Phương pháp phần tử hữu hạn - Nguyễn Xuân Lựu

pdf

209 trang huongle 3670

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phương pháp phần tử hữu hạn - Nguyễn Xuân Lựu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

phuong_phap_phan_tu_huu_han_nguyen_xuan_luu.pdf

Nội dung text: Phương pháp phần tử hữu hạn - Nguyễn Xuân Lựu

NGUYN XUÂN LU PHƯƠNG PHÁP PHN T HU HN . NHÀ XUT BN GIAO THÔNG VN TI HÀ NI 2007
LI NÓI ðU Trong nhng phương pháp tính toán kt cu hin nay, các phương pháp s, ñc bit là phương pháp phn t hu hn ngày càng ñưc ng dng rng rãi. các trưng ñi hc k thut, môn hc Phương pháp phn t hu hn ñã ñưc ñưa vào chương trình ging dy. ð ñáp ng yêu cu hc tp và nghiên cu ca sinh viên, chúng tôi biên son cun sách này nhm cung cp cho ngưi ñc nhng kin thc cơ bn nht ca môn hc, bit s dng phương pháp này ñ gii nhng dng bài toán ñin hình ñơn gin, t ñó có cơ s ñ vn dng vào công tác tính toán, thit k công trình trong thc t. Sách cũng có th làm tài liu tham kho cho các hc viên cao hc, các k sư thit k cơ khí và công trình. ð nm vng môn hc này ngưi ñc cn ôn li hoc b túc thêm các kin thc v Cơ hc vt rn, Lý thuyt ñàn hi, Lý thuyt ma trn, Phương trình ño hàm riêng. Vì vy cui cun sách chúng tôi gii thiu thêm v ði cương Lý thuyt ñàn hi như là Phn ph lc ca cun sách. Trong quá trình biên son cun sách, tác gi ñã nhn ñưc nhiu ý kién ñóng góp quí báu ca các bn ñng nghip, nhân ñây chúng tôi xin t lòng cám ơn chân thành. Tác gi PPPTHH 3
Chương 1 KHÁI NIM CHUNG V PHƯƠNG PHÁP PHN T HU HN 1.1. Mô hình ri rc hóa kt cu Trong my chc năm gn ñây, k thut tính toán kt cu ñã có nhng bưc phát trin mi do vic ng dng rng rãi máy tính ñin t. Mt trong nhng phương pháp tính toán ñang ñưc s dng ngày càng nhiu và có hiu qu là phương pháp phn t hu hn (sau ñây vit tt là PTHH). Phương pháp PTHH trong tính toán kt cu là tng hp ca nhiu b môn, vì nó liên quan ñn kin thc trong ba lĩnh vc sau ñây: Cơ hc kt cu: sc bn vt liu, lý thuyt ñàn hi, lý thuyt do, ñng lc hc Gii tích s: các phương pháp gn ñúng, gii h phương trình tuyn tính, bài toán tr riêng Tin hc ng dng. Ý tưng cơ bn ca phương pháp PTHH trong tính toán kt cu là coi vt th liên tc như là t hp ca nhiu phn nh liên kt vi nhau bi mt s hu hn các ñim, gi là nút . Các phn nh ñưc hình thành gi là các phn t hu hn (gi tt là phn t). Hình dng và kích thưc các phn t có th khác nhau, to thành các mng lưi khác nhau. Trên hình 1.1 gii thiu mt s sơ ñ ri rc hóa kt cu liên tc thành mng lưi PTHH. Dĩ nhiên, quan nim ri rc hóa như vy ch là gn ñúng. Khi thay th kt cu thc (h liên tc) bng t hp các phn t như trên, ngưi ta tha nhn rng, năng lưng bên trong mô hình thay th phi bng năng lưng trong kt cu thc. Trong mi phn t, các ñi lưng cn tìm (thí d chuyn v, ng sut) ñưc ly xp x theo mt dng hàm ñơn gin gi là hàm xp x . Các hàm xp x, thí d hàm xp x chuyn v, phi tha mãn ñiu kin liên tc trên biên các phn t tip xúc vi nhau. Trong mt s trưng hp, các ñiu kin tương thích này ch tha mãn mt cách gn ñúng. Ngưi ta căn c vào hình dng và tình hình chu lc ca kt cu ñ chn loi phn t thích hp. ði vi h thanh, ly ñon dm và thanh làm PTHH. Vi kt cu tm phng thưng s dng các phn t hình tam giác, phn t hình ch nht, phn t hình t giác có cnh thng hoc cong. ði vi kt cu v, ngoài các loi phn t tm phng còn s dng phn t v. ði vi vt th khi, thưng dùng các loi phn t hình t din, hình lp phương, hình lc din. Còn ñi vi vt th ñi xng trc, thưng dùng phn t hình vành khăn. Hình 1.2a gii thiu mt s loi phn t thưng dùng.
Hình 1.1 Tùy theo s lưng nút và cách b trí nút trong mi PTHH, ngưi ta phân bit các loi phn t tuyn tính và phn t bc cao, tương ng vi các dng hàm chuyn v tuyn tính và dng hàm chuyn v bc cao. Hình 1.2b gii thiu 3 loi phn t bc cao. a) b) Hình 1.2 Khi phân tích các kt cu có th s dng các mô hình tính như sau: 1. Mô hình chuyn v chn chuyn v các nút làm n. Các n này ñưc xác ñnh t h phương trình cân bng thành lp trên cơ s nguyên lý th năng toàn phn dng. Nguyên lý này phát biu như sau: PPPTHH 5
Trong tt c các trưng chuyn v tha mãn các ñiu kin tương thích và ñiu kin biên ñng hc, thì trưng chuyn v tương ng vi s cân bng ca vt th s làm cho th năng toàn phn π ñt giá tr dng (ñt giá tr cc tiu). δπ= δU + δ V = 0 (1.1) trong ñó: π =U + V là hàm ca các chuyn v. U – th năng bin dng ñàn hi ca vt th, biu din bng phn din tích v trên hình 1.3. V – công ca ngoi lc sinh ra trên dch chuyn ca ngoi lc do vt th b bin dng. Nu h trng thái n ñnh, th năng toàn phn có giá tr cc tiu. Như vy sau khi gi thit mt dng hàm chuyn v trong phn t, t ñiu kin dng ca phim hàm π ta s nhn ñưc mt h phương trình cân bng trong khi các ñiu kin liên tc ñã ñưc tha mãn. Hình 1.3 2. Mô hình cân bng chn các ng sut hay ni lc các nút làm n. Các n này ñưc xác ñnh t h phương trình tương thích thành lp trên cơ s nguyên lý cc tiu ca th năng bù toàn phn. Nguyên lý này phát biu như sau: Trong tt c các trưng ng sut tha mãn ñiu kin cân bng và ñiu kin biên tĩnh hc, thì trưng ng sut tha mãn ñiu kin tương thích s làm cho th năng bù toàn phn π ∗ ñt giá tr dng. δπ∗= δU ∗ + δ V ∗ = 0 (1.2) trong ñó: π ∗=U ∗ + V ∗ là hàm ca các ng sut. U ∗ th năng bù ca bin dng, biu din bng phn din tích phía trên v trên hình 1.3. V ∗ công bù ca ngoi lc.
Thông thưng ngưi ta hay s dng mô hình chuyn v vì nó thun li hơn cho vic t ñng hóa tính toán trên máy tính. Do ñó trong tài liu này ch ñ cp ñn mô hình chuyn v ca phương pháp PTHH. 1.2. Hàm chuyn v. Hàm dng 1.2.1. ða thc xp x. Hàm chuyn v Nu s dng mô hình chuyn v trong phương pháp PTHH thì hàm xp x ca ñi lưng cn tìm là hàm chuyn v. Hàm này mô t gn ñúng chuyn v ca các ñim trong phn t. Thông thưng ngưi ta chn hàm chuyn v dưi dng ña thc, bi vì dng ña thc d ño hàm, tích phân, d thit lp công thc khi xây dng các phương trình cơ bn ca phương pháp PTHH. Bc ca ña thc và s lưng s hng trong ña thc ph thuc vào bc t do ca phn t, tc là s chuyn v tt c các nút ca phn t. ðiu này s nói k hơn khi phân tích nhng kt cu c th trong nhng phn sau. Các ña thc xp x phi tha mãn ñiu kin hi t, tc là khi kích thưc phn t nh dn thì kt qu s hi t ñn li gii chính xác. Mun vy trong ña thc ñưc chn phi tn ti s hng t do (hng s) và tn ti ño hàm riêng ñn bc cao nht trong phim hàm năng lưng. Thí d, ñi vi bài toán mt chiu có th chn: f( x ) =α1 + α 2 x (xp x tuyn tính) 2 fx( ) =α1 + α 2 xx + α 3 (xp x bc hai) n+1 i−1 f( x ) = ∑αi x (xp x bc n) 1 ði vi bài toán hai chiu có th chn: fxy( , ) =α1 + α 2 x + α 3 y (xp x tuyn tính) 2 2 fxy( , ) =++ααα123 x y + α 4 x + α 5 xy + α 6 y (xp x bc hai) 1.2.2. Biu din hàm chuyn v qua chuyn v nút. Hàm dng Hình 1.4 PPPTHH 7
Ta xem xét mt PTHH hình tam giác trong bài toán phng ca Lý thuyt ñàn hi. Phn t có 3 nút là 3 ñnh ca tam giác, ni khp vi các phn t khác (hình 1.4). Mi nút có 2 bc t do, tc là có th chuyn dch theo 2 phương x và y. Như vy phn t có 6 bc t do, chúng ñưc biu din bng 6 chuyn v các nút là uvuii,, j ,, vu j mm , v . Ta gi ñó là các chuyn v nút. Chúng hp thành vectơ chuyn v nút ca phn t: ui  v  i  u j  {}δ =   (1.3) v j  u  m  vm  Các chuyn v nút này là n ca bài toán tính kt cu theo mô hình chuyn v ca phương pháp PTHH. Trong nhiu trưng hp, các thành phn trong vectơ chuyn v nút không ch bao gm các giá tr hàm chuyn v ti các nút, mà còn có c giá tr ño hàm ca hàm chuyn v na (thí d trong bài toán un thanh, bài toán tm ). Như ñã thy, hàm chuyn v (ña thc xp x) là hàm ca các ta ñ, cho phép xác ñnh chuyn v ti mt ñim bt kỳ trong phn t. Bây gi ta tìm cách biu din hàm chuyn v theo các chuyn v nút. Thí d hàm chuyn v ca phn t tam giác có dng: uxy( , ) =α + α x + α y 1 2 3 (1.4) vxy( , ) =α4 + α 5 x + α 6 y α1  α  2  u() x, y  1x y 000  α3  hay {}f = =  (1.5) 0 0 0 1 x y  α v() x, y    4  α  5  α6  hoc { f} =[ Q ]{α} (1.6) trong ñó: { f } là vectơ chuyn v [Q] là ma trn các ñơn thc {α} là vectơ các tham s Chuyn v ti các nút, theo (1.6) ta có {δ} = [C]{ α } (1.7) trong ñó: [C] là giá tr [Q] ti các nút, tc là ma trn ta ñ nút.
Có th xác ñnh {α} theo [C] , ta có t (1.7) {}α= [C]−1 {} δ (1.8) Do ñó theo (1.6): {}f= [ Q][ C ]−1 {}δ (1.9) hay { f} = [ N ]{δ} (1.10) trong ñó: [N] = [ Q][ C ]−1 (1.11) Ma trn [N ] gi là ma trn các hàm dng , còn gi là ma trn các hàm ni suy, vì có th t chuyn v các nút ni suy ra chuyn v ca ñim bt kỳ. Các hàm dng có mt ý nghĩa rt quan trng khi phân tích kt cu theo phương pháp PTHH. 1.2.3. Lc nút Khi vt th chu lc, trong các phn t sinh ra các ni lc. Phương pháp PTHH gi thit rng các ni lc này ñu truyn qua nút. Các lc tác dng lên nút gi là lc nút, ñó là lc tương tác gia các phn t liên kt vi nhau ti nút do các chuyn v nút sinh ra. ðương nhiên ti các nút còn có th có các ngoi lc (ti trng). Nu ti trng không ñt ti nút thì phi di v nút theo phép bin ñi tương ñương. Trong mi phn t các lc nút hp thành vectơ lc nút {}F e . Vectơ này có s thành phn bng s thành phn ca vectơ chuyn v nút, ñưc sp xp tương ng vi vectơ chuyn v nút. Thí d ñi vi phn t tam giác phng hình 1.4, ta có vectơ lc nút (hình 1.5a) là: T e   {}F=  UVUVUii j j mm V  Hay thí d ñi vi phn t thanh chu un (hình 1.5b), tương ng vi vectơ chuyn v nút (gm chuyn v thng và góc quay) T   {}δ= vi θ i v j θ j  là vectơ lc nút T e   {}F=  VMVi ij M j  a) b) Hình 1.5 PPPTHH 9
1.3. Phương trình cơ bn ca phương pháp PTHH 1.3.1. Các quan h chuyn v, bin dng, ng sut trong phn t Theo mô hình chuyn v ca phương pháp PTHH, ñi lưng cn tìm ñu tiên là chuyn v các nút. Sau khi chn hàm xp x ca chuyn v, ta xác ñnh ñưc trưng chuyn v theo chuyn v nút: { f} = [ N ]{δ} (1.12) S dng phương trình bin dng Cauchy trong Lý thuyt ñàn hi {ε} =[ ∂ ]{ f } (1.13) trong ñó: [∂] là toán t vi phân ∂  0 0 ∂x    ∂ 0 0  ∂y    ∂ 0 0  ∂z  []∂ =   (1.14) ∂ ∂ 0  ∂x ∂ x  ∂ ∂  0  ∂y ∂ y  ∂ ∂  0  ∂z ∂ z  ta có vectơ bin dng : {ε} =[ ∂ ][N ]{ δ } hay {ε}= [B]{δ} (1.15) trong ñó: [B] =[ ∂ ][ N ] (1.16) gi là ma trn tính bin dng . ng sut ti mt ñim trong phn t xác ñnh theo ñnh lut Hooke: {σ} = [D]{ ε } (1.17) trong ñó: [D] gi là ma trn ñàn hi . T ñó theo (1.15) ta có vectơ ng sut : {σ} = [D][ B ]{ δ } (1.18)
hay {σ} = [S]{ δ } (1.19) trong ñó: [S] = [ D][ B ] (1.20) gi là ma trn tính ng sut . 1.3.2. Phương trình cơ bn ca phương pháp phn t hu hn. Ma trn ñ cng phn t. Vectơ ti phn t Sau ñây ta s dng nguyên lý cc tiu th năng toàn phn ñ thit lp phương trình cơ bn ca phương pháp PTHH. Gi s mt PTHH có th tích Ve chu tác dng ca lc th tích p và lc b mt q trên din tích Se . Th năng toàn phn ca phn t là Ue có th vit dưi dng: 1 T T T U=[]ε{} σ dV −[] fpdV{} − [] fqdS{} (1.21) e ∫∫∫2 ∫∫∫ ∫∫ Ve Ve S e ð ý ti (1.12), (1.15), (1.19) ta có 1 TT T T T [δ ] [BDB ] [ ][ ]{}{} δδ dV−[] N{} pdV − [][] δ NqdS{} (1.22) ∫∫∫2 ∫∫∫ ∫∫ Ve Ve S e 1 TT TT T  hay U=[δ ] [ BDBdV ] [ ][ ] {}{} δ − δ [] NpdV{} + [] NqdS{}  e 2 ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫  Ve Ve S e  (1.23) ðt [k] = ∫∫∫ [ B]T [ DBdV][ ] (1.24) Ve và {}Pe=∫∫∫[ N] T{} pdV + ∫∫ [ N] T {} qdS (1.25) Ve S e 1 T T e ta có U=[][]δ k{} δ − [] δ {} P (1.26) e 2 Ma trn [k] gi là ma trn ñ cng phn t , còn vectơ {}P e là vectơ ti phn t bao gm các thành phn lc ñt ti nút, các lc này ñưc quy ñi sau khi di các ti trng P và q v nút, do ñó {}P e còn gi là lc nút tương ñương . Trong trưng hp nút có tn ti lc tp trung R1    e R2  R = {} M      Rn  thì phi cng thêm các lc tp trung này vào vectơ ti {}P e . PPPTHH 11
Theo nguyên lý cc tiu th năng toàn phn, ñiu kin cân bng ti các nút ca phn t là: ∂U e = 0 (1.27) ∂{}δ ∂U ∂ U ∂ U tc là e=0, e = 0, , e = 0 (1.28) ∂{}δ1 ∂{} δ 2 ∂ {} δ n Sau khi ly cc tiu t (1.26) ta ñưc [k]{}{}δ = P e (1.29) ðây là phương trình cơ bn ca phương pháp phn t hu hn tính theo mô hình chuyn v. ðiu ñó có nghĩa là ti tng nút, lc nút do chuyn v nút gây ra Fe = k δ phi cân bng vi ti trng ñt nút. {}δ [ ]{} Fe= P e {}{}δ Trong trưng hp PTHH có bin dng ban ñu ε 0 và ng sut ban ñu σ 0 thì quan h (1.18) ñi thành: {σ} =[D][ B]{ δ} −[ D ]{ εσ0} + { 0 } (1.30) Do ñó vectơ ti phn t (1.25) có thêm thành phn do ε 0 và σ 0 gây ra: PeT= NpdV +− NqdS T BD Tε dV + B T σ dV {} ∫∫∫[ ] {} ∫∫[ ] {} ∫∫∫[ ] [ ]{}0 ∫∫∫ [ ] {} 0 Ve Se V e V e (1.31) 1.3.3. Ma trn ñ cng tng th. Vectơ ti tng th. Phương trình cơ bn ca h Sau khi thit lp ñưc các ma trn ñ cng phn t và vectơ ti phn t ca tt c các phn t trong mng lưi kt cu, ta cn phi t hp tt c chúng li thành ma trn ñ cng tng th [K ] và vectơ ti tng th [P] ca kt cu, t ñó xây dng phương trình cơ bn ñi vi toàn b kt cu. Vic t hp này có nghĩa là phi sp xp các thành phn trong các ma trn [k] ca các phn t vào các v trí thích hp trong ma trn [K ], và các thành phn trong các ma trn {}P e ca các phn t vào các v trí thích hp trong {P}. S sp xp này ñưc mô t bng ma trn ñnh v ca các phn t. Gi vectơ chuyn v nút ca phn t là {δ} và vectơ chuyn v nút tng th ca toàn b kt cu là {}, thì quan h gia chúng có th biu din dưi dng: δ =L (1.32) { } [ ]e { } nd ×1 nd× n
trong ñó: L là ma trn ñnh v ca phn t, nd là s chuyn v nút trong mi [ ]e phn t, n là s chuyn v nút trong toàn b kt cu. Thí d có thanh chu kéo như hình 1.6. Hình 1.6 Chia thanh thành 4 phn t, 5 nút ñánh s như hình v. Vectơ chuy n v nút tng th: T {}= [1 2 3 4 5 ] (1.33) Vectơ chuyn v nút ca các phn t: 1   1 0 0 0 0  δ ==1 =L {}{}    []1 {} 2  0 1 0 0 0  2   0 1 0 0 0  δ ==2 =L {}{}    []2 {} 3  0 0 1 0 0  3   0 0 1 0 0  δ ==3 =L {}{}    []3 {} 4  0 0 0 1 0  (1.34) 4   0 0 0 1 0  δ ==4 =L {}{}    []4 {} 5  0 0 0 0 1  Căn c vào (1.26) ta có th vit ñưc biu thc th năng toàn phn ca toàn b kt cu: n n n e e 1 Te T e UU=∑e = ∑[][]δ k{} δ − ∑ [] δ {} P (1.35) e=1 e = 12 e = 1 ð ý ñn (1.32) ta có n n e 1 TTe TTe U= LkL − LP ∑[ ] [ ]e [ ][ ] e{} ∑ [][] e {} e=1 2 e = 1 n n 1 TTe  TTee  =LkL − LP [ ]∑ [ ]e [ ][ ] e {} [][] ∑ e {}  2 e=1 e = 1  1 T T hay U=[][] K{} −[] {} P (1.36) 2 PPPTHH 13
ne vi K= LkLT (1.37) [ ]∑ [ ]e [ ][ ] e e=1 là ma trn ñ cng tng th ca toàn b kt cu, ne và P= LT P e (1.38) {} ∑[]e {} e=1 là vectơ ti tng th . S dng nguyên lý cc tiu th năng ñi vi toàn b kt cu, ta có ñiu kin cân bng ca toàn h là ∂U = 0 (1.39) ∂ T ñó ñưc h phương trình cơ bn ca toàn b kt cu: [K]{} = { P } (1.40) Trong thc t tính toán ngưi ta không s dng các công thc (1.37) và (1.38) ñ thit lp [K ]và {P}, mà s dng phương pháp ñơn gin và nhanh chóng hơn, ñó là phương pháp ch s. ðiu này s trình bày nhng phn sau. 1.4. Trình t tính kt cu theo phương pháp phn t hu hn Quá trình gii bài toán tính kt cu theo phương pháp PTHH bao gm các bưc sau ñây: (1) Ri rc hóa kt cu, tc là chia kt cu thành mng lưi các PTHH. Vic chn loi phn t và s lưng phn t tùy thuc vào tính cht và ñ chính xác yêu cu ca bài toán. (2) Chn hàm xp x chuyn v mô t chuyn v ca các ñim trong PTHH. (3) Thit lp ma trn ñ cng ca tng PTHH. Nu h ta ñ phn t và h ta ñ kt cu không trùng nhau thì phi thc hin phép bin ñi ta ñ. (4) Thit lp ma trn ñ cng tng th và vectơ ti tng th ca toàn b kt cu. (5) Thành lp h phương trình cơ bn ca kt cu có dng: [K]{} = { P } Cn chú ý là ma trn ñ cng [K] là ma trn suy bin vì ta ñã coi phn t có chuyn ñng t do (chuyn ñng c th). Do ñó cn s dng các ñiu kin biên ñng hc ñ thành lp vectơ chuyn v nút {∗}ch cha các chuyn v nút là n, và tương ∗ * ng có các ma trn ñ cng K  và vectơ ti tng th {P }. T ñó có phương trình: ∗ ∗ ∗ K  {} = { P } (1.41) Gii h phương trình này tìm ñưc vectơ chuyn v nút tng th trong h ta ñ tng quát. (6) Xác ñnh vectơ chuyn v nút ca tng PTHH trong h ta ñ ña phương ca tng phn t. T ñó xác ñnh bin dng, ng sut trong tng phn t.
Câu hi ôn tp Chương I 1. Trình bày cơ s lý thuyt ñ thit lp các phương trình cơ bn ca phương pháp phn t hu hn. 2. Có mi liên h gì gia phương pháp phn t hu hn và phương pháp bin phân trong Cơ hc kt cu? 3. Trình bày cách chn hàm xp x. Phân bit phn t tuyn tính và phn t bc cao. 4. Ý nghĩa ca ma trn ñ cng ca phn t. Gii thích ý nghĩa các thành phn trong ma trn ñ cng phn t. 5. Ý nghĩa hàm dng ca phn t hu hn khi tính theo mô hình chuyn v. 6. Nêu các tính cht ch yu và cách thit lp ma trn ñ cng tng th và cách thit lp vectơ ti tng th. 7. Trình bày trình t gii mt bài toán tính kt cu theo phương pháp phn t hu hn. Chương 2 TÍNH H THANH 2.1. Phn t hu hn trong h thanh Trong các h thanh như kt cu giàn, kt cu khung, các ñon thanh hình lăng tr ñưc coi là các PTHH. Trong kt cu thanh, các thành phn chuyn v ca phn t là hàm ca mt bin, tc là ch thay ñi dc theo trc thanh, do ñó bài toán h thanh là bài toán mt chiu. kt cu giàn, các phn t chu bin dng kéo hoc nén, còn kt cu khung phng các phn t còn chu thêm bin dng un. Nu là khung không gian còn có th có thêm bin dng xon. Vì vy ñ d dàng nghiên cu và tng hp, ta ln lưt phân tích ba loi phn t nói trên. 2.1.1. Phn t thanh chu kéo (nén) dc trc Có mt phn t thanh hình lăng tr có tit din không ñi A, chiu dài a, chu kéo hoc nén dc trc dưi tác dng ca ti trng phân b dc trc q(x) (hình 2.1). PPPTHH 15
Hình 2.1 Chn h ta ñ như hình v. Phn t thanh có 2 nút là hai ñu thanh, nút ñu là i, nút cui là j, vi các chuyn v nút là δi và δ j . Vì các chuyn v nút ñu có phương trùng vi trc x nên ta có th vit vectơ chuyn v nút: δi  u i  {}δ =  =   (2.1) δ j  u j  Tương ng vi vectơ chuyn v nút ta có vectơ lc nút ca phn t: e Ui  {}F =   U j  Chn hàm chuyn v có dng: u( x ) =α1 + α 2 x (2.2) ðây là hàm bc nht cha 2 h s, ñúng bng s bc t do (s chuyn v nút) ca phn t. ðiu này ñm bo ñiu kin tương thích ca hàm chuyn v trên các biên chung gia các phn t lân cn. Chuyn v ti nút i (x = 0) là ui , ti nút j (x = a) là uj , thay vào (2.2) ñưc u = α i 1 (2.3) uj =α1 + α 2 a Vit dưi dng ma trn: ui  1 0  α1  =  (2.4) u   j  1 a  α2  hay {δ} = [C]{ α } (2.5) T ñó có {}α= [C]−1 {} δ (2.6) trong ñó: [C]−1 là ma trn nghch ño ca [C] 1 0  −1 []C = 1 1  (2.7) −  a a  Biu din (2.2) dưi dng ma trn và ñ ý ti (2.6) ta có
α1  u= []1 x   α2  =[]Q{}α = [ Q ][ C ]−1 {} δ hay u= [ N ]{δ} (2.8) trong ñó [N] = [ Q][ C ]−1 (2.9) T ñó ta có x x  []N =1 − (2.10) a a  [N ] gi là ma trn các hàm dng (còn gi là hàm ni suy Lagrange bc 1) [N] = [ N1 N 2 ] (2.11) vi các hàm dng: x x N=1 − , N = (2.12) 1a 2 a Biu thc (2.8) biu din quan h gia hàm chuyn v vi các chuyn v nút. Hàm dng là hàm ca ta ñ, biu din s phân b ca chuyn v trong phn t khi chuyn v nút bng ñơn v. Trên hình 2.2 là biu ñ ca các hàm dng Nx1(), N 2 () x và biu ñ ca chuyn v u( x ) . i j Hình 2.2 Bây gi ta xét bin dng và ng sut trong phn t. Phương trình bin dng Cauchy biu din quan h gia bin dng và chuyn v trong bài toán mt chiu có dng ∂u ε = (2.13) x ∂x Theo (2.2) ta có εx = α 2 PPPTHH 17
hay vit dưi ma trn α1  {}ε = []0 1   α2  ð ý ti (2.6) ta có {}ε= [0 1 ][C ]−1 {} δ 1 0  = []0 1 1 1  {}δ −  a a  1 1  = − {}δ a a  hay {ε} = [B]{ δ } (2.14) 1 1  trong ñó []B = − (2.15) a a  Ma trn [B] gi là ma trn tính bin dng . Như vy bin dng phn t có th biu din qua chuyn v nút. Trong trưng hp này [B] là hng s, chng t bin dng trong phn t chu kéo (nén) là hng s. ng sut pháp ti mt ñim trong phn t theo phương dc trc ñi vi vt liu ñàn hi tuyn tính ñưc xác ñnh da vào ñnh lut Hooke: σ= E ε (2.16) trong ñó: E là mô ñun ñàn hi Young ca vt liu. Vit (2.16) mt cách tng quát dưi dng ma trn: {σ} = [D]{ ε } (2.17) trong ñó: [D] là ma trn ñàn hi. Trong trưng hp bài toán mt chiu có bin dng dc trc thì [D] =E Ta có th biu din ng sut qua chuyn v nút {σ} = [D][ B ]{ δ } (2.18) hay {σ} = [S]{ δ } (2.19) trong ñó [S] = [ D][ B ] (2.20) gi là ma trn tính ng sut .
Ta nhn thy, do bin dng là hng s nên ng sut trong phn t cũng là hng s. Ma trn ñ cng phn t ñưc thit lp da vào công thc (1.24): [k ]= ∫∫∫ [ B ]T [ DBdV ][ ] Ve 1  − (2.21) a a  1 1  =  E − Adx ∫0   1  a a  a  Sau khi tích phân ñưc EA EA  − a a  []k =   (2.22) EA EA −  a a  ðó là mt ma trn vuông ñi xng. Vectơ ti phn t, ñây là vectơ lc nút tương ñương, theo (1.25) ta có a T {}Pe = [] N{} qdx ∫0 x  1− a a  =   q( x ) dx ∫0 x  a  Trong trưng hp ti trng phân b ñu qx( ) = q0 = const thì q0 a  e 2  {}P =   (2.23) q0 a  2  tc là phân b theo sơ ñ sau: Hình 2.3 Trưng hp có ti trng tp trung P ñt ti ñim có ta ñ x thì {}Pe= [ N] T . P PPPTHH 19
Trưng hp phn t có bin thiên nhit ñ T vi h s dãn nhit α thì Pe= BD T ε dV { } ∫∫∫ [ ] [ ]{ 0} Ve 1  − a a  =  E{}α T Adx (2.24) ∫0 1  a  −1  =EAα T   1  2.1.2. Phn t thanh chu un Phn t thanh có tit din không ñi A , chiu dài a. Chn trc x là trc thanh, trc y là mt trc quán tính chính trung tâm ca tit din thanh (hình 2.4). Ti 2 nút i và j có các thành phn chuyn v thng theo phương y là vi, v j và các thành phn chuyn v góc (góc quay quanh trc z) là θ zi ,θ zj . Trên hình v các chuyn v có du dương. Ta có vectơ chuyn v nút vi    θzi  {}δ =   (2.25) v j    θzj  Hình 2.4 Tương ng vi các thành phn chuyn v nút là các lc nút. Ta có vectơ lc nút ca phn t
Vi    e M zi  {}F =   (2.26) V j    M zj  Vectơ chuyn v nút gm 4 thành phn, do ñó ta chn hàm chuyn v là mt ña thc bc ba cha 4 thông s ñc lp: 2 3 vx( ) =+αα12 xx + α 3 + α 4 x (2.27) Vì gia chuyn v thng v( x ) và chuyn v góc θz (x ) có quan h ño hàm ∂v = θ ∂x z do ñó ch cn chn hàm xp x ñi vi v( x ) là ñ. Vit (2.27) dưi dng ma trn: α1    2 3 α2  v= 1 xxx    (2.28) α3    α4  hay v= [ Q ]{α} (2.29) 2 3 trong ñó: [Q] = 1 xxx  (2.30) Các thành phn chuyn v ti nút i (x = 0) và nút j (x= a ) tính ñưc vi = α1 ∂v  θzi =  = α 2 ∂x  x=0 2 3 vj =+αα12 aaa + α 3 + α 4 ∂v  2 θzj =  =+ ααα22 3a + 3 4 a ∂x  x= a Vit dưi dng ma trn: vi  10 0 0  α1        θzi 01 0 0 α2 =    (2.31) v 2 3  j 1 a a a α3   θ 2  zj  01 2a 3 a  α4  hay {δ} = [C]{ α } (2.32) PPPTHH 21
T ñó ta có {}α= [C]−1 {} δ (2.33) 1 0 0 0  0 1 0 0  trong ñó: []C −1 =   (2.34) −3/a2 − 2/ aa 3/ 2 − 1/ a  3 2 3 2  2/a 1/ a− 2/ a 1/ a  Kt hp (2.29) và (2.33) ta ñưc vx( ) = [ Q][ C ]−1 {}δ (2.35) hay v( x ) = [ N ]{δ} (2.36) trong ñó ma trn các hàm dng [N] = [ Q][ C ]−1 (2.37)  32xx23 2 xxxx 2323 32 xx 23  []N=−+1 23 x −+ 223 − −+ 2  (2.38)  aa aaaa aa  Ta cũng có th vit [N] = [ NN1 2 N 3 N 4 ] (2.39) trong ñó các hàm dng là 3x2 2 x 3 N =1 − + 1 a2 a 3 2x2 x 3 N= x − + 2 a a 2 (2.40) 3x2 2 x 3 N = − 3 a2 a 3 x2 x 3 N = − + 4 a a 2 Các hàm dng này còn gi là hàm ni suy Hermite. Theo lý thuyt un ca dm, nu trên phn t thanh không có lc phân b tác dng (ñiu này phù hp vi gi thit ca phương pháp PTHH là ñưa ti trong trên phn t v các nút) thì ñ võng ca thanh phi tha mãn phương trình vi phân d4 v EJ = 0 (2.41) dx 4 Chuyn v tính theo (2.27) rõ ràng có th tha mãn phương trình (2.41). ð th các hàm dng và ñ th ca chuyn v (xp x) ñưc biu din trên hình 2.5.
vx( ) = Nu1i +θ+ N 2 zi Nu 3 j +θ N 4 zj Hình 2.5 Bây gi ta xét bin dng và ng sut trong tng phn t. Theo lý thuyt dm ta có công thc tính bin dng ( ñây là ñ cong): ∂2v {}ε = − (2.42) x ∂x2 ð ý ti (2.27) và (2.42) ñưc εx = −y(2 α3 + 6 α 4 x ) α1    α2  −1 hay {}ε x =−y[0026 x ]  =− y [ 0026 xC ][ ] {}δ α3    α4  {ε} = [B]{ δ } (2.43) trong ñó:  612x 46 x 612 x 26 x  []B=−−+ y −+ − −+ (2.44)  aa23 aaaa 223 aa 2  ng sut trong phn t thanh chu un cũng ñưc xác ñnh bng quan h {σ} = [D]{ ε } Trưng hp này ta cũng có [D] = E (2.45) Sau ñây ta thit lp ma trn ñ cng phn t. PPPTHH 23
Vn s dng công thc (1.24), trong ñó [B]ly theo (2.44) và [D] ly theo (2.45). Khi tích phân cn chú ý rng, tích phân y2 dydz= J (2.46) ∫∫ z A là mô men quán tính ca tit din thanh ñi vi trc z. Sau khi tích phân ta ñưc kt qu sau: 12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  z z− z z a3 a 2 a 3 a 2    6EJ 4 EJ 6 EJ 2 EJ z z− z z  a2 a a 2 a  []k =   (2.47) 12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ −z − z z − z  a3 a 2 a 3 a 2  6EJ 2 EJ 6 EJ 4 EJ  z z− z z  a2 a a 2 a  Vectơ lc nút tương ñương theo (1.25) ta có: Trưng hp ti trng q(x) phân b trên toàn b chiu dài phn t: a T {}Pe = [] Nqxdx( ) (2.48) ∫0 Trưng hp ti trng phân b trên mt ñon t x= a 1 ñn x= a 2 thì a T {}Pe = 2 [] Nqxdx( ) (2.49) ∫a 1 Trưng hp có lc tp trung P ñt ti ñim có ta ñ x thì {}Pe= [ N] T . P (2.50) Trưng hp có mô men tp trung M ñt ti ñim có ta ñ x thì T e dN  {}P= . M (2.51) dx  Thí d khi ti trng q phân b ñu trên toàn b chiu dài phn t, ta có (hình 2.6 a,b) 2 2 T e qa qa qa qa  {}P =− − −  (2.52) 2 12 2 12  a) Hình 2.6
b) 2.1.3. Phn t thanh chu xon thun túy Phn t chu ngu lc xon phân b m( x ) dc trc thanh. Chuyn v ca thanh ñưc ñc trưng bi góc xon θ (x ) (hình 2.7). Hình 2.7 Vectơ chuyn v nút có dng θxi  {}δ =   (2.53) θxj  Vectơ lc nút là e M xi  {}F =   (2.54) M xj  Hàm chuyn v chn dng ña thc bc nht θx (x ) = α1 + α 2 x (2.55) Bng cách lp lun tương t như trưng hp thanh chu lc dc trc, ta có ñưc công thc ma trn ñ cng phn t ca thanh chu xon thun túy: GJ GJ  x− x a a  []k =   (2.56) GJ GJ − x x  a a  trong ñó: G mô ñun ñàn hi trưt ca vt liu. J x mô men quán tính cc ca tit din. Ta cũng có công thc tính hàm dng PPPTHH 25
x x  []N =1 − (2.57) a a  Lc nút tương ñương xác ñnh t công thc a T {}Pe = [] Nmxdx( ) (2.58) ∫0 Thí d, trưng hp m( x ) phân b ñu dc theo trc thanh m( x ) = m 0 thì m0 a  e 2  {}P =   (2.59) m0 a  2  Trên ñây khi xác ñnh vectơ lc nút tương ñương ta ñã s dng phương pháp năng lưng vi công thc (1.25). Ngoài phương pháp ñó, còn có th dùng phương pháp qui ñi tương ñương tĩnh hc, rt thun tin ñi vi h thanh. Cách làm theo các bưc như sau: C ñnh hai ñu phn t, tc là gn cng các nút, sau ñó tính các phn lc ngàm theo phương pháp ca Cơ hc kt cu. Xác ñnh lc nút tương ñương bng cách b ngàm (tr li dng ban ñu ca phn t) và ñi chiu các phn lc va tính ñưc. Thí d phn t thanh chu lc tp trung ñt gia thanh (hình 2.8) ta có T e P Pa P Pa  {}P =− − − (2.60) 2 8 28  Hình 2.8
Trên Bng 1.1. gii thiu giá tr phn lc nút trong phn t thanh 2 ñu c ñnh mt s trưng hp ti trng thưng gp khi tính h thanh phng. 2.1.4. Phn t giàn phng Các phn t thanh trong h giàn phng gi là phn t giàn phng (hình 2.9). Vectơ chuyn v nút gm 4 thành phn: T   {}δ = ui v i u j v j  (2.61) Hình 2.9 Có th thit lp ma trn ñ cng phn t giàn phng bng cách thêm vào ma trn (2.22) các thành phn liên quan ñn chuyn v nút và lc nút theo phương y, các thành phn này bng không vì phn t giàn ch có ñ cng theo phương x. Ta có: EA EA  0− 0 a a    0 0 0 0 []k =   (2.62) EA EA  − 0 0  a a  0 0 0 0  Bng 1.1 . Giá tr phn lc nút trong phn t thanh b ngàm x x 2 qx 1( − ) q 2a 2a PPPTHH 27
. 2.1.5. Phn t khung phng Trong kt cu khung phng, phn t thanh va có bin dng dc trc, va có bin dng un (hình 2.10). Vectơ chuyn v nút gm có 6 thành phn: T   {}δ= uvi i θ zi uv j j θ zj  (2.63) Hình 2.10
Ma trn ñ cng ca phn t khung phng là t hp ca ma trn ñ cng phn t chu kéo (nén) và phn t chu un phng.  EA EA  00− 00  a a    12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  0zz 0 − zz   aa32 aa 32    64EJ EJ 62 EJ EJ  0zz 0 − zz   aa2 aa2  []k =  EA EA  − 00 00   a a    12EJzz 6 EJ 12 EJ zz 6 EJ  0−32 − 0 32 −   aa aa   62EJ EJ 64 EJ EJ  0zz 0 − zz  aa2 aa2  (2.64) 2.1.6. Phn t thanh không gian a) b) Hình 2.11 ði vi h thanh không gian (giàn không gian, khung không gian) hoc h thanh phng chu lc không gian thì các phn t thanh s chuyn v theo c 3 phương x, y, z. ði vi phn t giàn không gian (hình 2.11a) vectơ chuyn v nút có dng: T   {}δ = uii v wu i jj v w j  (2.65) Ma trn ñ cng ca phn t giàn không gian: PPPTHH 29
 EA EA  00− 00  a a    12EJ 12 EJ  00 z 00− 0 z 0   a3 a 3    12EJ 12 EJ  000 y 00 − 0 y   a3 a 3  []k =  EA EA  − 00 00   a a   12EJ 12 EJ  0 z z  0− 3 0003 0   a a   12EJ 12 EJ   00− 0 y 00 0 y   a3 a 3  (2.66) ði vi phn t khung không gian (hình 2.11b) vectơ chuyn v nút có dng: T   {}δ= uvwi i i θθθ xi yi zi uvw j j j θθθ xj yj zj  (2.67) ðây là phn t thanh ñng thi chu kéo (nén) dc trc x, chu un trong mt phng xy và xz, chu xon quanh trc x. Như vy tng hp các công thc ma trn ñ cng phn t (2.22), (2.47), (2.56) ta ñưc ma trn ñ cng phn t khung không gian có cp 12× 12 biu th công thc (2.68). Qua phân tích các công thc ma trn ñ cng nêu trên, ta thy ma trn ñ cng phn t có nhng tính cht sau ñây: ðó là mt ma trn vuông ñi xng, tc là các thành phn ñi xng vi nhau qua ñưng chéo chính thì bng nhau.
 EA EA  00000− 00000  a a    12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  0z 000z 0− z 000 z   a3 aa2 3 a 2   12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ   00y 0− y 000 −y 0 − y 0   aa3 2 aa3 2   GJ GJ   000x 00000− x 00   a a   64EJ EJ 62 EJ EJ   00− y 0 y 000y 0 y 0   aa2 aa2   6EJ 46 EJ EJ 2 EJ   0z 000z 0− z 000 z  a2 aa2 a k  =      EA EA  − 00000 00000   a a   12 EJ 6EJ 12 EJ 6 EJ  0 − z 000− z 0 z 000 − z  a3 aa2 3 a 2    12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  00− y 0 y 000y 0 y 0   aa3 2 aa3 2    GJ GJ  000− x 00000x 00   a a   62EJ EJ 64 EJ EJ   00− y 0 y 000y 0 y 0   aa2 aa2   6EJ 26 EJ EJ 4 EJ   0z 000z 0− z 000 z   a2 aa2 a  (2.68) Tính cht này xut phát t ñnh lý tương h ca chuyn v. Nó ñưc dùng mt cách có hiu qu ñ kim tra vic tính ma trn ñ cng. Trong quá trình tính ma trn [k] ch cn xác ñnh các phn t phía trên bên phi ñưng chéo chính ( kij vi j ≥1), còn các phn t phía dưi bên trái ñưng chéo chính ( kij vi j <1) thì xác ñnh theo quan h: kij= k ji Cp ca ma trn ñ cng phn t cùng cp vi vectơ chuyn v nút phn t. Ma trn ñ cng là ma trn suy bin, tc là ñnh thc ca ma trn bng không. Tính cht này xut phát t ñc tính là PTHH cho phép có chuyn v c th. Các tính cht nêu trên không ch ñúng ñi vi phn t thanh mà cũng ñúng vi các loi phn t khác. 2.2. Bin ñi ta ñ Trên ñây, khi xác lp các vectơ chuyn v nút và vectơ ti phn t cũng như thit lp ma trn ñ cng ca PTHH, ta ñu chn h ta ñ như sau: coi trc x là trc thanh, PPPTHH 31
các trc y và z là các trc quán tính chính ca mt ct ngang ca thanh, và chiu dương ca trc x, y, z xác ñnh theo qui tc tam din thun. Trong kt cu thanh (giàn, khung ) thưng các phn t (thanh) có phương khác nhau, nên nói chung h ta ñ ca tng phn t không ging nhau. H ta ñ riêng ñi vi tng phn t, ta gi là h ta ñ phn t hoc h ta ñ ña phương. Khi tính kt cu gm nhiu phn t, ñ thun tin khi thành lp các phương trình cân bng, ngưi ta cn s dng mt h ta ñ chung cho toàn b kt cu, gi là h ta ñ kt cu hoc h ta ñ tng quát. Vì vy, trưc khi bt tay vào vic lp phương trình cân bng tt c các nút, cn phi bin ñi quan h gia chuyn v nút và ti trng nút trong h ta ñ phn t thành quan h gia chuyn v nút và ti trng nút trong h ta ñ kt cu. Phép bin ñi ñó gi là phép bin ñi ta ñ. Thí d ta xét mt h thanh phng hình 2.12a. Các h ta ñ ña phương là xyz , h ta ñ tng quát là x′ y ′ z ′ (trc z và z′ hưng ra ngoài mt giy). Gi chuyn v theo phương x,y là u,v , chuyn v theo phương x′, y ′ là u′ ,v ′ , góc ′ quay chung quanh trc z và z′ là θx và θx , ñng thi gi các lc tương ng là U,V, M z và U′ ,V ′ , M z ′ . T hình 2.12b ta có quan h: a) b) Hình 2.12 u=u′cosϕ +v ′ sin ϕ v=u′sinϕ +v ′ cos ϕ (2.69) θz′= θ z ′ trong ñó: ϕ là góc gia trc x′ vi trc x. Tương t, quan h gia các lc trong hai h ta ñ là: ϕ
U= U′cosϕ + V ′ sin ϕ V= U′sinϕ + V ′ cos ϕ (2.70) Mz= M z′ Vit dưi dng ma trn ñi vi mt phn t khung phng:  '  u ui i  cosϕ sin ϕ 0 0 0 0        ' v vi  i  −sinϕ cos ϕ 0 0 0 0  θ '  θzi  0 010 00   zi  =    u 0 0 0 cosϕ sin ϕ 0 ' j  u j     '  v j 0 0 0− sinϕ cos ϕ 0 v    j  θzj  0 000 01   '  θ zj  hay {δ} = [T ]{ δ ′} (2.71) trong ñó: cosϕ sin ϕ 0 0 0 0    −sinϕ cos ϕ 0 0 0 0  0 010 00  []T =   (2.72) 0 0 0 cosϕ sin ϕ 0  0 0 0− sinϕ cos ϕ 0    0 000 01  Tương t như (2.71) ta vit ñưc e e {P} =T[ ]{ P ′} (2.73) Ma trn [T ] gi là ma trn bin ñi ta ñ ca phn t khung phng. Như ta ñã bit: [k]{}{}δ = P e (2.74) Thay (2.71) và (2.73) vào biu thc trên ñưc: [kT][ ]{}δ ′= [ TP]{} ′ e (2.75) Nhân hai v vi [T ]−1 ñưc [TkT]−1 [ ][ ]{}{}δ ′= P ′ e (2.76) Vi mi giá tr ca ϕ ta có [T]−1 = [ T ]T (vì [T ] là ma trn trc giao), do ñó [TkT]T[ ][ ]{}{}δ ′= P ′ e hay [k′]{}{}δ ′= P ′ e (2.77) PPPTHH 33
trong ñó: [k′] = [ T]T [ kT][ ] (2.78) là ma trn ñ cng ca phn t trong h ta ñ tng quát. Bây gi ta thành lp công thc tng quát ñ xác ñnh ma trn bin ñi, da vào các quan h ca hình hc gii tích. ði vi phn t khung không gian , ta có: u=λxx′ u′ + λ xy ′ v ′ + λ xz ′ w ′ v=λyx′ u′ + λ yy ′ v ′ + λ yz ′ w ′ w=λzx′ u′ + λ zy ′ v ′ + λ zz ′ w ′ (2.79) θx= λθ xx′ x′ + λθ xy ′ y′ + λθ xz ′ z′ θy= λθ yxx′′ + λθ yyy ′ ′ + λθ yzz ′ ′ θz= λθ zxx′′ + λθ zyy ′ ′ + λθ zzz ′ ′ u  u ′ θx  θ x ′     hay v=[][]λ  v ′,  θλθy =  y′ , (2.80)     w  w ′ θz  θ z ′ λxx′ λ xy ′ λ xz ′    trong ñó: []λ=  λyx′ λ yy ′ λ yz ′  (2.81)   λzx′ λ zy ′ λ zz ′  λmn ’ là côsin ca góc t trc m ca h ta ñ ña phương ñn trc n′ ca h ta ñ tng quát ( m= xyzn,,,′ = xyz ′′′ ,, ). T ñó ta có [λ] 0 0 0    0[]λ 0 0 []T =   (2.82) 0 0[]λ 0    0 0 0 []λ  Trưng hp khung phng , ta có λ= λ = λ = λ = 0 xz′ yz ′ zx ′ zy ′ λzz ′ = 1 λxx′ λ xy ′ 0  Do ñó λ=  λ λ 0  (2.83) [] yx′ yy ′  0 0 1  [λ] 0  []T =   (2.84) 0 []λ 
Trưng hp giàn không gian: [λ] 0  []T =   (2.85) 0 []λ  [λ] vn tính theo công thc (2.81). Trưng hp giàn phng: λxx′ λ xy ′  []λ =   (2.86) λyx′ λ yy ′  [λ] 0  []T =   (2.87) 0 []λ  ði vi phn t giàn phng và khung phng có th xác ñnh các côsin ch phương theo ta ñ nút mt cách d dàng, tc là xx′′− yy ′′ − λ=ji, λ = ji xx′a xy ′ a (2.88) λλyy′′= xx, λλ yx ′′ = − xy 2.3. Ma trn ñ cng tng th và vectơ ti tng th 2.3.1. Phương pháp thit lp ma trn ñ cng tng th và vectơ ti tng th Trên ñây ta ñã có công thc (1.37) thit lp ma trn ñ cng ca kt cu ne K= LkLT [ ]∑ [ ]e [ ][ ] e e=1 trong ñó: ma trn K và k ñưc thit lp trong h ta ñ tng quát, L là ma [ ] [ ] [ ]e trn ñnh v ca phn t, cho ta bit các thành phn trong ma trn [k] chim v trí nào trong ma trn [K ]. a) b) Hình 2.13 Ta xem mt thí d v giàn phng hình 2.13a. PPPTHH 35
Chia h thành 5 phn t, 4 nút, ñánh s như hình v. Các chuyn v nút ñưc v trên hình 2.13b. Vectơ chuyn v nút ca các phn t trong h ta ñ tng quát là u1 u2   u 1    1v1 2 v2 3  v 1 {}{}{}δ=, δ =  , δ =  , u2 u3  u 4    v2 v3   v 4 u4  u4      4v4 5 v4 {}{}δ=, δ =  u2 u3   v2  v3  Vectơ chuyn v nút tng th là T {} = [uvuvuvuv1122 33 44 ] Cn chú ý là các thành phn chuyn v trong {} ñưc sp xp theo s hiu nút t nh ñn ln, ñi vi mi nút thì chuyn v theo phương x xp trưc, theo phương y xp sau. Ta có quan h gia {δ}và {}qua ma trn ñnh v [L] như sau:
10000000    01000000  00100000    00010000  00100000    00010000  00001000  u    1 1 00000100 v  {}δ    1    2   10000000 u2  {}δ      3  01000000  v2  {}δ  =     00000010 u 4    3  {}δ    00000001  v3 5      δ {}  00000010  u4  00000001  v    4  00100000  00010000    00000010    00000001  00001000    00000100   Tuy nhiên biu thc trên ñây ch có ý nghĩa v mt lý thuyt. Trong thc hành thưng s dng mt phương pháp thun tin hơn gi là phương pháp ch s. phương pháp này ngưi ta s dng hai loi ch s: ch s cc b và ch s tng th ñ ñánh s các bc t do ca các nút (các chuyn v nút). Ch s cc b dùng ñ ch th t sp xp các chuyn v nút trong vectơ chuyn v nút phn t {δ}. Thí d phn t 1 giàn hình 2.3 ta có h thng ch s cc b: u4  (1)   4 v4  (2) {}δ =   u2  (3)   v2  (4) Ch s tng th dùng ñ ch th t sp xp các chuyn v nút trong vectơ chuyn v nút tng th {} . Thí d vi kt cu giàn hình 2.13 ta có h thng ch s tng th: T {} = [uvuvuvuv1122 33 44 ] (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) PPPTHH 37
Căn c vào các ch s cc b ta ñánh s ñưc các thành phn trong vectơ ti phn t {}P e cũng như các hàng các ct trong ma trn ñ cng phn t [k] . Căn c vào các ch s tng th ta ñánh s ñưc các thành phn trong vectơ ti tng th {P}cũng như các hàng các ct trong ma trn ñ cng tng th [K ]. Khi thit lp ma trn ñ cng tng th [K ]các s hng có cùng v trí (cùng ch s hàng và ch s ct) trong tt c các ma trn ñ cng phn t [k] ñưc ñưa vào cùng mt v trí (cùng ch s hàng và ch s ct như vy) trong ma trn [K ]. ði vi giàn phng trên ñây ta thành lp ñưc bng các ch s tng th tương ng vi các ch s cc b như sau: Ch s cc b 1 2 3 4 Phn t e 1 1 2 3 4 2 3 4 5 6 3 1 2 7 8 4 7 8 3 4 5 7 8 5 6 . Các ch s tng th ñó lp thành mt ma trn, ta gi là ma trn ch s [c] . c11 c 12 c 13 c 14  1 2 3 4  c c c c  3 4 5 6  21 22 23 24          []c= cij  = cccc31 32 33 34 = 1 2 7 8     c41 c 42 c 43 c 44  7 8 3 4      c51 c 52 c 53 c 54  7 8 5 6  2 Như vy ta thy thành phn k11 trong [k] ca phn t 2 s chim v trí ca K33 5 trong [K ], thành phn k23 trong [k] ca phn t 5 s chim v trí ca K85 trong [K ]. Mt cách tng quát có th vit e ®−a vo kij→ K mn
trong ñó: m là s hng cei tc là s hng hàng th e và ct th i trong ma trn [c] , và n là s hng cej tc là s hng hàng th e và ct th j trong ma trn [c] . ði vi vectơ ti tng th ta cũng làm tương t. Thành phn P e trong vectơ ti {}i e phn t {}P s ñưa vào v trí ca thành phn Pm trong vectơ ti tng th {P}. e ®−a vo Pi→ P m trong ñó: m = c ei . Qui tc trên ñưc minh ha bng sơ ñ dưi ñây khi ta ñưa các thành phn ca [k]4 vào [K ]. u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 U1 V 1 u v u v 4 4 4 4 4 4 2 2 U2 k k k31 k32 33 34 U k 4 k4 k4 k4 4 4 4 4 4 11 12 13 14 V2 k k k41 k42 43 44 V k 4 k 4 k 4 k4 4 21 22 23 24 U3 U k 4 k 4 k 4 k4 2 31 32 33 34 V3 V k 4 k 4 k 4 k4 U k4 k4 k4 k4 2 41 42 43 44 4 13 14 11 12 4 4 4 4 V4 k23 k24 k21 k22 . Làm tương t như vy ñi vi các phn t còn li, ta thit lp ñưc ma trn ñ cng tng th [K ] ca giàn, biu din ma trn (2.89). Vectơ ti tng th ca giàn có dng: T T {{PP}}==[[P PPPPPPPP12345555P P P P P P P] ] 1 2 3 4 5 6 7 8 T = []RQ110 T 2 0 QHT 344 2.3.2. Tính cht ca ma trn ñ cng tng th Dưi ñây nêu my tính cht quan trng ca ma trn ñ cng tng th. (1) ðó là mt ma trn ñi xng. Tính cht này giúp cho vic tính toán ñưc thun tin hơn rt nhiu. Khi tính toán ch cn lưu tr phn trên bên phi ñưng chéo chính ca [K ], phn còn li không cn lưu tr do quan h Kij= K ji . Ngoài ra tính cht này còn dùng ñ kim tra chương trình tính ma trn ñ cng. (2) ðó là mt ma trn suy bin. Thí d xét ma trn (2.89). Nu ly tng ca tt c các thành phn hàng th nht, tc là PPPTHH 39
1111 3333 kkkkkkkk11+++++++ 12 13 14 11 12 13 14 ta thy 4 s hng ñu chính là 4 s hng hàng th nht trong ma trn ñ cng ca phn t , tng ca chúng, như ta ñã bit, là bng không. Còn 4 s hng sau chính là 4 s hng hàng th nht trong ma trn ñ cng ca phn t , tng ca chúng cũng bng không. Như vy tng 8 s hng trên bng không, do ñó [K ]là ma trn suy bin. S dĩ như vy là vì kt cu có chuyn v c th. Vì vy ta không th dùng h phương trình tuyn tính này ñ gii ra các chuyn v nút chưa bit. Trong phn sau s ñ cp vn ñ này. (3) Ma trn [K ]có dng di (dng băng). B rng ca di ph thuc vào cách ñánh s nút và s bc t do ca mi nút. B rng B ca di tính như sau: B=2( d + 1) q − 1 trong ñó: q s bc t do ca mi nút d hiu ca các s hiu nút ln nht và nh nht trong mt phn t. Giá tr B nh hưng ñn s lưng lưu tr trong b nh ca máy và thi gian gii, do ñó nh hưng trc tip ti kích thưc ca bài toán. Ta so sánh 2 trưng hp ñánh s sau ñây ñi vi mt tm phng chu un. Trưng hp a): q = 3, d = 4 , B = 2(4+1)31 = 29 Trưng hp b): q = 3, d = 6 , B = 2(6+1)31 = 41
40 1 3 1 3 1 1 3 3 kkkkk11+ 11 12 + 12 13 k 14 0 0 k13 k 14  PPPTHH  1 3 1 3 1 1 3 3  kkkkk12+ 12 22 + 22 23 k 24 0 0 k23 k 24   1 11241242 2 4 4  k13 kkkkkkkk 23 33++ 11 33 34 ++ 12 34 13 k 14 k 31 k 32  1 11241242 2 4 4   k14 kkkkkkkk 24 34++ 12 34 44 ++ 22 44 23 k 24 k 41 k 42  []K =  0 0 k2 k 2 kkk 25+ 25+k k 5 k 5   13 23 33 33 34 34 31 32  2 2 2525 5 5  0 0 k14 k 24 kkkk 34+ 34 44 + 44 k 41 k 42   k3 k 3 k 4 k 4 k 5 kkkkkkk 5345345++ ++   13 23 31 41 31 41 33 11 11 34 12 12  3 3 4 4 5 5345345  k14 k 24 k 32 k 42 k 32 kkkkkkk 42 34++ 12 12 44 ++ 22 22  (2.89) 1 3 1 3 1 1 3 3 R1  kkkkk11+ 11 12 + 12 13 k 14 0 0 k13 k 14 u1     1 3 1 3 1 1 3 3   Q kkkkk+ + k0 0 k k v 1   12 12 22 22 23 24 23 24 1   1 11241242 2 4 4  0  k13 kkkkkkkk 23 33++ 11 33 34 ++ 12 34 13 k 14 k 31 k 32 u2     1 1 12412 422 4 4   T2   k14 k 24 kkkkkk 34++ 12 34 44 ++ 22 44 kk23 24 k 41 k 42 v2    =   0  0 0 k2 k 2 kkkk 2525+ + k 5 k 5  u    13 23 33 33 34 34 31 32  3    2 2 2525 5 5   Q3  0 0 k k kkkk+ + k k  v3   14 24 34 34 44 44 41 42   H  k3 k 3 k 4 k 4 k 5 kkkkkkk 5345345++ ++  u 4   13 23 31 41 31 41 33 11 11 34 12 12  4    3 3 4 4 5 5345345   T4   k14 k 24 k 32 k 42 k 32 kkkkkkk 42 34++ 12 12 44 ++ 22 22 v4  (2.90)
2.4. Thành lp phương trình cơ bn. Tính chuyn v nút 2.4.1. Sp xp li các phương trình cân bng. áp ñt ñiu kin biên Ta vn ly giàn phng hình 2.13 làm thí d. Sau khi thit lp ñưc vectơ chuyn v nút tng th, ma trn ñ cng tng th và vectơ ti tng th ta có phương trình gii ca toàn h (2.90) có dng [K]{} = { P } ðây chính là h phương trình cân bng tt c các nút ca phn t. ðó là mt h phương trình tuyn tính ly các chuyn v nút làm n. Ta nhn thy trong vectơ ti tng th các thành phn sp xp t trên xung dưi theo th t s hiu nút, còn trong mi nút thì lc nút theo phương x xp trưc, lc nút theo phương y xp sau, trong ñó k c phn lc chưa bit R1, Q 1 , Q 3 . Trong vectơ chuyn v nút tng th, th t các thành phn sp xp theo nguyên tc tương ng gia chuyn v nút và lc nút, trong ñó bao gm c chuyn v nút ñã bit u1, v1, v3. Tuy nhiên như ñã nói trên, ma trn [K ]là ma trn suy bin nên h phương trình không th gii ñưc. Bây gi căn c vào ñiu kin biên ca bài toán ( u1= v 2 = v 3 = 0 ) ta sp xp li th t các phương trình như sau. Trong vectơ ti tng th, ñưa các phn lc chưa bit R1, Q 1 , Q 3 xung phía dưi, còn các thành phn khác ñôn lên phía trên như trong (2.91). Các thành phn trong vectơ chuyn v nút tng th cũng sp xp theo nguyên tc tương ng gia chuyn v nút và lc nút. Kt qu là 5 thành phn ñu là các chuyn v chưa bit, 3 thành phn sau là các chuyn v ñã bit. Ma trn ñ cng [K ] cũng ñưc sp xp li như trong (2.91). PPPTHH 41
42 PPPTHH 1241242 4 4M 1 1 2 0  kkkkkkk33++ 11 33 34 ++ 12 34 13 k 31 k 32 k 31 k 32 k 14  u2    1241242 4 4 1 1 2    T kkkkkkk++ ++ k kM k k k v 2   43 21 43 44 22 44 23 41 42 41 42 24   2  2 2 2 5 5 5 M 2 5 0   k kkkk+ k0 0 kk+  u3    31 32 33 33 31 32 34 34    H 4 4 5 345345M 3 3 5 u 4   k13 k 14 k 1 3kkkkkk 33++ 11 11 34 ++ 12 12 k 31 k 32 k 14   4    4 4 5345345M 3 3 5    T4  k k kkkkkkk++ ++ k k k v4   23 24 23 43 21 21 44 22 22 41 42 24    M          1 1 3 3M 1313  R1  k13 k 140 k 13 k 14 kkkk 11+ 11 12 + 12 0 u1        Q  1 1 3 3M 1313  v 1  k23 k 240 k 23 k 24 kkkk 21+ 21 22 + 22 0 1     2 2 2 5 5 5 M 2 5    Q3   k41 kkkk 42 43+ 43 41 k 42 0 0 kk44+ 44  v3  (2.91)
2.4.2. Tính chuyn v nút Ta xem xét h phương trình (2.91). Phân vectơ ti {P}thành hai vectơ: {PA}gm 5 thành phn ñã bit, và {PB }gm 3 thành phn chưa bit. Tương t chia vectơ chuynv nút {} thành { A}gm 5 thành phn chưa bit và {B } gm 3 thành phn ñã bit. Lúc ñó ma trn ñ cng [K ]cũng phân thành 4 ma trn [KAA],[ K AB] ,[ K BA] , [ K BB ]. M PA K AA K AB  A 51× 55 × 53 ××  51    = M  (2.92) M  PB K BA K BB B 31× 35 × 33 ××  31 Có th phân tích (2.92) thành {PA} =[ K AA]{ + A} [ K AB]{ B } (2.93) {PB} =[ K BA]{ + A} [ K BB]{ B } (2.94) Ta ñã bit u1  0    {}{}=B v1  = 0 = 0 (2.95)    v3  0 trong ñó: {0}là vectơ 0. T ñó có th vit (2.93) thành {PA} =[ K AA]{ A } (2.96) hay vit dưi dng ∗ ∗ ∗ K  {} = { P } (2.97) Hình 2.4 PPPTHH 43
ðây là h phương trình bc nht có n là các chuyn v nút {∗}. Vectơ ti thu ∗ ∗ gn {P } ch cha các ti trng ñã bit. Ma trn K  ñưc thu gn t ma trn [K ]hin nhiên không còn là ma trn suy bin. Dùng phương pháp PTHH gii bài toán tĩnh hc thc cht là thành lp và gii h phương trình (2.97) trên ñây. Li gii ca nó s là ∗ ∗−1 ∗ {} = K  { P } (2.98) ∗ Sau khi tìm ñưc { }, bài toán trên là { A}, ñem thay vào (2.94) ñưc {PB} =[ K BA]{ A } (2.99) tc là tìm ñưc các phn lc chưa bit. Có th thy rng, nu t h phương trình (2.90) ta xóa ñi các hàng và các ct tương ng vi các chuyn v nút bng không (phn mu sm trên hình 2.14) thì s ñưc phn còn li là [K AA ] . Trên ñây ta ñã ly mt giàn phng làm thí d, tuy nhiên phương pháp này vn dùng cho tt c các loi kt cu khác. Thí d 2.1. Thành lp h phương trình cơ bn ca khung v trên hình 2.15. Cho bit a, A, J, E. Hình 2.15 Ta gii bài toán này theo các bưc sau ñây. Ri rc hóa kt cu . Chia khung thành 3 phn t , 2, 3, ñánh s nút 1, 2, 3, 4. Các thông tin v phn t và v nút ñưc ghi vào các bng sau. a) Thông tin v phn t S hiu phn t 1 2 3 Nút ñu 1 2 4 Nút cui 2 3 3
b) Thông tin v nút S hiu nút 1 2 3 4 Ta ñ x 0 0 a a Ta ñ y 0 a a 0 c) Thông tin v chuyn v nút S chuyn v nút: 12 S chuyn v nút bng 0 (do liên kt): 6 S n chuyn v nút: 6 ðánh s chuyn v nút: uv111222333444θ uv θ uv θ uv θ (0) (0) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (0) (0) (0) Ma trn ñ cng ca các phn t trong h ta ñ ña phương ñưc xác ñnh t công thc (2.64). Ta có  EA EA  00− 00  a a    12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  0zz 0 − zz   aa32 aa 32    64EJ EJ 62 EJ EJ  zz zz  02 0 − 2 1 2 3  aa aa  [][][]k= k = k =  EA EA  − 00 00   a a    12EJzz 6 EJ 12 EJ zz 6 EJ  0−32 − 0 32 −   aa aa   62EJ EJ 64 EJ EJ  0zz 0 − zz  aa2 aa2  Ma trn ñ cng ca các phn t trong h ta ñ chung: T Phn t k′ = T kT 1 [ ] [ ]1[ ][ ] 1 0 10 0 00    −100 0 00  0 01 0 00  trong ñó: T = []1   0 00 0 10  0 00− 100    0 00 0 01  PPPTHH 45
Tính ñưc (0) (0) (0) (1) (2) (3)  12EJ 612 EJ EJ 6 EJ  0− − 0 − (0)  a3 aa 23 a 2    EA EA  0 00− 0  (0)  a a     6EJ 46 EJ EJ 2 EJ  − 2 02 0 (0) 1  a aa a  []k′ =  12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  − 0 0  (1)  a3 aa 23 a 2   EA EA   0− 00 0  (2)  a a   6EJ 26 EJ EJ 4 EJ  − 0 0 (3)  a2 aa2 a  Phn t 2 (1) (2) (3) (4) (5) (6)  EA EA  00− 00 (1)  a a    12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  0zz 0 − zz  (2)  aa32 aa 32    64EJ EJ 62 EJ EJ  zz zz  02 0 − 2 (3) 2  aa aa  []k′ =  EA EA  − 00 00  (4)  a a   12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  zz zz (5)  0−32 − 0 32 −   aa aa   62EJ EJ 64 EJ EJ  0zz 0 − zz (6)  aa2 aa2 
Phn t 3 (0) (0) (0) (4) (5) (6)  12EJ 612 EJ EJ 6 EJ  0− − 0 − (0)  a3 aa 23 a 2    EA EA  0 00− 0  (0)  a a     6EJ 46 EJ EJ 2 EJ  − 2 02 0 (0) 3  a aa a  []k′ =  12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  − 0 0  (4)  a3 aa 23 a 2   EA EA   0− 00 0  (5)  a a   6EJ 26 EJ EJ 4 EJ  − 0 0 (6)  a2 aa2 a  Ghi ch s hàng và ch s ct ca các ma trn ñ cng phn t: ghi phía trên và phía bên phi các ma trn [k′]. Thit lp ma trn ñ cng tng th [K ]. ðó là ma trn cp 6x6, tương ng vi 6 n ca chuyn v nút (1), (2), (3), (4), (5), (6). Các s hng trong [K ] ñưc xác ñnh theo phương pháp ch s ñã nói trên. Thí d, s hng hàng (1) ct (1) ca K11 [K ] bng tng ca s hng hàng (1) ct (1) trong [k′]1 là 12EJ / a 3 cng vi s hng hàng (1) ct (1) trong [k′]2 là EA/ a . Các s hng khác cũng ln lưt tính như vy. Cui cùng ta có (1) (2) (3) (4) (5) (6)  EA12 EJ 6 EJ EA  +0 − 0 0 (1)  aa3 a 2 a    EAEJ126 EJ 12 EJ 6 EJ  0+ 0 −  (2)  aaa3 2 aa3 2    668EJ EJ EJ 62 EJ EJ  0 −  (3 )  aaa2 2 aa2  []K =  EA EAEJ12 6 EJ   −0 0 + 0  (4)  a aa3 a 2   12EJ 6 EJ EA 126 EJ EJ  (5)  0−−3 2 0 +−3 2   a a aaa   6EJ 2 EJ 6 EJ 68 EJ EJ  0 − (6)  a2 aa 2 aa 2  PPPTHH 47
Thành lp vectơ ti tng th {}{}P= ∑ P e trong ñó: {}P e là vectơ ti ca phn t, các thành phn ca chúng bao gm ti trng nút và phn lc gi, ñưc vit trong h ta ñ tng quát. Ta có U1  (0)0 (1) U4 (0)  P (1)      V (0)0 (2)V (0) 0 (2) 1   4  1M1  (0) 2 0 (3) 3 M4 (0) − M 0 (3) {}{}{}{}P= P =  P =  P =  P (1) 0 (4)  0 (4)  0 (4 ) 0 (2) −P (5) 0 (5)  − P (5)     −M 0  (3)0 (6)  0 (6)  0 (6) Phương trình cân bng: EA12 EJ 6 EJ EA  +0 − 0 0  aa3 a 2 a     EA12 EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  0+32 0 − 32 u P  aaa aa  2      v  0   668EJ EJ EJ 62 EJ EJ  2    2 2 0 − 2  aaa aa  θ2  −M0  =   EA EA12 EJ 6 EJ  u 0  −0 0 + 0  3  3 2    a aa a  v3 −P  12EJ 6 EJ EA 12 EJ 6 EJ    θ3  0   0−−3 2 0 +−3 2   a a aaa   6EJ 2 EJ 6 EJ 68 EJ EJ  0 −  a2 aa 2 aa 2  2.5. Xác ñnh ni lc trong phn t hu hn Như trên ñã nói, trng thái ng sut cui cùng ca kt cu chính là tng giá tr ng sut do các chuyn v nút và giá tr ng sut cc b ca mi phn t do ti trng ñt lên nó và do bin dng cưng bc ban ñu gây ra. Như vy ni lc trong phn t cũng gm hai phn: ni lc do các chuyn v nút gây ra tc là ni lc khi phn t trng thái t do, ký hiu là Sδ , và ni lc do ti trng ñt trong phn t gây ra trng thái c ñnh (các nút b gn cng), ký hiu là S0 tính theo công thc ca Sc bn vt liu. Do ñó ni lc tng cng s là S= Sδ + S 0 (2.100)
2.5.1. Ni lc trong phn t thanh chu kéo (nén) Như ta ñã bit, nu chn hàm chuyn v là hàm tuyn tính thì ng sut và bin dng trong loi phn t này là hng s. Ta có ni lc (lc dc trc): Sδ =σx A = EA ε x = EA[ B ]{ δ } (2.101) Thí d 2.2 . Xác ñnh ni lc trong thanh v trên hình 2.16, ñ cng chng kéo EA , chu ti trng phân b ñu q. Hình 2.16 Trình t gii bài toán như sau. 1) Ri rc hóa kt cu. Chia thanh thành 2 phn t, 3 nút, ñánh s phn t và ñánh s nút như hình v. Ta lp bng sau: Phn t Nút ñu (i) Nút cui (j) 1 1 2 2 2 3 2) Thành lp vectơ chuyn v nút tng th, sau ñó ñánh s các thành phn ca vectơ theo ch s tng th. u1  (1)   {} = u2  (2)   u3  (3) Vectơ chuyn v nút ca các phn t là: 1 u1  (1) 2 u2  (2) {}δ =   , {}δ =   u2  (2) u3  (3) PPPTHH 49
3) Thit lp ma trn ñ cng phn t và ma trn ñ cng tng th EA EA   EA EA  −(1) − (2) 1 aa 2  aa  []k= , [] k =   EAEA EAEA − (2)  −  (3) aa   aa  Ghép ni các phn t theo phương pháp ch s, ta ñưc ma trn ñ cng tng th: (1) (2) (3 ) EA EA  − 0 (1) a a    EA EA EA []K = −2 −  (2) a a a    EA EA 0 −  (3) a a  4) Thành lp vectơ ti phn t và vectơ ti tng th Vectơ ti phn t (sau khi di ti trng phân b v nút): qa  qa (1) (2) 12 2  2 {}P=, {} P =  qa qa (2)  (3) 2  2 Vectơ ti tng th: qa  + R (1) 2    {}P=  qa  (2) qa    (3) 2  5) H phương trình cơ bn: EA EA  − 0  qa  a a + R    u1  2 EA2 EA EA      − −u2 = qa  a a a    u qa  EA EA 3    0 −  2  a a  6) X lý ñiu kin biên. Ti nút 1, u1 = 0 , ñó phn lc R là n chưa bit. B ñi hàng 1 ct 1 tương ng ∗  ∗ ∗ vi chuyn v u1 , ta có phương trình dng K  {} = { P }như sau:
2EA EA  −  qa  a a u2       = qa  EA EA u3 − 2  a a  Gii h phương trình trên ñưc các chuyn v nút: 3 qa 2    ∗ u2  2 EA  = = {} 2  u3  qa 2  EA    0  u1    3 qa 2  {} =u2 =  2 EA u  3  qa 2  2  EA  T ñó ta có giá tr các vectơ chuyn v nút phn t 3 qa 2  0    1 2 2 EA δ=2 , δ = {} 3 qa {} 2  2qa 2 EA  EA  Chuyn v ca mt ct ngang bt kỳ trong phn t ñưc xác ñnh t quan h: { f} = ux( ) = [ N ]{δ} x x  trong ñó: []N =1 − a a  Ta có 3 qa ux1( ) = NuNu + = x 11 22 2 EA 3 qa2 qa uxNuNu2 ( ) = + = + x 11 23 2EA 2 EA Tính ni lc. Ni lc do chuyn v nút gây ra trong tng phn t: 0  1 1 1 1    3 SEAB=δ =− EA2 = qa {}δ []{}   3 qa  a a    2 2 EA  PPPTHH 51
3 qa 2    2 2 1 1  2 EA  qa S= EA Bδ =− EA = {}δ []{}   2  a a  2qa  2 EA  Căn c vào các giá tr trên ta v ñưc biu ñ ni lc (lc dc trc) ca thanh trên hình 2.17a. Biu ñ ni lc trng thái c ñnh và biu ñ ni lc tng cng v trên hình 2.17b, c. a) b) c) Hình 2.17 Ta nhn xét rng, biu ñ 2.17a và 2.17c có chênh lch nhau khá ln. Tuy nhiên nu ta chia thanh thành nhiu phn t hơn, thí d 4 phn t, thì ni lc 2.17b nh dn, và ni lc trng thái t do 2.17a càng gn li gii chính xác hơn (hình 2.18). Hình 2.18 2.5.2. Ni lc trong phn t chu un ngang phng Trong thanh chu un ngang phng, ni lc gm hai thành phn: mô men un và lc ct. Các ni lc nút là tng ca lc nút do chuyn v nút gây ra và các phn lc nút trng thái c ñnh (các nút b gn cng), tc là
Qi    M i    =[]k{}{}δ + R Q j    M j  ð xác ñnh mô men un ti mt ct bt kỳ do chuyn v nút gây ra ta s dng hàm ni suy (hàm dng). Như ta ñã bit: v( x ) = [ N ]{δ} Do ñó t quan h d2 v Mx( ) = EJ dx 2 ta có M( x ) = EJ[ N ′′ ]{δ} (2.102) trong ñó: [N′′] = [ NN1 ′′ 2′′ NN 3 ′′4 ′′ ] (2.103) Các hàm dng N1, N 2 , N 3 , N 4 ñưc xác ñnh theo công thc (2.40). Sau khi tính ñưc mô men un, có th suy ra lc ct theo quan h: dM = Q dx Thí d 2.3 . Xác ñnh ni lc trong dm chu ti trng tp trung như trên hình 2.19. ð cng chng un là EJ . Hình 2.19 Coi dm là 1 phn t. ðánh s nút 1, 2 như hình v. Vectơ chuyn v nút: T {}{} =δ = [v1 θ 1 v 2 θ 2 ] Ma trn ñ cng tng th PPPTHH 53
12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  − a3 a 2 a 3 a 2    6EJ 4 EJ 6 EJ 2 EJ −  a2 a a 2 a  [][]K= k =   12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ − − −  a3 a 2 a 3 a 2  6EJ 2 EJ 6 EJ 4 EJ  −  a2 a a 2 a  Di ti trng P v các nút ta ñưc vectơ lc nút tương ñương (hình 2.19b). ðng thi ti các nút có các phn lc, do ñó vectơ lc nút bao gm vectơ ti (lc nút tương ñương) và vectơ các phn lc {R}. T {}R= [ R10 R 2 0 ] Ta có phương trình gii: 12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  20 − −P + R a3 a 2 a 3 a 2 27 1  v  6462EJ EJ EJ EJ 1 4 2− 2   − Pa a a a a θ1 27    =  (a) 12EJ 612 EJ EJ 6 EJ v 7 −− −  2 −+Pa R  a3 a 2 a 3 a 2  27 2  θ2  6264EJ EJ EJ EJ   2  −  P  a2 a a 2 a  27  Sau khi x lý ñiu kin biên (v1= v 2 = 0) ta có phương trình dng ∗ ∗ ∗ K  {} = { P } là 4EJ 2 EJ   4   − Pa a a θ1  27    =  2EJ 4 EJ θ 2   2  Pa  a a   27  Gii ra ñưc 5Pa2 4 Pa 2 θ= −, θ = 181EJ 2 81 EJ Thay các kt qu này vào (a) ta ñưc các phn lc:
2 P R= P, R = 13 2 3 Ni lc (lc ct và mô men un) ti các nút 1 và 2 là tng cng ca ni lc do chuyn v nút gây ra Sδ và ni lc trng thái c ñnh S0 : S= Sδ + S 0 tc là ta có: 12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ   20  − P a3 a 2 a 3 a 2 0   27      Q  2  1 64EJ EJ 62 EJ EJ  5 Pa   4    2− 2 − Pa M1  a a a a 81 EJ   27  =   +  Q 12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ 0 7 2 − − −   P  a3 a 2 a 3 a 2  2 27  M 2  4 Pa 6264EJ EJ EJ EJ     2  −  81 EJ   − Pa  a2 a a 2 a    27  2  20  − P P 27  27  2     P 4 4 3  − Pa  Pa    27  27 0 =  +  = 2 7 P P  Pa  27  27  3 2  2  0 Pa − P    27  27  Biu ñ lc ct và mô men un v trên hình 2.20. Mô men un ti mt ct bt kỳ do chuyn v nút gây ra tính theo (2.102). PPPTHH 55
Hình 2.20 ð ý ti (2.40) và (2.102) ta có 6 12 x N′′ = − + 1 a2 a 4 6 x N′′ = − + 1 a a 2 6 12 x N′′ = − 1 a2 a 3 2 6 x N′′ = − + 1 a a 2 a Thí d mô men un ti mt ct x = 3 0    5 Pa 2 −  222  81 EJ  10 MEJ=−−0 = Pa a  2 2    x=  a a a 0 81 3      4 Pa 2    81 EJ  2.5.3. Ni lc trong phn t giàn phng Trong h thanh, h ta ñ ña phương và h ta ñ tng quát thưng không trùng nhau, do ñó khi tính ni lc phi da vào chuyn v nút trong h ta ñ tng quát. Ni lc trong phn t giàn là lc dc trc (lc kéo hoc lc nén) ký hiu là Nij (nút ñu là i, nút cui là j). Bi vì {δ} = [T ]{ δ ′} trong ñó: {δ ′}là vectơ chuyn v nút phn t trong h ta ñ tng quát, nên t (2.101) ta có Nij = EAB[ ][ T ]{δ ′} (2.104) trong ñó như ñã bit
1 1  []B = −  a a  T ′   {}δ = ui v i u j v j  cosϕ sin ϕ 0 0  −sinϕ cos ϕ 0 0  []T =   0 0 00    0 0 00  2.5.4. Ni lc trong phn t khung phng Ni lc trong phn t khung phng bao gm lc dc, lc ct và mô men un. Ta có vectơ ni lc T   {}S=  NQMNQMii i jj j  Ta vn s dng công thc {S} =[ k]{δ} = [ kT][ ]{ δ ′} (2.105) T ′   trong ñó: {}δ= uviii θ uv j j θ j  [k] tính theo công thc (2.64). cosϕ sin ϕ 0 0 0 0    −sinϕ cos ϕ 0 0 0 0  0 010 00  []T =   0 0 0 cosϕ sin ϕ 0  0 0 0− sinϕ cos ϕ 0    0 000 01  T các công thc trên có th suy rng ra ñ tính ni lc trong các phn t giàn không gian, khung không gian. Thí d 2.4. Tính ni lc trong khung v hình 2.21. Cho bit: E=2.107 kNmA / 2 , = 0,15 mamP 2 , = 4, = 100 kNJ , = 0,003 m 3 . Hình 2.21 PPPTHH 57
bài toán này, vic ri rc hóa làm ging như thí d 2.3. Ta có vectơ chuyn v nút tng th: T  2 3  {} = uv111222333θ uv θ uv θθ 3444 uv θ  (0) (0) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (0) (0) (0) Ma trn ñ cng ca các phn t trong h ta ñ tng quát ging như trong thí d 2.3. T ñó thit lp ñưc ma trn ñ cng tng th (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)  EA12 EJ 6 EJ EA  +0 − 000 (1)  aa3 a2 a    EA126 EJ EJ 12 EJ 6 EJ  0+ 0 − 0  (2)  aaa3 2 aa3 2    668EJ EJ EJ 62 EJ EJ  0− 0  (3)  aaa2 2 aa2   EA EAEJ12 6 EJ  K = 4 []  −00 + 3 00 2  ( )  a aa a   126EJ EJ EAEJ 66 EJ  5  0−−3 2 0 +−2 2 0  ( )  a a aaa   62EJ EJ 64 EJ EJ  0 0− 0 (6)  aa2 aa2    6EJ 4 EJ  000 00  (7)  a2 a  Sau khi thay vào các giá tr s ta có phương trình: 761,25 0 22,5− 750 0 0 0 u2   100   0 761,25 22,5 0− 11,25 22,5 0 v   0    2     22,5 22,5 120 0− 22,5 30 0  θ2  0  3       10 ×  −750 0 0 761,25 0 0 22,5  u3  = 0   0− 11,25 − 22,5 0 761,25 − 22,5 0  v  0  3      2  0 22,5 30 0− 22,5 60 0  θ3  0    3     0 0 0 22,5 0 0 60  θ3  0  Gii ra ñưc các chuyn v nút:
u2  1,0852  v  0, 0035  2    θ2  -0,2333    -2   u3 =10 × 1,0811  v -0, 0035  3   2 θ3 0,1140  3   θ3  -0, 4054  S dng công thc (2.105) ta ln lưt tính ñưc các thành phn ni lc ti các nút: 1 N1  0 750 0 0 -750 0  0 -26,25  Q  -11,25 0 22,5 11,25 0 22,5  0 69,593  1      M1  3 -22,5 0 60 22,5 0 30 -2  0  174,17    =10 ×   × 10   =   N 0 -750 0 0 750 0 1,0852 26,25 2        Q  11,25 0 -22,5 -11,25 0 -22,5   0,0035  -69,593  2        M2  -22,5 0 -30 22,5 0 60    -0,2333  104,19  2 N 2  750 0 0 -750 0 0   1, 0852  30,75        Q  0 11,25 22,5 0 -11,25 22,5 0,0035 -26,055 2        M 2  3 0 22,5 60 0 -22,5 30 -2  -0,2333   -104,21    =10 ×   × 10  =   N -750 0 0 750 0 0 1,0811 -30,75 3       Q  0 -11,25 -22,5 0 11,25 -22,5   -0, 0035 26, 055  3       M 3  0 22,5 30 0 -22,5 60   0,1140 0  3 N 4  0 750 0 0 -750 0  0 26,25      Q  -11,25 0 22,5 11,25 0 22,5 0 30,409 4      M 4  3 -22,5 0 60 22,5 0 30 -2  0  121,628    = 10 ×  × 10   =   N 0 -750 0 0 750 0 1,0811 -26,25 3        Q  11,25 0 -22,5 -11,25 0 -22,5   -0,0035  -30,409  3        M 3  -22,5 0 -30 22,5 0 60   -0,4054  0  Biu ñ lc dc trc N, lc ct Q và mô men un M ñưc th hin trên hình v. PPPTHH 59
2.6. Mt s trưng hp cn chú ý 2.6.1. Trưng hp có chuyn v cưng bc Ngoài các chuyn v và ni lc do ti trng gây ra, trong h thanh còn có th có ni lc sinh ra do các chuyn v cưng bc như gi lún, lp ghép các b phn không chính xác, thay ñi nhit ñ v.v Thông thưng nh hưng ca các nhân t này ñươc xem xét khi thành lp vectơ ti. Sau ñây ta phân tích mt thí d c th. Thí d 2.5. Có mt dm liên tc như hình 2.22. V biu ñ ni lc ca dm khi gi 4 b lún 0,015 mm và gi 3 b lún 0,01 mm. Bit: EJconstE=, = 0,26.1082 kNmJ / , = 3,375 mA 4 , = 4,5 m 2 Hình 2.22 Chia dm thành 4 phn t, 5 nút. Chn h ta ñ như hình v. Hình 2.23 Vectơ chuyn v nút tng th T {} = [v1122334455θ v θ v θ v θ v θ ] ðiu kin biên: v= v =θ = 0 1 4 1 v2=0,015, v 3 = 0,001 Ta có vectơ chuyn v nút chưa bit và ñưc ñánh s như sau: ∗ = [θθθv θ ]T { } 2 3 4 5 5 (1) (2) (3) (4) (5) Cách thit lp ma trn ñ cng phn t và ma trn ñ cng tng th ca h này không có gì ñc bit, tương t như các thí d trưc. Do ñó ñây ch gii thiu kt qu ma trn ñ cng tng th.
64,360 14,625 0 0 0     73,125 21,938 0 0  ∗ K  =  160,875 0 58,250     ®x 39 0   117  Vectơ ti trong bài toán này bao gm các phn lc sinh ra ti các liên kt khi hai gi b lún (có chuyn v cưng bc). Do ñó cn phi xác ñnh các phn lc các phn t 1 và 2 khi gi 2 b lún, và phn lc phn t 2 và 3 khi gi 3 b lún. Sau ñây ln lưt xét tng phn t. Khi gi 2 b lún, có th tính ñưc phn lc hai ñu phn t 1 và 2 trng thái c ñnh theo phương pháp ca Sc bn vt liu (hình 2.24). Vectơ ti phn t: 15795 (0) − 9140 (0)   1 78975 (0)2 − 54843 (1) {}{}P=, P =  −15795(0)  9140 (0) 78975 (1) − 54843(2) Hình 2.24 Tương t, khi gi 3 b lún ta cũng tính ñưc phn lc hai ñu phn t 2 và 3 trng thái c ñnh. Hình 2.25  6904  )0( − 20566 )0(     2 36562  )1( 3 − 82265 )2( {}{}P =   P =   − 6094 )0(  20566  )0( 36562  )2( − 82265 )3( phn t 4 không có ti trng nên PPPTHH 61
{}P 4 = 0 Tng hp các vectơ ti phn t trên ñây ta có vectơ ti tng th, sau khi x lý ñiu kin biên ch gi li nhng hàng tương ng vi các chuyn v chưa bit 60694  (1)   −100546  (2) ∗   {}P = −82265  (3) 0  (4)   0  (5) ∗ ∗ ∗ Phương trình cân bng K  {} = { P } Gii phương trình này ñưc θ2  -1225989  θ  124435  3    ∗   -9 {} = θ4 = 1252825  .10 v 3758475  5  θ5  1252825  T vectơ {}có th vit ñưc các vectơ chuyn v nút phn t {δ }, sau ñó tính ni lc ti các nút theo các công thc (2.105), kt qu ghi bng dưi ñây. Phn t ij Qi Mi Qj Mj 1 9340 57459 9340 35942 2 2979 35942 2979 186 3 23 186 23 0 4 0 0 0 0 Biu ñ mô men un và lc ct như trên hình v.
2.6.2. Trưng hp có gi ñàn hi Nu trong h thanh có các gi ñàn hi thì ma trn ñ cng ca h phi bin ñi bng cách cng thêm ñ cng ca gi ñàn hi vào các thành phn tương ng trên ñưng chéo chính ca ma trn ñ cng. Như vy nu theo phương chuyn v th m trong vectơ chuyn v nút có gi ñàn hi ñ cng c thì thành phn kmm trong ma trn [k] phi ñi thành kmm +c . Thí d ta xét mt dm có gi ñàn hi sau ñây. Hình 2.26 Nu coi dm là mt phn t ta có P  − 2    v1  Pa   −  θ1 8  {}{} =, P =  v P 2 −  2 θ2  Pa    8  Vì theo phương v2 có gi ñàn hi ñ cng c nên ta có ma trn ñ cng: 12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  − a3 a 2 a 3 a 2    6EJ 4 EJ 6 EJ 2 EJ −  a2 a a 2 a  []K =   (2.106) 12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ − − +−c  a3 aa 23 a 2  6EJ 2 EJ 6 EJ 4 EJ  −  a2 a a 2 a  ∗  ∗ ∗ Gii h phương trình K  {} = { P } sau khi x lý ñiu kin biên v1=θ 1 = 0 ta ñưc 5Pa3 Pa 3  15 EJ  v2 =−3 ,θ2 =− 1 3  16(3EJca+ ) 32 EJ 3 EJca +  Các phn lc gi ñưc xác ñnh t phương trình sau ñây: PPPTHH 63
12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ  P  − − + V a3 a 2 a 3 a 2  2 1      6EJ 4 EJ 6 EJ 2 EJ0  Pa −     − + M  a2 a a 2 a  0 8 1    =  12EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJv P −− +−c  2 −+ V  a3 aa 23 a 2  2 2  θ2  6EJ 2 EJ 6 EJ 4 EJ  Pa  −    a2 a a 2 a  8  Gii ra ñưc 11 15 EJ  V1 = P 1 + 3  16 113 EJ+ ca  5 3 EJ  V2 = P 1 − 3  16 3 EJ+ ca  3 5 EJ  M1 = Pa 1 + 3  16 3 EJ+ ca  Trưng hp gi phi là ñu t do (c = 0) : 5Pa3 Pa 2 v2=−, θ 2 =− 48EJ 8 EJ Pa VP=, V = 0 , M = 1 2 1 2 Trưng hp gi phi là gi cng (c = ∞ ) : Pa 2 v2=0 , θ 2 = 32 EJ 11 5 3 V= P, V = PM , = Pa 116 2 16 1 16 EJ Nu ly c = thì ta có a3 5Pa3 11 Pa 2 v2=−, θ 2 =− 64EJ 128 EJ 59 5 27 V= P, V = PM , = PaM ,0 = 164 2 64 1 24 2 Biu ñ ni lc như trên hình v.
Trng thái t do Trng thái c ñnh Tng hp Trên ñây ñã nêu mt s cách x lý ñiu kin biên ca h thanh khi có gi cng, gi ñàn hi và chuyn v cưng bc. Khi lp trình và gii h phương trình tuyn tính bng phương pháp kh Gauss, ngưi ta có th x lý ñiu kin biên bng cách s dng s rt ln. Cách x lý như sau: Gi s có ñiu kin biên (chuyn v theo phương m) là m = m . Ta dùng mt s 20 rt ln B, vi máy tính có th ly B =10 , sau ñó ñi vi thành phn Kmm trên ñưng chéo chính ca ma trn ñ cng ta gán Kmm= K mm + B và thành phn trong vectơ ti ta gán Pm = (K mm + B) m tc là ta có phương trình: KK1112 K 1m K 11 n  P 1  KK K K  P  21 22 2m 2 n  2 2  MM M MM  M    =  KKm1 m 2 KBK mm+ mn   m ( KB mm + ) m  MM M MM   M      KKn1 n 2 K nm K nn  n P n  Khi gii ra ta s có m = m . Nu tn ti liên kt cng m = 0 theo phương m thì t phương trình trên ñương nhiên s ñưc m = 0 . PPPTHH 65
2.6.3. Trưng hp có gi xiên Ta xét mt giàn phng có gi xiên trên hình 2.27. a) b) Hình 2.27 Gi s giàn có n nút. Phương trình gii ca toàn h là [K]{} = { P } hoc vit dưi dng trin khai LL kk11++ 1 12 2 + k 1mm + + kP 1 nn = 1 LL kk21+ 1 22 + 2 + k 2mm + + kP 2 nn = 2 (2.107) LL kkm11+ m 22 + + k mm + m + kP mn = n m LL kkn11+ n 22 + + k nmm + + kP nnn = n trong ñó: m là vectơ chuyn v nút ti nút m, nó bao gm 2 thành phn um và theo phương x và y, Pm là vectơ lc nút ti nút m gm 2 thành phn Um, V m theo phương x và y ca h ta ñ tng quát, k11, k 12 là ma trn cp 2 x 2. um  U m m =, P m =  (2.108) vm  V m Trong s n nút ca h, gi s có nút m trưt trên mt xiên góc ϕ vi trc x∗ (hình 2.27b). Chn h ta ñ ña phương x∗, y ∗ như hình v, các chuyn v nút nút m trong ∗ ∗ h ta ñ này là xm, y m . Ta có quan h: u= u∗cosϕ − v ∗ sin ϕ m m m (2.109) ∗ ∗ vm= u msinϕ + v m cos ϕ hay vit dưi dng ma trn ∗ um  cosϕ− sin ϕ  um  =   ∗ (2.110) vm  sinϕ cos ϕ  vm  ∗ hoc {m} =[λ]{ m } (.111) Tương t như trên ñi vi lc nút
∗ {Pm} = [λ]{ P m } 2.112) Thay (2.111) và (2.112) vào (2.107) ñưc LL∗ kk11++ 1 12 2 + k 1m[λ] + m += kP 1 nn 1 LL∗ kk21++ 1 22 2 + k 2m[]λ + m += kP 2 nn 2 (2.113) LL∗ ∗ kkm11+ m 22 + + k mm[][]λ + m + k mn = n λ P m LL∗ kkn11++ n 22 + k nm[]λ + m += kP nnnn Nhân phương trình hàng th m ca (2.113) vi [λ]−1 = [ λ ]T ta ñưc LL∗ kk11++ 1 12 2 + k 1m[λ] + m += kP 1 nn 1 LL∗ kk21++ 1 22 2 + k 2m[]λ + m += kP 2 nn 2 TTLL T∗ T ∗ [][][][][]λkkm11+ λ m 22 ++ λλ k mm ++ m λ kP mn = n m LL∗ kkn11++ n 22 + k nm[]λ + m += kP nnnn 2.114) Vit dưi dng ma trn  kk kλ k  11 12 1m[ ] 1 n 1  P 1        kk21 22 k 2m[]λ k 2 n P   2   2  M M   M   M     =   (2.115) TT T T ∗P ∗ [][][][][]λkkm1 λ m 2 λλλ k mm k mn  m   m   M M  M   M          P  kkn1 n 2 k nm[]λ k nn  n   n  Tóm li, trong các thành phn ca vectơ lc nút và vectơ chuyn v nút, nhng s hng liên quan ñn nút m thì biu din trong ta ñ ña phương, còn trong ma trn ñ cng, các s hng hàng th m s nhân vi [λ]T t phía trái, các s hng ct th m s nhân vi [λ] t phía phi. Sau khi bin ñi ta ñ như vy ta s xét ñiu kin biên ti nút m (gi di ñng trên mt xiên), ñiu kin ñó là ∗ vm = 0 PPPTHH 67
Do ñó trong ma trn (2.115) ta b ñi các hàng và các ct tương ng vi chuyn v ∗ vm . Nu gp trưng hp có nhiu gi xiên như trên thì cn lp li quá trình x lý tương t. 2.7. Dm trên nn ñàn hi 2.7.1. Phn t hu hn ca dm trên nn ñn hi Khi tính dm trên nn ñàn hi ngưi ta thưng ñưa ra nhiu mô hình nn khác nhau. Thông dng nht là mô hình nn Winkler, mô hình nn Pasternak, và mô hình nn bán không gian ñàn hi. Dưi ñây gii thiu phương pháp tính dm trên nn ñàn hi theo mô hình nn Pasternak, còn gi là mô hình có hai h s nn. Theo mô hình này, ngoài vic xét ti lc nén còn xét ti lc trưt trong nn, tc là còn xét ti nh hưng ca phn nn nm ngoài phm vi tip xúc vi dm. Hình 2.28a gii thiu mt PTHH ca dm trên nn ñàn hi, chiu dài a, b rng b, ñ cng chng un EJ , ñ cng chng xon EJ o , ñ cng chng nén ca nn c1 , ñ cng trưt c2 . Chn h ta ñ như hình v. Phn t hu hn ñây ñưc quan nim bao gm c phn t dm và phn t nn, mt ct ngang ca nó ñưc biu th trên hình 2.28b. Chn h ta ñ như hình v. Phn t hu hn gm hai nút 1 và 2, ti mi nút có 3 thành phn chuyn v nút là w,θy , θ x và 3 thành phn lc nút là lc ct Q , mô men un M y và mô men xon M x . a) b) Hình 2.28 Ta có quan h {}Fe = [ k ]{}δ Q1  w 1 M  θ x1   x 1 M y1  θ y 1 hay  = []k  (2.116) Q w 2   2 M  θ x2   x 2 M y2  θ y 2
2.7.2. Hàm chuyn v Như ta ñã bit lý thuyt dm trên nn ñàn hi, th năng bin dng ñàn hi ca PTHH trên ñây là U= U1 + U 2 + U 3 + U 4 (2.117) trong ñó: U1 th năng bin dng ca phn t dm 2 2 1 a ∂2w  ∂ 2 w   U1 = EJ + GJo    dx (2.118) 2 ∫ ∂x2 ∂ x ∂ y 0     U2 th năng bin dng ñàn hi ca nn trong phm vi tip xúc vi dm b 2 2 1 a 2 ∂w   ∂ w    U= cwc2 + +  dxdy (2.119) 2∫ ∫  1 2      2 0 b ∂x   ∂ y   −    2 U3, U 4 th năng bin dng ca phn t nn không tip xúc vi dm, tc là ngoài các biên 1’ 2’ và 1’’ 2’’. a ∞ 2 2   1 2 ∂w   ∂ w   U3,4= cwc 1 + 2   +     dxdy (2.120) 2 ∫∫ ∂x ∂ y 0 0       Biu thc w( x , y ) trong các công thc U1 và U2 trên là ñ võng ca dm và cũng là ñ lún ca nn, chn theo dng ña thc sau ñây: 23x3−+ axa 23 23 x 3 − ax 2  ax −  wxy( , ) =3 w1 − 3 wy 2 +   θx 1 a a a   (2.121) x x3−2 ax 22 + ax xax 32 − +y θ − θ − θ ax2 a2 y 1 a 2 y 2 Biu thc chuyn v w( x , y ) trong các công thc U3 và U4 ca phn t nn hai phía ngoài phm vi dưi dm (hình 2.28b) chn theo dng ña thc sau ñây: 23xaxa323−+ 23 xax 32 − bax − wxy( , ) = ew−αy − ew − α y ± e − α y θ a31 a 3 22 a x 1 bx x322−2 axax + xax 32 − ±e−α yθ − e−αy θ − e − α y θ 2 ax2 a2y1 a 2 y 2 (2.122) PPPTHH 69
c trong ñó: α = 1 c2 Trong biu thc (2.122) hai s hng cui, ly du (+) vi phn t có biên1’2’, ly du () vi phn t có biên 1’’ 2’’. 2.7.3. Ma trn ñ cng ca phn t Trên cơ s các biu thc U1, U 2 (2.118), (2.119) và biu thc chuyn v (2.121), bng phương pháp da vào nguyên lý cc tiu th năng, ta thit lp ñưc ma trn ñ cng ca phn t dm (Bng 2.1) và ma trn ñ cng ca phn t nn phía dưi dm (Bng 2.2). Tương t như vy, t các biu thc U3, U 4 (2.113) và biu thc chuyn v (2.122) ta thit lp ñưc ma trn ñ cng ca phn t nn có biên 1’ 2’(Bng 2.3) và ma trn ñ cng ca phn t nn có biên 1’’ 2’’(Bng 2.1). Bng 2. 1. Ma trn ñ cng ca phn t dm 1 0 230 2  v1   θ 0 40 05 0  x1 2 0 6 7 0 8  θ y1 []k =   1 v 3 0 7 1 0 7  2 0 5 0 0 40  θ   x2 208 7 0 6  θ y2 Chú thích các ký hiu: 12EJ 6 EJ 12 EJ GJ 1. ,2. ,3.− ,4.o , a3 a 2 a 3 a GJ 4EJ 6 EJ 2 EJ 5.−o ,6. ,7. − ,8. a a a3 a Bng 2.2. Ma trn ñ cng ca phn t nn ñàn hi dưi dm 102 3 0 4  v1   θ 050 0 6 0  x1 207 8 0 9  θ y1 []k =   2 v 3 0 8 1 010  2 060 0 5 0  θ   x2 4 0 9 10 0 7  θ y2
Chú thích các ký hiu: 136b 11 1 1.cabc+ 2. − cabcb2 − 351 5 2 a 2101 10 2 96b 13 1 2.cabc− 4. cab2 − cb 701 5 2 a 4201 10 2 1bab3 1 bab3 5.cabc3 ++ c 6. cabc3 −+ c 36122 12a 3 72 122 12 a 6 1 2 131 7.cab3 + cab 8. − cab2 + cb 1051 15 2 4201 10 2 1 1 11 1 9.−cab3 − cab 10. cab2 + cb 14012 30 210 12 10 Bng 2.3. Ma trn ñ cng ca phn t nn ñàn hi ngoài dm (phn t 3) 12 3 4 5 6  v1   θ 2 7 8 5 910  x1 3 8 11 12 13 14  θ y1 []k =   3 v 4 5 12 1 2 15  2 5 9 13 2 7 16  θ   x2 6 10 14 15 16 11  θ y2 Chú thích các ký hiu: 13613cac122 caα 7 cac 122 7 ca α  b 1.++ , 2.  ++  7010ααa 70 402 αα a 402  11cac2 11 ca 2 α 969 ca c ca α 3.−−−122 ,4. 122 −+ 420αα 20 420 140 αα 10a 140 2 2 3cac122 3 caα  b 13 cac 122 13 ca α 5.−+  ,6. −+ 40αα 2a 40  2 840 αα 20 840 2 2 2 cacca1 2 2 α  b caca1 2 α  b 7.++  , 8. −+  62αa α 64   40 α 402  2 2 2 cacca122α  b caca 12 α  b 9.− +  , 10.  +  12α 2a α 124   60 α 602  PPPTHH 71
ca32 ccaα 3 α 13 cac2 13 ca 2 α 11.1++ 2 2 , 12. −+−1 2 2 210αα 30 210 840 αα 20 840 caca2 2α  b cacca3 α 3 α 13.−+1 2  , 14. −−−1 2 2 60α 60  2 280 α 60 α 280 11c a2 c 11 c a 2α c a 22 c a α  b 15.122+ + , 16.  12 +  420α 20 α 420 40 α 40  2 Bng 2.4. Ma trn ñ cng ca phn t nn ñàn hi ngoài dm (phn t 4) 12 3 4 5 6  v1   θ 2 7 8 5 910  x1 3 8 11 12 13 14  θ y1 []k =   4 v 4 5 12 1 2 15  2 5 9 13 2 7 16  θ   x2 6 10 14 15 16 11  θ y2 Chú thích các ký hiu: 13613cac122 caα 7 cac 122 7 ca α  b 1.++ , 2.  ++  7010ααa 70 402 αα a 402  11cac2 11 ca 2 α 969 ca c ca α 3.−−−122 ,4. 122 −+ 420αα 20 420 140 αα 10a 140 2 2 3cac122 3 caα  b 13 cac 122 13 ca α 5.−−+  ,6. −− 40αα 2a 40  2 840 αα 20 840 2 2 2  ca1 c 2 ca 2 α  bca1 ca 2 α  b 7. + +  , 8. +   6α 2a α 6  4 40α 402  2 2 2 cacca1 2 2 α  b caca1 2 α  b 9.−+  , 10. −+  122αa α 124   60 α 602  ca32 ccaα 3 α 13 cac2 13 ca 2 α 11.1++ 2 2 , 12. −+−1 2 2 210αα 30 210 840 αα 20 840 caca2 2α  b cacca3 α 3 α 13.1+ 2  , 13. −−−1 2 2 60α 602  280 α 60 α 280 11c a2 c 11 c a 2α c a 22 c a α  b 15.−+−122 ,16. −+ 12  420α 20 α 420 40 α 40  2 Ma trn ñ cng ca phn t dm trên nn ñàn hi là tng ca 4 loi phn t nói trên.
Vic thit lp ma trn ñ cng tng th, thit lp và gii h phương trình cân bng ñi vi các nút hoàn toàn ging như phương pháp ñã trình bày các phn trưc. Cn nói thêm là, trên ñây ta ñã s dng mô hình nn ñàn hi ca Pasternak ñ xây dng các ma trn ñ cng ca phn t, tc là ñã dùng hai h s nn c1 và c2 . Nu s dng mô hình nn ñàn hi Winkler thì ta coi c1 là h s nn Winkler, còn h s c2 ly bng không. Câu hi ôn tp 1. Phân bit các loi phn t thanh , phn t giàn và phn t khung. Vit các ma trn ñ cng tương ng vi các loi phn t này. 2. Khi thay ñi h ta ñ, ma trn ñ cng và vectơ ti thay ñi như th nào? 3. Cách x lý mt s trưng hp có liên kt ñc bit (liên kt khp, liên kt trưt cng, gi ñàn hi, gi có chuyn v cưng bc ) như th nào khi thit lp ma trn ñ cng phn t? PPPTHH 73
Chương 3 BÀI TOÁN PHNG CA LÝ THUYT ðÀN HI 3.1. Khái nim chung Bài toán phng ca Lý thuyt ñàn hi bao gm bài toán ng sut phng và bài toán bin dng phng. Trong bài toán ng sut phng, các thành phn ng sut là hàm ca hai bin, thí d x và y, còn trong bài toán bin dng phng thì các thành phn bin dng là hàm ca hai bin, nói cách khác ta ch xét các thành phn ng sut hoc bin dng trong mt mt phng. Hai loi bài toán này tuy khác nhau v ý nghĩa nhưng phương pháp gii thì ging nhau, khác bit ch là công thc xác ñnh ma trn ñàn hi [D] trong biu thc ñnh lut Hooke. Mô hình ri rc hóa ca vt th ñàn hi liên tc trong bài toán phng là coi kt cu như là t hp các tm nh gi là các phn t hu hn, các phn t này ni khp vi nhau ti các nút. Hình 3.1 là sơ ñ tính mt dm tưng (bài toán ng sut phng), còn hình 3.2 là sơ ñ tính ñp chn nưc (bài toán bin dng phng). Tt c các ti trng tác dng trong kt cu ñu ñưc di v các nút, gi là các ti trng nút. Hình 3.1 Khác vi trưng hp h thanh các phn t ch liên kt vi nhau các nút, trong bài toán phng các phn t tip xúc vi nhau theo mt ñưng. Vì vy phi chn mô
hình chuyn v sao cho ñiu kin liên tc ñưc ñm bo không nhng các nút mà còn c trên toàn b biên chung gia các phn t lân cn nhau. Các loi phn t thưng dùng trong bài toán phng là phn t hình tam giác và phn t hình ch nht, trong ñó phn t hình tam giác là ñơn gin nht và ñưc s dng nhiu nht. ð tăng ñ chính xác ca kt qu, ngưi ta còn dùng các phn t bc cao như phn t tam giác 6 nút, phn t t din 8 nút. Hình 3.2 3.2. Phn t hình tam giác. Hàm xp x chuyn v Hình 3.3 biu din mt phn t hình tam giác có 3 ñim nút là i,j,m ñánh s theo chiu ngưc kim ñng h. Vì ti các nút là các khp nên ti mi nút có 2 chuyn v thng u, v theo hai phương ta ñ x, y, như vy phn t tam giác này có 6 bc t do. Hình 3.3 Ta có vectơ chuyn v nút ca phn t T   {}δ = uvuii j v j u mm v  (3.1) Chn hàm xp x là các ña thc tuyn tính u=α + α x + α y 1 2 3 (3.2) v=α4 + α 5 x + α 6 y PPPTHH 75
Các h s α1, α 2 , α 6 có th xác ñnh bng cách ñưa các to ñ và các thành phn chuyn v nút i,j, m vào (3.2). Ta có ui=++ααα123 xy ii, v i =++ ααα 456 xy ii uj=++ααα123 xyv jjj, =++ ααα 456 xy jj (3.3) um=++ααα123 xyv mmm, =++ ααα 456 xy mm Gii h phương trình này ñưc α1, α 2 , , α 6 ri thay li vào (3.2) tìm ñưc 1 u= a ++ bxcyu +++ a bxcyu +++ a bxcyu  ()ii ii() jj jj() mm mm  2 (3.4) 1   v=() aii ++ bxcyv ii +++() a jj bxcyv jj +++() a mm bxcyv mm 2   ai= xy jm − xy mj trong ñó: bi= y j − y m = y jm (3.5) ci= x m − x j = x mj Các h s còn li aj, b j , , c m có th tìm ñưc bng cách hoán v vòng các ch s i, j, m, là din tích tam giác ijm ñưc tính như sau: 1 x y 1 i i = 1 x y (3.6) 2 j j 1 xm y m Có th vit hai biu thc (3.4) dưi dng u= Nuii + Nu jj + Nu mm (3.7) v= Nvii + Nv jj + Nv mm hoc vit dưi dng ma trn: u  {}f=  = [] N {}δ (3.8) v  Ni0 N j 0 N m 0  trong ñó: []N =   (3.9) 0Ni 0 N j 0 N m  1 vi N=() abxcy + + (,i j , m ) (3.10) i2 iii Ni, N j , N m là hàm ca các to ñ, chúng phn ánh dng chuyn v ca phn t nên gi là hàm dng . Mô hình chuyn v chn trên ñây ñm bo ñưc s liên tc v chuyn v trên biên gii gia các phn t bi vì nó thay ñi tuyn tính dc theo các cnh ca tam giác. 3.3. Bin dng và ng sut. Ma trn ñàn hi Như ta ñã bit, bin dng ti mt ñim ca phn t ñưc ñnh nghĩa bng vectơ bin dng:
 ∂u    ε x   ∂x     ∂v  {}ε = ε y  =   ∂y γ     xy  ∂u ∂v  +  ∂y ∂x Thay (3.7) vào biu thc trên ñưc ∂N∂N ∂ N  ui  i 0j 0m 0   v  ∂x ∂ x ∂ x  i  ∂N∂N j ∂ N  u j  {}ε = 0i 0 0 m    (3.11) ∂y ∂ y ∂ y  v j  ∂∂NN∂N ∂ N ∂∂ NN  u  iij j mm  m  ∂∂∂yxy ∂ x ∂ y ∂ x  vm  hoc {ε} = [B]{ δ } (3.12) trong ñó: ma trn [B] có dng bi0 b j 0 b m 0  1   []B= 0 cc 0 0 c (3.13) 2 i j m    cbci i j b j c m b m  Cn chú ý rng trong trưng hp này ma trn [B]không ph thuc vào v trí ca ñim ñang xét bên trong phn t, do ñó bin dng bên trong phn t là hng s. Bây gi ta xét quan h gia ng sut và bin dng. Như ñã bit trong bài toán phng ta có vectơ ng sut: σ x    {}σ=  σ y  (3.14)   τ xy  Nu không xét ti bin dng ban ñu thì {σ} =[D]{ ε} =[ DB][ ]{ δδ} = [ S ]{ } (3.15) [D] gi là ma trn ñàn hi, ph thuc vào tính cht ca vt liu. ði vi bài toán ng sut phng và vt liu ñng hưng ta có PPPTHH 77
σ σ ε=x − ν y x E E σ σ ε= − ν x + y (3.16) y E E 2(1+ν ) τ= τ xyE xy Gii h này theo ng sut, ta rút ra 1 ν 0  E []D = ν 1 0  (3.17) 1−ν 2   0 0 1( −ν 2/)  ði vi bài toán bin dng phng : σ σ σ ε = x −ν y −ν z x E E E σ σ σ ε = −ν x + y −ν z y E E E 1(2 +ν ) γ = τ xy E xy σ σ σ ε = −ν x −ν y + z = 0 z E E E Gii h phương trình trên theo các ng sut σ x ,σ y ,τ xy ri so sánh vi (3.15) ta ñưc 1ν /(1− ν ) 0  E(1−ν ) []D =ν/(1 − ν ) 1 0  (3.18) (1+ν )(1 − 2 ν )   0 0 (1− 2ν ) / 2(1 − ν )  Ma trn [D] là ma trn ñi xng, tính ñi xng ca nó xut phát t ñnh lý Betti Maxwell và ñnh lut bo toàn năng lưng. Ma trn [S] trong công thc (3.15) gi là ma trn tính ng sut [S] = [ D][ B ] (3.19) ði vi bài toán ng sut phng
   biν cb ij ν cb jm ν c m  E   []S= ν bcbcbc ν ν 2(1−ν 2 )  ii j j mm  11−−−νν 1 ν 1 − ν 1 − ν 1 − ν   c bc b c b   222i i j 2 j 2 m 2 m  (3.20) ði vi bài toán bin dng phng , ch cn t (3.20) thay E bng E (1/ −ν 2 ) và thay ν bng ν /(1−ν ), ta có  ν ν ν   bi cb ij cb jm c m   1−ν 1 − ν 1 − ν  E(1−νν ) ν ν []S=  bcbc bc  2(1+−−ννν )(1 2 ) 1ii 1 − ν jj 1 − ν mm     12−ν 12 − ν 12 − ν 12 − ν 12 − ν 12 − ν  ci b i c j b j c m b m 2(1−ν ) 2(1 − ν ) 2(1 − ν ) 2(1 − ν ) 2(1 − ν ) 2(1 − ν )  (3.21) 3.4. Ma trn ñ cng Ma trn ñ cng ca phn t tam giác phng ñưc xác ñnh theo công thc [k] = ∫∫ [ B]T [ D][ Btdxdy] (3.22) trong ñó: t là b dày ca phn t. Tích phân thc hin trên toàn b din tích ca phn t. Nu t = const thì [k] = [B]T [D][B]t (3.23) Ma trn ñ cng ph thuc vào hình dáng, kích thưc và phương v ca phn t mà không ph thuc vào v trí ca gc to ñ. Có th vit ma trn ñ cng dưi dng kii k ij k im    []k=  kji k jj k jm  (3.24)   kmi k mj k mm  trong ñó: ñi vi bài toán ng sut phng , các ma trn con có dng: 1−ν 1 − ν  bb+ ccν bc + cb Et rs2 rs rs 2 rs  []k =   (3.25) rs 4(1−ν 2 ) 1−ν 1 − ν ν cb+ bc cc + bb  rs2 rs rs 2 rs  (r = i, j, m s = i, j, m) Các ch s r,s ln lưt ly bng i,j, m. ði vi bài toán bin dng phng: PPPTHH 79
 12−ν ν 12 − ν  bbrs+ cc rs bc rs + cb rs E(1−ν ) t  2(1−ν ) 1 − ν 2(1 − ν )  []k =   (3.26) rs 4(1+ν )(1 − 2 ν )  ν12− ν 12 − ν   cbrs+ bc rs cc rs + bb rs  1−ν 2(1 − ν ) 2(1 − ν )  (r = i, j, m s = i, j, m) Sau ñây ta xét mt thí d. Phn t ijm trng thái ng sut phng. Chn h to ñ như hình 3.4. Ta có xi = a , x j = 0 , xm = 0 yi = 0 , y j = a , ym = 0 Theo (3.5) và (3.6) ta có bi = a , b j = 0 , bm = −a ci = 0 , c j = a , cm = −a a 2 = Hình 3.4 2 Thay vào (3.25) ñưc  100ν− 1 − ν   11−−νν 11 −− νν  U   0 0 − −  u  i  22 22  i V  v  i   11−−νν 11 −− νν   i   0 0 − −  U j  Et 22 22  u j    =     2   V j  2(1−ν ) ν001− ν − 1  v j    U  11−−νν 31 −− νν  u  m  −−1 − − ν   m   22 22  Vm   v m   11−−νν 13 −− νν  −−ν − − 1   22 22  S dng cng thc (3.17) ta ñưc ui    v  i  σx  100 ν− 1 − ν    Et   u j  σy  = ν001 − ν − 1   1−ν 2   v τ  11−− νν 1 − νν 1 −  j  xy  0 0 − −  u  22 2 2  m  vm  3.5. Di ti trng v nút. Lc nút tương ñương Trưng hp lc tp trung
Nu lc tp trung P ñt ti mt ñim bt kỳ trong phn t (hình 3.5a) thì {}Pe= [ N] T . P (3.27) Px  trong ñó: P =   Py  [N ] là ma trn các hàm dng. Nu lc tp trung ñt trên biên phn t, thí d lc P tác dng theo phương x trên biên ij (hình 3.5b) thì T l j li  {}P= P 0 000  (3.28) l l  a) b) Hình 3.5 Trưng hp ti trng phân b trên toàn b th tích ca phn t (thí d trng lưng bn thân) vi lc th tích là px  {}p =   py  Lúc này ta có {}Pe= ∫∫ [ N] T {} p tdxdy (3.29) Nu p là hng s thì toàn b lc th tích s phân ñu lên 3 nút. Thí d phn t có trng lưng Q thì T e Q Q Q  {}P= P 0 0 0 (3.30) 3 3 3  Trưng hp ti trng phân b trên biên phn t, ta có T {}Pe = ∫[] N{} pds (3.31) trong ñó: t ds là din tích b mt ñon biên có chiu dài ds. PPPTHH 81
Hình 3.6 Thí d ñi vi ti trng phân b hình 3.6, ta có T e qlt 2 1  {}P = 0 000 (3.32) 2 3 3  3.6. Ma trn ñ cng kt cu. H phương trình cân bng Sau khi thit lp ñưc ma trn ñ cng ca tng phn t và di các ti trng trung gian v các nút, ta có th vit ñưc phương trình cân bng ti nút i như sau: ∑ ∑ [kin]{δ n} = { P i } (3.33) e n= ijm, , Phương trình liên quan ñn tt c các phn t cha nút i. ði vi mi nút trong mng lưi phn t, ta ñu có th vit ñưc mt phương trình cân bng như vy. Tng hp các phương trình vit ñi vi tt c các nút ta ñưc h phương trình cân bng ñi vi toàn b kt cu: [K]{} = { P } trong ñó: {}là vectơ các n chuyn v nút tng th, {P}là vectơ ti tng th, bao gm ti trng ñt ti nút và ti trng tác dng bên trong phn t ñã ñưc di v nút, [K ]là ma trn ñ cng tng th. Phương pháp thit lp ma trn [K ] v nguyên tc cũng ging như trưng hp tính h thanh, do ñó có th tham kho mc 2.3, chương II. 3.7. Trình t gii bài toán phng bng phương pháp phn t hu hn (1) Ri rc hóa kt cu, thông thưng chia kt cu thành mng lưi các phn t tam giác hoc t giác. (2) Chn hàm xp x mô t chuyn v trong phn t. Bc ca ña thc xp x ph thuc vào s nút trong phn t. Thí d phn t tam giác 3 ñim nút chn ña thc tuyn tính, phn t tam giác 6 ñim nút chn ña thc bc hai. (3) Thit lp ma trn ñ cng phn t, tc là tính các giá tr ca các thành phn [krs ] . Chú ý là ma trn ñàn hi [D] trong bài toán ng sut phng và trong bài toán bin dng phng có giá tr khác nhau. (4) Thit lp ma trn ñ cng tng th và di ti trng v nút, t ñó thành lp vectơ ti tng th. (5) Thành lp h phương trình cơ bn, sau ñó x lý ñiu kin biên ñ ñưc phương trình gii có dng
∗ ∗ ∗ K  {} = { P } (6) Gii h phương trình tuyn tính tìm ñưc các chuyn v nút. (7) Xác ñnh các vectơ ng sut tùy theo bài toán ng sut phng hay bin dng phng. Xác ñnh ng sut chính và phương chính b ng các công thc ca Sc bn vt liu. Thí d 3.1 . Mt tm mng dng công xon chu ti trng p phân b ñu theo chiu cao H mt ct ñu t do (hình 3.7a). Mng lưi phn t chia như trên hình 3.7b. Xác ñnh các chuyn v u và v tt c các nút và các phn lc biên ngàm. Cho bit h s Poisson ν =1/ 3 . a) b) Hình 3.7 Mng lưi có 12 nút, gm 12 phn t tam giác. Các phn t ñu thuc mt trong hai loi sau ñây: Loi I: bi = b ; c i = 0 bj = b ; c j = a bm = 0 ; c m = a . . Loi II: bi = 0 ; c i = a bj = b ; c j = 0 bm = b ; c m = a . . PPPTHH 83
. Theo công thc (3.25) và ñ ý ti (3.5) ta có  b20− b 2 ν ab 0 − ν ab   2 2   0 βb β ab− β b − β ab 0  2 22 2 I Et  −bβ abb +−+− β a ab( νββν ) a ab  []k = 2  2 22 2  4 (1 − ν )  νab−−+ β b ab( νβ ) a + ββ b ab − a   0 −βab − β a2 β ab β a 2 0    2 2 −νab0 ν ab − a 0 a   βa2 0 0 − βββ ab − a2 ab   2 2   0a−ν ab 0 ν ab − a  2 2 II Et  0−νabb 0 − b ν ab  []k = 2  2 2  4 (1 − ν ) −βab0 0 ββ b ab− β b  −βνa2 ab − b 2 β ab b 22 +−+ β a ab ( νβ )    2 2 22  βab− a νβ ab −−+ b ab( νβ ) a + β b  111−ν 1 Trong bài toán này, ν=, β = = ,ab == 4, = ab = 8 323 2 [][][][][][][]kkkkkI ==1 3 = 5 = 7 = kk 9 = 11 30− 310 − 1    0 1 1− 1 − 10  3Et −31 4 − 2 − 11  =   16 1− 1241 − − 1  0− 1 − 11 10    −10 1 − 10 3  [k]II =[ kkkkk]2 =[ ] 4 =[ ] 6 ==[ ] 8[ ] 10 = [ k ] 12
1 0 0− 1 − 11    03− 101 − 3  3Et 0− 130 − 31  =   16 −10 0 1 1 − 1  −11 − 31 4 − 2    1− 31 − 124 −  Ma trn ñ cng ca toàn h có dng KK11 120 KK 14 15 0000000  KKK0 KK 000000   21 22 23 25 26   0KK32 33 0 KK 35 36 000000    K4100 KK 44 45 0 KK 47 48 0000  KK0 KKKKKK 0 0 0   51 52 54 55 56 57 58 59   0KK62 63 0 KK 65 66 00 K 69 000  []K =  000KK 0 KK 0 KK 0   74 75 77 78 7,10 7,11   000KK84 85 0 KKK 87 88 89 0 KK 8,11 8,12   0 0 0 0 K K0 KK 0 0 K   95 96 98 99 9,12   000000K10,7 00 K 10,10 K 10,11 0     000000KK11,7 11,8 0 KKK 11,10 11,11 11,12     0000000KK12,8 12,9 0 KK 12,11 12,12  Các phn t Kij (các ma trn con) trong ma trn trên ñưc xác ñnh bng cách ly tng ca các thành phn tương ng t các ma trn ñ cng phn t. Thí d ma trn con K55 (tương ng vi các thành phn chuyn v nút u5 và v5 ) là 1 2 3 6 7 8 K55= kkkkkk 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 3Et 10  30  4− 2  4 − 2  30  10   =  ++   +  ++    16 03  10 − 24  − 24  01  03   3Et 16− 4  =   16 −4 16  Sau khi tính ñưc tt c các khi con Kij ( i , j = 1,2,3, ,12) trong ma trn [K ] ta ñưc h phương trình sau ñây: PPPTHH 85
[K]{} ={ P} + { R } {P}là vectơ ti tng th, {R}là vectơ các phn lc. Ta có h phương trình: (tr 85). ð tính các chuyn v nút, ta s dng ñiu kin biên: uvu11== 2 = v 2 = u 3 = v 3 = 0 B ñi 6 hàng ñu và 6 ct ñu trong ma trn [K ], gii h phương trình còn li (18 phương trình) ta ñưc các chuyn v nút: . Et Et Nút u v p p 4 16,220 20,548 5 0,384 17,520 6 15,387 19,685 7 25,777 51,552 8 0,139 49,384 9 25,146 49,221 10 29,296 89,158 11 0,432 87,344 12 28,218 86,728 .
PPPTHH 87
401100− − 3 1 0200000000000000 −  u1  0 Rx1   413001− − 1 − 2000000000000000  v  0 R    1   y1   82110−− 0 − 6202000000000000 −  u2  0 Rx 2         8130− 0 2220000000000000 − − v 0 R   2   y 2   420− 0 0031000000000000 −  u  0 R    3   x 3  40 0 0011000000000000− v 0 R   3   y 3   8−− 2 2200310200000000 − −  u  0 0    4     v  8 2− 6001 − 12000000000 −  4  0 0   16− 4 − 22 0 0 − 62 0 −20 0 0 0 0 0  u  0 0    5      162− 6002 − 220000000 −  v5  0 0         8− 20000 − 31000000 u 0 0   6      800001− 1000000  v6  −16 0 0      =  +  8−− 22200 − 310 − 200 u 3Et 0 0   7      82− 6001 − 12000 −  v  0 0    7     16−− 4 220 0 − 62 0 − 2 u 0 0   8      162− 60 0 2 − 2 − 20  v  0  0    8      8− 20000 − 31  u9  0  0   ®èi 800001− 1  v  0  0    9      xøng 4− 2 − 11 0 0  u10  0  0         4 1− 30 0 v 2p 0   10     PPPTHH  8− 2 − 11  u  0  0    11      8 1− 3 v 4p 0   11              4 0 u 0 0   12      85  4  v12  2p   0 
Thay giá tr các chuyn v nút va tìm ñưc vào 6 phương trình ñu ñ xác ñnh các phn lc: Gii ra tìm ñưc Rx1  11,841  R    y1  0,681  Rx2  0,492  =  .p R y2 0,943  R −12,346  x3  Ry3  6,576  Thí d 3.2. Tính các chuyn v nút ca mt tm mng hình vuông cnh l, b 1 dày t, chu lc P tác dng trong mt phng ca tm (hình 3.8a). Ly ν = . 6 a) b) Hình 3.8
Vì lý do ñi xng nên ta ch xét na phn bên phi ca tm (hình 3.8b). sơ ñ tính có 4 phn t, 6 nút. Sau khi x lý ñiu kin biên ta có vectơ chuyn v nút cn tìm T {} = [ vvuvuvvu1233 445 6 ] Da vào (3.24) và (3.25) ta thit lp ñưc ma trn ñ cng ca các phn t trong h to ñ ña phương (trùng vi h to ñ chung). Sau ñó sp xp các thành phn trong ma trn này vào ma trn ñ cng tng th, t ñó ñưc h phương trình: 1,456−− 0,515 0,3 0 0,3 −− 0,428 0,514 0  v1  0   0,728 0,086− 0,214 0 0 0 0  v  −0,5 p     2     0.728 0− 0,214 0,214 0 0  u3  0         0,728 0,086− 0,514 0 0  v3  0  Et   =    ®èi 1,456− 0,3 − 0,3 − 0,214  u 0    4         xøng 1,456 0 0,086  v4 0      0,728 0,214  v 0    5         0,728  u6  0  Nghim ca h phương trình trên là {} = {K}−1 {P} Trong bài toán này: v1  −1,2728  v  −1,9033  2    u3  −0,0692      v3 P −1,1090  {} = =   u4 Et 0,0066  v −0,7772  4   v5 −1,0109     u6  0,3909  T {}có th xác ñnh ñưc vectơ chuyn v nút ca tng phn t {δ}, sau ñó xác ñnh bin dng và ng sut trong tng phn t theo các quan h ñã bit. ng sut ti trng tâm các phn t tính theo các công thc (3.15) và (3.20). Thí d tính ng sut trng tâm phn t 4. Ta có {σ }4 = [S]4 {δ }4 PPPTHH 87
trong ñó: u5   0  v  − ,1 0109  5    4 u6  P  ,0 3909  {}δ =   =   v6  Et  0  u   ,0 0066   4    v4  − ,0 7772 Theo (3.20) ta có   -1 0 1 -ν 0 ν  4 2E   []S = -ν 0 ν -1 0 1  1−ν 2 l () 1-ν 1- ν 1- ν 1- ν  0 0  2 2 2 2  −2,057 0 2,057 − 0,342 0 0,342  E = −0,342 0 0,342 − 2,057 0 2,057  ` l    0− 0,857 − 0,857 0,857 0,857 0  T ñó tính ñưc σ x  0,538    P   σ y =  − 1,464  l t   τ xy  0,536  3.8. Vn ñ chia phn t Vic phân chia ñi tưng nghiên cu thành mng lưi, tc là thành các phn t hu hn, là mt bưc quan trng trong quá trình tính toán. Sau ñây trình bày nhng ñiu chú ý cn thit. Khi chia phn t, nói chung, kích thưc ln nh ca phn t là do yêu cu ñ chính xác ti mc nào và kh năng ca máy ñn ñâu. Phn t càng nh thì ñ chính xác càng cao. các vùng khác nhau ca kt cu, có th và nên dùng các loi phn t có kích thưc khác nhau. Thí d, ñi vi nhng ch mà ta cn phân tích trng thái ng sut và bin dng mt cách k lưng thì kích thưc phn t nên nh hơn các ch khác. ðó thưng là nhng ch ng sut và chuyn v thay ñi ñt ngt. Kinh nghim cho thy, khi chia c gng chia sao cho cnh các phn t không chênh lch nhau nhiu. Nu t l chiu dài gia cnh dài nht và cnh ngn nht quá ln, thí d ln hơn 3:1 thì vùng lân cn phn t ñó các giá tr ng sut và chuyn v tính ñưc s có sai s ñáng k so
vi thc t (tr phi ti vùng lân cn phn t, ng sut và chuyn v thc t thay ñi rt ít). ði vi nhng kt cu ñi xng chu ti trng ñi xng hay phn ñi xng thì nên chia mng lưi ñi xng. Trưng hp kt cu có b dày thay ñi ñt ngt (hình 3.9a) hoc các hng s ñàn hi ca vt liu có thay ñi ln (hình 3.9b) thì ti ñy ta cn ly kích thưc tương ñi nh, ngoài ra cn ly ñưng ñt bin (ñưng k ñm trên hình) làm ñưng biên ca các phn t. Nu kt cu chu ti trng thay ñi bc (hình 3.9c) hoc chu ti trng tp trung (hình 3.9d) thì vùng này nên ly kích thưc phn t nh hơn, ñng thi ly ñim thay ñi ti trng ñt ngt hoc ñim ñt lc tp trung làm nút ca phn t. 3.9. Tính ng sut nhit Khi nhit ñ thay ñi, trong kt cu sinh ra ng sut nhit do có các liên kt hn ch s bin dng ca kt cu. Gi T là lưng thay ñi ca nhit ñ, trong bài toán phng T là hàm ca ta ñ x và y. Khi nhit ñ thay ñi T, mt phân t chiu dài ca vt th s có bin dng αT , trong ñó α là h s n nhit. ði vi vt liu ñng nht, bin dng này ging nhau theo các phương, do ñó không có bin dng góc. trưng hp bài toán ng sut phng ta có εεαx= y =T , γ xy = 0 a) b) c) d) Hình 3.9 PPPTHH 89
Vì vt th không ñưc t do bin dng mà b hn ch do các liên kt ngoài hoc gia các b phn kt cu vi nhau nên sinh ra các ng sut σ x và σ y . Ta có σ σ ε=x − νy + α T x E E σ σ ε=x − νy + α T (3.37) y E E 2(1+ν ) γ= τ xyE xy Trong phn t tam giác trên ñây, các thành phn ng sut bin dng ñu là hng s, giá tr T trong (3.37) không th ly là hàm ca ta ñ x,y mà phi ly mt giá tr bình quân nào ñy ca các T( x , y ) . Cách ñơn gin nht là ly 1 T= ∫∫ Txydxdy( , ) (3.38) D dàng chng minh rng, vi mô hình truyn nhit tuyn tính tc là khi T là hàm tuyn tính ca x,y thì t (3.38) ta ñưc 1 T=() TTTi + j + m (3.39) 3 trong ñó: Ti, T j , T m là s gia nhit ñ ba nút i, j, m. ði vi mô hình truyn nhit phi tuyn vn có th tính gn ñúng T theo (3.39) mà sai s không ln. ðem T trong (3.37) ñi thành T và chuyn v ta ñưc 1 εx− αT =() σνσ x − y E 1 εy− αT =() σνσ y − x (3.40) E 2(1+ν ) γ−0 = τ xyE xy Như vy bin dng trong trưng hp này vit dưi dng ma trn s là {ε} = { ε 0 } α T  1  1  α  trong ñó: {}ε0 = α T= α T 1 =() T+T+Ti j m  1 (3.41)  3  0  0  0 Do ñó quan h ng sutbin dng s là {σ} =[D]({ εε} −={ 0 }) [ DB][ ]{ δε} − [ D ]{ 0 } (3.42) ðng thi ta có e T T {}P=[ BDB] [ ][ ]{}δ tBD −[ ] [ ]{} ε 0 t