›
›

Bài giảng Giải tích - Khảo sát hàm số

ppt 71 trang huongle 9900
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích - Khảo sát hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_giai_tich_khao_sat_ham_so.ppt

Nội dung text: Bài giảng Giải tích - Khảo sát hàm số

  1. KHẢO SÁT HÀM SỐ
  2. HÀM SỐ y = f(x) 1.Khảo sát sự biến thiên, cực trị. 2.Khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn. 3.Khảo sát tiệm cận. 4.Vẽ đồ thị.
  3. SỰ BiẾN THIÊN f(x) tăng (giảm) trong (a,b) x1,x2 (a,b), x1 0, x (a,b) (Giảm được thay bởi và <.)
  4. CỰC TRỊ x là điểm cực đại của f 0 Tương tự (a,b) x0: f(x) f(x0), x (a,b) cho cực tiểu Điều kiện cần: f đạt cực trị tại x0 , nếu f có đạo hàm tại x0 thì f’(x0) = 0. (điểm cực trị là điểm tới hạn). Điều kiện đủ: f liên tục tại x0 , khả vi trong lân cận x0 (không cần kvi tại x0), nếu khi đi qua x0 f’ đổi dấu từ (+) sang (-) thì f đạt cực đại tại x0. f’ đổi dấu từ (-) sang (+) thì f đạt cực tiểu tại x0.
  5. TÌM CỰC TRỊ NHỜ ĐẠO HÀM CẤP CAO f’’(x0) > 0 f đạt cực tiểu chặt x0 f’(x0) = 0: f’’(x0) 0 : CT Nếu n chẵn thì f đạt cực trị tại x0: (n) f (x0) < 0 : CĐ Nếu n lẻ thì f khơng đạt cực trị tại x0
  6. Vídụ Tìm cực trị: f( x )=3 ( x + 1)( x − 2)2 1 (x− 2)2 + 2( x + 1)( x − 2) fx'( ) = 2 3 3 2 (xx+− 1)( 2) x(x − 2) = (Với x – 1 và x 2) 2 3 2 (x +− 1)(x 2) f’ cùng dấu tử số : g( x )=− x ( x 2)
  7. f( x )=3 ( x + 1)( x − 2)2 Bảng xét dấu g( x )=− x ( x 2) x − −1 0 2 + gx( )+ | + 0 − 0 + f’ cũng đổi dấu khi đi qua 0 và 2 f đạt cực đại tại x0 = 0 Kết luận: f đạt cực tiểu tại x1 = 2 Không cần xác định f’(-1), f’(2) (chỉ cần f liên tục tại 2)
  8. Nếu để bảng xét dấu cho f’ x − −1 0 2 + fx ( )+ || + 0 − || + f liên tục tại 0, 2 và f’ đổi dấu khi đi qua 0 và 2 nên f đạt cực trị tại đây
  9. 2 Tìm cực trị: f( x )= x .ln x Miền xác định: (0, + ) f ( x) =+ln2 x 2ln x =+lnxx( ln 2) f ( x) =0 ln x = 0  ln x = − 2 x =1  x = e−2 2lnx 2 f (1)= 2 0 Cực tiểu fx ( ) =+ xx −2 −2 fe ( )= 0 Cực đại e−2
  10. Hoặc: lập bảng xét dấu f ( x) =+ln x( ln x 2) xe01−2 + fx ( )+ 0 − 0 + CĐ CT
  11. 2 Tìm cực trị: f( x )= 2 x + 2 − 33 ( x + 1) Miền xác định: R 1/3 2 ( x +−11) fx ( ) =−2 = 2 1/3 1/3 (x +1) ( x +1) x − −10 + TS MS f
  12. 2 Tìm cực trị: f( x )= 2 x + 2 − 33 ( x + 1) Miền xác định: R 1/3 2 ( x +−11) fx ( ) =−2 = 2 1/3 1/3 (x +1) ( x +1) x − −10 + TS −|0 − + MS f
  13. 2 Tìm cực trị: f( x )= 2 x + 2 − 33 ( x + 1) Miền xác định: R 1/3 2 ( x +−11) fx ( ) =−2 = 2 1/3 1/3 (x +1) ( x +1) x − −10 + TS −|0 − + MS −0| + + f
  14. 2 Tìm cực trị: f( x )= 2 x + 2 − 33 ( x + 1) Miền xác định: R 1/3 2 ( x +−11) fx ( ) =−2 = 2 1/3 1/3 (x +1) ( x +1) x − −10 + TS −|0 − + MS −0| + + f +|| − 0 +
  15. x3 Tìm cực trị: fx()= x − 2 Miền xác định: - < x 0, 2 < x < + xx2 (− 3) 3 (x − 2)2 x yx'= = ( − 3) x3 x − 2 2 x − 2 Kết luận: đi qua x = 3, y’ đổi dấu từ (-) sang (+) nên y đạt cực tiểu tại x = 3.
  16. −1 x2 Tìm cực trị: fx()= xe,0 x 0, x = 0 1 − 2 2 f'( x )= 1 + e x 0 (x 0) x2 f’ khơng đổi dấu khi qua bất kỳ điểm nào trên tồn bộ MXĐ nên khơng cĩ cực trị.
  17. TiỆM CẬN y = f(x) limfx ( ) = Tiệm cận đứng x = x 0 xx→ 0 limf ( x ) = a Tiệm cận ngang y = a x→() fx() limfx ( )= , lim=a , lim [ f ( x ) − ax ] = b x→() xx→()() x → Tiệm cận xiên y = ax + b Nếu viết được f(x) = ax + b + (x), (x) là VCB khi x→ thì TCX là y = ax + b
  18. Các bước tìm tiệm cận: 1. Tìm miền xác định của hàm số. 2. Tìm TC đứng tại các điểm ngồi MXĐ nhưng dính vào MXĐ 3. Nếu MXĐ cĩ (±) , xét limf(x) từng trường hợp để xét TC ngang và TC xiên
  19. ln(1+ x ) Tìm tiệm cận hàm số: f( x )= + 2 x − 1 x Miền xác định: (−1, + )\ {0} x→ – 1+ : f(x) → + : TCĐ x = -1 x→ + : f(x) → + : cĩ thể cĩ TCX ln(1+ x ) (x )= ⎯⎯⎯→x→+ 0 x f( x )= 2 x − 1 + ( x ) TCX : y =2x – 1
  20. x3 Tìm tiệm cận hàm số: fx()= x − 2 Miền xác định: - < x 0, 2 < x < + x→2 + : f(x) → + : TCĐ x = 2 x→ : f(x) → + : cĩ thể cĩ TCX fx() 1 x3 = → 1 x xx− 2 x→ {a = 1, x→ + }, {a = -1, x→- }
  21. x→ + (a = 1) x3 lim f ( x ) − x =−lim x x→+ x→+ x − 2 x 2 =−limx 1 =limx 1 + − 1 x→+ x − 2 x→+ x − 2 12 ==limx 1 x→+ 22x − TCX y = x + 1
  22. x→ – (a = −1) x3 lim f ( x ) + x =+lim x x→− x→− x − 2 x 2 =limx − + 1 =limx − 1 + + 1 x→− x − 2 x→− x − 2 12 =limx − = − 1 x→− 22x − TCX y = – x – 1
  23. Cĩ thể tìm tiệm cận xiên bằng khai triển Taylor xx3 2 x→ + f( x )= = x = x 1 + x−2 x − 2 x − 2 1 2 1 =x 1 + + 0( ) 2xx−− 2 2 x 1 =xx + + 0( ) xx−−22 Khai triển đến khi f(x) xuất hiện VCB (khi x→ )
  24. x 1 =xx + + 0( ) xx−−22 21 =xx +1 + + 0( ) xx−−22 =xx +1 + ( ), 21 với ( x )= + x 0( ) → 0 xx−−22x→+ TCX: y = x+1
  25. x Tìm tiệm cận hàm số: f( x )=− ( x 1) e x−1 11 1+ =(x − 1) exx−−11 = e ( x − 1) e 1 MXĐ: R\{1} x→1- : → − x −1 fx( )→ 0 khơng cĩ tiệm cận đứng 1 x→1+ : → + x −1 fx()→ + TCĐ x = 1
  26. 1 x→ : f(x) → : cĩ thể cĩ TCX. f( x )=− e ( x 1) e x−1 fx() x −1 1 = eex−1 → e = a x x x→ 1 f() x− e x =−ee()x 1 x−1 − ex 1 x =ex( exx−−11 − 1) − e →ee − = 0 = b x→ TCX: y = ex
  27. Tìm TCX bằng khai triển Taylor 1 f( x )=− e ( x 1) e x−1 11 =e( x − 1) 1 + + o xx−−11 1 =e( x −11) + e + e( x −) o = ex + ( x) x −1 TCX: y = ex
  28. Vẽ đồ thị 3 x MXĐ: - < x 0, y== f() x x − 2 2 < x < + 3 x yx'=− ( 3) x − 2 Tiệm cận: x→2 + : f(x) → + : TCĐ x = 2 x→ + : TCX y = x + 1 x→ - : TCX y = -x - 1
  29. 3 x Bảng biến thiên yx'=− ( 3) x − 2 x − 0 2 3 + y'− 0 || − 0 + y + 0 ||+ 27 + TCX TCĐ TCX y=-x-1 x=2 y=x+1
  30. x − 0 2 3 + y'− 0 || −0 + y + 0 ||+ 27 + TCX TCĐ TCX y=-x-1 x=2 y=x+1
  31. x − 0 2 3 + y'− 0 || −0 + y + 0 ||+ 27 + TCX TCĐ TCX y=-x-1 x=2 y=x+1
  32. x − 0 2 3 + y'− 0 || −0 + y + 0 ||+ 27 + TCX TCĐ TCX y=-x-1 x=2 y=x+1
  33. x − 0 2 3 + y'− 0 || −0 + y + 0 ||+ 27 + TCX TCĐ TCX y=-x-1 x=2 y=x+1
  34. 2 Vẽ đồ thị hàm số f( x )=3 ( x + 1)( x − 2) xx(− 2) fx'( ) = 2 TCX : y = x – 1, x→ 3 2 (xx+− 1)( 2) x − −1 0 2 + y'+ || + 0 − || + y − 03 4 0 + TT//oy TT//ox TT//oy TCX TCX y=x–1 y=x–1
  35. x − −1 0 2 + y'+ || + 0 − || + y − 03 4 0 +
  36. x − −1 0 2 + y'+ || + 0 − || + y − 03 4 0 +
  37. x − −1 0 2 + y'+ || + 0 − || + y − 03 4 0 +
  38. x − −1 0 2 + y'+ || + 0 − || + y − 03 4 0 +
  39. x − −1 0 2 + y'+ || + 0 − || + y − 03 4 0 +
  40. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT Loại 1: tìm gtln, gtnn trên tồn miền xác đỊnh khảo sát hàm số Loại 2: tìm gtln, gtnn trên [a, b] B1: Tìm các điểm tới hạn trong (a, b) B2: so sánh giá trị của f tại các điểm tới hạn và f(a), f(b) để rút ra min, max.
  41. VÍ DỤ x 1/ Tìm gtln, gtnn f() x= x MXĐ: (0, + ). f’(x) = xx (lnx + 1) xe0 1/ + fx'( )−+ 0 f( x ) 1 e−1/e + Kết luận: gtln khơng cĩ, gtnn là f(1/e) = e-1/e
  42. x 2/ Tìm gtln, gtnn trên [0, 2]: fx( )= arctan x2 +1 1− x2 fx'( )== 0 xx42++31 =x 1 02 x (1 điểm tới hạn) f(0) = 0, f(1) = arctan(1/2), f(2) = arctan (2/5) fmax = f(1) =arctan (1/2), fmin = f(0) = 0
  43. 3/ Tìm gtln, gtnn trên [-3, 2]: f( x )=+ | x | ( x 2) −x( x + 2), − 3 x 0 fx()= x( x+ 2),0 x 2 −2xx − 2, − 3 0 fx'( ) = 2xx+ 2,0 2 Điểm phân chia biểu thức được xem là 1 điểm tới hạn khi tìm min, max, khơng cần tính đạo hàm f’(x) = 0 x = -1 (-3, 2) So sánh f(-3), f(-1), f(0), f(2) để tìm min, max
  44. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM THAM SỐ x== x( t ), y y ( t ) Tìm MXĐ và liên tục của x(t), y(t) •Xét tính tuần hồn, đối xứng (khác y = f(x)) •Tính x’(t), y’(t) và lập bảng biến thiên. •Tìm tiệm cận(nếu cĩ) •Vẽ đồ thị.
  45. CỰC TRỊ HÀM THAM SỐ Đi qua xj , y’(x) x = x(t), y = y(t) đổi dấu thì y đạt •Bước 1: tính x’(t), y’(t) các giá trịcực đặc trị biệt (theo x) tại xj . Giá trị cực trị •Bước 2 : lập bảng biến thiên là yj t t0 t 1 t 2 t 3 xt'( ) x() t x0 x 1 x 2 x 3 yt'( ) y() t y0 y 1 y 2 y 3 yx'( )+ | − | + | + | − CĐ K K CT
  46. − Tìm cực trị x== tett, y te t x'( t )= (1 + t ) e → t0 = − 1 −t y'( t )= (1 − t ) e → t1 = 1 t − −11 + xt'( )− 0 + | + y đạt cực đại x() t− 1 e e tại x = e (t=1), yt'( )+ | + 0 − ycđ = 1/e y() t− e 1 e yx'( )− || + 0 −
  47. Tìm cực trị x=2 t − t2 , y = 2 t 2 − t 3 x'= 2 − 2 t → t0 = 1 2 y'= 4 t − 3 t → t12 = 0, t = 4 / 3 t − + 014 / 3 xt'( )|0| ++−− xt( )018 / 9 yt'( )0|0 −++− yt( )01 32 27 yx'( )0||0 −+−+ CT CĐ
  48. TiỆM CẬN HÀM THAM SỐ x = x(t), y = y(t) •Bước 1: tìm tìm tất cả các giá trị t0 sao cho x(t)→ hay y(t) → (t0 cĩ thể là ) •Bước 2: xác định loại TC x(t)→ a, y(t)→ : TC đứng x = a Khi t→t0 x(t)→ , y(t)→ a: TC ngang y = a yt() → a TC xiên x(t)→ , y(t)→ , xt() : y()() y−→ ax t b y = ax + b
  49. Tìm tiệm cận hs x== tett, y te− x(t) → khi t → + Bước 1: y(t) → khi t → - Bước 2: ❖ t→ + , x(t)→ + , y(t) → 0: TCN :y = 0 ❖ t→ - , x(t)→ 0, y(t) → - : TCĐ : x = 0
  50. tt2 Tìm tiệm cận hs x(),() t== y t t −1 t2 −1 ➢ x(t) → khi t → hay t → 1 ➢ y(t) → khi t → 1 ❖ t → : x(t) → , y(t) → 0 : TCN y = 0 ❖ t → -1 : x(t) → -1/2 , y(t) → : TCĐ x = -1/2
  51. tt2 x(),() t== y t t −1 t2 −1 ❖ t → 1 : x(t) → , y(t) → y( t ) t t − 1 1 * lim= lim = tt→→11xt( )tt22−1 2 1 tt2 *lim y () t− x () t = lim − 2 tt→→11 2 t −1 2(t − 1) −−t 3 =lim (tt2 + − 2) = t→1 2(t2 − 1) 4 13 TCX yx=− 24
  52. VỀ TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG ĐƯỜNG CONG THAM SỐ 1.x(t) chẵn, y(t) lẻ: đt đối xứng qua ox Chỉ ks 2.x(t) lẻ, y(t) chẵn: đt đối xứng qua oy phần t 0 3.x(t) lẻ, y(t) lẻ: đt đối xứng qua gốc tđ y(-t)=y(t) y(t) y(t) x(-t)= x(t) x(t)=x(-t) x(-t)= x(t) x(t) x(t) y(-t)= y(t) y(-t)= y(t) (1) (2) (3)
  53. VỀ TÍNH TUẦN HỒN TRONG ĐC THAM SỐ 1. x(t) TH chu kỳ T1, y(t) TH chu kỳ T2 Chỉ khảo sát và vẽ trong 1 chu kỳ T =bscnn(T1,T2) 2. x(t + T) = x(t) + A, y(t) TH chu kỳ T Đc y = y(x) TH với chu kỳ A Chỉ khảo sát trong 1 chu kỳ T(vẽ lập lại theo tính TH của hàm số y = f(x))
  54. Vẽ dồ thị hs x== tett, y te− t x'( t )= (1 + t ) e → t0 = − 1 −t y'( t )= (1 − t ) e → t1 = 1 t − −11 + xt'( )− 0 + | + x( t ) 0 −1 e + e yt'( )+ | + 0 − y( t )− − e 1 0 e yx'( )+ − 0 + TCĐ TCN TTĐ TTN x=0 y=0 (// oy) (// ox)
  55. Vẽ đồ thị hs: 1/e 1/e e e
  56. tt2 Vẽ đồ thị hs: x(),() t== y t t −1 t2 −1 t22−+21 t t x'( t )= t = 0, t = 2; y '( t ) = − 0 ,  t 1 (tt−− 1)2 ( 2 1) 2 t − −1 0 1 2 + xt'( )+ | + 0 − || − 0 + 1 xt( )− − 0 ||+ 4 + 2 − yt'( )− || − | − || − | − 2 yt( ) 0 ||+ 0 || + 0 − − 3 yx'( ) TCN −TCĐ − +TCX + − TCN y=0 x= -1/2 TTĐ y=1/2x-3/4 TTĐ y=0
  57. 33 Vẽ đồ thị x= acos t , y = a sin t , a 0 ()x2/3+= y 2/3 a 2 •x(t), y(t) xác định liên tục trên R. •x(t), y(t) tuần hồn với chu kỳ 2 nên chỉ khảo sát và vẽ trong 1 chu kỳ (t [ , ]) •x(t) chẵn, y(t) lẻ đt đối xứng qua ox chỉ khảo sát nửa chu kỳ (t [0, ])(nửa chu kỳ cịn lại vẽ đối xứng qua ox). x'( t )= − 3 a cos2 t sin t 0,  t [0, ] y'( t )= 3 a sin2 t cos t t = 2
  58. x'( t )= − 3 a cos2 t sin t 0,  t [0, ] Bảng biến thiên y'( t )= 3 a sin2 t cos t t = 2 t 0 2 xt'( ) 0−+ 0 0 x( t ) a 0 − a yt'( ) 0+− 0 0 y( t ) 0 a 0 yx'( ) 0− + 0 TTN TTĐ TTN x( -t)= -x(t), y( -t)= y(t) đx qua Oy
  59. t 0 2 xt'( ) 0−+ 0 0 x( t ) a 0 − a yt'( ) 0+− 0 0 y( t ) 0 a 0 yx'( ) 0− + 0 TTN TTĐ TTN
  60. t 0 2 xt'( ) 0−+ 0 0 x( t ) a 0 − a yt'( ) 0+− 0 0 y( t ) 0 a 0 yx'( ) 0− + 0 TTN TTĐ TTN
  61. t 0 2 xt'( ) 0−+ 0 0 x( t ) a 0 − a yt'( ) 0+− 0 0 y( t ) 0 a 0 yx'( ) 0− + 0 TTN TTĐ TTN
  62. t 0 2 xt'( ) 0−+ 0 0 x( t ) a 0 − a yt'( ) 0+− 0 0 y( t ) 0 a 0 yx'( ) 0− + 0 TTN TTĐ TTN
  63. Vẽ đồ thị Cycloid: x= a( t − sin t ), y = a (1 − cos t ), a 0 ❖ x(t), y(t) xác định liên tục trên R. ❖ y(t) tuần hoàn với chu kỳ 2 x(t+2 ) = x(t) +2 a y =y(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 a khảo sát 1chu kỳ (t [ , ]) và vẽ y tuần hoàn theo x với chu kỳ 2 a. ❖ x(t) lẻ, y(t) chẵn đường cong đối xứng qua oy chỉ khảo sát nửa chu kỳ (t [0, ])(nửa chu kỳ còn lại vẽ đối xứng qua oy).
  64. Cycloid: x = 2(t – sint), y = 2(1-cost) (y tuần hoàn chu kỳ 4 theo x) x’(t) = 2(1-cost) 0, y’(t) = 2sint 0, t [0, ] t 0 xt'( ) 0+ | xt( ) 0 2 yt'( ) 0+ 0 yt( ) 0 4 yx'( ) + 0 TTĐ TTN
  65. Cycloid: x = 2(t – sint), y = 2(1-cost) t [0, ]
  66. Cycloid: x = 2(t – sint), y = 2(1-cost) t [- , ]
  67. Cycloid: x = 2(t – sint), y = 2(1-cost) t [- , 3 ]