Giáo trình Xử lý tín hiệu số - Đặng Hoài Bác

270 trang huongle 1950

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Xử lý tín hiệu số - Đặng Hoài Bác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_xu_ly_tin_hieu_so_dang_hoai_bac.pdf

Nội dung text: Giáo trình Xử lý tín hiệu số - Đặng Hoài Bác

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG === === SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Biên soạn : Ths. ĐẶNG HOÀI BẮC
LỜI NÓI ĐẦU Xử lý tín hiệu số (DSP: Digital Signal Processing) là môn học đề cập đến các phép xử lý các dãy số để có được các thông tin cần thiết như phân tích, tổng hợp mã hoá, biến đổi tín hiệu sang dạng mới phù hợp với hệ thống. So với xử lý tín hiệu tương tự, xử lý tin hiệu số có nhiều ưu điểm như : - Độ chính xác cao, sao chép trung thực, tin cậy. - Tính bền vững: không chịu ảnh hưởng nhiều của nhiệt độ hay thời gian - Linh hoạt và mềm dẻo: thay đổi phần mềm có thể thay đổi các tính năng phần cứng. - Thời gian thiết kế nhanh, các chip DSP ngày càng hoàn thiện và có độ tích hợp cao. Trong môn học Xử lý số tín hiệu, những nội dung chính được đề cập bao gồm các khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi cơ bản dùng trong xử lý tín hiệu số như biến đổi z, biến đổi Fourier, biến đổi FFT, các phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR, IIR và cấu trúc bộ lọc. Tài liệu này được biên soạn phục vụ mục đích hướng dẫn học tập cho sinh viên Đại học hệ Đào tạo từ xa ngành Điện tử Viễn thông và Công nghệ thông tin trong môn học “ Xử lý tín hiệu số” với chủ trương ngắn gọn, nhiều ví dụ, dễ hiểu. Nội dung tài liệu dựa trên giáo trình “Xử lý tín hiệu và lọc số” của tác giả Nguyễn Quốc Trung và một số tài liệu khác chia thành 9 chương: Chương I: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n. Chương II: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền z. Chương III: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số ω. Chương IV: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc ωk. Chương V: Tổng hợp bộ lọc số có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn FIR. Chương VI: Tổng hợp bộ lọc số có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn IIR. Chương VII: Biến đổi Fourier nhanh - FFT. Chương VIII: Cấu trúc bộ lọc số. Chương IX: Lọc số nhiều nhịp. Ở lần biên soạn đầu tiên, chắc tài liệu còn một số các sơ sót, mong người đọc thông cảm và đóng góp các ý kiến cho tác giả trong quá trình học tập, trao đổi. Hà Nội, tháng 5 năm 2006 NHÓM BIÊN SOẠN 1
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n GIỚI THIỆU Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập đến các vấn đề biều diễn tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian rời rạc n, đây là miền biểu diễn tín hiệu sau khi đã lấy mẫu tín hiệu. Để nắm được kiến thức của chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số nội dung chính sau. a. Khái niệm về tín hiệu Về mặt vật lý: tín hiệu là dạng biểu diễn vật lý của thông tin. Ví dụ: - Các tín hiệu ta nghe thấy là do âm thanh phát ra gây nên sự nén dãn áp suất không khí đưa đến tai chúng ta. - Ánh sáng ta nhìn được là do sóng ánh sáng chuyển tải các thông tin về màu sắc, hình khối đến mắt chúng ta. Về mặt toán học: tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số độc lập. Ví dụ: - Tín hiệu âm thanh x(t) là hàm của một biến độc lập trong đó x là hàm t là biến. - Tín hiệu ảnh x(i,j) là hàm của hai biến độc lập i và j. Trong môn học này chúng ta chỉ tập trung nghiên cứu đối với các tín hiệu là hàm của một biến độc lâp. b. Phân loại tín hiệu Các tín hiệu trên thực tế được phân loại như sau: TÍN HIỆU Tín hiệu liên tục Tín hiệu rời rạc Tín hiệu tương tự Tín hiệu lượng Tín hiệu lấy mẫu Tín hiệu số tử hoá 3
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n - Định nghĩa tín hiệu liên tục: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một tín hiệu là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu liên tục. Nhận xét: Tín hiệu liên tục là tín hiệu liên tục theo biến, xét theo hàm hay biên độ ta có tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hoá. + Định nghĩa tín hiệu tương tự: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu tương tự. Nhận xét: Tín hiệu tương tự liên tục theo cả biến và hàm. + Định nghĩa tín hiệu lượng tử hoá: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lượng tử hoá. Nhận xét: Tín hiệu lượng tử hoá liên tục theo biến và rời rạc theo biên độ. xa ()t xs (nTs ) T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T s s s s s s s s nTs xq ()t xds(nT ) Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts nTs Ts Hình 1.1 Minh hoạ sự phân loại tín hiệu - Định nghĩa tín hiệu rời rạc: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một tín hiệu là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc. Nhận xét: Tín hiệu liên tục là tín hiệu liên tục theo biến, xét theo hàm ta có tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số. + Định nghĩa tín hiệu lấy mẫu: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục và không bị lượng tử hoá thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lấy mẫu. Nhận xét: Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo hàm, liên tục theo biến. 4
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n + Định nghĩa tín hiệu số: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu số. Nhận xét: Tín hiệu số rời rạc theo cả biến và theo cả hàm. Lưu ý: Việc phân loại tín hiệu sẽ là cơ sở để phân loại hệ thống xử lý, chẳng hạn như ta có hệ thống rời rạc hay hệ thống tương tự được phân loại tương ứng với loại tín hiệu mà hệ thống đó xử lý là tín hiệu rời rạc hay tín hiệu tương tự. Các tín hiệu được nghiên cứu trong môn học này, chúng ta chỉ đề cập đến tín hiệu rời rạc do vậy chúng ta cần quan tâm đến định lý lấy mẫu của Shannon. Định lí lấy mẫu: Nếu một tín hiệu tương tự xa ( t) có tần số cao nhất là FBmax = , được lấy mẫu tại tốc độ FFBs >2max ≡ 2 , thì xa ( t) có thể được phục hồi một cách chính xác từ giá trị các mẫu của nó nhờ hàm nội suy. Khi Fs=Fmax = 2B ta gọi Fs lúc này là tần số lấy mẫu Nyquist, Ký hiệu là FNyquist hay FN. Sau khi đã nhắc lại các kiến thức cơ bản về tín hiệu như trên, chúng ta sẽ nghiên cứu các kiến thức của môn học “Xử lý tín hiệu số” bắt đầu việc biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền n ở chương I này. Những nội dung kiến thức được đề cập trong chương I bao gồm: - Biểu diễn tín hiệu - Các tín hiệu cơ bản - Hệ thống tuyến tính bất biến. - Phép chập (Convolution). - Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến. - Phép tương quan (Correlation). NỘI DUNG 1.1. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.1.1. Các cách biểu diễn tín hiệu rời rạc Trước khi biểu diễn ta có thể chuẩn hoá x(nTs) như sau Ts =1 XnT()s ⎯⎯⎯→ xn () tức là chuẩn hóa Ts =1. a. Biểu diễn theo toán học Biểu thức toán học NnN12≤ ≤ xn()= 0 n≠ Ví dụ 1.1: Ta có thể biểu diễn tín hiệu 5
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n ⎧ n ⎪10n4−≤≤ x(n) = ⎨ 4 ⎩⎪ 0n≠ Ở đây ta thấy: x(0)=1; x(1)=3/4; x(2)=1/2; x(3)=1/4; x(4)=0. b. Biểu diễn bằng đồ thị Cách biểu diễn này cho ta cách nhìn trực quan về một tín hiệu rời rạc. Ví dụ 1.2 Với tín hiệu như ở ví dụ 1.1, ta có thể biểu diễn bằng đồ thị như sau: 1 3/4 1/2 1/4 Hình 1.2 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị c. Biểu diễn bằng dãy số xn()=− , xn ( 1 ) , xnG () , xn ( + 1 ) , { 0 } G Lưu ý ở đây, ta phải có mốc đánh dấu 0 để thể hiện thời điểm gốc. Do cách biểu diễn này, ta còn gọi tín hiệu rời rạc là dãy Ví dụ 1.3: Biểu diễn bằng dãy số tín hiệu trong ví dụ 1.1 và 1.2: ⎧⎫311 xn= 1,,, () ⎨⎬G ⎩⎭0 424 Ta thấy, cả ba ví dụ trên đều biểu diễn một tín hiệu theo ba cách khác nhau. 1.1.2. Một số dãy cơ bản (Tín hiệu rời rạc cơ bản) a. Dãy xung đơn vị: Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau: ⎧10n = δ ()n = ⎨ (1.1) ⎩0 n ≠ 6
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n δ (n) 1 -10 1 n Hình 1.3 Dãy xung đơn vị δ (n) Ví dụ 1.4: Hãy biểu diễn dãy δ (n −1) δ (n −1) 1 -1 0 1 2 3 n Hình 1.4 Dãy xung δ (n −1) b. Dãy nhảy đơn vị Trong miền n, dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau: ⎧10n ≥ un()= ⎨ (1.2) ⎩ 0 n ≠ Hình 1.5 Dãy nhảy đơn vị u(n) Ví dụ 1.5 ⎧13n ≥− Hãy biểu diễn dãy un()+=3 ⎨ ⎩03n < − 7
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Hình 1.6 Dãy u(n+3) c. Dãy chữ nhật: Trong miền n, dãy chữ nhật được định nghĩa như sau: ⎧10≤ nN≤− 1 rectN () n = ⎨ (1.3) ⎩0n còn lai rectN ( n) Hình 1.7 Dãy chữ nhật rectN(n) Ví dụ 1.6: Hãy biểu diễn dãy rect3(n-2) ⎧10≤ n −≤ 2 2 rect3 () n −=2 ⎨ ⎩0cònn lai rect3 ( n − 2) Hình 1.8 Dãy chữ nhật rect3(n-2) d. Dãy dốc đơn vị: Trong miền n, dãy dốc đơn vị được định nghĩa như sau: 8
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n ⎧nn≥ 0 rn()= ⎨ (1.4) ⎩0cònn lai Hình 1.9 Dãy dốc đơn vị r(n) Ví dụ 1.7 Hãy biểu diễn dãy r(n-1). ⎧nn−110−≥( n ≥1) rn()−=1 ⎨ ⎩ 0n còn lai Hình 1.10 Dãy dốc đơn vị r(n-1) e. Dãy hàm mũ: Trong miền n, dãy hàm mũ được định nghĩa như sau: ⎧ann ≥ 0 en()= ⎨ (1.5) ⎩0cònn lai Ví dụ 1.8: Hãy biểu diễn e(n) với 0 ≤ a ≤ 1. Hình 1.11 Dãy hàm mũ e(n) 9
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n 1.1.3. Một số định nghĩa a. Dãy tuần hoàn: Ta nói rằng một dãy x(n) là tuần hoàn với chu kỳ N nếu thỏa mãn điều kiện sau đây: x(n) = x (n + N)= x (n + lN) l: số nguyên; N: chu kỳ Khi cần nhấn mạnh tính tuần hoàn, người ta ký hiệu dấu ~ phía trên. Ký hiệu: x n . ()N Ví dụ 1.9 Biểu diễn dãy tuần hoàn x (n) với N = 4. Hình 1.12 Dãy tuần hoàn x n ( )4 b. Dãy có chiều dài hữu hạn: Một dãy được xác định với số hữu hạn N mẫu ta gọi là dãy có chiều dài hữu hạn với N là chiều dài của dãy. L: Toán tử chiều dài L[x(n)] = [0, 3] = 4 Hình 1.13 Dãy có chiều dài hữu hạn c. Năng lượng của dãy: Năng lượng của một dãy x(n) được định nghĩa như sau: ∞ 2 Exx = ∑ ()n (1.6) n=−∞ Ví dụ 1.10 10
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Tìm năng lượng của 3 dãy xn1 ()= δ () n x2 ()nrectn= N () xn3 ()= un () Giải: ∞ 2 En=δ =1 Dãy có năng lượng hữu hạn x1 ∑ () n=−∞ ∞ 2 E= rect n= N Dãy có năng lượng hữu hạn xN2 ∑ () n=−∞ ∞ 2 Eun==∞ Dãy có năng lượng vô hạn (không tồn tại thực tế) x3 ∑ () n=−∞ d. Công suất trung bình của một tín hiệu Công suất trung bình của một tín hiệu x( n) được định nghĩa như sau: N 1 P = lim x() n 2 (1.7) N →∞ 2N + 1 ∑ n=− N Nếu ta định nghĩa năng lượng của tín hiệu x( n) trong một khoảng hữu hạn −N ≤ n≤ N là: N 2 E = x() n N ∑ (1.8) n=− N Thì có thể biễu diễn năng lượng tín hiệu E như sau: EE≡ lim N (1.9) N→∞ và công suất trung bình của tín hiệu x( n) là 1 P ≡ lim EN (1.10) N→∞ 2N + 1 Như vậy, nếu E là hữu hạn thì P = 0 . Mặt khác, nếu E là vô hạn thì công suất trung bình P có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu P là hữu hạn (và không zero) thì tín hiệu gọi là tín hiệu công suất. e. Tổng của 2 dãy: Tổng của 2 dãy nhận được bằng cách cộng từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. Ví dụ 1.11 11
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Hãy thực hiện x312()nxnxn=+ () ( ) x1 (n) x2 (n) x3 (n) Hình 1.14 Tổng của hai dãy f. Tích của 2 dãy: Tích của 2 dãy nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. Ví dụ 1.12 Hãy thực hiện x312()nxnxn= (). ( ) 12
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n x1 (n) x2 (n) x3 (n) Hình 1.15 Tích của hai dãy g. Tích của một dãy với hằng số: Tích của một dãy với các hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của dãy với hằng số đó. Ví dụ 1.13 x21(nx) = α. (n), α là hằng số giả sử cho bằng 2 ta có: x1 (n) x2 (n) Hình 1.16 Tích của dãy với hằng số 2 h. Trễ: Ta nói rằng dãy x2 ()n là dãy lặp lại trễ của dãy x1 (n) nếu có quan hệ sau đây: x21()nxnn=− (0 ) n0 : nguyên Ví dụ 1.14 13
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Biểu diễn tín hiệu x(n) được mô tả như sau: 31 1 xn()=+δδ () n() n −+−+−12 δ() n δ() n 3 42 4 Giải: Ta biểu diễn lần lượt các thành phần trong mô tả trên, sau đó thực hiện phép cộng như minh họa dưới đây để xác định x(n). δ (n) 3 δ ()n −1 4 1 δ ()n − 2 2 1 δ ()n − 3 4 ⎧ n ⎪104−≤≤n xn()= ⎨ 4 ⎪⎩0 n ≠ Hình 1.17 Minh hoạ x(n) trong ví dụ 1.14 Từ ví dụ 1.14, ta thấy rằng: Một dãy x(n) bất kỳ đều có thể biểu diễn dưới dạng sau đây: ∞ x()nxkn=∑ ().δ (−k ) (1.11) k=−∞ 14
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Trong đó ta chú ý x(k) là giá trị x(n) tại thời điểm n = k, do vậy về mặt bản chất x(k) và x(n) khác nhau (n là biến thời gian rời rạc, k là chỉ số), nhưng về mặt thể hiện x(n) và x(k) là như nhau. 1.2. CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 1.2.1. Các hệ thống tuyến tính a. Một số khái niệm Kích thích và đáp ứng: + Dãy vào của hệ thống được gọi là kích thích + Dãy ra được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang khảo sát. Toán tử T: + Một hệ thống tuyến tính đặc trưng bởi toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra. Txn⎣⎦⎡⎤( ) = y (n) (1.12) x(ny) ⎯⎯T → (n) b. Hệ thống tuyến tính: Đối với các hệ thống tuyến tính toán tử T phải tuân theo nguyên lý xếp chồng, tức là phải tuân theo quan hệ sau đây: Taxn⎡⎤⎡⎤⎡⎣⎦⎣⎦⎣ 12()+= bxn( ) aTxn . 1( ) + bTxn . 2( )⎦⎤ =+ay 12( n) by( n) (1.13) c. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính: ∞ Trong (1.11) ta có biểu diễn của tín hiệu đầu vào x()nxkn= ∑ ().δ (− k ) k=−∞ Thực hiện biến đổi theo toán tử T ta xác định y(n) ⎡⎤∞∞ yn()== T⎣⎦⎡⎤ xn () T⎢⎥∑∑ xk () δδ ( n −= k ) xk () T⎣⎡ ( n − k )⎦⎤ ⎣⎦kk=−∞ =−∞ ∞ yn()= ∑ xk (). hk () n (1.14) k=−∞ 15
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n hnk ()=− T⎣⎡δ ( nk)⎦⎤ được gọi là đáp ứng xung. (1.15) Đáp ứng xung hnk () đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống thay cho toán tử T. 1.2.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến a. Định nghĩa: Nếu ta có y(n) là đáp ứng với kích thích x(n) thì hệ thống được gọi là bất biến nếu y(n - k) là đáp ứng ứng với kích thích x(n - k). b. Phép chập: δ (n ) yn( ) == T⎣⎦⎡⎤δ ( n)( hn) δ (nk− ) Tnhhnk⎡⎤δ ( − ) =−( ) ⎣⎦ ∞ yn()= ∑ xk (). hn (− k ) (1.16) k=−∞ yn( ) = xn( )* hn( ) (1.17) Ở đây h(n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến (TTBB) Dấu hoa thị (*) ký hiệu phép chập. hn( ) Như vậy, đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến (TTBB) sẽ bằng dãy vào chập với đáp ứng xung. Phương pháp tính phép chập Về nguyên tắc chúng ta phải tính y(n) = x(n) * h(n) theo cách tìm từng giá trị y(n) ứng với từng giá trị n cụ thể từ n = - ∞ đến n = ∞. ∞ yn()=−∑ xk (). hn ( k ) (n: -∞ → ∞) k=−∞ ∞ n = 0 ⇒ yxkh()0.0= ∑ () (− k ) k=−∞ ∞ n = 1 ⇒ yxkh()1.= ∑ ( ) (1− k ) k=−∞ n=2 Cứ thay vào như vậy về nguyên tắc ta phải tính đến giá trị n = ∞. Đối với các giá trị n < 0 ta cũng phải tính lần lượt 16
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n ∞ n = -1 ⇒ yxkh()−1.=−∑ ()(1−k ) k =−∞ n = -2 và phải tính đến giá trị n = - ∞ Tập hợp các giá trị tìm được ta có kết quả phép chập y(n) cần tìm. Để dễ dàng trong việc tính toán người ta đưa ra nhiều phương pháp tính phép châp trong đó có phương pháp đồ thị như sau: Các bước tính phép chập bằng đồ thị: Bước 1: Đổi biến n thành biến k, x(n) -> x(k), h(n) -> h(k), cố định h(k) Bước 2: Quay h(k) đối xứng qua trục tung để thu được h(-k), tức h(0-k) ứng với n=0. Bước 3: Dịch chuyển h(-k) theo từng giáa trị n, nếu n>0 dịch chuyển về bên phải, nếu n 0) theo từng mẫu, sau đó tính từng giá trị của y(n) ứng với từng n cụ thể như đồ thị sau. 17
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n x (k) = rect5 ( k ) Hình 1.18 Minh hoạ tính phép chập bằng đồ thị trong ví dụ 1.15 Tiếp tục tính như trên ta được các giá trị: 18
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n y(3) = 2,5 y(5) = 1,5 y(7) = 0,25 y(-1) = 0 y(- ∞ ) = 0 y(4) = 2,5 y(6) = 0,75 y(8) = 0 y( ∞ ) = 0 Dựa vào kết quả tính toán, ta vẽ được đáp ứng ra của hệ thống: Hình 1.19 Kết quả phép chập trong ví dụ 1.15 c. Các tính chất của phép chập: - Tính giao hoán: ∞ yn()=== xn () hn () hn () xn ()∑ hkxn ()(− k ) (1.18) k=−∞ Ý nghĩa: Trong một hệ thống, ta có thể hoán vị đầu vào x(n) và đáp ứng xung h(n) cho nhau thì đáp ứng ra y(n) không thay đổi. - Tính kết hợp: y (nxnhnhn)()== ⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤12( ) ( ) xnhnhn( ) 1( ) 2( ) (1.19) Ý nghĩa: 19
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n hn12( )* hn( ) hn( ) hn( ) 1 x (nhn)* ( ) 2 1 Nếu ta có hai hệ thống ghép nối tiếp với nhau thì đáp ứng xung của hệ thống tổng quát sẽ là chập của đáp ứng xung của các hệ thống thành phần. - Tính phân phối (chập và cộng): y ()n=+=+ xnhnhn () ⎣⎦⎣⎦⎣⎡⎤⎡⎤⎡12 () ( ) xnhn( ) 1( ) xnhn( )()*2⎦⎤ (1.20) Ý nghĩa: hn12( ) + hn( ) x(nhn)* 1 ( ) hn1 ( ) hn( ) 2 x(nhn)* ( ) 2 Nếu ta có hai hệ thống ghép song song với nhau thì đáp ứng xung của hệ thống tổng quát sẽ là tổng đáp ứng xung của các hệ thống thành phần. 1.2.3. Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả Định nghĩa: Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở thời điểm bất kỳ n = n0 hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm tương lai, n > n0. Định lý: Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả phải bằng 0 với n < 0 (h(n) = 0 với mọi n <0). - Một dãy x(n) được gọi là nhân quả nếu x(n) = 0 với n < 0. Xét phép chập để xác định đáp ứng ra y(n) với tín hiệu và hệ thống TTBB nhân quả. - Nếu x(n) nhân quả: 20
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n ∞ yn()=∑ xk (). hn (− k ) x(k) ≠ 0 khi k ≥ 0 k=0 - Nếu h(n) nhân quả: h(n) ≠ 0 khi n ≥ 0: ∞ Vì h(n – k) ≠ 0 ; (n – k) ≥ 0 ⇒ yn()= ∑ xk (). hn (− k ) k=0 1.2.4. Hệ thống tuyến tính bất biến và ổn định Định nghĩa: Một hệ thống tuyến tính bất biến gọi là ổn định nếu ứng với dãy vào bị chặn ta cũng có dãy ra bị chặn (biên độ bị hạn chế ≠ ±∞ ). xn( ) < ∞→ yn( ) <∞ (1.21) Hệ thống này còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded Input Bounde Output) Định lý về hệ thống ổn định: Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng xung h(n) của nó thoả mãn điều kiện sau đây: ∞ Shn= ∑ ()<∞ (1.22) n=−∞ (Tổng giá trị tuyệt đối của mọi giá trị đáp ứng xung) Ví dụ 1.17 Xét sự ổn định của các hệ thống có đáp ứng xung sau: hn1 ()= un () ⎧ann ≥ 0 hn2 ()= ⎨ ⎩00n < Giải: ∞∞ Shn12==∑∑() 1 =∞ → Hệ thống không ổn định nn=−∞ =0 ∞∞ n 1 Shn23==∑∑() a= nếu a < 1 → Hệ thống ổn định nn=−∞ =0 1− a 1− an+1 = = ∞ nếu a ≥ 1 → Hệ thống không ổn định 1− a 1.3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số biến đổi Về mặt tín hiệu, một hệ thống tuyến tính (HTTT) sẽ được mô tả bởi một phương trình sai phân tuyến tính có dạng: 21
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n NM ∑∑anynkkr() (− )= bnxnr ()(− ) (1.23) kr==00 NM anyn00() ()+ ∑∑ anynkkr () (−= ) bnxnr ()( − ) kr==10 MNbn( ) an( ) yn()=−−∑∑rk xn() r yn(− k) (1.24) rk==01an00() an() ∞ yn()= ∑ xkh ()k () n k=−∞ ank (), bnr () hệ số phương trình đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống tuyến tính, thay cho đáp ứng xung. 1.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Một HTTT bất biến về mặt toán học được mô tả bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dạng tổng quát sau đây: NM ∑∑aynkkr()− = bxnr (−) (1.25) kr==00 ak , br hệ số hằng. N: Bậc của phương trình MNb a yn()= ∑∑r xn()−− rk yn() − k rk==01aa00 a0 = 1, thì MN yn()=−−∑∑ bxnrk ( r ) ayn (− k ) (1.26) rk==01 br , ak đặc trưng cho hệ thống, thay cho đáp ứng xung. Đáp ứng ra y(n) được xác định bởi phương trình sai phân (PTSP) như trên tương đương với đáp ứng ra được xác định theo phép chập: ∞ yn()== xn ()* hn ()∑ xkhn ()(− k ) (1.27) k =−∞ đáp ứng xung h(n) đặc trưng cho hệ thống. Lưu ý: Nếu đầu vào là xung đơn vị δ (n) thì đầu ra ta có đáp ứng xung h(n). hn( ) x(nn) =δ ( ) yn( ) = hn( ) 22
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Có hai phương pháp giải phương trình sai phân để xác định đáp ứng ra y(n), đáp ứng xung h(n): - Phương pháp thế - Phương pháp tìm nghiệm tổng quát: giải phương trình tìm nghiệm thuần nhất, nghiệm riêng rồi xác định nghiệm tổng quát. Việc giải phương trình sai phân theo phương pháp thế sẽ được mô tả trong ví dụ 1.18. Ví dụ 1.18 Cho phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau: y(n) = Ay(n-1) + x(n) Hãy tìm đáp ứng xung h(n) của phương trình sai phân đã mô tả với điều kiện: y(-1) = 0. Giải: N = 1, a0 = 1: Phương trình bậc 1. a1 = -A, M = 0, b0 = 1, cho x(nnynh) =⇒≡δ ( ) ( ) (n) hn()=−+ Ahn (1 )δ () n Tìm h(n) với hệ thống nhân quả. Thay vào: n = 0: hAh(0100) =−+=+( ) δ ( ) 1 h(0) = 1 (Do h(-1)=y(-1)=0) n = 1: hAh()101.1=+= ( ) δ ( ) A+0 h(1) = A n = 2: hAh()212.=+= () δ ( ) AA+0 h(2) = A2 n = 3: hAh(323.) =+=( ) δ ( ) AA2 +0 h(2) = A3 Cứ thế tiếp tục ta có: ⎧Ann ≥ 0 hn()= ⎨ ⎩ 0 n ≠ Phương pháp tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sẽ bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y0(n) và nghiệm riêng của phương trình yp(n): y(n) = y0(n) + yp(n) (1.28) Tìm y0(n): 23
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Phương trình thuần nhất là phương trình sai phân mà đầu vào x(n) = 0, theo (1.25) nó sẽ có N dạng: ∑aynk ()−= k 0 (1.29) k=0 n Ta thường tìm nghiệm dưới dạng hàm mũ y0(n) = α , thay vào ta có: aaααnn++−−12 a α n +++= a αNN − 1 a α0 01 2 NN−1 (1.30) nN−−− N N12 N ⇒+++++ααα(aa01 a 2 α aNN−1 α a)= 0 Nghiệm α nN− = 0 tức α =0 là nghiệm tầm thường ta không xét đến, từ (1.30) ta có phương trình đặc trưng NN−−12 N aa01αα++ a 2 α +++ aNN−1 αa = 0 (1.31) Phương trình này sẽ có n nghiệm, nếu các nghiệm này là nghiệm đơn ta có sẽ có dạng nghiệm của phương trình thuần nhất như sau: N nnn n n n yn011223311() =+ Aα Aαα ++++ A ANN−− α A NN α =∑ A kk α (1.32) k=1 Các hệ số A1 và A2 được xác định nhờ các điều kiện đầu. Tìm yp(n): Đây chính là nghiệm phương trình sai phân khi đầu vào x(n) ≠ 0, Nó sẽ có dạng của phương trình sai phân như mô tả (1.25) : NM ∑∑aynkkr()−= bxnr ( −) kr==00 Ở đây ta thường chọn yp(n) giống dạng đầu vào x(n): n n - Nếu dạng đầu vào xn()=≠β (βαk ) ta đặt ynp ()= B .β n - Nếu dạng đầu vào xn()= β mà β trùng với dạng nghiệm αk của phương trình đặc trưng n ta phải đặt ynp ()= Bn β Sau đó ta xác định B bằn cách thay yp(n) vào phương trình (1.25) Xác định nghiệm tổng quát y(n): Đến đây ta sẽ có: N ⎧ nn ⎪∑ ABkkα +≠.(ββαk) ⎪ k =1 y(n) = y0(n) + yp(n) = (1.33) ⎨ N ⎪ nn ∑ ABnkkα += ββ (αk ) ⎩⎪ k =1 Các hệ số A1 và A2 sẽ được xác định nhờ các điều kiện đầu. Ta sẽ tìm hiểu cụ thể cách giải phwong trình sai phân tìm nghiệm tổng quát thông qua ví dụ 1.19 như sau. 24
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Ví dụ 1.19 Hãy xác định đáp ứng y() n, n ≥ 0 của hệ được biểu diễn bởi phương trình sai phân bậc hai: y() n− 3 y ( n− 1 ) − 4 y( n− 2) = x( n)+ 2 x( n − 1) khi đầu vào là: xn()= 4n và điều kiện đầu: y(−1) = y(− 2) = 0 Giải: Tìm y0(n) n Ta chọn dạng nghiệm của y0(n) = α ta có: 2 Ta có phương trình đặc trưng : α -3α - 4 = 0 có 2 nghiệm α1 = -1; α2 = 4. Dạng nghiệm thuần nhất sẽ là: nn yn01()=−+ A (1 ) A 2(4) Tìm yp(n) n Nghiệm riêng là một chuỗi hàm mũ giống như x( n). Do α2 = 4 trùng với dạng của x(n) = 4 nên dạng nghiệm sẽ là: n ynp ()= Bn 4( ) Thay vào phương trình đầu bài cho ta có: Bn.4()nn−− 3. B( n 14)( ) −12 −− 4B( n 24)( ) n−− =+( 4)()n 24n1 6 Giải ra ta có B = 5 . Do vậy: 6 n ynp ( ) = 5 n(4) Xác định nghiệm tổng quát của phương trình sai phân: Nghiệm chung của phương trình sai phân có được bằng cách cộng nghiệm thuần nhất với nghiệm riêng ta có: nn6 n yn()=−+ A12 (14 ) A( ) +5 n( 4) n≥0 Ở đây, các hằng số C1 và C2 sẽ được xác định theo điều kiện đầu y()−1 = y ( − 2 )= 0 . Thay vào: −−116 − 1 yA()−=1112 () − + A( 4(1)4) +−( ) =0 5 −−226 − 2 yA()−=214(2)412 () − + A () +−5 () =0 Giải ra ta có kết quả: 3 36 A1 = 50 và A2 = 25 . Vậy, ta có kết quả cần tìm là: 25
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n nn n ⎧⎪ 33()−14++66() nn() 4 ≥0 yn()= ⎨ 50 25 5 ⎩⎪ 0 n ≠ 1.4. CÁC HỆ THỐNG KHÔNG ĐỆ QUY VÀ ĐỆ QUY 1.4.1. Các hệ thống không đệ qui Từ phương trình sai phân tổng quát: NM ∑∑aynkkr()−= bxnr ( −) kr==00 Trong trường hợp đặc biệt cho N = 0 thì: M ayn0 ()=−∑ bxnr ( r ) r=0 M a0 = 1: yn()=−∑ bxnr ( r ) r=0 Định nghĩa: Một HTTT bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc 0 được gọi là hệ thống không đệ qui. Nhận xét: yn()=− F⎣⎡ xn (), xn ( 1 ) , , xn( − M)⎦⎤ chỉ phụ thuộc đầu vào ở thời điểm hiện tại và các thời điểm quá khứ. Từ phương trình này, ta đổi chữ r thành chữ k, bk thành hk, ta thấy đây chính là quan hệ của phép chập M yn()=−=∑ hk ().* xn ( k ) hn () xn () k =0 h(n) nhân quả vì ∀n < 0 thì h(n) = 0. Vì chiều dài chỉ chạy từ 0 đến M Lhn⎣⎦⎡⎤()==[0, M] M+ 1 Như vậy, từ nhận xét trên ta thấy: Hệ thống không đệ qui chính là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn. Ký hiệu FIR (Finite-Duration Impulse Response) Xét ổn định: ∞ M Tiêu chuẩn ổn định: Shn=<∑ () ∞; Shn= ∑ ()<∞ n=−∞ n=0 26
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Điều kiện ổn định đối với đáp ứng xung luôn luôn được thỏa mãn, vì vậy hệ thống FIR là hệ thống luôn luôn ổn định, đây là đặc điểm ưu việt nhất của hệ thống này nên hay dùng trong đa số mạch điện. 1.4.2. Hệ thống đệ qui Phương trình sai phân: NM ∑∑aynkkr()−= bxnr ( −) kr==00 Nếu N > 0, a0 = 1: MN yn()=−−∑∑ bxnrk ( r ) ayn (− k ) rk==01 Định nghĩa: Một hệ thống tuyến tính bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân bậc N > 0 được gọi là hệ thống đệ qui. Nhận xét: + Đầu ra phụ thuộc y ()n=−−−− F⎣⎦⎡⎤ xn( ), xn( 1) , , xn( M) ,y (n 1)( ,y n 2 ) , , y (nN− ) Trong trường hợp này đầu ra (đáp ứng hệ thống) không những chỉ phụ thuộc vào đầu vào ở các thời điểm hiện tại và quá khứ, mà còn phụ thuộc vào đầu ra ở các thời điểm quá khứ. Chẳng hạn ta xem xét hệ thống được biểu diễn theo phương trình sai phân sau: yn()=−+ Ayn (1 ) xn( ) , N = 1: phương trình bậc nhất. Như trên ta đã có, giải phương trình trên ta được: ⎧Ann ≥ 0 hn()= ⎨ ⎩ 00n < Lhn⎣⎦⎡⎤( ) =∞, đáp ứng xung của hệ thống có chiều dài vô hạn, do vậy hệ thống này (hệ thống đệ qui) còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài vô hạn IIR. (Infinite-Duration Impulse Response) Xét ổn định: 1 S = 1− A + Hệ thống đệ qui ổn định khi tham số A < 1 + Hệ thống này không ổn định nếu tham số A ≥ 1 Như vậy hệ thống đệ quy có thể ổn định hoặc không ổn định. Khi xét hệ thống đệ quy, ta phải xét tính ổn định hệ thống. 27
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n 1.4.3. Hệ thống đệ qui thuần túy N > 0, M = 0: ta có hệ thống đệ qui thuần túy N a0 =1: yn()= bxn0 ()−−∑ aynk ( k ) k =1 N=1>0, M=0, a0 =1 có: yn()=−+ Ayn( 1) xn( ) Định nghĩa: Một hệ thống tuyến tính bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân bậc N>0 và M= 0 được gọi là hệ thống đệ qui thuần túy (trường hợp riêng của hệ thống đệ qui). 1.5. THỰC HIỆN HỆ THỐNG 1.5.1. Các phần tử thực hiện Có 3 phần tử chính để thực hiện hệ thống trong miền rời rạc như sau: + Phần tử trễ: + Phần tử cộng: x1 (n ) x2 (n ) L ∑xi ()n x (n) i=1 L + Phần tử nhân: x1 (n ) x2 (n ) L ∏xi ()n x (n) i=1 L 1.5.2. Thực hiện hệ thống Từ các phần tử trên ta sẽ mô tả các hệ thống đệ quy, không đệ quy, đệ quy thuần tuý như sau: Hệ thống không đệ qui: MM yn()=−=+∑∑ bxnrr ( r ) bxn0 () bxn (− r ) rr==01 28
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n M ∑bxr () n−= r F1 ⎣⎡ x ()( n −1 , , x n − M )⎦⎤ r=1 b 0 bx0 ( n) Fxn1 ⎡ ( −−1) , , xnM( )⎤ ⎣ ⎦ Hệ thống đệ qui: MN yn()=+ bxn0 ()∑∑ bxnrk ( −+−− r ) ( a ) yn ( k ) rk==11 M ∑bxr () n−= r F1 ⎣⎡ x ()( n −1 , , x n − M )⎦⎤ r=1 N ∑()()−−=−aynkk Fyn2 ⎣⎡ (1 ) , , ynN ( − )⎦⎤ k=1 b 0 bx0 () n Fxn1 ⎣⎡ ( −−1) , , xnM( )⎦⎤ Fyn2 ⎣⎡ ( −−1) , , ynN( )⎦⎤ Hệ thống đệ qui thuần túy: N yn()=+−− bxn0 ()∑ ( ak ) yn ( k ) k=1 b 0 bx0 ( n) F2 ⎡yn( −−1) , , yn( N)⎤ ⎣ ⎦ Ví dụ 1.20 29
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Hãy biểu diễn HTTTBB được mô tả bằng phương trình sai phân sau đây: 33 yn()=+ bxn0 ()∑∑ bxnrk ( −+−− r ) ( a ) yn ( k ) rk==11 Giải: Dùng các phần tử thực hiện hệ thống ta có sơ đồ cấu trúc như sau: b 0 bx0 () n b −a1 1 bx1 () n−1 b 2 bx2 ( n−2) −a2 b −a 3 bx3 ( n−3) 3 Hình 1.20 Sơ đồ hệ thống trong ví dụ 1.20 Khi thực hiện các hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phần cứng, ta sẽ thực hiện bằng các thanh ghi dịch, bộ nhớ và các bộ xử lý toán học như sau b0 b1 b2 bM −a0 −a1 −a2 −aN b a r k Hình 1.21 Sơ đồ thực hiện hệ thống. 30
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n 1.6. TƯƠNG QUAN TÍN HIỆU Phép tương quan thường dùng để so sánh nhận biết các tín hiệu, phân biệt tín hiệu với nhiễu, phát hiện vật thể rất hay dùng khi xử lý các tín hiệu Radar dùng trong quân sự, có hai loại tương quan: Tương quan chéo (cross – correlation): Tương quan chéo giữa tín hiệu x(n) với y(n) (một trong hai tín hiệu phải có năng lượng hữu hạn) được định nghĩa như sau: +∞ Rxy (n)=−∑ x(m).y(m n) (1.34) m=−∞ Tự tương quan (auto – correlation): Trong phép tương quan chéo khi x(n) ≡ y(n) ta có phép tự tương quan của tín hiệu x(n) với chính nó và được định nghĩa như sau: +∞ Rxx (n)=−∑ x(m).x(m n) (1.35) m=−∞ Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu cách thực hiện phép tương quan thông qua ví dụ 1.21. Ví dụ 1.21 Hãy xác định chuỗi tương quan chéo Rnxy ( ) của các chuỗi ⎪⎪⎧⎫ xn( )=−⎨⎬ , 0, 0, 2, 1, 3, 7, 1, 2, − 3, 0, 0, → ⎩⎭⎪⎪0 ⎪⎪⎧⎫ yn( )=−−−⎨⎬ , 0, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 5, 0, 0, → ⎩⎭⎪⎪0 Giải : Ta dùng định nghĩa (1.34) để tính Rnxy ( ) . - Đối với n = 0 , ta có ∞ Rxy (0)= ∑ xmym ( ) ( ) n=−∞ Rxy (07) = - Đối với n > 0 , ta dịch y() n sang phải n đơn vị so với x(m) , tính tích x()(mym− n ) và lấy tổng theo tất cả giá trị của tích. Kết quả ta có 31
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n RRxy ()113==−=xy ( 2) 18 Rxy ( 316) R (47) =− xy RRxy ()55==−=xy () 6 3 Rnxy () 0 n ≥ 7 - Đối với n < 0 , ta dịch y() n sang trái n đơn vị so với x(m) , tính tích x()(mym− n ) và lấy tổng theo tất cả giá trị của tích. Kết quả ta có: RRxy ()−=10xy ( −= 233) Rxy ( −=− 3) 14 Rxy () −= 436 RRxy ()−=519xy () −=− 6 9 Rxy () −= 710 Rnnxy () =0,8 ≤− Bởi vậy, chuỗi tương quan chéo của x( n) và y( n) là ⎪⎪⎧⎫ Rnxy ()=−⎨⎬10, 9,19,36, − 14,33,0, 7,13, − 18,16, −− 7,5, 3 → ⎩⎭⎪⎪0 TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG 1 Chương 1 là chương đề cập đến các khái niệm cơ bản nhất về tín hiệu rời rạc, hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc, các biểu diễn cơ bản, các phép toán cơ bản, tất nhiên tất cả các vấn đề được đề cập trong chương này đều được xét ở miền thời gian rời rạc. Những vấn đề chính được đề cập trong chương này cần lưu ý là: 1. Định lý lấy mẫu Ta chú ý rằng một tín hiệu sẽ được khôi phục khi tần số lấy mẫu phải lớn hơn hoặc bằng hai lần bề rộng phổ của tín hiệu. Fs ≥ 2B (B=Fmax) 2. Phân loại tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu. Theo định nghĩa về mặt toán học, tín hiệu bao gồm tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc. Tín hiệu liên tục bao gồm tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hoá. Tín hiệu rời rạc bao gồm tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số. Các hệ thống xử lý tín hiệu được phân loại theo tín hiệu xuất hiện trong hệ. Ví dụ: các tín hiệu trong hệ thống là tín hiệu số thì hệ thống đó gọi là hệ thống xử lý tín hiệu số. Chú ý: Phân biệt khái niệm xử lý tín hiệu số và xử lý số tín hiệu. 3. Cách biểu diễn tín hiệu rời rạc. Lưu ý khi biểu diễn tín hiệu người ta thường chuẩn hoá chu kỳ lấy mẫu Ts = 1. Tức là x(nTs) = x(n). Có 3 cách biểu diễn tín hiệu: - Biểu diễn bằng biểu thức toán học. - Biểu diễn bằng đồ thị. 32
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n - Biểu diễn bằng dãy số. Còn một cách biểu diễn nữa rất quan trọng chúng ta cần phải nhớ đó là một tín hiệu bất kỳ x(n) đều được biểu diễn thông qua đáp ứng xung dạng tổng quát như sau: ∞ x()nxkn= ∑ ().δ (− k ) k=−∞ 4. Các tín hiệu (dãy) cơ bản Các dãy cơ bản cần nhớ bao gồm: - Dãy xung đơn vị δ ()n - Dãy nhảy đơn vị u(n) - Dãy chữ nhật rectN(n) - Dãy dốc đơn vị r(n) - Dãy hàm mũ e(n) Có thể xem thêm dãy tuần hoàn. 5. Các phép toán cơ bản Các phép toán cơ bản cần nhớ bao gồm: - Phép cộng, phép nhân hai tín hiệu. - Phép nhân một tín hiệu với hằng số. - Phép trễ tín hiệu. 6. Các khái niệm cơ bản Một số khái niệm cơ bản bao gồm: - Dãy tuần hoàn x n ()N - Dãy có chiều dài hữu hạn N. - Năng lượng của dãy. - Công suất của dãy. 7. Hệ thống tuyến tính bất biến (TTBB). Đáp ứng xung h(n) - Cần lưu ý hệ thống tuyến tính bắt buộc phải thoả mãn nguyên lý xếp chồng: T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]. - Hệ thống tuyến tính bất biến: ứng với kích thích đầu vào x(n) ta có đáp ứng ra là y(n) thì tương tự ứng với kích thích đầu vào x(n-k) ta có đáp ứng ra là y(n-k). - Khi ta có đầu vào hệ thống tuyến tính bất biến là xung đơn vịδ ()n thì đầu ra là đáp ứng xung h(n). Đáp ứng xung h(n) là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống tuyến tính bất biến. 8. Phép chập 33
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Đây là phép toán quan trọng nhất trong xử lý tín hiệu để xác định đầu ra y(n) hệ thống khi biết đầu vào x(n) và đáp ứng xung h(n). ∞ yn()=−∑ xk (). hn ( k ) k=−∞ phép chập có tính chất: giao hoán, phân phối, kết hợp. 9. Hệ thống TTBB nhân quả, tín hiệu nhân quả. Hệ thống TTBB được gọi là hệ thống nhân quả khi đáp ứng xung h(n) của nó thoả mãn h(n) = 0 với ∀ n<0. Tín hiệu x(n) được gọi tín hiệu nhân quả khi nó thoả mãn x(n) = 0 với ∀ n<0. Lưu ý: Các hệ thống nhân quả và tín hiệu nhân quả mới tồn tại trong thực tế. Hệ thống TTBB ổn định Hệ thống ổn định là hệ thống BIBO, đáp ứng xung h(n) của nó phải thoả mãn điều kiện sau: ∞ Shn=<∑ () ∞ n=−∞ 10. Phưong trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Quan hệ vào ra của hệ thống tuyến tính bất biến sẽ được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng có dạng như sau: NM ∑∑anynkkr() (− )=− bnxnr ()( ) kr==00 Trong đó x: đầu vào. y: đầu ra. Các hệ số ak, br đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống có vai trò tương tự như đáp ứng xung h(n). Việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng để tìm ra đầu ra y(n) có hai phương pháp chính: - Phương pháp thế. - Phương pháp tìm nghiệm riêng và nghiệm thuần nhất. Từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng trên ta sẽ có một số khái niệm về: - Hệ thống không đệ quy khi N = 0. Bản chất của hệ thống này là không có thành phần hồi tiếp. - Hệ thống đệ quy khi N ≠ 0. Bản chất của hệ thống này là có thành phần hồi tiếp. - Hệ thống đệ quy thuần tuý khi N ≠ 0. M = 0. Hệ thống này chỉ gồm duy nhất các thành phần đệ quy. Lưu ý: Như vậy đến đây ta có hai cách thể hiện quan hệ vào ra hệ thống rời rạc. 34
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n - Thể hiện theo phép chập: y(n) = x(n)*h(n) - Thể hiện theo phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: MN yn()=−−∑∑ bxnrk ( r ) ayn (− k ) thường phải chuẩn hoá a0 = 1 rk==01 11. Thực hiện hệ thống Các phần tử thực hiện hệ thống bao gồm: phần tử cộng, phần tử nhân, nhân với hằng số, phần tử trễ D. Khi thực hiện hệ thống phải dựa vào phương trình phương trình sai phân tuyến tính hệ số MN hằng, luôn nhớ phải chuẩn hoá hệ số a0 =1 để có yn()= ∑∑ bxnrk (−− r ) ayn ( − k ) rồi mới vẽ rk==01 sơ đồ hệ thống. Trên thực tế người ta sẽ dùng các bộ xử lý toán học ALU, các thanh ghi dịch để thực hiện hệ thống xử lý tín hiệu số theo sơ đồ. 12. Tương quan tín hiệu Phép tương quan thường dùng để nhận biết các tín hiệu, phân biệt tín hiệu với nhiễu, phát hiện vật thể có hai loại tương quan: +∞ Tự tương quan: Tương quan tín hiệu x(n) với chính nó: Rxx (n)= ∑ x(m).x(m− n) m=−∞ +∞ Tương quan chéo: Tương quan tín hiệu x(n) với y(n): Rxy (n)= ∑ x(m).y(m− n) m=−∞ Nhắc lại kiến thức toán học Tổng cấp số nhân. ∞ 1 ∑an = Nếu a1< và n0= 1a− N 1a− N1+ ∑an = n0= 1a− CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1.1 Cho tín hiệu tương tự xa () t = 3cos50πt + 10sin300πt− cos100π t Hãy xác định tốc độ lấy mẫu Nyquist đối với tín hiệu này? Bài 1.2 Cho tín hiệu xa ( t) = 3cos100πt 35
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n a) Xác định tốc độ lấy mẫu nhỏ nhất cần thiết để khôi phục tín hiệu ban đầu. b) Giả sử tín hiệu được lấy mẫu tại tốc độ Fs = 200 Hz. Tín hiệu rời rạc nào sẽ có được sau lấy mẫu? Bài 1.3 Tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơn vị u(n) và dãy xung đơn vị δ (n) Bài 1.4 Tương tự bài trên tìm quan hệ biểu diễn dãy chữ nhật rectN(n) theo dãy nhảy đơn vị u(n). Bài 1.5 Hãy biểu diễn dãy δ (n +1) Bài 1.6 Xác định x(n) = u(n-5)-u(n-2) Bài 1.7 Xác định năng lượng của chuỗi ⎪⎧()1 22 n ≥ 0 x n = () ⎨ n ⎩⎪ 3n < 0 Bài 1.8 Hãy xác định năng lượng của tín hiệu x() n= Ae jω0 n Bài 1.9 Xác định công suất trung bình của tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) Bài 1.10 Xác định công suất trung bình của tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) Bài 1.11 Hãy xác định công suất trung bình của tín hiệu x() n= Ae jω0 n Bài 1.12 Đáp ứng xung và đầu vào của một hệ TTBB là: ⎧ 1n= −1 ⎧1n0= ⎪ 2n0= ⎪2n1= ⎪ ⎪ hn()= ⎨ 1n1= xn()= ⎨3n2= ⎪−=1n2 ⎪1n3= ⎪ ⎪ ⎩⎪ 0 n ≠ ⎩⎪0 n ≠ Hãy xác định đáp ứng ra y(n) của hệ. 36
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Bài 1.13 Tương tự như bài trên hãy tính phép chập x3(n) = x1(n)*x2(n) với: ⎧ n ⎪10−≥n a) x1(n) = ⎨ 3 ; x2(n) = rect2(n-1). ⎩⎪ 0 n ≠ b) x1(n) = δ ()n +1 + δ ()n − 2 ; x2(n) = rect3(n). Bài 1.14 Cho HTTT bất biến có h(n) và x(n) như sau: ⎧an n≥ 0 ⎧ bnn ≥ 0 hn()= ⎨ xn()= ⎨ ⎩ 0 n ≠ ⎩0 n ≠ 0 < a < 1, 0 < b < 1, a ≠ b. Tìm tín hiệu ra (đáp ứng ra)? Bài 1.15 Hãy xác định xem các hệ có phương trình mô tả quan hệ vào ra dưới đây có tuyến tính không: a) y() n= nx () n b) y() n= x2 () n Bài 1.16 Hãy xác định xem các hệ có phương trình mô tả quan hệ vào ra dưới đây có tuyến tính không: a) y() n= x( n2 ) b) y() n= Ax () n + B Bài 1.17 Xác định xem các hệ được mô tả bằng những phương trình dưới đây là nhân quả hay không: a) y() n= x () n− x ( n −1 ) b) y() n= ax () n Bài 1.18 Xác định xem các hệ được mô tả bằng những phương trình dưới đây là nhân quả hay không: a) y() n= x () n +3 x ( n + 4 ); b) y() n= x( n2 ); c) y() n= x (2 n ); 37
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n d) y() n= x ( − n ) Bài 1.19 Xét tính ổn định của hệ thống có đáp ứng xung h(n) = rectN(n). Bài 1.20 Xác định khoảng giá trị của a và b để cho hệ TT BB có đáp ứng xung ⎧an n ≥ 0 h n ()= ⎨ n ⎩b n < 0 là ổn định. Bài 1.21. Hãy tìm đáp ứng xung h(n) của một hệ thống số được cho bởi sơ đồ sau đây: hn2 ( ) hn1 ( ) x(n) y(n) hn3 ( ) Bài 1.22 Cho một hệ thống tuyến tính bất biến được mô tả bằng phương trình sai phân sau đây: yn()=+−+−+− bxn01 () bxn (12 ) bxn 2( ) bxn 4( 4) Hãy biểu diễn hệ thống đó. Bài 1.23 Hãy biểu diễn bằng đồ thị tín hiệu y( n) = x(2 n) , ở đây x( n) là tín hiệu được mô tả như sau:. x( n) 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n Bài 1.24 Hãy xác định nghiệm riêng của phương trình sai phân. 38
Chương 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n y() n=5 y( n − 1) −1 y ( n − 2) + x ( n ) 6 6 khi hàm cưỡng bức đầu vào x() n=2n , n ≥ 0 và bằng không với n khác. Bài 1.25 Hãy giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau y(n) – 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) + x(n-2) Với điều kiện đầu y(-1) = y(-2) = 0 và x(n) = 5 n Bài 1.26 Cho x(n) = rect3(n) Hãy xác định hàm tự tương quan Rxx(n). Bài 1.27 Hãy cho biết cách nào sau đây biểu diễn tổng quát một tín hiệu rời rạc bất kỳ x(n)? +∞ +∞ a) x()nxnn=∑ ()(δ −k ) b) x()nxkn= ∑ ()(δ − k ) k =−∞ k=0 +∞ +∞ c) x()nxkn=∑ ()(δ −k ) d)x()nxnk= ∑ ()(δ − n ) k =−∞ k =−∞ Bài 1.28 Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n) nào sau đây là hệ thống nhân quả: a) h(n) = u(n+1) b) h(n) = -u(n-1) c) h(n) = -u(-n-1) d) h(n) = -u(n+1) Bài 1.29 Phép chập làm nhiệm vụ nào sau đây: a) Phân tích một tín hiệu ở miền rời rạc b) Xác định đáp ứng ra của hệ thống c) Xác định công suất của tín hiệu d) Xác định năng lượng tín hiệu Bài 1.30 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mô tả hệ thống rời rạc nào sau đây: a) Hệ thống tuyến tính bất biến. b) Hệ thống tuyến tính. c) Hệ thống ổn định. d) Hệ thống bất biến. 39
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z CHƯƠNG II: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z GIỚI THIỆU Phép biến đổi là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu và các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian. Chương 2 này sẽ trình bày về phép biến đổi z , các tính chất của biến đổi z chứng minh tầm quan trọng của nó trong việc phân tích đặc trưng của các hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc theo thời gian. Như ta đã biết, tại miền thời gian rời rạc n các tín hiệu được biểu diễn trực quan, thấy ngay các kết quả cụ thể. Nhưng khi phân tích mạch là rất khó giống trường hợp ta gặp ở miền thời gian liên tục t khi nghiên cứu các hệ thống tương tự, do vậy cần có sự biến đổi để việc nghiên cứu trở nên dễ dàng hơn. Ở đây, ta sẽ thấy, vai trò của biến đổi z trong phân tích tín hiệu rời rạc và các hệ thống tuyến tính bất biến tương tự như biến đổi Laplace trong phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian và các hệ thống tuyến tính bất biến liên tục. Sau khi biến đổi Z, các phép toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Chẳng hạn, trong miền z phép chập hai tín hiệu miền thời gian là tương đương với phép nhân các biến đổi z tương ứng của chúng. Tính chất này đã làm đơn giản đáng kể việc phân tích đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến đối với các loại tín hiệu khác nhau. Ngoài ra, biến đổi z còn cung cấp cho ta phương pháp đặc trưng hoá một hệ thống tuyên tính bất biến, đáp ứng của nó đối với các loại tín hiệu theo các điểm cực - điểm không (zero) của hệ thống. Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách phân tích tín hiệu và hệ thống trong miền z, khi chúng ta ánh xạ các tín hiệu ở miền thời gian rời rạc n sang miền z thông qua biến đổi z. Sau khi nghiên cứu chúng ta sẽ thấy sự thuận lợi khi phân tích hệ thống trong miền z, (giống miền Laplace £ khi phân tích hệ thống tương tự). Các nội dung chính của chương bao gồm: + Biến đổi z (ZT). + Biến đổi z ngược (IZT). + Quan hệ giữa biến đổi z và phương trình sai phân. + Biểu diễn hệ thống trong miền z – Hàm truyền đạt. + Sự ổn định của hệ thống trong miền z. 40
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z NỘI DUNG 2.1. BIẾN ĐỔI Z (ZT: Z TRANSFORM) 2.1.1. Định nghĩa biến đổi z Định nghĩa: Biến đổi z của một dãy x(n) được định nghĩa như sau: ∞ X ()zxn= ∑ ()z−n (2.1) n=−∞ Định nghĩa trên còn được gọi là biến đổi z 2 phía Ta sẽ có biến đổi z một phía nếu thay đổi cận n chạy từ 0 đến +∞ : ∞ X ()zxnz= ∑ ()−n n=0 Ký hiệu bởi toán tử: ZTxn⎣⎦⎡⎤( ) = Xz( ) x()nX⎯⎯ZT → ( z) Ở đây ta phải thấy được z là một biến số phức và được biểu diễn theo hai dạng: + Biều diễn theo phần thực, phần ảo Re[z], Im[z] z = Re[z] + j.Im[z] Im[z] MÆt ph¼ng Z Re[z] 0 + Biều diễn theo tọa độ cực: zrer==jω ()cosωω + j sin = r cos ωω + j sin = Re[ z] + Im[ z] 41
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Hình 2.1. Biểu diễn z trên mặt phẳng phức - Trường hợp đặc biệt: zr==1, ta có vòng tròn đơn vị. ω Hình 2.2. Vòng tròn đơn vị Ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về biến đổi z thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 2.1 Tìm zT của các dãy sau: n a. x n= δ n d. ⎛⎞1 1 () () x4 ()nu= ⎜⎟ ()n ⎝⎠2 n b. xn2 ()=−δ ( n1 ) e.x5 (nu) = 2 (n) c. xn3 ()=+δ ( n1 ) Giải: ∞∞ −−nn0 a. Xz11()== ZTxn⎣⎦⎡⎤ ()∑∑ xnz () =δ () nz =1. z= 1 nn=−∞ =−∞ ∞ −n −−11 b. X 22()zZTxn==−=⎣⎦⎡⎤ ()∑ δ ( n11. ) z z= z n=−∞ 42
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z ∞ −n 1 c. X 33()zZTxn==+=⎣⎦⎡⎤ ()∑ δ ( n11. ) z z=z n=−∞ ∞∞∞nnn ⎛⎞11−−nn⎛⎞ ⎛1−1 ⎞ d. Xz44()== ZTxn⎣⎦⎡⎤ () ∑∑∑⎜⎟ unz() ==⎜⎟ z ⎜ z ⎟ nnn=−∞ ⎝⎠22=00⎝⎠= ⎝2 ⎠ 1 111 1 Xz= với zz−1 4 () 1 1− z−1 22z 2 2 ∞∞∞n 1 e. Xz== ZTxn⎡⎤ 222nnnn unz−−− === z z1 55()⎣⎦ ()∑∑∑ () () −1 nnn=−∞ =00= 12− z với z > 2 2.1.2. Miền hội tụ của biến đổi z ∞ Tập hợp tất cả các giá trị của z mà tại đó chuỗi X ()zxn= ∑ ()z−n hội tụ được gọi là n=−∞ miền hội tụ của biến đổi z. Ký hiệu: RC: miền hội tụ (Region of Convergence) Ví dụ 2.2: Hãy tìm miền hội tụ của biến đổi z trong ví dụ 2.1 a. RC⎣⎦⎡⎤ X1 ( z) , RC⎣⎡ X2 ( z)⎦⎤Toàn bộ mặt phẳng z như hình 2.3 Hình 2.3. Miền hội tụ của X1(z), X3(z) b. RC⎣⎡ X2 ( z)⎦⎤: Toàn bộ mặt phẳng z trừ gốc tọa độ z = 0 như hình 2.4 43
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Hình 2.4. Miền hội tụ của X2(z) c. RC⎣⎡ X4 ( z)⎦⎤: Ngoài vòng tròn bán kính ½ như hình 2.5. Hình 2.5. Miền hội tụ của X4(z) RC⎣⎡ X5 ( z)⎦⎤: Ngoài vòng tròn bán kính 2 như hình 2.6. Hình 2.6. Miền hội tụ của X4(z) 2.2. CỰC VÀ KHÔNG (POLE AND ZERO) 2.2.1. Định nghĩa điểm không Trong biến đổi z nếu tại các điểm z mà tại đó X(z) triệt tiêu Xz = 0 thì z gọi là or ( ) zz= or or các điểm không của X(z). 44
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Nz() Biểu diễn: Xz()= D()z Như vậy zor là nghiệm của đa thức N(z). Nếu N(z) có bậc là M và viết là: 2 M Nz()=+ b01 bzbz + 2 ++ bzM ⇒ M nghiệm → X(z) có M điểm không. Viết lại dưới dạng các nghiệm: M Nz()=− bM ( z z01 )( z − z 02 ) ( z −= z0MM ) b∏ ( z − z0 r ) r=1 2.2.2. Định nghĩa điểm cực Nếu tại các điểm z mà tại đó X(z) không xác định Xz →∞ thì những điểm z pk ( ) zz= pk pk này gọi là các điểm cực của X(z). Như vậy zpk chính là nghiệm của D(z) (mẫu số). Nếu D(z) có bậc là N và viết là: 2 N Dz()=+ a01 azaz + 2 ++ azN ⇒ N nghiệm → X(z) có N điểm cực z p1 , z p2 , , z pN . N Dz()=− aNp()()() z z12 z − z p z −= z pNN a∏ ( z − z pk) k =1 M ∏()z − z0r Nz() bM r=1 Xz()==N Dz() aN ∏()z − z pk k =1 Ví dụ 2.3 1 Cho Xz= . Tìm điểm cực và điểm không? () 1 1− z −1 2 Giải: Biến đổi: Nz() z Xz== () 1 Dz() z − 2 Nz()=→ z z01 =0 45
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z 11 Dz()=− z → z = 22p1 Hình 2.7. Biểu diễn điểm cực, điểm không trong mặt phẳng z 2.3. BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC (IZT: INVERSE Z TRANSFORM) 2.3.1. Định nghĩa biến đổi z ngược IZT ⎣⎦⎡⎤Xz()= xn( ) X ( zx) ⎯⎯→IZT (n) Biến đổi z ngược được định nghĩa như sau: 1 x()nXzz= >∫ (). n−1dz, (2.2) 2π j C Ta hoàn toàn có thể chứng minh được bằng định lý cosin >∫ - Đường cong kín đi qua gốc tọa độ. Tích phân đường đi theo chiều dương. C Có 3 phương pháp để tìm tích phân đường này: 1. Phương pháp thặng dư để tìm trực tiếp tích phân, cho chúng ta cách tìm cơ bản 2. Khai triển thành chuỗi lũy thừa, tìm biến đổi z ngược cơ bản. 3. Khai triển thành các phân thức tối giản. 2.3.2. Phương pháp thặng dư Trong phương pháp này ta tính trực tiếp tích phân theo công thức sau: xn= Res⎡ X z .zn−1 ⎤ (2.3) ()∑ () zz= pk k ⎣ ⎦ n−1 zpk : cực của X(z) nhân với z . ψ (z) Viết dưới dạng: Xz.()zn−1 = (2.4) sk ()zz− pk 46
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z zpk : cực bội bậc sk sk n−1 ψ ()z =Xz( zz− pk ) (). z Thặng dư tìm được bằng công thức sau đây: dz0ψ ⎡⎤n−1 1 ( ) Res X() z .zzzz===0 zz ψ (pk) (2.5) ⎣⎦pk 0! dz pk Ví dụ 2.4 1 Cho Xz= ; miền hội tụ RC[X(z)]: |z| > 1/2. () 1 1− z −1 2 Giải: zzn Xzznn−−11== z () 11 zz−− 22 xn()≥ 0 , x(n) nhân quả. 1 ⇒ có một cực đơn z = ; s = 1 pk 2 k ⎡⎤n−1 ⎛⎞1 xn()==Res⎢⎥ X () z .z 1 ψ z= ⎜⎟ ⎣⎦⎢⎥2 ⎝⎠2 sk nn−1 ψ ()z =Xz.()zz−=pk () z z n ⎛⎞⎛⎞11 ⇒ ψ ⎜⎟⎜⎟= , n ≥ 0 ⎝⎠⎝⎠22 n ⎧⎛⎞1 ⎪⎜⎟ n ≥ 0 xn()= ⎨⎝⎠2 ⎪ ⎩ 00n < 2.3.3. Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa Ở phương pháp này, ta khai triển biến đổi z thành một chuỗi lũy thừa có dạng: ∞ −n X ()z= ∑ αn z, trong đó αn là hệ số của chuỗi lũy thừa. n=−∞ So sánh với định nghĩa: 47
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z ∞ −n X ()zxn= ∑ ()z⇒≡xn( ) αn : nhận thấy rằng, hệ số của chuỗi chính là các mẫu của n=−∞ tín hiệu x(n). Ví dụ 2.5 z Cho Xz()= z − 2 Tìm x(n) với điều kiện miền hội tụ RC⎣⎦⎡⎤ X( z) : z > 2 (nằm ngoài vòng tròn bán kính 2). Giải: z 1 Biến đổi Xz()== zz−−212−1 Thực hiện chia đa thức: 1 12− z−1 −−12z−1 1++++ 2zz−−12 4 8 z − 3 16 z − 4 2z−1 −−24zz−−12 4z−2 −−48zz−−23 8z−3 −−816zz−−34 16z−4 ∞ n ⇒ Xz()= ∑()2 z−1 n=0 n Vậy: x()nu= (2)()n 2.3.4. Phương pháp khai triển thành các phân thức tối giản Nz() Xz()= ; Bậc của N(z) là M, bậc của D(z) là N. Dz() * M ≥ N: Để phân thức tối giản thì: Nz() Pz( ) Xz()==+ Sz() , với S(z) là phần nguyên. Dz() Qz() D(z) ≡ Q(z) Bậc của S(z): M – N 48
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z MN−−MN−11 Sz()=+ BMN−− z BMN−11 z ++ Bz+ B0 sx()=+−++−−+++ BMN−−δδ⎣⎦⎣⎡⎤⎡ n() M N BMN−11 n( M N1) ⎦⎤ B δ[ n 1]+ B0 * M < N: Nz() Pz( ) Xz()=≡ D()zQz() Pz( ) Xét Xz()= , M < N Qz() - Trường hợp 1: X(z) chỉ có các cực đơn N A Xz()= ∑ k (2.6) k=1 z − z pk z pk : điểm cực của Q(z), có N cực Pz( ) Azzkp=−()k (2.7) Qz() zz= pk - Trường hợp 2: X(z) có một cực bội, còn lại là đơn Giả sử X(z) có một cực bội là z pl bậc s Ns− s Ak C j Xz()=+∑∑j (2.8) kj==11zz− ()pk ()zz− pl z pl : Cực bội bậc s z pk : Cực đơn Pz( ) Azzkp=−()k (2.9) Qz() zz= pk sj− 1 d ⎡⎤s Pz() Czjp=−sj− ⎢()zl⎥ (2.10) ()sjdz− ! ⎣⎦⎢⎥ Qz() zz= pl - Trường hợp 3: X(z) có L cực bội Giả sử X(z) có L cực bội bậc ss12, , , sL . Các cực còn lại là cực đơn. ' NLA si C k jsi (2.11) Xz()=+∑∑∑j ki==11()zz− pk j=1zz− ()pli 49
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z L ' NN=−∑ si i=1 z : Cực bội bậc s pli i z pk : Cực đơn Pz( ) Azzkp=−()k (2.12) Qz() zz= pk sji − 1 d ⎡⎤si Pz() Cz=−z (2.13) jsiisj− ⎢()pl ⎥ i ()sji − ! dz Qz() ⎣⎦⎢⎥zz= pli Ta lưu ý: ⎡⎤nn−−+1 n m 1 ⎢⎥z ()( )nm− IZT n−1 = zunpk () ⎢⎥zz− m! ⎣⎦()pk Ví dụ 2.6 z + 2 Cho Xz()= , hãy tìm x(n). zz2 −+32 Giải: Ta phân tích X(z)/z thành phân thức tối giản: Xz() z + 2 = có 3 điểm cực z = 1, z = 2 , z = 0 z ()zz2 −+32z p1 p2 p3 Xz() z + 2 AAA ==+12+3 zzzzzz()()−−12() − 1 − 2z Đều là cực đơn nên: z + 2 Az1 =−()1 = −3 ()z −1 ()zz− 2 z=1 z + 2 Az2 =−()2 = 2 ()()zz−−12z z=2 z + 2 Az= =1 3 zzz−−12 ()()z=0 50
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Xz() −321 Vậy: =++ zz()−−12 zz −32zz Xz()= ++1 zz−−12 m = 0 thì: n z x()nunun=− (3.1 )() () + 2.2n ( ) +δ (n) ( Vì ↔ α nun()) z −α Như vậy đã hoàn thành biến đổi z ngược. 2.4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z Các tính chất của biến đổi z được tổng kết lại trong bảng sau: Bảng 2.1 Các tính chất biến đổi Z Miền n Miền z 1 ∞ x()nXzz= >∫ ()−1dz X ()zxn= ∑ ()z−n 2π j C n=−∞ ax12( n) + bx( n); a,b là hằng số aX12( z)(+ bX z) −n0 x(nn− 0 ) zXz( ) axnn () Xaz( −1 ) nx( n) dX() z −z dz x*(n) ; (*: liên hợp phức) X*(z*) x()−n ⎛⎞1 X ⎜⎟ ⎝⎠z x12(nxn)(* ) X12( zX)(. z) x (nx). ( n) 1 ⎛⎞z −1 12 XvX vdv >∫ 12() ⎜⎟ 2π jvC ⎝⎠ 2.5. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.5.1. Hàm truyền đạt - Hàm truyền đạt: 51
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Miền n: Trong miền thời gian rời rạc n ta có quan hệ vào ra của hệ thống được thể hiện qua phép chập: hn( ) y(n) = x(n) * h(n) Miền z: Trong miền z ta có: X(z) = ZT [x(n)] H(z) = ZT [h(n)] (2.14) Y(z) = ZT [y(n)] Y(z) = X(z).H(z) Trong miền z phép chập đã được chuyển thành phép nhân đại số thông thường, đây chính là một trong những ưu điểm của biến đổi Z. Y( z) H()z = (2.15) X()z h(n) = IZT [H(z)] Trong miền z quan hệ vào ra của hệ thống được thực hiện nhờ phép nhân đại số thông thường thay thế cho phép chập, điều này dẫn đến hiệu năng tính toán cao. H(z): Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc là biến đổi z của đáp ứng xung) hay nó còn được xác định bằng tỷ số giữa biến đồi z của tín hiệu ra trên biến đổi z của tín hiệu vào. H(z) là hàm truyền đạt của hệ thống đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền z có vai trò tương tự như đáp ứng xung h(n) trong miền thời gian rời rạc. - Liên hệ với phương trình sai phân: Xét phương trình sai phân tổng quát: NM ∑∑aynkkr()−= bxnr ( −) kr==00 Biến đổi z hai phía của phương trình sai phân: ⎡⎤⎡NM⎤ ZT ⎢⎥⎢∑∑aynkkr()−=ZT bxnr () −⎥ ⎣⎦⎣kr==00⎦ 52
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z NM ∑∑akrZT ⎣⎦⎡⎤ ynk()−= bZT ⎣⎡ xnr () −⎦⎤ kr==00 NM −−kr ∑∑azkr Y() z= bz X () z kr==00 NM −−kr Yz()∑∑ azkr= Xz () bz kr==00 Ta rút ra: M −r ∑bzr Yz() r=0 Hz()==N (2.16) Xz() −k ∑azk k=0 Nếu a0 = 1 sẽ được: M −r ∑bzr Yz() r=0 Hz()==N (2.17) Xz() −k 1+ ∑azk k=1 Đây chính là hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc tìm được thông qua biến đổi Z đối với phương trình sai phân. Thực hiện hệ thống: Trong miền z các phần tử thực hiện hệ thống cũng tương tự như ở chương 1, chỉ có thể hiện khâu trễ là khác nhau. + Các phần tử thực hiện: - Phần tử trễ: Miền n: Miền z: ZT⎣⎦⎡⎤x()nz≡ X ( ) −1 ZT⎣⎦⎡⎤x(nz−≡ 1) X ( z) −1 Z zz−1X( ) - Phần tử cộng: 53
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z x1 ()n x2 (n ) L ∑xi ()n x (n ) i=1 L - Phần tử nhân với hằng số: αX( z) α Cách mắc sơ đồ hệ thống trong miền z: - Nếu có các hệ thống mắc song song với nhau thì hàm truyền đạt của hệ thống tổng quát sẽ bằng tổng các hàm truyền đạt của các hệ thống thành phần. N H(z) = ∑ H(z)i (2.18) i1= - Nếu có các hệ thống mắc nối tiếp với nhau thì hàm truyền đạt của hệ thống tổng quát sẽ bằng tích các hàm truyền đạt của các hệ thống thành phần. N H(z) = ∑ H(z)i (2.19) i1= - Nếu H2(z) mắc hồi tiếp với H1(z) thì hàm truyền đạt của hệ thống tổng quát sẽ bằng: Hz() H ()z = 1 (2.20) 1().(− H12zH z) Ví dụ 2.7 Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ sau đây: Xz1 ( ) α z −1 Tìm hàm truyền đạt H(z)? Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống? Giải: Yz() Hz()= Xz() 54
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z −1 XX11()zzz=+ () α X(z) ⎡ −1 ⎤ XX1( z) =−1 ( zz) ⎣ α ⎦ −−11⎡ ⎤ YX(z) =+111(zz) X( z) = X1( z) ⎣ + z⎦ 1+ z −1 ⇒ H ()z = 1−α z −1 Tìm h(n) = ? Phân tích H(z) làm 2 thành phần: 1 z−1 H ()z =+ 11−−ααzz−11− 1 z−1 H()z =+ 11−−ααzz−11− zz =+z−1 Nzz−−α α n α un() α n−1un()−1 h1()nunun=+ααnn () −1 ( −) 2.5.2. Độ ổn định Ta nhắc lại điều kiện ổn định đã học trong chương 1 Điều kiện ổn định trong miền thời gian rời rạc n: ∞ Shn=<∑ () ∞ n=−∞ Điều kiện ổn định trong miền z: Trong miền z một hệ thống ổn định sẽ phải thỏa mãn định lý sau: Định lý ổn định: Một HTTTBB nhân quả là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các điểm cực của hàm truyền đạt H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị (tức là chỉ cần một điểm cực nằm trên hoặc nằm trong vòng tròn đơn vị là hệ thống mất ổn định). Ví dụ 2.9 Cho HTTTBB được mô tả bởi phương trình sai phân sau đây: y(n) = Ay(n) +x(n) Hãy tìm hàm truyền đạt H(z), tìm h(n) và xét ổn định trong miền z. Giải: Lấy biến đổi z cả hai vế 55
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Yz( ) =+ AzYz−1 ( ) Xz( ) Yz()()1−= Az−1 Xz( ) Yz() 1 z Hz()== =, điểm cực z = A. Xz() 1− Az−1 z− A ⎧Ann ≥ 0 hn()==IZT ⎣⎦⎡⎤ H () z ⎨ ⎩00n < Xét ổn định: z Hz()= zA− D(z) = z – A → zp1 = A. A < 1 → Hệ thống ổn định. A ≥ 1 → Hệ thống không ổn định. Tiêu chuẩn ổn định Jury: Theo tiêu chuẩn này việc xét tính ổn định sẽ đơn giản hơn vì đối với hệ thống có bậc cao, tức là số điểm cực nhiều thì việc xác định các điểm cực gặp nhiều khó khăn. Sau đây chúng ta sẽ xem xét tiêu chuẩn Jury: Ta biết hàm truyền đạt của hệ thống được biểu diễn như sau: M −r ∑bzr r=0 Hz()= N −k 1+ ∑azk k=1 N −k Từ công thức này, gọi Dz()=+1 ∑ azk . k =1 Từ các hệ số ak của D(z) chúng ta lập bảng Jury có 2N – 3 hàng bằng cách sau đây: Hàng Hệ số 1 1 aaa123 aaNN−1 2 aaNN−−−123 a N a N a 11 3 cc01 c 2 c 3 cNN−− 2 c 1 4 cc c c c c NN−−1234 N − N − 10 5 dd01 d 2 d 3 6 ddNN−−23 d N − 4 d N − 5 ## 23Nr− 01rr 2 56
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Công thức tính: ⎡⎤1 aN −1 caii==det ⎢⎥−aN.aN−i; i: 0 → N – 1. ⎣⎦aaNi ⎡⎤cc01Ni−− dcii==det ⎢⎥01c−cN− .cN−−1i; i: 0 → N – 2. ⎣⎦ccNi−1 Sau khi lập xong 2N – 3 hàng như vậy ta có tiêu chuẩn Một hệ thống là ổn định nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1. D(z)z1= > 0 2. D(z)z1=− > 0 với N chẵn D(z)z1=− N cc0N1> − 3. dd0N> −2 rr02> Chỉ cần không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên là hệ thống không ổn định. Ví dụ 2.10 Cho HTTTBB được mô tả bằng phương trình sai phân sau đây: yn()+−+−= ayn12 (12 ) ayn( ) xn( ) Tìm H(z) Xét ổn định theo tiêu chuẩn Jury. Giải: Lấy biến đổi z cả 2 vế −−12 Yz()++ azYz12 () azYz( ) = Xz( ) −−12 Yz( )(1++ az12 az) = Xz( ) 1 Hz()= −−12 1++az12 az Ta có: −−12 Dz()=+ 1 az12 + az 57
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Theo chuẩn Jury như trình bày ở trên ta có: D(z)=+ 1 a + a > 0 1. z1= 1 2 ⇒>−+a(1a)21 D(z)=− 1 a + a > 0 2. z1=− 1 2 N chẵn ⇒>−−a(1a)21 3. 1a>⇒−<<22 1a 1 Dựa vào 3 điều kiện trên ta sẽ xác định được miền ổn định của hệ thống theo hai tham số a1 và a2 như sau: a2 a1 a1 −1 −a1 −1 Hình 2.8 Miền ổn định của hệ thống trong ví dụ 2.10 TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG II. Trong chương 2, chúng ta đã xem xét cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền z. Có thể nói rằng, vai trò của biến đổi z trong miền rời rạc tương tự như vai trò của biến đổi Laplace trong miền liên tục. Khi thực hiện biến đổi z, ánh xạ các tín hiệu và hệ thống từ miền n sang miền z, ta thấy các công cụ toán học trong miền z đơn giản hơn so với các công cụ toán học trong miền thời gian rời rạc n, ví dụ như trong miền z, hệ thống xử lý tín hiệu đều được khảo sát bằng các phương pháp đại số thông qua hàm truyền đạt của hệ thống, còn trong miền thời gian rời rạc n chúng ta phải khảo sát thông qua phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, khi bậc của phương trình sai phân lớn hơn 2 ta thấy việc giải phương trình này gặp nhiều khó khăn. Hơn nữa, trong miền z, phép chập trong miền thời gian rời rạc n đã được chuyển thành phép nhân. Những vấn đề cần tập trung xem xét kỹ trong chương 2 bao gồm: 1. Biến đổi z Định nghĩa biến đổi z : 58
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z ∞ X ()zxn= ∑ ()z−n n=−∞ Nếu thay đổi cận: ∞ X ()zxnz= ∑ ()−n n=0 Ta có biến đổi Z một phía. Nhớ rằng Z là một biến số phức nên có thể được biểu diễn theo 2 cách. 2. Miền hội tụ của biến đổi Z ∞ Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi X ()zxn= ∑ ()z−n hội tụ được gọi là n=−∞ miền hội tụ của biến đổi Z. Ký hiệu miền hội tụ là RC. Ta phải chú ý đến miền hội tụ khi thực hiện biến đổi z. 3. Điểm cực điểm không Cần phân biệt điểm cực, điểm không của tín hiệu và điểm cực, điểm không của hệ thống. Nz( ) Nếu tín hiệu X(z) có dạng phân thức Xz()= thì: D()z - Điểm cực zpk của tín hiệu X(z) là tập các điểm làm cho X(z) không xác định: Xz =∞. Nghĩa là zpk là nghiệm của D(z) ( ) zz= pk - Điểm không z0r của tín hiệu X(z) là tập các điểm làm cho X(z) triệt tiêu: Xz = 0 . ()zz= or Nghĩa là z0r là nghiệm của N(z) Lưu ý rằng điểm cực điểm không của hệ thống được xác định theo hàm truyền đạt H(z). - Điểm cực của hệ thống là tập các điểm zpk làm cho H(z) không xác định Hz = ∞ ( ) zz= pk - Điểm không của hệ thống là tập các điểm z0r làm cho H(z) triệt tiêu Hz = 0 ()zz= 0r Do vậy hàm truyền đạt H(z) còn được biểu diễn theo dạng điểm cực và điểm không: M ∏()z − z0r Nz() bMr=1 Hz()==N hay: Dz() aN ∏()z − z pk k=1 M ∏()z − z0r r=1 bM Hz()= G. N Trong đó G= là hệ số truyền aN ∏()z − z pk k=1 59
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z 4. Biến đổi Z ngược Định nghĩa biến đổi Z ngược: 1 x()nXzz= >∫ (). n−1dz 2π j C Trong đó >∫ - Đường cong kín đi qua gốc tọa độ đi ngược chiều kim đồng hồ. C Chúng ta phải nhớ 3 phương pháp để tìm tích phân đường này: 1. Phương pháp thặng dư để tìm trực tiếp tích phân. 2. Khai triển thành chuỗi lũy thừa, tìm biến đổi z ngược cơ bản. 3. Khai triển thành các phân thức tối giản. Trong đó các bài tập sẽ tập trung ở phương pháp thứ ba. Khi làm bài tập về biến đổi Z ngược chúng ta phải nhớ các biến đổi tương đương hay gặp như: N A Nếu ta đưa X(z) về dạng phân thức tối giản Xz()= ∑ k k=1 z − z pk thì ta phải sử dụng biến đổi tương đương miền z ⇔ miền n Ak n-1 ⇔ Ak.(zpk) .u(n-1) zz− pk 5. Các tính chất biến đổi z Phải nhớ tính chất quan trọng là khi chuyển sang miền z thì phép chập trở thành phép nhân thông thường. x1(n)*x2(n) ⇔ X1(z).X2(z). 6. Biểu diễn hệ thống trong miền z. Ta phải nhớ rằng đặc trưng cho hệ thống trong miền z là hàm truyền đạt H(z). Hàm truyền đạt có vai trò như đáp ứng xung h(n) của hệ thống trong miền thời gian rời rạc. Hàm truyền đạt H(z) được hiểu theo hai khái niệm: - Hàm truyền đạt H(z) là tỷ số của biến đổi z tín hiệu ra trên biến đổi z tín hiệu vào. Yz() Hz()= Xz() - Hàm truyền đạt H(z) là biến đổi z của đáp ứng xung h(n). 7. Liên hệ giữa biến đổi z và phường trình sai phân. Biến đổi z hai vế của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: 60
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z NM ∑∑aynkkr()−= bxnr ( −) kr==00 ta thu được: M −r ∑bzr Yz() r=0 Hz()==N nên nhớ luôn chuẩn hoá a0 = 1 để dễ vẽ sơ đồ thực hiện. Xz() −k 1+ ∑azk k=1 Các phần tử thực hiện hệ thống trong miền z cũng giống như trong miền thời gian rời rạc n: phần tử cộng, nhân, nhân với hằng số. Phần tử trễ D trong miền n khi sang miền z trở thành phần tử z-1. Có 3 dạng cấu trúc thông thường của hệ thống: song song, nối tiếp, hồi tiếp. Cách xác đinh hàm truyền đạt hệ thống tổng quát tương ứng như sau: - Nếu có N hệ thống mắc song song với nhau thì hàm truyền đạt của hệ thống tổng quát là: N H(z) = ∑ H(z)i i1= - Nếu có N hệ thống mắc nối tiếp với nhau thì hàm truyền đạt của hệ thống tổng quát là: N H(z) = ∏ H(z)i i1= - Nếu H2(z) mắc hồi tiếp với H1(z) thì hàm truyền đạt của hệ thống tổng quát sẽ bằng: Hz() H ()z = 1 1().(+ H12zH z) 8. Sự ổn định của hệ thống trong miền z. Một hệ thống TTBB nhân quả trong miền z muốn ổn định phải thoả mãn: Tất cả các điểm cực zpk của hàm truyền đạt H(z) phải nằm bên trong vòng tròn đơn vị tức là: ∀<z1pk . Nz() Ta có Hz()= . Khi bậc N của hệ thống tức bậc của đa thức đặc trưng D(z) lớn hơn 2 D()z thì ta phải dùng tiêu chuẩn Jury để xét tính ổn định. Một số phép toán cần nắm vững để làm học tập trong chương này. - Các khái niệm về chuỗi, chuỗi hội tụ. - Các phép toán về số phức. - Tổng cấp số nhân. ∞ 1 N 1a− N1+ ∑a n = Nếu a1< và tổng quát ∑a n = n0= 1a− n0= 1a− 61
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Bài 2.1 Xác định biến đổi z của các tín hiệu hữu hạn sau a) x1 () n = {1 2 5 7 0 1} b) x2 () n = {1 2 5 7 0 1} ↑ c) x3 () n = {0 0 1 2 5 7 0 1} d) x4 () n = {2 4 5 7 0 1} ↑ Bài 2.2 Xác định biến đổi z của các tín hiệu hữu hạn sau a) xn1 ( ) =δ( n − k,k) > 0 b) xn2 ()=δ ( nk,k0 + ) > Bài 2.3 Xác định biến đổi z của tín hiệu: n n ⎧a n ≥ 0 x() n=α u () n = ⎨ ⎩0 n < 0 Bài 2.4 Cho x() n =[3( 2n ) − 4( 3n )]u() n Xác định X(z). Bài 2.5 Xác định biến đổi z của tín hiệu: ⎧1 0 ≤n ≤ N −1 x() n = ⎨ ⎩0 ≠ Bài 2.6 z Cho Xz= () 1 z + 3 Xác định x(n) bằng phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa. Bài 2.7 62
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z z + 3 Cho Hz= () 1 (1).(zz2 ++ z −) 2 Xác định điểm cực điêm không hệ thống. Biểu diễn trên mặt phẳng z. Bài 2.8 3 Cho Hz= () 1 (1).(zz2 ++ z +) 4 Xét ổn định hệ thống? Bài 2.9 z + 2 Cho tín hiệu Xz()= , Hãy xác định x(n) = ? 27zz2 −+3 Bài 2.10 Cho hệ thồng có hàm truyền đạt 23z + Hz= () 51 zz2 ++ 66 a) Xác định điêm cực điểm không của hệ thống. b) Xét xem hệ thống có ổn định không. c) Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống. Bài 2.11 Cho hệ thống có: z Hz()= 23zz2 − +1 a) Hãy xét xem hệ thống có ổn định không b) Hãy xác định đáp ứng xung của hệ thống. z 2006 c) Xác định h(n) khi Hz()= 23zz2 − +1 Bài 2.12 Cho sơ đồ hệ thống: 63
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z Xz1 ( ) z −1 Hz2 ( ) z −1 Hz11 ( ) Xz2 ( ) −1 Hz z 12 ( ) Hz( ) 1 Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) Bài 2.13 Cho hệ thống có hàm truyền đạt: 1 Hz()= 43++++zzzz−123 2−−−4 Hãy xét sự ổn định của hệ thống. Bài 2.14 Tìm hệ thống và đáp ứng mẫu đơn vị của hệ thống được mô tả bằng phương tình sai phân: 1 y() n= y() n −1 + 2 x ( n) 2 Bài 2.15 n ⎛⎞3 Cho tín hiệu x()nu= ⎜⎟ ()n ⎝⎠2 Biến đổi z của nó sẽ là: z 3 1 3 a) Xz= với z > b)Xz= với z > () 3 () 3 z − 2 1+ z −1 2 2 2 1 3 z 3 c) Xz= với z () 3 () 3 1− z −1 2 z + 2 2 2 Bài 2.16 Cách biểu diễn nào sau đây thường được dùng biểu diễn hàm truyền đạt H(Z) của hệ thống: 64
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z M M −r −r ∑bzr ∑bzr r=0 r=0 a) Hz()= N b)Hz()= N −k −k ∑azk 1+ ∑azk k=1 k=1 M M −1 r −r ∑bzr ∑bzr r=0 r=0 c) Hz()= N d)Hz()= N −1 k −k 1+ ∑azk 1+ ∑azk k=1 k=1 Bài 2.17 n Cho tín hiệu x(n) = na u() n hãy cho biết trường hợp nào sau đây là biến đổi X(z) của nó: z −1 az −1 a) 2 với z> a b) 2 với z> a ()1− az −1 ()1− az −1 az −1 az c) 2 với za a ()1− az −1 ()1− az −1 Bài 2.18 Phần tử Z-1 trong hệ thống rời rạc là phần tử: a) phần tử trễ b) phần tử tích phân c) phần tử vi phân c) phần tử nghịch đảo Bài 2.19 Hệ thống số đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(z) sẽ ổn định nếu: a) Tất cả các điểm không (Zero) zor phân bố bên trong vòng tròn đơn vị. b) Tất cả các điểm cực (Pole) zpk của hệ thống phân bố bên trong vòng tròn đơn vị. c) Tất cả các điểm cực (Pole) zpk của hệ thống phân bố bên ngoài vòng tròn đơn vị. d) Tất cả các điểm không (Zero) zor phân bố bên ngoài vòng tròn đơn vị. Bài 2.20 Phương án nào sau đây thể hiện hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn theo dạng điểm cực và điểm không? M N ∑()z − z0r ∑()z − z pk r=1 k=1 a) Hz()= G. N b) Hz()= G. M ∑()z − z0k ∑()z − z0r k=1 r=1 65
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z M M ∏()z − z0r ∏()z − z0r r=1 r=0 c) Hz()= G. N d) Hz()= G. N ∏()z − z pk ∏()z − z pk k=1 k=0 66
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục CHƯƠNG III: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC GIỚI THIỆU Bên cạnh biến đổi z , một công cụ toán học khác cũng rất quan trọng và hữu hiệu thường được dùng trong việc phân tích và tổng hợp các hệ thống tuyến tính bất biến, đó là chuỗi và biến đổi Fourier. Ở đây, tín hiệu được phân giải thành các thành phần hình sin (hoặc mũ phức). Do đó, ta nói tín hiệu được biểu diễn trong miền tần số. Biểu diễn toán học cơ bản của tín hiệu tuần hoàn là chuỗi Fourier, là tổng trọng số tuyến tính của các hài hình sin hoặc mũ phức. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), một nhà toán học người Pháp, đã dùng khai triển chuỗi lượng giác như thế để mô tả hiện tượng dẫn nhiệt và sự phân bố nhiệt độ của vật thể. Mặc dù công trình của ông chỉ là giải quyết bài toán dẫn nhiệt, nhưng phương pháp toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỷ thứ 19 này đến bây giờ vẫn được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: quang, dao động cơ học, lý thuyết hệ thống và điện từ trường và đặc biệt trong xử lý tín hiệu. Tương tự như việc phân tích phổ ánh sáng, trong việc phân tích tín hiệu ở miền tần số, thay cho ánh sáng, dạng tín hiệu của ta là các hàm theo thời gian. Vai trò của thấu kính chính là công cụ phân tích Fourier như chuỗi và biến đổi Fourier. Việc tổ hợp các thành phần hình sin để phục hồi tín hiệu ban đầu là bài toán tổng hợp Fourier. Giống như ánh sáng bức xạ của các nguyên tố hoá học, mỗi tín hiệu sẽ có phổ khác nhau. Như vậy phổ là sở cứ để nhận dạng tín hiệu. Cũng như trong vật lý, từ “phổ” được dùng khi muốn nói về nội dung tần số tín hiệu. Quá trình vận dụng công cụ toán học để có được phổ của tín hiệu đã cho trong chương này được gọi là phân tích tần số hay phân tích phổ. Ngược lại, quá trình xác định phổ của tín hiệu trong thực tế dựa trên các phép đo tín hiệu được gọi là đánh giá phổ. Sự phân biệt này là rất quan trọng. Trong bài toán thực tế, tín hiệu cần phân tích tự nó không được mô tả bằng một hàm toán học chính xác mà nó luôn luôn là dạng thể hiện một thông tin nào đấy mà từ đó ta tách ra tin tức thích hợp. Kết quả phân tích tín hiệu tuần hoàn được gọi là chuỗi Fourier. Sự phân giải đối với tín hiệu có năng lượng hữu hạn được gọi là biến đổi Fourier. Việc phân giải này đóng vai trò quan trọng trong phân tích hệ thống tuyến tính bất biến vì đáp ứng của hệ này đối với tín hiệu hình sin cũng có dạng hình sin cùng tần số nhưng khác biên độ và pha. Hơn nữa, tính tuyến tính của hệ tuyến tính bất biến nói lên rằng tổng tuyến tính của các thành phần hình sin ở đầu vào sẽ sinh ra một tổng tuyến tính tương tự của các thành phần hình sin trên đầu ra, chỉ khác về biên độ và pha so với tín hiệu vào. Mặc dù có nhiều phương pháp phân tích khác nhau, nhưng chỉ có tín hiệu hình sin (hay mũ phức) là thoả mãn tính chất này khi đi qua một hệ tuyến tính bất biến. Nội dung chương này được bắt đầu từ việc biểu diễn các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn liên tục theo thời gian dưới dạng chuỗi và biến đổi Fourier tương ứng. Kết quả của chương này là nền tảng cho việc nghiên cứu biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của một dãy hữu hạn, một biến 67
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục đổi có vai trò rất quan trọng trong nhiều ứng dụng khác nhau, đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu số. Sau đây ta sẽ quan sát các hình ảnh tương quan giữa các miền đã học: miền thời gian rời rạc n, miền z với miền tần số ω như hình vẽ dưới đây ω Hình 3.1. Quan hệ giữa miền tần số ω và các miền khác Việc ánh xạ tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền tần số ω được thực hiện nhờ biến đổi Fourier và ngược lại, việc ánh xạ tín hiệu từ miền tần số ω sang miền thời gian rời rạc được thực hiện nhờ biến đổi Fourier ngược. Ký hiệu: FT: Fourier Transform IFT: Inverse Fourier Transform Trong chương này chúng ta cũng thấy sự liên quan giữa biến đổi Z và biến đổi Fourier và việc chuyển đổi giữa chúng. Các nội dung chính được đề cập trong chương này bao gồm: - Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược, điều kiện để tồn tại biến đổi Fourier. - Các khái niệm về phổ, phổ biên độ, pha, phổ pha, mật độ phổ năng lượng(PSD) của tín hiệu. - Các khái niệm về đáp ứng tần số, pha tần số của hệ thống. - Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số. - Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi z. - Các bộ lọc số lý tưởng: Bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải. - Các tiêu chuẩn của bộ lọc số thực tế. 68
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục NỘI DUNG 3.1. BIẾN ĐỔI FOURIER 3.1.1. Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Tranform: FT) Biến đổi Fourier của một tín hiệu x(n) được định nghĩa như sau: ∞ Xe()jω = ∑ xne()− jnω (3.1) n=−∞ Ký hiệu toán tử: jω FT⎣⎦⎡⎤ x( n) = X( e ) x()nXe⎯⎯FT → ( jω ) Ta thấy rằng ejjω =+cosω sinω : tuần hoàn với chu kỳ 2π, do vậy khi thể hiện X (e jω ) ta chỉ cần thể hiện với dải từ 0 đến 2π hoặc từ -π đến π rồi lấy tuần hoàn. Các cách thể hiện X ()e jω + Biểu diễn theo phần thực phần ảo Re, Im jjωω⎡ ⎤⎡ j ω ⎤ Xe()=+Re⎣ Xe( )⎦⎣ j Im Xe( ) ⎦ (3.2) Đây là dạng biểu diễn quen thuộc của số phức. + Biểu diễn theo Modul và Argument jXearg⎡ ( jω )⎤ Xe()jjωω= Xe (). e ⎣ ⎦ (3.3) Ở đây: jω ⎡ jω ⎤ Xe( ) : Modul; arg ⎣Xe( )⎦ : Argument (Tên gọi theo Newton) Ta có một số khái niệm như sau: - X ()e jω : Phổ của tín hiệu x(n). - Xe( jω ) : Phổ biên độ của tín hiệu x(n). ⎡⎤jω - arg ⎣⎦Xe()= ϕ ()ω : Phổ pha của tín hiệu x(n). - Xe()jjωω= Xe (). ejϕ()ω + Biểu diễn theo độ lớn và pha 69
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Độ lớn có thể lấy giá trị âm và dương. Xe()jjωω= Ae( ). ejθ (ω) (3.4) A()e jω : độ lớn của tín hiệu x(n), có thể dương (>0) hoặc âm (<0). θ ()ω : pha của tín hiệu x(n). Một số các quan hệ: Xe()jjωω= Ae( ) khi ω ≥ 0 ϕω()= θω( ) khiAe( jω ) ≥ 0 ϕω()= θω ()+< π khiAe()jω 0 Ví dụ 3.1 ω − j Cho phổ tín hiệu X ()eejω = sin 3ω . 2 . Hãy xác định: - Các thành phần phần thực, ảo Re, Im - Ae()jω , θ (ω) , Xe()jω , ϕ (ω) . Giải: Từ biểu thức đã cho của đầu bài ta có: ω - Re⎡⎤Xe()jω = sin 3ω .cos ; ⎣⎦ 2 ω - Im⎡⎤Xe()jω =− sin 3ω .sin ⎣⎦ 2 - Ae()jω = sin 3ω ; ω - θω()=− 2 - Xe()jω = sin 3ω ⎧ ω −≥khi sin 3ω 0 ⎪ 2 - ϕω()= ⎨ ω ⎪−+πωkhi sin 3 < 0 ⎩⎪ 2 70
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục A(ejω ) π 2π π 4π 5π 2π ω 3 3 3 3 1 θ ω θ ()ωω=− π ( ) 2 2 π 2π ω −π 2 Xe( jω ) π 2π π 4π 5π 2π ω 3 3 3 3 ⎧ ω − khi sin 3ω ≥ 0 ⎪ 2 ϕ (ω ) ϕω()= ⎨ ω ⎪− +<πωkhi sin 3 0 π ⎩⎪ 2 π 2 π 2π ω −π 2 −π ω − j Hình 3.2. Biểu diễn độ lớn, pha, phổ biên độ, phổ pha của X ()eejω = sin 3ω . 2 Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về biến đổi Fourier rời rạc thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 3.2: Hãy tìm biến đổi Fourier các dãy sau đây: 71
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục a. x1 ()nn= δ () b. xn2 ( ) = δ ( n−1) n ⎛⎞1 c. xn3 ()= δδ ( n++11 ) ( n −) d. x4 ()nun= ⎜⎟ () ⎝⎠2 n e. x5 ()nun= () f. x6 (nun) = 2 ( ) Giải: ∞ a. Xejjnjnωωω==FT⎡⎤ x nδ ne−− == 1. e 1 11() ⎣⎦()∑ () n=0 n=−∞ ∞ b. X enneeejω ==−==FT⎡⎤ xδ 1−−jnωω 1. j n − j ω 22() ⎣⎦()∑ ( ) n=1 n=−∞ ∞∞ jω −−jnωω jn c. Xe33()==++−FT⎣⎦⎡⎤ x() n∑∑δδ ( n 1 ) e ( n 1 ) e nn=−∞ =−∞ =+=+=1.eeee−−jnωωωω 1. jn j − j 2cosω nn=−11 = nn ∞∞⎛⎞111 ⎛ ⎞ d. Xejjnjωωω==FT⎡⎤ x n une−− = e = 44() ⎣⎦() ∑∑⎜⎟() ⎜ ⎟ 1 nn=−∞⎝⎠22 =0 ⎝ ⎠ 1− e− jω 2 11 vì e− jω = <1 22 ∞∞ jω −−jnωω j n e. Xe55()==FT⎣⎦⎡⎤ x () n∑∑ une () = e nn=−∞ =0 =+1ee−−jjωωω +22 + e − j + Đây là chuỗi luỹ thừa, không hội tụ do ec− jω = osωω -jsin=+= c os22 ω sin ω 1 ∞ (Ta nhớ rằng muốn chuỗi ∑an hội tụ thì a <1) n=0 Do vậy ta kết luận là không tồn tại biến đổi Fourier. ∞∞n jnjnjωωω−− f. Xe66()==FT⎣⎦⎡⎤ x() n∑∑ 2 une () =() 2 e nn=−∞ =0 cũng với lý do như phần trên ta thấy rằng do: 22os-2jsin4os4sin2ec− jω ==+=ωω c22 ω ω 72
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ∞ n Cho nên chuỗi ∑()2e− jω không hội tụ do vậy không tồn tại biến đổi Fourier. n=0 Như vậy, thông qua các ví dụ trên chúng ra thấy rằng không phải đối với tín hiệu trời rạc x(n) nào cũng thực hiện được biến đổi Fourier, rõ ràng phải có một điều kiện để cho biến đổi Fourier tồn tại. 3.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier Căn cứ vào các tính chất hội tụ của chuỗi và sự ánh xạ đầy đủ từ miền thời gian rời rạc n sang miền tần số ω (tức là khi sang miền tần số ω, chỉ tồn tại biến ω chứ không tồn tại biến n), ta có: ∞ Biến đổi Fourier của một dãy x(n) sẽ tồn tại nếu và chỉ nếu: ∑ xn()<∞ n=−∞ ∞ ( Có nghĩa là chuỗi ∑ x()n hội tụ). n=−∞ 3.1.3. Biến đổi Fourier ngược (IFT: Inverse Fourier Transform) Biến đổi Fourier ngược của phổ tín hiệu X (e jω ) được định nghĩa như sau: 1 π x()nXeed= ∫ ()jjnωωω (3.5) 2π −π Ký hiệu: ⎡⎤jω IFT⎣⎦ X() e= x() n X ()exnjω ⎯⎯→IFT () Ở đây biến đổi Fourier ngược giúp ta xác định được x(n) từ X (e jω ) . Ví dụ 3.3: Cho jω ⎧1 −≤≤ωccωω Xe()= ⎨ ⎩0ω còn lai ()−≤π ωπ ≤ π Hãy xác định x(n) và vẽ x(n) với ω = c 2 Giải: Ta có: Xe()jjωω= Ae (). ejθ (ω) Từ đây theo đầu bài ta suy ra: Ae( jω ) =1 θω()= 0 73
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Xe( jjω ) = Ae( ω ) 1 0 c c θ (ω) 0 c c Theo định nghĩa biến đổi IFT (3.5) ta tính tích phân: ωc 11ωc xn()== ejnωω dω e jn 22ππ∫ jn −ωc −ωc 11jnωωcc− jn x()nee=−=()sinωc n 2ππjn n 0 Khi n=0 x(n) có dạng nên ta phải biến đổi tiếp thành dạng: 0 ω sinω n xn()= cc πωcn π Vẽ với ω = ; Thay vào ta có: c 2 π sin n 1 xn= 2 () π 2 n 2 1 n = 0: x()0 = 2 π sin 11 n = 1: xx()11===−2 () 2 π π 2 π sin⋅ 2 1 n = 2: xx202===−2 () π () 2 ⋅2 2 74
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục π sin⋅ 3 11 n = 3: xx33==−=−2 () π () 23⋅3 π 2 π sin⋅ 4 1 n = 4: xx404===−2 () π () 2 ⋅4 2 π sin⋅ 5 11 n = 5: xx55===−2 () π () 25⋅5 π 2 π sin⋅ 6 1 n = 6: xx606===−2 () π () 2 ⋅6 2 Đây chính là đáp ứng xung bộ lọc nửa băng tần, rất có lợi trên thực tế. Đặc điểm của bộ lọc này là tất cả những điểm chẵn đều bằng 0, lợi dụng tính chất này người ta thường chia thành 2 băng nên tốc độ tính toán và truyền đi nhanh. 1 1 π π 1 1 5π 5π 1 1 − − 3π 3π Hình 3.3. Biểu diễn x(n) tìm được sau khi biến đổi IFT Ở đây ta rút ra 3 nhận xét: - Tín hiệu x(n) đối xứng qua trục tung; pha θ (ω) cũng đối xứng. - θω()= 0 (pha bằng không) dẫn đến tâm đối xứng nằm tại n = 0 (gốc tọa độ). 75
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục - x(n): đối với tín hiệu thực có tính đối xứng vì phổ đối xứng (Đối xứng Helmitle). 3.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐÔI FOURIER Các tính chất của biến đổi Fourier được tổng kết trong bảng sau: Bảng 3.1 Tính chất của biến đổi Fourier Miền n Miền ω π ∞ 1 jω − jnω x()nXeed= ()jjnωωω Xe()= ∑ xne() ∫ n=−∞ 2π −π ax n+ bx n ; (a, b: hằng số) jjω ω 12() ( ) aX12( e)()+ bX e − jnω 0 jω x(nn− 0 ) eXe() x(n) là thực (tính chất đối xứng) Xe* ( jjω )()= Xe− ω ⎡ jjωω⎤⎡− ⎤ Re⎣Xe( )()⎦⎣= Re Xe ⎦ ⎡ jjωω⎤⎡− ⎤ Im⎣Xe( )()⎦⎣= Im Xe ⎦ Xe( jjωω) = Xe()− ⎡ jjωω⎤⎡− ⎤ arg⎣Xe( )()⎦⎣=− arg Xe ⎦ x*(n) Xe* ( − jω ) x(-n) Xe( − jω ) x nxn* jjω ω 12( )() X12(eXe)(). π x (nx)(). n 1 ′ 12 X eXedj()ωω− . jω′ ω′ ∫ 12()() 2π −π nx(n) dX( e jω ) j dω jnω exn0 () Xe⎡ j()ωω− 0 ⎤ ⎣ ⎦ x nncosω 11jj()ωω−−() ωω () 0 Xe⎡ 00⎤⎡⎤+ Xe 22⎣ ⎦⎣⎦ ∞ π x nx. * n 1 jjωω* ∑ 12() () X12()eXed. ()ω n=−∞ ∫ 2 −π ∞ π 2 1 2 Quan hệ Parseval ∑ x()n X ()edjω ω n=−∞ ∫ 2 −π 2 Ghi chú: Xe()jω : phổ biên mật độ năng lượng tín hiệu x(n), thể hiện sự phân bố năng jω lượng theo hàm mũ của tần số. Ký hiệu là Sxx( e ). 76
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục 3.3. QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI Z Ta thấy, theo định nghĩa của biến đổi z : ∞ X ()zxnz= ∑ (). −n n=−∞ Mặt khác z là một biến số phức và được biểu diễn trong mặt phẳng phức theo toạ độ cực như sau: zre= . jω Nếu chúng ta đánh giá biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị (r=1), ta có: ∞ X zxneXe==. − jnω jω (3.6) ()ze= jω ∑ () () n=−∞ 1 = r ω z = e jω Hình 3.4. Thực hiện biến đổi z trên vòng tròn đơn vị Như vậy, ta rút ra một số nhận xét: - Biến đổi Fourier chính là biến đổi z được thực hiện trên vòng tròn đơn vị. - Như vậy, biến đổi Fourier chỉ là trường hợp riêng của biến đổi z. - Như vậy, chúng ta có thể tìm biến đổi Fourier từ biến đổi Z bằng cách đánh giá ZT trên vòng tròn đơn vị với điều kiện vòng tròn đơn vị phải nằm trong miền hội tụ của biến đổi Z. Ví dụ 3.4 Hãy tìm biến đổi Fourier từ các biến đổi Z sau: 1 1 1 a) Xz()= ; z > b) Xz()= ; z > 2 1 1 2 −1 1− z−1 2 12− z 2 Giải: Đầu tiên phải xem vòng tròn đơn vị có nằm trong miền hội tụ không. a) Vòng tròn đơn vị nằm trong miền hội tụ, ta viết được biến đổi Fourier 77
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục 1 Xz= 1 () 1 1− e− jω 2 Im[z] Re[z] 0 1/2 1 b) Vòng tròn đơn vị không nằm trong miền hội tụ, nên ta không thực hiện được biến đổi Fourier. Im[z] 2 1 Re[z] -2 -1 0 1 2 3.4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.4.1. Đáp ứng tần số Trong miền thời gian rời rạc n ta có đặc trưng cho hệ thống là đáp ứng xung và quan hệ vào ra của hệ thống được thể hiện bởi phép chập: y(n) = x(n)*h(n) x(n y(n h(n) Trong miền tần số ω ta thấy rằng: 78
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục x()nXe⎯⎯FT → ()jω jω Y(ejω) yn()⎯⎯FT → Y() ejω X(e ) H(ejω) hn()⎯⎯FT → H() ejω Quan hệ vào ra của hệ thống trong miền ω được thể hiện bằng phép nhân như sau: Ye()jjjω = Xe ()ωω. He( ) hay: Ye( jω ) He()jω = (3.7) X ()e jω Ở đây H()e jω được gọi là đáp ứng tần số và nó chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(n) hay còn được xác định bằng tỷ số giữa biến đổi Fourier của tín hiệu ra trên biến đổi Fourier của tín hiệu vào. Đáp ứng tần số H()e jω sẽ đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền tần số ω Các cách thể hiện H()e jω : + Biểu diễn theo phần thực và phần ảo Re, Im: jjωω⎡ ⎤⎡ j ω ⎤ HReHImH()eeje=+⎣ ( )⎦⎣( ) ⎦ (3.8) + Biểu diễn theo Modul và Argument: jearg⎡ H( jω )⎤ HH()eeejjωω= () ⎣ ⎦ (3.9) H()e jω : Đáp ứng tần số của biên độ (đáp ứng biên độ). ⎡⎤jω arg⎣⎦ H()e = ϕ ()ω : Đáp ứng tần số của pha (đáp ứng pha). HH()eeejjωω= ( ) jϕ()ω + Biểu diễn theo độ lớn và pha: HA()eeejjωω= ( ) jθ (ω) (3.10) 3.4.2. Các bộ lọc số lý tưởng Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu các bộ lọc số lý tưởng: thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải, đây là những nội dung quan trọng làm tiền đề cho việc tổng hợp các bộ lọc số trên 79
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục thực tế sẽ học ở các chương sau. Việc định nghĩa các bộ lọc số lý tưởng sẽ dựa vào đáp ứng biên độ tần số H()e jω mà không cần quan tâm đến pha. a. Bộ lọc thông thấp lý tưởng (Low pass Filter) Định nghĩa: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau: H (e jω ) Ký hiÖu ω c : TÇn sè c¾t 1 : D¶i th«ng : D¶i chÆn 0 −π −ωc ω c π ω jω ⎧1 −≤≤ωccωω H()e = ⎨ ()−π ≤≤ωπ (3.11) ⎩0ω còn lai Sau đây ta sẽ xác định đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thông thấp pha 0. Ví dụ 3.5 Cho đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không (θω( ) = 0 ): jω ⎧1 −ωcc≤≤ωω H()e = ⎨ ⎩ 0 ω ≠ π Hãy tìm h(n) và vẽ h(n) với ω = . c 3 Giải: Ta thấy rằng HH(eejjωω)()= đây là bộ lọc pha 0 ( tứcθω( ) = 0 ) Sử dụng biến đổi Fourier ngược (3.5) ta có: ωc 11ωc hn()== ejnωω dω e jn 22ππ∫ jn −ωc −ωc 11jnωωcc− jn hn()=−=() e esinωc n 2ππjn n 0 Dạng nên biến đổi tiếp thành dạng: 0 80
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ω sinω n hn()= cc πωcn π sin n π 1 Vẽ với ω = , ta có: hn= 3 c () π 3 3 n 3 1 n = 0: h()0 = 3 π sin 13 n = 1: hh()11===−3 () 32π π 3 π sin⋅ 2 13 n = 2: hh22===−3 () π () 34⋅2 π 3 π sin⋅ 3 1 n = 3: hh303===−3 () π () 3 ⋅3 3 π sin⋅ 4 13 n = 4: hh44==−=−3 () π () 38⋅4 π 3 π sin⋅ 5 13 n = 5: hh55==−=−3 () π () 310⋅5 π 3 π sin⋅ 6 1 n = 6: hh606===−3 () π () 3 ⋅6 3 81
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Nhận xét: π Tất cả các bộ lọc có tần số cắt ω = (M: nguyên dương) gọi là bộ lọc Nyquist vì tại các c M điểm là bội của M các mẫu đều bằng 0. Nhưng bộ lọc này không thực hiện được trên thực tế vì đáp ứng xung h(n) không nhân quả và có chiều dài vô hạn. Khi thiết kế bộ lọc số thực tế, người ta phải rời đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý tưởng theo tâm đối xứng sang bên phải sau đó cắt đi phần âm (phần không nhân quả) để h(n) lúc này thành nhân quả và có chiều dài hữu hạn. Lưu ý khi cắt đi sẽ gây hiện tượng gợn sóng trong miền tần số, gây nên hiện tượng Gibbs. b. Bộ lọc thông cao lý tưởng (High pass Filter) Định nghĩa: Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng được định nghĩa như sau: H (e jω ) Ký hiÖu ω c : TÇn sè c¾t 1 : D¶i th«ng : D¶i chÆn 0 −π −ωc ω c π ω ⎧1 −π ≤≤−ωωc jω ⎪ H()e = ⎨ ωωπc ≤≤ ( −π ≤≤ωπ) (3.12) ⎪ ⎩0 ω ≠ Ví dụ 3.6: Cho đáp ứng tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng pha không: 82
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ⎧1 −π ≤≤−ωωc1 jω ⎪ H()e = ⎨ ωωπc1 ≤≤ ⎪ ⎩0 ω ≠ π Hãy tìm h(n) và vẽ h(n) với ω = . c 3 Giải: Áp dụng (3.5): 111ππωc hn()==− Heed()jjnωω. ω ed jn ωωω ed jn ω 222πππ∫∫∫ −−−ππω c sinπ n ωωccsin n π n πωcn Ta thấy: sinπ n = δ ()n vì giá trị tại n=0 thì bằng 1, còn với các giá trị n khác thì bằng 0. π n Do vậy ta xác định được ω sinω n hn()=−δ () n cc, πωcn Ở đây, δ ()n là đáp ứng xung của bộ lọc thông tất pha 0 (ví dụ như một dây dẫn tín hiệu) vì chúng cho tất cả các tín hiệu đi qua với mọi tần số. Lưu ý rằng δ (n) chập với một tín hiệu nào thì cũng chính bằng tín hiệu đó. δ ()n * x(n) = x(n). Nhự vậy ta thấy rằng, đáp ứng xung của bộ lọc thông cao lý tưởng pha không bằng đáp ứng xung của bộ lọc thông tất trừ đi đáp ứng xung bộ lọc thông thấp với điều kiện pha không. hn( ) = δ ( n) ==x(nnxn)*δ ( )() hnhnhnHp()=− Ap( ) Lp ( ) Hight pass = All pass – Low pass (Thông cao = Thông tất – Thông thấp). c. Bộ lọc thông dải lý tưởng (Band pass Filter) Định nghĩa: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng được định nghĩa như sau: 83
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục H (e jω ) ωcc11,ω −π −ωc2 −ωc1 ωc1 ωc2 π ω ⎧1 −≤≤−ωcc21ωω jω ⎪ H()e = ⎨ ωωωcc12≤≤ , ( −π ≤≤ωπ) (3.13) ⎪ ⎩0 ω ≠ Ví dụ 3.7: Cho đáp ứng tần số của bộ lọc số thông dải lý tưởng pha không như sau: ⎧1 −≤≤−ωcc21ωω jω ⎪ H()e = ⎨ ωωωcc12≤≤ , ( −π ≤≤ωπ) ⎪ ⎩0 ω ≠ Hãy xác định h(n). Giải: Ta có: 111π ωωcc21 hn()==− He()jjnωω. e dω e jn ω dωω ejnωc d 222πππ∫∫∫ −−−πωω cc21 ωωcc22sinnn ωω cc 11 sin πωcc21nn πω ω sinωωωnn sin hn()=−c2211 ccc πωcc21nn πω Ta thấy hBP(n) = hAP(n) – hLP(n) – hHP(n) d. Bộ lọc chắn dải lý tưởng (Band stop Filter) Định nghĩa: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng được định nghĩa như sau: 84
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục H (e jω ) ωc1 ωc2 −π −ωc2 −ωc1 ωc1 ωc2 π ω ⎧ −≤≤−π ωωc2 ⎪ jω ⎪1 −≤≤ωcc11ωω H()e = ⎨ (−π ≤≤ωπ) (3.14) ⎪ ωωπc2 ≤≤ ; ⎩⎪0 ω ≠ Ví dụ 3.8: Cho: ⎧ −≤≤−π ωωc2 ⎪ jω ⎪1 −≤≤ωcc11ωω H()e = ⎨ , ( −π ≤≤ωπ) ⎪ ωc2 ≤≤ωπ ⎩⎪0 ω ≠ π π Tìm h(n) . Vẽ h(n) với ω = , ω = . c1 3 c2 2 Giải: Áp dụng các kết quả đã tính của các bộ lọc lý tưởng trên đây, ta có: ω sinωωωnn sin hn()=−δ () n cccc2211 + πωcc21nn πω Ta thấy hBS(n) = hLP(n) + hHP(n) 3.4.3. Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thực tế được thể hiện trong hình vẽ sau, ta lưu ý ở đây ta lấy bộ lọc số thông thấp làm ví dụ (các bộ lọc khác cũng tương tự) và thể hiện đáp ứng biên độ của nó trong dải từ 0 đến π, dải từ -π đến 0 lấy đối xứng tương tự sang. 85
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục H ()e jω 1+ δ1 1− δ1 δ 2 ω ω p ω s π Hình 3.5. Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thực tế thông thấp và các tham số Có 4 tham số quyết định chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số là: + Tần số giới hạn dải thông ωP + Độ gợn sóng dải thông δ1 + Tần số giới hạn dải thông ωS + Độ gợn sóng dải thông δ2 Về mặt lý tưởng các độ gợn sóng dải thông, dải chắn càng nhỏ càng tốt, tần số giới hạn dải thông và dải chắn càng gần nhau để cho dải quá độ càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên trên thực tế đây là các tham số nghịch nhau (độ gợn sóng nhỏ thì dải quá độ phải lớn và ngược lại) nên việc giải quyết bài toán cho các tham số cùng nhỏ gặp nhiều khó khăn, ta phải áp dụng tính tối ưu với từng yêu cầu cụ thể của bài toán thiết kế bộ lọc. TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG 3 Trong chương này, chúng ta đã xem xét việc phân tích và xử lý tín hiệu rời rạc trong một miền mới khác với hai chương đã học ở trên đó là miền tần số. Ta thấy rằng các thao tác trong miền này tập trung vào việc khảo sát tần số, phổ của tín hiệu, đây là tiền đề quan trọng cho các phương thức truyền dẫn, điều chế trong viễn thông. Việc ánh xạ tín hiệu từ miền thời gian rời rạc n sang miền tần số liên tục ω được thực hiện thông qua biến đổi Fourier. Ta cũng nhận thấy rằng biến đổi Fourier chỉ là trường hợp riêng của biến đổi z, do vậy các tính chất của biến đổi Fourier cũng tương tự như biến đổi z, ví dụ như phép chập trong miền thời gian rời rạc n trở thành phép nhân trong miền tần số ω. Trong chương này, ngoài việc chúng ta phải hiểu rõ về biến đổi Fourier xuôi và ngược, cần phân biệt được các khái niệm về phổ, phổ biên độ, pha, phổ pha các đặc tính của bộ lọc số lý tưởng. Các nội dung kiến thức cần nhớ trong chương này sẽ được đề cập sau đây. 1. Biến đổi Fourier – FT 86
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Định nghĩa: ∞ Xe()jω = ∑ xne()− jnω n=−∞ 2. Điều kiện để tồn tại biến đổi Fourier ∞ Một dãy x(n) thực hiện được biến đổi Fourier nếu và chỉ nếu: ∑ xn() 0) âm (<0) hoặc bằng 0. + Xe( jjωω) = Ae() Với ω ≥ 0 +=ϕω() θω () khiAe( jω ) ≥ 0 +=+ϕω() θω () π khiAe()jω < 0 4. Biến đổi Fourier ngược - IFT Định nghĩa: 1 π x()nXeed= ∫ ()jjnωωω 2π −π 5. Tính chất của biến đổi Fourier Ở đây, ta sẽ chú ý một số tính chất: 87
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục - Phép chập trong miền thời gian rời rạc n sẽ trở thành phép nhân: jjω ω x12()nxn* ( ) X12(eXe)(). − jnω 0 jω - Trễ tín hiệu: x()nn− 0 eXe( ) jnω j()ωω− - Trễ tần số: exn0 Xe⎡ 0 ⎤ ( ) ⎣ ⎦ - Quan hệ Parseval: thể hiện sự bảo toàn về mặt năng lượng khi chuyển từ miền thời gian sang miền tần số. ∞ π 2 1 2 ∑ x()n ∫ X ()edjω ω n=−∞ 2 −π 6. Đáp ứng tần số Đáp ứng tần số H()e jω của hệ thống trong miền tần số liên tục được xây dựng theo hai cách: - Đáp ứng tần số H()e jω của hệ thống là tỷ số giữa biến đổi Fourier của tín hiệu ra trên biến đổi Fourier của tín hiệu vào. - Đáp ứng tần số H()e jω là biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(n). Đáp ứng tần số của hệ thống được thể hiện như sau: HH()eeejjωω= ()jϕ()ω trong đó: H()e jω : Đáp ứng tần số của biên độ (đáp ứng biên độ). ⎡⎤jω ϕω()= arg⎣⎦ H()e : Đáp ứng tần số của pha (đáp ứng pha). hay Độ lớn và pha: HA()eeejjωω= ()jθ (ω) 7. Các bộ lọc số lý tưởng Trong phần này, chúng ta phải nắm được bốn bộ lọc số lý tưởng thông qua các đáp ứng biên độ của chúng. Bộ lọc thông thấp: jω ⎧1 −ωcc≤≤ωω H()e = ⎨ (−π ≤≤ωπc ) ⎩ 0 ω ≠ Bộ lọc thông cao: 88
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ⎧1 −π ≤≤−ωωc jω ⎪ H()e = ⎨ ωωπc ≤≤ ( −π ≤≤ωπc ) ⎪ ⎩0 ω ≠ Bộ lọc thông dải: ⎧1 −≤≤−ωcc21ωω jω ⎪ H()e = ⎨ ωωωcc12≤≤ (−π ≤≤ωπc ) ⎪ ⎩0 ω ≠ Bộ lọc chắn dải: ⎧ −≤≤−π ωωc2 ⎪ jω ⎪1 −≤≤ωcc11ωω H()e = ⎨ (−π ≤≤ωπc ) ⎪ ωc2 ≤≤ωπ ⎩⎪0 ω ≠ Một số vấn đề của bộ lọc số lý tưởng cần lưu ý: - Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý tưởng có chiều dài vô hạn, và đáp ứng xung này là không nhân quả. Do vậy các bộ lọc số lý tưởng này không thực hiện được trong thực tế. - Đối với bộ lọc số lý tưởng pha 0 ta có đáp ứng biên độ trùng với đáp ứng tần số: HH()eejjωω= () - Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý tưởng pha 0 đối xứng qua trục tung, đối xứng Helmitte. - Các đáp ứng xung h(n) của các bộ lọc số lý tưởng pha 0 có quan hệ như sau: + hnhnhnHP( )()=− AP LP ( ) + hnhnhnhnBP( ) =−− AP() LP () HP () + hnhnhnBS( ) =+ LP() HP () 8. Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số Chúng ta phải nắm vững các thông số chỉ tiêu của bộ lọc số số thực tế: + Tần số giới hạn dải thông ωP + Độ gợn sóng dải thông δ1 + Tần số giới hạn dải thông ωS + Độ gợn sóng dải thông δ2 Việc nắm vững những kiến thức trong chương này rất cần thiết để tiếp cận các nội dung kiến thức tiếp theo như: - Biến đổi Fourier rời rạc DFT. Đây là một trong những biến đổi quan trọng nhất của xử lý tín hiệu số. - Tổng hợp các bộ lọc số FIR, IIR. 89
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Một số kiến thức toán học cần thiết để nghiên cứu học tập trong chương này. + Tích phân thông dụng để tính IFT: 1 edtααtt= e ∫ α + Tổng cấp số nhân: ∞ 1 ∑a n = Nếu a1< n0= 1a− N 1a− N1+ ∑a n = n0= 1a− + Khai triển Ơle: ejω = cosω + jsinω e-jω = cosω - jsinω + Một số khai triển thông thường: 1- e-jω = e-jω/2.(ejω/2 - e-jω/2) = 2j.sin(ω/2).e-jω/2 1+ e-jω = e-jω/2.(ejω/2 + e-jω/2) = 2cos(ω/2).e-jω/2 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 3.1 Xác định biến đổi Fourier của tín hiệu x ()na= n −<11 a < Bài 3.2 Tìm biến đổi Fourier và phổ biên độ của dãy ⎧ A 0 ≤ n ≤ L −1 x()n = ⎨ ⎩0 ≠ với minh hoạ như hình sau x(n) A n 0 L −1 Bài 3.3 90
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Hãy tính phép chập các dãy x 12(nxn) * ( ) với ⎪⎧ ⎪⎫ xn== x n 1, 1, 1 12() () ⎨ → ⎬ ⎪⎩⎭0 ⎪ thông qua biến đổi Fourier. Bài 3.4 jω Xác định mật độ phổ năng lượng Sexx ( ) của tín hiệu x()n = a nu ()n −1 < a < 1 Bài 3.5 Cho x()naun= n () với a = 0.5 và a = −0.5 . Hãy biểu diễn mật độ phổ năng lượng jω Sexx () Bài 3.6 n ⎛⎞3 Cho tín hiệu x()nun= ⎜⎟ (). Phổ của tín hiệu sẽ là đáp án nào sau đây: ⎝⎠4 1 a) Không tồn tại. b)Xejω = () 3 1+ e− jω 4 1 1 c) Xejω = d)Xejω = () 3 () 3 1− e jω 1− e− jω 4 4 Bài 3.7 n ⎛⎞4 Cho tín hiệu x()nun= ⎜⎟ (). Phổ của tín hiệu sẽ là đáp án nào sau đây: ⎝⎠3 1 a) Không tồn tại. b)Xejω = () 4 1+ e− jω 3 1 1 c) Xejω = d)Xejω = () 4 () 4 1− e jω 1− e− jω 3 3 Bài 3.8 Thành phần tương ứng của x()n − k khi chuyển sang miền tần số ω sẽ là: a) eXejkω () jω b)eXejkω ( − jω ) 91
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục c) eXe−−jkω () jω d)eXe− jkω ( jω ) Bài 3.9 Thành phần tương ứng của x()n cos ω 0 n khi chuyển sang miền tần số ω sẽ là: 1 1 a) X ()ω +ω b)X ()ω −ω 2 0 2 0 1 1 11 c) X ()ω +ω + X ()ω −ω d)XX()ω +−ωωω() − 2 0 2 0 2200 Bài 3.10 Thành phần tương ứng của e jω 0 n x()n khi chuyển sang miền tần số ω sẽ là: a) Xe( j ()ωω+ 0 ) b)Xe( j ()ωω− 0 ) c) eXejjωωω00( ()− ) d)eXejjωωω00( ()+ ) Bài 3.11 Khi nào pha của bộ lọc số lý tưởng bằng 0 thì quan hệ giữa đáp ứng tần số và đáp ứng biên độ tần số sẽ là: a) HH()eejjωω= () b) HH(eejjωω)()=− c) HH()eeejjjω = ()ωω d) HH(eeejjjω )()=− ωω Bài 3.12 Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số thông thấp lý tưởng pha 0 được biểu diễn ở dạng nào sau đây: ω sinω n sinω n a) hn()=− cc b)hn()= c πωcn π.n ω sinω n ω sinω n c) hn()= cc d)hn()= cc πωcn π n Bài 3.13 Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số thông cao lý tưởng pha 0 được biểu diễn ở dạng nào sau đây: ω sinω n sinω n a) hn()=−δ () n cc b)hn()=−δ () n c πωcn π.n ω sinω n ω sinω n c) hn()=+δ () n cc d)hn()=−δ () n cc πωcn π n Bài 3.14 92
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số thông dải lý tưởng pha 0 với tần số cắt ωc1 < ωc2 được biểu diễn ở dạng nào sau đây: ω sinωωωnn sin a) hn()=+cccc2211 πωcc21nn πω ω sinωωωnn sin b) hn()=−c2211 ccc πωcc21nn πω ω sinωωωnn sin c) hn()=−c2211 ccc − πωcc21nn πω ω sinωωnn sin ω d) hn()=−cccc112 2 πωcc12nn πω Bài 3.15 Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số chắn dải lý tưởng pha 0 với tần số cắt ωc1 < ωc2 được biểu diễn ở dạng nào sau đây: ω sinωωnn sin ω a) hn()=−δ () n cccc112 + 2 πωcc12nn πω ω sinωωωnn sin b) hn()=−δ () n cccc2211 − πωcc21nn πω ω sinωωωnn sin c) hn()=+δ () n c2211 ccc − πωcc21nn πω ω sinωωωnn sin d) hn()=−δ () n cccc2211 + πωcc21nn πω Bài 3.16 Chất lượng bộ lọc số tốt khi: a) + Độ gợn sóng dải thông δ1, dải chắn δ2 đều nhỏ. + Tần số giới hạn dải thông ωp, tần số giới hạn dải chắn ωs cách xa nhau (nghĩa là dải quá độ lớn). b) + Độ gợn sóng dải thông δ1, dải chắn δ2 lớn. + Tần số giới hạn dải thông ωp, tần số giới hạn dải chắn ωs gần nhau (nghĩa là dải quá độ nhỏ). c) + Độ gợn sóng dải thông δ1, dải chắn δ2 đều nhỏ. + Tần số giới hạn dải thông ωp, tần số giới hạn dải chắn ωs gần nhau (nghĩa là dải quá độ nhỏ). d) + Độ gợn sóng dải thông δ1, dải chắn δ2 đều lớn. 93
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục + Tần số giới hạn dải thông ωp, tần số giới hạn dải chắn ωs cách xa nhau(nghĩa là dải quá độ lớn). Bài 3.17 Những câu trả lời nào sau đây là đúng: a) Biến đổi Fuorier là trường hợp riêng của biến đổi Z b) Biến đổi Z là trường hợp riêng của biến đổi Fourier c) Biến đổi Fourier là biến đổi Z thực hiện trên vòng tròn đơn vị d) Biến đổi Fourier hoàn toàn độc lập với biến đổi Z. Bài 3.18 Các tín hiệu trong miền tần số ω có tính chất: a) Tuần hoàn với chu kỳ là π b) Tuần hoàn với chu kỳ là 2π c) Không phải là tín hiệu tuần hoàn d) Tuần hoàn khi ω ≥ 0. 94
Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc k CHƯƠNG IV: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC k (HOẶC ωk ) GIỚI THIỆU Trong bốn miền biểu diễn tín hiệu & hệ thống rời rạc hay dùng, chúng ta đã xét cả 3 miền: miền thời gian rời rạc n, miền z, miền tần số ω thông qua các biến đổi z hay biến đổi Fouurier. Trong chương này, ta tập trung nghiên cứu đến biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn có chu kỳ N và từ đó xây dựng biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn bất kỳ có chiều dài hữu hạn N tức là chúng ta sẽ nghiên cứu tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc k. Một trong những vấn đề chính của chương này là biến đổi Fourier rời rạc với nhũng ưu điểm nổi bật của nó trong việc xử lý tín hiệu rời rạc. Các nội dung chính của chương bao gồm: - Biến đổi Fourier rời rạc DFT đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N. - Biến đổi Fourier rời rạc DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn N. - Tính phép chập tuyến tính bằng phép chập vòng thông qua biến đổi DFT. - Phép chập nhanh. NỘI DUNG 4.1. BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT ĐỐI VỚI DÃY TUẦN HOÀN CÓ CHU KỲ N. Ta đã biết rằng biến đổi Fourier vừa xét ở chương 3 là một trường hợp riêng của biến đổi z hay nói cách khác biến đổi Fourier chính là biến đổi z được thực hiện trên vòng tròn đơn vị. Nhưng đối với một dãy tuần hoàn bất kỳ với chu kỳ N x n , ta thấy không cần thiết phải thực ( )N hiện biến đổi Fourier liên tục mà chỉ cần lợi dụng tính chất tuần hoàn của x n với chu kỳ N và ()N 2π tính tuần hoàn của biến e jω chu kỳ 2π , nghĩa là chỉ cần lấy các điểm đặc biệt trên đường N tròn đơn vị tương ứng với chu kỳ N của tín hiệu tuần hoàn x n ( )N Ví dụ: Chia 8 phần: 2π 2π π Thay ω = k , N = 8 → ω ==kk, kN= 0 ÷ . k N k 84 95
Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc k π 4 2π Khái quát hóa ta sẽ so sánh các dạng phổ của các dạng tín hiệu khác nhau trên hai miền: miền biến số thời gian liên tục và miền tần số MiÒn biÕn sè MiÒn tÇn sè X (ω) hta () a ω 0 t −Ω a 0 +Ωa a BiÕn ®æi x(n) X (e jω ) Fourier 0 n −4π −3π −2π −π 0 π 2π 3π 4π ω TuÇn hoµn chu kú 2π x ()n X (k ) N −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π k (ωk ) 0 N-1 n 0 Hình 4.1 Các dạng phổ của các dạmg tín hiệu khác nhau Khi biến đổi DFT đối với tín hiệu tuần hoàn, đúng ra là ta phải xét từ −∞ đến ∞ nhưng trên thực tế, khi biến đổi thường nghiên cứu trong một chu kỳ từ 0 đến N – 1 để xét cho dễ, các chu kỳ khác coi bằng 0 vì theo tính chất tuần hoàn. Hình 4.2 Tín hiệu rời rạc và phổ rời rạc tuần hoàn của nó 96
Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc k 4.1.1. Định nghĩa Biến đổi Fourier rời rạc của một dãy tuần hoàn x (n) có chu kỳ N được định nghĩa như sau: 2π NN−−11− jkn Xk ()==∑∑ xne ().N xne().− jnωk (4.1) nn==00 2π ⎧kN= 01÷− Trong đó: ωk = k với ⎨ N ⎩nN= 01÷− x ()n là dãy tuần hoàn chu kỳ N nên nó thỏa mãn: x()nxnlN=+ ( ) 2π − j kn kn − jnωk N Đặt: WeN == e (4.2) 2π − j kn −kn − jnωk N WeN == e 2π 2π − j j N −1 N 0 WeN = ; WeN = ; WN =1 Theo cách đặt như trên thì biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn chu kỳ N được viết lại như sau: N −1 kn Xk()= ∑ xnW (). N (4.3) n=0 Để biểu diễn cho gọn người ta thường biểu diễn theo (4.3) Ký hiệu toán tử: DFT ⎣⎦⎡⎤x (nXk) = ( ) x (nX) ⎯⎯⎯DFT→ (k) Ví dụ 4.1 Cho dãy tuần hoàn x ()n ⎧10≤ n ≤ 4 xn ()= ⎨ chu kỳ N = 10. ⎩05≤ n ≤ 9 Hãy xác định X ()k Giải: 2π 94− jkn kn 10 Xk()==∑∑ xnW ().1.N e , áp dụng công thức định nghĩa nn==00 97