Bài giảng Số phức, Véc-Tơ, Ma trận (Phần 1 và 2) - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Số phức, Véc-Tơ, Ma trận (Phần 1 và 2) - Huỳnh Văn Kha

1. CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC, VÉC-TƠ, MA TRẬN (Phần 1 và 2) ThS. Huỳnh Văn Kha Email: huynhvankha@tdt.edu.vn -giang-toan1e1-toan1
2. NỘI DUNG CHÍNH 1. Số phức – Dạng đại số và các tính toán cơ bản – Dạng lượng giác, lũy thừa và lấy căn – Giải phương trình trong trường số phức 2. Véc-tơ – Véc-tơ hai và ba chiều – Tích vô hương, tích có hướng 3. Ma trận và hệ phương trình tuyến tính – Các phép toán cơ bản trên ma trận – Định thức và ma trận nghịch đảo – Hệ phương trình tuyến tính 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 2
3. 1. SỐ PHỨC • Số phức (complex number) là số có dạng = + 푖 trong đó , là những số thực và 푖 là đơn vị ảo có tính chất 푖2 = −1. • Dạng trên được gọi dạng đại số của số phức. • Số thực được gọi là phần thực (real part) của , số thực được gọi là phần ảo (imaginary part) của và thường được ký kiệu là Re = , Im = • Ví dụ số phức = 2 − 3푖 có phần thực là 2 phần ảo là −3. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 3
4. Một số phép toán • Cho = + 푖 và 푤 = + 푖 thì ta có = = 푤 ⇔ = + 푤 = + + + 푖 − 푤 = − + − 푖 푤 = + 푖 + 푖 + 푖2 = − + + 푖 • Ta ký hiệu 2 = , 3 = 2 , +1 = , 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 4
5. Ví dụ 1. a) Tính 1 + 푖 3. b) Tính 푖2, 푖3, 푖4, 푖푛. Suy ra giá trị của 푖2015. Các câu c) đến f), tìm các số thực , biết c) 1 + 2푖 − 2 + 푖 = 1 + 5푖 d) 2 + 푖 1 − 푖 + 푖 − 6 2 + 푖 = 4 + 9푖 e) 2 − 2 + 푖 = 1 + 푖 2 2 f) 푒 + + 푖2 = 푒−2 + 푖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 5
6. Số phức liên hợp (conjugate) • Liên hợp của số phức = + 푖 là số phức = − 푖 • Một số tính chất = + = 2 + 0푖 = 2Re − = 0 + 2푖 = 2푖 Im = + 푖 − 푖 = 2 + 2 • Nếu 푤 = + 푖 và = + 푖 ≠ 0 thì ta có phép chia số phức 푤 푤 + − = = + 푖 2 + 2 2 + 2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 6
7. • Các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức có đầy đủ các tính chất như đối với số thực. • Ngoài ra, với số phức liên hợp, ta còn có các tính chất sau đây 1 + 2 = 1 + 2 1 − 2 = 1 − 2 1 2 = 1 2 1 = 1 2 2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 7
8. Ví dụ 2. Tính (viết lại dưới dạng + 푖 với , là các số thực). 2 1 1 ) ) 푖 + 1 + 2푖 1 − 2푖 3 − 4푖 3 − 4푖 3 + 4푖 ) ) + 1 + 2푖 1 + 2푖 1 − 2푖 4 − 4푖 7 4 − 4푖 7 4 + 4푖 7 푒) ) − 2 + 2푖 2 + 2푖 2 − 2푖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 8
9. Mô-đun (Modulus) • Mô-đun của số phức = + 푖 được định nghĩa là = 2 + 2 • Mô-đun của số phức là một số thực không âm, ví dụ 2 + 푖 = 4 + 1 = 5. • Một số tính chất = 2 = 1 2 = 1 2 1 = 1 2 2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 9
10. Ví dụ 3. Tính mô-đun của các số phức 3 + 푖 3 + 4푖 5 ) − 푖 + ) 1 − 푖 1 + 푖 3 1 ) 2 − 3푖 2 3 + 3푖 3 ) 1 + 푖 + 1 + 푖 1 1 5 1 − 푖 푛 푒) + + ) 푛 ∈ ℕ 1 − 푖 1 + 푖 1 + 2푖 2 + 2푖 푛 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 10
11. • Số phức = + 푖 có thể được biểu diễn thành một điểm trong mặt phẳng. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 11
12. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 12
13. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 13
14. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 14
15. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 15
16. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 16
17. Dạng lượng giác của số phức • Số phức = + 푖 có thể được diễn tả thông qua hai giá trị và 휃 như hình vẽ. • Rõ ràng = cos 휃 + 푖 sin 휃 và ta gọi dạng này là dạng lượng giác của số phức . 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 17
18. Argument chính • Nếu = cos 휃 + 푖 sin 휃 thì – Giá trị chính là mô-đun của . – Giá trị 휃 được gọi là argument của , ký hiệu arg . • Argument của số phức là không duy nhất, chẳng hạn 1 + 푖 = 2 cos + 푖 sin 4 4 = 2 cos + 2 + sin + 2 , ∈ ℤ 4 4 • Argument chính của được định nghĩa là giá trị của arg nằm trong khoảng − , . 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 18
19. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 19
20. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 20
21. Nhân, chia dạng lượng giác • Cho 1 = 1 cos 휃1 + 푖 sin 휃1 và 2 = 2 cos 휃2 + 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 21
22. Lũy thừa nguyên số phức • Cho số phức = cos 휃 + 푖 sin 휃 và 푛 ∈ ℕ thì 푛 = 푛 cos 푛휃 + 푖 sin 푛휃 1 −푛 = = −푛 cos −푛휃 + 푖 sin −푛휃 푛 • Nếu = 1 ta có công thức DeMoivre’s cos 휃 + 푖 sin 휃 = cos 휃 + 푖 sin 휃 , ∈ ℤ Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác 11 3 a) 1 + 푖 3 b) 1 + 푖 3 3 + 푖 c) 3 − 4푖 6 d) 3 + 4푖 −6 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 22
23. Căn bậc 푛 số phức • Căn bậc 푛 (푛 ∈ ℕ) của số phức được định nghĩa là số phức 푤 thỏa 푤푛 = . • Ký hiệu của căn bậc 푛 là 푛 hoặc 1/푛. • Nếu = cos 휃 + 푖 sin 휃 thì 휃 2 휃 2 푛 = 푛 cos + + 푖 sin + , 푛 푛 푛 푛 = 0,1,2, , 푛 − 1 • Cho 푛 ∈ ℕ và ∈ ℤ ta định nghĩa /푛 = 푛 휃 2 휃 2 = 푛 cos + + 푖 sin + 푛 푛 푛 푛 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 23
24. Ví dụ 6. Tính ) −1 )푛 1 1/5 ) 1 + 푖 3 ) 3 27푖 4 푒) 1 + 푖 5/6 ) 2 3 − 2푖 8 1 − 푖 ) 3 + 푖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 24
25. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 25
26. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 26
27. Giải phương trình trên tập số phức • Cho , , là các số phức, ≠ 0. Xét phương trình 2 + + = 0 − + Δ • Đặt Δ = 2 − 4 thì nghiệm là = 2 Ví dụ 7. Giải các phương trình 푖 ) 푤2 + 푤 + = 0 4 ) 푤6 + 푤3 + 1 = 0 ) 2 + 1 − 푖 + 4 + 7푖 = 0 ) 푖 4 − 3 + 2푖 2 + 2 − 2푖 = 0 e) 1 + + 2 + 3 + 4 = 0 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 27
28. 2. VÉC-TƠ • Véc-tơ trong không gian hai chiều là một bộ gồm hai số thực có dạng , . • Véc-tơ trong không gian ba chiều là một bộ gồm ba số thực có dạng , , . • Tích vô hướng của 1 = 1, 1 và 2 = 2, 2 là 1, 2 = 1 2 + 1 2 • Tích vô hướng của 푣1 = 1, 1, 1 và 푣2 = 2, 2, 2 là 푣1, 푣2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 28
29. • Tích có hướng của hai véc-tơ 푣1 = 1, 1, 1 và 푣2 = 2, 2, 2 trong không gian ba chiều là 1 1 1 1 1 1 푣1, 푣2 = , , 2 2 2 2 2 2 = 1 2 − 2 1, 1 2 − 2 1, 1 2 − 2 1 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 29