›
›

Bài giảng Đại lượng ngẫu nhiên - Phạm Trí Cao

pdf 15 trang huongle 8780
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Đại lượng ngẫu nhiên - Phạm Trí Cao", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_luong_ngau_nhien_pham_tri_cao.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại lượng ngẫu nhiên - Phạm Trí Cao

  1. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016  I) ĐỊNH NGHĨA:  Đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên), viết tắt là ĐLNN, có thể được xem như là một đại lượng mà các CHƯƠNG 2: giá trị số của nó là kết quả của các thí nghiệm/ thực nghiệm ngẫu nhiên hoặc quan sát hiện tượng tự nhiên; ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.  Đại lượng NN được chia thành hai loại: đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên lục.  ĐLNN rời rạc lấy các giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.  ĐLNN liên tục lấy bất kỳ giá trị trên một (số) khoảng của trục số thực.  X(): tập giá trị có thể có của X 1 2 VD1: Tung một đồng xu sấp ngữa 2 lần. VD5: Nghiên cứu bão ở Việt Nam trong năm. Gọi X= số lần được mặt sấp. Gọi X= số cơn bão đổ bộ vào VN trong năm. X là ĐLNN? Phân loại? X là ĐLNN? Phân loại? VD2: Tung 1 con xúc xắc. VD6: Khảo sát tiền lương của 1 nhân viên nhà nước Gọi X= số nút xuất hiện của con xúc xắc. trong năm (biết hệ số lương và số năm công tác). X là ĐLNN? Phân loại? Gọi X= tiền lương của người này trong tháng. VD3: Khảo sát số người đến siêu thị trong 1 ngày. X là ĐLNN? Gọi X= số người đến siêu thị trong ngày. VD6bis: Khảo sát tiền lương của 1 nhân viên nhà nước X là ĐLNN? Phân loại? trong năm (chưa biết hệ số lương và số năm công tác). VD4: Đo chiều cao của 1 người. Gọi X= tiền lương của người này trong tháng. Gọi X= chiều cao của người đó. X là ĐLNN? 3 X là ĐLNN? Phân loại? 4 1
  2. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 VD7: Một người lấy vợ. Xét xem người này lấy phải người vợ có tính tình giống Tấm hay Cám (Tấm mặc áo II) BIỂU DIỄN ĐLNN tứ thân chứ không phải Tấm mặc áo 2 dây!).  ĐLNN rời rạc: dùng bảng phân phối xác suất Gọi X= tính tình của người vợ này. X là ĐLNN? VD8: Hộp có 10 bi, trong đó có 6 bi T.  ĐLNN liên tục: dùng hàm mật độ xác suất (một Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp. số sách dùng hàm phân phối xác suất). Gọi X= số bi Trắng lấy được. X là ĐLNN? Phân loại?  Phần quan trọng nhất của chương này là lập được VD9: Giống VD 8. bảng ppxs (luật ppxs) của ĐLNN rời rạc. Nhưng hộp có tất cả đều là bi T. Nhận xét: ĐLNN rời rạc: ta có thể liệt kê các giá trị được. 5 ĐLNN liên tục: ta không thể liệt kê các giá trị được. 6 II) BIỂU DIỄN ĐLNN II) Biểu diễn ĐLNN (rời rạc) VD1: Tung một đồng xu sấp ngữa 2 lần. 1) ĐLNN rời rạc: Gọi X= số lần được mặt sấp. Lập bảng ppxs cho X? Dùng bảng phân phối xác suất: Giải: X x1 xi xn * X có thể có các giá trị: 0, 1, 2 P p1 pi pn * Ta có 4 trường hợp xảy ra khi tung đồng xu SN 2 lần: SS, SN, NS, NN x i n X i ( = 1 ) là các giá trị khác nhau có thể có của p = P(X = x ) : xác suất X nhận giá trị x i i i P(X=0)= P(NN) = ¼ , P(X=1)= P(SN+NS)= 2/4 , P(X=2)= P(SS)= ¼ Tính chất: n X 0 1 2 0 pi 1 ,  pi =1 P ¼ 2/4 ¼ 7 8 i 1 2
  3. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 VD2: Hộp có 4 bi T, 2 bi Đ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp.  Lưu ý: Gọi X= số bi T lấy được. Lập bảng ppxs cho X?  * Ta phải kiểm tra lại xem tổng xác suất có bằng 1 Giải: không * X có thể có các giá trị 0,1,2  * Cẩn thận khi làm theo cách này: *Ta tính xác suất như sau: P(X=2)= 1-P(X=0)-P(X=1) để tính P(X=2) P(X=0) = P(0T2Đ) = C(2,2) / C(2,6) = 1/15.  * Không được tính xác suất ra số thập phân nếu P(X=1) = P(1T1Đ) = C(1,4).C(1,2) / C(2,6) phép chia không hết, nếu có giản ước phân số thì để = 8/15 cùng mẫu số. P(X=2) = P(2T) = C(2,4) / C(2,6) = 6/15 X 0 1 2 P 1/15 8/15 6/15 9 10  VD3: VD 3bis:  Hộp có 4 bi T và 2 bi Đ. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Hộp có 2 bi T, 3 bi V, 4 bi Đ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp.  Gọi X= số bi T lấy được (trong 3 bi lấy ra)  Lập luật ppxs (bảng ppxs) cho X? X= số bi T lấy được. Giải: Bảng ppxs cho X là: X 0 1 2 X 1 2 3 P C(1,4).C(2,2) /C(3,6) C(2,4).C(1,2) /C(3,6) C(3,4) /C(3,6) P C(3,7)/C(3,9) C(1,2).C(2,7)/C(3,9) C(2,2).C(1,7)/C(3,9) 11 12 3
  4. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 Hãy nghỉ đây là bài tập chương 1!!! Giải VD4: Đặt Hi= bc lấy được hộp loại i, i= 1,2  VD4: X 0 1 2  Có 3 hộp, trong đó có 2 hộp loại 1 và 1 hộp loại 2. P 2/15 9/15 4/15 Hộp loại 1 có: 3 bi T, 2 bi V. Hộp loại 2 có: 3 bi T, 3 bi V. P(X=0)= P(X=0/H1)P(H1)+P(X=0/H2)P(H2) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy NN ra 2 bi. = [C(2,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3)= 2/15 P(X=1)= P(X=1/H1)P(H1)+P(X=1/H2)P(H2)  Gọi X= số bi T lấy được. =[C(1,3).C(1,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(1,3).C(1,3)/C(2,6)].(1/3)  Lập bảng ppxs cho X? = 9/15 P(X=2)= P(X=2/H1)P(H1)+P(X=2/H2)P(H2) 13 14 = [C(2,3)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3) = 4/15  VD5: Giải VD5:  Hộp 1 có: 2 bi T, 3 bi V. Đặt Ai= bc lấy được i bi T từ hộp 1, i= 0,1,2. P(A0)= C(2,3)/C(2,5)= 3/10 , P(A2)= C(2,2)/C(2,5)= 1/10 Hộp 2 có: 3 bi T, 2 bi V. P(A1)= C(1,2).C(1,3)/C(2,5)= 6/10 Lấy NN 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi lấy NN 2 X 0 1 2 bi từ hộp 2 ra xem màu. P P(X=0)= P(X=0/A0)P(A0)+P(X=0/A1)P(A1)+P(X=0/A2)P(A2)  Gọi X= số bi T lấy được (trong 2 bi lấy ra từ hộp 2). = [C(2,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,3)/C(2,7)].(6/10) +[C(2,2)/C(2,7)].(1/10)  Lập bảng ppxs cho X? P(X=1)= P(X=1/A0)P(A0)+P(X=1/A1)P(A1)+P(X=1/A2)P(A2) = [C(1,3).C(1,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(1,4).C(1,3)/C(2,7)].(6/10) +[C(1,5).C(1,2)/C(2,7)].(1/10) P(X=2)= P(X=2/A0)P(A0)+P(X=2/A1)P(A1)+P(X=2/A2)P(A2) = [C(2,3)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,4)/C(2,7)].(6/10) 15 16 +[C(2,5)/C(2,7)].(1/10) 4
  5. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 VD6: Giải VD6: Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm Ai= bc lấy được i sp tốt từ kiện 1, i= 0, 1, 2 xấu. Kiện 2 có 2 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 Bi= bc lấy được i sp tốt từ kiện 2, i= 0, 1 ra 1 sản phẩm. X= số sp tốt trong 3 sp lấy ra Lập luật ppxs của số sp tốt trong 3 sp lấy ra? P(X=0)= P(A0B0)= P(A0).P(B0)= C(2,2)/C(2,5). (3/5)= 0,06 P(X=1)= P(A1B0+A0B1)= P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1) = C(1,3)C(1,2)/C(2,5). (3/5) + C(2,2)/C(2,5). (2/5)= 0,4 P(X=2)= P(A1B1+A2B0)= 0,42 ; P(X=3)= P(A2B1)= 0,12 X 0 1 2 3 P 0,06 0,40 0,42 0,12 17 18  VD7:  Giải:  Hộp có 3 bi T và 2 bi V. Lấy lần lượt từng bi từ hộp  Ai= bc lần thứ i lấy được bi V cho đến khi được bi V thì dừng lại.  P(X=1)= P(A1)= 2/5 = 4/10  P(X=2)= P(A1*A2)= P(A2/A1*)P(A1*)  Gọi X= số bi lấy được = (2/4)(3/5)= 3/10  Lập bảng ppxs cho X?  P(X=3)= P(A1*A2*A3)= = P(A3/A1*A2*)P(A2*/A1*)P(A1*)  Bài tập: = (2/3)(2/4)(3/5)= 2/10  Y= số bi T lấy được  P(X=4)= P(A1*A2*A3*A4)= (1)(1/3)(2/4)(3/5)= 1/10  Z= số bi V lấy được X 1 2 3 4  Lập bảng ppxs cho Y, Z? P 4/10 3/10 2/10 1/10 19 20 5
  6. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016  Bình loạn: Đa số sinh viên rất “ái ngại” khi gặp dạng toán Hàm phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc lập bảng ppxs! Họ không biết rằng đây là một dạng toán rất quen thuộc mà họ xem là “chuyện thường ngày ở Bảng ppxs của X: huyện”, đó là dạng toán tính xác suất của biến cố. X x x x  Bạn hãy tưởng tượng Chương 1 là WinXP (tính P(A)), còn 1 i n Chương 2 chỉ là WinXP có vẻ ngoài “hào nhoáng, hoàng P p1 pi pn gia” của Win7 (tính P(X=k)), do có cài thêm Seven Transformation Pack. “Bộ cánh” hoàng gia này không che Hàm phân phối F(x) định nghĩa: dấu được bản chất quê mùa, lam lũ, chịu thương chịu khó F: |R |R của WinXP (thực chất bài toán lập bảng ppxs là bài toán F(x) = P(X<x) tính xs của biến cố, nhưng xét cho tất cả các trường hợp có thể xảy ra). Phàm thì con người ta dễ bị vẻ hào nhoáng X là ĐLNN nhận các giá trị x1, x2, , xn bên ngoài làm cho “khiếp sợ, kiêng dè”! x là 1 số thực bất kỳ  Bạn hãy nhìn ra bản chất chơn chất, thật thà, xù xì, thô 21 kệch, của C1 mà từ đó suy ra cách làm cho C2. 22 (X<x) là một biến cố VD: Bảng ppxs Hàm phân phối có thể trình bày: X -1 0 1 3 x (-∞,-1] (-1,0] (0,1] (1,3] (3,+∞) P 0,1 0,3 0,4 0,2 F(x) 0 0,1 0,4 0,8 1 x≤-1 : F(x) = P(X<x) = P() = 0 Lưu ý: Có sách trình bày: -1<x≤0 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1) = 0,1 x -1 0 1 3 0<x≤1 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1)+P(X=0) F(x) 0,1 0,4 0,8 1 = 0,1+0,3 = 0,4 Bài tập: 1<x≤3 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) Tìm bảng (luật) ppxs và kỳ vọng của = 0,1+0,3+0,4 = 0,8 ĐLNN X có hàm phân phối: 3<x : F(x) = P(X<x) x -2 1 3 4 = P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=3) F(x) 1/8 3/8 ¾ 1 23 = 0,1+0,3+0,4+0,2 = 1 24 6
  7. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 Quy ước:  lấy giá trị bên phải, không lấy giá trị bên trái II) Biểu diễn ĐLNN (liên tục) 2)ĐLNN liên tục: Ta dùng hàm mật độ để biểu diễn. Hàm mật độ xác suất f(x) là hàm thỏa các điều kiện sau: 1. f:IR IR 2. f(x) 0, x 3. f (x)dx f (x)dx 1 (tích phân suy rộng). IR Tính chất: x 2 P x X x f x dx 1 2 x 25 26 1 1 1 2 Thí dụ: Hàm mật độ Gauss f (x) (x) exp x Ý nghĩa hình học của tính chất hàm mật độ xác suất: 2 2 Xác suất để ĐLNN X có giá trị nằm trong khoảng (x , x ) chính là hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc N(0,1). 1 2 là diện tích của vùng được tô màu trong hình 1 2 f(x) x 2 1 P x X x f x dx 1 2 x x 0 1 x=– x=+ 0 x x1 x2 Ý nghĩa hình học của điều kiện 3: Diện tích của hình (giới hạn bởi các đường: đường cong hàm mật độ f(x) và trục 27 hoành, đường thẳng x=– , x=+ ) là 1. 28 7
  8. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 Lưu ý về dấu “=“ trong ĐLNN liên tục và III) HAI ĐLNN ĐỘC LẬP (chỉ xét rời rạc) ĐLNN rời rạc * Nhắc lại 2 biến cố độc lập: A, B độc lập  P(AB) = P(A).P(B) * Xét 2 ĐLN X, Y có bảng ppxs:  X là ĐLNN liên tục thì P(X=a) = 0, a  Do đó P(X<=a) = P(X<a) + P(X=a) = P(X<a) X x1 xi xn Y y1 yj ym P p1 pi pn P p1 pj pm 2 biến cố (X=xi) và (Y=yj) độc lập  Cẩn thận:  P[(X=xi).(Y=yj)] = P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj)  X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì: X,Y độc lập  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j  P(X<=a) = P(X<a) + P(X=a) ≠ P(X<a) Thực hành: Nếu khi thực hiện phép thử mà việc X nhận các giá trị xi không ảnh hưởng đến khả năng Y nhận các giá trị yj, và ngược lại, thì ta nói X, Y độc lập. 29 30  VD1: Giải VD1: * Đặt Ci= bc xh mặt có số nút là i ở lần tung 1.  Tung 1 con xúc xắc 2 lần. Di= bc xh mặt có số nút là i ở lần tung 2.  Gọi X= số nút xuất hiện ở lần tung 1 * Không gian mẫu = {C1D1, C1D2, , C1D6,  Gọi Y= số nút xuất hiện ở lần tung 2 C2D1, , C2D6, C6D1, C6D6}  X,Y độc lập? X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Y 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 P(X=1,Y=1)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=1) P(X=1,Y=2)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=2) Tương tự: P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 31 32 Vậy X,Y độc lập. 8
  9. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016  Thực hành: Giải VD2:  Ta thấy kết quả ở lần tung thứ 1 không ảnh hưởng đến kết quả ở lần tung thứ 2, và ngược lại nên X,Y X 0 1 2 độc lập. P ¼ 2/4 ¼  VD2: Y 0 1 2  Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa 2 lần.  Gọi X= số lần được mặt S. P ¼ 2/4 ¼  Y= số lần được mặt N.  X,Y độc lập? Ta thấy X+Y = 2 (số lần tung) nên X, Y không độc lập. 33 34  VD3: IV)CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA ĐLNN  Tung 1 con xúc xắc 1 lần. 1)Kỳ vọng:  Gọi X= số lần xuất hiện nút chẳn của con xúc xắc Kỳ vọng của X, ký hiệu E(X), được tính bằng công thức:  Y= số nút xuất hiện của con xúc xắc X x1 xi xn P p1 pi pn X 0 1 E(X) =  xipi (nếu X là ĐLNN rời rạc), P 1/2 1/2 Kỳ vọng toán có các tính chất: E(c)= c Y 1 2 3 4 5 6 E(aX)= a.E(X) P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 E(X±Y)= E(X)±E(Y) E(XY)= E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập. X, Y có độc lập? với a là hằng số, c là đại lượng ngẫu nhiên hằng. 35 36 9
  10. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 VD1: Giải VD1: 1) Điểm tb x = (1/100).[0*1+1*3+ .+10*2] = 5,04 điểm Lớp học có 100 sinh viên. Điểm số môn XSTK của lớp như sau: 2) Bảng ppxs: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0,01 0,03 0,05 0,08 0,23 0,25 0,15 0,07 0,08 0,03 0,02 Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số sv 1 3 5 8 23 25 15 7 8 3 2 E(X)= 0*0,01+1*0,03+2*0,05+ +10*0,02 = (1/100)[0+1*3+ .+10*2] = 5,04 = x Vậy E(X) chính là điểm số trung bình. 1) Tính điểm trung bình môn XSTK của lớp? Tương tự: 2) Chọn NN 1 sinh viên trong lớp ra xem điểm thi. Nếu X là trọng lượng thì E(X) là trọng lượng trung bình. Gọi X là điểm số của sv này. X là năng suất thì E(X) là năng suất trung bình, Lập bảng ppxs cho X? Tính kỳ vọng E(X)? 37 38 Vậy E(X) là giá trị trung bình của X.  VD2: Giải:  Xét trò chơi sau: Hộp có 3 bi T, 4 bi X. Lấy ngẫu nhiên X 5 2 -a 2 bi từ hộp. Nếu lấy được 2 bi T thì được thưởng 5 Số bi T 2 1 0 USD, nếu lấy được 1 bi T và 1 bi X thì được thưởng 2 lấy được USD, nếu lấy được 2 bi X thì bị phạt a= 7 USD. P C(2,3)/C(2,7) C(1,3).C(1,4)/C(2,7) C(2,4)/C(2,7)  1) Có nên chơi hay không? = 1/7 = 4/7 = 2/7  2) Giá trị a là bao nhiêu thì trò chơi là công bằng?  X= số tiền lời (lỗ) cho mỗi lần chơi  E(X)= 5(1/7)+2(4/7)+(-a)(2/7) = (1/7)(13-2a)  1) Với a= 7 thì E(X)= -1/7 <0 : vậy không nên chơi  2) Để trò chơi công bằng, chơi về lâu dài hòa vốn thì E(X)= 0 (1/7)(13-2a)= 0 a= 6,5 USD 39 40 10
  11. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 2)Phương sai: Phương sai có các tính chất sau: Phương sai xác định bằng công thức: D(X) = var(X) = EX E X 2 var(c) = 0 Với ĐLNN rời rạc : var(X) ≥0, X ; var(X)= 0  X= c 2 2 var(X)= x E X p var(aX) = a .var(X)  i i i var(X ± c) = var(X) Ta cũng có thể áp dụng công thức biến đổi của phương sai: var(X ± Y) = var(X) + var(Y), nếu X, Y độc lập. var(X)= E(X2) [E(X)]2 2 2 với E(X )= xi pi Với c là ĐLNN hằng, a là hằng số 41 42  Ý nghĩa phương sai: VD1:  Xét thí dụ điểm số ở trên. Ta muốn xem lớp có học “đều” không, nghĩa là các điểm số xi có tập trung gần X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 điểm trung bình E(X) không, ta xét |xi-E(X)|. Để xét tất P 0,01 0,03 0,05 0,08 0,23 0,25 0,15 0,07 0,08 0,03 0,02  cả các giá trị cùng lúc ta xét |xi-E(X)|pi. Ta mong muốn nó càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên hàm |x| không 2 2 2 2 phải lúc nào cũng có đạo hàm, nên ta thay bằng hàm x2. E(X ) = 0 *0,01+1 *0,03+ +10 *0,02 = 29,26 2 2 2 2  Vậy ta xét: (xi-E(X)) pi và mong muốn nó càng nhỏ Var(X)= E(X )- (EX) = 29,26-(5,04) = 3,8584 càng tốt. 2  Ta gọi var(X) = (xi-E(X)) pi. Lưu ý:  tập trung Nếu var(X) nhỏ thì ta nói các xi quanh E(X) Đơn vị đo của phương sai là đơn vị đo của X bình  phân tán Nếu var(X) lớn ta nói các xi ra xa E(X). phương. Thường ký hiệu cho giá trị phương sai là 2. 43 44 11
  12. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 3) Độ lệch chuẩn  VD2:  Có 2 hãng A và B cung cấp dây chuyền sản xuất mì gói Độ lệch chuẩn được tính bằng căn bậc hai ăn liền. Thử nghiệm sản xuất 100 gói mì trên dây của phương sai, có cùng đơn vị đo với X. chuyền của từng hãng, ta có bảng kết quả: SD(X) = var X =  Cân nặng (g) 82 83 84 85 86 87 Số gói mì trên 10 20 10 30 20 10 VD1: DC hãng A  = 3,8584 = 1,9643 Số gói mì trên 18 6 16 31 16 13 DC hãng B Độ lệch chuẩn có ý nghĩa giống phương sai  Vậy nên mua dây chuyền của hãng nào? 45 46 Giải: X 82 83 84 85 86 87 4) mode (giá trị tin chắc nhất) của X: P 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 0,1 Giá trị tin chắc nhất của X, ký hiệu mod(X). ĐLNN rời rạc : là giá trị xi ứng với xác suất pi lớn nhất trong Y 82 83 84 85 86 87 bảng phân phối xác suất của X. P 0,18 0,06 0,16 0,31 0,16 0,13 Giá trị mod(X) có thể không duy nhất.  Gọi X= trọng lượng của gói mì sx trên DC của hãng A  Y= trọng lượng của gói mì sx trên DC của hãng B VD1:  Từ bảng phân phối xs trên ta tính được: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  E(X)= 84,6 g ; var(X)= 2,24 g2 P 0,01 0,03 0,05 0,08 0,23 0,25 0,15 0,07 0,08 0,03 0,02  E(Y)= 84,6 g ; var(Y)= 2,54 g2 Ta thấy p6 = 0,25 lớn nhất nên mod(X) = 5.  Dây chuyền sản xuất của hãng A ổn định hơn 47 48 12
  13. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 VD2:  V) HÀM CỦA ĐLNN Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa 3 lần.  1) Hàm 1 biến  X là ĐLNN. Nếu f(x) là hàm 1 biến liên tục thì f(X) Gọi X= số lần được mặt S là ĐLNN.  VD : X2 , |X| là các ĐLNN X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8  2) Hàm 2 biến  X,Y là 2 ĐLNN. Nếu f(x,y) là hàm 2 biến liên tục thì f(X,Y) là ĐLNN. Mod(X) = 1 hoặc 2 , ghi là mod(X) = 1, 2  VD: X+Y , X.Y là các ĐLNN Vậy khi tung đồng xu Sấp Ngữa 3 lần ta hy vọng (tin chắc nhất) sẽ được 1 hoặc 2 lần mặt Sấp. 49 50 VD1: Giải VD1: Cho X có bảng ppxs |X| |-1| |0| |1| |2| Z = |X| 0 1 2 P 1 3 1 2 P 3 2 2 7 7 7 7 7 7 7 E(Z) = 0. 3 + 1. 2 + 2. 2 = 6 X -1 0 1 2 7 7 7 7 E(Z2) = 02. 3 + 12. 2 + 22. 2 = 10 P 1/7 3/7 1/7 2/7 7 7 7 7 var(Z) = E(Z2) – [E(Z)]2 = 10 – ( 6 )2 = 34/49 7 7 1) Lập bảng phân phối xác suất cho |X| Cách khác: var(Z) = (0– 6)2. 3 + (1– 6 )2. 2 + (2– 6)2. 2 = 34/49 2) Tính E(|X|), var(|X|) 7 7 7 7 7 7 51 52 13
  14. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 VD2: Cho X, Y độc lập. Giải VD2: 1) Ta lập bảng sau: Z = X + Y X 0 1 Y 0 1 2 P ½ ½ P ¼ 2/4 ¼ X Y 0 1 2 0 Z=0 Z=1 Z=2 1 Z=1 Z=2 Z=3 1) Lập bảng phân phối xác suất của X+Y. 2) Tính E(X+Y) , var(X+Y). Các số trong bảng là tổng của 2 số ở dòng, 3) Lập bảng phân phối xác suất của X.Y cột tương ứng 4) Tính E(X.Y), var(X.Y). X + Y 0 1 2 3 53 Câu 3, 4 tự làm; giống câu 1, 2 54 P 1/8 3/8 3/8 1/8 Giải VD2 (tt) Giải VD2 (tt) P(X+Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) .P(Y = 0) 2) E(Z) = 0.1 + 1.3 + 2. 3 + 3. 1 = 3/2 8 8 8 8 = ½. ¼ = 1/8 E(Z2) = 02. 1+ 12. 3 + 22. 3 + 32. 1 = 3 P(X+Y = 1) = P [(X = 0,Y = 1) +(X = 1, Y = 0)] 8 8 8 8 var(Z) = E(Z2) – (E(Z))2 = 3 – ( 3)2 = ¾ = P(X =0,Y = 1) +P(X = 1,Y =0) 2 = P(X = 0) P(Y = 1) + P(X =1) P(Y = 0) Lưu ý: = ½. 2 + ½. ¼ = 3/8 Nếu ta áp dụng tính chất của kỳ vọng, phương sai thì 4 làm như sau: P(X + Y = 2) = P(X = 0) P(Y = 2) + P(X = 1) P(Y = 1) E(X + Y) = E(X) + E(Y) = ½ + 1 = 3/2 = ½ . ¼ + ½ . 2 = 3/8 var(X + Y) = var(X) + var(Y) = ¼ + ½ = ¾ 4 P(X + Y = 3) = P(X = 1) P (Y = 2) = ½ . ¼ = 1/8 55 56 14
  15. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 # OTCH 29/03/2016 BT1: Ứng dụng: Hàm của ĐLNN  Tung 1 đồng xu sấp ngữa 1 lần. VD3:  Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm pp của X ở VD3. loại I và 4 sản phẩm loại II. Tiền lời khi bán 1 sản  Tung 1 đồng xu sấp ngữa 2 lần. phẩm loại I, loại II lần lượt là 5, 3 ngàn đ. Lấy ngẫu  Gọi Y là số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng nhiên từ kiện ra 3 sản phẩm để bán. 1) Tìm quy luật phân phối xác suất của số sản phẩm pp của Y ở VD3. loại I lấy được? 2) Tìm quy luật phân phối xác suất của số tiền lời thu  Vậy X+Y có ý nghĩa là gì? được do bán 3 sản phẩm trên? 57 58 Giải: Mời ghé thăm trang web: 1) Gọi X = số sản phẩm loại I có trong 3 sản phẩm lấy ra 60 Bảng phân phối xác suất của X  X 0 1 2 3  P 1/30 9/30 15/30 5/30 2) Gọi Y = số tiền lời thu được do bán 3 sản phẩm lấy ra Ta có : Y = 5. X + 3. (3 – X) = 2X + 9 Số spl I Số spl II Bảng ppxs của Y X 0 1 2 3 Y 9 11 13 15 P 1/30 9/30 15/30 5/30 59 15