Bài giảng Giải tích - Phương trình vi phân cấp 1

Nội dung text: Bài giảng Giải tích - Phương trình vi phân cấp 1

1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
2. BÀI TỐN DẪN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Vận tốc nguội lạnh của một vật trong khơng khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ khơng khí. Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của khơng khí là 200C và nhiệt độ ban đầu của vật là 1000C. Quy luật giảm nhiệt sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t dT =k T( t ) − 20 , T (0) = 1000 C PTVP dt
3. BÀI TỐN DẪN VỀ PTVP Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y) thuộc đường cong (x>0, y>0) x M(x,y) y( t ) dt= 2 xy ( x ) 1 1 Đạo hàm 2 vế 1 x y( x )=+ 2 y ( x ) 2 xy '( x ) Lưu ý: y(1)= 1 2xy '( x ) + y ( x ) = 0
4. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân 2.Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm. 3.Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến PTVP thường. Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến PTVP đạo hàm riêng. 4.Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm.
5. NGHIỆM CỦA PTVP Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’, ,y(n)) = 0 (1) 1.Hàm số y = (x,c1, ,cn) thỏa mãn (1) với ci là các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1). Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta được nghiệm riêng của (1). 2.Hàm (x,c1, ,cn, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn) Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta đươc tích phân riêng của (1).
6. NGHIỆM CỦA PTVP 3.Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích phân. 4.Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng khơng phải là nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của (1).
7. Bài tốn Cauchy cho ptvp cấp 1 Xét ptvp cấp 1: F(x, y, y’) = 0 (1) Hoặc y’ = f(x, y) (2) (2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm. Bài tốn tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Gọi là bài tốn Cauchy.
8. MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1 • Phương trình tách biến • Phương trình đẳng cấp • Phương trình tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tồn phần • Phương trình Bernoulli.
9. PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BiẾN Phương trình cĩ thể tách y và x về 2 vế khác nhau gọi là phương trình tách biến. f(y) dy = g(x) dx Phương pháp giải: tích phân 2 vế Các dạng cĩ thể gặp: 1.f(y) y’ = g(x) 2.y’ = f(y)g(x) 3.f1(y)g1(x) y’ = f2(y)g2(x)
10. 2 Ví dụ 3y y’ = 2x (1) y(0) = 1 (2) (1) = 3y2 dy 2 xdx = 32y2 dy xdx y32 = x + C (3) ( tích phân tổng quát ) Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ C = 1 3 Vậy nghiệm của (1) và (2) là: yx=+2 1 Hoặc tích phân riêng là: y3 = x2 + 1
11. xy’ = y (1) 1.y = 0 là 1 nghiệm của pt 2.y 0: chia 2 vế cho xy (khơng xét TH x = 0) dy dx (1) = lny = ln x + c yx lny = ln x + ln c11 , c 0 =y c1 x y = Cx,0 C y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quát
12. y’ = 3x2y, y(0) = 2 Hàm y = 0 khơng thỏa đk ban đầu nên khơng xét dy dy y'= 3 x22 y = 3 x dx =3x2 dx y y ln y = x3 + c 33 y = ex+ c = e c e x 3 y = Cex ,0 C 3 x = 0, y = 2 C = 2 nghiệm ye= 2 x :
13. Ví dụ y’ – xy2 = 2xy y’ = xy2 + 2xy = xy(y + 2) (1) dy 1 1 1 (1) =xdx −dy = xdx yy(+ 2) 22 yy+ y ln =xc2 + y + 2 y 2 =Cex y + 2
14. DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN y’ = f(ax + by + c) Đặt u = ax + by +c Vd: y’ = (4x + y – 1)2 u=4 x + y − 1 u ' = 4 + y ' Pt trở thành du uu'4−=2 =dx u2 + 4 1 u arctan =xc + 22 41xy+− arctan = 2xC + 2
15. DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN 3yx−− 3 1 Vd: y = 22yx− Đổi biến: u=− y x Pt trở thành: 31u − u −1 u'1+= =u' 2u 2u udu dx = u −12 x u +ln u − 1 = + C 2
16. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP y y yf = Đổi biến: u = Hay: y = ux x x 22 xy Vd: xyy' = x − xy + y y '1 = − + yx y u = =y ux y''=+ u x u x 1 Pt trở thành: u'1 x+ u = − + u u 1− u =ux' u u + ln|u-1| = −ln|x| + C
17. PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP ab ax++ by c ab = 0 yf = 0 a x++ b y c ab11 1 1 1 ab11 đưa về tách Bước 1: giải hệ pt biến ax+ by + c = 0 a1 x+ b 1 y + c 1 = 0 x = X + x0 Với cặp nghiệm (x0, y0), đặt : y = Y + y0 X Pt trở thành: Yg = Y Bước 2: giải pt đẳng cấp và trả về x, y
18. Ví dụ Giải pt: (2x− 4 y + 6) + y '( x + y − 3) = 0 −2xy + 4 − 6 =y' xy+−3 −2x + 4 y − 6 = 0 x = 1 x+ y −3 = 0 y = 2 Đổi biến: x = X + 1, y = Y + 2, pt trở thành −2(XYXY + 1) + 4( + 2) − 6 − 2 + 4 YY''= = XYXY+1 + + 2 − 3 +
19. Y −+24XY −+24 Y ' = =Y ' X XY+ Y 1+ X Đổi biến: Y = UX Y’ = U’X + U −+24U −UU2 +32 − UXU' += =UX' 1+U 1+U (U+− 1) dU dX = UU2 −+32X
20. (U+− 1) dU dX = UU2 −+32X −ln(U − 1)2 + ln U − 23 = − ln | X | + c (UC− 2)3 = (U − 1)2 X (YXCYX − 2 )32 = ( − ) (trả về x, y)
21. PT VI PHÂN TỒN PHẦN P( x , y ) dx+= Q ( x , y ) dy 0 Dạng: PQyx = Tích phân tổng quát: U(,) x y= C Với U(x,y) cho bởi: (x0, y0) là điểm mà P, Q xác định xy U(,)(,)(,) x y=+ P tyx0 dt Q t dt xy00 xy hay U(,)(,(, x y=+ P tyx) dt Q0 t)dt xy00
22. Ví dụ Giải pt: (3x+ 2 y ) dx + (2 x − 9 y ) dy = 0 P(x,y) Q(x,y) PQyx ==2 Chọn : (xy00 , )= (0,0) xy U(,)(,)(,) x y=+ P tyx0 dt Q t dt xy00 xy =(3t +0 ) dt + (2x − 9t ) dt 00
23. xy U( x , y )= (3 t +0) dt +(2x − 9 t ) dt 00 39 =x22 +2 xy − y 22 Vậy tích phân tổng quát là 39 U(,)x y=x22 +2xy − y = C 22
24. Ví dụ xx yy x Giải pt: x+ e dx + e10 − dy = y P(x,y) Q(x,y) x x P = − ey = Q yxy2 Chọn : (xy00 , )= (0,1) xy U(,)(,)(,) x y=+ P tyx dt Q0 t dt xy00
25. xx x x+ eyy dx + e10 − dy = y Tích phân tổng quát: xy U(,)(,)(, x y= P ty dt + Q0 t) dt = C 01 xy t + ety/ dt +1. dt = C 01( ) x2 +y exy/ −11 + y − = C 2 ( )
26. PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 (1) y’ +p(x)y = q(x) Tồn bộ pt chỉ chứa hàm bậc 1 theo y và y’. (2) y’ + p(x)y = 0: pt thuần nhất Cấu trúc nghiệm tổng quát của (1): y = y0 + yr • y0 là nghiệm tổng quát của (2) • yr là 1 nghiệm riêng của (1)
27. Bước 1: tìm nghiệm tổng quát của pt thuần nhất. y’ + p(x)y = 0 (dạng tách biến) − p() x dx y0 = Ce Một nghiệm riêng của (1) :
28. Bước 2: tìm 1 nghiệm riêng của pt khơng thuần nhất − p() x dx y0 = Ce Biến thiên hằng số: trong y0 coi C =C(x) Thay y0 vào y’ + p(x)y = 0 (1) để xác định C(x). −− p()() x dx p x dx Cxe'()− pxCxe ()() + pxy ()0 = qx () =C'( x ) q ( x ) e p() x dx Chọn C()() x= q x e p() x dx dx − p()() x dx p x dx yr = e q() x e dx
29. Cơng thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp 1 y=+ e− p()() x dx( q() x e p x dx dx C) Vd: 1/xy '−= y x3 1 y' − y = x2 p(x) = -1/x , q(x) = x2 x −−11 − dx dx y = exx x2 e dx + C 2 2 1 x =x x dx + C = x + C x 2
30. 2 /y '− 2 xy = 1 − 2 x2 y = e− −22xdx( (1 − 2 x2 ) e − xdx dx + C) 22 =exx( (1 − 2 x2 ) e− dx + C) 2 2 2 =ex( xe− x + C) = x + Ce x
31. x 1 3 /y+ y ( t )cos( t ) dt = sin2 x + 1 Đạo hàm 2 vế 0 2 y'+= y cos x sin x cos x y(0)= 1 (Đk ban đầu tại cận dưới tp) y = e− cosxdx( sin x cos xe cos xdx dx + C) =+e−sinxx( sin x cos xe sin dx C)
32. =+e−sinxx( sin x cos xe sin dx C) =e−sinx(sin xe sin x − cos xe sin x dx + C) =e−sinx(sin xe sin x − e sin x + C) y=sin x − 1 + Ce−sin x y(0)=1 C = 2 −sin x Nghiệm bài tốn: y=sin x −1 + 2 e
33. 4 /y '( x+ y ) = y + 1 (1), Lưu ý: y’ =1/x’ (đạo hàm hàm ngược) Pt viết lại: x ( y+ 1) = x + y (2) Xem x là hàm theo y xy x −= yy++11
34. xy x −= yy++11 11 − −dy y − dy x = eyy++11 . e dy + C y +1 1 x =( y + 1)(ln | y + 1| − + C ) y +1
35. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI y’ +p(x)y = q(x)y , 0 và 1 Phương pháp giải: Chia 2 vế cho y và đổi biến u = y1 − Pt trở thành: u’ + (1 - )p(x)u = (1 - )q(x) (Tuyến tính )
36. 22 y Vd: 1/xy '+= y x y y' + = xy2 x y' 1 1 Chia hai vế cho y2: +=x y2 xy Đặt u = y 1−2 = y −1 uu Pt trở thành: −u'' + = x u − = − x xx dx dx − u = exx − xe dx + C = − x2 + Cx 11 = −x2 + Cx y = y −+x2 Cx
37. y 1 2 /y '+= x xy2 Nhân 2 vế với y2 (chia cho y−2), pt trở thành: 11 y23 y'+= y Đổi biến: u = y3 xx 1uu 1 1 uu'+ = ' + 3 = 3 3 x x x x u =11 + Cx−−3 y 3 = + Cx 3
38. 3 / (x+= x3 sin y ) y ' 2 y 2yx ' = x + x3 sin y xysin xy' 1 sin xx' − = 3 − = 22yy x322 yx 2y Đổi biến: u = x −2, pt trở thành: uysin u'+ = − u = y−1(cos y + C ) yy 1 cos yC+ = x2 y