Giáo trình Toán Kỹ thuật - Chương 3: Phép biến đổi Laplace

Nội dung text: Giáo trình Toán Kỹ thuật - Chương 3: Phép biến đổi Laplace

1. PhPh nn 22 ToTo áánn tt LaplaceLaplace
   Phép bi n đi Lapalace
   Phép bi n đi Lapalace ng ưc
   ng d ng bi n đi Lapace vào PT vi phân
   ng d ng bi n đi Lapace vào Gi i tích M ch đin Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 1
2. ChCh ươươ ngng 33 PhPh éépp bibi nn đđii LaplaceLaplace ðnh ngh ĩa
   f(t) là hàm (cĩ th ph c) c a bi n s th c t (t ≥ 0) sao cho tích phân h i t ít nh t v i m t s ph c s = a + jb
   nh c a hàm f(t) qua bi n đi Laplace là hàm F(s) đưc đnh ngh ĩa +∞ Fs()=L {} ft () = ∫ ftedt () −st 0−  F(s) : nh Laplace  f(t) : g c  Ký hi u khác Fs () ft () hay ft() Fs ()
   Lưu ý trong ph m vi giáo trình ta ch xét các giá tr s trong kho ng tích phân là hi t Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 2
3. TTíínhnh chch tt hh ààmm gg cc f(t)f(t) Tp h p các hàm f(t) ca bi n s th c t sao cho tích phân h i t ít nh t v i m t s ph c s gi là lp hàm g c. Trong đĩ tp h p các giá tr ca s sao cho tích phân t n t i thì đưc gi là mi n h i t (hay mi n qui t ). Ta cĩ th ch ng minh đưc l p các hàm g c ph i th a mãn các tính ch t sau.
   f(t) = 0, v i m i t 0 và M>0 sao st cho f() t≤ Me ; ∀ t > 0 Khi đĩ so = inf ; {s} đưc g i là ch s tăng ca hàm f. (T c là hàm f(t) khơng đưc t ăng nhanh h ơn hàm e st đ đm b o tích phân Laplace h i t ).
   Lưu ý trong ph m vi giáo trình ta ch xét các giá tr s trong kho ng tích phân là hi t Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 3
4. Bi n đi Laplace c a m t s hàm thơng d ng
   Hàm b ưc (n c) đơn v : u(t) u( t ) 0t 0 t +∞ +∞ +∞ e−st 1 Fs()=∫ utedt () −st = ∫ edt − st == − −s s 0 0 0 1 LLL {}u( t ) = Mi n h i t S > 0 s Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 4
5. Bi n đi Laplace c a m t s hàm thơng d ng
   Hàm dirac : δ(t) δ (t ) ∞t = 0 δ (t ) =  0t ≠ 0 t +∞ +∞ Fs()=∫δ () tedt−st = ∫ δ () tedt0 = 1 0− 0 LLL {δ (t )} = 1 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 5
6. Bi n đi Laplace c a m t s hàm thơng d ng
   Hàm m ũ : e-at (a > 0) +∞ +∞ +∞ e−(s + a ) t 1 F( s ) =∫ e−−at e st dt = ∫ e −+( s a ) t dt = = − −(sa + ) sa + 0 0 0 −at 1 LLL {}e = Mi n h i t S > -a s+ a Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 6
7. Bi n đi Laplace c a m t s hàm thơng d ng
   Hàm l ưng giác : f1(t) = cos(at) s LLL {}cos(at ) = s2+ a 2 Mi n h i t S > 0
   Hàm l ưng giác : f2(t) = sin(at) a LLL {}sin(at ) = s2+ a 2 Mi n h i t S > 0 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 7
8. Bi n đi Laplace c a m t s hàm thơng d ng
   Hàm l ũy th a : tn (n = 0,1, 2, 3, ) +∞ +∞ten− st +∞ e − st n +∞ F( s ) = tn e− st dt =− nt n −1 dt = t n −− 1 e st dt ∫−s ∫ − s s ∫ 00 0 0 nn n−1 n( n − 1) n − 2 ⇒ L{}t= L{} t = L {} t s s s nnn(1)(2)− − n−3 n ! 0 =L{}t = = L {} t sss s n n n! LLL {}t = Mi n h i t S > 0 sn+1 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 8
9. Bi n đi Laplace c a m t s hàm thơng d ng f(t) F(s) Mi n h i t 1 u( t ) s > 0 s δ (t ) 1 1 − at s> − a e s+ a s cos(at ) s > 0 s2+ a 2 a sin(at ) s > 0 s2+ a 2 n n! s > 0 t sn+1 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 9
10. CCáácc tt íínhnh chch tt cc aa phph éépp bibi nn đđii LaplaceLaplace
    Tính tuy n tính ◦ Nu L L { ft11()} = Fs ();{ ft 2 ()} = Fs 2 () ◦ Thì LLL {aft11()+ aft 22 ()} = aFs 11 () + aFs 22 () (a1 , a 2 : cáchằngsố) +∞ LLL −st {}()aft11()+ aft 22 () =∫ aft 11 () + aftedt 22 () 0 +∞ +∞ −st − st =∫afte11() dt + ∫ afte 22 () dt =+ aFs 11 () aFs 22 () 0 0 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 10
11. VVíí dd Tìm bi n đi Laplace cho các hàm sau 4! s ft()= 2 t4 − 3cos5 t LLL {}f() t = 2 − 3 s5 s 2 + 25 1 gt()= 4()δ t − 6 e −2t LLL {}g() t = 4 − 6 s + 2 π π π scos− 6sin h( t )= 3cos(6 t + ) LLL {}h( t )= 3 3 3 3 s2 + 36 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 11
12. CCáácc tt íínhnh chch tt cc aa phph éépp bibi nn đđii LaplaceLaplace
    Tính d i theo s ◦ Nu LLL { ft()} = Fs () −at ◦ Thì LLL {e ft()} = Fsa ( + ) (a : số thực) +∞ −at − at − st LLL {}e ft()= ∫ e ftedt () 0 +∞ =∫ fte()−(s + a ) t dt = Fs () + a 0 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 12
13. VVíí dd Tìm bi n đi Laplace cho các hàm sau ft()= 2 et−6t 4 − 3 e − 2 t cos5 t 4! s LLL {}f()2 t = − 3 (s+ 6)5 ( s + 2) 2 + 25 −10 t π gt( )= 3 e cos(6 t + 3 ) (s + 10)cosπ − 6sin π LLL {}g( t )= 3 3 3 (s + 10)2 + 36 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 13
14. CCáácc tt íínhnh chch tt cc aa phph éépp bibi nn đđii LaplaceLaplace
    Tính d i theo t o t t 0 − LLL st 0 ◦ Thì { fttutt(−0 )( − 0 )} = e Fs () (t0 > 0 ) +∞ LLL −st {}fttutt()()−0 − 0 =∫ fttedt () − 0 t0 +∞ +∞ −s( x + t ) −st−sx − st =∫fxe()0 dx = e0 ∫ fxe () dxe = 0 Fs () 0 0 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 14
15. VVíí dd Tìm bi n đi Laplace cho các hàm sau 4 π π ft()=− 3( t 2) ut ( −− 2) 3cos( t −6 )( ut − 6 ) 4! −π s s LLL {}ft()2= e−2s − 3 e 6 s5 s 2 +1 −10 t π π gt( )= 3 e cos(6 t − 3)u ( t − 18 ) −π s (s + 10) LLL {}g( t )= 3 e 18 (s + 10)2 + 36 Bài gi ảng Tốn K ỹ Thu ật 2012 15