Luận văn Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học ở trường Trung học phổ thông - Nguyễn Thanh Hưng

Nội dung text: Luận văn Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học ở trường Trung học phổ thông - Nguyễn Thanh Hưng

1. Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr−êng ®¹i häc Vinh
   
   
   
    NguyÔn THanh h−ng ph¸t triÓn t− duy biÖn chøng cña häc sinh trong d¹y häc h×nh häc ë tr−êng trung häc phæ th«ng LuËn ¸n tiÕn sÜ gi¸o dôc häc Vinh - 2009
2. Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr−êng ®¹i häc Vinh
   
   
   
    NguyÔn THanh h−ng ph¸t triÓn t− duy biÖn chøng cña häc sinh trong d¹y häc h×nh häc ë tr−êng trung häc phæ th«ng Chuyªn ngnh : lý luËn v Ph−¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n to¸n MMM sè : 62 14 10 01 LuËn ¸n tiÕn sÜ gi¸o dôc häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc : PGS.TS. V−¬ng d−¬ng minh Vinh - 2009
3. Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®©y l c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i. C¸c sè liÖu, kÕt qu¶ nªu trong LuËn ¸n l trung thùc v ch−a tõng ®−îc ai c«ng bè trong bÊt k× c«ng tr×nh no kh¸c. T¸c gi¶ LuËn ¸n Nguyn Thanh Hưng
4. LI CM ƠN Tôi xin trân trng bày t lòng bit ơn sâu sc ñn PGS. TS. Vương Dương Minh – Thy ñã ñt vn ñ nghiên cu và tn tình hưng dn tôi trong sut quá trình thc hin Lun án. Tác gi xin trân trng cm ơn GS. TS. Đào Tam, TS. Chu Trng Thanh, TS. Nguyn Văn Thun cùng các ging viên ca B môn Phương pháp ging dy Toán, Khoa Toán, Trưng Đi hc Vinh ñã ñóng góp nhiu ý kin quí báu và giúp ñ tác gi trong quá trình hoàn thin lun án. Tác gi xin gi li cm ơn ñn các Thy, Cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào to Sau ñi hc, BGH Trưng Đi hc Vinh ñã to mi ñiu kin thun li ñ tác gi hoàn thành quá trình hc tp và nghiên cu. Tôi xin trân trng cm ơn các Thy, Cô giáo ca Vin Khoa hc Giáo dc Vit Nam, Trưng ĐHSP Hà Ni, quí Thy Cô ñã ñóng góp cho tôi nhiu ý kin sâu sc trong quá trình thc hin Lun án. Tôi xin bày t lòng bit ơn các Thy, Cô giáo ca Khoa Sư Phm, BGH Trưng Đi hc Tây Nguyên nơi tôi công tác, ñã to mi ñiu kin v tinh thn cũng như vt cht trong sut thi gian hc tp ca tôi. Tác gi t lòng bit ơn ti thy giáo Bùi Khc Tun Trưng THPT Trn Phú, TP. Buôn Ma Thut, Tnh DakLak và quí Thy, Cô giáo B môn Toán cũng như các em hc sinh ca trưng, ñã tn tình ng h và giúp ñ tác gi trong quá trình thc nghim Lun án này. Tác gi
5. MC LC Trang M ĐU 1 CHƯƠNG 1: CƠ S LÍ LUN VÀ THC TIN 5 1.1. Cơ s lí lun 5 1.1.1. Khái nim v tư duy 5 1.1.2. Khái nim tư duy toán hc 8 1.1.3. Khái nim tư duy bin chng 8 1.1.4. Các ñc trưng cơ bn ca tư duy bin chng 10 1.1.5. Các loi hình tư duy toán hc 18 1.1.6. S cn thit phi rèn luyn và phát trin tư duy bin 34 chng cho hc sinh trong dy hc môn Toán 1.1.7. Tư duy bin chng có th rèn luyn và phát trin cho hc 40 sinh trong dy hc môn Toán 1.2. Hot ñng tư duy trong dy hc môn Toán 47 1.2.1. Khái nim hot ñng 47 1.2.2. Quan ñim hot ñng trong dy hc môn Toán 48 1.2.3. Đi mi phương pháp dy hc môn Toán 49 1.2.4. Hot ñng hóa ngưi hc khi dy hc các tình hung ñin hình 49 1.3. Nhng biu hin ca tư duy bin chng trong dy hc 60 môn Hình hc trưng THPT 1.4. Tình hình rèn luyn và phát trin tư duy bin chng 64 trưng ph thông 1.4.1. Tình hình rèn luyn và phát trin duy bin chng 64 trưng ph thông 1.4.2. Nguyên nhân 65 1.5. Kt lun Chương 1 66
6. CHƯƠNG 2: MT S BIN PHÁP GÓP PHN RÈN LUYN VÀ PHÁT TRIN TƯ DUY BIN CHNG CHO HC SINH THÔNG 67 QUA DY HC HÌNH HC TRƯNG THPT 2.1. Môn Hình hc trưng THPT 67 2.1.1. Mc tiêu dy hc môn Hình hc trưng THPT 67 2.1.2. Ni dung dy hc môn Hình hc trưng THPT 68 2.1.3. Phương pháp dy hc môn Hình hc trưng THPT 68 2.1.4. Đc ñim sách giáo khoa môn Hình hc trưng THPT 69 2.2. Đc ñim xây dng chương trình Hình hc trưng THPT 71 2.2.1. Hình hc và không gian hình hc trưng ph thông 71 2.2.2. Nhng ñc ñim có liên quan ñn vic rèn luyn tư duy bin chng 73 2.3. Nhng căn c ca vic ñ ra các bin pháp rèn luyn và phát trin tư duy bin chng cho hc sinh thông qua dy 74 hc Hình hc trưng THPT 2.3.1. Căn c vào ñc ñim ca môn Hình hc 74 2.3.2. Căn c vào nhu cu ca thc tin 75 2.3.3. Căn c vào mi quan h bin chng ca môn Hình hc 76 vi các môn hc khác 2.4. Nhng ñnh hưng ca vic ñ ra các bin pháp rèn luyn và phát trin tư duy bin chng cho hc sinh thông qua 78 dy hc Hình hc trưng THPT 2.4.1. Rèn luyn và phát trin tư duy bin chng trưc ht phi ñáp ng 78 ñưc mc ñích ca vic dy, hc môn Toán trưng ph thông 2.4.2. Khai thác chương trình và sách giáo khoa hin hành ñ rèn 78 luyn và phát trin tư duy bin chng 2.4.3. Rèn luyn và phát trin tư duy bin chng da trên ñnh hưng 79 ñi mi phương pháp dy hc hin nay 2.4.4. Rèn và phát trin tư duy bin chng cn chú trng ti vic rèn luyn, bi dưng cách thc tìm tòi và vn dng kin thc ca tng lĩnh 82 vc Toán hc cho hc sinh 2.4.5. Rèn luyn và phát trin tư duy bin chng cho hc sinh cn căn c vào thành tu nghiên cu v tư duy bin chng ca Tâm lí hc, 83 Giáo dc hc hin ñi
7. 2.5. Nhng bin pháp thc hin nhm góp phn rèn luyn và phát trin tư duy bin chng cho hc sinh thông qua 85 dy hc Hình hc trưng THPT 2.5.1. Bin pháp 1: Làm cho hc sinh bit xem xét các ñi tưng Toán hc trong c quá trình lch s phát trin ca nó và xem xét ñi tưng Toán hc mt cách khách quan ñ thy 85 ngun gc ra ñi, ñiu kin tn ti, bn cht ca ñi tưng 2.5.2. Bin pháp 2: Làm cho hc sinh bit xem xét các ñi tưng Toán hc dưi nhiu khía cnh khác nhau và xem xét các ñi tưng Toán 108 hc trong mi liên h vi các ñi tưng Toán hc có liên quan 2.5.3. Bin pháp 3: Làm cho hc sinh bit phát hin nhng thay ñi 142 t s bin ñi v l ưng sang bin ñi v cht 2.5.4. Bin pháp 4: Làm cho hc sinh có kh năng xem xét ñi 146 tư ng T oán h c trong s mâu thun v à th ng nht 2.5.5. Bin pháp 5: Làm cho hc sinh bit xem xét mt ñi tưng 148 Toán hc ñng thi xem xét ph ñnh ca ñi tưng ñó 2.3.6. Bin pháp 6: Làm cho hc sinh thy ñưc mi liên h 153 gi a các ki n thc T oán h c vi thc tin 2.5.7. Bin pháp 7: Làm cho hc sinh bit chú trng các thao tác tư duy 159 2.5.8. S l a ch n v à ph i hp các bin pháp 164 2.6. Kt lun chương 2 167 CHƯƠNG 3: THC NGHIM SƯ PHM 168 3.1. Mc ñích thc nghim 168 3.2. T chc và ni dung thc nghim 168 3.2.1. T chc thc nghim 168 3.2.2. N i dung thc nghim 169 3.3. Đánh giá kt qu thc nghim 17 4 3.3.1. Đánh giá ñnh tính 174 3.3.2. Đánh giá ñ nh l ưng 17 6 3.4. Kt lun chương 3 188 KT LUN 189 Các công trình ñã công b ca tác gi 190 TÀI LIU THAM KHO 192 PH LC 1 Phiu hi 2
8. DANH MC CÁC CH VIT TT TRONG LUN ÁN Vit tt Vit ñy ñ Vit tt Vit ñy ñ PP Phương pháp TT Tip tuyn PPDH Phương pháp CCGD Ci cách dy hc giáo dc DH Dy hc TTGK Tri thc giáo khoa GV Giáo viên TTPP Tri thc phương pháp HS Hc sinh TTKH Tri thc khoa hoc SGK Sách giáo khoa HH Hình hc SGV Sách giáo viên ND Ni dung PT Ph thông TD Tư duy THPT Trung hc TDBC Tư duy ph thông bin chng GD Giáo dc mp Mt phng KHGD Khoa hc giáo dc KG Không gian ĐT Đào to PPTĐ Phương pháp ta ñ HĐ Hot ñng HTĐ H ta ñ KHTN Khoa hc t nhiên TXĐ Tp xác ñnh KHXH Khoa hc xã hi SP Sư phm KH Khoa hc BT Bài tp ñpcm ñiu phi chng minh TT Tip tuyn
9. DANH MC CÁC BNG, SƠ Đ, HÌNH V Trang Bng 1.1 : S ph thuc ca y vi x 32 Bng 1.2 : Bng bin thiên 38 Bng 2.1 : Mi quan h gia ñơn v ñ và ñơn v radian 97 Bng 3.1 : Phân tích kt qu bài kim tra thc nghim khi 10 176 Bng 3.2 : Xp hng ñim s bài kim tra thc nghim khi 10 178 Bng 3.3 : Phân tích kt qu bài kim tra thc nghim s 1 khi 11 179 Bng 3.4 : Xp hng ñim s bài kim tra thc nghim s 1 khi 11 180 Bng 3.5 : Phân tích kt qu bài kim tra thc nghim s 2 khi 11 181 Bng 3.6 : Xp hng ñim s bài kim tra thc nghim s 2 khi 11 183 Bng 3.7 : Phân tích kt qu bài kim tra thc nghim s 1 khi 12 184 Bng 3.8 : Xp hng ñim s bài kim tra thc nghim s 1 khi 12 185 Bng 3.9 : Phân tích kt qu bài kim tra thc nghim s 2 khi 12 186 Bng 3.10 : Xp hng ñim s bài kim tra thc nghim s 2 khi 12 187 Sơ ñ 1.1 : Sơ ñ lôgic ca lun án. Sơ ñ 1.2 : Quá trình TD 7 Sơ ñ 1.3 : Mi quan h gia TD sáng to, TD ñc lp, TD tích cc 33 Sơ ñ 1.4 : Dòng hot ñng 48 Sơ ñ 1.5 : S hình thành và phát trin tâm lí ngưi 48 Sơ ñ 2.1 : Phân tích gii VD3 113 Sơ ñ 2.2 : Phân tích gii VD2 160 Hình 1.1 ñn Hình 1.19; Hình 2.1 ñn Hình 2.68.
10. Sơ ñ 1.1 : SƠ Đ LÔGIC CA LUN ÁN Tư duy Tư duy hình thc Tư duy bin chng (d a v ào l ôgic hình th c) (da vào lôgic bin chng) Tính Tính Tính Tính Tính lch khách mâu toàn thay s quan thun din ñi và thng nht Quan ñim hot ñng trong dy hc môn toán trưng THPT Các Các căn ñnh c hưng BP1 BP2 BP3 BP4 BP5 BP6 BP7 Thc nghim sư phm Kt lun
11. 1 M ĐU 1. Lí do chn ñ tài Đt nưc ñang trên ñưng ñi mi, cn có nhng con ngưi phát trin toàn din, năng ñng và sáng to. Mun vy phi bt ñu t s nghip giáo dc, ñào to và ñòi hi ngành giáo dc (GD), ñào to (ĐT) phi ñi mi ñ ñáp ng nhu cu xã hi. Đi mi phương pháp dy hc (PPDH), trong ñó có PPDH môn Toán s góp phn quan trng trong s nghip GD và ĐT. Tình hình dy hc (DH) môn Toán trong nhng năm gn ñây cho thy: Giáo viên (GV) quan tâm ñn rèn luyn tư duy (TD) lôgic, TD sáng to, ít chú ý ñn rèn luyn tư duy bin chng (TDBC) cho hc sinh (HS). Mt nguyên nhân có th là nhiu GV chưa hiu TDBC mt cách ñy ñ, chưa thy tm quan trng ca TDBC. Bên cnh ñó, trong quá trình hc Toán, HS bc l nhng yu kém v TDBC, nhìn các ñi tưng Toán hc mt cách ri rc, trong trng thái tĩnh mà chưa thy mi liên h ph thuc, s vn ñng bin ñi, quá trình phát sinh và phát trin, chưa thy s thng nht và mâu thun gia các mt ñi lp, nên chưa hiu rõ bn cht ca Toán hc. Do ñó, nhiu HS gp khó khăn khi gii các bài toán, nht là các bài toán ñòi hi phi có sáng to trong li gii. Hin nay, rèn luyn và phát trin TDBC cho HS qua DH Toán là mt ñ tài mang tính thi s. TDBC ñã ñưc Nguyn Cnh Toàn ñ cp trong ( [149] ) và trong ( [147], [148] ). TDBC còn ñưc Đào Tam quan tâm vi khía cnh "Mt s cơ s phương pháp lun ca Toán hc và vic vn dng chúng trong dy hc Toán trưng ph thông" trong NCGD s 9/1998. Thông qua DH môn Toán, cùng vi các loi TD khác, TDBC góp phn to cơ s trang b cho HS nhng hiu bit v th gii quan duy vt BC ñ nhn thc hin thc khách quan, hiu sâu sc bn cht Toán hc và ñào to HS tr thành nhng con ngưi phát trin toàn din, năng ñng, sáng to, phù hp vi yêu cu xã hi hin nay. Mt khác, Toán hc nói chung và Toán hc ph thông (PT) nói riêng trong quá trình phát sinh và phát trin ñu tuân theo các ñc trưng cơ bn ca TDBC, do ñó môn Toán nói chung, môn Hình hc nói riêng rt thun li ñ rèn luyn và phát trin TDBC cho HS.
12. 2 T yêu cu cp thit phi ñi mi PPDH ca ngành GD, t tình hình dy và hc Toán hin nay, chúng tôi chn ñ tài: "Phát trin tư duy bin chng ca hc sinh trong dy hc Hình hc trưng trung hc ph thông" . 2. Mc ñích nghiên cu Lun án xây dng nhng bin pháp ñ phát trin TDBC cho HS. T ñó, vn dng các bin pháp này vào DH Hình hc nhm góp phn nâng cao cht lưng DH môn Toán. 3. Đi tưng nghiên cu Đi tưng nghiên cu ca lun án là các ñc trưng cơ bn ca TDBC và nhng áp dng ca TDBC vào dy hc môn HH trưng THPT. Khách th nghiên cu ca lun án là các hot ñng (HĐ) dy và hc môn HH ca GV và HS trưng THPT. Đi tưng kho sát ca lun án là HS (din ñi trà) ca mt s trưng THPT, GV dy môn Toán trưng THPT thuc các tnh DakLak, Dak Nông, Bình Phưc và Hà Tĩnh. 4. Gi thuyt khoa hc Trong quá trình DH Hình hc trưng THPT, nu chú ý rèn luyn và phát trin TDBC ca HS, trên cơ s vn dng các ñc trưng ca TDBC cùng vi h thng các bin pháp sư phm (SP) tương thích và tôn trng ni dung (ND) chương trình sách giáo khoa (SGK) hin hành thì s góp phn phát trin TDBC cho HS, t ñó cht lưng DH Toán trưng THPT s ñưc nâng cao. 5. Nhim v nghiên cu Đ ñt ñưc mc ñích nghiên cu trên, lun án có nhim v góp phn làm rõ nhng vn ñ sau: Khái nim TDBC. Các ñc trưng cơ bn ca TDBC. Mi liên h gia TDBC vi các loi TD khác S cn thit rèn luyn và phát trin TDBC cho HS trong DH Toán. TDBC có th phát trin ñưc cho HS thông qua DH môn HH trưng THPT.
13. 3 Vn ñ ñi mi PPDH môn Toán nói chung môn HH nói riêng theo ñnh hưng HĐ hóa ngưi hc. Trình bày các ñnh hưng sư phm, căn c ca vic ñ ra các bin pháp rèn luyn TDBC. Đưa ra nhng bin pháp thc hin góp phn rèn luyn và phát trin TDBC cho HS qua DH Hình hc trưng THPT. 6. Phương pháp nghiên cu Nghiên cu lí lun Nghiên cu các tài liu v Trit hc, tài liu bàn lun v vic vn dng Trit hc vào các HĐ nhn thc và DH Toán. Nghiên cu các tài liu v TDBC. Nghiên cu tài liu v Tâm lí hc, GD hc và Lí lun DH. Nghiên cu lch s phát sinh và phát trin ca HH. Phương pháp ñiu tra và quan sát S dng phiu hi (phiu ñiu tra) ñ tìm hiu v s quan tâm ca GV toán THPT v TDBC và vic vn dng trong DH. D mt s gi dy ca GV trưng THPT ñ bit thc t DH môn HH ca GV và HS. Phương pháp thc nghim sư phm T chc thc nghim (TN) sư phm (SP) ñ xem xét tính kh thi và tính hiu qu ca ñ tài. Phương pháp phân tích, ñánh giá Lun án chú ý s dng PP phân tích ñnh tính, ñnh lưng nhm rút ra nhng kt lun liên quan ñn các ni dung ñưc xem xét. Đánh giá kt qu bng PP thng kê trong khoa hc giáo dc (KHGD). 7. Nhng vn ñ ñưa ra bo v 7.1 . TDBC; 7.2 . Các ñc trưng cơ bn ca TDBC trong môn Toán; 7.3 . Nhng ñnh hưng, các căn c ca vic ñ ra by bin pháp rèn luyn và phát trin TDBC ca HS; 7.4 . Có th xây dng nhng bin pháp rèn luyn và phát trin TDBC cho HS thông qua DH Hình hc nói riêng và môn Toán nói chung;
14. 4 7.5 . Tính kh thi nhng bin pháp sư phm (SP) ñ xut, tính hiu qu rèn luyn và phát trin TDBC cho HS thông qua các bin pháp ñó. 8. Nhng ñóng góp mi ca lun án V mt lí lun Làm rõ khái nim TDBC, các ñc trưng ca nó; Xác ñnh cơ s khoa hc ( căn c, ñnh hưng ) ñ xây dng ni dung, PP rèn luyn TDBC cho HS; Đ xut ñưc nhng bin pháp DH nhm rèn luyn và phát trin TDBC cho HS; Góp phn làm sáng t ND "Rèn luyn và phát trin TDBC cho HS" trong DH Toán trưng ph thông (PT) nói chung, DH môn HH nói riêng trưng THPT theo quan ñim HĐ. V mt thc tin Góp phn xây dng cách rèn luyn TDBC cho HS thông qua gii toán HH. Xây dng ñưc nhng bin pháp rèn luyn và phát trin TDBC cho HS trong DH Toán. Vn dng mt s bin pháp "Rèn luyn và phát trin TDBC cho HS" vào thc tin DH Hình hc trưng PT. Lun án là tài liu tham kho cho các GV khi thc hin mt nhim v "Rèn luyn và phát trin TDBC cho HS qua DH môn Toán". 9. Cu trúc ca lun án Ngoài phn M ñu, Kt lun và Ph lc ( Các công trình ñã công b ca tác gi, Tài liu tham kho, Phiu hi ), lun án có 3 chương. Chương 1 : Cơ s lí lun và thc tin; Chương 2 : Mt s bin pháp góp phn rèn luyn và phát trin tư duy bin chng cho hc sinh thông qua dy hc Hình hc trưng THPT; Chương 3 : Thc nghim sư phm.
15. 5 Chương 1 CƠ S LÍ LUN VÀ THC TIN 1.1. Cơ s lí lun Vn ñ bi dưng, rèn luyn và phát trin TDBC ca HS ñã ñưc nhiu tác gi trong và ngoài nưc quan tâm nghiên cu. nưc ta ñã có mt s công trình nghiên cu v vn ñ này: Các tác gi Nguyn Bá Kim [75, tr. 16 48]; Phm Văn Hoàn [54, tr. 52]; Nguyn Cnh Toàn [147, tr. 146 tr. 149]; Đào Tam [133] ; Trn Thúc Trình [54, tr. 52], [156] ; Nguyn Gia Cc [54, tr. 52]; Phm Gia Đc [39, tr. 74 75]; Nguyn Văn Lc [88, tr. 5 6]; và nhiu tác gi khác trong các công trình nghiên cu ca mình ñã gii quyt nhiu ni dung v lí lun cũng như thc tin ca vn ñ phát trin TDBC cho HS. Trên th gii, nhiu nhà tâm lí hc, GD hc như: [1] có Alêxêep M., Onhisuc V., Crugliăc M., Zabôtin V., Vecxcle X., Macarencô A. X. ; [112], [113] có Ôganhexian, Kôliaghin Iu. M., Lucankin G. L., Xannhixki V. Ia. ; [130] có Rudavin R. I., Nưxanbaép A., Sliakhin G. ; [107] có Molôtsi ; Đào Văn Trung [153] ; quan tâm nghiên cu v TD nói chung, TDBC ca HS nói riêng và vn ñ bi dưng, rèn luyn và phát trin TDBC cho HS. 1.1.1. Khái nim v tư duy TD có tác dng to ln trong ñi sng xã hi. Ngưi ta da vào TD ñ nhn thc nhng quy lut khách quan ca t nhiên, xã hi và li dng nhng quy lut ñó trong HĐ thc tin ca mình” [130, tr. 876] . Nhn thc cm tính có vai trò quan trng trong ñi sng tâm lí ca con ngưi, nó cung cp vt liu cho các HĐ tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, thc t cuc sng luôn ñt ra nhng vn ñ mà bng cm tính, con ngưi không th nhn thc và gii quyt ñưc. Mun ci to th gii, con ngưi phi ñt ti mc ñ nhn thc cao hơn, nghĩa là phi TD. Có rt nhiu cách ñnh nghĩa v TD, sau ñây là mt s quan ñim: Theo cách hiu ca Rubinstêin X. L: “ TD ñó là s khôi phc trong ý nghĩ ca ch th v khách th vi mc ñ ñy ñ hơn, toàn din hơn so vi các tư liu cm tính xut hin do tác ñng ca khách th ” [dn theo 143, tr. 8] .
16. 6 Theo Phm Minh Hc “ TD là quá trình nhn thc phn ánh nhng thuc tính bn cht, nhng mi quan h có tính quy lut ca s vt và hin tưng trong hin thc khách quan ”. Hoc: “ TD là mt quá trình tâm lí liên quan cht ch vi ngôn ng quá trình tìm tòi và sáng to cái chính yu, quá trình phn ánh mt cách tng phn hay khái quát thc t trong khi phân tích và tng hp nó. TD sinh ra trên cơ s HĐ thc tin, t nhn thc cm tính và vưt xa gii hn ca nó ” [dn theo 143, tr. 8] . TD th hin nhng khái nim, phán ñoán, suy lun. Các thao tác TD ch yu là: Phân tích, tng hp, so sánh, tru tưng hoá, khái quát hoá. “TD, sn phm cao nht ca cái vt cht ñưc t chc mt cách ñc bit là b não, là quá trình phn ánh tích cc th gii khách quan trong các khái nim, phán ñoán, lí lun TD xut hin trong quá trình HĐ sn xut xã hi ca con ngưi và bo ñm phn ánh thc ti mt cách gián tip, phát hin nhng mi liên h hp quy lut ca thc ti TD ch tn ti trong mt mi liên h không th tách ri khi HĐ lao ñng và li nói , là HĐ ch tiêu biu cho xã hi loài ngưi. Cho nên, TD ca con ngưi ñưc thc hin trong mi liên h cht ch nht vi li nói, và nhng kt qu ca TD ñưc ghi nhn trong ngôn ng. Tiêu biu cho TD là nhng quá trình như tru tưng hoá, phân tích và tng hp, vic nêu lên nhng vn ñ nht ñnh và tìm cách gii quyt chúng, vic ñ xut nhng gi thit, nhng ý nim, Kt qu ca quá trình TD bao gi cũng là mt ý nghĩ nào ñó. Kh năng phn ánh thc ti mt cách khái quát ca TD ñưc biu hin kh năng ca con ngưi có th xây dng nhng khái nim chung, gn lin vi s trình bày nhng quy lut tương ng. Kh năng phn ánh thc ti mt cách gián tip ca TD ñưc biu hin kh năng suy lí, kt lun lôgic, chng minh ca con ngưi. Xut phát t ch phân tích nhng s kin có th tri giác ñưc mt cách trc tip, nó cho phép nhn thc ñưc nhng gì không th tri giác ñưc nh các giác quan. Nhng khái nim và nhng h thng khái nim (nhng lí lun KH) ghi li (khái quát hoá) kinh nghim ca loài ngưi, là s tp trung nhng tri thc ca con ngưi và là ñim xut phát ñ tip tc nhn thc thc ti. TD ca con ngưi ñưc nghiên cu trong nhng lĩnh vc KH khác nhau và bng nhng PP khác nhau" [154, tr. 634] .
17. 7 T các ñnh nghĩa trên, ta có th rút ra nhng ñc ñim cơ bn sau ñây ca TD : TD là sn phm ca b não con ngưi và là mt quá trình phn ánh tích cc th gii khách quan; Bn cht ca TD (mà cũng là ñiu khó khăn) là s phân bit s tn ti ñc lp ca ñi tưng ñưc phn ánh vi hình nh nhn thc ñưc qua kh năng HĐ suy nghĩ ca con ngưi nhm phn ánh ñưc ñi tưng; TD là quá trình phát trin năng ñng và sáng to; Khách th trong TD ñưc phn ánh vi nhiu mc ñ khác nhau t thuc tính này ñn thuc tính khác, nó ph thuc vào ch th là con ngưi; TD ch ny sinh khi gp nhng hoàn cnh có vn ñ; TD có tính khái quát và TD có tính gián tip; TD ca con ngưi có quan h mt thit vi ngôn ng, kt qu ca nó bao gi cũng là mt ý nghĩ và ñưc th hin qua ngôn ng; TD có quan h mt thit vi nhn thc cm tính; TD là mt quá trình, nghĩa là TD có ny sinh, din bin và kt thúc: Quá trình TD bao gm nhiu giai ñon k tip nhau ñưc minh ho bi sơ ñ (do Plantônôv K. K. ñưa ra): Nhn thc vn ñ Xut hin các liên tưng Sàng lc liên tưng & hình thành gi thuyt Kim tra gi thuyt Chính xác hóa Khng ñnh Ph ñnh Gii quyt vn ñ Hot ñng tư duy mi Sơ ñ 1.2 : Quá trình tư duy
18. 8 Quá trình TD là mt hành ñng trí tu: Quá trình TD ñưc din ra bng cách ch th tin hành nhng thao tác trí tu nht ñnh. Có rt nhiu thao tác trí tu tham gia vào mt quá trình TD c th vi tư cách mt hành ñng trí tu: Phân tích, tng hp, so sánh, tru tưng hoá, khái quát hoá, [dn theo 143, tr. 9 – 10] . 1.1.2. Khái nim tư duy Toán hc TD Toán hc ñưc hiu, th nht là hình thc biu l ca TDBC trong quá trình con ngưi nhn thc KH Toán hc hay trong quá trình áp dng Toán hc vào các KH khác như kĩ thut, kinh t quc dân, Th hai, TD Toán hc có các tính cht ñc thù ñưc quy ñnh bi bn cht ca KH Toán hc, bi s áp dng các PP Toán hc ñ nhn thc các hin tưng ca th gii hin thc, cũng như bi chính các phương thc chung ca TD mà nó s dng. ND ca TD Toán hc là nhng tư tưng phn ánh hình dng không gian (KG) và nhng quan h s lưng ca th gii hin thc [88, tr. 16 – 17] . Theo cun “ Phương pháp ging dy toán trưng ph thông ” ca nhóm tác gi: Ôganhexian, Kôliagin Iu. M., Lucankin G. L., Xannhixki V. Ia. ñưc n hành ñu tiên năm 1975 [112] và tái bn vào năm 1980 [113] ñã nêu “D dàng phát hin ra rng, tính bin dng ca tư duy Toán hc không có gì khác là bng các dng riêng bit ca cách biu hin tư duy bin chng trong quá trình nghiên cu Toán hc ”[112, tr.130] . 1.1.3. Khái nim v tư duy bin chng Vn ñ trung tâm ca lôgic hc là vn ñ v chân lí, ñó là s phn ánh ñúng ñn ca TD con ngưi ñi vi hin thc. Ch nghĩa duy vt BC da vào nhng quy lut (còn gi là nhng nguyên tc ca phép BC) trong vic nghiên cu TD ñ vch ra phép BC ca TD. Chính t ñó làm cho lôgic hc tr thành KH v s phát trin ca TD con ngưi, phn ánh s phát trin ca th gii khách quan, xem xét TD và các hình thc ca TD mt cách KH và vch ra con ñưng phi ñi ñ nhn thc ñưc ñúng ñn th gii bên ngoài, ñi ñn chân lí [82, tr. 75] . Ch nghĩa duy vt BC da vào sáu cp phm trù: Cái chung, cái riêng; Nguyên nhân, kt qu; tt nhiên, ngu nhiên; ni dung, hình thc; bn cht, hin tưng; kh năng, hin thc . Ba qui lut : Lưng cht; thng nht ñu tranh; ph ñnh ph ñnh
19. 9 và hai nguyên lí : mi liên h ph bin; s phát trin . Nhng ni dung này càng khng ñnh th gii khách quan không ch tn ti ñc lp vi ý thc ca con ngưi, mà còn luôn vn ñng, phát trin, chuyn hóa ln nhau [38] . Nhà sư phm Xô vit ni ting Macarencô. A. X ñã tng ch ra rng trong DH và GD chúng ta phi theo kp nhng yêu cu mà xã hi chúng ta s ñ ra cho con ngưi trong mt tương lai không xa. Đ GD ñưc con ngưi lao ñng sáng to có năng lc trí tu cao cn phi vn dng nhng PPDH tích cc nhm phát trin các năng lc TD mt cách BC, năng lc xem xét các ñi tưng và hin tưng trong mi liên h qua li, trong quá trình vn ñng, bin ñi, mâu thun và phát trin ca chúng [1, tr.143] . Theo [112, tr. 151]: “Tư duy bin chng ñưc ñc trưng bi s thu t tính thay ñi, tính hai chiu, tính mâu thun, bi mi liên quan và ph thuc tương h ca các khái nim và quan h. Ngoài ra tư duy mt cách bin chng còn là ch biu hin kh năng có ñưc nhng quan ñim không khuôn sáo, nhiu khía cnh, khi nghiên cu các ñi tưng và hin tưng xy ra, khi gii quyt các vn ñ”. Nhóm tác gi Ôganhexian, Kôliagin Iu. M., Lucankin G. L., Xannhixki V. Ia. cũng cho rng “ tư duy bin chng, ñu tiên nht, là tư duy khoa hc t nhiên; quan h ca nó vi tư duy Toán hc không sp xp ñưc vào mt trt t chi phi nào ñó. Nói ñơn gin hơn, tư duy Toán hc ñáng giá, ñiu không tránh ñưc, phi ñng thi là tư duy bin chng ” [112, tr.151]. Theo quan ñim ca lun án này: "Tư duy bin chng là mt phương thc tư duy, xem xét s vt hin tưng trong s thng nht và mâu thun, trong s vn ñng và phát trin, trong mi liên h và ph thuc vi các s vt khác ". Tính cht BC ca TD ñưc ñc trưng bi nhn thc tính thay ñi (vn ñng và s phát trin), tính hai mt (mâu thun và s thng nht), tính toàn din (s liên h tương h và ph thuc ln nhau ca các khái nim và các quan h, tính lch s và tính khách quan. TDBC tuân theo các quy lut ca lôgic BC.
20. 10 1.1.4. Các ñc trưng cơ bn ca tư duy bin chng a. Tính khách quan "Khi xem xét s vt, phi xut phát t chính bn thân s vt" . Như th, ch th không ñưc xem xét s vt mt cách "ch quan, tùy tin, gán ghép cho s vt nhng thuc tính mà nó không có" . Đây là nhng nguyên tc xut phát, nn tng, ñu tiên dn ñn vic nhn thc khách th mt cách ñúng ñn, tránh ñưc s ch quan trong quá trình phn ánh [141, tr. 59] . VD: S vô t s thc ra ñi xut phát t nhu cu ni b môn Toán, xut phát t chính bn thân s mi: Là s thp phân vô hn không tun hoàn. Nhưng cái cơ bn là: Đo ñ dài ca mt ñon thng khi ñã chn ñơn v ño, không th bng lòng vi s ño là s nguyên dương, là s hu t dương. Thc t khách quan là tn ti nhng ñon thng có s ño không là s nguyên dương, không là s hu t dương. Chng hn, ño ñ dài ñưng chéo hình vuông cnh có ñ dài bng 1 . Trong phm vi lp 9, sách ñã ch ra cho HS thy bn cht ca s vô t: Nu biu din dng thp phân thì nó là mt s thp phân vô hn không tun hoàn. b. Tính toàn din "Khi nhn xét s vt, phi xem xét mt cách ñy ñ vi tt c tính phc tp ca nó". Như th, ch th cn nghiên cu ñi tưng trong tt c các mt, các mi quan h (bên trong và bên ngoài), tt c các mt xích trung gian, trong tng th nhng mi quan h phong phú, phc tp và muôn v ca nó vi các s vt khác. Tuân th nguyên tc này, ch th tránh ñưc nhng sai lm ca cách xem xét ch quan, phin din, mt chiu, thi phng mt mt nào ñó ti mc làm sai lch bn cht ca s vt [141, tr. 59] . Khi ta xem xét mt s vt, ta phi xem xét mt cách ñy ñ vi tt c tính phc tp ca nó, cn nghiên cu ñi tưng trong tt c các mt quan h, giúp HS có cách nhìn BC hơn, góp phn bi dưng năng lc TDBC cho HS.
21. 11 Theo [112, tr. 130] “ mi liên h ln nhau và ph thuc ln nhau ca các khái nim và mi tương quan Toán hc là ñc trưng ca tư duy bin chng ”, chng hn th hin ñc trưng này : S liên h tương h và ph thuc ln nhau ca các khái nim Khi DH mt khái nim Toán hc thì quá trình hình thành các khái nim chưa kt thúc khi phát biu ñưc ñnh nghĩa. Bi, hình thành ñưc mt khái nim cho HS bao gm vic phát biu ñưc ñnh nghĩa, cng c khái nim và vn dng các khái nim ñó vào gii toán. S hình thành khái nim ñưc tip cn bng 3 con ñưng khác nhau: con ñưng quy np; con ñưng suy din; con ñưng kin thit. Tuy nhiên, cho dù hình thành khái nim bng con ñưng nào ñi na thì gia các khái nim ñu có s liên h tương h và ph thuc ln nhau. VD 1 : Khi ñã hình thành ñưc khái nim v vectơ: “ Vectơ là mt ñon thng có hưng, nghĩa là trong hai ñim mút ca ñon thng, ñã ch rõ ñim nào là ñim ñu, ñim nào là ñim cui ”. T ñó, GV ñi xây dng ñnh nghĩa vectơ không: “Vectơ có ñim ñu và ñim cui trùng nhau gi là vectơ không ”. GV khng ñnh ñây là ñnh nghĩa mà ngưi ta quy ưc. GV ñt ra vn ñ: Ta ñã có khái nim hai s bng nhau, hai ñon thng bng nhau, vy liu có khái nim hai vectơ bng nhau hay không? và nu có thì ñưc ñnh nghĩa như th nào? Mun tr li ñưc câu hi này thì GV phi hưng dn cho HS hình thành khái nim hai vectơ cùng phương: “ Hai vectơ ñưc gi là cùng phương nu chúng có giá song song hoc trùng nhau ”. Và ñưa ra: “ Nu hai vectơ cùng phương thì hoc chúng cùng hưng, hoc chúng ngưc hưng ”. Vy “ Hai vectơ ñưc gi là bng nhau nu chúng cùng hưng và cùng ñ dài ”. T ñó ta có th xây dng ñnh nghĩa v tng ca hai vectơ, hiu ca hai vectơ (vectơ ñi), tích vô hưng ca hai vectơ (hai vectơ vuông góc vi nhau) VD 2 : Đ hình thành khái nim bình phương vô hưng ca vectơ a , ta có th tin hành như sau: Bưc 1 : GV ñưa ra: a . b =? yêu cu HS tr li.
22. 12 T ñó nêu: a . b = a . b . cos( a ,b ) Trong công thc trên, nu b = a thì ta có ñưc ñiu gì? Đn ñây HS s rút ra ñưc: a . a = a 2. Bưc 2 : GV nêu ñnh nghĩa bình phương vô hưng ca vectơ a và kí hiu là a 2. Bưc 3 : GV ñưa ra mt vài VD ñơn gin ñ minh ha cho khái nim va ñưc ñnh nghĩa. Nhn xét: T VD trên, ta thy ñưc tính cht BC trong vic hình thành các khái nim bng con ñưng suy din, ñó chính là s tuân theo quy lut t trc quan sinh ñng ñn tư duy tru tưng, t TD tru tưng ñn thc tin. Hơn na, tính BC th hin rõ nét s suy din, tng kt và ñt các s vt vào trong mi liên h ph thuc ln nhau, cũng như luôn ñt trong trng thái vn ñng . S liên h tương h và ph thuc ln nhau ca các quan h Chúng ta cn nghiên cu ñi tưng trong tt c các mt, các quan h (bên trong và bên ngoài) ca nó. Có như vy chúng ta mi hiu ñưc sâu sc ñi tưng ñó, mi ñánh giá ñưc mt cách chính xác bn cht ca vn ñ và tm quan trng ca nó trong cuc sng. C th trong Hình hc 10 (nâng cao) có các VD sau: VD 1 : Khi dy vectơ và các phép toán trên vectơ, GV có th nói cho HS bit: Trong thc t cuc sng, có nhng ñi lưng có hưng cn ñưc biu din, VD như: vn tc, gia tc, lc, t nhng yêu cu ñó, khái nim vectơ ra ñi. Qua ñó, GV ñã làm cho HS thy ñưc mi quan h liên môn trong nhà trưng PT. Nht là gia Vt lí và Toán hc, ñ các em thy ñưc rng Toán hc có mi quan h cht ch vi các môn hc khác trong nhà trưng . VD 2 : Trong SGK HH10 (Nâng cao), sau khi ñnh nghĩa “Tng hai vectơ”, ta xét ñn mi quan h sau: * Các tính cht Tính cht giao hoán: a + b = b + a Tính cht kt hp: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Tính cht ca vectơ − không: a + 0 = a .
23. 13 * Các quy tc M O A N P Hình 1.1 C B Hình 1.2 Quy tc ba ñim ( Hình 1.1 ): Vi ba ñim bt kì M, N, P, ta có: MN + NP = MP . Quy tc hình bình hành ( Hình 1.2 ): Nu OABC là hình bình hành thì ta có: OA + OC = OB . * Tích ca mt vectơ vi mt s: Nu ta ly vectơ a cng vi chính nó thì ta có th nói kt qu là hai ln vectơ a , vit là 2 a , và gi là tích ca s 2 vi vectơ a , hay là tích ca a vi 2. Đây là mi quan h ban ñu góp phn hình thành khái nim tích ca mt vectơ vi mt s thc bt kì. c. Tính lch s "Khi xem xét s vt, phi nhn thc s vt trong s phát trin, trong s t vn ñng ca nó" . Như th, ch th cn xem xét s vt y ñã xut hin như th nào trong lch s, ñã tri qua nhng giai ñon phát trin ch yu nào và hin tưng ñó ra sao? Tuân th nguyên tc này, ch yu tránh ñưc nhng sai lm ca cách xem xét s vt mt cách "siêu hình", cng nhc, bo th, [141, tr. 59] . VD : S hình thành và phát trin h trc ta ñ Đêcac vuông góc trong KG ñưc thc hin tng bưc phù hp vi trình ñ HS mi lp trong tng bc hc: Tia s (S hc lp 6), trc s hu t (ĐS lp 7), trc s thc và mp ta ñ (ĐS lp 9) và h trc ta y' z x' ñ Đêcac vuông góc trong KG (HH 12). E Đ xác ñnh v trí ca mt ñim hoc 3 mt vectơ trong KG, ngưi ta thưng dùng E1 E2 y h trc ta ñ Đêcac vuông góc trong KG. x Đó là mt h gm ba ñưng thng x'Ox, y'Oy, z' z'Oz vuông góc vi nhau tng ñôi mt, trên Hình 1.3
24. 14 ñó chn ln lưt các vectơ ñơn v: e1 = OE1 , e2 = OE2 , e3 = OE3 . Ba ñưng thng y gi là ba trc ta ñ. Trc x'Ox gi là trc hoành, trc y'Oy gi là trc tung và trc z'Oz gi là trc cao. Đim O gi là gc to ñ. Nhn xét : S hình thành và phát trin h trc ta ñ Đêcac vuông góc trong KG: Trên na ñưng thng, trên ñưng thng, trên mp và trên KG. Phát trin theo s chiu ca KG (theo s lưng ca ñưng thng), có th m rng ñn n chiu. Ngoài ra có th phát trin theo hưng không cn phi vuông góc như h ta ñ afin. Phát trin theo các môn hc: S hc, Đi s và HH, ích li ca vic phát trin này: Th hin mi quan h gia S hc, Đi s và HH: Đi s hoá HH, to ra công c khá ñc lc ñ gii các BT Hình hc như: PP ta ñ, PP vectơ, d. Tính hai mt (phân ñôi cái thng nht: Mâu thun và thng nht) "Bt c s vt nào cũng là mt th thng nht ca các mt ñi lp và luôn luôn có s mâu thun gia các mt ñi lp. S mâu thun y chính là ngun gc và ñng lc bên trong ca s phát trin ñi vi các s vt và hin tưng" . Mt ñi lp là s khái quát nhng mt, nhng thuc tính, nhng khuynh hưng, trái ngưc nhau trong mt chnh th làm nên s vt và hin tưng. Thng nht và ñi lp là hai mt liên h vi nhau, ràng buc nhau và quy ñnh ln nhau, mt này ly mt kia làm tin ñ tn ti cho mình. Mâu thun gia các mt ñi lp nghĩa là các mt ñi lp ph ñnh nhau. Như vy, khi xem xét s vt, ch th cn nhn thc rng bao gi cũng vy, bt c s vt hoc hin tưng nào cũng là mt th thng nht bao gm nhng mt, nhng thuc tính, nhng khuynh hưng trái ngưc nhau, mâu thun vi nhau, làm cho s vt phát trin . Tuân th nguyên tc này, tc ch th nm ñưc ht nhân ca phép BC [141, tr. 60] . VD : Tp hp Z các s nguyên là mt th thng nht ca các mt ñi lp: S nguyên âm và s nguyên dương , phép cng và phép tr, phép nhân và phép chia . * Tích ca hai s nguyên : 4.7 = 28; 3.( −2) = − 6; ( −5).9 = − 45; ( −7).( −2) = 14.
25. 15 Phép nhân các s nguyên luôn luôn thc hin ñưc trong Z. * Thương ca hai s nguyên: − 8/2 = − 4; 7/ −3 = ? Phép chia các s nguyên không luôn luôn thc hin ñưc trong Z. S mâu thun này chính là ngun gc và ñng lc bên trong ca s phát trin ñ tp hp Q các s hu t ra ñi . Như vy ñ nhn thc ñúng bn cht s vt, tìm ra phương hưng và gii pháp ñúng ñ gii quyt vn ñ cn phi ñi sâu nghiên cu phát hin ra nhng mâu thun ca s vt. Mun phát hin ra mâu thun, phi tìm ra trong th thng nht nhng mt, nhng khuynh hưng trái ngưc nhau, tc là tìm ra nhng mt ñi lp và tìm ra nhng mi liên h, tác ñng qua li ln nhau gia các mt ñi lp ñó. VD : Khi dy ñnh lí côsin HH10, GV ch ñưa ra ñnh lí và hưng dn HS chng minh. Cách dy này ñã làm cho HS tip nhn kin thc mt cách th ñng và thiu sáng to, phn nào ñã làm cho HS b hn ch trong s phát trin TD nói chung và TDBC nói riêng. Ngưi GV nên khéo léo, bng kh năng SP ca mình gi lên mt tình hung có vn ñ, gi ñng cơ cho HS (bng vic nhc các kin thc có liên quan), sau ñó cho HS t tìm tòi phát hin ra ñnh lí Pitago là mt trưng hp ñc bit ca ñnh lí côsin khi tam giác mà ta ñang xét là tam giác vuông . C th : GV ñưa ra yêu cu HS chng minh ñnh lí Pitago, bng kin thc vectơ ñã hc. Sau ñó GV có th hi HS rng: Gi thit tam giác ABC vuông ti A ñã ñưc s dng ñâu trong phép chng minh? Khi ñó, HS s phát hin ra rng, trong phép chng minh: 2 2 2 2 B a = BC = BC = ( AC − AB ) a = AC 2 + AB 2 − 2 AC . AB (*) c = AC 2 + AB 2 = b 2 + c 2. b A Hình 1.4 C Thì gi thit tam giác ABC vuông ti A ñưc s dng bưc (*): AC . AB = 0.
26. 16 T ñó, HS s rút ra rng nu góc A không phi là góc vuông thì AC . AB ≠ 0 và AC . AB = AB. AC × cos( AC , AB ). Đn ñây, GV cn hưng dn ñ HS t nêu bt ñnh lí, ging như các em ñã tìm ra ñnh lí vy. Do ñó, ta có th thy tính cht hai mt ca vn ñ trong vic dy hc ñnh lí này. Nu xét tam giác vuông (là cái riêng) và tam giác (là cái chung), là mâu thun vi nhau mà không chú ý ñn tính thng nht ca TDBC rng tam giác vuông là mt trưng hp ñc bit ca tam giác, thì ta s không nghĩ ra rng tam giác không có tính cht ñó. Ngưc li, phi nghĩ rng tam giác t phi có tính cht tng quát hơn, mà nó nhn ñnh lí Pitago làm mt trưng hp ñc bit. Điu này, giúp HS phát hin ra vn ñ và hc tp mt cách ch ñng, sáng to và tích cc, t giác hơn ñ phát hin ra cái mi. Đng thi nó cũng góp phn làm phát trin TDBC cho HS khi hc Toán. e. Tính thay ñi Mt trong 3 quy lut cơ bn ca phép BC là: Quy lut chuyn hóa t nhng s thay ñi v lưng ñn ñn s thay ñi v cht (thng nht, ñu tranh ca các mt ñi lp; ph ñnh ca ph ñnh). Quy lut này rt ph bin trong Toán hc, ta có th nhìn thy mt cách rõ nét nht các BT kho sát hàm s, các phương trình cha tham s hoc các BT qu tích trong HH 1 VD 1 : Cho hàm s f() x = x 3 − x 2 − 3x . 3 Hãy xét s bin thiên ca hàm s trên. Gii : Ta có TXĐ: D = R và f '(x) = x 2 − 2x − 3 = (x +1)(x − 3) x = −1 Khi ñó f '(x) = 0 ⇔  x = 3 x 0 ⇔  và f '(x) 3 Vy hàm s ñng bin trong ( − ∞;−1] ∪ [3;+ ∞) và nghch bin trong khong [ −1;3].
27. 17 Nhn xét : T VD trên, ta thy s thay ñi ca ñi s x ñn mt gii hn thì s dn ñn s thay ñi tính cht ca hàm s. Đó là nhng biu hin ñơn gin ca s thay ñi v lưng dn ñn s thay ñi v cht . Nhưng ñng thi ta cũng thy ñưc mi liên h ph thuc gia các ñi tưng Toán hc : Đi s và hàm s. VD 2 : Cho phương trình: mx 2 + (2m +1)x + m = 0 (1) Bin lun theo m s nghim ca phương trình trên. Gii : TXĐ: D = R. * Trưng hp 1 : Nu m = 0 thì phương trình (1) tr thành: x = 0. Vy nu m = 0 thì (1) có duy nht mt nghim là x = 0. * Trưng hp 2 : Nu m ≠ 0 , thì (1) là phương trình bc hai, ta có: 2 2 = (2m +1) − 4m = 4m +1 1 Nu 0 ⇔ 4m +1 > 0 ⇔ m > − thì (1) có 2 nghim phân bit. 4 Nhn xét : T VD 2, ta thy s thay ñi v lưng ca tham s m qua mt mc 1 ñc bit là − dn ti s thay ñi v cht , trong trưng hp này là dn ti s thay ñi 4 v s nghim , c th như sau: 1 Khi m thay ñi giá tr, nhưng nu các giá tr ñó vn nh hơn − thì phương 4 1 trình mx2 +(2 m + 1) xm += 0 vn vô nghim, nhưng nu m = − thì phương trình có 4 1 nghim kép x = 1, còn nu x nhn nhng giá tr (dù khác nhau) ca m > − thì 4 phương trình có 2 nghim phân bit. Như vy, nu nhìn nhn vn ñ mt các BC thì s thay ñi ca tham s m là nhng biu hin s thay ñi v lưng, còn s thay ñi s
28. 18 nghim là s thay ñi v cht. Bên cnh ñó, mi liên h ph thuc tương h ln nhau gia các ñi lưng cũng ñưc th hin rõ nét. VD3 : Trong mp ta ñ, xét phương trình: y = ax 2 + bx + c. TXĐ: D = R. Ta thy, khi a thay ñi (tc lưng thay ñi) qua mt bưc nhy (t a = 0 sang 2 a ≠ 0 ) thì tính cht ca y = ax + bx + c = 0 cũng thay ñi , tc là t ñưng thng sang Parabol (thay ñi v cht ). 1.1.5. Các loi hình tư duy Toán hc Bên cnh các tác gi nưc ngoài, mt s loi hình ca TD Toán hc ñã ñưc các tác gi Vit Nam nghiên cu. Nguyn Cnh Toàn ñã ñ cp 7 loi TD: TD lôgic hình thc, TDBC , TD qun lí, TD k thut, TD kinh t, TD thut toán, TD hình tưng [147, tr.146 149] . Nguyn Bá Kim cũng trình bày v: TD thut toán, TD hàm [75, tr. 16 tr. 48], Nguyn Văn Lc trong [88], trình bày 5 cách xem xét v phương din TD: xem xét v phương din lch s hình thành và phát trin TD ( TD trc quan – hành ñng, TD trc quan hình nh, TD tru tưng hay TD ngôn ng lôgic); xem xét v phương din lôgic hình thc và lôgic bin chng (TD hình thc, TDBC ); xem xét v phương din tính cht, kt qu ca quá trình TD ( TD tích cc, TD ñc lp, TD sáng to); xem xét v phương din du hiu cu trúc khác nhau ca hin thc (TD hình tưng, TD thc hành, TD KH, TD lôgic, TD khái quát); xem xét v phương din các du hiu ñc thù ca ñi tưng TD (TD hàm, TD thut gii, TD ng nghĩa, TD cú pháp ). Trong sơ ñ cu trúc ca lun án chúng tôi s dng cách xem xét TD v phương din lôgic hình thc và lôgic bin chng [88, tr. 5 tr. 6] . a. Tư duy lôgic TD lôgic là dng TD ñưc ñc trưng bi năng lc rút ra kt lun t các tin ñ ñã cho, năng lc phân hoch ra các trưng hp riêng ñ kho sát ñy ñ mt s kin Toán hc, năng lc phán ñoán các kt qu ca lí thuyt, khái quát hóa các kt lun nhn ñưc. Hoc TD lôgic ñưc hiu là: “TD thay th các hành ñng vi các s vt có thc bng s vn dng các khái nim theo quy tc ca Lôgic hc”. VD 1 : Bin lun s nghim ca h bng PP ñ th.
29. 19 Khi HS có kin thc v “Phương trình ñưng tròn trong mt phng”, GV có th cho HS gii BT sau: y 2 x 2 + (y + 1) ≤ a )1( Tìm a > 0 ñ h:  ()x + 1 2 + y 2 ≤ a )2(  -1 . có nghim duy nht. O x I2 BT này tr nên rt ñơn gin nu HS I . -1 bit biu din min nghim ca (1) là hình tròn 1 tâm I 1(0 ; 1), bán kính a , min nghim ca (2) là hình tròn tâm I 2(1 ; 0), bán kính a . Hình 1.5 H có nghim duy nht khi và ch khi hai ñưng tròn tip xúc vi nhau, nghĩa là: I 1I2 = 2 a ⇔ 2 = 2 a 1 ⇔ a = (xem Hình 1.5 ). 2 VD 2 : Cho ñưng tròn có chu vi bng 26 Π ngoi tip tam giác cân ABC. Tính din tích ca tam giác cân bit cnh ñáy bng 10. C Khi gii BT này, HS thưng gp phi sai lm: Ta có, chu vi ca ñưng tròn là: . C = 2 Π R = 26 Π ⇒ R = 13. Đt cnh ñáy tam giác cân là AB. A B AB 10 5 Hình 1.6 Theo ñnh lí hàm s sin, ta có: sin C = = = 2R 2.13 13 12 ⇒ cos C = (Vì sin 2 C + cos2C = 1) 13 Theo ñnh lí hàm s cos, ta có: AB 2 = 2AC 2 2 AC 2.cos C ⇒ AC 2 = 650. 1 Do ñó, din tích tam giác ABC là: S = AC 2 sin C = 125. ABC 2 Nguyên nhân sai lm: Li gii trên xét thiu trưng hp góc C tù.
30. 20 Li gii ñúng: Ta có, Chu vi ca ñưng tròn là: C = 2 Π R = 26 Π ⇒ R = 13 Đt cnh ñáy tam giác cân là AB. AB 10 5 Theo ñnh lí hàm s sin, ta có: sin C = = = 2R 2.13 13 C1 12 * Trưng hp 1 : Góc C nhn ⇒ cos C 1 = 13 . Theo ñnh lí hàm s côsin, ta có: 2 2 2 . 2 AB = 2 A C 2 − 2 AC 2 cos C 2 ⇒ AC 1= 650. A B 1 2 C Do ñó, din tích tam giác ABC là: SABC = AC1 sin C1 = 125. 2 2 Hình 1.7 12 * Trưng hp 2 : Góc C tù ⇒ cos C 2 = − 13 Theo ñnh lí hàm s côsin, ta có: 2 2 2 2 AB = 2 AC 2 − 2 AC 2.cos C 2 ⇒ AC 2 = 26. 1 Vy din tích tam giác ABC là: S = AC 2 sin C = 5. ABC 2 2 2 Nhn xét : Khi gii Toán, HS s dng TD lôgic ñ trình bày bài gii, nhưng phi nhìn BT mt cách toàn din (xét ht các trưng hp xy ra) VD 3 : Sau khi hc xong ñnh lí du v tam thc bc hai: “Cho tam thc bc hai f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0). Tính bit thc = b 2 4ac. Nu 0 ∀ x, b Nu = 0 thì af(x) > 0 ∀ x ≠ − , 2a Nu > 0 thì af(x) > 0 ∀ x∈(− ∞ ; x1) ∪ (x 2; + ∞ ), af(x) < 0 ∀ x∈(x 1; x2)”. Có th hi HS: Quan sát ñnh lí, hãy cho bit, trong trưng hp nào thì f(x) luôn gi nguyên mt du? (Ch có trưng hp < 0). Mun f(x) luôn nhn du dương vi mi x, cn có nhng ñiu kin gì?
31. 21 a > 0 (Điu kin cn tìm là:  ).  < 0 Nhng câu hi dn dt trên có dng ý giúp HS ñi ñn mt kin thc rt quan trng ca Đi s 10, ñó là tam thc không ñi du. Tuy nhiên, cn tính ñn mt tình hung: HS gp khó khăn câu hi th hai, khi ñó có th dn dt thêm: Nu f(x) luôn nhn du dương vi mi x thì du ca f(x) có thay ñi hay không? Vy thì phi như th nào? * S khác nhau ca TDBC và TD lôgic TD lôgic tuân theo các quy lut ca lôgic hình thc, còn TDBC tuân theo các quy lut ca Lôgic BC . TD lôgic phn ánh ch mt mt nào ñó ca ñi tưng, mt n ñnh v cht lưng, mt ñng nht ca các ñi tưng theo nhng quan h nht ñnh. TDBC phn ánh nhng hin tưng hin thc mt cách toàn din, trong vn ñng và bin thiên. TD lôgic nghiên cu nhng hình thc ca TD tuy có xét ñn mt ND, nhưng trong phm vi có hn ca chúng. TDBC nghiên cu quá trình phát trin ca các khái nim, phán ñoán, suy lun, không tách ri toàn b ND ca chúng. Nhim v ca TD lôgic là nghiên cu nhng hình thc và quy tc kt hp ñúng ñn nhng khái nim và phán ñoán ñ suy lí mt cách lôgic, ñ chng minh có hiu qu mt vn ñ. Nhim v ca TDBC là bng nhng hình thc khác nhau ñ din t mt cách sâu sc nht và ñúng ñn nht ND ca s vt và quá trình hin thc ñang phát trin và bin hoá. * Mi liên h gia TDBC và TD lôgic Gia TDBC và TD lôgic có mi quan h vi nhau là cùng phn ánh hin thc khách quan. Bi vì mi mt ngành KH ñu có nhim v riêng nghiên cu nhng mt khác nhau ca th gii vt cht. Như vy, s khác nhau gia các KH ch là s khác nhau v ñi tưng. Ta ñã bit bn quy lut cơ bn ca TD lôgic. Bn quy lut này yêu cu: Trong quá trình TD phi nghiêm ngt gia tính ñng nht ca tin ñ, t ñó rút ra kt lun.
32. 22 Nu trong quá trình lp lun mà ñánh tráo, thay ñi khái nim ca tin ñ cơ s thì không th nào ñi ñn kt lun chính xác ñưc. Các quy lut này có tính cht bt buc trong mt dng kt cu TD chính xác trong ñiu kin phn ánh cái n ñnh tương ñi mà tt c mi ngưi, mi ngành KH ñu phi tuân theo. Nhưng trong quá trình phát trin lâu dài, mt ngành KH, chng hn ngành Toán, li th hin nhng quy lut chung ca TDBC, tip tc khám phá ñi tưng khách quan to ra nhng khái nim, phán ñoán mi trong trng thái n ñnh mi. Chính vì vy, phn ánh hin thc sâu sc hơn, toàn din hơn và phm vi ng dng rng rãi hơn, hiu qu hơn. Do vy, ñ ñi ñn cái mi trong Toán hc, phi kt hp ñưc TD lôgic và TDBC. Trong vic phát hin vn ñ và ñnh hưng cho cách gii quyt vn ñ thì TDBC ñóng vai trò ch ño. Khi hưng gii quyt vn ñ ñã có thì TD lôgic gi vai trò chính . Đ nhn thc mt ND ca hin thc cn có TDBC, ñ nhn thc mt hình thc ca hin thc cn có TD lôgic. ND là cơ s, là mt chính ca s vt quyt ñnh ñc ñim v cht lưng ca s vt. Hình thc là phương thc tn ti, là cơ cu ca ND làm cho nó có th tn ti. Các kin thc Toán hc ñưc hình thành ch yu thông qua con ñưng tru tưng hoá và ñưc phát trin theo các quy lut ca TDBC, nhưng vic sp xp trình bày chúng li mang tính hình thc trit ñ da trên các quy lut ca TD lôgic. Do ñó, TD Toán hc cũng phi là s thng nht BC gia TDBC và TD lôgic. b. Tư duy tích cc Là loi TD da vào tính tích cc nhn thc ca HS trong quá trình hc tp. Tích cc nhn thc là trng thái HĐ ca HS ñc trưng bi khát vng hc tp, huy ñng trí tu và ngh lc cao trong quá trình nm vng kin thc [53] . Theo Shukina G. L., tính tích cc có th phân thành 3 loi: tích cc tái hin, bt chưc; tích cc tìm tòi và tích cc sáng to. c. Tư duy ñc lp Là loi TD da vào tính ñc lp nhn thc ca HS trong quá trình hc tp. Theo Aristôva và Êxipov: " Tính ñc lp là năng lc ca cá nhân HS tham gia HĐ mà không có s can thip t bên ngoài ".
33. 23 Theo nghĩa rng, bn cht ca tính ñc lp nhn thc là s chun b v mt tâm lí cho s t hc Theo nghĩa hp, tính ñc lp nhn thc là năng lc, nhu cu hc tp và tính t chc hc tp, cho phép HS t hc [53] . TD ñc lp có th hiu là t mình suy nghĩ “ là loi TD da vào tính ñc lp nhn thc ca HS trong quá trình hc tp ”[88, tr. 8] . VD : Khi DH v “Đnh lí côsin trong tam giác”: Trong tam giác ABC, vi BC = a, CA = b, AB = c, ta có: A a2 = b 2 + c 2 − 2bc cosA b2 = a 2 + c 2 − 2ac cosB c b c2 = a 2 + b 2 − 2ab cosC [126, tr. 53] . Đu tiên ta chng minh: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosA B a C Hình 1.8 Nu ñưc GV gi ý rng: Xem a 2 là BC 2 thì HS có th phân tích: BC 2 = ( AC − AB )2. T ñó, HS t mình chng minh ñnh lí. Tuy nhiên, ñây ch là mt hưng chng minh ca SGK cũ, hin nay theo chương trình hin hành thì GV ñt vn ñ: Nu ABC là tam giác vuông ti A thì theo ñnh lí Pitago ta có: BC 2 = AC 2 + AB 2 hoc vit dưi dng vectơ BC 2= AC 2+ AB 2 (*). Có th chng minh ngn gn ñng thc (*) như sau: BC 2 = ( AC − AB )2 = AC 2 + AB 2 − 2 AC . AB = AC 2 + AB 2. T ñó có th ñt câu hi cho HS thy rng trong chng minh ñó, gi thit góc A vuông ñưc s dng như th nào? (vì góc A vuông nên AC . AB = 0). Bây gi, khi ABC là tam giác tùy ý thì HS có th HĐ ñ t mình tìm ra công thc côsin. Ta có: BC 2 = ( AC − AB )2 = AC 2 + AB 2 − 2 AC . AB = AC 2 + AB 2 − 2 AC.AB.cos ( AC , AB ) hay a 2 = b2 + c 2 − 2bc cosA.
34. 24 Hai PP dy nêu trên khác nhau ch: PP th nht buc HS phi tip nhn mt công thc mà h không bit t ñâu ra và buc h phi tìm cách chng minh. PP th hai làm cho HS t mình tìm ra công thc ñó. d. Tư duy sáng to Là TD to ra ñưc cái mi. Tuy nhiên, HS trong quá trình sáng to, to ra cái mi không phi ch yu ñi vi xã hi mà là ñi vi ch quan mình, nhưng cái mi y ñng thi cũng có ý nghĩa xã hi, bi vì khi ñó cá nhân ñưc hình thành và biu l [142 ]. Theo Solo R. L. thì: “ Sáng to là HĐ nhn thc mà nó ñem li mt cách nhìn nhn hay gii quyt mi m ñi vi mt vn ñ hay tình hung ”. Còn Nguyn Cnh Toàn cho rng: “ Sáng to là s vn ñng ca TD t nhng hiu bit ñã có ñn nhng hiu bit mi, vn ñng ñi lin vi BC ”. Nhà tâm lí hc ngưi Đc Mehlhorn cho rng: “ TD sáng to là ht nhân ca s sáng to cá nhân, ñng thi là mc tiêu cơ bn ca GD ”. Theo ông, TD sáng to bi mc ñ cao ca cht lưng hot ñng trí tu như tính mm do, tính nhy cm, tính k hoch, tính chính xác, Trong khi ñó, J. Danton li cho rng: “ TD sáng to ñó là nhng năng lc tìm thy nhng ý nghĩ mi, tìm thy nhng mi quan h; là mt chc năng ca kin thc, trí tưng tưng và s ñánh giá; là mt quá trình, mt cách dy và hc bao gm mt chui phiêu lưu; cha ñng nhng ñiu như: s khám phá, s phát sinh, s ñi mi, trí tưng tưng, s thí nghim, s thám him ”. Như vy “ TD sáng to là mt dng TD ñc lp, to ra ý tưng mi, ñc ñáo và có hiu qu cao trong gii quyt vn ñ ”[142] . VD : Nhìn thy mi cách gii quyt có th có, tin hành gii theo tng cách và la chn cách gii quyt ti ưu. Phát hin ra ñưc nhiu cách gii là sáng to: bit nhn A xét các cách gii và chn cách gii ti ưu. J Cho tam giác ABC. K G Gi G là trng tâm ca tam giác ABC. Chng minh rng: B I C GA + GB + GC = 0 (1) [126, tr. 13] . Hình 1.9 D
35. 25 Gii : Cách 1: V hình bình hành BGCD. Ta có: GB + GC = GD (*) Mt khác, do G là trng tâm ca tam giác ABC nên: GD = 2 GI = AG = −GA . Thay vào (*) ta ñưc: GB + GC = −GA Hay GA + GB + GC = 0 (ñpcm ). Cách 2: Chng minh: GA + GB + GC = 0 ⇔ GI + IA + GJ + JB + GK + KC = 0 ⇔ (GI + GJ + GK ) + ( IA+ JB + KC ) = 0 Ta có: vì G cũng là trng tâm ca tam giác IJK nên GI + GJ + GK = 0 (chng minh tương t như cách 1). 1 Mt khác: IA = IB + BA = CB + BA 2 1 JB = JC + CB = AC + CB 2 1 KC = KA + AC = BA + AC . 2 Suy ra: IA+ JB + KC = 3 ( AC + CB + BA ) = 3 ( AB + BA ) = 0 . 2 2 Do ñó: GA + GB + GC = 0 + 0 = 0 (ñpcm ). Cách 3: Xét tam giác GDC ta có: GD = AG = −GA DC = BG = −GB CG = − GC Suy ra: GA + GB + GC = − ( GD + DC + CG ) = 0 (ñpcm ).
36. 26 Cách 4 (Dùng phép chiu vectơ): Xét phép chiu song song theo phương (AG) xung BC, khi ñó: A, G a I B a B C a C Ta có: V ’ = II + IB + IC = 0 V ’ là hình chiu ca vectơ V = GA + GB + GC qua phép chiu song song phương (AG) xung BC, theo tính cht ca phép chiu vectơ, suy ra: V // (AG). Chng minh tương t ta cũng có: V // (BG). Mà A, B, G không thng hàng nên V = 0 hay GA + GB + GC = 0 (ñpcm). Cách 5 (Dùng PPTĐ): Cho A(a 1 ; a 2), B(b 1 ; b 2), C(c 1 ; c 2)  a + b + c a + b + c  Khi ñó d dàng tính ñưc: G 1 1 1 ; 2 2 2   3 3   2a − b − c 2a − b − c  Ta có: GA =  1 1 1 ; 2 2 2   3 3   2b − a − c 2b − a − c  GB =  1 1 1 ; 2 2 2   3 3   2c − a − b 2c − a − b  GC =  1 1 1 ; 2 2 2   3 3   2a − b − c + 2b − a − c + 2c − a − b 0  suy ra: GA + GB + GC =  1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;  = ()0;0  3 3  Do ñó: GA + GB + GC = 0 (ñpcm ). e. Tư duy thut gii Trong quá trình DH môn HH trưng PT, nu coi trng ñúng mc vic xây dng và s dng qui trình DH gii toán thì cũng ñã góp phn rèn luyn và phát trin TDBC cho HS
37. 27 + Qui trình ñưc hiu là: “Trình t phi tuân theo ñ tin hành mt công vic nào ñó” [165, tr. 861] . + Qui trình gii BT : Đ gii mt BT, chúng ta phi lp ñưc mt lưc ñ xác ñnh và mch lc nhng thao tác. Bt ñu t gi thit và kt thúc bng kt lun, dn dt t các s kin ñn n. C th : Qui trình gii BT HH không gian bng phép chiu song song: Xét ñc trưng ca BT ñ xem có th dùng phép chiu song song gii BT ñó ñưc không? La chn phép chiu song song (phương chiu và mt phng chiu ) thích hp sao cho trên mt phng chiu th hin ñưc các yu t ñã cho và các yu t cn tìm. Xác ñnh các hình chiu cn thit trên mt phng chiu, phát biu BT phng tương ng. Gii BT phng, ñng thi chuyn kt qu v kt lun BT ban ñu. * T chc DH theo qui trình : Căn c vào ñc ñim ni ti ca lôgic tri thc v phép chiu song song ñng thi căn c vào mc ñ t lc ca HS trong quá trình lĩnh hi kin thc, hình thành k năng ta có th k hoch hoá vic DH theo qui trình nêu trên qua qua vic xác lp mt s mc ñ v hình thc t chc DH Trong mi quan h thy trò như sau: GV nêu qui trình khái quát, minh ho trên bài tp mu, HS tip nhn qua tri giác mu, hiu ghi nh mu và qui trình. mc ñ này, HS nhn thc qui trình khái quát thông qua bài mu ca mt dng bài tp xác ñnh nên s nhn thc còn mang tính phin din chưa ñy ñ. GV nêu cho HS bài tp luyn tp theo mu ca dng bài tp ñã trình bày trên, hưng dn HS thc hin tng phn ca BT, sau ñó gii trn vn. GV nêu cho HS bài tp luyn theo mu qui trình khái quát ca mt dng bài tp khác vi dng bài tp ñã xét. Nu HS chưa gii ñưc ngay thì GV có th nêu cho HS mt s ch dn v kin thc cn s dng, v th thut ñ gii, kt thúc vic gii GV yêu cu HS nêu mt s ñc ñim quy trình gii các bài tp ñó. Như vy, ta có mt s nhn xét v TD thut toán (thut gii) [75, tr. 49 tr. 71] :
38. 28 TD thut toán là mt loi hình TD Toán hc (TD Toán hc là hình thc biu l ca TDBC trong quá trình con ngưi nhn thc KH Toán hc hay thông qua hình thc áp dng Toán hc vào các KH khác. TD Toán hc là TDBC). Trong DH Toán hc, thut toán DH là mt h thng nhng quy ñnh nghiêm ngt ñưc th hin theo mt quá trình cht ch và dn ñn cách gii quyt ñúng ñn. Phương thc TD này ñưc biu th bng các HĐ có tính ñc thù sau (ta gi là các thành t TD thut toán): Thc hin nhng thao tác theo mt trình t xác ñnh phù hp vi mt thut toán. Phân tích mt quá trình thành nhng thao tác ñưc thc hin theo mt trình t xác ñnh. Khái quát hóa mt quá trình din ra trong mt s ñi tưng riêng r thành quá trình din ra trên mt lp ñi tưng. Mô t xác ñnh quá trình tin hành mt hot ñng. So sánh nhng thut toán cùng mc ñích và phát hin phương án ti ưu. Vic hình thành và phát trin TD thut toán ñưc hiu là hình thành và phát trin các thành t ca nó. TD thut toán là mt hình thc hot ñng ca trí tu, ñ phát huy tính tích cc, ch ñng ca HS khi hc Toán, chúng ta phi ñnh hình ñưc mc ñích ca TD, trên cơ s ñó mi phát huy ñưc TD sáng to. Trên cơ s “ lp lun có lí ”, t nhng thut toán cho mt lp BT này mi “ áp dng sáng to ” cho mt lp BT khác. Trong s sáng to ca HS không th theo con ñưng nào khác là da vào nhng “ quy trình gii toán ” ñã ñưc áp dng, quen thuc ñi vi HS. T nhng áp dng riêng r ñưc vn dng cho nhiu ñi tưng trong mt nhóm. Dy sáng to cho HS tc là phát huy tính tích cc, t giác trong lĩnh hi tri thc, theo ñúng con ñưng nhn thc chân lí. VD 1 : Xét BT v gii phương trình bc hai; Xét v trí tương ñi ca hai ñưng thng trong mt phng Oxy; VD 2: Vi loi BT toán tìm tp hp ñim, ta phi ch ra ñúng tp hp y, không thiu, không tha ñim nào c (gii hn quĩ tích ). Mun vy, ni dung ca BT qu tích gm hai phn bt buc:
39. 29 Phn thun : Vi tính cht ñã cho cn ch ra ñim ñó nm trên hình nào (hay ta cũng gi là tìm qu ño di chuyn ca ñim). Phn ño : Ch ra rng vi ñim bt kì ca hình y s có tính cht ban ñu. PT ñ lí lun ñưc cht ch, ta ñưa thêm phn gii hn qu tích. Thc cht BT qu tích cũng là BT chng minh. Do ñó, mi phn ca BT ta s trình bày như ni dung chng minh. Chng hn : Cho ñon thng AB có ñ dài 2a và s k 2. Tìm tp hp các ñim M sao cho: MA.MB = k 2 [126, tr. 48]. * Các bưc gii BT này như sau: M Bưc 1: Nhn xét trong hình v thì A, B c ñnh; . AB là mt ñon thng có ñ dài không ñi 2a và s k2. . . A O B Gi O là trung ñim ca AB nên ñim O c ñnh. 2 Tìm mi liên h gia M và O, 2a, k . Hình 1.10 Bưc 2: Da vào quy tc 3 ñim, ta có: MA . MB = ( MO + OA ).( MO + OB ) = ( MO + OA ).( MO − OA) = MO 2 − OA 2 = MO 2 − a2. Bưc 3: Nhn xét MA . MB = k 2 ⇔ MO 2 − a2 = k 2 ⇔ MO 2 = a 2 + k 2 (không ñi) Bưc 4: Vp hp các ñim M là ñưng tròn tâm O, bán kính R = k 2 + a 2 . Theo s phân tích này, ta trình bày hai phn ca bài gii ch là s sp xp li mà thôi. VD 3: Cho tam giác ABC. Bit a = 17,4; Bˆ = 44 030 ’; Cˆ = 64 0. Tính góc A và các cnh b, c ca tam giác ñó [126, tr. 61] . Đng trưc BT này, HS phi bit liên h ñn ngay hai ñnh lí ht sc cơ bn trong bài h thc lưng trong tam giác, ñó là: Đnh lí côsin và ñnh lí sin trong tam giác. T ñó s dng mt cách hp lí. C th bài này ta s dng ñnh lí sin; th hin thut gii có ni dung phân tích sau: + Bưc 1. V hình minh ha.
40. 30 A + Bưc 2. Công thc tính b, c theo ñnh lí sin là: c a.sin B a.sin C b b = ;c = 44 030’ 64 0 sin A sin A B a = 17,4 C Trong hai công thc trên ta cn tính góc A. Hình 1.11 + Bưc 3. Chú ý trong tam giác ABC có tính cht: Tng 3 góc trong mt tam giác bng 180 0 nên ta có th tính góc A như sau: Aˆ = 1800 − (Bˆ + Cˆ ) + Bưc 4. Thay vào các công thc bưc 2 ñ ñưa ra kt qu. Mt ñiu cn lưu ý khi gii BT này là phi tìm phương án ti ưu. Ta cũng hoàn toàn gii BT này theo công thc ca ñnh lí côsin, song rt dài. HS da vào phân tích trên ñ trình bày bài gii. TD thut toán còn th hin rt nhiu phn khác ca Toán hc như: Lưng giác, Đi s, Gii tích, các loi toán v qu tích, dng hình, f. Tư duy hàm Theo [112, tr. 150]: “Tư duy hàm giáp sát lin vi tư duy bin chng ”. TD hàm ñưc th hin: TD hàm liên h cht ch vi khái nim hàm s. TD hàm là phương thc TD ñc trưng bi s nhn thc quá trình phát trin các quan h chung và riêng gia các ñi tưng Toán hc hay gia các tính cht ca chúng (và bi kĩ năng s dng các quan h y) [88, tr. 33 – 34]. Có th nói ñi tưng ca TD hàm là các dng ca tương quan hàm và các tính cht ca chúng. Theo Trn Thúc Trình: “ TD hàm là hot ñng trí tu liên quan ñn nhng tương ng gia các phn t ca 1, 2 hay nhiu tp hp phn ánh mi liên h ph thuc ln nhau gia các phn t ca các tp hp ñó, trong s vn ñng ca chúng ”. Nói cách khác, TD hàm là nhng hot ñng trí tu liên quan ñn s din ñt s vt, hin tưng cùng nhng quy lut ca chúng ch không phi trng thái tĩnh ti, trong s ph thuc ln nhau ch không phi cô lp, tách ri nhau [88, tr. 162]. VD 1 : Nhng ni dung HH có cha ñng nhng ánh x HH, nht là khi dy ch ñ bin hình trình bày v ñi xng tâm, ñi xng trc, các hình có tính ñi xng, cn khai thác tt các tim năng ñ bi dưng TD hàm.
41. 31 VD 2 : Các câu sau ñúng hay sai? a. Nu 3 ñim thng hàng thì 3 ñim ñi xng vi chúng qua mt trc cũng thng hàng. b. Hai tam giác ñi xng vi nhau qua mt trc thì có chu vi bng nhau. c. Mt ñưng tròn có vô s trc ñi xng. d. Mt ñưng thng thì ch có 1 trc ñi xng. VD 3 : Trong nhng s tương ng sau ñây ñưc thit lp ñi vi cùng mt ñưng tròn, nhng s tương ng nào là ñơn tr? a. Cung tròn − góc ni tip chn cung ñó. b. Cung tròn − s ño góc ni tip chn cung ñó. c. Góc tâm − góc ni tip cùng chn mt cung. d. Góc tâm − s ño góc ni tip cùng chn mt cung [88, tr. 163] .  x + y = 1 VD 4 : Cho h sau: .  2 2 x + y 0: x + y = 1 (1) x > 0 nu  x + y = 1 y > 0      x > 0 x − y = 1 nu   y 0    x < 0 − x − y = 1 nu  y < 0 2 2 x + y < m (2) là hình tròn tâm O (0; 0), bán kính R = m (không k ñưng biên ). Biu din trên trc ta ñ Oxy: Nghim ca (1) là ta ñ nhng ñim nm trên 4 cnh ca hình vuông ABCD.
42. 32 Đ h vô nghim thì hình tròn phi nm trong hình vuông, tc là: d(O;BC) ≥ R , BC: x + y − 1 = 0 y 0 + 0 −1 ⇔ ≥ m 1 B 2 1 1 1 ⇔ ≥ m ⇔ m ≤ ⇔ m ≤ 2 2 2 A C -1 O 1 x 1 Do ñó, vi 0 < m ≤ thì h vô nghim. 2 1 Vy m ≤ thì h ñã cho vô nghim. -1 D 2 Hình 1.12 1 1 VD 5 : Cho hai hàm s y = x 2 và y = − x 2 . 2 2 Tính các giá tr tương ng ca y ri ñin vào các ô trng tương ng hai bng sau: X −3 −2 −1 0 1 2 3 y = x2/2 X −3 −2 −1 0 1 2 3 y = − x2/2 Bng 1.1 : S ph thuc ca y vi x g. Mi liên h gia các loi tư duy TD Toán hc là s biu l ca TDBC nên vic kho sát các thành phn ca TD Toán hc phi ñưc xem xét trong quá trình hình thành và rèn luyn cho HS các tri thc Toán hc, trong quá trình HS thc hin các hành ñng vt cht, vt cht hóa HĐ trên các mô hình (TD c th); thc hin các HĐ TD lôgic, phát hin ra các mi liên h gia ñi tưng Toán hc mt cách trc giác (TD trc giác). Các HĐ v TD ñưc nâng dn v mc ñ tru tưng hóa: T các c th cm tính ñn cái c th trong TD (TD tru tưng); Các phương thc TD liên h cht ch vi bn cht Toán hc ca ñi tưng TD (TD thut toán ñưc Vương Dương Minh nghiên cu trong [75, tr. 49] ); HĐ TD còn ñưc xem xét trong quá trình vn ñng phát trin ca ñi tưng TD (TD hàm).
43. 33 Ngoài ra thì vic xem xét biu l ca TD Toán hc nhiu dng TD khác na: TD sáng to (ñưc Tôn Thân nghiên cu trong [75, tr. 72 99]), TD tích cc, TD ñc lp, [88, tr. 36] . Khi nói v quan h gia các khái nim “TD tích cc”, “TD ñc lp”, “TD sáng to” , Krutecxki V. A. cho rng có th biu din mi quan h ñó dưi dng nhng vòng tròn ñng tâm. Đó là nhng mc ñ TD khác nhau mà mi mc ñ tip sau là “chng ” ñi vi mc ñ trưc ñó là “ loi ”. TD tích cc TD ñc lp TD sáng to Sơ ñ 1.3 : Mi quan h gia TD sáng to, TD ñc lp, TD tích cc TD sáng to là TD tích cc và TD ñc lp, nhưng không phi mi TD tích cc ñu là TD ñc lp, và không phi mi TD ñc lp ñu là TD sáng to. Đ làm rõ mi quan h này, V. A. Krutecxki ñã gii thích bng mt VD [88, tr. 9] : + Mt HS chăm chú nghe thy ging cách chng minh ñnh lí, c gng hiu ñưc tài liu. ñây cn nói ñn TD tích cc. + Nu GV ñáng lí gii thích, li yêu cu HS t phân tích ñnh lí da theo bài ñc trong SGK, t tìm hiu cách chng minh thì trong trưng hp này cn nói ñn TD ñc lp (và tt nhiên cũng là TD tích cc). + Có th nói ñn TD sáng to khi HS t khám phá, t tìm cách chng minh mà HS ñó chưa bit. TD hàm là mt b phn ca TDBC , do ñó bi dưng TD hàm s có tác dng thúc ñy TD Toán hc phát trin (TD hàm ñưc Nguyn Bá Kim nghiên cu trong [75, tr. 16 48]) . TD Toán hc là s thng nht BC gia TDBC và TD lôgic, bi vì TDBC và TD có mi quan h vi nhau là cùng phn ánh hin thc khách quan. Đ nhn thc mt ni
44. 34 dung ca hin thc cn có TDBC và ñ nhn thc mt hình thc ca hin thc cn có TD lôgic. Như vy, qua phân tích trên ta có th khng ñnh TDBC là tng hoà c các loi TD. 1.1.6. S cn thit phi rèn luyn và phát trin tư duy bin chng cho hc sinh trong dy hc môn Toán a). Nhim v và mc tiêu ñào to : Ngày 28/12/2001, Th tưng Chính ph ñã ký Quyt ñnh s 201/2001/QĐ TTg phê duyt Chin lưc GD 2001 2010 như sau: "Nhim v và mc tiêu cơ bn ca GD là nhm xây dng nhng con ngưi và th h làm ch tri thc KH và công ngh hin ñi, có TD sáng to, có kĩ năng thc hành gii ". TD sáng to là mt dng TD ñc lp, to ra ý tưng mi ñc ñáo và có hiu qu gii quyt vn ñ cao. TD sáng to có ba yu t cơ bn: Tính mm do, tính nhun nhuyn và tính ñc ñáo. TDBC góp phn quan trng và ñc lc trong vic rèn luyn TD sáng to cho HS: Tht vy : TDBC ch rõ: "Khi xem xét s vt, phi xut phát t chính bn thân s vt" tc là phi xem xét s vt mt cách khách quan, phi hiu rõ bn cht ca s vt, không ñưc tuỳ tin, ch quan, hi ht d dn ñn sai lm. Đây là cơ s ñ nhn thc khách th mt cách ñúng ñn, ñ làm ch tri thc KH và thc hành gii. Điu này ñòi hi HS phi nm tht vng các thuc tính bn cht ca khái nim, gi thit và kt lun ca ñnh lí (phm vi có hiu lc ca ñnh lí), ñiu kin ñã cho trong BT, VD 1 : Khái nim phép cng hai vectơ [126, tr. 10] . r Đnh nghĩa : Cho hai vectơ a và b . r Ly mt ñim A nào ñó ri xác ñnh các ñim B và C sao cho AB = a , BC = r b . Khi ñó vectơ AC ñưc gi là tng ca hai vectơ a và b . r Kí hiu: AC = a + b . Phép ly tng ca hai vectơ ñưc gi là phép cng vectơ.
45. 35 r B r a r r a b b C r r A a + b Hình 1.13 : Biu din phép cng hai vectơ Khi dy khái nim này, GV cn làm cho HS bit: * Ngun gc ca khái nim [137, tr. 100] . Trong thc t, có nhng vt cùng mt lúc chu nhiu lc tác dng lên nó. Chng hn : Xét ba lc cùng ñt t ñim A ca mt vt rn có ñ ln bng nhau và ñôi mt to vi nhau cùng mt góc bng 120 0. Chúng ñưc biu din bi các vectơ AB , AC , AD thuc mt mt phng, ln lưt bng F1 , F2 , F3 (Hình 1. 14 ). Yêu cu HS gii thích khi ñó ti sao vt ñng yên? Hin tưng trên ging như khi neo mt con thuyn, chu nh hưng sc ñy ca dòng nưc F1 , sc gió thi F2 và sc căng ca dây neo F3 . Gii thích vì sao thuyn ñng yên, không chuyn ñng? ( Hình 1.14 ) Yêu cu HS phân tích, so sánh, gii thích. F F Chng hn, trên Hình 1. 14 , chic thuyn ñng yên vì hp ca hai lc 1 , 2 là mt lc cân bng vi F3 . Nghĩa là nu F1 + F2 = F4 , biu th bi vectơ AE thì F3 và F4 ngưc hưng và có ñ dài F = F . Khi ñó, các ñim D, A, E thng hàng. 3 4 Do góc BAD bng 120 0 và D, A, E thng hàng nên góc BAE bng 60 0. Mt khác, tam giác BAE cân vì AE = F3 = F1 = AB. T ñó tam giác BAE ñu. Lp lun tương t ta có tam giác EAC là tam giác ñu và t ñó suy ra ABEC là hình bình hành. Vy, F2 = AC = BE . Khi ñó ngưi ta nói rng: F1 + F2 = AB + BE = AE = F4 (1)
46. 36 Nhn xét: Nu thay ñim ñt A ca ba lc F1 , F2 , F3 ; gi nguyên hưng và ñ ln. Khi ñó ta hình dung: AB = F1 = A'B' (A’ là ñim khác A thuc vt rn xét trên). A''C F AC = 2 = ; A' D' = F3 = AD ; A'E' = AE là hp ca hai lc trên. E F 4 C B Hình 1.14 60 0 F2 F 0 1 120 A F3 D Hình 1.15 Bng lp lun tương t ta cũng có B'E' = BE và t ñó ta có: F1 + F2 = A'B' + B'E' = A'E' = AE = F4 (2) T các h thc (1) và (2), chúng ta có nhn xét: Tng ca hai lc F1 + F2 là mt lc F4 không ph thuc vào v trí ca ñim ñt, ch ph thuc vào ñ ln và hưng ca chúng. Tng quát tình hung trên, cho hai vectơ a , b bt kì trong mt phng, làm th nào ñ xác ñnh tng a + b . Yêu cu Hc sinh nhn xét dn ti: Đt t ñim A vectơ AB = a , tip ñó ñt t ñim B vectơ BC = b , khi ñó vectơ AC là tng ca hai vectơ a và b . Vit: AC = a + b . HS cn nhn xét a + b không ph thuc vào vic chn ñim A.
47. 37 Hoc, vic hình thành khái nim này ñưc mô t mt cách trc quan t vic tnh tin mt vt theo nhng vectơ khác nhau [126, tr. 10] . T ñó, phép cng hai vectơ ra ñi. * Bn cht ñi tưng Phép cng hai vectơ ñưc ñnh nghĩa không ph thuc vào vic chn ñim A ban ñu. Nu ta chn mt ñim A 1 ≠ A, thì ta cũng s ñưc: A1B 1 = a , B1C 1 = b và A1C 1 = a + b = AC . GV cn chú ý cho HS: Vic dn ra qui tc 3 ñim ñưc suy trc tip nh ñnh nghĩa. + TDBC ch rõ: “ Khi xem xét s vt, phi xem xét mt cách ñy ñ vi tt c tính phc tp ca nó ”, tc là phi xem xét s vt trong tt c các mt, các mi quan h (bên trong và bên ngoài, trc tip và gián tip) trong tng th nhng mi quan h phong phú, phc tp và muôn v ca nó vi các s vt khác. Đây là cơ s ñ HS hc toán mt cách sáng to, không gò bó, ñưa ra nhiu li gii khác nhau. VD 2 : Tính khong cách t ñim M(13; 14) ñn ñưng thng ( ): 4x − 3y + 15 = 0. * Cách 1 : áp dng trc tip công thc tính khong cách t mt ñim ñn mt 4.13 − 3.14 +15 ñưng thng: d()M; = = 5 42 + 32 * Cách 2 : Chuyn phương trình ( ) v dng tham s: Đưng thng có vectơ ch phương là: u = ( −3 ; −4) và ñi qua N(0 ; 5) x = −3t ⇒ () :  t ∈ R . Gi H ( −3t ; 5 −4t) ∈ (). y = 5 − 4t Tính MH = MH = ()()− 3t −13 2 + 5 − 4t −14 2 = 25t 2 +150t + 250 d()M ; = Min MH = Min 25t 2 +150t + 250 Dùng tính cht ca Parabol hoc xét: f( t) = 25t 2 +150t + 250 f'( t) = 50t +150 f'( t) = 0 ⇔ 50t +150 = 0 ⇔ t = −3.
48. 38 ∞ −3 + ∞ t f'( t) − 0 + +∞ −∞ f( t) 25 Bng 1.2: Bng bin thiên Do ñó d()M; = Min MH = 25 = 5 . * Cách 3 : Chuyn phương trình ( ) v dng tham s: Đưng thng ( ) có vectơ ch phương là: u = ( −3 ; −4) và ñi qua N(0 ; 5) x = −3t ⇒ () :  t ∈ R . Gi H (− 3t ;5 − 4t)∈ (). y = 5 − 4t Ta có: MH ⊥ u ⇒ MH.u = 0 ⇔ (− 3t −13;− 9 − 4t)(− 3;− 4) = 0 ⇔ 25t + 75 = 0 ⇔ t = −3 ⇒ H (9;17) ⇒ d()M ; = MH = ()− 4 2 + 32 = 25 = .5 * Cách 4 : Vit phương trình ñưng thng ( ’) ñi qua M (13;14) và vuông góc vi ( ). Suy ra vectơ ch phương ca ( ’) là: u' = (4;− 3). x = 13 + 4t Phương trình ( ’):  . y = 14 − 3t 4x − 3y +15 = 0 (1)  Ta ñ H là nghim ca h: x = 13 + 4t ()2  y = 14 − 3t ()3 Thay (2) và (3) vào (1), ta có: 4(13 + 4t)− 3(14 − 3t)+15 = 0 ⇔ 25t + 25 = 0 ⇔ t = −1 x = 9 Thay vào (2) và (3), ta ñưc:  ⇒ H ()9;17 . y = 17
49. 39 ⇒ d()M ; = MH = ()− 4 2 + 32 = 25 = .5 b). Bt c s vt nào cũng là mt th thng nht ca các mt ñi lp và luôn luôn có s mâu thun gia các mt ñi lp. S mâu thun y chính là ngun gc ñng lc bên trong ca s phát trin ñi vi các s vt và hin tưng . Mt ñi lp là s khái quát nhng mt, nhng thuc tính, nhng khuynh hưng trái ngưc nhau trong mt chnh th làm nên s vt và hin tưng. Thng nht là hai mt ñi lp liên h vi nhau, ràng buc nhau và quy ñnh ln nhau, mt này ly mt kia làm tin ñ tn ti cho mình. Mâu thun gia các mt ñi lp nghĩa là các mt ñi lp ph ñnh nhau. Như vy, khi xem xét s vt, ch th cn nhn thc rng bao gi cũng vy bt c s vt hoc hin tưng nào cũng là mt th thng nht bao gm nhng mt, nhng thuc tính, nhng khuynh hưng trái ngưc nhau, mâu thun vi nhau, làm cho s vt phát trin. Chng hn : S phát trin ca h thng s. c). TDBC ch rõ: "Phi xem xét s vt trong s mâu thun và thng nht" giúp HS hc toán mt cách ch ñng và sáng to, th hin kh năng phát hin vn ñ và ñnh hưng cho cách gii quyt vn ñ. Phát hin vn ñ : Vi TDBC, ta s thy rng câu trên là ñúng mà chưa tht ñúng. Ti sao? Nó là ñúng, nu ta ñng góc ñ nhìn hình thoi (cái riêng) và hình bình hành (cái chung) là "mâu thun" vi nhau. Nó không tht ñúng, nu ta nhìn hai hình ñó là "thng nht" vi nhau: Hình thoi là mt trưng hp ñc bit ca hình bình hành. Khi ñó, ta s không nghĩ rng hình bình hành không có tính cht ñó mà phi nghĩ rng hình bình hành t có tính cht tng quát hơn, nhn tính cht A làm mt trưng hp ñc bit. Và th là, có cái gì ñó thôi thúc ta t hi: " Vy tính cht tng quát hơn ñó là cái gì?". Gii quyt vn ñ : Nu ta nhìn các ñưng chéo ca hình thoi như là các ñưng phân giác ca các góc thì mt nghi vn KH s ny sinh: "Vy trong mt hình bình hành không phi là hình thoi thì bn ñưng phân giác s như th nào?", tr li câu hi này, d thy ra tính cht sau ñây: Tính cht B: Trong mt hình bình hành, bn ñưng phân giác to nên mt hình ch nht.
50. 40 Chng minh tính cht B : A a Ta có: Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 3600 (1) B 2 N Mà Aˆ = Cˆ (2) 1 ϕ M Bˆ = Dˆ (3) b P Th (2) và (3) vào (1), ta ñưc: 1 Q ˆ ˆ ˆ ˆ 0 2 A + B + C + D = 360 D C Hình 1.16 : Hình v chng minh tính cht B ⇒ 2Aˆ + 2Dˆ = 3600 ⇒ Aˆ + Dˆ = 1800 ˆ ˆ 0 hay 2A1 + 2D1 = 180 ⇒ Aˆ + Dˆ = 900 ⇒ Mˆ = 900 Qˆ = Nˆ = Pˆ = 900 1 1 . Tương t: . Do ñó MNPQ là hình ch nht. Ngoài ra, nu a,b( a ≥ b) là hai cnh ca hình bình hành và ϕ là góc không tù ca nó (0 < ϕ ≤ 900 ) thì các cnh ca hình ch nht này s là: ϕ ϕ ϕ MQ = AQ − AM = a.sin − b.sin = ()a − b .sin . 2 2 2 ϕ ϕ ϕ MN = DN − DM = a.cos − b.cos = ()a − b .cos . 2 2 2 Như th, tính cht A là mt trưng hp ñc bit ca tính cht B khi a = b. 1.1.7. Tư duy bin chng có th rèn luyn và phát trin cho hc sinh khi dy hc môn Toán Nói v vai trò ca Toán hc trong nhn thc KH, F. Ăngghen ñã vit: "Mun nhn thc BC và ñng thi duy vt v t nhiên, cn hiu bit Toán hc và KH t nhiên" và F. Ăngghen cũng cho rng Toán hc là nhng hình dng KG và quan h s lưng ca thc ti. ñây, cái ñc bit quan trng là ch Toán hc ñưc xem như mt KH nghiên cu nhng mt xác ñnh ca th gii hin thc, có mt ngun gc vt cht hoàn toàn thc t" [130, tr. 50] . Theo trên, Toán hc không phi ch là mt lĩnh vc nht ñnh ca tri thc mà còn là mt PP và mt dng nht ñnh ca nhn thc KH, nó góp phn xây dng chính các lí thuyt KH.
51. 41 Chính Vin sĩ Côlmôgôrôv A. N. khng ñnh: "V nguyên tc thì phm vi ng dng PP Toán hc không hn ch: Tt c các dng vn ñng ñu có th nghiên cu theo kiu Toán hc" [130, tr. 195] . Qua DH toán cho HS ph thông, có th góp phn rèn luyn và phát trin TDBC. VD 1 : Khái nim cng hai vectơ (VD ñã xét ). Khái nim cng hai vectơ ra ñi và xut phát t nhu cu thc t ca cuc sng, xut phát t BT thc t tìm hp các lc cùng tác dng vào mt vt, tc là xut phát t thc t “ khách quan ”, ñó là th hin quy lut “ khách quan ” ca TDBC. T mt vic c th trong “ thc t ”, Toán hc ñã khái quát và “ tru tưng hóa ” t ñó ñưa ra mt ñnh nghĩa thun túy Toán hc: Khái nim cng hai vectơ. T ñnh nghĩa này, khái nim cng hai vectơ li ñưc áp dng mt cách rt ph bin và hiu qu trong thc tin như: tìm hp ca các lc cùng tác dng vào mt vt vào cùng mt thi ñim. Điu này thêm mt ln na th hin vai trò ca TDBC qua quy lut: “ T trc quan sinh ñng ñn TD tru tưng, t TD tru tưng ñn thc tin ”. Mt khác, nó cũng giúp HS cm nhn ñưc quy lut và nhm hình thành trong h quy lut ñó, ñ phát trin hơn năng lc TDBC. VD 2 : Khái nim ño hàm ( Gii tích ) BT tìm vn tc tc thi ca mt cht ñim chuyn ñng thng. Cho mt cht ñim M chuyn ñng trên trc s’0s. Hoành ñ OM = s ca cht thi ñim t s ñim là mt hàm s ca thi gian t. s’ . . 0 O M OM = s = f(t) (H thc s = f(t) ñưc gi là phương trình chuyn ñng). Hãy tìm vn tc ca cht ñim ti thi ñim t 0. Đ ñơn gin ta gi s s = f(t) là mt hàm s tăng ca t. Bây gi, ta hãy kho sát chuyn ñng trong thi gian t t thi ñim t 0 ñn thi ñim t 0+ t. thi ñim t 0 cht ñim M có hoành ñ s 0 = f(t 0).
52. 42 thi ñim t0 t ∆t s’ . . 0+ . s o s 0 M0 ∆s M thi ñim t 0+ t, cht ñim M có hoành ñ s 0 + s = f(t 0 + t) Vy trong khong thi gian t, cht ñim M ñã ñi ñưc mt quãng ñưng là: s = f(t 0 + t) − f(t 0). Nu cht ñim M có chuyn ñng ñu vn tc v (v là hng s s s) thì t s = v . Nu chuyn ñng ca M không ñu thì t s ñưc gi là vn tc t t trung bình v m ca chuyn ñng trong khong thi gian t t thi ñim t 0 ñn thi ñim s f( t0 + t)− f( t0 ) t0 + t: v = = m t t Nu t càng nh thì vn tc trung bình miêu t càng ñúng tính cht nhanh, chm ca chuyn ñng trong khong thi gian y. T ñó, l tt nhiên dn ñn vn ñ tìm gii hn ca vn tc trung bình khi t →0. Nu gii hn ñó tn ti thì gii hn ñó ñưc gi là vn tc tc thi ca chuyn ñng ti thi ñim t 0, ký hiu là v(t 0). s f( t0 + t)− f( t0 ) Do ñó: v() t0 = lim = lim t →0 t t →0 t + Đo hàm ti mt ñim: Cho hàm s y = f(x) xác ñnh trong mt lân cn ca ñim x 0. Khi bin s nhn mt s gia x ti ñim x0 thì hàm s có s gia tương ng là: y = f(x 0 + x) − f(x 0). y Nu tn ti gii hn lim , ta nói hàm s có ño hàm ti x 0 và gii hn ñó là x →0 x ño hàm ca hàm s ti x , kí hiu là f’(x ) hay y' . 0 0 x0 y f( x0 + x)− f( x0 ) Vy, ta có ñnh nghĩa ño hàm: f '()x0 = lim = lim x →0 x x →0 x * Nhn xét : + Khái nim ño hàm là mt trong nhng khái nim ra ñi t thc tin, xut phát t BT thc t tìm vn tc tc thi ca mt cht ñim chuyn ñng thng, tc là xut phát t thc t “ khách quan ” nhm hình thành cho HS tính “ khách quan ” ca TDBC.
53. 43 + T phát hin mt dng vn ñng trong “thc t”, Toán hc ñã khái quát và “tru tưng hóa”, t ñó ñưa ra mt ñnh nghĩa thun túy Toán hc: Khái nim ño hàm. T ñnh nghĩa này, khái nim ño hàm li ñưc áp dng mt cách có hiu qu vào thc tin như: Tip tuyn vi ñưng cong phng, cưng ñ tc thi ca dòng ñin ti thi ñim t. Điu này giúp HS cm nhn quy lut: “ T trc quan sinh ñng ñn TD tru tưng, t tư duy tru tưng ñn thc tin ” vi tư cách là quy lut ca lôgic BC [85, tr. 294] . VD 3: Xem xét hin tưng khách quan "Đưng thng vuông góc vi mp" mt cách toàn din . T hin tưng mt cây ct c chôn thng ñng so vi mt ñt, Toán hc ñã khái quát và tru tưng hoá thành khái nim ñưng thng vuông góc vi mp: "Đưng thng a ñưc coi là vuông góc vi mp (P) nu nó vuông góc vi mi ñưng thng nm trong mp (P)" và xem xét tt c các dng ca "hin tưng" này, ñưa ra nhng du hiu ñ nhn bit nó. Toán hc xây dng các du hiu này da vào các công c toán, thông qua các ñnh lí v mi quan h song song và vuông góc. Xem xét ñi tưng "Đưng thng vuông góc vi mp" trong mi quan h vi: 1) Đưng thng vuông góc:  d ⊥ a   d ⊥ b  ⇒ a ⊥ α  a ∩ b = {} 0  a, b ⊂ α 2) Đưng thng song song:  a ⊥ α  ⇒ b ⊥ α  a // b 3) Mp song song:  a ⊥ α  ⇒ a ⊥ β  α // β 4) Mp vuông góc:
54. 44  α ⊥ β   a ⊂ α ⇒ a ⊥ β   a ⊥ = a ∩ β  α ⊥ γ   β ⊥ γ ⇒ ⊥ γ   α ∩ β = Qua VD có th giúp HS hình thành quan ñim "toàn din" ca TDBC. Qua VD trên ta nhn thy rng: Vic hc các kin thc toán, ñc bit là gii các BT ñã góp phn rt ñc lc cho vic rèn luyn TDBC, tc là HS tip thu dn các quy lut ca TDBC mt cách “chưa tht t giác”, nhưng ñây chính là xây dng cơ s ñ hình thành TDBC cho HS. Điu này không ch giúp HS hc toán và các môn hc khác khi ñang còn hc trưng PT, mà còn to ñiu kin cho các em TD mt cách BC ñ vn dng trong cuc sng lao ñng dù là chân tay hay trí óc sau này. Tuy nhiên, rèn luyn và phát trin TDBC qua DH toán không phi là trình bày trc tip, tưng minh các tính cht (quy lut), các HĐ ca lôgic BC, ñây là nhim v ca b môn Trit hc duy vt BC. Trong phm vi DH toán cn ñt 2 yêu cu: Qua DH toán hình thành TDBC nhm góp phn xây dng cơ s cho HS hiu các quy lut, các HĐ ca duy vt BC và do ñó nâng cao cht lưng DH toán. Đn mt chng mc nào ñó, khi nm ñưc các quy lut này (mt cách n tàng) HS s t vn dng khi hc toán và c khi gii quyt các tình hung trong thc t cuc sng. VD 4: Tính “ mâu thun và thng nht ” ca TDBC th hin: Khi xét s hình thành và phát trin các tp hp s trong Toán hc PT . S phát trin các tp hp s không phi do lí trí ch quan ca các nhà Toán hc mà do nhu cu thc t trong ñi sng hay nhu cu thc t trong bn thân ni b Toán hc. + Tp hp s t nhiên (Toán 6 ): N = {0; 1; 2; 3; } Tp hp N các s t nhiên tn ti mâu thun: * Trong thc t cuc sng: Chưa phn ánh ñưc các hin tưng thc t ca th gii khách quan như: lãi và l, ñi tin và ñi lùi , nhit ñ nóng và lnh
55. 45 * Trong ni b Toán hc: Phép tr không luôn luôn thc hin ñưc: 5 – 3 = 2; 3 − 5 = ? + Tp hp Z các s nguyên (Đi s 7 ): Z = { ; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2; 3; } S m rng t N → Z hay tp hp Z các s nguyên ra ñi nhm gii quyt nhng mâu thun ca tp hp N các s t nhiên. Tuy nhiên, trong tp hp Z các s nguyên xut hin nhng mâu thun mi (mâu thun này mt ñi, thì mâu thun khác li hình thành): * Trong thc t cuc sng: Chưa phn ánh ñưc các hin tưng thc t ca th gii khách quan như: do lũ lt phi chia li rung, ñt ñai hay chia s con cá ñánh bt ñưc, chia s con mi săn bt ñưc, chia quà cho các em nh tn ti nhng phép chia không là s nguyên. * Trong ni b Toán hc: Phép chia không luôn luôn thc hin ñưc: 8 : ( − 4) = − 2; ( − 7) : 3 = ? + Tp hp Q các s hu t (Đi s 7): Q = { m/n: m, n ∈ Z, n > 0 } S m rng t Z → Q hay tp hp Q các s hu t ra ñi nhm gii quyt nhng mâu thun ca tp hp Z các s nguyên. Tuy nhiên, trong tp hp Q các s hu t li xut hin nhng mâu thun mi: * Trong thc t cuc sng: Không ñáp ng nhu cu ca phép ño ñc hay tính toán, tn ti nhng ñon thng có ñ dài không là s hu t. Chng hn, ño ñ dài ñưng chéo hình vuông có cnh bng 1 hay ño chu vi C ca ñưng tròn thì d và C không là s hu t. * Trong ni b Toán hc: Phép khai căn ca s không âm không luôn luôn thc hin ñưc: 4 / 9 = 2/3 ∈ Q nhưng 2 ∉ Q. + Tp hp các s thc (Đi s 9). S m rng t Q sang R hay tp hp R các s thc ra ñi nhm gii quyt nhng mâu thun ca tp hp Q các s hu t. Tuy nhiên, tp hp R các s thc xut hin mâu thun mi: * Phép khai căn không luôn luôn thc hin ñưc: 4 = 2; 2 ∈ R nhưng − 1 = ? Nhn xét : Qua VD có th giúp HS hình thành mt s quan ñim ca lôgic BC:
56. 46 * HS có th cm nhn quy lut "lch s" ca TDBC: Khi xem xét s vt phi nhn thc s vt trong s phát trin, trong s t vn ñng ca nó. * HS có th cm nhn quy lut "ph ñnh ca ph ñnh" ca phép BC duy vt. Các tp hp s mi ra ñi thay th tp hp s cũ là "kt qu" ca nhng "mâu thun" nm ngay trong bn thân tp hp s cũ ñưc "gii quyt” . Vì vy, các tp hp s mi ra ñi là có tính "khách quan" , là mt yu t tt yu ca s phát trin. Các tp hp s mi ra ñi trên cơ s "k tha" các tp hp s cũ, th hin tính "k tha" ca ph ñnh BC. * HS có th cm nhn: "Mâu thun là ngun gc và ñng lc bên trong ca s phát trin. Mâu thun này mt ñi thì mâu thun khác li hình thành" là mt quan ñim ca lôgic BC. Xét: hai ñi tưng Tam giác và tam giác vuông Vi: “Đnh lí Pitago” thì tam giác và tam giác vuông là mâu thun (ñnh lí không khi tam giác là tam giác bt kì). Vi: “Đnh lí côsin” thì tam giác và tam giác vuông là thng nht (ñnh lí luôn ñúng vi mi tam giác bt kì). VD 5: Tính “ toàn din ” ca TDBC còn th hin khá rõ, khi khuyn khích HS tìm nhiu li gii khác nhau cho mt BT, do nhìn BT theo các khía cnh khác nhau trong mi liên h vi nhau. C th, cho BT: Trong mp ta ñ Oxy, tam giác ABC có các ñnh A( −4 ; 1); B(2 ; 4); C(2 ; −2). Chng minh rng: trng tâm G, trc tâm H và tâm I ca ñưng tròn ngoi tip tam giác ABC thng hàng [126, tr. 52] . Đ chng minh G, H, I thng hàng, nu GV hưng dn và khuyn khích các em nhìn nhn BT cha nhiu khía cnh khác nhau, thì BT này s có nhiu cách gii khác nhau: + Cách 1 . Dùng vectơ: Đ chng minh G, H, I thng hàng, ta s chng minh: GH = kGI . + Cách 2 . Dùng PP ta ñ, tính ta ñ các ñim G, H, I sau ñó kim tra các
57. 47 y 4 B(2 ; 4) vectơ GH và GI cùng phương. + Cách 3 . Chng minh hai (-4 ; 1)A I G 1 H góc v trí ñi ñnh bng nhau: IGM = HGB -4 O 2 x M bng cách chng minh: IGM = HGB -2 C(2 ; -2) + Cách 4 . S dng ñnh lí Talet 1.2. Hot ñng tư duy trong dy hc môn Toán Hình 1.17 1.2.1. Khái nim hot ñng HĐ vi tư cách là mt khái nim Trit hc ñã có t lâu. Nhưng nó mi tr thành mt khái nim tâm lí hc t ñu th k XX [42, tr. 39] . Có nhiu cách ñnh nghĩa khác nhau v HĐ, chúng tôi nêu hai cách thưng dùng: Cách 1: HĐ là s tiêu hao năng lưng thn kinh và cơ bp ca con ngưi tác ñng vào hin thc khách quan, nhm tha mãn nhng nhu cu ca mình . Cách 2: HĐ là phương thc tn ti ca con ngưi trong th gii. HĐ là mi quan h tác ñng qua li gia con ngưi và th gii (khách th) ñ to ra sn phm c v phía th gii, c v phía con ngưi (ch th) [144, tr. 44] . HĐ có các ñc ñim sau [144, tr. 44] : HĐ bao gi cũng là HĐ có ñi tưng; HĐ bao gi cũng có ch th; HĐ bao gi cũng có tính mc ñích; HĐ vn hành theo nguyên tc gián tip. Các loi HĐ [144, tr. 46] : Cách phân loi th nht: Xét v phương din cá th, có 4 loi HĐ (vui chơi, hc tp , lao ñng, xã hi). Cách phân loi th hai: Xét v phương din sn phm, có 2 loi HĐ ln ( thc tin, lí lun ). Cách phân loi khác: Có 4 loi (bin ñi, nhn thc , ñnh hưng giá tr, giao lưu). Cu trúc ca HĐ:
58. 48 Ch th Khách th HĐ c th Đng cơ Hành ñng Mc ñích Thao tác Sn phm Phương tin Sơ ñ 1.4 : Dòng Hot ñng Theo Lêônchiev có th khái quát cu trúc chung ca dòng HĐ như trên [dn theo 144, tr. 48] . Tâm lí ngưi là sn phm ca HĐ và giao tip [144, tr. 51] : S hình thành và phát trin tâm lí ngưi, ñưc tóm tt tng quát bi Sơ ñ 1.5 : Giao tip Con ngưi Đi tưng giao tip (Tâm lí – nhân cách) Ch th hot ñng Giao tip Đi tưng hot ñng Hot ñng Sơ ñ 1.5 : S hình thành và phát trin tâm lí ngưi 1.2.2. Quan ñim hot ñng trong dy hc môn Toán Trong DH môn Toán, da vào hai Sơ ñ 1.4 và Sơ ñ 1.5 ta thy, DH không th tách ri HĐ hay nói cách khác ñ thc hin ñưc quá trình DH môn Toán thì GV và HS phi HĐ tích cc. Nguyn Bá Kim cho rng: Mi ni dung DH ñu liên h mt thit vi nhng HĐ nht ñnh. Đó là nhng HĐ ñã ñưc tin hành trong quá trình hình thành và vn dng ni dung ñó. Phát hin ñưc nhng HĐ tim tàng trong mt ni dung là vch ñưc mt con ñưng ñ truyn th ni dung ñó và thc hin nhng mc ñích DH khác, cũng ñng thi
59. 49 c th hóa ñưc mc ñích DH ni dung ñó và ch ra cách kim tra vic thc hin nhng mc ñích này. Điu cơ bn ca PPDH là khai thác ñưc nhng HĐ tim tàng trong ni dung ñ ñt ñưc mc ñích DH [74, tr. 65] . Theo Phm Gia Đc: HĐ hc tp là mt HĐ có t chc HĐ hc là quá trình làm vic ñ to ra sn phm GD HĐ dy là quá trình t chc cho HS hot ñng [42, tr. 39] . HĐ Toán hc: nhà trưng PT, dy cho HS môn Toán là dy cho HS các HĐ Toán hc mà cơ bn là gii toán [42, tr. 40] . HĐ Hình hc: Mi HĐ Hình hc là mt tình hung gi ñng cơ hc tp HH. Mt HĐ Hình hc thưng gm nhiu HĐ thành phn vi mc ñích riêng, thc hin xong các HĐ thành phn thì mc ñích chung ca c HĐ cũng ñưc thc hin [42, tr. 40] . 1.2.3. Đi mi phương pháp dy hc môn Toán Theo Nguyn Bá Kim: Đnh hưng ñi mi PPDH hin nay là t chc cho ngưi hc tp trong HĐ và bng HĐ t giác, tích cc và sáng to. Đnh hưng này có th gi tt là hc tp trong HĐ và bng HĐ [74, tr. 40] . Trong ñi mi PPDH Hình hc, ta quan tâm nhiu hơn ñn các HĐ tip cn kin thc mi [42, tr. 40] . 1.2.4. Hot ñng hóa ngưi hc khi dy hc các tình hung ñin hình Theo Vũ Dương Thy, trong quá trình DH môn Toán trưng PT vic DH nhng khái nim và ñnh nghĩa, nhng ñnh lí và chng minh, vic dy gii bài tp Toán hc ñưc lp ñi lp li nhiu ln, ta gi ñó là các tình hung ñin hình trong DH môn Toán [40, tr. 134] . a. Hot ñng hóa ngưi hc khi dy hc khái nim Hình hc Các hot ñngDH khái nim HH : Bao gm 5 HĐ cơ bn ( dn vào khái nim – giúp HS tip cn khái nim; hình thành khái nim – giúp HS có ñưc khái nim; cng c khái nim thông qua 2 HĐ thành phn: nhn dng và th hin khái nim; bưc ñu vn dng khái nim trong bài tp ñơn gin; vn dng khái nim trong bài tp tng hp ). Nhn dng mt khái nim là phát hin xem mt ñi tưng cho trưc có tha mãn ñnh nghĩa ñó hay không [74, tr. 20] . Th hin mt khái nim là to mt ñi tưng tha mãn ñnh nghĩa ñó. Rèn luyn và phát trin TDBC cho HS qua các hot ñng DH khái nim HH
60. 50 VD1 (HH10 nâng cao): DH khái nim vectơ. Trong HĐ dn vào khái nim nu GV khéo léo dn dt các VD t thc t ri qui np ñ giúp HS tip cn khái nim và hình thành khái nim vectơ (là ñon thng có hưng), ñiu này th hin TDBC là HH phc v thc tin và có ngun gc t thc tin. VD 2 (HH12– chnh lí hp nht 2000): DH khái nim phương trình mt cu (S) . Trong HĐ hình thành khái nim phương trình (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2. Nu GV ch cho HS cách thc to lp, xây dng nên phương trình trên xut phát t ñng thc IM = R vi tâm I(a; b; c), bán kính R và ñim M(x; y; z) thuc mt cu (S) thì vic nh khái nim s tr nên ñơn gin hơn ñi vi HS ( ñây tính BC th hin các mi quan h qua li ca các ñi tưng Toán hc : Đ dài IM, bán kính R, IM chính là bán kính vì M thuc (S)). Vi HĐ cng c khái nim mà c th là: HĐ nhn dng (thông qua vic GV gii thiu phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz = 0 là dng khác ca phương trình mt cu), TDBC th hin ch ni dung không thay ñi (các tính cht ñc trưng, bn cht ca khái nim) mà ñưc mô t dng “v” ngôn ng khác ; còn hot ñng th hin, SGK ñưa ra VD mc 2 và các bài tp 1. HĐ vn dng khái nim ñưc ñ cp bài tp 3 (tr 108– 109 110). HĐ vn dng còn ñưc ñ cp trong các bài tâp 8, 9 (tr 112113: phn ôn tp chương II), vi 2 bài tp tng hp này càng khng ñnh các mi quan h ca mt phng, ñưng thng và mt cu trong không gian. VD 3 (Hình hc 11 nâng cao): Khi thc hin HĐ cng c khái nim hình chóp , GV có th cho HS nhn xét: Nu mt ñáy là hình tam giác A 1A2A3 thì ta có hình chóp tam giác S.A 1A2A3. Lúc này thc cht có th xem A 1 là ñnh, mt ñáy là SA 2A3. Ta có hình chóp A1.SA 2A3; xem A 2 là ñnh, mt ñáy là SA 1A3. Ta có hình chóp A 2.SA 1A3; xem A 3 là ñnh, mt ñáy là SA 1A2. Ta có hình chóp A 3.SA 1A2 (vì 3 ñim bt kì luôn cùng thuc mt mt phng). Do ñó cùng mt hình chóp, ta có th gi tên chúng khác nhau. ñây thc cht GV ñã rèn luyn và phát trin hai ñc trưng cơ bn ca TDBC là tính bin ñi (thay ñi ñnh ca hình chóp tam giác) và tính toàn din (nhìn mt ñi tưng theo nhiu khía cnh khác nhau).
61. 51 VD 4 (Hình hc 11 nâng cao): Khi dy xong khái nim v quan h song song và quan h vuông góc ca hai ñưng thng trong không gian . GV cn thc hin HĐ cng c thông qua các phn VD, chng hn ñây GV ñưa ra tình hung: ñưng thng a và ñưng thng b cùng vuông góc vi ñưng thng c, liu a có song song vi b không? Nu HS chưa suy nghĩ kĩ có th tr li ngay a song song vi b. Ta thy HS này thiu cái nhìn toàn din vì BT luôn ñúng trong mt phng, còn trong không gian chưa hn (a có th chéo b). Vi nhng HĐ linh hot và sáng to ca GV như mt s VD trên, ta thy HS s ñưc bi dưng, rèn luyn và phát trin TDBC thông qua tip thu khái nim. b. Hot ñng hóa ngưi hc khi dy hc ñnh lí Hình hc Các hot ñng DH ñnh lí HH : Bao gm 7 HĐ chính ( to ñng cơ hc tp ñnh lí; phát hin ñnh lí; phát biu ñnh lí; chng minh ñnh lí; cng c ñnh lí thông qua 2 HĐ thành phn: nhn dng và th hin khái nim; vn dng ñnh lí trong bài tp ñơn gin; vn dng ñnh lí trong bài tp tng hp ). Nhn dng mt ñnh lí là xét xem mt tình hung cho trưc có ăn khp vi ñnh lí ñó hay không [74, tr. 21] , [73, tr. 386]. Th hin mt ñnh lí là xây dng mt tình hung ăn khp vi ñnh lí cho trưc. Rèn luyn và phát trin TDBC cho HS qua các hot ñng DH ñnh lí HH VD 1 (HH10– nâng cao): DH ñnh lí hàm s côsin trong tam giác [tr53, 54], c th ta xét trưng hp a2 = b2 + c2 − 2b×c×cos A trong hot HĐ gi ñng cơ, TDBC th hin nu GV bit cách ñt vn ñ xut phát t ñnh lí Pitago (bit A = 90 0, AB = c, AC = b. Tính BC = a =?). Mâu thun ñt ra là nu A ≠ 90 0, bit AB = c, AC = b. Tính BC = a =? vi các kin thc ñã có HS có tính ñưc a không? T ñó bng cách s dng PPDH nêu vn ñ ñ GV dn dt HS hot ñng ñ phát hin ñnh lí ri phát biu ñnh lí. Mt khác thông qua các VD và bài tp trong SGK ñ chng minh (trong ñnh lí này HS có th thc hin ñưc c ba HĐ ca vic phân bc trong HĐ chng minh, ñó là: hiu chng minh, lp li chng minh, ñc lp tin hành chng minh vì vic chng minh ñnh lí này không phc tp); các HĐ cũng c ; vn dng ñnh lí cũng thc hin tương t.
62. 52 VD 2 (Hình hc 10 – nâng cao): DH ñnh lí hình chiu ( công thc hình chiu tr.48, 49 ). Ni dung ñnh lí: Cho hai vectơ OA,OB. Gi B’ là hình chiu ca B trên ñưng thng OA. Chng minh rng: OA× OB = OA× OB' . B B B A O A O A O ’ B B’ B’ Hình 1.18 Ngoài cách chng minh như SGK ñã trình bày [126, tr. 49] . GV dy HS chng minh ñnh lí này thông qua các HĐ dy hc, chng hn: Trong HĐ phát hin ñnh lí thông qua ba trưng hp góc AOB 90 0. C th, thc hin HĐ chng minh ba trưng hp: Khi góc AOB 90 0, ta có: OA× OB = OA× (OB' + B'B) = OA× OB' + OA× B'B = OA× OB' , vì BB’ ⊥ OA ⇒ OA× B'B = 0 ). Trong ñnh lí này nu ñ HS ñc lp chng minh, HS d mc sai lm là ch xét mt trong ba trưng hp trên t ñó kt lun, do ñó GV nên cho HS nhìn BT mt cách toàn din , nghĩa là xem xét ñi tưng Toán hc vi nhiu khía cnh khác nhau . Vi mt s VD minh ha trên, khng ñnh GV không nhng rèn luyn và phát trin TD ñc lp, TD sáng tao, TD lôgic, TD thut gii, TD hàm, cho HS mà còn cn rèn luyn cho HS vn dng TDBC mt cách thích hp thông qua các HĐ dy hc. c. Hot ñng hóa ngưi hc khi dy hc bài tp Hình hc Các hot ñng DH bài tp HH
63. 53 Đưc th hin trình t thông qua 4 HĐ chính ( tìm hiu ni dung BT; xây dng chương trình gii; thc hin chương trình gii; kim tra và nghiên cu bài gii ). Rèn luyn và phát trin TDBC cho HS qua các hot ñng DH bài tp HH VD 1 (HH11): Cho hai hình bình hành MNPQ và MNEF không ñng phng. Ly K MK NH 1 thuc MP, H thuc NF sao cho: = = . Qua K, H dng các ñưng thng song KP HF 2 P song vi MN ct MQ, MF ln lưt ti M 1, N 1. Q a. Chng minh rng: KH// QE K M1 (nêu các cách gii khác nhau) Hình 1.19 M N N1 b. Chng minh rng: M 1N1 // (QEF) H c. Chng minh rng: (M 1N1HK) // (QEF) F E MK NH 1 d. Nu thay ñi gi thit = ≠ thì KH có song song vi EQ không? KP HF 2 KH có song song vi (QEF) không? Vì sao?. Câu a là câu chng minh KH // QE. Dng ý câu này là cho HS có th trình bày nhiu cách gii khác nhau ca mt BT nhm thc hin “ xem xét ñi tưng Toán hc vi nhiu khía cnh khác nhau ” và “ mi liên h và ph thuc” . Câu b là câu chng minh M 1N1 // (QEF), ñây GV ñã vn dng “x em xét ñi tưng Toán hc trong mi liên h và ph thuc vi các ñi tưng Toán hc khác ”, c th do M 1K // MA nên các tam giác QM 1K và QMA ñng dng t suy ra: MM1 AK 1 = = (tương t N 1H // MN, nên các tam giác FN 1H và FMN ñng dng t MQ AQ 3 MM MN 1 ñó ta có: 1 = 1 = ). MQ MF 3 Do ñó M 1N1 // QF mà QF ⊂ (QEF), suy ra M 1N1 // (QEF). Câu c BT yêu cu chng minh: (M 1N1HK) // (QEF), vi câu này dng ý là kim tra kh năng vn dng “x em xét ñi tưng Toán hc trong mi liên h và ph thuc vi các ñi tưng Toán hc khác ”. T M 1K // N 1H // MN, dn ti (M 1N1HK) xác ñnh. Do M 1K // MN // EF nên M 1K // (QEF) và M 1N1 // QF nên M 1N1//(QEF). T ñó ta có ñiu cn chng minh. Đây là các th hin ñc trưng ca TDBC.
64. 54 Câu d dng ý là rèn luyn mt ñc trưng cơ bn ca TDBC “s bin ñi v lưng dn ti s bin ñi v cht” , c th bng cách thay ñi gi thit ca BT MK NH 1 = ≠ lúc ñó ta thy KH không song song vi EQ na, nhưng KH li vn KP HF 2 song song vi (QEF). Đây là câu quan trng nht mà GV ñã th hin trong HĐ gii BT này nhm rèn luyn và phát trin TDBC cho HS. VD 2 (HH10 nâng cao): Trong mt phng ta ñ Oxy, cho mt phương trình có dng: x2 y 2 + = 1, vi a > b. Xác ñnh hình dng ca phương trình trên. a2 b2 Bài tp này cũng nhm bi dưng ñc trưng “ s bin ñi v lưng dn ñn s bin ñi v cht ” và “ mi liên h và ph thuc” ca TDBC. Nh HĐ nhn dng và thc MF m +1 hin các thao tác bin ñi, ta xác ñnh ñưc e = = là tâm sai ca conic, d(M ;) 6 t ñó nu thay ñi e thì hình dng ca conic thay ñi theo (Elip, Hypebol, Parabol). VD 3 : Khi cho HS gii các BT liên quan ti v trí tương ñi ca hai ñưng thng. Cn lưu ý là BT cho trong mt phng hay trong không gian (nu cho trong mt phng có 3 trưng hp, còn trong không gian có 4 trưng hp). GV phi khc sâu HĐ cũng c , ñ cho HS thy ñưc s bin ñi ca các ñi tưng Toán hc khi thay ñi ñi tưng kho sát. Đây chính là nhng th hin sinh ñng các ñc trưng ca TDBC khi DH gii bài tp HH. Do ñó khi DH môn HH trưng THPT, GV cn bi dưng các HĐ ñc trưng sau ca TDBC cho HS : H thng hóa khái nim, ñnh lí, bài tp ñ thy ñưc mch lôgic ca kin thc và thy ñưc mi liên quan ca chúng; Cn khái quát hóa mt mnh ñ, BT sau khi thc hin chng minh, gii; Nhìn s vt, hin tưng trong trng thái bin ñi; Lin h các ñi tưng Toán hc vi thc tin khi tip cn và sau khi hc;
65. 55 Xét mt vn ñ, mt ñi tưng Toán hc dưi nhiu khía cnh khác nhau (xét các trưng hp, các kh năng xy ra ca BT, mnh ñ; gii, chng minh BT theo nhiu cách khác nhau; ) Tin hành phân tích, tng hp, , ñ phát hin vn ñ và gii quyt vn ñ; Bi dưng các ñc trưng ca TD hàm (biu din các ñi tưng Toán hc trong s vn ñng, bin ñi; x lí các mi liên h nhn qu; gii thích ni dung các s kin Toán hc chú ý cao ng dng ca Toán hc; ); Cho HS nhn xét ln nhau khi phát hin vn ñ và gii quyt vn ñ (ñ tìm ra ưu, nhưc; phi, trái; ñúng sai; ) Chú ý : Ta có th khai thác SGK Hình hc 10 khi DH gii toán nâng cao v Parabol (P) góp phn phát trin TDBC cho HS Căn c vào các ñc ñim trình bày chính ca SGK HH 10 mi ca ban KHTN và ban KHXH. Chúng tôi nêu lên mt s vn ñ cn quan tâm khi DH gii toán nâng cao v (P) là mt trong ba ñưng conic bc hai quan trng trong SGK HH hin hành. Đ hiu rõ hơn phn gii toán v (P) và các mi quan h ca nó, chúng tôi nêu lên nhng vn ñ sau: Hình thành khái nim v (P) cho HS : SGK hình thành khái nim (P) bng con ñưng qui np, c th ñã ñưa ra các VD trong ñi sng v hình dng ca (P), sau ñó là ñnh nghĩa (P), tip theo gn (P) vào h to ñ Đ các vuông góc Oxy ñ xây dng phương trình chính tc, tin ñn trình bày các khái nim tham s tiêu p, ñưng chun , tiêu ñim F, trc ñi xng, ñnh, tâm sai, sau na là các bài tp ñ luyn tp, ôn tp. Nhng dng Toán cơ bn v (P) : Tương t như Elip (E), Hypebol (H) thì (P) cũng có các dng toán cơ bn: xây dng công thc (phương trình) ca (P) là y 2= 2px ( 3 trưng hp còn li y 2= − 2px, x 2= ± 2py xây dng tương t); cho phương trình ca (P) hãy suy ra tham s tiêu p ( hay suy ra ñưng chun ( ) và tiêu ñim F ); cho tham s tiêu p ( trc tip hoc gián tip ) suy ra phương trình ca (P); xây dng công thc v ñiu kin tip xúc ca ñưng thng ( ): Ax + By + C = 0, A 2 + B 2 > 0 vi (P): y 2= 2px là pB 2= 2AC (*); gii các BT v tip tuyn (TT) ti, TT ñi qua, TT
66. 56 chung ca hai (P); lp phương trình TT bit h s góc trc tip hoc gián tip ( bit TT vuông góc, TT song song vi mt ñưng thng cho trưc ), Nhng dng Toán khác v (P) + Dng 1 : Cho mt ñưng thng ( ) không thuc (P). Hãy tìm ñim M trên (P) sao cho khong cách t M ñn ( ) là ngn nht. Khi gii GV s hưng dn HS ly ñim M trên (P) sau ñó tính d(M; ), t ñó tìm giá tr nh nht ca khong cách này bng hai cách khác nhau ( bin ñi và dùng ño hàm ). Chng hn, ta có BT ( ñi hc M ña cht năm 1998 ), cho (P): y 2= 64x và ñưng thng ( ): 4x+3y+46 = 0, ta tính ñưc d(M; ) = 2 khi M(9; 24). Vì ni dung này ñưc chuyn xung lp 10 nên ta ch có th dùng phương pháp bin ñi ñ tính d(M; ). + Dng 2: Vit phương trình TT chung ca (P) vi (E), ca (P) vi (H). GV ch yu hưng dn HS dùng ñiu kin tip xúc ca ñưng thng ( ) ( vi (E): 2 2 2 2 x y 2 2 2 2 2 x y + = 1 a > b; F 1 , F 2 ∈ Ox là a A + b B = C ; vi (H): − = 1 F1 , F 2 ∈ a2 b 2 a2 b 2 Ox là a 2A2 − b2B2 = C2 ) ñ gii. Nhng dng này ch áp dng ñưc khi (E) có tâm b O(0;0), (H) có giao hai tim cn y= ± x là O(0; 0) và (P) có ñnh O(0; 0). Chng hn, a ta có BT (ñi hc Dưc HN năm 1998 ): Vit phương trình TT chung ca (P): y 2= 12x x2 y 2 và (E): + = 1 s dng ñiu kin tip xúc ca ñưng thng và (E) gii ra ta có hai 8 6 3 3 tip tuyn chung là: y= x23;y + =− x23 − . 2 2 + Mt s dng Toán nâng cao : Như chúng ta ñã bit HH gii tích là b môn Toán cơ s giúp cho ngưi hc toán thy rng, ngưi ta có th nghiên cu HH bng nhng PP khác nhau như: PP ñi s, PP gii tích, Vì vy ngưi hc toán cn làm quen vi các PP ñó và ng dng nó trong hc tp, nghiên cu. THPT ñã vn dng sáng to HH gii tích trong mp (vectơ, ñưng thng, ñưng tròn, ba ñưng conic) và HH gii tích trong KG (vectơ, mp, ñưng thng, mt cu). Tuy nhiên trong khuôn kh và ni dung ñưc trình bày SGK HH 10 hin hành thì không th gii ñưc các BT