›
›

Giáo trình Trị riêng-Vecto riêng - Lê Xuân Dại

pdf 75 trang huongle 4010
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Trị riêng-Vecto riêng - Lê Xuân Dại", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_tri_rieng_vecto_rieng_le_xuan_dai.pdf

Nội dung text: Giáo trình Trị riêng-Vecto riêng - Lê Xuân Dại

  1. TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 1 / 75
  2. Bài toán thực tế Lĩnh vực đồ họa hoạt hình trên máy tính 4PQR → 4P0Q0R0 bằng cách lấy đối xứng qua trục Ox. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 2 / 75
  3. Bài toán thực tế  1 0  A = là ma trận của phép biến đổi. 0 −1 Như vậy, với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng có tọa độ (x1, x2) qua phép biến đổi này ta sẽ thu được một điểm mới có tọa độ (y1, y2)  y   1 0   x   x  1 = . 1 = 1 y2 0 −1 x2 −x2 Câu hỏi: Nếu thực hiện phép biến đổi này liên   k x1 tiếp đối với điểm (x1, x2) có nghĩa là A . x2 thì tọa độ của điểm mới được tính như thế nào? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 3 / 75
  4. Bài toán thực tế Nội dung 1 Trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận 2 Chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực 3 Trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính 4 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 4 / 75
  5. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận  1 0   −1   0  A = , u = , v = . 0 −1 −1 1  −1   −1  Ta thấy A = và −1 1  0   0   0  A = = −1. 1 −1 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 5 / 75
  6. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận vuông A ∈ Mn×n(K). Nếu tồn tại X ∈ K n, X =6 0 sao cho AX = λ.X , λ ∈ K thì λ được gọi là trị riêng của ma trận A và X được gọi là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ. Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận  1 4  A = 2 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 6 / 75
  7. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Biểu thức AX = λX có dạng  1 4   x   λx  1 = 1 ⇔ 2 3 x2 λx2  1 − λ 4   x   0  1 = . Hệ phương 2 3 − λ x2 0 trình thuần nhất này phải có nghiệm X =6 0 nên 1 − λ 4 2 = 0 ⇔ λ − 4λ − 5 = 0 2 3 − λ ⇔ λ1 = −1, λ2 = 5. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 7 / 75
  8. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ứng với λ1 = −1. Ta có  2x1 + 4x2 = 0 ⇔ x1 = −2α, x2 = α. 2x1 + 4x2 = 0 Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α =6 0. Ứng với λ2 = 5. Ta có  −4x1 + 4x2 = 0 ⇔ x1 = β, x2 = β. 2x1 − 2x2 = 0 Vậy véctơ riêng có dạng β(1, 1), β =6 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 8 / 75
  9. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận  1 2  A = −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 9 / 75
  10. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Biểu thức AX = λX có dạng  1 2   x   λx  1 = 1 ⇔ −2 1 x2 λx2  1 − λ 2   x   0  1 = . Hệ phương −2 1 − λ x2 0 trình thuần nhất này phải có nghiệm X =6 0 nên 1 − λ 2 2 = 0 ⇔ (1 − λ) + 4 = 0 −2 1 − λ ⇔ λ1,2 = 1 ± 2i. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 10 / 75
  11. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ứng với λ1 = 1 + 2i. Ta có  −2ix1 + 2x2 = 0 ⇔ x1 = α, x2 = αi. −2x1 − 2ix2 = 0 Vậy véctơ riêng có dạng α(1, i), α =6 0. Ứng với λ2 = 1 − 2i. Ta có  2ix1 + 2x2 = 0 ⇔ x1 = β, x2 = −βi. −2x1 + 2ix2 = 0 Vậy véctơ riêng có dạng β(1, −i), β =6 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 11 / 75
  12. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Đa thức đặc trưng Giả sử λ là trị riêng của ma trận vuông A ⇔ ∃X =6 0 : AX = λ.X ⇔ AX − λX = 0 ⇔ (A − λI ).X = 0. Hệ thuần nhất này có nghiệm không tầm thường X =6 0 ⇒ det(A − λI ) = 0 Định nghĩa Cho A ∈ Mn×n(K), I là ma trận đơn vị cấp n. Khi đó χA(λ) = det(A − λI ) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.Phương trình det(A − λI ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 12 / 75
  13. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Đa thức đặc trưng Tìm trị riêng-véc tơ riêng của ma trận vuông Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det(A − λI ) = 0. Bước 2. Giải phương trình đặc trưng tìm trị riêng. Bước 3. Với mỗi trị riêng λi , giải hệ (A − λi I )X = 0: Tìm véc tơ riêng X ứng với trị riêng λi . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 13 / 75
  14. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Đa thức đặc trưng Định lý   a11 a12 a13 Cho A =  a21 a22 a23  ∈ M3(K), khi đó a31 a32 a33 3 2 χA(λ) = |A − λI | = −λ + tr(A)λ −   a11 a12 a22 a23 a11 a13 − + + λ+det(A) a21 a22 a32 a33 a31 a33 ở đây tr(A) = a11 + a22 + a33−vết của ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 14 / 75
  15. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng Định nghĩa Các véctơ riêng ứng với trị riêng λ cùng với véctơ 0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không gian con riêng ứng với λ. Kí hiệu Eλ Định nghĩa Số chiều của không gian con riêng ứng với trị riêng λ được gọi là bội hình học của trị riêng λ. Còn bội đại số của λ là bội của nghiệm của phương trình đặc trưng χA(λ) = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 15 / 75
  16. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng Ví dụ  3 1 1  Cho A =  2 4 2  1 1 3 1 Lập đa thức đặc trưng của A 2 Tính det(A − 2013.I ) 3 Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 16 / 75
  17. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng 1. Đa thức đặc trưng của ma trận A 3 − λ 1 1 χA(λ) = |A − λI | = 2 4 − λ 2 = 1 1 3 − λ = −(λ − 2)2(λ − 6) 2. det(A − 2013.I ) = −(2013 − 2)2(2013 − 6) 3. Phương trình đặc trưng của A 3 − λ 1 1 χA(λ) = |A − λI | = 2 4 − λ 2 = 0 1 1 3 − λ 2 ⇔ −(λ − 2) (λ − 6) = 0 ⇔ λ1 = 2, λ2 = 6. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 17 / 75
  18. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng Ứng với λ1 = 2 ta xét hệ  x + x + x = 0  1 2 3 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0  x1 + x2 + x3 = 0  −1   −1  2 2 ⇒ X1 = α  1  + β  0  , α + β =6 0. 0 1 Bội đại số của λ1 = 2 là 2. Bội hình học của λ1 = 2 cũng là 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 18 / 75
  19. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng Ứng với λ2 = 6 ta xét hệ  −3x + x + x = 0  1 2 3 2x1 − 2x2 + 2x3 = 0  x1 + x2 − 3x3 = 0  1  ⇒ X2 = γ  2  , γ =6 0. Bội đại số của λ2 = 6 1 là 1. Bội hình học của λ2 = 6 cũng là 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 19 / 75
  20. Chéo hóa ma trận Định nghĩa chéo hóa Chéo hóa ma trận Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Ta nói A chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo D, tức là −1 ∃S ∈ Mn(K) không suy biến sao cho S AS = D. Khi đó S được gọi là ma trận làm chéo hóa. Chú ý. Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được. Chéo hóa ma trận A là đi tìm ma trận không suy biến S và ma trận chéo D. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 20 / 75
  21. Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa −1 Ta có S AS = D = dig(λ1, λ2, . . . , λn). Từ đó suy ra AS = SD     a11 a12 a1n λ1 0 0  a21 a22 a2n   0 λ2  A =   , D =       an1 an2 ann 0 0 . . . λn   s11 s12 s1n  s21 s22 s2n   S =   = S∗1 S∗2 S∗n   sn1 sn2 snn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 21 / 75
  22. Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa     a11 a12 a1n s11 s12 s1n  a21 a22 a2n   s21 s22 s2n  AS =   .       an1 an2 ann sn1 sn2 snn   = A S∗1 S∗2 S∗n = AS∗1 AS∗2 AS∗n     s11 s12 s1n λ1 0 0  s21 s22 s2n   0 λ2  SD =         sn1 sn2 snn 0 0 . . . λn  = λ1S∗1 λ2S∗2 . . . λnS∗n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 22 / 75
  23. Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa Vậy (AS)∗i = AS∗i = (SD)∗i = λi S∗i , (i = 1, 2, , n). Vậy S∗i là véctơ riêng ứng với trị riêng λi (i = 1, 2, , n) của ma trận A. Ma trận làm chéo hóa S có cấu trúc là: các cột của nó chính là các véctơ riêng của ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 23 / 75
  24. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ví dụ  15 −18 −16  Cho ma trận A =  9 −12 −8  . Hãy chéo 4 −4 −6 hóa ma trận A. Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 15 − λ −18 −16 χA(λ) = |A − λI | = 9 −12 − λ −8 = 0 4 −4 −6 − λ ⇔ −(λ + 3)(λ + 2)(λ − 2) = 0 ⇔ λ1 = −3, λ2 = −2, λ3 = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 24 / 75
  25. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ứng với λ1 = −3 ta xét hệ  18x − 18x − 16x = 0  1 2 3 9x1 − 9x2 − 8x3 = 0  4x1 − 4x2 − 3x3 = 0  1  ⇒ X1 = α  1  , α =6 0. 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 25 / 75
  26. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ứng với λ2 = −2 ta xét hệ  17x − 18x − 16x = 0  1 2 3 9x1 − 10x2 − 8x3 = 0  4x1 − 4x2 − 4x3 = 0  2  ⇒ X2 = β  1  , β =6 0. 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 26 / 75
  27. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ứng với λ3 = 2 ta xét hệ  13x − 18x − 16x = 0  1 2 3 9x1 − 14x2 − 8x3 = 0  4x1 − 4x2 − 8x3 = 0  4  ⇒ X3 = γ  2  , γ =6 0. 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 27 / 75
  28. Chéo hóa ma trận Ví dụ Bước 2. Xác định ma trận làm chéo hóa  124  S =  112  011  −300  Khi đó S −1AS = D =  0 −20  0 02 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 28 / 75
  29. Chéo hóa ma trận Ứng dụng chéo hóa tính lũy thừa của ma trận vuông Ứng dụng chéo hóa tính lũy thừa của ma trận vuông Giả sử A chéo hóa được, tức là −1 S AS = D = dig(λ1, λ2, . . . , λn). Khi đó (S −1AS)k = Dk, k ∈ N ⇒ S −1A(S.S −1)AS S −1AS = S −1AkS = Dk ⇒ Ak = SDkS −1. Vậy  k  λ1 0 0  k  k  0 λ2 0  −1 A = S   S   k 0 0 . . . λn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 29 / 75
  30. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ví dụ  0 −8 6  Cho ma trận A =  −1 −8 7  . Tính Ak, 1 −14 11 k ∈ N. Xét −λ −8 6 χA(λ) = |A − λI | = −1 −8 − λ 7 = 0 1 −14 11 − λ ⇔ −(λ − 2)(λ + 2)(λ − 3) = 0 ⇔ λ1 = −2, λ2 = 2, λ3 = 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 30 / 75
  31. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ứng với λ1 = −2 ta xét hệ  2x − 8x + 6x = 0  1 2 3 −x1 − 6x2 + 7x3 = 0  x1 − 14x2 + 13x3 = 0  1  ⇒ X1 = α  1  , α =6 0. 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 31 / 75
  32. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ứng với λ2 = 2 ta xét hệ  −2x − 8x + 6x = 0  1 2 3 −x1 − 10x2 + 7x3 = 0  x1 − 14x2 + 9x3 = 0  1  ⇒ X2 = β  2  , β =6 0. 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 32 / 75
  33. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ứng với λ3 = 3 ta xét hệ  −3x − 8x + 6x = 0  1 2 3 −x1 − 11x2 + 7x3 = 0  x1 − 14x2 + 8x3 = 0  2  ⇒ X3 = γ  3  , γ =6 0. 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 33 / 75
  34. Chéo hóa ma trận Ví dụ  1 1 2  Vậy ta có ma trận làm chéo hóa S =  1 2 3  1 3 5  1 1 −1   −2 0 0  ⇒ S −1 =  −2 3 −1  D =  0 2 0  . 1 −2 1 0 0 3 Do đó Ak = SDkS −1 =  1 1 2   (−2)k 0 0   1 1 −1   1 2 3   0 2k 0   −2 3 −1  1 3 5 0 0 3k 1 −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 34 / 75
  35. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ak =  (−2)k − 2.2k + 2.3k (−2)k + 3.2k − 4.3k −(−2)k − 2k + 2.3k   (−2)k − 4.2k + 3.3k (−2)k + 6.2k − 6.3k −(−2)k − 2.2k + 3.3k  (−2)k − 6.2k + 5.3k (−2)k + 9.2k − 10.3k −(−2)k − 3.2k + 5.3k TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 35 / 75
  36. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Định lý Cho A ∈ Mn(K). A chéo hóa được khi và chỉ khi bội đại số của trị riêng bất kỳ bằng bội hình học của nó. Ví dụ  2 0 1  Cho ma trận A =  1 1 1  . Hãy chéo hóa −2 0 −1 A nếu A chéo hóa được. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 36 / 75
  37. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 2 − λ 0 1 χA(λ) = |A − λI | = 1 1 − λ 1 = 0 −2 0 −1 − λ 2 ⇔ −λ(λ − 1) = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = 1 (bội 2). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 37 / 75
  38. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Ứng với λ1 = 0 (đơn) ta xét hệ  2x + x = 0  1 3 x1 + x2 + x3 = 0  −2x1 − x3 = 0  1  ⇒ X1 = α  1  , α =6 0. −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 38 / 75
  39. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Ứng với λ2 = 1 (bội 2) ta xét hệ  x + x = 0  α   1 3 x1 + x3 = 0 ⇒ X2 =  β  =  −2x1 − 2x3 = 0 −α  1   0  α  0  + β  1  , α2 + β2 =6 0. −1 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 39 / 75
  40. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Bước 2. Xác định ma trận làm chéo hóa  1 0 1  S =  1 1 0  −2 0 −1  −1 0 −1  Khi đó S −1 =  1 1 1  2 0 1  0 0 0  D = S −1AS =  0 1 0  0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 40 / 75
  41. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Ví dụ  2 0 0  Cho ma trận A =  0 4 0  . Hãy chéo hóa A 1 0 2 nếu A chéo hóa được. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 41 / 75
  42. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 2 − λ 0 0 χA(λ) = |A − λI | = 0 4 − λ 0 = 0 1 0 2 − λ 2 ⇔ −(λ − 4)(λ − 2) = 0 ⇔ λ1 = 4, λ2 = 2 (bội 2). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 42 / 75
  43. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa Ứng với λ1 = 4 (đơn) ta xét hệ  0   −2x = 0 1 ⇒ X = α 1 , α =6 0. x − 2x = 0 1   1 3 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 43 / 75
  44. Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa  2x2 = 0 Ứng với λ2 = 2 (bội 2) ta xét hệ x1 = 0  0  ⇒ X2 = β  0  , β =6 0. 1 Ta có bội đại số=2>bội hình học=1 nên A không chéo hóa được. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 44 / 75
  45. Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao Định nghĩa Cho A ∈ Mn(R). A được gọi là ma trận đối xứng T thực nếu A = A hay nếu A = (aij )n thì aij = aji , ∀i, j = 1, 2, , n. Định lý Cho A ∈ Mn(R) và A đối xứng thực. Khi đó nếu λ là trị riêng của A thì λ ∈ R. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 45 / 75
  46. Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao Định nghĩa Cho P ∈ Mn(K). Ma trận P được gọi là ma trận trực giao nếu và chỉ nếu P không suy biến và thỏa điều kiện PT = P−1, tức là P có ma trận nghịch đảo bằng ma trận chuyển vị. Định lý Với mỗi ma trận đối xứng thực A, tồn tại ma trận trực giao P sao cho PT AP là ma trận chéo. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 46 / 75
  47. Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Tìm trị riêng. Bước 2. Tìm cơ sở của không gian con riêng ứng với từng trị riêng. Bước 3. Từ cơ sở này tìm cơ sở trực chuẩn. Bước 4. Ma trận trực giao P có các cột là cơ sở trực chuẩn của những không gian con riêng. Các phần tử nằm trên đường chéo chính của D là các trị riêng tương ứng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 47 / 75
  48. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ví dụ Hãy chéo hóa ma trận đối xứng thực  2 −1 −1  A =  −1 2 −1  bằng ma trận trực giao. −1 −1 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 48 / 75
  49. Chéo hóa ma trận Ví dụ Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 2 − λ −1 −1 χA(λ) = |A − λI | = −1 2 − λ −1 = 0 −1 −1 2 − λ 2 ⇔ −λ(λ − 3) = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = 3 (bội 2). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 49 / 75
  50. Chéo hóa ma trận Ví dụ Bước 2, 3. Ứng với λ1 = 0 (đơn) ta xét hệ  2x − x − x = 0  1 2 3 −x1 + 2x2 − x3 = 0  −x1 − x2 + 2x3 = 0  1  ⇒ X1 = α  1  , α =6 0. Từ đó ta có 1  √1  X 3 1  √1  P∗1 = = 3 ||X1||   √1 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 50 / 75
  51. Chéo hóa ma trận Ví dụ Ứng với λ2 = 3 (bội 2) ta xét hệ  −x − x − x = 0  1 2 3 −x1 − x2 − x3 = 0  −x1 − x2 − x3 = 0  −α − β  ⇒ X2 =  α  = β  −1   −1  α  1  + β  0  , α2 + β2 =6 0. 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 51 / 75
  52. Chéo hóa ma trận Ví dụ Dùng quá trình Gram-Shmidt, tìm cơ sở trực giao F = {f1, f2}.  −1  f1 = X1 =  1  , 0  −1/2  f = X − 2 1 f = −1/2 2 2 1   1 1 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 52 / 75
  53. Chéo hóa ma trận Ví dụ Trực chuẩn hóa cơ sở trực giao ta được   −√1 2 f1 P = =  √1  và ∗2 ||f ||  2  1 0  −√1  f 6 2  −√1  P∗3 = = 6 ||f2||   √2 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 53 / 75
  54. Chéo hóa ma trận Ví dụ Bước 4. Xác định ma trận trực giao làm chéo  √1 −√1 −√1  3 2 6 hóa P =  √1 √1 −√1   3 2 6  √1 0 √2 3 6  000  Khi đó D = PT AP =  030  0 03 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 54 / 75
  55. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E là một K− kgv, ánh xạ tuyến tính f : E → E. Nếu ∃x ∈ E, x =6 0 sao cho f (x) = λ.x, λ ∈ K thì λ được gọi là trị riêng của f và x được gọi là véc-tơ riêng của f ứng với trị riêng λ. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 55 / 75
  56. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E là K−kgv, B là một cơ sở của E. Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E. A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B. Giả sử λ0 là trị riêng của ánh xạ tuyến tính f ⇔ ∃x0 =6 0, x0 ∈ E : f (x0) = λ0.x0 ⇔ [f (x0)]B = [λ0x0]B ⇔ A[x0]B = λ0[x0]B ⇒ λ0 là trị riêng của ma trận A và [x0]B là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 56 / 75
  57. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Kết luận 1 Trị riêng của ma trận là trị riêng của ánh xạ tuyến tính và ngược lại 2 Nếu véctơ x0 là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ0 thì véctơ x sao cho [x]B = x0 là véctơ riêng của f ứng với trị riêng λ0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 57 / 75
  58. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Các bước tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Các bước tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Bước 1. Chọn một cơ sở tùy ý B của kgv E. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B Bước 2. Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận A Bước 3. Kết luận 1 Trị riêng của ma trận là trị riêng của ánh xạ tuyến tính và ngược lại 2 Nếu véctơ x0 là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ0 thì véctơ x sao cho [x]B = x0 là véctơ riêng của f ứng với trị riêng λ0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 58 / 75
  59. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết f (x) = f (x1, x2, x3) = (5x1−10x2−5x3, 2x1+14x2+2x3, −4x1−8x2+6x3). Tìm trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f Bước 1. Chọn cơ sở chính tắc của R3 là B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B là  5 −10 −5  A =  2 14 2  −4 −8 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 59 / 75
  60. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Bước 2. Tìm trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận A Phương trình đặc trưng −λ3 + 25λ2 − 200λ + 500 = 0 ⇔ 2 −(λ − 5)(λ − 10) = 0 ⇔ λ1 = 5, λ2 = 10 (kép) Với λ1 = 5 giải hệ phương trình     0 −10 −5 x1 (A−λ1I )X = 0 ⇔  2 9 2   x2  = 0 −4 −8 1 x3  5  ⇔ X = α  −2  4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 60 / 75
  61. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Bước 3. Kết luận: Véc-tơ riêng của A ứng với λ1 là X1 sao cho  5α  [X1]B =  −2α  , α =6 0 4α ⇒ X1 = (5α, −2α, 4α) vì B là cơ sở chính tắc. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 61 / 75
  62. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Bước 2. Với λ2 = 10 giải hệ phương trình     −5 −10 −5 x1 (A−λ2I )X = 0 ⇔  2 4 2   x2  = 0 −4 −8 −4 x3  −2α − β  2 2 ⇔ X =  α  , (α + β =6 0). β TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 62 / 75
  63. Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Bước 3. Kết luận: Véc-tơ riêng của A ứng với λ2 là X2 sao cho  −2α − β  2 2 [X2]B =  α  , (α + β =6 0) β ⇒ X2 = (−2α − β, α, β) vì B là cơ sở chính tắc. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 63 / 75
  64. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Đặt vấn đề Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Bài toán Tìm 1 cơ sở B0 (nếu có) của kgv E sao cho ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B0 là ma trận chéo. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 64 / 75
  65. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính f : E → E được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại cơ sở B0 của kgv E, sao cho ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 65 / 75
  66. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính Bước 1. Chọn 1 cơ sở B của kgv E. Tìm ma trận A của f trong cơ sở B Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được) Bước 3. Kết luận 1 Nếu A chéo hóa được thì f chéo hóa được 2 Nếu A không chéo hóa được thì f không chéo hóa được TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 66 / 75
  67. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính Kết luận Giả sử A chéo hóa được bởi ma trận S và ma trận chéo D. Khi đó cơ sở B0 cần tìm có tọa độ mỗi véctơ của B0 trong cơ sở B là mỗi cột của ma trận S ⇒ ma trận của f trong cơ sở B0 cần tìm là ma trận chéo D. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 67 / 75
  68. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết f (1, 1, 1) = (1, −7, 9); f (1, 0, 1) = (−7, 4, −15); f (1, 1, 0) = (−7, 1, −12). Tìm một cơ sở B0 (nếu 0 có) của R3 sao cho ma trận của f trong B là ma trận chéo D. Tìm ma trận D Bước 1. Tìm ma trận của f trong B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}  1 −4 −4  A =  8 −11 −8  −8 8 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 68 / 75
  69. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được) Phương trình đặc trưng −λ3 − 5λ2 − 3λ + 9 = 0 ⇔ −(λ − 1)(λ + 3)2 = 0 Với λ1 = 1 giải hệ phương trình     0 −4 −4 x1 (A−λ1I )X = 0 ⇔  8 −12 −8   x2  = 0 −8 8 4 x3  1  ⇔ X = α  2  −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 69 / 75
  70. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Véc-tơ riêng của A ứng với λ1 là X1 sao cho  α  [X1]B =  2α  , α =6 0 −2α ⇒ X1 = α(1, 1, 1) + 2α(1, 0, 1) − 2α(1, 1, 0) = (α, −α, 3α). Chọn 1 véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f ứng với λ1 = 1 là (1, −1, 3) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 70 / 75
  71. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Với λ2 = −3 giải hệ phương trình     4 −4 −4 x1 (A−λ2I )X = 0 ⇔  8 −8 −8   x2  = 0 −8 8 8 x3  α + β  2 2 ⇔ X =  α  , (α + β =6 0). β TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 71 / 75
  72. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Véc-tơ riêng của A ứng với λ2 là X2 sao cho  α + β  2 2 [X2]B =  α  , (α + β =6 0) β ⇒ X2 = (α + β)(1, 1, 1) + α(1, 0, 1) + β(1, 1, 0) = = (2α+2β, α+2β, 2α+β) = α(2, 1, 2)+β(2, 2, 1) Chọn 2 véc-tơ riêng độc lập tuyến tính của f ứng với trị riêng λ2 = −3 là (2, 1, 2), (2, 2, 1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 72 / 75
  73. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Bước 3. Vậy cơ sở cần tìm là B0 = {(1, −1, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 1)}. Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B0 là  1 0 0  D =  0 −3 0  0 0 −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 73 / 75
  74. Thực hành MatLab Thực hành MatLab 1 Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A: p = poly(A) 2 Tìm nghiệm của đa thức đặc trưng: roots(p) 3 Tìm trị riêng và véctơ riêng tương ứng: [V , D] = eig(A) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 74 / 75
  75. Kết thúc THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 75 / 75