Ôn tập cuối kì Giải tích 2 - Nguyễn Hồng Lộc

Nội dung text: Ôn tập cuối kì Giải tích 2 - Nguyễn Hồng Lộc

1. ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2013. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 1 / 10
2. Để phá dấu trị tuyệt đối, chia D làm 2 miền, một miền hàm dưới dấu trị tuyệt đối > 0 và miền còn lại hàm <√ 0 2 2 D1 = {−x 3 ≤ y ≤ x, x + y ≤ 1,√y ≥ 0} , D2 = D − D1,f (x, y) = (y − x)(y + 3x) Câu 1 Tính tích phân kép √ I = RR |(y − x)(y + 3x)|dxdy với D D = {x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0} Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 2 / 10
3. Câu 1 Tính tích phân kép √ I = RR |(y − x)(y + 3x)|dxdy với D D = {x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0} Để phá dấu trị tuyệt đối, chia D làm 2 miền, một miền hàm dưới dấu trị tuyệt đối > 0 và miền còn lại hàm <√ 0 2 2 D1 = {−x 3 ≤ y ≤ x, x + y ≤ 1,√y ≥ 0} , D2 = D − D1,f (x, y) = (y − x)(y + 3x) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 2 / 10
4. I = − RR f (x, y)dxdy + RR f (x, y)dxdy D1 D2 I = −2 RR f (x, y)dxdy + RR f (x, y)dxdy D1 D I = 2π/3 1 √ −2 R dϕ R (rsinϕ − rcosϕ)(rsinϕ + 3rcosϕ)rdr π/4 0 π 1 √ + R dϕ R (rsinϕ − rcosϕ)(rsinϕ + 3rcosϕ)rdr 0 0 I = Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 3 / 10
5. Câu 2 Tính tích phân mặt loại hai ZZ I = (x3+1)dydz +(y 3+2)dzdx +(z3+3)dxdy, S với S là phần mặt cầu x2 + y 2 + z2 = 2z, bị cắt bởi mặt phẳng z = 1, lấy phần z > 1, mặt phía trên theo hướng trục Oz. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 4 / 10
6. Áp dụng công thức trực tiếp sẽ khó vì hàm z rút ra phức tạp. Ở đây ta áp dụng công thức G-O nhưng mặt chưa kín nên ta phải thêm vào để được 2 2 mặt kín, thêm vào mặt S1 : {z = 1, x + y ≤ 1} hướng xuống theo hướng trục Oz.Chú ý hướng của mặt S1, chọn hướng xuống để toàn bộ mặt hướng ra ngoài.(z=1 nên dz=0) I = RR − RR = RR − RR 4dxdy S+S1 S1 S+S1 S1 I = 3 RRR (x2 + y 2 + z2)dxdydz + 4 RR dxdy = V Dxy Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 5 / 10
7. a D = lim n+1 n→∞ an (2n + 3)! 3n.(n!)2 D = lim n→∞ 3n+1.((n + 1)!)2 (2n + 1)! (2n + 2)(2n + 3) D = lim = 4/3 > 1 n→∞ 3n2 Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi này phân kỳ. Câu 3 ∞ P (2n + 1)! Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số n 2 n=1 3 .(n!) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 6 / 10
8. Câu 3 ∞ P (2n + 1)! Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số n 2 n=1 3 .(n!) a D = lim n+1 n→∞ an (2n + 3)! 3n.(n!)2 D = lim n→∞ 3n+1.((n + 1)!)2 (2n + 1)! (2n + 2)(2n + 3) D = lim = 4/3 > 1 n→∞ 3n2 Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi này phân kỳ. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 6 / 10
9. 2 n + 1n a = (−1)nn n n + 3 pn −2 C = lim |an| = e < 1 n→∞ Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi này hội tụ tuyệt đối. Câu 4 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 ∞ n + 1n P(−1)nn n=1 n + 3 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 7 / 10
10. Câu 4 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 ∞ n + 1n P(−1)nn n=1 n + 3 2 n + 1n a = (−1)nn n n + 3 pn −2 C = lim |an| = e < 1 n→∞ Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi này hội tụ tuyệt đối. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 7 / 10
11. √ ∞ 1 ∞ 2 3 S = P = P √ n 1 2n+1 n=1 3 (n + 2) n=1 ( 3) (2n + 1) √ ∞ x2n+1 S(x) = 2 3 P , x = √1 3 n=1 2n + 1 2 Chia cho (2n+1) nghĩ đến nguyên hàm của xn , 1 P∞ n 2 1−x = n=0 x . Thay x bởi x : 1 P∞ 2n 1−x2 = n=0 x .Lấy nguyên hàm Câu 5 ∞ 1 Tính tổng của chuỗi số S = P n 1 n=1 3 (n + 2) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 8 / 10
12. Câu 5 ∞ 1 Tính tổng của chuỗi số S = P n 1 n=1 3 (n + ) √ 2 ∞ 1 ∞ 2 3 S = P = P √ n 1 2n+1 n=1 3 (n + 2) n=1 ( 3) (2n + 1) √ ∞ x2n+1 S(x) = 2 3 P , x = √1 3 n=1 2n + 1 2 Chia cho (2n+1) nghĩ đến nguyên hàm của xn , 1 P∞ n 2 1−x = n=0 x . Thay x bởi x : 1 P∞ 2n 1−x2 = n=0 x .Lấy nguyên hàm Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 8 / 10
13. 1 1+x R 1 P∞ x2n+1 2ln|1−x | + C = 1−x2 dx = n=0 2n+1 Thay x = 0 vào 2 vế, ta được C=0 1 1+x P∞ x2n+1 Do đó: 2ln|1−x | = n=0 2n+1 √ ∞ x2n+1 S(x) = 2 3(P − x) √ n=0 2n + 1 1 1+x S(x) = 2 3(2ln|1−x | − x) √ 1+√1 S = 2 3(1ln| 3 | − √1 ) 2 1−√1 3 3 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 9 / 10
14. THANK YOU FOR ATTENTION Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 10 / 10