Giáo trình Toán Kỹ thuật - Chương 2: Tích phân Fourier và biến đổi Fourier

Nội dung text: Giáo trình Toán Kỹ thuật - Chương 2: Tích phân Fourier và biến đổi Fourier

1. ChCh ươươ ngng 22 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier && bibi nn ủủii FourierFourier
   2.1 Tớch phõn Fourier
   2.2 Phộp bi n ủi Fourier
   2.3 ng d ng c a tớch phõn Fourier và bi n ủi Fourier
   2.4 Cỏc hàm b t th ưng và bi n ủi Fourier c a chỳng Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 1
2. 2.12.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier
   Hàm tu n hoàn
   Chu i Fourier
   Hàm ch xỏc ủnh
   Chu i Fourier trờn kho ng kớn
   Hàm khụng tu n hoàn
   Tớch phõn Fourier Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 2
3. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier
   Khỏc bi t gi a hàm tu n hoàn và khụng tu n hoàn ? Chu k ỳ T h u h n và vụ h n T → ∞ f(t) -T -T/2T/2 T f(t) -T/2 T/2 f(t) T → ∞ Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 3
4. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier
   Cn tỡm khai tri n Fourier cho f(t) trong kho ng (-∞,+ ∞) f(t) T → ∞
   Ta s bt ủu t fΤ(t) fT(t) -T/2 T/2 t
   D th y r ng ft()= lim ft () T→∞ T Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 4
5. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier 0−T <t <− 1
   Hàm tu n hoàn f T(t)  2 f()1 t= −<< 1 t 1 cú ủnh ngh ĩa trong T   0 1 <t < T 1 chu k ỳ là  2 fT(t) 1 -T/2 -1 1 T/2 t
   fT(t) cú khai tri n Fourier là : +∞ +∞ a0 2 4 sin( n ω0 ) ftT()=+∑ ant n cos(ω0 ) =+ ∑ cos( nt ω 0 ) 2 n=1T n = 1 T n ω0 Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 5
6. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier ω= n ω n 0 4sin(nω0 ) 2 sin ω n
   ðt an = = ∆ ω ∆ω = ω 0 T n ω0 π ω n
   ðnh ngh ĩa hàm biờn ủ A(ω )  2  ω = 0 2 π π A(ω ) =  2 sin ω  ω > 0 π ω sin(ω ) = sinc(ω )=Sa( ω ) ω π 2π ω ω0 2ω0 Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 6
7. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier
   Chu k ỳ T kộo dài → cỏc v ch (ủc tr ưng cho biờn ủ ) ch y d n v tr c tung trờn ủưng biờn ủ A( ω) A(ω ) 2 π π 2π ω ω0 2ω0 Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 7
8. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier +∞ 2 4 sin(nω0 ) 2 sin ωn ftT ( )= + ∑ cos( ntω0 ) an = ∆ ω Tn=1 T n ω0 π ω n
   Vi t l i f T(t) +∞ ∆ω 2 sin(ωn ) fT ( t )= +∑ {cos(ωn t )} ∆ ω πn=1 π ω n 1 +∞  ftT ( )= +∑ A (ω ){cos( ωn t )}  ∆ ω π n=1  Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 8
9. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier +∞ ∆ω 2 sin(ωn ) fT ( t )= +∑ {cos(ωn t )} ∆ ω πn=1 π ω n 1 +∞  ftT ( )= +∑ A (ω ){cos( ωn t )}  ∆ ω π n=1 
   Nu xột t c ủnh và bi n ω thay ủi ta cú: T → ∞;ω → 0 +∞ ft()= lim ft () = A (ω )cos( ω td ) ω T →∞ T ∫ 0 Tớch phõn Fourier Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 9
10. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier
    Lý lu n t ươ ng t khi dựng khai tri n s mũ ta ủưc tớch phõn Fourier m ũ ph c T +∞ • • 2 jnω t 1 − jnω t 0 D= f( t ) e0 dt ftT( ) = ∑ De n n ∫ T T n=−∞ − 2 T +∞ 2  1 − jtω jt ω () () n  n ftT =∑ ∫ fte dte ∆ ω n=−∞ 2π T  − 2  +∞ ft()= lim ft () = Ded ()ωjω t ω T →∞ T ∫ −∞ Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 10
11. 2.1.12.1.1 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier
    ðnh l ý : Nu f(t) th a ủiu ki n Dirichlet trờn m i k ho ng h u h n ∞ và nu |f(t)|dt h i t thỡ : ∫−∞ +∞ +∞  1f(t)e− jωtjt dt eω d ω 1 f(t + ) f(t− )  ∫2π ∫  =2  +  −∞ −∞  Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 11
12. TTớớchch phõnphõn FourierFourier mm ũũ phph cc +∞ ft()= ∫ D ()ω edjω t ω −∞ 1 +∞ D()ω = ∫ f () t e− jω t dt 2π −∞ F()ω= 2 π D () ω F Mi n t: Mi n ω: f(t) F( ω) F−−−1 Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 12
13. TTươươ ngng ủủngng gigi aa chuchu ii phph cc vv àà ttớớchch phõnphõn phph cc Chu i Tớch phõn Fourier ph c Fourier ph c +∞ +∞ ∑ dω n=−∞ ∫ −∞ • Dn D(ω ) nω0 ω T 1 2 1 +∞ ∫ dt ∫ dt T T 2π − 2 −∞ Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 13
14. VVớớ dd ttớớchch phõnphõn FourierFourier mm ũũ phph cc Cho h àm f(t) ủnh ng hĩ a b i 0t e−at t > 0 Tỡm tớch phõn Fourier m ũ ph c bi u di n cho f(t) ? Gi i +∞ +∞ 1 1− 1 +∞ D()ω = ftedt () −jtω = eedt −− atjt ω = e −+( ajt ω ) ∫ ∫ 0 2π−∞ 2 π0 2() πωa+ j 1 +∞ e jω t D()ω = ⇒ ft () = ∫ d ω 2(πωaj+ )−∞ 2( πω aj + ) Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 14
15. 2.1.22.1.2 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier dd ngng chuchu nn
    Nu ủnh ngh ĩa 1 + ∞ A()ω= ∫ ft ()cos( ω tdt ) π − ∞ 1 + ∞ B()ω= ∫ ft ()sin( ω tdt ) π − ∞
    Thỡ tớch phõn Fourier d ng chu n là +∞ ft()=∫ [] A ()cos(ω ω tB ) + ( ω )sin( ωω td ) 0 Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 15
16. VVớớ dd ttớớchch phõnphõn FourierFourier dd ngng chuchu nn Tỡm tớch phõn Fourier 0t dng chu n c a f(t) ? −at Gi i e t > 0 1+∞ 1 +∞ A(ω )=∫ e−at cos( ωω tdt ) ; B ( ) = ∫ e− at sin( ω tdt ) π0 π 0 +∞ 1−at jω t 1 a+ j ω A()ω+= jB () ω ∫ e e dt = = 2 2 π0 πωπω(a− j )( a + ) a ω A()ω= ;() B ω = πω()a22+ πω () a 22 + +∞ acosω t+ ω sin ω t ⇒ f( t ) = ∫ 2 2 d ω 0 π(a + ω ) Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 16
17. 2.1.32.1.3 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier coscos vv àà sinsin
    Nu f(t) ch n 2 + ∞ A()ω= ∫ ft ()cos( ω tdt ) π 0
    Thỡ tớch phõn Fourier cos là +∞ ft()= ∫ A (ω )cos( ω td ) ω 0 Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 17
18. 2.1.32.1.3 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier coscos vv àà sinsin
    Nu f(t) l 2 + ∞ B()ω= ∫ ft ()sin( ω tdt ) π 0
    Thỡ tớch phõn Fourier sin là +∞ ft()= ∫ B (ω )sin( ω td ) ω 0 Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 18
19. 2.1.32.1.3 TT ớớchch phõnphõn FourierFourier coscos vv àà sinsin
    ðnh lý Nu h àm f(t) = 0 khi t < 0 thỡ tớch phõn Fourier cos và tớch phõn Fourier sin l n l ư t b ng hai l n s h ng th nh t v à th hai trong tớ ch phõn Fourier d ng chu n.
    Gi ý : Thờm hàm ϕ(t) ủ f(t) thành ch n ho c l Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 19
20. VVớớ dd ttớớchch phõnphõn FourierFourier coscos vv àà FourierFourier sinsin Tỡm tớch phõn Fourier 0t cos , fourier sin c a f(t) ? −at Gi i e t > 0 1+∞ a cosω t+ ω sin ω t f( t ) = ∫ 2 2 d ω π0 (a + ω ) 2+∞ ω sin ω t f( t ) = ∫ 2 2 d ω π0 (a + ω ) 2+∞ a cos ω t f( t ) = ∫ 2 2 d ω π0 (a + ω ) Bài gi ảng Toỏn K ỹ Thu ật 2012 20