∫ f( x ) dx hoäi tuï, ta noùi ∫ f( x ) dx hoäi tuï tuyeät ñoái . a a +∞ +∞ ii) Neáu ∫ f( x ) dx hoäi tuï nhöng ∫ f( x ) dx khoâng hoäi tuï, ta noùi a a +∞ ∫ f( x ) dx hoäi tuï khoâng tuyeät ñoái , hay baùn hoäi tu ï. a Ví duï 1 : +∞ xdx Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa ∫ 33 5 1 1+x 1 + x +∞ dx α α ≤ Nhaéc laïi : ∫ α hoäi tuï khi > 1, phaân kyø khi 1 1 x x x 1 ∀x ≥ 1, ta coù: ≤ = +33 + 5 3 5 13 1x 1 x x2 x 3 x 6 +∞ dx 13 Maø tích phaân hoäi tuï (vì α = > 1) ∫ 13 6 1 x 6 +∞ xdx ⇒ hoäi tuï ∫ 33 5 1 1+x 1 + x Caùch khaùc : x +33 + 5 Ta coù : lim 1x 1 x = 1 (0 < k = 1 < + ∞) x→+∞ 1 13 x 6
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 151 +∞ +∞ xdx dx Do ñònh lyù 2 ta suy ra ∫ hoäi tuï (vì ∫ 13 hoäi tuï) +33 + 5 1 1x 1 x 1 x 6 Ví duï 2 : +∞ (x+ 5) dx Xeùt söï hoäi tuï cuûa : ∫ 3 3 1 x1+ x Caùch 1 : ∀x ≥ 1, ta coù: x + 5 x x 1 ≥ = = 3 + 3 1 1 3 5 x1 x x3 x3+ x 3 2x3 x 2 2x 6 +∞ dx 5 Maø tích phaân phaân kyø (vì α = < 1) ∫ 5 6 1 2x 6 +∞ (x+ 5) dx ⇒ phaân kyø ∫ 3 3 1 x1+ x Caùch 2 : x + 5 3 + 3 Ta coù lim x1 x = 1 x→+∞ 1 5 x 6 +∞ +∞ (x + 5) dx ⇒ ∫ vaø ∫ 5 cuøng baûn chaát 3 + 3 1 x1 x 1 x 6 +∞ Ví duï 3 : Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa ∫ sin x2 dx 0 +∞ +∞ Tích phaân ∫ sin x2 dx cuøng baûn chaát vôùi ∫ sin x2 dx 0 π 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 152 +∞ 2 b b sin t Ta coù: sin x2 dx = lim sin x2 dx = lim dt ∫ b→+∞ ∫ b→+∞ ∫ π π π 2 t 2 2 2 dt (t = x 2 ⇒ x = t ⇒ dx = ) 2 t 1 1 Ñaët u = ⇒ du = - dt ; dv = sintdt, choïn v = - cost 2 t 3 4t 2 b +∞ 1 b cos tdt cos tdt ⇒ I= lim− cos t π - lim = - b→+∞ b→+∞ ∫ 3 ∫ 3 2 t π π t 2 t 2 2 2 4 2 4 +∞ cos t 1 1 3 Maø ≤ vaø dt hoäi tuï ( α = > 1) 3 3 ∫ 3 2 t 2 t 2 π t 2 4 4 2 4 +∞ +∞ +∞ cos t cos t ⇒ ⇒ ⇒ 2 ∫ 3 dt hoäi tuï ∫ 3 dt hoäi tuï ∫ sin x dx hoäi tuï. π t 2 π t 2 0 2 4 2 4
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 153 Chöông VIII HAØM NHIEÀU BIEÁN I Caùc khaùi nieäm : 1. Ñònh nghóa : Cho D ⊂ ℝn , aùnh xaï f : D → ℝ , (x 1, , x n) ֏ u = f(x 1, x 2, , x n) ñöôïc goïi laø haøm n bieán xaùc ñònh treân D. Ví duï : f(x, y, z) = x 2 - 3xy + 5yz 7 coù MXÑ laø ℝ3 x2+ xy − y 2 f(x, y, z) = coù MXÑ laø ℝ3 \{(x, y, z)/xyz = 0 } xyz 2 2. Khoaûng caùch : Vôùi x = (x 1, x 2, , x n), y = (y 1, y 2, , y n) ta ñònh nghóa khoaûng caùch giöõa x vaø y laø n − 2 d(x, y) = ∑(xi y i ) i=1 =( ) ∈ n 3. Quaû caàu môû, quaû caàu ñoùng : vôùi M xx1, 2 , , x n ℝ vaø ε > 0 , ta goïi: BM( ,ε) ={ y ∈ℝn / ρ( xy , ) < ε } laø quaû caàu môû taâm M, baùn kính ε . BM( ,ε) ={ y ∈ℝn / ρ( xy , ) ≤ ε } laø quaû caàu ñoùng taâm M, baùn kính ε . 4. Taäp môû , taäp ñoùng : Taäp D ⊂ ℝn ñöôïc goïi laø taäp môû neáu =( ) ∈ vôùi moïi M xx1, 2 , , xn D , toàn taïi quaû caàu môû taâm M, baùn kính ε chöùa trong D. Taäp D ⊂ ℝn ñöôïc goïi laø taäp ñoùng neáu phaàn buø ℝn \ D laø taäp môû. Ví du ï: A={(,) xy ∈ℝ2 / xy 2 +< 2 4 } laø taäp môû trong ℝ2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 154 B={(,,) xyz ∈ℝ3 / xyz 2 ++≤ 2 2 1 } laø taäp ñoùng trong ℝ3 . 5. Ñieåm tu ï: Cho taäp D ⊂ ℝn , ñieåm M∈ D goïi laø ñieåm tuï cuûa D neáu moïi taäp môû V chöùa M thì ta coù D ∩ V \ {M} ≠ ∅ II. Giôùi haïn vaø lieân tuïc : 1. Ñònh nghóa : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân taäp D ⊂ ℝn , giaû 0 0 0 ∈ söû x 0 = (x1 , x 2 , , x n ) D vaø x 0 laø ñieåm tuï cuûa D. Soá A ñöôïc goïi laø giôùi haïn cuûa f taïi x 0 neáu ∀ε > 0, ∃α > 0 sao cho x ∈ D vaø 0 < d(x, x 0) < α ⇒ |f(x) – A | < ε. Kyù hieäu: limf ( x ) = A , hay limfxx ( , , , x ) = A, → → 0 0 1 2 n x x 0 (xx1 , 2 , , xn ) ( x 1 , , x n ) hay limfxx ( , , , x ) = A hay f(x) → A khi x → x 0 → 0 1 2 n x1 x 1 → 0 x2 x 2 ⋯⋯⋯ → 0 xn x n 2. Ñònh nghóa : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân taäp D chöùa x 0. Ta noùi f lieân tuïc taïi x 0 neáu limf ( x ) = f(x 0) → x x 0 • f lieân tuïc treân D neáu f lieân tuïc taïi moïi x ∈ D. Ghi chuù: Söï lieân quan giöõa giôùi haïn haøm vaø giôùi haïn daõy töông töï nhö haøm moät bieán. Ví duï: 3x− y ( i ) f(x, y) = coù lim(limf ( x , y )) = 3 x+ 5 y x→0 y → 0 1 vaø lim(limf ( x , y )) = − nhöng limf ( x , y ) khoâng toàn taïi vì y→0 x → 0 x→0 5 y→0 1 1  2 1  (x n, y n) = ,  → (0, 0) vaø (x’ n, y’ n) = ,  → (0, 0) n n  n n  2 n 1 5 n 5 maø f(x n, y n) = → vaø f(x’ n, y’ n) = → 6 n 3 7 n 7
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 155 x2 y 2 (ii) f(x,y) = coù xy2 2+( x − y ) 2 lim limf ( x , y )  = lim limf ( x , y )  = 0 nhöng limf ( x , y ) khoâng x→0 y → 0  y→0 x → 0  x→0 y→0 1 1  → ( ′ ′ ) 1− 1  → toàn taïi vì (x n, y n) = ,  (0,0) vaø xn, y n =,  (0, 0) n n  n n  1 1 4 4 n → ( ′ ′ ) n → 1 maø f(x n, y n) = 1 vaø f xn, y n = 1 1+ 4 5 n4 n4 n 4 III. Ñaïo haøm rieâng : Ñònh nghóa : Giaû söû u = f(x 1, x 2, , x n) xaùc ñònh treân taäp môû n D ⊂ ℝ vaø A(a 1, a 2, a 3, , a n) ∈ D. Neáu faa( , , , ah+ , , a ) − faa ( , , a ) lim 12i n 12 n h→0 h toàn taïi höõu haïn thì giôùi haïn ñoù ñöôïc goïi laø ñaïo haøm rieâng cuûa haøm u = f(x 1, x 2, , x n) taïi A(a 1, a 2, , a n) theo bieán x i. Kyù hieäu: ∂ f ∂ u (a , a , , a ) hay (a , a , , a ) ∂ 1 2 n ∂ 1 2 n xi xi hay u/ hay f / hay u/ hay f / xi xi i i Nhaän xeùt : Ñaïo haøm rieâng theo bieán x i thì rieâng xi coi nhö bieán soá vaø caùc x k vôùi k ≠ i thì coi nhö haèng soá. Ví duï: f(x, y, z) = xy 3z6 + y 2 + 5y 4z3 + 8x 5z, ta coù: ∂ f ∂ f = y3z6 + 40x 4z, = 3xy 2z6 + 2y + 20y 3z3, ∂ x ∂ y
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 156 ∂ f = 6xy 3z5 + 15y 4z2 + 8x 5 ∂ z IV. Ñaïo haøm cuûa haøm hôïp : n Cho x = (x 1, x 2, , x n) ∈U ⊂ ℝ ,U m ở. m t = (t 1, t 2, , t m ) ∈V ⊂ ℝ , V m ở → ℝ → ℝn ∀ = f: U , gk : V , k1, n ⊂ Giaû söû gk ( V ) U . .Cho z = f(x 1, x 2, , x n) ; x k = g k(t 1, t 2, , t m), k = 1, n . Giaû söû f coù caùc ñaïo haøm rieâng theo bieán x k , k = 1, n t ại x ; gk coù caùc ñaïo haøm rieâng theo bieán t i, i = 1, m t ại t. Khi ñoù, ta coù: ∂ z n ∂ f ∂ x (t) = ()xk () t , i = 1, m ∂ ∑ ∂ ∂ ti k=1 xk t i Ví duï : z = f(x 1, x 2, x 3) ; x k = g k(t 1, t 2, t 3, t 4), k = 1,2, 3 ∂ z ∂z∂x ∂ z ∂ x ∂ z ∂ x = 1+ 2 + 3 ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ t1 xt11 xt 21 xt 31 ∂∂zz∂x ∂ z ∂ x ∂ z ∂ x =1 + 2 + 3 ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ t2 xt 12 xt 22 xt 32 ∂ z ∂ z Töông töï cho vaø . ∂ ∂ t3 t4 2− 3 2 2+ 4 Ví duï : f(x 1, x 2) = x1 x 2 ; x 1 = 3t 1 + t2 , x 2 = t1 t 2 ∂ f ∂f∂x ∂ f ∂ x = 1+ 2 = 2x (3) + (−3x2 ) (2t ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 1 t1 xt11 x 21 t = +−2 2 + 4 2 18t1 6 t 2 6 ttt 11( 2 ) ∂ ∂∂ ∂ ∂ f fx1 f x 2 2 3 = + = (2x 1)(2 t2) + (−3x ) (4t ) ∂ ∂∂ ∂ ∂ 2 2 t2 xt12 xt 22
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 157 = 4(3t + 2 )t − 12 2+ 42 3 1 t2 2 (t1 t 2) t 2 V. Vi phaân : Haøm u = f(x 1, x 2, , x n) xaùc ñònh treân taäp môû D chöùa x = (x 1, x 2, , x n) ñöôïc goïi laø khaû vi taïi x = (x 1, x 2, , x n) neáu soá gia toaøn phaàn cuûa noù ∆=( +∆ +∆ +∆ +∆−) ( ) ufx112233 xx, xx , x , , xn x n fxxx 123 , , , , x n coù theå bieåu dieãn döôùi daïng ∆u = A 1∆x1 + A 2∆x2 + + A n∆xn + o(ρ) o(ρ ) vôùi A i khoâng phuï thuoäc vaøo ∆xi, ∀i = 1, n vaø lim = 0, ρ→0 ρ ρ = ∆2 +∆ 2 + +∆ 2 ρ trong ñoù x1 x 2 x n ( > 0) • Neáu haøm u = f(x 1, x 2, , x n) khaû vi taïi x = (x 1, x 2, , x n) thì ∂ u ∂ u ∀i = 1, n ta coù (x ) toàn taïi vaø (x ) = A i ∂ ∂ xi xi ∂u ∂ u ∂ u ⇒ ∆u = ().xx∆+ () xx ∆++ () xx ∆ + o(ρ) ∂1 ∂ 2 ∂ n x1 x 2 x n ∂u ∂ u ∂ u Ta goïi du(x) = ()xx∆+ () xx ∆++ () xx ∆ ∂1 ∂ 2 ∂ n x1 x 2 x n laø vi phaân toaøn phaàn cuûa u = f(x 1, x 2, , x n) taïi x = (x 1, x 2, , x n) = = = ∆ Khi u x i ta coù du dxi x i , neân ta vieát : ∂u ∂ u ∂ u du = dx+ dx + + dx ∂1 ∂ 2 ∂ n x1 x 2 x n Ví duï: u = 3x 5 y - 2y 3z2 + 6xyz du =(15x 4y+6yz)dx + (3x 5-6y 2z2 + 6xz)dy + (6xy- 4y 3z)dz
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 158 ∂u Ñònh ly ù: Cho taäp môû D ⊂ ℝn . Neáu ∀i = 1, n , toàn taïi vaø lieân tuïc ∂ xi treân D chöùa x = (x1 , x 2 , , x n ) thì u khaû vi taïi x = (x1 , x 2 , , x n ) . ∂u Ghi chuù: Coù khi (x) toàn taïi ∀i = 1, n nhöng u khoâng khaû vi taïi ∂ xi x. VI. Ñaïo haøm rieâng caáp cao vaø vi phaân caáp cao : n 1. Ñònh nghóa : Cho x = (x 1, x 2, , x n) ∈U ⊂ ℝ , U m ở. Giaû söû ∂ u ∂ u toàn taïi vaø coù ñaïo haøm rieâng theo bieán x taïi x thì ∂ ∂ k xi xi ∂ ∂ u  (x ) ñöôïc goïi laø ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa u theo ∂ ∂  xk x i  bieán x i , x k taïi x vaø ta kyù hieäu ∂ 2u (x ) hay u(2) ( x ) , hay u/ / ( x ) hay u/ / ( x ) . ∂ ∂ xi x k xi x k ik xi x k ∂ 2u ∂ 2u Neáu i ≠ k thì (x ) vaø (x ) ñöôïc goïi laø ñaïo haøm ∂ ∂ ∂ ∂ xi x k xi x k hoãn hôïp . Töông töï ta coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 3: ∂3u∂ ∂∂ 23 uu ∂  ∂ 2 u =, =  , ∂∂xx2 ∂ x ∂∂ xx ∂∂ xx2 ∂ x  ∂∂ xx ik i ik ik k ik ∂3u∂ ∂∂ 23 uu  ∂  ∂ 2 u  =  , =   ∂x3∂ x ∂∂∂ x 2  xxx ∂ ∂ x ∂∂ xx  kk k  ijk kij  2. Ñònh lyù Schwarz : Cho u laø haøm xaùc ñònh treân taäp môû D ⊂ ℝn . ∂ 2u ∂ 2u Neáu u coù caùc ñaïo haøm rieâng , lieân tuïc treân D ∂ ∂ ∂ ∂ xi x k xk x i chöùa (a 1, a 2, , a n), ∀i, k = 1, n thì
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 159 ∂ 2u ∂ 2u (a , a , , a ) = (a , a , , a ) ∂ ∂ 1 2 n ∂ ∂ 1 2 n xi x k xk x i Ghi chu ù: Do ñònh lyù Swcharz neân moät soá taùc giaû coøn söû duïng kyù hieäu ∂ ∂ u  ∂2 u = ∂ ∂  ∂ ∂ xk x i  xx ki Ví duï: f(x, y, z) = x 3y5z8 + x 2y2 + y 2z2 2 ∂ f 2 5 8 2 ∂ f 5 8 2 = 3x y z +2xy , = 6xy z +2y , ∂ x ∂ x2 ∂ f 3 4 8 2 2 = 5x y z +2x y+2yz ∂ y 2 2 2 ∂ f 3 3 8 2 2 ∂f ∂ f 2 4 8 = 20x y z + 2x +2z , = = 15x y z + 4xy ∂ y2 ∂∂xy ∂∂ yx Ví duï: Cho f(x, y, z) = x 2 + y 3 + z 4 - x 6y8z5 Ta coù: ∂ f 5 8 5 ∂ f 2 6 7 5 ∂ f 3 6 8 4 = 2x - 6x y z , = 3y - 8x y z , = 4z - 5x y z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ 2 f ∂ ∂  =   = − 48x5 y 7 z 5 , ∂x ∂ y ∂y ∂ x  ∂ 2 f ∂ ∂  ∂ 2 f =   = − 48x5 y 7 z 5 = ∂y ∂ x ∂x ∂ y  ∂x ∂ y Töông töï ta coù : 2 2 2 2 ∂ f ∂ f 5 8 4 ∂ f ∂ f 6 7 4 = = -30x y z vaø = = -40x y z ∂x ∂ z ∂z ∂ x ∂y ∂ z ∂z ∂ y 2 ∂ f ∂ ∂ f  4 8 5 =   = 2 - 30x y z ∂ x2 ∂x ∂ x 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 160 2 ∂ f ∂ ∂ f  6 6 5 =   = 6y - 56x y z ∂ y2 ∂y ∂ y  2 ∂ f ∂ ∂ f  2 6 8 3 =   = 12z - 20x y z ∂ z 2 ∂z ∂ z   x2− y 2 xy neáuxy()(),≠ 0,0 Ví du ï: Cho haøm soá f() x, y =  x2+ y 2  0neáu()() x , y = 0,0 2 2 ∂f ∂ f Chöùng minh raèng ()0,0≠ () 0,0 ∂∂xy ∂∂ yx   ∂f xy2 − 24 xy 22 Ta coù: ()xyy,= +  ,()() xy , ≠ 0,0 . ∂x x2 + y 2 2+ 2 2  ()x y  ∂f f(∆ x,0) − f ( 0,0 ) Taïi ñieåm (0,0) ta coù: ()0,0= lim = 0 ∂x∆x → 0 ∆ x ∂2 f f'(0,∆ y) − f ' ( 0,0 ) −∆ y suy ra ()0,0= limx x ==− lim 1 ∂∂xy∆y →0 ∆ y∆y → 0 ∆ y Töông töï, ∂2 f f'(∆ x,0) − f ' ( 0,0 ) ∆ x ()0,0= limy y = lim = 1 ∂∂yx∆x →0 ∆ x∆x → 0 ∆ x 3. Vi phaân caáp cao cuûa haøm hai bieán : Cho u = f(x,y) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp n lieân tuïc treân taäp môû D ⊂ ℝ2 chöùa (x,y); ta coù vi phaân caáp n cuûa f taïi (x,y) laø: n n ∂ f( x , y ) − dn f( x , y ) = C k dx nkk dy ∑ n ∂n− k ∂ k k =0 x y Khi n = 2 ta coù: ∂2fxy(,) ∂ 2 fxy (,) ∂ 2 fxy (,) d2 f(,) x y= dx 2 + 2 dxdy + dy 2 ∂x2 ∂∂ xy ∂ y 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 161 Khi n = 3 ta coù : ∂3fxy(,) ∂ 3 fxy (,) ∂ 3 fxy (,) d3 f(,) x y= dx 32 + 3 dx dy + 3 dxdy 2 ∂x3 ∂∂ xy 2 ∂∂ xy 2 ∂3 f( x , y ) + dy 3 ∂y3 Ví duï: f(x,y)=x 3y5 2 2 ∂ f 2 5 ∂ f 3 4 ∂f ∂ f = 3x y , = 5x y ; =6xy5 ; = 20 x 3 y 3 ∂ x ∂ y ∂x2 ∂ y 2 2 2 ∂ f 2 4 ∂ f = 15x y = ∂x ∂ y ∂y ∂ x dfxy2(,)6= xydx 52 + 2(15 xy 24 ) dxdy + 20 xydy 332 6. Coâng thöùc Taylor cho haøm hai bieán : Cho D laø taäp môû trong ℝ2 , f : D → ℝ coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp n lieân tuïc treân D. Vôùi ( x, y )∈D vaø (h, k )∈ℝ2 sao cho: ( x+ th, y + tk ) ∈ D vôùi moïi t ∈ [0,1]. Khi ñoù toàn taïi θ∈(0,1) sao cho: f( x+ hy, + k ) 1 =+++() ' ' 2 ''()()() + '' + 2 ''  fxy,(,) hfxyx kf y hf xx xy ,2, hkf xy xy kf yy xy ,  2! n−1 n−1 − − ∂ f + + 1 i n1 ii () ∑Chkn−1 n−1 − i i xy , ()n−1 ! i=0 ∂ x ∂ y n n − ∂ f +1 i ni i () +θ + θ ∑Chkn n− i i xhyk, n! i=0 ∂ x ∂ y Nhaän xeùt : Neáu ñaët h=∆ xk, =∆ y thì khai trieån Taylor trong laân caän cuûa (x,y) laø : n−1 dfi df n fxxyy()+∆+∆=,∑ () xy , +() x +∆+∆θ xy , θ y i=0 i! n !
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 162 Ví du ï: Khai trieån Taylor haøm soá fxy( , ) = y x trong laân caän cuûa ñieåm (1,1 ) ñeán baäc 2 vaø tính gaàn ñuùng giaù trò bieåu thöùc (1,02) 1,001 Ta coù: f (1,1) = 1 ' ()()= x ' = fxyyyx , ln⇒ f x 1,1 0 '()()=x− 1 ' = fxyxyy , f y 1,1 1 ''()()=x 2 '' = fxyyyxx , ln f xx 1,1 0 ''()()()=x− 1 + '' = fxyyxyxy , ln 1 f xy 1,1 1 ''()()()= −x− 2 '' = fxyxxyyy , 1 f yy 1,1 0 Vaäy ta coù: 1 yx =+−+−−+1()() y 1 x 1(1), y RvôùiR = df3 () 1 +−+−θ()() x 1,1 θ y 1 2 2 3! R 2 = thoûa lim2 2 0 x→1 ()()x−1 + y − 1 y→1 Suy ra (1,02)1,001 ≈++ 1 0, 2 0,01.0, 2 = 1,202 VI. Cöïc trò haøm nhieàu bieán : 1. Ñònh nghóa : Cho haøm soá f(x) = f(x 1, x 2, , x n) xaùc ñònh treân n D ⊂ ℝ vaø a = (a 1, a 2, , an) ∈ D. Ta noùi f ñaït cöïc ñaïi (cöïc tieåu) ñòa phöông taïi a neáu toàn taïi taäp S = {x ∈ D/ ρ(x, a) < α} sao cho f(a) ≥ f(x) (hoaëc f(a) ≤ f(x)), ∀ x ∈ S. Cöïc ñaïi ñòa phöông hay cöïc tieåu ñòa phöông goïi chung laø cöïc trò ñòa phöông . 2. Ñònh lyù(Ñieàu kieän caàn) Cho haøm soá f(x 1, x 2, , x n) xaùc ñònh treân taäp môû D chöùa x 0. Neáu haøm soá f(x 1, x 2, , x n) coù cöïc trò ñòa phöông taïi x = 0 0 0 vaø giaû söû caùc ñaïo haøm 0 (x1 , x 2 , , x n )
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 163 ∂ f ∂ f rieâng caáp moät (x ) toàn taïi ∀i = 1, n thì (x ) = 0, ∀i ∂ 0 ∂ 0 xi xi ∂ 0 0 0 f =1, n . Nhöõng ñieåm x 0 = (x , x , , x ) thoûa ñieàu kieän (x 0) 1 2 n ∂ xi = 0, ∀i = 1, n ñöôïc goïi laø nhöõng ñieåm döøng . Nhöõng ñieåm döøng laø nhöõng ñieåm coù theå ñaït cöïc trò. Ghi chu ù: Ñònh lyù treân chæ laø ñieàu kieän caàn. Coù khi caùc ñaïo haøm = 0 0 0 rieâng taïi x0( xx 1, 2 , , x n ) cuûa f khoâng toàn taïi nhöng f vaãn coù theå ñaït cöïc trò taïi x0 . ∂f ∂ f Ví du ï: fxy(), = x2 + y 2 . Ta coù: ()00, ,() 00 , khoâng toàn taïi ∂x ∂ y nhöng f ñaït cöïc tieåu taïi (0, 0 ) . 3. Daïng toaøn phöông xaùc ñònh daáu : n Haøm A(h , h , , h ) = (* ) cuûa caùc bieán h , h , , h 1 2 n ∑ aij h i h j 1 2 n i, j = 1 ñöôïc goïi laø daïng toaøn phöông , caùc soá a ij ñöôïc goïi laø heä soá cuûa daïng toaøn phöông. • Daïng toaøn phöông (* ) ñöôïc goïi laø xaùc ñònh döông (hoaëc n xaùc ñònh aâm ∀ 2 ) neáu h1, h 2, , h n thoûa ∑ hi > 0 thì (* ) coù i=1 giaù trò döông (hoaëc aâm). • Daïng toaøn phöông xaùc ñònh döông hay xaùc ñònh aâm goïi chung laø daïng xaùc ñònh daáu . n 4. Ñònh lyù: Xeùt daïng toaøn phöông A(h , h , , h ) = (* ) 1 2 n ∑ aij h i h j i, j = 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 164 i) (*) laø daïng toaøn phöông xaùc ñònh döông ⇔ a 11 > 0, a11 a 12 a 1 n a11 a 12 a 13 a11 a 12 a21 a 22 a 2 n > 0, a21 a 22 a 23 > 0, , > 0 a21 a 22 a31 a 32 a 33 an1 a n 2 a nn ii) (*) laø daïng toaøn phöông xaùc ñònh aâm ⇔ a 11 0, a21 a 22 a 23 0 a21 a 22 a31 a 32 a 33 an1 a n 2 a nn 5. Ñieàu kieän ñuû cuûa cöïc trò ñòa phöông : Giaû söû ∀ i, j=1 , n ; ∂ 2 f toàn taïi vaø lieân tuïc trong laân caän cuûa ñieåm döøng x ∂ ∂ 0 xi x j n ∂ 2 0 0 0 2 f = (x , x , , x ) . Neáu d f(x 0) = dx idx j laø daïng toaøn 1 2 n ∑ ∂ ∂ i, j = 1 xi x j phöông xaùc ñònh daáu cuûa caùc bieán dx 1, dx 2, , dx n thì f ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi x 0. 2 2 Khi ñoù neáu d f(x 0) 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x 0. 6. Cöïc trò haøm 2 bieán : ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f Giaû söû , , toàn taïi vaø lieân tuïc taïi M 0(x 0, y 0). ∂ x2 ∂ y2 ∂x ∂ y ∂ f ∂ f Giaû söû (x 0, y 0) = (x 0, y 0) = 0 (M 0 laø ñieåm döøng) ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f Ñaët a 11 = (x 0, y 0) , a 12 = (x 0, y 0), a 21 = (x 0, y 0), ∂ x2 ∂x ∂ y ∂y ∂ x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 165 2 ∂ f a11 a 12 2 a22 = vaø ∆(M 0) = = a 11 a22 - (a 12 ) (vì a 12 = a 21 ) ∂ 2 y a21 a 22 Ta coù: i) Neáu ∆(M 0) 0 ii) 11 thì f ñaït cöïc tieåu taïi (x , y ) ∆ > 0 0  (M 0 ) 0 a 22 0 0  (M 0 ) 0 Nhaän xeùt : • Khi ∆(M 0) > 0 thì a 11 vaø a 22 cuøng daáu. • Khi ∆(M 0) = 0 thì khoâng coù keát luaän toång quaùt. Ví duï: Tìm cöïc trò (neáu coù) cuûa u = f(x, y) vôùi f(x, y) laø i) x2 + y 2 + 2x - 6y – 3. ii) x 3 + y 2 + 12xy + 1 y 1 iii) x + + + 2. iv) 3 - x2+ y 2 4x y 2 2 x y 4 4 2 2 v) xy 1− − vi) 2x + y - x - 2y + 6 4 9 vii) x4 + y 4 - x 2 - y 2 - 2xy + 5 Giaûi ∂ u i) u’ x = = 2x + 2, u’ y = 2y - 6. ∂ x  ' = = − ux 0 x 1 Tìm ñieåm döøng  ⇔  ' = = uy 0 y 3 ∂ 2 ∂ 2 '' ' u '' u a11 = u =u = (-1, 3) = 2, u = (-1, 3) = 2 xx x2 ∂ x2 y2 ∂ y2 ∂ 2 f ∂ 2 f a12 = (-1, 3) = (-1, 3) = 0 ∂x ∂ y ∂y ∂ x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 166 2 0 ⇒ ∆(-1, 3) = = 4 > 0 vaø a 11 > 0 0 2 ⇒ Haøm ñaït cöïc tieåu taïi (-1, 3) vaø U CT = -13 u' = 0 = = 2  x ⇔ x 0 ∨ x 24 ii) u’ x = 3x + 12y, u’ y = 2y + 12x,    ' = = = − uy 0 y 0 y 144 u'' = 6x, u'' = 2, u'' = 12 x2 y2 xy 0 12 ∆(0, 0) = = -144 0 vaø a 11 = 144 > 0 12 2 ⇒ haøm ñaït cöïc tieåu taïi (24, -144) Baïn ñoïc töï giaûi caùc ví duï coøn laïi. ∂ 2 f 7. Ñònh lyù: Giaû söû toàn taïi vaø lieân tuïc taïi ñieåm döøng ∂ ∂ xi x j = 0 0 0 ∀ x 0 ( x1, x 2 , , x n ) i, j = 1, n . a11 a 12 a 1k 2 ∂ f a21 a 22 a 2k Ñaët aij = ()x ; Hk = , k = 1, n . ∂ ∂ 0 xi x j ak1 a k2 a kk Ta coù : i) Neáu H k > 0, ∀k = 1, n ⇒ f ñaït cöïc tieåu taïi x0 k ii) Neáu ( −1) H k > 0, ∀k = 1, n ⇒ f ñaït cöïc ñaïi taïi x0 iii) Neáu ∃ k ∈ {1, 2, , n −2} sao cho : H k. H k+2 < 0 ⇒ f khoâng ñaït cöïc trò taïi x 0. iv) Neáu ∃k sao cho H 2k < 0 ⇒ f khoâng ñaït cöïc trò taïi x 0. Tröôøng hôïp rieâng khi n = 3 ta coù :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 167 + H 1, H 2, H 3 > 0 ⇒ f ñaït cöïc tieåu. + H1 0, H 3 0 ∂ f  = 0 ≠ 2 2  ∂ xyz 0 x= z  x  2  2 ∂ f 2y= x  x =⇔ ⇔= 0 2  y ∂ y xz= 4 y  2 2 2 ∂ f =  2x 2 = 0 2y z  x = 4( )  ∂ z  2 x2= x 4 x2=1 = z 2 = = = = −  2 x z 1 x z 1 ⇔  x ⇔   y =  1 hay  1  2 y = y =  >  2  2 xz 0 ⇒ Coù 2 ñieåm döøng laø M 1 (1, 1/2, 1), M 2 ( −1, 1/ 2, −1)
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 168 + Xeùt taïi M 1 (1, 1/2, 1) ∂ 2 f a11 = (M 1) = 2; a 22 = 8, a 33 = 2; ∂ x2 ∂ 2 f a12 = a 21 = (M 1) = −2; ∂x ∂ y ∂ 2 f a13 = a 31 = 0; a23 = a 32 = (M 1) = −2 ∂y ∂ z 2 -2 0    2 -2 H = -2 8 -2  , H 1 = 2, H 2 = = 12 vaø   -2 8 0 -2 -2  2 -2 0 2 -2 0 6 -2 H3 = -2 8 -2 = 0 6 -2 = 2 = 16 -2 2 0 -2 2 0 -2 2 1 ⇒ f ñaït cöïc tieåu taïi M 1 (1, , 1) 2 1 + Xeùt taïi M 2 ( −1, , −1) 2 a11 = −2, a 22 = −8, a 33 = −2, a 12 = −2, -2 -2 a 13 = 0, a 23 = −2. H 1 = −2 0 vaø -2 -8 -2 -2 0 -2 -2 0 -6 -2 H3 = -2 - 8 -2 = 0 -6 -2 = −2 = −16 < 0 -2 -2 0 -2 - 2 0 -2 -2 ⇒ f ñaït cöïc ñaïi taïi M 2 ( −1, 1/ 2, −1) 8. Cöïc trò coù ñieàu kieän : Baøi toaùn: Tìm cöïc trò cuûa haøm z = f (x 1, x 2, , x n) thoûa m ñieàu kieän (vôùi m < n):
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 169 = g(1x 1 , x 2 , , x n ) 0 (1)  g(x , x , , x )= 0 (2) (I)  2 1 2 n   = g(,mxxx 1 2 , ,n ) 0 () m • Caùch 1 : Giaû söû m < n vaø ta coù = = g112 (xxx , , ,n ) 0  xhxx 1112 ( mmn+ , + , , x )   g (xxx , , , )= 0  xhxx = (+ , + , , x ) 212n⇔  2212 mmn   =  = gm (xxx 1 , 2 , ,n ) 0  xhxx mmmm (+1 , + 2 , , x n ) ⇒ z = f (x m+1 , x m+2 , , x n) laø haøm coù n − m bieán. Khi ñoù ta tìm cöïc trò khoâng ñieàu kieän cuûa haøm n-m bieán. 3+ 2 − Ví duï: Tìm cöïc trò cuûa : f(x 1, x 2 , x 3, x 4 ) = 2x 1 + x25 x 3 3 x 4 thoûa ñieàu kieän: x− x + x − x = 3 (*) 1 2 3 4 (m = 2, n = 4)  +− + = xx125 x 3 3 x 4 1 x=2 + 2 x − x Ta coù (*) ⇔ 1 3 4  =−+ − x21 3 x 3 2 x 4 Theá vaøo bieåu thöùc cuûa haøm f ta coù 3+ 2 − f(x 1, x 2 , x 3, x 4 ) = 2x 1 + x25 x 3 3 x 4 = + −+−+() −3 +2 − 2(22xx34 ) 13 xx 34 2 5 xx 34 3 = F (x 3, x 4 ) • Caùch 2 : m Ñaët φ (x , x , , x , λ , , λ ) = f(x) + λ 1 2 n 1 m ∑ jg j ( x ) j=1 = ( ) φ vôùi x x1, , x n . Haøm ñöôïc goïi laø haøm phuï Lagrange.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 170 Ñònh ly ù ( Ñieàu kieän caàn ) Giaû söû f, g 1, g 2, , g m coù caùc ñaïo haøm = 000 0 rieâng caáp 1 taïi x0 (x 1 ,x 23 ,x , ,xn ) vaø f ñaït cöïc trò taïi x0 . Khi ∂φ 0 0 0 (x0 ) ñoù ∃ λ, λ , , λ sao cho = g j( x ) = 0,∀j = 1, m 1 2 m ∂λ 0 j ∂φ vaø (x00 , x , x 000 ,λ , λ , , λ 0 )= 0 , ∀k = 1, n . ∂ 12n 12 m xk Do ñoù ñeå tìm cöïc trò coù ñieàu kieän, ta giaûi heä phöông trình: ∂φ  = =  0,j 1, m ∂λ i  ∂φ  =0,k = 1, n ∂  xk Neáu 00 000λ λ λ 0 laø nghieäm cuûa heä treân thì (x12 , x , , x n , 12 , , , m ) x = 0 0 0 ñöôïc goïi laø ñieåm döøng. λ0, λ 0 , , λ 0 ñöôïc goïi 0 (x1 , x 2 , , x n ) 1 2 m laø caùc nhaân töû Lagrange . Ñònh lyù: (Ñieàu kieän ñuû) ∂ 2 f Giaû söû ñieàu kieän caàn cuûa ñònh lyù treân ñöôïc thoûa vaø toàn taïi, ∂ ∂ xi x j λ λ0 λ 0 λ 0 lieân tuïc taïi ñieåm döøng x0 öùng vôùi 0 = ( 1, 2 , , m ) . ∂2 φ λ ∂ g ∂2 φ (x0 , 0 ) j Ñaët a ij = , b ij = ()x= () x ∂ ∂ ∂0 ∂ ∂λ 0 xi x j xi x i j
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 171 aa11 12 ab 1k 11 b 12 b 1 m a21 a 22 abb 2k 21 22 b 2 m aak12 k abb kk k 12 k b km Hk = ;k= 1, 2, , n b11 b 21 b k 1 0 0 0 b12 b 22 b k 2 0 0 0 b1m b 2 m b km 0 0 0 = Hb H n Ta coù: m i) Neáu (-1) Hk > 0, ∀k = m+1, n ⇒ f ñaït cöïc tieåu thoûa ñieàu kieän (I) taïi x0 k ii) Neáu (-1) Hk > 0, ∀k = m+1, n ⇒ f ñaït cöïc ñaïi thoûa ñieàu kieän (I) taïi x0 . Ví duï 1: n = 4, m = 1 ∂ g a11 a 12 a 13 ∂ g ∂ x a a 1 11 12 ∂ x ∂ g 1 a a a 21 22 23 ∂ ∂ g x2 H2 = a a ; H3 = 21 22 ∂ ∂ x2 g a31 a 32 a 33 ∂g ∂ g ∂ x 0 3 ∂x ∂ x ∂g ∂ g ∂ g 1 2 0 ∂ ∂ ∂ x1 x 2 x 3
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 172 ∂ g a a aa 11 12 13 14 ∂ x1 ∂ g a a aa 21 22 23 24 ∂ x2 ∂ g H4 = a a aa 31 32 33 34 ∂ x3 ∂ g a a aa 41 42 43 44 ∂ x4 ∂g ∂ g ∂ g ∂ g 0 ∂ ∂ ∂ ∂ x1 x 2 x 3 x 4 Ta coù : m i) H2 0, H 3 0 ⇒ f ñaït cöïc ñaïi. Ví duï 2: n = 3, m = 1. Ta coù : i) H2 0, H 3 0 ⇒ cöïc tieåu ii) H 3 0 ⇒ cöïc ñaïi Ví duï 4: Tìm cöïc trò cuûa : f(x, y, z, t) = x + y + z + t vôùi ñieàu kieän : g (x, y, z, t) = 81 - xyzt = 0 (ta coù m = 1, n = 4) 81 Caùch 1 : t = xyz 81 ⇒ f(x, y, z, t) = F (x, y, z) = x + y + z + xyz ∂ F 81 ∂ F 81 ∂ F 81 = 1 - , = 1 - , = 1 - , ∂ x x2 yz ∂ y xy2 z ∂ z xyz 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 173 ∂ 2 F 162 ∂ 2 F 162 ∂ 2 F 162 = , = , = ∂ x2 x3 yz ∂ y2 xy3 z ∂ z2 xyz 3 ∂ 2 F 81 ∂ 2 F 81 ∂ 2 F 81 = , = , = ∂x ∂ y x2 y 2 z ∂y ∂ z xy2 z 2 ∂x ∂ z x2 yz 2 ∂ F  = 0 ∂ 2  x x yz = 81 ∂ F  x= y = z = ⇔ 2 = ⇔  0 xy z 81  4  ∂ y  x = 81 xyz 2 = 81 ∂ F   = 0  ∂ z ⇔ x = y = z = 3 ∨ x = y = z = -3 162 2 Xeùt taïi M 1(3, 3, 3), a 11 = a 22 = a 33 = = 81.3 3 1 a12 = a 21 = a 13 = a 31 = a 23 = a 32 = 3 2 1 1 3 3 3 2 1 1 1211 4 H3 = = 1 2 1 = 333 27 27 1 1 2 1 1 2 3 3 3 2 1 3 3 12 1 1 H2 = = = , 1 29 1 2 3 3 3 2 H1 = 3 H1, H 2, H 3 > 0 ⇒ F ñaït cöïc tieåu taïi M 1 (3, 3, 3) 81 ⇒ t = ⇒ t = 3 ⇒ f ñaït cöïc tieåu thoûa ñieàu kieän xyz
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 174 g(x, y, z, t) = 0 taïi M’ 1 (3, 3, 3, 3) Xeùt taïi M 2 (-3,-3, -3) 2 1 Ta coù : a 11 = a 22 = a 33 = − ; a12 = a 13 = a 23 = − 3 3 2 1 1 1 4 1 2 1 1 2 ⇒ H 3 = − 1 2 1 = − ; H2 = = ; H1 = − 27 27 9 1 2 3 3 1 1 2 H1 0, H 3 < 0 ⇒ f ñaït cöïc ñaïi thoûa ñieàu kieän ′ g(x, y, z, t) = 0 taïi M 2 (-3, -3, -3, -3) Caùch 2 : Ñaët φ(x, y, z, t, λ) = x + y + z + t + λ(81 - xyzt) Ñieåm döøng laø nghieäm cuûa : ∂φ =81 −xyzt = 0 ∂λ  ∂φ ∂φ  =−1λyzt = 0; =− 1 λ xzt = 0 ∂x ∂ y ∂φ ∂φ  =−1λxyt = 0; =− 1 λ xyz = 0 ∂z ∂ t x= y = z = t = 3 x= y = z = t =− 3 ⇔    1 hay  1 λ = λ = −  27  27 ∂ g ∂ g ∂ g ∂ g = -yzt, = -xzt, = -xyt, = -xyz ∂ x ∂ y ∂ z ∂ t ∂φ2 ∂φ 2 ∂φ 2 ∂φ 2 = = = = 0 , ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 ∂ t 2 ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ = -λzt, = -λxt, = -λyt, ∂x ∂ y ∂y ∂ z ∂x ∂ z ∂2 φ ∂φ2 ∂φ 2 = -λxy, =−λyz; =− λ xz ∂z ∂ t ∂∂xt ∂∂ yt
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 175 1 Xeùt taïi M 1 = (3, 3, 3, 3) vôùi λ1 = 27 ∂g ∂ g ∂ g ∂ g ()M= () M = () M = () M = -27 ∂x1 ∂ y 1 ∂ z 1 ∂ t 1 a11 = a 22 = a 33 = a44 = 0, a 12 = a 21 = a 13 = a 31 = a 14 = a 41 = a 23 = a 32 = 1 1 a24 = a42 = a34 = a 43 = - . 3. 3 = - 27 3 1 1 1  0− − − − 27  3 3 3  1 1 1  −0 −−− 27 3 3 3    1 1 1 ⇒ H b = −−0 −− 27  3 3 3  1 1 1  −−−0 − 27  3 3 3  −27 − 27 − 27 − 27 0      1 0− − 27 3 1 5 H2 = −0 − 27 = -2.3 3 −27 − 27 0 1 1 0− − − 27 3 3 1 1 −0 − − 27 5 H3 = 3 3 = -3 1 1 − −0 − 27 3 3 −27 − 27 − 27 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 176 1 1 1 0− − − − 27 3 3 3 1 1 1 −0 −−− 27 3 3 3 1 1 1 3 H4 = −−0 −− 27 = -4.3 3 3 3 1 1 1 −−−0 − 27 3 3 3 −27 − 27 − 27 − 27 0 m Ta coù : (-1) Hk = -Hk > 0, ∀k = 2,4 ⇒ f ñaït cöïc tieåu thoûa ñieàu kieän g(x, y, z, t) = 0 taïi M1 (3, 3, 3, 3). 1 Xeùt taïi M 2(-3, -3, -3, -3) vôùi λ2 = − . Töông töï, ta coù: 27 5 5 3 H 2 = 2.3 , H 3 = -3 , H 4 = 4.3 k ⇒ (-1) Hk > 0, ∀k = 2,4 ⇒ f ñaït cöïc ñaïi thoûa ñieàu kieän g(x, y, z, t) = 0 taïi M 2(-3, -3, -3, -3) Chuù yù: A , B laø 2 ma traän vuoâng caáp n vaø B = - A thì detB = (- 1) n detA Ví du ï: Tìm cöïc trò cuûa haøm f(x, y, z) = 2x + y + 3z thoûa ñieàu kieän: x2+ 4y 2 + 2z 2 = 35 (1) Caùch 1: Duøng baát ñaúng thöùc BCS. Caùch 2: Ñaët g(x, y, z) = x 2+ 4y 2 + 2z 2 – 35. Ñaët F(x, y, z, λ) = f + λg = 2x + y + 3z + λ( x 2+ 4y 2 + 2z 2 – 35) ∂F ∂F =2 + 2 λx ; =1 + 8 λ y ∂x ∂y
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 177 ∂F ∂F =3 + 4 λz ; ==+gx24 y 2 + 2 z 2 − 35 ∂z ∂λ ∂2 F ∂2 F ∂2 F ∂2 F = 2λ ; = 8λ ; = 4λ ; = 0 ∂x2 ∂y2 ∂z2 ∂λ 2 ∂2 F ∂2 F ∂2 F ∂2 F ∂ g ∂2 F ∂ g = = = 0 ; = = 2x ; = = 8y ; ∂x ∂ y ∂x ∂ z ∂y ∂ z ∂λ ∂x ∂ x ∂λ ∂y ∂ y ∂2 F ∂ g = = 4z ∂λ ∂z ∂ z Ñieàu kieän caàn ñeå F ñaït cöïc trò taïi (x, y, z, λ) laø: ∂ F ==+gx24 y 2 + 2 z 2 −= 350  ∂λ  ∂ F  =2 + 2λx = 0  ∂ x  ∂ F  =1 + 8λ y = 0  ∂ y  ∂ F  =3 + 4λz = 0  ∂ z −  =1 = x8 y x=4  x = − 4 λ    1 1  −1 y=  y = − y = 2  2 ⇔ 8λ ⇔ hay  =  = −  − z3  z 3 =3 = z6 y −1  1  4λ λ=  λ = 2 2 2 4  4 64y+ 4 y + 2.36 y −= 35 0 1− 1  i) Xeùt taïi (x, y, z, λ) = 4; ;3;  2 4 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 178 ∂g1 ∂ g 1 ∂ g 1 (4; ;3)= 8; (4; ;3) = 4; (4; ;3) = 12 ; ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 ∂2 F 1 − 1 − 1 ∂2F 1 − 1 a =(4; ;3; ) = ; a =(4; ;3; ) = − 2 ; 11 ∂x2 2 4 2 22 ∂y2 2 4 ∂2 F 1 − 1 a =(4; ;3; ) = − 1 ;a 12 = a 21 = a 31 = a 13 = a 23 = a 32 = 0 33 ∂z2 2 4 −1  1 0 0 8  − 0 8 2  2 H = 0− 2 04 H = - 64 ; = − > 0 b   1 H 2 0 2 4   0 0− 112 8 4 0   8 4 12 0  −1 0 0 8 2 =0− 2 0 4 0, ∀k = 1,3 ⇒ f ñaït cöïc ñaïi thoûa ñieàu kieän: 2 2 2 1  x + 4y + 2z = 35 taïi 4; ;3  2  −1 1  ii) Töông töï xeùt taïi (x, y, z, λ) = −4; ; − 3;  2 4  m ta coù : (-1) Hk = -Hk > 0, ∀k = 1,3 ⇒ f ñaït cöïc tieåu thoûa ñieàu kieän: 2 2 2 −1  x + 4y + 2z = 35 taïi (x, y, z, λ) = −4; ; − 3  2  Ví duï: i) Tìm cöïc trò cuûa u = x + y + z vôùi ñieàu kieän xyz = 125 ii) Tìm cöïc trò cuûa u = f(x, y, ) = x + y vôùi ñieàu kieän
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 179 2 1 2 2 x + y + 2z = 1 4 iii) Tìm cöïc trò cuûa u = f(x, y, z, t) = x + y + z + t vôùi ñieàu kieän 16 - xyzt = 0. Giaûi : Daønh cho baïn ñoïc.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 179 Chöông IX PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN I. Ñònh nghóa : • Phöông trình vi phaân laø phöông trình coù daïng f(x, y, y’, y’’, , y (n) ) = 0 (1). Phöông trình vi phaân coù chöùa y (n) (hay coù vi phaân baäc n) goïi laø phöông trình vi phaân caáp n. • Neáu thay y = ϕ(x) vaøo (1) maø (1) thaønh ñoàng nhaát thöùc treân D ⊂ ℝ thì ta noùi y = ϕ(x) laø nghieäm cuûa (1) treân D ⊂ ℝ . • Nghieäm toång quaùt cuûa (1) thöôøng coù daïng y = ϕ(x, c 1, c 2, , c n) vôùi c 1, c 2, , c n laø nhöõng haèng soá tuøy yù. Neáu cho (c 1, c 2, , c n) moät boä giaù trò cuï theå thì ta coù moät nghieäm rieâng. Ñònh ly ù: Neáu f(x, y) lieân tuïc treân taäp môû vaø bò chaän treân D chöùa M(x 0, y 0) thì toàn taïi y = ϕ(x) laø nghieäm cuûa phöông trình vi ∂ f phaân caáp 1: y’ = f(x, y) ñi qua M(x 0, y 0). Hôn nöõa neáu lieân tuïc ∂ y trong moät laân caän cuûa (x 0, y 0) thì nghieäm ñoù laø nghieäm duy nhaát. Ví duï: i) Giaûi phöông trình xy’ + y = 0 (* ) dy (* ) ⇔ x + y = 0 ⇔ xdy + ydx = 0 ⇔ d(xy) = 0 dx ⇔ xy = C (haèng soá) ii) Tìm nghieäm cuûa (* ) qua M(3, -5) Nghieäm cuûa (* ) qua (3, -5) ⇒ xy = C qua (3, -5) ⇒ 3(-5) = C ⇒ C = -15. Vaäy nghieäm cuûa (* ) qua (3, -5) laø 15 xy = -15 hay y = − x II. Caùc phöông trình vi phaân caáp I thöôøng g ặp:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 180 1) Phöông trình coù bieán phaân ly (coù theå taùch ra): laø phöông trình vi phaân coù daïng ϕ(y)dy = f(x)dx hay f 1(x)g 1(y)dx = f 2(x)g 2(y)dy (2) fx1() gy 2 () (2) ⇔ f2(x)g 1(y) = 0 hay dx= dy fx2() gy 1 () ⇔ fx1()= gy 2 () f2(x)g 1(y) = 0 hay ∫dx ∫ dy fx2() gy 1 () Ví duï : Giaûi phöông trình 3e xtgydx + (2 - e x)(1 + tg 2y)dy = 0 (3) 3ex dx( 1 + tg2 y ) dy (3) ⇔ tgy. (2 - e x) = 0 hay = − ∫2 − ex ∫ tgy x x ⇔ tgy. (2 - e ) = 0 hay 3ln |2 - e | = ln |tgy | + C 1, C 1 ∈ ℝ x tgy C ⇔ 2 ∈ ℝ tgy. (2 - e ) = 0 hay ln 3 = ln e , C 2 = - C 1 (2 − ex ) x tgy C ∗ ⇔ ±2 = ∈ ℝ tgy. (2 - e ) = 0 hay 3 = e C , C (2 − ex ) 3 ⇔ (2 - e x) = 0 hay tgy= C(2 − e x ) , C ∈ ℝ Ví duï: i) Giaûi phöông trình (1 + e x)yy’ = e x ii) Tìm nghieäm rieâng trong tröôøng hôïp y(0) = 1. Giaûi: dy ex dx y2 i) (1 + e x)y = e x ⇔ ydy = ⇔ = ln(1 + e x) + C dx 1+ ex 2 1 ii) y(0) = 1 ⇒ 1 = 2ln2 + C.2 ⇒ C = −ln2 2 ⇒ nghieäm rieâng thoûa y (0) =1 laø:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 181 y2 1 1+ ex 1 = ln(1 + e x) + − ln2 = ln( ) + 2 2 2 2 1+ ex 1+ ex ⇔ y2 = 2 ln( ) + 1 ⇔ y = ±1 + ln( ) 2 2 2 1+ ex vì y(0) = 1 ⇒ y > 0 ⇒ y = 1+ ln( ) 2 2 2) Phöông trình ñaúng caáp caáp 1 : laø phöông trình vi phaân coù daïng y y y’ = f( ) (4) ⇔ dy = f( )dx x x y Ñaët u = ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu, (4) thaønh x udx + xdu = f(u)dx ⇔ xdu = (f(u) − u))dx du dx ⇔ x(f(u) −u) = 0 hay = fu( ) − u x ñaây laø phöông trình coù bieán phaân ly. Ví duï 1 : Giaûi phöông trình (2y 2 −2xy + x 2)dx − x.ydy = 0 (5) + Khi x = 0 ⇒ dx = 0 ⇒ x = 0 laø nghieäm. y2 y y + Khi x ≠ 0, (5) thaønh: (2− 2 + 1 ) dx − dy = 0 (5’) x2 x x y Ñaët u = ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (5’) thaønh : x (2u 2 − 2u + 1)dx − u(udx + xdu) = 0 ⇔ (u −1) 2dx − uxdu = 0 dx udu ⇔ u = 1 hay − = 0 ∫x ∫ ( u −1 ) 2 (u−1 + 1 ) du dx ⇔ u = 1 hay − = 0 ∫(u−1 ) 2 ∫ x u −1 1 ⇔ u = 1 hay ln − = C, C ∈ℝ x u −1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 182 y y− x x Thay u = ta coù y = x hay ln − = C, C ∈ℝ x x2 y− x laø nghieäm khi x ≠ 0. Vaäy nghieäm cuûa (5) laø: y− x x x = 0 hay y = x hay ln − = C x2 y− x Ví duï 2 : Giaûi phöông trình (x 2 −2xy )dy − x.ydx = 0 (6) y y Caùch 1 : (6) ⇔ x = 0 hay ( 1−2 )dy −dx = 0( 7 ) x x y Ñaët u = ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (7) thaønh: x (1 − 2u ) (udx + xdu) − u dx = 0 ⇔ (1 − 2u ) xdu − 2u2 dx = 0 ⇔ u = 0 hay −12 dx 1 c ( + )du = −⇔2 u = 0 hay +=lnu2 ln , c > 0 u2 u x u x 2 1 x 2c 2 y ⇔ u = 0 hay ue.,u =>⇔= c0 y 0 hayye ., => cc 0 x2 Vaäy nghieäm cuûa (6) laø : x 2 y x = 0 hay y=0 hayye. = cc , > 0 2 ⇔ x −2x − x = 0 8 Caùch 2: (6) y = 0 hay ( 2 )dy dx ( ) y y y x Ñaët v = ⇒ x = v.y ⇒ dx = vdy + ydv ⇒ (8) thaønh : y (v2 − 2v )dy − v(vdy + ydv) = 0 ⇔ − 2vdy − vydv = 0 2dy c ⇔ v = 0 hay dv = −⇔ v = 0 hay v =ln , c > 0 y y2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 183 x ⇔v =>⇔=c 0 02 y => 0 v = 0 hay e2 , c x hayye . cc , y Vaäy nghieäm cuûa (6) laø: x 2 y x = 0 hay y= 0 hay ye.= cc , > 0 Ghi chu ù: phöông trình vi phaân sau ñaây coù theå ñöa ñöôïc veà ax+ by + c  phöông trình vi phaân ñaúng caáp caáp 1: y' = f   . ax'+ by ' + c '  Ta coù hai tröôøng hôïp: a b • Neáu D = ≠ 0 thì ñaët u=− xxv, =− y y , vôùi x, y laø a' b ' 0 0 0 0 ax+ by + c = 0 nghieäm cuûa heä phöông trình  ax'+ by ' + c ' = 0 a b • Neáu D = = 0 ta ñaët z= ax + by a' b ' Ví duï 1 : Giaûi phöông trình vi phaân (246x−+ y) dx ++−( x y 30) dy = Ñaët u=− x1, v = y − 2 Ví duï 2 : Giaûi phöông trình vi phaân (246x++ y) dx ++−( x 21 y) dy = 0 Ñaët z= x + 2 y 3) Phöông trình tuyeán tính (caáp 1) : laø phöông trình vi phaân coù daïng y’ + p(x).y = q(x) (6); trong ñoù p(x), q(x) laø caùc haøm soá lieân tuïc.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 184 dy i). Neáu q(x) ≡ 0, (6) thaønh y = 0 hay = −p(x)dx y ⇔ = − + ∈ℝ y = 0 hay lny∫ pxdx ( ) C 1 , C 1 − + ∫ p( x ) dx C 1 ⇔ y = 0 hay y = ± e , C 1∈ℝ − ∫ p( x ) dx C ⇔ y = 0 hay y = C. e , C = ±e 1 ≠ 0 −∫ p( x ) dx ⇔ y = C. e , C∈ℝ (6’) ii). Neáu q(x) ≠ 0 ta giaûi baèng phöông phaùp “bieán thieân haèng soá”. Khi ñoù nghieäm cuûa (6) coù daïng (töông töï 6’) : −∫ p( x ) dx y = C(x). e (7), trong ñoù C(x) laø haøm caàn tìm. −∫ p( x ) dx −∫ p( x ) dx Ta coù: y’ = C’(x) e − p(x)C(x) e (8). −∫ p( x ) dx Theá (7) vaøo (8) ta ñöôïc: y’ = C’(x) e − p(x).y −∫ p( x ) dx ⇒ y’ + p(x).y = C’(x). e (9). −∫ p( x ) dx ∫ p( x ) dx (6) vaø (9) ⇒ q(x) = C’(x). e ⇒ C’(x) = q(x). e ∫ p( x ) dx ⇒ C(x) = ∫ (q ( x ). e ) dx ∫pxdx()  − ∫ pxdx () Vaäy nghieäm cuûa (6) laø y = (()qxe ) dxe . ∫  2 Ví duï 1 : Giaûi phöông trình y’ + 2xy = 2x e−x 2 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát y’+2xy=0 laø y= C. e−x 2 ⇒ nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho coù daïng y=C(x). e−x 2 2 2 ⇒ y’ = C’(x). e−x −2xC(x). e−x = C’(x) e−x −2xy −x2 −x2 2 ⇒ 2x. e = C’(x). e ⇒ C’(x) = 2x ⇒ C(x) = x + C 1 2 −x2 ⇒ y = [x +C 1]. e
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 185 Caùch khaùc : Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø − ∫pxdx() ∫ pxdx ()  - ∫ 2xdx−x2 ∫ 2xdx ye= .(() qxe ) dx = e .[ (2 xeedx) ] ∫  ∫ 2 +−22 − −− 2 222 − =e -x C1 ∫(2xex) e x C 1 dxe= x ∫ ( 2 xe xxx) edxe = [] x2 + C Ví duï 2: a) (1 + y 2)dx + (1 +x 2)dy = 0 b) (1 + y 2)dx + yxdx = 0 y'sin xy− cos x = 0  c)  π y( ) =1  2 d) x1++ y2 yy' 1 += x 2 0 e) e xsin 3y + y’(1 + e 2x )cosy = 0 f) xyy’ = y 2 + 3x 2 g) xy + y 2 = (2x 2 + xy).y’ h) 2x 2y’ = x 2 + y 2 i) (y −x)dx + (y + x)dy j) xy’ + y = x 3y4. Gi i: Dành cho b n ñ c 4. Phöông trình Bernoulli : laø phöông trình vi phaân coù daïng y / + yp(x) = q(x). yα , 0 ≠ α ≠ 1 Chia yα ta coù y/ . y −α + y1−α p(x) = q(x). Ñaët v = y1−α thì v/ = (1 −α) y/ . y −α . 1 Khi ñoù phöông trình thaønh v/ + v.p(x)= q(x) 1−α ⇔ v / + (1 −α)p(x).v = (1 −α)q(x) Ñaây laø phöông trình tuyeán tính Ví duï: Giaûi phöông trình
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 186 2 2 y'− xy . = ye5− 2 x ⇔ y’ y−5 −x y−4 = e−2x Ñaët v = y−4 ⇒ v’ = −4y’ y−5 .Khi ñoù phöông trình thaønh: 1 2 2 − v’ − xv = e−2x ⇔ v’ + 4xv = −4 e−2x (* ) 4 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát v’ + 4xv = 0 laø x − 4 xdx ∫ − 2 v = C. e 0 = C. e 2x 2 Nghieäm cuûa (* ) coù daïng v = C(x). e−2x 2 2 ⇒ v’ = C’(x) e−2x − 4xC(x). e−2x −2x2 −2x2 ⇒ v’ + 4x.v = C’ e (= −4 e ) ⇒ C’ = −4 ⇒ C = −4x + C 1. −2x2 −4 −2x2 ⇒ v = ( −4x + C 1) e ⇒ y = ( −4x + C 1) e 2 e2x ⇒ y 4 = . −4 + x C 1 III. Sô löôïc veà soá phöùc : 1. Ñònh nghóa : Taäp hôïp taát caû caùc soá phöùc kyù hieäu laø ℂ , ñöôïc ñònh nghóa: ℂ = {a + bi / a, b ∈ ℝ vôùi i 2 = −1} Vôùi soá phöùc z = a + bi ta noùi a = Rez laø phaàn thöïc, b = Imz laø phaàn aûo. Khi b = 0 ⇒ z = a ∈ ℝ . Vaäy ℝ ⊂ ℂ . Hai soá phöùc z = a + ib vaø z = a − ib goïi laø 2 soá phöùc lieân hôïp. Moãi soá phöùc z = a + ib öùng vôùi duy nhaát caëp (a, b) ∈ ℝ 2. 2. Caùc pheùp tính : Cho z 1 = a 1 + ib 1, z 2 = a 2 + ib 2. Ta coù: a= a i) z = z ⇔ 1 2 ⇔ (a , b ) = (a , b ) 1 2  = 1 1 2 2 b1 b 2 ii) z1 ± z 2 = (a 1 + ib 1) ± (a 2 + ib 2) = (a 1 ± a 2) + i(b 1 ± b 2)
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 187 iii) z1.z 2 = (a 1 + ib 1)(a 2 + ib 2) = (a 1a2 − b 1b2) + i(a 1b2 + a 2b1) z a+ ib( a + iba )( − ib ) iv) 1= 11 = 112 2 +2 + 2 z222 aib ab 22 (aa+ bb )( + iba − ba ) = 12 12 12 21 2+ 2 a2 b 2 Daïng z = a + ib goïi laø daïng ñaïi soá cuûa soá phöùc. 3. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc : Cho soá phöùc z = a + ib. Ñaët M=(a,b). Ta goïi r = | z | = a2+ b 2 = zz. = | z | laø moâñul cuûa z → → vaø ϕ = (Ox , OM ) laø argument cuûa z, kyù hieäu Argz. Ta coù : a = rcos ϕ, b= rsin ϕ ⇒ z = a + ib = rcos ϕ + irsin ϕ = r(cos ϕ + isin ϕ) (* ) Daïng (* ) goïi laø daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc z. Ví duï : π π i) z = i coù daïng löôïng giaùc laø z = i = 1 ( cos+ i sin ) 2 2 b π ii) z = 1 −i coù r = 2 , tg ϕ = = −1 ⇒ choïn ϕ = − . a 4 ⇒ z = 1 −i coù daïng löôïng giaùc laø π π  z = 2 cos(− ) +i sin( − ) . 4 4  Ghi chuù: Argument cuûa soá phöùc z ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc nhau k2 π, k ∈ ℤ . Giaû söû z1 = r 1(cos ϕ1 + isin ϕ1) vaø z 2 = r 2(cos ϕ2 + isin ϕ2) Khi ñoù z1. z2 = r 1. r 2[cos( ϕ1 + ϕ2) + isin( ϕ1 + ϕ2)] z1 r1 = [cos( ϕ1 - ϕ2) + isin( ϕ1 - ϕ2)], z 2 ≠ 0 z2 r2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 188 zn= r n [cos ϕ + isin ϕ]n = r n[cosn ϕ + isinn ϕ] . Coâng thöùc Euler: eα i = cos α + isin α 4. Khai caên cho soá phöùc : Caên baäc n cuûa soá phöùc c ∈ ℂ , kyù hieäu n c , laø nhöõng soá phöùc z sao cho: z n = z.z z = c Neáu c ≠ 0 thì caên baäc n cuûa soá phöc c coù ñuùng n soá phöùc . z = r(cos ϕ +isin ϕ) ϕ+k2 π ϕ + k 2 π  ⇒ n z = n rcos+ i sin  k ∈ ℤ n n  ⇒ coù n soá laø caên baäc n cuûa z ≠ 0 . Ví duï 1 : Tìm 7− 6 2 i . Gi söû 7− 6 2 i = a + bi, a, b ∈ ℝ ⇒ 7 - 6 2 i = a 2 - b 2 + 2abi a2− b 2 = 7 a = 3 a = − 3 ⇒  ⇔  ∨  2ab = − 6 2 b = − 2 b = 2 ⇒ 762−i = 3 − 2 i hay 762−i =−+ 3 2 i Ví duï 2: Tìm 4 −2 Ta coù: -2 = 2(cos π + isin π) ππ ππ 4 4     −2 = 2 cos+k  + i sin + k   , k ∈ Z 42  42   1 i  1 i  ⇒ 4 −2 coù 4 soá laø: 4 2 ±  , 4 2 − ±  2 2  2 2  IV. Phöông trình vi phaân caáp hai : 1. Ñònh nghóa : Phöông trình vi phaân caáp hai laø phöông trình coù daïng G(x, y, y’, y’’) = 0 (* ) hoaëc y’’ = f(x, y, y’) • Nghieäm toång quaùt cuûa (* ) coù daïng y = ϕ(x, C 1, C 2), cho (C1, C 2) moät giaù trò cuï theå ta coù moät nghieäm rieâng . • Thöôøng ta tìm ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình (* ) döôùi daïng
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 189 F(x, y, C 1, C 2) = 0 cho ta moái lieân heä giöõa bieán ñoäc laäp vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình vi phaân caáp hai ñöôïc goïi laø phöông trình toång quaùt cuûa noù. 2. Vaøi phöông trình vi phaân caáp hai coù theå haï baäc : i) Phöông trình coù veá phaûi khoâng phuï thuoäc y, y’: coù daïng // ⇒ / + y = f(x) y = ∫ f( xdx ) C 1 ⇒   + + ∈ ℝ y = ∫ ∫ fxdxdx( )  Cx1 C 2 ,C 1 , C 2 Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt vaø nghieäm rieâng cuûa phöông trình y(0 ) = 0 y’’ = cos2x thoûa (D) :  y/ (0 ) = 1 1 1 2+ = 2 + ⇔ 2 +  y’ = cosxdx C1 sin x C 1 y = sin x C1  dx ∫ 2 ∫2  1 Vaäy y = − cos 2x + C x + C laø nghieäm toång quaùt . 4 1 2  1 y(0 ) = 0 − +C = 0 Vì  ⇒  4 2 / 0= 1 y ( ) 0+ = 1  C1 1 1 Neân nghieäm rieâng thoûa (D) laø y = −cos 2x + x + 4 4 ii) Phöông trình coù veá phaûi khoâng chöùa y : daïng y’’ = f(x, y’) . Ñaët y’ = u, y’’ = u’ phöông trình thaønh u’ = f(x, u) Ñaây laø phöông trình caáp 1. y ' Ví duï : Giaûi phöông trình y’’ = x - (1) x Ñaët y’ = u ⇒ y’’ = u’ .Khi ñoù
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 190 u u (1) thaønh u’ = x - ⇔ u’ + = x. Ñaây laø phöông trình tuyeán x x x2 C x2 C tính caáp 1 coù nghieäm laø u = + 1 hay y’ = + 1 . Vaäy 3 x 3 x 2  3 x+C1 =+ x + nghieäm toång quaùt laø y = ∫  C1ln x C 2 3x  9 iii) Phöông trình coù veá phaûi khoâng chöùa x: daïng y’’ = f(y, y’) . Ñaët y’ = u, xem u laø haøm cuûa y laáy ñaïo haøm hai veá theo x, ta du dudy du coù u / = y// = = = u dx dydx dy du Khi ñoù phöông trình thaønh u = f(y, u). Ñaây laø phöông trình dy vi phaân caáp 1 vôùi u laø haøm vaø y laø bieán ñoäc laäp. Neáu phöông dy trình naøy giaûi ñöôïc, ta coù u = ϕ(y, C 1) hay = ϕ(y, C 1) dx hay dy= ϕ(y, C 1)dx Ví duï: Giaûi phöông trình : 2yy’’ + (y’) 2 = 0. du Ñaët y’ = u ⇒ y’’ = u , phöông trình thaønh : dy du du dy 2yu + u 2 = 0 ⇔ u=0 ( hayy = c )( ) hay =− dy u2 y du dy ⇔ u=0 ( hayy = c )( ) hay =− u2 y du dy c ⇔ =− ⇔2 ln u = ln ,c > 0 u2 y y C C ⇔ =1 =±≠ 0 ⇔ dy =1 ≠ 0 u, C1 c , C1 y dx y
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 191 2 ⇔ y = ()hx+ k 3 , h, k ∈ ℝ, h ≠ 0 Neáu cho h = 0 ⇒ hoï nghieäm (* * ) 2 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = ()hx+ k 3 , h, k ∈ ℝ 3. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 : • Ñònh nghóa : Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 laø phöông trình coù daïng: // / y + a 1y + a 2y = f(x) (a) hay y// + a(x)y / + b(x)y = c(x) • Neáu f(x) = 0 thì (a) ñöôïc goïi laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát. • Neáu a1, a 2 laø haèng soá thì (a) goïi laø phöông trình tuyeán tính coù heä soá khoâng ñoåi(heä soá haèng). a. Phöông trình tuyeán tính caáp hai thuaàn nhaát : // / y + a 1(x)y + a 2(x)y = 0 (b) . Ta coù caùc keát quaû: i). Tính chaát 1 : Neáu y 1(x) vaø y 2(x) laø hai nghieäm cuûa (b) thì y = C 1y1(x) + C 2y2(x) laø nghieäm cuûa (b) (vôùi C 1, C 2 ∈ ℝ ) Ñònh nghóa : Caùc haøm soá y1(x) vaø y 2(x) ñöôïc goïi laø ñoäc laäp tuyeán tính treân D neáu tæ soá cuûa chuùng khoâng phaûi laø haèng soá : y( x ) 1 ≠ constant. Noùi caùch khaùc, khoâng toàn taïi c∈ ℝ sao cho y2 ( x ) ( ) =( ) ( ) =( ) ∀∈ yx1 cy. 2 xhayy 2 x cyx . 1 , x D . Ngöôïc laïi, ta noùi chuùng phuï thuoäc tuyeán tính. Ví duï: • = 4 = x ℝ Caùc haøm soá y1 x vaø y2 e laø ñoäc laäp tuyeán tính treân
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 192 • =22 + 2 =2 + 1 Caùc haøm y1 x vaø y2 x laø phuï thuoäc tuyeán tính treân ℝ . ii) Tính chaát 2 : Neáu y 1(x), y 2(x) laø 2 nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (b) thì y = C 1y1(x) + C 2y2(x) (trong ñoù C 1, C 2 laø 2 haèng soá tuøy yù) laø nghieäm toång quaùt cuûa (b). iii). Tính chaát 3: Neáu bieát moät nghieäm rieâng y 1(x) cuûa (b) thì coù theå tìm ñöôïc moät nghieäm rieâng y 2(x) cuûa (b) vôùi y 1, y 2 ñoäc laäp tuyeán tính baèng caùch ñaët y 2 = y 1(x)u(x). 2x 2 Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa y''+ y ' − y = 0 bieát 1−x2 1 − x 2 moät nghieäm rieâng y 1 = x. Giaûi : Ta tìm moät nghieäm y 2 = xu(x), thay y 2 vaøo phöông trình ñaõ cho ta coù : 2x 2ux (2u / + xu // ) + (u +xu /) - = 0 1− x2 1− x2 ⇔ u // x(1 - x 2) + 2u’ = 0 dz2 dx Ñaët z = u / ⇒ z’x(1 - x 2) + 2z = 0 hay = − z x(1− x 2 ) C(1− x 2 ) ⇒ z = 1 ,C ≠ 0 x2 1 x2 −1 1 du 1 Cho C 1 = -1, ta ñöôïc z = =1 − hay =1 − x2 x 2 dx x 2 1 ⇒ u = x+ + C x 2 Ta chæ caàn laáy moät nghieäm rieâng u(x) ≠ haèng soá 1 1 2 Choïn C 2 = 0 ⇒ u = x + ⇒ y 2 = x(x + ) = x + 1 x x 2 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = k 1x + k 2(x + 1) vôùi k 1, k 2 laø haèng soá tuøy yù.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 193 b. Phöông trình tuyeán tính caáp hai khoâng thuaàn nhaát : Cho phöông trình khoâng thuaàn nhaát (a) (ôû treân) vôùi f(x) ≠ 0 // / phöông trình y + a 1y + a 2y = 0 (a’) ñöôïc goïi laø phöông trình thuaàn nhaát töông öùng (lieân keát) vôùi (a). i) Tính chaát 1 : nghieäm toång quaùt cuûa (a) laø toång cuûa nghieäm toång quaùt cuûa (a’) vôùi moät nghieäm rieâng naøo ñoù cuûa (a). ii) Tính chaát 2 : (nguyeân lyù choàng chaát nghieäm) cho phöông trình khoâng thuaàn nhaát y’’ + a 1y’ + a 2y = f 1(x) + f 2(x) (c) neáu y 1 laø nghieäm rieâng cuûa y’’ + a 1y’ + a2y = f 1(x) vaø y 2 laø nghieäm rieâng cuûa y’’ + a 1y’ + a 2y = f 2(x) thì y 1 + y 2 laø nghieäm rieâng cuûa (c) (ñònh lyù vaãn ñuùng khi veá phaûi = f 1 + f 2 + + f n) iii) Phöông phaùp bieán thieân haèng soá Lagrange : Giaû söû cho phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát (a) (nhö treân) vaø giaû söû bieát nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát (a’) laø: y = C 1y1 + C 2y2 (a’’). Haõy tìm nghieäm cuûa (a). Ta seõ tìm nghieäm toång quaùt cuûa (a) döôùi daïng y = C 1y1 + C 2y2 (* ) trong ñoù C 1, C 2 laø caùc haøm theo x /= / + // + + / (* ) ⇒ y Cy11 Cy 22 Cy 11 Cy 22 . /+ / Ta choïn C 1, C 2 sao cho: Cy11 Cy 22 = 0 /= / + / //= // + // + // + // ⇒ y Cy11 Cy 22 ⇒ y Cy11 Cy 22 Cy 11 Cy 22 Theá y, y /, y // vaøo (a) ta coù: //++ / + // ++ / ++ //// Cy11( ay 11 ay 21 )( Cy 22 ay 12 ay 22 ) Cy 11 Cy 22 = f(x) Vì y 1, y2 laø nghieäm cuûa (a’) neân caùc bieåu thöùc trong ngoaëc //+ // baèng 0 ⇒ Cy11 Cy 22 = f(x) ⇒ y = C 1y1 + C 2y2 laø nghieäm cuûa (a) neáu C 1 , C 2 laø nghieäm cuûa
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 194 //+ = 0 /  0 CyCy1 1 2 2 y1 y 2  C 1   ( )  ⇔    =   . ////+ = / / /  CyCy1 1 2 2 fx( ) y1 y 2   C 2  f  y y 1 2 ≠ Neáu y 1, y 2 ñoäc laäp tuyeán tính thì / / 0 vaø ( ) coù nghieäm y1 y 2  =ϕ + C1 1( xdxk ) 1 / /  ∫ C = ϕ1(x), C = ϕ2(x) ⇒  1 2 =ϕ + C2∫ 2( xdxk ) 2 Thay C 1, C 2 vaøo (* ) ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (a) laø: y = k 1y1 + k 2y2 + yϕ() x dx+ y ϕ () x dx vôùi k 1, k 2 tuøy yù ∈ ℝ . 1∫1 2 ∫ 2 Cho k 1 = k 2 = 0 ta ñöôïc moät nghieäm rieâng cuûa (a). y ' Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa y'' − = x x Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng y ' y '' 1 y '' − = 0 ⇔ = ⇔ ln |y’ | = ln |k.x | ⇔ y’ = C.x x y' x C C ⇒y= x2 + C = C x2 + C , C = 2 2 1 2 1 2 2 Bieåu thöùc: y = C 1 (x).x + C 2(x) laø nghieäm cuûa phöông trình neáu 1  / =  /2 + / 1 = 0 C1 C1 x C 2 .  2 C1, C 2 laø nghieäm cuûa  ⇔  / / 1 2CxC+. 0 = x / 2  1 2 C= − x  2 2  1 C= x + k  12 1 ⇔  x3 C= − + k  26 2 Nghieäm toång quaùt laø
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 195 − 3  3 x+  2 + x +=++ x 2 y = kx1   k 2  kxk 12 2   6  3 4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 coù heä soá khoâng ñoåi : a. Phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát : a2y’’ + a 1y’ + a 0y = 0 ≠ vôùi a0, a 1 , a 2 laø caùc haèng soá vaø a2 0 phöông trình treân töông ñöông: y’’ + α1y’ + α0y = 0 (iv) a α=a1 α = o vôùi 1 , o . a2 a 2 Ta caàn tìm 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv). Ta tìm nghieäm rieâng cuûa (iv) döôùi daïng y = e kx vôùi k caàn xaùc ñònh . Ta coù: y’ = ke kx , y’’ = k 2ekx theá vaøo (iv) coù : 2 kx kx kx k e + α1ke + αoe = 0 2 ⇔ k + α1k + αo = 0 (v) Phöông trình naøy ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa (iv). Phöông trình (v) coù 2 nghieäm k 1,k2. Ta coù caùc tröôøng hôïp sau : • k1, k 2 ∈ ℝ vaø k 1 ≠ k 2 ⇒ 2 nghieäm rieâng cuûa (iv) laø =kx1 = kx 2 y1 e, y 2 e y Hieån nhieân 2 nghieäm naøy ñoäc laäp tuyeán tính vì 1 ≠ haèng soá y2 kx1+ kx 2 Suy ra nghieäm toång quaùt cuûa (iv) laø y = Ce1 Ce 2 vôùi C 1, C 2 tuøy yù ∈ ℝ . Ví duï 1: Giaûi phöông trình : y’’ - 7y’ + 10y = 0 Phöông trình ñaëc tröng laø : k2 - 7k + 10 = 0 ⇔k =2 hayk = 5 2x 5x Nghieäm toång quaùt laø y = C 1e + C 2e k1x • k1 = k 2 ∈ ℝ : Khi ñoù 1 nghieäm rieâng cuûa (iv) laø y 1 = e .
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 196 Ta tìm nghieäm rieâng y 2 ñoäc laäp tuyeán tính vôùi y 1 döôùi daïng k1 x y2 = y 1u(x) = u(x) e '=+kx11 kx '' =+ kx 12 kx 11 + 2 kx ⇒ y2 ue' kue 12 , y ue '' kue 11 ' kue . Theá vaøo (iv) ta coù : k1 x 2 e [u’’ + (2k 1 + a 1)u’ + (k 1 + a 1k1 + a 0)u ] = 0 a (vì k laø nghieäm keùp cuûa (v) neân k 2 + a k + a = 0 vaø k = − 1 1 1 1 1 0 1 2 ⇒ 2k 1 + a 1 = 0) ⇒ ek1 x u’’ = 0 ⇒ u’’ = 0 ⇒ u = Ax + B k1 x Choïn A = 1, B = 0 ta coù u = x ⇒ y 2 = x e ⇒ nghieäm toång quaùt laø k x k1 x k1 x y = C 1 e 1 + C 2x e = (C 1 + C 2x) e Ví duï 2: Giaûi phöông trình y’’ + 6y’ + 9y = 0. Phöông trình ñaëc tröng laø k 2 + 6k + 9 = 0 coù nghieäm keùp laø -3x k = -3 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = (C 1 + C 2x)e . • k1, k 2 ∈ ℂ ; k 1 = a + ib, k 2 = a – ib thì y= e(aibx+ ) = e ax (cos bx + i sin bx ), 1 =(aibx− ) = ax − y2 e e(cos bx i sin bx ) laø 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv) 1 1 ⇒ u=+=( yy ) eax cos; bxu =−= ( yy ) eax sin bx 1122 2 2 i 12 laø 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv) ax ax ⇒ y = C 1e cosbx + C 2e sinbx laø nghieäm toång quaùt cuûa (iv). Ví duï 3: Giaûi phöông trình y’’ - 3y’ + 5y = 0 3± i 11 Phöông trình ñaëc tröng laø k 2 -3k + 5 = 0 ⇔ k = 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 197 ⇒ 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính laø 3 3 x11 x 11 ye=2cos xye , = 2 sin x 12 2 2 3 3 x11 x 11 ⇒ nghieäm toång quaùt laø : y = Ce2cos xCe+ 2 sin x 12 2 2 b. Vaøi daïng ñaëc bieät: Cho phöông trình y’’ + α1y’ + α0y = f(x) (1) trong ñoù α1, α2 laø 2 haèng soá.Ta xeùt caùc tröôøng hôïp rieâng sau ñaây cuûa f(x): k x • f(x) = e . P n(x) vôùi k khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng. Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng k x y1 = e . Q n(x), trong ñoù P n(x), Q n(x) laø caùc ña thöùc baäc n. Ví duï 1: Tìm nghieäm toång quaùt vaø nghieäm thoûa ñieàu kieän ban ñaàu cuûa phöông trình vi phaân sau : y" + 2y’ + 2y = 4x 2 ( A) vôùi y(0) = 2; y’(0) = −3. Phöông trình ñaëc tröng : k 2 + 2k + 2 = 0 ⇔ k= −1 ± i .Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø =−x ( + ) ∈ ℝ yec1cos xc 2 sin x vôùi c 1, c 2 k = 0 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm 2 /=2 + // = 2 rieâng cuûa (A) coù daïng y 1 = ax + bx + c ⇒ y1 axby; 1 a . Theá vaøo (A) ta coù 24a+ ax ++ 22 b ax2 + 2 bx += 24 c x 2 , ∀ x ⇔ax2 +(2 abxabc + ) +++= 2 x2 , ∀ x a=2  a = 2   ⇔2a += b 0 ⇔  b =− 4 .   abc++=0  c = 2 2 Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (A) laø y1 = 2x -4x + 2 ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (A) laø
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 198 =−++22 4 2 −x ( + ) ∈ ℝ y = y 1 + y x x ec1cos xc 2 sin x vôùi c 1, c 2 / =−−4 4 −x( +) +− − x ( + ) ⇒ y x ec12cos xc sin xe cxc 12 sin cos x y(0) = 2 vaø y’(0) = −3 ⇒ c 1 = 0 vaø c 2 = 1. Vaäy nghieäm cuûa (A) thoûa y(0) = 2 vaø y’(0) = −3 laø y = 2x2 − 4 x + 2 + e−x sin x Ví duï 2 : Giaûi y" – 4 y’ + 4y = ( x 2 +1). e x . (B) Phöông trình ñaëc tröng : k 2 – 4 k + 4 = 0 coù nghieäm keùp k =2 . Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø =2x ( + ) ∈ℝ y e c1 cx 2 vôùi c 1, c 2 k = 1 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm x 2 rieâng cuûa (B) coù daïng y 1 = e (ax + bx + c) y/ = eaxx(2 +++ bx c ) e x (2 axb + ); ⇒  1 . // =x2 +++2 x 2 ++ 2 x y1 eax( bxc )( e axb ) ae Theá vaøo (B) vaø chia 2 veá cho e x ta coù ax2 ++− bxc22( axb ++ ) 2 ax =+∀2 1 , x ⇔ax2 +−+(4 abx ) + 22 a − bcx +=2 +∀ 1 , x a=1  a = 1   ⇔−4a += b 0 ⇔  b = 4 .   22abc−+= 1  c = 7 =2 +4 + 7 x Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (B) laø y1 ( x x) e ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (B) laø =++24 7 x + 2 x ( + ) ∈ℝ y = y 1 + y( x x) eeccx1 2 vôùi c 1, c 2 Ví duï 3: y" + 3y’ + 2y = ( x 2 +2x + 6). e 3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = ( ax 2 +bx + c). e 3 x Ví duï 4 : y" + 3y’ + 2y = ( 2x + 1). e 3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = ( ax +b). e 3 x .
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 199 Ví duï 5 : y" + 3y’ + 2y = 6 e 3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = a. e 3 x . k x • f(x) = e . P n(x) vôùi k laø nghieäm ñôn cuûa phöông trình ñaëc tröng. Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng k x y1 = x.e . Q n(x), trong ñoù P n(x), Q n(x) laø caùc ña thöùc baäc n. Ví duï 1: Giaûi y" + 3y’ – 18 y = ( 2x + 1). e 3 x ( C ) Phöông trình ñaëc tröng : k 2 +3k – 18 = 0 ⇔=k3 hayk =− 6 . Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø =3x + − 6 x ∈ ℝ y ce1 ce 2 vôùi c 1, c 2 k = 3 laø nghieäm ñôn cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm rieâng 3 x 2 3 x cuûa (C) coù daïng y 1 = x (ax + b) e = (ax + bx ) e y/ =3 e3x( ax 2 ++ bx )( e 3 x 2 axb + ) ⇒  1 // =9x2 ++ 62 x ++ 2 3 x y1 eax( bx )( e axb ). ae Theá vaøo (C) vaø chia 2 veá cho e 3 x ta coù 92(axb+ ) + 221 a = x +∀ , x  1 a = 18a = 2  9 ⇔18ax ++ 2 a 9 b = 2 x +∀ 1 , x ⇔ ⇔  2a+ 9 b = 1 7  b =  81 1 Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (C) laø y = ( 9x 2 + 7 x ) e 3 x 1 81 ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (C) laø 1 y = y + y=()9 x2 + 7 xe 3x ++ ce 3 x ce − 6 x vôùi c , c ∈ℝ 1 81 1 2 1 2 1 hay y=()9 x2 ++ 7 xce 3x + ce − 6 x vôùi c , c ∈ℝ ( c = 81c ) 81 2 2 1 Ví du ï 2: y" - 5y’ + 6y = ( x 2 +2x + 6). e 2 x coù nghieäm rieâng coù daïng
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 200 y = x.( ax 2 +bx + c). e 2 x vì k = 2 laø nghieäm ñôn cuûa phöông trình ñaëc tröng ( öùng vôùi e 2 x ) Ví duï 3: y" + 3y’ – 18 y = ( 2x + 1). e 3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = x.( ax +b). e 3 x . Ví duï 4: y" + 3y’ – 18 y = 6 e 3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = a.x. e 3 x . k x • f(x) = e . P n(x) vôùi k nghieäm keùp cuûa phöông trình ñaëc tröng. Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng 2 k x y1 = x .e . Q n(x), trong ñoù P n(x), Q n(x) laø caùc ña thöùc baäc n. Ví duï 1: Giaûi y" + 6 y’ + 9 y = 6 e−3x .( D ) Phöông trình ñaëc tröng : k 2 + 6k + 9 = 0 coù nghieäm keùp k = − 3 .Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông =−3x + ∈ ℝ öùng laø y e( c1 cx 2 ) vôùi c 1, c 2 k = − 3 laø nghieäm keùp cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm 2 −3x rieâng cuûa (D) coù daïng y 1 = ax . e y/ = −3 e−3x ax 2 + e − 3 x ( 2 ax ); ⇒ 1 . // =9−323x − 622 − x + − 3 x y1 e. ax e (). ax a e Theá vaøo (D) vaø chia 2 veá cho e−3x ta coù 2a = 6 ⇒ a = 3 2 −3x Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa ( D) laø y1 = 3x . e ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (D) laø =3 2− 3x + − 3 x + ∈ ℝ y = y 1 + y xe e( c1 cx 2 ) vôùi c 1, c 2 =−3x + + 3 2 ∈ℝ hay ye( c1 cx 2 x ) vôùi c 1, c 2 Ví duï 2: y" – 4 y’ + 4y = ( x 2 +2x + 6). e2 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = x 2.( ax 2 +bx + c). e 2 x vì k = 2 laø nghieäm keùp cuûa phöông trình ñaëc tröng ( öùng vôùi e2 x ) Ví duï 3: y" – 6 y’ + 9 y = ( 2x + 1). e 3 x coù nghieäm rieâng coù daïng
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 201 y = x.( ax +b). e 3 x . Ví duï 4: y" – 6 y’ + 9 y = 6 e 3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = a.x2. e 3 x . a x • f(x) = e . [ P n(x)cosbx + Q m(x)cosbx ] vôùi a + ib khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng.Khi ñoù (1) coù moät a x nghieäm rieâng coù daïng y 1 = e [ R(x) cosbx+ S(x) sinbx ] trong ñoù R(x), S(x) laø caùc ña thöùc coù baäc ≤ max{n , m }. a x • f(x) = e . [ P n(x)cosbx + Q m(x)cosbx ] vôùi a + ib laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng.Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng a x coù daïng y 1 = x. e [ R(x) cosbx+ S(x) sinbx ] trong ñoù R(x), S(x) laø caùc ña thöùc coù baäc ≤ max{n , m }. 3 1 Ví duï: Giaûi y" + y = cos 3 x = cosx+ cos 3 x ( E ) 4 4 Vì i laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân 3 y" + y = cos 3 x = cosx ( E ) coù nghieäm rieâng coù daïng : 4 1 y1 = ( ax + b)cosx + (cx +d )sinx . Suy ra : ya/ =cos x −+ ( axb )sin xc + sin x ++ ( cxd )cos x 1 =++()()cxadcos x − axbc +− sin x // =−−+( 2) −( ++ 2 ) y1 axb ccos xcx ad sin x 3 Theá vaøo ( E ) ta coù 2c.cos x+ 2 axx sin = cos, xx ∀ 1 4 3 ⇔c = vaø a = 0. 8 3 Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa ( E ) laø y = x.sin x 1 1 8 Vì 3i khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 202 1 y" + y = cos 3 x = cos3x ( E ) coù nghieäm rieâng coù daïng : 4 2 y2 = acos3x + bsin3x y/ =3 bcos 33 xa − sin 3 x ⇒  2 . // = −9 39 − 3 y2 acos xb sin x Theá vaøo ( E 2 ) ta coù 1− 1 −8a.cos 383 xbx − sin = cos 3 xxa , ∀⇔= vaø b = 0 4 32 −1 Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa ( E ) laø y = cos 3x 2 2 32 Töø nghieäm rieâng cuûa ( E 1 ) vaø ( E 2 ) ta coù moät nghieäm rieâng cuûa ( E) laø 3 1 y = x.sin x − cos 3x ( nguyeân lyù choàng chaát nghieäm). 3 8 32 Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng vôùi (E ) = + ∈ ℝ laø yc1cos xc 2 sin x vôùi c 1, c 2 Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (E ) laø 3 1 y = y + y = x.sin x − cos 3x + ccos xc+ sin x vôùi c , c ∈ℝ 3 8 32 1 2 1 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 203 Chöông X ÖÙNG DUÏNG VAØO KINH TEÁ 1. Kyù hieäu : A : Advertising C : Cost, consumption D : Demand E : Elasticity G : Government I : Income, investment, investor K : Capital L : Labor, liquidity M : Money P : Price π : Profit Q : Quantity R : Revenue, rate of interest S : Supply T : Tax U : Utility W : Wage Y : Income 2. Caùc khaùi nieäm cô baûn : a- Bieân teá (bieân)( marginal) : Trong kinh teá, khaùi nieäm bieân teá duøng ñeå chæ söï thay ñoåi cuûa moät bieán kinh teá naøy ñöôïc gaây ra bôûi söï thay ñoåi cuûa moät bieán kinh teá khaùc.Cho y = f(x) vaø f laø haøm khaû vi, ta coù bieân teá cuûa y taïi x laø My( x )= f ' ( x ) Ví du ï: Goïi x laø löôïng saûn phaåm cuûa moät xí nghieäp, y laø toång chi phí saûn xuaát. Giaû söû y phuï thuoäc vaøo x nhö sau :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 204 y= f( x) = ax2 ++ bx c (a, b, c : haèng soá döông) Khi ñoù, ta coù chi phí bieân teá cuûa xí nghieäp laø : MC= f'( x) =2 ax + b Chuù y ù: Khi y= f( x) = ax + b thì My = a. Nhö vaäy, trong tröôøng hôïp haøm soá laø baäc nhaát, giaù trò bieân teá chính laø ñoä thay ñoåi cuûa haøm soá khi bieán soá taêng theâm 1 ñôn vò. Ví duï: Giaû söû toång chi phí cuûa moät nhaø maùy tính theo coâng thöùc = − C WL rK o Trong ñoù L chæ soá löôïng lao ñoäng, W chæ tieàn löông cho moãi lao ñoäng, K o chæ tieàn voán, r laø laõi suaát cuûa voán. Ta coù chi phí bieân teá theo lao ñoäng laø : MC = W. Ñaây laø chi phí taêng theâm khi theâm moät lao ñoäng. b- Ñoä co daõn (Elasticity) : Trong nhieàu öùng duïng kinh teá, toác ñoä thay ñoåi cuûa moät haøm soá thöôøng phuï thuoäc vaøo ñôn vò tính cuûa bieán ñoäc laäp x vaø bieán phuï thuoäc y. Ñeå traùnh ñieàu naøy, caùc nhaø kinh teá söû duïng khaùi nieäm ñoä co daõn. Ñoä co daõn cuûa bieán y theo bieán x ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : dyy/ dyx x ε ()x= = . = y '.() x yx dxx/ dxy y Ví duï: Tìm ñoä co daõn cuûa y theo x, neáu : x x a) y = e x ; ε =y'() x . = e x . y y Khi x = 100 thì y = e 100 . Khi x = 101 thì y = e 101 Ta coù dy/y = (e 101 – e 100 )/e 100 = e – 1 ≈ 1,7= 170 % 100 Maët khaùc : ε ().100=e100 = 100 ≠ dyy / yx e100