›
›

Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Lê Xuân Trường

pdf 36 trang huongle 4200
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Lê Xuân Trường", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfphep_tinh_vi_phan_ham_nhieu_bien_le_xuan_truong.pdf

Nội dung text: Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Lê Xuân Trường

  1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Ts. Lê Xuân Trường Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1 / 36
  2. Các nội dung chính 1 Hàm nhiều biến 2 Đạo hàm riêng 3 Vi phân toàn phần 4 Bài toán tối ưu không ràng buộc 5 Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2 / 36
  3. PHẦN 1 HÀM NHIỀU BIẾN Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3 / 36
  4. Hàm nhiều biến Hàm nhiều biến z = f (x, y) Ví dụ: z = f (x, y) = 2x2 + 3y 2 là một hàm số theo hai biến số f (0, 1) = 3, f (−2, 1) = 11. Tập xác định: D = (x, y) ∈ R2 : f (x, y) có nghĩa Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4 / 36
  5. Hàm nhiều biến Đồ thị của hàm hai biến z = f (x, y) Gf = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D} Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5 / 36
  6. PHẦN 2 ĐẠO HÀM RIÊNG Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 6 / 36
  7. Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f (x, y) xác định trên tập mở D và (x0, y0) ∈ D. Đạo hàm riêng theo x ∂f f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) zx (x0, y0) ≡ (x0, y0) := lim ∂x ∆x→0 ∆x Đạo hàm riêng theo y ∂f f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0) zy (x0, y0) ≡ (x0, y0) := lim ∂y ∆y→0 ∆y (nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 7 / 36
  8. Đạo hàm riêng Nhận xét: Để tính đạo hàm riêng theo một biến nào đó, ta xem các biến còn lại là hằng số và sử dụng các quy tắc đã biết trong hàm một biến. Ta có f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) = zx (x0, y0) ∆x + 0 (∆x) f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0) = zy (x0, y0) ∆y + 0 (∆y) Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau 2 3 x−y f (x, y) = 2x y + 2x+1 g (x, y, z) = xy sin (y + 2z) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8 / 36
  9. Đạo hàm riêng Biên tế riêng Cho hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0) Biên tế của z theo x ∂f Mzx (x0, y0) := (x0, y0) ≈ f (x0 + 1, y0) − f (x0, y0) ∂x Biên tế của z theo y ∂f Mzy (x0, y0) := (x0, y0) ≈ f (x0, y0 + 1) − f (x0, y0) ∂y Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 9 / 36
  10. Đạo hàm riêng Biên tế riêng Ví dụ: - Lợi ích biên: Xét hàm lợi ích (hàm hữu dụng) U = U (x1, x2) . Lợi ích biên theo x1 và x2 lần lượt được xác định bởi ∂U ∂U MUx1 = và MUx2 = . ∂x1 ∂x2 - Sản lượng biên: Cho hàm sản xuất Q = Q (K, L) , với Q là sản lượng, K là lượng vốn và L là lượng lao động. Sản lượng biên theo vốn và theo lao động được cho bởi ∂Q ∂Q MPK = và MPL = . ∂K ∂L Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 10 / 36
  11. Đạo hàm riêng Hệ số co dãn riêng Cho hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0) Hệ số co dãn riêng theo x x0 ∂z % thay đổi của z Ezx (x0, y0) = (x0, y0) ' z (x0, y0) ∂x % thay đổi của x Hệ số co dãn riêng theo y y0 ∂z % thay đổi của z Ezy (x0, y0) = (x0, y0) ' z (x0, y0) ∂x % thay đổi của y Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 11 / 36
  12. Đạo hàm riêng Hệ số co dãn riêng Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 100 − 2P + PA + 0, 1Y , trong đó P = 10, PA = 12 và Y = 1000.Tìm - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá, P. - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá của sản phẩm liên quan, PA. - Hệ số co dãn của lượng cầu theo thu nhập, Y . Nếu thu nhập tăng 5% thì lượng cầu tăng bao nhiêu phần trăm? Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 12 / 36
  13. Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng cấp 1: ∂f ∂f zx (x, y) = ∂x (x, y) và zy (x, y) = ∂y (x, y) Các đạo hàm riêng cấp 2: 2 h i z (x, y) = ∂ f (x, y) = ∂ ∂f (x, y) xx ∂x2 : ∂x ∂x ∂2f ∂ h ∂f i zxy (x, y) = ∂x∂y (x, y) := ∂y ∂x (x, y) ∂2f ∂ h ∂f i zyx (x, y) = ∂y∂x (x, y) := ∂x ∂y (x, y) 2 h i z (x, y) = ∂ f (x, y) = ∂ ∂f (x, y) yy ∂y 2 : ∂y ∂y Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 13 / 36
  14. Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng cấp 3: ∂3f ∂3f ··· ∂x3 ∂x2∂y Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số f (x, y) = x3 + x2y 3 − 2y 2 y  g (x, y) = x arctan x Theorem Giả sử hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai fxy và fyx liên tục trong một hình tròn tâm (x0, y0) với bán kính ε (bé tùy ý) thì ta có fxy (x0, y0) = fyx (x0, y0) . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 14 / 36
  15. PHẦN 3 VI PHÂN TOÀN PHẦN Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 15 / 36
  16. Vi phân toàn phần Vi phân toàn phần Cho hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0) Vi phân toàn phần của f tại (x0, y0) df (x0, y0) = fx (x0, y0) dx + fy (x0, y0) dy Nếu các đạo hàm riêng fx và fy liên tục tại (x0, y0) thì ∆f (x0, y0) = f (x0 + dx, y0 + dy) − f (x0, y0) = fx (x0, y0) dx + fy (x0, y0) dy + 0 (ρ) q trong đó ρ = (dx)2 + (dy)2. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 16 / 36
  17. Vi phân toàn phần Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến Khi x − x0 và y − y0 bé, ta có f (x, y) − f (x0, y0) ≈ fx (x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) Ví dụ: Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q = 3K 2/3L1/3, trong đó K là lượng vốn và L là lượng lao động. - Viết biểu thức vi phân toàn phần của Q khi K = 1000 và L = 216. - Tính gần đúng mức sản lượng thay đổi khi ta tăng 1, 5 đơn vị vốn và giảm 1 đơn vi lao động. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 17 / 36
  18. Vi phân toàn phần Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến Ví dụ: Xét hàm hai biến p z = f (x, y) = x3 + y 3 + 8. - Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại (1, 3). - Từ kết quả đó, hãy tính gần đúng giá trị f (1, 8; 2, 6). Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 18 / 36
  19. PHẦN 4 CỰC TRỊ TỰ DO Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 19 / 36
  20. Cực trị tự do Cực trị địa phương và cực trị toàn cục Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 20 / 36
  21. Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y) Bước 1: Tìm các điểm dừng mà tọa độ là nghiệm của hệ phương trình   fx = 0  fy = 0 Bước 2: Giả sử M (a, b) là một điểm dừng của f . Xét ma trận Hessian  AB  H = BC trong đó A = fxx (a, b) , B = fxy (a, b) , C = fyy (a, b). A > 0, det (H) = AC − B2 > 0 ⇒ f đạt cực tiểu tại M A 0 ⇒ f đạt cực đại tại M det (H) = AC − B2 = 0 ⇒ f không đạt cực trị tại M Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 21 / 36
  22. Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y) Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của hàm hai biến z = f (x, y) = x3 − 3x + xy 2 Giải Tìm các điểm dừng √   2 2   fx (x, y) = 0  3x − 3 + y = 0 x = 0, y = ± 3 ⇔ ⇔   fy (x, y) = 0  2xy = 0 x = ±1, y = 0 Do đó ta có 4 điểm dừng  √   √  0, 3 , 0, − 3 , (1, 0) , (−1, 0) . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 22 / 36
  23. Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y) Phân loại các điểm dừng fxx = 6x, fxy = 2y, fyy = 2y  √  - 0, − 3 không là cực trị  √  - 0, 3 không là cực trị - (−1, 0) là điểm cực đại địa phương - (1, 0) là điểm cực tiểu địa phương Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau z = f (x, y) = x3 + y 3 − 12xy w = g (x, y, z) = x2 + y 2 + 3z2 + xz + yz − y Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 23 / 36
  24. Cực trị tự do Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Tập hợp lồi  A, B ∈ S Tập hợp lồi : ⇒ λA + (1 − λ) B ⊂ S λ ∈ [0, 1] Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 24 / 36
  25. Cực trị tự do Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Hàm số lồi, hàm số lõm: Cho z = f (x, y) xác định trên tập lồi S  z (x, y) z (x, y)  Ký hiệu: H (x, y) = xx xy (ma trận Hessian) zyx (x, y) zyy (x, y) Hàm lồi Hàm lõm    zxx (x, y) > 0  zxx (x, y) 0  det (H (x, y)) > 0 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 25 / 36
  26. Cực trị tự do Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Theorem Giả sử (a, b) ∈ S là một điểm dừng của hàm z = f (x, y). Khi đó Nếu f là hàm lồi trên S thi f đạt cực tiểu toàn cục tại (a, b). Nếu f là hàm lõm trên S thi f đạt cực đại toàn cục tại (a, b) . Ví dụ: Tìm cực tiểu toàn cục của hàm số z = f (x, y) = x2 + y 2 + xy + 3 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 26 / 36
  27. Cực trị tự do Một số áp dụng trong kinh tế Ví dụ 1: Một công ty sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu lần lượt là 2 1 1 2 Q = 280 − P + P , Q = 420 + P − P , d1 5 1 5 2 d2 5 1 5 2 và hàm tổng chi phí được xác định bởi 2 2 C (Q1, Q2) = 40Q1 + 180Q2 + Q1 + Q1Q2 + Q2 . Tìm mức sản lượng để công ty thu được lợi nhuận tối đa với giả thiết sản phẩm làm ra được bán hết. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 27 / 36
  28. Cực trị tự do Một số áp dụng trong kinh tế Ví dụ 2: Một công ty sử dụng hai nguyên liệu đầu vào để sản xuất. Giả sử sản lượng Q tại các mức nguyên liệu x1, x2 được xác định bởi 1/3 1/2 Q (x1, x2) = 12x1 x2 giá của hai loại nguyên liệu là p1, p2 và giá bán sản phẩm là q.Tìm mức nguyên liệu x1, x2 để lợi nhuận thu được lớn nhất nếu sản phẩm được bán hết. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 28 / 36
  29. PHẦN 4 CỰC TRỊ CÓ RÀNG BUỘC Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 29 / 36
  30. Cực trị có ràng buộc Bài toán: Tìm cực trị địa phương (hoặc toàn cục) của hàm số z = f (x, y) với điều kiện ϕ (x, y) = M. Phương pháp giải: Bước 1: Lập hàm Lagrange L (x, y, λ) = f (x, y) + λ [ϕ (x, y) − M] . Bước 2: Giải hệ phương trình ∂L ∂L ∂L = = = 0 ∂x ∂y ∂λ Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 30 / 36
  31. Cực trị có ràng buộc Phương pháp giải: Bước 3: (kiểm tra điều kiện đủ) Giả sử (x0, y0, λ0) là một nghiệm của hệ trên.   0 ϕx ϕy Đặt H (x, y, λ) =  ϕx Lxx Lxy  ϕy Lyx Lyy Theorem  det H (x0, y0, λ0) > 0 ⇒ (x0, y0) là điểm cực đại địa phương  det H (x0, y0, λ0) 0, ∀ (x, y) , ∀λ ∈ (λ − ε, λ + ε) ⇒ (x0, y0) là điểm cực đại toàn cục  det H (x, y, λ) < 0, ∀ (x, y) , ∀λ ∈ (λ − ε, λ + ε) ⇒ (x0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 31 / 36
  32. Cực trị có ràng buộc Lưu ý: Nếu (x0, y0, λ0) là một nghiệm của hệ phương trình ∂L ∂L ∂L = = = 0 ∂x ∂y ∂λ thì ta nói (x0, y0) là một điểm dừng ứng với nhân tử Lagrange λ. Ý nghĩa của nhân tử Lagrange: λ ≈ độ thay đổi của giá trị tối ưu khi M tăng 1 đơn vị Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 32 / 36
  33. Cực trị có ràng buộc Một số ví dụ: Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị địa phương của hàm số với các điều kiện tương ứng z = x2 − 3xy + 12x, 2x + 3y = 6 z = x + y x2 + y 2 = 1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 33 / 36
  34. Cực trị có ràng buộc Một số ví dụ: Ví dụ 2: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và phân bố trên hai thị trường tách biệt. Hàm cầu đối với sản phẩm đó trên mỗi thị trường được cho bởi 1 Q = 310 − P , Q = 235 − P d1 1 d2 2 2 trong đó Pi là giá bán sản phẩm trên thị trường thứ i. Hàm tổng chi phí được xác định như sau C (Q) = Q2 + 30Q + 20, với Q là tổng sản lượng. Trong trường hợp xí nghiệp sản xuất 80 sản phẩm, hãy tính sản lượng sẽ phân phối cho từng trường để thu được lợi nhuận lớn nhất. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 34 / 36
  35. Cực trị có ràng buộc Một số ví dụ: Ví dụ 3: Một người dự kiến dùng 130 đơn vị tiền tệ để mua hai loại hàng có giá lần lượt là P1 = 4 và P2 = 6. Biết hàm hữu dụng của hai loại hàng trên là U (x1, x2) = (x1 + 2)(x2 + 1) trong đó x1, x2 lần lượt là khối lượng hai loại hàng. Xác định x1, x2 để hàm hữu dụng đạt giá trị lớn nhất. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 35 / 36
  36. Cực trị có ràng buộc Một số ví dụ: Ví dụ 4: Để sản xuất một loại sản phẩm người ta sử dụng hai loại nguyên liệu có thể thay thế cho nhau. Mức sản lượng được xác định bởi Q = 3x2/3y 1/3, trong đó x là lượng nguyên liệu thứ nhất, y là lượng nguyên liệu thứ hai. Giá của hai loại nguyên liệu này lần lượt là P1 = 2 và P2 = 1. Tính x, y để chi phí sản xuất ra 100 đơn vị sản lượng là thấp nhất. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 36 / 36