›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến nẫu nhiên một chiều - Chu Bình Minh

ppt 128 trang huongle 2760
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến nẫu nhiên một chiều - Chu Bình Minh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_2_bien_nau_nhien_mot_chie.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến nẫu nhiên một chiều - Chu Bình Minh

  1. Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008
  2. PHẦN 1 XÁC SUẤT CHƯƠNG 2 BiẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU
  3. I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa Để thuận lợi cho việc nghiên cứu các vấn đề ngẫu nhiên bằng phương pháp giải tích, người ta cần chuyển các kết cục (biến cố) của phép thử thành những số thực, nghĩa là cần xây dựng một hàm trên không gian mẫu, hàm như thế gọi là biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên).
  4. I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa Định nghĩa. Cho phép thử có không gian mẫu Ω. Ánh xạ X từ Ω vào tập số thực R được gọi là một biến ngẫu nhiên. : Ω ⟶ 푅, ( 휔 ∈ 푅, 휔 ∈ Ω) Tập Ω = { (휔) ∈ 푅: 휔 ∈ Ω} là tập giá trị của X. Các biến ngẫu nhiên ký hiệu bằng các chữ in hoa như X, Y, Z, , các giá trị của biến ngẫu nhiên ký hiệu bằng chữ in thường như x, y, z,
  5. I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc, gọi 𝑖 :” Xuất hiện mặt i". Khi đó không gian mẫu là Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} Xét ánh xạ: : Ω ⟶ 푅, 𝑖 = 𝑖, ∀ 𝑖 ∈ Ω X sẽ là một biến ngẫu nhiên, tập giá trị của X là Ω = {1,2,3,4,5,6}. Ta thấy rằng giá trị của X không biết trước được, nó phụ thuộc vào kết quả của phép thử.
  6. I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa Nếu xuất hiện mặt 1 chấm ( 1 xuất hiện) thì X nhận giá trị bằng 1 tức là (X = 1) vậy ta có (X = 1) = 1. Nếu xuất hiện mặt 2 chấm ( 2 xuất hiện) thì X nhận giá trị bằng 2 tức là (X = 2) vậy ta có (X = 2) = 2. Nếu xuất hiện mặt 6 chấm ( 6 xuất hiện) thì X nhận giá trị bằng 6 tức là (X = 6) vậy ta có (X = 6) = 6. Để đơn giản ta gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc.
  7. I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa Chú ý: Để cho đơn giản ta có thể hiểu biến ngẫu nhiên là một biến số mà giá trị của nó không biết trước được mà nó phụ thuộc vào kết quả của phép thử, tức là phụ thuộc vào yếu tố ngâu nhiên. Từ đây trở đi, khi đề cập đến môt biến ngẫu nhiên, ta chỉ mô tả ngắn gọn biến ngẫu nhiên đó.
  8. I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa Ví dụ 2: X là số con trai trong một gia đình có hai con Ví dụ 3: X là số cuộc gọi đến một tổng đài điện thoại trong một ngày. Ví dụ 4: X là trọng lượng của một trẻ sơ sinh. Ví dụ 5: X là lượng mưa vào tháng 7 hàng năm
  9. I. ĐỊNH NGHĨA 2. Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên được chia làm hai loại là biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà tập giá trị hữu hạn hoặc đếm được, tức là biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó ta có thể liệt kê được như ở Ví dụ 1,2,3. Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó lấp đầy một hay nhiều khoảng trên trục số như ở ví dụ 4, 5.
  10. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 1. Bảng phân phối xác suất (Dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) Cho biến ngẫu nhiên X có tập giá trị Ω = { 1, 2, , 푛 } và xác suất tại các điểm là 푃 = 𝑖 = 𝑖, 𝑖 = 1, 푛. Bảng phân phối của X có dạng: X 1 2 푛 P 1 2 푛 Chú ý: - 𝑖 ∈ 0; 1 푛 - 𝑖=1 𝑖 = 1
  11. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 1. Bảng phân phối xác suất (Dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc. Lập bản phân phối xác suất cho X. Giải: Vì X có tập giá trị là {1, 2,3,4,5,6} và xác suất tương ứng là 1 푃 = 𝑖 = , ∀𝑖 = 1,6 6 Nên bảng phân phối là: X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
  12. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 1. Bảng phân phối xác suất (Dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một nhóm gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Gọi X là số chính phẩm chọn được. Lập bảng phân phối xác suất cho X. Giải
  13. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 1. Bảng phân phối xác suất (Dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) Ta thấy tập giá trị của X là {0,1,2} và : 2 1 1 2 4 6 4 6 푃 = 0 = 2 , 푃 = 1 = 2 , 푃 = 2 = 2 10 10 10 Vậy bảng phân phối xác suất của X có dạng: X 0 1 2 2 1 1 2 P 4 6 4 6 2 2 2 10 10 10
  14. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 1. Bảng phân phối xác suất (Dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) Ví dụ 3: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng là 0,8. Xạ thủ này bắn lần lượt từng viên vào mục tiêu cho đến khi trúng thì dừng và gọi X là số lần anh ta bắn trúng. Lập bảng phân phối xác suất cho X. Giải.
  15. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 1. Bảng phân phối xác suất (Dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) Tập giá trị của X là {1,2,3, , n, }. Xác suất tại các điểm là: 푃 = 1 = 0,8, 푃 = 2 = 0,2.0,8, , 푃 = 푛 = 0,2푛 . 0,8, l Vậy bảng phân phối xác suất là: X 1 2 N P 0,8 0,2.0,8 0,2푛 . 0,8
  16. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 2. Hàm mật độ (Dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục) Định nghĩa: Hàm ( ) gọi là hàm mật độ nếu thỏa mãn: i, Tập xác định R. ( = 푅) ii, ( ) ≥ 0, ∀ +∞ iii, −∞ = 1 Tính chất 푃 < < =
  17. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 2. Hàm mật độ (Dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục) Ví dụ 4: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 0 ℎ𝑖 ∉ 0; 3 = 2 ℎ𝑖 ∈ [0; 3] a, Tìm giá trị của a. b. Tính P(1 2) Giải.
  18. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 2. Hàm mật độ (Dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục) a. Do ( ) là hàm mật độ nên thỏa mãn: +∞ = 1 −∞ 0 3 +∞ ⇔ 0 + 2 + 0 = 1 −∞ 0 3 3 3 ⇔ = 1 3 0 1 ⇔ = 9
  19. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 2. Hàm mật độ (Dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục) b. 5 3 5 3 2 3 푃 1 2 = = 표 + 0 = 27 2 2 3 2 8 = 1 − 27
  20. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 2. Hàm mật độ (Dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục) Chú ý Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X thì P(X = a) = 0.
  21. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Định nghĩa Hàm F(x) xác định trên R gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X nếu F(x) = P(X<x). Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X 0 1 2 2 1 1 2 P 4 6 4 6 2 2 2 10 10 10 Giải
  22. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Theo định nghĩa ta có F(x) = P(X 2 thì 퐹 = 푃 < = 푃 = 0 + 푃 = 1 + 푃( = 2) = 1
  23. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Vậy 0 ℎ𝑖 ≤ 0 2 4 2 ℎ𝑖 0 2
  24. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Ví dụ Cho X có hàm mật độ 0 ℎ𝑖 ∉ 0; 3 = 1 2 ℎ𝑖 ∈ [0; 3] 9 Tìm F(x). Giải
  25. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Theo định nghĩa ta có 퐹 = 푃 < = 푃 −∞ < < = −∞ Nhưng hàm f(x) lại chia thành các hàm khác nhau trên mỗi khoảng nên F(x) phụ thuộc vào giá trị của x. Nếu ≤ 0 thì 퐹 = 0 = 0 −∞
  26. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Nếu 0 3 thì 0 3 +∞ 1 퐹 = = 0 + 2 + 0 = 1 9 −∞ −∞ 0 3
  27. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Vậy 0 ℎ𝑖 ≤ 0 3 퐹 = ℎ𝑖 0 3
  28. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Tính chất i, 퐹 ∈ 0; 1 , 퐹 −∞ = 0, 퐹 +∞ = 1 ii, F(x) là hàm không giảm iii, 푃 ≤ < = 퐹 − 퐹( ) iv, Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì - F(x) liên tục trên R - F’(x) = f(x) - −∞ = 퐹( )
  29. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Ví dụ Chi biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối 0 ℎ𝑖 ≤ 0 퐹 = 2 ℎ𝑖 0 1 a. Tìm a b. Tìm f(x) c. Tính P(0,25<X<0,75)
  30. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Giải a. Do F(x) liên tục trên R nên liên tục tai x = 1, suy ra lim 퐹 = = 퐹 1 = 1 →1− Vậy a = 1 b. Theo tính chất ta có 0 ℎ𝑖 ≤ 0 = 퐹′ = 2 ℎ𝑖 0 1
  31. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối c. 푃 0.25 < < 0,75 = 퐹 0,75 − 퐹 0,25 = 0,5 Hoặc 0,75 푃 0.25 < < 0,75 = ( ) = 0,5 0,25
  32. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 3. Hàm phân phối Chú ý: - Hàm phân phối F(x) thể hiện mức độ tập chung xác suất ở phía bên trái giá trị của X
  33. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 4. Hàm của biến ngẫu nhiên Định nghĩa Cho X là một biến ngẫu nhiên và g(x) là một hàm cho trước, khi đó Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ví dụ Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 Lập bảng phân phối cho biến ngẫu nhiên Y = 2X + 1 Giải
  34. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 4. Hàm của biến ngẫu nhiên Do Y = 2X + 1 nên tập giá trị của Y là {1,3,5,7} P(Y=1) = P(X=0), P(Y=3) = P(X=1), P(Y=5) = P(X=2), P(Y=7) = P(X=3), vây ta có Y 1 3 5 7 P 1/8 3/8 3/8 1/8
  35. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 4. Hàm của biến ngẫu nhiên Ví dụ Cho X có hàm mật độ Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên 푌 = 3 Giải
  36. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGÂU NHIÊN 4. Hàm của biến ngẫu nhiên Gọi 퐹푌, 푌 là hàm phân phối và hàm mật độ của Y, ta có 1 1 3 퐹푌 = 푃 푌 < = 푃 < = 푃 < 3 = 퐹 ( 3) 1 ′ 2 1 1 − = 퐹′ = 퐹 ( 3) = 3퐹′ 3 푌 푌 3 2 1 1 − = 3 3 3
  37. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Khi ta đã biết quy luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên thì ta đã nắm được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên, trong thực tế ta không chỉ cần đến những thông tin đó mà còn phải quan tâm đến những thông tin cô đọng, phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên cần được nghiên cứu. Những thông tin quan trọng đó của biến ngẫu nhiên gọi là các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
  38. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Định nghĩa 1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X 1 2 푛 P 1 2 푛 Kỳ vọng của X ký hiêu là EX được xác định bởi 푛 = 1 1 + 2 2 + ⋯ + 푛 푛 = 𝑖 𝑖 𝑖=1
  39. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Định nghĩa 2 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x). Kỳ vọng của X ký hiệu là EX và được xác định bởi: +∞ = −∞
  40. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Ví dụ 1: Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 Tính EX Giải 1 3 3 1 12 = 0. + 1. + 2. + 3. = 8 8 8 8 8
  41. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Ví dụ 2 Cho X có hàm mật độ 0 ℎ𝑖 ∉ 0; 3 = 1 2 ℎ𝑖 ∈ [0; 3] 9 GiTínhải EX. +∞ 0 3 +∞ 1 = = . 0 + 2 + . 0 9 −∞ −∞ 0 3 3 4 9 = = 36 4 0
  42. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Ví dụ 3 Điểm thi môn XSTK của 100 sinh viên của một lớp như sau: Điểm 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số sv 5 10 15 17 18 15 10 7 3 a. Tính điểm trung bình môn XSTK của lớp b. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp và gọi X là điểm thi môn XSTK của sinh viên này. Tính EX Giải
  43. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán a. Gọi điểm trung bình môn XSTK của lớp là ĐTB Đ 2.5 + 3.10 + 4.15 + 5.17 + 6.18 + 7.15 + 8.10 + 9.7 + 10.3 = 100 = 5,635
  44. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán b. Ta dễ dang thấy bảng phân phối xác suất của X là X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 5/10 10/1 15/1 17/1 18/1 15/1 10/1 7/10 3/10 0 00 00 00 00 00 00 0 0 Khi đó 5 10 15 17 18 = 2. + 3. + 4. + 5. + 6. 100 100 100 100 100 15 10 7 3 + 7. + 8. + 9. + 10. = 5,635 100 100 100 100 = Đ Do vậy kỳ vọng cũng chính là giá trị trung bình.
  45. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Nếu X là trọng lượng thì EX là trọng lượng trung bình, nếu X là lợi nhuận thì EX là lợi nhuận trung bình, nếu X là năng suất thì EX là năng suất trung bình,
  46. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Tính chất i, E(C) = C ii, E(CX) = CEX iii, E(X±Y) = EX ± EY iv, X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lâp thì E(XY) = EX.EY
  47. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán v, Y = g(X) thì 푛 ℎ𝑖 ờ𝑖 ạ 𝑖 𝑖 𝑖=1 푌 = ( ) = +∞ ℎ𝑖 푙𝑖ê푛 푡ụ −∞
  48. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Ví dụ 4: Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 Tính E(2X + 3) Giải
  49. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Cách 1: 12 2 + 3 = 2 + 3 = 2 + 3 = 6 8 Cách 2: 2 + 3 1 3 3 = 2.0 + 3 . + 2.1 + 3 . + 2.2 + 3 . 8 8 8 1 + (2.3 + 3). = 6 8
  50. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Kỳ vọng toán Ví dụ 5 Cho X có hàm mật độ 0 ℎ𝑖 ∉ 0; 3 = 1 2 ℎ𝑖 ∈ [0; 3] 9 Tính 3. +∞ Giải 3 = 3 −∞ 0 3 +∞ 3 1 6 27 = 3. 0 + 3 2 + 3. 0 = = 9 54 2 −∞ 0 3 0
  51. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên chỉ xác định giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên đó nhưng chưa xác định được mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình. Để đặc trưng cho mức độ phân tán thì cách đơn giản nhất là ta tìm tất cả các sai lệch của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng rồi lấy trung bình số học nhưng cách này sẽ cho kết quả không đúng vì các sai lệch trái dấu sẽ triệt tiêu cho nhau. Để khắc phục điều đó thì có thể lấy tri tuyệt đối của từng sai lệch hoặc đem các sai lệch bình phương nhưng cách lấy trị tuyệt đối không thích hợp vì nó không khả vi tại nhiều điểm. Do vậy để đặc trưng cho mức đội phân tán người ta đem bình phương các sai lệch lấy trung bình cộng gọi tắt là phương sai.
  52. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Định nghĩa Phương sai của biến ngẫu nhiên X ký hiện là DX, được xác định bởi: = − 2 Vậy áp dụng tính chất v mục 1 ta có: = − 2 푛 − 2 ℎ𝑖 ờ𝑖 ạ 𝑖 𝑖 𝑖=1 = +∞ − 2 ℎ𝑖 푙𝑖ê푛 푡ụ −∞
  53. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Trong thực tế người ta còn tính DX theo công thức: = ( )2 − ( )2 Tương tự như trên ta có: = ( )2 − ( )2 푛 2 − ( )2 ℎ𝑖 ờ𝑖 ạ 𝑖 𝑖 𝑖=1 = +∞ 2 − ( )2 ℎ𝑖 푙𝑖ê푛 푡ụ −∞
  54. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Ví dụ 6: Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 Tính DX Giải
  55. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai 1 3 3 1 12 = 0. + 1. + 2. + 3. = 8 8 8 8 8 Cách 1 12 2 = − 2 = − 8 12 2 1 12 2 3 12 2 3 = 0 − . + 1 − . + 2 − . 8 8 8 8 8 8 12 2 1 5 + 3 − . = 8 8 4
  56. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Cách 2 = ( )2 − ( )2 1 3 3 1 12 5 = 02. + 12. + 22. + 32. − ( )2 = 8 8 8 8 8 4
  57. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Ví dụ 7 Cho X có hàm mật độ 0 ℎ𝑖 ∉ 0; 3 = 1 2 ℎ𝑖 ∈ [0; 3] 9 Tính DX.
  58. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai +∞ 0 3 +∞ 1 = = . 0 + 2 + . 0 9 −∞ −∞ 0 3 3 4 9 = = 36 4 0 Cách 1 9 2 = − 2 = − 4 +∞ 3 9 2 9 2 1 = − = − 2 4 4 9 −∞ 0 27 = 80
  59. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Cách 2 +∞ 9 2 = ( )2 − ( )2 = 2 − 4 −∞ 3 1 9 2 27 = 2 2 − = 9 4 80 0
  60. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Tính chất i, DX ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi X = C ii, = 2 iii,Nếu X, Y độc lập thì D(X ± Y) = DX + DY iv, D(X + C) = DX Chú ý: Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số còn trong kinh tế phương sai đặc trưng cho độ rủi ro.
  61. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai Ví dụ 8 Một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào hai dự án A, B trong 2 lĩnh vực độc lập nhau. Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm (tính bằng %) của 2 dự án là các biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: Dự án A 65 67 68 69 70 71 73 P 0,04 0,12 0,16 0,28 0,24 0,08 0,08 Dự án B 66 68 69 70 71 P 0,12 0,28 0,32 0,20 0,08
  62. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Phương sai
  63. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 3. Độ lệch chuẩn Định nghĩa Độ lệch chuẩn của X ký hiện là σ và được xác định bởi 휎 = Chú ý Biến ngâu nhiên X, EX và σ cùng đơn vị đo
  64. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Trung vị (Median) Định nghĩa m gọi là trung vị của X nếu: 1 푃 ≥ 2 Ký hiệu là med(X) = m
  65. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Trung vị (Median) Vậy nếu X rời rạc thi 1 ≤ 𝑖 2 Nếu X là biến ngâu nhiên liên tục thì 1 = 2 −∞
  66. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Trung vị (Median) Ví dụ 9: Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 Tính med(X) Giải med(X) = 1 hoặc med(X) = 2
  67. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Trung vị (Median) Ví dụ 10 Cho X có hàm mật độ 0 ℎ𝑖 ∉ 0; 3 = 1 2 ℎ𝑖 ∈ [0; 3] 9 Tính med(X) Giải
  68. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Trung vị (Median) 0 1 3 1 = 0 + 2 = = 9 27 2 −∞ −∞ 0 Vậy 3 푒 = = 3 2
  69. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 5. Giá trị chắc chắn nhất (mode) Định nghia Giá trị chắc chắn nhất của X ký hiệu là mod(X) được xácđịnh bởi: - Nếu X là biến ngâu nhiên rời rạc thì 푃 = 표 ≥ 𝑖, ∀𝑖 = 1, 푛 - Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì 표 = max ( ) 푅
  70. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 5. Giá trị chắc chắn nhất (mode) Ví dụ 11: Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 Tính mod(X) Giải mod(X) = 1 hoặc mod(X) = 2
  71. III. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 5. Giá trị chắc chắn nhất (mode) Ví dụ 12 Cho X có hàm mật độ 0 ℎ𝑖 ∉ 0; 3 = 1 2 ℎ𝑖 ∈ [0; 3] 9 Tính mod(X) Giải max ( ) = 1 = (3) 푅 Vậy 표 = 3
  72. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 1. Quy luật không-một A(p) Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có quy luật không-một với tham số p nến nó có tập giá tri {0,1} và 푃 = = (1 − )1− , = 0,1 Ký hiệu quy luật không-một là X~A(p). Vậy bảng phân phối xác suất của quy luât không-một là X 0 1 P 1-p P Từ đó ta có tính chất sau:
  73. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 1. Quy luật không-một A(p) Tính chất. Nếu X~A(p) thì EX = p, DX = p(1-p) Ví dụ: Theo thống kê việc một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm một năn nữa với xác suất là 0,992. Một công ty bảo hiểm nhân thọ đề nghị người này mua bảo hiểm nhân thọ với giá 10 đô la/năm. Nếu người này chết thì công ty sẽ trả 1000$. Hỏi nếu công ti đó bán được cho 1000 khách hàng thì lợi nhuận trung bình sẽ là bao nhiêu? Giải.
  74. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 1. Quy luật không-một A(p) Chọn ngẫu nhiên một người mua bảo hiểm và gọi X là số người mua bảo hiểm chết sau 1 năm chọn được. Khi đó tập giá trị của X là {0,1} và P(X=1) = 0,008 nên X~A(0,008). Lợi nhuận mà công ti thu được khi bán cho 1 khách hàng là: 10 – 1000X Gọi Y là lợi nhuận mà công ti bảo hiểm thu được khi bán cho 1000 khách, khi đó Y = (10 – 1000.X)1000 Vậy lợi nhuận trung bình mà công ti bảo hiểm bán cho 1000 khách hàng là: EY = E((10-1000X)1000) = 1000(10 – 1000EX) = 1000(10 – 1000.0,008) = 2000 $.
  75. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 2. Quy luật nhị thức B(n;p) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi là có quy luật nhị thức với tham số n ∈ N và p∈[0;1] nếu nó có tập giá trị {0, 1, 2, , n} và: 푛− 푃 = = 푛 푞 , = 0,1, , 푛 푣à 푞 = 1 − Biến ngẫu nhiên X có quy luật nhị thức ký hiệu là X~B(n;p). Chú ý: Nếu xác suất xuất hiện của A trong 1 phép thử là p (P(A) = p), ta thực hiện phép thử trên n lần độc lập và gọi X là số lần A xuất hiện trong n lần thử này thì X~B(n;p)
  76. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 2. Quy luật nhị thức B(n;p) Ví dụ Một quán Internet có 50 máy và xác suất hỏng của mỗi máy trong ngày là 0,9. Tính xác suất để trong một ngày có: a. 5 máy hỏng b. Ít nhất 1 máy hỏng. c. Nhiều nhất 1 máy hỏng. Giải
  77. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 2. Quy luật nhị thức B(n;p) Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một phép thử độc lập thì ta có n = 50 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử độc lập, xác suất mỗi máy hòng là như nhau và bằng p = 0,1 vậy nếu ta gọi X là số máy hỏng trong một ngày thì X~B(50,0,1) 5 5 45 a. 푃 = 5 = 500,1 . 0,9 b. 푃 ≥ 1 = 1 − 푃 < 1 푃 ≥ 1 = 1 − 푃 = 0 = 1 − 0,950 c. 푃 ≤ 1 = 푃 = 0 + 푃 = 1 50 1 49 푃( ≤ 1) = 0,9 + 50. 0,1. 0,9
  78. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 2. Quy luật nhị thức B(n;p) Tính chất Cho X~B(n;p), khi đó: i, EX = np ii, DX = npq iii, mod(X) = [(n+1)p]
  79. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 2. Quy luật nhị thức B(n;p) Ví dụ Một công ty bảo hiểm y tế bán bảo hiểm với mức 160 ngìn đồng/1 người/1 năm. Nếu khách hàng phải nằm viện thì công ty phải trả viện phí là 100 ngìn/ 1 người/1 ngày. Số liệu thống kê cho thấy xác suất để 1 người phải nằm viện trong 1 ngày là 0,002. Vậy lợi nhuận trung bình khi công ty bán được bảo hiển cho một khách hàng là bao nhiêu. Giải
  80. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 2. Quy luật nhị thức B(n;p) Tình trạng sức khỏe của 1 khách hàng trong một ngày là 1 phép thử thì 1 năm có thể coi như là 365 phép thử độc lập. Xác suất để mỗi khách hàng phải nằm viện trong một ngày là 0,002 nên nếu ta gọi X là số ngày một khách hàng nằm viện trong một năm thì X~B(365; 0,002) Số ngày một khách nằn viện trung bình trong năm là EX = 365.0,002 = 0,73 ngày Vậy lợi nhuận trung bình khi công ty bán cho một khách hàng là: 160 0000 – 0,73.100 000 = 87 000 đồng
  81. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi là có quy luật Poisson với tham số λ > 0 nến nó có tập giá trị là tập N và λk 푃 = = 푒−λ , ∈ ! Khi đó ký hiệu X~P(λ .
  82. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) Ví dụ Số yêu cầu của khách hàng gọi đến một hãng taxi trong một giờ là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luận Poisson với λ = 11. Tính xác suất để trong một giờ: a. Có 8 yêu cầu b. Có ít nhất một yêu cầu c. Nếu hãng chỉ có 10 xe thì xác suất khách phải chờ là bao nhiêu.
  83. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) Giải Gọi X là số cầu của khách hàng gọi đến hãng taxi trong một giờ thì X ~P(11) 11k 푃 = = 푒−11 , ∈ ! 118 a. 푃 = 8 = 푒−11 8! b.푃 ≥ 1 = 1 − 푃 10 = 1 − 푃 ≤ 10 = 1 − 0,460 = 0,540
  84. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) Tính chất Nếu X~P λ thì i, EX = λ iii, mod(X) = [λ] Chú ý: i, Nếu X~B(n;p) mà n >> 0 và p≈ 0 thì ta có thể xấp xỉ X có quy luật Poisson với λ = np
  85. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) ii, Xét biến ngẫu nhiên A xuất hiện ở những thời điểm ngẫu nhiên. Giả thuyết rằng số lần A xuất hiện trong khoảng thời gian (푡1; 푡2) không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của A trong các khoảng thời gian kế tiếp, thêm vào đó nến cường độ xuất hiện của A là không thay đổi, nghĩa là số lần A xuất hiện tỉ lệ với độ dài khoảng thời gian (푡1; 푡2). Khi đó ta gọi X là số lần xuất hiện của A trong khoảng thời gian (푡1; 푡2) thì X có quy luật Poisson, hơn nữa nếu cường độ xuất hiện của A là c thì 휆 = (푡2 − 푡1)
  86. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) Ví dụ Xác suất để trong khi vận chuyển mỗi trai rượu bị vỡ là 0,001. Người ta tiến hành vận chuyển 2000 trai đến một của hàng. a. Tính xác suất để có 5 trai bị vỡ. b. Tìm số trai bị vỡ trung bình khi vận chuyển. c. Tìm số trai có khả năng vỡ nhiều nhất khi vận chuyển. Giải
  87. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) Gọi X là số trai bị vỡ khi vận chuyển 2000 trai rượu. Khi đó X~B(2000;0,001). Do n = 2000 khá lớn và p = 0,001 khá nhỏ nên có thể xấp xỉ X~P(λ với λ = 2000.0,001 = 2. 2k 푃 = = 푒−2 , ∈ ! 25 a. 푃 = 5 = 푒−2 5! b.EX là số trai vỡ trung binh nên EX = λ = 2 trai. c.mod(X) = [λ] = 2
  88. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) Ví dụ Tại một sân bay cứ 15 phút có một chuyến ô tôt buýt loại 6 chỗ ngồi phục vụ chở khách vào trung tâm thành phố. Biết rằng số khách chờ đi ô tô có quy luật Poisson với mật độ trung bình là 8 người trên 1 giờ. Tính xác suất để trong chuyến xe tiếp theo: a. Không có khách nào chờ đi xe b. Xe chật khách c. Người ta sẽ tăng thêm một chuyến xe nữa nếu xác suất để có hơn 1 người phải chờ chuyến xe sau lớn hơn 0,1. Vậy có nên tăng thêm xe chở khách không? Giải
  89. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3. Quy luật Poisson P(λ) Gọi X là số người chờ xe trong 15 phút, X có quy luật Poisson với λ = 15.8/60 = 2 2k 푃 = = 푒−2 , ∈ ! a. 푃 = 0 = 푒−2 b.푃 ≥ 6 = 1 − 푃 < 6 = 1 − 푃 ≤ 5 = 1 − 0,983 = 0,017 c.푃 ≥ 8 = 1 − 푃 < 8 = 1 − 푃 ≤ 7 = 1 − 0,999 = 0,001 < 0,1 Vậy không cần tăng thêm xe chở khách.
  90. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4. Quy luật siêu bội H(N,M,n). Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi là có quy luật siêu bội với tham số N, M, n nếu tập tập giá trị của nó là tập con của tập {0,1,2, , N} và 푛− . − 푃 = = 푛 Khi đó ký hiệu X~H(N,M,n) Chú ý: Trong trường hợp ta lấy (không hoàn lại) n phần tử từ một tập N phần tử trong đó có M phần tử mang tính chất A và gọi X là số phần tử mang tính chất A lấy được trong n phần tử thì X~H(N,M,n)
  91. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4. Quy luật siêu bội H(N,M,n). Ví dụ Lấy ngẫu nhiên 4 quân bài từ bộ tú lơ khơ. Tính xác suất để lấy được: a. 3 quân cơ b. Ít nhất 1 quân cơ Giải
  92. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4. Quy luật siêu bội H(N,M,n). Gọi X là số quân cơ lấy được trong 4 quân thì X~H(52,13,4) 4− 13. 39 푃 = = 4 52 a. 3 1 13. 39 푃 = 3 = 4 52 b. 4 39 푃 ≥ 1 = 1 − 푃 < 1 = 1 − 푃 = 0 = 1 − 4 52
  93. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4. Quy luật siêu bội H(N,M,n). Tính chất Nếu X~H(N,M,n) thì i, EX = np −푛 ii, = 푛 푞 −1 −푛 với = , 푞 = 1 − và gọi là hệ số hiệu chỉnh. −1
  94. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4. Quy luật siêu bội H(N,M,n). Ví dụ Một đề thi gồm 5 câu lấy từ ngân hàng đề thi gồm 50 câu và nếu làm đúng trên 2 câu trong đề thi thì đạt môn học đó. Một sinh viên chỉ học được 30 câu trong ngân hàng. Tính xác suất để : a. Sinh viên đúng cả 5 câu. b. Sinh viên đạt môn học. c. Trung bình sinh viên đúng được bao nhiêu câu. Giải
  95. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4. Quy luật siêu bội H(N,M,n). Mỗi đề thi được chọn ngẫu nhiên từ bộ đề gồm 50 câu mà sinh viên đó chỉ thuộc 30 câu nên nếu ta gọi X là số câu sinh viên trên làm đúng trong đề thi, khi đó X~H(50,30,5) 5− 30. 20 푃 = = 5 50 5 30 a. 푃 = 5 = 5 50 b.푃 > 2 = 푃 = 3 + 푃 = 4 + 푃 = 5 = 3 2 4 1 5 30 . 20 30 . 20 30 5 + 5 + 5 50 50 50
  96. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4. Quy luật siêu bội H(N,M,n). c. 5.30 = 푛. = = 3 50 Vậy trung bình sinh viên làm đúng 3 câu.
  97. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 5. Quy luật phân phân phối đều U[a;b] Định nghĩa Biếu ngẫu nhiên X gọi là có quy luật phân phối đều trên [a;b] nếu hàm mật độ có dạng: 0 ℎ𝑖 ∉ ; = 1 ℎ𝑖 ∈ [ ; ] − Ký hiệu X~U[a;b] Chú ý. Nếu ta không biết gì về biến ngẫu nhiên X ngoài việc biết giá trị lớn nhất b và giá trị nhỏ nhất a thì có thể coi xác suất X nhận bất cứ giá trị nào trên [a;b] là như nhau, khi đó X sẽ có phân phối đều trên [a;b].
  98. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 5. Quy luật phân phân phối đều U[a;b] Ví dụ Môt bến xe buýt bắt đầu hoạt động từ lúc 7 giờ và cứ 15 phút có một chuyến xe. Một sinh viên đến bến xe ngẫu nhiên trong khoảng từ 7 giờ đến 7 giờ 30. Tính xác suất để sinh viên đó đợi không quá 5 phút. Giải
  99. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 5. Quy luật phân phân phối đều U[a;b] Gọi X là thời gian đến bến xe của sinh viên đó, khi đó ta có thể coi X~U[0;30]. Hàm mật độ của X là: 0 ℎ𝑖 ∉ 0; 30 = 1 ℎ𝑖 ∈ [0; 30] 30 A:” Sinh viên đợi không quá 5 phút” 푃 = 푃 10 < < 15 + 푃 25 < < 30 15 30 1 1 1 = + = 30 30 3 10 25
  100. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 5. Quy luật phân phân phối đều U[a;b] Tính chất Nếu X~U[a;b] thì + i, = 2 ( − )2 ii, = 12 iii, mod(X) là bất cứ điểm nào trên [a;b]
  101. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 5. Quy luật phân phân phối đều U[a;b]
  102. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 6. Quy luật phân phối mũ E(λ). Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi là có quy luật phân phối mũ với tham số λ nến hàm mật độ có dạng 0 ℎ𝑖 < 0 = λe−λx ℎ𝑖 ≥ 0 Ký hiệu X~E(λ
  103. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 6. Quy luật phân phối mũ E(λ). 0 ℎ𝑖 < 0 = λe−λx ℎ𝑖 ≥ 0
  104. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 6. Quy luật phân phối mũ E(λ). Ví dụ. Tuổi thọ của một loại sản phẩm(tính bằng năm) là biến ngẫu nhiên có quy luật mũ với λ = 0,1. a. Tính xác suất để một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn 15 năm. b. Nếu quy định thời gian bảo hành của một sản phẩm là 3 năm thì bao nhiêu phần trăm sản phẩm bán ra bị trả lại. Giải
  105. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 6. Quy luật phân phối mũ E(λ). Gọi X là tuổi thọ của một sản phẩm, X~E(0,1) nên hàm mật độ có dạng 0 ℎ𝑖 15 = 1 − 푃 < 15 = 1 − −∞ 0 15 = 1 − 0 − 0,1푒−0,1 = 푒−1,5 −∞ 0
  106. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 6. Quy luật phân phối mũ E(λ). b. 3 0 3 푃 < 3 = = 0 + 0,1푒−0,1 −∞ −∞ 0 = 1 − 푒−0,3 = 0,259
  107. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 6. Quy luật phân phối mũ E(λ). Tính chất Nếu X~E(λ) thì 1 i, = 휆 1 ii, = 휆2
  108. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 6. Quy luật phân phối mũ E(λ). Chú ý Người ta đã chứng minh được rằng khoảng thời gian giữa 2 lần xuất hiện yêu cầu trong các hệ thống phục vụ công cộng hoặc khoảng thời gian làm việc liên tục của máy móc giữa 2 lần máy hỏng tuân theo quy luật mũ
  109. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi là có quy luật chuẩn với tham số μ và 휎2 nếu hàm mật độ có dạng ( −휇 )2 1 − = 푒 2휎2 휎 2 Ký hiệu ~ (휇; 휎2)
  110. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 )
  111. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Trường hợp đặc biệt khi ~ (0; 1) thi X gọi là có quy luật chuẩn tắc, khi đó hàm mật độ gọi là hàm Gauss có dạng: 2 1 − 휑 = 푒 2 2 Khi đó hàm mật độ của quy luật chuẩn tắc có dạng 푡 2 1 − Φ = 푒 2 푡 2 −∞ Được tính sẵn trong bảng phân bố chuẩn tắc.
  112. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) x
  113. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Tính chất. Định lý 1 Nếu ~ (휇; 휎2) thì i, EX = μ ii, = 휎2 iii, mod X = median X = μ −휇 iv, 푌 = ~ (0; 1) 휎 −휇 −휇 v, 푃 < < = Φ − Φ( ) 휎 휎 vi, 푃 − 휇 < 휎 = 2Φ − 1
  114. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Phần diện tích màu xanh lam chiếm 68% toàn bộ tổng thể trong khi đó phần diện tích nằm trong khoảng 2 lần độ lệch chuẩn (màu xanh và nâu) chiếm 95% và 3 lần độ lệch chuẩn (xanh lam, nâu, lá cây) chiếm 99.7%.
  115. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Định lý 2 Nếu ~ (0; 1) thì i, Φ − = 1 − Φ( ) ii, Cho 훼 ∈ (0; 1) khi đó 훼 gọi là giá trị tới hạn chuẩn mức α nếu Φ = 1 − 훼 훼 α iii, 1−훼 = − 훼 훼
  116. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Định lý 3 2 2 Nếu 1~ (휇1; 휎1 ) và 2~ (휇2; 휎2 ) thì 2 2 i, 1~ ( 휇1; 휎1 ) 2 2 ii, 1 ± 2~ (휇1 ± 휇2; 휎1 + 휎2 )
  117. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Ví dụ Một nhà sản xuất cần mua một loại gioăng cao su có độ dày từ 0,118 cm đến 0,122 cm. Có hai cửa hàng cùng bán loại gioăng này với độ dày là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với các đặc trưng đươc cho trong bảng sau: Độ dày Độ lệch Giá bán trung bình chuẩn Cửa hàng A 0,12 0,001 3 USD/hộp/1000 c Cửa hàng B 0,12 0,0015 2,6 USD/hộp/1000 c Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng ở cửa hàng nào. Giải
  118. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Trước hết cần xác định tỉ lệ gioăng đạt yêu cầu của nhà sản xuất trong mỗi hộp của 2 của 2 cửa hàng. Gọi , tương ứng là độ dày của gioăng do của hàng A và B bán. 2 Theo giả thiết ta có ~ (0,12; 0,001 ) và 2 ~ (0,12; 0,0015 ). Tỉ lệ gioăng dùng được của của hàng A là: 푃 0,118 < < 0,122 0,122 − 0,12 0,118 − 0,12 = Φ − Φ 0,001 0,001 = Φ 2 − Φ −2 = 2Φ 2 − 1 푃 0,118 < < 0,122 = 0,9544
  119. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Tỉ lệ gioăng dùng được của của hàng B là: 푃 0,118 < < 0,122 0,122 − 0,12 0,118 − 0,12 = Φ − Φ 0,0015 0,0015 = Φ 1,33 − Φ −1,33 = 2Φ 1,33 − 1 푃 0,118 < < 0,122 = 0,8164 3 Giá bán mỗi chiếc gioăng ở cửa hàng A là = 0,9544.1000 0,00314 푈푆 . Giá bán mỗi chiếc gioăng ở cửa hàng B 2,6 là = 0,00318 푈푆 . Vậy nên mua gioăng ở của 0,8164.1000 hàng A.
  120. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 7. Quy luật phân phối chuẩn 푵(흁; 흈 ) Chú ý Quy luật phân phối chuẩn là quy luật được áp dụng rất rộng rãi trong thực tế vì lý do: Nếu biến ngẫu nhiên X là tổng của một số lớn các biến ngẫu nhiên độc lập và giá trị của mỗi biến ngẫu nhiên chỉ chiếm vị trí rất nhỏ trong tổng đó thì X xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn. Do vậy, ta có thể coi năng suất của một loại cây trồng, năng suất của các công nhân cùng tay nghề, nhu cầu về một loại hàng hóa, các chỉ số sinh lý của con người, đều tuân theo quy luật chuẩn.
  121. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 8. Quy luật chi bình phương 흌 (풏) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi là có quy luật chi bình phương với n bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng 0 ℎ𝑖 ≤ 0 푛 1 − −1 = 푒 2 2 ℎ𝑖 > 0 푛 푛 22 Γ( ) 2 Trong đó hàm Gamma +∞ Γ = 푡 −1푒−푡 푡 , ℎ𝑖 = 푛 ∈ 푡ℎì Γ 푛 + 1 = 푛! 0 Ký hiệu là ~휒2(푛)
  122. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 8. Quy luật chi bình phương 흌 (풏)
  123. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 8. Quy luật chi bình phương 흌 (풏) Tính chất Định lý 1 Nếu ~휒2(푛) thì i, EX = n ii, DX = 2n 2(푛) iii, Với 훼 ∈ (0; 1) thì 휒훼 gọi là giá trị giới hạn khi bình phương mức α nếu 2(푛) 푃 > 휒훼 = 훼 2(푛) Giá trị của 휒훼 được tra ở trong bảng Giá trị tới hạn của quy luật khi bình phương ở phần phụ lục.
  124. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 8. Quy luật chi bình phương 흌 (풏) Định lý 2 Nếu ~휒2(푛) và 푌~휒2( ) thì + 푌~휒2(푛 + ) Chú ý 푛 2 2 Nếu 𝑖~ (0; 1) thì = 𝑖=1 𝑖 ~휒 (푛)
  125. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 9. Quy luật Student T(n) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi là có quy luật student với n bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng 푛 푛 − Γ 푡2 2 = 2 1 + , ∀푡 푛 − 1 1 − Γ 푛 − 1 푛 Trong đó hàm Gamma +∞ Γ = 푡 −1푒−푡 푡 , ℎ𝑖 = 푛 ∈ 푡ℎì Γ 푛 + 1 = 푛! 0 Ký hiệu là ~ (푛)
  126. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 9. Quy luật Student T(n)
  127. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 9. Quy luật Student T(n) Tính chất Định lý 1 Nếu ~ (푛) thì i, EX = 0 푛 ii, = 푛−2 (푛) iii, Với 훼 ∈ (0; 1) thì 푡훼 gọi là giá trị giới hạn Student mức α nếu 푛 푃 > 푡훼 = 훼 (푛) (푛) iv, 푡1−훼 = −푡훼 (푛) Giá trị của 푡훼 được tra ở trong bảng Giá trị tới hạn của quy luật student ở phần phụ lục.
  128. IV. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 9. Quy luật Student T(n) Chú ý - Nếu ~ 0; 1 푣à 푌~휒2(푛) thì 푍 = ~ (푛) 푌 푛 - Cho ~ (푛), nếu 푛 ≥ 30 thì ~ (0; 1)