Giới thiệu hình học Hyperbolic trên mặt phẳng - Trần Lê Nam

Nội dung text: Giới thiệu hình học Hyperbolic trên mặt phẳng - Trần Lê Nam

1. GIỚI THIỆU HÌNH HỌC HYPERBOLIC TRÊN MẶT PHẲNG ThS. Trần Lê Nam. Bài báo cáo trình bày các kết quả và chứng minh nỗi tiếng của hình học hyperbolic trên mặt phẳng như: Qua một điểm cho trước có vô số đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước, không đi qua điểm đó; Tổng ba góc trong của một tam giác nhỏ hơn 1800; Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau thì chúng bằng nhau; Đồng thời, chúng tôi giới thiệu hai mô hình nỗi tiếng của hình học hyperbolic. Đó là nửa mặt phẳng Poincare và đĩa tròn Poincare. Thông qua các mô hình, chúng ta sẽ thấy được tính tự nhiên và thực tiễn của hình học phi Euclid. 1. Giới thiệu Định đề 5 của Euclid đóng vai trò đặt biệt trong lịch sử phát triển hình học nói riêng và Toán học nói chung. Khi nghiên cứu bộ cơ bản, các nhà Toán học đều băn khoăn rằng: Định đề thứ 5 có thật là một định đề? Hay là nó có thể chứng minh được từ các định đề và định lý khác? Có vẽ như chính Euclid cũng băn khoăn đề này vì mãi đến định lý thứ 29 ông mới sử dụng nó. Có rất nhiều nhà Toán học cố gắn chứng minh trực tiếp định đề 5. Tuy nhiên, hầu hết các chứng minh đề sử dụng một giả thuyết tương đương với định đề 5 như: - Một đường thẳng cắt 1 trong hai đường thẳng song song thì nó cắt đường thẳng còn lại. - Hai đường thẳng song song thì có khoảng cách bằng nhau tại mọi điểm. - Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. - Tổng 3 góc trong của một tam giác bằng 2 lần góc vuông. - Tồn tại hai tam giác đồng dạng, không bằng nhau. Một số nhà Toán học khác định chứng minh định đề năm bằng phương pháp phản chứng. Tuy nhiên, khi học giả sử định đề 5 không đúng, họ lại tìm được những kết quả không có gì vô lí. Trong số đó, công trình của Saccheri, Gauss, Lobachevsky, Bolyai đáng được chú ý. Chúng được xem là những kết quả đầu tiên về hình học phi Euclid. Hình học hyperbolic và hình học elliptic được xem là các môn hình học phi Euclid đặt trưng. Trong bài báo cáo, chúng tôi sẽ giới thiệu tiên đề hyperbolic của Saccheri. Từ đó, chúng tôi đưa ra các chúng minh về tính duy nhất của đường vuông góc chung; Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước có vô số đường thẳng song song với đường thẳng đã cho; Tổng 3 góc trong của một tam giác nhỏ hơn 2 lần góc vuông; Các tam giác đồng dạng thì bằng nhau. Đồng thời, bài báo cáo giới thiệu hai mô hình đặt trưng của hình học hyperbolic. Đó là nửa mặt phẳng Poincare và đĩa tròn Poincare. 2. Hình học hyperbolic trên mặt phẳng 2.1. Tiên đề của hình học hyperbolic a) Tứ giá Saccheri. 1
2. Tứ giác ABCD có AD = BC, DAB\ = D C ABC[ = 900 được gọi là một tứ giác Saccheri. Khi đó ta gọi: - AB là đáy dưới, CD là đáy trên; - AD và BC là cạnh bên; A B - ∠C và ∠D là các góc đáy trên. Với tứ giác Saccheri, chúng ta dễ dàng chứng minh được: Hai góc ở đáy trên là bằng nhau. D C A B Đường thẳng nối các trung điểm của đáy trên và đáy dưới trong tứ giác Saccheri (được gọi là đường cao) thì trực giao với cả hai đáy. Do đó, đáy trên và đáy dưới nằm trên hai đường thẳng song song có một đường vuông góc chung. D F C γ0 γ β β0 µ µ0 α α0 A E B Định lý sau cho ta cơ sở để xây dựng tiên đề của hình học hyperbolic. Tổng các góc trong của một tam giác không vượt quá 1800. Chứng minh. Bằng cách chứng minh phản chứng, giả sử rằng tồn tại 4ABC với 0 tổng các góc bằng 180 + α, với α > 0. Lấy D1 là trung điểm của đoạn thẳng BC. Dựng đoạn thẳng AD1E1 sao cho AD1 = D1E1. C E1 D1 A B Mệnh đề 15 của bộ cơ bản cho chúng ta các góc đối đỉnh tương ứng, nên ta có ∼ ∼ góc ∠AB1C = ∠E1D1B. Do đó, 4AB1C = 4E1D1B (theo c-g-c). Bây giờ, nhận thấy 2
3. rằng tổng các góc của 4ABC cũng giống như tổng các góc của 4AE1B. Tiếp đến, 1 nhận thấy A = CAD + E AB, do đó CAD ≤ A. Giả sử (không mất tính ∠ ∠ 1 ∠ 1 ∠ 1 2∠ 1 tổng quát) có E AB ≤ A. Thì 4E AB là tam giác có tổng các góc giống như ∠ 1 2∠ 1 1 4ABC, và có góc E AB ≤ A. ∠ 1 2∠ Lặp lại quá trình dựng ở trên với 4E1AB (Hình 1) và dựng một tam giác mà tổng các góc trong của nó bằng với tổng các góc của 4ABC và có một góc nhỏ hơn hoặc 1 bằng A. Tiếp tục quá trình dựng đó, cuối cùng chúng ta có được 4ABE sao cho 4∠ n 1 4ABE có tổng các góc như 4ABC và chứa góc E AB ≤ A. n ∠ n 2n ∠ C E1 E2 D1 D2 A B Hình 1: Dựng tam giác E2AB 1 1 Nếu ta lấy n sao cho A < α, thì ta có được E AB ≤ A < α. Khi đó, 2n ∠ ∠ n 2n ∠ 0 tổng các góc của 4EnAB bằng 180 + α. Do đó, ta có được: 0 180 + α = ∠EnAB + ∠ABEn + ∠AEnB < α + ∠ABEn + ∠AEnB 0 =⇒180 < ∠ABEn + ∠AEnB. Điều này mâu thuẫn Mệnh đề 17. Từ đó định lý trên, chúng ta suy ra hai góc ở đáy trên của tứ giác Saccheri hoặc là các góc vuông hoặc là các góc nhọn. Để xây dựng hình học hyperbolic trên mặt phẳng, chúng ta đổi tiên đề thứ 5 của hình học Eulcid thành tiên đề về góc nhọn của tứ giác Saccheri. Người ta thường gọi tiên đề này là tiên đề hyperbolic. c) Tiên đề hyperbolic: Hai góc ở đáy trên của tứ giác Saccheri là hai góc nhọn. 2.2. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng Tứ giác Lambert là một tứ giác có 3 góc vuông. D C F A E B 3
4. - Tính chất của tứ giác Lambert. Trong hình học hyperbolic, góc thứ tư trong tứ giác Lambert là góc nhọn, cạnh kề với góc nhọn sẽ dài hơn cạnh đối diện với góc nhọn. (Tính duy nhất về đường vuông góc chung của hai đường thẳng song song). Nếu hai đường thẳng song song và có đường vuông góc chung, chúng sẽ không thể có đường vuông góc chung thứ hai. Cho l và m là hai đường thẳng song song với hai đường vuông góc chung là p1 và p2 ` p1 p2 m Khi đó l, m, p1 và p2 tạo thành tứ giác Lambert với 4 góc vuông. 2.3. Hai đường thẳng song song Cho hai đường thẳng, nếu tồn tại một đường hoành mà cắt hai đường thẳng đó tạo ra các cặp góc đồng vị hoặc so le trong tương ứng bằng nhau, khi đó hai dường thẳng này song song và có một đường vuông góc chung. ` B C P A D m Chứng minh. Nếu hai đường thẳng song song tồn tại một đường vuông góc chung thì khi đó đoạn vuông góc chung là độ dài ngắn nhất nối hai đường thẳng đó. Khoảng cách của hai đường thẳng sẽ tăng lên khi di chuyển ra xa đoạn vuông góc chung. 4
5. ` E C B m A D F Cho một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó. Khi đó, tồn tại vô số đường thẳng qua điểm đó song song với đường thẳng cho trước. Cho l là một đường thẳng và L là điểm không nằm trên l. Đặt M là hình chiếu của L lên trên l. Vì thế LM⊥l. Gọi k là đường thẳng qua L vuông góc với LM. Khi đó k là đường thẳng song song với l với đoạn vuông góc chung LM. Cho L0 là điểm bất kì trên k khác L. Gọi M 0 là hình chiếu của L0 trên l. Theo định lí 1-10 chúng ta có L0M 0 > LM, vì thế, đặt P 0 là một điểm trên L0M 0 sao cho P 0M 0 ∼= LM. ` L0 L P 0 M M 0 m Khi đó MM 0P 0L là một tứ giác Saccheri, ví thế theo định lí 1-2 chúng ta có LP 0 là đường thẳng song song với MM 0 và do cùng vuông góc với đoạn thẳng vuông góc chung. (ở đây đoạn vuông góc chung là gì?). Khi đó chúng ta có LP 0kl. Lúc đó k và LP 0 là hai đường thẳng qua L cùng song song với l. Đường thẳng LP 0 được xác định bởi L0 khác L trên k. Từ đó, L0 là một điểm tùy ý, chúng ta muốn kết luận điều này nếu chúng ta chọn điểm khác trên k, giả sử đó là L00 , điều này sẽ cho chúng ta đường thẳng khác qua L song song l khác k và LP 0. Điều này đơn giản hơn khi nói rằng tồn tại vô số đường thẳng qua L song song với l. Vấn đề đã được chứng minh. 2.4. Tổng ba góc trong một tam giác Tổng các góc của một tam giác luôn luôn nhỏ hơn 1800. Đầu tiên, chúng ta chứng minh cho trường hợp tam giac vuông và sau đó chứng minh cho tam giác bất kì. 5
6. Giả sử 4ABC là tam giác vuông với góc vuông tại A. Gọi CD là đường thẳng qua ∼ C như vậy ∠ABC = ∠BCD (các yếu tố của mệnh đề 23 cung cấp cho chúng ta làm nên). C F D G A E B Vì vậy BC là đường hoành làm cho hai góc so le trong bằng nhau tạo bởi nó và hai đường thẳng CD và AB. Sau đó, bằng định lí 1-8 đường thẳng CD||AB với vuông góc chung. Cho EF là đường vuông góc chung với E là giao điểm vuông góc với AB và F là giao điểm vuông góc với CD. G là trung điểm EF . Sau đó bằng định lí 1-9 đường thẳng CB đi qua điểm G và chúng ta có thể kết luận CG ∼= GB ( Tại sao?). Chú ý rằng AEF C là một tứ giác Lambert, vì thế ∠ACF phải là một góc nhọn. Vì ∼ 0 vậy ∠ACF = ∠ACB + ∠BCF = ∠CBA + ∠BCF 0) với một metric hyperbolic mà nó là công thức để đo khoảng cách trong hình học hyperbolic. Các đường thẳng trong mô hình đó được đại diện bởi cung của đường tròn trong nửa mặt phẳng trên mà nó nằm giữa trên trục hoành và bởi đường thẳng Euclid mà nó là đường vuông góc với trục hoành. Có thể nghĩ những đường thẳng Euclid này như là cung của đường tròn có bán kính vô hạn. Cung trong nửa mặt phẳng trên mà cắt trục hoành đại diện cho các đường thẳng horoperbolic. Hai cung mà nó không cắt nhau trong nửa mặt phẳng trên thì nó đại diện cho hai đường thẳng siêu song song và hai cung mà nó cắt nhau tạo một góc vuông thì nó đại diện cho hai đường thẳng vuông 6
7. góc. Góc giữa hai cung cắt nhau được xác định bằng số đo của góc giữa hai tia tiếp xúc đến cung. Hình 1 − 17, chứng tỏ có một vài đường thẳng như vậy trong nửa mặt phẳng Poincare. Trong hình 1 − 17 chú ý rằng hai đường thẳng l và k là hai đường thẳng tiếp xúc nhau, đường thẳng n và k là hai đường thẳng siêu song song với đường vuông góc chung p và đường thẳng l, m và q xác định một tam giác hyperbolic. Bây giờ, giả sử lấy hai đầu mút của trục hoành mà nó nằm ở vô cực và dán chúng lại với nhau tại một điểm, kết quả là ta được một cái đĩa. Điều gì xảy ra cho các đường thẳng hyperbolic của họ trong nửa mặt phẳng khi chúng tôi khuôn nửa mặt phẳng lên đĩa? Những đường thẳng vuông góc với trục hoành trở thành đường kính của đĩa và cung của đướng tròn với tâm nằm trên trục hoành trở thành cung tròn cắt biên của đĩa thẳng đứng. ` m q k n p Về nguồn gốc thì đĩa Poincare hyperbolic được định nghĩa là phần bên trong của đĩa có bán kính 1, cùng với các số liệu hyperbol. Một điểm trong hyperpolic là một điểm bên trong đĩa, một đường hyperbolic được đại diện bởi một cung của đường tròn có điểm đầu và điểm cuối nằm trên biên của đĩa và tạo với đĩa các góc vuông. Đường kính của đĩa được coi là đường hyperbolic trong mô hình đĩa (một lần nữa, người ta có thể nghĩ về những điều đó như vòng cung của vòng tròn bán kính vô hạn). Người đọc nên suy nghĩ về ranh giới của đĩa là đại diện cho vô cực. Cung là giao nhau trên ranh giới của đĩa như đại diện cho đường nữa song song và gặp nhau ở vô cực. Vòng cung không giao nhau trên phần trong của đĩa hoặc trên ranh giới đại diện cho đường thẳng siêu song song. Vòng cung giao nhau tại góc vuông bên trong của đĩa đại diện cho các đường thẳng vuông góc. Như trước đây, góc giữa hai cung tròn giao nhau được xác định bởi số đo của các góc bởi các tia tiếp tuyến vòng cung. ` m q k n p Xem xét hình 1-18, đại diện cho các đĩa Poincare, và xác định vị trí 1 cặp đường thẳng nữa song song, một cặp được đường thẳng song song, một cặp đường vuông góc, các đường thẳng vuông góc, và một tam giác hyperbolic. 7